1UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICAAvda. Tupper 2007 Casilla 412-3 - Santiago ChileFono: (56) (2) 678 4210, Fax: (56) (2) 695 3881APUNTES DEELECTROMAGNETISMOLuis Vargas D.Departamento de Ingeniera ElctricaFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de ChileVersin20082INDICECAPITULO 1. ELECTROSTTICA EN EL VACIO........................................................... 41.1 Introduccin................................................................................................................ 41.2 Ley de Coulomb.......................................................................................................... 61.2.1 Descripcin............................................................................................................ 61.2.2 Dimensiones .......................................................................................................... 61.3 Campo Elctrico ......................................................................................................... 81.4 Principio de Superposicin........................................................................................ 91.5 Campo Elctricode Distribuciones Continuas de Carga .................................... 141.5.1 Distribucin Lineal .............................................................................................. 151.5.2 Distribucin superficial de carga......................................................................... 191.5.3 Distribucin Volumtrica de Carga..................................................................... 211.6 Ley de Gauss ............................................................................................................. 261.6.1 Conceptos Matemticos Incluidos....................................................................... 261.6.2 Ley de Gauss ....................................................................................................... 271.7 Potencial Elctrico.................................................................................................... 311.7.1 Trabajo de un Campo Elctrico........................................................................... 311.7.2 Definicin de Potencial Elctrico........................................................................ 331.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo Elctrico.................................................... 361.7.4 Ecuacin de Laplace y Poisson ........................................................................... 381.7.5 Campo Elctrico Conservativo............................................................................ 401.8 Dipolo elctrico ......................................................................................................... 411.8.1 Definicin Dipolo................................................................................................ 411.8.2 Potencial Elctrico de un Dipolo......................................................................... 411.8.3 Dipolo de un Conjunto de Cargas y Distribuciones ............................................ 441.8.4 Potencial a grandes distancias ............................................................................. 461.9 Problemas Resueltos................................................................................................. 481.9 Problemas propuestos .............................................................................................. 71CAPITULO 2. PROPIEDADES DIELCTRICAS DE LA MATERIA............................. 732.1 Introduccin.............................................................................................................. 732.2 Modelo de los Materiales Dielctricos .................................................................... 732.2.1 Materiales No Polares.......................................................................................... 732.2.2 Materiales Polares................................................................................................ 752.2.3 Vector Polarizacin ............................................................................................. 762.3 Potencial Elctrico en la Materia ............................................................................ 762.4 Distribuciones de carga de polarizacin................................................................. 772.5 Generalizacin de la 1 ecuacin de Maxwell......................................................... 8032.6 Constante Dielctrica ............................................................................................... 812.6.1 Polarizacin de medios materiales ...................................................................... 812.6.2 Clasificacin de materiales dielctricos .............................................................. 822.6.3 Ruptura dielctrica............................................................................................... 832.7 Condiciones de borde ............................................................................................... 842.8 Refraccin del campo elctrico................................................................................ 892.9 Consideraciones sobre Simetra .............................................................................. 902.10 Problemas resueltos................................................................................................ 932.11 Problemas Propuestos .......................................................................................... 100CAPITULO 3. CONDUCTORES EN ELECTROSTTICA............................................ 1023.1 Modelo Bsico de Conductores ............................................................................. 1023.2 Propiedades ............................................................................................................. 1023.3 Caso Conductor con Oquedad .............................................................................. 1043.4 Condensadores........................................................................................................ 1093.5 Cargas en medios materiales ................................................................................. 1133.6 Problemas Resueltos............................................................................................... 1153.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 124CAPITULO 4. ENERGA ELECTROSTTICA.............................................................. 1254.2 Energa de un Sistema de Conductores ................................................................ 1264.3 Fuerza Elctrica y Energa .................................................................................... 1274.4 Energa en trminos de Campos ........................................................................... 1294.5 Problemas Resueltos............................................................................................... 1334.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 136ANEXO. Enlaces de inters138INDICE FIGURASINDICE TABLASTABLA 1. CAMPOS EN CONFIGURACIONES MULTIPOLARES. ............................................................................... 47TABLA 2: VALORES DE PERMITIVIDAD DIELCTRICA Y FUERZA DIELCTRICA DE MATERIALES......................... 844CAPITULO 1. ELECTROSTTICA EN EL VACIO1.1 IntroduccinEl fenmeno electromagntico rige un campo vastsimo de nuestra realidad, paradimensionar su alcance consideremos algunos ejemplos:- Parte de la actividad del sistema nervioso, la interaccin neuronaly el mismo ojocon que se leen estas lneas es gobernado por leyes del electromagnetismo.- Fenmenos climticos como la aurora boreal, el rayo y el relmpago se explican enbase a esta teora,- La luz se entiende como ondas electromagnticas.- Las aplicaciones prcticas son muy variadas en el mundo moderno:o Toda la tecnologa electrnica ( TV, PC, celulares, video juegos, etc.) estabasada fuertemente en estos principios,o Aplicaciones mdicas: Rayos X, electrocardiogramas, electroencefalograma,resonancia magntica, etc.o Tarjetas de crdito, cdigos de barra de supermercados, sistemas deposicionamiento geogrfico, etc.Lacomprensinacabadadeestos temas requieredel estudiodelas especialidades deingeniera, sin embargo,en este curso aprenderemos los fundamentos que nos permitirntener un entendimiento bsico de los principios en que se basan las aplicacionestecnolgicas listadas anteriormente.Desde el punto de vista de la descripcin del fenmeno partiremos adoptando las siguientespropiedades bsicas de la carga elctrica:- La carga elctrica es una propiedad fundamental de la materia, como la masa o lacapacidad calrica.- En la naturaleza la carga elctrica se da en dos formas:o Electrn (e) con una masa de 9.1066E-31[kg], la cual se define como carganegativa.o Protn (p) con una masa de 1.67248E-27[kg], la cual se define como cargapositiva.- Ambas partculas poseen carga de igual magnitud pero de signo opuesto.Para entender mejor la interaccin de las cargas conviene dividir el estudio en dos partes.Laprimeraparteconsideraquenohay movimientodecargas, esdecir, laspartculasseencuentran en estado de reposo, mientras que en la segunda se considera la interaccin decargas en movimiento. De esta forma, primero abordaremos situaciones estacionarias(electrosttica y magnetosttica) y luego incorporaremos las variaciones temporales(corrientes y campos variables en el tiempo).La teora que describe matemticamente estos fenmenos fue formulada alrededor de 1865.Mediante el uso de campos escalares y vectoriales se puede resumir toda la teora en cuatroecuaciones, llamadas ecuaciones de Maxwell. Desde aquella fecha hasta nuestros das se ha5producidounenormedesarrollodeaplicacionestecnolgicasenprcticamentetodosloscampos del quehacer humano, pero la teora bsica no ha experimentado mayores cambios.En esta primera parte revisaremos los principios que rigen a la carga elctrica en estado dereposo, ms conocida como Electrosttica.61.2 Ley de Coulomb1.2.1 DescripcinEs unaleyexperimental, quefuedescubierta en1785por el coronel francs CharlesAugustin de Coulomb. El coronel encontr que la magnitud de la fuerza experimentada poruna partcula con carga q1 en presencia de otra partcula con carga q2 tiene la forma:1 / 222 12 / 1] [q q q qF NRq kqF = =(1.1)Recordemos que 1N=1 Kgm/seg2.q1q2Rrq1q2RrFigura 1. Fuerza de CoulombO sea:i) Es directamente proporcional al productoq1q2,ii) La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia RAdicionalmente, se encontr que:iii) La fuerza tiene la direccin de la lnea que une q1 y q2iv) Si q1 y q2son de igual signo se repelen, en caso contrario se atraen.As, la ecuacin de fuerza queda1 21/ 22 [ ]q qkq qF r NR=(1.2)1.2.2 DimensionesExiste libertad para escoger las unidades de la constante K o de la carga q(pero no ambas).Notar que[kq1q2]=[FR2]=Kgm3/seg2masadistancia3/tiempo2.En el sistema MKS se define la unidad 1 Coulomb (C)1para las cargas y corresponde a lacarga de 61018electrones. As, para un electrn la carga es| | ] [ 10 6 . 1 ] [ 10 6030 . 119 19C C qe ~ =1Ms tarde veremos que esta unidad es til en el caso de las corrientes donde se cumple 1 Ampere = 1 C/seg.7Con esta definicin experimentalmente se encuentra que:| |2 2 3 90/ 10 941seg C m Kg k - - = =c t(1.3)y definiendo la unidad FaradmsegF2] [ = la constante co, llamada permitividad del espaciolibre, corresponde a| | m Fc/ 10 8541 . 841012270 = =tcdonde c es la velocidad de la luz.EJEMPLO 1.Comparar la fuerza de repulsin elctrica con la fuerza gravitacional entre 2 protones.Solucin:q+ q+ D q+ q+ DFigura 2. Mdulo fuerza entre cargas.Fuerza Gravitacional de atraccin:2Dm GmFp pg =(1.4)Fuerza elctrica de repulsin:22pekqFD=(1.5)12222 22ppep g pG mkqFDkq F G mD| | |= = | |\ .(1.6) G~101029 199 38 9 16 26362 10 54 10 1010 279 10 1.6 109 10 10 9 10 10 101010 10 10 1010 1.6 10egFF ( = = = ~ ~ ( As, la fuerza elctrica es 1036veces ms intensa que la fuerza gravitacional, por lo que lasdospartculasdebieransepararse. Apartir deestesimpleejerciciopodemosextrapolaralgunas conclusiones:- La mayora de los objetos en nuestra vida diaria no estn cargados (de otra forma severa ntidamente su efecto),- A nivel molecular la gravedad es despreciable como fuerza.- Entre planetas la fuerza elctrica es despreciable frente a la gravitacional.- Toda carga elctrica es un mltiplo entero de la carga de un protn (igual al electrncon signo opuesto).81.3 Campo ElctricoPara expresar en forma ms rigurosa el concepto de fuerza elctrica se usa el concepto decampo elctrico. Consideremos el arreglo de cargas de la Figura 3.q1q21 / 2 q qFrrq1q21 / 2 q qFrrFigura 3. Fuerza entre cargasLlamemos1 / 2 q qFa la fuerza que siente q2 debido a q1 y escribmosla de la siguiente forma2012 1 / 2| | 4rr qq Fq q ,tc =(1.7)Comorrr= ((

= 3012 1 / 2|| || 4 rr qq Fq q tc(1.7.1)A la expresin3014 rr qEtc= se le denomina campo elctrico producido por la carga q1. Conesto,la fuerza que siente la cargaq2enpresencia de dichocampoesE q q q F 2 1 2 / =.Entrminosmatemticos Ecorrespondeauncampovectorial, esdecir, unafuncinqueasociaunvectoracadapuntodel espacio. Fsicamentecorrespondeaunaperturbacinelctrica en todo el espacio producida por la carga q1.Generalicemosel resultadoanterioral deunacargaqubicadaenlaposicin r',enunsistema de coordenadas de origen O como en la Figura 4.O' r r ' r r r' r' rqO' r r ' r r r' r' rqFigura 4. Campo Elctrico de carga puntual9La expresin del campo elctrico en un punto r,de este sistema es30|| ' || 4) ' (r rr r qE =tc[N/C] (1.7)Las dimensiones son de fuerza sobre carga elctrica2. Eno esta definido en el puntor r ' = !.Notarqueenesteanlisisq1y q2 soncargaspuntuales, esdecir, notienendimensionesespaciales. Un modelo ms preciso de las cargas requiere suponer que existendistribuciones en volumen en donde se reparte la carga. Por ejemplo, esferas de dimetro 2ay 2b respectivamente, segn se muestra en la Figura 5.q1q2' r r, ,a bq1q2' r r, ,a bFigura 5. Modelo de cargas puntualesEl modelo de cargas puntuales implica que se cumple a, b R luego r r z r z ' ~ ' ' + 2 , luegor d rzrdzdERz' '' =}220 0c((

=zRdzdEz32230c((

=2303 zREzc26por la simetra radial, el campo tiene la forma023) (crr Rr E,,=(1.40)Al introducirlacargaenfuncindeladensidadseobtieneel mismocampocalculadoanteriormente024) (c t rr Qr E,,=(1.41)Dado que el clculo directo de los campos se dificulta con la evaluacin de integrales, es desuma utilidad el uso de programas computacionales en aplicaciones prcticas. Adems, enmuchos casos facilita los clculos la Ley (o teorema) de Gauss que veremos a continuacin.1.6 Ley de Gauss1.6.1 Conceptos Matemticos IncluidosAntes de ver la Leyde Gauss conviene repasar los siguientes conceptos de clculovectorial.i) Concepto de Flujo. Consideremos un campo vectorial Adefinido en todo el espacio yuna superficie S cualquiera como se muestra en la Figura 21.Superficie SVector unitario normal a S naAS dna ds s d =,Superficie SVector unitario normal a S naAS dna ds s d =,Figura 21. Concepto de flujoSe define el flujo deAa travs de la superficie S como}}- = +Ss d A,(1.42)Integral de superficie del producto de dos vectores33El smbolo se usar para designar el producto punto de dos vectores.27Notar que + es un campo escalar que depende del sentido en que se escoja el vectorunitariona. Para superficies cerradas}}- = +SS d A Superficiecerrada Sna dS S d =ASuperficiecerrada Sna dS S d =AFigura 22. Flujo en esfera cerrada.ii) Teorema de la divergencia}}} }}- V = -) (s Vdv A S d A (1.43)donde V es el volumen contenido por la superficie cerrada y V es el operadorzkyjxicc+cc+cc= V en coordenadas cartesianas.Si E A = campo elctrico, entonces representa el flujo de campo elctrico. Interesa elcaso de superficies cerradas.}}- = + S d E (1.44)1.6.2 Ley de GaussLa ley de Gauss establece que el flujo de campo elctrico a travs de una superficie cerradaS es igual a la carga total encerrada por dicha superficie (QT) dividida por la constante c0.As:}}= - = +STQs d E0c,(1.45)28Dado que}}}=VTdV Q para una distribucin volumtrica entonces:oVSdvs d Ec}}}}}= -,(1.46)Ahora si aplicamos el teorema de la divergencia}}} }}} }}= - V = -V V SdV dV E S d E c01 dado que esto es vlido volumen V,entonces0c= - V E(1.47)Esta ley provee un mtodo muy fcil para calcular el campo elctrico.Es usual definir el vectorE D, ,0c =comoVectorDesplazamiento(yaveremos queenmedios materiales tiene un significado fsico importante), de modo que la ecuacin anteriorse escribe como = - V D,(1.48) Esta ecuacin es la 1 Ecuacin de Maxwell.EJEMPLO 9.Calcule el campo elctrico en todo el espacio producido por una distribucin homognea decarga dispuesta en una esfera de radio R.zSuperficieS,esferaderadioryxuuRr ds s d =,rzSuperficieS,esferaderadioryxuuRr ds s d =,rFigura 23.Distribucin esfrica homognea de carga.Solucin:Para r > R0cTQS d E = -}} , con t334R QT=29|| ) ( || r Ees constante para r fijo y por simetra ) (r Eapunta en la direccinr encoordenadas esfricas, es decir,r r E r E ) ( ) ( =, luego}} } }- = -= =t t| u u| u u | u u20 022 sin ) ( sin sinr d d r r r E S d Er d d r r d r rd S d | | ) ( 4 cos 2 ) (sin ) ( 2 sin ) ( 22020202r E r r r Ed r r E d r r E

,

t u tu u t u u ttt t= == =} }ReemplazandooRr E rc tt32 34) ( 4 = rrRr Eo3) (23c= Para r < R tenemos:) ( 42r E r s d E ,t = -}}y la carga encerrada por S es} } }=rdv Q020 0t t(1.49)rSuperficieSi x ,j y,k z,rSuperficieSi x ,j y,k z,Figura 24. Flujo superficie esfrica.tt u t u u t | u u tt t t344 ) cos ( 2sin 2 sin3020020 02020 02rdr r dr rdr d r dr d d rr rr r= = == =} }} } } } }

Luego320 04 4 ( ) ( )3 3r rrEr Er rtt c c= = 30Grficamente:|E|r3R r3233rRR|E|r3R r3233rRRFigura 25. Campo de una esfera.As, deacuerdoalaFigura25elcampoesmximoenlasuperficiedelaesfera, desdedonde decae en ambos sentidos.Esteejemplosirveparacomprendermejorel modelodecargaspuntuales. Enefecto, sideseamoscalcularel campoenlascercanasdeunacargapuntual deberecurrirseaunmodelo parecido al desarrollado en este ejemplo, en donde se ve que el campo justo en elcentro de la partcula es cero.Conviene puntualizar algunos aspectos de la Ley de Gauss:i) La ley de Gauss es til cuando hay simetra, o sea cuando se puede sacar la magnituddelcampoelctricoEdelaintegraldesuperficie, esdecir, cuandosepuedeefectuarlamanipulacinii) La ley de Gauss es vlida para todo el espacio.iii) Aplicarla requiere cierta destreza (la que se logra con prctica). Por ejemploconsideremos que tenemos una carga puntual en presencia de una distribucin en volumencomolamostradaenla Figura26. Sedeseacalcularelcampoentodoelespacio. Unasolucin simple consiste en aplicar superposicin.1q1q= + 1q1q1q1q= + Figura 26. Superposicin aplicada.}}}} }}= = StotalS Ss dQE s d E s d E,, ,0c31En este ejemplo no es posible usar directamente la Ley de Gauss en la configuracin inicial(ladoizquierdo)y, porotrolado, laintegracindirectaresultadegrancomplejidad. Sinembargo, al aplicar la superposicin se resuelven separadamente los campos para lasituacin de una carga puntual sola,y luego la de la esfera. El campo total ser la sumadirecta (ojo: se debe usar el mismo sistema de referencia!) de ambos campos.1.7 Potencial ElctricoHemos visto que los campos elctricos son originados por cargas elctricas, ya seapuntuales odistribuidas espacialmente. Introduciremos ahora el conceptode potencialelctrico el cual est asociado al trabajo o la energa de un determinado campo elctrico.Adicionalmente, este concepto de potencial elctrico entrega una manera alternativa, y engeneral ms fcil, para obtener el campo elctrico.1.7.1 Trabajo de un Campo ElctricoSupongamos que deseamos mover una carga puntual q desde un punto (A) a otro (B) enpresencia de un campo elctrico Ecomo se muestra en la Figura 25.AB0-qEl dAB0-qEl dFigura 27. Trabajo de Campo Elctrico.La fuerza que experimenta q debido al campo elctrico es E q F = , de modo que el trabajoque debe realizar un agente externo para mover dicha carga una distancia infinitesimall desl d F dW - = (1.50)El signo negativo indica que el trabajo lo hace un agente externo (por ejemplo un dedoempujando la carga). Si dW es positivo significa que el trabajo lo realiza el agente externo(o sea el campo elctrico se opone al desplazamiento de la carga en el sentido de l d). Si32dW es negativo significa que el trabajo lo ha realizado el campo elctrico (no ha sidonecesario empujar con el dedo).Luego el trabajo (externo) realizado para llevar carga desde el punto A a B es:} }- = =BABAl d E q dW W (1.51)Dividiendo W por q se obtiene el trabajo por unidad de carga o, equivalentemente, laenerga por unidad de carga. Esta cantidad, llamada VAB, se conoce como la diferencia depotencial entre los puntos A y B. As:(1.52)BABAWV Edlq= = -} Notar que:i) A es el punto inicial y B el punto final del desplazamiento.ii) Si VAB< 0 el campo elctrico es quien hace el trabajo (hay una prdida en la energapotencial elctrica al mover la carga desde A a B). En caso contrario es un agente externoquien ha realizado el trabajoiii)VAB se mide en [J/C], lo cual se denomina Volt [V]. Por ello es comn expresar elcampo elctrico en [V/m]EJEMPLO 10.Supongamos una carga Q fija en el origen y una segunda carga q ubicada a una distancia rA.Se desea calcular el trabajo necesario para llevar esta segunda carga a una distancia rBsegn se muestra en la Figura 28. Calcule adems VAB.BQqAr dr l d =ArBrBQqAr dr l d =ArBrFigura 28.Trabajo carga puntual.Solucin:Campo:rrQE 420tc=(1.53)Trabajo:}- =BAl d E q W (1.54)33((

=((

= = - =} }A Brrrrrrr rQqrQq Wrdr Qq r rrQdrq WBABABA1 14144 40 02020tc tctc tcNotar que si rA< r B(como en la Figura 28) el valor de W resulta negativo si q y Q son delmismo signo. Sabemos que para este caso las cargas se repelen, por lo tanto el campo de Qes quien realiza el trabajo (y no un agente externo).La expresin para la diferencia de potencial VAB es((

= =A BABr rQqWV1 140tc(1.55)Esta expresin no depende de q sino que de la carga que produce el campo E,, en este casoQ. Este resultado permite definir de manera ms general el potencial elctrico comoveremos a continuacin.1.7.2 Definicin de Potencial ElctricoPara el ejemplo analizado anteriormente VAB representa el trabajo por unidad de carga quees necesario realizar para llevar una carga entre los puntos A y B. Si dejamos variable elpunto B se genera la funcin((

=AAr rQr V1 14) (0tc(1.56)esta funcin permite evaluar el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar parallevar una carga desde la posicinAra cualquier lugar definido por el vector r.Si ahora hacemos tender rA , obtenemos|| || 414) (0 0rQrQr Vtc tc= =(1.57)Esta expresin representa el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar para traerdesde el infinito una carga hasta la posicinr, cuando existe una carga Q en el origen (lacarga que produce el campoelctrico E,). Esta expresinse define comola funcinpotencial elctricodelacargaQycorrespondeauncampoescalardefinidoentodoelespacio. Para generalizar este resultado consideremos la situacin de la Figura 27.34q' rrq' rrFigura 29. Potencial elctrico carga puntual.As, en un sistema de referencia cualquiera la expresin general para el potencial elctricoasociado a una carga q en la posicin r 'es|| ' ||14) (0r rqr V ,=tc[V] (1.57)Dado que V es una funcin lineal con la carga, tambin aqu se cumple la propiedad desuperposicin, i.e., para n cargasnq q q ,..., ,2 1se cumple:|| || 4...|| || 4 || || 4) (0 2 021 01nnr rqr rqr rqr V + ++=tc tc tc= || || 4) (0 kkr rqr V ,tc(1.58)Anlogamente al caso del campo elctrico, para distribuciones continuas de carga se tiene}}}=Vr rdqr V|| ' ||'41) (0 tc(1.59)y dependiendo de la distribucin de carga es0001 ( ') '( ) (1.60)4 || ' ||1 ( ') '( ) (1.61)4 || ' ||1 ( ') '( ) (1.62)4 || ' ||rSVr drVr Para linealr rr dSVr Para superficialr rr dVVr En volumenr rtcotctc===}}}}}} Donde , o y corresponden a las densidades de carga lineal, superficial y de volumen,respectivamente (campos escalares en la variable r ').EJEMPLO 11.Se tiene una lnea de largo l con distribucin de carga cte en el eje z.. Se pide demostrarqueel potencial producidopor estadistribucinlineal decargaenel planomedianero(x,y,0) puede escribirse como:01 sinln4 1 sinV otc o+ | |= |\ .(1.63) dondeo2ltg =es el radiodesdeel origenaunpuntocualquieradel planomedianero. Expreseelresultado en coordenadas cartesianas.35Solucin:Consideremos la Figura 30.dlxyzuzol/2-l/2rdlxyzuzol/2-l/2rFigura 30. Potencial lnea cargada.Los vectores sonj i j y i x y x rsincos ) , ( | | + = + = =, k z r' ' =luego,( ) ( )} }= =+=+ += 2 /2 /2 / 12 202 / '2 / '2 / 12 2 20 ''4''41) , (lll zl zzdzz y xdzy x Vtc tcHaciendo el cambio de variableu u u d dztg z2sec ''==se tiene| |212121) ln(sec4) , (sec41sec4) , (002 / 1220uuuuuuu utcu utcu u utctg y x Vdtgdy x V+ ==+=} }( ) | |( ) | |((

+= + =((

||.|

\|+ |.|

\|+ = + + == = = =ootco otcooo ooo tco o o otco uuo uusen 1sen 1ln4) , () sen 1 ln( sen 1 ln4) , () cos() sen() cos(1lncossencos1ln4) , () tg( ln(sec tg sec ln4) , (2tg2tg00002 21 1y x Vy x Vy x Vy x VllDe la geometra de la Figura 30 se cumple36( ) | |2 / 12 22 /2 /seno+=ll,luego( ) ( )( ) | |( )( )( )( ) (((

+ ++ + += (((

++ +=((((((

((((((

+++=2 / 4 /2 / 4 /ln4) , (2 / 4 /2 / 4 /ln42 /2 /12 /2 /1ln4) , (2 / 12 2 22 / 12 2 202 / 12 22 / 12 202 / 12 22 / 12 20l l y xl l y xy x Vl ll llllly x Vtctctc1.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo ElctricoA partir de las relaciones de trabajo desarrolladas para cargas puntuales habamos visto quela funcin potencial entre dos puntos A y Bcorresponda a}- =BAABl d E V y haciendo B = r yA , obtenamos la funcin potencial como} +- =rl d E r V ) ( (1.64) donde V(r=)=0En el caso general el potencial puede no ser nulo para r (por ejemplo cuando haydistribuciones de carga infinita). Recordemos que la definicin obtenida a partir del trabajonos conduca a la expresin}- = =BAB A ABl d E V V V que representa el trabajo por unidad de carga para trasladar una carga desde el punto A alB. Por lo tanto al dejar variable el punto A=r, la expresin del potencial queda) ( ) ( B r V l d E r VrB= + - =} El valor que adquiere ) ( B r V =es llamado referencia o potencial de referencia (o voltajede referencia Vref). Por ello, la expresin general del potencial elctrico esrefrrefV l d E r V + - =} ) ( (1.65)Notar que dado que es un valor constante, al calcular el trabajo entre dos puntos cualquierase cancela. Para simplificar la notacin es comn asignar un valor nulo a la referencia, esdecir, 0 refV .37Del desarrollo anterior se cumple la relacin) ( ) ( r E r V = V (1.66)El campo elctrico se obtiene a partir del gradiente de la funcin potencial.EJEMPLO 12Considereunadistribucindecargalineal infinitasegnsemuestraenlaFigura31.Calcule el potencial en todo el espacio.Srhi x ,j y ,k z ,Srhi x ,j y ,k z ,Figura 31. Campo y potencia de lnea cargada.Solucin:Aplicando gauss a la superficie S tenemosrh r E S d Er dz d r r E S d Er dz rd S ds QS d EhoTtuuct2 ) ( ) () (200}}} } }}}}= - - = - == -, , ,, Por otra parte, la carga total encerrada es0) ( h s QT= . Luego, en coordenadas cilndricas elcampo vale002E rrc t=,`Apliquemos ahora la definicin de potencial elctrico.38refrrefV l d rrr V + - =}2) (00t cescogiendo un radio para realizar la integral de lnea r dr l d =. Por lo tanto,refrrefV drrr V + =}t c002) (refV ref r r V + = ) / ln(2) (00t cAnalizandoestaexpresinvemosqueel potencial enel infinitonoesnulo, yaquelafuncin potencial diverge. Por ello, se escoge la referencia para un valor arbitrario de r. Porejemplo, para r=ref hacemos Vref =0. As, la expresin para la funcin potencial de estadistribucin infinita de carga queda finalmente,) / ln(2) (00ref r r Vt c =1.7.4 Ecuacin de Laplace y PoissonHabamos visto que) ( ) ( r E r V = VTomando la divergencia a ambos lados obtenemos) ( )) ( ( r E r V- V = V - V (1.67)Si usamos la 1 ecuacin de Maxwell llegamos a0)) ( (c = V - V r V(1.68)02) () (crr V = V (1.69) ecuacin de Poisson.Cuando no hay carga tenemos:0 ) (2= V r V(1.70) ecuacin de Laplace.El operador V2se conoce tambin como el Laplaciano. En coordenadas cartesianas es22 2 222 2 2 (1.71)V V VV i j k i j kx y z x y zV V VVx y z| | | | c c c c c cV = + + - + + ||c c c c c c\ . \ .c c cV = + +c c cAs, el Laplaciano de un campo escalar es tambin un campo escalar.39Hemos demostradoque el potencial elctricosatisface la ecuacinde Poissonenlasregiones donde existen fuentes de carga y satisface la ecuacin de Laplace en las regionessin carga. Adicionalmente se requiere definir condiciones de borde para resolver lossistemas de ecuaciones diferenciales resultantes. As, una manera alternativa de obtener elcampoelctricoesresolverla ecuacindeLaplace (oPoisson)cuandoseconocen(osepueden inferir) las condiciones de borde.EJEMPLO 13.Para la configuracin de la Figura 32 se sabe que el potencial en los planos semi-infinitosdefinidos por V(|=0, , z) = 0 y V(|=t/6, , z) = 100 V. Se pide calcular el potencial y elcampo para la regin entre los semiplanos (no incluido el eje z, o sea = 0).|=t/6xyz|=t/6xyzFigura 32. Potencial entre placas.Solucin:Claramente V depende slo de |, por lo que la ecuacin de Laplace en este caso es222 21() 0 (1.72)VV r |cV = =cDado que =0 esta excluido del clculo esta ecuacin se convierte en220 (1.73)V|c=ccuya solucin es de la formaB A V + = |.Aplicando las condiciones de borde obtenemos para |=0 el potencial V=0, es decir, B=0.Usando la otra condicin de borde para |=t/6 tenemostt6006 / 100= =AA40Luego el potencial es|t600= Vy el campo|| 1) ( ) (cc = - V =Vr V r E |t 600) ( = r E1.7.5 Campo Elctrico ConservativoOtra propiedad importante de los campos elctricos se obtiene a partir de la propiedadmatemtica asociada a un campo escalar) (r f, los cuales satisfacen la identidad0 ) ( = V V f. (1.74)As, dado que) ( ) ( r E r V = V 0 = V Een electrosttica4.Luego, para una superficie S cualquiera del espacio se cumple0 = - V}}s d ES(1.75)y aplicando el teorema de Stokes} }}- = - V) (S C Sl d E s d E, ,(1.76)Donde C(S) es el contorno que limita a la superficie S. Podemos escribir entonces0) ( ) (= = - = -} }Wneto l d F l d E qS C S C, , , ,(1.77)Este resultado implica que el trabajo neto realizado por el campo elctrico en unatrayectoria cerrada es nulo. Es decir, la fuerza proveniente de un campo electroesttico esuna fuerza conservativa.Ahora veremos los campos elctricos en la materia. Pero antes debemos definir el conceptode dipolo, el cual es la base para esos estudios.4Veremos luego que esto cambia cuando los campos son variables en el tiempo.411.8 Dipolo elctrico1.8.1 Definicin DipoloUn diplo elctrico se compone de dos cargas idnticas pero de signo contrario, las cualesse encuentran forzadas (por algn medio) a mantener distancia d constante entre ellas, talcomo se muestra en la Figura 28.-qqdr-qqdrFigura 33. Dipolo elctrico.Se definer qd p =,(1.78) como Dipolo elctrico o Momento dipolar. Notar que la sumanetadelascargasdeundipolodebesernulayqueel vectorp,apuntadesdelacarganegativa hacia la positiva. Las unidades del dipolo son [C-m].1.8.2 Potencial Elctrico de un DipoloConsideremos la configuracin de la Figura 34 donde r1es la distancia de Q a P y r2es ladistancia deQ a P.d-PQuuu-Qi x ,j y ,k z ,1r,r,2r,u u cos ' ' cos1 2d d r r = ~ , ,d-PQuuu-Qi x ,j y ,k z ,1r,r,2r,u u cos ' ' cos1 2d d r r = ~ , ,Figura 34. Potencial de un dipolo.El potencial de esta configuracin evaluado en el punto P es:422 11 202 1 0 2 0 1 04) (1 14 || || 4 || || 4) (r rr rQr Vr rQrQrQr V, ,, , , ,=||.|

\| =+ =tctc tc tcInteresa el caso cuando r1, r2>>d, o sea, cuando podemos aproximar22 12 22 1) )( ( r r r r r r r r ~ - A = A + A ~ -Adems,2 120coscos( ) (1.79)4r r dQ dV rruutc = ( = ( Dado que r k d d cos - = u y si definimos k d d=yd Q p,=, la expresin del potencialelctrico producida por el dipolo se puede escribir como20|| || 4) (rr pr V,tc-=(1.80)En el caso general, el dipolo esta ubicado en un punto cualquiera ' r(vector que define laposicin del punto medio del dipolo) como en la Figura 33.Q-Qi x ,j y ,k z ,r' rpQ-Qi x ,j y ,k z ,r' rpFigura 35. Potencial del dipolo en sistema de coordenadas arbitrario.En este caso el potencial elctrico tiene la forma30|| ' || 4) ' () (r rr r pr V -=tc(1.81)EL campo elctrico de un dipolo se calcula a partir de V E V =.43EJEMPLO 14.Calcule el campo elctrico de un dipolo k p p=ubicado en el origen como se muestra enla Figura 36.-QQ ui x ,j y ,k z ,r|-QQ ui x ,j y ,k z ,r|Figura 36. Campo elctrico dipolo.Solucin:20304cos) (|| ' || 4) (0 'rpr Vr rr pr Vrtcutc=-== Sabemos que V E V =, y en coordenadas esfricas((

cc+cc+cc= V || uuu11VrsinVrrrVVV solo depende de r y u, luego( ) ( ))sin cos 2 (4sin41 24cos302030u u utcu utc tc u+ = + = VrrpErprr rpVEl campo resultante no depende del ngulo azimutal, ya que la configuracin presentasimetra segn |. Adems, para el caso u = 90 el campo slo tiene componente segn u, esdecir es perpendicular al plano x-y.Para puntos muy alejados del dipolo el campo elctricoy el potencial disminuyen con ladistancia segn las expresiones2 31) ( ,1) (rp Vrp E As, su efecto decae rpidamente con la distancia (un exponente mayor que en el caso decargas puntuales).441.8.3 Dipolo de un Conjunto de Cargas y DistribucionesPor extensin, tambin se define el momento dipolar para el caso en que se tiene unconjunto de cargasnq q q ,..., ,2 1tal que su suma neta en nula, i.e., 01==nkkq , tal como semuestra en la Figura 37.O1r2rnr1q2qnqO1r2rnr1q2qnqFigura 37. Dipolo de sistema de cargas.Para este sistema se define el momento dipolar elctrico como:==nkk kr q p1 Claramente para n=2 se tiene2 2 1 1r q r q p + = , pero Q q q = =2 1, entoncesd Q r r Q p = = ) (2 1segn habamos visto. Notar que no depende del origen.Para el caso general de una distribucin volumtrica de carga el momento dipolar asociadoes' ' ' ( ') p r dq r r dv O= =}}} }}} OO) ' (r' rrOO) ' (r' rrFigura 38. Dipolo de distribuciones de carga.EJEMPLO 15.Se tienen 8 cargas dispuestas como en la Figura 39. Se desea saber el efecto de agregar unanovena carga Q al sistema.45d/21q2q3q4q5q6q7q8qd/21q2q3q4q5q6q7q8qFigura 39. Dipolo de 8 cargas.Se sabe que las cargas satisfacen las relaciones= =81 iiq Q (1.82) y8Qqi =(1.83) Sepide calcular el momento dipolar en los casos:a) Carga Q se ubica en el centro del crculo,b) Carga Q se ubica en la posicin x = -d/4. Donde d es el dimetro del crculo.Solucin:a) Tomando el centro del crculo como origen del sistema de referencia se tiene0 081= + ==Q r q pii i . (1.84) En este caso no existe momento dipolar.b) En este casod/41q2q3q4q5q6q7q8qi x ,j y,Qd/41q2q3q4q5q6q7q8qi x ,j y,QFigura 40. Dipolo 9 cargas.46El momento dipolar esidQ pidQ r q pi i44 =|.|

\| + = (1.85)Luego podemos reemplazar esa distribucin por el dipolo:i x ,j y ,Q -Qid4i x ,j y ,Q -Qid4Figura 41. Dipolo equivalente.Esto es lo que se vera desde una distancia4dr )) .Propuesto. Calcular el torque sobre un dioplo en presencia de un campo elctrico.1.8.4 Potencial a grandes distanciasHabamos visto que para distribuciones en volumen el potencial elctrico es}}}=|| ' ||) ' (41) (0r rdv rr V tcNos interesa evaluar la situacin para el caso en que' r r )), donde es posible expandirel termino'1r r en serie de la forma:+-+ =3' 1'1rr rr r r ....Trminos de Orden Superiory reemplazando en la expresin del potencial(1.85)47TOSrp rrQr VTOS v d r rrrdv rrr VTOS v d rrr rdvrrr VTotal+-+ = + ' '-+ ~+ '-+ ~ }}} }}}}}} }}}30030 030 044) () ' (41' ) ' (141) () ' ('41') ' (41) ( tctctctctctcClaramente el primer trmino corresponde al potencial de la carga concentrada en un solopunto, mientras que el segundo trmino corresponde al potencial de un dipolo. En generalcuando se tiene una distribucin de carga vemos:i) Desde muy lejos, solo la carga totalii) Desde ms cerca, pero lejos todava, dos cargas, es decir, un dipoloiii) Desde ms cerca an, cuatro cargas, cuadripolo,iv) etc.La relacin con la distancia de los campos y potencial elctrico de las distintasconfiguraciones se muestran en la siguiente Tabla:Tabla 1. Campos en configuraciones multipolares.Configuracin Potencial Elctrico Campo ElctricoUna carga q- 1r 1r2Dos cargas q-(Dipolo) -q- 1r2 1r3Cuatro cargasDos dipolos q- -q--q- q- 1r3 1r4481.9 Problemas ResueltosPROBLEMA 1Se tiene una esfera de radio 100 cm que tiene una distribucin volumtrica de carga dadapor ( ) | |303/5003m Crr c =,. Se desea anular el campo en el casquete ubicado a 90 cm delcentro. Para ello se dispone de las siguientes alternativas:a) Una carga que debiera ubicarse en el origen. Indique monto de la carga.b) Un casquete esfrico de radio 50 cm con densidad superficial de carga constanteo . Indique el valor de o .c) Un casquete esfrico de radio 150 cm con densidad superficial de cargaconstante o . Indique el valor de o .Solucin:La idea es con las distintas alternativas provocar un campo elctrico que anule el dela esfera para r = 90cm, es decir que tenga el mismo valor absoluto pero distinto signo queel provocado por la esfera para ese mismo radio.Primerocalculamos el campoal interior delaesferautilizandoLeydeGauss.ConsideremosquelaesferaposeeradioR, yqueladensidaddecargadelaesferaes3( ) r kr =,dondec05003= kDebidoalanaturalezadel problemaconvienetrabajar encoordenadas esfricas) ' , ' , ' ( u r, donde:- ' r es la distancia al origen.- ' u es el ngulo azimutal.- ' es el ngulo superior.Luego,2' ' ( ) dS r sen d d u = y2' ' ( ) dv r sen dr d d u ' =Figura P.1.1S(r)rR) (r,' ' u' r49Queremos calcular el campo elctrico al interior de la esfera para cualquier radio, elque definir una superficie S, por lo tanto calculamos para r < RTenemos que0) (cS QS d ETotaLS=}}, ,La carga encerrada por la Superficie S es}}}O' =) () ( ) (STotaLv d r S Q,u t td d r d sen r r K S QrTotaL ) ( ' ' ) (220003' = } } }6 600'( ) 2 cos( ) 4 6 6rTotaLr rQ S K Ktt t ( (= =( ( Luego6 4 ) (6rK S QTotaLt = .066 4 ctrK S d ES=}}, ,Por simetra esfrica, podemos suponer que el Campo Elctrico es radial: ( ) ( ) Er Err =,,Lugo, el flujo elctrico es:2 ( ) ' ( ) S SE dS Err r sen d d r u =}} }}, , Y2 2( ) ' ( ) ( ) ( ) S SErr r sen d d r Er r r sen d d r u u =}} }} 2( ) 4 Er r t =604 6rK tc=40 ( ) 6rEr K rc =,,(Campo en el interior de la esfera).Debemos anularlo para la distancia de 0.9 mt. Examinemos las alternativas:a) Supongamos una carga Q en el centro de la esfera, con Q por determinar.Figura P.1.1.1QElCampoelctricoproducidoporunaCarga puntual, ubicada en una posicinr ',, sobrer,es:30( )( )4 Q r rErr rt c' =' , ,,,, ,Conr ',= 0 yr,= r r tenemos que20( )4 QQ rE rr t c=

,,) (r,50Por el Principio de Superposicin, tenemos que:( ) ( ) ( )T Esfera QE r E r E r = +, , ,, , ,para todo r < 100 cm.Enparticular, estoesvlidoparar=90cm. Designaremoscomor1aesteradioparticular. Determinaremos el valor de Q tal que, ( ) 0TE r =,,, parar = r1.4120 0 1( ) 06 4 Tr Q rE r K rr c t c= + =

, ,, . Entonces,4120 0 1 6 4 r Q rK rr c t c =

Finalmente,614 6K rQt= Reemplazando con los valores numricos: | |145, 910 Q C= b) Consideremosunradior2=50cm., El Campoelctricoal exterior deuncasqueteuniformementecargadoconunadensidadsuperficialdecargao , localculamosporGauss:Figura P.1.1.2Por lo tanto,2204 SrE dSo tc=}}, ,

y por simetra esfrica, ( ) ( ) Er Err =,, 2 ( ) 4SE dS Er r t =}}, ,

22 204 ( ) 4rEr ro ttc=2220 ( ) CasqueterE r rroc| |=|\ .,Por el Principio de Superposicin, tenemos que:( ) ( ) ( )T Esfera CasqueteE r E r E r = +, , ,, , ,para todo r < 100 cm.ror20( )TotaLSQ SE dSc=}}, ,

La carga total encerrada por la superficie S , de radior2 es;( ) TotaLSQ S dS o ' = }} Como oes constante,22 4 SdS r o o t ' =}} 51En particular, esto es vlido para r1= 90 cm.. Determinaremos el valor de otalque,1( ) 0TE r =,,.1 1 14 21 220 0 12 42 120 1 06122( ) ( ) ( ) 06 66T Esfera CasqueteE r E r E rr rK rrr rKrrKroc coc co= +| | + = |\ . = = , , ,, , ,Reemplazando los valores numricos:1421, 88 10Cmo (= - ( c) Consideremosunradior3=150cm., Elcampoelctricoprovocadoporuncascarnuniformemente cargado al interior de ste es nulo, pues la carga encerrada al aplicar laley de Gauss ser cero. Vemoslo matemticamente:Figura P.1.1.3No existe tal que el campo elctrico en r = 90cm sea nulo.or3rPara r < r30) (0= = }}STotalS QS d Ec, Entonces: ( ) 0CasqueteE r =,,Con esto se observa que cualquier casquete conalguna densidadde carga, cualquiera que estasea, no provocar campo elctrico al interior deel, por lo tanto no podremos anular el campo enalgn r, en particular r = 90cm con estaalternativa.52PROBLEMA 2Se tiene un disco circular de radio a cargado con una densidad superficial de carga0ocomo se muestra en la figura P.1.2 Se pide:a) Calcular el potencial en el eje z.b) Calcular el campo en el eje z.Solucin:Figura P.1.2Los lmites de integracin sern ( ) a , 0 e ' y ( ) t u 2 , 0 e ' .Entonces( )12 22r r z ' ' = +, ,Luego:( )( )( )( )( )( )2012 20 0 0 2012 2 0 0 2012 20 0 212 2 02002 2 002 2 00 1( ) 42 4222( )2aaaad dVz zzdzdzza z zVz z z a zto utcto tco cocococ'='=' ' '=' +' '=' +' '=' +' = += + = +} }}}

a) Recordando que la frmula para elPotencial Elctrico de una distribucinsuperficial de carga es:}}'' '=Sr rS d rr V, ,,, ) (41) (0otcParanuestrocaso(trabajandoencoordenadascilndricas):0( ) r o o ' =, r z z =, r ' ' =, u ' ' ' = ' d d S d Z0o

u

53b)( )2 2 0002 20( ) ( )( )2( ) 2Er VrEr z a z zzz zEr zza zococ= V c = + `c )| | = | |+\ .,, ,,, ,, PROBLEMA 3La figura P.1.3 muestra un tubo de rayos catdicos como los usados en lostelevisores. El tubo produce un flujo de electrones que entran con una velocidad inicial dev0enla direccinhorizontal,a unespaciolimitadoentredosplacas.Estasplacastienendensidades superficiales de carga dadas por +o y -o , lo cual provoca un campo elctricoperpendicular a ellas. A una distancia L de las placas se encuentra una pantalla de largo 2S.Determine lo siguiente:a) La velocidad con que los electrones salen de la regin entre las placas (considerevelocidad en las dos direcciones).b) La condicin sobre la distancia L para que ningn electrn salga de la pantalla(de largo 2S).Datos: d = 20e-7 m. M = 9.107e-31 Kg.W = 3 m q = 1.602e-19 Co= 10e-21 C/m20c = 8.854e-12 F/mS = 10 cm v0 = 3e+4 m/s.Figura P.1.3Indicacin: Considere que el campo elctrico es cero fuera de la regin entre las placas.Considere asimismo, que existe gravedad.Solucin: F m a =,,dL W-oV0oxSS54Dondeelctrica pesoF F F = +, , ,dentro de la zona de placas. Como elctricaF q E =, ,, debemoscalcular el Campo elctrico producido por las placas paralelas.Debido a que el ancho w de cada una placas es mucho mayor, que la separacinentre ellas, d, podemos considerar que el Campo es el producido por la superposicindedos placas condensidaddecargadesignoopuesto. Paradeterminar el campoelctrico en esta zona, necesitamos saber el producido por una Placa cargada con unadensidad ouniforme.Figura P.1.3.1Si a , entonces0( ) 2zEr zzc=,, , lo cual equivale a:z r E ,,2) (0c= , si estamos sobre el Disco, y z r E ,,2) (0c = , si estamos bajo el disco,suponiendo que estrictamente positivo.En el problema utilizaremos los ejes x, y con los vectores unitarios i, j,respectivamente.Figura P.1.3.2Considerando un disco delgado de radioa condensidad de carga uniforme , se sabe que elcampo elctrico en el eje Z es:2 20( ) 2z zEr zza zc| |= | |+\ .,, (problema anterior)Zo +o v0dw LSSXj55Figura P.1.3.30 elctricaqF q E joc= = , ,Sea q Q =Tal que | |191, 60210 Q C = Como condicin inicial, podemos suponer que los electrones salen por el medio de lazona de placas, con velocidad solo en la horizontal.Con esto: elctrica pesoF F m a + =, ,,0 Qm gj j m xi m yjoc + = + `` ``Ecuaciones de movimiento:Segn i: De la ecuacin anterior, vemos que no hay fuerzas que acten sobre eleje X 0 = x m` `0v cte x = = `1 0 ) ( C t v t x + =Como x(t=0)=0 C1=0 t v t x ) (0= .Existe un tiempo t1tal que x(t1) = w; Entonces v0t1=w:luego:01vwt =Para este sistema de placas,En las regiones I y en III los campos se anulan ( porleyde gauss carga total encerrada nula). EnII serefuerzan, es decir se sumanlos efectos de ambasplacas, quedandouncampoquevadelaplacaconcarga positiva, a la placa con carga negativa.Luego,0( ) Er joc= ,,, si|.|

\| e2,2d dyd/2-d/2o +o IIIIII56Segn j: Ambas fuerzas (elctrica y de gravedad) actan sobre el eje Y02 20020( ) ( 0) 0, 0( )( ) 0 ( 0) 0 2oQm y mgQy gmQyt g t C como y t CmQyt g tmQ tyt g pues ytmocococococ= + = | | = + = = = |\ .| | = |\ .| | = + = = |\ .````` ``Evaluando enovwt =1(tiempo que demora un electrn en salir de las placas)10 0( ) Q wy t gm voc| |= |\ .` .21 20 0( ) 2Q wy t gm voc| |= |\ .De esta manera, hemos encontrado tanto la posicin de salida, como la velocidad de salidadel sector de las placas bajo los campos elctrico y gravitatorio.Luego: jvwgmQi v vsalida 0 00||.|

\| + =co ,b) Necesitamos ahora las ecuaciones de las partculas a partir del instante en que dejan lasplacashastaquelleganal lapantalladelargo2S. Paraestasnuevasecuacionesyatenemos las condiciones iniciales, las que vienen dadas por continuidad, por lasecuaciones antes encontradas.00 0 ( 0) Q wvt v i g jm voc| |= = + |\ .,220 0( 0) 2Q wrt wi g jm voc| |= = + |\ .

,El electrn se ve afectado por una nica fuerza, la que corresponde a la fuerza de gravedadpesoF m a =,,57 m x i m yj m gj + =

`` ``Segn i: No hay fuerzas segn x 0 m x = ``0v cte x = = `1 0 ) ( C t v t x + = ; Como w t x = = ) 0 ( C1=w w t v t x + = ) (0.Existe un tiempo t2tal que x(t2) = LLuego:02vLt =Segn j: Tenemos solo la fuerza de gravedad g m y m = ` ` g y = ` `3) ( C t g t y + = `Aplicando la condicin de borde30 0) 0 ( CvwgmQt y =||.|

\| = =co`0 0 ) (vwgmQt g t y||.|

\| + =co`Ahora, determinamos la posicin:40 022 ) ( Cvt wgmQ tg t y +||.|

\| + =co202042) 0 (vwgmQC t y||.|

\| = = =co2020 0 022 2 ) (vwgmQvt wgmQ tg t y||.|

\| +||.|

\| + =coco58Con el tiempo t2 tenemos que la partcula impacta en la pantalla. Existen dos casos2( ) y t S = e2( ) yt S = . Para los valores dados, el caso2( ) yt S = no tiene solucin. Por lotanto, se analiza el caso2( ) y t S = con02vLt = .2 22 2 2 20 0 0 0 0 0 2 2L L Q wL Q wy t g g g Sv v m v m vo oc c| | | | | |= = + + = |||\ . \ . \ .Despus de poco de trabajo algebraico, se llega a una Ecuacin de Segundo gradopara L:22 2 00 02 2 1 1 0 S v Q QL L w g w gm m go oc c| | | | + + = ||\ . \ .Para discernir datos sobre esta ecuacin, sustituimos los valoresentregados, en elDiscriminante, resultando este ser positivo. Por ello, esta ecuacin posee Races Reales yDistintas. Tomaremos la que sea positiva, o en el caso de que ambas sean positivas, la demenor mdulo.22 01,20 0 08 1 1 4 1 2 S v Q Q QL w g w g gm g m mo o oc c c| | | | | |+ + |||\ . \ . \ .Para los valores del problema, la solucin que nos sirve, es:| | 4343, 944 L m =Como comentario: A pesar de que sea un valor muy alto, es razonable, debido a la casi nulamasa del electrn y su velocidad muy alta.PROBLEMA 4Considere el sistema de la figura P.1.4, el cual se compone de dos planos infinitos,separados a una distancia d, conteniendo densidades de carga o0 y -o0, respectivamente.Entre los planos se ubica una esfera slida que contiene un material cargado el cual puedesuperponerse con una distribucin volumtrica constante 0.Se pide:a) Calcular el campo elctrico en el centro de la esfera.59b) Calcular el campo elctrico en un puntoAsituado en el plano meridiano a unadistanciaL del plano derecho.c)Si unapartculadecargaqymasamseubicaaunadistanciaodel centrodelaesfera en el eje z, (no importa direccin). Calcule la ecuacin de movimiento de la partculay obtenga la posicin en el eje Z en funcin del tiempo.Figura P.1.4Solucin:a) Loprimeroserencontrarloscamposprovocadosporlasplacasylaesferaporseparado para as por superposicin encontrar el campo total.En este caso buscamos el campo entre las placas dentro de la esfera.Utilizando un resultado del problema tres, tenemos que para una placas el campo elctricoest dado por:00( ) 2yEr jyoc=,,Para este casoPlaca 1: Consideramos la placa con carga positivapara y mayor que cero00( )2Er joc =,,Placa 2: Consideramos la placa con carga negativa para y menor que cero0000( ) ( )2( )2Er jEr jococ = =,,,,A0 o0 o0 iJk60Esfera: La esfera genera un campo con dependencia radial ( r`). Utilizando la ley de Gauss(para r < d/2) obtenemos que:2 3 00004( ) 433Er r rE r rt tcc = = -,Evaluando esta expresin en el origen obtenemos que 0 =esferaEFinamente tenemos el campo total estar dado por:` 01 2 total plano plano esferaoE E E E joc= + + =, b) Debemos calcular el campo para un punto A como se muestra en la figura P.1.4Placas: Ambas placas producen campos en sentidos opuestos, por lo que se anularn encualquier punto que no est entre las placas, esto se aprecia en la figura P.1.4.1. Para unpunto a la derecha de ambas placasFigura P.1.4.2Luego el nico campo que aporta es el producido por la esfera.Esfera: Utilizaremos la ley de Gauss para calcular el campo.Ocupando0cencQS d E = -}} , calculamos el campo producido por ella:A o0 o0 iJk612030304 ) (6 2 34r r E S d Ed ddV Qcasqueteesferaencttt = = |.|

\|= =}}}}} Con ello concluimos que el campo fuera de la esfera es rrdE 240203c=ElpuntoAseencuentraaunadistancia Ldr + =2delcentrodelaesfera.Luego reemplazando este valor en la expresin del campo se obtiene que:rLddE 2240203)`|.|

\|+=cc) Tenemos que :a m F =dondei kzEd x E d x E z r E E con E q F placa placa 3) 2 / ( ) 2 / ( ) (00000 0coco o+ == + = + = = = (Notar que en r = z k r = )separando por componentes, se obtiene:Eje z:z mz q` ` =003cSe propone la solucin de la forma:0 00 0 3zF q k i ma oc c| |= + = |\ ., ,62mqAe m AeqAe t zt tt0020033) (cooco oo= = = 003( )qtmz t Aec =Luego, como003( 0)( )qtmz t Azt eco oo= = = =PROBLEMA 5En la Figura P.1.5 se muestra una distribucin lineal de carga 0, infinita, la cual esrodeada por la distribucin volumtrica de carga, que encoordenadas cilndricas tiene laforma0( , , ) r zr u = , lacual seextiendehastaunradior=a. Entreambasdensidadesexiste la relacin0 02 a t = a) Calcule el campo elctrico en todo el espaciob) Calcule el potencial elctrico en todo el espacioFigura P.1.5.163Solucin:a) Calcularemos los campos elctricos producidos por ambas distribuciones de carga paraluegoencontrarelcampototalporel principio de superposicin,esdecirelcampototalser la suma de ambos.Para la distribucin lineal}}= oenc Qs d Ec,,con r r E r E ) ( ) ( =,En la integral:}} }} }} = = = Manto MantorL r E ds r E ds r E s d E t 2 ) ( ) ( ) (,,Pero: Qenc = 0 LEntonces podemos escribir:rr ELrL r Eooootc ct2) (2 ) (= = Entonces el campo elctrico producido por la distribucin lineal:rror Eo2) (tc=,Ahora, para la distribucin volumtrica:}}= oenc Qs d Ec,,con r r E r E ) ( ) ( =,64Tenemos dos casos:1) Para r a a020 0 0 00012( ) 2( )encL aoooQEdsrdrd dz E dsraLEr rLaEr rrtcucttcc= = = =}}} } } }},,,,`Aplicando nuevamente la relacin entre las densidades ( )2 ooE r rrt c =,65Finalmente el campo en todo el espacio est dado por:( ) 2 20o oo or P a r ar aE r r aP a r ar a t c t c | | < |=\ . >,b) Para calcular el potencial se sabe que:V r d E A = },,con r dr r d =,1) Para r < a1( ) ( ) ( )2 21 1( )21(ln( ) ln( ) 1) ( )2raro oaroaoV r Edr Vao or drr Var aodr Var aor a Vaa tc t ctctc= +| |= + |\ .| |= + |\ .= + +}}}2) Para r > a22 ( ) ( ) 0 ( )( ) constante ( )raV r Edr Va drr VaV r Va= + = += =} }Donde el voltaje V(a) es el voltaje de referencia que debiera ser un dato.Finalmente el potencial en todo el espacio es:1(ln( ) ln( ) 1) ( )( ) 2( )oor a Va Para r aVr aVa Para r atc + + s= >66PROBLEMA 6.Dos cilindros concntricos de radios a y b respectivamente y largo L se encuentranubicados tal como lo indica la Figura 1. El espacio entre ambos se encuentra lleno de unmaterial con un vector polarizacin dado por 0 0 sin2+ = r r PDado lo anterior se pide:a) Calcular las densidades superficiales de carga de polarizacinb) Calcular la densidad volumtrica de carga de polarizacinFigura P.1.6.1:1S Superficie del cilindro de radio a:2S Superficie del cilindro de radio ba) Densidades superficiales de carga de polarizacinPara r n : S1 = y2 P rr sin( ) = + u u,2psr r P n P1 = = =, ,o , pero ] Cm [ a a r2 2ps1 = = oPara r n : S2= y u u ) sin( r r P2+ =,2psr r P n P2= = =, ,o , pero ] Cm [ b b r2 2ps2= = ob) Densidades volumtricas de carga de polarizacin] Cm [r ) cos(r 3 ) r (0)) ( sen (r1r ) r (r1z) P ( ) P (r1r ) rP (r1P ) r (3p3z rp|.|

\|+ = ||.|

\|+cc+cc = |.|

\|cc+cc+cc = V =uu uuu,, ,,b aab67PROBLEMA 7.Se tiene una esfera de radio R cargada con densidad volumtrica variable (r) = or3/R3.La esfera adems contiene en el origen una carga puntual Qo. Se pide:.a) Determine el campo elctrico para cualquier punto del espaciob) Determine el potencial elctrico para cualquier punto del espacioFigura P.1.7.1a) Usando Ley de Gauss:0encerradasQS d Ec= -}}, ,i) Para R r 03encerrada20 0 0330 encerradaQ R32Qd d dr ) ( sen rRrQ dV ) r ( Q002 R+ = = + =} } } }}}tu ttOR-0Q33Rr) r (0 =68Y E,es radial tambin:2 220 0 Sr 4 E d d ) ( sen r E S d E r n r ) r ( E E = = - = . =} } }}t u tt, , ,Y finalmente para R r > : r r 4 QrR6Er 4 QrR6E0 000 0020232023||.|

\|+ = + = c tcc tc ,b)}- = l d E ) r ( V, ,i) Para R r >r 4Qr 6 R) r ( Vdrr14Qdrr16 Rdr r r r 4 Qr 6R) r ( V0 000 00 003r20r230r20230tc ctc ctc c + = (((

+ = -||.|

\|+ =} } } iii) Para R r a) Determine el vector fuerzaF,que la esfera ejerce sobre el alambre}= E dq F, ,b) Determine el potencial electrosttico ) (r V,de la esfera en cualquier punto del espacio69Figura P.1.8.1El campo elctrico para todo el espacio est dado por: r RE rE01=,, para R r s . r r E RE2220=,, para R r > .a) La Fuerza que la esfera ejerce sobre el alambre est dada por:}+ =x Rxdq E F, ,} }+ + =x RR2Rx1dq E dq E F, , ,, y el elemento diferencial de volumen dr dq0 =r x R R EX ER 21R E23Fr drr1E R dr rREF22x RR22Rx0 00 0 0 00 00 0||.|

\|+ = ||.|

\|+ =} }+ ,,b) Calculemos el potencial electroesttico para todo el espacio.i) Para R r >x xR0 Rz xy 70rE R) r ( Vdrr1E R l d E ) r ( V002r22r2= = - =} } , ,ii) Para R r sR 2r ER E23) r ( Vdr rREdrr1E R l d E ) r ( V2Rr R22r0000 = + = - =} } }, ,711.9 Problemas propuestosPROBLEMA 1Considere el sistema de la Figura PP.1.1, en el cual se conocen los valores para el potencialelctrico en los planos cilndricos definidos por los radios r=a, donde el potencial es nulo, yr=b donde vale V0.Figura PP.1.1Suponiendo que los campos slo dependen de r, se pide:a) Calcule el campo elctrico para a , se cumple que:1 2W W W = +Calculamos1 2Wy W:r`'SSRxyz13521 02221 0 30 0 0 01212 4r RRrW E dqW r r sen dr d dRt t uc tc u u t cs= = == | |= | \ .}}}} } }241 0 3012 4qW r sen dr d dRc u u t c| |= | \ .}}}251 0 30142 4 5q RWRc tt c| |= | \ .21022 02222 0 20 0 022 00220401212 41 142 48r Rr RqWRW E dqW r sen dr d drqWRqWRt t ut cc tc u u t cc tt ct c>= = == = | |= | \ .| |= |\ .= }}}} } }Finalmente:2 20 01 1 340 8 20q qWR R t c t c | |= + = | \ .1364.6 Problemas PropuestosPROBLEMA 1Setieneuncablecoaxial formadopor 2cilindros metlicos concntricos, delongitud(d1+d2) yradios a yb. El espacioentreambos conductores sellena condos mediosdielctricos no ideales, caracterizados por constantes dielctricas y conductividades (1 1, g c )en una zona de largo d1 y (2 2, g c ) en una zona de largo d2 respectivamente.Si se mantiene una diferencia de potencial V constante entre los cilindrosconductores, calculara) La densidad de corriente en el espacio entre los conductores (aa,b lo que permite suponer simetra radial. Desprecielas corrientes que circulan por los conductores.Figura PP.4.1.1PROBLEMA 2Encuentrelacantidaddeenergaalmacenadaenel campoelctricoproducidopor unaesfera que mide 3m de radio y que tiene una densidad uniforme de carga822 10sCm (= ( si se supone que la esfera est en el vaco (0c c = ).V +d1 d22 2, g c1 1, g cab137AnexoPginas Web excelentes:1.- http://www.acienciasgalilei.com/videos/3electricidad-mag.htm .El sitio es de la Academia de Ciencias Galilei y en la seccin de videos de electromagnetismo contienealrededor de 74 videos, que fueron elaborados por el California Institute of Technology y estn dobladosal espaol. Los videos son muy explicativos e interesantes.2.- http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/index.htmlExcelentes y explicativas imgenes, animaciones; adems de aplicaciones y simulaciones en javaapplets y shockwave. Ordenados en Campos Vectoriales, Electrosttica, Magnetosttica, Ley de Faradayy Luz. Adems de extensas guas (en ingls) sobre los temas del curso (Course Notes) y un Tour Guiado(Guided Tour), ambas secciones con links a algunos de estos complementos. Desarrollada por el MIT, lapginaes partedel proyectoTEAL(TechnologyEnabledActiveLearning) utilizadoenel cursodeElectricidad y Magnetismo de los mechones del MIT. La distribucin y aplicacin del material es libre conpropsitos de educacin sin fines de lucro y ponindolo en el conocimiento del MIT TEAL/Studio PhysicsProyect. Project Manager: Andrew McKinney. Material recomendable para exposicin en clase, aunquelas aplicaciones requieren de buenos recursos de sistema.3.- (http://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/)Hay slo 8 Flash de electricidad y magnetismo de un total de 91. El resto de los Flash tratan de Caos,MecnicaClsica, Micrmetro, Miscelneos, MecnicaCuntica, Relatividad, etc. Los FlashfuerondesarrolladosporDavisM.Harrisondel DepartamentodeFsicadelaUniversidaddeToronto; tienencopyright y estn bajo licencia Creative Commons.4.- http://dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index1.htmlSeencuentranenestapgina5videosdeelectricidadymagnetismo, de18entotal. stostratandeinteraccin entre imanes, el experimento de Oersted, acciones entre corrientes (Ampre), campomagnticodeunsolenoideydelaley deFaraday. El restotratadecmoefectuar medidas coninstrumentos y otros experimentos de fsica. Son buenos videos. Fueron desarrollados por elDepartamento de Fsica de la Universidad de Alicante.5.- http://newton.cnice.mecd.es/2bach/campmag/mag_bobina.htm?2&2Appletsdejavaquetratandeimanes, lneasdefuerza, induccinmagntica, accinycreacindecamposmagnticosycorrientealterna. Lapginaperteneceal MinisteriodeEducacinyCienciadeEspaa, y fue desarrollado (al parecer) por Jos Luis San Emeterio.Otras:6.- http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/electr.htmElectromagnetismo: delaCienciaalaTecnologa Interesantelibrosobreel electromagnetismo, suhistoria, evolucinyaplicaciones, escritopor Eliezer Braun. Formapartedeunacoleccinvirtual delibrosLaCienciaParaTodos desarrolladapor ILCE(InstitutoLatinoamericanodelaComunicacinEducativa), que est ordenada por materias: Astronomia, Biologa, Ciencias de la Tierra, Fsica,Ingeniera, Matemtica, Qumica y Varia.7.- http://www.unizar.es/lfnae/luzon/CDR3/electromagnetismo.htmApplets sobre electromagnetismo, recopilados de Internet, con breves explicaciones acerca delfenmenoencuestin. Partedelapginapersonal deGloriaLuzn, profesoradelaUniversidaddeZaragoza.1388.- http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/elecmagnet.htmExtensos textos y desarrollos matemticos acerca del electromagnetismo con dibujos y algunos appletscomoapoyo. PartedelapginaFsicaconOrdenador. CursointeractivodeFsicaenInternet, delprofesor ngel Franco Garca, de la Universidad del Pas Vasco.9.- http://personales.upv.es/jquiles/prffi/indice.htmProblemas resueltos de Campos, Electrosttica, Conductores y Dielctricos, Electrocintica, Anlisis deRedes, Semiconductores, Campo Magntico, y Corriente Alterna. Pgina de Isidro Jos Quiles Hoyo, dela Universidad Politcnica de Valencia.10.- http://www.licimep.org/Curso2007/Electromagnetismo/ProblemasResueltos.htmProblemasresueltosdel librodeResnickydel librodeMurphyenformatopdf. Pginadentrodelapgina de la Liga de Ciclismo de Montaa del Estado de Puebla (? Ciclistas muy bien formados).11.- http://www.fis.puc.cl/~fis1532/wguia07.htmDiezguasdeElectromagnetismoquetratandesdelasleyesdeCoulombyGausshastaInduccinMagntica, condibujoscomoapoyoalosdesarrollos. Ademshayguasescaneadasdealgnlibroantiguo. La pgina es del curso de Electricidad y Magnetismo del 1er semestre del 2003 de laUniversidad Catlica.12.- http://petra.euitio.uniovi.es/~acamba/teoria/HaycontenidosdesdeClculoVectorial yCamposhastaInduccinMagnticayCorrienteAlterna, enformatopdf, conejemplosdesarrolladosydibujos. Espartedelapginadel profesorAlfonsoCambaMenndez de la Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Informtica de Oviedo, Espaa.13.- http://www.portalplanetasedna.com.ar/magnetismo.htmArtculo sobre el magnetismo terrestre, teoras sobre su origen, caractersticas y variacin, apoyado con1dibujo. Fuentedel artculo: GranEnciclopediaUniversal (Cap. 23). Partedel sitioargentinoPlanetaSedna.14.- http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/fisica/electymagne/TEORIA/examenes/indice.htmProblemas resueltos de Oscilaciones y Ondas, Campo Elctrico, Campo Magntico y Camposdependientesdel tiempo.Enunciadoscondibujos, solucionesa manoy escaneadas.Preparadaporelprofesor ArturoBussodela FacultaddeCienciasExactasyNaturalesyAgrimensura, UniversidadNacional del Nordeste, Argentina.15.- http://www.walter-fendt.de/ph14s/Pgina del profesor alemn Walter Fendt. Slo hay 9 applets de electrodinmica en la versin espaola,de un total de 13 en la versin alemana.