FILTROS ACTIVOS Conceptos generales Un circuito elctrico que contiene elementos reactivos cuya impedancia es funcin de la frecuencia del voltaje o corriente aplicados, evidentemente presentar variaciones en las tensiones y corrientes producidas en los diferentes elementos, segn sea la frecuencia de ese voltaje o corriente que se le aplica como excitacin. Si en un circuito escogemos como su ENTRADA una impedancia donde es aplicada una tensin alterna de excitacin (Vi ()) y como SALIDA una impedancia donde se puede medir una tensin (Vo()) producida por aquella excitacin de entrada, aparece el concepto de FUNCION DE TRANSFERENCIA, el cual se define como:

)Vi(j)Vo(j

)A(j =

La funcin de Transferencia es por lo tanto dependiente de la frecuencia pues contiene elementos elctricos que lo son. Si se conoce la funcin de transferencia de un circuito, se conocer la salida o respuesta para cualquier excitacin que se coloque a la entrada. Si calculamos el mdulo de esta funcin de transferencia y la graficamos en funcin de , definiremos 4 grficos IDEALES, a los que llamaremos FILTROS, ya que A() tiene una forma diferente segn sea el valor de . En la figura 3-1 se grafica el concepto expuesto. El Diagrama de Bode en amplitud constituye una de las herramientas ms tiles para graficar las funciones de transferencia de los filtros. En lo que sigue del apunte, aparecern grficos de funciones de Transferencia en que se muestra el mdulo de la AMPLITUD en decibeles en funcin de la frecuencia angular . Segn la forma general de esta funcin, encontramos una primera clasificacin de los filtros, la que se expone a continuacin.

PASA BAJOS : Circuito que para las frecuencias MAYORES que una cierta frecuencia c se obtiene una salida nula, tal como se muestra en la figura 2. En otras palabras, deja pasar o amplifica las frecuencias que son menores que la frecuencia de corte c. La Figura 3-2 muestra la Funcin de Transferencia de un Filtro Pasa Bajos ideal. PASA ALTOS Circuito que para las frecuencias MENORES que una cierta frecuencia c se obtiene una salida nula, tal como se muestra en la figura 3. Este circuito deja pasar o amplifica las frecuencias que son mayores que la frecuencia de corte c. La Figura 3-3 muestra la Funcin de Transferencia de un Filtro Pasa Altos ideal. PASA BANDA Circuito o respuesta que slo es diferente de cero o amplifica las frecuencias comprendidas entre dos lmites b y a los que se relacionan con una frecuencia central a travs de:

abc = El Factor de Calidad del filtro se define como

ba

c

=Q

La Figura 3-4 muestra la Funcin de Transferencia de un Filtro Pasa Bandas ideal. RECHAZA BANDA Circuito o respuesta que slo es cero para las frecuencias comprendidas entre dos lmites b y a los que se relacionan con una frecuencia central a travs de:

abc = y el Factor de Calidad es

ba

c

=Q

En la Figura 3-5 se muestra la Funcin de Transferencia de un Filtro Rechaza Banda ideal. CIRCUITOS Y DIAGRAMAS REALES DIAGRAMA REAL : Los filtros IDEALES no son realizables con circuitos reales debido a que presentan una curva con pendiente infinita en la frecuencia de transicin c , por lo que se deben hacer las consideraciones necesarias para aceptar la mejor aproximacin posible del filtro REAL al filtro IDEAL. La figura xx muestra, ejemplificando en un PASA BAJOS REAL, los parmetros que aproximan el filtro real al ideal: Estos parmetros son: Abp: Ganancia en la banda de paso -3dB: En realidad es -3dB a partir de Abp y define la frecuencia de corte c: r Frecuencia de rechazo para definir un intervalo con c. Este intervalo puede ser una dcada (factor 10 0,1) una octava (factor 2 0.5) Ar: Ganancia (atenuacin) definida a la frecuencia de rechazo r

n*20 dB/dec :Es la pendiente de la curva entre Abp y Ar cuando el intervalo definido es una dcada, donde n es el ORDEN del FILTRO. n*6 dB/oct : Es la pendiente de la curva entre Abp y Ar cuando el intervalo definido es una octava, donde n es el ORDEN del FILTRO. Se puede realizar una comparacin entre una respuesta real y la respuesta ideal de un Filtro Pasa Bajos, tal como se muestra en el grfico de la Figura 3-6, en la cual en lnea gruesa est la respuesta real la que tiene una pendiente finita que est relacionada con el Orden del Filtro. Tambin esta figura muestra claramente los parmetros importantes del grfico de una respuesta real. Ntese adems que la cualidad que define a un filtro ideal es que la pendiente es infinita pues c= r Determinacin del ORDEN de un filtro para un problema planteado El Orden de un filtro deber ser determinado por el clculo de la pendiente en dB/dec o dB/oct, segn lo permitan los datos. Para esto se debe conocer Abp , Ar y el intervalo de frecuencia. Por ejemplo, si el filtro debe tener una ganancia de 4 en la banda de paso y a una dcada debe tener una atenuacin de 0,05, entonces se hace el siguiente clculo: Abp= 20 log(4)= 12 dB Ar= 20 log(0.05)= -26 dB La pendiente es la diferencia que existe entre ambas ganancias, las que fueron definidas para una dcada. Pend= 12 (-26)= 38 dB/dec = n*20 dB/dec

9.12038

n ==

Como n debe ser un entero, SE APROXIMA AL ENTERO SUPERIOR para garantizar que la respuesta ser incluso mejor que la solicitada por el problema original. Recuerde que si el filtro provee un mayor rechazo que el pedido, eso es mejor y totalmente admisible. Lo contrario no es admisible pues la seal rechazada por un filtro de orden insuficiente sera demasiado grande y podra haber problemas para los circuitos que van a continuacin. Finalmente, para el caso presente, n=2 es la eleccin correcta, ya que el filtro cumplir con creces el rechazo de 38 dB solicitado. En realidad rechazar 40 dB.

EL ORDEN DE UN FILTRO Ya vimos en la grfica de la Figura 3-6 que la pendiente de cada de la respuesta est relacionada con el ORDEN del filtro. Para comprender este concepto escribiremos las funciones de transferencia en forma de una divisin de dos polinomios en la variable s. El mximo exponente de la variable s en el polinomio del DENOMINADOR define el ORDEN del filtro. As, por ejemplo, la expresin:

c

01

s

cscA(s)

++

= representa un filtro de primer orden del cual obtenemos los

dos tipos bsicos, segn sean los valores de c0 y c1 . Si c1 = 0 se trata de un PASA BAJOS y c0=K* c siendo K la GANANCIA del FILTRO en la banda de paso.

Si c0 = 0 se trata de un PASA ALTOS y c1 =K siendo K la GANANCIA del FILTRO en la banda de paso. Ntese que, referido a la figura xx, Abp= 20 log(K). Para los filtros de segundo orden se tiene la expresin general:

2c2

012

2

cs

Q

s

cscscA(s)

++

++=

Aqu c es la frecuencia de corte o central, dependiendo del tipo de filtro y Q es el factor de calidad del filtro , para el caso de los filtros Pasa Banda y Rechaza Banda, y est relacionado con la selectividad o ancho de banda del mismo. En los filtros Pasa Altos y Pasa Bajos, Q est relacionado con el amortiguamiento o la respuesta del filtro en el entorno a la frecuencia c. En realidad, el amortiguamiento se define como 1/Q. El filtro PASA BAJOS se obtiene si c2=c1=0. En este caso c0=K* c2

El filtro PASA ALTOS se obtiene si c1=c0=0. En este caso c2=K El filtro PASA BANDA se obtiene si c2=c0=0. En este caso c1=K* c/Q El filtro RECHAZA BANDA se obtiene si c1=0. En este caso, c2=K y c0= Kc2

Los filtros de orden superior se obtienen acoplando en cascada (serie) los filtros de orden 1 y 2 que sean necesarios. Por ejemplo, un filtro pasa bajos de orden 4 ser:

++

++=

2c2

02

2c2

01

ccs

Q

s

c*

sQ

s

cA(s)

Ntese que el denominador de esta expresin, luego de expandir el producto, tendr como exponente mximo de la variable s, el nmero 4. Este es el ORDEN del filtro, el cual ser realizado con dos filtros en cascada de orden 2. ANALISIS DE FILTROS DE PRIMER ORDEN El circuito de la Figura 3-7 es un sencillo divisor de tensin con dos elementos R y C. Por simplicidad, los clculos se hacen utilizando la variable s= j. En este caso, luego de un poco de lgebra se encuentra que la funcin de transferencia es:

1sRC1

A(s)Vi(s)Vo(s)

+==

Si definimos c=1/RC, y haciendo el lgebra necesaria ,la funcin de transferencia se puede expresar como:

c

c

sK

A(s)+

= con lo que el circuito mostrado es un Filtro Pasa Bajos de Primer

Orden, con ganancia K=1. Reemplazando la variable s por j se obtiene la funcin de transferencia A(j)

( )c

c

j

jA+

=

Calculando el mdulo

( )2c

2c

jA

+=

Y el ngulo o fase resulta ser

=

c

1

tan

Para graficar la respuesta de amplitud y fase de una funcin de transferencia en funcin de la frecuencia se recurre al diagrama de Bode. Este diagrama muestra el valor de la funcin de transferencia calculado en DECIBELES del siguiente modo:

)A(jlog20A(dB) = En este caso se debe graficar

2c

2c log20log20A(dB) += (debido a que K=1)

Para frecuencias bajas, tales que > c A(db)= - 20 log() lo que es una lnea recta con pendiente de -20 dB por cada dcada de intervalo de . Resulta interesante observar el punto en que = c, llamado frecuencia de esquina o de corte. En este caso, haciendo el lgebra necesaria se llega a que la amplitud es

dB03.3)2log(102log20A(dB) === Generalizando, para K > 1 la funcin a evaluar es:

2c

2c log 20-log 20K log 20 A(dB) ++=

En este caso, cuando

Si definimos c=1/RC, reemplazando y haciendo el lgebra necesaria, entonces la funcin de transferencia se puede expresar como:

css

A(s)+

= con lo que la funcin de

transferencia se identifica como un Filtro Pasa Altos de Primer Orden con ganancia K=1 Reemplazando la variable s por j y calculando el mdulo de la expresin, se llega a que el diagrama de Bode de esta funcin de transferencia, se debe calcular: como

2c

2 log20log20A(dB) += Si consideramos > c, A (dB) tiende claramente a 0 dB. De igual forma, si consideramos una etapa amplificadora de valor K, el valor de A (s) es

csKs

A(s)+

= y para el diagrama de Bode se debe evaluar,

2c

2 20log20log20logKA(dB) ++= Los filtros que acabamos de analizar tenan K=1. Sin embargo, utilizando un operacional se puede obtener circuitos con ganancia K>1. Por ejemplo, la Figura 3-9 muestra un Pasa Bajos en el que se cumplen las siguientes relaciones:

RC*21

fc =

Y 1

2

RR

1K +=

De modo similar, el circuito de la Figura 3-10 muestra un Filtro Pasa Altos, en el cual tambin se cumple que:

RC*21

fc =

Y 1

2

RR

1K +=

En ambos casos, si se desea disear el filtro, las relaciones anteriores se utilizan en forma inversa, solucionando el problema de la falta de ecuaciones (2) para las incgnitas (4), dndose un C conocido o disponible, lo mismo que para R1 R2. Ya se mencion que estos filtros se pueden utilizar en cascada con otros filtros para obtener respuestas de orden superior. En ese caso, como el polinomio del denominador posee varios coeficientes que son producto de los coeficientes de los filtros individuales y a que la frecuencia de cada etapa difiere de la central del filtro completo, se plantean las ecuaciones de la frecuencia introduciendo un coeficiente de ajuste a i el cual aparece en las ecuaciones del siguiente modo: Pasa Bajos:

RC*2a

fc i=

Pasa Altos

RCa*21

fci

=

Ms adelante se entrega una tabla de valores para ai y bi necesarios para disear filtros de orden superior. Existen otros circuitos con Amplificadores Operacionales los cuales se muestran a continuacin junto a sus relaciones para el diseo. Pasa Bajos con ganancia K

La figura muestra un simple circuito que permite el diseo de un filtro de orden 1 con ganancia K, es decir, con una fase de 180 en la banda de paso. En este caso,

C1f2a

Rc

12

= y

KR2

R1 =

Pasa Altos con ganancia K De similar forma, un clsico es el circuito de la figura En este caso las ecuaciones de diseo son

C1af21

R11c

= y

K*1RR2 =

Filtros de Orden 2. Los filtros de orden 2 del tipo pasivo requieren inductores los que a frecuencias bajas pueden tener valores altos y son voluminosos, de gran peso y poco prcticos de construir. Sin embargo, el uso de amplificadores operacionales permite reemplazar estos inductores por un circuito RC adecuado, existiendo varias configuraciones, de las cuales mostraremos las ms tiles, sobre todo para realizar filtros de orden superior a 2. Filtro Pasa Bajos con realimentacin negativa mlti ple: Entre sus caractersticas se encuentra que la ganancia den la banda de paso es negativa, es decir ,invierte. Para el diseo y por razones prcticas, se recomienda predeterminar los condensadores C1 y C2, ya que, entre otras cosas, son ms escasos de encontrar en la prctica con una gran gama de valores, al contrario de lo que ocurre con las resistencias. Se entregan las ecuaciones de clculo para las 3 resistencias del circuito, suponiendo conocidos los dos condensadores C1 y C2.

2*1***4

)1(*2*1*42*2*aR2 1

2211

CCf

KbCCCaC

c

=

KR2

R1

=

R2*C2*C1***4R3 22

1

cfb

=

Para que R2 sea real debe cumplirse que

21

1

a)K1(*4

C1C2 b condicin que mientras ms cercana se considere para el

diseo, mejor ser el funcionamiento del circuito. Filtro Pasa Bajos con realimentacin positiva simpl e En este filtro en particular en que se usan dos resistencias iguales y dos condensadores iguales, el circuito queda definido por:

c

1

f2

bRC

=

1

1

ba

3K =

Debe recordarse que

1

1

a

bQ =

Se aprecia que la ganancia de este circuito tiene como lmite 3, lo que ocurre para Q muy altos. En este caso, el circuito oscila a la frecuencia definida por 1/2RC. Este circuito se propone porque permite que, una vez definida la ganancia K, la frecuencia pueda ser ajustada en forma independiente mediante la variacin de ambas resistencias R, lo que se puede lograr utilizando un potencimetro en doble.

Filtro Pasa Altos con ganancia unitaria (K=1) El circuito anterior al intercambiar los condensadores y las resistencias se convierte en un pasa altos. Adems, se puede eliminar R3 y la ganancia resulta ser unitaria. Esto no constituye problema pues la seal `puede amplificarse con alguna etapa posterior o previa. Luego el circuito a utilizar se muestra en la figura Las expresiones que permiten calcular los componentes de este circuito son:

1c a*Cf*1

1R

=

1c

1

b*Cf*4a

R2

=

Filtros de orden superior . Los circuitos vistos hasta aqu permiten, mediante la conexin en serie o cascada, obtener respuestas de orden superior. Para ello se disean las etapas utilizando la misma frecuencia de corte en todas ellas, cuidando de ingresar los parmetros ai y b i segn la tabla adjunta. Con estos parmetros se asegura que la respuesta en amplitud y frecuencia del filtro total es la deseada. La TABLA 1 muestra los coeficientes para calcular filtros pasa altos y pasa bajos hasta el orden 10. Ejemplo de Diseo: Ejemplificaremos con un filtro pasa bajos de orden 5 tipo Butterworth con una frecuencia de corte de 200 Hz y una ganancia de 12 dB. Se trata entonces de una etapa de orden 1 seguida de dos etapas de orden 2. La ganancia K requerida resulta de despejar K de la siguiente expresin: 20 log(K)=12 dB de donde K= 4

Una solucin posible para obtener esta ganancia es usar ganancia unitaria en la etapa de orden 1 y luego a cada etapa de orden 2 darle ganancia 2. Esto lleva a disear el siguiente esquema:

Notese que ai y bi han sido sacados de la tabla. Planteamos las ecuaciones de diseo para cada uno de los filtros Etapa 1: Orden 1

Dado el condensador C R=1/(2fcC) Si C= 0.1 uF entonces R= 7.96K

Etapa 2 Orden 2

Lo primero es calcular la relacin de condensadores C2/C1 para poder elegirlos adecuadamente y usar sus valores en los clculos siguientes.

21

1

a)K1(*4

C1C2 b que en este caso es: 558.4

6179.212

6180.1))2(1(1*4

12

2==

CC

Entonces, si C1 es 100 nF, C2 puede ser 470nF, ambos valores estndar. Con estos valores de C1 y C2 se calculan R1, R2 y R3 de esta etapa, utilizando ai=1.6180 y bi=1, extrados de la TABLA 1 y K=-2 Estos valores resultan ser R2=5.43K R1=2.71K R3=2.48 K Etapa 3 Orden 2: El circuito es el mismo de la etapa anterior. Esta vez la relacin de condensadores C2/C1 dar

3242.313819.012

6180.0))2(1(1*4

12

2 ==

CC

Nuevamente, si C1= 100nF C2 puede ser 3.3uF. Con estos valores de C1 y C2 se calculan los valores de R1, R2 y R3 de esta etapa, utilizando ai=0.6180, bi=1 , extrdos de la TABLA 1 y K=-2. Con esto, R2= 1.92K R1=960 R3= 1K Para estos clculos es recomendable hacer un programa que ayude pues es fcil cometer errores al ingresar los nmeros a la calculadora y las expresiones son complicadas de ir armando. Utilizando un programa de simulacin se obtiene la siguiente respuesta en frecuencia para el circuito diseado:

Se puede observar que la ganancia es de 12 dB ( 20 log(4)) y que la frecuencia de corte (9 dB) est en 194 Hz. Adems, en una dcada de frecuencia la cada o rechazo es de 100 dB, como corresponde al orden 5 del filtro diseado. Puede orbservarse que, adems de los coeficientes ai y bi, la tabla muestra fci/fc, que es la razn de frecuencias entre la de la etapa i y la frecuencia del filtro completo y el valor de Q de la etapa, si es que existe.

TABLA 1 Valores de ai y bi para filtros tipo BUTTERWORTH Filtros Butteworth Orden (n) i ai bi fci/fc Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 n/a 2 1 1.4142 1.0000 1.000 0.71 3 1 1.0000 0.0000 1.000 n/a 2 1.0000 1.0000 1.272 1.00 4 1 1.8478 1.0000 0.719 0.54 2 0.7654 1.0000 1.390 1.31 5 1 1.0000 0.0000 1.000 n/a 2 1.6180 1.0000 0.859 0.62 3 0.6180 1.0000 1.448 1.62 6 1 1.9319 1.0000 0.676 0.52 2 1.4142 1.0000 1.000 0.71 3 0.5176 1.0000 1.479 1.93 7 1 1.0000 0.0000 1.000 n/a 2 1.8019 1.0000 0.745 0.55 3 1.2470 1.0000 1.117 0.80 4 0.4450 1.0000 1.499 2.25 8 1 1.9616 1.0000 0.661 0.51 2 1.6629 1.0000 0.829 0.60 3 1.1111 1.0000 1.206 0.90 4 0.3902 1.0000 1.512 2.56 9 1 1.0000 0.0000 1.000 n/a 2 1.8794 1.0000 0.703 0.53 3 1.5321 1.0000 0.917 0.65 4 1.0000 1.0000 1.272 1.00 5 0.3473 1.0000 1.521 2.88

10 1 1.9754 1.0000 0.655 0.51 2 1.7820 1.0000 0.756 0.56 3 1.4142 1.0000 1.000 0.71 4 0.9080 1.0000 1.322 1.10 5 0.3129 1.0000 1.527 3.20

Filtros PASA BANDA de Orden 2 El filtro pasa banda cumple con la ecuacin:

22)(

cc

c

sQ

s

sQ

ksA

++=

Reemplazando s=j y calculando el mdulo de A(j) se llega a la expresin a evaluar para el diagrama de Bode:

2222 )(log20log20log20)(

++=QQ

kjA ccc

Un circuito que permite realizar esta funcin de transferencia es el que se indica en la figura, llamado Filtro Pasabanda con realimentacin negativa mltiple. Este circuito tiene la siguiente frecuencia de resonancia:

321

31

21

RRRRR

Cfc

+=

,

en tanto que la ganancia a esta frecuencia es

1

2

RR

A =

31

3122

)(21

RRRRR

CfRQ c+==

Y el ancho de banda Qf

CRB c==

2

1

Filtros Pasa Banda de orden 4 Para realizar estos filtros existen dos posibilidades, dependiendo del Q. Si Q1, entonces estos filtros pueden ser realizados a partir de dos filtros pasa bandas de orden 2 en cascada, los cuales no estn sintonizados a la misma frecuencia central del filtro requerido. Este mtodo se llama sintona escalonada. La funcin de transferencia del filtro de orden 4 es:

4c

T

3c2

2T

2c2

c3

T

c4

22T

2coT

sQ2

sQ

2sQ2

s

sQ

K

)s(A

+

+

++

+

=

Aqu;

TQ = Factor de calidad del filtro TOTAL

c = Frecuencia angular central del filtro TOTAL

oTK = Ganancia a la frecuencia de resonancia del filtro TOTAL La funcin de transferencia para un filtro de orden 4 expresada como el producto de dos funciones de orden dos es

++

++

=2222

2

2

*)(

ssQ

ssQ

sQ

Ks

Q

K

sA

i

cc

i

cc

i

ci

i

ci

En esta expresin:

iQ = Factor de calidad de cada filtro individual Ki= Ganancia de cada filtro individual = Factor de ajuste para frecuencia escalonada

c = Frecuencia angular central del filtro TOTAL El factor corresponde a un factor de ajuste necesario para que el producto de dos funciones de segundo orden de cmo resultado el filtro de cuarto orden con

idntica respuesta a los filtros individuales, que se puede determinar a partir de la resolucin de la siguiente expresin:

01

21

)1( 21

2

2

21

12 =+

++

TT QbQb

a

Esta expresin puede ser resuelta numricamente con la ayuda de una calculadora. Una vez determinado , se calculan las frecuencias de diseo de cada etapa :

cff =1 y cff =2 , en tanto que el factor de calidad de ambos ser el mismo e

igual a

( )

1

121

aQb

Q Ti+

=

De igual forma, cada filtro tendr una ganancia que se calcula como

1b

K

QQ

K oT

T

ii =

Como ejemplo, supngase que se desea un filtro pasa bandas Butterworth de orden 4 con una frecuencia central de 1000Hz y un ancho de banda de 100 Hz. Se requiere que la ganancia de este filtro a la frecuencia central sea K=1 Los coeficientes del filtro Butterworth de segundo orden son

000.1

4142.1

1

1

==

b

a

Adems 10100

1000 ==TQ

Resolviendo para resulta igual a 1.036. Con esto el Qi de cada etapa es 14.15, la ganancia de cada etapa es Ki=1.415, en tanto que las frecuencias de las etapas son respectivamente:

Hzf 9651 = Hzf 10362 =

Con estos datos, las dos etapas en cascada responden a la siguiente funcin de transferencia:

2222 )1036*2(s15.14

1036*2s

s15.14

1036*2*415.1

*)965*2(s

15.14965*2

s

s15.14

965*2*415.1

)s(A++

++

=

El diagrama de Bode obtenido para este producto de funciones es:

Debe notarse la ganancia K=1 (0 dB) y la pendiente de 80 dB/dec, tpica del orden 4 del filtro. FILTRO UNIVERSAL DE PARAMETROS INDEPENDIENTEMENTE AJUSTABLES Existe un filtro de orden 2 que provee los cuatro tipos de filtro en forma simultnea a travs de las salidas correspondientes. Adems, sus parmetros de Ganancia (K), Frecuencia de corte (fc ) y Amortiguamiento (1/Q) son ajustables en forma independiente. En este filtro se cumplen las siguientes relaciones: V1= Salida Rechaza Banda con

RC21

fc

= =K

= 1Q

V2= Salida Pasa Altos con

V3= Salida Pasa Banda con:

y

ibRC2

1fc

=

ii

i

Q1

b

a ==

= K

RC21

fc

=

=K

= 1Q

V4= Salida Pasa Bajos con

Se aprecia que la frecuencia fc puede ser ajustada mediante la variacin simultnea de las resistencias R, las que aparecen unidas mecnicamente pues siempre deben tener el mismo valor. La Ganancia K puede ser ajustada con el resistor R1/ y el Amortiguamiento con la resistencia R2/.

ii

i

Q1

b

a ==

= K

RC2

bfc i

=