apuntes de física nuclear

El núcleo y sus radiaciones

Clase 18

Curso 2011

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Departamento de Física

Fac. Ciencias Exactas - UNLP

1. Una detallada teoría de la ligadura nuclear,

basada en técnicas matemáticas y conceptos

físicos altamente sofisticadas, ha sido

desarrollada por Brueckner y colaboradores

(1954-1961).

2. Existe un modelo más crudo en el cual se

ignoran los aspectos más finos de las fuerzas

nucleares y se enfatiza la fuerte atracción

internuclear. Fue propuesto por Weizsäcker

(1935) sobre la base de una analogía, sugerida por Bohr, de la materia nuclear con una gota

de líquido

El modelo de la gota líquida


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Bave = B/A

En una gran parte de la Tabla

Periódica, la energía de ligadura

por nucleón es aproximadamente

constante.

La densidad de masa de la materia

nuclear es aproximadamente

constante en la mayoría de la tabla

periódica.

Estas dos propiedades de la materia nuclear son muy similares a las propiedades de una gota de líquido, especificamente la

constante energía de ligadura por molécula, aparte del efecto de tensión superficial, y la densidad constante de los líquidos incomprensibles.



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1. Un núcleo esférico consistente de materia incomprensible, tal que R ~ A1/3. 2. La fuerza nuclear es idéntica para cada nucleón y en particular, no depende

de si éste es un protón o un neutrón. Vpn = Vpp= Vnn (V denota el potencial nuclear)

3. La fuerza nuclear satura.

Las suposiciones esenciales del modelo de gota de líquido:



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La energía de ligadura del núcleo.

2c)],([),( ZAMNMZMZAB np (9)

Definición:

El modelo de gota de líquido ̶ Fórmula de Weizsäcker

Carl Friedrich von Weizsäcker, 1993 Un físico alemán (1912-2007).

A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)



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Es el “término de volumen ” que da cuenta de la energía de ligadura de todos los nucleones como si cada uno de ellos estuviera enteramente rodeado por otros nucleones.

AaV

Es el “término de superficie ” el cual corrige el término de volumen de energía por el hecho de que no todos los nucleones están rodeados por otros nucleones sino que se encuentran en la superficie o cerca de ella.

3/2AaS

Los nucleones en la región de la superficie no son atraídos tanto como lo son los que se encuentran en el interior del un núcleo. Un término proporcional al número de nucleones en la región de la superficie debe ser restado al término de volumen.

A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)



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A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)

3/1

2

A

ZaC

Es el “término de Coulomb” el cual da la contribución a la energía del núcleo debido a la energía potencial de la carga nuclear.

Suponiendo una esfera cargada de radio r, como se muestra en la figura (a). El trabajo adicional requerido para adicionar una capa de grosor dr a la esfera, puede ser calculado asumiendo la carga (4/3)πr3ρ de la esfera original esta concentrado en el centro del caparazón [ver figura (b)]. La energía potencial eléctrica del núcleo es por lo tanto

R

eZR

rdrrrV

R

Coulomb

22522

2

0

3

5

3

15

16

1)4(

3

4

3

3

4R

Ze

donde

3/1~ ARy



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A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)

A

ZNaA

2)( Es el “término de asimetría” el cual da cuenta del hecho de que si

todos los otros factores fueran iguales, los núcleos más fuertemente ligados, con un dado A, es el más cercano a tener Z = N.

Los tres términos que fueron discutidos previamente tienen un sentido clásico. Los

siguientes términos, que van a ser discutidos, son mecano cuánticos.

Estos incluyen

(1) El término de asimetría.

(2) El término de paring.

(3) El término de corrección de efecto de capa.



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A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)

El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico.

Diferentes sistemas de energía debido a configuraciones asimétricas.



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1. Si Z = N, entonces ambos pozos están llenos al mismo nivel (el nivel de

Fermi).

2. Si nos movemos un paso hacia arriba afuera de la situación, es decir, en la dirección de N > Z (o Z > N), entonces un protón debe ser cambiado a un neutrón. Todas las otras cosas estando iguales (incluyendo igual masa de protón y neutrón, este estado tiene energía ΔE mayor que el estado inicial, donde ΔE es el nivel de espaciado al nivel Fermi.

3. Un segundo paso en la misma dirección causa que el exceso sea 2ΔE.

4. Un siguiente paso significa mover un protón, hacia arriba, tres rangos mientras cambia de protón a neutrón y el exceso se hace 5ΔE.



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E de unidad 32,.... 25, 18, 13, 8, 5, , 2 1,

16,... 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, ZN

Efecto acumulativo

4. Por lo tanto, para cambiar de N – Z = 0 a N > Z, con A = N + Z permaneciendo constante,requiere una energía de ~ (N – Z)2ΔE/8.

5. Esto es independiente si es tanto N o Z el cual se vuelve más largo y significa que, si todas las otras cosas son iguales, nucleidos con Z = N tienen menos energía y están, por lo tanto, más fuertemente ligados que núcleos con Z ≠ N.

6. Los niveles de energía de una partícula en un pozo de potencial tienen un espaciado inversamente proporcional al volumen del pozo , así ΔE ~ A-1.

Este es el término de asimetría. A

ZNaA

2)(

(11)



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A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)

Es el “término de pairing” el cual da cuenta del hecho de que un par de nucleones iguales esta más fuertemente ligado que un par de nucleones distintos.

1. Para un nucleído impar A (Z par, N impar o Z impar, N par) →δ = 0.

2. Para un A par hay dos clases;

(a). Z impar, N impar (ii) → – δ

(b). Z par, N par (pp) → + δ

MeV 12 ,),(2/1

PP a

A

aAZ (12)



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A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)

Es el término que da cuenta del efecto de capa nuclear cuando Z o N es algún número mágico. Este término es mucho menos importante que otros. Por lo tanto, no esta incluido en la mayoría de las aplicaciones.

Una serie favorable de valores para los coeficientes:

aV = 15.560 MeV aS = 17.230MeV aC = 0.6970 MeV aA = 23.385 MeV aP = 12.000 MeV

(13)



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A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV

2

3/1

23/2 )(

),((10)



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Si hacemos una reorganización de la fórmula de Weizsäcker, se puede escribir así:

22c),( ZZAZAM

3/1

2cA

aaaM S

AVn

ApnA aMMa 4 ≈c)(4 2

3/1

4

A

a

A

aγ

CA+=

Para un número A de masa fijo, esta es la ecuación de parábola con respecto a la variable Z.

Debemos diferenciar la ecuación (14) y encontrar la raiz (Z0, usualmente no es un número entero) de la siguente ecuación (15). Z0 es el número nuclear óptimo de protones para un número A de masa fijo. El sistema nuclear con un número de masa A especificado, es el más estable con número de protón Z0.

(14)

0)c( 2

M

Z(15) 02 0 =+ Zγβ

3/20

)/(4

11

2/

2

Aaa

AZ

AC

(16)

4-4 Parábolas de masa y línea de estabilidad



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De la ecuación (15) los sistemas nucleares más estables con varios números de masa A están determinados por el valor de Z0. Usando la relación A = Z0 + N somos capaces de trazar líneas de estabilidad en el N-Z plot. Esto sigue exactamente la forma empírica de la línea de estabilidad en la figura. De la expresión (16), podemos reconocer que la desviación de la línea de estabilidad desde N = Z o Z = A/2 es causada por la competición entre la energía de Coulomb, que favorece Z0 < A/2, y la energía de asimetría que favorece Z0 = A/2.

3/20

)/(4

11

2/

2

Aaa

AZ

AC

(16)



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22c),( ZZAZAM (14)

Para isobaras A-impar, δ = 0, y la ecuación (14) da una sola parábola, la cual es mostrada en la figura (a) para un caso típico. Veremos más tarde que

M(A,Z) > M(A, Z+1)

la desintegración beta (electrón) tiene lugar desde Z a Z+1

M(A,Z) > M(A, Z-1)

La captura electrónica y tal vez la desintegración positrónica tiene lugar desde Z a Z - 1

Es claro, de la figura (a) que para nucleídos A-impar puede haber solo un isóbaro estable.

(15)



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22c),( ZZAZAM (14)

Para isobaras A-par, dos parábolas son generadas por la ecuación (14), difiriendo en masa por2δ. Un caso típico esta dado en la figura (b). Dependiendo de la curvatura de las parábolas y de la separación 2δ, pueden haber varios isóbaros estables par-par. Figura (b) muestra que para ciertos nucleidos impar-impar ambas condiciones (15) se unen por lo que la desintegración electrónica y positrónica para los nucleídos idénticos es posible y de hecho ocurren.



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Tres tipos de desintegración β-.

eeAZAZ ),1(),( decay

eeAZAZ ),1(),( decay

eAZAZe ),1(),( capture)electron ( EC



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4-5 Las implicaciones de la fórmula semi-empírica de masa.

1. El término de volumen de binding aVA en la fórmula de masa significa que cada nucleón interactúa solo con sus vecinos más cercanos y que la densidad constante es equivalente a que la separación entre los vecinos más cercanos no cambia con A. Todo esto significa saturación de la fuerza nuclear y que ésta es de corto rango.

2. La densidad nuclear de nucleones es aproximadamente 1 cada 7 fermis cúbicos, tal que la separación promedio es de 1.9 fm. Por lo tanto, el rango debe ser 1-2 fm.

1 fermi = 10-15 m


fmRARR 2.103

1

0


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El modelo de gas de Fermi es una aplicación mecano cuántica, cuantitativa, del

modelo de potencial medio discutido previamente. Le permite a uno dar cuenta

semi-cuantitativamente de varios términos en la fórmula de Bethe-Weizsäker. En

este modelo, los nucleídos están considerados como si estuvieran compuestos por

dos gases de fermiones, un gas de neutrones y un gas de protones . Las partículas

no interactúan, pero están confinadas a una esfera que posee las dimensiones del

núcleo. Las interacciones aparecen implícitamente por la suposición de que el

nucleón esta confinado en la esfera.

El modelo de gota de líquido esta basado en la saturación de fuerzas

nucleares y uno relaciona la energía del sistema con sus propiedades geométricas.

El modelo de Fermi está basado en los efectos de estadística cuántica en la energía

de los fermiones confinados. El modelo de Fermi provee un medio para calcular

las constantes aV, aS y aA en la fórmula de Bethe-Weizsäker, directamente de la

densidad ρ de la materia nuclear. El éxito semi-cuantitativo justifica

adicionalmente a esta fórmula.



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El modelo de gas de Fermi.

El modelo de gas de Fermi esta basado en el hecho de que una partícula de

spin ½, confinada en un volumen V, solo puede ocupar un número discreto

de estados. En el intervalo de momento d3p, el número de estados es

3

3

)2()12(

pVdsdN

con s= 1/2. Este número va a ser derivado luego para una caja cúbica, pero

es, en efecto, generalmente verdadero. Corresponde a una densidad en el

espacio de fases de 2 estados por 2πħ3 de volumen en el espacio de fases.

Ahora ponemos N partículas en el volumen. En el estado fundamental , las

partículas llenan los niveles más bajos de “single –particle”, es decir,

aquellos hasta un momento máximo llamado “momento de Fermi” ,pF,

correspondiente a una energía máxima,

mpF

F 2

2

)1(


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El momento de Fermi esta determinado por

32

3

3 F

pp

VpdNN

F

donde n es el número de partículas por unidad de volumen (n = N/V).

La energía (cinética) total ε del sistema es:

F

pp

Nm

p

F

5

3

2

2

En un sistema con A = Z + N nucleones, la densidad de neutrones y protones

es respectivamente n0(N/A) y n0(Z/A), donde n0 ≈ 0,15 fm-3 es la densidad de

nucleones. La energía cinética total es entonces:

)2(

)3(Esto determina la energía de Fermi:

m

n

F 2

)3( 32

22

)4(



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32

02

232

02

2

32

325

3

A

Nn

mN

A

Zn

mZ

NZ

)5(

MeVF 35

cMeVpF 265 133,1 fmpk FF

)6(

)7(

En la aproximación Z ~N ~ A/2, este valor de la densidad nuclear

corresponde a una energía Fermi para protones y neutrones de :

que corresponde a un momento y a un número onda:



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Energías de volumen y superficie

De hecho, el número de estados (1) está ligeramente sobreestimado ya que

corresponde al límite continuo V ∞ en donde la diferencia de energía

entre niveles se anula. Para convencernos, examinamos la estimación al

número de niveles en la caja cúbica de dimensiones lineales a. Las funciones

de onda y niveles de energía son:

a

znsen

a

ynsen

a

xnsen

azyxnnn

321

3

,,

8),,(

321)8(

2

3

2

2

2

12

22

,,2321

nnnma

EE nnn

)9(

con ni > 0, y uno cuenta el número de estados tal que E ≤ E0, E0 fijo, que

corresponde al volumen de un octavo de esfera en el espacio (n1,n2,n3).



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En esta cuenta, no se debería tener en cuenta los tres planos n1=0, n2=0 y

n3=0 para los cuales la función de onda es cero, lo que no corresponde a una

situación física. Cuando el número de estados bajo consideración es muy

grande, como en mecánica estadística, esta corrección es insignificante. Sin

embargo, acá no es insignificante. El exceso correspondiente en (2) puede

ser calculado de una manera análoga a (1), se obtiene

22

2

48

SmSpN FF )10(

Donde S es el área externa del volumen (S= 6a2 para un cubo, S= 4πr0

2 para

una esfera).

La expresión (2), luego de la corrección de este efecto, es

2

2

32

3

43 FF

SpVpN )11(


2

2

)2()12(

pSdsdN


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La energía correspondiente es

2

2

22

3

0

2

85)(

2

FFFF

p pSpVpdN

m

pF

)12(

El primer término es energía de volumen, el segundo término es una

corrección de superficie, o un término de tensión superficial.

Para el primer orden en S/V la energía cinética por partícula es

)13(

...

81

5

3

F

FVp

S

N

En la aproximación Z ~N ~ A/2, la energía cinética es

32

0 AaAaE sc )14(

con

MeVa F 215

30 MeV

pra

F

Fs 1,168

3

5

3

0

)15(



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El segundo término es el coeficiente de superficie en la fórmula de Bethe-

Weizsäcker, en buena concordancia con el valor experimental. La energía

media por partícula es la suma aV = a0 +U de a0 y de una energía potencial

U, la que puede ser determinada experimentalmente por dispersión de

neutrones por núcleos . Experimentos dan U~ -40MeV, esto es

MeVaV 19 )16(

En razonable concordancia el valor experimental.



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La energía de asimetría.

Consideramos ahora el sistema de dos gases de Fermi, con N neutrones y Z

protones adentro de una misma esfera de radio R. La energía total de los

dos gases (5) es

)17(

32

32

22

5

3

A

ZZ

A

NNE F

Donde despreciamos la energía superficial. Expandiendo esta expresión en

potencias del exceso de neutrones Δ = N – Z, obtenemos, para el primer

orden Δ/A,

...)(

35

3 2

A

ZNE F

F

)18(

Esta es precisamente la forma de la energía de asimetría en la fórmula de

Bethe-Weizsäker. Sin embargo, el valor numérico del coeficiente aa ~12

MeV es la mitad del valor empírico. Este defecto viene de hecho de que el

modelo de Fermi es muy simple y no contiene suficientes detalles sobre las

interacciones nucleares.


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