Integrales impropias de primera especie

En la definicion de la integral definida ba

f (x) dx

se exigio que f : [a, b] R fuese acotada. Por su parte el teorema fundamental del calculo que hemos usadopara calcular integrales requiere que f sea continua en [a, b]. Esta semana analizaremos aquellas integralesdonde integracion se realiza en un intervalo no acotado o la funcion tiene una o varias discontinuidades infinitasen el intervalo de integracion. Tales integrales son llamadas integrales impropias.

Para tener una idea de como evaluar una integral impropia consideremos el siguiente ejemplo: Suponga quequeremos integrar la funcion f : [1,+[ R, x f (x) = 1/x2. En cada intervalo de la forma [1, b] la funcionf (x) = 1/x2 es continua y por tanto integrable, ademas por el teorema fundamental tenemos b

1

dx

x2= 1

x

b1

= 1 1b

es razonable entonces considerar +1

dx

x2= lm

b+

( b1

dx

x2

)

= lmb+

(1 1

b

)= 1

Definicion 0.1 (Integrales impropias de primera especie). Definimos las integrales sobre intervalos no acotadosde la siguiente forma:

1. Si f : [a,+[ R es integrable en cada intervalo [a, b], se define +a

f (x) dx = lmb+

ba

f (x) dx

2. Si f : ], b] R es integrable en cada intervalo [a, b], se define b

f (x) dx = lma

ba

f (x) dx

3. Si f : R R es en cada intervalo [a, b] R entonces +

f (x) dx =

c

f (x) dx+

+c

f (x) dx

donde c es cualquier numero real.En los dos primeros casos decimos que la integral converge si el lmite existe (en tal caso el valor lodenotamos por

+a

f (x) dx y b f (x) dx respectivamente); en caso contrario, la integral diverge. En el

tercer caso decimos que la integral de la izquierda converge si las dos integrales impropias de la derechaconvergen en forma independiente.

Ejemplos Propuestos

Analizar la convergencia de las integrales impropias:

(a) +1

dx

x(b)

+0

exdx (c) +0

dx

x2 + 1

(d) +1

(1 x) e2xdx (e) +

ex

1 + e2xdx (f)

+

arctanxdx

1 + x2

Piepi 1

Integrales p

Llamaremos integrales p no acotadas a las integrales del tipo +1

dx

xp

Notemos que

b1

dx

xp=

x1p1p

b1

si p 6= 1

lnx|b1 si p = 1

=

b1p1p +

1p1 si p 6= 1

ln b si p = 1

de esta forma +1

dx

xp= lmb+

b1

dx

xp=

1p1 si p > 1

+ si p 1de donde concluimos que la integral +

1

dx

xp

converge si y solo si p > 1.

Ejemplo 0.1. +1

dxx

diverge y +1

dx

x3/2converge.

Observacion 0.1. Notar que Suponga que f : [a,+[ R es continua. Si c > a entonces por aditividad ba

f (x) dx =

ca

f (x) dx+

bc

f (x) dx

note que por la continuidad de f , caf (x) dx es un numero bien definido, de esta forma +

a

f (x) dx converge si y solo si +c

f (x) dx converge

(los valores a los cuales convergen pueden ser distintos).

Ejemplo 0.2. +1/3

dx

x2converge puesto que

+1

dx

x2converge.

Proposicion 0.1. Sean f, g : [a,+[ R funciones continuas:1. Si 6= 0, R entonces +

af (x) dx converge si y solo si

+a

f (x) dx converge, mas aun +a

f (x) dx =

+a

f (x) dx

2. Si +a

f (x) dx y +a

g (x) dx convergen entonces +a

(f (x) + g (x)) dx converge, mas aun +a

(f (x) + g (x)) dx =

+a

f (x) dx+

+a

g (x) dx

Observacion 0.2. Proposiciones similares se pueden enunciar respecto a los otros tipos de integrales de primeraespecie.

Piepi 2

Teoremas de convergencia para funciones positivas

Suponga que en la integral impropia que estemos considerando es difcil encontrar una primitiva paracalcular el valor de la integral Como podemos argumentar que el lmite existe sin la necesidad de calcular laintegral?

Para responder esta pregunta necesitamos antes el siguiente

Lema 0.1. Si F : [a,+[ R es una funcion creciente entonces lmx F (x) existe o lmx F (x) = +. Elprimer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Observacion 0.3. La demostracion se basa en analizar los casos que F es acotada y no acotada, en el primercaso

lmxF (x) = sup {F (x) : x [a,+[}

Teorema 0.1 (De comparacion). Sean f, g : [a,+[ R funciones continuas en [a,+[ tales que para x c secumple

0 f (x) g (x)entonces:

1. Si +a

g (x) dx converge entonces +a

f (x) dx converge.

2. Si +a

f (x) dx diverge entonces +a

g (x) dx diverge.

Demostracion. Sabemos que +a

f (x) dx converge si y solo si +c

f (x) dx converge, lo mismo para g. Sidefinimos

F (x) =

xc

f (t) dt y G (x) = xc

g (t) dt

entonces por el teorema fundamental del calculo ambas funciones son derivables y con derivada positiva (porhipotesis 0 f (x) g (x) para x c). Si +

ag (x) dx converge

+c

g (t) dt converge y as

G (x) =

xc

g (t) dt +c

g (t) dt = M 0

entonces +a

g (x) dx converge si y solo si +a

f (x) dx converge.

Dem.: lmxf(x)g(x) = L > 0 entonces existe M > 0 tal que si x M

L

2 f (x)g (x)

3L2

se sigue para x ML

2g (x) f (x) g (x) 3L

2

ahora aplicar el teorema de comparacion.

Observacion 0.4. Podemos utilizar tambien estos criterios adaptados con los otros tipos de integrales impropiasde primera especie. Tambien observar que mediante cambios de variables todos los problemas se puedenreducir al analisis de integrales del tipo

+a

f (x) dx.

Piepi 3

Ejemplos propuestos

1. Que sucede si lmx+f(x)g(x) = 0 en el criterio del cuociente?

2. Decida si las siguientes integrales son o no convergentes

a) +1

dx

(x4 + 4)2

b) +1

x3 + 3x2 + 1

x6 + 4x3 + 2 sinxdx

c) +0

ex2

dx

d) +0

x3exdx

e) +1

1 + ex

1 + ex + e2xdx

3. Para que valores 0 es convergente la integral impropia +0

xdx

1 + x + x2

Integrales impropias de 2do y 3er tipo.

En la clase anterior enfrentamos el problema de integrales sobre intervalos no acotados ahora veremos quesucede si la funcion es no acotada y cuando tenemos ambos comportamientos.

Definicion 0.2 (integral impropia de segunda especie (funciones no acotadas)). Sea f : [a, b[ R una funcionno acotada, diremos que f es integrable en [a, b[ si:

(i) x ]a, b[, f es integrable en [a, x]

(ii) El lmite lmxb

xa

f (x) dx existe.

Observaciones

1. Cuando lmxb

xa

f (x) dx existe, se dice que la integral impropia converge y si no existe decimos que la

integral impropia diverge.

2. Denotamos por

lmxb

xa

f (x) dx =

ba

f (x) dx

3. La primera condicion exige f acotada en [a, x] para x ]a, b[ se sigue que este tipo de funciones tiene unaasntota vertical en x = b.

4. En forma analoga se definen las integrales impropias siguientes:

(i) ba+f (x) dx = lm

xa+

bx

dx

Piepi 4

(ii) ba+

f (x) dx =

ca+f (x) dx+

bc

f (x) dx para c ]a, b[

Esta ultima converge si y solo si las dos integrales de la derecha convergen por separado.

Ejemplo 0.3. Estudiar la convergencia de las integrales 10+

dx

xp

para p > 0.Desarrollo: 1

0+

dx

xp= lm

x0+

1x

dt

tp

= lmx0+

t1p1p

1x

si p 6= 1

ln t|1x si p = 1

=

1

1p si 0 < p < 1

+ si p 1

de esta forma 10+

dx

xpconverge si y solo si p < 1.

Definicion 0.3. Las integrales impropias de tercera especie o mixtas son aquellas integrales que combinan lasde primer y segunda especie.

Ejemplo 0.4. La integral +0

dxx+ x4

es una integral impropia mixta. La funcion tiene asntota vertical en x = 0 y el intervalo de integracion esinfinito. La convergencia de esta integral dependera de la convergencia de las integrales impropias 1

0+

dxx+ x4

y +1

dxx+ x4

Los criterios de convergencia para integrales impropias de segunda especie son identicos al caso de primeraespecie y se basan en el

Lema 0.2. Si F : [a, b[ R es creciente entonces lmxb F (x) existe o bien lmxb F (x) = +. El primer caso decumple si y solo si F es acotada.

Teorema 0.3 (De comparacion). Sean f, g : [a, b[ R funciones continuas en [a, b[ tales que para x c > a se cumple

0 f (x) g (x)

entonces:

1. Si ba

g (x) dx converge entonces ba

f (x) dx converge.

2. Si ba

f (x) dx diverge entonces ba

g (x) dx diverge.

Piepi 5

Teorema 0.4 (criterio del cuociente). Sean f, g : [a, b[ R funciones continuas en [a, b[ y no negativas tales que

lmxb

f (x)

g (x)= L > 0

entonces ba

g (x) dx converge si y solo si ba

f (x) dx converge.

Observacion 0.5. Podemos utilizar tambien estos criterios adaptados con los otros tipos de integrales impropiasde segunda especie.

Ejemplo 0.5. Analizar la convergencia de 21+

dx (x 2) (x 1)Los criterios que hemos dado hasta ahora solo sirven para funciones positivas, podemos formular el siguiente

criterio de comparacion

Teorema 0.5. Sean f, g, h funciones continuas en [a,+[, tales queg (x) f (x) h (x)

entonces, si +a

g (x) dx y +a

h (x) dx convergen se sigue que +a

f (x) dx converge.

Basta considerar la desigualdad 0 f (x) g (x) h (x) g (x) y aplicar el criterio de comparacion depositivas.

Ejemplo 0.6. La integral impropia +0

sinxdx

x2 + 1es convergente.

Note que no podemos aplicar los criterios de comparacion para funciones positivas pero

1x2 + 1

sinxx2 + 1

1x2 + 1

como +0

1

x2 + 1converge se sigue por el criterio de comparacion general que

+0

sin xdxx2+1 converge.

Ejercicios propuestos

1. Clasificar en los diferentes tipos de integrales impropias y analizar la convergencia:

a) +0

x2dx

1 + x2 + x4

b) +0

dx

(1 x)4

c) pi0

x

sinxdx

d) +0

sinx

x3/2dx

e) +0

ex ln (1 + ex) dx

2. Determinar todos los valores de R para los cuales la integral 10

x dxx5 (1 x)

converge.

Piepi 6