APUNTES DE ANALISIS FUNCIONAL

LUIS MARTINEZ ALONSO (curso 2011-2012)

Estas son las notas que entregue a lo largo de los cuatro meses, desde octubre hasta enero del curso2011-2012, a mis estudiantes de Analisis Funcional. En ellas resumı lo que buenamente creı capaz deexplicarles de acuerdo con lo que considere importante y util para sus estudios en asignaturas de fısica.Quiero agradecer a mis estudiantes, especialmente a Pablo Rodriguez Sanchez y a Hector MartınezRodriguez, su ayuda en la correccion de diversos errores en la redaccion de estos apuntes.

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1.TEORIA DE CONJUNTOS

Operaciones con conjuntos

Definicion 1. Dados dos conjuntos X1 y X2 se define

Union X1 ∪X2 = x que pertenecen a X1 o a X2

Interseccion X1 ∩X2 = x que pertenecen a ambos X1 y X2

Producto cartesiano X1 × X2 = parejas ordenadas (x1, x2) donde x1 ∈ X1 y x2 ∈ X2 o equiva-lentemente:

X1 ×X2 = aplicaciones x : 1, 2 → X1 ∪X2 tales que x(1) ∈ X1 y x(2) ∈ X2

Estas operaciones se generalizan a familias de conjuntos Xa | a ∈ A no vacios indexadas mediantelos elementos a de un conjunto cualquiera A no vacio.⋃

a∈AXa = x que pertenecen a algun Xa⋂a∈AXa = x que pertenecen a la vez todos los Xa ∏a∈AXa = aplicaciones x : A→

⋃a∈AXα tales que x(α) ∈ Xα para todo α ∈ A

El conjunto de Russell

Hay muchos conjuntos cuyos elementos son a su vez tambien conjuntos.

Es facil construir ejemplos elementales de este tipo como X = 1, 1, 2,...

Un ejemplo importante es el conjunto P(X) de los subconjuntos de un conjunto X.

En este curso veremos varios conjuntos de este tipo mucho mas complicados.

Bertrand Russell introdujo el siguiente conjunto

R = conjuntos X tales que no son elementos de ellos mismos (X 6∈ X).

Es facil pensar en conjuntos X que son elementos de R (X 6∈ X), pero no lo es encontrar conjuntos Xque no sean elementos de R (X ∈ X). La pregunta es si R ∈ R y obviamente la respuesta es que si ysolo si R 6∈ R. Lo cual es una contradiccion. Conclusion:

¡¡R no puede ser aceptado como conjunto!!

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El axioma de eleccion

El axioma de eleccion: Dada una familia de conjuntos Xa | a ∈ A no vacios indexada mediante unconjunto no vacio A, entonces existe alguna funcion (funcion de eleccion) :

x : A→⋃α∈AXa tal que x(a) ∈ Xa para todo a ∈ A.

De forma equivalente∏

a∈AXa 6= ∅.

Introducido por Zermelo en 1904.

En 1938 Godel probo que este axioma no es contradictorio con los restantes axiomas de la teorıade conjuntos.

En 1964 Cohen probo que este axioma no puede deducirse de los restantes axiomas de la teorıade conjuntos.

Aun no se sabe si los axiomas de la teorıa de conjuntos estan libres de contradicciones.

En este curso aceptamos el axioma de eleccion

Relaciones en conjuntos

Definicion 2. Una relacion en un conjunto X es un subconjunto no vacio R de X × X. Dados doselementos x, y ∈ X se dice que estan relacionados (se indica como xRy) si (x, y) ∈ R. Una relacion

R =∼ es de equivalencia cuando satisface las propiedades

1. Reflexiva: x ∼ x para todo x ∈ X.

2. Simetrica: Dados x, y ∈ X tales que x ∼ y entonces y ∼ x.

3. Transitiva: Dados x, y, z ∈ X tales que x ∼ y e y ∼ z entonces x ∼ z.

La clase de equivalencia de cada elemento x ∈ X es el subconjunto [x] = y ∈ X | y ∼ x. Dosclases [xi], i = 1, 2 o coinciden o son disjuntas dependiendo de si x1 y x2 estn relacionados o no. Elconjunto de todas las clases de equivalencia se denota X/ ∼ y se denomina conjunto cociente de X porla relacion ∼:

Una relacion R =≤ es de orden cuando satisface las propiedades

1. Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ X.

3

2. Antisimetrica: Dados x, y ∈ X tales que x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.

3. Transitiva: Dados x, y, z ∈ X tales que x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.

En ese caso:

Dado un subconjunto A ⊂ X diremos que esta totalmente ordenado si dados dos elementoscualesquiera x, y ∈ A, estos son siempre comparables. Es decir o x ≤ y o y ≤ x.

Dado un subconjunto A ⊂ X, diremos que un elemento x0 ∈ X es una cota superior de A six ≤ x0 para todo x0 ∈ A. Diremos que un elemento x0 ∈ A es un elemento maximal de A si nohay elementos mas grandes que el en A (si x ∈ A es tal que x0 ≤ x, entonces x = x0).

Se demuestra el siguiente resultado fundamental:

Teorema 1. Lema de Zorn Dada una relacion de orden (X,≤) en un conjunto no vacio X, sitodo subconjunto totalmente ordenado de X admite alguna cota superior entonces existen elementosmaximales de X.

Un par de definiciones mas:

Dado un subconjunto A ⊂ X, diremos que un elemento x0 ∈ A es el primer elemento de A six0 ≤ x para todo x ∈ A.

Una relacion de orden (X,≤) se dice que define una buena ordenacion en el conjunto X si todosubconjunto A ⊂ X posee un primer elemento.

Se demuestra tambien el siguiente resultado fundamental:

Teorema 2. Los siguientes enunciados son equivalentes

1. El axioma de eleccion.

2. El lema de Zorn.

3. Dado un conjunto no vacio cualquiera X, siempre existe una buena ordenacion en X.

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INFINITOS

Numeros cardinales

Definicion 3. Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes cuando existe una aplicacion bi-yectiva f : A → B entre ellos. En tal caso se dice que tienen el mismo numero cardinal y se escribe|A| = |B|. Un conjunto X se dice que es un conjunto infinito cuando es equipotente a uno de sussubconjuntos propios A ⊂ X, A 6= X.

Ejemplo 1. El conjunto de los numeros naturales N = 0, 1, 2, . . . es infinito dado que es equipotente alconjunto de los numeros naturales pares Npares = 0, 2, 4, . . .. Basta considerar la aplicacion biyectiva

f : N→ Npares, f(n) = 2n.

Evitando utilizar el concepto de ”conjunto de todos los conjuntos” podemos probar que:

La equipotencia define una relacion de equivalencia entre conjuntos.

Un numero cardinal es una clase de equivalencia respecto de la relacion de equipotencia.

Los numeros naturales describen los numeros cardinales de los conjuntos finitos:

|∅| = 0, |a| = 1, |a, b| = 2, . . . .

Debido a la presencia de conjuntos infinitos, existen numeros cardinales que no son representadospor numeros naturales. Por ejemplo |N|, |R|, . . .

Definicion 4. Dados dos numeros cardinales α = |A| y β = |B|, se dice que α ≤ β cuando existe unaaplicacion inyectiva f : A→ B.

5

Se comprueba que:

La definicion es independiente de los representantes A y B de los cardinales α y β.

La definicion establece una relacion de orden entre los numeros cardinales. Ademas es una relacionde orden total. Es decir, dados dos numeros cardinales α y β

α ≤ β o β ≤ α .

No hay un numero cardinal maximal debido al teorema fundamental de Cantor: Dado cual-quier conjuntoX su cardinal es estrictamente menor que el del conjunto P(X) de sus subconjuntos:

|X| < |P(X)|.

El cardinal |N| de los numeros naturales es el primer cardinal infinito, no existe ningun otromas pequeno, y se denota ℵ0 (aleph-0). Por definicion un conjunto A se dice que es infinitonumerable si |A| = ℵ0. Es decir, si existe una aplicacion biyectiva

f : N→ A.

La potencia del continuo

El cardinal |R| de los numeros reales es tambien un cardinal infinito y se denota c (la potencia delcontinuo). Podemos probar que

c > ℵ0, (1)

es decir que R no es numerable, siguiendo un famoso metodo debido a Cantor. En primer lugar tenemosque el intervalo abierto (0, 1) es equipotente al conjunto de todos los reales R pues basta representar laaplicacion siguiente

f : (0, 1)→ R, f(x) = −1

x+

1

1− x.

para ver que es biyectiva. Por tanto|R| = |(0, 1)|. (2)

Veamos ahora queℵ0 < |(0, 1)|. (3)

Supogamos que no fuera ası. Es decir que el intervalo (0, 1) fuera numerable. Entonces existirıa unaaplicacion biyectiva

f : N→ (0, 1).

Por tanto el conjunto (0, 1) se reducirıa a la sucesion (rn)∞n=0 donde rn = f(n)

(0, 1) = r0, r1, r2, . . .. (4)

6

Para ver que esto no es posible consideremos la representacion decimal de los numeros rn

r0 = 0, a(0)0 a

(1)0 a

(2)0 a

(3)0 · · ·

r1 = 0, a(0)1 a

(1)1 a

(2)1 a

(3)1 · · ·

r2 = 0, a(0)2 a

(1)2 a

(2)2 a

(3)2 · · ·

. . . . . .

rn = 0, a(0)n a(1)

n a(2)n a(3)

n · · ·. . . . . .

donde los numeros a(j)i son dıgitos decimales 0, 1, 2, . . . , 9. Construyamos ahora un numero x ∈ (0, 1)

x = 0, x0x1x2x3 · · · ,

tomando sus dıgitos decimales de forma que (diagonal de Cantor)

xn 6= a(n)n , ∀n. (5)

Este numero x no esta en la sucesion (rn)∞n=0 , pues debido a (5) es distinto de cada rn (su cifra n-esimaes diferente de la cifra n-esima de rn). LLegamos ası a una contradiccion con (4), lo cual demuestra quenuestra hipotesis de que el intervalo (0, 1) es numerable es falsa. De esta forma se cumple (3) y comoconsecuencia hemos probado (1).

Otro de los resultados fundamentales de la teorıa de numeros cardinales es la igualdad

Teorema 3.c = |P(N)| (6)

Operaciones con numeros cardinales

Definicion 5. Dados dos numeros cardinales α y β su suma se define como:

α + β = |A ∪B|,

siendo A y B conjuntos disjuntos (A ∩B = ∅) tales que α = |A| y β = |B|.

Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la suma de numeros cardinales:

1. Conmutativa: α + β = β + α.

2. Asociativa: α + (β + γ) = (α + β) + γ.

3. α ≤ α + β para todo β.

7

4. Si α es un cardinal infinito y β ≤ α entonces α + β = α.

Ejemplo 2. El cardinal del conjunto Z de los numeros enteros es ℵ0:

|Z| = |N| = ℵ0.

Para demostrarlo basta ver que obviamente los cardinales de los conjuntos Z+ de numeros enterospositivos (x ≥ 0), y Z− de numeros enteros negativos (x < 0) es ℵ0. Entonces, usando la propiedad 4deducimos:

|Z| = |Z+ ∪ Z−| = |Z+|+ |Z−| = ℵ0 + ℵ0 = ℵ0.

Ejemplo 3. El cardinal del conjunto Q de los numeros racionales es tambien ℵ0:

|Q| = |N| = ℵ0. (7)

Basta ver que la aplicacionf : Q+ → N, f(n/m) = 2n 3m,

donde Q+ es el conjunto de numeros racionales positivos n/m ≥ 0 en forma de fraccion irreducible , esinyectiva. Por tanto

|Q+| ≤ |N| = ℵ0,

y obviamente|Q| = |Q+ ∪Q−| = |Q+|+ |Q−| ≤ ℵ0 + ℵ0 = ℵ0.

Entonces dado que N ⊂ Q se tiene tambien que ℵ0 = |N| ≤ |Q|, ası que se verifica (7).

Definicion 6. Dados dos numeros cardinales α y β su producto se define como:

αβ = |A×B|,

siendo A y B conjuntos tales que α = |A| y β = |B|.

Se pueden demostrar las propiedades siguientes del producto de numeros cardinales:

1. Conmutativa: αβ = βα.

2. Asociativa: α(βγ) = (αβ)γ.

3. α ≤ αβ para todo β ≥ 1.

4. Si α es un cardinal infinito y β ≤ α entonces α · β = α.

Ejemplo 4. Utilizando estas propiedades y teniendo en cuenta que

An = An−1 × A,

es inmediato probar que

|Nn| = |Zn| = ℵ0, |Rn| = c, |Cn| = |R2n| = c.

8

Definicion 7. Dados dos numeros cardinales α y β se define:

αβ = |aplicaciones f : B → A |

siendo A y B conjuntos tales que α = |A| y β = |B|.

Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la operacion de exponenciacion:

1. αβ+γ = αβαγ.

2. (αβ)γ = αβγ.

3. (αβ)γ = αγβγ.

4. Si β1 ≤ β2 entonces αβ1 ≤ αβ2 para todo α ≥ 1.

5. Si α1 ≤ α2 entonces αβ1 ≤ αβ2 .

Ejemplo 5. Veamos que para todo conjunto X

|P(X)| = 2|X|. (8)

Existe una correspondencia biyectiva A → fA entre P(X) y el conjunto aplicaciones f : X → 0, 1pues basta asociar a cada subconjunto A ⊂ X la aplicacion

fA : X → 0, 1, f(x) =

1 si x ∈ A0 si x 6∈ A.

De esta forma|P(X)| = |aplicaciones f : X → 0, 1| = |0, 1||X| = 2|X|.

En vista de la identidad (8) tenemos que

Para todo cardinal α se verifica que α < 2α.

c = 2ℵ0 .

Ejemplo 6. Veamos queℵℵ00 = ℵ1. (9)

Basta considerar la cadena de desigualdades siguiente

2ℵ0 ≤ ℵℵ00 ≤ (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0ℵ0 = 2ℵ0 .

Ejemplo 7. Otra identidad interesante es

ℵ0 2ℵ0 = 2ℵ0 , (10)

que se deduce de la cadena de desigualdades siguiente

2ℵ0 ≤ ℵ02ℵ0 ≤ 2ℵ02ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 = 2ℵ0 ,

o bien utilizar la propiedad 4 del producto de cardinales, dado que 2ℵ0 = c > ℵ0 .

9

La hipotesis del continuo

Una pregunta que surge de manera natural es si existe algun cardinal entre ℵ0 y c

Hipotesis del continuo: No existe ningun cardinal α tal que ℵ0 < α < c

Se deduce del axioma de eleccion.

Como consequencia, dado que c es el siguiente infinito tras ℵ0, la potencia del continuo se denotatambien como aleph-1

c = ℵ1.

Hipotesis del continuo generalizada: Para todo cardinal infinito λ no existe ningun cardinal α talque λ < α < 2λ

Esta hipotesis tambien resulta ser compatible con los axiomas de la teorıa de conjuntos , aunqueno se deduce como consecuencia del axioma de eleccion.

De la hipotesis del continuo generalizada se deduce el axioma de eleccion.

Como consecuencia de la hipotesis del continuo generalizada, partiendo del primer infinito ℵ0 podemosgenerar toda una secuencia de infinitos ℵk+1 = 2ℵk ordenada de menor a mayor y sin huecos entre ellos

ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . . , serie transfinita de alephs. (11)

Ejemplo 8. Un ejemplo tıpico de espacio funcional es

F = funciones f : R→ C.

Su cardinal correspondiente se calcula en la forma siguiente:

|F| = |C||R| = cc = (2ℵ0)2ℵ0 = 2ℵ02ℵ0 = 22ℵ0 = 2ℵ1 = ℵ2. (12)

Ejemplo 9. El conjunto R[x] de los polinomios de una variable real

p(x) = an xn + an−1 x

n−1 + · · ·+ a1 x+ a0,

posee una correspondencia biyectiva con el conjunto de sucesiones de numeros reales (a0, a1, a2, . . .) consolo un numero finito de elementos no nulos. Luego el cardinal de R[x] es meor o igual que el delconjunto de todas las sucesiones que a su vez puede representarse como

RN = funciones f : N→ R.

De esta forma:|R[x]| ≤ |RN| = |R||N| = cℵ0 = (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0ℵ0 = 2ℵ0 = c.

Por otro lado |R[x]| ≥ c, pues el conjunto de polinomios constantes es equipotente a R y forma unsubconjunto de R[x]. En definitiva

|R[x]| = c.

10

2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE

Limitaciones de la integral de Riemann

Solo son integrables Riemann funciones ”casi continuas”.

Los intercambios con la operacion de lımite

lımn→∞

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

lımn→∞

fn(x) dx,

solo son ciertos bajo condiciones muy fuertes (convergencia uniforme...).

Como consecuencia los espacios naturales de funciones integrables Riemann del tipo

Lp = funciones f : [a, b]→ C tales que∫ ba|f(x)|p dx es finita ,

tienen una estructura deficiente.

El conjunto de Borel de RN

En RN hay subconjuntos muy complicados , para definir un buen concepto de integral necesitamosselecionar una clase de subconjuntos de RN que sean a la vez suficientemente generales y sencillos.Para ello podemos partir de los intervalos abiertos I = (a1, b1) × (a2, b2) × · · · × (aN , bN) y medianteoperaciones sencillas (complementacion, union ) formar dicha clase.

Definicion 8. Sea F un subconjunto de P(RN). Es decir los elementos de F son subconjuntos de RN .Se dice que F es una σ-algebra de RN cuando

1. ∅ ∈ F .

2. X ∈ F =⇒ X ∈ F .

3. Para toda familia infinita numerable Xnn≥1 de elementos de F

∪n≥1Xn ∈ F .

El propio conjunto P(RN) es obviamente una σ-algebra de RN .

11

Ejemplo 10. Como consecuencias inmediatas se deduce que

RN ∈ F

Para toda familia infinita numerable Xnn≥1 de elementos de F

∩n≥1Xn ∈ F .

Basta usar que ∅ = RN y que ∪n≥1Xn = ∩n≥1Xn.

Ejemplo 11. La interseccion de σ-algebras Fa, (a ∈ A) de RN

∪a∈AFa,

es tambien una σ-algebra de RN .

Definicion 9. Se define el conjunto de Borel B de RN como la interseccion de todas las σ-algebras Fde RN que contienen a la topologıa τ de RN (τ es el subconjunto de P(RN) formado por los abiertos deRN)

B = ∩F⊃τF .

Los elementos de B se denominan conjuntos Borelianos de RN .

Se demuestran inmediatamente las siguientes propiedades

1. B es una σ-algebra de RN .

2. Los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados de RN son elementos de B.

3. Toda union o interseccion numerable de elementos de B es un elemento de B.

4. Todo conjunto finito o infinito numerable de puntos de RN es un elemento de B.

Ejemplo 12. Sean los subconjuntos de R

A = numeros racionales en [a, b] , B = numeros irracionales en [a, b] .

El conjunto A es Boreliano por ser un conjunto numerable. En cuanto a B tambien lo es ya que

B = A ∩ [a, b].

12

Medida de Borel en RN

Queremos definir el concepto de medida de subconjuntos de RN (longitud en R, area en R2, volumenen R3,. . . ). No es posible hacerlo de una forma aceptable para todos los subconjuntos de RN , pero sı loes para los pertenecientes al conjunto de Borel.

Definicion 10. Comenzamos definiendo la medida de intervalos abiertos

I = (a1, b1)× (a2, b2)× · · · × (aN , bN)

de RN con bi ≥ ai en la forma usual:

µ(I) =N∏i=1

|bi − ai|.

Definimos la nocion de medida para un Boreliano B cualquiera de RN considerando sus recubrimien-tos mediante teselaciones de intervalos abiertos (familias numerables de intervalos abiertos T = Inn∈Atales que B ⊂ ∪n∈AIn)

µ(B) = Inf∑

n∈A µ(In) tal que T = Inn∈A es una teselacion que recubre a B.

Es decir µ(B) representa la ”menor” de las medidas de tales recubrimientos.

Teorema 4. La nocion de medida posee las siguientes propiedades:

a) µ(∅) = 0.

b) Para toda familia infinita numerable Bnn≥1 de Borelianos disjuntos dos a dos

µ(∪∞n=1Bn) =∞∑n=1

µ(Bn).

c) Para todo Boreliano B

µ(B) = Supµ(K) tal que K es compacto y K ⊂ B = Infµ(A) tal que A es abierto y B ⊂ A.

Ejemplo 13. Dados Borelianos B1 ⊂ B2

µ(B1) ≤ µ(B2).

dado que es la union de dos Borelianos disjuntos

B2 = B1 ∪ (B2 −B1), B2 −B1 = B1 ∩B2.

Ası queµ(B2) = µ(B1) + µ(B2 −B1) ≥ µ(B1).

13

Ejemplo 14. Una propiedad muy importante es :

B finito o infinito numerable =⇒ µ(B) = 0.

Para demostrarlo vemos en primer lugar que si B tiene un unico punto B = b podemos tomarrecubrimientos de B con un solo intervalo I(ε) de lado ε > 0 arbitrario. Por tanto

µ(B) ≤ µ(I(ε)) = εN , ∀ε > 0,

Luego µ(B) = 0. Para los restantes casos B = b1, b2, . . . , bn, . . . usamos la propiedad b) de la medida(Teorema 4)

µ(B) =∑n≥1

µ(bn) =∑n≥1

0 = 0.

Definicion de integral de Lebesgue

Sea I = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [aN , bN ] un intervalo cerrado de RN y f : I → R una funcionpositiva f(x) ≥ 0, ∀x ∈ I. Recordemos el concepto de integral de Riemann∫

I

f(x) dNx. (13)

Para construir la integral en el sentido de Riemann se toman particiones del dominio I de f

I = ∪ni=1Ii,

en n intervalos con medida no nula µ(Ii) > 0 y solapamientos con medida cero (µ(Ii ∩ Ij) = 0 i 6= j) ,se toma un punto arbitrario xi ∈ Ii en cada uno de ellos y se forma la suma de Riemann

R(Iini=1, xini=1) =n∑i=1

f(xi)µ(Ii).

La integral de Riemann se define cuando el lımite n→∞ de cualquier sucesion de sumas de Riemann,enel que se supone que la medida de los miembros Ii de las particiones tiende a cero,existe y es el mismovalor finito independiente de la sucesion elegida. En ese caso se toma∫

I

f(x) dNx = lımn→∞

R(I(n)i ni=1, x

(n)i ni=1). (14)

Sin embargo para construir la integral en el sentido de Lebesgue se toman particiones de unintervalo [m,M ] de R que contenga al recorrido de f

[m,M ] = [m0,m1] ∪ [m1,m2] ∪ . . . ∪ [mn−1,mn], m0 = m < m1 < m2 < . . . < mn = M,

14

se toma un punto arbitrario yi ∈ [mi−1,mi] en cada uno de ellos y se forma la suma de Lebesgue

L(mini=1, yini=1) =n∑i=1

yi µ(f−1([mi−1,mi])).

Si existe el lımite cuando n → ∞ de cualquier sucesion de estas sumas, en que todas las longitudesde los intervalos [mi−1,mi] deben tender a cero, y es el mismo valor finito independientemente de laeleccion de los puntos yi entonces la integral de Lebesgue se define como dicho lımite∫

I

f(x) dNx = lımn→∞

L(m(n)i ni=1, y

(n)i ni=1), (15)

Los dos conceptos son procedimentos distintos de medir lo mismo. Es como si para determinar elvalor de una fila de distintas monedas seguimos los siguientes dos procedimientos.

(Riemann) Vamos recorriendo la fila de monedas desde la primera a la ultima y vamos sumandolos valores de cada moneda.

(Lebesgue) Vemos que valores aparecen en la fila de monedas y vamos sumando los terminosdados por cada valor multiplicado por el numero de monedas con ese valor.

Sin embargo el procedimiento de Lebesgue es mucho mejor pues permite integrar mas funcionesque el de Riemann.

a bx1 x2

15

a b

m

My2

y1

Ejemplo 15. Para funciones simples (aquellas que solo toman un numero finito de valores sobre sudominio)

s(x) =b∑i=1

yi χBi(x), Bi = f−1(yi).

La integral de Lebesgue se reduce obviamente a∫I

s(x) dNx =

p∑i=1

yi µ(Bi). (16)

Puede probarse que la integral de Lebesgue de una funcion positiva, que incluso puede tener singulari-dades en un conjunto de medida nula, f : I → R+ ∪ ∞ es dada por∫

I

f(x) dNx = Sup∫I

s(x) dNx con s = s(x) simple y tal que 0 ≤ s ≤ f (17)

Ejemplo 16. Un ejemplo de funcion que no es integrable Riemann pero si es integrable Lebesgue es lallamada funcion de Dirichlet f : [0, 1]→ R definida en la forma siguiente

f(x) =

0 si x es un numero racional en [0, 1]

1 si x es un numero irracional en [0, 1].

Adviertase que f es una funcion simple:

f(x) = χB(x), B = numeros irracionales en [0, 1]. (18)

Veamos que f no es integrable Riemann. Para ello consideremos una particion cualquiera [0, 1] =∪ni=1Ii del dominio [0, 1] de f . Cada intervalo Ii contiene siempre numeros racionales e irracionales,

16

independientemente de su medida. Por tanto siempre podemos formar , en particular, sumas de Riemann

n∑i=1

f(xi)µ(Ii),

en que todos los puntos xi son numeros racionales (caso 1) o en que todos los puntos xi son numerosirracionales (caso 2). En cada caso tenemos que

f(xi) =

0, ∀i = 1, . . . , n ( caso 1)

1, ∀i = 1, . . . , n (caso 2).

Ası se obtiene que las sumas de Riemann correspondientes son

R(Iini=1, xini=1) =

∑n

i=1 0 · µ(Ii) = 0 ( caso 1)

∑ni=1 1 · µ(Ii) =

∑ni=1 µ(Ii) = µ([0, 1]) = 1 (caso 2).

Luego esta claro que el lımite (14) no existe.Por otro lado el recorrido de f esta formado por los dos numeros 0, 1 y un intervalo que contiene

a este recorrido es el [0, 1], las particiones del cual son de la forma

[0, 1] = [m0,m1] ∪ [m1,m2] ∪ . . . ∪ [mn−1,mn], m0 = 0 < m1 < m2 < . . . < mn = 1.

Tomemos un punto arbitrario yi ∈ [mi−1,mi] en cada subintervalo de la particion y consideremos lassumas de Lebesgue

L(mini=1, yini=1) =n∑i=1

yi µ(f−1([mi−1,mi])).

Obviamente todos los conjuntos f−1([mi−1,mi]) son vacios salvo

f−1([m0,m1]) = f−1([0,m1]) = f−1(0) = racionales en [0, 1],

f−1([mn−1,mn]) = f−1([mn−1, 1]) = f−1(1) = irracionales en [0, 1].

cuyas medidas respectivas son 0 y 1. De esta forma

n∑i=1

yi µ(f−1([mi−1,mi])) = y0 · 0 + yn · 1 = yn,

ası al tomar el lımite n → ∞ con todas las longitudes de los intervalos [mi−1,mi] tendiendo a ceroentonces yn → 1. Lo cual demuestra que el lımite (15) existe y que en el sentido de Lebesgue∫ 1

0

f(x) dx = 1.

17

Este mismo resultado se obtiene de forma inmediata usando (16) y (18) ya que∫ 1

0

f(x) dx =

∫ 1

0

χB(x) dx = µ(B) = 1.

Para la consistencia de la definicion de integral de Lebesgue debemos aplicarla a una clase apropiadade funciones:

Definicion 11. Una funcion f : I → C∪∞: es medible Borel si para todo Boreliano B de C = R2

su imagen inversa f−1(B) es un Boreliano de R.

Se puede demostrar que

f = u+ i v es medible Borel si y solo si lo son u y v.

Si f y g son medibles Borel tambien lo son f + g , λ f (λ ∈ C), fg.

La composicion de dos funciones medibles Borel es una funcion medible Borel.

Si f(x) = lımn→∞ fn(x) para todo x ∈ I, donde las fn son medibles Borel, entonces tambien lo esf .

Toda funcion continua salvo en un conjunto numerable de puntos es medible Borel.

En este curso supondremos que todas las funciones que empleamos son medibles Borel

Definicion 12. La definicion (15) de integral de Lebesgue para funciones positivas puede extendersea funciones f : I → C ∪ ∞ definidas sobre intervalos (finitos o infinitos ) I ⊂ RN y con valorescomplejos f(x) = u(x) + i v(x). Siguiendo el proceso de reduccion siguiente∫

I

f(x) dNx =

∫I

u(x) dNx+ i

∫I

v(x) dNx. (19)∫I

u(x) dNx =

∫I

u+(x) dNx−∫I

u−(x) dNx,

∫I

v(x) dNx =

∫I

v+(x) dNx−∫I

v−(x) dNx, (20)

donde u± y v± son las funciones positivas siguientes:

u±(x) = max±u(x), 0, v±(x) = max±v(x), 0.

Propiedades de la integral de Lebesgue

Muchas veces en este curso nos encontraremos con enunciados que se cumplen para todos los ele-mentos de un conjunto salvo en un subconjunto de medida cero. En ese caso diremos que el enunciadose cumple en todo el conjunto casi doquiera y lo indicaremos escribiendo c.d.

18

c.d. quiere decir ”casi doquiera”

La integral de Lebesgue posee las propiedades siguientes:

1. Linealidad: ∫I

(α f(x) + β g(x)) dNx = α

∫I

f(x) dNx+ β

∫I

g(x) dNx.

2. Aditividad respecto del dominio: Si I = I1 ∪ I2 con µ(I1 ∩ I2) = 0 entonces∫I

f(x) dNx =

∫I1

f(x) dNx+

∫I2

f(x) dNx.

3. Desigualdad de valores absolutos ∣∣∣ ∫I

f(x) dNx∣∣∣ ≤ ∫

I

|f(x)| dNx.

4. Conservacion de desigualdad para funciones con valores reales

f ≤ g =⇒,∫I

f(x) dNx ≤∫I

g(x) dNx.

5. Si f(x) = g(x) c.d. en I entonces ∫I

f(x) dNx =

∫I

g(x) dNx.

6. f es integrable Lebesgue si solo si |f | es integrable Lebesgue.

7. Si f(x) ≥ 0 c.d. en I entonces∫I

f(x) dNx = 0⇐⇒ f(x) = 0 en I c.d.

Ejemplo 17. Demostremos la propiedad 6 que es nueva respecto de lo que conocemos de la teorıa dela integral de Riemann. Escribamos f(x) = u(x) + i v(x). Obviamente por la propiedad 3) si la integralde |f | es finita, tambien lo sera la de f . Por otro lado

|f(x)| =√u(x)2 + v(x)2 ≤

√(|u(x|+ |v(x)|)2 = |u(x)|+ |v(x)|

= u(x)+ + u(x)− + v(x)+ + v(x)−,

entonces dado que si f es integrable tambien lo son las cuatro funciones que aparecen al final de estadesigualdad, por la propiedad 4) se deduce que si la integral de f(x) es finita tambien la de |f(x)| esfinita.

19

Comparacion entre las integrales de Riemann y de Lebesgue

En el teorema siguiente se proporciona: por un lado un criterio general para determinar si unafuncion es integrable Riemann y por otro dos resultados que permiten rentabilizar nuestra experienciade calculo con la integral de Riemann para el calculo de integrales de Lebesgue.

Teorema 5. Se verifica:

1. Si f : I → C es una funcion acotada sobre un intervalo I cerrado y acotado. Entonces f esintegrable Riemann si y solo si f es continua en I c.d. En ese caso f es tambien integrableLebesgue y las dos integrales correspondientes son iguales.

2. Sea f : I → C∪∞ una funcion continua en I con, a lo sumo, un numero finito de singularidadessiendo I un intervalo cerrado y posiblemente no acotado. Entonces si existe la integral impropiaen el sentido de Riemann ∫

I

|f(x)| dNx, (21)

tambien existe la integral ∫I

f(x) dNx, (22)

en los sentidos de Riemann y Lebesgue y proporcionan el mismo valor. Si la integral impropia (21)no existe en el sentido de Riemann entonces la integral (22) no existe en el sentido de Lebesgue.

Espacios Lp de Lebesgue

Definicion 13. El espacio de funciones integrables Lebesgue sobre un intervalo I finito o infinito deRN se define como

L(I) = Funciones f : I → C tales que∫I|f(x)| dNx <∞ . (23)

Pueden generalizarse tomando en la forma

Lp(I) = Funciones f : I → C tales que∫I|f(x)|p dNx <∞ , (24)

siendo p ≥ 1 un numero real.

20

Intercambio entre lımites e integrales

Una de las aportaciones mas importantes del concepto de integral de Lebesgue es el sigiente teoremade la (convergencia dominada)

Teorema 6. Dada una sucesion de funciones fn : I → C (n = 1, 2, . . .), donde I ⊂ RN es un intervaloacotado o no acotado, si se cumple que

1. Existe lımn→ fn(x) para todo x ∈ I c.d.

2. Existe una funcion f ∈ L(I) tal que |fn(x)| ≤ f(x), ∀x ∈ I c.d.

entonces se verifica que lımn→∞ fn(x) determina una funcion en L(I) y

lımn→∞

∫I

fn(x) dNx =

∫I

lımn→∞

fn(x) dNx. (25)

Intercambio entre derivadas e integrales

Una consecuencia importante del teorema de la convergencia dominada es el siguiente teorema sobrederivacion de integrales dependientes de un parametro:

Teorema 7. Sea f = f(x, y) una funcion definida sobre un dominio E = I×[a, b] con I ⊂ RN , [a, b] ⊂ Rtal que:

1. Para todo y0 ∈ [a, b] la funcion f(x, y0) es integrable Lebesgue respecto de x.

2. Para todo x ∈ I c.d. y para todo y ∈ (a, b), la derivada ∂f(x, y)/∂y existe y es continua comofuncion de y,

3. Existe una funcion g ∈ L(I) tal que∣∣∣∂f(x, y)

∂y

∣∣∣ ≤ g(x), ∀(x, y) ∈ I × (a, b) c.d.

entonces∂

∂y

∫I

f(x, y) dNx =

∫I

∂f(x, y)

∂ydNx, ∀y ∈ (a, b).

21

ESPACIOS FUNCIONALES

Espacios funcionales topologicos

Usaremos espacios F(X) de funciones u = u(x) con valores complejos y definidas sobre un Borelianono vacio X ⊂ RN . Necesitamos dos estructuras en estos espacios

1. Una estructura de espacio lineal sobre C. Es decir hay definidas operaciones de sumau + v, (u, v ∈ F(X)) y de multiplicacion αu, (u ∈ F(X)) por numeros complejos α ∈ C, con laspropiedades conocidas.

2. Una nocion de lımite lımn→∞ un de sucesiones (un)∞n=1 ⊂ F(X). Las sucesiones deben en-tonces clasificarse en convergentes y divergentes segun que tengan o no lımite. Esta operacion delımite debe ser lineal. Es decir ha de cumplirse que

lımn→∞

(αun + β vn) = α lımn→∞

un + β lımn→∞

vn,

para todo par de sucesiones convergentes (un)∞n=1, (vn)∞n=1 y numeros complejos α y β.

Ejemplo 18. Consideremos F(RN) el espacio de todas las funciones u : RN → C. Obviamente es unespacio lineal sobre C con las operaciones usuales de suma de funciones y de multiplicacion de funcionespor numeros complejos.

Existe una nocion natural de lımite en F(RN): decimos que u ∈ F(RN) es el lımite de una sucesion(un)∞n=1 ⊂ F(RN) y escribimos

lımn→∞

un = u,

cuandolımn→∞

un(x) = u(x), ∀x ∈ RN .

Esta nocion de lımite se denomina lımite puntual

Funciones generalizadas (distribuciones)

Si F(X) es un espacio funcional topologico, denotaremos F ′(X) a su espacio dual formado por

las aplicacionesT : F(X)→ C, u→ 〈T, u〉,

que sean lineales y continuas. Es decir que verifiquen las dos propiedes siguientes

22

1. Linealidad: 〈T, αu+ βv〉 = α 〈T, u〉+ β 〈T, v〉, ∀u, v ∈ F(X) y α, β ∈ C.

2. Continuidad: Para toda sucesion convergente (un)∞n=1 ⊂ F(X) se cumple que→ 〈T, lımn→∞ un〉 =lımn→∞〈T, un〉 .

Ejemplo 19. (La delta de Dirac ) Consideremos F(Rn) el espacio de todas las funciones u : Rn → Ccon la operacion de lımite puntual. Se define la delta de Dirac δa centrada en un punto a ∈ Rn como laaplicacion:

δa : F(Rn)→ C, 〈δa, u〉 = u(a).

Es inmediato demostrar que δa es un funcional lineal continuo en F ′(Rn).

Espacios normados

Definicion 14. Sea L un espacio lineal sobre C. Una norma en L es una aplicacion

|| || : L → R, u ∈ L → ||u|| ∈ R,

que satisface las siguientes propiedades

n1) ||u|| ≥ 0, ∀u ∈ L y ||u|| = 0 si y solo si u = 0.

n2) ||λu|| = |λ| ||u||, ∀u ∈ L, ∀λ ∈ C.

n3) ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v||, ∀u, v ∈ L.

En todo espacio normado existe una nocion de distancia asociada con la norma:

Distancia entre u, v ∈ L: d(u, v) = ||u− v||

Se cumplen las propiedades

d1) d(u, v) = d(v, u), ∀u, v ∈ L.

d2) d(u, v) = 0 si y solo si u = v.

d3) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ L.

Como consecuencia en todo espacio normado (L, || ||) hay una nocion de lımite:

lımn→∞

un = u⇔ lımn→∞

d(un, u) = 0⇔ lımn→∞

||u− un|| = 0.

Se cumplen las propiedades

23

1. Unicidad Si existe lımn→∞ un en L, entonces es unico.

2. Linealidad Para todo par de sucesiones convergentes (un)∞n=1, (vn)∞n=1 en L y numeros complejosα y β

lımn→∞

(αun + β vn) = α lımn→∞

un + β lımn→∞

vn,

3. Toda sucesion convergente (un)∞n=1 es acotada. Es decir existe M > 0 tal que ||un|| < M paratodo n ≥ 1.

4. Continuidad de la norma: Si una sucesion (un)∞n=1 es covergente entonces

lımn→∞

||un|| = || lımn→∞

un||.

Comentarios

Toda norma da lugar a una distancia. Pero no toda distancia procede de una norma.

En espacios lineales L de dimension finita se demuestra que todas las normas son equivalentesen el siguiente sentido: Dado un par || ||1 y || ||2 de definiciones de norma, existen numeros C1 > 0y C2 > 0 tales que para todo u ∈ L

||u||1 ≤ C1 ||u||2, ||u||2 ≤ C2 ||u||1.

Como consequencia si lımn→∞ un = u con respecto a una de las normas tambien lımn→∞ un = ucon respecto a la otra. Es decir que todas las nociones de lımite en espacios normados dedimension finita son equivalentes.

Estas propiedades no se dan en espacios lineales de dimension infinita, por lo que en estos espacioshay que precisar en que sentido se entiende el lımite de las sucesiones.

Ejemplos de espacios normados

Ejemplo 20. El conjunto CN de vectores u = (x1, . . . , xN) con N componentes complejas xj ∈ C es unespacio lineal sobre C. Podemos definir las siguientes nociones de norma:

Para cada numero real p > 1 la p-norma de u ∈ CN se define como

||u||p =(|x1|p + · · · |xN |p

)1/p

.

Para p = 2 se obtiene la denominada norma euclidea.

24

La norma ∞ de u = (x1, . . . , xN) ∈ CN se define como

||u||∞ = Max|x1|, |x2|, . . . , |xN |.

Como hemos comentado anteriormente todas estas definiciones de norma son equivalentes y como con-secuencia determinan la misma nocion de lımite.

Ejemplo 21. El conjunto C∞ de sucesiones u = (x1, . . . , xn, . . .) con componentes complejas xj ∈ C esun espacio lineal sobre C. Podemos definir nociones de norma como las de CN en ciertos subespacioslineales de C∞:

Para cada numero real p > 1 se demuestra que el subconjunto

lp = u ∈ C∞ |∞∑n=1

|xn|p <∞

es un subespacio lineal y que

||u||p =( ∞∑n=1

|xn|p)1/p

,

es una norma en lp.

El subconjuntol∞ = u ∈ C∞ | |xn| < M, ∀n ≥ 1 para algun M > 0

La norma ∞ de u ∈ l∞ se define como

||u||∞ = Sup|x1|, |x2|, . . . , |xn|, . . ..

Ejemplo 22. Sea I un intervalo cerrado y acotado de RN y consideremos el conjunto

C(I) = Funciones continuas u : I → C.

Es un espacio lineal sobre C. Podemos definir la nocion de norma ∞ de u ∈ C(I) como:

||u||∞ = Supx∈I |u(x)|.

Recordemos que tal numero existe dado que toda funcion continua ( como |u(x)|) en un intervalo cerradoy acotado alcanza su valor supremo (en este caso el maximo) en algun punto de ese intervalo. En estecaso la nocion de lımite asociada es la convergencia uniforme

lımn→∞

un = u⇔ Las funciones un convergen uniformemente a la funcion u en I

Podemos tambien introducir la nocion de p-norma en C(I)

||u||p =(∫

I

|u(x)|p dNx)1/p

, p ≥ 1.

25

Como ejemplo de que en C(I) no todas las normas son equivalentes, consideremos la sucesion defunciones

un(x) = xn, n = 1, 2, . . .

en C([0, 1]).Veamos que lımn→∞ un existe en cualquiera de las p-normas y es la funcion u ≡ 0 en C([0, 1]) Pa-

ra ello aplicamos el terorema de la convergencia dominada (|un(x)| ≤ 1,∀n,∀x ∈ [0, 1]) y obtenemos

lımn→∞

||un − u||pp = lımn→∞

∫ 1

0

|un(x)|p dx =

∫ 1

0

lımn→∞

|un(x)|p dx = 0,

dado que

lımn→∞

|un(x)|p = lımn→∞

|x|np =

0 si 0 ≤ x < 1

1 si x = 1

Sin embargo lımn→∞ un no existe en el sentido de la norma || ||∞. Debido a la convergencia uniforme,si existiera tal lımite serıa una funcion continua u(x) que coincidirıa en cada punto x ∈ [0, 1] con ellımite puntual de la sucesion un(x). Por tanto

u(x) = 0, 0 ≤ x < 1, u(1) = 1,

que contradice el hecho de que u es una funcion continua.

Espacios normados completos (Espacios de Banach)

Definicion 15. Sea (un)∞n=1 una sucesion en un espacio normado (L, || ||). Se dice que es una sucesionde Cauchy si

∀ε > 0 ∃n0 ≥ 1∣∣ n,m > n0 =⇒ ||un − um|| < ε.

Es decir la sucesion (un)∞n=1 se ”aprieta” tanto como se quiera avanzando suficientemente en el ındicen.

En cualquier espacio normado se cumple

(un)∞n=1 convergente =⇒ (un)∞n=1 es de Cauchy.

Sin embargo hay espacios normados en los que

(un)∞n=1 de Cauchy 6=⇒ (un)∞n=1 convergente.

Definicion 16. Un espacio normado (L, || ||) se dice completo (espacio de Banach) cuando

(un)∞n=1 convergente ⇐⇒ (un)∞n=1 es de Cauchy.

26

Estos espacios tienen la gran ventaja de poseer un criterio (criterio de Cauchy) para determinar si unasucesion es convergente (si y solo es de Cauchy) sin nececesidad de tener que determinar el candidatoa lımite.

Ejemplo 23. Ejemplos de espacios completos son:

CN con las normas || ||p y || ||∞,lp con las normas || ||p y || ||∞,C(I) (I intervalo cerrado y acotado) con la norma || ||∞.

Sin embargo no son completos los espacios

C(I) con las normas || ||p.

Espacios Lp de Lebesgue

Los espacios normados completos de funciones con las normas || ||p son basicamente los espaciosLp de Lebesgue, aunque hay que introducir una modificacion. Recordemos que el espacio de funcionesintegrables Lebesgue sobre un intervalo I de RN se define como

Lp(I) = Funciones f : I → C tales que∫I|f(x)|p dNx <∞ . (26)

Es natural, dada una funcion f ∈ Lp(I), definir su p-norma como

||f ||p =(∫

I

|f(x)|p dNx).

Pero esta definicion no verifica la propiedad

||f ||p = 0⇒ f = 0, ∀x ∈ I,

ya que lo que es cierto es que||f ||p = 0⇒ f = 0, ∀x ∈ I c.d.

La solucion a este problema es muy simple: considerar dos funciones f1 y f2 en Lp(I) como iguales si ysolo si

f1(x) = f2(x), ∀x ∈ I, c.d. (27)

En realidad esto significa que en lugar de considerar el espacio Lp(I) consideramos el espacio de clases deequivalencia Lp(I) con respecto a la relacion de equivalencia (27). Estos espacios de clases de equivalenciase denotaran en adelante como

Lp(I) = Clases de equivalencia de funciones f : I → C tales que∫I|f(x)|p dNx <∞

Teorema 8. Los espacios (Lp(I), || ||) son espacios normados completos.

27

Norma del supremo y convergencia uniforme

Sea I un intervalo cerrado y acotado de RN y consideremos el conjunto

C(I) = Funciones continuas u : I → C.

Es un espacio lineal sobre C. Podemos definir la nocion de norma del supremo de u ∈ C(I) como:

||u||∞ = Supx∈I |u(x)|.

Recordemos que tal numero existe dado que toda funcion continua ( como |u(x)|) en un intervalo cerradoy acotado alcanza su valor supremo (en este caso el maximo) en algun punto de ese intervalo. En estecaso la nocion de lımite asociada es la convergencia uniforme

lımn→∞ un = u en || ||∞ ⇔ un → u uniformemente en I cuando n→∞,

que se expresa como

∀ε > 0 ∃n0(ε) tal que si n ≥ n0 entonces |un(x)− u(x)| < ε ∀x ∈ I. (28)

Es claro queun → u uniformemente en I ⇒ un → u puntualmente en I

peroun → u puntualmente en I 6⇒ un → u uniformemente en I

De igual formaun → u en || ||∞ ⇒ un → u en || ||p, ∀p ≥ 1

peroun → u en || ||p 6⇒ un → u en || ||∞

Una propiedad fundamental de la convergencia uniforme es que conserva la continuidad

Teorema 9. Dada una sucesion (un)n≥1 de funciones continuas en I si un → u uniformemente en Ientonces u es continua en I.

DemostracionSea ε > 0 cualquiera, debido a la convergencia uniforme de un a u existira un n0 > 0 tal que

n ≥ n0 ⇒ |u(x)− un(x)| < ε

3, ∀x ∈ I.

28

Dado un punto x0 ∈ I cualquiera, para ver que la funcion lımite uniforme u es continua en x0 escribamos

|u(x)− u(x0)| = |u(x)− un(x) + un(x)− un(x0) + un(x0)− u(x0|

≤ |u(x)− un(x)|+ |un(x)− un(x0)|+ |un(x0)− u(x0)|

<ε

3+ |un(x)− un(x0)|+ ε

3.

donde hemos tomado cualquier n ≥ n0. Como un es una funcion continua en x0 (lo es en todo I),existira δ > 0 tal que

|x− x0| < δ ⇒ |un(x)− un(x0)| < ε

3,

por tanto deducimos que

|x− x0| < δ ⇒ |u(x)− u(x0)| < ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Es decir u es continua en x0.Otra de las propiedades fundamentales es la completitud

Teorema 10. Los espacios normados (C(I), || ||∞) son completos.

DemostracionSupongamos que (un)n≥1 es una sucesion de Cauchy en (C(I), || ||∞). Entonces dado ε > 0 cualquieraexistira un n0 > 0 tal que

n,m ≥ n0 ⇒ |un(x)− um(x)| < ε, ∀x ∈ I.

Entonces para todo x ∈ I la sucesion (un(x))n≥1 es una sucesion de Cauchy numeros complejos y comoC es un espacio completo, cada una de estas sucesiones es convergente en C. Ası podemos definir unafuncion u sobre I

u(x) = lımn→

un(x), x ∈ I.

Veamos que un → u en || ||∞. De nuevo aludiendo al hecho de que (un)n≥1 es una sucesion de Cauchyen (C(I), || ||∞), dado ε > 0 cualquiera existira un n0 > 0 tal que

n,m ≥ n0 ⇒ |un(x)− um(x)| < ε

2, ∀x ∈ I.

Entonces para todo x ∈ I (tomando m ≥ n0) tenemos que

|u(x)− um(x)| = | lımn→

un(x)− um(x)| = lımn→|un(x)− um(x)| ≤ ε

2. (29)

Por tanto si m ≥ n0

||u− um||∞ = Supx∈I |u(x)− um(x)| ≤ ε

2< ε.

Luego un → u en || ||∞.

29

EL CRITERIO DE LOS MAYORANTES

El siguiente criterio es de gran utilidad para analizar la convergencia uniforme de series de funciones

Teorema 11. Dada una sucesion (un)n≥1 en C(I) si existe una sucesion de mayorantes (Mn)n≥1 enR+

|un(x)| ≤Mn, ∀x ∈ I,

tal que ∑n≥1

Mn convergente en R

entonces ∑n≥1

un convergente en (C(I), || ||∞).

DemostracionConsideremos la sucesion de sumas parciales

sn(x) =n∑k=1

uk(x),

y demostremos que es una sucesion de Cauchy en (C(I), || ||∞). Tomemos n > m

||sn − sm||∞ = Supx∈I |sn(x)− sm(x)| = Supx∈I

∣∣∣ n∑k=m+1

uk(x)∣∣∣

≤n∑

k=m+1

Supx∈I |uk(x)| ≤n∑

k=m+1

Mk.

Como∑

n≥1Mn convergente en R entonces al ser R completo la sucesion de sumas parciales

Sn =n∑k=1

Mk,

es de Cauchy en R y dado que||sn − sm||∞ ≤ |Sn − Sm|,

entonces la sucesion (sn)n≥1 es de Cauchy en (C(I), || ||∞). Luego es convergente. Es decir∑n≥1

un convergente en (C(I), || ||∞).

30

CONVERGENCIA UNIFORME Y DERIVACION

En las aplicaciones a la teorıa de ecuaciones diferenciales es muy importante el siguiente resultado

Teorema 12. Dada una sucesion (un)n≥1 en C([a, b]) tal que

1) lımn→ un = u uniformemente en [a, b]

2) Las funciones un son derivables en [a, b] y lımn→ u′n = v uniformemente en [a, b]

Entonces u es derivable en [a, b] y u′ = v.

DemostracionSea c ∈ [a, b] y definamos las funciones

vn(x) =

un(x)− un(c)

x− c, x 6= c

u′n(c), x = c,

que son continuas en [a, b]. Para x 6= c la continuidad es obvia y por otra parte, debido a la existenciade u′n(c), tenemos que

lımx→c

vn(x) = lımx→c

un(x)− un(c)

x− c= u′n(c) = vn(c).

Luego tambien son continuas en x = c. Veamos ahora que la sucesion (vn)n≥1 converge uniformementeen [a, b]. Para ello, escribimos

vn(x)− vm(x) =(un(x)− um(x))− (un(c)− um(c))

x− c, x 6= c.

Como el numerador es una funcion derivable en [a, b] con derivada u′n(x)− u′m(x), aplicando el teoremadel valor medio del calculo diferencial tenemos que

(un(x)− um(x))− (un(c)− um(c)) = (u′n(x1)− u′m(x1)) (x− c), para algun x1 entre x y c.

Es decirvn(x)− vm(x) = u′n(x1)− u′m(x1), para algun x1 entre x y c.

Como consecuencia

|vn(x)− vm(x)| ≤ Supx′∈[a,b]|u′n(x′)− u′m(x′)| = ||u′n − u′m||∞, ∀x ∈ [a, b],

y por tanto||vn − vm||∞ = Supx∈[a,b]|vn(x)− vm(x)| ≤ ||u′n − u′m||∞.

Entonces, como la sucesion u′n es de Cauchy respecto de || ||∞ (pues es uniformemente convergente)tambien lo sera la sucesion vn. Como consecuencia, al ser (C([a, b]), || ||∞) completo, la sucesion vnsera uniformemente convergente en [a, b] a una funcion continua w = w(x). Ası en cada x 6= c se verifica

w(x) = lımn→∞

vn(x) = lımn→∞

un(x)− un(c)

x− c=u(x)− u(c)

x− c,

31

y por la continuidad de w en x = c, vemos que existe u′(c)

w(c) = lımx→c

w(x) = lımx→c

u(x)− u(c)

x− c= u′(c).

Ademas, dado quew(c) = lım

n→∞vn(c) = lım

n→∞u′n(c) = v(c),

concluimos que u′(c) = v(c) Si en el teorema anterior consideramos sucesiones de sumas parciales, se

obtiene el resultado siguiente

Teorema 13. Dada una sucesion (un)n≥1 en C([a, b]) tal que

1)∑∞

n=1 un converge uniformemente en [a, b]

2) Las funciones un son derivables en [a, b] y∑∞

n=1 u′n converge uniformemente en [a, b]

Entonces∑∞

n=1 un es derivable en [a, b] y

( ∞∑n=1

un

)′=∞∑n=1

u′n.

32

3. ESPACIOS DE HILBERT

ESPACIOS CON PRODUCTO ESCALAR

Definicion 17. Sea L un espacio lineal sobre C. Un producto escalar en L es una aplicacion

( , ) : L × L → C,

que satisface las siguientes propiedades

1) (u, u) es real y positivo ((u, u) ≥ 0), ∀u ∈ L y (u, u) = 0 si y solo si u = 0.

2) (u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ L.

3) (u, v1 + v2) = (u, v1) + (u, v2), ∀u, v1, v2 ∈ L.

4) (u, λ v) = λ (u, v), ∀u, v ∈ L, ∀λ ∈ C.

Se cumplen las propiedades siguientes muy faciles de demostrar:

3)’ (u1 + u2, v) = (u1, v) + (u2, v), ∀u1, u2, v ∈ L

4)’ (λu, v) = λ (u, v), ∀u, v ∈ L, ∀λ ∈ C.

5) (u, v) = 0, ∀v ∈ L ⇐⇒ u = 0.

6) (u1, v) = (u2, v), ∀v ∈ L ⇐⇒ u1 = u2.

En todo espacio con producto escalar hay una nocion de norma asociada al producto escalar:

Norma de u ∈ L: ||u|| = +√

(u, u)

Como consecuencia en todo espacio con producto escalar (L, (, )) hay una nocion de distancia

d(u, v) = ||u− v|| = +√

(u− v, u− v)

y de lımite:lımn→∞

un = u⇔ lımn→∞

d(un, u) = 0⇔ lımn→∞

||u− un|| = 0.

33

u

v

u + v

Figura 1: Teorema de Pitagoras

Otras propiedades

Dos vectores u, v ∈ L se dice que son ortogonales entre si (u⊥v) cuando (u, v) = 0. En ese casose cumple el teorema de Pitagoras

||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2.

Se verifica la desigualdad siguiente (Cauchy-Schwarz)

|(u, v)| ≤ ||u|||v||, ∀u, v ∈ L.

Demostracion. Veamos la segunda propiedad. Si v = 0 los dos miembros valen cero y por tanto severifica la igualdad de ambos. Si v 6= 0 entonces introducimos el vector

w = u− (v, u)

||v||2v,

que esta bien definido, ya que ||v|| 6= 0, y es ortogonal a v

(v, w) = (v, u)− (v, u)

||v||2(v, v) = 0.

Luego

w⊥(v, u)

||v||2v,

Por tanto del teorema de Pitagoras se obtiene

||u||2 = ||w +(v, u)

||v||2v||2 = ||w||2 + ||(v, u)

||v||2v||2 ≥ ||(v, u)

||v||2v||2 =

|(v, u)|2

||v||4||v||2.

De donde se sigue la desigualdad.

34

u + vu

v

u - v

Figura 2: Identidad del paralelogramo

Comentarios

Toda producto escalar da lugar a una norma. Pero no toda norma procede de un producto escalar,la condicion necesaria y suficiente para que ello suceda es la identidad del paralelogramo

||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2 ||u||2 + 2 ||v||2, ∀u, v ∈ L.

Las normas || ||p en los espacios CN , lp, Lp, C([a, b]) solo provienen de un producto escalar en elcaso p = 2 (ver la hoja 3 de problemas).

Ejemplo 24. El espacio de sucesiones de cuadrado sumable

l2 = u ∈ C∞ |∞∑n=1

|xn|2 <∞

esta dotado de la norma

||u||2 =( ∞∑n=1

|xn|2)1/2

,

que procede del producto escalar

(u, v) =∞∑n=1

xn x′n, u = (xn)n≥1, v = (x′n)n≥1.

35

Ejemplo 25. El espacio de clases de funciones de cuadrado integrable sobre un intervalo I ⊂ RN

L2(I) = u : I → C tales que∫I|u(x)|2 dNx <∞

esta dotado de la norma

||u||2 =(∫

I

|u(x)|2 dNx)1/2

,

que procede del producto escalar

(u, v) =

∫I

u(x) v(x) dNx.

Ejemplo 26. El espacio de clases de funciones de cuadrado integrable respecto de una funcion positiva(funcion peso) ρ(x) ≥ 0 sobre un intervalo I ⊂ RN

L2ρ(I) = u : I → C tales que

∫I|u(x)|2 ρ(x) dNx <∞

esta dotado de la norma

||u||2 =(∫

I

|u(x)|2 ρ(x) dNx)1/2

,

que procede del producto escalar

(u, v) =

∫I

u(x) v(x) ρ(x) dNx.

Estos espacios aparecen en las aplicaciones al hacer cambios de variables de cartesianas a polares,esfericas, etc.

Continuidad del producto escalar

Lımites en productos escalares

Dado un espacio con producto escalar (L, (, )) se verifica :

1. Si (un)n≥1 es una sucesion convergente (∃u = lımn→∞ un ) entonces:

(v, lımn→∞

un) = lımn→∞

(v, un), ∀v ∈ L.

2. Si∑∞

n=1wn es una serie convergente (∃ lımn→∞∑n

k=1wk ) entonces:

(v,∞∑n=1

wn) =∞∑n=1

(v, wn), ∀v ∈ L.

36

Identidades equivalentes se obtienen situando la operacion de lımite en la posicion izquierda del productoescalar.

Demostracion. Veamos la primera (la segunda se deduce inmediatamente de esta). Utilizando la de-sigualdad de Cauchy-Schwarz

|(v, lımn→∞

un)− (v, un)| = |(v, u− un)| ≤ ||v|| ||u− un|| → 0, cuando n→∞.

Consecuencias de estas identidades son las siguientes que son de gran utilidad en las aplicaciones:

Dada una serie convergente de la forma

∞∑n=1

λn un; (λn ∈ C, un ∈ L),

entonces para todo v ∈ L

(v,∞∑n=1

λn un) =∞∑n=1

λn (v, un), (∞∑n=1

λn un, v) =∞∑n=1

λn (un, v).

Definicion de espacio de Hilbert

Definicion 18. Un espacio de Hilbert H es un espacio con producto escalar ( , ) tal que es completocon respecto a la norma asociada (toda sucesion de Cauchy es convergente).

Ejemplo 27. Sabemos que los espacios

CN , l2, L2(I), L2ρ(I),

son completos respecto de las normas asociadas a sus productos escalares, luego son espacios de Hilbert.

EL TEOREMA DE LA PROYECCION ORTOGONAL

Definicion 19. Un subconjunto M no vacio de un espacio de Hilbert H se dice que es un subespaciode Hilbert de H si cumple:

1) M es un subespacio lineal de H.

37

2) M es un conjunto cerrado en H.

Todo subespacio de Hilbert es en si mismo un espacio de Hilbert con respecto al producto escalar yla norma heredados del espacio de Hilbert que lo contiene.

Comentarios

Recordemos que un conjunto no vacio X ⊂ H es cerrado si y solo si los lımites u = lımn→∞ unde todas las sucesiones (un)n≥1 ⊂ X convergentes estan en X (u ∈ X). Dado un subconjuntono vacio A ⊂ H el menor cerrado que lo contiene es el conjunto A denominado el cierre de Adefinido como

A = todos los lımites lımn→∞ un de sucesiones convergentes (un)n≥1 ⊂ A .

Observese que A ⊂ A dado que todo u ∈ A puede escribirse como u = lımn→∞ uncon un = u, ∀n ≥ 1.

Podemos construir subespacios de Hilbert cerrando subespacios lineales S de H. Es decir tomando

M = S, S subespacio lineal de H

Por construccion M es un conjunto cerrado y es muy facil probar que tambien es un subespaciolineal. Si S es un subespacio lineal de dimension vectorial finita N , entonces S ≈ CN luego escerrado y M = S = S.

Teorema de la proyeccion ortogonal

Una de las propiedades fundamentales de los espacios de Hilbert es el siguiente teorema

Teorema 14. Sea M un subespacio de Hilbert de un espacio de Hilbert H. Entonces para todo vectoru ∈ H existe una descomposicion unica de la forma

u = uM + uM⊥ , uM ∈M, uM⊥⊥M.

Ademas el vector uM es el mejor vector aproximante a u dentro del subespacio de Hilbert M . Es decir

d(u, uM) = Inf d(u, v), v ∈M.

El vector uM se denomina proyeccion ortogonal de u sobre M .

BASES DE HILBERT

Definicion 20. Un subconjunto X no vacio de un espacio de Hilbert H se denomina conjunto orto-normal de H cuando

38

u

uM

uM¦

M

Figura 3: Proyeccion ortogonal

1) Todos sus elementos tienen norma unidad (||u|| = 1, ∀u ∈ X).

2) Sus elementos son ortogonales dos a dos ((u, v) = 0, ∀u, v ∈ X, u 6= v).

Ejemplo 28. En el espacio l2 los elementos

e1 = (1, 0, 0, . . .), e2 = (0, 1, 0, 0, . . .), e3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .), . . .

forman obviamente un conjunto ortonormal.

Ejemplo 29. Se comprueba facilmente que en L2([a, b]) con [a, b] un intervalo real compacto las fun-ciones

ei n ω x√b− a

; n = 0,±1,±2, . . . ,

donde ω = 2π/(b− a), forman un conjunto ortonormal. Lo mismo sucede con las funciones√1

b− a,

√2

b− acos(nω x),

√2

b− asen(nω x); n = 1, 2, . . . .

Denotemos mediante X al conjunto cuyos elementos son los conjuntos ortonormales de H. Podemosdefinir una relacion de orden en X de la manera siguiente: Dados dos conjuntos ortonormales X1 y X2

decimos que X1 ≤ X2 cuando, como subconjuntos de H, se cumple que X1 ⊂ X2. Consideremos ahorauna familia Xαα∈A totalmente ordenada de conjuntos ortonormales de H (dos elementos cualesquierade la familia Xα y Xβ son siempre comparables) entonces se demuestra que

X = ∪α∈AXα,

es otro conjunto ortonormal ya que

39

1. Si u ∈ X entonces u pertenece a algun Xα y por tanto como Xα es un conjunto ortonormal||u|| = 1.

2. Si u, v ∈ X entonces u pertenece a algun Xα y v a algun Xβ. Ahora bien como Xα y Xβ soncomparables, uno de los dos, por ejemplo Xβ contiene al otro Xα. Por tanto u, v ∈ Xβ, y al serXβ un conjunto ortonormal se verifica que (u, v) = 0.

Por otro lado X contiene a todos los miembros de la familia y por tanto Xα ≤ X ∀α ∈ A. Ası que Xes una cota superior de la familia Xαα∈A. De esta forma hemos probado que toda familia totalmenteordenada de elementos de X posee una cota superior. Por el lema de Zorn concluimos que existenelementos maximales en X .

Definicion 21. Se denomina base de Hilbert B de un espacio de Hilbert H a todo conjunto orto-normal maximal B en H.

Se demuestra que

Teorema 15. En un espacio de Hilbert H todas las bases ortonormales tienen el mismo cardinal.

Un espacio de Hilbert H es un espacio vectorial luego tiene una dimension vectorial DimH que esel cardinal de sus bases vectoriales. Podemos definir tambien otro concepto de dimension dimH dadopor el cardinal de sus bases de Hilbert.

Definicion 22. El cardinal de las bases de Hilbert de un espacio de Hilbert H se denomina dimensionHilbert del espacio H y se denota dimH. Un espacio de Hilbert se dice separable si su dimensionHilbert es finita o infinita numerable. Es decir si

dimH ≤ ℵ0.

Ejemplo 30. En el espacio l2 los elementos

e1 = (1, 0, 0, . . .), e2 = (0, 1, 0, 0, . . .), e3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .), . . .

forman un conjunto ortonormal . Ademas es maximal pues si u = (αn)n≥1 ∈ l2 es ortogonal a todos losen entonces

0 = (en, u) = αn,

luego u = 0 y ||u|| = 0 6= 1. Por tanto B = enn≥1 es una base de Hilbert de l2 con cardinal ℵ0, lo quemuestra que l2 es un espacio de Hilbert separable.

Se demuestra que todos los espacios L2(I) con I un intervalo cualquiera de RN son espacios deHilbert separables.

40

Ejemplo 31. Bases de Hilbert usuales de L2([a, b]) con [a, b] un intervalo real compacto son las siguien-tes bases de Fourier trigonometricas donde L = b− a y ω = 2π/L :

B1 =ei n ω x√

L; n = 0,±1,±2, . . .

, base de exponenciales,

B2 =√ 1

L,

√2

Lcos(nω x),

√2

Lsen(nω x); n = 1, 2, . . .

base de cosenos y senos,

Ejemplo 32. Base de polinomios de Legendre en L2([−1, 1])

Pn(x) = (n+1

2)1/2 1

2nn!Dn(x2 − 1)n, n = 0, 1, 2, . . . .

Ejemplo 33. Base de funciones de Hermite en L2(R)

un(x) =(−1)n√π1/22nn!

ex2/2Dne−x

2

, n = 0, 1, 2, . . . .

Propiedades de las bases de Hilbert

Consideremos un espacio de Hilbert separable H, por tanto de dimension Hilbert finita o infinitanumerable. Se verifican las siguientes propiedades fundamentales

P1) Sea B = enn∈A un conjunto ortonormal en H:

B es base de Hilbert de H ⇔ linB = H.

donde linB denota el conjunto de combinaciones lineales de elementos de B.

P2) Si B = enn∈A es base de Hilbert de H entonces todo u ∈ H puede descomponerse en la forma

u =∑n

(en, u) en, desarrollo de Fourier en la base B

P3) Si B = enn∈A es base de Hilbert de H entonces se verifican las siguientes identidades conocidascomo identidades de Parseval y Bessel respectivamente.

(u, v) =∑n

(u, en) (en, v), ∀u, v ∈ H,

||u||2 =∑n

|(en, u)|2, ∀u ∈ H.

41

Demostracion

P1) Si B es base de Hilbert de H y linB 6= H. Entonces existe algun u 6= 0 en H tal que u /∈M = linB.Aplicando el teorema de la proyeccion ortogonal a u y a M la componente uM⊥ 6= 0 es ortogonala M y por tanto tambien a B, lo cual no es posible al ser B un conjunto ortonormal maximal enH.

Recıprocamente, si linB = H no puede existir un vector u 6= 0 tal que u⊥B, pues si existiera,tambien u⊥linB = H y entonces u = 0. Por tanto B es un conjunto ortonormal maximal.

P2) Dado u ∈ H = linB veamos que la serie∑n

λn en, λn = (en, u), (30)

es convergente. Para ello demostremos que las sumas parciales

wn =∑k≤n

λk ek,

forman una sucesion de Cauchy. Tenemos que

||wn − wm||2 =n∑

k=m+1

|λk|2, n > m. (31)

Pero es inmediato comprobar que (ei, ej) = δij implica u−wn⊥wn para todo n y aplicando entoncesel teorema de Pitagoras a la descomposicion u = wn+(u−wn) se obtiene ||u||2 = ||wn||2+||u−wn||2.Por tanto

||wn||2 =n∑j=1

|λj|2 ≤ ||u||2, ∀n.

Luego tambien se cumple que∞∑j=1

|λj|2 ≤ ||u||2.

Ello quiere decir que la serie numerica∑∞

j=1 |λj|2 es convergente, luego sus sumas parciales formanuna sucesion de Cauchy.

De esta forma (31) prueba que la sucesion wn es de Cauchy en H y por tanto podemos definir elvector

w =∑n

λn en, λn = (en, u).

Ahora bien (ei, ej) = δij implica que (u− w, ei) = 0 para todo i, ası que

(u− w)⊥B =⇒ (u− w)⊥limB =⇒ (u− w)⊥limB = H.

Luego u− w = 0.

42

P3) Se deduce inmediatamente de P2).

Comentarios

En espacio de Hilbert de dimension vectorial finita las bases de Hilbert son bases vectoriales (bastaprobar que un conjunto ortonormal es linealmente independiente). Recıprocamente, a partir deuna base vectorial cualquiera B = u1, . . . , uN se puede construir una base de Hilbert medianteel proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt

e1 =u1

||u1||, e2 =

u2 − (e1, u2) e1

||u2 − (e1, u2) e1||, . . . , ej+1 =

uj+1 −∑j

n=1(en, uj+1) en

||uj+1 −∑j

n=1(en, uj+1) en||, . . .

Por tanto si la dimension vectorial es finita, entonces la dimension Hilbert coincide con la dimensionvectorial. Es decir

DimH < ℵ0 =⇒ dimH = DimH.

En espacios de Hilbert de dimension vectorial infinita las bases de Hilbert B son conjuntos lineal-mente independientes pero no son bases vectoriales. Basta pensar que elementos de H de laforma

∞∑n=1

λn en, λn 6= 0, ∀n,

por ejemplo con λn = 1/n ,no son combinaciones lineales de elementos de B (no son sumas conun numero finito de terminos).

Se puede demostrar que todo espacio de Hilbert separable de dimension vectorial infinita tienedimension vectorial igual a c = ℵ1 mientras que sus bases de Hilbert sabemos que tienen cardinalℵ0. Es decir

dimH = ℵ0 =⇒ DimH = ℵ1 > dimH.

Ejemplo 34. A principio de curso demostrabamos que el espacio de Hilbert l2 tiene cardinal

|l2| = c.

Veamos que su dimension vectorial Dim l2 es tambien igual a c: Obviamente Dim l2 ≤ c ya que todabase vectorial es un subconjunto de l2. Si consideramos ahora el conjunto S de elementos de l2 de laforma

ua = (an−1)n≥1 = (1, a, a2, . . .), 0 < a < 1,

es claro que |S| = c y ademas S es un conjunto linealmente independiente (probarlo usando determi-nantes de las componentes ). Luego se deduce que Dim l2 = c

43

Aproximacion de funciones en media cuadratica

Dado un subespacio de Hilbert M de H para determinar las proyecciones ortogonales sobre M delos vectores H se procede del modo siguiente:

1. Se construye una base de Hilbert B = enn∈A de M .

2. Para cada vector u ∈ H su proyeccion ortogonal sobre M viene dada por

uM =∑n∈A

(en, u) en. (32)

Para demostrar esta formula notese que (en, u − uM) = (en, u) − (en, u) = 0 para todo n ∈ A, luego(u− uM)⊥M y u = uM + uM⊥ con uM⊥ ≡ u− uM . Por el teorema de la proyeccion ortogonal se sigueentonces lo enunciado. Ademas aplicando el teorema de Pitagoras tenemos que

||u− uM || = ||uM⊥ || =√||u||2 − ||uM ||2, (33)

donde ||uM ||2 puede calcularse usando la identidad de Bessel en la forma

||uM ||2 =∑n∈A

|(en, u)|2. (34)

Una de las aplicaciones mas importantes de los espacios de Hilbert H de funciones es el de la obtencion

de aproximaciones en media cuadratica (en el sentido de la norma || || de H) de funciones en Hpor medio de combinaciones lineales de funciones sencillas. El procedimiento entonces es seleccionarun conjunto finito unmn=1 de estas funciones sencillas y considerar aproximaciones de funciones de Hmediante funciones del subespacio de dimension finita M = linu1, . . . , um. Aplicando el teorema dela proyeccion ortogonal la mejor aproximacion en M a una funcion u ∈ H es su proyeccion ortogonaluM . Lo que hacemos entonces es construir una base ortonormal de M (ortonormalizando si es necesarioel conjunto unmn=1 mediante el metodo de Gram-Schmidt) y calculando uM mediante la formula (32).Finalmente el error cometido ||u− uM || en la aproximacion u ' uM se determina con la formula (33).

De forma analoga, si tenemos una base ortonormal B = en∞n=1 de un espacio de Hilbert H defunciones, toda funcion u ∈ H admite un desarrollo de la forma

u =∞∑n=1

(en, u) en, (35)

que converge en media cuadratica (en el sentido de la norma || || de H). En ese caso si denotamos M alsubespacio lineal generado por los N primeros elementos enNn=1 de B, entonces toda suma parcial deldesarrollo

N∑n=1

(en, u) en,

es la mejor aproximacion uM a u mediante funciones en M . Ademas el error cometido ||u− uM || en talaproximacion u ' uM se determina con la formula (33).

44

Ejemplo 35. El espacio de Hilbert H = L2([0, 2π]) posee la base ortonormal dada por

B = en(x) = einx/√

2π n=0,±1,±2,....

Sea la funcion u(x) = χ[0,π](x). Determinar el error cometido al aproximarla mediante dos terminos desu desarrollo en esa base

u(x) ' (e0, u)e0(x) + (e1, u)e1(x).

Calculando los correspondientes productos escalares

(e0, u) =1√2π

∫ π

0

dx =√π/2, (e1, u) =

1√2π

∫ π

0

e−ixdx = −i√

2/π,

se obtiene

uM ≡ (e0, u)e0(x) + (e1, u)e1(x) =1

2− i

πeix

El error cometido en la aproximacion es

√||u||2 − ||uM ||2 =

√π

2− 2

π.

Donde hemos usado

||u||2 =

∫ π

0

dx = π, ||uM ||2 = |(e0, u)|2 + |(e1, u)|2 =π

2+

2

π

Ejemplo 36. Consideremos el desarrollo de Fourier en L2[−π, π] de la funcion u(x) = cos(x/2)

cos(x/2) =a0

2+∞∑n=1

(an cos(nx) + bnsen(nx)

).

Si truncamos en la forma

cos(x/2) ≈ utrunc =a0

2+ a1 cos(x) + b1sen(x).

Calculamos los coeficientes

a0 =1

π

∫ π

−πcos(x/2)dx =

4

π, b1 =

1

π

∫ π

−πsenx cos(x/2)dx = 0

a1 =1

π

∫ π

−πcosx cos(x/2)dx =

1

π

∫ π

0

(cos(3x/2) + cos(x/2))dx =4

3π

Expresando utrunc en terminos de la base ortonormalizada

utrunc =2√

2√πc0(x) +

4

3√πc1(x).

45

Por tanto

||utrunc||2 =∣∣∣2√2√

π

∣∣∣2 +∣∣∣ 4

3√π

∣∣∣2 =88

9 π.

Por otra parte

||u||2 =

∫ π

−πcos2(x/2)dx =

∫ π

0

(1 + cos(x))dx = π.

Ası que el error al aproximar con la truncacion es

||u− utrunc|| =√||u||2 − ||utrunc||2 =

√π − 88/9π.

SERIES DE FOURIER TRIGONOMETRICAS

Toda funcion u ∈ L2([a, b]) puede desarrollarse en serie de Fourier de exponenciales

u =∞∑

n=−∞

cn einωx

donde ω := 2π/(b− a) y los coeficientes son

cn =1

b− a

∫ b

a

e−inωxu(x)dx.

Tambien en serie de Fourier de senos y cosenos:

u =a0

2+∞∑n=1

(an cosnωx+ bn sennωx),

donde los coeficientes son

an =2

b− a

∫ b

a

cosnωxu(x)dx, n ≥ 0

bn =2

b− a

∫ b

a

sennωxu(x)dx, n ≥ 1.

(36)

En estos desarrollos las series convergen a la funcion en media cuadratica. Es decir, en el sentidode la norma de L2([a, b]). Sin embargo es natural preguntarse por la convergencia puntual de estasseries. Este es uno de los problemas clasicos del analisis funcional.

El resultado fundamental sobre la convergencia puntual de series de Fourier es debido a Carleson(1965) y establece que la serie de Fourier de una funcion u ∈ L2([a, b]) converge puntualmente au en todo punto x ∈ [a, b] casi doquiera (salvo a lo sumo en un subconjunto de medida cero)

46

Una clase de funciones de L2([a, b]) que es importante en la practica son las C1 a trozos. Unafuncion u = u(x) es C1 a trozos en [a, b] cuando existe una particion a = c1 < c2 < . . . < cM = bde [a, b] tal que ∀i = 1, . . . ,M − 1, tanto u como su derivada primera u′ son continuas en lossubintervalos (ci, ci+1) y tienen lımites laterales finitos en los extremos ci y ci+1.

Para estas funciones el problema de la convergencia puntual de sus series de Fourier esta totalmenteresuelto por el siguiente teorema de Dirichlet (1829): Si u(x) es una funcion C1 a trozos en [a, b]entonces sus series de Fourier convergen puntualmente en todo punto x ∈ [a, b] y su lımite es

u(x) si x es un punto de (a, b) en que u es continua,

u(x+)+u(x−)2

si x es un punto de (a, b) en que u es discontinua

u(a)+u(b)2

en x = a, b

47

4. DISTRIBUCIONES

ESPACIOS DE FUNCIONES ”PRUEBA”

Cuando estudiemos espacios de distribuciones usaremos dos tipos de espacios funcionales que sedenominan espacios de funciones ”prueba” o ”test”.

Espacios D de funciones C∞ de soporte compacto.

Espacios S de funciones C∞ que decrecen rapidamente en el infinito.

Denotaremos las derivadas parciales en la forma concisa:

Dαϕ(x) =∂|α|ϕ(x)

∂α1x1 · · · ∂αNxN,

con multi-ındicesα = (α1, . . . , αN) ∈ NN , |α| = α1 + · · ·+ αN .

ESPACIOS D

Definicion 23. El espacio D = D(RN) esta formado por las funciones ϕ : RN → C de clase C∞ quesolo son distintas de cero en un subconjunto acotado de RN

Ejemplo 37. Elementos de D(R) son las funciones (a > 0)

ϕ(x) =

exp

(a2

x2−a2

)si x ∈ (−a, a)

cero si x /∈ (−a, a)

que se anulan fuera del intervalo [−a, a] y son derivables a cualquier orden en todo punto de la recta.

48

-a a

La definicion de lımite en D es

lımn→∞

ϕn(x) = ϕ(x)⇐⇒

1)∃R > 0 tal que ϕn(x) = 0, ∀|x| > R y n ≥ 1

2)Dαϕn → Dαϕ, n→∞ uniformemente ∀|α| ≥ 0

Comentarios

De forma analoga de definen los espacios D(Ω) siendo Ω un abierto no vacio de RN .

Se verifica queD ⊂denso L2.

Los espacios D no heredan su operacion de lımite de una nocion de norma. Sin embargo soncompletos en el sentido siguiente: si una sucesion (ϕn)n≥1 cumple que es de de Cauchy

lımn,m→∞

(ϕn − ϕm) = 0, en D,

entonces es convergente en D. Es decir existe ϕ ∈ D tal que ϕn → ϕ en D.

Los operadores de derivacionDα : D → D, ϕ→ Dαϕ,

determinan aplicaciones lineales continuas

ESPACIOS S

Definicion 24. El espacio S = S(RN) esta formado por las funciones ϕ : RN → C de clase C∞ talesque

xαDβϕ(x)→ 0, ∀|α| ≥ 0, |β| ≥ 0, x→∞.donde denotamos xα = xα1

1 · · ·xαNN .

49

Ejemplo 38. Elementos de S(R) son las funciones Gaussianas

ϕ(x) = e−a2 x2 , a > 0.

e-x2

La definicion de lımite en S es

lımn→∞

ϕn(x) = ϕ(x)⇐⇒ xαDβϕn → xαDβϕ, ∀|α| ≥ 0, |β| ≥ 0, n→∞,

uniformemente en RN .

Comentarios

Es claro que D ⊂ S, aunque D & S (considerar por ejemplo las funciones Gaussianas).

Se verifica queD ⊂denso S, S ⊂denso L2.

Los espacios S no heredan su operacion de lımite de una nocion de norma. Sin embargo soncompletos en el sentido siguiente: Si una sucesion (ϕn)n≥1 cumple que es de de Cauchy

lımn,m→∞

(ϕn − ϕm) = 0, en S,

entonces es convergente en S. Es decir existe ϕ ∈ S tal que ϕn → ϕ en S.

Los operadores de derivacionDα : S → S, ϕ→ Dαϕ,

determinan aplicaciones lineales continuas.

Dada una funcion u ∈ C∞(RN) el operador de multiplicacion

u· : D → D, ϕ→ u · ϕ,

es una aplicacion lineal continua. Para una propiedad analoga en el caso del espacio S debemostomar u ∈ C∞(RN) pero con un crecimiento en el infinito a lo sumo polinomial.

50

ESPACIOS DE DISTRIBUCIONES

Recordemos que dado un espacio funcional F , denotamos mediante F ′ a su espacio dual quedenominaremos espacio de distribuciones asociado. Es decir al espacio formado por las aplicaciones

T : F → C, ϕ→ 〈T, ϕ〉,

que sean lineales y continuas:

1. Linealidad: 〈T, αϕ1 + βϕ2〉 = α 〈T, ϕ1〉+ β 〈T, ϕ2〉, ∀ϕ1, ϕ2 ∈ F y α, β ∈ C.

2. Continuidad: Para toda sucesion convergente (ϕn)∞n=1 ⊂ F se cumple que

〈T, lımn→∞

ϕn〉 = lımn→∞〈T, ϕn〉.

El espacio F ′ es un espacio vectorial sobre C definiendo las operaciones de suma T1 + T2 y productoλT en la forma

〈T1 + T2, ϕ〉 = 〈T1, ϕ〉+ 〈T2, ϕ〉, 〈λT, ϕ, 〉 = λ 〈T, ϕ〉, ϕ ∈ F .

Tambien posee una operacion de lımite que definimos ası: Dada una sucesion (Tn)∞n≥1 en F ′ decimosque su lımite es un elemento T de F ′ cuando

lımn→∞〈Tn, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ F .

ESPACIOS D′ y S ′

Denotamos D′ y S ′ a los espacios de distribuciones asociados a D y S respectivamente.

Ejemplo 39. Probar que

S ′ ⊂ D′

Por un lado sabemos queD ⊂ S.

Luego si T ∈ S ′, al ser una aplicacion lineal sobre S tambien lo sera sobre D. Por otro lado si ϕn → ϕen D, tambien lo hace en S y al ser T continua en S se cumple que 〈T, ϕn〉 → 〈T, ϕ〉. Luego T escontinua en D

51

DISTRIBUCIONES REGULARES

Definicion 25. Dada una funcion u = u(x) localmente integrable en RN (es decir que u es integrableLebesgue sobre cualquier intervalo cerrado y acotado I de RN), denotamos por Tu a la distribucion enD′

〈Tu, ϕ〉 =

∫RNu(x)ϕ(x) dNx, ϕ ∈ D.

Comentarios

La imagen de ϕ ∈ D bajo Tu define una aplicacion sobre D, pues la imagen de cualquier ϕ ∈ Dbajo Tu existe. Para verlo basta tomar un intervalo cerrado y acotado I fuera del cual se anule ϕ,se obtiene ∣∣∣ ∫

RNu(x)ϕ(x) dNx

∣∣∣ =∣∣∣ ∫

I

u(x)ϕ(x) dNx∣∣∣ ≤ MaxI |ϕ|

∫I

|u(x)| dNx <∞.

La aplicacion Tu es obviamente lineal. Para ver que es continua consideremos una sucesion(ϕn)∞n=1 ⊂ D convergente en D con lımite ϕ ∈ D. Entonces

1)∃R > 0 tal que ϕn(x) = 0, ∀|x| > R y n ≥ 1

2)Dαϕn → Dαϕ uniformemente ∀|α| ≥ 0

Por tanto

|〈Tu, ϕn − ϕ〉| =∣∣∣ ∫RN u(x) (ϕn(x)− ϕ(x)) dNx

∣∣∣=∣∣∣ ∫|x|≤R u(x) (ϕn(x)− ϕ(x)) dNx

∣∣∣ ≤ SupRN |ϕn(x)− ϕ(x)|∫|x|<R |u(x)| dNx→ 0, n→∞,

Dado que ϕn converge uniformemente a ϕ en todo RN . De esta forma hemos probado que

〈T, lımn→∞

ϕn〉 = 〈T, ϕ〉 = lımn→∞〈T, ϕn〉.

De igual forma

Definicion 26. Dada una funcion u = u(x) localmente integrable en RN y con comportamiento mo-derado en el infinito (es decir existe algun polinomio p(x) tal que u(x)/p(x)→ 0 c.d. cuando x→∞),se demuestra que define una distribucion Tu en S ′ dada por

〈Tu, ϕ〉 =

∫RNu(x)ϕ(x) dNx, ϕ ∈ S.

Estas distribuciones definidas por funciones se denominan distribuciones regulares y en muchasocasiones se denotan mediante el sımbolo de la funcion

52

Si hablamos de u como distribucion estamos hablando de Tu

Ejemplo 40. Toda funcion u ∈ L2 define una funcion localmente integrable, pues dado un intervalocerrado y acotado I tenemos por la desigualdad de Cauchy-Schwarz que∫

I

|u(x)| dNx = (|u|, χI) = |(|u|χI , χI)| ≤ ||uχI || ||χI || ≤ ||u||µ(I)1/2 <∞.

Por tanto podemos decir que las funciones de cuadrado integrable son distribuciones

L2 ⊂ S ′ ⊂ D′

Lo mismo puede demostrarse para las funciones de Lp (p ≥ 1)

DISTRIBUCIONES SINGULARES

No todas las distribuciones son regulares, las que no lo son se denominan distribuciones singulares.

Definicion 27. Dado un punto cualquiera a ∈ RN la delta de Dirac centrada en a se define como

〈δa, ϕ〉 = ϕ(a),

y es una distribucion en los espacios D′(RN) y S ′(RN). De hecho podemos tambien considerar la deltacomo un elemento del espacio dual del espacio F formado por todas las funciones u : RN → C dotadode la operacion de lımite puntual.

Comentarios

Para a = 0 se denota δa = δ.

No existe ninguna funcion localmente integrable tal que Tu = δa, pues deberıa anularse paratodo x ∈ RN c.d. en cuyo caso su accion sobre todas las funciones de D y S darıa cero, lo cuales contradictorio con la definicion de las distribuciones delta. Por tanto las deltas de Dirac sondistribuciones singulares.

A pesar de lo dicho se utiliza la notacion

δ(x− a),

para denotar la delta de Dirac, como si fuera una funcion, y se escribe

〈δa, ϕ〉 =

∫RNδ(x− a)ϕ(x) dNx = ϕ(a).

Las distribuciones singulares como la delta de Dirac pueden caracterizarse como lımites, en elespacio de distribuciones, de sucesiones de distribuciones regulares.

53

Es a veces de utilidad emplear la notacion siguiente para operar con distribuciones emulando laspropiedades de las distribuciones regulares

〈T, ϕ〉 =

∫RNT (x)ϕ(x) dNx.

Ejemplo 41. Demostrar queδa = lım

n→∞Tun , en D′(R) ,

siendo

un(x) =

n, x ∈ [a− 1

2n, a+ 1

2n]

cero en el resto de R

Ejemplo 42. Veamos que la delta es un lımite de Gaussianas

δ = lımn→∞

Tun , en D′(R),

siendoun(x) =

n√πe−n

2 x2 .

Fig. Lımite de Gaussianas en D′.

Usando el cambio de variable y = nx se obtiene

〈Tun , ϕ〉 =

∫ ∞−∞

n√πe−n

2 x2 ϕ(x) dx =

∫ ∞−∞

1√πe−y

2

ϕ(y

n) dy.

Podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada para calcular el lımite de la integral cuandon→∞ ya que ∣∣∣e−y2 ϕ(

y

n)∣∣∣ ≤ ||ϕ||∞ e−y2 ∈ L1(R).

De esta forma encontramos que

lımn→∞〈Tun , ϕ〉 =

∫ ∞−∞

1√πe−y

2

ϕ(0) dy =ϕ(0)√π

∫ ∞−∞

e−y2

dy = ϕ(0),

lo cual demuestra lo que hemos enunciado.

54

Distribuciones en electrostatica

La nocion de distribucion singular tiene su origen en problemas como los que se encuentran en elec-trostatica al intentar describir ciertas distribuciones 3-dimensionales de carga ρ = ρ(x), (x ∈ R3) deforma que para todo subconjunto V ⊂ R3 con medida no nula∫

V

ρ(x) d3x = carga contenida en V .

Casos tıpicos son los siguientes.

1) Una carga puntual de magnitud q localizada en el punto a.

2) Una distribucion de carga localizada sobre una curva Γ ⊂ R3 con densidad λ = λ(x) por unidad delongitud.

3) Una distribucion de carga localizada sobre una superficie S ⊂ R3 con densidad σ = σ(x) por unidadde area.

Las distribuciones correspondientes son

1) Para una carga puntual de magnitud q localizada en el punto a:

ρ(x) = q δa.

Adviertase que efectivamente

∫V

ρ(x) d3x =

∫V

q δ(x− a)d3x = 〈q δa, χV 〉 =

q x ∈ V,

cero en otro caso.

2) Para una distribucion de carga localizada sobre una curva Γ ⊂ R3 con densidad λ = λ(x) por unidadde longitud:

ρ(x) = λ(x) δΓ,

siendo por definicion λ(x) δΓ la distribucion en D′(R3) y S ′(R3) dada por

〈λ(x) δΓ, ϕ〉 =

∫Γ

λ(x)ϕ(x) dl,

donde dl indica el elemento diferencial de longitud sobre la curva.

55

Fig. Distribucion de carga sobre una curva conductora.

3) Para una distribucion de carga localizada sobre una superficie S ⊂ R3 con densidad σ = σ(x) porunidad de area:

ρ(x) = σ(x) δS,

siendo por definicion σ(x) δS la distribucion en D′(R3) y S ′(R3) dada por

〈σ(x) δS, ϕ〉 =

∫S

σ(x)ϕ(x) dS,

donde dS indica el elemento diferencial de area sobre la superficie.

Otro ejemplo importante de distribucion singular es el siguiente:

Definicion 28. En D′(R) y S ′(R) se define la distribucion valor principal de Cauchy:

〈P 1

x, ϕ〉 = lım

ε→0

∫|x|≥ε

ϕ(x)

xdx.

Podemos ver que dada ϕ ∈ D′(R) si se anula fuera de [−a, a] entonces∫a≥|x|≥ε

dx

x= 0,

pues es una integral de una funcion impar sobre un dominio simetrico de R. Por tanto∫|x|≥ε

ϕ(x)

xdx =

∫a≥|x|≥ε

ψ(x) dx.

siendo

ψ(x) =ϕ(x)− ϕ(0)

x.

56

Aplicando el teorema del valor medio obtenemos

ψ(x) = ϕ′(c(x)),

con c(x) algun punto intermedio entre 0 y x . Por tanto

|ψ(x)| ≤ ||ϕ′||∞,

y como consecuencia ∣∣∣〈P 1

x, ϕ〉∣∣∣ ≤ 2a||ϕ′||∞.

De donde se deduce inmediatamente que P 1x

define un elemento de D′(R).

PRODUCTO DE FUNCIONES POR DISTRIBUCIONES

Definicion 29. El producto de una funcion u = u(x) por una distribucion T se define como

〈uT, ϕ〉 = 〈T, uϕ〉, ∀ϕ ∈ D(o ∀ϕ ∈ S.

Para que tenga sentido la definicion la funcion u ha de estar en C∞(RN) en el caso T ∈ D′ y enC∞(RN) con crecimiento en el infinito a lo sumo polinomial en el caso T ∈ S ′ .

Ejemplo 43. Probar que u(x) δ(x− a) = u(a) δ(x− a).

〈u δa, ϕ〉 = 〈δa, uϕ〉 = u(a)ϕ(a) = u(a)〈 δa, ϕ〉 = 〈u(a) δa, ϕ〉

Adviertase en particular quex δ(x− a) = a δ(x− a),

Lo cual en terminos de la Fisica Cuantica significa que ψa(x) = δ(x − a) es una autofuncion conautovalor λ = a del operador de posicion Qψ(x) = xψ(x).

57

DERIVADAS DE DISTRIBUCIONES

CASO DE 1 VARIABLE

Definicion 30. Sea T una distribucion en F ′ donde F es el espacio de funciones prueba D(R) o S(R).Para todo entero n ≥ 1 se define la derivada n-esima de T respecto de x como

〈Dn T, ϕ〉 = (−1)n 〈T,Dn ϕ〉, ϕ ∈ F .

Comentarios

Las derivadas Dn T son distribuciones, es decir funcionales lineales continuos. La linealidad estrivial. Demostrar la continuidad.

Es tambien inmediato demostrar las propiedades

Dn (T1 + T2) = Dn T1 +Dn T2, Dn (λT ) = λDn T, (λ ∈ C).

Dada una funcion u = u(x) localmente integrable, no tiene por que existir su derivada respectode x como funcion, sin embargo siempre existe como distribucion.

Ejemplo 44. Para la delta de Dirac se obtiene

〈Dn δa, ϕ〉 = (−1)n 〈 δa, Dn ϕ〉 = (−1)nDn ϕ(a).

Derivadas de funciones como distribuciones

Sea u = u(x) una funcion que tiene derivada Du(x) continua en todo punto x ∈ R salvo en un puntox0 en el que la funcion no es derivable (por lo tanto u no es continua en x0). Supongamos que en x0 lafuncion tiene una discontinuidad de primera especie

u(x+0 )− u(x−0 ) = A.

58

Veamos que en ese caso se verificaDTu = TDu + Aδx0 . (37)

Primero rompemos la integral en dos intervalos en los que la funcion u es una funcion con derivadacontinua y ası poder aplicar integracion por partes

〈DTu, ϕ〉 = −〈Tu, Dϕ〉 = −∫ ∞−∞

uDϕ dx = −∫ x0

−∞uDϕ dx−

∫ ∞x0

uDϕ dx.

Integrando por partes ambas integrales se obtiene

〈DTu, ϕ〉 = −(uϕ)∣∣∣x−0−∞− (uϕ)

∣∣∣∞x+0

+∫ x0−∞Duϕ dx+

∫∞x0Duϕ dx

=∫∞−∞Duϕ dx− u(x−0 )ϕ(x0) + u(x+

0 )ϕ(x0) = 〈TDu + Aδx0 , ϕ〉

La formula (37) es de gran importancia y a veces es conveniente escribirla en la forma

D′u = Du+ [u]x0 δ(x− x0),

donde D′u denota la derivada de la distribucion que determina u, Du la distribucion que determina laderivada de u y [u]x0 = u(x+

0 )− u(x−0 ) el salto de u en x0 .Por supuesto si son varios puntos xi (i = 1, . . . , n) en los que la funcion no es derivable y tiene

discontinuidades de primera especie

u(x+i )− u(x−i ) = [u]xi .

Entonces la formula se generaliza a

D′u = Du+∑n

i=1[u]xi δ(x− xi).

Ejemplo 45. Consideremos la funcion escalon

θ(x) =

0, −∞ < x < 0,

1, 0 < x < +∞.

Evidentemente θ(x) es derivable salvo en x0 = 0 y su derivada vale cero. Ademas el salto que efectuaen x0 = 0 es de magnitud 1. Luego

D′θ(x) = δ.

Ejemplo 46. Consideremos la funcion |x|

|x| =

−x, −∞ < x ≤ 0,

x, 0 ≤ x < +∞.

Evidentemente |x| es derivable salvo en x0 = 0 y su derivada en R \ 0 es la funcion signo

ε(x) =

−1, −∞ < x < 0,

1, 0 < x < +∞.

59

Ademas |x| es continua en x0 = 0 (no salta). Luego en el sentido de distribuciones

D′|x| = ε(x).

Del mismo modo, dado que ε(x) tiene derivada cero para x 6= 0 y salta en x0 = 0 con una magnitudigual a 2, deducimos que

(D′)2|x| = D′ε(x) = 2 δ(x).

CASO GENERAL DE N VARIABLES

Definicion 31. Sea T una distribucion en F ′ donde F es el espacio de funciones prueba D(RN)o S(RN). Para todo multi-ındice α = (α1, . . . , αN) se define la derivada DαT respecto de las variablesx como

〈Dα T, ϕ〉 = (−1)|α| 〈T,Dα ϕ〉, ϕ ∈ F .

Comentarios

Las derivadas Dα T son distribuciones, es decir funcionales lineales continuos.

Es tambien inmediato demostrar las propiedades

Dα (T1 + T2) = Dα T1 +Dα T2, Dn (λT ) = λDn T, (λ ∈ C).

Dada una funcion u = u(x) en C∞(RN) si consideramos su distribucion regular asociada Tu esclaro que

〈Dα Tu, ϕ〉 = (−1)|α| 〈Tu, Dα ϕ〉 = (−1)|α|∫RN u(x)Dα ϕdNx

=∫RN D

αu(x)ϕdNx = 〈TDαu, ϕ〉. ϕ ∈ F .

Es decir Dα Tu = TDαu. Por tanto las derivadas de u como distribucion coinciden con las derivadasde u como funcion.

Dada una funcion u = u(x) localmente integrable, no tienen por que existir sus derivadas respectode las variables x como funcion, sin embargo siempre existen como distribuciones.

La derivacion es siempre una operacion continua sobre las distribuciones. Es decir siempre secumple que

Dα lımn→∞ Tn = lımn→∞DαTn.

La demostracion es muy simple teniendo en cuenta las definiciones de lımite y de derivacion dedistribuciones:

〈Dα lımn→∞ Tn, ϕ〉 = (−1)|α|〈lımn→∞ Tn, Dαϕ〉 = (−1)|α| lımn→∞〈Tn, Dαϕ〉

= lımn→∞〈DαTn, ϕ〉 = 〈lımn→∞DαTn, ϕ〉.

60

Como vimos anteriormente, el producto uT de una funcion u = u(x) en C∞(RN) por una distri-bucion T esta bien definido para T ∈ D′ y tambien para T ∈ S ′ si u tiene un comportamientomoderado en el infinito. En tales casos se verifica la regla de la derivada del producto. Por ejemploen el caso de una variable

D(uT ) = (Du)T + uDT.

La demostracion es muy sencilla ya que para todo ϕ en D o en S se verifica:

〈D(uT ), ϕ〉 = −〈uT,Dϕ〉 = −〈T, uDϕ〉= −〈T,D(uϕ)− (Du)ϕ〉 = 〈DT, uϕ〉+ 〈(Du)T, ϕ〉

= 〈(Du)T + uDT, ϕ〉.

Ejemplo 47. Calculemos(D′)2(|x| cosx)

La primera derivada es

D′(|x| cosx) = D(cosx) |x|+ cosx (D′|x|) = −(senx)|x|+ cosx ε(x).

Por tanto

(D′)2(|x| cosx) = −D(senx) |x| − (senx)D′|x|+D(cosx) ε(x) + cos xD′ε(x)

= −(cosx)|x| − 2(senx) ε(x) + 2 cosx δ(x)

= −(cosx)|x| − 2(senx) ε(x) + 2 δ(x).

Sea u = u(x) una funcion sobre RN que admite derivadas primeras continuas respecto de todas lasvariables salvo en una hipersuperficie S orientada con un vector unitario saliente perpendicular

n = n(x) = (n1(x), . . . , nN(x))

en donde sufre discontinuidades de primera especie

lımx→0

(u(x+ εn(x))− u(x− εn(x))) = [u(x)]S, x ∈ S.

Entonces se verifica la identidad

∂′xiu = ∂xiu+ ni(x)[u(x)]S δS,

Para demostrar esta propiedad suponemos que RN queda dividido en dos porciones Gint∪Gext separadaspor la hipersuperficie S y aplicamos la formula de Green a cada una de ellas

〈∂′xiu, ϕ〉 = −〈u, ∂xiϕ〉 = −∫RN u(x)∂xiϕ dNx

−∫G1u(x)∂xiϕ dNx−

∫G2u(x)∂xiϕ dNx

=∫G1∂xiu(x)ϕ dNx+

∫G2∂xiu(x)ϕ dNx+

∫S[u(x)]S ni(x)ϕ dS

=∫RN ∂xiu(x)ϕ dNx+

∫S[u(x)]S ni(x)ϕ dS, ϕ ∈ D,

61

En particular para la divergencia ∇′u de un campo vectorial u = (u1(x), . . . , uN(x)) con componentesde este tipo, la formula anterior nos dice

∇′u = ∇u + n · [u(x)]S δS. (38)

Aplicacion: Discontinuidad del campo electrico sobre una superficie cargada

La formula anterior puede aplicarse para calcular el campo electrico creado por una distribucion decarga sobre una superficie S ⊂ R3 con densidad σ(x) . Por las ecuaciones de la electrostatica sabemosque

∇′ ~E = 4π ρ,

donde la distribucion de carga viene dada por

ρ(~x) = σ(~x) δS.

Aplicando entonces la formula (38) deducimos que la distribucion regular asociada a ∇ ~E es cero y quela componente normal del campo electrico sufre una discontinuidad sobre S dada por

( ~E2(~x)− ~E1(~x)) · ~n = 4π σ(~x), ~x ∈ S.

Fig. Discontinuidad del campo electrico

Ejercicio 1. Determinar la discontinuidad del campo electrico producida por una densidad de cargasobre la superficie esferica dada por σ(θ, φ) = cos θ.

62

ECUACIONES DIFERENCIALES EN ESPACIOS DE

DISTRIBUCIONES

Una ecuacion diferencial en un espacio de distribuciones F ′ es un problema de la forma: dada T0 ∈ F ′determinar las soluciones T ∈ F ′ de la ecuacion∑

α

aα(x)DαT = T0.

La solucion general es dada porT = Tpart + Thom,

con Tpart una solucion particular cualquiera y Thom la solucion general de la ecuacion homogenea.Resolver problemas de ecuaciones diferenciales en todo el espacio de distribuciones D′ es en general muycomplicado. Sin embargo es mucho mas simple hacerlo en subespacios de D′ como los de distribucionesregulares del tipo

C∞(R \ xini=1) = funciones u de clase C∞ a trozos en R \ xini=1,

en los que podemos emplear formulas como

D′u = Du+n∑i=1

[u]xi δ(x− xi),

(D′)2u = D2u+n∑i=1

[u]xi Dδ(x− xi) +n∑i=1

[Du]xi δ(x− xi).

Ejemplo 48. Resolver la ecuacionxDT = 0,

en C∞(R \ 0). En este caso la ecuacion se escribe

xDu+ x[u]0δ(x) = 0.

Por tanto como xδ(x) = 0 la solucion es cualquier u ∈ C∞(R \ 0) con Du(x) = 0, ∀x ∈ R \ 0. Esdecir

u(x) =

C−, x < 0

C+, x > 0,

con C± arbitrarias.

63

Ejemplo 49. Resolver la ecuacionD2T = δ′(x),

en C∞(R \ 0). En este caso la ecuacion se escribe

D2u+ [u]0δ′(x) + [u′]0δ(x) = δ′(x).

Por tanto buscamos u ∈ C∞(R \ 0) tal que

D2u(x) = 0, ∀x 6= 0⇐⇒ u(x) =

A1x+B1, x < 0

A2x+B2, x > 0

verificando[u]0 = u(0+)− u(0−) = 1, [u′]0 = u′(0+)− u′(0−) = 0.

Es decirB2 −B1 = 1, A2 − A1 = 0.

Lo cual nos lleva a la solucionu(x) = Ax+B + θ(x).

Ejercicio 2. Resolver en C∞(R \ 0) la ecuacion de Newton en una dimension

mD2t x = F,

con una fuerza

1. F (t) = Cδ(t).

2. F (t) = Cδ′(t).

64

FUNCIONES DE GREEN

Definicion 32. Dado una ecuaciones diferencial lineal con un termino inhomogeneo∑α

aα(x)Dαxu(x) = f(x).

una funcion de Green para esta ecuacion es una funcion G = G(x, x′) de clase C∞ en todo R2N salvopara x = x′ que satisface ∑

α

aα(x)(D′x)αG(x, x′) = δ(x− x′).

Sin entrar en detalles sobre las condiciones de contorno necesarias, si conocemos una funcion deGreen G entonces un candidato a solucion particular es

u0(x) =

∫RNG(x, x′) f(x′) dNx′,

ya que, operando de forma no rigurosa , se obtiene∑α aα(x)Dα

xu0(x) =∑

α aα(x)Dαx

( ∫RN G(x, x′) f(x′) dNx′

)=∫RN

(∑α aα(x)(D′x)

αG(x, x′))f(x′) dNx′ =

∫RN δ(x− x

′) f(x′) dNx′ = f(x).

FUNCIONES DE GREEN PARA ECUACIONES ORDINARIAS DE SEGUNDO OR-DEN

Consideremos el calculo de funciones de Green para una EDO de segundo orden:

a2(x)D2u+ a1(x)Du+ a0(x)u = f. (39)

La ecuacion para G(x, x′) es

a2(x)(D′x)2G(x, x′) + a1(x)D′xG(x, x′) + a0(x)G(x, x′) = δ(x− x′).

Aplicando las formulas anteriores de derivacion de distribuciones nos queda

a2(x)D2xG(x, x′) + a1(x)DxG(x, x′) + a0(x)G(x, x′) + a2(x)[G]x=x′δ

′(x− x′)

+ a2(x)[DxG]x=x′δ(x− y) + a1(x)[G]x=x′δ(x− x′) = δ(x− x′).

Por tantoa2(x)D2

xG(x, x′) + a1(x)DxG(x, x′) + a0(x)G(x, x′) = 0, para x 6= x′. (40)

65

y[G]x=x′ = 0, a2(x′)[DxG]x=x′ = 1. (41)

Para resolver estas ecuaciones determinamos una base u1(x), u2(x) de soluciones linealmente inde-pendientes de la ecuacion homogenea a2D

2u + a1Du + a0u = 0 y construimos una solucion de (40) dela forma

G(x, x′) =

A(x′)u1(x), para x < x′

B(x′)u2(x), para x > x′(42)

donde A(x′) y B(x′) son coeficientes a determinar. Imponiendo ahora las condiciones (41) nos queda elsistema de dos ecuaciones lineales para nuestras incognitas A(x′) y B(x′):

A(x′)u1(x′)−B(x′)u2(x′) = 0,

A(x′)u′1(x′)−B(x′)u′2(x′) = − 1a2(x′)

.

Resolviendo por la regla de Cramer nos queda

A(x′) =

∣∣∣ 0 −u2(x′)−1/a2(x′) −u′2(x′)

∣∣∣−W (u1, u2)(x′)

=u2(x′)

a2(x′)W (u1, u2)(x′),

B(x′) =

∣∣∣ u1(x′) 0u′1(x′) −1/a2(x′)

∣∣∣−W (u1, u2)(x′)

=u1(x′)

a2(x′)W (u1, u2)(x′),

dondeW (u1, u2) = u1u

′2 − u′1u2,

es el determinante Wronskiano de u1 y u2. LLevando este resultado a (62) obtenemos finalmente

G(x, x′) =

u1(x)u2(x′)

a2(x′)W (u1, u2)(x′), para x < x′

u1(x′)u2(x)

a2(x′)W (u1, u2)(x′), para x > x′

(43)

Cualquier otra funcion de Green de (39) se obtendra sumando a esta una solucion de la ecuacionhomogenea a2D

2xG0(x, x′) + a1DxG0(x, x′) + a0G0(x, x′) = 0 en C∞(R2).

66

Ejemplo 50. ParaD2u = f,

tomandou1(x) = x, u2(x) = 1,

se obtiene

G(x, x′) =

−x, para x < x′

−x′, para x > x′

Ejemplo 51. Consideremos la ecuacion de Bessel

x2D2u+ xDu+ x2u = 0.

En este caso podemos tomaru1(x) = J0(x), u2(x) = N0(x),

y sabemos del curso de ecuaciones ordinarias que

W (J0, N0)(x′) =2

πx′.

Entonces como en este caso a2(x) = x2 se obtiene

G(x, x′) =

π

2x′J0(x)N0(x′), para x < x′

π

2x′J0(x′)N0(x), para x > x′

No entraremos en la teora de funciones de Green para ecuaciones en derivadas parciales, solamentesealaremos que para la ecuacion de Poisson en N dimensiones

4u = f,

es sencillo determinar una funci ’on de Green.Por ejemplo

G(x, x′) =2

πlog |x− x′| en R2

G(x, x′) = − 1

4π

1

|x− x′|en R3

67

CAMBIOS DE VARIABLE EN DISTRIBUCIONES

Para definir la operacion de cambio de variable en una distribucion nos inspiramos en lo que se haceen el caso de funciones derivables. Suponganos una integral en una variable x del tipo∫ ∞

−∞u(y(x))ϕ(x)dx.

siendo y = y(x) una funcion y : R→ R biyectiva con derivada continua y no nula en todo R. Entoncespodemos efectuar el cambio de variable en la integral anterior con las sustituciones

u(y(x))→ u(y), ϕ(x)→ ϕ(x(y)), dx→ x′(y)dy.

Fig. Funcion y = y(x) biyectiva

Con lo cual ∫ ∞−∞

u(y(x))ϕ(x)dx =

∫ ∞−∞

u(y)ϕ(x(y))|x′(y)|dy.

Donde el valor absoluto de la derivada |x′(y)| aparece para que sea correcto el orden de asignacion delos lımites de la segunda integral (y(±∞) = ( signo de x′(y) (±∞)).

De esta forma podemos extender este resultado usando la notacion simbolica

Definicion 33. Sea y = y(x) una funcion y : R→ R biyectiva de clase C∞(R) y con derivada no nulaen todo R. Entonces dada una distribucion T = T (y) en D′ que actua sobre funciones ϕ = ϕ(y) en Dse define ∫ ∞

−∞T (y(x))ϕ(x)dx =

∫ ∞−∞

T (y)ϕ(x(y))|x′(y)|dy.

68

Ejemplo 52. Sea por ejemplo δ(−2x+ 1). En este caso

y(x) = −2x+ 1, x(y) =1

2(1− y).

Por tanto ∫ ∞−∞

δ(−2x+ 1)ϕ(x)dx =

∫ ∞−∞

δ(y)ϕ(1

2(1− y))

1

2dy =

1

2ϕ(

1

2).

La definicion de cambio de variable es mas complicada cuando y = y(x) es una funcion y : R → Rcuya derivada y′(x) se anula en una serie de puntos x1 < x2 < · · · < xn. En ese caso la funcion noes biyectiva sobre R y no se puede efectuar el cambio de variable globalmente. Sin embargo podemospartir R en la forma

R = (−∞, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−1, xn] ∪ [xn,+∞),

donde en cada uno de los intervalos individuales la funcion y(x) es biyectiva (es monotona estricta alno anularse en ellos su derivada). Por tanto podemos efectuar el cambio de variable en cada uno de esossubintervalos por separado y obtener ası∫ ∞

−∞u(y(x))ϕ(x)dx =

n∑i=0

∫ xi+1

xi

u(y(x))ϕ(x)dx =n∑i=0

∫ yi+1

yi

u(y)ϕ(x(y))|x′(y)|dy,

donde denotamos

x0 = −∞, xn+1 = +∞, [yi, yi+1] = y([xi, xi+1]), (con yi < yi+1).

x1

x2 x3

a1 a2

Fig. Funcion y = y(x) no biyectiva

No es sencillo extender este resultado a distribuciones generales y por tanto nos contentaremos con elcaso de deltas de Dirac y cambios de variable en que hay un cero simple ai de y(x) (y(ai) = 0, y′(ai) 6= 0)en cada subintervalo [xi, xi+1]. En ese caso dejandonos llevar con la notacion simbolica tendremos que∫ ∞

−∞δ(y(x))ϕ(x)dx =

n∑i=0

∫ yi+1

yi

δ(y)ϕ(x(y))|x′(y)|dy =n∑i=0

ϕ(ai)

|y′(ai)|,

69

donde hemos usado el hecho de que en cada intervalo imagen [yi, yi+1] = y([xi, xi+1]) la funcion x(y)satisface x(0) = ai y la derivada x′(y) = 1/y′(x) en y = 0 es dada por x′(0) = 1/y′(ai). Este razonamientomotiva la siguiente definicion

Definicion 34. Sea y = y(x) una funcion y : R→ R cuya derivada y′(x) se anula en x1 < x2 < · · · < xny tal que hay un cero simple ai de y(x) (y(ai) = 0, y′(ai) 6= 0) en cada subintervalo [xi, xi+1]. Entoncesse define

δ(y(x)) =n∑i=0

δ(x− ai)|y′(ai)|

.

Ejemplo 53. Sea por ejemplo δ(x2 − a2) con a > 0 . En este caso

y(x) = x2 − a2, y′(x) = 2x se anula en x1 = 0 .

Dividimos R en dos subintervalosR = (−∞, 0] ∪ [0,+∞),

La funcion y(x) tiene un cero simple en cada subintervalo

−a ∈ (−∞, 0], a ∈ [0,+∞).

Por tanto

δ(x2 − a2) =1

2a(δ(x− a) + δ(x+ a)).

70

TRANSFORMADA DE FOURIER

TRANSFORMADA DE FOURIER DEFUNCIONES

La transformada de Fourier de una funcion u = u(x) de N variables x = (x1, . . . , xN) se define como

c(k) = F(u) =1

(2π)N/2

∫RNe−ik·xu(x)dNx, (44)

donde estamos empleando la notacion de producto escalar

k · x = x · k = x1k1 + · · ·+ xNkN .

Para que exista la transformada de Fourier c = F(u) de una funcion u = u(x) es necesario ysuficiente que u ∈ L1(RN) . Ademas en ese caso, el teorema de la convergencia dominada, nos dice queF(u) es una funcion continua en todo RN . Por tanto la transformada de Fourier define una aplicacion

F : L1(RN)→ C(RN),

que es obviamente lineal. Es decir

F(α1u1 + α2u2) = α1F(u1) + α2F(u2), ∀αi ∈ C, ∀ui ∈ L1(RN) (i = 1, 2).

Calculo de transformadas de Fourier mediante integracion por residuos

Supongamos que u = u(x) es una funcion que admite una extension u = u(z) analıtica en el planocomplejo salvo en un numero finito de polos aiNi=1 fuera del eje real y u(z) → 0 cuando z → ∞.Aplicando el teorema de los residuos podemos evaluar la integral que define su transformada de Fourierc = c(k) y deducimos que:

c(k) =

−i√

2π∑

Imai<0 Res(e−ikzu(z), ai) para k > 0

i√

2π∑

Imai>0 Res(e−ikzu(z), ai) para k < 0.

El espacio L1(RN) tiene el inconveniente de no ser invariante bajo la transformada de Fourier. Esdecir, existen funciones u ∈ L1(RN) tales que F(u) 6∈ L1(RN).

Como veremos inmediatamente F define una aplicacion lineal continua y biyectiva de S en S. M

71

TRANSFORMADA DE FOURIER EN SLos espacios de funciones mas convenientes para definir la transformada de Fourier son los espacios

de Schwartz S = S(RN). Dado que S es un subespacio lineal de L1, para toda u ∈ S la transformadaF(u) existe y es una funcion continua . Pero ademas se verifica el teorema siguiente:

Teorema 16. La transformada de Fourier

c(k) = F(u) =1

(2π)N/2

∫RNe−ik·xu(x)dNx,

define una aplicacion lineal biyectiva y continua en el espacio S

F : S → S.

cuya aplicacion inversa es dada por

u(x) = F−1(c) =1

(2π)N/2

∫RNeik·xc(k)dNk, (45)

Demostraremos solo parte de las afirmaciones de este teorema.

Demostracion de que u ∈ S =⇒ F(u) ∈ S

Usamos la notacion Dαx , D

αk para denotar los operadores de derivacion multiple Dα con respecto a

las variables x o k, respectivamente. Denotaremos xα y kα a los monomios

xα = xα11 · · ·x

αNN , kα = kα1

1 · · · kαNN .

Veamos dos de las propiedades fundamentales de F en S:

P1) Si u ∈ F entonces F(u) es de clase C∞(RN) . Ademas se verifica :

F(xαu) = (iDk)αF(u). (46)

P2) Si u ∈ F entonces F(u) y todas sus derivadas decrecen rapidamente en el infinito. Ademas severifica:

F(Dαxu) = (ik)αF(u). (47)

72

Demostracion. P1) Sea u ∈ S y escribamos su transformada de Fourier en la forma

c(k) =

∫RNf(k, x)dNx, f(k, x) =

1

(2π)N/2e−ik·xu(x). (48)

Dado que las derivadas de f(k, x) con respecto de las variables ki son

Dαk f(k, x) = (−ix)αf(k, x),

tenemos que|Dα

k f(k, x)| = |xαu(x)|, ∀k ∈ RN .

Como u ∈ S tambien xαu ∈ S ⊂ L1 luego como consecuencia del teorema de derivacion deintegrales dependientes de parametros , la funcion c(k) es derivable a cualquier orden sobre RN ypodemos derivarla introduciendo Dα

k dentro de la integral de (48)

Dαk c(k) =

∫RNDαk f(k, x)dNx =

∫RN

(−ix)αf(k, x)dNx =1

(2π)N/2.

∫RN

(−ix)αe−ik·xu(x)dNx.

Lo cual equivale a la propiedad P1).

P2) En primer lugar tenemos

F( ∂u∂xi

)=

1

(2π)N/2

∫RNe−ik·x

∂u

∂xidNx

=1

(2π)N/2

∫RN−1

[e−ik·xu(x)

∣∣∣∞xi=−∞

−∫ ∞−∞

(−iki)e−ik·xu(x)dxi

]dx1 . . . dxi−1dxi+1 · · · dxN ,

en donde hemos integrado por partes. Si u ∈ S se cumple que

u(x)∣∣∣∞xi=−∞

= 0,

luego por tanto obtenemos

F( ∂u∂xi

)= ikiF(u).

Por ello, iterando esta identidad, obtenemos (47). Ahora teniendo en cuenta que (67) implica∣∣∣F(u)(k)∣∣∣ ≤ ||u||1

(2π)N/2, ∀k ∈ RN ,

de (47) se deduce que ∣∣∣F(u)(k)∣∣∣ ≤ ||Dα

xu||1(2π)N/2 |k|α

,∀k ∈ RN ,∀α.

Luego para toda u ∈ S se cumple que F(u) decrece rapidamente en el infinito. Lo mismo ocurrirapor tanto con cualquiera de sus derivadas Dαu.

73

Ejercicio 3. Probar que bajo F las traslaciones y productos por exponenciales de exponente lineal setransforman segun:

F(u(x+ a)) = eik·a c(k),

F(eia·xu(x)) = c(k − a),

siendo c(k) = F(u).

Ejercicio 4. Probar que la transformada de Fourier de la funcion gaussiana de una variable

ϕ(x) = e−a2x2 , a > 0,

es dada por

c(k) =1

a√

2e−

k2

4a2 .

Es decir, la transformada de una gaussiana es de nuevo una gaussiana.

La aplicacion F−1 : S → S

Si c ∈ S entonces se define

F−1(c)(x) =1

(2π)N/2

∫RNeik·xc(k)dNk.

Veamos queF−1(c) = F(c). (49)

La demostracion es muy simple

F−1(c)(x) =1

(2π)N/2

∫RNe−ik·xc(k)dNk = F(c)(x).

Debido a la identidad (49) es claro que F−1 define una aplicacion lineal F−1 : S → S. Probar queF−1 es la aplicacion inversa de F es mas complicado. Una forma de hacerlo es mediante lımites dedesarrollos en serie de Fourier.

Dada u ∈ S(R) , la restriccion de u a un intervalo cualquiera [−a, a] con a > 0 posee serie de Fourierde exponenciales en dicho intervalo

u(x) =∞∑

n=−∞

cn eiknx, kn = n

π

a,

siendo

cn =1

2a

∫ ∞−∞

e−iknxu(x)dx.

74

Introduciendo una funcion sobre los puntos kn en la forma

c(kn) =√

2πcn∆k

, siendo ∆k = kn+1 − kn = πa,

la serie de Fourier de u se escribe como una suma de Riemann

u(x) =1√2π

∑kn

c(kn) eiknx∆,

que haciendo a→∞ ( ∆k → 0) se convierte en la integral

u(x) =1√2π

∫ ∞−∞

eikxc(k)dk, (50)

donde

c(x) =1√2π

∫ ∞−∞

e−ikxu(x)dx,

es F(u), luego (50) es F−1(c).

Convolucion y transformada de Fourier

La operacion de convolucion de dos funciones u y v de S se define como

(u ∗ v)(x) :=

∫RNu(x− y)v(y)dNy =

∫RNu(y)v(x− y)dNy = (v ∗ u)(x).

Veamos un par de propiedades fundamentales de la transformada de Fourier relacionadas con laoperacion de convolucion.

P3) Transformada de una convolucion:

F(u ∗ v) = (2π)N/2F(u)F(v).

P4) Invariancia de productos escalares y normas L2 (Identidades de Parseval):

(F(u),F(v)) = (u, v) , ||F(u)|| = ||u||.

Demostracion. P3) Escribamos la transformada de una convolucion

F(u ∗ v) =1

(2π)N/2

∫RNe−ik·x

[ ∫RNu(y)v(x− y)dNy

]dNx.

75

Como u, v ∈ S la integral multiple es independiente del orden en que hagamos las integrales sobrecada variable. Por tanto podemos escribir

F(u ∗ v) =1

(2π)N/2

∫RN×RN

e−ik·xu(x− y)v(y)dNydNx,

que con el cambio de variablesx = ξ + η, y = η,

se transforma en

F(u ∗ v) =1

(2π)N/2

∫RN×RN

e−ik·(ξ+η)u(ξ)v(η)dNξdNη = (2π)N/2F(u)F(v),

como querıamos demostrar.

P4) El producto escalar en L2(RN) de u, v ∈ S se puede escribir como

(u, v) =

∫RNu(y)v(y)dny = (Pu ∗ v)(0),

donde Pu(x) = u(−x). Por ello, utilizando P3) tenemos

(u, v) = (2π)N/2[F−1(F(Pu)F(v))](0),

esto es

(u, v) =

∫Rneik·xa(k)b(k)dnk

∣∣∣x=0

donde a, b son las transformadas Fourier de u, v, respectivamente. Por tanto,∫RNu(x)v(x)dNx =

∫RNa(k)b(k)dNk,

que es la primera identidad de Parseval y, en particular, para u = v se obtiene la segunda identidad.

76

5. TRANSFORMADA DE FOURIER ENS ′

Sean u, ϕ ∈ S, por la identidad de Parseval tenemos que

(F−1(u), ϕ) = (u,F(ϕ)).

En terminos de la accion de las distribuciones regulares asociadas a F−1(u) y u esta igualdad se escribeen la forma

〈F−1(u), ϕ〉 = 〈u,F(ϕ)〉,y usando (49) denotando v = u concluimos que

〈F(v), ϕ〉 = 〈v,F(ϕ)〉, ∀v, ϕ ∈ S. (51)

Esta identidad nos lleva a la siguiente definicion de transformada de Fourier en S ′

Definicion 35. Dada T ∈ S ′ se define su transformada de Fourier F(T ) como

〈F(T ), ϕ〉 = 〈T,F(ϕ)〉, ∀ϕ ∈ S. (52)

En lugar de usar las variables x = (x1, . . . , xN) en las formulas (51) y (52) supondremos por conve-niencia que tanto F(v) como ϕ son funciones de k = (k1, . . . , kn).

Ejercicio 5. F(T ) es una distribucion en S ′.Linealidad

〈F(T ), αϕ1 + βϕ2〉 = 〈T,F(αϕ1 + βϕ2)〉 = 〈T, αF(ϕ1) + βF(ϕ2)〉

= α〈T,F(ϕ1)〉+ β〈T,F(ϕ2)〉 = α〈F(T ), ϕ1〉+ β〈F(T ), ϕ2〉.

Continuidad

Definicion 36. Dada T ∈ S ′ se define su transformada de Fourier inversa F−1(T ) como

〈F−1(T ), ϕ〉 = 〈T,F−1(ϕ)〉, ∀ϕ ∈ S. (53)

Ejercicio 6. F : S ′ → S ′ es una aplicacion lineal biyectiva y continua con aplicacion inversa F−1.

La demostracion es sencilla, veamos solo como muestra el detalle de la contiuidad

〈F( lımn→∞

Tn), ϕ〉 = 〈 lımn→∞

Tn,F(ϕ)〉 = lımn→∞〈Tn,F(ϕ)〉 = lım

n→∞〈F(Tn), ϕ〉 = 〈 lım

n→∞F(Tn), ϕ〉

Es a menudo de utilidad usar la notacion simbolica

F(T )(k) =1

(2π)N/2

∫RNe−ik·xT (x)dNx, (54)

F−1(T )(x) =1

(2π)N/2

∫RNeik·xT (k)dNk. (55)

77

Propiedades de la transformada de Fourier en S ′

Las siguientes propiedades basicas de F en S ′ son analogas a las que se verifican en S.

P1)’ Transformadas de productos por monomios:

F(xαT ) = (iDk)αF(T ).

P2’) Transformadas de derivadas:

F(DαxT ) = (ik)αF(T ).

Demostracion. P1)’

〈F(xαT ), ϕ〉 = 〈xαT,F(ϕ)〉 = 〈T, xαF(ϕ)〉

= 〈T,F((1/i)|α|Dαkϕ)〉 = 〈(iDk)

αF(T ), kαϕ〉

P2’)

〈F(DαxT ), ϕ〉 = 〈Dα

xT,F(ϕ)〉 = (−1)|α|〈T,DαxF(ϕ)〉

= (−1)|α|〈T,F((1/i)|α|kαϕ)〉 = i|α|〈F(T ), kαϕ〉 = 〈(ik)αF(T ), ϕ〉

Ejemplo 54. La transformada de Fourier de la delta de Dirac δa se calcula inmediatamente.

〈F(δa), ϕ〉 = 〈δa,F(ϕ)〉 = F(ϕ)(a) =1

(2π)N/2

∫RNe−ia·kϕ(k)dNk.

Por tanto la transformada de la delta es la distribucion regular Tu con u = e−ia·k/(2π)N/2. Es masconveniente en este caso escribir el resultado como

F(δ(x− a)) =e−ia·k

(2π)N/2.

En particular para a = 0 se obtiene una constante

F(δ(x)) =1

(2π)N/2.

78

Ejemplo 55. La funcion constante u(x) ≡ 1 no tiene transformada de Fourier como funcion, pero sila tiene como distribucion

〈F(1), ϕ〉 = 〈1,F(ϕ)〉 =

∫RN

1 · F(ϕ)(k)dNk = (2π)N/2F−1(F(ϕ))∣∣∣k=0

= (2π)N/2ϕ(0).

Es decirF(1) = (2π)N/2 δ(k).

Ejemplo 56. Las funciones tipo onda plana up(x) = eip·x no tienen transformada de Fourier comofunciones, pero si la tienen como distribuciones.

〈F(eip·x), ϕ〉 = 〈eip·x,F(ϕ)〉 =

∫RNeip·xF(ϕ)(x)dNx = (2π)N/2F−1(F(ϕ))

∣∣∣k=p

= (2π)N/2ϕ(p).

Es decirF(eip·x) = (2π)N/2 δ(k − p).

Ejercicios

1. Calcular la transformada de Fourier de las derivadas Dαδ(x− a) de las deltas de Dirac.

2. Calcular la transformada de Fourier de las funciones monomio xα.

3. Probar que las transformadas de distribuciones anteriores son consistentes con la notacion simboli-ca (54).

Transformada de Fourier en L1 y L2

Los espacios L1(RN) y L2(RN) pueden considerarse como espacios de distribuciones regulares conte-nidos en S ′(RN). La transformada de Fourier F sobre S ′ genera mediante restriccion las transformadasde Fourier casicas sobre L1 y L2 dadas por

1. Para u ∈ L1(RN)

F(u)(k) =1

(2π)N/2

∫RNe−ik·xu(x)dNx.

2. Para u ∈ L2(RN)

F(u) = lımR→∞

uR, uR =1

(2π)N/2

∫|x|≤R

e−ik·xu(x)dNx, u ∈ L2(RN),

donde la operacion de lımite es el sentido de L2. Es decir lımR→∞ ||F(u)− uR||2 = 0.

79

Transformada de Fourier y funciones de Green

La transformada de Fourier de distribuciones proporciona un potente metodo de calculo de funcionesde Green ∑

α

aα(D′x)αG(x) = δ(x), (56)

para EDP’s con coeficientes constantes (aα ∈ C, ∀α). El primer paso de este metodo es aplicar latransformada de Fourier a ambos miembros de (56). De esta forma se obtiene

p(k)F(G) =1

(2π)N/2,

donde p(k) es el polinomio

p(k) =∑α

aαi|α| kα, (kα = kα1

1 kα22 · k

αNN ).

Por tanto despejando encontramos

F(G) =1

(2π)N/21

p(k),

ası que aplicando ahora la transformada de Fourier inversa se obtiene

G(x) =1

(2π)N/2F−1

( 1

p(k)

).

Sin embargo hay un problema en esta estrategia cuando la funcion 1/p(k) no es localmente integrabley por tanto no determina una distribucion, pues en ese caso no esta definida su transformada de Fourierinversa. Esto ocurre cuando el polinomio p(k) se anula en puntos de RN . En ese caso hay que emplearun procedimiento de regularizacion de 1/p(k) en la forma siguiente:

1. Se introduce una familia de polinomios pε(k) (ε > 0) de la forma

pε(k) =∑α

aα(ε)i|α| kα, (57)

que no se anulen en puntos de RN y tales que lımε→0 pε(k) = p(k) c.d.. Es decir

lımε→0

aα(ε) = aα, ∀α. (58)

2. Las funciones 1/pε(k) son localmente integrables ∀ε > 0 ası que podemos determinar mediante elmetodo anterior sus transformadas de Fourier inversas

Gε(x) =1

(2π)N/2F−1

( 1

pε(k)

).

80

Estas transformadas satisfacen ∑α

aα(ε)(D′x)αGε(x) = δ(x), (59)

y por tanto, si existe el lımite en D′

G(x) ≡ lımε→0

Gε(x),

tomando el lımite en (59) y debido a (57)-(58) se deduce que la distribucion G(x) satisface (56).

Ejemplo 57. Sea la funcion de Green en una dimension

DxG(x) = δ(x)

Tomando la transformada de Fourier

ikF(G) =1√2π.

Luego

G(x) =1√2πF−1

( 1

ik

).

Como 1/ik no es localmente integrable (es singular en k = 0 ) la regularizamos en la forma 1/i(k− iε)y definimos

Gε(x) =1√2πF−1

( 1

i(k − iε)

).

Integrando ahora mediante el teorema de los residuos obtenemos

Gε(x) =1

2π

∫ ∞−∞

eikx( 1

i(k − iε)

)dk =

Res(eikx/i(k − iε), k = iε) = e−εx para x > 0

0 para x < 0

.

Por tantoG(x) ≡ lım

ε→0Gε(x) = θ(x).

Ejemplo 58. Sea la funcion de Green en tres dimensiones

4G(~x) = δ(~x)

Tomando la transformada de Fourier

−k2F(G) =1

(2π)3/2, (k2 = k2

1 + k22 + k2

3).

Luego

G(~x) = − 1

(2π)3/2F−1

( 1

k2

)= − 1

(2π)3

∫R3

ei~k·~x

k2d3k.

81

Para calcular esta integral tomemos los ejes en el espacio (k1, k2, k3) de forma que el eje k3 este en aldireccion y sentido del vector ~x. De esta forma tomando coordenadas esfericas (k, θ, φ) en el espacio delas k′s y dado que d3k = k2 senθ dk dθ dφ tenemos que

~k · ~x = k r cos θ, (r ≡ |~x|)

y

G(~x) = − 1(2π)3

∫ 2π

0dφ∫∞

0dk∫ π

0dθ senθ eik r cos θ

= − 14π2

∫∞0

dk∫ π

0dθ senθ eik r cos θ = − 1

4π2 r i

∫∞0

dk eik r−e−ikr

k= − 1

8π2 r i

∫∞−∞ dk e

ik r−e−ikrk

.

Regularizamos el integrando cambiando en el denominador k → k+ iε (ε > 0) . Integrando por residuosse obtiene ∫ ∞

−∞dk

eik r

k + iε= 0,

∫ ∞−∞

dke−ik r

k + iε= −2πie−ε r.

Luego

Gε(~x) = −e−ε r

4πr,

y finalmente encontramos

G(~x) = − 1

4π r.

Ejemplo 59. Sea la EDP con coeficientes constantes en R3 siguiente

∆u− a2u = f(~x), ~x ∈ R3, a > 0.

Las funciones de Green correspondientes son las soluciones de

∆G(~x)− a2G(~x) = δ(~x). (60)

Apliquemos la transformada de Fourier a esta ultima ecuacion, obtenemos

−k2F(G)− a2F(G) =1

(2π)3/2, k2 ≡ |~k|2, (61)

y despejando F(G) encontramos

F(G)(~k) = − 1

(2π)3/2

1

k2 + a2.

Esta funcion es localmente integrable en R3 (el denominador solo se anula para k = ±i a) y por tantoadmite transformad de Fourier inversa. Ası encontramos que

G(~x) = − 1

(2π)3/2F−1

( 1

k2 + a2

)= − 1

(2π)3

∫R3

ei~k·~x

k2 + a2d3k. (62)

82

Calculemos la integral que aparece en esta expresion tomando coordenadas esfericas en el espacio ~k conel eje k3 en la direccion y sentido de ~x∫

R3

ei~k·~x

k2 + a2d3k =

∫ ∞0

k2 dk

∫ π

0

senθ dθ

∫ 2π

0

dϕei k r cos θ

k2 + a2, r ≡ |~x|.

Efectuando las integraciones en ϕ y θ teniendo en cuenta que

senθ ei k r cos θ =i

k r

∂ei k r cos θ

∂θ,

reducimos el calculo a∫R3

ei~k·~x

k2 + a2d3k =

2 π

i r

∫ ∞0

k (ei k r − e−i k r)k2 + a2

=2 π

i r

∫ ∞−∞

k ei k r

k2 + a2=

2 π

re−a r

Esta ultima integral se ha calculado por el metodo de los residuos cerrando el dominio de integracionen el semiplano complejo superior de la variable k∫ ∞

−∞

k ei k r

k2 + a2= 2π iRes

( k ei k r

k2 + a2, k = i a

)= π i e−a r.

LLevando este resultado a (62) concluimos que

G(~x) = − e−a r

4π2 r.

El metodo que acabamos de usar no sirve para a = 0 pues en ese caso al despejar F(G) en (61) seobtiene

F(G)(~k) = − 1

(2π)3/2

1

k2.

que no es localmente integrable en R3 debido a que su denominador posee un cero de orden 2 en k = 0.Sin embargo las funciones de Green que acabamos de calcular dependen del parametro a > 0

Ga(~x) = − e−a r

4π2 r,

y su lımite puntual cuando a→ 0 viene dado por

G0(~x) = − 14π2 r

,

que es localmente integrable en R3. Ademas podemos demostrar que es una funcion de Green para eloperador Laplaciano

∆G0(~x) = δ(~x). (63)

Basta recordar que

1. Los operadores diferenciales con coeficiente constantes son aplicaciones continuas en D′

83

2. Las funciones de Green Ga(~x) definen distribuciones regulares en en D′ con lımite G(~x) en D′

Por tanto dado que∆Ga(~x)− a2Ga(~x) = δ(~x), (64)

tomando el lımite cuando a → 0 de esta ecuacion en D′ concluimos que G0(~x) satisface (63). De estaforma encontramos de una forma alternativa la funcion de Green para resolver la ecuacion de Poisson

∆u = f(~x), ~x ∈ R3, a > 0,

El metodo de la transformada de Fourier en EDP’s

Sea un problema de valores iniciales con una EDP con coeficientes constantes homogenea y variablesindependientes t y ~x = (x1, . . . , xN)

∂ru∂tr

+∑

α aαDαxu = 0, t > 0, ~x ∈ RN ,

∂nu∂tn

∣∣∣t=0

= fn(~x), n = 0, . . . , r − 1.

(65)

Efectuemos la transformada de Fourier con repecto a las N variables ~x de las ecuaciones de este pro-blema, se reduce a un problema de valores iniciales para una EDO

∂rc(t,~k)∂tr

+∑

α(i k)αaα c(t,~k) = 0, t > 0, ~k ∈ RN ,

∂nc(t,~k)∂tl

∣∣∣t=0

= bn(~k), n = 0, . . . , r − 1,

(66)

siendo

c(t,~k) = F(u(t, ·)) =1

(2π)N/2

∫RNe−i

~k·~x u(t, ~x) dNx, bn(~k) = F(fn) =1

(2π)N/2

∫RNe−i

~k·~x fn(~x) dNx.

(67)la solucion de (66) puede escribirse en la forma

c(t,~k) =r−1∑n=0

bn(~k) en(t,~k), (68)

siendo las funciones en = en(t,~k)r−1n=0 una base de soluciones de la EDO de (66) tal que

∂len(t,~k)

∂tl

∣∣∣t=0

= δlnbn(~k), l, n = 0, . . . , r − 1.

84

Apliquemos ahora la transformada de Fourier inversa a la ecuacion (68)

u(t, ~x) = F−1(c(t, ·))(~x) =r−1∑n=0

F−1(en(t, ·) bn) =r−1∑n=0

F−1(en(t, ·)F(fn)),

e introduzcamos las transformadas inversas de las funciones en

Gn(t, ~x) = F−1(en(t, ·)(~x) =1

(2π)N/2

∫RNei~k·~x en(t,~k) dNk.

Entonces tenemos que aplicando la propiedad de la convolucion

u(t, ~x) =r−1∑n=0

F−1(F(Gn(t, ·)F(fn)) =1

(2π)N/2

r−1∑n=0

(Gn(t, ·) ? fn

)(~x).

Es decir la solucion del problema (65) se expresa en la forma

u(t, ~x) = 1(2π)N/2

∑r−1n=0

∫Rn Gn(t, ~x− ~y) fn(~y) dNy.

Ejercicio 7. Considerar el problema de valores iniciales para la ecuacion de ondas en dos variables(t, x)

∂2u∂t2− c2

0∂2u∂x2

= 0, t > 0, x ∈ R,

u∣∣∣t=0

= f0(x), ∂u∂t

∣∣∣t=0

= f1(x).

(69)

1. Aplicar la transformada de Fourier respecto de x para reducir el problema a∂2c(t,k)∂t2

+ c20 c(t, k) = 0, t > 0, k ∈ R,

c∣∣∣t=0

= b0(k), ∂c∂t

∣∣∣t=0

= b1(k),

(70)

donde c, b0, b1 son las transformadas de u, f0, f1 respectivamente.

2. Probar que la solucion de (70) es

c(t, k) = b0(k) cos(c0 k t) + b1(k)sen(c0 k t)

c0 k.

3. Probar que las transformadas inversas son

G0(t, x) = F−1(cos(c0 k t)) =1

2

(F−1(eic0kt) + F−1(e−ic0kt)

)=

√π

2

(δ(x+ c0t) + δ(x− c0t)

).

G1(t, x) = F−1(sen(c0 k t)

c0 k

)=

√π

2

1

c0

χ[−c−0t,c0t](x).

4. Demostrar finalmente que la solucion de (69) se escribe en la forma

u(t, x) =1

2

(f0(x+ c0t) + f0(x− c0t)

)+

1

2 c0

∫ x+c0t

x−c0tf1(y) dy.

85

6. OPERADORES LINEALES

Definicion 37. Dados dos espacios vectoriales L1 y L2 sobre C, un operador lineal de L1 en L2 esuna aplicacion L : L1 → L2 tal que

L(αu+ βv) = αLu+ β Lv, ∀α, β ∈ C, u, v ∈ L1.

Se denomina

Nucleo de L: N (L) ≡ u ∈ L1 |Lu = 0

Recorrido de L (conjunto imagen): R(L) ≡ L(L1).

Se demuestran facilmente las propiedades siguientes

1) N (L) y R(L) son subespacios vectoriales de L1 y L2, respectivamente.

2) Si L : L1 → L2 es un operador lineal inyectivo entonces su aplicacion inversa L−1 define unaaplicacion lineal L−1 : R(L)→ L1.

3) Si L y M son operadores lineales de L1 en L2 sus combinaciones lineales definidas como

(αL+ βM)u = αLu+ βMu, α, β ∈ C, u ∈ L1.

son operadores lineales de L1 en L2

Ejercicio 8. Probar que: L inyectiva ⇐⇒ N (L) = 0

Operadores lineales en espacios vectoriales de dimension finita

Los operadores lineales en espacios vectoriales de dimension finita L : CN → CM son las matricesL = (Lij) (i = 1, . . . ,M ; j = 1, . . . , N)

(Lu)i =N∑j=1

Lijuj, u = (u1, . . . , uN), i = 1, . . . ,M.

Operadores lineales en espacios funcionales

En espacios funcionales los operadores lineales son basicamente de dos tipos

1. Operadores diferenciales

Lu =∑α

aα(x)Dαu.

2. Operadores integrales

(Lu)(x) =

∫I

G(x, x′)u(x′) dxN .

86

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS DE HILBERT

Definicion 38. Un operador lineal en un espacio de Hilbert H es una aplicacion

L : D→ H, u→ Lu

definida sobre un subespacio lineal D denso en H (D = H) tal que

L(αu+ βv) = αLu+ βLv, ∀α, β ∈ C u, v ∈ D.

El subespacio D se denomina dominio del operador L.

Comentarios

Siempre supondremos que D es denso en H.

Adviertase que una misma operacion lineal puede definirse sobre diferentes dominios en H, ası queen realidad cuando se habla de un operador hay que especificar su dominio.

El operador adjunto

La operacion caracterıstica en un espacio de Hilbert es el producto escalar ( , ). En particular elproducto escalar da lugar a la nocion de operador adjunto L†.

Definicion 39. Dado un operador lineal L : D → H con dominio D se define el dominio adjunto D†

comoD† = v ∈ H para los que existe algun w ∈ H tal que (v, Lu) = (w, u), ∀u ∈ D

Para cada v ∈ D† el vector w que aparece en esta definicion es unico ya que si existieran dos w1

y w2 entonces

(w1, u) = (w2, u), ∀u ∈ D =⇒ (w1−w2, u) = 0, ∀u ∈ D =⇒ (w1−w2, u) = 0, ∀u ∈ H =⇒ w1 = w2.

donde hemos usado el hecho de que D es denso en H.

El unico vector w asociado de esta forma a cada v ∈ D† se denota como L†v y por tanto verificala relacion fundamental

(v, Lu) = (L†v, u), ∀u ∈ D, v ∈ D†.

Se comprueba de forma simple que D† es un subespacio lineal de H y que L† define una operadorlineal con dominio D†.

87

Operadores simetricos, autoadjuntos y unitarios

En la Fısica Cuantica aparecen los siguientes tipos de operadores lineales.

Definicion 40. A : D→ H es simetrico si se cumplen dos condiciones

1) D ⊂ D†.

2) Au = A†u,∀u ∈ D.

Los operadores simetricos son los denominados operadores hermıticos en la Fısica Cuantica.

Ejercicio Probar que

A : D→ H simetrico⇐⇒ (v, Au) = (Av, u), ∀u, v ∈ D.

Definicion 41. A : D → H es autoadjunto si coincide con su adjunto: Es decir se cumplen lascondiciones

1) D = D†.

2) Au = A†u,∀u ∈ D.

En tal caso se escribeA = A†.

Los operadores autoadjuntos son los que representan las magnitudes fısicas en la Fısica Cuantica.

Definicion 42. U : H → H es unitario si cumple las condiciones

1) U es una aplicacion biyectiva de H en H.

2) (Uv, Uu) = (v, u), ∀u, v ∈ H.

Ejercicio Probar que si U es unitario entonces U−1 = U †.

Los operadores unitarios son los que representan las simetrıas en la Fısica Cuantica.

88

Operadores diferenciales simetricos

El tipo fundamental de operador simetrico que aparece en las aplicaciones de los espacios de Hilbertes el de Sturm–Liouville. Un operador diferencial de segundo orden definido sobre un dominioD ⊂ L2

ρ([a, b]) se dice que es del tipo de Sturm–Liouville cuando es de la forma

Lu = −1

ρD(pDu) + qu

con ρ, p, q funciones en C∞((a, b)) reales tales que ρ, p > 0 en (a, b).Un operador de Sturm–Liouville L sobre un dominio D ⊂ L2

ρ([a, b]) es simetrico si y solo si ∀v, w ∈ Dse verifica

p(a)

∣∣∣∣ v(a) w(a)vx(a) wx(a)

∣∣∣∣ = p(b)

∣∣∣∣ v(b) w(b)vx(b) wx(b)

∣∣∣∣ .Ejemplo 60. El ejemplo mas simple de operador de Sturm-Liouville es el operador derivada segunda:

Lu = −D2u,

para el cual ρ ≡ p ≡ 1, q ≡ 0.

Autovalores y autofunciones de operadores diferenciales

simetricos

Definicion 43. Dado un operador lineal A : D→ H un numero complejo λ se dice que es un autovalordel operador si existe un vector u 6= 0 en el domino D tal que

Au = λu .

En ese caso se dice que u es un autovector (autofuncion) del operador A.

La propiedad fundamental de los operadores simetricos que los convierte en los proveedores de basesortonormales es la segunda parte del siguiente enunciado

Teorema 17. Dado un operador simetrico A : D→ H

1) Los autovalores de A son numeros reales.

2) Autofunciones de A correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

89

Demostracion. Si Au = λu con u 6= 0 entonces

(u,Au) = (u, λu) = λ(u, u) = λ||u||2, (Au, u) = (λu, u) = λ(u, u) = λ||u||2.

Al ser A simetrico (u,Au) = (Au, u) y por otra parte ||u|| 6= 0 por ser u 6= 0. Luego λ = λ.Sean Av = λ1v con v 6= 0 y Aw = λ2w con w 6= 0. Supongamos λ1 6= λ2, entonces al ser A simetrico

(v,Aw) = (Av,w) pero

(v, Aw) = (v, λ2w) = λ2(v, w), (Av,w) = (λ1v, w) = λ1(v, w) = λ1(v, w).

Por tanto,como λ1 6= λ2, se cumple que (v, w) = 0.

De esta forma las autofunciones de un operador simetrico, una vez normalizadas, nos proporcionanconjuntos ortogonales. El problema es saber cuando estos conjuntos son maximales (propiedad de com-pletitud). Para operadores de Sturm-Liouville se conocen tipos importantes de dominios en los queson simetricos y poseen la propiedad de completitud. Sin embargo esto no sucede en general y ,comosabemos que ocurre en Fısica Cuantica, solo con las autofunciones del dominio del espacio de Hilbertno es posible construir un conjunto completo y deben utilizarse autofunciones generalizadas (fuera delespacio de Hilbert) para obtener un conjunto completo en un sentido mas amplio.

OPERADORES DIFERENCIALES EN ESPACIOS DE

DISTRIBUCIONES

Consideremos operadores diferenciales de la forma

L =∑α

aα(x)Dα,

donde los coeficientes aα(x) son funciones en C∞(RN) y se supone que solo hay un numero finito de ellosno nulos. Por lo que hemos visto anteriormente es claro que definen operadores lineales continuos en losespacios de distribuciones F ′ = D′ o S ′ (en el caso de S ′ los coeficientes de L deben ser de crecimientoa lo sumo polinomial en el infinito).

L : F ′ → F ′, T → LT =∑α

aα(x)DαT.

Es decir satisfacen

1. Linealidad: L(αT1 + βT2) = αLT1 + β LT2, ∀T1, T2 ∈ F ′ y α, β ∈ C.

2. Continuidad: Para toda sucesion convergente (Tn)∞n=1 ⊂ F ′ se cumple que

L( lımn→∞

Tn) = lımn→∞

LTn.

90

Comentarios

Adviertase que de acuerdo a las definiciones de derivadas de distribuciones y de producto defunciones por distribuciones

〈LT, ϕ〉 = 〈∑

α aαDαT, ϕ〉 =

∑α〈aαDαT, ϕ〉

=∑

α〈DαT, aαϕ〉 = (−1)|α|∑

α〈T,Dα(aαϕ)〉 = 〈T, L>ϕ〉,

donde L> es el operador traspuesto

L>ϕ = (−1)|α|∑α

Dα(aαϕ).

Recordemos que los espacios de funciones que hemos venido utilizando podemos verlos conteni-dos en lo espacios de distribuciones ya que tales funciones son localmente integrables y definendistribuciones regulares

D ⊂ S ⊂ C∞(RN) ⊂ C(RN) ⊂ S ′ ⊂ D′; Lp ⊂ S ′ ⊂ D′, p ≥ 1.

Por tanto podemos definir la accion de estos operadores diferenciales sobre estas funciones consi-deradas como distribuciones.

Ejemplo 61. Sea el operador en una variable:

L = D2 + cosxD.

Consideremos la distribucion |x| su imagen bajo L es

L|x| = (D′)2|x|+ cosxD′|x| = 2δ(x) + ε(x) cosx.

LOS OPERADORES DE POSICION Y MOMENTO EN

FISICA CUANTICA

El operador de posicion Qψ(x) = xψ(x) de la Fısica Cuantica determina una aplicacion lineal ycontinua sobre todo S ′(R)

Q : S ′ → S ′, QT (x) = xT (x),

y posee en S ′ un conjunto de autofunciones dadas por

ψq(x) = δ(x− q), Qψq(x) = xδ(x− q) = qδ(x− q), q ∈ R.

91

Podemos interpretar la identidad ∫Rδ(x− q′)δ(x− q)dx = δ(q′ − q)

como la propiedad de ortonormalizacion a la delta de Dirac de las autofunciones ψq

(ψq′ , ψq) = δ(q′ − q).

El conjunto de estas autofunciones es completo en el sentido de que toda funcion φ de S puede desa-rrollarse en la forma

ϕ(x) =

∫Rδ(x− q)ϕ(q)dq =

∫Ra(q)ψq(x)dq,

siendo

a(q) = ϕ(q) = (ψq, ϕ) =

∫Rδ(x− q)ϕ(x)dx.

El operador momento Pψ(x) = −iDxψ(x) de la Fısica Cuantica determina una aplicacion lineal ycontinua sobre todo S ′(R)

P : S ′ → S ′, PT (x) = −iDxT (x).

Este operador posee en S ′ un conjunto de autofunciones (distribuciones regulares) dadas por

ψp(x) = eip·x/(2π)1/2, P ψp(x) = pψp(x), (p ∈ R).

Podemos interpretar la identidadF(eip·x) = (2π)1/2 δ(k − p),

escrita en la forma1

(2π)

∫Rei(p−p

′)·xdx = δ(p′ − p),

como la propiedad de ortonormalizacion a la delta de Dirac de las autofunciones ψp

(ψp′ , ψp) = δ(p′ − p).

Adems estas autofunciones forman un conjunto completo generalizado en el sentido siguiente: todafuncion de S puede desarrollarse en la forma

ϕ(x) =1

(2π)1/2

∫Rc(k) eikxdk =

∫Rc(p)ψp(x)dp,

donde c(k) es F(ϕ). Es decir

c(p) =1

(2π)1/2

∫Re−ipxϕ(x)dx = (ψp, ϕ).

92