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Apuntes de Geometría Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra
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BLOQUE DE GEOMETRÍA 1. VECTORES EN EL ESPACIO.
Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por AB . El punto A es el origen, y el punto B, el extremo.
Las características de un Vector AB :
a) El módulo: es su longitud. Se representa por AB .
b) La dirección: es la dirección de la recta que lo contiene. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o rectas paralelas.
c) El sentido: es el que va del origen al extremo. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Un vector libre es un vector fijo
ABv =r que representa a todos los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, es decir, a todos
los vectores equipolentes. 1.1 Coordenadas cartesianas de un vector.
Recordemos: El vector ar
es combinación lineal de los vectores ur
, vr
y wr
si existen
números reales x , y , z tales que: wzvyuxarrrr ++=
( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,0,1 ==== kjiBrrr
es una base ortonormal porque sus
vectores son perpendiculares dos a dos y de módulo 1. Cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.
Un sistema de referencia del espacio está formado por un punto O y una base B . El
sistema de referencia más sencillo del espacio es el formado por el origen de
coordenadas ( )0,0,0O y la base canónica:
( ) ( ) ( ) ( ){ }{ }1,0,0,0,1,0,0,0,1;0,0,0 === kjiOrrr
Las coordenadas cartesianas del vector vr
en la base { }kjiBrrr
,,= son los
coeficientes de los vectores kjirrr
,, que generan el vector vr
. Si se tiene que
kzjyixvrrrr ++= , las coordenadas de v
rson ( )zyx ,, .
Ejercicio 1: Dados ( )2,0,1 −=ur
, ( )1,4,3 −=vr
, ( )3,1,1−=wr
y ( )9,5,8=xr
; calcula el valor de a , b y c para
que: wcvbuaxrrrr ++= .
Ejercicio 2: Estudia si ( )9,15,6−=ar
se puede expresar como combinación lineal de ( )2,1,3−=ur
,
( )1,3,4 −=vr
y ( )1,5,2−=wr
.
1.2 Dependencia e independencia lineal de vectores.
Definición: Un conjunto de vectores 1vr
, 2vr
, 3vr
, …, nvr
es linealmente dependiente si alguno de ellos es
combinación lineal de los restantes, es decir, si 112211 ... −−+++= nnn vvvvrrrr λλλ con 1λ , 2λ , …, 1−nλ
números reales.
Definición: Los vectores 1vr
, 2vr
, 3vr
, …, nvr
son linealmente independientes cuando no son linealmente
dependientes.
El rango de un conjunto de vectores 1vr
, 2vr
, 3vr
, …, nvr
es el máximo número de esos vectores que forman un
subconjunto linealmente independiente. De ahí se deduce que n vectores dados serán linealmente
independientes si y sólo si su rango es igual a n . En particular, tres vectores ( )321 ,, uuuu =r , ( )321 ,, vvvv =r
y ( )321 ,, wwww =r serán linealmente independientes si su rango es 3 , es decir, si: 0
333
222
111
≠wvu
wvu
wvu
.
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Ejercicio 3: Sean los vectores ( )0,1,01 =vr
, ( )1,1,22 −=vr
y ( )1,3,23 −=vr
:
a) ¿Son los vectores 1vr
, 2vr
y 3vr
linealmente dependientes?
b) ¿Para qué valores de a el vector ( )2,3,4 −+a puede expresarse como combinación lineal de los vectores 1vr
, 2vr
y 3vr
?
1.3 Vector de posición.
El vector de posición de un punto P es el que nace en el origen de coordenadas
( )0,0,0O y tiene su extremo en el punto P . Las coordenadas del vector de posición
coinciden con las del punto P .
Ejemplo: El vector de posición del punto ( )4,3,2−P es ( )4,3,2−=OP .
1.4 Coordenadas de un vector definido por dos puntos.
El vector definido por dos puntos ( )111 ,, zyxA y ( )222 ,, zyxB es el que se obtiene al restar al vector de
posición del extremo OB el vector de posición del origen OA.
OAOBAB −= Sus coordenadas son ( )121212 ,, zzyyxxAB −−−=
Ejemplo: Dados los puntos ( )1,4,3A y ( )3,5,2−B , calcula analítica y gráficamente el
vector AB .
( ) ( )2,1,513,45,32 −=−−−−=AB
Ejercicio 4: Dados los puntos ( )1,0,0A , ( )1,0,1 −B , ( )2,1,0 −C y ( )0,2,1D ;
demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios (no están en el mismo plano).
Ejercicio 5: Dados los puntos ( )2,1,3−A y ( )1,2,1−B , calcula analítica y gráficamente los vectores AB y BA
¿Qué relación hay entre los dos vectores? 1.5 Centros de gravedad. a) Punto medio de un segmento. El punto medio de un segmento se calcula haciendo la semisuma de las coordenadas de los extremos; es decir, dado
el segmento de extremos ( )111 ,, zyxA y ( )222 ,, zyxB , el punto medio es:
+++2
,2
,2
212121 zzyyxxM .
b) Baricentro de un triángulo.
Dado el triángulo de vértices ( )111 ,, zyxA , ( )222 ,, zyxB , ( )333 ,, zyxC , el baricentro es el centro de
gravedad del triángulo y se calcula sumando las coordenadas de los vértices y dividiendo entre 3 . Se representa
por G .
++++++3
,3
,3
321321321 zzzyyyxxxG
c) Centro de gravedad de un tetraedro. Las coordenadas del centro de gravedad de un tetraedro vienen dadas por la fórmula siguiente:
+++++++++4
,4
,4
432143214321 zzzzyyyyxxxxG
2. OPERACIONES CON VECTORES. 2.1 Operaciones básicas con vectores.
2.1.1Suma y resta de vectores. Para sumar y restar analíticamente vectores, se suman o se restan sus coordenadas. Para sumar geométricamente vectores, se traslada uno sobre el extremo del otro, y la suma es el vector que tiene como origen, el origen del primero, y como extremo, el extremo del segundo. Para restar geométricamente dos vectores, se le suma al primero el opuesto del segundo.
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Ejemplos:
a) ( )4,3,2−=ur
y ( )1,4,5−=vr
⇒ ( )5,1,3−=+ vurr
b) ( )5,3,2=ur
y ( )1,4,3−=vr
⇒ ( )4,1,5−=− vurr
2.1.2 Producto de un número por un vector.
Para multiplicar analíticamente un número por un vector, se multiplica el número por las coordenadas del vector. Para multiplicar geométricamente un número por un vector, se lleva el vector sobre sí mismo tantas veces como indique el número.
Ejemplo:
( )4,3,2=vr
( )8,6,42 =vr
Ejercicio 6: Si ( )1,2,1 −A y ( )9,6,3B , halla las coordenadas del punto C sabiendo que CACB 3−= .
2.1.3 Determinación de puntos en el espacio.
Para determinar puntos en el espacio, se aplican las operaciones con vectores a los vectores de posición. Ejemplo:
Las coordenadas de tres vértices consecutivos de un paralelogramo son
( )5,1,3−A , ( )4,2,5−−B
y ( )3,4,3−C . Halla el
vértice D .
El vector BCOAOD +=
Como ( )1,6,2 −=BC entonces
( ) ( ) ( )4,5,51,6,25,1,3 =−+−=OD
2.2 Operaciones que permiten medir en el espacio (longitudes, áreas, volúmenes y ángulos).
2.2.1 Producto escalar. El producto escalar de dos vectores es el número que se obtiene al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo
que forman. αcos⋅⋅=⋅ vuvurrrr
Propiedades:
a) El producto escalar de un vector por sí mismo es un número real positivo o cero. 0≥⋅vvrr
b) uvvurrrr ⋅=⋅
c) ( ) ( ) ( )vkuvukvukrrrrrr ⋅=⋅=⋅ ℜ∈k
d) ( ) wuvuwvurrrrrrr ⋅+⋅=+⋅
Consecuencias que se derivan:
y mismo sentido: vuvuvurrrrrr ⋅=⋅⋅=⋅ 0cos
� Si dos vectores tienen la misma dirección
y distinto sentido: vuvuvurrrrrr ⋅−=⋅⋅=⋅ 180cos
� Dos vectores no nulos son perpendiculares (u ortogonales) si y sólo si su producto escalar es cero.
vurr ⊥ ⇔ 0=⋅vu
rr siendo 0≠u
r y 0≠v
r
� Desigualdad de Cauchy-Schwarz: vuvurrrr ⋅≤⋅
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Aplicaciones del producto escalar:
Módulo de un vector: Sea vr
un vector no nulo cualquiera del espacio. Si efectuamos el producto escalar de ur
por
sí mismo, obtenemos: 22
10cos vvvvvvrrrrrr =⋅=⋅⋅=⋅ ; entonces: vvv
rrr ⋅+=
Un vector unitario tiene de módulo uno. Para hallar un vector unitario en la dirección del vector ( )321 ,, vvvv =r ,
se dividen sus coordenadas por el módulo de vr
:
=
v
v
v
v
v
vu rrrr 321 ,, .
Ángulo que forman dos vectores: vu
vuvu rr
rrrr
⋅⋅=
∧,cos
Para cada valor de a , tal que 11 ≤≤− a , existen dos ángulos cuyo coseno vale a :
a=αcos y ( ) a=−αº360cos . Consideraremos que el ángulo entre los dos
vectores es el menor de estos.
Expresión analítica del producto escalar (en una base ortonormal):
El producto escalar de dos vectores ( )321 ,, uuuu =r y ( )321 ,, vvvv =r es la suma del producto de sus
coordenadas: 332211 vuvuvuvu ⋅++⋅=⋅ rr
Interpretación geométrica del producto escalar:
Dados dos vectores ur
y vr
, no nulos, la proyección de vr
sobre ur
, voyu
rr Pr , es el cateto, que
sigue la dirección de ur
, del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es vr
.
Análogamente, uoyv
rr Pr ,
proyección de ur
sobre vr
:
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él:
⋅=⋅ uvurrr
voyu
rr Pr ⋅=⋅ vvu
rrruoyv
rr Pr
Ejercicio 7: Halla el producto escalar de los vectores ( )2,3,5−=ur
y ( )4,1,2=vr
.
Ejercicio 8: Calcula el ángulo que forman los vectores ( )2,3,1−=ur
y ( )5,1,4=vr
.
Ejercicio 9: Calcula el valor de k para que el vector ( )ku ,4,7=r sea perpendicular al vector ( )6,1,2−−=vr
.
Ejercicio 10: Sea el vector ( )5,2,3−=vr
.
a) Calcula su módulo b) Halla un vector unitario en la dirección de vr
c) Halla otro vector unitario en la dirección de vr
.
Ejercicio 11: Se sabe que un vector del espacio es kzjivrrrr +−= 124 . Determina los valores posibles de la coordenada
z sabiendo que 13=vr
.
Ejercicio 12: Calcula un vector unitario ortogonal al vector ( )1,0,2 −=vr
.
2.2.2 Producto vectorial.
El producto vectorial de dos vectores, ur
y vr
,es otro
vector que se representa por vurr
x y que tiene las
siguientes características: Módulo: es el producto de los módulos por el seno
del ángulo que forman: αsenvuvu ⋅⋅= rrrr x .
[α es el menor ángulo entre los vectores]
Dirección: es perpendicular al plano determinado por los
vectores ur
y vr
.
Sentido: avanza en el sentido de avance de un tornillo que
rota de ur
hacia vr
.
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Expresión analítica (en una base ortonormal):
El producto vectorial de dos vectores ( )321 ,, uuuu =r y ( )321 ,, vvvv =r se obtiene desarrollando el siguiente
determinante por los adjuntos de la primera columna:
kvu
vuj
vu
vui
vu
vu
vuk
vuj
vui
vurrr
r
r
r
rr
22
11
33
11
33
22
33
22
11
x +−==
por tanto,
−=
22
11
33
11
33
22 ,, x vu
vu
vu
vu
vu
vuvurr
En la práctica, el desarrollo del determinante se hace mentalmente, y se escriben directamente las componentes del vector.
Ejercicio 13: Calcula el producto vectorial de los vectores: a) ( )2,1,3−=ur
y ( )5,2,4=vr
.
b) ( )0,1,1−=ur
y ( )1,1,1=vr
. c) ( )1,0,1=ur
y ( )0,1,1−=vr
.
Ejercicio 14: Halla un vector perpendicular a los vectores siguientes: ( )0,1,2−=ur
y ( )2,1,5 −=vr
Propiedades del producto vectorial:
a) 0 x rrr =uu para cualquier vector u
r.
b) ur
es paralelo a vr
⇔ 0 x rrr =vu
c) uvvurrrr
x x −=
d) ( ) ( ) ( )vkuvukvukrrrrrr
x x x == ℜ∈k
e) ( ) wuvuwvuvrrrrrr
x x x +=+
Ejercicio 15: Sean dos vectores ar
y br
perpendiculares. Si 3=ar
y 4=br
, calcula ( ) ( ) x babarrrr −+ .
Interpretación geométrica del producto vectorial:
Área del paralelogramo: El área del paralelogramo definido por dos vectores es el módulo del producto vectorial.
Área del paralelogramo ACABABCD x =
Área del triángulo: El área del triángulo formado por dos vectores es un medio del módulo de su producto vectorial.
Área del triángulo ACAB x 2
1=
Ejercicio 15: Calcula el área del triángulo ABCtal que: ( )1,2,1A , ( )0,1,1−B y ( )1,1,2C
2.2.3 Producto mixto.
El producto mixto de tres vectores, ur
, vr
y wr
, es el número que se obtiene al realizar el producto escalar del
primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Se representa por [ ]wvurrr
, , y es:
[ ] ( )wvuwvurrrrrr
x , , ⋅=
Expresión analítica (en una base ortonormal):
El producto mixto de tres vectores ( )321 ,, uuuu =r , ( )321 ,, vvvv =r y ( )321 ,, wwww =r viene dado por el
valor del siguiente determinante: [ ]333
222
111
, ,
wvu
wvu
wvu
wvu =rrr
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Ejercicio 16: Calcula el producto mixto de los vectores:
a) ( )3,2,1 −=ur
, ( )1,1,4=vr
y ( )6,2,5−=wr
b) ( )1,0,1 −=ur
, ( )0,1,2−=vr
y ( )2,1,1−=wr
Propiedades: Como [ ] ( )wvuwvurrrrrr
, , det , , = , todas las propiedades del producto mixto se deducen de las
propiedades de los determinantes.
a) [ ]wvurrr
, , = [ ]uwvrrr
, , = [ ]vuwrrr
, , = [ ]uvwrrr
, ,− = [ ]wuvrrr
, ,− = [ ]vwurrr
, ,−
b) [ ] 0 , , =wvurrr
⇔ ur
, vr
, wr
son linealmente dependientes o coplanarios.
c) [ ] xyzwvux =rrrz ,y , [ ]wvu
rrr , ,
Interpretación geométrica del producto mixto: Volumen del paralelepípedo:
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores AB , AC y AD ,
es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.
Volumen del paralelepípedo [ ] , , ADACAB=
Volumen del tetraedro: El volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del
paralelepípedo V [ ] , , 6
1ADACAB= , ya que un paralelepípedo se descompone
en 6 tetraedros con idéntico volumen.
Ejercicio 17: Halla el volumen
del tetraedro definido por los puntos: ( )2,0,1 −A ,
( )5,1,3B , ( )0,3,4−C y ( )3,2,6−−D .
Ejercicio 18: Dados los vectores ( )1,1,2 −=ur
,
( )1,5,3−=vr
y ( )2,,4 kw =r, calcula el valor de
k para que el volumen del paralelepípedo definido por
dichos vectores sea igual a 26unidades cúbicas.
Ejercicio 19: El volumen de un tetraedro es de 5unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los
siguientes puntos: ( )1,1,2 −A , ( )1,0,3B y ( )3,1,2−C ; halla las coordenadas del vértice D sabiendo que está
en el eje Y .
3. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO.
3.1 Punto y vector: Conocido un punto ( )321 ,, aaaA y un vector director ( )321 ,, vvvv =r
(Un vector director de una recta es cualquier vector que está en la recta o es paralelo a ella)
ECUACIÓN DE LA RECTA EJEMPLO ( )4,2,5−A ( )1,4,3−=vr
Ecuación vectorial
vtaxrrr += con ∈t IR
( ) ( ) ( )321321 ,,,,,, vvvtaaazyx +=
( ) ( ) ( )1,4,34,2,5,, −+−= tzyx
con ∈t IR
Ecuaciones paramétricas
+=∈+=
+=
33
22
11
con ;
tvaz
ttvay
tvax
IR
+=∈+−=
−=
tz
tty
tx
4
con ;42
35
IR
Ecuación continua
3
3
2
2
1
1
v
az
v
ay
v
ax −=−=− 4
4
2
3
5 −=+=−−
zyx
Ecuaciones implícitas
′=′+′+′=++
DzCyBxA
DCzByAx
=+=+
173
14 34
zx
yx
Es importante reconocer con facilidad los ejes cartesianos. En forma implícita, son las intersecciones entre x=0, y=0, z=0.
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3.2 Conocidos dos puntos ( )321 ,, aaaA y ( )321 ,, bbbB
“Dos puntos distintos de IR3 determinan una recta y sólo una que los contiene”
Se toma uno de los puntos A o B , y, como vector director, el vector
AB .
Para pasar de una ecuación a otra hay que hallar un punto y un vector director. Si nos dan las ecuaciones implícitas, se resuelve el sistema y se hallan dos soluciones particulares. Es muy importante tener soltura para pasar de una ecuación a otra. IMPORTANTE: Un punto está en una recta si y sólo si verifica su ecuación.
Ejercicio 20: Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( )0,1,1−A y un vector director es
( )2,1,1−=vr
.
Ejercicio 21: Halla la ecuación de la recta, de todas las formas posibles, que pasa por los puntos ( )1,4,3 −A y
( )5,2,1−B .
Ejercicio 22: Escribe la ecuación continua de la siguiente recta:
=−−=+−
52
4
zyx
zyx
Ejercicio 23: Se consideran las rectas:
=−+=−
0
3 :
zyx
yxr y
=−=−
72
4 :
yx
zxs Halla la ecuación continua de la
recta que contiene al punto ( )2,1,2−P y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las
dos rectas anteriores.
Ejercicio 24: En el espacio se da la recta definida por los dos puntos ( )3,2,1 y ( )2,6,1− . Halla el valor del
parámetro k para que el punto ( )kkk 3,2, pertenezca a dicha recta.
4. ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO.
4.1 Punto y dos vectores: Conocido un punto ( )321 ,, aaaA y dos vectores directores ( )321 ,, uuuu =r y
( )321 ,, vvvv =r
(Dos vectores directores de un plano son dos vectores paralelos al plano e independientes entre sí)
ECUACIÓN DEL PLANO EJEMPLO ( )2,4,3−A , ( )1,2,1 −=u
r y
( )5,3,4=vr
Ecuación vectorial
∈++= ,con µλµλ vuaxrrrr
IR
( ) ( ) ( ) ( 21321321 ,,,,,,, vvuuuaaazyx µλ ++=
( ) ( ) ( ) ( 3,41,2,12,4,3,, µλ +−+−=zyx
Ecuaciones paramétricas
++=∈++=
++=
333
222
111
, ;
vuaz
vuay
vuax
µλµλµλ
µλ IR
+−=∈++−=
++=
µλµλµλ
µλ
5 2
, ;324
4 3
z
y
x
IR
Ecuación general o implícita
0=+++ DCzByAx 0655913 =−−− zyx
4.2 Conocidos tres puntos no alineados ( )321 ,, aaaA , ( )321 ,, bbbB y ( )321 ,, cccC
“Tres puntos no alineados de IR3 determinan un plano y sólo uno que los contiene”
Se toman un punto A , B o C y dos vectores directores AB
y AC . Los planos cartesianos son x=0, y=0, z=0.
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4.3 Punto y vector normal: Conocido un punto ( )321 ,, aaaA y un vector normal al
plano ( )CBAn ,,=r (Un vector normal a un plano es un vector perpendicular a dicho
plano). Realizando el producto vectorial de los vectores directores obtenemos un vector normal al plano.
Se toma el punto A y se eligen dos vectores perpendiculares al vector normal e independientes entre sí, de esta forma, esos vectores serán vectores directores del plano.
Ejercicio 25:
a) Calcula un vector normal al plano de ecuación:
+−=∈++−=
++=
µλµλµλ
µλ
5 2
, ;324
4 3
z
y
x
IR
b) Calcula un vector normal al plano de ecuación: 4352 =+− zyx
c) Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto ( )5,3,2−A y un vector normal es
( )4,1,6 −−=nr
.
Ejercicio 26: Halla el plano que pasa por los puntos ( )1,2,1A , ( )5,0,2B y ( )6,1,3−C .
Ejercicio 27: Comprueba si el punto ( )2,1,3 −A está en el plano 423 =−− zyx .
Ejercicio 28: Halla las ecuaciones paramétricas del plano cuya ecuación general es 03=−−+ zyx .
Ejercicio 29: Halla la ecuación general del plano paralelo a las rectas: zyxr =+= 1 : y
−==
+=
1
2
32
:
z
y
tx
s y que
pase por el origen de coordenadas. 5. POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO. 5.1 Posición relativa de dos rectas en el espacio. Conocido un punto y un vector director de cada una de las rectas:
:r
Sea ( )321 ,, aaaA un punto de esta recta
Sea ( )321 ,, uuuu =r un vector director
:s
Sea ( )321 ,, bbbB un punto de esta recta
Sea ( )321 ,, vvvv =r un vector director
para estudiar la posición relativa de las dos rectas r y s , se estudia la dependencia lineal de los vectores:
( )332211 ,, abababAB −−−= , ( )321 ,, uuuu =r y ( )321 ,, vvvv =r
que es lo mismo que estudiar el rango de la matriz:
−−−=
321
321
332211
vvv
uuu
ababab
M
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Pueden darse los siguientes casos:
El rango de M es 1 El rango de M es 2. Pueden darse dos casos: El rango de M es 3
Las coordenadas de los tres vectores son proporcionales.
Las coordenadas de los vectores directores son proporcionales.
1 Rango321
321 =
vvv
uuu
Las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales.
2 Rango321
321 =
vvv
uuu
Los tres vectores son independientes y, por lo tanto, las rectas no están en el mismo plano.
Las dos rectas son coincidentes.
Las rectas son paralelas (las dos rectas no tienen puntos comunes pero están contenidas en el mismo plano).
Las rectas son secantes (las dos rectas se cortan en un solo punto).
Las rectas se cruzan (las dos rectas no tienen puntos comunes, ni están contenidas en el mismo plano).
Ejercicio 30: Estudia la posición relativa de las rectas:
a) 2
2
3
32 :
−=−−=− zy
xr 3
1
5
5
2
5 :
−−=
−+=− zyx
s
b) ( ) ( ) ( )2,1,10,1,1,, : tzyxr +−= 2
1
1
1
1
1 :
−=−−=− zyx
s
c)
=+−+=+−+
0132
02 :
zyx
zyxr
=++=+−+−
0
0222 :
zyx
zyxs
Ejercicio 31: Considera las rectas 2
543 :
−=−=− zyxr y
21
4
2
5 :
mzyxs
−=−−=
−−
donde ∈m IR .
Estudia, según los valores del parámetro m , las posiciones relativas de las dos rectas.
5.2 Posición relativa de una recta y un plano en el espacio. Supuesto conocido los siguientes datos de la recta r y del plano π :
:r
Sea ( )321 ,, aaaA un punto de esta recta
Sea ( )321 ,, vvvv =r un vector director
=++ : DCzByAxπ
Sea ( )CBAn ,,=r un vector normal
para estudiar la posición relativa de la recta y el plano, se calcula el producto escalar nvrr ⋅ .
Pueden darse los siguientes casos:
0=⋅ nvrr
⇒ nvrr ⊥ ; se pueden dar dos casos: 0≠⋅ nv
rr
Si el punto π∈A Si el punto π∉A vr
no es perpendicular a nr
La recta está contenida en el plano. La recta es paralela al plano. La recta y el plano son secantes.
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Ejercicio 32: Halla la posición relativa de estas rectas y planos. Si se cortan, averigua el punto de corte.
a) 4
12
2
1 :
−−=+=− z
yx
r 1132 : =−+ zyxπ
b)
=+−=++012
022 :
zx
yxr 03 : =+−+ zyxπ
Ejercicio 33: Halla el valor de a para el que la recta
=−+=+−
252
12 :
zyx
zyxr y el plano 01 : =++− zyaxπ
sean paralelos. 5.3 Posición relativa de dos planos en el espacio.
Dados los planos 0 : =+++ DCzByAxπ y 0 : =′+′+′+′′ DzCyBxAπ pueden darse
tres casos:
D
D
C
C
B
B
A
A′
=′
=′
=′
D
D
C
C
B
B
A
A′
≠′
=′
=′
B
B
A
A′
≠′
o
C
C
A
A′
≠′
Los planos son coincidentes Los planos son paralelos
Los planos son secantes. Se cortan en una recta. Las
ecuaciones implícitas de una
recta representan la
intersección de dos planos.
Ejercicio 34: Estudia la posición relativa de los planos 35 : =++ zyxπ y 132 : =+−′ zyxπ .
Ejercicio 35: Se considera el plano 42 : =++ azayxπ y la recta
=−+=++
32
22 :
zyx
zyxr
a) Determina los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos.
b) Para 2=a , calcula la recta que pasa por ( )1,0,1 −P , es paralela al plano π y se apoya en la recta r .
5.4 Posición relativa de tres planos en el espacio. Para determinar la posición relativa de tres planos en el espacio estudiamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos.
DCzByAx =++ :π
DzCyBxA ′=′+′+′′ :π →
DzCyBxA ′′=′′+′′+′′′′ :π
′′′
′′′′′′′′′=
D
D
D
CBA
CBA
CBA
M *
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11
Rango M =3 Rango *M =3 S.C.D.
Los tres planos se cortan en un punto.
Ninguno de los planos es paralelo a otro. Los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.
→
Rango
*M =3 S.I.
Dos planos son paralelos y el otro los corta.
Los tres planos no son coincidentes y se cortan en una recta. Pertenecen a un haz de planos.
Rango M =2
Rango *M =2 S.C.I.
Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.
Los tres planos son paralelos y distintos dos a dos. Pertenecen a un haz de planos.
Rango
*M =2 S.I.
Dos planos son coincidentes y el otro es paralelo a ellos y distinto.
Rango M =1
Rango *M =1 S.C.I. Los tres planos son coincidentes.
Ejercicio 36: Determina la posición relativa de los planos:
02 : =+−+ zyxπ
05222 : =+−+′ zyxπ
0 : =++−′′ zyxπ
Ejercicio 37: Determina el valor de k para que los planos 32 : −=−+ zyxπ , 106 : −=−+′ zkyxπ ,
132 : =+−′′ zyxπ , se corten en una recta.
Ejercicio 38: Estudia si existe algún punto que pertenezca a la vez a los tres planos siguientes. Calcula los puntos en
común (si existe). 0 : =+− zyxπ yz 2 : =′π
−+=++=
+=′′
µλµλ
λπ
22
1
1
:
z
y
x
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12
6. HAZ DE PLANOS. 6.1 Haz de planos paralelos.
Si nos dan un plano de ecuación general 0=+++ DCzByAx los
planos paralelos al mismo son de la forma: 0=+++ kCzByAx ,
ℜ∈k ya que todos ellos tienen el mismo vector normal ( )CBAn ,,=r .
Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado. El haz de planos queda determinado por un plano cualquiera del mismo.
Su ecuación es: 0=+++ kCzByAx , ∈k IR.
Ejercicio 39: Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( )1,1,1A y es paralelo al plano
0553 =−+− zyx .
6.2 Haz de planos secantes. Si dos planos dados por sus ecuaciones se cortan en una recta r y un tercer plano pasa por esa misma recta, entonces las soluciones comunes de los dos primeros planos lo son también del tercero, luego éste es combinación lineal de ellos y se puede escribir que:
( ) ( +′+′+′++++=′′+′′+′′+′′ zCyBxAsDCzByAxtDzCyBxA(para 0=s se obtiene el primer plano y para 0=t , el segundo)
Análogamente, la ecuación de cualquier plano que pase por la recta intersección tiene las mismas soluciones.
Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del haz. El haz queda determinado por dos planos distintos del mismo. Su ecuación es:
( ) ( ) 0=′+′+′+′++++ DzCyBxAsDCzByAxt , ∈st , IR.
Dividiendo la ecuación entre t obtenemos otra expresión de la ecuación:
( ) ( ) 0=′+′+′+′++++ DzCyBxAkDCzByAx siendo t
sk = .
Ejercicio 40: Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene la recta determinada por los planos
=−−=−++
02 :
0 1 :
yx
zyx
βα
Ejercicio 41: Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( )3,0,2P y por la recta dada por la ecuación
3
23
2
1 −=+=− zy
x.
Ejercicio 42: Calcula el plano que contiene a la recta
=+−+=−+−
043
012 :
zyx
zyxr y es paralelo a la recta
43
1
2
1-x : −=+= z
ys .
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13
E C U A C I O N E S P A R T I C U L A R E S Q U E S E D E B E N C O N O C E R
Eje X Eje Y Eje Z
E J E S
D E
C O O R D E N A D A S
Punto ( )0,0,0O ( )0,0,0O ( )0,0,0O
Vector director
( )0,0,1=ir
( )0,1,0=jr
( )1,0,0=kr
Ecuaciones de los ejes de coordenadas
Vectorial ( ) ( )0,0,1,, tzyx = ( ) ( )0,1,0,, tzyx = ( ) ( )1,0,0,, tzyx =
Paramétricas
=∈=
=
0
;0
z
ty
tx
IR
=∈=
=
0
;
0
z
tty
x
IR
=∈=
=
tz
ty
x
;0
0
IR
Implícita
==
0
0
z
y
==
0
0
z
x
==
0
0
y
x
Paralela al eje X Paralela al eje Y Paralela al eje Z R E C T A S P A R A L E
L A S
A L O S
E J E S D E
C O O R D E N A D A S
Punto ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA
Vector director
( )0,0,1=ir
( )0,1,0=jr
( )1,0,0=kr
Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes de coordenadas
Vectorial ( ) ( ) ( 0,1,,,, 321 taaazyx +=
( ) ( ) ( 1,0,,,, 321 taaazyx +=
( ) ( ) ( 0,0,,,, 321 taaazyx +=
Paramétricas
=∈=
+=
3
2
1
;
az
tay
tax
IR
=∈+=
=
3
2
1
;
az
ttay
ax
IR
+=∈=
=
taz
tay
ax
3
2
1
; IR
Implícita
==
3
2
az
ay
==
3
1
az
ax
==
2
1
ay
ax
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Plano XY Plano XZ Plano YZ
P L A N O S
C O O R D E N A D O S
Punto ( )0,0,0O ( )0,0,0O ( )0,0,0O
Vectores directores
( ) ( )0,1,0 ;0,0,1 == jirr
( ) ( )1,0,0 ;0,0,1 == kirr
( ) ( )1,0,0 ;0,1,0 == kjrr
Ecuaciones de los planos coordenados
Vectorial ( ) ( ) ( 0,1,00,0,1,, µλ +=zyx
( ) ( ) ( ,0,00,0,1,, µλ +=zyx
( ) ( ) ( ,0,00,1,0,, µλ +=zyx
Paramétricas
=∈=
=
0
, ;
z
y
x
µλµλ
IR
=∈=
=
µµλ
λ
z
y
x
, ;0 IR
=∈=
=
µµλλ
z
y
x
, ;
0
IR
Implícita 0=z 0=y 0=x
Paralelo al plano XY Paralelo al plano XZ Paralelo al plano YZ P L A N O S
P A R A L E L O S
A L O S
P L A N O S C O O R D E N A D O S
Punto ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA
Vectores directores
( ) ( )0,1,0 ;0,0,1 == jirr
( ) ( )1,0,0 ;0,0,1 == kirr
( ) ( )1,0,0 ;0,1,0 == kjrr
Ecuaciones de planos paralelos a los planos coordenados
Vectorial ( ) ( )
( ) ( )0,1,00,0,1
,,,, 321
µλ +++= aaazyx
( ) ( )
( ) ( )1,0,00,0,1
,,,, 321
µλ +++= aaazyx
( ) ( )
( ) ( )1,0,00,1,0
,,,, 321
µλ +++= aaazyx
Paramétricas
=∈+=
+=
3
2
1
, ;
az
ay
ax
µλµλ
IR
+=∈=
+=
µµλ
λ
3
2
1
, ;
az
ay
ax
IR
+=∈+=
=
µµλλ
3
2
1
, ;
az
ay
ax
IR
Implícita 3az = 2ay = 1ax =
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15
7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO.
La distancia entre dos puntos ( )321 ,, aaaA y ( )321 ,, bbbB es el módulo del vector
( )332211 ,, abababAB −−−=
( ) ( ) ( ) ( )233
222
211, abababABBAd −+−+−==
8. DISTANCIA A UNA RECTA EN EL ESPACIO. 8.1 Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto P a una recta r es la longitud del segmento
perpendicular PP ′ a la recta r tal que rP ∈′ .
Cál
culo
de
su e
xpre
sió
n
Sea ( )321 ,, pppP y
3
3
2
2
1
1
v
az
v
ay
v
axr
−=−=−≡ y calculemos ( )rPd ,
Área del paralelogramo = base · altura Área del paralelogramo =
vAPr
x
Base = vr
Altura = ( )rPd ,
vAPr
x = vr
· ( )rPd ,
⇓
( )rPd , =v
vAPr
r x
8.2 Distancia entre dos rectas.
Si las dos rectas son coincidentes
( ) 0, =srd
Si las dos rectas son paralelas
Se halla un punto P en la 1ª recta y se calcula: ( ) ( )sPdsrd ,, =
Si las dos rectas se cortan
( ) 0, =srd
Si las dos rectas se cruzan La distancia entre dos rectas r y s
que se cruzan es la menor de las distancias que hay entre dos puntos, uno de cada recta. La recta que pasa por estos puntos es perpendicular a ambas rectas r y s .
Volumen del área paralelepípedo
= base
· altura
Volumen paralelepípedo = [ ] ,, vuABrr
Área de la base = vurr
x
Altura = ( )srd ,
( )srd , =
[ ]vu
vuABrr
rr
x
,,
Ejercicio 43: Halla ( )rPd , siendo ( )5,3,2−P y 32
6
4
1 zyxr =
−+=−≡
Ejercicio 44: Halla la distancia del punto ( )2,3,1−P a la recta
=+=−32123: zx
yxr
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16
Ejercicio 45: Halla el punto de la recta 2
111 −=−=−≡ zyxr tal que equidista de los puntos ( )1,0,1A y
( )0,2,1B .
Ejercicio 46: Halla la distancia entre las rectas
=+=−32123: zx
yxr y 43
1
2: −=+= z
yxs
Ejercicio 47: Halla el punto de la recta
+=∈−=
=≡
λλλ
λ
21 ; 3
zyx
r IR cuya distancia al punto ( )2,0,1P es 5 .
Ejercicio 48: Dada la recta
=−−=+≡ 012
0yx
zyr y la recta 312
+−=−=≡ zyx
s calcula la distancia entre
las dos rectas. 9. DISTANCIA A UN PLANO EN EL ESPACIO. 9.1 Distancia de un punto a un plano.
La distancia del punto ( )321 ,, pppP al plano
0: =+++ DCzByAxπ es la longitud del segmento perpendicular
PP ′ al plano π , tal que π∈′P . Viene dada por:
( )222
321,CBA
DCpBpApPd
++
+++=π
9.2 Distancia de una recta a un plano.
Si la recta está contenida en el plano
Si la recta es paralela al plano Si la recta corta al plano
( ) 0, =πrd ( ) ( )ππ ,, Pdrd = ( ) 0, =πrd
9.3Distancia entre dos planos.
Si los dos planos son coincidentes Si los dos planos son paralelos Si los dos planos se cortan
( ) 0, =′ππd ( ) ( )πππ ′=′ ,, Pdd ( ) 0, =′ππd
Ejercicio 49: Halla la distancia que hay desde el punto ( )3,1,4−P al plano 07532 =−+−≡ zyxπ
Ejercicio 50: Calcula la distancia que hay entre la recta zyx
r −=−+=−≡4
5
3
2 y el plano
091076 =+−+≡ zyxπ
Ejercicio 51: Calcula la altura trazada desde el vértice D del tetraedro determinado por los puntos ( )0,0,2A ;
( )2,3,1−B ; ( )1,4,1 −−C y ( )0,0,0D .
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17
9.4 Plano bisector. El plano bisector de dos planos es el plano que divide el ángulo diedro formado por los dos planos en dos diedros iguales. Tiene la propiedad de que sus puntos equidistan de los dos planos dados. Existen dos planos bisectores y ambos son perpendiculares. Se calculan con la
fórmula =++
+++222
321
CBA
DCpBpAp222
321
'''
''''
CBA
DpCpBpA
++
+++
Ejercicio 52: Calcula el plano bisector de los planos 522 =−+≡ zyxπ y 0348 =−+−≡′ zyxπ
10. ÁNGULOS EN EL ESPACIO. 10.1 Ángulo formado por dos rectas.
sr ≡ sr r y s se cortan r y s se cruzan
Ángulo = º0 Ángulo = º0 vu
vurr
rr
⋅⋅
=α cos
el ángulo menor que forman
vu
vurr
rr
⋅⋅
=α cos
s′ es una recta paralela a s
que se corta con r
10.2 Ángulo formado por una recta y un plano.
π⊂r π r r corta a π
Ángulo = º0 Ángulo = º0
nv
nvsen rr
rr
⋅⋅
=α
β es el menor ángulo formado por vr
y
nr
r ′ es la proyección de la recta r sobre el plano π
α es el complementario a β
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18
10.3 Ángulo formado por dos planos.
ππ ′≡ ππ ′ π y π ′ se cortan
Ángulo = º0 Ángulo = º0 nn
nn
′⋅′⋅
= rr
rr
α cos
α es el menor ángulo formado por dos rectas secantes y
perpendiculares, respectivamente, a cada uno de los planos.
Ejercicio 53: Halla el ángulo que forman las rectas
−=−=
+=≡
3
52
zty
txr y z
yxs −=
−+=−≡7
1
3
4
Ejercicio 54: Halla el ángulo que forman la recta 3
1
1
1
2
4
−+=
−+=−≡ zyx
r y 0753 =++−≡ zyxπ
Ejercicio 55: Halla el ángulo que se forma entre los planos 022 =+−+≡ zyxπ y
=+−=++=
≡′33
23
zyx
µλµλ
π
Ejercicio 56: Dadas las rectas
−==+−≡ 1
02z
yxr y
=−−=≡ 05
2zy
xs determina su posición relativa y en
caso de cortarse, determina el ángulo que forman. 11. PERPENDICULARIDAD EN EL ESPACIO.
Rectas perpendiculares
[ sr ⊥ ≡ el ángulo que forman es
de º90 ]
Recta y plano perpendiculares
[ π⊥r ≡ el ángulo que forman es de
º90 ]
Planos perpendiculares
[ ππ ′⊥ ≡ el ángulo que forman es
de º90 ]
El producto escalar de sus vectores directores es cero.
La recta es paralela al vector normal al plano.
El producto escalar de los vectores normales es cero.
Ejercicio 57: Halla el valor de k para que las rectas 2
1
4
3
5
2
−−=+=−≡ zyx
r y
−−=∈+=
+−=≡
tztkty
txs
2 ; 5
23 IR ,
sean perpendiculares.
Ejercicio 58: Justifica por qué la recta zyx
r =−+=+1
4
2
1: y el plano 07224: =++− zyxπ son
perpendiculares.
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19
11.1 Recta que CORTA PERPENDICULARMENTE a otras dos. Se llama perpendicular común de dos rectas cruzadas a la recta que corta perpendicularmente a cada una de ellas. Procedimiento:
1º. Se hallan los vectores directores ur
y vr
de las rectas r y s .
2º. El vector director de la recta perpendicular será vunrrr
x = .
3º. La ecuación de la recta se da como intersección de dos planos:
El plano π que contiene a la recta r y a nr
.
El plano π ′ que contiene a la recta s y a nr
.
Ejercicio 59: Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas
1
131
−+=−=−≡ z
yxr y 2
4
4
42
−=−=−≡ zyxs
12. PROYECCIONES ORTOGONALES.
Proyección ortogonal de un
punto P sobre una recta r
Proyección ortogonal de un punto
P sobre un plano π
Proyección ortogonal de una recta r sobre un plano π
Es otro punto Q que pertenece
a la recta y tal que el vector PQ
es perpendicular al vector director de la recta.
Es un punto Q que pertenece al
plano y tal que el vector PQ es
perpendicular a los vectores directores del plano.
Es una recta sque está contenida en
el plano y tal que el plano π ′ que
contiene a las dos rectas es perpendicular al plano π .
Nota: También se puede calcular esco-giendo dos puntos de la recta, calculando su pro-yección ortogonal sobre
el plano y, posteriormente, hallando la recta que pasa por las proyecciones.
Ejercicio 60: Determina la proyección ortogonal de ( )0,0,0P sobre la recta 1
32
1:
−=−=− z
yx
r .
Ejercicio 61: Determina la proyección ortogonal de ( )0,0,0P sobre el plano 0232: =−+− zyxπ .
Ejercicio 62: Determina la proyección ortogonal de la recta 1
32
1:
−=−=− z
yx
r sobre el plano
0232: =−+− zyxπ .
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20
13. PUNTOS SIMÉTRICOS.
13.1 Simetría respecto de un punto. El simétrico del punto P respecto del punto M es el punto P′ tal
que M es el punto medio del segmento PP ′ . 13.2 Simetría respecto de una recta. El simétrico del punto
P respecto de la recta r es el punto P′ tal que la recta sque pasa por P y P′ es
perpendicular a la recta r , y el punto de intersección de las rectas r y s es el
punto medio del segmento PP ′ .
Para hallar el punto P′ se sigue el siguiente procedimiento: 1º. Se halla el plano π perpendicular a la recta r que pase por el
punto P .
2º. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano π .
3º. Se aplica que el punto M es el punto medio del segmento
PP ′ . 13.3 Simetría respecto de un plano.
El simétrico del punto P respecto del plano π es el punto P′ tal que la recta
r que pasa por P y P′ es perpendicular al plano π y el punto de intersección
de las rectas r y el plano π es el punto medio del segmento PP ′ .
Para hallar el punto P′ se sigue el siguiente procedimiento: 1º. Se halla la recta r perpendicular al plano π que pase por el
punto P .
2º. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano π .
3º. Se aplica que el punto M es el punto medio del segmento
PP ′ .
Ejercicio 63: Halla el punto simétrico P′ del punto ( )5,3,2 −−P respecto del punto ( )1,1,3 −M .
Ejercicio 64: Halla el punto P′ simétrico del punto ( )5,3,2 −−P respecto de la recta
32
2
5
8 −=+=−≡ zyx
r
Ejercicio 65: Halla el punto P′ simétrico del punto ( )4,4,3−P respecto del plano 09232 =−+−≡ zyxπ
Dados dos puntos, P y P′ , existe una recta r respecto de la cual son
simétricos. Esa recta pasa por el punto medio del segmento PP ′ y es
perpendicular a PP ′ . Hay infinitas rectas respecto de las cuales dos puntos
fijados son simétricos. Dados dos puntos, P y P′ , existe un único plano π
respecto del cual son simétricos. Ese plano contiene al punto medio del
segmento PP ′ y es perpendicular a PP ′ .
Ejercicio 66: Si los puntos ( )5,0,1P y ( )3,2,3 −′P son simétricos, halla una recta y el plano respecto de los
cuales dichos puntos son simétricos.
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21
EJERCICIOS SELECTIVIDAD 2015 Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Ejercicio 7
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22
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
2014 Ejercicio 13
Ejercicio 14
Ejercicio 15
Apuntes de Geometría Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra
23
Ejercicio 16
Ejercicio 17
Ejercicio 18
Ejercicio 19
Ejercicio 20
Ejercicio 21
Ejercicio 22
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24
Ejercicio 23
Ejercicio 24
2016 Ejercicio 25
Ejercicio 26
Ejercicio 27
Ejercicio 28
Ejercicio 29
Apuntes de Geometría Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra
25
Ejercicio 30
Ejercicio 31
Ejercicio 32
Ejercicio 33
Ejercicio 34
Ejercicio 35
Ejercicio 36
Apuntes de Geometría Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra
26
2013 Ejercicio 37
Ejercicio 38
Ejercicio 39
Ejercicio 40
Ejercicio 41
Ejercicio 42
Ejercicio 43