apunte5.deflexionenvigas
TRANSCRIPT
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 16
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154 983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155
983125983150983145983158983141983154983155983145983140983137983140 983124983141983139983150983151983148983283983143983145983139983137 983117983141983156983154983151983152983151983148983145983156983137983150983137
983110983137983139983157983148983156983137983140 983140983141 983113983150983143983141983150983145983141983154983277983137
983108983141983152983137983154983156983137983149983141983150983156983151 983140983141 983117983141983139983265983150983145983139983137
983108983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141 983126983145983143983137983155
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983108983151983138983148983141 983113983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983123983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150
983108983141983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 983158983145983143983137983155
983105983148 983140983145983155983141983281983137983154 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983149983265983153983157983145983150983137983155 983156983137983148983141983155 983139983151983149983151 983156983151983154983150983151 983152983154983141983150983155983137983155 983161 983148983145983149983137983140983151983154983137983155 983148983137983155 983140983141983142983151983154983149983137983139983145983151983150983141983155 983151 983140983141983142983148983141983160983145983151983150983141983155 983153983157983141983152983151983155983141983137983150 983148983151983155 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141983155 983140983141 983141983155983156983137983155 983149983265983153983157983145983150983137983155 983140983141983138983141983150 983140983141 983152983141983154983149983137983150983141983139983141983154 983152983151983154 983140983141983138983137983146983151 983140983141 983148983137983155 983156983151983148983141983154983137983150983139983145983137983155 983137983140983149983145983155983145983138983148983141983155 983140983141983148
983156983154983137983138983137983146983151 983153983157983141 983158983137983150 983137 983154983141983137983148983145983162983137983154
983125983150983137 983140983141 983148983137983155 983137983152983148983145983139983137983139983145983151983150983141983155 983149983265983155 983145983149983152983151983154983156983137983150983156983141983155 983140983141983148 983141983155983156983157983140983145983151 983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141 983158983145983143983137983155 983141983155 983148983137 983151983138983156983141983139983145983283983150 983140983141 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155 983140983141
983140983141983142983151983154983149983137983139983145983283983150 983153983157983141 983146983157983150983156983151 983139983151983150 983148983137983155 983141983139983157983137983137983139983145983151983150983141983155 983140983141 983148983137 983141983155983156983265983156983145983139983137 983152983141983154983149983145983156983141983150 983154983141983155983151983148983158983141983154 983158983145983143983137983155 983144983145983152983141983154983141983155983156983265983156983145983139983137983155 983151 983141983155983156983265983156983145983139983137983149983141983150983156983141
983145983150983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983137983155
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
P
δ
Elaacutestica
θ
θ
δ = deflexioacuten de un punto de la viga
= inclinacioacuten de la recta tangente de laelaacutestica
Ejemplosde aplicacioacuten industrial de vigas
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 26
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983108983151983138983148983141 983113983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150
983123983145 983155983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137 983157983150983137 983158983145983143983137 983142983148983141983139983156983137983140983137 983161 983155983141 983137983150983137983148983145983162983137 983157983150 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983145983142983141983154983141983139983145983137983148 983140983141 983141983148983148983137 983155983141 983140983141983155983156983137983139983137 983141983150 983148983137 983158 983145983155983156983137 983148983137983156983141983154983137983148 983148983137 983155983157983152983141983154983142983145983139983145983141 983151
983152983148983137983150983151 983150983141983157983156983154983151 983140983151983150983140983141 983141983148 983141983155983142983157983141983154983162983151 983150983151983154983149983137983148 983141983155 983150983157983148983151
983105983148 983137983150983137983148983145983162983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983155983141 983140983141983155983156983137983139983137 983153983157983141 983137983148 983139983151983150983155983145983140983141983154983137983154 983157983150983137 983152983151983155983145983139983145983283983150 983128 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983155983141983143983290983150 983141983148 983155983145983155983156983141983149983137 983140983141 983154983141983142983141983154983141983139983150983145983137983152983148983137983150983156983141983137983140983151 983141983155983152983151983155983145983138983148983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141 983141983155983141 983152983157983150983156983151 983161 983148983137 983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983141983148983265983155983156983145983139983137 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151
P
θ δθ
X
Y
O
x
y
δθ
ρ
sδ
xδ
Elaacutestica
Elaacutestica
dx
d θ θ =
Considerando la pendiente de larecta tangente a la elaacutestica
2
2
dx
yd d =θ
Definiendo el sector circular ds a
partir del radio de curvatura ρ
θ ρ d ds lowast=
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
dx
d
ds
d θ θ
ρ asymp=
1
Igualando dθ en las dos expresiones anteriores
y tambieacuten
2
21
dx
yd =
ρ
Considerando la expresioacuten que relacionael esfuerzo normal con el radio decurvatura de la viga se tiene I E
M
lowast=
ρ
1
Reemplazando finalmente se obtiene la
ecuacioacuten diferencialde la elaacutestica de una viga M dx
yd I E =lowastlowast
2
2
DondeE = moacutedulo de elasticidadI = momento de inercia axialM = Funcioacuten momento flector dependiente de x
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 36
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Considerando que el material con que estaacute fabricada la viga y su seccioacuten transversal es constante conrespecto a su largo se tiene
Integrando una vez es posible determinar la ecuacioacuten que define la inclinacioacuten de la recta tangente a laelaacutestica de la viga
I E
M
dx
yd
lowast
=2
2
Donde el producto ldquoEIrdquo se denomina rigideza la flexioacuten
1C xd M dx
dy I E +lowast=lowastlowast int
Integrando otra vez es posible determinar la ecuacioacuten que define la deflexioacuten en un punto determinadola elaacutestica de la viga
21 C xC dx xd M y I E +lowast+lowastlowast=lowastlowast intint
C1 y C2 son condiciones de borde de la viga en anaacutelisis
C1 =gt la pendiente que posee la recta tangente a la elaacutestica en X=0C2 =gt la deflexioacuten de la viga cuando X=0
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
2
L
Ejemplo de aplicacioacuten
Determinar la deflexioacuten en el centro de la viga mostrada
P
2
L
2
P RA =
A B
Por simetriacutea se tiene2
P RB =
Ecuacioacuten de momentopara el primer tramo0lexlt05L
xP
x RA M lowast=lowast=2
Integrando la ecuacioacuten de momento para el primer tramopara determinar la ecuacioacuten de la pendiente
xd xP
dx
dy I E int lowastlowast=lowastlowast )
2(
1
2
4C x
P
dx
dy I E +lowast=lowastlowast
Integrando por segunda vez se tiene la ecuacioacuten de laelaacutestica 21
2
4C xC dx x
P y I E +lowast+lowastlowast=lowastlowast int
21
3
12C xC x
p y I E +lowast+lowast=lowastlowast
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 46
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Definiendo las condiciones de bordeconsiderando primer tramo
02
00
=rArr=
=rArr=
dx
dy L x
y x
Evaluando las condiciones de borde
1
2
24)0( C
LP I E +
lowast=lowastlowast
00 =rArr= y x
02
=rArr=dx
dy L x
21
3)0()0(
12)0( C C
p I E +lowast+lowast=lowastlowast rArr 0
2 =C
rArr16
2
1
LPC
lowastminus=
Calculando deflexioacuten en x= L 2
96
)3()(
216212
3323 LP LP L LP LP
y I E lowastlowastminuslowast
=
lowast
lowastminus+
lowast=lowastlowast I E
LP y
lowastlowast
lowastminus=48
3
rArr
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983107983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140 983152983137983154983137 983148983137 983108983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983109983139983157983137983139983145983283983150 983111983141983150983141983154983137983148 983140983141 983117983151983149983141983150983156983151
983107983151983149983151 983154983141983153983157983145983155983145983156983151 983138983265983155983145983139983151 983152983137983154983137 983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983141983155 983148983137 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151983142983148983141983139983156983151983154 983120983141983154983151 983155983145 983155983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137 983153983157983141 983141983150 983151983139983137983155983145983151983150983141983155 983152983137983154983137 983140983141983142983145983150983145983154 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141 983149983151983149983141983150983156983151 983152983137983154983137 983157983150983137 983158983145983143983137 983155983141 983140983141983138983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137983154
983158983137983154983145983151983155 983156983154983137983149983151983155 983148983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983155983141 983154983137983148983141983150983156983145983162983137 983161983137 983153983157983141 983152983151983154 983139983137983140983137 983156983154983137983149983151 983155983141 983140983141983138983141983154983265 983137983152983148983145983139983137983154 2
983145983150983156983141983143983154983137983148983141983155
983107983151983149983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983137 983137 983148983137 983140983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151 983142983148983141983139983156983151983154 983152983151983154 983156983154983137983149983151 983155983141 983141983160983152983151983150983141 983137 983139983151983150983156983145983150983157983137983139983145983283983150 983141983148 983155983145983143983157983145983141983150 983156983141
983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983139983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140983086
X RA M lowast=
Las ecuaciones para los diferentes tramos seriacutean
Tramo I 0lexltL
P1
A
P2
B
L L L
Tramo II Lltxlt2L )(1 L X P X RA M minuslowastminuslowast=
Tramo III 2Lltxle3L )2(2)(1 L X P L X P X RA M minuslowastminusminuslowastminuslowast=
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 56
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Si se analizan las ecuaciones de momento flector para los tres tramos se identifica que la ecuacioacuten deltercer tramo contiene los teacuterminos de los dos primeros tramos Basado en lo anterior se definiraacute unaecuacioacuten general de momento de la siguiente forma
L X P L X P X RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
El pareacutentesis ltgt indica que se debe evaluar si el teacutermino contenido dentro de eacutel es Negativo significaque este teacutermino no pertenece al intervalo de anaacutelisis por ejemplo
La ecuacioacuten de momento para un x= L seraacute L LP L LP L RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
0(-) teacutermino no se
considera
Aplicando este meacutetodo es posible no importando la cantidad de tramos a evaluar la ecuacioacuten demomento plantear solo la ecuacioacuten del uacuteltimo tramo aplicando los pareacutentesis ltgt y el criterio del meacutetodode continuidad para poder aplicar el meacutetodo de la doble integracioacuten
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983123983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983155983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150 983141983155 983157983150 983149983273983156983151983140983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983151 983152983137983154983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983140983141 983157983150983137 983158983145983143983137
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983139983151983150983155983145983155983156983141 983141983150 983155983141983152983137983154983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983141983150 983141983155983156983157983140983145983151 983141983155 983155983157983138983085983158983145983143983137983155 983139983151983150983151983139983145983140983137 983140983151983150983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161983151 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983157983150983137
983152983157983150983156983151 983154983141983153983157983141983154983145983140983151 983141983155 983141983148 983141983142983141983139983156983151 983137983139983157983149983157983148983137983140983151 983140983141 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983141983150 983153983157983141 983155983157983138983140983145983158983145983140983145983283 983148983137 983158983145983143983137
983116983137 983290983150983145983139983137 983154983141983155983156983154983145983139983139983145983283983150 983151 983139983151983150983140983145983139983145983283983150 983145983149983152983157983141983155983156983137 983152983137983154 983152983151983140983141983154 983137983152983148983145983139983137983154 983141983155983156983141 983149983273983156983151983140983151 983141983155 983153983157983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983137983145983155983148983137983140983137 983150983151 983140983141983138983141 983152983154983151983140983157983139983145983154
983157983150 983139983137983149983138983145983151 983137983152983154983141983139983145983137983138983148983141 983141983150 983148983137 983142983151983154983149983137 983145983150983145983139983145983137983148 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983141983155983156983151 983141983155 983148983137 983137983139983156983157983137983139983145983283983150 983140983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983150983151 983140983141983138983141 983145983150983142983148983157983145983154 983148983137 983142983151983154983149983137 983140983141
983137983139983156983157983137983154 983148983137983155 983140983141983149983265983155 983139983137983154983143983137983155
983120983137983154983137 983151983138983156983141983150983141983154 983145983150983142983151983154983149983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983158983145983143983137983155 983155983141 983140983145983155983152983151983150983141983150 983140983141 983156983137983138983148983137983155 983140983151983150983140983141 983155983141 983141983155983152983141983139983145983142983145983139983137983150 983155983141
983139983137983154983137983139983156983141983154983145983162983137983150 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983140983141 983148983137983155 983158983145983143983137983155 983139983151983150 983139983137983154983143983137983155 983149983265983155 983139983151983149983157983150983141983155
Ejemplo de tabla para el Meacutetodo de la Superposicioacuten
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 66
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141983148 983139983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983149983151983155983156983154983137983140983137983086
( )
EI
abP
EI
PLc
4848
33
1 ==δ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 6 y 11
Caso 6
A
P
Ba b
M
a b
P
A Ba b
M
Caso 11
( )
EI
ab M
EI
MLc
1616
22
2 ==δ
La deflexioacuten maacutexima estaacute dado por ( ) ( )
EI
ab M
EI
abPccc
1648
23
21 minus=+= δ δ δ
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983141983148 983137983152983151983161983151 983140983141983154983141983139983144983151 983140983141 983148983137 983155983145983143983157983145983141983150983156983141 983158983145983143983137
( ) EI aq
EI wL
R2424
33
1 ==θ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 8 y 12
Caso 6
A
q
Ba
a
A Ba
MCaso 12
( ) EI a M
EI ML
R66
2 ==θ
La pendiente en el apoyo derechoestaacute dado por
( ) ( )
EI
a M
EI
aq R R R
624
3
21 minus=+= θ θ θ
q
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 26
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983108983151983138983148983141 983113983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150
983123983145 983155983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137 983157983150983137 983158983145983143983137 983142983148983141983139983156983137983140983137 983161 983155983141 983137983150983137983148983145983162983137 983157983150 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983145983142983141983154983141983139983145983137983148 983140983141 983141983148983148983137 983155983141 983140983141983155983156983137983139983137 983141983150 983148983137 983158 983145983155983156983137 983148983137983156983141983154983137983148 983148983137 983155983157983152983141983154983142983145983139983145983141 983151
983152983148983137983150983151 983150983141983157983156983154983151 983140983151983150983140983141 983141983148 983141983155983142983157983141983154983162983151 983150983151983154983149983137983148 983141983155 983150983157983148983151
983105983148 983137983150983137983148983145983162983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983155983141 983140983141983155983156983137983139983137 983153983157983141 983137983148 983139983151983150983155983145983140983141983154983137983154 983157983150983137 983152983151983155983145983139983145983283983150 983128 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983155983141983143983290983150 983141983148 983155983145983155983156983141983149983137 983140983141 983154983141983142983141983154983141983139983150983145983137983152983148983137983150983156983141983137983140983151 983141983155983152983151983155983145983138983148983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141 983141983155983141 983152983157983150983156983151 983161 983148983137 983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983141983148983265983155983156983145983139983137 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151
P
θ δθ
X
Y
O
x
y
δθ
ρ
sδ
xδ
Elaacutestica
Elaacutestica
dx
d θ θ =
Considerando la pendiente de larecta tangente a la elaacutestica
2
2
dx
yd d =θ
Definiendo el sector circular ds a
partir del radio de curvatura ρ
θ ρ d ds lowast=
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
dx
d
ds
d θ θ
ρ asymp=
1
Igualando dθ en las dos expresiones anteriores
y tambieacuten
2
21
dx
yd =
ρ
Considerando la expresioacuten que relacionael esfuerzo normal con el radio decurvatura de la viga se tiene I E
M
lowast=
ρ
1
Reemplazando finalmente se obtiene la
ecuacioacuten diferencialde la elaacutestica de una viga M dx
yd I E =lowastlowast
2
2
DondeE = moacutedulo de elasticidadI = momento de inercia axialM = Funcioacuten momento flector dependiente de x
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 36
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Considerando que el material con que estaacute fabricada la viga y su seccioacuten transversal es constante conrespecto a su largo se tiene
Integrando una vez es posible determinar la ecuacioacuten que define la inclinacioacuten de la recta tangente a laelaacutestica de la viga
I E
M
dx
yd
lowast
=2
2
Donde el producto ldquoEIrdquo se denomina rigideza la flexioacuten
1C xd M dx
dy I E +lowast=lowastlowast int
Integrando otra vez es posible determinar la ecuacioacuten que define la deflexioacuten en un punto determinadola elaacutestica de la viga
21 C xC dx xd M y I E +lowast+lowastlowast=lowastlowast intint
C1 y C2 son condiciones de borde de la viga en anaacutelisis
C1 =gt la pendiente que posee la recta tangente a la elaacutestica en X=0C2 =gt la deflexioacuten de la viga cuando X=0
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
2
L
Ejemplo de aplicacioacuten
Determinar la deflexioacuten en el centro de la viga mostrada
P
2
L
2
P RA =
A B
Por simetriacutea se tiene2
P RB =
Ecuacioacuten de momentopara el primer tramo0lexlt05L
xP
x RA M lowast=lowast=2
Integrando la ecuacioacuten de momento para el primer tramopara determinar la ecuacioacuten de la pendiente
xd xP
dx
dy I E int lowastlowast=lowastlowast )
2(
1
2
4C x
P
dx
dy I E +lowast=lowastlowast
Integrando por segunda vez se tiene la ecuacioacuten de laelaacutestica 21
2
4C xC dx x
P y I E +lowast+lowastlowast=lowastlowast int
21
3
12C xC x
p y I E +lowast+lowast=lowastlowast
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 46
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Definiendo las condiciones de bordeconsiderando primer tramo
02
00
=rArr=
=rArr=
dx
dy L x
y x
Evaluando las condiciones de borde
1
2
24)0( C
LP I E +
lowast=lowastlowast
00 =rArr= y x
02
=rArr=dx
dy L x
21
3)0()0(
12)0( C C
p I E +lowast+lowast=lowastlowast rArr 0
2 =C
rArr16
2
1
LPC
lowastminus=
Calculando deflexioacuten en x= L 2
96
)3()(
216212
3323 LP LP L LP LP
y I E lowastlowastminuslowast
=
lowast
lowastminus+
lowast=lowastlowast I E
LP y
lowastlowast
lowastminus=48
3
rArr
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983107983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140 983152983137983154983137 983148983137 983108983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983109983139983157983137983139983145983283983150 983111983141983150983141983154983137983148 983140983141 983117983151983149983141983150983156983151
983107983151983149983151 983154983141983153983157983145983155983145983156983151 983138983265983155983145983139983151 983152983137983154983137 983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983141983155 983148983137 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151983142983148983141983139983156983151983154 983120983141983154983151 983155983145 983155983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137 983153983157983141 983141983150 983151983139983137983155983145983151983150983141983155 983152983137983154983137 983140983141983142983145983150983145983154 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141 983149983151983149983141983150983156983151 983152983137983154983137 983157983150983137 983158983145983143983137 983155983141 983140983141983138983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137983154
983158983137983154983145983151983155 983156983154983137983149983151983155 983148983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983155983141 983154983137983148983141983150983156983145983162983137 983161983137 983153983157983141 983152983151983154 983139983137983140983137 983156983154983137983149983151 983155983141 983140983141983138983141983154983265 983137983152983148983145983139983137983154 2
983145983150983156983141983143983154983137983148983141983155
983107983151983149983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983137 983137 983148983137 983140983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151 983142983148983141983139983156983151983154 983152983151983154 983156983154983137983149983151 983155983141 983141983160983152983151983150983141 983137 983139983151983150983156983145983150983157983137983139983145983283983150 983141983148 983155983145983143983157983145983141983150 983156983141
983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983139983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140983086
X RA M lowast=
Las ecuaciones para los diferentes tramos seriacutean
Tramo I 0lexltL
P1
A
P2
B
L L L
Tramo II Lltxlt2L )(1 L X P X RA M minuslowastminuslowast=
Tramo III 2Lltxle3L )2(2)(1 L X P L X P X RA M minuslowastminusminuslowastminuslowast=
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 56
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Si se analizan las ecuaciones de momento flector para los tres tramos se identifica que la ecuacioacuten deltercer tramo contiene los teacuterminos de los dos primeros tramos Basado en lo anterior se definiraacute unaecuacioacuten general de momento de la siguiente forma
L X P L X P X RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
El pareacutentesis ltgt indica que se debe evaluar si el teacutermino contenido dentro de eacutel es Negativo significaque este teacutermino no pertenece al intervalo de anaacutelisis por ejemplo
La ecuacioacuten de momento para un x= L seraacute L LP L LP L RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
0(-) teacutermino no se
considera
Aplicando este meacutetodo es posible no importando la cantidad de tramos a evaluar la ecuacioacuten demomento plantear solo la ecuacioacuten del uacuteltimo tramo aplicando los pareacutentesis ltgt y el criterio del meacutetodode continuidad para poder aplicar el meacutetodo de la doble integracioacuten
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983123983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983155983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150 983141983155 983157983150 983149983273983156983151983140983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983151 983152983137983154983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983140983141 983157983150983137 983158983145983143983137
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983139983151983150983155983145983155983156983141 983141983150 983155983141983152983137983154983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983141983150 983141983155983156983157983140983145983151 983141983155 983155983157983138983085983158983145983143983137983155 983139983151983150983151983139983145983140983137 983140983151983150983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161983151 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983157983150983137
983152983157983150983156983151 983154983141983153983157983141983154983145983140983151 983141983155 983141983148 983141983142983141983139983156983151 983137983139983157983149983157983148983137983140983151 983140983141 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983141983150 983153983157983141 983155983157983138983140983145983158983145983140983145983283 983148983137 983158983145983143983137
983116983137 983290983150983145983139983137 983154983141983155983156983154983145983139983139983145983283983150 983151 983139983151983150983140983145983139983145983283983150 983145983149983152983157983141983155983156983137 983152983137983154 983152983151983140983141983154 983137983152983148983145983139983137983154 983141983155983156983141 983149983273983156983151983140983151 983141983155 983153983157983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983137983145983155983148983137983140983137 983150983151 983140983141983138983141 983152983154983151983140983157983139983145983154
983157983150 983139983137983149983138983145983151 983137983152983154983141983139983145983137983138983148983141 983141983150 983148983137 983142983151983154983149983137 983145983150983145983139983145983137983148 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983141983155983156983151 983141983155 983148983137 983137983139983156983157983137983139983145983283983150 983140983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983150983151 983140983141983138983141 983145983150983142983148983157983145983154 983148983137 983142983151983154983149983137 983140983141
983137983139983156983157983137983154 983148983137983155 983140983141983149983265983155 983139983137983154983143983137983155
983120983137983154983137 983151983138983156983141983150983141983154 983145983150983142983151983154983149983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983158983145983143983137983155 983155983141 983140983145983155983152983151983150983141983150 983140983141 983156983137983138983148983137983155 983140983151983150983140983141 983155983141 983141983155983152983141983139983145983142983145983139983137983150 983155983141
983139983137983154983137983139983156983141983154983145983162983137983150 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983140983141 983148983137983155 983158983145983143983137983155 983139983151983150 983139983137983154983143983137983155 983149983265983155 983139983151983149983157983150983141983155
Ejemplo de tabla para el Meacutetodo de la Superposicioacuten
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 66
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141983148 983139983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983149983151983155983156983154983137983140983137983086
( )
EI
abP
EI
PLc
4848
33
1 ==δ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 6 y 11
Caso 6
A
P
Ba b
M
a b
P
A Ba b
M
Caso 11
( )
EI
ab M
EI
MLc
1616
22
2 ==δ
La deflexioacuten maacutexima estaacute dado por ( ) ( )
EI
ab M
EI
abPccc
1648
23
21 minus=+= δ δ δ
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983141983148 983137983152983151983161983151 983140983141983154983141983139983144983151 983140983141 983148983137 983155983145983143983157983145983141983150983156983141 983158983145983143983137
( ) EI aq
EI wL
R2424
33
1 ==θ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 8 y 12
Caso 6
A
q
Ba
a
A Ba
MCaso 12
( ) EI a M
EI ML
R66
2 ==θ
La pendiente en el apoyo derechoestaacute dado por
( ) ( )
EI
a M
EI
aq R R R
624
3
21 minus=+= θ θ θ
q
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 36
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Considerando que el material con que estaacute fabricada la viga y su seccioacuten transversal es constante conrespecto a su largo se tiene
Integrando una vez es posible determinar la ecuacioacuten que define la inclinacioacuten de la recta tangente a laelaacutestica de la viga
I E
M
dx
yd
lowast
=2
2
Donde el producto ldquoEIrdquo se denomina rigideza la flexioacuten
1C xd M dx
dy I E +lowast=lowastlowast int
Integrando otra vez es posible determinar la ecuacioacuten que define la deflexioacuten en un punto determinadola elaacutestica de la viga
21 C xC dx xd M y I E +lowast+lowastlowast=lowastlowast intint
C1 y C2 son condiciones de borde de la viga en anaacutelisis
C1 =gt la pendiente que posee la recta tangente a la elaacutestica en X=0C2 =gt la deflexioacuten de la viga cuando X=0
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
2
L
Ejemplo de aplicacioacuten
Determinar la deflexioacuten en el centro de la viga mostrada
P
2
L
2
P RA =
A B
Por simetriacutea se tiene2
P RB =
Ecuacioacuten de momentopara el primer tramo0lexlt05L
xP
x RA M lowast=lowast=2
Integrando la ecuacioacuten de momento para el primer tramopara determinar la ecuacioacuten de la pendiente
xd xP
dx
dy I E int lowastlowast=lowastlowast )
2(
1
2
4C x
P
dx
dy I E +lowast=lowastlowast
Integrando por segunda vez se tiene la ecuacioacuten de laelaacutestica 21
2
4C xC dx x
P y I E +lowast+lowastlowast=lowastlowast int
21
3
12C xC x
p y I E +lowast+lowast=lowastlowast
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 46
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Definiendo las condiciones de bordeconsiderando primer tramo
02
00
=rArr=
=rArr=
dx
dy L x
y x
Evaluando las condiciones de borde
1
2
24)0( C
LP I E +
lowast=lowastlowast
00 =rArr= y x
02
=rArr=dx
dy L x
21
3)0()0(
12)0( C C
p I E +lowast+lowast=lowastlowast rArr 0
2 =C
rArr16
2
1
LPC
lowastminus=
Calculando deflexioacuten en x= L 2
96
)3()(
216212
3323 LP LP L LP LP
y I E lowastlowastminuslowast
=
lowast
lowastminus+
lowast=lowastlowast I E
LP y
lowastlowast
lowastminus=48
3
rArr
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983107983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140 983152983137983154983137 983148983137 983108983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983109983139983157983137983139983145983283983150 983111983141983150983141983154983137983148 983140983141 983117983151983149983141983150983156983151
983107983151983149983151 983154983141983153983157983145983155983145983156983151 983138983265983155983145983139983151 983152983137983154983137 983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983141983155 983148983137 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151983142983148983141983139983156983151983154 983120983141983154983151 983155983145 983155983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137 983153983157983141 983141983150 983151983139983137983155983145983151983150983141983155 983152983137983154983137 983140983141983142983145983150983145983154 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141 983149983151983149983141983150983156983151 983152983137983154983137 983157983150983137 983158983145983143983137 983155983141 983140983141983138983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137983154
983158983137983154983145983151983155 983156983154983137983149983151983155 983148983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983155983141 983154983137983148983141983150983156983145983162983137 983161983137 983153983157983141 983152983151983154 983139983137983140983137 983156983154983137983149983151 983155983141 983140983141983138983141983154983265 983137983152983148983145983139983137983154 2
983145983150983156983141983143983154983137983148983141983155
983107983151983149983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983137 983137 983148983137 983140983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151 983142983148983141983139983156983151983154 983152983151983154 983156983154983137983149983151 983155983141 983141983160983152983151983150983141 983137 983139983151983150983156983145983150983157983137983139983145983283983150 983141983148 983155983145983143983157983145983141983150 983156983141
983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983139983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140983086
X RA M lowast=
Las ecuaciones para los diferentes tramos seriacutean
Tramo I 0lexltL
P1
A
P2
B
L L L
Tramo II Lltxlt2L )(1 L X P X RA M minuslowastminuslowast=
Tramo III 2Lltxle3L )2(2)(1 L X P L X P X RA M minuslowastminusminuslowastminuslowast=
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 56
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Si se analizan las ecuaciones de momento flector para los tres tramos se identifica que la ecuacioacuten deltercer tramo contiene los teacuterminos de los dos primeros tramos Basado en lo anterior se definiraacute unaecuacioacuten general de momento de la siguiente forma
L X P L X P X RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
El pareacutentesis ltgt indica que se debe evaluar si el teacutermino contenido dentro de eacutel es Negativo significaque este teacutermino no pertenece al intervalo de anaacutelisis por ejemplo
La ecuacioacuten de momento para un x= L seraacute L LP L LP L RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
0(-) teacutermino no se
considera
Aplicando este meacutetodo es posible no importando la cantidad de tramos a evaluar la ecuacioacuten demomento plantear solo la ecuacioacuten del uacuteltimo tramo aplicando los pareacutentesis ltgt y el criterio del meacutetodode continuidad para poder aplicar el meacutetodo de la doble integracioacuten
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983123983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983155983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150 983141983155 983157983150 983149983273983156983151983140983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983151 983152983137983154983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983140983141 983157983150983137 983158983145983143983137
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983139983151983150983155983145983155983156983141 983141983150 983155983141983152983137983154983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983141983150 983141983155983156983157983140983145983151 983141983155 983155983157983138983085983158983145983143983137983155 983139983151983150983151983139983145983140983137 983140983151983150983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161983151 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983157983150983137
983152983157983150983156983151 983154983141983153983157983141983154983145983140983151 983141983155 983141983148 983141983142983141983139983156983151 983137983139983157983149983157983148983137983140983151 983140983141 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983141983150 983153983157983141 983155983157983138983140983145983158983145983140983145983283 983148983137 983158983145983143983137
983116983137 983290983150983145983139983137 983154983141983155983156983154983145983139983139983145983283983150 983151 983139983151983150983140983145983139983145983283983150 983145983149983152983157983141983155983156983137 983152983137983154 983152983151983140983141983154 983137983152983148983145983139983137983154 983141983155983156983141 983149983273983156983151983140983151 983141983155 983153983157983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983137983145983155983148983137983140983137 983150983151 983140983141983138983141 983152983154983151983140983157983139983145983154
983157983150 983139983137983149983138983145983151 983137983152983154983141983139983145983137983138983148983141 983141983150 983148983137 983142983151983154983149983137 983145983150983145983139983145983137983148 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983141983155983156983151 983141983155 983148983137 983137983139983156983157983137983139983145983283983150 983140983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983150983151 983140983141983138983141 983145983150983142983148983157983145983154 983148983137 983142983151983154983149983137 983140983141
983137983139983156983157983137983154 983148983137983155 983140983141983149983265983155 983139983137983154983143983137983155
983120983137983154983137 983151983138983156983141983150983141983154 983145983150983142983151983154983149983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983158983145983143983137983155 983155983141 983140983145983155983152983151983150983141983150 983140983141 983156983137983138983148983137983155 983140983151983150983140983141 983155983141 983141983155983152983141983139983145983142983145983139983137983150 983155983141
983139983137983154983137983139983156983141983154983145983162983137983150 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983140983141 983148983137983155 983158983145983143983137983155 983139983151983150 983139983137983154983143983137983155 983149983265983155 983139983151983149983157983150983141983155
Ejemplo de tabla para el Meacutetodo de la Superposicioacuten
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 66
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141983148 983139983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983149983151983155983156983154983137983140983137983086
( )
EI
abP
EI
PLc
4848
33
1 ==δ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 6 y 11
Caso 6
A
P
Ba b
M
a b
P
A Ba b
M
Caso 11
( )
EI
ab M
EI
MLc
1616
22
2 ==δ
La deflexioacuten maacutexima estaacute dado por ( ) ( )
EI
ab M
EI
abPccc
1648
23
21 minus=+= δ δ δ
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983141983148 983137983152983151983161983151 983140983141983154983141983139983144983151 983140983141 983148983137 983155983145983143983157983145983141983150983156983141 983158983145983143983137
( ) EI aq
EI wL
R2424
33
1 ==θ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 8 y 12
Caso 6
A
q
Ba
a
A Ba
MCaso 12
( ) EI a M
EI ML
R66
2 ==θ
La pendiente en el apoyo derechoestaacute dado por
( ) ( )
EI
a M
EI
aq R R R
624
3
21 minus=+= θ θ θ
q
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 46
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Definiendo las condiciones de bordeconsiderando primer tramo
02
00
=rArr=
=rArr=
dx
dy L x
y x
Evaluando las condiciones de borde
1
2
24)0( C
LP I E +
lowast=lowastlowast
00 =rArr= y x
02
=rArr=dx
dy L x
21
3)0()0(
12)0( C C
p I E +lowast+lowast=lowastlowast rArr 0
2 =C
rArr16
2
1
LPC
lowastminus=
Calculando deflexioacuten en x= L 2
96
)3()(
216212
3323 LP LP L LP LP
y I E lowastlowastminuslowast
=
lowast
lowastminus+
lowast=lowastlowast I E
LP y
lowastlowast
lowastminus=48
3
rArr
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983107983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140 983152983137983154983137 983148983137 983108983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983109983139983157983137983139983145983283983150 983111983141983150983141983154983137983148 983140983141 983117983151983149983141983150983156983151
983107983151983149983151 983154983141983153983157983145983155983145983156983151 983138983265983155983145983139983151 983152983137983154983137 983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983141983155 983148983137 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151983142983148983141983139983156983151983154 983120983141983154983151 983155983145 983155983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137 983153983157983141 983141983150 983151983139983137983155983145983151983150983141983155 983152983137983154983137 983140983141983142983145983150983145983154 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141 983149983151983149983141983150983156983151 983152983137983154983137 983157983150983137 983158983145983143983137 983155983141 983140983141983138983141 983139983151983150983155983145983140983141983154983137983154
983158983137983154983145983151983155 983156983154983137983149983151983155 983148983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983140983151983138983148983141 983145983150983156983141983143983154983137983139983145983283983150 983155983141 983154983137983148983141983150983156983145983162983137 983161983137 983153983157983141 983152983151983154 983139983137983140983137 983156983154983137983149983151 983155983141 983140983141983138983141983154983265 983137983152983148983145983139983137983154 2
983145983150983156983141983143983154983137983148983141983155
983107983151983149983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983137 983137 983148983137 983140983141983142983145983150983145983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983141983139983157983137983139983145983283983150 983140983141983148 983149983151983149983141983150983156983151 983142983148983141983139983156983151983154 983152983151983154 983156983154983137983149983151 983155983141 983141983160983152983151983150983141 983137 983139983151983150983156983145983150983157983137983139983145983283983150 983141983148 983155983145983143983157983145983141983150 983156983141
983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983139983151983150983156983145983150983157983145983140983137983140983086
X RA M lowast=
Las ecuaciones para los diferentes tramos seriacutean
Tramo I 0lexltL
P1
A
P2
B
L L L
Tramo II Lltxlt2L )(1 L X P X RA M minuslowastminuslowast=
Tramo III 2Lltxle3L )2(2)(1 L X P L X P X RA M minuslowastminusminuslowastminuslowast=
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 56
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Si se analizan las ecuaciones de momento flector para los tres tramos se identifica que la ecuacioacuten deltercer tramo contiene los teacuterminos de los dos primeros tramos Basado en lo anterior se definiraacute unaecuacioacuten general de momento de la siguiente forma
L X P L X P X RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
El pareacutentesis ltgt indica que se debe evaluar si el teacutermino contenido dentro de eacutel es Negativo significaque este teacutermino no pertenece al intervalo de anaacutelisis por ejemplo
La ecuacioacuten de momento para un x= L seraacute L LP L LP L RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
0(-) teacutermino no se
considera
Aplicando este meacutetodo es posible no importando la cantidad de tramos a evaluar la ecuacioacuten demomento plantear solo la ecuacioacuten del uacuteltimo tramo aplicando los pareacutentesis ltgt y el criterio del meacutetodode continuidad para poder aplicar el meacutetodo de la doble integracioacuten
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983123983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983155983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150 983141983155 983157983150 983149983273983156983151983140983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983151 983152983137983154983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983140983141 983157983150983137 983158983145983143983137
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983139983151983150983155983145983155983156983141 983141983150 983155983141983152983137983154983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983141983150 983141983155983156983157983140983145983151 983141983155 983155983157983138983085983158983145983143983137983155 983139983151983150983151983139983145983140983137 983140983151983150983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161983151 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983157983150983137
983152983157983150983156983151 983154983141983153983157983141983154983145983140983151 983141983155 983141983148 983141983142983141983139983156983151 983137983139983157983149983157983148983137983140983151 983140983141 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983141983150 983153983157983141 983155983157983138983140983145983158983145983140983145983283 983148983137 983158983145983143983137
983116983137 983290983150983145983139983137 983154983141983155983156983154983145983139983139983145983283983150 983151 983139983151983150983140983145983139983145983283983150 983145983149983152983157983141983155983156983137 983152983137983154 983152983151983140983141983154 983137983152983148983145983139983137983154 983141983155983156983141 983149983273983156983151983140983151 983141983155 983153983157983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983137983145983155983148983137983140983137 983150983151 983140983141983138983141 983152983154983151983140983157983139983145983154
983157983150 983139983137983149983138983145983151 983137983152983154983141983139983145983137983138983148983141 983141983150 983148983137 983142983151983154983149983137 983145983150983145983139983145983137983148 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983141983155983156983151 983141983155 983148983137 983137983139983156983157983137983139983145983283983150 983140983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983150983151 983140983141983138983141 983145983150983142983148983157983145983154 983148983137 983142983151983154983149983137 983140983141
983137983139983156983157983137983154 983148983137983155 983140983141983149983265983155 983139983137983154983143983137983155
983120983137983154983137 983151983138983156983141983150983141983154 983145983150983142983151983154983149983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983158983145983143983137983155 983155983141 983140983145983155983152983151983150983141983150 983140983141 983156983137983138983148983137983155 983140983151983150983140983141 983155983141 983141983155983152983141983139983145983142983145983139983137983150 983155983141
983139983137983154983137983139983156983141983154983145983162983137983150 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983140983141 983148983137983155 983158983145983143983137983155 983139983151983150 983139983137983154983143983137983155 983149983265983155 983139983151983149983157983150983141983155
Ejemplo de tabla para el Meacutetodo de la Superposicioacuten
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 66
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141983148 983139983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983149983151983155983156983154983137983140983137983086
( )
EI
abP
EI
PLc
4848
33
1 ==δ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 6 y 11
Caso 6
A
P
Ba b
M
a b
P
A Ba b
M
Caso 11
( )
EI
ab M
EI
MLc
1616
22
2 ==δ
La deflexioacuten maacutexima estaacute dado por ( ) ( )
EI
ab M
EI
abPccc
1648
23
21 minus=+= δ δ δ
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983141983148 983137983152983151983161983151 983140983141983154983141983139983144983151 983140983141 983148983137 983155983145983143983157983145983141983150983156983141 983158983145983143983137
( ) EI aq
EI wL
R2424
33
1 ==θ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 8 y 12
Caso 6
A
q
Ba
a
A Ba
MCaso 12
( ) EI a M
EI ML
R66
2 ==θ
La pendiente en el apoyo derechoestaacute dado por
( ) ( )
EI
a M
EI
aq R R R
624
3
21 minus=+= θ θ θ
q
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 56
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
Si se analizan las ecuaciones de momento flector para los tres tramos se identifica que la ecuacioacuten deltercer tramo contiene los teacuterminos de los dos primeros tramos Basado en lo anterior se definiraacute unaecuacioacuten general de momento de la siguiente forma
L X P L X P X RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
El pareacutentesis ltgt indica que se debe evaluar si el teacutermino contenido dentro de eacutel es Negativo significaque este teacutermino no pertenece al intervalo de anaacutelisis por ejemplo
La ecuacioacuten de momento para un x= L seraacute L LP L LP L RA M 221 minuslowastminusminuslowastminuslowast=
0(-) teacutermino no se
considera
Aplicando este meacutetodo es posible no importando la cantidad de tramos a evaluar la ecuacioacuten demomento plantear solo la ecuacioacuten del uacuteltimo tramo aplicando los pareacutentesis ltgt y el criterio del meacutetodode continuidad para poder aplicar el meacutetodo de la doble integracioacuten
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983117983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983123983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983140983141 983148983137 983155983157983152983141983154983152983151983155983145983139983145983283983150 983141983155 983157983150 983149983273983156983151983140983151 983137983148983156983141983154983150983137983156983145983158983151 983152983137983154983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983140983141 983157983150983137 983158983145983143983137
983109983148 983149983273983156983151983140983151 983139983151983150983155983145983155983156983141 983141983150 983155983141983152983137983154983137983154 983148983137 983158983145983143983137 983141983150 983141983155983156983157983140983145983151 983141983155 983155983157983138983085983158983145983143983137983155 983139983151983150983151983139983145983140983137 983140983151983150983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161983151 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983157983150983137
983152983157983150983156983151 983154983141983153983157983141983154983145983140983151 983141983155 983141983148 983141983142983141983139983156983151 983137983139983157983149983157983148983137983140983151 983140983141 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983141983150 983153983157983141 983155983157983138983140983145983158983145983140983145983283 983148983137 983158983145983143983137
983116983137 983290983150983145983139983137 983154983141983155983156983154983145983139983139983145983283983150 983151 983139983151983150983140983145983139983145983283983150 983145983149983152983157983141983155983156983137 983152983137983154 983152983151983140983141983154 983137983152983148983145983139983137983154 983141983155983156983141 983149983273983156983151983140983151 983141983155 983153983157983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983137983145983155983148983137983140983137 983150983151 983140983141983138983141 983152983154983151983140983157983139983145983154
983157983150 983139983137983149983138983145983151 983137983152983154983141983139983145983137983138983148983141 983141983150 983148983137 983142983151983154983149983137 983145983150983145983139983145983137983148 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983141983155983156983151 983141983155 983148983137 983137983139983156983157983137983139983145983283983150 983140983141 983139983137983140983137 983139983137983154983143983137 983150983151 983140983141983138983141 983145983150983142983148983157983145983154 983148983137 983142983151983154983149983137 983140983141
983137983139983156983157983137983154 983148983137983155 983140983141983149983265983155 983139983137983154983143983137983155
983120983137983154983137 983151983138983156983141983150983141983154 983145983150983142983151983154983149983137983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983161 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983158983145983143983137983155 983155983141 983140983145983155983152983151983150983141983150 983140983141 983156983137983138983148983137983155 983140983151983150983140983141 983155983141 983141983155983152983141983139983145983142983145983139983137983150 983155983141
983139983137983154983137983139983156983141983154983145983162983137983150 983148983151983155 983139983137983155983151983155 983140983141 983148983137983155 983158983145983143983137983155 983139983151983150 983139983137983154983143983137983155 983149983265983155 983139983151983149983157983150983141983155
Ejemplo de tabla para el Meacutetodo de la Superposicioacuten
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 66
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141983148 983139983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983149983151983155983156983154983137983140983137983086
( )
EI
abP
EI
PLc
4848
33
1 ==δ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 6 y 11
Caso 6
A
P
Ba b
M
a b
P
A Ba b
M
Caso 11
( )
EI
ab M
EI
MLc
1616
22
2 ==δ
La deflexioacuten maacutexima estaacute dado por ( ) ( )
EI
ab M
EI
abPccc
1648
23
21 minus=+= δ δ δ
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983141983148 983137983152983151983161983151 983140983141983154983141983139983144983151 983140983141 983148983137 983155983145983143983157983145983141983150983156983141 983158983145983143983137
( ) EI aq
EI wL
R2424
33
1 ==θ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 8 y 12
Caso 6
A
q
Ba
a
A Ba
MCaso 12
( ) EI a M
EI ML
R66
2 ==θ
La pendiente en el apoyo derechoestaacute dado por
( ) ( )
EI
a M
EI
aq R R R
624
3
21 minus=+= θ θ θ
q
7242019 Apunte5Deflexionenvigas
httpslidepdfcomreaderfullapunte5deflexionenvigas 66
19-06-20
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983140983141983142983148983141983160983145983283983150 983140983141983148 983139983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983158983145983143983137 983149983151983155983156983154983137983140983137983086
( )
EI
abP
EI
PLc
4848
33
1 ==δ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 6 y 11
Caso 6
A
P
Ba b
M
a b
P
A Ba b
M
Caso 11
( )
EI
ab M
EI
MLc
1616
22
2 ==δ
La deflexioacuten maacutexima estaacute dado por ( ) ( )
EI
ab M
EI
abPccc
1648
23
21 minus=+= δ δ δ
983120983154983151983142983141983155983151983154983098 983105983148983141983146983137983150983140983154983151 983110983157983141983150983156983141983155 983105983148983138983151983154983150983151983162
983109983146983141983149983152983148983151 983140983141 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150
983108983141983156983141983154983149983145983150983137983154 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983141983150 983141983148 983137983152983151983161983151 983140983141983154983141983139983144983151 983140983141 983148983137 983155983145983143983157983145983141983150983156983141 983158983145983143983137
( ) EI aq
EI wL
R2424
33
1 ==θ
Analizando la tabla del meacutetodo de la superposicioacuten setienen los casos 8 y 12
Caso 6
A
q
Ba
a
A Ba
MCaso 12
( ) EI a M
EI ML
R66
2 ==θ
La pendiente en el apoyo derechoestaacute dado por
( ) ( )
EI
a M
EI
aq R R R
624
3
21 minus=+= θ θ θ
q