apuntes de física para ingreso a medicina una py

I n s t i t u t o G r i g o r y P e r e l m a n

E l i g i o A y a l a 8 4 4 c a s i T a c u a r y

4 4 1 ‐ 3 2 0 C e l u l a r ( 0 9 7 1 ) 3 2 9 0 6 1

e m i l i o r t i z 1

h o t m a i l . c o m

0 8 / 0 5 / 2 0 1 0

Prof. Master Emilio Ortiz Trepowski Tomados del libro de Frank J. Blatt con solución de ejercicios del libro y de exámenes anteriores.

También del libro de Bonjorno.

Apuntes de Física con Ejercicios Resueltos Ingreso a Medicina UNA

Instituto Grigory Perelman. Prof. Master Emilio Ortiz Trepowski. Teléfono 441.320. [email protected].

2

Introducción

La física es una de las ciencias más básicas. Trata del comportamiento y la estructura de la

materia. El campo de la física está usualmente dividido en las áreas de movimiento, fluidos,

calor, sonido, luz, electricidad y magnetismo, y los tópicos modernos de relatividad, estructura

atómica, física de la materia condensada, física nuclear, partículas elementales, y astrofísica.

Comenzaremos con el movimiento (o mecánica, como es usualmente llamada).

Unidades, Dimensiones, Vectores y Otros Preliminares

Unidades, estándares, y el SI sistema

Algunas longitudes típicas o distancias (orden de magnitud)

Longitud (o distancia) Metros (aproximado)

Neutrón o protón (radio) 1510− m

Átomo 1010− m

Viruses 710− m

Hoja de papel (finura) 410− m

Ancho de un dedo 210− m

Largo de un campo de fútbol 210 m

Altura del Monte Everest 410 m

Diámetro de la tierra 710 m

De la tierra a la luna 1110 m

La estrella más cercana 1610 m

La galaxia más cercana 2210 m

La galaxia más lejana visible 2610 m


3

Algunos intervalos de tiempo típicos

Intervalo de tiempo Segundos (aproximado)

Vida de una partícula muy inestable 2310− s

Vida de elementos radioactivos 2210− s a 2810 s

Vida de un muon 610− s

Tiempo entre latidos cardíacos humano 010 ( 1= s)

Un día 510 s

Un año 73 10× s

La vida de un ser humano en tiempo 92 10× s

Longitud de la historia grabada 1110 s

Humanos sobre la tierra 1410 s

Vida sobre la tierra 1710 s

Edad del universo 1810 s

Algunas masas

Objeto Kilogramos (aproximadamente)

Electrón 3010− kg

Protón, neutrón 2710− kg

DNA molécula 1710− kg

Bacteria 1510− kg

Mosquito 510− kg


4

Plum 110− kg

Persona 210 kg

Barco 810 kg

Tierra 246 10× kg

Sol 302 10× kg

Galaxia 4110 kg

Prefijos del (SI) métrico

Prefijo Abreviatura Valor

exa E 1810

peta P 1510

tera T 1210

giga G 910

mega M 610

kilo k 310

hecto h 210

deka da 110

deci d 110−

centi c 210−

mili m 310−

micro μ 610−

nano n 910−


5

pico p 1210−

femto f 1510−

atto a 1810−

Unidades

En el sistema internacional de medidas , o unidades SI, el metro, el kilogramo, y el segundo son las unidades fundamentales de la longitud, masa, y tiempo, respectivamente.

Ejemplo 1.1.

Un auto se desplaza a una velocidad de 50 millas por hora (mph). ¿Cuál es la velocidad del auto en kilómetros por hora y en metros por segundo?

Solución. La conversión entre millas y kilómetros es 1 milla 1,61 km= . Denotando la

velocidad del auto por v , tenemos que

50 millas 1,61 km km80,5 1 hora 1 milla hora

v ⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Observe que las unidades, millas, se cancelan en la conversión.

Para convertir a metros por segundo, observamos que hay una hora por cada 60 minutos y un minuto cada 60 segundos, y que hay 1.000 metros por kilómetro. Así

km 80,5 km 1 h 1 min 1.000 m m80,5 22.4h 1 h 60 min 60 s 1 km s

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Ejemplo 1.2.

¿Cuál es el factor de conversión entre pies cúbico y litros?

Solución.

Un litro (L ) está definido como 1.000 3cm . Para obtener la respuesta, debemos por lo tanto primero determinar el número de centímetros cúbicos contenidos en un pies cúbico. Dado que

1 ft 30,48 cm= , se deduce que


6

( ) ( )3 3 31 ft 30,48 cm 28.320 cm 28,32 L= = =

Una de las características atractivas y convenientes del SI es que es un sistema decimal. Los kilómetros, microgramos, nanosegundos, megawatts, son todos derivados desde las unidades básicas mediante la multiplicación por potencias enteras de diez.

Unidades Fundamentales

Las fuerzas, velocidades, presiones, energías – ciertamente todas las propiedades mecánicas‐ pueden ser expresadas en términos de tres cantidades básicas: masa, longitud, y tiempo. En el SI las unidades correspondientes son

Kilogramo para la masa, metro para la longitud, y segundo para el tiempo.

Tabla 1.2. Prefijos y sus símbolos usados para designar los múltiplos decimales y submúltiplos

Factor Prefijo Símbolo

1810 exa E

1510 peta P

1210 tera T

910 giga G

610 mega M

310 kilo k

210 hecto h

110 deca da

110− deci d

210− centi c

310− mili m

610− micro μ

910− nano n


7

1210− pico p

1510− femto f

1810− atto a

Unidades Derivadas y Análisis Dimensional

Las cantidades que son importantes para los científicos no están limitadas a la masa, la longitud, y el tiempo. A menudo describimos el comportamiento de los objetos en términos de sus velocidades; necesitamos identificar las fuerzas que actúan sobre los cuerpos; prestamos atención a las energías consumidas por los implementos y nos da curiosidad la potencia de un motor; la presión atmosférica es un indicador útil de las condiciones del tiempo. Todas estas aparentemente propiedades dispares, medidas en las unidades de metros por segundo (velocidad), newton (fuerza), joule (energía) , watt (potencia) y pascal (presión), son últimamente expresadas como productos de potencias de masa, longitud y tiempo. Estas unidades por lo tanto son conocidas como unidades derivadas, para distinguirlas de las unidades más fundamentales.

La especificación numérica de una cantidad particular, una distancia o velocidad, por ejemplo, depende del sistema de unidades que empleamos. Por ejemplo, como se demostró en el Ejemplo 1.1. , un auto que viaja a 50 mph, 80,5 km por hora, y 22,4 m por s son todas las mismas velocidades. Pero notemos que la combinación de unidades usadas para caracterizar la velocidad es la misma siempre, llámese, el ratio longitud/tiempo. El tipo de unidad involucrada es llamada dimensión de la variable y no depende del sistema de unidades que es usado.

Siempre usaremos corchetes, [ ] , para indicar la dimensión de una variable. La dimensión de

velocidad es [ ][ ]LL

, la de distancia es [ ]L . La dimensión de volumen es [ ]3L . Así cuando

decimos que un auto obtiene 30 millas por galón, la dimensión de esta variable es

[ ][ ]

[ ] 23

LL

L−= .

Las ecuaciones que relacionan varias cantidades físicas deben ser dimensionalmente homogéneas. Por esto nosotros significamos lo siguiente. Si una ecuación establece

A B C= +

los términos , ,A B C deben todos tener la misma dimensión.


8

Ejemplo 1.3.

En un momento dado, que nosotros identificamos como el tiempo 0,t = un auto está en

50 m al este de un punto inicial y se está moviendo hacia el este a una velocidad constante de

m10s. ¿Qué tan lejos está desde su punto inicial en t 4s= ?

Solución.

Hagamos que la distancia desde el punto inicial sea designada por .d Sabemos que cuando

0 , 50 ;t s d m= = llamamos a esa distancia 0.d También sabemos que en la medida que el

tiempo progresa, d se incrementa en la medida que el auto se mueve más al este a una velocidad constante. La distancia adicional que el auto viaja depende de su velocidad y del

tiempo que transcurre. Así esperamos que d esté dada por una ecuación de la forma:

0d d X= +

Donde X es alguna combinación algebraica de velocidad y tiempo que debe tener la dimensión de longitud que satisface la condición de homogeneidad condicional.

Dado que la dimensión de velocidad es [ ][ ]LL

y que la del tiempo es [ ]T , la única combinación

de velocidad, ,v y tiempo, t , que tendrá la dimensión de longitud es el producto .vt Por lo

tanto,

0d d Avt= +

debe ser la expresión correcta. Aquí A es una constante numérica sin dimensión. El análisis dimensional no nos puede decir cuanto será el valor de esta constante. En este caso, si las

unidades para 0, ,d d v y t son consistentes, por ejemplo, metros, metros por segundos, y

segundos, la constante A=1. Sin embargo, si d y 0d están en metros, v , en millas por hora, y t

en segundos, la constante A es 0,444, el factor de conversión de millas por hora a metros por segundo.

( )( )50 10 / 4 90 .d m m s s m= + =

Escalares y Vectores

Definiremos algunas relaciones trigonométricas que nos serán de utilidad:


9

sin ac

θ =

cos bc

θ =

tan ab

θ =

donde a,b, y c, se refieren a las longitudes de los lados y la hipotenusa del triángulo rectángulo de la Figura 1.3.

En la física, muchas variables, entre ellas, la masa, volumen, energía, temperatura, y el tiempo, pueden ser completamente descritas por un número único. Les llamamos a estas propiedades escalares.

Un vector es un objeto matemático usado para caracterizar propiedades que tienen asociadas magnitud y dirección. Ejemplos de cantidades vectoriales son los desplazamientos (un objeto es 5 m al este, del origen de coordenadas), la fuerza (estiramos o empujamos un objeto con una fuerza dada en una particular dirección), y velocidad (un auto viaja a 30 km/s al este). Representamos a un vector con una flecha. Los vectores son útiles para caracterizar a cantidades físicas como el desplazamiento, la fuerza, velocidad, aceleración y momentum.

Usamos letras cargadas ( )A,a para designar vectores y letras sin cargar ( ),A a para designar

sus magnitudes, que son escalares.

Definición. El producto de un vector A y un escalar b es un vector cuya magnitud es bA y

cuya dirección es la de .A

Adición y sustracción de Vectores

Supongamos que usted camina 8 pasos al este, para y luego se dirige al norte y camina otros 6

pasos. A pesar de que usted viajo a una distancia total de 14 pasos, su desplazamiento desde el punto de origen es menor que eso, y no es propiamente al este ni al norte. Aplicando el teorema de Pitágoras, determinamos la magnitud del desplazamiento

2 28 6 100 10d pasos= + = =

Para determinar la dirección del desplazamiento podemos usar una de las funciones trigonométricas.

1 6tan 378

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


10

Definición. Si A y B son dos vectores, el vector = +C A B es obtenido ubicando al vector

B de manera que su origen coincida con el fin del vector A . El vector C es entonces obtenido

dibujando un vector desde el origen de A al término de .B

Esto se puede extender a tres vectores.

Ejemplo 1.4

Una chica camina 300 m al este. Luego ella camina en una línea recta pero en una dirección diferente. Al final de su caminata ella está exactamente a 200 m al nor‐este de su punto inicial. ¿Qué tan lejos ella se fue luego de que cambió de dirección y en que dirección ella camino en la segunda vuelta de su viaje?

Sabemos que

=R A + B

Por lo tanto,

( )= − = + −B R A R A

Usando esta construcción geométrica, una regla, y un protractor, encontramos que B=210 m a

48 a nor‐oeste.

Adición de Vectores Usando Componentes Ortogonales

Cualquier vector puede ser visto como la suma de dos o más vectores. En la Figura 1.1.

Cinemática

Entender el movimiento es entender la naturaleza, Leonardo Da Vinci.

La mecánica es el estudio del movimiento de los cuerpos, está convenientemente dividido en dos partes, cinemática y dinámica. Cinemática es puramente descriptiva y está restringida a responder a la pregunta: dadas ciertas condiciones iniciales y la aceleración de un objeto en

0t = y en todos los tiempos subsiguientes, cuál es su posición y su velocidad como funciones del tiempo? La cinemática no requiere responder a las preguntas de porqué los cuerpos se aceleran; sólo describe sus comportamientos. La dinámica está preocupada por la causalidad, con cuales son las causas del movimiento de los objetos.

Movimiento rectilíneo


11

Los fenómenos naturales tienen lugar en espacios tridimensionales. Sin embargo, antes de abordar los problemas más complejos de dos y tres dimensiones, nos focalizamos en el más simple de los casos, el movimiento sobre una línea recta. El análisis de este movimiento, en particular, el comportamiento de los cuerpos que caen libremente, en uno de los primeros problemas que ocuparon la atención de los filósofos naturales. Necesitamos conocer el significado de posición, velocidad y aceleración.

En una dimensión, localizamos un cuerpo especificando su posición coordenada, la cual es la distancia de un origen de coordenadas arbitrariamente elegido. La unidad de la dimensión longitud puede ser el metro (m), el centímetro (m), el pie (f) o cualquier unidad conveniente. La variable coordenada es usualmente designada por x .

Velocidad

Si un objeto se mueva a lo largo del eje de coordenadas, decimos que se está transladando. Cuando el objeto se mueve, su posición coordenada cambia como el tiempo progresa. Si en el

tiempo 1t t= su posición coordenada es 1x , su posición coordenada en el tiempo posterior

2t t= , tendrá un nuevo valor, 2x . Su velocidad media, v , durante el intervalo de tiempo

2 1t t tΔ = − es

2 1

2 1

x x xvt t t− Δ

= =− Δ

donde 2 1x x xΔ = −

es su desplazamiento durante el intervalo de tiempo tΔ .

Definición. La velocidad media de un cuerpo es su desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo durante el cual este desplazamiento ocurrió.

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por tΔ , tenemos que

x v tΔ = Δ

Ó sea

2 1x x vt= +

Por lo tanto, si conocemos la velocidad media, podemos encontrar el desplazamiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo dado; si conocemos su posición inicial, podemos determinar su posición final.


12

En la física nosotros hacemos una clara distinción entre velocidad y rapidez (speed). Como mencionamos antes, la velocidad es una cantidad vectorial; asociamos tanto dirección como magnitud con la velocidad. En el caso restringido uni‐dimensional, la velocidad puede tener valor positivo o negativo, indicando el translado en la dirección positiva o negativa a lo largo del eje coordenado. Reservamos el término rapidez para el valor absoluto de la velocidad. Así

un objeto puede tener una velocidad en la dirección x 40 /m s+ ó 40 /m s− . En cualquier caso su rapidez es 40m/s.

De estas definiciones sigue que las dimensiones de velocidad y rapidez son [ ][ ]LT

.

Ejemplo 2.1

Un tren está viajando al este a una velocidad de 120 km/h. ¿Qué tan lejos va el tren en 6 segundos?

120 km/h=120 1 1000 33.3 /

1 3600 1km h m m sh s km

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

En 6s, el tren cubre una distancia de

( )( )33.3 / 6 200x v t m s s mΔ = Δ = =

Ejemplo 2.2

En el tiempo 12t s= un auto se encuentra en 50 .x m= En 15t s= el auto se encuentra en

5 .x m= ¿Cuál es la velocidad media y su rapidez media?

5 50 15 /15 12m mv m s

s s−

= = −−

El signo negativo nos dice que el auto se está moviendo en la dirección negativa. Su rapidez es 15 m/s.

Podemos ver, en principio, como determinar la velocidad instantánea. Reducimos el intervalo de tiempo entre sucesivas observaciones de posición hasta que es infinitesimalmente

pequeño, y a pesar de que xΔ también se aproxima a cero en la medida que hacemos esto, el

ratio xt

ΔΔ

permanece finito.

En términos matemáticos formales expresamos esto como


13

0limt

xvtΔ →

Δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

Si y sólo si la velocidad es constante, podemos usar las expresiones citadas con referencia al desplazamiento en un intervalo de tiempo dado. Esta condición de velocidad constante se

llama movimiento uniforme. Para el movimiento uniforme, la velocidad instantánea

y promedio son iguales.

Aceleración

En la mayoría de las situaciones de interés, los objetos no mantienen movimiento uniforme pero sufren cambios en velocidad; esto es, ellos son acelerados.

La definición de aceleración es análoga a la de velocidad.

Definición

La aceleración media durante el intervalo de tiempo tΔ está dado por

2 1

2 1

v v vat t t− Δ

= =− Δ

Donde 1v y 2v son velocidades instantáneas en los tiempos 1t y 2t .

Multiplicando ambos miembros por tΔ y obtenemos

2 1

v a t

v v a t

Δ = Δ

= + Δ

Obtenemos la aceleración instantánea por el mismo proceso límite como antes:

0limt

vatΔ →

Δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

Cinemática en dos y tres dimensiones

Denotemos por 1s y 2s los vectores de posición de una partícula en tiempo 1t y

Problema 1 Bonjorno.

Un joven recorre los lados de un terreno rectangular de dimensiones 40 m y 80 m.


14

a) ¿Cuál es la distancia recorrida por el joven en dos vueltas completas?

b) ¿Cuál es la distancia recorrida y el desplazamiento en el recorrido ABC?

Solución.

a) Una vuelta: 40 80 40 80 240m m m m m+ + + =

Dos vueltas completas 480 m.

b) Distancia recorrida es 80m+40m=120 m

Desplazamiento es 2 2 2

2 2

80 40

80 40 89,44 40 5

d

d m m

= +

= + = =


Una persona sale del punto A y camina pasando por los puntos B,C y D, donde se detiene. En base a la figura, calcule el desplazamiento y el camino recorrido por la persona en los trechos:

a) AB

b) ABCD

Solución.

a) Desplazamiento=camino recorrido

2 2 2

2 2

30 40

30 40 2500 50

d

d m

= +

= + = =

b) Camino recorrido

50 40 50 140m m m m+ + =

Desplazamiento

100 m


Considere un automóvil que recorre una pista circular de 80 m de radio. Determine el desplazamiento y el espacio recorrido por el automóvil durante:


15

a) un cuarto de vuelta.

b) Media vuelta.

c) Una vuelta.

Solución.

a) Camino recorrido=2 80 40

4m mπ π=

Desplazamiento= 2 280 80 113,14m+ =


La distancia Tierra‐Sol es aproximadamente de 149000000 km. ¿Cuál es el espacio recorrido en km por la Tierra durante una vuelta en su órbita?

Solución.

Circunferencia= 82 2 149.000.000 9.38 10rπ π= = ⋅


Convierta

a) 90 km/h en m/s

Solución

( ) 1000 190 / 90 / 25 /1 60 60

m hkm h km h m skm s

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

b) 15 m/s en km/h

1 360015 / 15 54 /1000 1

m km sm s km hs m h

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠


¿Cuál es la velocidad en km/h que un avión debe alcanzar para igualar la velocidad de propagación del sonido en el aire, suponiendo que ésta sea 330 m/s?


16

Solución

( )m m 3600s 1km330 330 1188 km / hs s 1h 1000m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠


En el instante 1 2t s= un automóvil pasa por el punto A de una carretera rectilínea y, en el

instante 2 7 ,t s= pasa por el punto B.

Calcule la velocidad escalar media del automóvil en ese trecho.

Solución.

( )2 1

2 1

300m 100m 200m 40 m / s7s 2s 5s

s svt t− −

= = = =− −

Movimiento Circular

Cinemática del movimiento circular

Supongamos que una pequeña y masiva piedra está constreñida a realizar un movimiento en un sendero circular alrededor de un centro fijo en 0 y atada a una vara de longitud r . Figura 6.1. Para especificar el movimiento de la piedra en cualquier momento, podríamos dar sus coordenadas x e .y Sin embargo, una descripción más conveniente y natural está

dada en términos del ángulo θ entre el eje y alguna dirección arbitraria, tal como la línea

OA. Si θ y la longitud de la vara r están dadas, entonces sabremos exactamente donde encontraremos a la piedra.

La razón por la cual las coordenadas polares, r y θ , son preferidas es que en el movimiento circular uno de estos cambia con el tiempo, y lo hace de una manera simple si el movimiento es uniforme. Por contraste, si la piedra atravieza su sendero circular, las coordenadas x e y (ambas) están cambiando; ellas están dadas por:

cossin

x ry r

θθ

==


17

El radio de este sendero circular es medido en la unidad de medida usual de longitud, el metro. Dos medidas son comunes para especificar el ángulo. Una, la más familiar, es el

grado, definido como 1

360 de un círculo completo, o revolución completa. Esto es, en la

medida que la piedra completa un tránsito circular completo, el ángulo θ cambia en

360 .

La otra medida de ángulo es el radian.

Definición. Un radián es el ángulo formado por el arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

Esto es, el ángulo θ , medido en radianes, está dado por el ratio de la longitud de arco al radio

longitud de arcoradio

sr

θ = =


18

Dado que la longitud de un círculo completo de radio r es 2 rπ , la conversión entre radianes y grados está dada por la condición

2 radianes 360360ó 1 radian 57,32

π

π

=

= =

La siguiente tabla puede ser útil para mantener la medida de radianes en perspectiva.

360 2 radianes180 radianes

90 radianes2

60 radianes3

45 radianes4

30 radianes6

π

ππ

π

π

π

=

=

=

=

=

=

Dado que el ángulo θ está definido por el ratio de dos longitudes, la longitud de cuerda y el radio, el ángulo es una variable sin dimensión.

Al igual que con el movimiento lineal, podemos definir una velocidad angular, designada por ω (omega en minúscula). La velocidad angular media está dada por

2 1

2 1t t tθ θ θω − Δ

= =− Δ

(0.1)

donde 1θ y 2θ denotan valores de θ en 1t y 2t , y

0t tθ θ ω= + (0.2)

La velocidad angular instantánea es obtenida por el mismo proceso de encontrar

el límite que usamos para llegar a la velocidad instantánea:

0

limt t

θωΔ →

Δ=

Δ (0.3)

La unidad de la velocidad angular es el radian por segundo. Su dimensión es [ ] 1 .T −


19

La velocidad angular no es generalmente constante, pero hay muchas situaciones importantes en la que es, por ejemplo, un satélite en una órbita circular alrededor de la tierra. Por el otro lado, la velocidad angular de un auto en una autopista circular en la medida que el auto acelera, no es constante.

La aceleración angular expresa el cambio de una velocidad angular con el tiempo. La

aceleración angular media α está expresada por

2 1

2 1t tω ωα −

=−

(0.4)

y la aceleración angular instantánea por

0limt t

ωαΔ →

Δ=

Δ

La unidad de la aceleración angular es el radián por segundo cuadrado. Su dimensión es

[ ] 2 .T −

Si α es constante, obtenemos de estas definiciones

0

0

2

t

t

tω ω αω ωω

= ++

=

Problema de Aplicación

Un cuerpo se mueve en una trayectoria circular en el sentido antihorario. En los instantes

3s y 5s sus posiciones son 30 y 120 , respectivamente. Calcule:

a) el ángulo descrito en ese intervalo de tiempo;

b) la velocidad angular media.

Solución.


20

a) el ángulo descrito en ese intervalo de tiempo está dado por

2 1 120 30 90θ θ θΔ = − = − =

Debemos ahora convertir estos noventa grados en radianes, lo que se hace de la siguiente manera

2 radianes 360 radianes 90

2 90 2 radianes rad360 4 2 2

x

x

π

π π π π

↔

↔

⋅= = = =

b) la velocidad angular media viene dada por la siguiente expresión

2 1

2 1

rad120 30 90 rad25 3 2 2 4t t t s s s s s

πθ θθ πω −Δ −

= = = = = =Δ − −


21

Problema 156

Un móvil realiza un movimiento circular con una velocidad angular media de rad10 .s

Calcule

el ángulo descrito en 5s.

Solución

La velocidad angular media está dada por

rad10s 5

50 rad

t

s

θω

θ

θ

Δ=Δ

Δ=

Δ =

Problema 157

Un cuerpo con movimiento circular tiene una velocidad angular media de rad

2 sπ

. Calcule

en cuánto tiempo él describe un ángulo de 50 rad.π

Solución

rad 50 rad

2 s50 rad

50 rad 2 s1 100srad 1 rad2 s

t

t

t

θω

π π

ππ

π π

Δ=Δ

=Δ

Δ = = ⋅ =

Movimiento circular uniforme (MCU)

Se dice que un móvil realiza un movimiento circular uniforme cuando su trayectoria es circular y el módulo del vector de velocidad permanece constante y es diferente de cero,

1 2 3 0v v v c= = = ≠

Como ejemplo de movimiento circular uniforme se tienen:


22

a) el movimiento de los extremos de las manecillas de un reloj;

b) el movimiento de las hélices de un ventilador.

Frecuencia y periodo

Un movimiento es llamado periódico cuando se repite de modo idéntico, en intervalos iguales de tiempo.

Como ejemplo se tienen los citados en el apartado anterior. Por tanto, el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, pues a cada vuelta completa el móvil está siempre con las mismas características (posición, velocidad, etc.).

Se denomina periodo T al tiempo empleado por el móvil para realizar una vuelta completa.

En una vuelta se tiene:

2t Ts rπ

Δ =Δ =

Luego,

2 2 2 2s r r rv T T Tt T v r

π π π πω ω

Δ= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =Δ

Se denomina frecuencia f del movimiento al número de vueltas efectuadas en la unidad

de tiempo.

Por tanto:

tiempo número de vueltasT 11 fT f 1

1fT

⋅ =

=

La unidad de frecuencia en el Sistema Internacional de Unidades es el inverso del segundo

1s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, también llamada hertz, que se indica por Hz.


23

Se puede también indicar la frecuencia en rotaciones por minuto (rpm) 60rpm=1Hz.

Relación entre velocidad escalar y angular

Se considera un móvil describiendo, en el sentido antihorario, la trayectoria circular de la figura de más abajo.

De la figura se tiene:

Sabemos que sr

θ =

Por lo tanto, en este caso


24

dividiendo ambos lados por t

t

s s rr

s r v rt

θ θ

θ ω

ΔΔ = ⇒ Δ = Δ ⋅

ΔΔ Δ ⋅

= ⇒ =Δ Δ

Siguiendo a Blatt, queda una explicación mucho más sólida. En muchos problemas prácticos, el movimiento circular es de alguna manera relacionado con el movimiento lineal. Por ejemplo, la rotación de las ruedas de la bicicleta resulta en su translado. En este caso, cuánto más rápida es la rotación, más rápida es la translación. Obviamente, hay una relación entre los dos movimientos, ¿pero cuál es esa relación?

La Figura 6.5 muestra un tubo con un punto en su superficie. En la medida que el tubo da una revolución completa, el punto P transita un sendero circular de radio r y se mueve

una distancia que es igual a 2 .rπ La longitud del sendero recorrido por un punto del tubo es sólo la longitud del arco ,s y de la definición del radián, esta longitud está relacionada

con el desplazamiento angular θ por

s θ= (0.5)

Esta relación simple entre la longitud de cuerda y el ángulo sólo se mantiene si el ángulo está medido en radianes. La ecuación (1.5) es la razón por la cual la medida del radián es tan conveniente aquí.

Hemos visto que la distancia tangencial alrededor de un círculo de radio r que corresponde a una rotación de un ángulo de θ radianes está dado por s rθ= . Relacione similares simples conectan la velocidad tangencial de un punto sobre el perímetro de una rueda con su velocidad angular ω . Desde la definición de v y ω , tenemos que

( )0 0 0

lim lim limt t t

rsv r rt t t

θ θ ωΔ → Δ → Δ →

ΔΔ Δ= = = =

Δ Δ Δ

Similarmente, la aceleración tangencial tα está dada por

( )0 0 0

lim lim limt t t t

rv r rt t t

ω ωα αΔ → Δ → Δ →

ΔΔ Δ= = = =

Δ Δ Δ

Estas relaciones simples son válidas sólo si las variables angulares están dadas en radianes.


25

Problema de Ejemplo

Un tambor de radio 0,4 m empieza desde el reposo en la cima de un plano inclinado a rodar hacia abajo sin resbalarze (Figura 6‐8). El tiempo entre su salida y llegada al punto B, 8 m más abajo en el plano, es 10 s. Encuentre la aceleración angular, la velocidad angular en B, y el número de revoluciones que el tambor ha hecho al viajar desde A a B, asumiendo que el tambor procede a una aceleración constante en su camino hacia abajo en el plano.

Solución

Dado que el tiempo transcurrido es 10 s, la velocidad trasnacional promedia es

( ) ( )8 10 0,8 / .v m s m s= = Dado que

10 0 10

2 2v v vv +

= =


26

( )10 2 2 0,8 / 1,6 / .v v m s m s= = =

La aceleración tangencial es por lo tanto

21,6 / 0,16 /10t

v m s m st s

α Δ= = =Δ

y la aceleración angular, dada por ta rα = , es entonces

220,16 / 0, 4 /

0, 4m s rad s

mα = =

Desde la ecuación de relación, la velocidad angular en el punto B es

1010

1,6 / 4 /0,4

v m s rad sr m

ω = = =

Por último,

8 200,4

s m radr m

θ = = =

Número de revoluciones20 3,18

2 /rad rev

rad revπ= =

Problema de Aplicación

Un cuerpo en MCU efectúa 480 vueltas sobre una circunferencia de 0,5 m de radio en 2 min. Determine:

a) la frecuencia;

b) el periodo;

c) la velocidad escalar del cuerpo.

Solución

a)


27

número de vueltas tiempo (s)480 120sf 1120 f 480

480 1f 4 4120s

Hzs

⋅ =

= = =

b) 1 1 1 1 1

44 4f T s

T f Hzs

= ⇒ = = = =

c)

2

2 2 2 4 radian81 s4

8 0,5 4

T

T ss

mv wrs

πωπ π πω ω π

π π

=

= ⇒ = = =

= = =

Problema 158

Un cuerpo efectúa 300 vueltas sobre una circunferencia en 2,5 min.

a) ¿Cuál es el periodo del movimiento?

b) ¿Cuál es la frecuencia, en Hz, del movimiento?

Solución

a) y b) primero hallaremos la frecuencia del movimiento.

número de vueltas tiempo (s)300 150 sf 1

300f= 2150

Hzs=

1 1 0,52

T sf Hz

= = =

Problema 159


28

Una rueda completa 150 giros por minuto.

a) ¿Cuál es la frecuencia, el periodo y la velocidad angular de la rueda?

b) ¿Cuál es la velocidad escalar de un punto situado a 12 cm del eje de la rueda?

Solución

a) La frecuencia

número de vueltas tiempo (s)150 60sf 1

150f= 2,5 .60

Hz Hz=

1 1 0,42,5

T sf

= = =

2 2 rad50,4 s

T π πω πω

= ⇒ = =

b) 5 12 60radv r cm cm ss

ω π π= = =

Problema 160

Un disco gira a 45 rpm. Sabiendo que el diámetro del disco es igual a 16 cm, calcule la velocidad escalar de un punto de su periferia.

Solución

Primero, convertimos los 45 rpm de frecuencia en Hz.

Sabemos que

60 145

45 / 60 0,75 .

rpm Hzrpm xHz

x Hz

==

= =

Por lo tanto, sabemos que:

0,75 .f Hz=


29

También sabemos que

1 1 1,333330,75

T sf Hz

= = =

Sabemos que existe una relación entre T y ω . Esta relación es:

2

21,3333

2 1,51,3333

T

rad s

πω

πω

πω π

=

=

= =

Luego también sabemos que existe una relación entre la velocidad escalar y la velocidad angular que está dada por

1,5 8 12v r cm cm sω π π= = =

Problema 161

Un disco horizontal de radio r=0,30m gira en torno a su eje con una velocidad angular

5rad sω = . Halle la velocidad escalar en un punto de su periferia.

Solución

5 0,30 1,5v r m sω= = ⋅ =

Problema 162

Un satélite artificial de 30kg será lanzado y girará en torno a la Tierra en una órbita de altitud igual a 500 km, con una velocidad lineal de 7,56 km/s. Admitiendo que el diámetro de la Tierra es de 12.000km ¿cuál será el tiempo, en horas, que él empleará para dar una vuelta completa?

Solución

Sabemos que

v rω=


30

3

7,56 6.500

0,001163 1,163 10

km kms

rad s

ω

ω −

=

= = ⋅

2 2 1719,69 5400 1,50,001163

T s s hπ π πω

= = = ≅ ≅

Problema 163

El motor eléctrico de un ventilador efectúa 720 rpm. Sabiendo que 25OB cm= y que

50 ,OA cm= calcule:

a) la velocidad angular de los puntos A y B;

b) la velocidad escalar de los puntos A y B.


31

Solución

a) la velocidad angular de los puntos A y B.

Convertimos los 720 rpm a Hz

1 60720

12

Hz rpmxHz rpmx Hz

==

=

Sabemos que


32

2

1 212

24

T

rad s

πωπω

ω π

=

=

=

Para ambos puntos A y B.

b)

24 50 1200 / 12 /24 25 600 / 6 /

A

B

v r cm s m sv r cm s m s

ω πω π

= = ⋅ = == = ⋅ = =

Problema 164

La velocidad de un automóvil se puede medir fácilmente mediante un dispositivo que registra el número de rotaciones efectuadas por una de sus ruedas, cuando se conoce su diámetro. Considere, por ejemplo, un neumático cuyo diámetro es de 0,50m. Sabiendo que el neumático ejecuta 480 rotaciones en cada minuto, determine la velocidad escalar

del automóvil. Adopte 3,14.π =

Solución

2

1 28

16 /16 0, 25 12,56 / .

T

rad sv m s

πωπω

ω ππ

=

=

== ⋅ =

Problema 165

Una rueda de 60 cm de radio recorre una trayectoria rectilínea con una velocidad de 86,4 km/h, sin deslizarse.

a) ¿Con qué velocidad angular gira esa rueda?

b) ¿Cuál es la frecuencia de esa rueda?

Solución.


33

24 / 0,640 /

1 2

40 20 6, 42

v rm s

rad s

f

f Hz

ωω

ωπω

π π

==

=

=

= = =

Problema 166

La manecilla del minutero de un reloj mide 50 cm.

a) ¿Cuál es la velocidad angular de la manecilla?

b) Calcule la velocidad lineal de la punta de la manecilla.

Solución

a)

2

1..........3600.........1

13600

3600 2

/1800

T

sf

f Hz

rad s

πω

ω ππω

=

=

=

=

b)

50 /1800 36

v cm cm sπ π= =

Problema 167

Una bicicleta parte del reposo y recorre 20 m en 4s con aceleración constante.

a) ¿Cuál es la aceleración de traslación de la bicicleta?


34

b) Sabiendo que las ruedas de la bicicleta tienen 40 cm de radio, ¿con qué frecuencia estarán girando al final de ese recorrido?

Solución.

Dinámica del Movimiento Circular Uniforme (Blatt)

Ahora que tenemos las ecuaciones apropiadas de la cinemática, dedicamos nuestra atención a la dinámica del movimiento circular uniforme. Esto es, queremos encontrar la respuesta a la pregunta: ¿qué fuerza es necesaria para mantener un cuerpo moviéndose alrededor de un punto fijo a velocidad constante? Este es el problema central que ocupó a los astrónomos desde tiempos ancestrales, y su solución fue uno de los logros monumentales de Isaac Newton. Para Aristóteles y la mayoría de sus sucesores esta cuestión no entrañaba ninguna dificultad; ellas la desecharon simplemente afirmando que el círculo es la más perfecta de las figuras geométricas, los senderos circulares son “naturales” para los cuerpos celestes, y no requería ninguna fuerza.

Pero alguna fuerza externa sí es requerida. Sabemos esto, porque la velocidad de un objeto que se mueve en un sendero circular está continuamente cambiando a pesar de que su rapidez puede ser fija (Figura 6.9 a) Un cambio en la velocidad implica una aceleración, y para aceleran un cuerpo debe experimentar una fuerza neta.

Para determinar esa fuerza, primero debemos conocer la aceleración. La Figura 6.9 b) muestra

la diferencia entre dos vectores de velocidad, fv y 0v , de la Figura 6.9 a), determinada por la

construcción geométrica descrita en el capítulo 1. La aceleración media en el intervalo

temporal tΔ durante el cual este cambio en velocidad ocurrió es entonces t

Δ=Δva y debe ser

en la dirección de Δv , esto es, a lo largo de la base del triángulo isósceles cuyos lados son fv

y 0−v . Es evidente por la construcción que Δv es perpendicular a Δs . Por lo tanto, la

aceleración promedio entre 0P y 1P está dirigida hacia el centro del sendero circular.

La fuerza que resulta en este movimiento debe también apuntar hacia el centro. Esta es la dirección apropiada para la fuerza; si damos vuelta a un objeto atado a una cuerda de longitud fija, la cuerda está bajo constante tensión y esta tensión es la fuerza que pone al objeto en movimiento circular. Sabemos de la experiencia cotidiana que el objeto en movimiento estira hacia fuera sobre la mano que mantiene la cuerda. Desde la tercera ley de Newton, sigue que


35

la fuerza que la mano ejerce sobre el objeto via la cuerda debe ser una equivalente fuerza hacia adentro. Llamamos a esta fuerza dirigida hacia adentro que actúa sobre el objeto fuerza centrípeta, y la aceleración dirigida hacia adentro del objeto aceleración centrípeta.

Hasta aquí, bien. ¿Pero que tan grande es la fuerza centrípeta y cómo depende de la velocidad angular y el radio del círculo? La experiencia de cada día da algunas ayudas cualitativas. Si tomamos una cuerpo pesado y lo atamos a un palo y lo damos vuelta arriba de la cabeza, encontraremos que cuanto más grande es la velocidad angular, mayor es la fuerza que estira sobre su mano. También si la longitud del palo es alargada y si se mantiene la velocidad angular, la fuerza que estira sobre sus manos también se incrementa. Así la fuerza centrípeta se incrementa con un radio mayor y una mayor velocidad angular.

Para derivar una expresión para la fuerza centrípeta cF , retornamos a la aceleración

centrípeta, ca . En el tiempo ,tΔ el objeto recorre una distancia igual a la longitud de cuerda

s r r tθ ω= = Δ (ver Figura 6.9a). En este mismo tiempo, el vector de velocidad ha cambiado

de dirección alrededor del mismo ángulo θΔ ; esto es, el ángulo entre 0y fv v en la Figura

6.9 a) es θΔ . Ahora si permitimos que tΔ sea más y más pequeña para obtener la aceleración

instantánea, la longitud de cuerda, vΔ de la Figura 6.9 b) se aproxima más y más a la longitud

de arco .v θΔ Así en el límite tenemos que

0 0lim limc t t

va v vt t

θ ωΔ → Δ →

Δ Δ= = =

Δ Δ

Podemos reescribir este resultado en dos formas convenientes, usando la relación v rω= . Obtenemos que

2

2

c

c

var

a rω

=

=

La fuerza centrípeta es ahora dada por la segunda ley de Newton

22

c cmvF ma mr

rω= = =

Ejemplo de fuerza centrípeta

Dos masas de 1 kg y 0,5 kg son atadas uno a otra por una cuerda sin masa que pasa a través del hoyo de una tabla horizontal sin fricción (Figura 6.10). La masa de 1 Kg está suspendida


36

debajo de la tabla y está en equilibrio cuando la otra masa se mueve en un sendero circular de 20 cm de radio sobre la tabla. ¿Cuál es la velocidad angular de la masa de 0,5 kg alrededor del hoyo sobre la tabla?

Solución. Dado que la masa menor está en equilibrio, su peso, ( )( )21 9,8 / 9,8 ,kg m s N= debe

ser igual a la tensión en la cuerda. Esta es también la fuerza centrípeta que la cuerda ejerce sobre la masa rotativa de 0,5 kg. Por lo tanto,

9,8N=(0,5kg)(0,2m) 2ω

2 2 298rad sω =

Así, 9,9 / 1,58 / .rad s rev sω = =

Aceleración centrípeta

En el movimiento circular uniforme el vector velocidad es constante en módulo pero es variable en dirección

Como existe variación del vector velocidad, existe aceleración.

La aceleración a está dada por la expresión:

2 1v v va

t tΔ −

= =Δ Δ

Si a tiene la misma dirección y el mismo sentido que vΔ , se concluye que la aceleración está dirigida hacia el centro de la circunferencia, siendo llamada aceleración centrípeta o

aceleración normal y se indica .cpa

Se demuestra que el módulo de la aceleración centrípeta está dado por

2

2

cp

cp

var

a rω

=

=

Donde:

a) v es la velocidad escalar

b) r es el radio de la trayectoria


37

La aceleración centrípeta tiene por función variar la dirección del vector velocidad manteniendo el móvil sobre la circunferencia, produciendo el movimiento circular.

En cada posición del móvil el vector cpa es perpendicular al vector v y dirigido hacia el centro de la circunferencia.

Problema de aplicación

La luna gira en torno a la Tierra, completando una revolución en 27,3 días. Suponiendo que su órbita sea circular y tenga un radio de 385000 km, determine la aceleración de la luna en ese movimiento.

Solución.

T=27,3días=2.358720s=2,36 610 s⋅

r= 385000km=3,95 810 m⋅

Como la órbita se supone circular y el movimiento de la luna es uniforme, se tiene que su aceleración centrípeta es

( )( )

22

28

26

2

2

2 3,143,85 10

2,36 10

0,0027 /

cp

cp

cp

a r rT

a

a m s

πω ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅= ⋅ ⋅

⋅

Problema 168

¿Cuál es la aceleración centrípeta de una partícula que recorre una circunferencia de 6m de radio con una velocidad escalar de 30 m/s?

Problema 169

apuntes de física para ingreso a medicina una py

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