1

ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL PARA LA COMPUTACIÓN INFO 1144APUNTE DE VECTORES, RECTAS Y PLANOS

Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento de unpunto hacia otro punto Se denota E FÞ EFÞ

Ò

E F es el punto inicial o cola, a se le denomina punto terminal o cabeza.Por lo general a un vector se le denota como @ÞtEl conjunto de todos los puntos del plano corresponde al conjunto de todos los vectorescuyas colas se encuentran en el origen . Para cada punto corresponde el vectorS Eß

+ œ SEßt t estos son llamados vectores de posición.Es común representar esos vectores usando coordenadas. Por ejemplo seE œ Ð$ß #Ñescribe como + œ Ò$ß #ÓÞtLas coordenadas individuales son llamadas componentes.El vector se denota Es llamado vector cero.Ò!ß !Ó !ÞEl vector puede ser interpretado como sigue: comienza en el origen , viaja 3Ò$ß #Ó Sunidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, finalizando en . El mismoTdesplazamiento se puede aplicar a otros puntos iniciales.

Igualdad de VectoresDos vectores son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Es decir,si , entonces y ÒBß CÓ œ Ò"ß %Ó B œ " C œ %ÞPor lo general se usa vectores columna para representar a un vector. Es decir esÒBß CÓ

” •BC

Þ Usaremos ambas representaciones.

También se dirá que dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y la mismadirección, aún cuando tengan distintos puntos inicial y final.Geométricamente, dos vectores son iguales si uno puede obtenerse mediante elcorrimiento (o traslación) del otro de forma paralela a sí mismo hasta que los dosvectores coincidan. En términos de componentes, tenemos que si yE œ Ð$ß "Ñ

F œ Ð'ß $Ñß EF œ Ò$ß #Ó œ Ò' $ß $ "Óel vector . De manera similar siÒ

G œ Ð %ß "Ñ H œ Ð "ß "Ñ GH œ Ò " Ð %Ñß " Ð "ÑÓ œ Ò$ß #Ó y , entonces yÒ

entonces EF œ GHÞÒ Ò

Se dice que un vector se encuentra en posición estándar.STÒ

Ejemplo: Sea y encuentre y vuelva a trazarlo (a) enE œ Ð "ß #Ñ F œ Ð$ß %Ñß EFÒ

posición estándar y (b) con su cola en el punto G œ Ð#ß "ÑÞ

2

Suma de VectoresAl igual que sucede en el juego de las pistas de carreras, con frecuencia deseamos"continuar" un vector tras otro. Esto nos conduce a la noción de suma de vectores. Si hacemos que siga al vector , podemos considerar el desplazamiento total como un@ ?tercer vector, denotado ? @ÞEjemplo: Si y el efecto neto de hacer seguir a después de es? œ Ò"ß #Ó @ œ Ò#ß #Óß @ ?Ò" #ß # #Ó œ Ò$ß %Óß ? @Þlo que nos da En general si y entonces la suma ? œ Ò? ß ? Ó @ œ Ò@ ß @ Ó ? @ œ Ò? @ ß ? @ ÓÞ" # " # " " # #

Aprecie geométricamente:? @

Dados los vectores y en traslade de manera que su cola coincida con la cabeza? @ @‘#

de La suma de y es el vector desde la cola de hasta la cabeza de .?Þ ? @ ? @ ? @

Paralelógramo determinado por y . Al trasladar y de manera pàralela a sí mismos,? @ ? @obtenemos un paralelógramo. La diagonal de dicho paralelógramo nos proporciona elvector suma. Es decir su suma es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonaldel paralelógramo determinado por y ? @Þ

Ejemplo: Si y calcule y dibuje ? œ Ò$ß "Ó @ œ Ò"ß %Óß ? @Þ

Ponderación de Vectores

Dado un vector y un número real el múltiplo escalar es el vector originado al@ -ß -@multiplicar cada componente de por Por ejemplo @ -Þ %Ò#ß "Ó œ Ò)ß %ÓÞEn general -@ œ -Ò@ ß @ Ó œ Ò-@ ß -@ ÓÞ" # " #

Ejemplo: Si , calcule y trace los vectores y @ œ Ò 'ß $Ó $@ß @ $@Þ"3

Observe que tiene la misma dirección que si y la dirección opuesta si -@ @ - !Þ - !ÞTambién, note que es veces el largo de Por esta razón las constanes son llamadas-@ l-l @Þescalares.Un caso especial de un múltiplo escalar es , que se escribe como y se conoceÐ "Ñ@ @como el opuesto de Se usa para definr la diferencia de vectores.@Þ

Diferencia de Vectores

La diferencia de y es el vector definido por ? @ ? @ ? @ œ ? Ð @ÑÞ

3

Geométricamente corresponde a la otra diagonal del paralelógramo determinado por y?@ÞEjemplo: Si y entonces ? œ Ò#ß %Ó @ œ Ò"ß "Óß ? @ œ Ò# "ß % Ð "ÑÓ œ Ò"ß &Ót t t tSi los puntos y corresponde a los vectores y E F + , en posición estándar, entoncesEF œÒ

, +Þt t

Vectores en ‘$

El conjunto de todas las tripletas ordenadas de números reales se denota con . Los‘$

puntos y vectores son localizados mediante tres ejes coordenados mutuamenteperpendiculares que confluyen en el origen . Un punto como puedeS E œ Ð"ß #ß $Ñlocalizarse del siguiente modo:

el vector correspondiente es +t œ Ò"ß #ß $Ó SEÞÒ

Otra forma de visualizar al vector en es construir una caja cuyos seis lados estén+t ‘$

determinados por los tres planos do coordenadas ( los planos xy, xz,yz) y por tres planosa través del punto paralelos a los planos coordenados. El vector Ð"ß #ß $Ñ Ò"ß #ß $Ócorresponde entonces a la diagonal desde el origen hasta la esquina opuesta de la caja.

Vectores en ‘8

Definimos como el conjunto de todas las tuplas ordenadas de números reales‘8 8 escritas como vectores fila o columna. así, un vector en se representa como@ ‘8

Ò@ ß @ ß ÞÞß @ Ó Þ @

@@À@

" # 8

"

#

8

o Las entradas individuales de son sus coordenadas oÔ ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

componentes.En la suma y la ponderación por escalar se definen por: si y‘8

" # 8? œ Ò? ß ? ß ÞÞÞß ? Ó@ œ Ò@ ß @ ß ÞÞÞß @ Ó" # 8 entonces

? @ œ Ò @ ß ? @ ß ÞÞÞß ? @ Óu" " # # 8 8

-? œ Ò-? ß -? ß ÞÞÞß -? ÓÞ" # 8

Los siguientes teoremas rsumen las propiedades algebraicas de la suma vectorial y lamultiplicación por escalar en ‘8Þ

4

Teorema: Propiedades algebraicas de los vectores en ‘8

Sean ,...., y vectores en? œ Ò? ß ? ß ? ? Óß @ œ Ò@ ß @ ß @ ß ÞÞÞÞß @ Ó A œ ÒA ßA ßA ß ÞÞÞÞß A Ót t t" # $ 8 " # $ 8 " # $ 8

‘ ‘8 8, y sean y escalares. Entonces es grupo abeliano con esta suma. Es decir se verifica- .1) ( Propiedad conmutativa)? @ œ @ ?t t t t#Ñ ? @ A œ ? Ð@ AÑt t t t t t ( ) ( Propiedad Asociativa)$Ñ ? ! œ ! ? œ ?t t tt t ( Existencia de Neutro)%Ñ ? Ð ?Ñ œ !t t t (Existencia de elemento inverso)Además5) -Ð? @Ñ œ -? -@t t t t'Ñ Ð- .Ñ? œ -? .?t t t (Ñ -Ð.?Ñ œ Ð-.Ñ?t t )Ñ "? œ ?t t

Ejemplo: Sean y representaciones de vectores en +ß , B Þt tt ‘8

a) Simplifique $ Ð& # Ñ #Ð ÑÞ+ , + , +t t tt t

b) Si resuelva para en términos de & œ #Ð # Ñß B ÞB + + B +t t t t

Combinaciones Lineales y Coordenadas

Un vector, que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se define como unacombinación lineal de estos vectores. A continuación, se presenta la definición formal.

Definición Un vector es una combinación lineal de vectores si existen@ @ ß @ ß ÞÞÞÞ@" # 5

escalares tales que Los escalares - ß - ß ÞÞÞ- @ œ - @ - @ ÞÞÞÞÞ - @ Þ - ß - ß ÞÞÞ-" # 5 " " # # 5 5 " # 5

se conocen como coficientes de la combinación lineal.

Ejemplo: El vector es una combinación lineal de y Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

# " # & # ! $ % " " " !

ß ß

puesto que $ # œ" # & #! $ % # " " ! "

Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Observación: Determinar si un vector dado es una combinación lineal de otros vectoreses un problema que se abordará posteriormente.

Ejemplo: Sea y Se puede emplear y para localizar un nuevo? œ @ œ Þ ? @$ "" #

t t” • ” •conjunto de ejes (de la misma forma que y localizan los/ œ œ 3 / œ œ 4ß

" !! "" #” • ” •

ejes coordenados estándar). Se puede hacer uso de estos nuevos ejes para establecer unacuadrícula coordenada que permitirá localizar con facilidad las combinaciones lineales de? @Þ y Como muestra la figura

5

puede ser localizado desde el origen y desplazarse seguido de , es decir,A ? #@t t tA œ ? #@Þt t tSe dice que las coordenadas de con respecto a y son y LuegoA ? @ " #Þt t t

A œ # Þt$ "" #” • ” •

El Producto Punto o Producto Escalar

Definición: Si y entonces el producto punto de y está? œ @ œ ? † @ ? @t t t t t t

? @? @À À? @

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

" "

# #

8 8

definido por ? † @ œ ? @ ? @ ÞÞÞÞÞÞ ? @ Þt t " " # # 8 8

En otras palabras es la suma de los productos de las componentes correspondientes? † @t tde y ? @Þt t

Ejemplo: Calcule cuando y ? † @ ? œ @ œ Þt t t # t &" $

$ #

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

Propiedades del Producto Escalar

Teorema: Sean y , vectores no nulos, un escalar.?ß @ A -t t t

1) ? † @ œ @ † ?t t t t2) ? † Ð@ AÑ œ ? † @ ? † At t t t t t t3) Ð-?Ñ † @ œ -Ð? † @Ñt t4) -Ð? † @Ñ œ Ð-?Ñ † @ œ ? † Ð-@Ñt t t t t t5) y si y sólo si ? † ?   ! ? † ? œ ! ? œ !t t t t tDemostración:

Ejemplo: Haga la demostración de para todos losÐ? @Ñ † Ð? @Ñ œ ? † ? #Ð? † @Ñ @ † @t t t t t t t t t tvectores y en ? @ Þt t ‘8Þ

6

En la longitud del vector es la distancia desde el origen hasta el punto , la‘# @ œ Ð+ß ,Ñ+,” •

cual, por el teorema de Pitágoras, está dada por Observe que loÈ+ , Þ + , œ @ † @ß# # # #

que nos lleva a la siguiente definición.

Longitud o Norma de un Vector

Definición: La longitud (o norma) de un vector en es el escalar no negativo@ œt

@@À@

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

"

#

8

8‘

ll@llt definido porll@ll œ @ † @ œ @ @ @ ÞÞÞÞÞ @t t tÈ È "

# ## $# #

8

es decir ll@ll œ @ † @Þt t t#

Ejemplo: La norma o magnitud del vector es .@ œ Ò #ß $Ó ll@ll œ Ð #Ñ $ œ "$t t È È# #

Ejemplo: La norma o magnitud del vector.@ œ Ò"ß "ß #ß !Ó ll@ll œ " Ð "Ñ # ! œ 't t es È È# # # #

Teorema: Sea un vector en y sea un escalar. Entonces@ -‘8

a) si y sólo si ll@ll œ ! @ œ !b) ll-@ll œ l-l ll@llÞ

Ejemplo: Si , entonces ll@ll œ $ ll @ll œ ll@ll œ œt t t" " $ "' ' ' #

Vector unitario en la dirección de @t À œ Ð Ñ @ ß @ ß @ ß ÞÞÞß @ Þ@ "tll@ll ll@llt t " # $ 8

Ejemplo: Si , entonces un vector unitario en la dirección de es@ œ Ò %ß "Ó @t t@ " % "t

ll@llt "( "( "(œ Ò %ß "Ó œ Ò ß ÓÞÈ È È

Ejemplo: Si , entonces un vector unitario en la dirección de @ œ Ò"ß "ß #ß !Ó @t t

es @ "tll@llt '

œ Ò"ß "ß #ß !ÓÞÈDado cualquier vector distinto de cero, siempre podemos hallar un vector unitario en la@tdirección de , esto se logra al dividir entre su propia longitud. La acción de encontrar un@ @t tvector unitario con la dirección de otro vector dado se conoce como normalización de unvector.

Teorema: Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para todos los vectores y en |u v| ||u|| ||v||? @ ß † Ÿ‘8

Teorema: La desigualdad del triángulo

7

Para todos los vectores y en , ? @ ll? @ll Ÿ ll?ll ll@ll‘8

Distancia en tre dos VectoresLa distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos.

Definición: La distancia entre vectores y en se define como.Ð?ß @Ñ ? @t t t t ‘8

.Ð?ß @Ñ œ ll? @llÞt t t t

Ejemplo: Encuentre la distancia entre y ? œ @ œt t ##

" "

!

#

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

È

Solución:

Ángulo entre VectoresConsideremos los vectores, no paralelos y y el triángulo de lados y donde es? @ ?ß @ ? @ßt t t t t t )el ángulo entre y siendo y vectores en . Aplicando la ley de los cosenos a este? @ß ? @t t t t ‘8

triángulo, vemos quell? @ll œ ll?ll ll@ll # ll?ll ll@ll -9=t t t t t t# # # )

expandiendo el miembro izquierdo y utilizando varias veces, obtenemos quell@ll œ @ † @t t t

ll?ll #Ð? † @Ñ ll@ll œ ll?ll ll@ll # ll?ll ll@ll -9=t t t t t t t t# # # # )

lo cual da de lo que se deriva la siguiente definición.? † @ œ ll?ll ll@ll -9= ßt t t t )

Definición: Para vectores diferentes a cero y en ? @ ßt t ‘8

-9= œ) ?†@t tll?ll ll@llt t

Ejemplo: Calcule el ángulo entre los vectores y ? œ Ò#ß "ß #Ó @ œ Ò"ß "ß "Ó

Solución:

Ejemplo: Calcule el ángulo entre las diagonales de dos caras adyacentes de un cubo.Solucion.

Vectores Ortogonales

En y dos vectores distintos de cero y son perpendiculares si el ángulo entre ellos‘ ‘ )# $ ? @t tes un ángulo recto; es decir, si radianes, o º. Así º) œ *! œ -9=Ð*! Ñ œ !Þ1

# ll?ll ll@ll?†@t tt t

Definición: Dos vectores y en son ortogonales entre sí, si ? @ ? † @ œ !t t t t‘8

Puesto que para todo vector en , el vector cero es ortogonal a todo vector.? † ! œ !ß ?t tt t ‘8

Ejemplo: En y son ortogonales, ya que .‘$ ? œ Ò"ß "ß #Ó @ œ Ò$ß "ß #Ó ? † @ œ !t t t t

8

ProyeccionesConsideremos dos vectores distintos de cero y . Sea el vector obtenido al trazar la? @t t :perpendicular desde la cabeza de sobre y sea el ángulo entre y . @ ? @t t t t? )

Es evidente que û donde û es el vector unitario en la direción de : œ ll:ll ß œ Ð"Îll ?Þtt t t t?llÑ? Además || y sabemos que Después de la sustitución, tenemos:ll œ llt @ll-9= ß -9= œ Þ) ) ?†@t t

ll?ll ll@llt t

: œ ll@ll ? œ ? œ ?t t t t tŠ ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹?†@ " ?†@ ?†@t t t t t tll?ll ll@ll ll?ll ll?ll ?†?t t t t t t#

Definición: Si y son vectores en y entonces la proyección de sobre es el? @ @ ?‘8 ? Á !ß

vector proy? ?†@ll?llÐ@ ?Ñ œ Š ‹# .

Ejemplo: Si y Si y+ œ Ò"ß #ß $Óß , œ Ò#ß %ß !Ó - œ Ò$ß 'ß "ÓÞ ? œ - +t t t t tt "$

@ œ #+ $, %Ð , + -Ñt t t tt t" " "# % ) :

i) Obtenga . ii) Obtenga . iii) Obtenga . T<9C Ð@Ñ T <9C Ð@Ñ T <9C Ð$@Ñt t t? ? &?t t t3

Solución:Definición: Sean y vectores en el espacio. Se llama? œ ? 3 ? ? 5 @ œ @ 3 @ 4 @ 5t t tt tt tt

" #4 $ " # $

producto vectorial de ambos al vector

? ‚ @ œ Ð? @ ? @ Ñ3 Ð? @ ? @ Ñ4 Ð? @ ? @ Ñ5 œt t t t t3 4 5t t t

? ? ?@ @ @

# $ $ # " $ $ " " # # " " # $

" # $

â ââ ââ ââ ââ ââ âEjemplo: Dados y hallar? œ 3 #4 5 @ œ $3 4 #5ßt tt tt tt t

a) b) c) ? ‚ @ @ ‚ ? @ ‚ @t t t t t t

Propiedades Algebraicas del Producto Vectorial

Sean y vectores en el espacio y un escalar, las siguientes propiedades son válidas.?ß @ A -t t t

1) ? ‚ @ œ Ð@ ‚ ?Ñt t t t#Ñ ? ‚ Ð@ AÑ œ ? ‚ @ ? ‚ At t t t t t t 3) -Ð? ‚ @Ñ œ -? ‚ @ œ ? ‚ -@t t t t t t

4) ? ‚ ! œ ! ‚ ? œ !t tt t t

5) ? ‚ ? œ !t t t

6) ? † Ð@ ‚ AÑ œ Ð? ‚ @Ñ † At t t t t t

9

Demostración: Todas ellas se pueden demostrar escribiendo los vectores en forma decomponentes y aplicando entonces la definición del producto vectorial.

Teorema: Propiedades Geométricas del producto vectorial

Si y son vectores no nulos del espacio y es el ángulo entre y , entonces se verifican? @ ? @t t t t)las propiedades siguientes.

1) es ortogonal a ambos, a y a .? ‚ @ ? @t t t t2) ll? ‚ @ll œ ll?ll ll@ll =/8 Þt t t t )

3) si y sólo si y son múltiplos escalares el uno del otro.? ‚ @ œ ! ? @t t t tt

4) es igual al área del paralelógramo que tiene a y a como lados adyacentes.ll? ‚ @ll ? @t t t t

Demostración:#Ñ -9= œ ll?ll ll@ll =/8 œ ll?ll ll@ll " -9= Ð Ñt t t tComo se sigue que ) ) )Ð?†@Ñt t

Ðll?ll ll@llÑt t#È

œ ll?ll ll@ll " œ ll?ll ll@ll Ð? † @Ñt t t t t tÉ ÈÐ?†@Ñt tÐll?ll ll@llÑt t

# # ##

#

œ Ð? ? ? ÑÐ@ @ @ Ñ Ð? @ ? @ ? @ ÑÈ" # $ " # $# # # # # #

" " # # $ $#

œ ÐÐ? @ ? @ Ñ Ð? @ ? @ Ñ Ð? @ ? @ ÑÈ # $ $ # " $ $ " " # # "# # #

œ ll? ‚ @llÞt t

Demostración:4) Para demostrar esta propiedad dibuje un paralelógramo de lados los vectores y y? @t tproyecte el vector sobre . Dibuje la altura ( esta mide el área es ( base por@ ? ll@ll =/8 Ñt t t )altura) ll?ll ll@ll =/8 œ ll? ‚ @llÞt t t t)

Observación: Los vectores y , son perpendiculares al plano determinado por y? ‚ @ @ ‚ ? ?t t t t t@ ?ß @ ? ‚ @t t t t t. Los tres vectores y , forman un sistema positivo.

Ejemplo: Hallar un vector unitario que sea ortogonal a y? œ "ß #ß $ t@ œ "ß #ß " Þt

Ejemplo: Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los trespuntos y Ð "ß $ß !Ñß Ð&ß "ß #Ñ Ð%ß $ß "ÑÞ

Ejercicio: Demostrar que el cuadrilátero de vértices en los puntos siguientes es unparalelógramo, y hallar su área:E œ Ð&ß #ß !Ñ F œ Ð#ß 'ß "Ñ G œ Ð#ß %ß (Ñ H œ Ð&ß !ß 'Ñ .

10

Rectas y Planos

Consideremos una partícula que se ubica inicialmente en el origen al tiempo , ySÐ!ß !Ñ > œ !que se mueve a lo largo de la recta de manera que su coordenada cambia en unidad porB "segundo. Entonces, para la partícula se localiza en , para se encuentra> œ " Ð"ß #Ñ > œ "Þ&en y, si permitimos que haya valores negativos de ( es decir, consideremos dóndeÐ"Þ&ß $Ñ >estuvo la partícula en el pasado), para se halla o se hallaba) en > œ # Ð Ð #ß %ÑÞ

En general, si entonces y podemos expresar esta relación en formaB œ >ß C œ #>ß

vectorial ¿ Cuál es el significado del vector ? Es un” • ” • ” • ” •B > " "C #> # #

œ œ > Þ . œt

vector particular paralelo a , conocido como vector de dirección para la recta._

Podemos escribir la ecuación de la recta como esta es la forma vectorial de laB œ >.ßt t

ecuación de _

Ejemplo: Consideremos la recta con ecuación Es evidente que el vector_ #B C œ &Þ

. œ 8 œt " # # "

t” • ” • y son el vector de dirección y un vector normal a la recta..

De este modo, la forma normal es apenas una representación diferente de la8 † B œ 8 † :t t t tforma general de la ecuación de la recta.

Definición: La forma normal de la ecuación de una recta en _ ‘# /=

8 † ÐB :Ñ œ ! 8 † B œ 8 † :t t t t t t to

donde es un punto específico sobre y es un vector normal para .: 8 Á !t t_ _

La forma general de la ecuación de es , donde es un vector normal_ +B ,C œ - 8 œt+,” •

para ._Observe que para cada elección de debe ser paralelo al vector de dirección . EsBß B : .t t t t

decir o para algún escalar . En términos de componentes tenemos queB : œ >. B œ : >. >t t t tt t

” • ” • ” •B " "C $ #

œ > Ð"Ñ

11

B œ " > C œ $ #> Ð#Ñ

La ecuación es la forma vectorial de la ecuación de , y las ecuaciones en sonÐ"Ñ Ð#Ñ_llamadas ecuaciones paramétricas de la recta, la variable se denomina parámetro.>

Definición: La forma vectorial de la ecuación de una recta en o es ,_ ‘ ‘# $ B œ : >.t t t

donde es un punto específico sobre y es un vector de dirección para .T _ _. Á !t

Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación sedenominan ecuaciones . paramétricas de _

Ejemplo: Encuentre las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta en que pasa a través‘$

del punto , paralela al vector T œ Ð"ß #ß "Ñ . œ Þt& "$

Ô ×Õ Ø

Solución: La ecuación vectorial es La formaB œ : >. œ > Þt t C # "tB " &

D " $

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

paramétrica esB œ " &>

C œ # >

D œ " $>Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial de la recta en , determinada por los puntos_ ‘$

T œ Ð "ß &ß !Ñ U œ Ð#ß "ß "ÑÞ y

Solución: B : œ > Þt t %$

"

Ô ×Õ Ø

Planos en ‘$

Definición: La forma normal de la ecuación de un plano en esc ‘$

8 † ÐB :Ñ œ ! 8 † B œ 8 † :t t t t t t t o

donde es un punto específico sobre y es un vector normalpara .: 8 Á !t tc c

La forma general de la ecuación de es donde es un vectorc +B ,C -D œ . ? œt ,+

-

Ô ×Õ Ø

normal para .c

Ejemplo: Determine las formas normal y general de la ecuación del plano que contienen el

punto y tiene como vector normal TÐ'ß !ß "Ñ 8 œ Þt #"

$

Ô ×Õ Ø

12

Solución: Con y , tenemos que , de manera que la ecuación: œ B œ 8 † : œ *t ! t C t t' B

" D

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

normal se convierte en la ecuación general 8 † B œ 8 † : B #C $D œ *Þt t t t

Definición: La forma vectorial de la ecuación de un plano en esc ‘$

B œ : =? >@t t t t

donde es un punto en y y son vectores de dirección para y son distintos deT ? @ Ð? @t t t tc ccero y paralelos a , pero no paralelos entre sí).cLas ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación sonconocidas como ecuaciones paramétricas de .c

Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial y paramétrica para el plano del ejemplo anterior.

Solución: Necesitamos encontrar dos vectores de dirección. Tenemos en elT œ Ð'ß !ß "Ñ

plano; si podemos encontrar otros dos puntos en y en , entonces los vectores y U V TU TVt tcpueden servir como vectores de dirección. Por ensayo y error, observamos que yUÐ*ß !ß !ÑV œ Ð$ß $ß !Ñ B #C $D œ *ßsatisfacen la ecuación general por lo cual se encuentran en el

plano. Así, calculamos y los que? œ TU œ ; : œ @ œ TV œ < : œ ßt t t ! t t t $t$ $

" "

tÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø

servirán como vectores de dirección. Por lo tanto, tenemos la ecuación vectorial de cÞ

Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ ØB ' $ $C ! ! $D " " "

œ > = y las correspondientes ecuaciones paramétricas,

B œ ' $> $=

C œ $=

D œ " > =Ejemplo: Obtenga la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos ,TÐ"ß #ß &ÑUÐ$ß #ß "Ñ VÐ "ß #ß #ÑÞ y Solución:Observación:Un plano es un objeto bidimensional, y su ecuación, en forma vectorial o paramétrica,requiere de dos parámetros.

13

Ecuación Normal de una Recta en ‘$

Un punto sobre la recta y dos vectores normales no paralelos y sirven paraT 8 8t t_ " #

localizar de manera única una recta en , puesto que debe ser entonces la recta a través_ ‘ _$

de que es perpendicular al plano con ecuación De esta forma, una rectaT B œ : =8 >8 Þt t t t" #

en también puede estar especificada por un par de ecuaciones‘$

+ B , C - D œ .

+ B , C - D œ ." " " "

# # #" #

Cada una correspondiendo a cada vector normal. Pero ya que estas ecuaciones corresponden aun par de planos no paralelos, esta es precisamente la descripción de una línea recta como laintersección de dos planos no paralelos.

Ecuaciones de rectas en ‘#

Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica

8 † B œ 8 † : +B ,C œ - B œ : >.t t t t t t t B œ : >.C œ : >.œ " "

# #

Ecuaciones de Rectas y Planos en ‘$

Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica

Rectas œ œ8 † B œ 8 † :t t t t8 † B œ 8 † :t t t t

+ B , C - D œ .+ B , C - D œ .

B œ : >t t" " "

# # #

" " " "

# # # #.t

B œ : >.C œ : >.D œ : >.

8 † B œ 8 † : +B ,C -D œ . B œ : =? >@t t t t t t t t C œ : =? >@B œ : =? >@

D œ : =? >@

ÚÛÜÚÛÜ

" "

# #

$ $

" " "

# # #

$ $ $

Planos

Distancia desde un Punto a una Recta

Encuentre la distancia desde el punto hasta la línea pasando por el puntoF œ Ð"ß !ß #Ñ _

E œ Ð$ß "ß "Ñ . œ Þt ""!

con vector de dirección Ô ×Õ Ø

Solución: Se debe calcular la longitud de , donde es el punto sobre que se ubica alTF Tt _

pie de la perpendicular desde . Si denotamos , entonces yF @ œ EF ET œ :<9C Ð@Ñt tt t.

TF œ @ @ :<9C Ð@ÑÞt. Haremos los cáculos necesarios en varios pasos.

Paso 1: @ œ EF œ , + œ œt t ! " "t t" $ #

# " "

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

14

Paso 2: La proyección de sobre es proy@ . Ð Ñ œ . œ Þt "t t "

!.

.†@t t

.†.t t@t Š ‹ Ô ×Õ Ø"

#

Paso 3: El vector que queremos es @ œ œ # ""

! "

t t :<9C Ð@Ñ.

Ô ×Õ Ø

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

" $# #

" $# #

Paso 4: La distancia desde hasta es proy.ÐFß Ñ F ll@ Ð Ñll œ œ ##Þt

"

_ _ . @t ºº ººÔ ×Ö ÙÕ Ø È$

#$#

"#

En términos de la notación anterior, .ÐFß Ñ œ .Ð@ß :<9C Ð@ÑÑÞt t_ .

En el caso donde la línea está en y su ecuación tiene la forma general la_ ‘# +B ,C œ -ß

distancia desde está dada por la fórmula .ÐFß Ñ FÐB ß C Ñ .ÐFß Ñ œ Þ_ _! !l+B ,C -l

+ ,

! !

# #ÈDistancia desde un Punto a un Plano

Ejemplo: Determine la distancia desde el punto hasta el plano cuya ecuaciónF œ Ð"ß !ß #Ñ cgeneral es B C D œ "Þ

Solución: En este caso se debe calcular la longitud de , donde es el punto sobre queTF TÒ

cse encuentra al pie de la perpendicular desde Como lo muestra la figura.FÞ

15

Si es cualquier punto sobre y situamos el vector normal de de modo queE 8 œt ""

"c c

Ô ×Õ Ø

su cola se localice en entonces, se requiere hallar la longitud de la proyección de AB sobreEßÒ

8t. De nuevo, se harán los cálculos necesarios por pasos.

Paso1: Por ensayo y error encontramos cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan laecuación lo hace.B C D œ "ÞE œ Ð"ß !ß !Ñ

P : Establezca aso 2 @ œ EF œ , + œ œ Þt t ! ! !t t" " !

# ! #

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Paso 3: La proyección de sobre es@ 8t t

T<9C Ð@Ñ œ 8 œ † œ œt t " " " "

" "

8t@†8 "†!"†!"†# #t t #8†8 ""Ð"Ñ $t t $

#$

#$

Š ‹ ‹ Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

Ô ×Ö ÙÕ Ø#

Paso 4: La distancia desde hasta es proy.ÐFß Ñ F ll Ð@Ñ œ l l œ $t ""

"c c 8t

# #$ $¿ ¿Ô ×

Õ Ø ÈEn general, la distancia desde el punto hasta el plano cuya ecuación.ÐFß Ñ F œ ÐB ß C ß D Ñc ! ! !

general es está dad por la fórmula+B ,C -D œ .

.ÐFß Ñ œ Þc l+B ,C -D .l

+ , -

! ! !

# # #È