Capítulo 1

EL MERCADO

Breve introducción

Este capítulo no es materia de examen, sin embargo debe leerse con detenimiento dado su interés.

Capítulo 1

EL MERCADO

El análisis microeconómico se basa en la construcción de modelos. Un modelo es una representación simplificada de la realidad. A partir de él lo que se pretende es realizar algunas interpretaciones de ciertos fenómenos económicos y hacer algunas predicciones, susceptibles de contrastación empírica.

El análisis microeconómico se centra en el estudio de la conducta de los consumidores y empre-sarios, los cuales entran en contacto a través de los mercados de bienes y de factores productivos.

Principio de optimización: Los modelos microeconómicos estudian el comportamiento de tales agentes centrándose en la elección óptima que estos últimos llevan a cabo, seleccionada de entre todas las opciones posibles que están a su alcance. Por este motivo, desde un punto de vista mate-mático, los modelos microeconómicos se centran en la maximización/minimización de una función objetivo sujeta normalmente a alguna restricción.

Principio de equilibrio: La noción fundamental asociada al funcionamiento de los mercados, donde ambos tipos de agentes se interactúan, es el equilibrio oferta-demanda, que exige el intercambio vo-luntario de algún bien o servicio entre dos tipos de agentes: oferentes y demandantes. La noción de equilibrio es parte fundamental de los modelos microeconómicos.

El análisis microeconómico está interesado en la realización de ejercicios de estática comparativa. Los cuales se centran en el estudio de los efectos que tiene sobre el equilibrio originario alguna modi-ficación de las condiciones iniciales del modelo, sin interesarse en el proceso de ajuste que tiene lugar para alcanzarse el nuevo punto de equilibrio.

Como resultado del funcionamiento de los mercados en general o de un mercado en particular, tiene lugar una determinada asignación de recursos, que equivale a la cantidad del bien o servicio intercambiada en el mercado al precio de equilibrio. Un criterio fundamental que se maneja frecuen-temente para valorar el funcionamiento de los mercados, y de ahí la asignación de recursos resultan-te, es el de la eficiencia en el sentido de Pareto.

Se dice que una asignación realizada por un determinado mercado o conjunto de mercados es eficiente en el sentido de Pareto, cuando no existe otra asignación que permita mejorar el bienestar de algún agente interviniente en ese mercado, sin empeorar el bienestar de ningún otro agente. En caso contrario, se dice que la asignación resultante es ineficiente en el sentido

de Pareto.

En este último caso, siempre es posible mejorar el bienestar de algún agente sin empeorar el de ningún otro; se dice entonces que puede lograrse una mejora en el sentido de Pareto mediante otra asignación de recursos. Por tanto, si no es posible una mejora en el sentido de Pareto, la asignación de recursos realizada por el mercado es eficiente.

Capítulo 1

EL MERCADO

Glosario

Asignación de recursos: Como resultado del funcionamiento de los mercados en general o de un mercado en particular, tiene lugar una determinada asignación de recursos, que equivale a la cantidad del bien o servicio inter-cambiada en el mercado al precio de equilibrio.

Eficiencia en el sentido de Pareto: Un criterio fundamental que se maneja frecuentemente para valorar el funcionamiento de los merca-dos, y de ahí la asignación de recursos resultante, es el de la eficiencia en el sentido de Pareto.

Se dice que una asignación realizada por un determinado mercado o conjunto de mercados es efi-ciente en el sentido de Pareto, cuando no existe otra asignación que permita mejorar el bienestar de algún agente interviniente en ese mercado, sin empeorar el bienestar de ningún otro agente.

Se dice entonces que no puede lograrse una mejora en el sentido de Pareto mediante otra asignación de recursos.

Estática comparativa: El análisis microeconómico está interesado en la realización de ejercicios de estática comparativa. Los cuales se centran en el estudio de los efectos que tiene sobre el equilibrio originario alguna modi-ficación de las condiciones iniciales del modelo, sin interesarse en el proceso de ajuste que tiene lugar para alcanzarse el nuevo punto de equilibrio.

Ineficiencia en el sentido de Pareto: Se dice que una asignación de recursos realizada por un mercado o conjunto de mercados es inefi-ciente en el sentido de Pareto, cuando existe otra asignación que permite mejorar el bienestar de algún agente interviniente en el mercado, sin empeorar el bienestar de ningún otro agente.

Se dice entonces que puede lograrse una mejora en el sentido de Pareto mediante otra asignación de recursos.

Capítulo 1

EL MERCADO

Mercado de apartamentos: estática comparativa Supongamos que las personas que compran una vivienda viven todas en el círculo interior, y que cada vivienda se construye uniendo dos apartamentos. ¿Qué ocurriría con el precio de los apartamentos?

Estamos ante un ejercicio de estática comparativa donde sólo cambia una cosa: la oferta de aparta-mentos (que se reduce porque se juntan dos apartamentos que antes estaban a la venta para conver-tirse en uno sólo); permaneciendo todo lo demás igual (el número de potenciales demandantes de apartamentos del círculo interior para convertirse en propietarios, dado que viven alquilados en algún apartamento del círculo interior).

Luego es evidente que el ejercicio de estática comparativa sólo contempla una reducción de la oferta y nada se dice del comportamiento de la demanda, que por tanto hay que suponer que no ha cam-biado. Es decir, el número de potenciales demandantes de apartamentos del círculo interior sigue siendo el mismo (antes de apartamentos simples y ahora de apartamentos dobles).

Por tanto, al reducirse la oferta de apartamentos y permanecer constante la demanda, el precio de los apartamentos se incrementa en relación con el que estaría vigente si con los mismos demandantes dos apartamentos no se convirtieran en uno, como se está considerando.

Una vez que se ha alcanzado el equilibrio de mercado, todos los apartamentos dobles se han vendido a los potenciales demandantes al precio de equilibrio. Ya no existe mercado de apartamentos del círculo interior. Este mercado se vuelve a activar en el momento en que alguien pone de nuevo a la venta algún apartamento y tiene por tanto que enfrentarse a los potenciales demandantes en esta nueva situación, cuyo número se desconoce...

Todo es pura especulación en relación con lo que ocurre después. La estática comparativa no se ocupa de la evolución de un fenómeno en el tiempo.

Capítulo 2

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

Breve introducción

En esta primera parte del programa nuestro objetivo es el estudio de la conducta del consumidor. Para ello debemos, en primer lugar, considerar las opciones que se le presentan a este último cuando dispone de un determinado nivel de renta para gastar y está en condiciones de adquirir ciertas canti-dades de bienes en el mercado pagando sus respectivos precios. Este hecho se materializa en lo que se conoce con el nombre de la restricción presupuestaria del consumidor, que, precisamente, es el objeto de estudio del presente capítulo.

Capítulo 2

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

En el estudio de la conducta del consumidor consideramos cestas de bienes tales como la X, deman-dadas por aquél, constituidas por una cierta cantidad (x1,x2) de dos bienes (1 y 2, respectivamente).

Supongamos que los precios de ambos bienes son (p1,p2), respectivamente, y m la renta moneta-ria de la que disfruta el consumidor.

La restricción presupuestaria a la que se enfrenta el consumidor cuando decide qué cesta de bie-nes consumir será:

mxpxp=+2211

Nos indica que el consumidor gasta unidades monetarias en adquirir el bien 1 y unida-des monetarias en adquirir el bien 2. De forma que la cantidad de dinero que gasta en adquirir ambos bienes no puede superar la renta monetaria m de la que dispone. 11xp22xp

El conjunto presupuestario no es más que el conjunto de cestas de bienes que satisfacen la res-tricción presupuestaria del consumidor. Esto es, el conjunto de cestas de bienes asequibles para este último, habida cuenta de la renta monetaria de la que dispone y de los precios a los que se enfrenta de los bienes que desea adquirir.

Supongamos que el precio del segundo bien es igual a la unidad. En tal caso, la cantidad deman-dada de este bien coincide con el gasto que el consumidor destina a adquirir este último.

A lo largo del curso consideraremos siempre una economía con dos bienes. Sin embargo, a veces supondremos que el segundo bien es un bien compuesto, esto es, constituido por un conjunto de bienes cuyos precios relativos permanecen constantes, los cuales se comportan de hecho como un único bien cuyo precio es la unidad; de forma que x2 sería el gasto que realiza el consumidor en la adquisición de ese bien compuesto, en la adquisición de los restantes bienes distintos del bien 1.

Se entiende por recta presupuestaria, el conjunto de cestas de bienes que satisfacen estrictamen-te la restricción presupuestaria, esto es, la siguiente ecuación:

mxpxp=+2211

La recta presupuestaria, pues, está constituida por todas aquellas cestas de bienes cuya adquisi-ción por parte del consumidor exige de este último que gaste toda su renta.

La ecuación de la recta presupuestaria puede rescribirse del siguiente modo:

12122xpppmx-=

Se trata de una línea recta decreciente, de pendiente 21pp-, ordenada en el origen 2pm, y abscisa en el origen 1pm.

x2 m/p2 Recta presupuestaria pendiente �p1/p2 Conjunto presupuestario m/p1 x1 Figura 2.1. El conjunto presupuestario

La pendiente de la recta presupuestaria, tomada en valor absoluto, es 21pp. Dado que se cumple:

12122112dxppdxppdxdx-=-=

La pendiente de la recta presupuestaria, según esta última expresión, puede interpretarse como el número de unidades del bien 2 a las que es preciso renunciar para poder adquirir en el mercado una unidad adicional del bien 1.

Por tanto, la pendiente de la recta presupuestaria nos indica el coste de oportunidad, en términos del bien 2, de adquirir en el mercado una unidad adicional del bien 1.

Alteración de la recta presupuestaria

12122xpppmx-=

� Consideremos que se produce un aumento de la renta del consumidor. La recta presupuestaria no altera su inclinación, dado que los precios de los bienes permanecen constantes. Luego se

desplaza paralelamente. Y, además, se aleja del origen de coordenadas debido al incremento de la ordenada en el origen 2pm. x2 m´/p2 m´> m m/p2 m/p1 m´/p1 x1 Figura 2.2. Aumento de la renta

� Sucede precisamente lo contrario, un acercamiento al origen de coordenadas, cuando disminuye el nivel de renta del consumidor. � Consideremos que se produce un aumento de p1. En primer lugar, la ordenada en el origen de la recta presupuestaria no se altera. En cambio, esta última se hace más inclinada, aumenta su pendiente debido al incremento del precio del primer bien. La recta presupuestaria gira en torno al eje de ordenadas hacia la izquierda. x2 m/p2 p1´> p1 m/p1´ m/p1 x1 Figura 2.3. Aumento de p1

� Sucede precisamente lo contrario, un giro hacia la derecha en torno al eje de ordenadas, cuando disminuye p1. La recta presupuestaria cambia de inclinación, se hace más horizontal.

Impuestos, subvenciones y racionamiento

Tanto los impuestos como las subvenciones alteran la restricción presupuestaria, bien afectando a los precios de los bienes cuando se trata de impuestos o subvenciones indirectas, bien afectando a la renta disponible del consumidor, cuando se trata de impuestos o subvenciones directas.

� Impuesto sobre la cantidad: impuesto indirecto que grava la cantidad adquirida del bien en cues-tión, incrementando el precio del bien que tiene que pagar el consumidor en una cuantía t. El nuevo precio del bien sería . Lo contrario sucedería si se tratara de una subvención a la cantidad s, disminuiría el precio del bien que tiene que pagar el consumidor: . tp+1sp-1� Impuesto sobre el valor: impuesto indirecto que grava el gasto que realiza el consumidor en ad-quirir un determinado bien. El gasto que el consumidor realiza en adquirir el bien 1 es ; por tanto, el impuesto que tiene que pagar sería: 11xp11xpt. En consecuencia, el precio que finalmente tiene que pagar el consumidor por adquirir el bien en cuestión como resultado del establecimiento de un impuesto sobre el valor de cuantía t sería: ()11pt+. � Impuesto de tasa fija o impuesto sobre la renta. Se trata de un impuesto directo que no afecta a los precios de los bienes, tan sólo disminuye la renta disponible del consumidor. Lo contrario si se trata de una devolución del impuesto sobre la renta. Consideremos ahora que el bien 1, por ejemplo, esté racionado. Esto es, que la cantidad disponi-ble de este bien, 1x, sea inferior a la cantidad máxima que el consumidor puede adquirir de este bien gastando toda la renta.

En tal caso, tanto la recta presupuestaria como el conjunto presupuestario sufren un truncamiento.

x2 Recta presupuestaria Conjunto presupuestario 1x x1 Figura 2.4. El conjunto presupuestario con racionamiento

Capítulo 2

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

Glosario

Bien compuesto: Es un conjunto de bienes cuyos precios relativos permanecen constantes, los cuales se comportan de hecho como un único bien cuyo precio es la unidad.

En tal caso, la cantidad demandada de este bien compuesto coincide con el gasto que el consumidor destina a adquirir este último.

A lo largo del curso consideraremos siempre una economía con dos bienes. Sin embargo, a veces supondremos que el segundo bien es un bien compuesto, de forma que x2 sería el gasto que realiza el consumidor en la adquisición de ese bien compuesto, en la adquisición de los restantes bienes distintos del bien 1.

Conjunto presupuestario: Es el conjunto de cestas de bienes que satisfacen la restricción presupuestaria. Es decir, aquellas cestas de bienes cuyo coste de adquisición en el mercado no supera la renta del consumidor.

Coste de oportunidad del consumidor: En el caso de dos bienes, es la cantidad del segundo bien que el consumidor debe sacrificar con ob-jeto de poder incrementar en una unidad la cantidad consumida del primer bien, dados los precios vigentes en el mercado. Coincide con la pendiente de la recta presupuestaria: 12pp-.

Impuesto de tasa fija o impuesto sobre la renta: Se trata de un impuesto directo que no afecta a los precios de los bienes, tan sólo disminuye la renta disponible del consumidor. Lo contrario si se trata de una devolución del impuesto sobre la renta.

Impuesto sobre el valor: Impuesto indirecto que grava el gasto que realiza el consumidor en adquirir un determinado bien. El gasto que el consumidor realiza en adquirir el bien 1 es ; por tanto, el impuesto que tiene que pagar sería: 11xp11xpt. En consecuencia, el precio que finalmente tiene que pagar el consumidor por adquirir el bien en cuestión como resultado del establecimiento de un impuesto sobre el valor de cuantía t sería: ()11pt+.

Impuesto sobre la cantidad: Impuesto indirecto que grava la cantidad adquirida del bien en cuestión, incrementando el precio del bien que tiene que pagar el consumidor en una cuantía t. El nuevo precio del bien sería . Lo contrario sucedería si se tratara de una subvención a la cantidad s, disminuiría el precio del bien que tiene que pagar el consumidor: . tp+1sp-1

Recta presupuestaria: Es el conjunto de cestas de bienes que satisfacen estrictamente la restricción presupuestaria del con-sumidor. Esto es, aquellas cestas de bienes en las que este último gasta toda la renta de la que dis-pone. En el caso de dos bienes, matemáticamente se representa mediante la siguiente ecuación:

mxpxp=+2211

La ecuación de la recta presupuestaria puede rescribirse del siguiente modo:

12122xpppmx-=

Se trata de una línea recta decreciente, de pendiente 21pp-, ordenada en el origen 2pm, y abscisa en el origen 1pm.

x2 m/p2 Recta presupuestaria pendiente �p1/p2 Conjunto presupuestario m/p1 x1 Figura 2.1. El conjunto presupuestario

Restricción presupuestaria del consumidor: Nos indica que el gasto que el consumidor realiza en adquirir los distintos bienes en el mercado nun-ca puede superar la renta de la que dispone. En el caso de dos bienes, matemáticamente se repre-senta mediante la siguiente desigualdad: mxpxp=+2211.

EL TEOREMA DEL BIEN COMPUESTO DE HICKS

Frecuentemente utilizado a lo largo del curso, cuando suponemos que los precios de todos los bie-nes, excepto uno, por ejemplo el primero, no se alteran.

Tales bienes, cuyos precios no se alteran, pueden tratarse de hecho como un único bien com-puesto. De modo que la cantidad demandada de ese bien compuesto no es más que el gasto que realiza el consumidor en adquirir los restantes bienes distintos del primero; de ahí que el precio de ese bien compuesto sea la unidad.

Efectivamente, tomemos la ecuación de la recta presupuestaria en el caso de n bienes:

112njjjpxpxm=+=S

Si los precios de todos los bienes, excepto el primero, no se alteran, entonces, de acuerdo con el teorema que nos ocupa, podemos considerar estos últimos como un único bien compuesto (), cuyo precio es la unidad. Dado que es el gasto que realiza el consumidor en adquirir los restantes bie-nes distintos del primero: 2x2x

22njjjxp==S

Por lo que la ecuación de la recta presupuestaria sería:

112pxxm+=

donde evidentemente . 21p=

En realidad, el teorema, que se estudia en cursos avanzados, permite que varíen los precios de todos los bienes, pero exige que los precios relativos de aquellos bienes susceptibles de ser tratados como un único bien compuesto permanezcan inalterados. Lo que conlleva, en el caso que nos ocupa, que los precios de todos los bienes distintos del primero deben aumentar o disminuir siempre en la misma proporción.

Efectivamente, supongamos que los precios iniciales de los restantes bienes distintos del primero sean: . Y que todos ellos aumenten o disminuyan en la misma proporción t, con objeto de que los correspondientes precios relativos permanezcan inalterados. 02,,jpj=�

La ecuación de la recta presupuestaria sería ahora:

0112njjjpxtpxm=+=S

Definiendo como el gasto que realiza el consumidor en adquirir los restantes bie-nes distintos del primero valorado a los precios iniciales, la ecuación de la recta presupuestaria que-daría del siguiente modo: 022njjjxp==S

112pxtxm+=

Ahora es el gasto que realiza el consumidor al adquirir los restantes bienes distintos del pri-mero, el cual es igual a la proporción t en que varían los precios de tales bienes multiplicada por , el gasto correspondiente valorado a los precios iniciales. 2tx2x

De esta forma, t, que no es más que un índice de precios, cumple la misma función dentro de la ecuación de la recta presupuestaria que el precio del segundo bien (2tp=), que ahora no tiene por qué ser necesariamente la unidad dentro de este contexto más general.

Capítulo 3

LAS PREFERENCIAS

Breve introducción

El estudio de la conducta del consumidor exige el conocimiento de las preferencias de este último. Las preferencias del consumidor se materializan en la posibilidad por parte del consumidor de llevar a cabo una determinada ordenación de todas las cestas de bienes imaginables: partiendo de una cesta de bienes cualquiera, el consumidor es capaz de determinar todas las cestas de bienes indiferentes a la primera, así como aquellas otras cestas de bienes que son preferidas, o que no lo son, a la cesta de referencia.

Capítulo 3

LAS PREFERENCIAS

En el estudio de la conducta del consumidor consideramos cestas de bienes tales como la X, deman-dadas por aquél, constituidas por una cierta cantidad (x1,x2) de dos bienes (1 y 2, respectivamente). A veces, el segundo bien se considera un bien compuesto, esto es, un conjunto de bienes cuyos pre-cios relativos permanecen constantes, los cuales se comportan de hecho como un único bien cuyo precio es la unidad; de forma que x2 sería el gasto que realiza el consumidor en la adquisición de ese bien compuesto.

Los bienes susceptibles de ser demandados por el consumidor se encuentran perfectamente es-pecificados estableciendo el lugar, el momento en que estarán disponibles para el consumo, así como otras circunstancias o eventualidades que puedan afectar a este último.

Las preferencias del consumidor

Tomemos dos cestas de consumo cualesquiera (x1,x2) e (y1,y2).

Si el consumidor prefiere estrictamente la primera cesta a la segunda, entonces representamos este hecho mediante la siguiente expresión: ()()2121,,yyxx...

Si ambas cestas le resultan indiferentes al consumidor, entonces lo representamos del siguiente modo: (x1,x2)~(y1,y2).

Si el consumidor prefiere débilmente la primera cesta a la segunda, entonces lo representamos del siguiente modo: ()(2121,,yyxx... Decimos entonces que la primera cesta es al menos tan deseada o tan buena como la segunda.

Si para el consumidor la primera cesta es al menos tan buena o tan deseada como la segunda: ()(2121,,yyxx... Y, a su vez, la segunda cesta resulta ser al menos tan buena o tan deseada como la primera: ()(2121,,xxyy..; entonces es que ambas cestas le resultan indiferentes: (x1,x2)~(y1,y2).

Si para el consumidor la primera cesta es al menos tan buena o tan deseada como la segunda, y ambas no son indiferentes; entonces es que el consumidor prefiere estrictamente la primera cesta a la segunda: ()()2121,,yyxx...

Supuestos sobre las preferencias .. Las preferencias del consumidor deben ser Completas: Dadas dos cestas cualesquiera de bienes X e Y, o bien la primera es al menos tan deseada como la segunda, o bien la segu

nda es al me-

nos tan deseada como la primera; o bien se cumplen ambas relaciones simultáneamente, con lo que ambas cestas resultan ser indiferentes para el consumidor. Lo que nos dice este axioma es que el consumidor es capaz de comparar dos cestas cualesquiera de bienes, y de este modo ordenar según sus preferencias todas las cestas de bienes imaginables.

.. Las preferencias del consumidor han de ser Reflexivas: Una cesta cualquiera X es al menos tan buena como ella misma: ()()2121,,xxxx... Este axioma es trivial y no permite comentario alguno.

.. Las preferencias del consumidor han de ser Transitivas: Dadas tres cestas cualesquiera de bie-nes X, Y y Z. Si ()()1212,,xxyy..y además ()()1212,,yyzz.., entonces debe cumplirse que ()(2121,,zzxx... Esto es, si la primera cesta es tan buena como la segunda, y esta se-gunda es tan buena como una tercera; entonces la primera cesta debe ser tan buena como la tercera. Este axioma exige que el comportamiento del consumidor sea consistente o coherente, esto es, que no resulte caprichoso.

Representación gráfica de las preferencias del consumidor: las curvas de indiferencia x2 Conjunto preferido débilmente: Cestas preferidas débilmente a (x1,x2) x2 Curva de indiferencia: cestas indiferentes a (x1,x2) x1 x1 Figura 3.1. Conjunto preferido débilmente

La curva de indiferencia está constituida por puntos que son la representación geométrica de ces-tas de bienes que resultan indiferentes dentro de las preferencias del consumidor. El área sombrea-da, situada a la derecha y encima de la curva de indiferencia, está constituida por puntos que son la representación geométrica de cestas de bienes estrictamente preferidas a una cesta cualquiera per-teneciente a la curva de indiferencia, por ejemplo, la pintada en el gráfico. Por tanto, el conjunto de cestas débilmente preferidas a una cesta dada está formado por las cestas indiferentes y las cestas de bienes estrictamente preferidas a aquélla, esto es, por la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta en cuestión más el área sombreada situada a la derecha. 12(,)xx

Una propiedad fundamental de las curvas de indiferencia es que no pueden cortarse si las prefe-rencias son transitivas.

x2 X Z Y x1 Figura 3.2. Las curvas de indiferencia no pueden cortarse

Las cestas de bienes X e Y pertenecen a curvas de indiferencia distintas, las cuales eventualmen-te se cortan en un punto que se corresponde con la cesta Z. Por tanto, se cumple por definición que X~Z y Z~Y. En consecuencia, por el axioma de la transitividad de las preferencias debería cumplirse que X~Y. Pero esto es una contradicción porque hemos supuesto de partida que ambas cestas, X e Y, pertenecen a curvas de indiferencia distintas.

Las curvas de indiferencia son ubicuas, esto, es, abarcan todas las cestas de bienes imaginables. Lo que quiere decir que cualquier cesta de bienes se encuentra dentro de una curva de indiferencia que pasa por ella.

Esta propiedad se deduce de la completitud de las preferencias del consumidor, dado que ello presupone la ordenación en curvas de indiferencia de todas las cestas de bienes imaginables.

Por el mismo motivo, las curvas de indiferencia son curvas continuas desde un punto de vista ma-temático cuando los bienes son perfectamente divisibles. Sólo los bienes discretos dan lugar a curvas de indiferencia discontinuas.

Preferencias regulares

Las preferencias regulares deben cumplir dos requisitos: que sean monótonas y convexas.

.. Decimos que las preferencias son monótonas cuando el consumidor no está saturado, es decir, que siempre desea consumir una mayor cantidad de ambos bienes. Por este motivo, las curvas de indiferencias son líneas decrecientes, esto es, tienen pendiente negativa. Si deseamos con-sumir una mayor cantidad del bien 1, entonces debemos consumir una menor cantidad del bien 2 para mantenernos dentro de la misma curva de indiferencia.

x2 Mejores cestas (x1,x2) Peores cestas x1 Figura 3.3. Preferencias monótonas

De ahí que si nos movemos hacia arriba y a la derecha nos desplazamos hacia posiciones mejo-res, esto es, hacia curvas de indiferencia de mayor nivel de preferencia.

Si nos movemos hacia abajo y a la izquierda nos estamos desplazando hacia posiciones peores, esto es, hacia curvas de indiferencia de menor nivel de preferencia.

Por consiguiente, para mantenernos dentro de la misma curva de indiferencia debemos movernos en sentido ascendente hacia la izquierda y en sentido descendente hacia la derecha.

.. Decimos que las preferencias del consumidor son convexas cuando dadas dos cestas de bienes indiferentes (x1,x2)~(y1,y2), la media ponderada de ambas es débilmente preferida a cualquiera de las cestas de partida: ()()[]()10,1,1212211==-+-+txxyttxyttx..

Si la media ponderada es estrictamente preferida, entonces se dice que las preferencias son es-trictamente convexas. Ésta es precisamente la condición exigida a las preferencias regulares:

()()[]()10,1,1212211<<-+-+txxyttxyttx..

Las cestas que son media ponderada de las cestas X e Y se sitúan geométricamente en la línea recta que une los puntos que son la representación geométrica de ambas cestas.

Las cestas que son media ponderada, o bien resultan indiferentes a X e Y, con lo que la curva de indiferencia tendrá tramos lineales y las preferencias serán convexas:

x2 Cesta media ponderada (y1,y2) (x1,x2) x1 Figura 3.4. Preferencias convexas

O bien, las cestas que son media ponderada se prefieren estrictamente a las dos cestas extremas X e Y, con lo que la media ponderada se sitúa en el interior del conjunto de cestas débilmente preferi-das a X e Y, por lo que las preferencias se dicen que son estrictamente convexas; de forma que la curva de indiferencia posee una curvatura regular, esto es, carece de segmentos lineales (se trata de hecho de una curva convexa).

x2 Cesta media ponderada (y1,y2) (x1,x2) x1 Figura 3.5. Preferencias estrictamente convexas

La convexidad de las preferencias conlleva que el conjunto de cestas débilmente preferidas a una cesta cualquiera es un conjunto convexo. Lo cual, por definición, quiere decir que cualquier línea re-cta que una dos puntos cualesquiera que pertenezcan al conjunto, está formada toda ella por puntos que a su vez pertenecen al conjunto, esto es, está contenida toda ella dentro del conjunto.

El supuesto de la convexidad estricta de las preferencias del consumidor significa que el individuo siempre prefiere consumir combinaciones de bienes, esto es, una cantidad positiva de ambos bienes en nuestro caso; en lugar de consumir bienes por separado, es decir, no consumir nada de uno de ellos.

La relación marginal de sustitución (RMS)

La Relación Marginal de Sustitución (RMS) es, por definición, la cantidad del bien 2 que el consumi-dor está dispuesto a renunciar para aumentar en una unidad la cantidad consumida del bien 1 y man-tener el mismo nivel de bienestar, esto es, permanecer dentro de la misma curva de indiferencia: . Por tanto, tendremos: 12xRMSx.=.

12012lim1xxdxdxRMSx..==..

De ahí que, dada una cesta de bienes (x1,x2), la RMS se corresponde con la pendiente de la curva de indiferencia en ese punto.

x2 Curva de indiferencia pendiente = dx2/dx1 = RMS .x2 x2 .x1 x1 x1 Figura 3.6. La relación marginal de sustitución (RMS)

.. Puesto que las preferencias regulares son monótonas, las curvas de indiferencia, al ser decre-cientes, tienen pendiente negativa. Con lo que la RMS resulta ser negativa: si deseamos incre-mentar la cantidad consumida de un bien debemos reducir la cantidad consumida del otro para permanecer dentro de la misma curva de indiferencia. .. Cuando las preferencias son estrictamente convexas (condición exigida a las preferencias regula-res), puesto que las curvas de indiferencia son curvas convexas, esto es, carecen de segmentos lineales, entonces la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta x1. Esto se debe, desde un punto de vista matemático, a que como la RMS es la pendiente o primera deriva-da de la curvas de indiferencia; al ser estas últimas curvas convexas, la segunda derivada de las curvas de indiferencia resulta ser positiva. Con lo que la RMS debe crecer a medida que aumenta x1; pero como es negativa, entonces debe decrecer en valor absoluto. La interpretación económica de este hecho es la siguiente: a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1 (x1), el consumidor está dispuesto a renunciar a una menor cantidad del bien 2 con objeto de incrementar en una unidad el consumo del primer bien, permaneciendo dentro de la misma curva de indiferencia.

Cuando consideramos dos bienes, y el segundo de ellos es un bien compuesto por otros bienes cuyos precios relativos no se alteran, entonces ese bien compuesto se comporta de hecho como un único bien y su precio es la unidad. En consecuencia, la cantidad consumida de ese bien compuesto no es más que el gasto que el consumidor realiza en adquirir los distintos bienes que lo componen.

En este contexto, el estudio de la conducta del consumidor se centra en el análisis de la cantidad demandada de un bien y el gasto realizado en los restantes bienes distintos del primero, cuyos pre-cios relativos no se alteran.

De ahí que la RMS puede interpretarse como la disposición marginal a pagar por parte del con-sumidor. Esto es, la cantidad de dinero que el consumidor está dispuesto a detraer del gasto realiza-do en adquirir los restantes bienes, con objeto de incrementar en una unidad la cantidad consumida del primer bien, manteniendo su nivel de bienestar, esto es, permaneciendo dentro de la misma curva de indiferencia.

Capítulo 3

LAS PREFERENCIAS

Glosario

Completitud de las preferencias: Axioma fundamental de las preferencias del consumidor que nos indica que este último es capaz de comparar dos cestas cualesquiera de bienes, de manera que puede llevar a cabo una ordenación completa de todas las cestas de bienes imaginables. Como resultado de la comparación, o bien la primera cesta es débilmente preferida a la segunda, o bien la segunda cesta es débilmente preferida a la primera; o bien se cumplen ambas relaciones simultáneamente, con lo que ambas cestas resul-tan indiferentes desde el punto de vista de las preferencias del consumidor.

Curva de indiferencia: Es el lugar geométrico de todas aquellas cestas de bienes que resultan indiferentes entre sí. La orde-nación completa de todas las cestas de bienes conlleva la aparición de las distintas curvas de indife-rencia que representan las preferencias del consumidor. Una propiedad fundamental de estas últimas es que no pueden cortarse si las preferencias son transitivas.

Las curvas de indiferencia son ubicuas, esto, es, abarcan todas las cestas de bienes imaginables. Lo que quiere decir que cualquier cesta de bienes se encuentra dentro de una curva de indiferencia que pasa por ella.

Esta propiedad se deduce de la completitud de las preferencias del consumidor, dado que ello presu-pone la ordenación en curvas de indiferencia de todas las cestas de bienes imaginables.

Por el mismo motivo, las curvas de indiferencia son curvas continuas desde un punto de vista mate-mático cuando los bienes son perfectamente divisibles. Sólo los bienes discretos dan lugar a curvas de indiferencia discontinuas.

Las curvas de indiferencia de una función de utilidad son, desde un punto de vista matemático, las curvas de nivel de tal función. Es decir, el lugar geométrico de las cestas de bienes que tienen asig-nado un determinado nivel de utilidad. La función de utilidad se representa, pues, gráficamente a par-tir de las distintas curvas de indiferencia asociadas a cada uno de los niveles de utilidad. Este conjun-to de curvas de indiferencia recibe también el nombre de mapa de indiferencia de la función de utili-dad o mapa de indiferencia de las preferencias del consumidor en cuestión.

Disposición marginal a pagar: Es la cantidad de dinero que el consumidor está dispuesto a detraer del gasto realizado en adquirir los restantes bienes, con objeto de incrementar en una unidad la cantidad consumida del primer bien, manteniendo su nivel de bienestar, esto es, permaneciendo dentro de la misma curva de indiferencia. No es más que la RMS cuando los restantes bienes distintos del primero mantienen sus precios rela-tivos constantes, de forma que tales bienes se comportan de hecho como un bien compuesto cuyo precio es la unidad; la cantidad demandada de este bien compuesto es precisamente el gasto reali-zado en adquirir tales bienes.

Preferencia débil: La cesta ( se dice que es débilmente preferida a la cesta 21,xx()21,yy, si la primera cesta es al menos tan buena o tan deseada como la segunda dentro de las preferencias del consumidor. Este hecho se expresa del siguiente modo: ()()2121,,yyxx...

x2 Conjunto preferido débilmente: Cestas preferidas débilmente a (x1,x2) x2 Curva de indiferencia: cestas indiferentes a (x1,x2) x1 x1 Figura 3.1. Conjunto preferido débilmente

La curva de indiferencia está constituida por puntos que son la representación geométrica de cestas de bienes que resultan indiferentes dentro de las preferencias del consumidor. El área sombreada, situada a la derecha y encima de la curva de indiferencia, está constituida por puntos que son la re-presentación geométrica de cestas de bienes estrictamente preferidas a una cesta cualquiera perte-neciente a la curva de indiferencia, por ejemplo, la pintada en el gráfico. Por tanto, el conjunto de cestas débilmente preferidas a una cesta dada está formado por las cestas indiferentes y las 12(,)xx

cestas de bienes estrictamente preferidas a aquélla, esto es, por la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta en cuestión más el área sombreada situada a la derecha.

La convexidad de las preferencias conlleva que el conjunto de cestas débilmente preferidas a una cesta cualquiera es un conjunto convexo. Lo cual, por definición, quiere decir que cualquier línea re-cta que una dos puntos cualesquiera que pertenezcan al conjunto, está formada toda ella por puntos que a su vez pertenecen al conjunto, esto es, está contenida toda ella dentro del conjunto.

Preferencias convexas: Decimos que las preferencias del consumidor son convexas cuando dadas dos cestas de bienes indi-ferentes (x1,x2)~(y1,y2), la media ponderada de ambas es débilmente preferida a cualquiera de las cestas de partida:

()()[]()10,1,1212211==-+-+txxyttxyttx..

x2 Cesta media ponderada (y1,y2) (x1,x2) x1 Figura 3.4. Preferencias convexas

Preferencias estrictamente convexas: Decimos que las preferencias del consumidor son estrictamente convexas cuando dadas dos cestas de bienes indiferentes (x1,x2)~(y1,y2), la media ponderada de ambas es estrictamente preferida a cualquiera de las cestas de partida:

()()[]()10,1,1212211<<-+-+txxyttxyttx..

La media ponderada se sitúa en el interior del conjunto de cestas débilmente preferidas a X e Y, de forma que la curva de indiferencia posee una curvatura regular, esto es, carece de segmentos linea-les (se trata de una curva convexa).

x2 Cesta media ponderada (y1,y2) (x1,x2) x1 Figura 3.5. Preferencias estrictamente convexas

El supuesto de la convexidad estricta de las preferencias del consumidor significa que el individuo siempre prefiere consumir combinaciones de bienes, esto es, una cantidad positiva de ambos bienes en nuestro caso; en lugar de consumir bienes por separado, es decir, no consumir nada de uno de ellos.

Preferencias monótonas: Decimos que las preferencias son monótonas cuando el consumidor no está saturado, es decir, que siempre desea consumir una mayor cantidad de ambos bienes. Por este motivo, las curvas de indife-rencia son líneas decrecientes, esto es, tienen pendiente negativa.

Preferencias regulares: Decimos que las preferencias del consumidor son regulares cuando son monótonas y estrictamente convexas. Ejemplo: las preferencias Cobb-Douglas.

Reflexividad de las preferencias: Axioma fundamental de las preferencias del consumidor que nos indica que este último prefiere dé-bilmente cualquier cesta de bienes a sí misma. Se trata de un axioma trivial.

Relación Marginal de Sustitución (RMS): Es, por definición, la cantidad del bien 2 que el consumidor está dispuesto a renunciar para aumentar en una unidad la cantidad consumida del bien 1 y mantener el mismo nivel de bienestar, esto es, permanecer dentro de la misma curva de indiferencia: 12xRMSx.=.. Por tanto, tendremos:

12012lim1xxdxdxRMSx..==..

Dada una cesta de bienes (x1,x2), la RMS se corresponde con la pendiente de la curva de indiferencia en ese punto.

Si las preferencias son monótonas la RMS es negativa, dado que las curvas de indiferencia son de-crecientes. Si las preferencias son estrictamente convexas, la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del primer bien (x1).

La RMS es igual al cociente, cambiado de signo, de las utilidades marginales de ambos bienes.

2112UMUMdxdxRMS-==

Transitividad de las preferencias: Axioma fundamental de las preferencias del consumidor que nos indica que si el consumidor prefiere débilmente una cesta de bienes a otra, y esta última a una tercera, entonces también prefiere débil-mente la primera cesta a la tercera. Se trata de un axioma que garantiza la coherencia o consistencia de las preferencias del consumidor.

Capítulo 3

LAS PREFERENCIAS

Bienes discretos Interpretación de las figuras 3.8 A y 3.8 B.

Un bien se dice que se consume en cantidades "discretas" cuando se consume en unidades enteras, es decir, cuando no es perfectamente divisible. Lo contrario, bienes perfectamente divisibles, es lo que normalmente se supone cuando se trabaja con curvas de indiferencia continuas como la de la Figura 3.9 del libro de texto.

Por tanto, cuando se trata de bienes discretos, las curvas de indiferencia son discontinuas, es decir, están formadas por puntos separados entre sí. Que es precisamente lo que puede verse en la Figura 3.8 A. Allí se pintan tres curvas de indiferencia mediante líneas inclinadas discontinuas. En realidad, cada una de ellas formada por tres puntos, que son precisamente las correspondientes cestas que están definidas.

Las cestas de bienes débilmente preferidas a una cesta dada son las cestas indiferentes a la primera (por tanto, las situadas sobre la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta en cuestión) y las cestas estrictamente preferidas a la cesta de referencia (las situadas sobre curvas de indiferencia más alejadas del origen de coordenadas que la curva de indiferencia a la que nos estamos refirien-do).

Por tanto, el conjunto de cestas débilmente preferidas a una cesta dada es la curva de indiferencia en sí y el área situada encima de la curva de indiferencia en la que se encuentra la cesta en cuestión. Véase la Figura 3.1 para el caso de los bienes perfectamente divisibles.

En el caso de los bienes discretos (véase Figura 3.8 B) ocurre algo parecido. En esta figura se está representando el conjunto de cestas débilmente preferidas a la cesta o cestas que forman parte de la curva de indiferencia de en medio. Por tanto el conjunto de cestas débilmente preferidas está formado por las cestas situadas sobre las líneas verticales que parten de las cestas situadas sobre la curva de indiferencia de en medio y van hacia arriba. No puede tratarse de un área porque hay muchas cestas de bienes que no pueden definirse dado que ambos bienes no son perfectamente divisibles.

El caso de los bienes discretos no es muy importante desde un punto de vista analítico, aunque en la práctica sea el caso más frecuente.

Capítulo 3

LAS PREFERENCIAS

Interpretación de la RMS En la página 53 del libro de Varian (5ª edición) aparece una afirmación a priori lógica: cuanto mayor sea la cantidad de un bien que tenemos, más dispuestos estaremos a renunciar a él para incrementar la cantidad consumida del otro bien. Pero esta afirmación aparentemente se contradice con esta otra: las curvas de indiferencia muestran una RMS decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del primer bien. Es decir, que la relación en la que una persona esta dispuesta a intercambiar x1 por x2 disminuye a medida que aumenta x1. ¿Qué explicación tiene esto?

Es obvio que

21dxRMSdx=-

nos indica la cantidad del bien 2 que estamos dispuestos a renunciar para aumentar en una unidad la cantidad consumida del bien 1 y mantener nuestro nivel de bienestar, esto es, permaneciendo dentro de la misma curva de indiferencia.

La RMS así definida es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1. Es decir, cuanto menos consumamos del bien 2, el más escaso relativamente, estaremos dispuestos a renunciar a una menor cantidad de ese bien con objeto de aumentar la cantidad consu-mida del bien 1, el más abundante relativamente, en una unidad.

Ahora bien, siempre podemos definir:

121dxRMSdx=-

que nos indica la cantidad consumida del bien 1 que estamos dispuestos a renunciar con objeto de aumentar en una unidad la cantidad consumida del bien 2, manteniendo nuestro nivel de bienestar.

Es evidente que el inverso de la RMS es creciente en valor absoluto a medida que aumenta la canti-dad consumida del bien 1. Por este motivo, estaremos dispuestos a renunciar a una cantidad mayor de este bien cuanto más consumamos del mismo.

Capítulo 4

LA UTILIDAD

Breve introducción

Las preferencias del consumidor pueden representarse matemáticamente mediante una función de utilidad. Esta última asigna un número (el nivel de utilidad) a cada cesta de bienes. De forma que cestas indiferentes dentro de las preferencias del consumidor tienen el mismo nivel de utilidad; y ces-tas preferidas a otras tienen mayor nivel de utilidad. Lo importante, pues, de la función de utilidad es que permite representar matemáticamente las preferencias del consumidor ordenando las cestas de bienes. La cuantía o magnitud del nivel de utilidad asignado a cada cesta de bienes no tiene ninguna importancia.

Capítulo 4

LA UTILIDAD

La función de utilidad no es más que una forma matemática de describir las preferencias del consu-midor, las cuales conllevan la posibilidad por parte de este último de establecer un orden de prelación para todas las cestas de bienes imaginables.

Por este motivo, la función de utilidad lo que hace es asignar un número u (el nivel de utilidad) a cada cesta de bienes (x1,x2):

()21,xxuu=

De manera que:

.. Dos cestas indiferentes dentro de las preferencias del consumidor tengan el mismo nivel de utili-dad: ()()()()12121212,,,uxxuyyxxyy=.~

.. Y una cesta estrictamente preferida a otra tenga un nivel de utilidad mayor: ()()()()21212121,,,,yyxxyyuxxu...>

Lo importante de la función de utilidad es que permite representar matemáticamente las preferen-cias del consumidor ordenando las cestas de bienes. La cuantía o magnitud del nivel de utilidad de dos cestas de bienes no tiene ninguna importancia, lo único importante es si ambos niveles de utili-dad correspondientes a sendas cestas de bienes son iguales (cestas de bienes indiferentes), o si uno es mayor que otro (una cesta de bienes estrictamente preferida a otra).

Por este motivo, las mismas preferencias del consumidor pueden ser representadas matemática-mente por infinitas funciones de utilidad, de forma que cada función de utilidad sea una transforma-ción monótona creciente de otra función de utilidad que represente tales preferencias.

Decimos que la función de utilidad ()21,xxvv= es una transformación monótona creciente de la función de utilidad (21,xxuu= que representa las preferencias del consumidor:

()ufv=

si la función es creciente, esto es, si su primera derivada es positiva: ()uf()0>'uf.

Ello quiere decir que, dadas dos cestas cualesquiera de bienes con los siguientes niveles de utili-dad u1 y u2, tal que , de manera que 21uu<012>.=-uuu; entonces resulta que , esto es, . 012>-=.vvv21vv<

En resumen, si dos cestas cualesquiera de bienes tienen el mismo nivel de utilidad en la función de utilidad u, también tendrán el mismo nivel de utilidad en la función de utilidad v. Aunque, lógica-mente, por tratarse de funciones utilidad distintas, los niveles de utilidad de las cestas de bienes en u y en v sean también distintos. Y si una cesta tiene un mayor nivel de utilidad que otra en la función de utilidad u, también tendrá un mayor nivel de utilidad en la función de utilidad v.

Por todo ello, podemos concluir, que una transformación monótona creciente de una función de utilidad no es más que otra función de utilidad que representa las mismas preferencias del consumi-dor que la función de utilidad de partida, dado que mantiene la misma ordenación de las cestas de bienes.

Construcción de una función de utilidad .. Para poder diseñar una función de utilidad que represente las preferencias del consumidor es re-quisito imprescindible que esta últimas sean transitivas. De lo contrario, no podrá establecerse ninguna función de utilidad que represente tales preferencias. .. Si las preferencias son monótonas (requisito fundamental de las preferencias regulares) entonces la diagonal del primer cuadrante corta a las curvas de indiferencia exactamente una vez. Con lo que a las cestas compuestas por una misma cantidad de ambos bienes (precisamente las situa-das en la diagonal principal), que se encuentran en sucesivas curvas de indiferencia cada vez más alejadas del origen de coordenadas, se les asigna un número, precisamente su correspon-diente nivel de utilidad, que guarda relación con la distancia a la que se encuentran del origen de coordenadas. De este modo, todas las cestas de bienes, las situadas en la diagonal principal y las situadas a lo largo de las curvas de indiferencia que cortan la diagonal principal, tienen asig-nado un número (el nivel de utilidad). Y éste es precisamente el papel que cumple cualquier fun-ción de utilidad.

x2 4 3 Mide la distancia desde el origen de 2 1 0 Curvas de indiferencia x1 Figura 4.1. Cómo se construye una función de utilidad a partir de las curvas de indiferencia

Las utilidades marginales y la RMS

Partiendo de la función de utilidad ()21,xxuu=, calculemos la diferencial total de esta función:

22112211dxUMdxUMdxxudxxudu+=..+..=

Puesto que nos estamos moviendo a lo largo de una curva de indiferencia, el nivel de utilidad no varía (). Con lo que fácilmente obtendremos: 0=du

2112UMUMdxdxRMS-==

Esto es, la RMS es igual al cociente, cambiado de signo, de las utilidades marginales de ambos bienes.

Sabemos que no existe una única función de utilidad que represente las preferencias de un de-terminado consumidor, dado que cualquier transformación monótona creciente de una función de utilidad es otra función de utilidad que representa las mismas preferencias de aquél.

Por este motivo, las utilidades marginales de ambos bienes, puesto que dependen directamente de la función de utilidad que estemos manejando, no resultan invariantes ante una transformación monótona creciente de la función de utilidad.

Sin embargo, es una propiedad fundamental de las preferencias del consumidor, que la RMS permanece inalterada ante cualquier transformación monótona creciente de la función de utilidad. Por consiguiente, dos funciones de utilidad cualesquiera representan las mismas preferencias del consu-midor, esto es, una de ellas es una transformación monótona creciente de la otra, si y sólo si las rela-ciones marginales de sustitución obtenidas a partir de ambas funciones de utilidad son idénticas.

Algunos ejemplos de funciones de utilidad

En este apartado vamos a caracterizar las funciones de utilidad a partir de sus correspondientes cur-vas de indiferencia, así como la RMS resultante, de forma que permita interpretar el tipo de preferen-cias a las que están haciendo referencia.

Las curvas de indiferencia de una función de utilidad son, desde un punto de vista matemático, las curvas de nivel de tal función. Es decir, el lugar geométrico de las cestas de bienes que tienen asig-nado un determinado nivel de utilidad. La función de utilidad se representa, pues, gráficamente a par-tir de las distintas curvas de indiferencia asociadas a cada uno de los niveles de utilidad. Este conjun-to de curvas de indiferencia recibe también el nombre de nombre de mapa de indiferencia de la fun-ción de utilidad o de las preferencias del consumidor en cuestión.

Bienes sustitutivos perfectos

Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

()2121,bxaxxxu+=

x2 u0<u1<u2 =-aRMSb u0 u1 u2 x1 Figura 4.2. Los bienes sustitutivos perfectos

La RMS es la siguiente:

baUMUMdxdxRMS-=-==2112

Las curvas de indiferencia son líneas rectas decrecientes de pendiente constante e igual a �a/b.

En el caso particular en que a=b=1, entonces 1=RMS. El consumidor está dispuesto a cambiar una unidad de un bien por una unidad del otro para permanecer dentro de la misma curva de indife-rencia.

Por consiguiente, estaríamos ante bienes tales como los lápices rojos y lápices azules, o la man-tequilla y la margarina, que satisfacen la misma necesidad; de forma que al consumidor le resulta indiferente demandar uno u otro, por lo que siempre consumirá el más barato. De ahí que se denomi-nen a tales bienes sustitutivos perfectos.

Bienes complementarios perfectos

Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

()......=ßa2121,min,xxxxu

x2 -8=12/dxdx u0<u1<u2 12xxaß= RMS=0 u2 0/12=dxdx u1 u0 x1 Figura 4.3. Los bienes complementarios perfectos

Cualquiera que fuere el nivel de utilidad considerado, la cantidad consumida de ambos bienes, sin que exista exceso de ninguno de ellos, para alcanzar ese nivel de utilidad, exige el cumplimiento de la

siguiente condición: ßa21xx=. Lo que implica que ambos bienes se consumen siempre en una pro-porción fija: ßa=21xx. a unidades del primer bien con ß unidades del segundo bien. Y esta condición se cumple precisamente en las esquinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia.

Efectivamente, en la rama vertical de las curvas de indiferencia, las cestas de mercancías contie-nen siempre una mayor cantidad del segundo bien (x2), que no afecta al nivel de utilidad, en relación a la cantidad consumida de este último en el punto angular de la curva de indiferencia de que se trate. Por este motivo, en la rama vertical de las curvas de indiferencia se cumple:

-8=12dxdx 210dxdx=

Esto es, el consumidor no está dispuesto a renunciar a ninguna cantidad del bien 1 con objeto de incrementar en una unidad la cantidad consumida del bien 2, para permanecer dentro de la misma curva de indiferencia. En otras palabras, el consumidor no está dispuesto a demandar las cestas de bienes situadas en la rama vertical de las curvas de indiferencia, cuando los precios son positivos.

En la rama horizontal de las curvas de indiferencia, las cestas de mercancías contienen siempre una mayor cantidad del primer bien (x1), que no afecta al nivel de utilidad, en relación a la cantidad consumida de este último en el punto angular de la curva de indiferencia de que se trate. Por este motivo, en la rama horizontal de las curvas de indiferencia se cumple:

012=dxdx 120dxdx=

Esto es, el consumidor no está dispuesto a renunciar a ninguna cantidad del bien 2 con objeto de incrementar en una unidad la cantidad consumida del bien 1, para permanecer dentro de la misma curva de indiferencia. En otras palabras, el consumidor no está dispuesto a demandar las cestas de bienes situadas en la rama horizontal de las curvas de indiferencia, cuando los precios son positivos.

Por consiguiente, el consumidor únicamente demandará las cestas de bienes situadas en la es-quinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia, donde ambos bienes se consumen en una proporción fija, como venimos diciendo, cuando los precios son positivos.

Esto quiere decir que la RMS es siempre cero para los bienes complementarios perfectos; dado que, como hemos argumentado, el consumidor no está dispuesto a intercambiar o sust

ituir un bien por otro, puesto que prefiere consumir ambos bienes en una proporción fija. No obstante, en las es-quinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia, la pendiente de estas últimas no está defini-da.

Un ejemplo típico de esta clase bienes es el té y el azúcar, o el café y el azúcar, o los coches y la gasolina. Estos pares de bienes siempre se consumen juntos en una proporción fija, no puede susti-

tuirse uno por otro. Son pares de bienes que se complementan uno a otro. De ahí el nombre de bie-nes complementarios perfectos.

Bienes neutrales

Un bien se considera neutral cuando la cantidad consumida de ese bien no afecta al nivel de utili-dad del consumidor, el cual sólo depende de la cantidad consumida del otro bien.

Las preferencias del consumidor pueden representarse, por ejemplo, mediante la siguiente fun-ción de utilidad:

()121,axxxu=

El segundo bien es neutral.

x2 u0<u1<u2 -8=RMS u0 u1 u2 x1 Figura 4.4. Segundo bien neutral

La RMS es la siguiente:

-8=-=-==02112aUMUMdxdxRMS

Las curvas de indiferencia son líneas rectas verticales, paralelas unas a otras. Al consumidor le da igual consumir el segundo bien, eso no afecta a su nivel de utilidad.

Males

Una mercancía se considera un �mal� en lugar de un bien, cuando el consumo de la misma redu-ce el nivel de utilidad del consumidor.

Consideremos que la primera mercancía es un �bien� y la segunda un �mal�. Las preferencias del consumidor pueden representarse, por ejemplo, mediante la siguiente función de utilidad:

()2121,bxaxxxu-=

x2 u0<u1<u2 0>RMS u0 u1 u2 x1 Figura 4.5. Segunda mercancía un mal

La RMS es la siguiente:

02112>=-==baUMUMdxdxRMS

Las curvas de indiferencia son líneas rectas crecientes, paralelas unas a otras. Si permanece constante el consumo del bien 2, a medida que aumenta el consumo del bien 1 (desplazamiento hacia la derecha) se incrementa el nivel de utilidad del consumidor; lo contrario sucede cuando per-maneciendo constante el consumo del bien 1, se incrementa el consumo del bien 2 (desplazamiento hacia arriba), entonces se reduce el nivel de utilidad del consumidor. Por consiguiente, para que el nivel de utilidad del consumidor permanezca constante de forma que nos estemos moviendo a lo largo de una curva de indiferencia, debe suceder que un aumento del consumo del bien 1 ha de com-pensarse con un aumento del consumo del �mal� 2. De ahí que las curvas de indiferencia sean para-dójicamente crecientes, contrariamente a lo que es normal en un mundo en que ambas mercancías son �bienes�.

Una mercancía se considera un �mal� en lugar de un �bien� para el consumidor, si le perjudica, o simplemente no le gusta tal mercancía.

Preferencias cuasilineales

Se representan, por ejemplo, mediante la siguiente función de utilidad:

()2121ln,bxxxxu+=

x2 u0<u1<u2 11bxRMS-= u2 u1 u0 x1 Figura 4.6. Preferencias cuasilineales

La RMS es la siguiente:

121121bxUMUMdxdxRMS-=-==

Como puede observarse, la RMS depende únicamente de la cantidad consumida del bien 1 (x1). De ahí que fijada la cantidad consumida de este último bien, la RMS, esto es, la pendiente de las curvas de indiferencia, permanece inalterada conforme nos desplazamos verticalmente hacia arriba, es decir, a medida que aumentamos la cantidad consumida del bien 2. Por este motivo, las curvas de indiferencia correspondientes son �traslaciones verticales� o �versiones desplazadas� unas de otras.

En el próximo capítulo se caracterizará la elección del consumidor que se deriva de este tipo de preferencias.

Preferencias Cobb-Douglas

Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

()dcxxxxu2121,=

x2 u0<u1<u2 dxcxRMS12-= u2 u1 u0 x1 Figura 4.7. Preferencias Cobb-Douglas

La RMS es la siguiente:

dxcxxdxxcxUMUMdxdxRMSdcdc121212112112-=-=-==--

A partir de aquí puede inferirse que las curvas de indiferencia poseen una curvatura regular, es decir, carecen de segmentos lineales. Esto es debido a que la RMS (la pendiente de las curvas de indiferencia) varía continuamente al variar la proporción en que son consumidos ambos bienes. Son el ejemplo típico de preferencias regulares: monótonas y estrictamente convexas.

Además, cualquier rayo vector que parte del origen de coordenadas, cuya pendiente es , esto es, la proporción en que se consumen ambos bienes, corta respectivamente a las sucesivas curvas de indiferencia en puntos tales que la RMS permanece inalterada. 12/xx

En el próximo capítulo se caracterizará la elección del consumidor que se deriva de este tipo de preferencias.

Capítulo 4

LA UTILIDAD

Glosario

Bienes complementarios perfectos: Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

()......=ßa2121,min,xxxxu

x2 -8=12/dxdx u0<u1<u2 12xxaß= RMS=0 u2 0/12=dxdx u1 u0 x1 Figura 4.3. Los bienes complementarios perfectos

Cualquiera que fuere el nivel de utilidad considerado, la cantidad consumida de ambos bienes, sin que exista exceso de ninguno de ellos, para alcanzar ese nivel de utilidad, exige el cumplimiento de la siguiente condición: ßa21xx=. Lo que implica que ambos bienes se consumen siempre en una pro-porción fija: ßa=21xx. a unidades del primer bien con ß unidades del segundo bien. Y esta condición se cumple precisamente en las esquinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia.

Esto quiere decir que la RMS es siempre cero para los bienes complementarios perfectos; dado que el consumidor no está dispuesto a intercambiar o sustituir un bien por otro, puesto que prefiere con-sumir ambos bienes en una proporción fija. No obstante, en las esquinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia, la pendiente de estas últimas no está definida.

Un ejemplo típico de esta clase bienes es el té y el azúcar, o el café y el azúcar, o los coches y la gasolina. Estos pares de bienes siempre se consumen juntos en una proporción fija, no puede susti-tuirse uno por otro. Son pares de bienes que se complementan uno a otro. De ahí el nombre de bie-nes complementarios perfectos.

Bienes neutrales: Un bien se considera neutral cuando la cantidad consumida de ese bien no afecta al nivel de utilidad del consumidor, el cual sólo depende de la cantidad consumida del otro bien.

Las preferencias del consumidor pueden representarse, por ejemplo, mediante la siguiente función de utilidad:

()121,axxxu=

El segundo bien es neutral.

x2 u0<u1<u2 -8=RMS u0 u1 u2 x1 Figura 4.4. Segundo bien neutral

La RMS es la siguiente:

-8=-=-==02112aUMUMdxdxRMS

Las curvas de indiferencia son líneas rectas verticales, paralelas unas a otras. Al consumidor le da igual consumir el segundo bien, eso no afecta a su nivel de utilidad.

Bienes sustitutivos perfectos: Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

()2121,bxaxxxu+=

x2 u0<u1<u2 =-aRMSb u0 u1 u2 x1 Figura 4.2. Los bienes sustitutivos perfectos

La RMS es la siguiente:

baUMUMdxdxRMS-=-==2112

Las curvas de indiferencia son líneas rectas decrecientes de pendiente constante e igual a �a/b.

Se trata de bienes tales como los lápices rojos y lápices azules, o la mantequilla y la margarina, que satisfacen la misma necesidad; de forma que al consumidor le resulta indiferente demandar uno u otro, por lo que siempre consumirá el más barato. De ahí que se denominen a tales bienes sustituti-vos perfectos.

Función de utilidad (ordinal): No es más que una forma matemática de describir las preferencias del consumidor. La función de utilidad lo que hace es asignar un número u (el nivel de utilidad) a cada cesta de bienes (x1,x2):

()21,xxuu=

De manera que:

� Dos cestas indiferentes dentro de las preferencias del consumidor tengan el mismo nivel de utilidad:

()().=2121,,yyuxxu(x1,x2)~(y1,y2)

� Y una cesta estrictamente preferida a otra tenga un nivel de utilidad mayor:

()()()()21212121,,,,yyxxyyuxxu...> Lo importante de la función de utilidad es que permite representar matemáticamente las preferencias del consumidor ordenando las cestas de bienes. La cuantía o magnitud del nivel de utilidad de dos cestas de bienes no tiene ninguna importancia.

Por este motivo, las mismas preferencias del consumidor pueden ser representadas matemáticamen-te por infinitas funciones de utilidad.

Males: Una mercancía se considera un �mal� en lugar de un bien, cuando el consumo de la misma reduce el nivel de utilidad del consumidor.

Consideremos que la primera mercancía es un �bien� y la segunda un �mal�. Las preferencias del consumidor pueden representarse, por ejemplo, mediante la siguiente función de utilidad:

()2121,bxaxxxu-=

x2 u0<u1<u2 0>RMS u0 u1 u2 x1 Figura 4.5. Segunda mercancía un mal

La RMS es la siguiente:

02112>=-==baUMUMdxdxRMS

Las curvas de indiferencia son líneas rectas crecientes, paralelas unas a otras.

Una mercancía se considera un �mal� en lugar de un �bien� para el consumidor, si le perjudica, o sim-plemente no le gusta tal mercancía.

Preferencias Cobb-Douglas: Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

()dcxxxxu2121,=

x2 u0<u1<u2 dxcxRMS12-= u2 u1 u0 x1 Figura 4.7. Preferencias Cobb-Douglas

La RMS es la siguiente:

dxcxxdxxcxUMUMdxdxRMSdcdc121212112112-=-=-==--

A partir de aquí puede inferirse que las curvas de indiferencia poseen una curvatura regular, es decir, carecen de segmentos lineales. Esto es debido a que la RMS (la pendiente de las curvas de indife-rencia) varía continuamente al variar la proporción en que son consumidos ambos bienes. Son el ejemplo típico de preferencias regulares: monótonas y estrictamente convexas.

Además, cualquier rayo vector que parte del origen de coordenadas, cuya pendiente es , esto es, la proporción en que se consumen ambos bienes, corta respectivamente a las sucesivas curvas de indiferencia en puntos tales que la RMS permanece inalterada. 12/xx

Preferencias cuasilineales: Se representan, por ejemplo, mediante la siguiente función de utilidad:

()2121ln,bxxxxu+=

x2 u0<u1<u2 11bxRMS-= u2 u1 u0 x1 Figura 4.6. Preferencias cuasilineales

La RMS es la siguiente:

121121bxUMUMdxdxRMS-=-==

Como puede observarse, la RMS depende únicamente de la cantidad consumida del bien 1 (x1 ). De ahí que fijada la cantidad consumida de este último bien, la RMS, esto es, la pendiente de las curvas de indiferencia, permanece inalterada conforme nos desplazamos verticalmente hacia arriba, es decir, a medida que aumentamos la cantidad consumida del bien 2. Por este motivo, las curvas de indife-rencia correspondientes son �traslaciones verticales� o �versiones desplazadas� unas de otras.

Transformación monótona creciente de la función de utilidad: No es más que otra función de utilidad que representa las mismas preferencias del consumidor que la función de utilidad de partida, dado que mantiene la misma ordenación de las cestas de bienes.

Decimos que la función de utilidad ()21,xxvv= es una transformación monótona creciente de la función de utilidad ()21,xxuu= que representa las preferencias del consumidor:

()ufv=

si la función es creciente, esto es, si su primera derivada es positiva: ()uf()0>'uf.

Ello quiere decir que, dadas dos cestas cualesquiera de bienes con los siguientes niveles de utilidad u1 y u2, tal que , de manera que 21uu<012>.=-uuu; entonces resulta que , esto es, . 012>-=.vvv21vv<

En resumen, si dos cestas cualesquiera de bienes tienen el mismo nivel de utilidad en la función de utilidad u, también tendrán el mismo nivel de utilidad en la función de utilidad v. Aunque, lógicamente, por tratarse de funciones utilidad distintas, los niveles de utilidad de las cestas de bienes en u y en v sean también distintos. Y si una cesta tiene un mayor nivel de utilidad que otra en la función de utili-dad u, también tendrá un mayor nivel de utilidad en la función de utilidad v.

Una transformación monótona creciente de la función de utilidad deja inalterada la Relación Marginal de Sustitución (RMS), en cambio afecta a las utilidades marginales de los bienes.

Utilidad marginal: Es la variación en el nivel de utilidad del consumidor cuando varía en una unidad la cantidad consu-mida de un bien, permaneciendo constante la cantidad consumida del otro.

Es la derivada parcial de la función de utilidad:

2,1),(21=..=jxxxuUMjj

La utilidad marginal de un bien depende de la función de utilidad que estemos manejando. Por tanto, cualquier transformación monótona creciente de la función de utilidad afecta a las utilidades margina-les de los bienes.

UN �MAL� EN UNA FUNCIÓN DE UTILIDAD COBB-DOUGLAS

Consideremos otro ejemplo de función de utilidad del tipo Cobb-Douglas en la que uno de los bienes es un �mal�:

1212(,)abuxxxx-=

donde a y b son parámetros positivos.

Estudiemos esta función de utilidad:

a) Es evidente que el nivel de utilidad del consumidor aumenta a medida que aumenta . Lue-go la primera mercancía es efectivamente un bien para el consumidor. 1xb) Es evidente que el nivel de utilidad del consumidor disminuye a medida que aumenta . Luego la segunda mercancía es un �mal� para el consumidor. 2x

Obtengamos la relación marginal de sustitución:

112121122110abbauxdxaxxaxRMSdxuxbxxbx----..==-=-=>..-

Luego las curvas de indiferencia son líneas crecientes.

Estudiemos ahora su curvatura. Para ello veamos cómo varía la RMS, puesto que se trata de la pendiente de las curvas de indiferencia, a medida que varía la cantidad consumida del bien 1:

()212221222221111dxxxdxdxaxRMSaabxdxbxbx-.===-.

Por consiguiente, a la vista de esta expresión pueden presentarse tres casos:

a) Cuando , tenemos a>22210dxdx>. Entonces las curvas de indiferencia son curvas convexas y tienen una curvatura regular, dado que la RMS, que es positiva, crece continua-mente a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1. b) Cuando , tenemos a=22210dxdx=. Entonces las curvas de indiferencia son líneas rectas, dado que la RMS permanece constante a medida que aumenta la cantidad consumi-da del bien 1.

c) Cuando , tenemos ab<22210dxdx<. Entonces las curvas de indiferencia son curvas cóncavas y tienen una curvatura regular, dado que la RMS, que es positiva, decrece conti-nuamente a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1.

Considerando las curvas de indiferencia correspondientes al caso a tendríamos el siguiente gráfi-co representativo de la elección óptima del consumidor:

x2 curvas de indiferencia cesta óptim m/p1 x1

No obstante, al ser las curvas de indiferencia líneas crecientes en los tres casos contemplados con anterioridad, la cesta óptima es siempre una cesta de esquina cualquiera que fuere el valor de los parámetros a y b. De forma que el consumidor siempre gasta toda su renta en adquirir el primer bien, y no consume nada de la segunda mercancía que es un �mal�:

**1120xmpx==

UTILIDAD CARDINAL Y UTILIDAD ORDINAL

Vamos a comparar ambas concepciones de la función de utilidad del consumidor, señalando sus respectivas características.

Utilidad cardinal � Exige establecer una escala, es decir, un origen y una unidad de medida del nivel de satisfac-ción del consumidor al consumir las diferentes cestas de bienes. � Por tanto, cada cesta de bienes lleva asociado un nivel de utilidad, esto es, el correspondien-te nivel de satisfacción del consumidor al consumirla; y esto abarca todas las cestas de bie-nes imaginables. � La diferencia de utilidad entre dos cestas de bienes refleja la diferencia en el nivel de satis-facción del consumidor. � Elegido el origen y la unidad de medida, la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor es única. No admite ninguna transformación monótona que no sea un cambio de la escala en que se miden las preferencias del consumidor (el origen y la unidad de medi-da). � La utilidad marginal es decreciente para cada bien.

La utilidad cardinal se basa en un supuesto restrictivo (la posibilidad de medir el nivel de satisfac-ción del consumidor), innecesario para estudiar el comportamiento de este último en un ambiente de certidumbre. Utilidad ordinal Tiene las siguientes características:

� Requiere la ordenación completa de todas las cestas de bienes imaginables basándose en las preferencias del consumidor. � Conlleva la posibilidad de comparar dos cestas de bienes cualesquiera y de establecer el or-den de preferencia de ambas cestas por parte del consumidor. � Cualquier transformación monótona creciente de una función de utilidad ordinal es otra fun-ción de utilidad ordinal que representa las mismas preferencias del consumidor, dado que mantiene la misma ordenación de las cestas de bienes. � La utilidad marginal depende de la función de utilidad elegida como representación de las pre-ferencias del consumidor. La relación marginal de sustitución (RMS), en cambio, permanece inalterada ante una transformación monótona creciente de la función de utilidad.

� La RMS entre dos bienes es decreciente a media que aumenta la cantidad consumida de uno de ellos. En cambio, las utilidades marginales de ambos bienes no tienen por qué ser decre-cientes, salvo si se trata de una función de utilidad aditiva.

En este caso, la utilidad marginal correspondiente a cada bien depende exclusivamente de la can-tidad consumida de ese bien, y no de la cantidad consumida del otro bien. Tomemos como ejemplo de una función de utilidad aditiva la siguiente función de utilidad cuasili-neal:

1212(,)lnuxxxbx=+

De aquí fácilmente se obtiene:

1211UMUMbx==

Evidentemente, la utilidad marginal correspondiente al primer bien es decreciente a medida que aumenta el consumo de ese bien, y es independiente de la cantidad consumida del segundo bien. La utilidad marginal correspondiente al segundo bien constante.

La relación marginal de sustitución:

1211UMRMSUMbx==

es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del primer bien.

Capítulo 4

LA UTILIDAD

Utilidad ordinal versus utilidad cardinal No acabo de comprender bien qué ventaja tiene el uso de la utilidad ordinal frente a la utilidad cardinal.

Es más fácil ordenar las cestas de bienes de acuerdo con las preferencias que medir el nivel de satis-facción del consumidor con cada cesta de bienes, lo cual es muy difícil.

Desde un punto de vista analítico, por tanto, es mucho menos restrictiva la utilidad ordinal que la utili-dad cardinal. Por eso se utiliza la primera y no la segunda.

Utilidad cardinal: transformación monótona creciente El problema entiendo que proviene del hecho de que la utilidad cardinal no se preserva mediante transformaciones monótonas crecientes, cosa que la utilidad ordinal sí.

No es eso en absoluto. En la utilidad cardinal, si cambiamos la escala en la que se miden las prefe-rencias (el origen o la unidad de medida del nivel de satisfacción de consumidor) tenemos otra fun-ción de utilidad cardinal que representa las mismas preferencias. Es como si hubiéramos realizado una transformación monótona creciente. Ocurre algo parecido cuando al medir la temperatura cam-biamos de la escala centígrada a la escala Fahrenheit, o a la inversa.

Utilidad cardinal: alteración del nivel de precios Supongamos que los precios se multiplican por 2. Entiendo que este cambio no afectará a la utilidad ordinal; pero ¿cómo afecta esto a la utilidad cardinal?

No le afecta en absoluto, dado que la elección del consumidor, cualquiera que fuere la representación de la utilidad que se maneje, sólo viene afectada por los precios relativos y no por el nivel de precios.

Para ser más precisos hay que decir que la variación del nivel de precios, permaneciendo constantes los precios relativos, sólo afecta a la elección del consumidor si y sólo si la renta real del consumidor se ve afectada.

Como bien sabemos, un aumento del nivel de precios, si va acompañado de un aumento de la renta monetaria en la misma proporción, da lugar a que la renta real del consumidor no se vea alterada. En tal caso, la recta presupuestaria sería la misma y, dadas las preferencias, la elección del consumidor tampoco se alteraría.

Por tanto, para que una variación del nivel de precios afecte a la elección del cons

umidor, debe alte-rarse la recta presupuestaria, y para ello no puede permanecer constante la renta real de consumidor. Éste es precisamente el caso bien conocido en que el nivel de precios aumenta, permaneciendo constante la renta monetaria, y su efecto es como si tuviera lugar una reducción del nivel de renta

real; de ahí un desplazamiento paralelo de la recta presupuestaria acercándose al origen de coorde-nadas. Con lo cual, la elección del consumidor se vería alterada.

Capítulo 5

LA ELECCIÓN

Breve introducción

El estudio del comportamiento del consumidor se centra en la elección que éste lleva a cabo cuando, disponiendo de un determinado nivel de renta y enfrentándose a los precios de mercado de los bie-nes en cuestión, adquiere la cesta o cestas de bienes que le resultan preferidas. Por este motivo, la elección del consumidor se centra en la maximización de la función de utilidad que representa sus preferencias, sujeta a la restricción presupuestaria a la que se enfrenta. Éste es el contenido del pre-sente capítulo.

Capítulo 5

LA ELECCIÓN

Cualquier consumidor siempre elige la mejor cesta de bienes que está a su alcance dadas sus prefe-rencias, esto es, que le resulta asequible dados los precios de los bienes a los que se enfrenta y la renta de la que disfruta.

Considerando que las preferencias son regulares (monótonas y estrictamente convexas), la elec-ción del consumidor le situará siempre en algún punto de la recta presupuestaria y no en el interior del conjunto presupuestario, dado que la monotonicidad de las preferencias exige que este último gaste toda su renta, al excluir en estas últimas la existencia de algún punto de saciedad o saturación.

Por otra parte, el consumidor típico elegirá, de entre las cestas de bienes situadas en la recta pre-supuestaria, aquella que pertenezca a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad; dado que su objetivo es precisamente maximizar este último con la elección que lleva a cabo, que, por este moti-vo, recibe el nombre de elección óptima.

x2 Curvas de indiferencia Elección óptima x2* x1* x1 Figura 5.1. La elección óptima

En consecuencia, la cesta que constituye la elección óptima del consumidor se corresponderá con el punto de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia a la que pertenece tal cesta de bienes; en ese punto la recta presupuestaria y la curva de indiferencia en cuestión deben tener ambas la misma pendiente. Esto es lo que se conoce normalmente como la condición de tan-gencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia, que debe cumplir la elección óptima del consumidor cuando las preferencias son regulares.

Es lo que se entiende normalmente por elección óptima interior u óptimo interior, que conlleva que el consumidor demanda una cantidad positiva de ambas mercancías.

En ningún caso la recta presupuestaria puede cortar a la curva de indiferencia en el punto que re-presenta geométricamente la cesta de bienes que constituye la elección óptima del consumidor. Dado que si lo hiciera, siempre sería posible incrementar el nivel de utilidad del consumidor desplazándose a lo largo de la recta presupuestaria hasta alcanzar una curva de indiferencia de mayor nivel de utili-dad. Por lo que, de este modo, el consumidor de hecho no estaría maximizando su nivel de utilidad, en contra de lo que realmente pretende, y, de ahí, la elección realizada no sería óptima, en contra de lo que hemos supuesto.

Sin embargo, existen ciertos tipos de preferencias que conllevan una elección óptima por parte del consumidor tal que no cumple la llamada condición de tangencia. Lo que siempre es cierto es que la recta presupuestaria no puede cortar a la curva de indiferencia en el punto que es la representación geométrica de la cesta de bienes que constituye la elección óptima del consumidor.

Se trata de los llamados óptimos de esquina, en los que, a diferencia de los óptimos interiores, no se cumple la condición de tangencia. En los primeros la recta presupuestaria simplemente toca a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad en el punto que constituye la elección óptima del con-sumidor, sin ser tangente a esta última, esto es, sin tener ambas, la recta presupuestaria y la curva de indiferencia, la misma pendiente. Es el caso de aquellas preferencias, a las que nos referiremos pos-teriormente, que conllevan la elección de una cesta óptima por parte del consumidor constituida por una cantidad positiva de una única mercancía, elección que, por tanto, está situada en algún punto de los ejes de coordenadas.

x2 Curvas de indiferencia Elección óptima Recta presupuestaria x1* x1 Figura 5.2. El óptimo de esquina

Ahora bien, si consideramos solamente los óptimos interiores, en los que se consume una canti-dad positiva de ambas mercancías, la condición de tangencia resulta ser una condición necesaria, siempre que las curvas de indiferencia no posean vértices o puntos angulares donde la pendiente no está definida; dado que si la recta presupuestaria y la curva de indiferencia no fueran tangentes en el punto que estemos considerando se cortarían en ese punto, dada la curvatura regular de las curvas de indiferencia.

No obstante, la condición de tangencia no es una condición suficiente para la optimalidad de la cesta de bienes elegida por el consumidor en un óptimo interior. Puesto que si las preferencias no son convexas, puede suceder que una cesta de bienes donde se cumple la condición de tangencia no resulte la elección óptima del consumidor que maximiza su nivel de utilidad.

x2 Curvas de indiferencia Cestas óptimas Cesta no óptima x1 Figura 5.3. Más de un punto de tangencia

Ahora bien, si las preferencias del consumidor son convexas, la condición de tangencia resulta ser suficiente, además de necesaria, para determinar la elección óptima (interior) de aquél.

No obstante, la cesta de mercancías elegida por el consumidor no tiene por qué ser única; pueden resultar óptimas varias cestas de mercancías. En cambio, si las preferencias son estrictamente con-vexas, exigencia fundamental que deben satisfacer las preferencias regulares, entonces las curvas de indiferencia carecen de segmentos lineales, esto es, poseen una curvatura regular; y de ahí resulta que la elección óptima del consumidor, que satisface la condición de tangencia, es además única. Véase al respecto la Figura 5.1.

Desde un punto de vista formal, la condición de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta de bienes que constituye la elección óptima (interior) del consumidor se expresa del siguiente modo:

2112ppdxdxRMS-==

Efectivamente, la RMS no es más que la pendiente de la curva de indiferencia y 21pp- es la pen-diente de la recta presupuestaria. Ambas deben ser iguales.

La interpretación económica de la condición de tangencia es la siguiente: puesto que la RMS es el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor está dispuesto a renunciar con objeto de aumentar en una unidad el consumo de la primera mercancía, manteniéndose dentro de la misma curva de indiferencia. Y, por otra parte, la pendiente de la recta presupuestaria:

12122112dxppdxppdxdx-=-=

no es más que el coste de oportunidad de la primera mercancía en términos de la segunda, esto es, el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor debe sacrificar para adquirir en el mercado una unidad adicional de la primera mercancía a los precios vigentes, al gastar toda su renta en la elección.

La condición de tangencia en el equilibrio del consumidor exige que el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor está dispuesto a renunciar para disfrutar de una unidad adi-cional de la primera, manteniendo su nivel de bienestar, debe coincidir con el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor debe sacrificar para adquirir en el mercado una unidad adi-cional de la primera mercancía.

Si no fuera así, el consumidor siempre podría incrementar su nivel de utilidad reasignando el gas-to entre ambos bienes, con lo que su elección no sería óptima.

Efectivamente, la condición de tangencia a la que nos venimos refiriendo puede expresarse del siguiente modo:

212112ppUMUMdxdxRMS-=-==

Por lo que resultará:

2121ppUMUM=

Pudiendo rescribirse de la siguiente forma:

2211pUMpUM=

Esta expresión se conoce con el nombre de ley de la igualdad de las utilidades marginales ponde-radas. La cual debe cumplirse en el equilibrio del consumidor, esto es, cuando éste ha elegido la ces-ta que considera óptima, dadas sus preferencias.

Su interpretación económica es la siguiente: la elección óptima del consumidor debe ser tal que la última unidad monetaria gastada en cada uno de los bienes ha de proporcionarle la misma utilidad.

Si esto no fuera así, el consumidor no estaría maximizando su utilidad con la elección llevada a cabo. Por ejemplo, si la última unidad monetaria gastada en el primer bien le proporcionara una ma-yor utilidad que la gastada en el segundo bien, la cesta elegida por el consumidor no sería óptima. A este último le interesaría reducir el consumo del bien 2 e incrementar el consumo del bien 1. Mediante esta reasignación del gasto entre ambos bienes su nivel de utilidad se vería incrementado.

La demanda del consumidor

Tomando como punto de partida las preferencias del consumidor, dados los precios de los bienes y el nivel de renta este último elige la cesta de bienes que maximiza su utilidad, la cesta óptima.

Ahora suponemos que varía la renta, o bien los precios de los bienes; en tal caso la cesta óptima elegida por el consumidor normalmente será diferente.

Por este motivo, el comportamiento del consumidor puede plasmarse en una función matemática que se denomina la función de demanda del consumidor, la cual nos indica la cantidad demandada por este último de cada uno de los bienes para cada nivel de renta y los respectivos precios de am-bos bienes:

()()mppxxmppxx,,,,21222111==

Lógicamente, la forma que adopta función de demanda del consumidor depende completamente de las características de las preferencias de este último.

Algunos ejemplos de funciones de demanda Bienes sustitutivos perfectos

x2 Curvas de indiferencia baRMS-= Recta presupuestaria Elección x1*=m/p1 x1 Figura 5.4. La elección óptima con sustitutivos perfectos

Función de utilidad: ()2121,bxaxxxu+=

Relación Marginal de Sustitución: aRMSb=-

En la elección óptima por parte del consumidor se dan tres casos:

� Cuando 12papb<, esto es, cuando la recta presupuestaria es menos inclinada, tiene menor pendiente, que las curvas de indiferencia. Tendremos un óptimo de esquina; de forma que el consumidor gastará toda la renta adquiriendo una determinada cantidad del bien 1, sin con-sumir nada del bien 2. La función de demanda será:

0/211==xpmx � Cuando 12papb>, esto es, cuando la recta presupuestaria es más inclinada, tiene mayor pendiente, que las curvas de indiferencia. Tendremos un óptimo de esquina; de forma que el consumidor gastará toda la renta en el consumo del bien 2. La función de demanda será:

221/0pmxx== � Cuando bapp=21, esto es, cuando la recta presupuestaria tiene la misma pendiente que las curvas de indiferencia. En ese caso la cantidad demandada de cada uno de los bienes se en-cuentra indeterminada, y puede ser cualquiera que satisfaga estrictamente la restricción pre-supuestaria.

Bienes complementarios perfectos x2 Curvas de indiferencia Elección óptima x2* Recta x1* x1 Figura 5.5. La elección óptima con complementarios perfectos

Función de utilidad: 1212(,)min,xxuxxaß..=....

La elección óptima siempre se sitúa en las esquinas o puntos angulares de las curvas de indife-rencia, cualquiera que fueren los precios de los bienes, siempre que sean positivos, esto es, cualquie-ra que fuere la inclinación de la recta presupuestaria.

Como vimos en el capítulo anterior, tales puntos angulares se caracterizan porque ambos bienes se consumen en una proporción fija: 12xxaß=.

Por lo que teniendo en cuenta la restricción presupuestaria, la función de demanda correspon-diente a este tipo de preferencias será:

ßaßßaa212211ppmxppmx+=+=

Bienes neutrales

x2 Curvas de indiferencia Recta presupuestaria Elección óptima x1*=m/p1 x1 Figura 5.6. La elección óptima cuando el segundo bien es neutral

Función de utilidad: ()121,axxxu=

Relación Marginal de Sustitución: -8=-=0aRMS

Puesto que las curvas de indiferencia son líneas rectas verticales, la recta presupuestaria tocará a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad en un punto del eje de abscisas. La elección del consumidor será un óptimo de esquina, con lo que este último gastará toda su renta en adquirir el primer bien y no consumirá nada de la segunda mercancía que es un bien neutral:

0/211==xpmx

Males

x2 Curvas de indiferencia Recta presupuestaria Elección óptima x1*=m/p1 x1 Figura 5.7. La elección óptima cuando la segunda mercancía es un �mal�

Función de utilidad: ()2121,bxaxxxu-=

Relación Marginal de Sustitución: 0>=baRMS

Puesto que las curvas de indiferencia son líneas rectas de pendiente positiva, la recta presupues-taria tocará a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad en un punto del eje de abscisas. La elección del consumidor será un óptimo de esquina, con lo que este último gastará toda su renta en adquirir el primer bien y no consumirá nada de la segunda mercancía que es un mal:

0/211==xpmx

Preferencias cóncavas

x2 Curvas de indiferencia Elección no óptima Recta presupuestaria Elección óptima x1*=m/p1 x1 Figura 5.8. La elección óptima con preferencias cóncavas

En este tipo de preferencias, la cesta que cumple la condición de tangencia no es óptima. Dado que la recta presupuestaria toca a una curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad que resulta ser un óptimo de esquina. La condición de tangencia, pues, no es una condición necesaria que deba cumplir la cesta óptima elegida por el consumidor dentro de este tipo de preferencias.

El consumidor demanda una cantidad positiva de uno de los bienes en el que gasta toda su renta, no consumiendo nada del otro bien.

Preferencias cuasilineales

Función de utilidad: ()2121ln,bxxxxu+=

Relación Marginal de sustitución: 11bxRMS-=

Condición de tangencia: 2111ppbxRMS-=-=

Función de demanda: bpmxbppx122121-==

Preferencias Cobb-Douglas

Función de utilidad: ()dcxxxxu2121,=

Relación Marginal de Sustitución: dxcxRMS12-=

Condición de tangencia: 2112ppdxcxRMS-=-=

Función de demanda: 2211pmdcdxpmdccx+=+=

Capítulo 5

LA ELECCIÓN

Glosario

Condición de tangencia: Se cumple la �condición de tangencia� en la cesta óptima elegida por el consumidor cuando la recta presupuestaria y la curva de indiferencia en cuestión tienen ambas la misma pendiente, es decir, son tangentes.

La �condición de tangencia� debe cumplirla la elección óptima del consumidor cuando las preferencias son regulares (monótonas y estrictamente convexas).

x2 Curvas de indiferencia Elección x2* x1* x1 Figura 5.1. La elección óptima

En cambio no se cumplirá cuando las curvas de indiferencia tienen vértices o puntos angulares donde la pendiente no está definida, o las preferencias son cóncavas, o bien se trata de un óptimo de esqui-na.

Desde un punto de vista formal, la condición de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta de bienes que constituye la elección óptima (interior) del con-sumidor se expresa del siguiente modo:

2112ppdxdxRMS-==

La condición de tangencia en el equilibrio del consumidor exige que el número de unidades de la se-gunda mercancía que el consumidor está dispuesto a renunciar para disfrutar de una unidad adicional de la primera, manteniendo su nivel de bienestar, debe coincidir con el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor debe sacrificar para adquirir en el mercado una unidad adicio-nal de la primera mercancía.

Si no fuera así, el consumidor siempre podría incrementar su nivel de utilidad reasignando el gasto entre ambos bienes, con lo que su elección no sería óptima.

Elección óptima del consumidor: Le situará siempre en algún punto de la recta presupuestaria y no en el interior del conjunto presu-puestario, dado que la monotonicidad de las preferencias exige que este último gaste toda su renta, al excluir en estas últimas la existencia de algún punto de saciedad o saturación.

El consumidor típico elegirá, de entre las cestas de bienes situadas en la recta presupuestaria, aque-lla que pertenezca a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad; dado que su objetivo es preci-samente maximizar este último con la elección que lleva a cabo, que, por este motivo, recibe el nom-bre de elección óptima.

En ningún caso la recta presupuestaria podrá cortar a la curva de indiferencia en el punto que repre-senta geométricamente la cesta de bienes que constituye la elección óptima del consumidor. Dado que si lo hiciera, siempre sería posible incrementar el nivel de utilidad del consumidor desplazándose a lo largo de la recta presupuestaria hasta alcanzar una curva de indiferencia de mayor nivel de utili-dad.

Elección óptima (de esquina): Se trata de los llamados óptimos de esquina, en los que, a diferencia de los óptimos interiores, no se cumple la condición de tangencia. En los primeros la recta presupuestaria simplemente toca a la cur-va de indiferencia de mayor nivel de utilidad en el punto que constituye la elección óptima del consu-midor, sin ser tangente a esta última, esto es, sin tener ambas, la recta presupuestaria y la curva de indiferencia, la misma pendiente.

Es el caso de aquellas preferencias que conllevan la elección de una cesta óptima por parte del con-sumidor constituida por una cantidad positiva de una única mercancía, elección que, por tanto, está situada en algún punto de los ejes de coordenadas.

x2 Curvas de indiferencia Elección Recta presupuestaria x1* x1 Figura 5.2. El óptimo de esquina

Elección óptima (interior): Elección óptima interior u óptimo interior conlleva que el consumidor demanda una cantidad positiva de ambas mercancías.

La condición de tangencia resulta ser una condición necesaria que debe cumplir la elección óptima del consumidor, siempre que las curvas de indiferencia no posean vértices o puntos angulares donde la pendiente no está definida.

En el caso de las preferencias regulares (monótonas y estrictamente convexas) la condición de tan-gencia es una condición necesaria y suficiente que debe cumplir la elección óptima del consumidor. En este caso, además, la cesta elegida por el consumidor será única, dados los precios de los bienes y la renta de aquél.

Función de demanda del consumidor: Tomando como punto de partida las preferencias del consumidor, dados los precios de los bienes y la renta de este último, aquél elige la cesta de bienes que maximiza su utilidad, la cesta óptima.

Ahora suponemos que varía la renta, o bien los precios de los bienes; en tal caso la cesta óptima elegida por el consumidor normalmente será diferente.

Por este motivo, el comportamiento del consumidor puede plasmarse en una función matemática que se denomina la función de demanda del consumidor, la cual nos indica la cantidad demandada por este último de cada uno de los bienes para cada nivel de renta y los respectivos precios de ambos bienes:

()()mppxxmppxx,,,,21222111==

Lógicamente, la forma que adopta función de demanda del consumidor depende completamente de las características de las preferencias de este último.

Ley de la igualdad de las utilidades marginales ponderadas: La condición de tangencia que debe cumplirse en un óptimo interior cuando las preferencias son re-gulares puede rescribirse de la siguiente forma:

2211pUMpUM=

Esta expresión se conoce con el nombre de ley de la igualdad de las utilidades marginales pondera-das.

Su interpretación económica es la siguiente: la elección óptima del consumidor debe ser tal que la última unidad monetaria gastada en cada uno de los bienes ha de proporcionarle la misma utilidad.

Si esto no fuera así, el consumidor no estaría maximizando su utilidad con la elección llevada a cabo. Por ejemplo, si la última unidad monetaria gastada en el primer bien le proporcionara una mayor utili-dad que la gastada en el segundo bien, la cesta elegida por el consumidor no sería óptima. A este último le interesaría reducir el consumo del bien 2 e incrementar el consumo del bien 1. Mediante esta reasignación del gasto entre ambos bienes su nivel de utilidad se vería incrementado.

CONVEXIDAD DE LAS PREFERENCIAS

La convexidad estricta de las preferencias tiene su justificación cuando dos bienes satisfacen necesi-dades distintas, por ejemplo ir al cine y consumir helados.

Lo deseable es situarse en el término medio. Siempre es preferible consumir ambos bienes en lu-gar de uno sólo. Si bien las preferencias del individuo afectan a la proporción en que se consumen ambos bienes. Por ejemplo, un individuo preferirá gastar el 90 por ciento de su presupuesto en ir al cine y el 10 por ciento restante en comprarse helados. En cambio, otros individuos preferirán la asig-nación del gasto contraria: 90 por ciento en comprar helados y 10 por ciento en ir al cine.

Pero la mayoría de los consumidores deseará consumir ambos bienes deseables, que satisfacen necesidades distintas, y no sólo uno de ellos. De ahí que las cestas óptimas elegidas por los consu-midores sean interiores cuando las preferencias son estrictamente convexas.

Como ejemplo de preferencias convexas pero no estrictamente convexas puede considerase las correspondientes a los bienes sustitutivos perfectos. Aquí ambos bienes satisfacen la misma necesi-dad, por lo que es perfectamente posible que se consuma tan sólo uno de ellos; esto es, que ambos bienes no se consuman en diferentes proporciones.

Al ser las preferencias de los bienes sustitutivos perfectos convexas, pero no estrictamente con-vexas, resulta que:

a) Hay cestas óptimas de esquina. En este caso, la cesta óptima es única en cada caso. b) Hay múltiples cestas óptimas interiores cuando 12papb=. Esto es, el consumidor elige to-das las cestas de la recta presupuestaria (caso de cesta óptima interior no única).

El modelo de comportamiento del consumidor, objeto de estudio del presente curso de microeco-nomía, requiere que las preferencias de aquél sean estrictamente convexas (preferencias regulares), con objeto de garantizar que la cesta óptima sea única en todos los casos.

De esta forma pueden obtenerse las correspondientes funciones de demanda, las cuales asignan a cada valor que tomen los precios de los bienes y el nivel de renta la correspondiente cesta de bie-nes óptima.

En el caso de que para un conjunto de precios y nivel de renta el consumidor demandara varias cestas óptimas simultáneamente, entonces las funciones de demanda no serían funciones matemáti-cas sino correspondencias.

CONDICIONES DE KUHN-TUCKER Y CESTA ÓPTIMA DE ESQUINA

La elección del consumidor puede materializarse en el siguiente problema a resolver:

1212,1122Maximizar(,)sujeta axxuxxpxpxm+=

Se toma la siguiente función auxiliar denominada lagrangiano:

()121212(,,)(,)Lxxuxxpxpxm..=-+

Multiplicador de Lagrange:

1110LUMpx..=-=.

2220LUMpx..=-=.

11220Lpxpxm..=+-=.

Condiciones de Kuhn-Tucker:

1110LUMpx..=-=.

2220LUMpx..=-=.

11220Lpxpxm..=+-=.

Como puede observarse, las condiciones de Kuhn-Tucker son más generales que el méto-do del multiplicador de Lagrange. Este último sólo admite óptimos interiores, en cambio las condiciones de Kuhn-Tucker contemplan simultáneamente la posibilidad de los óptimos de esquina, como vamos a ver seguidamente.

El multiplicador de Lagrange, tal como se demuestra en cursos avanzados, puede interpre-tarse en términos económicos como la utilidad marginal de la renta:

12(,)uxxm..=.

Esto es, la variación que tiene lugar en el nivel de utilidad del consumidor originada por una variación del nivel de renta en una unidad lo suficientemente pequeña.

Esto nos lleva a la siguiente interpretación:

1211121(,)(,)uxxxUMmuxxmx....==...

El cociente entre la utilidad marginal correspondiente al primer bien y la utilidad marginal de la renta, puede interpretarse como el gasto que está dispuesto a llevar a cabo el consumidor para adquirir en el mercado una unidad del primer bien. En otras palabras, el precio que está dispuesto a pagar el consumidor por adquirir una unidad del primer bien.

Como puede observarse fácilmente, el equilibrio del consumidor exige el cumplimiento para el primer bien, dentro de las condiciones más generales de Kuhn-Tucker, de lo siguiente:

11UMp.=

Por tanto, si se da la desigualdad estricta, lo que está dispuesto a pagar el consumidor por adquirir en el mercado una unidad del primer bien sería inferior al precio que tiene que pagar, en este caso la cantidad consumida del primer bien sería cero. Se trataría de una cesta óptima de esquina.

En cambio, si se da la igualdad estricta, lo que está dispuesto a pagar el consumidor por adquirir en el mercado una unidad del primer bien coincide con el precio que realmente tiene que pagar por este motivo; en este caso el consumidor demandaría una cantidad positiva del primer bien. Si ocurriera lo mismo para el segundo bien, estaríamos ante una cesta óptima interior, tal cual se obtiene empleando el método menos general del multiplicador de Lagrange, como puede observarse a primera vista en las anteriores expresiones matemáticas.

Es evidente que al cumplirse en un óptimo interior:

1212UMUMpp..==

Dividiendo ambas igualdades miembro a miembro obtendríamos la conocida condición de equilibrio del consumidor:

1122UMpRMSUMp==

Supongamos ahora que la cesta óptima elegida por el consumidor es tal que cumple:

1212UMUMpp..=<

Es evidente que estamos ante un óptimo de esquina. El consumidor demandaría una canti-dad positiva del primer bien y, en cambio, no consumiría nada del segundo.

Dividiendo ambas expresiones miembro a miembro obtendríamos:

1122UMpRMSUMp=>

En consecuencia, en un óptimo de esquina de estas características (consumo de una canti-dad positiva del primer bien y nada del segundo), la pendiente de la curva de indiferencia en el punto que define la cesta óptima es mayor en valor absoluto que la pendiente de la recta pre-supuestaria. Lo contrario sucedería si se consumiera una cantidad positiva del segundo bien y nada del primero.

Lo que es evidente, como ya sabíamos, es que la curva de indiferencia y la recta presu-puestaria no son tangentes en los óptimos de esquina, es decir, no tienen ambas líneas la misma pendiente en el punto que define la cesta de bienes óptima. Simplemente, ambas líneas coinciden en ese punto.

Además, si en esta última expresión matemática hacemos 21p=, podemos interpretar la RMS en valor absoluto como la disposición marginal a pagar. Por tanto, esta última expresión nos indica que el consumidor está dispuesto a pagar una cantidad de dinero, detrayéndola del gasto destinado al consumo de otros bienes distintos del primero, superior a la que realmente tiene que pagar por adquirir en el mercado una unidad adicional del primer bien (su precio ). Pero no puede llevar a cabo su propósito dado que está gastando toda su renta en adquirir precisamente el primer bien. Por este motivo, la cesta elegida es óptima a pesar de no cumplir-se la condición de equilibrio de los óptimos interiores a la que estamos habituados (la condición de tangencia). 1p

Sabemos que en un óptimo interior se cumple:

1122UMpRMSUMp==

Luego, si el consumidor gasta toda su renta y elige una cesta interior tal que cumpliera, por ejemplo, la condición:

1122UMpRMSUMp=>

Tal cesta de bienes no sería óptima.

Forzosamente tendría que disminuir en valor absoluto la RMS para que se diera la igualdad y, por tanto, poder alcanzarse el equilibrio por parte del consumidor que maximiza la utilidad. Debido a que la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad con-

sumida del primer bien, el consumidor estaría interesado en aumentar el consumo del primer bien y en reducir la cantidad consumida del segundo bien.

Esto es posible en un óptimo interior, en el que el consumidor está demandando una canti-dad positiva de ambos bienes, pero no es posible en un óptimo de esquina como el precedente en el que no consume nada del segundo bien; dado que al gastar toda su renta en la elección, tendría que reducir el consumo del segundo bien para aumentar el correspondiente al primer bien, y esto es imposible.

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL CONSUMIDOR

Vamos a dar una explicación alternativa a la contenida en la Guía Didáctica de la respuesta correcta a la pregunta de test 5.11, cuyo enunciado es el siguiente:

Si el consumidor gasta toda su renta y elige una cesta de bienes tal que se cumple que 121UMUMpp>, entonces:

a) Tal cesta constituirá la elección óptima (interior) del consumidor. b) El consumidor estará interesado en aumentar la cantidad consumida del bien 1 y reducir la del 2 para alcanzar el óptimo. c) El consumidor estará interesado en disminuir la cantidad consumida del bien 1 y aumentar la del 2 para alcanzar el óptimo. d) El consumidor estará interesado en aumentar la cantidad consumida de ambos bienes para alcanzar el óptimo.

RESPUESTA: b.

Explicación: Si estamos ante un óptimo interior, esa cesta de bienes no puede constituir la elec-ción óptima del consumidor (respuesta a errónea), dado que se cumple:

1122UMpRMSUMp=>

Esto es, la RMS en valor absoluto es mayor que la pendiente de la recta presupuestaria, luego es-ta última y la curva de indiferencia no son tangentes en el punto correspondiente a la citada cesta de bienes supuestamente óptima.

Como forzosamente en un óptimo interior debe cumplirse que la RMS en valor absoluto debe ser igual al cociente de los precios de los bienes, entonces aquélla debe disminuir en valor absoluto para que esto ocurra en las presentes circunstancias.

Como bien sabemos, la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del primer bien.

Como el consumidor está gastando toda su renta, éste debe incrementar la cantidad consumida del primer bien y reducir la correspondiente al segundo para alcanzar la cesta óptima (respuesta b correcta).

En ningún caso el consumidor puede incrementar simultáneamente la cantidad consumida de ambos bienes, porque de hecho está gastando toda su renta y los precios de ambos bienes son posi-tivos (respuesta d errónea).

Si no consideráramos una elección óptima interior, la citada cesta de bienes podría constituir la elección óptima de esquina de algún individuo, en la que este último consume una cantidad positiva del primer bien y nada del segundo; dado que en los óptimos de esquina no se precisa que la curva de indiferencia y la recta presupuestaria sean tangentes. Consúltese al respecto el archivo Condicio-nes de Kuhn-Tucker donde se abordan los óptimos de esquina y se contempla este mismo caso.

En este supuesto óptimo de esquina el consumidor también está interesado en aumentar la canti-dad consumida del primer bien y en reducir la del segundo. Pero no puede llevar a cabo su propósito, a diferencia de lo que ocurre en el óptimo interior precedente, dado que de hecho no consume nada del segundo bien.

Capítulo 5

LA ELECCIÓN

Cesta óptima de esquina Revisando el libro veo que en la Figura 5.3 aparecen dibujadas unas curvas de indiferencia estrictamente convexas y sin embargo la cesta óptima no es interior sino de esquina, dado que el consumidor no demanda nada del bien 2. ¿Es esto posible?

Efectivamente, es posible, dado que por el hecho de tratarse de preferencias estrictamente convexas no se infiere necesariamente que todas las cestas óptimas deban ser interiores siempre.

La Figura 5.3 del libro de Varian puede estar intentando representar efectivamente unas preferencias estrictamente convexas. Bastaría con tomar la Figura 5.1 del mismo libro, que sí representa unas preferencias estrictamente convexas, y "subir" el eje de abscisas hasta que cortara a las curvas de indiferencia... para obtener la Figura 5.3.

En estas circunstancias, la aparición de una cesta óptima de esquina constituida por una cantidad positiva del bien 1 y una cantidad nula del bien 2, tiene lugar, independientemente de las característi-cas de las preferencias del consumidor, porque la pendiente de la recta presupuestaria es menor en valor absoluto (más horizontal) que la pendiente de la curva de indiferencia tomada en valor absoluto (RMS). Es decir, no se cumple la condición de tangencia que es propia de las cestas óptimas interio-res.

Se puede consultar al respecto el documento Condiciones de Kuhn-Tucker que figura en el módulo de contenidos del curso virtual en este mismo capítulo, donde se explica por qué en un óptimo de esquina, cualesquiera que sean las preferencias del consumidor, en el que éste demanda una canti-dad positiva del bien 1 y una cantidad nula del bien 2, se cumple que la pendiente de la curva de indi-ferencia es mayor en valor absoluto que la pendiente de la recta presupuestaria:

1122UMpRMSUMp=>

Ahora bien, todo esto no afecta para nada a la corrección del enunciado de la pregunta de test 5.6 de la Guía Didáctica: Cuando las preferencias son estrictamente convexas la elección óptima del consumidor satisface la condición de tangencia en un óptimo interior y además es única: a) VERDADERO. b) Falso.

Porque, como puede comprobarse, lo que se pregunta es si en un óptimo interior se satisface la con-

dición de tangencia cuando las preferencias son estrictamente convexas (VERDADERO), y además si la elección óptima conlleva una cesta de bienes única (VERDADERO). Como se ve claramente, la pregunta hace referencia a un óptimo interior y no a un óptimo de esquina, por lo que su enunciado es correcto.

Capítulo 6

LA DEMANDA

Breve introducción

Partamos de las funciones de demanda:

()()mppxxmppxx,,,,21222111==

Que nos indican las cantidades óptimas demandadas por el consumidor de cada uno de los bienes en función de los precios de éstos y de la renta.

A lo largo del presente capítulo vamos a realizar algunos ejercicios de estática comparativa a partir de tales funciones de demanda. Esto es, consideraremos cómo viene afectada la cantidad demandada de ambos bienes, esto es, la elección óptima del consumidor, cuando varía la renta y los precios permanecen constantes; o bien, cuando varía algún precio, y la renta y el otro precio permanecen constantes.

Capítulo 6

LA DEMANDA

Partamos de las funciones de demanda:

()()mppxxmppxx,,,,21222111==

Que nos indican las cantidades óptimas demandadas por el consumidor en función de los precios de ambos bienes y de la renta.

A lo largo del presente capítulo vamos a realizar algunos ejercicios de estática comparativa a par-tir de tales funciones de demanda. Esto es, consideraremos cómo viene afectada la cantidad deman-dada de ambos bienes, esto es, la elección óptima del consumidor, cuando varía la renta y los precios permanecen constantes; o bien, cuando varía algún precio y la renta y el otro precio permanecen constantes.

Variación de la cantidad demandada cuando varía la renta

Consideraremos que varía la renta y los precios de ambos bienes permanecen constantes. Por este motivo, la recta presupuestaria se desplaza paralelamente.

En este contexto, los bienes pueden clasificarse en bienes normales e inferiores. Los primeros son aquellos en los que la cantidad demandada aumenta al aumentar el nivel de renta: 01>dmdx. Los segundos son aquellos en los que la cantidad demandada disminuye al aumentar el nivel de ren-ta: 01<dmdx.

A medida que la renta aumenta la recta presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la dere-cha, con lo que tendremos las sucesivas cestas óptimas demandadas por el consumidor, las cuales cumplen la llamada condición de tangencia vista en el capítulo anterior. El lugar geométrico de tales cestas óptimas constituye lo que se denomina la curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta.

Si ambos bienes son normales la senda de expansión de la renta será una curva creciente. Y si un bien es normal y el otro inferior la senda de expansión de la renta será una curva decreciente.

x2 Curvas de indiferencia Rectas presupuestarias Senda de expansión de la renta Elecciones óptimas x1 Figura 6.1. Senda de expansión de la renta: ambos bienes son normales

x2 Curvas de indiferencia Senda de expansión de la renta Elecciones óptimas Rectas presupuestarias x1 Figura 6.2. Senda de expansión de la renta: el primer bien inferior, el segundo normal

Además, partiendo de las funciones de demanda de ambos bienes, al considerar los precios cons-tantes y variar sólo la renta obtenemos unas funciones especiales denominadas curvas de Engel, una para cada bien: ()()1122,xgmxgm==.

Si un bien es normal tendrá una curva de Engel creciente; si un bien es inferior tendrá una curva de Engel decreciente.

x2 x1 m Figura 6.3 A. Curva de Engel Figura 6.3 B. Curva de Engel Bien Normal Bien Inferior

Preferencias homotéticas

Son aquellas en las que la RMS, o bien es constante, o bien sólo depende de la proporción en que son consumidos ambos bienes y no de la cantidad consumida de estos últimos.

Tres ejemplos de preferencias homotéticas:

� En el caso de los sustitutivos perfectos la RMS en valor absoluto es a/b. � En el caso de los complementarios perfectos es cero, dado que los bienes se consumen siem-pre en la misma proporción. � En el caso de las preferencias Cobb-Douglas:

dxcxRMS12-=

Centrándonos en el caso de las preferencias Cobb-Douglas como ejemplo típico de preferencias regulares, éstas tienen la propiedad de que la RMS permanece constante a medida que nos move-mos a lo largo de cualquier rayo vector que parte del origen de coordenadas, cuya pendiente es pre-cisamente x2/x1. O, lo que es lo mismo, un rayo vector que parte del origen de coordenadas corta a las sucesivas curvas de indiferencia en puntos tales que la RMS es siempre la misma.

Por este motivo, la senda de expansión de la renta correspondiente a unas preferencias Cobb-Douglas es siempre un rayo vector que parte del origen de coordenadas; dado que como debe cum-plirse la condición de tangencia en un óptimo interior, al permanecer los precios constantes, la RMS debe permanecer también constante a medida que varía la renta.

x2 Curvas de indiferencia Elecciones óptimas 2112ppdxcxRMS-=-= Senda de expansión de la renta Rectas presupuestarias x1 Figura 6.4. Senda de expansión de la renta: Preferencias Cobb-Douglas Ejemplo de preferencias homotéticas

En general, las preferencias homotéticas dan lugar a una curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta que es siempre un rayo vector que parte del origen de coordenadas:

� En el caso de los bienes sustitutivos perfectos, se trata del eje de abscisas o el de ordenadas, según se consuma el primer bien o el segundo, respectivamente. � En el caso de los bienes complementarios perfectos es la recta que une los vértices de las curvas de indiferencia, dado que ambos bienes se consumen siempre en la misma propor-ción, independientemente del nivel de renta.

Las preferencias homotéticas tienen la propiedad de que dan lugar a curvas de Engel lineales que parten del origen de coordenadas, para aquellos bienes de los que se consume una cantidad positiva, que en el caso de las preferencias Cobb-Douglas y las de los bienes complementarios perfectos son ambos bienes.

x1 m Figura 6.5. Curva de Engel Preferencias Cobb-Douglas Ejemplo de preferencias homotéticas

Otra propiedad bien conocida de las preferencias homotéticas es que la proporción de la renta gastada por el consumidor en la adquisición de cada uno de los bienes se mantiene constante aun-que varíe el nivel de renta del que disfruta aquél.

Elasticidad-renta de la demanda

Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de cada uno de los bienes al variar la renta del consumidor, permaneciendo constantes los precios.

Por definición, la elasticidad-renta de la demanda es el cociente entre la variación porcentual de la cantidad demandada del bien y la variación porcentual de la renta del consumidor que da origen a aquélla.

2,1=..=..=jxmmxmmxxjjjjjme

� Los bienes normales tienen una elasticidad-renta positiva. La curva de Engel es creciente. � Los bienes inferiores tienen una elasticidad-renta negativa. La curva de Engel es decreciente. � A su vez, los bienes normales se dividen en bienes necesarios (elasticidad-renta menor que la unidad), bienes de elasticidad-renta unitaria y bienes de lujo (elasticidad-renta mayor que la uni-dad). Una propiedad fundamental de las preferencias homotéticas es que la elasticidad-renta es unitaria para aquellos bienes de los que se consume una cantidad positiva, que en el caso de las preferencias

regulares son ambos bienes. Las curvas de Engel son líneas rectas que parten del origen de coorde-nadas.

Consideremos que el consumidor gasta toda la renta y consume exactamente dos bienes. Calcu-lando la diferencial de la ecuación de la recta presupuestaria, considerando que los precios de los bienes no se alteran, obtendremos:

2211dxpdxpdm+=

Después de realizar algunas manipulaciones algebraicas resultará:

12211=+mmssee

donde 2,1==jmxpsjjj es la proporción de la renta gastada por el consumidor en cada uno de los bienes.

Es evidente que se cumple 121=+ss. Por tanto, la expresión anterior puede interpretarse del siguiente modo: si el consumidor gasta toda su renta en adquirir un conjunto de bienes, la media pon-derada de las elasticidades-renta de la demanda de tales bienes debe ser igual a la unidad (las pon-deraciones son precisamente la proporción de la renta gastada en cada uno de los bienes).

Tal expresión puede rescribirse del siguiente modo:

()mmss121211ee-+=

De aquí fácilmente se infiere, que si un bien es inferior ()01<me, el otro no puede ser un bien in-ferior, debe ser forzosamente un bien de lujo ()12>me.

Variación de la cantidad demandada de un bien cuando varía su precio

Consideraremos que varía el precio de un bien, por ejemplo el del bien 1, y la renta y el precio del otro bien, el bien 2, permanecen constantes. Por este motivo, la recta presupuestaria cambia de incli-nación.

En este contexto, los bienes pueden clasificarse en bienes ordinarios y bienes Giffen. Los prime-ros son aquellos en los que la cantidad demandada del bien en cuestión disminuye al aumentar su propio precio: 011<dpdx. Los segundos son aquellos en los que la cantidad demandada aumenta al aumentar el precio del bien: 011>dpdx.

A medida que disminuye, por ejemplo, el precio del bien 1, la recta presupuestaria gira hacia la derecha en torno a la ordenada en el origen, cambiando de inclinación, con lo que tendremos las sucesivas cestas óptimas demandadas por el consumidor, las cuales cumplen la llamada condición de tangencia vista en el capítulo anterior. El lugar geométrico de tales cestas óptimas constituye lo que se denomina la curva de oferta-precio.

x2 Curvas de indiferencia Elecciones óptimas Curva de oferta-precio Rectas presupuestarias Reducción de p1 x1 Figura 6.6. Curva de oferta-precio Bien 1 ordinario

x2 Curvas de indiferencia Curva de oferta-precio Elecciones óptimas Rectas presupuestarias Reducción de p1 Reducción de la cantidad x1 demandada del bien 1 Figura 6.7. Curva de oferta-precio Bien 1 Giffen

Partiendo de la función de demanda del primer bien, al considerar que sólo varía el precio de este bien, de forma que permanecen constantes tanto la renta del consumidor como el precio del otro bien, obtenemos una función especial denominada curva de demanda del bien 1: . ()111pDx=

Si un bien es ordinario tendrá una curva de demanda decreciente, esto es, la pendiente de esta última será negativa. Si un bien es Giffen tendrá una curva de demanda creciente, esto es, la pen-diente de esta última es positiva.

p1 p1 x1 x1 Figura 6.8 A. Curva de demanda Figura 6.8 B. Curva de demanda Bien 1 ordinario Bien 1 Giffen

Elasticidad-precio de la demanda

Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de un bien al variar su propio precio, permaneciendo constantes tanto el precio del otro bien como la renta del consumidor.

Por definición, la elasticidad-precio de la demanda de un bien es el cociente entre la variación porcentual de la cantidad demandada de ese bien y la variación porcentual de su correspondiente precio que da origen a aquélla.

2,1=..=..=jxppxppxxjjjjjjjjjje

� La elasticidad-precio de un bien ordinario es negativa, dado que la curva de demanda es decre-ciente. � La curva de demanda de los bienes ordinarios se dice que es elástica cuando 1>jje, inelásti-ca o rígida cuando 1<jje, y de elasticidad unitaria cuando 1=jje. � Cuando se trata de un bien Giffen, la elasticidad-precio es positiva, dado que la curva de deman-da es creciente.

Elasticidad-precio cruzada de la demanda

Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de un bien al variar el precio del otro bien, permaneciendo constantes tanto el precio del bien en cuestión como la renta del con-sumidor.

Por definición, la elasticidad-precio cruzada de la demanda de un bien es el cociente entre la va-riación porcentual de la cantidad demandada de ese bien y la variación porcentual del precio del otro bien que da origen a aquélla.

2,1,=...=..=hjhjxppxppxxjhhjhhjjjhe

� Se dice que el bien 1 es sustitutivo bruto del bien 2: cuando la cantidad demandada del bien 1 crece al aumentar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien 1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es positiva 012>e, dado que 021>..px. � Se dice que el bien 1 es complementario bruto del bien 2: Cuando la cantidad demandada del bien 1 disminuye al aumentar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien 1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es negativa 012<e, dado que 021<..px. � Se dice que el bien 1 es independiente bruto del bien 2: Cuando la cantidad demandada del bien 1 no se altera al variar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien 1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es nula 012=e, dado que 021=..px.

La curva inversa de demanda

Consideremos la curva de demanda del bien 1: ()111pDx=. Como bien sabemos, nos permite de-terminar la cantidad demandada del citado bien a medida que varía el precio de este último, perma-neciendo constantes la renta del consumidor y el precio del otro bien.

A partir de la curva de demanda del bien 1 nosotros podemos obtener la denominada curva inver-sa de demanda de este bien: ()111xpp=. La cual nos indica el precio de mercado del bien 1 que está dispuesto a pagar el consumidor en función de la cantidad demandada de este bien por parte de

este último.

Consideremos también, como es lógico, que se trata de un bien ordinario. Esto es, que la curva de demanda del bien 1 es decreciente. Lo mismo sucederá con la curva inversa de demanda, que tendrá pendiente negativa.

p1 Curva inversa de demanda p1=p1(x1) x1 Figura 6.9. La curva inversa de demanda Bien 1 ordinario

La condición de tangencia que debe cumplirse en una elección óptima interior por parte del con-sumidor, cuando las preferencias son regulares, puede escribirse del siguiente modo:

RMSppppRMS2121==

Luego si hacemos , la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica el valor absoluto de la Relación Marginal de Sustitución en función de la cantidad demandada de este bien. 12=p

Pero cuando el precio del segundo bien es igual a la unidad, la cantidad demandada de este últi-mo bien coincide con el gasto destinado por el consumidor a la adquisición del mismo. En tal caso, la RMS puede interpretarse como la disposición marginal a pagar por parte del consumidor en adquirir una unidad adicional del primer bien.

En consecuencia, la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica la disposición marginal a pa-gar por parte del consumidor (la cual coincide en el equilibrio con el precio de mercado del bien) en función de la cantidad demandada de este último. Esto es, lo que está dispuesto a pagar el consumi-dor por incrementar en una unidad la cantidad consumida del bien 1, coincide precisamente en el equilibrio con lo que el consumidor debe pagar por adquirir en el mercado esa unidad adicional del bien en cuestión.

Además, como las preferencias regulares conllevan que la RMS decrece en valor absoluto a me-dida que aumenta la cantidad consumida del bien 1, la curva inversa de demanda correspondiente a este último bien debe ser decreciente: cuanto mayor sea la cantidad demandada del bien 1 menor será RMS, esto es, menor será la cantidad de dinero que está dispuesto a pagar el consumidor por

adquirirlo. La RMS, lo que el consumidor está dispuesto a pagar, disminuye a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1.

El mismo razonamiento podría repetirse para el bien 2. En consecuencia, las preferencias regula-res conllevan que los bienes considerados deben ser bienes ordinarios y no bienes Giffen; esto es, deben tener una curva inversa de demanda y, de ahí, una curva de demanda, decrecientes ambas. De esta forma, los bienes Giffen quedan excluidos como un caso excepcional, cuya justificación se verá en el capítulo 8.

Además, el que un bien sea ordinario resulta compatible con que sea un bien normal o inferior. Las preferencias regulares, al ser monótonas, excluyen la existencia de puntos de saciedad o satura-ción, con lo que el consumidor siempre gastará toda su renta. Por este motivo, ambos bienes no pue-den ser simultáneamente inferiores, tal como hemos visto en el presente capítulo. Se trata, pues, de una restricción adicional que deben cumplir los bienes, impuesta por el comportamiento del consumi-dor, en base a la regularidad de las preferencias de este último.

Capítulo 6

LA DEMANDA

Glosario

Bien de elasticidad-renta unitaria: Bien normal con una elasticidad-renta igual a la unidad.

Bien de lujo: Bien normal con una elasticidad-renta mayor que la unidad.

Bien discreto: Es aquél que se consume en unidades enteras. Por ejemplo, un coche, dos coches, etc. No es posi-ble consumir 1,5 coches. Esto es, la cantidad demandada de un bien discreto siempre es un número entero.

Los bienes que no son discretos pueden consumirse en cantidades infinitesimales. Por ejemplo, 1,025 gramos de azúcar. En consecuencia, la cantidad demandada de un bien no discreto siempre puede representarse mediante un número real.

Bien inferior: Son aquellos en los que la cantidad demandada disminuye al aumentar el nivel de renta: 01<dmdx, permaneciendo los precios de los bienes constantes.

Si un bien es inferior tendrá una curva de Engel decreciente, y, por tanto, una elasticidad-renta nega-tiva.

Por este motivo, el efecto-renta tiene signo positivo. Esto es, la variación de la cantidad demandada del bien en cuestión debida al efecto-renta, tiene el mismo signo que el de la variación del precio del bien. Como el efecto-sustitución es siempre no-positivo (normalmente negativo). El efecto-total tendrá signo indeterminado. De ahí que los bienes inferiores puedan comportarse algunas veces como bie-nes Giffen.

Bien necesario: Bien normal con una elasticidad-renta menor que la unidad.

Bien normal: Son aquellos en los que la cantidad demandada aumenta al aumentar el nivel de renta: 01>dmdx, permaneciendo los precios de los bienes constantes.

Si un bien es normal tendrá una curva de Engel creciente, y, por tanto, una elasticidad-renta positiva.

Por este motivo, el efecto-renta tiene signo negativo. Esto es, la variación de la cantidad demandada del bien en cuestión debida al efecto-renta, tiene signo opuesto al de la variación del precio del bien. Como el efecto-sustitución es siempre no-positivo (normalmente negativo). El efecto-total será negati-vo. De ahí que los bienes normales se comporten siempre como bienes ordinarios.

Los bienes normales se dividen en bienes necesarios (elasticidad-renta menor que la unidad), bienes de elasticidad-renta unitaria y bienes de lujo (elasticidad-renta mayor que la unidad).

Bienes complementarios brutos: Se dice que el bien 1 es complementario bruto del bien 2, cuando la cantidad demandada del bien 1 disminuye al aumentar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien 1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es negativa 012<e, dado que 021<..px.

Bienes Giffen: Son aquellos en los que la cantidad demandada del bien en cuestión aumenta al aumentar su propio precio: 011>dpdx.

Tienen una curva de demanda creciente, esto es, la pendiente de esta última es positiva. La elastici-dad-precio es positiva.

El signo del efecto-total es positivo ........>..=011pxET. Se trata de bienes inferiores en los que el efecto-renta (positivo) domina al efecto-sustitución (negativo).

Bienes independientes brutos: Se dice que el bien 1 es independiente bruto del bien 2, cuando la cantidad demandada del bien 1 no se altera al variar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien 1 y la renta del

consumidor. La elasticidad-precio cruzada es nula 012=e, dado que 021=..px.

Bienes ordinarios: Son aquellos en los que la cantidad demandada del bien en cuestión disminuye al aumentar su propio precio: 011<dpdx.

Tienen una curva de demanda decreciente, esto es, la pendiente de esta última es negativa. La elas-ticidad-precio es negativa.

La curva de demanda de los bienes ordinarios se dice que es elástica cuando 1>jje, inelástica o rígida cuando 1<jje, y de elasticidad unitaria cuando 1=jje.

El signo del efecto-total es negativo ........<..=011pxET.

Bienes sustitutivos brutos: Se dice que el bien 1 es sustitutivo bruto del bien 2, cuando la cantidad demandada del bien 1 crece al aumentar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien 1 y la renta del consu-midor. La elasticidad-precio cruzada es positiva 012>e, dado que 021>..px.

Curva de demanda: Partiendo de la función de demanda del primer bien, al considerar que sólo varía el precio de este bien, de forma que permanecen constantes tanto la renta del consumidor como el precio del otro bien, obtenemos una función especial denominada curva de demanda del bien 1: . ()111pDx=

p1 p1 x1 x1 Figura 6.8 A. Curva de demanda Figura 6.8 B. Curva de demanda Bien 1 ordinario Bien 1 Giffen

Curva de Engel: Partiendo de las funciones de demanda de ambos bienes, al considerar los precios constantes y va-riar sólo la renta obtenemos unas funciones especiales denominadas curvas de Engel, una para cada bien: . ()()1122,xgmxgm==

Si un bien es normal tendrá una curva de Engel creciente; si un bien es inferior tendrá una curva de Engel decreciente.

Curva de oferta-precio: Es el lugar geométrico de las cestas óptimas demandadas por el consumidor cuando varía el precio de un bien, y la renta y el precio del otro bien permanecen constantes.

Curva de oferta-renta: Denominada también senda de expansión de la renta. Es el lugar geométrico de las cestas óptimas elegidas por el consumidor cuando varía la renta y los precios de los bienes permanecen constantes.

Si ambos bienes son normales la senda de expansión de la renta será una curva creciente. Y si un bien es normal y el otro inferior la senda de expansión de la renta será una curva decreciente.

Curva inversa de demanda: A partir de la curva de demanda del bien 1 nosotros podemos obtener la denominada curva inversa de demanda del bien 1: . La cual nos indica el precio de mercado del bien 1 que está dispuesto a pagar el consumidor en función de la cantidad demandada por parte de este último. ()111xpp=

Consideremos también, como es lógico, que se trata de un bien ordinario. Esto es, que la curva de demanda del bien 1 es decreciente. Lo mismo sucederá con la curva inversa de demanda, que tendrá pendiente negativa.

p1 Curva inversa de demanda p1=p1(x1) x1 Figura 6.9. La curva inversa de demanda Bien 1 ordinario

La condición de tangencia que debe cumplirse en una elección óptima interior por parte del consumi-dor, cuando las preferencias son regulares, puede escribirse del siguiente modo:

1122pRMSppRMSp==

Luego si hacemos 21p=, la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica el valor absoluto de la Relación Marginal de Sustitución en función de la cantidad demandada de este bien.

Pero cuando el precio del segundo bien es igual a la unidad, la cantidad demandada de este último bien coincide con el gasto destinado por el consumidor a la adquisición del mismo. En tal caso, la RMS puede interpretarse como la disposición marginal a pagar por parte del consumidor en adquirir una unidad adicional del primer bien.

En consecuencia, la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica la disposición marginal a pagar por parte del consumidor (la cual coincide en el equilibrio con el precio del bien) en función de la can-tidad demandada de este último. Esto es, lo que está dispuesto a pagar el consumidor por incremen-tar en una unidad la cantidad consumida del bien 1, coincide precisamente en el equilibrio con lo que el consumidor debe pagar por adquirir en el mercado esa unidad adicional del bien en cuestión.

Además, como las preferencias regulares conllevan que la RMS decrece en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1, la curva inversa de demanda correspondiente a este último bien debe ser decreciente: cuanto mayor sea la cantidad demandada del bien 1 menor será RMS, esto es, menor será la cantidad de dinero que está dispuesto a pagar el consumidor por adqui-rirlo. La RMS, lo que el consumidor está dispuesto a pagar, disminuye a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1.

El mismo razonamiento podría repetirse para el bien 2. En consecuencia, las preferencias regulares conllevan que los bienes considerados deben ser bienes ordinarios y no bienes Giffen. Estos últimos quedan excluidos como un caso excepcional, cuya justificación se verá en el capítulo 8.

Elasticidad-precio de la demanda: Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de un bien al variar su propio precio, permaneciendo constantes tanto el precio del otro bien como la renta del consumidor.

Por definición, la elasticidad-precio de la demanda de un bien es el cociente entre la variación porcen-tual de la cantidad demandada de ese bien y la variación porcentual de su correspondiente precio que da origen a aquélla.

2,1=..=

.

.=jxppxppxxjjjjjjjjjje

Los bienes ordinarios tienen una elasticidad-precio negativa. Los bienes Giffen tienen una elasticidad-precio positiva.

Elasticidad-precio cruzada de la demanda: Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de un bien al variar el precio del otro bien, permaneciendo constantes tanto el precio del bien en cuestión como la renta del con-sumidor.

Por definición, la elasticidad-precio cruzada de la demanda de un bien es el cociente entre la varia-ción porcentual de la cantidad demandada de ese bien y la variación porcentual del precio del otro bien que da origen a aquélla.

2,1,=...=..=hjhjxppxppxxjhhjhhjjjhe

Elasticidad-renta de la demanda: Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de cada uno de los bienes al variar la renta del consumidor, permaneciendo constantes los precios.

Por definición, la elasticidad-renta de la demanda es el cociente entre la variación porcentual de la cantidad demandada del bien y la variación porcentual de la renta del consumidor que da origen a aquélla.

2,1=..=..=jxmmxmmxxjjjjjme

Precio de reserva: Es el precio máximo que el consumidor está dispuesto a pagar por adquirir un determinado número de unidades de un bien discreto (normalmente una unidad de este último). Este término procede de las subastas.

Al precio de reserva le es indiferente al consumidor adquirir o no el número de unidades del bien dis-creto de que se trate. A un precio inferior al de reserva, el consumidor estará interesado en adquirir tales unidades; en cambio, a un precio superior al de reserva, no tendrá interés en adquirirlas.

Preferencias homotéticas: Son aquellas en las que la RMS o bien es constante, o bien sólo depende de la proporción en que son consumidos ambos bienes y no de la cantidad consumida de estos últimos.

Tres ejemplos de preferencias homotéticas:

� En el caso de los sustitutivos perfectos la RMS en valor absoluto es a/b.

� En el caso de los complementarios perfectos es cero, dado que los bienes se consumen siempre en la misma proporción. � En el caso de las preferencias Cobb-Douglas:

dxcxRMS12-= Centrándonos en el caso de las preferencias Cobb-Douglas como ejemplo típico de preferencias re-gulares, éstas tienen la propiedad de que la RMS permanece constante a medida que nos movemos

a lo largo de cualquier rayo vector que parte del origen de coordenadas, cuya pendiente es precisa-mente x2/x1. O, lo que es lo mismo, un rayo vector que parte del origen de coordenadas corta a las sucesivas curvas de indiferencia en puntos tales que la RMS es siempre la misma.

Por este motivo, la senda de expansión de la renta correspondiente a unas preferencias Cobb-Douglas es siempre un rayo vector que parte del origen de coordenadas; dado que como debe cum-plirse la condición de tangencia en un óptimo interior, al permanecer los precios constantes, la RMS debe permanecer también constante a medida que varía la renta.

x2 Curvas de indiferencia Elecciones óptimas 2112ppdxcxRMS-=-= Senda de expansión de la renta Rectas presupuestarias x1 Figura 6.4. Senda de expansión de la renta: Preferencias Cobb-Douglas Ejemplo de preferencias homotéticas

En general, las preferencias homotéticas dan lugar a una curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta que es siempre un rayo vector que parte del origen de coordenadas:

� En el caso de los bienes sustitutivos perfectos, se trata del eje de abscisas o el de ordenadas, según se consuma el primer bien o el segundo, respectivamente. � En el caso de los bienes complementarios perfectos es la recta que une los vértices de las curvas de indiferencia, dado que ambos bienes se consumen siempre en la misma propor-ción, independientemente del nivel de renta.

Las preferencias homotéticas tienen la propiedad de que dan lugar a curvas de Engel lineales que parten del origen de coordenadas, para aquellos bienes de los que se consume una cantidad positiva, que en el caso de las preferencias Cobb-Douglas y las de los bienes complementarios perfectos son ambos bienes.

x1 m Figura 6.5. Curva de Engel Preferencias Cobb-Douglas Ejemplo de preferencias homotéticas

Otra propiedad bien conocida de las preferencias homotéticas es que la proporción de la renta gasta-da por el consumidor en la adquisición de cada uno de los bienes se mantiene constante aunque varíe el nivel de renta del que disfruta aquél.

Senda de expansión de la renta: Véase curva de oferta-renta.

LA SENDA DE EXPANSIÓN DE LA RENTA

La curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta cuando un bien es normal y el otro inferior es siempre una línea decreciente, con independencia de que el bien normal lo representemos en el eje de abscisas o en el eje de ordenadas.

Veamos los dos casos que pueden presentarse, dependiendo de la forma que adopten las curvas de indiferencia.

x2 senda de expansió de la renta x1

En este gráfico, a medida que crece el nivel de renta, permaneciendo los precios de los bienes in-alterados, la recta presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la derecha. Los puntos de tan-gencia de las sucesivas rectas presupuestarias con las correspondientes curvas de indiferencia defi-nen la curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta.

Como es evidente en el gráfico, tal senda de expansión de la renta es decreciente, lo que implica que aumenta la cantidad consumida del primer bien y disminuye la del segundo a medida que aumen-ta el nivel de renta del consumidor. Luego el primer bien es un bien normal y el segundo un bien infe-rior.

El gráfico anterior representa el caso contemplado en la pregunta de test 6.6 de la Guía Didáctica.

x2 senda de expansió de la renta x1

En este último gráfico, la senda de expansión de la renta sigue siendo una línea decreciente. Pero ahora el aumento del nivel de renta conlleva una disminución de la cantidad consumida del primer bien (bien inferior) y un aumento la cantidad consumida del segundo bien (bien normal).

Este caso está contemplado en el curso virtual y en la Figura 6.2 del libro de texto.

PREFERENCIAS CUASILINEALES

Consideremos la siguiente función de utilidad correspondiente a unas preferencias cuasilineales:

1212(,)lnuxxxbx=+

La afirmación de que la demanda del primer bien es independiente del nivel de renta sólo resulta válida dentro de ciertos límites.

Cuando el nivel de renta del consumidor es cero la cantidad demandada del primer bien no puede ser positiva; y a medida que el nivel de renta crece desde cero, la cantidad demandada del citado bien no puede ser constante. Debe haber un nivel de renta mínimo para que el consumidor demande una cierta cantidad positiva del primer bien, y que esta última permanezca constante a medida que crece el nivel de renta por encima de ese mínimo.

Entre cero y un determinado nivel de renta mínimo sólo se consume el primer bien. Por encima de ese nivel de renta mínimo la demanda del primer bien no se altera, y toda la renta adicional se destina a consumir el segundo bien.

Para ampliar conocimientos al respecto, consúltese el epígrafe 10.3 del libro de H.R. Varian: Aná-lisis Microeconómico. Editorial Bosch, 3ª edición.

Se trata de un libro de texto alternativo al de Julio Segura, el cual, con el mismo título, se utiliza en las asignaturas de Microeconomía III y IV, de 4º y 5º curso respectivamente.

Teniendo en cuenta estos comentarios, ahora puede entenderse la forma que adopta la curva de Engel para el primer bien en el caso de unas preferencias cuasilineales, la cual aparece representada en la Figura 6.8 B del libro de Varian, Microeconomía Intermedia (5ª edición).

m curva de Enge x1

El primer tramo inclinado indica que el consumidor, partiendo de un nivel de renta cero, destina los sucesivos incrementos de renta a adquirir el primer bien, cuyo precio no se altera, no consumien-do nada del segundo (). 11mpx=

Pero una vez alcanzado un determinado nivel de renta mínimo, los sucesivos incrementos de ren-ta los destina a adquirir el segundo bien, cuyo precio no se altera, quedando en lo sucesivo estanca-da la cantidad demanda del primero. De ahí que el segundo tramo de la curva de Engel para el primer bien sea vertical.

Por todo ello, la curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta correspondiente a unas preferencias cuasilineales adoptará la siguiente forma geométrica:

x2 senda de expansión de la renta x1

Dados los precios de ambos bienes, partiendo de un nivel de renta cero, el consumidor comienza consumiendo el primer bien, sin demandar ninguna cantidad del segundo. De ahí el tramo horizontal de la senda de expansión de la renta coincidente con el eje de abscisas.

Pero una vez que se alcanza un nivel de renta mínimo, el consumidor destina los sucesivos in-crementos de su renta en adquirir el segundo bien, con lo que la cantidad demandada del primer bien queda estancada. De ahí el tramo vertical de la senda de expansión de la renta.

BIEN NECESARIO, DE LUJO E INFERIOR

Una restricción bien conocida impuesta por el comportamiento de un consumidor que gasta toda su renta, es que todos los bienes que consume no pueden ser inferiores simultáneamente. En el caso de dos bienes, si uno de ellos es inferior, el otro forzosamente debe ser un bien de lujo.

Veamos la proposición inversa: si un bien es de lujo, el otro no tiene por qué ser necesariamente inferior, puede ser perfectamente un bien necesario.

Efectivamente, partamos de la ecuación de la recta presupuestaria:

1122pxpxm+=

Supongamos que varía el nivel de renta, permaneciendo constantes los precios de los bienes. Se cumple entonces:

1122pdxpdxdm+=

Con lo que resulta:

111222121pxdxpxdxmmmdmxmdmx+=

O, lo que es lo mismo:

11221mmssee+=

Esto es, la media ponderada de las elasticidades-renta de la demanda, basándose en las propor-ciones de gasto en cada uno de los bienes, es igual a la unidad.

Recordando que 121ss+=. Esta expresión puede escribirse del siguiente modo:

12121(1mmssee=+-

A partir de aquí fácilmente se infiere que: si el primer bien es un bien de lujo (11me>), el se-gundo bien debe tener una elasticidad-renta inferior a la unidad. Pero no tiene por qué ser un bien inferior (20me<), puede ser perfectamente un bien necesario (20me<<). Todo dependerá de las proporciones de gasto en cada uno de los bienes.

Efectivamente, si en la última ecuación tiende a cero y, por tanto, tiende a uno, la elastici-dad-renta de la demanda correspondiente al segundo bien resulta ser positiva y ligeramente inferior a la unidad. Por consiguiente, el segundo bien es un bien necesario. 1s2s

En cambio, si en la última ecuación tiende a uno y, por tanto, tiende a cero, la elasticidad-renta de la demanda correspondiente al segundo bien resulta ser negativa, y creciente en valor abso-luto a medida que tiende a cero. Por consiguiente, el segundo bien es un bien inferior. 1s2s2s

Capítulo 6

LA DEMANDA

Curva de Demanda versus Función de Demanda La pregunta de test 6.27 de la Guía Didáctica hace referencia a la función que relaciona la cantidad demandada de un bien con su propio precio permaneciendo la renta y los precios de los restantes bienes constantes, y dice que recibe el nombre de: a) Función de demanda; b) CURVA DE DEMANDA; c) Curva de Engel; d) Curva de oferta-precio. Está preguntando por una función y la respuesta es una curva. ¿Es correcta la respuesta (curva de demanda), o es una errata?

Una curva no es más que la representación gráfica de una función.

La función de demanda relaciona la variable dependiente (la cantidad demandada del bien) con las siguientes variables independientes: los precios de todos los bienes y el nivel de renta del consumi-dor.

Si en esta función matemática tomamos como dados los precios de los restantes bienes y el nivel de renta del consumidor, tendremos a partir de aquélla otra función matemática que, para distinguirla de la primera, se denomina curva de demanda del bien; dado que relaciona la cantidad demandada del bien en cuestión con su propio precio.

De la misma forma que si a partir de la función de demanda de un bien hacemos que los precios de todos los bienes permanezcan constantes, obtendremos entonces otra función matemática que rela-cionaría la cantidad demandada del bien (variable dependiente) con el nivel de renta del consumidor (variable independiente). A esta función matemática especial se la denomina curva de Engel.

Capítulo 6

LA DEMANDA

Bien de elasticidad-renta unitaria Supongamos una economía con dos bienes. Si el consumidor siempre gasta toda su renta y consume un único bien, entonces este último debe ser: a) Inferior. b) De lujo. c) DE ELASTICIDAD-RENTA UNITARIA. d) Ninguna de las anteriores.

Efectivamente, puesto que debe cumplirse 11221mmssee+=, si suponemos que el consumidor no demanda ninguna cantidad del bien 1 (10s=) entonces resulta que , dado que . Es decir, el consumidor gasta toda su renta en adquirir el bien 2; por tanto, tendremos 21s=121ss+=21me=. Esto es, el segundo bien posee una elasticidad-renta unitaria.

Capítulo 7

LAS PREFERENCIAS REVELADAS

Breve introducción

En este capítulo estudiaremos el comportamiento del consumidor basado en las cestas de bienes efectivamente elegidas por este último a los precios vigentes en el mercado, y no en el estudio de las preferencias subyacentes de aquél materializadas en una función de utilidad, tal como ocurría en los capítulos precedentes.

Capítulo 7

LAS PREFERENCIAS REVELADAS

En este capítulo estudiaremos el comportamiento del consumidor basado en las cestas de bienes efectivamente elegidas por este último a los precios vigentes en el mercado, y no en el estudio de las preferencias subyacentes materializadas en una función de utilidad.

Consideremos que a los precios (p1,p2) el consumidor elige la cesta de bienes (x1,x2). Entonces decimos que el consumidor revela directamente que prefiere la cesta (x1,x2) a cualquier otra, por ejemplo la (y1,y2), que resulta asequible a esos mismos precios:

22112211ypypxpxp+=+

x2 (x1,x2) Recta presupuestaria (y1,y2) x1 Figura 7.1. La preferencia revelada directamente

Supongamos que el consumidor, dado un conjunto de precios (p1,p2), revela directamente que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (y1,y2). Y, a su vez, dado otro conjunto de precios (q1,q2), revela directamente que prefiere la cesta (y1,y2) a la cesta (z1,z2). Entonces decimos que el consumidor, si su comportamiento es consistente u optimizador, esto es, si siempre elige la mejor de las opciones que están a su alcance, revela indirectamente que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (z1,z2).

x2 (x1,x2) Rectas presupuestarias (y1,y2) (z1,z2) x1 Figura 7.2. La preferencia revelada indirectamente

Cuando un consumidor revela directa o indirectamente que prefiere una cesta a otra, decimos que revela que prefiere la primera cesta a la segunda.

Consideremos ahora dos axiomas fundamentales de la preferencia revelada que definen el com-portamiento consistente de un consumidor optimizador, esto es, un comportamiento basado en la elección por parte de este último de la mejor cesta de bienes de entre todas las que están a su alcan-ce.

Axioma débil de la preferencia revelada: Si un consumidor revela directamente que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (y1,y2) y las dos cestas no son iguales, no puede ocurrir que revele directamen-te que prefiere (y1,y2) a (x1,x2).

En otras palabras, si a los precios (p1,p2) el consumidor elige la cesta (x1,x2) y la segunda cesta es asequible:

22112211ypypxpxp+=+

Entonces, para cualquier otro conjunto de precios (q1,q2) en que el consumidor elija la cesta (y1,y2), la primera cesta no puede ser asequible, debe ser más cara:

22112211xqxqyqyq+<+

x2 Posibles curvas de indiferencia (x1,x2) (y1,y2) Rectas presupuestarias x1 Figura 7.3. Cumplimiento del axioma débil de la preferencia revelada

Si en esta misma situación, la primera cesta fuera asequible:

22112211xqxqyqyq+=+

entonces se violaría el axioma débil de la preferencia revelada.

x2 Rectas presupuestarias (x1,x2) (y1,y2) x1 Figura 7.4. Violación del axioma débil de la preferencia revelada

A partir del cumplimiento de este axioma, se demuestra en el capítulo 8 que tanto el efecto-sustitución de Slutsky como el de Hicks son no-positivos, normalmente negativos.

Axioma fuerte de la preferencia revelada: Si un consumidor revela, directa o indirectamente, que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (y1,y2) y ambas cestas son diferentes; entonces no puede revelar, ni directa ni indirectamente, que prefiere la segunda cesta a la primera.

Este axioma es una consecuencia necesaria de la conducta consistente u optimizadora por parte del consumidor. Pero, además, en cursos avanzados se demuestra que se trata de una condición suficiente. Esto es, si las cestas de bienes efectivamente elegidas por el consumidor para los diferen-tes conjuntos de precios observables en el mercado satisfacen el axioma fuerte de la preferencia revelada, entonces siempre podemos encontrar unas preferencias regulares (monótonas y estricta-mente convexas), materializadas en una función de utilidad, que generan las mismas observaciones precio vigente-cantidad elegida.

En consecuencia, el axioma fuerte de la preferencia revelada es una condición necesaria y sufi-ciente para que las elecciones observadas sean compatibles con el modelo económico de la elección del consumidor, basado en las preferencias y la función de utilidad, estudiado en capítulos anteriores.

Capítulo 7

LAS PREFERENCIAS REVELADAS

Glosario

Axioma débil de la preferencia revelada: Si un consumidor revela directamente que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (y1,y2) y las dos cestas no son iguales, no puede ocurrir que revele directamente que prefiere (y1,y2) a (x1,x2).

En otras palabras, si a los precios (p1,p2) el consumidor elige la cesta (x1,x2) y la segunda cesta es asequible:

22112211ypypxpxp+=+

Entonces, para cualquier otro conjunto de precios (q1,q2) en que el consumidor elija la cesta (y1,y2), la primera cesta no puede ser asequible, debe ser más cara:

22112211xqxqyqyq+<+

x2 Posibles curvas de indiferencia (x1,x2) (y1,y2) Rectas presupuestarias x1 Figura 7.3. Cumplimiento del axioma débil de la preferencia revelada

Si en esta misma situación, la primera cesta fuera asequible:

22112211xqxqyqyq+=+

entonces se violaría el axioma débil de la preferencia revelada.

x2 Rectas presupuestarias (x1,x2) (y1,y2) x1 Figura 7.4. Violación del axioma débil de la preferencia revelada

A partir del cumplimiento de este axioma, se demuestra en el capítulo 8 que tanto el efecto-sustitución de Slutsky como el de Hicks son no-positivos, normalmente negativos.

Axioma fuerte de la preferencia revelada: Si un consumidor revela, directa o indirectamente, que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (y1,y2) y am-bas cestas son diferentes; entonces no puede revelar, ni directa ni indirectamente, que prefiere la segunda cesta a la primera.

Este axioma es una consecuencia necesaria de la conducta consistente u optimizadora por parte del consumidor. Pero, además, en cursos avanzados se demuestra que se trata de una condición sufi-ciente. Esto es, si las cestas de bienes efectivamente elegidas por el consumidor para los diferentes conjuntos de precios observables en el mercado satisfacen el axioma fuerte de la preferencia revela-da, entonces siempre podemos encontrar unas preferencias regulares (monótonas y estrictamente convexas), materializadas en una función de utilidad, que generan las mismas observaciones precio vigente-cantidad elegida.

En consecuencia, el axioma fuerte de la preferencia revelada es una condición necesaria y suficiente para que las elecciones observadas sean compatibles con el modelo económico de la elección del consumidor, basado en las preferencias y la función de utilidad, estudiado en capítulos anteriores.

Preferencia revelada: Cuando un consumidor revela directa o indirectamente que prefiere una cesta a otra, decimos que revela que prefiere la primera cesta a la segunda.

Preferencia revelada directamente: Consideremos que a los precios (p1,p2) el consumidor elige la cesta de bienes (x1,x2). Entonces deci-mos que el consumidor revela directamente que prefiere la cesta (x1,x2) a cualquier otra, por ejemplo la (y1,y2), que resulta asequible a esos mismos precios:

22112211ypypxpxp+=+

x2 (x1,x2) Recta presupuestaria (y1,y2) x1 Figura 7.1. La preferencia revelada directamente

Preferencia revelada indirectamente: Supongamos que el consumidor, dado un conjunto de precios (p1,p2), revela directamente que prefie-re la cesta (x1,x2) a la cesta (y1,y2). Y, a su vez, dado otro conjunto de precios (q1,q2), revela directa-mente que prefiere la cesta (y1,y2) a la cesta (z1,z2). Entonces decimos que el consumidor, si su com-portamiento es consistente u optimizador, esto es, si siempre elige la mejor de las opciones que están a su alcance, revela indirectamente que prefiere la cesta (x1,x2) a la cesta (z1,z2).

x2 (x1,x2) Rectas presupuestarias (y1,y2) (z1,z2) x1 Figura 7.2. La preferencia revelada indirectamente

AXIOMA DÉBIL DE LA PREFERENCIA REVELADA

Vamos a desarrollar la contestación correspondiente a los dos primeros problemas recogidos en el libro de texto:

Problema 1. Cuando los precios son (p1,p2)=(1,2) un consumidor demanda (x1,x2)=(1,2), y cuan-do son (q1,q2)=(2,1), demanda (y1,y2)=(2,1). ¿Es esta conducta compatible con el modelo de la con-ducta optimizadora?

Si elaboramos un cuadro semejante al 7.2 del libro de texto tendremos:

Precios

Cestas

(1,2)

(2,1)

(1,2)

5

4*

(2,1)

4*

5

Este cuadro puede interpretarse como sigue: Cuando está vigente el primer conjunto de precios el consumidor elige la primera cesta de bienes (gasto = 5), con lo que la segunda cesta de bienes resulta asequible (gasto = 4) a esos precios. Lógicamente, el consumidor está revelando directamente que prefiere la primera cesta a la segunda en esta ocasión, de ahí el asterisco.

Cuando está vigente el segundo conjunto de precios el consumidor elige la segunda cesta de bienes (gasto = 5), con lo que la primera cesta de bienes resulta asequible (gasto = 4) a esos precios. Lógica-mente, el consumidor está revelando directamente que prefiere la segunda cesta a la primera en esta ocasión.

Obviamente el consumidor viola el axioma débil de la preferencia revelada.

Problema 2. Cuando los precios son (p1,p2)=(2,1) un consumidor demanda (x1,x2)=(1,2), y cuan-do son (q1,q2)=(1,2), demanda (y1,y2)=(2,1). ¿Es esta conducta compatible con el modelo de la con-ducta optimizadora?

Elaborando el correspondiente cuadro tendremos:

Precios

Cestas

(1,2)

(2,1)

(2,1)

4

5

(1,2)

5

4

Siguiendo un razonamiento semejante, a la vista de este cuadro podemos interpretar lo siguiente: Cuando está vigente el primer conjunto de precios el consumidor elige la primera cesta de bienes (gasto

= 4), con lo que la segunda cesta de bienes no resulta asequible (gasto = 5) a esos precios. Lógicamen-te, el consumidor no está revelando directamente que prefiere la primera cesta a la segunda en esta ocasión.

Cuando está vigente el segundo conjunto de precios el consumidor elige la segunda cesta de bienes (gasto = 4), con lo que la primera cesta de bienes no resulta asequible (gasto = 5) a esos precios. Lógi-camente, el consumidor no está revelando directamente que prefiere la segunda cesta a la primera en esta ocasión.

Obviamente el consumidor no viola el axioma débil de la preferencia revelada.

Capítulo 8

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

Breve introducción

En este capítulo vamos a analizar cómo varía la cantidad demandada de un bien cuando varía su propio precio, permaneciendo constante la renta del consumidor y el precio de los restantes bienes.

Por ejemplo, una disminución del precio de un bien afecta a la cantidad demandada de este último de dos formas:

� Aumentando la capacidad adquisitiva del consumidor. Aunque el nivel de renta permanezca constante, la alteración del precio de un bien origina una variación de la capacidad adquisitiva del consumidor, y esto afecta a la cantidad demandada del bien. Esto es lo que se conoce con el nombre de efecto-renta. � Inclinando al consumidor a demandar una menor cantidad de otros bienes sustitutivos del pri-mero, cuyos precios se han encarecido relativamente, y una mayor cantidad del bien en cues-tión, cuyo precio se ha reducido. Por este motivo, debido a la simple alteración de los precios relativos de los bienes, incluso aunque la capacidad adquisitiva del consumidor permanezca constante, la cantidad demandada del bien en cuestión se ve alterada. Esto es lo que se cono-ce con el nombre de efecto-sustitución.

Capítulo 8

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

En este capítulo vamos a analizar cómo varía la cantidad demandada de un bien cuando varía su propio precio, permaneciendo constante la renta del consumidor y el precio de los restantes bienes.

Por ejemplo, una disminución del precio de un bien afecta a la cantidad demandada de este último de dos formas:

� Aumentando la capacidad adquisitiva del consumidor. Aunque el nivel de renta permanezca constante, la alteración del precio de un bien origina una variación de la capacidad adquisitiva del consumidor, y esto afecta a la cantidad demandada del bien. Esto es lo que se conoce con el nombre de efecto-renta. � Inclinando al consumidor a demandar una menor cantidad de otros bienes sustitutivos del prime-ro, cuyos precios se han encarecido relativamente, y una mayor cantidad del bien en cuestión, cuyo precio se ha reducido. Por este motivo, debido a la simple alteración de los precios relativos de los bienes, incluso aunque la capacidad adquisitiva del consumidor permanezca constante, la cantidad demandada del bien en cuestión se ve alterada. Esto es lo que se conoce con el nom-bre de efecto-sustitución. Si ante una reducción de p1 deseamos mantener intacta la capacidad adquisitiva del consumidor, de forma que este último pueda comprar exactamente la cesta de bienes que inicialmente demanda-ba gastando toda su renta, entonces debemos reducir la renta del consumidor dado que su capacidad adquisitiva ha aumentado.

La variación de la renta que es preciso llevar a cabo para mantener intacta capacidad adquisitiva del consumidor, como consecuencia de la alteración del precio de un bien, por ejemplo p1, recibe el nombre de variación compensada de la renta:

11pxm.=.

Y es igual a la cantidad demandada del bien en cuestión multiplicada por variación del precio del bien.

La variación compensada de la renta tiene el mismo signo que la variación del precio del bien. Si el precio aumenta, entonces hay que compensar al consumidor con un incremento de renta para que mantenga constante su capacidad adquisitiva; lo contrario si el precio disminuye.

x2 Curvas de indiferencia m/p2 m´/p2 X Z Y Desplazamiento Giro x1 Efecto- Efecto- sustitución renta Figura 8.1. El efecto-sustitución de Slutsky y el efecto-renta

Explicación del gráfico: Puesto que disminuye el precio del bien 1, permaneciendo constantes la renta y el precio del bien 2, entonces la ordenada en el origen de la recta presupuestaria 2pm no se altera. Con lo que, ante una reducción de p1, la recta presupuestaria gira a la derecha alrededor del punto 2pm, de forma que la elección del consumidor, que inicialmente era X, pasa a ser ahora Z, la elección final del consumidor.

Ahora bien, la alteración de la cantidad demandada del bien 1 debida a una reducción del precio de este bien (el paso de X a Z) puede descomponerse analíticamente en dos partes:

� El efecto-sustitución: la alteración de la cantidad demandada del bien cuando la capacidad ad-quisitiva del consumidor permanece constante (paso de X a Y). En ese caso, la cesta X inicial-mente demandada por el consumidor debe seguir siendo asequible a los nuevos precios, esto es, con la nueva inclinación de la recta presupuestaria. De esta forma, podemos trazar una recta pre-supuestaria que pase por X y tenga la misma pendiente que la recta presupuestaria que pasa por Z. Es como si la recta presupuestaria de partida girase o pivotara alrededor de la cesta X hasta alcanzar la nueva inclinación fruto de la disminución de p1. La elección óptima es ahora Y. La va-riación de la cantidad demandada del bien 1 debida al paso de la cesta X a la Y es precisamente el efecto-sustitución, que a veces recibe el nombre de variación de la demanda compensada; puesto que para obtener aquél debemos compensar al consumidor con una variación de la renta, precisamente la variación compensada de la renta, para mantener constante la capacidad adqui-sitiva de este último (en este caso se trata de una disminución del nivel de renta, de m a m´).

� El efecto-renta: la alteración de la cantidad demandada del bien en cuestión debida a una altera-ción de la capacidad adquisitiva del consumidor. Situados ahora sobre la recta presupuestaria que pasa por X e Y, y en este último punto que es la cesta elegida por el consumidor cuando su capacidad adquisitiva permanece constante ante una reducción de p1. Ahora consideramos el aumento de la capacidad adquisitiva del consumidor que tiene lugar cuando p1 disminuye, con lo que tal recta presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la derecha debido a un aumento de la renta del consumidor, precisamente la variación compensada de la renta (en este caso, el au-mento del nivel de renta de m´ a m). La variación de la cantidad demandada del bien 1 por el pa-so de la cesta Y a la Z es lo que se conoce como efecto-renta.

La ecuación de Slutsky

Refirámonos al bien 1, donde p1 es el precio inicial y 1p' el precio final del bien; m la renta del consu-midor y m´ la renta compensada, que mantiene constante la capacidad adquisitiva del consumidor cuando el precio del bien es . 1p'

Obviamente, debe cumplirse la siguiente identidad:

()()()()[]()([]mpxmpxmpxmpxmpxmpx''-'+-''=-',,,,,,111111111111

nsxxx111.+.=.

La variación de la cantidad demandada de un bien al variar su precio (efecto-total=), perma-neciendo constantes la renta del consumidor y los precios de los otros bienes, es igual a la suma del efecto-sustitución () más el efecto-renta (). Ésta es precisamente la identidad de Slutsky. 1x.sx1.nx1.

Después de realizar algunas sencillas manipulaciones algebraicas, tal identidad se convierte en la ecuación de Slutsky, que adopta la siguiente forma:

111111xmxpxpxs..-..........=..

La variación total de la cantidad demandada de un bien al variar su precio (efecto

-total=ET) es la suma del efecto-sustitución (ES) más el efecto-renta (ER):

111111xmxERpxESpxETs..-=..........=..=

ERESET+=

Si el signo del efecto-total es negativo ........<..=011pxET, ello quiere decir que la curva de de-manda del bien tiene pendiente negativa, que esta última es decreciente. Esto es, que la variación de la cantidad demandada del bien tiene signo opuesto al de la variación del precio de este último. De-cimos entonces que se trata de un bien ordinario.

Si el signo del efecto-total es positivo ........>..=011pxET, ello quiere decir que la curva de deman-da del bien tiene pendiente positiva, que esta última es creciente. Esto es, que la variación de la can-tidad demandada del bien tiene el mismo signo que el de la variación del precio de este último. Deci-mos entonces que se trata de un bien Giffen.

¿A qué se debe que el efecto-total sea positivo o negativo? Al signo del efecto-sustitución y del efecto-renta.

El signo del efecto-sustitución nunca es positivo, es negativo o nulo (normalmente negativo). Ello quiere decir que la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-sustitución nunca tiene el mismo signo que el de la variación del precio del bien en cuestión; es más, normalmente tiene signo opuesto. La demostración de este extremo se hace recurriendo al axioma débil de la preferen-cia revelada.

En otras palabras, si consideramos, por ejemplo, una subida del precio de un determinado bien y mantenemos inalterada la capacidad adquisitiva del consumidor. Este último, o bien demandará la misma cantidad del bien en cuestión que en la situación de partida, o bien una cantidad menor del mismo, en ningún caso una cantidad mayor. Esto es debido a que el consumidor, aunque se manten-ga inalterada su capacidad adquisitiva, preferirá normalmente consumir una mayor cantidad de otros bienes sustitutivos del primero, cuyos precios se han abaratado relativamente, y una menor cantidad del bien en cuestión, cuyo precio se ha encarecido.

En cambio, el signo del efecto-renta puede ser negativo o positivo, dependiendo este extremo de si se trata de un bien normal o inferior, respectivamente.

Efectivamente, 11xmxER..-=. El signo del efecto-renta dependerá del signo de mx..1. Esto es, de la forma como varíe la cantidad demandada del bien en cuestión al variar la renta.

Por este motivo, cuando se trata de bienes normales:

01>..mx . Curva de Engel creciente

el efecto-renta tiene signo negativo. Esto es, la variación de la cantidad demandada del bien en cues-tión debida al efecto-renta, tiene signo opuesto al de la variación del precio del bien.

En cambio, cuando se trata de bienes inferiores:

01<..mx . Curva de Engel decreciente

el efecto-renta tiene signo positivo. Esto es, la variación de la cantidad demandada del bien en cues-tión debida al efecto-renta, tiene el mismo signo que el de la variación del precio del bien.

La ley de la demanda

La conclusión es sencilla. Los bienes normales, puesto que los efectos-renta y sustitución son ambos negativos, se comportan siempre como bienes ordinarios, dado que el efecto-total resultante es nega-tivo. De ahí que los bienes normales tengan una curva de demanda decreciente.

En cambio, los bienes inferiores, puesto que el efecto-sustitución es negativo y el efecto-renta po-sitivo, pueden comportarse a veces como bienes Giffen, para los cuales el efecto-total es positivo; de ahí que estos últimos tengan una curva de demanda creciente.

En consecuencia, un bien Giffen no es más que un bien inferior en el que el efecto-renta positivo domina al efecto-sustitución negativo, originando un efecto-total positivo.

¿La aparición de un bien Giffen es un caso frecuente, o, en cambio, algo raro o excepcional?

Para contestar a esta pregunta, retomemos la ecuación de Slutsky:

111111xmxpxpxs..-..........=..

Realicemos la siguiente manipulación algebraica:

111111111111xmmxmxpxppxxppxs..-........

.

.=..

La ecuación de Slutsky puede rescribirse del siguiente modo:

()mss111111eee-=

Esto es, la elasticidad-precio de la curva de demanda del bien (e11) es igual a la elasticidad-precio de la curva de demanda compensada (véase este término más adelante y la Figura 8.3; esta elastici-dad está calculada en el punto A), menos la proporción de la renta gastada en la adquisición del bien en cuestión por parte del consumidor, mxps111=, multiplicada por la elasticidad-renta de la deman-da del bien (e1m).

Por consiguiente, dado que cuando las preferencias son regulares siempre se cumple 0)(11<se (la curva de demanda compensada es decreciente, su pendiente es negativa). Para que pueda apa-recer un bien Giffen (e11>0), forzosamente este último debe ser en primer lugar un bien inferior (e1m<0), y además el consumidor debe destinar una proporción muy elevada de su renta a la adquisi-ción del mismo (s1 debe tender a la unidad y no a cero); lo que sólo sucederá, por regla general, cuando el consumidor soporte un nivel de renta muy bajo.

Un ejemplo, muy difundido en los libros de texto, de bien Giffen, son las patatas en la Irlanda del siglo XIX, cuyo consumo, según se cuenta, por parte de familias muy pobres constituía un gasto que representaba una proporción muy alta del presupuesto de tales familias.

Efectivamente, supongamos que en este contexto se produjera una reducción del precio de las patatas. Las familias pueden seguir consumiendo la misma cantidad de patatas que antes y, además, el ahorro derivado de pagar un menor precio por este bien pueden destinarlo a adquirir otros alimen-tos de mejor calidad, sustitutivos de las patatas, por ejemplo, verduras. Por este motivo, las familias ya no necesitan seguir consumiendo en su dieta alimenticia la misma cantidad de patatas que antes de que se redujera el precio de estas últimas, sino una cantidad menor. En suma, que una disminu-ción del precio de las patatas conduciría finalmente a una reducción de su consumo por parte de tales familias.

En este contexto, las patatas se comportan, pues, como un bien Giffen; de forma que el aumento de la renta real de las familias por la reducción del precio de las patatas es tan grande, debido a que el gasto destinado al consumo de este bien supone una elevada proporción de la renta de tales fami-lias, que al ser las patatas un bien inferior se reduce su consumo, a pesar de que se han abaratado, y lo normal en este caso sería consumir más patatas en lugar de otros alimentos sustitutivos (por ejem-plo, las verduras). Esto es lógico, porque, como sabemos, en el caso de un bien Giffen, el efecto-renta positivo domina al efecto-sustitución negativo, de ahí que la curva de demanda del bien en cuestión sea paradójicamente creciente.

Como puede apreciarse, los bienes Giffen son algo verdaderamente raro o excepcional, de forma que están excluidos, con buen criterio, del modelo de comportamiento del consumidor que contempla preferencias regulares. Dado que, tal como argumentamos en el capítulo 6, estas últimas conllevan que la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta el consumo de un determinado bien, lo que implica que la curva inversa de demanda y, por tanto, la curva de d

emanda del bien en cuestión, sean ambas decrecientes: las preferencias regulares exigen que los bienes han de ser ordi-narios, con independencia de que sean normales o inferiores, excluyendo así a los bienes Giffen.

El efecto-sustitución de Hicks

Hasta ahora se ha manejado como criterio de compensación al consumidor para obtener el efecto-sustitución, el criterio de compensación de Slutsky, que exige mantener constante la capacidad ad-quisitiva de aquél ante una variación del precio del bien, de manera que la cesta de bienes que cons-

tituía la elección inicial del consumidor siga siendo asequible. El efecto-sustitución resultante recibe el nombre de efecto-sustitución de Slutsky.

Pero ahora manejaremos otro criterio de compensación al consumidor para obtener el efecto-sustitución, el criterio de compensación de Hicks, que exige mantener constante el nivel de utilidad de aquél ante una variación del precio del bien, de manera que le permita permanecer dentro de la mis-ma curva de indiferencia a la que pertenece la cesta de bienes que constituye la elección inicial del consumidor. El efecto-sustitución resultante recibe el nombre de efecto-sustitución de Hicks.

x2 Curvas de indiferencia m/p2 m´/p2 X m*/p2 Elección Elección Inicial final Z Y x1 Efecto- Efecto- sustitución renta Figura 8.2. El efecto-sustitución de Hicks y el efecto-renta

Explicación del gráfico: puesto que la renta del consumidor y el precio del segundo bien no se al-teran, tampoco lo hará la ordenada en el origen de la recta presupuestaria: 2pm. De ahí que ante una reducción de p1 tiene lugar una giro a la derecha de la recta presupuestaria en torno al punto 2pm, de manera que la elección inicial del consumidor, que era X, pasa a ser ahora Z, la elección final de este último.

Sin embargo, ahora, para definir el efecto-sustitución en el sentido de Hicks, lo que hacemos es deslizarnos a lo largo de la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta X, la elección inicial del consumidor, hasta alcanzar la cesta Y, donde la recta presupuestaria, con la nueva inclinación debida a la reducción de p1, es tangente a la curva de indiferencia de partida.

El nivel de utilidad del consumidor permanece, pues, constante; en cambio la cesta inicial X ya no resulta asequible, de ahí que tenga lugar una pérdida de capacidad adquisitiva por parte del consu-midor al calcular el efecto-sustitución de Hicks. Para mantener constante el nivel de utilidad, debemos reducir la renta de aquél de m a m*. Ésta es ahora, pues, la variación compensada de la renta, mayor que la que tenía lugar anteriormente al calcular el efecto-sustitución de Slutsky (reducción de m a m´).

El aumento de la cantidad demandada del bien 1 con el paso de X a Y constituye el efecto-sustitución de Hicks. El efecto-renta, el paso de Y a Z, se define como antes.

El efecto-sustitución de Hicks tiene también signo negativo. Esto es, la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-sustitución de Hicks tiene signo opuesto al de la variación del precio del bien. Lo mismo que ocurría con el efecto-sustitución de Slutsky. La demostración de este extremo se hace recurriendo nuevamente al axioma débil de la preferencia revelada.

Cuando las variaciones de los precios son infinitesimales, en cursos avanzados se demuestra que ambos efectos-sustitución son idénticos.

De esta manera, en la ecuación de Slutsky resulta indiferente definir el efecto-sustitución de una u otra forma, en el sentido de Slutsky o en el de Hicks.

La curva de demanda compensada

La curva de demanda convencional de un determinado bien nos indica la cantidad demandada de este último por parte del consumidor, cuando varía el precio del bien en cuestión y la renta y el precio de los restantes bienes permanecen constantes. La pendiente de esta curva de demanda, que no es más que lo que hemos llamado efecto-total en la ecuación de Slutsky, resulta ser obviamente la suma del efecto-sustitución, se defina como se defina, más el efecto-renta.

Pero también podemos definir una curva de demanda del bien a lo largo de la cual permanezca constante tanto el precio de los restantes bienes como la capacidad adquisitiva del consumidor. Esto es, una curva de demanda cuya pendiente coincida exclusivamente con el efecto-sustitución de Slutsky, prescindiendo así del efecto-renta.

Y finalmente, también podemos definir una curva de demanda del bien a lo largo de la cual per-manezca constante tanto el precio de los restantes bienes como el nivel de utilidad del consumidor. Esto es, una curva de demanda cuya pendiente coincida exclusivamente con el efecto-sustitución de

Hicks, excluyendo así el efecto-renta. Esta curva de demanda recibe el nombre de curva de demanda compensada.

Cuando las preferencias son regulares, la curva de demanda compensada es decreciente, su pendiente es negativa. Dado que el efecto-sustitución de Hicks es también negativo.

Relación entre la curva de demanda convencional y la curva de demanda compensada

¿Qué relación existe entre la curva de demanda convencional y la curva de demanda compensada de un bien?

Tomemos el primer bien. En cualquier caso, los precios de los restantes bienes no se alteran. Consideremos que se trata de un bien normal. Por consiguiente, como el efecto-sustitución y el efec-to-renta son ambos negativos, resultará ser un bien ordinario, cuya curva de demanda será lógica-mente decreciente.

A lo largo de la curva de demanda convencional (decreciente) de este bien, , la renta del consumidor permanece constante; por lo que el nivel de utilidad de este último disminuirá confor-me aumenta p()11pDx=1. La pendiente de esta curva de demanda es la suma del efecto-sustitución de Hicks más el efecto-renta:

01111<+..........=..ERpxpxs

A lo largo de la curva de demanda compensada del primer bien (decreciente, cuando las prefe-rencias son regulares), , el nivel de utilidad del consumidor permanece constante; por lo que el nivel de renta debe aumentar conforme aumenta p(1xhp=1 (variación compensada de la renta). La pendiente de esta curva de demanda coincide con el efecto-sustitución de Hicks: 011<..........spx

Puesto que, tal como hemos dicho, se trata de un bien normal, el efecto-renta será negativo (ER<0). En consecuencia, se cumplirá:

0011111111>....

...

.

.

.>...<..........<..sspxpxpxpx

Esto es, la curva de demanda convencional tendrá una pendiente mayor en valor absoluto que la de la curva de demanda compensada del bien en cuestión; es decir, que la curva de demanda con-vencional será más inclinada que la curva de demanda compensada.

Esto ocurrirá, como es lógico, siempre que representemos el precio del bien (la variable indepen-diente de ambas curvas de demanda) en el eje de abscisas. Pero si, como es costumbre, represen-tamos el precio del bien en el eje de ordenadas, sucederá precisamente lo contrario: la pendiente de la curva de demanda convencional será menor en valor absoluto, que la de la curva de demanda compensada:

ssxpxpxpxp..........<..<...........>..>1111111100

Esto es, que la curva de demanda convencional será menos inclinada que la curva de demanda compensada.

p1 x1=h(p1) x1=D(p1) A p1* x1* x1 Figura 8.3. La curva de demanda convencional y la curva de demanda compensada

Explicación del gráfico: ambas curvas se cortarán en un punto (A), en el cual, cuando el precio del bien es p1*, la renta, que permanece constante a lo largo de la curva de demanda convencional, per-mite alcanzar al consumidor el nivel de utilidad que permanece constante a lo largo de la curva de demanda compensada. Por lo que, a ese precio, la cantidad demandada del bien coincidirá en ambas curvas y será x1*.

A medida que sube el precio del bien por encima de p1*, hay que compensar al consumidor con un aumento de renta para que se mantenga constante el nivel utilidad a lo largo de la curva de demanda compensada; como el nivel de renta permanece constante a lo largo de la curva de demanda con-vencional, la cantidad demandada será mayor en la curva de demanda compensada que en la curva de demanda convencional, al tratarse de un bien normal.

Lo contrario sucederá si el precio del bien disminuye por debajo de p1*. Entonces hay que com-pensar al consumidor con una disminución del nivel de renta para que se mantenga c

onstante el nivel de utilidad a lo largo de la curva de demanda compensada; como el nivel de renta permanece cons-tante a lo largo de la curva de demanda convencional, la cantidad demandada será mayor en la curva de demanda convencional que en la curva de demanda compensada, al tratarse de un bien normal.

Se deja al lector que repita los mismos razonamientos, y dibuje el gráfico correspondiente, para el caso en que el bien en cuestión sea inferior, aunque siga siendo un bien ordinario, esto es, con una

curva de demanda convencional decreciente. En estas circunstancias, el lector deberá llegar a la conclusión de que la curva de demanda convencional del bien es más inclinada que la curva de de-manda compensada (representando el precio del bien en el eje de ordenadas, como es costumbre).

Capítulo 8

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

Glosario

Criterio de compensación de Hicks: Exige mantener constante el nivel de utilidad del consumidor ante una variación del precio del bien, de manera que aquél permanezca dentro de la misma curva de indiferencia.

Para ello tiene que darse la correspondiente variación compensada de la renta (Hicks).

Criterio de compensación de Slutsky: Exige mantener constante la capacidad adquisitiva del consumidor ante una variación del precio del bien, de manera que la cesta de bienes que constituía la elección inicial del consumidor siga siendo asequible.

Para ello tiene que darse la correspondiente variación compensada de la renta (Slutsky).

Curva de demanda compensada: Es la curva de demanda del bien a lo largo de la cual permanece constante tanto el precio de los res-tantes bienes como el nivel de utilidad del consumidor. Obviamente, la pendiente de esta curva reco-ge exclusivamente el efecto-sustitución de Hicks, excluyendo el efecto-renta.

Cuando las preferencias son regulares, la curva de demanda compensada es decreciente, su pen-diente es negativa. Dado que el efecto-sustitución de Hicks es también negativo.

Ecuación de Slutsky: Después de realizar algunas sencillas manipulaciones algebraicas, la identidad de Slutsky se convier-te en la ecuación de Slutsky, que adopta la siguiente forma:

111111xmxpxpxs..-..........=..

La variación total de la cantidad demandada de un bien al variar su precio (efecto-total=ET) es la su-ma del efecto-sustitución (ES) más el efecto-renta (ER):

111111xmxERpxESpxETs..-=..........=..=

ERESET+=

Efecto-renta: Se debe a la variación de la capacidad adquisitiva del consumidor cuando se altera el precio de un determinado bien, aunque el nivel de renta permanezca constante. Si el precio del bien sube, la ca-pacidad adquisitiva del consumidor se verá reducida; lo contrario sucederá si el precio del bien baja.

x2 Curvas de indiferencia m/p2 m´/p2 X Z Y Desplazamiento Giro x1 Efecto- Efecto- sustitución renta Figura 8.1. El efecto-sustitución de Slutsky y el efecto-renta

Consideremos que ha tenido lugar una reducción de p1, con lo que la elección inicial X del consumi-dor, pasa a ser ahora Z, la elección final de este último. Situados ahora sobre la recta presupuestaria que pasa por X e Y, y en este último punto que es la cesta elegida por el consumidor cuando su ca-pacidad adquisitiva permanece constante ante una reducción de p1. Ahora consideramos el aumento de la capacidad adquisitiva del consumidor que tiene lugar cuando p1 disminuye, con lo que tal recta presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la derecha debido a un aumento de la renta del con-sumidor, precisamente la variación compensada de la renta (en este caso, el aumento del nivel de renta de m´ a m). La variación de la cantidad demandada del bien 1 por el paso de la cesta Y a la Z es lo que se conoce como efecto-renta.

Efecto-sustitución (Hicks): Se obtiene al manejar el criterio de compensación de Hicks, que exige mantener constante el nivel de utilidad del consumidor ante una variación del precio del bien, de manera que le permita permanecer dentro de la misma curva de indiferencia a la que pertenece la cesta de bienes que constituye la elec-ción inicial del consumidor. El efecto-sustitución resultante recibe el nombre de efecto-sustitución de Hicks.

x2 Curvas de indiferencia m/p2 m´/p2 X m*/p2 Elección Elección Inicial final Z Y x1 Efecto- Efecto- sustitución renta Figura 8.2. El efecto-sustitución de Hicks y el efecto-renta

Explicación del gráfico: puesto que la renta del consumidor y el precio del segundo bien no se alteran, tampoco lo hará la ordenada en el origen de la recta presupuestaria: 2pm. De ahí que ante una reduc-ción de p1 tiene lugar una giro a la derecha de la recta presupuestaria en torno al punto 2pm, de ma-nera que la elección inicial del consumidor, que era X, pasa a ser ahora Z, la elección final de este último.

Sin embargo, ahora, para definir el efecto-sustitución en el sentido de Hicks, lo que hacemos es desli-zarnos a lo largo de la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta X, la elección inicial del con-sumidor, hasta alcanzar la cesta Y, donde la recta presupuestaria, con la nueva inclinación debida a la reducción de p1, es tangente a la curva de indiferencia de partida.

El nivel de utilidad del consumidor permanece, pues, constante; en cambio la cesta inicial X ya no resulta asequible, de ahí que tenga lugar una pérdida de capacidad adquisitiva por parte del consu-midor al calcular el efecto-sustitución de Hicks. Para mantener constante el nivel de utilidad, debemos reducir la renta de aquél de m a m*. Ésta es ahora, pues, la variación compensada de la renta, mayor que la que tenía lugar anteriormente al calcular el efecto-sustitución de Slutsky (reducción de m a m´).

El aumento de la cantidad demandada del bien 1 con el paso de X a Y constituye el efecto-sustitución de Hicks.

El efecto-sustitución de Hicks tiene también signo negativo. Esto es, la variación de la cantidad de-mandada del bien debida al efecto-sustitución de Hicks tiene signo opuesto al de la variación del pre-

cio del bien. Lo mismo que ocurría con el efecto-sustitución de Slutsky. La demostración de este ex-tremo se hace recurriendo al axioma débil de la preferencia revelada.

Cuando las variaciones de los precios son infinitesimales, en cursos avanzados se demuestra que ambos efectos-sustitución son idénticos.

De esta manera, en la ecuación de Slutsky resulta indiferente definir el efecto-sustitución de una u otra forma, en el sentido de Slutsky o en el de Hicks.

Efecto-sustitución (Slutsky): Consideremos que ha tenido lugar una reducción de p1. El efecto-sustitución es debido a que el con-sumidor se inclina a demandar una menor cantidad de otros bienes sustitutivos del primero, cuyos precios se han encarecido relativamente, y una mayor cantidad del bien en cuestión, cuyo precio se ha reducido. Por este motivo, debido a la simple alteración de los precios relativos de los bienes, in-cluso aunque la capacidad adquisitiva del consumidor permanezca constante, la cantidad demandada del primer bien se ve alterada.

x2 Curvas de indiferencia m/p2 m´/p2 X Z Y Desplazamiento Giro x1 Efecto- Efecto- sustitución renta Figura 8.1. El efecto-sustitución de Slutsky y el efecto-renta

El efecto-sustitución se corresponde con la alteración de la cantidad demandada del bien cuando la capacidad adquisitiva del consumidor permanece constante (paso de X a Y). En ese caso, la cesta X inicialmente demandada por el consumidor debe seguir siendo asequible a los nuevos precios, esto es, con la nueva inclinación de la recta presupuestaria. De esta forma, podemos trazar una recta pre-supuestaria que pase por X y tenga la misma pendiente que la recta presupuestaria que pasa por Z. Es como si la recta presupuestaria de partida girase o pivotara alrededor de la cesta X hasta alcanzar la nueva inclinación fruto de la disminución de p1. La elección óptima es ahora Y. La variación de la cantidad demandada del bien 1 debida al paso de la cesta X a la Y es precisamente el efecto-

sustitución, que a veces recibe el nombre de variación de la demanda compensada; puesto que para obtener aquél debemos compensar al consumidor con una variación de la renta, precisamente la variación compensada de la renta, para mantener constante la capacidad adquisitiva de este último (en este caso se trata de una disminución del nivel de renta, de m a m´).

Efecto-total: Es la variación de la cantidad demandada de un bien cuando varía su precio, permaneciendo cons-tante la renta del consumidor y los precios de los otros bienes.

Es la suma del efecto-renta y del efecto-sustitución. Se expresa formalmente mediante la ecuación de Slutsky.

Identidad de Slutsky: Refirámonos al bien 1, donde p1 es el precio inicial y 1p' el precio final del bien; m la renta del consu-midor y m´ la renta compensada que mantiene constante la capacidad adquisitiva del consumidor cuando el precio del bien es . 1p'

Obviamente, debe cumplirse la siguiente identidad:

()()()()[]()([]mpxmpxmpxmpxmpxmpx''-'+-''=-',,,,,,111111111111

nsxxx111.+.=.

La variación de la cantidad demandada de un bien al variar su precio (efecto-total=), permane-ciendo constantes la renta del consumidor y los precios de los otros bienes, es igual a la suma del efecto-sustitución () más el efecto-renta (). Ésta es precisamente la identidad de Slutsky. 1x.sx1.nx1.

Ley de la demanda: Los bienes normales, puesto que el efecto-renta y efecto-sustitución son ambos negativos, se com-portan siempre como bienes ordinarios, dado que el efecto-total resultante es negativo. De ahí que los bienes normales tengan una curva de demanda decreciente.

En cambio, los bienes inferiores, puesto que el efecto-sustitución es negativo y el efecto-renta positi-vo, pueden comportarse a veces como bienes Giffen, para los cuales el efecto-total es positivo; de ahí que estos últimos tengan una curva de demanda creciente.

En consecuencia, un bien Giffen no es más que un bien inferior en el que el efecto-renta positivo do-mina al efecto-sustitución negativo, originando un efecto-total positivo.

Para que un bien inferior pueda comportarse como un bien Giffen, el consumidor d

ebe destinar una parte muy importante de su presupuesto a adquirir tal bien inferior, lo que sólo sucederá normalmente cuando el nivel de renta de aquél es muy bajo. Ejemplo de bien Giffen: el consumo de patatas por parte de familias muy pobres en la Irlanda del siglo XIX.

Variación compensada de la renta (Hicks): Es la variación de la renta que es preciso llevar a cabo para mantener intacto el nivel de bienestar del consumidor, como consecuencia de la alteración del precio de un bien, con objeto de que este último permanezca dentro de la misma curva de indiferencia.

La variación compensada de la renta tiene el mismo signo que la variación del precio del bien. Si el precio aumenta, entonces hay que compensar al consumidor con un incremento de renta para que mantenga constante su nivel de utilidad; lo contrario si el precio disminuye.

Variación compensada de la renta (Slutsky): Es la variación de la renta que es preciso llevar a cabo para mantener intacta capacidad adquisitiva del consumidor, como consecuencia de la alteración del precio de un bien, por ejemplo p1:

11pxm.=.

Y es igual a la cantidad demandada del bien en cuestión multiplicada por variación del precio del bien. De este modo, la cesta de bienes de partida resulta asequible a los nuevos precios. La recta presu-puestaria pivota alrededor de la cesta óptima originaria, cambiando de inclinación al alterarse el pre-cio de bien en cuestión.

La variación compensada de la renta tiene el mismo signo que la variación del precio del bien. Si el precio aumenta, entonces hay que compensar al consumidor con un incremento de renta para que mantenga constante su capacidad adquisitiva; lo contrario si el precio disminuye.

EL EFECTO-RENTA EN LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

Tomemos la ecuación de Slutsky:

sxxxpp.....=-.......

He eliminado el subíndice que hace referencia al bien 1 para simplificar la notación.

Definamos el efecto-renta del siguiente modo:

xERxm.=-.

Nosotros podemos rescribir la ecuación de Slutsky como sigue:

sxxdxdpxdppm....=-......

La cual puede interpretarse como que la variación de la cantidad demandada del bien (dx) debida a una variación en su precio, permaneciendo constantes la renta y el precio de los restantes bienes, es igual a la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-sustitución (primer término del segundo miembro) más la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta:

xxdpm.-.

A su vez, esta variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta puede interpre-tarse como el resultado de multiplicar los dos componentes siguientes:

a) La variación del nivel de renta real del consumidor (xdp-) como consecuencia de la varia-ción del precio del bien. Esta variación del nivel de renta real del consumidor obviamente tie-ne signo opuesto a la variación del precio del bien. Si el precio del bien se reduce, la renta real del consumidor aumenta... Y, por tanto, es igual en valor absoluto pero de signo opuesto a la variación compensada de la renta (xd) utilizada para definir el efecto-sustitución, que se requiere para mantener constante la capacidad adquisitiva del consumidor ante una va-riación del precio del bien. pb) La variación de la cantidad demandada del bien en relación con la variación del niv

el de ren-ta (xm..): la derivada parcial de la función de demanda del bien respecto de la variable renta. Esta derivada es positiva si se trata de un bien normal.

En consecuencia, la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta resulta de multiplicar la variación del nivel de renta real de consumidor, como consecuencia de la variación del precio de bien, por la derivada parcial de la función de demanda del bien respecto de la variable ren-ta. De forma que la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-sustitución tiene lugar cuando el nivel de renta real, esto es, la capacidad adquisitiva del consumidor, permanece constante por medio de la variación compensada de la renta; que es igual en valor absoluto pero de signo contrario a la variación del nivel de renta real del consumidor.

Como puede apreciarse, la argumentación es más lógica definiendo el efecto-total en la ecuación de Slutsky como la suma del efecto-sustitución más el efecto-renta. De forma que este último adopta-ría la siguiente expresión:

xERxm.=-.

donde el efecto-renta resulta ser negativo para los bienes normales.

En lugar de definir en la ecuación de Slutsky el efecto-total como el efecto-sustitución menos el efecto-renta, de modo que este último adoptaría la siguiente expresión:

xxm..

donde el efecto-renta resulta ser positivo para los bienes normales.

NEGATIVIDAD DEL EFECTO-SUSTITUCIÓN DE HICKS

El efecto-sustitución de Hicks es negativo. Ello quiere decir que una disminución del precio del primer bien (manteniendo constante el precio del segundo bien) da lugar a un aumento de la cantidad de-mandada de aquél, permaneciendo dentro de la misma curva de indiferencia, es decir, compensando al consumidor con una disminución de su nivel de renta para que se mantenga inalterado su nivel de bienestar.

Puesto que cualquier cesta óptima (interior) debe cumplir la siguiente condición:

1122UMpRMSUMp==

Una disminución de , permaneciendo constante , conlleva que la RMS en valor absoluto debe disminuir en cualquier caso para alcanzarse el nuevo punto de equilibrio. Y esto con indepen-dencia de que nos mantengamos dentro de la misma curva de indiferencia, como es el caso del efec-to-sustitución de Hicks, o pasemos a otra curva de indiferencia, como en el caso de que se mantuvie-ra inalterado el nivel de renta del consumidor. 1p2p

Dada la convexidad de las preferencias, la RMS sólo puede disminuir en valor absoluto a lo largo de una curva de indiferencia si aumenta la cantidad consumida del primer bien y se reduce la del segundo. Por este motivo, el efecto sustitución de Hicks es negativo, y las curvas de demanda com-pensada son decrecientes.

x2 curva de indiferencia m/p2 pendiente p1/p2 A m�/p2 pendiente p1�/p2 B x1

En este gráfico se observa que el precio del primer bien ha disminuido, y, por este motivo, la nue-va recta presupuestaria se ha hecho más horizontal. El resultado es un deslizamiento del punto de

equilibrio hacia la derecha, a lo largo de la curva de indiferencia. Lo que implica necesariamente un aumento de la cantidad consumida del primer bien debido al efecto-sustitución de Hicks. Naturalmen-te el nivel de renta del consumidor se ha reducido con objeto de compensar la disminución del precio del primer bien y, de este modo, permanecer dentro de la misma curva de indiferencia.

Se trata de una demostración alternativa de la negatividad del efecto-sustitución de Hicks a la contenida en el libro de texto, basada en el axioma débil de la preferencia revelada. Esta última es más general, dado que no requiere ningún supuesto acerca de la convexidad de las preferencias del consumidor.

De hecho, puede observarse en el gráfico anterior que las elecciones inicial (A) y final (B) del con-sumidor cumplen el axioma débil de la preferencia revelada: cuando el consumidor elige la cesta A, en la situación inicial, cuando los precios son precisamente p1, p2 y el nivel de renta m, la cesta B no resulta asequible (es más cara); y cuando el consumidor elige la cesta B, en la situación final, cuando los precios son p1�, p2 y el nivel de renta m�, la cesta A no resulta asequible (es más cara). Y esto precisamente es suficiente para demostrar, como se hace en el libro de texto, que el efecto-sustitución de Hicks es negativo.

LEY DE LA DEMANDA

El equilibrio del consumidor proveniente de unas preferencias regulares por parte de este último se expresa formalmente del siguiente modo:

1122UMpRMSUMp==

Si hacemos , entonces la RMS en valor absoluto puede interpretarse como la disposición marginal a pagar por parte del consumidor al adquirir una unidad adicional del primer bien. 21p=

Puesto que la RMS en valor absoluto es decreciente a medida que aumenta la cantidad consumi-da del primer bien, esto último sólo puede tener lugar si se reduce . Por este motivo, la curva de demanda de bien 1 es decreciente. 1p

Lo mismo sucedería si hiciéramos 11p=, y razonáramos a partir del segundo bien.

Luego el modelo del comportamiento del consumidor basado en las preferencias regulares sólo considera bienes ordinarios, ya sean normales o inferiores, excluyendo los bienes Giffen.

El que la curva de demanda de un bien sea decreciente puede argumentarse también basándo-nos en la ecuación de Slutsky. Puesto que el efecto-sustitución es negativo, si estamos ante un bien normal o ante un bien inferior que no sea Giffen, el efecto-total será también negativo, por lo que la curva de demanda de un bien será decreciente.

Esta argumentación es más general, porque la negatividad del efecto-sustitución puede demos-trarse a partir del axioma débil de la preferencia revelada, que no requiere establecer ningún supues-to acerca la convexidad de las preferencias del consumidor, ni acerca de la existencia de la función de utilidad.

MINIMIZACIÓN DEL GASTO

En la elección óptima por parte del consumidor, el problema denominado primal consiste en maximi-zar el nivel de utilidad sujeto a la restricción presupuestaria:

1212,1122Maximizar(,)sujeta axxuxxpxpxm+=

Se toma la siguiente función auxiliar denominada lagrangiano:

()121212(,,)(,)Lxxuxxpxpxm..=-+

Método del multiplicador de Lagrange:

1110LUMpx..=-=.

2220LUMpx..=-=.

11220Lpxpxm..=+-=.

A partir de las dos primeras ecuaciones obtenemos la condición de equilibrio del consumidor para una cesta óptima interior:

1212UMUMpp..==

De donde se infiere:

1122UMpRMSUMp==

Utilizando ahora la ecuación de la recta presupuestaria, obtendríamos las funciones de demanda convencionales o marshallianas, donde la cantidad demandada de cada uno de los bienes depende de los precios de estos últimos y del nivel de renta del consumidor:

11122212(,,)(,,)xdppmxdppm==

Ahora bien, la cesta óptima elegida por el consumidor se puede obtener resolviendo el problema dual de minimizar el gasto, dados los precios de los bienes, para alcanzar un determinado nivel de utilidad:

121122,12Minimizarsujeta a(,)xxpxpxuxxu+=

Se toma el siguiente lagrangiano:

()12112212(,,)(,)Lxxpxpxuxxuµµ=+--

Método del multiplicador de Lagrange:

1110LpUMxµ.=-=.

2220LpUMxµ.=-=.

12(,)0Luxxu..=-=.

A partir de las dos primeras ecuaciones obtenemos la condición de equilibrio del consumidor para una cesta óptima interior, que es la misma que la resultante anteriormente en el primal:

1122UMpRMSUMp==

Este hecho puede interpretarse en el sentido de que la cesta óptima que maximiza el nivel de uti-lidad del consumidor, sujeto a la restricción presupuestaria, es la misma que la cesta óptima que mi-nimiza el gasto que debe realizar el consumidor para alcanzar ese mismo nivel de utilidad máximo, y ese gasto es precisamente el nivel de renta del que disfruta.

x2 Minimizació del gasto u Maximización de la utilidad x1

Cuando el consumidor maximiza el nivel de utilidad, entonces se desliza a lo largo de la recta pre-supuestaria hasta alcanzar la curva de indiferencia que es tangente a la primera. De esta forma logra el nivel máximo de utilidad accesible dada la renta de la que dispone y los precios de los bienes.

Cuando el consumidor minimiza el gasto para alcanzar ese nivel de utilidad u, se desliza a lo largo de la correspondiente curva de indiferencia hasta encontrar la recta presupuestaria que, con la incli-nación establecida por los precios de los bienes, resulta tangente a esa curva de indiferencia. Por tanto, en ambos casos la cesta óptima es idéntica.

Funciones de demanda compensada o hicksianas

Si ahora introducimos la condición de equilibrio del consumidor en la restricción relacionada con la función de utilidad (la tercera de las ecuaciones que definen el equilibrio del consumidor en el pro-blema dual), obtendremos las llamadas funciones de demanda compensada o hicksianas, donde la cantidad demandada de cada bien depende de los precios de los bienes y del nivel de utilidad:

11122212(,,)(,,)xhppuxhppu==

La curva de demanda compensada para el primer bien, por ejemplo, se obtiene a partir de la co-rrespondiente función de demanda compensada haciendo constante el precio del segundo bien y el nivel de utilidad. Depende sólo del precio del primer bien.

Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas

Tomemos como ejemplo la siguiente función de utilidad Cobb-Douglas:

1212(,)abuxxxx=

donde , una vez realizada la correspondiente transformación monótona de la función de utilidad en caso de que fuera necesario. 1ab+=

Problema dual, minimización del gasto:

121122,12Minimizarsujeta axxabpxpxxxu+=

Se toma el siguiente lagrangiano:

()12112212(,,)abLxxpxpxxxuµµ=+--

Método del multiplicador de Lagrange:

112110baLpxaxxµ-.=-=.

121220abLpxbxxµ-.=-=.

120abLxxu..=-=.

Tomando las dos primeras ecuaciones, obtenemos la condición de equilibrio del consumidor para una cesta óptima interior:

1221UMaxpRMSUMbxp=== 1212pbxxap=

Si en lugar de sustituir en la ecuación de la recta presupuestaria, sustituimos en la restricción aso-ciada a la función de utilidad (la tercera de las ecuaciones anteriores):

12abuxx=

Obtendremos:

21112bbabbpuaxubppbap+....==..............

Dado que , la función de demanda compensada para el primer bien adopta la si-guiente forma: 1ab+=

11bbbaxpb-..=....

Como puede apreciarse, la cantidad demandada del primer bien depende inversamente de su propio precio (curva de demanda compensada decreciente) y directamente del nivel de utilidad.

Siguiendo un procedimiento semejante obtendremos la función de demanda compensada para el segundo bien:

21aaabxpa-..=....

La función de gasto

A partir de las funciones de demanda compensada para cada uno de los bienes es fácil obtener la función que nos indica el gasto mínimo en que debe incurrir un consumidor para alcanzar un determi-nado nivel de utilidad:

11122212(,,)(,,)Ephppuphppu=+

Esta función de gasto, al igual que las funciones de demanda compensada, depende de los pre-cios de ambos bienes y del nivel de utilidad.

En el caso particular de la función de utilidad Cobb-Douglas que estamos manejando, tal función de gasto adopta la siguiente forma:

11221babbaaabEpppupppba--....=+........

Después de sacar factor común y de realizar algunas simplificaciones obtendremos la forma defi-nitiva de la función de gasto:

12ababEabpp--=

Como puede apreciarse, tal función depende directamente de los precios de los bienes y del nivel de utilidad.

LA CURVA DE DEMANDA COMPENSADA Y EL EFECTO-SUSTITUCIÓN DE HICKS

Dada la función de utilidad Cobb-Douglas:

1212(,)abuxxxx=

donde , una vez realizada la correspondiente transformación monótona de la función de utilidad en caso de que fuera necesario. 1ab+=

Consideremos la función de demanda compensada correspondiente al primer bien:

111212(,,)bbbaxhppuppb-..==....

Obtengamos la pendiente de la curva de demanda compensada, lo que conlleva que el precio del otro bien y el nivel de utilidad permanecen constantes:

12112121()0bbbbabbhaabppubppupbb----.....=-=-<.........

Como puede observarse, la pendiente de la curva de demanda compensada es negativa; por tan-to, tal curva es decreciente.

Podemos simplificar aún más la expresión anterior expresando el nivel de utilidad en función de los precios de los bienes y del nivel de renta del consumidor. Se trata de introducir en la anterior ex-presión la llamada función indirecta de utilidad.

Efectivamente, sabemos que las funciones convencionales de demanda para cada bien corres-pondientes a la función de utilidad Cobb-Douglas que estamos manejando son las siguientes:

1212mmxaxbpp==

Sustituyendo en la función de utilidad, resulta la siguiente función indirecta de utilidad:

12ababuabpp--=

Se denomina función indirecta de utilidad porque nos indica el nivel de utilidad del consumidor en función no de las cantidades consumidas de ambos bienes (función directa de utilidad), sino en fun-ción de los precios de los bienes y del nivel de renta.

Como puede apreciarse, el nivel de utilidad depende inversamente de los precios de los bienes y directamente del nivel de renta.

Puesto que dados los precios de los bienes, el nivel de renta m nos permite alcanzar el nivel de utilidad u según la anterior función indirecta de utilidad. Entonces tal nivel de renta m no es más que el gasto mínimo necesario en que debe incurrir el consumidor para alcanzar precisamente el nivel de utilidad u, dados los precios de los bienes.

En consecuencia, la función de gasto resulta ser la inversa de la función indirecta de utilidad:

12ababEabpp--=

(Véase minimización del gasto, donde la función de gasto se obtuvo a partir de las funciones de demanda compensada)

Introduciendo la función indirecta de utilidad en la expresión de la pendiente de la curva de de-manda compensada correspondiente al primer bien, obtenida con anterioridad, resultará después de realizar las correspondientes simplificaciones:

12110hmabpp.=-<.

Esta expresión ya se obtuvo en la Guía Didáctica (Capítulo 8, epígrafe 4 de aclaraciones y co-mentarios) para el efecto-sustitución correspondiente a una función de utilidad Cobb-Douglas, a partir de la ecuación de Slutsky, como la diferencia entre el efecto-total menos el efecto-renta.

Luego el efecto-sustitución de Hicks no es más que la pendiente de la curva de demanda com-pensada, pero eso es negativo. Y además queda comprobado que se cumple la ecuación de Slutsky, dado que el efecto-sustitución, obtenido a partir de la curva de demanda compensada, es igual al efecto-total menos el efecto-renta, estos dos últimos obtenidos a partir de la curva de demanda con-vencional.

Una demostración más general de todo esto, sin necesidad de centrarse en el caso particular de una función de utilidad Cobb-Douglas, se lleva a cabo en cursos avanzados.

Capítulo 8

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

Efectos-sustitución de Slutsky y Hicks discrepantes ¿Podrían los Sres. Slutsky y Hicks llegar a una discusión por considerar a un mismo bien ordinario y Giffen respectivamente, teniendo en cuenta sus diferencias en cuanto a los efectos-sustitución?

Es posible, a primera vista, que el fenómeno que se indica ocurra cuando la variación del precio del bien es finita, dado que ambos efectos-sustitución (el de Slutsky y el de Hicks) no coinciden. Cuando la variación del precio del bien es infinitesimal ambos efectos-sustitución coinciden, y por tanto es imposible que un mismo bien se comporte como un bien ordinario o Giffen, dependiendo del criterio de compensación al consumidor. Luego, cuanto más pequeña es la variación del precio del bien más improbable es que ocurra el fenómeno que se indica.

Este razonamiento parece correcto, pero no lo es. Porque lo que define un bien como Giffen es que el efecto-total sea positivo; o negativo si se trata de un bien ordinario. El signo del efecto-total es inde-pendiente del criterio de compensación al consumidor utilizado para definir el efecto-sustitución, se-gún Slutsky o Hicks. El signo del efecto-total, esto es, el signo de la variación de la cantidad deman-dada de un bien al variar su propio precio depende sólo de las preferencias del consumidor y no del criterio de compensación... Luego el fenómeno que se indica es imposible.

Continuando con la argumentación, el efecto-total se obtiene manejando la función de demanda del bien, calculando la variación de la cantidad demandada ante una variación del precio de bien, perma-neciendo todo lo demás constante. Cuando la variación del precio es infinitesimal, la relación entre la variación de la cantidad demandada y la variación del precio del bien no es más que la derivada par-cial de la función de demanda del bien. Y la función de demanda del bien sólo depende de las prefe-rencias del consumidor.

En consecuencia, la variación de la cantidad demandada de un bien ante una variación de su propio precio no depende en absoluto del criterio de compensación al consumidor utilizado para definir el efecto-sustitución, según Slutsky o Hicks. Por lo que un bien no puede ser simultáneamente ordinario o Giffen según el criterio de compensación empleado.

Puede concluirse entonces que, puesto que el efecto-total no depende del criterio de compensación al consumidor, se cumple que la discrepancia entre el efecto-sustitución de Slutsky y el de Hicks que-

da contrarrestada por una discrepancia igual el valor absoluto pero de signo opuesto en el efecto-renta en ambos casos.

En este sentido, puede compararse al respecto las preguntas de test 8.3 y 8.4 de la Guía Didáctica con las preguntas 8.22 y 8.23; la discrepancia de la que estamos hablando es en valor absoluto 0,03. El efecto-total es el mismo en ambas situaciones (-1,67), y, por tanto, independiente del criterio de compensación al consumidor, como venimos manteniendo.

Capítulo 14

EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

Breve introducción

En este capítulo vamos a medir en términos monetarios el nivel de utilidad que se deriva del consumo de una determinada cantidad de un bien por parte del consumidor cuando éste paga el precio de mercado al adquirirlo. O bien, la variación que experimenta el nivel de utilidad el consumidor cuando varía el precio de mercado y, de ahí, la cantidad demandada del bien en cuestión.

Capítulo 14

EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

En este capítulo vamos a medir en términos monetarios el nivel de utilidad que se deriva del consumo de una determinada cantidad de un bien por parte del consumidor cuando éste paga el precio de mercado al adquirirlo. O bien, la variación que experimenta el nivel de utilidad del consumidor cuando varía el precio de mercado y, de ahí, la cantidad demandada del bien en cuestión.

Consideremos que las preferencias del consumidor son cuasilineales, y que están representadas mediante la siguiente función de utilidad:

2121ln),(xxxxu+=

Cuando las preferencias son cuasilineales, la utilidad marginal correspondiente al primer bien sólo depende de la cantidad consumida de este último, siendo independiente de la cantidad consumida del segundo bien. Y, además, la utilidad marginal correspondiente al primer bien es decreciente a medida que aumenta la cantidad consumida de este último: 111xUM=.

El equilibrio del consumidor exige que la utilidad marginal derivada del consumo del primer bien ha de ser igual al precio de este último, haciendo el precio del segundo bien igual a la unidad:

11121211pxUMppUMUM===

Ahora, si sumamos los precios a los que el consumidor demanda sucesivas unidades del bien 1 hasta una cantidad x1, estamos sumando las utilidades marginales derivadas del consumo de unida-des sucesivas del bien 1; en otras palabras, estamos calculando la utilidad total derivada del consumo del bien 1 hasta una cantidad x1. Ésta es precisamente la definición de beneficio bruto o excedente bruto del consumidor.

Por este motivo, cuando las preferencias son cuasilineales, el beneficio bruto o excedente bruto del consumidor correspondiente al bien 1, es el área situada debajo de la curva inversa de demanda del bien en cuestión.

p Excedente bruto del consumidor Curva inversa de demanda p1 p=p(x) x1 x Figura 14.1. El excedente bruto o beneficio bruto del consumidor

El beneficio neto, excedente neto o excedente del consumidor derivado del consumo de x1 unida-des del bien 1, no es más que el excedente bruto menos el gasto del consumidor destinado a adquirir el bien en cuestión (p1x1).

p Excedente del consumidor p1 Curva inversa de demanda p=p(x) x1 x Figura 14.2. El excedente, excedente neto, o beneficio neto del consumidor

La variación del excedente del consumidor, cuando varía el precio del bien, y, de ahí, la cantidad demandada del mismo, se corresponde con el área de una figura aproximadamente trapezoidal situa-da bajo la curva de demanda del bien.

p p=p(x) p� Variación del excedente del consumidor R T p´ Z x� x´ x Figura 14.3. La variación del excedente del consumidor

Si el precio del bien sube de a p'p'', la cantidad demandada disminuye de x' a x''. La pérdida del excedente del consumidor (área R+T) se debe a dos motivos:

� Ahora el consumidor debe pagar más por la unidades que consume: x''. Área R. � Hay una disminución de la cantidad consumida del bien: xx''-'. Área T.

Cuando las preferencias son cuasilineales, la variación del excedente del consumidor (área R+T) coincide con la variación que experimenta el excedente bruto del consumidor (área T+Z); esto es, coincide con la variación que experimenta el nivel de utilidad del consumidor cuando se altera el pre-cio del bien.

Efectivamente, a la vista de la Figura 14.3, se cumple:

Área (R+T) + p´x´ - p´´x´´ = Área (T+Z)

Pero cuando las preferencias son cuasilineales, el gasto que el consumidor destina a adquirir el primer bien (p1x1) permanece constante cuando varía p1. En particular, dada la función de utilidad cuasilineal que estamos manejando, se cumple:

111=xp

Por consiguiente, tal como queríamos demostrar, resulta:

Área (R+T) = Área (T+Z)

En términos más generales, sin la exigencia, pues, de que las preferencias sean cuasilineales, las representaciones gráficas de excedente bruto, excedente y variación del excedente del consumidor, que hemos llevado a cabo hasta ahora, siguen siendo válidas, pero la interpretación económica que hemos dado a tales conceptos no se mantiene.

Cuando las preferencias no son cuasilineales, el excedente bruto del consumidor, el área bajo la curva inversa de demanda, ya no puede interpretarse como la utilidad total derivada del consumo de x1 unidades del bien en cuestión.

En este contexto más general, el excedente bruto del consumidor se define como la cantidad de dinero que está dispuesto a pagar el consumidor como máximo por consumir x1 unidades del bien.

Efectivamente, sabemos que la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica la disposición marginal a pagar por parte del consumidor, asociada a la cantidad consumida del bien en cuestión; dado que al hacer p2=1, el equilibrio del consumidor exige el cumplimiento de la siguiente igualdad:

1pRMS=

En consecuencia, si sumamos los distintos precios a los que el consumidor demanda unidades sucesivas del bien hasta una cantidad x1 (área situada debajo de la curva inversa de demanda), es-tamos sumando las disposiciones marginales a pagar por parte del consumidor en adquirir las sucesi-vas unidades del bien 1. En otras palabras, estamos calculando la disposición máxima a pagar por parte del consumidor para adquirir x1 unidades del bien en cuestión. Ésta es ahora la interpretación del excedente bruto del consumidor.

Por este motivo, el excedente del consumidor se define ahora como la diferencia entre la cantidad de dinero que está dispuesto a pagar el consumidor como máximo por consumir x1 unidades del bien, menos lo que realmente paga por adquirir tales unidades (p1x1).

En este mismo sentido, el excedente del consumidor se define también como la cantidad de dine-ro que habría que pagar al consumidor, que está demandando actualmente x1 unidades del bien, para que renunciara completamente al consumo de este último. Esta cantidad de dinero es precisamente la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar como máximo por consumir x1 unida-des del bien, menos lo que realmente paga; esto es, el �beneficio neto� derivado del consumo de x1 unidades del bien en cuestión.

Del mismo modo, cuando las preferencias no son cuasilineales, la variación del exc

edente del consumidor ya no puede interpretarse como la variación que experimenta el nivel de utilidad del con-sumidor cuando se altera el precio del bien. Aunque la representación gráfica siga siendo la misma (véase la Figura 14.3). Dado que ahora:

� El área (R+T) ya no es necesariamente igual al área (T+Z), debido a que el gasto destinado a adquirir el bien en cuestión no tiene por qué mantenerse constante a medida que varía el pre-cio del bien. � El área bajo la curva inversa de demanda (excedente bruto del consumidor) ya no mide el ni-vel de utilidad derivado del consumo del bien; dado que, en términos generales, la utilidad marginal del primer bien no tiene por qué depender exclusivamente de la cantidad consumida de este último, sino también de la cantidad consumida de otros bienes. De forma que en este contexto más general no puede obtenerse, al contrario de lo que ocurre con las preferencias cuasilineales, una sencilla igualdad entre el precio del bien y la utilidad marginal correspon-diente, dependiente exclusivamente de la cantidad consumida del bien en cuestión.

Variaciones compensatorias y equivalentes

Vamos a medir en términos monetarios las variaciones en el nivel de bienestar del consumidor debi-das a una alteración del precio de un bien, sin referencia alguna a la noción de excedente del consu-midor.

Variación compensatoria: Es la cantidad de dinero que habría que dar al consumidor después de la subida del precio del bien para que goce del mismo nivel de bienestar que disfrutaba antes de la subida del precio del bien en cuestión.

Variación equivalente: Es la cantidad de dinero que habría que quitar al consumidor antes de la subida del precio del bien para disfrute del mismo nivel de bienestar que alcanza después de que suba el precio del bien.

Cuando las preferencias son cuasilineales, la variación compensatoria y la variación equivalente coinciden con la variación del excedente del consumidor. Esta proposición aparece demostrada en el libro de texto al final del epígrafe 14.8.

Cuando las preferencias no son cuasilineales, la variación del excedente del consumidor está comprendida entre la variación compensatoria y la variación equivalente. Esta proposición se de-muestra en cursos avanzados, sin embargo aquí realizaremos una argumentación intuitiva en térmi-nos gráficos, que puede ser complementada con el ejemplo numérico que aparece al final de apéndi-ce del capítulo, en el libro de texto.

p A p1 B x=D(p) D p0 C x=h(u0,p) x=h(u1,p) x1 x0 x Figura 14.4. Variación compensatoria, Variación equivalente y excedente del consumidor

Explicación del gráfico: Tal como vimos en el capítulo 8, cuando un bien es normal la curva de demanda compensada tiene mayor inclinación que la curva de demanda convencional, al representar el precio en el eje de ordenadas.

Aquí hemos pintado dos curvas de demanda compensada. La primera de ellas asociada al nivel de utilidad U0, el nivel de bienestar que disfruta el consumidor en el momento inicial, cuando el precio del bien es p0 (por eso esta curva de demanda compensada corta a la curva de demanda convencio-nal en el punto D). Y otra curva de demanda compensada asociada al nivel de utilidad U1, el nivel de bienestar que disfruta el consumidor en el momento final, cuando el precio del bien es p1 (por eso esta curva de demanda compensada corta a la curva de demanda convencional en el punto A).

El precio del bien sube de p0 a p1, por tanto, el nivel de utilidad cae de U0 a U1, dado que el nivel de renta permanece constante.

La variación compensatoria coincide con el área p0p1BD. Efectivamente, a medida que nos mo-vemos hacia arriba a lo largo de la curva de demanda compensada x=h(u0,p), cuando el precio del bien aumenta paulatinamente de p0 a p1, vamos conociendo la cantidad demandada del bien ante sucesivos incrementos infinitesimales del precio, manteniéndose constante el nivel de utilidad U0 del consumidor. Por consiguiente, si multiplicamos tales incrementos infinitesimales de p0 por las canti-dades que sucesivamente se van demandando del bien a lo largo de la citada curva de demanda compensada y sumamos, esto es, si calculamos el área p0p1BD, entonces queda determinado el in-cremento del gasto, y, por tanto, del nivel de renta, que debe tener lugar para compensar al consumi-dor con objeto de que mantenga el nivel de utilidad de partida U0, con motivo del incremento del pre-

cio del bien. Tal incremento del gasto, y, por tanto del nivel de renta, que se corresponde precisamen-te con el área indicada, es, por definición, la variación compensatoria.

La variación equivalente coincide con el área p0p1AC. Efectivamente, a medida que nos movemos hacia abajo a lo largo de la curva de demanda compensada x=h(u1,p), cuando el precio del bien dis-minuye paulatinamente de p1 a p0, vamos conociendo la cantidad demandada de este último ante sucesivas reducciones infinitesimales del precio, manteniéndose constante el nivel de utilidad U1 del consumidor. Por consiguiente, si multiplicamos tales disminuciones infinitesimales de p1 por las canti-dades que sucesivamente se van demandando del bien a lo largo de la citada curva de demanda compensada y sumamos, esto es, si calculamos el área p0p1AC, entonces queda determinada la reducción del gasto, y, por tanto, del nivel de renta, que debe tener lugar para conseguir que el con-sumidor mantenga el nivel de utilidad U1, en particular, cuando se alcanza el precio inicial p0. Puesto que U1 es el nivel de utilidad que disfruta el consumidor cuando el precio del bien sube de p0 a p1, tal reducción del gasto, y, por tanto del nivel de renta, que se corresponde precisamente con el área indicada, es, por definición, la variación equivalente.

Por este motivo, el área situada bajo la curva de demanda (p0p1AD), esto es, la variación del ex-cedente del consumidor, está comprendida entre dos áreas situadas bajo sendas curvas de demanda compensada, asociadas respectivamente a los niveles de utilidad inicial y final del consumidor con motivo de la subida del precio del bien, que miden respectivamente la variación compensatoria y la variación equivalente. En consecuencia, el excedente del consumidor, cuando las preferencias no son cuasilineales, puede decirse que se trata de una medida aproximada en términos monetarios, situada entre dos extremos, de la variación que experimenta el nivel de bienestar del consumidor cuando se altera el precio del bien en cuestión.

Además, puede apreciarse fácilmente que cuando sube el precio del bien la variación compensa-toria es siempre mayor que la variación equivalente, dado que al mantenerse constante el nivel de renta disminuye el nivel de utilidad del consumidor. Lo contrario sucede, precisamente, cuando baja el precio del bien y, por tanto, aumenta el nivel de utilidad del consumidor.

Sólo cuando las preferencias son cuasilineales, el área situada bajo la curva de demanda, el ex-cedente del consumidor, es una medida exacta en términos monetarios de la variación que experi-menta el nivel utilidad de este último cuando se altera el precio del bien en cuestión. En este caso, como sabemos, la variación del excedente del consumidor coincide con la variación co

mpensatoria y la variación equivalente.

Capítulo 14

EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

Glosario

Beneficio bruto del consumidor: Véase excedente bruto del consumidor.

Beneficio neto del consumidor: Véase excedente del consumidor.

Excedente bruto del consumidor: Consideremos que las preferencias del consumidor son cuasilineales, y que están representadas mediante la siguiente función de utilidad:

2121ln),(xxxxu+=

Cuando las preferencias son cuasilineales, la utilidad marginal correspondiente al primer bien sólo depende de la cantidad consumida de este último, siendo independiente de la cantidad consumida del segundo bien. Y, además, la utilidad marginal correspondiente al primer bien es decreciente a medida que aumenta la cantidad consumida de este último: 111xUM=.

El equilibrio del consumidor exige que la utilidad marginal derivada del consumo del primer bien ha de ser igual al precio de este último, haciendo el precio del segundo bien igual a la unidad:

11121211pxUMppUMUM===

Ahora, si sumamos los precios a los que el consumidor demanda sucesivas unidades del bien 1 hasta una cantidad x1, estamos sumando las utilidades marginales derivadas del consumo de unidades sucesivas del bien 1; en otras palabras, estamos calculando la utilidad total derivada del consumo del bien 1 hasta una cantidad x1. Ésta es precisamente la definición de beneficio bruto o excedente bruto del consumidor.

Por este motivo, cuando las preferencias son cuasilineales, el beneficio bruto o excedente bruto del consumidor correspondiente al bien 1, es el área situada debajo de la curva inversa de demanda del bien en cuestión.

p Excedente bruto del consumidor Curva inversa de demanda p1 p=p(x) x1 x Figura 14.1. El excedente bruto o beneficio bruto del consumidor

Cuando las preferencias no son cuasilineales, el excedente bruto del consumidor ya no puede inter-pretarse como la utilidad total derivada del consumo de x1 unidades del bien.

En este contexto más general, el excedente bruto del consumidor se define como la cantidad de dine-ro que está dispuesto a pagar el consumidor como máximo por consumir x1 unidades del bien en cuestión.

Efectivamente, sabemos que la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica la disposición margi-nal a pagar por parte del consumidor, asociada a la cantidad consumida del bien en cuestión; dado que al hacer p2=1, el equilibrio del consumidor exige el cumplimiento de la siguiente igualdad:

1pRMS=

En consecuencia, si sumamos los distintos precios a los que el consumidor demanda unidades suce-sivas del bien hasta una cantidad x1 (área situada debajo de la curva inversa de demanda), estamos sumando las disposiciones marginales a pagar por parte del consumidor en adquirir las sucesivas unidades del bien 1. En otras palabras, estamos calculando la disposición máxima a pagar por parte del consumidor para adquirir x1 unidades del bien en cuestión.

Excedente del consumidor: El beneficio neto, excedente neto o excedente del consumidor derivado del consumo de x1 unidades del bien 1, no es más que el excedente bruto menos el gasto del consumidor destinado a adquirir el bien en cuestión (p1x1).

p Excedente del consumidor p1 Curva inversa de demanda p=p(x) x1 x Figura 14.2. El excedente, excedente neto, o beneficio neto del consumidor

Cuando las preferencias no son cuasilineales, el excedente del consumidor ya no puede interpretarse como la diferencia entre la utilidad total derivada del consumo de x1 unidades del bien menos el gasto p1x1 destinado a adquirir tales unidades.

En este contexto más general, el excedente del consumidor se define como la diferencia entre lo que está dispuesto a pagar el consumidor como máximo por consumir x1 unidades del bien en cuestión (el área situada debajo de la curva inversa de demanda = excedente bruto del consumidor), menos lo que realmente paga por consumir tales unidades (p1x1).

En este mismo sentido, el excedente del consumidor se define también como la cantidad de dinero que habría que pagar al consumidor, que está demandando actualmente x1 unidades del bien, para que renunciara completamente al consumo de este último. Esta cantidad de dinero es precisamente la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar como máximo por consumir x1 unida-des del bien, menos lo que realmente paga; esto es, el �beneficio neto� derivado del consumo de x1 unidades del bien en cuestión.

Excedente neto del consumidor: Véase excedente del consumidor.

Variación compensatoria: Es la cantidad de dinero que habría que dar al consumidor después de la subida del precio del bien para que goce del mismo nivel de bienestar que disfrutaba antes de la subida del precio del bien en cuestión.

Variación del excedente del consumidor: La variación del excedente del consumidor, cuando varía el precio del bien, y, de ahí, la cantidad de-mandada del mismo, se corresponde con el área de una figura aproximadamente trapezoidal situada bajo la curva de demanda del bien.

Si el precio del bien sube de a , la cantidad demandada disminuye de p'p''x' a x''. La pérdida del excedente del consumidor (área R+T) se debe a dos motivos:

� Ahora el consumidor debe pagar más por la unidades que consume: x''. Área R. � Hay una disminución de la cantidad consumida del bien: xx''-'. Área T.

p p=p(x) p� Variación del excedente del consumidor R T p´ Z x� x´ x Figura 14.3. La variación del excedente del consumidor Cuando las preferencias son cuasilineales, la variación del excedente del consumidor (área R+T) coincide con la variación que experimenta el excedente bruto del consumidor (área T+Z); esto es, coincide con la variación que experimenta el nivel de utilidad del consumidor cuando se altera el pre-cio del bien.

Efectivamente, a la vista de la Figura 14.3, se cumple:

Área (R+T) + p´x´ - p´´x´´ = Área (T+Z)

Pero cuando las preferencias son cuasilineales, el gasto que el consumidor destina a adquirir el pri-mer bien (p1x1) permanece constante cuando varía p1. En particular, dada la función de utilidad cuasi-lineal que estamos manejando, se cumple:

111=xp

Por consiguiente, tal como queríamos demostrar, resulta:

Área (R+T) = Área (T+Z)

Del mismo modo, cuando las preferencias no son cuasilineales, la variación del excedente del con-sumidor ya no puede interpretarse como la variación que experimenta el nivel de utilidad del consu-midor cuando se altera el precio del bien. Aunque la representación gráfica siga siendo la misma (véase la Figura 14.3). Dado que ahora:

� El área (R+T) ya no es necesariamente igual al área (T+Z), debido a que el gasto destinado a adquirir el bien en cuestión no tiene por qué mantenerse constante a medida que varía el precio del bien. � El área bajo la curva inversa de demanda (excedente bruto del consumidor) ya no mide el nivel de utilidad derivado del consumo del bien; dado que, en términos generales, la utilidad marginal del primer bien no tiene por qué depender exclusivamente de la cantidad consu-mida de este último, sino también de la cantidad consumida de otros bienes. De forma que en este contexto más general no puede obtenerse, al contrario de lo que ocurre con las pre-ferencias cuasilineales, una sencilla igualdad entre el precio del bien y la utilidad marginal correspondiente, dependiente exclusivamente de la cantidad consumida del bien en cues-tión.

Cuando las preferencias son cuasilineales, la variación compensatoria y la variación equivalente coin-ciden con la variación del excedente del consumidor. Esta proposición aparece demostrada en el libro de texto al final del epígrafe 14.8. Cuando las preferencias no son cuasilineales, la variación del excedente del consumidor está com-prendida entre la variación compensatoria y la variación equivalente. Cuando sube el precio del bien la variación compensatoria es siempre mayor que la variación equivalente, dado que al mantenerse constante el nivel de renta disminuye el nivel de utilidad del consumidor. Lo contrario sucede, preci-samente, cuando baja el precio del bien y, por tanto, aumenta el nivel de utilidad del consumidor.

En consecuencia, el excedente del consumidor, cuando las preferencias no son cuasilineales, puede decirse que se trata de una medida aproximada en términos monetarios, situada entre dos extremos, de la variación que experimenta el nivel de bienestar del consumidor cuando se altera el precio del bien en cuestión.

Sólo cuando las preferencias son cuasilineales, el área situada bajo la curva de demanda, el exce-dente del consumidor, es una medida exacta en términos monetarios de la variación que experimenta

el nivel utilidad de este último cuando se altera el precio del bien en cuestión. En este caso, como sabemos, la variación del excedente del consumidor coincide con la variación compensatoria y la variación equivalente.

Variación equivalente: Es la cantidad de dinero que habría que quitar al consumidor antes de la subida del precio del bien para disfrute del mismo nivel de bienestar que alcanza después de que suba el precio del bien.

VARIACIÓN DEL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

Comentario del problema 3 del capítulo 14: Supongamos que una persona está consumiendo 10 unidades de un bien discreto y que el precio sube de 50 pesetas por unidad a 60. Sin embargo, después de la varia-ción del precio continúa consumiendo 10 unidades del bien discreto. ¿Cuál es la pér-dida de excedente del consumidor provocada por esta variación del precio?

Tomemos como referencia en primer lugar la Figura 14.3 del libro de texto:

p p=p(x) p� Variación del excedente del consumidor R T p´ x� x´ x Figura 14.3. La variación del excedente del consumidor

Cuando la curva de demanda es decreciente, la variación del excedente del consumidor como consecuencia de la subida del precio del bien se corresponde con la suma de dos áreas R+T.

El área T se corresponde con la pérdida de excedente del consumidor debida a la disminución de la cantidad demandada del bien cuando sube el precio.

El área R se corresponde con la pérdida de excedente del consumidor cuando éste está consu-miendo x" unidades del bien y sube el precio.

Como en el problema se dice que el consumidor continúa consumiendo la misma cantidad del bien después de la subida del precio, ello quiere decir que el área T es cero en este caso. Estamos ante una curva de demanda vertical, completamente rígida, aunque discontinua, por tratarse de un bien discreto.

La pérdida del excedente de consumidor se corresponde exclusivamente con el área R, que no es más que la variación del precio (10) multiplicada por la cantidad demandada . Por tanto, la reducción de excedente del consumidor es 100. 10x''=

También se puede calcular la variación del excedente del consumidor, como de costumbre, a par-tir del área de un trapecio, en este caso con las dos bases iguales, por lo tanto se trata de un cuadra-do (área R): suma de las bases (ambas iguales) (cantidad demandada del bien siempre la misma) multiplicada por la altura (la variación del precio) dividido por dos.

Se llega a la misma conclusión correcta, que la pérdida de excedente del consumidor es 100.

Capítulo 15

LA DEMANDA DEL MERCADO

Breve introducción

El análisis llevado a cabo hasta el momento gira en torno al estudio de la función de demanda de un determinado consumidor, por ejemplo el i-ésimo:

()()iiiiiimppxxmppxx,,,,21222111==

La función de demanda del mercado del bien 1 ()1X, es la suma de las funciones de demanda de ese bien correspondientes a cada uno de los h consumidores que intervienen en el mercado:

()(S===hiiihmppxmmmppXX1211212111,,,,,,,�

Teniendo siempre en cuenta que cualesquiera que sean los precios de los bienes y la renta, ningún consumidor demandará jamás una cantidad negativa del bien en cuestión, dado que carece de senti-do económico, sino una cantidad nula en el peor de los casos.

La curva de demanda del mercado no es más que una particularización de la función de demanda del mercado, cuando el precio de los restantes bienes y la renta de los consumidores permanecen cons-tantes. La curva de demanda del mercado relaciona, pues, el precio del bien con la cantidad total de este último demandada por los consumidores.

El objeto de este capítulo es precisamente el estudio de ciertas características de la curva de deman-da del mercado: su elasticidad, la variación del ingreso del productor o del gasto del consumidor al variar el precio, el comportamiento del ingreso marginal, esto es, la variación del ingreso del productor al variar la cantidad demandada, etc.

Capítulo 15

LA DEMANDA DEL MERCADO

El análisis llevado a cabo hasta el momento gira en torno al estudio de la función de demanda de un determinado consumidor, por ejemplo el i-ésimo:

()()iiiiiimppxxmppxx,,,,21222111==

La función de demanda del mercado del bien 1 ()1X, es la suma de las funciones de demanda de ese bien correspondientes a cada uno de los h consumidores que intervienen en el mercado: ()(S===hiiihmppxmmmppXX1211212111,,,,,,,�

Teniendo siempre en cuenta que cualesquiera que sean los precios de los bienes y la renta, nin-gún consumidor demandará jamás una cantidad negativa del bien en cuestión, dado que carece de sentido económico, sino una cantidad nula en el peor de los casos.

La demanda del mercado de un bien depende de los precios de los bienes y de la renta de cada uno de los consumidores, esto es, depende de la distribución de la renta agregada o renta total M entre los distintos consumidores.

Por este motivo, sólo bajo condiciones restrictivas, fundamentalmente que la distribución de la renta agregada M entre los consumidores se mantenga inalterada, la función de demanda del merca-do de un bien puede expresarse en función de la renta agregada, como si fuera la función de deman-da de un �consumidor representativo� que percibe una renta M igual a la suma de las rentas de los h consumidores:

()MppXX,,2111=

Una particularización de la función de demanda del mercado de un bien es la correspondiente curva de demanda del mercado de ese bien, cuando los precios de los restantes bienes y la renta de cada uno de los consumidores permanecen constantes.

Curva de demanda del mercado

La curva de demanda del mercado de un bien adopta la siguiente expresión funcional: ()pDq=. Es decir, la cantidad demandada en el mercado del bien en cuestión se expresa en función del precio del bien.

Gráficamente se representa normalmente del siguiente modo: en el eje de abscisas la variable in-dependiente (el precio p) y en el eje de ordenadas la variable dependiente (la cantidad q). La pen-diente de la curva de demanda del mercado sería dpdq.

p q=D(p) q Figura 15.1. Curva de demanda del mercado

Sin embargo, tal como aparece en la Figura 15.1, la curva de demanda del mercado se ha repre-sentado con los ejes de coordenadas cambiados: abscisas para la cantidad y ordenadas para el pre-cio. Así se procede en el texto a lo largo de todo el capítulo.

La curva inversa de demanda del mercado de un bien adopta la siguiente expresión funcional: . Es decir, el precio vigente en el mercado se expresa en función de la cantidad demanda-da. Gráficamente se representa normalmente del siguiente modo: en el eje de abscisas la variable independiente (la cantidad q) y en el de ordenadas la variable dependiente (el precio p). La pendiente de la curva inversa de demanda del mercado sería ()qpp=dqdp.

La curva de demanda del mercado es la suma horizontal de las curvas de demanda de cada uno de los consumidores. Esto es, la suma de las cantidades demandadas por cada uno de los consumi-dores para cada precio vigente en el mercado. Teniendo siempre en cuenta que ningún consumidor demandará jamás una cantidad negativa del bien, dado que carece de sentido económico, sino una cantidad nula en el peor de los casos.

Elasticidad de la curva de demanda del mercado

La elasticidad es una medida del grado de sensibilidad de la cantidad demandada de un bien ante variaciones en el precio. Se trata de un ratio abstracto, carente de unidades de medida, que, por tan-

to, es independiente de las unidades en que se expresa el precio del bien y la cantidad demandada de este último.

La elasticidad-precio de la demanda de un bien es el cociente entre la variación porcentual de la cantidad demandada del bien y la variación porcentual del precio de este último que da origen a aquélla:

qpdpdqpdpqdq==e

Normalmente la elasticidad tiene signo negativo, dado que, salvo indicación contraria, nos referi-remos siempre a bienes ordinarios, cuya curva de demanda es decreciente, esto es, tiene pendiente negativa ........<0dpdq.

Decimos que la demanda de un bien, o que la curva de demanda del mercado de un bien, es:

� Elástica, cuando 1>e. Una variación del precio del bien en una determinada proporción origina una variación de la cantidad demandada del bien en mayor proporción. � Inelástica o rígida, cuando 1<e. Una variación del precio del bien en una determinada proporción origina una variación de la cantidad demandada del bien en menor proporción. � De elasticidad unitaria, cuando 1=e. Una variación del precio del bien en una determinada proporción origina una variación de la cantidad demandada del bien en la misma proporción.

Cuando se trata de una curva de demanda lineal, la pendiente de tal curva es constante, en cam-bio la elasticidad varía entre cero (cuando el precio es cero) e infinito (cuando la cantidad demandada es cero).

p 8=e q=a-bp 1>e a/2b 1=e 1<e 0=e a/2 q Figura 15.2. Elasticidad de una curva de demanda lineal

Si la elasticidad de la curva de demanda es cero, entonces la variación del precio no afecta a la cantidad demandada. Se dice entonces que la curva de demanda es totalmente inelástica o comple-tamente rígida, dado que permite cualquier variación del precio del bien sin que se altere la cantidad demandada de este último.

p q=D(p) 0=e q Figura 15.3. Curva de demanda totalmente inelástica o completamente rígida

Sucede lo contrario si la elasticidad de la curva de demanda es infinita. En este caso, la elastici-dad de la curva inversa de demanda es cero. Lo que puede interpretarse del siguiente modo: ante una variación de la cantidad demandada, el precio del bien no se altera; esto es, a un determinado precio se demanda cualquier cantidad del bien en cuestión. Se dice entonces que la curva de deman-da es perfectamente elástica, dado que no se precisa ninguna variación del precio del bien para que tenga lugar una variación de la cantidad demandada.

p q=D(p) 8=e q Figura 15.4. Curva de demanda del mercado perfectamente elástica

Existen curvas de demanda que poseen una elasticidad constante, por ejemplo, pRq=; a dife-rencia de lo que sucede con las curvas de demanda lineales.

p pRq= 1=e q Figura 15.5. Curva de demanda del mercado de elasticidad constante

La elasticidad y el ingreso

Se define el ingreso (R) como el resultado de multiplicar el precio del bien por la cantidad vendida de este último: . Coincide exactamente con el gasto que realizan los consumidores en la adqui-sición de ese bien. pqR=

Calculemos la derivada del ingreso respecto del precio del bien, sabiendo que la cantidad deman-dada de este último es función también del precio; dependencia que viene recogida en la curva de demanda del mercado. Obtendremos:

dpdqpqdpdR+=

Si ahora sacamos factor común q en el segundo miembro, resultará:

[]e+=........+=11qdpdqqpqdpdR

Considerando que se trata de un bien ordinario, la elasticidad tendrá signo negativo. Por lo tanto, podemos escribir finalmente:

[]e-=1qdpdR

� Si 1=e, entonces 0=dpdR. Si la elasticidad es unitaria entonces el ingreso no varía al variar el precio. � Si 1>e, entonces 0<dpdR. Si la curva de demanda es elástica, el ingreso varía en sen-tido inverso a la variación del precio. � Si 1<e, entonces 0>dpdR. Si la curva de demanda es inelástica, el ingreso varía en el mismo sentido que la variación del precio.

La elasticidad y el ingreso marginal

El ingreso marginal no es más que el cociente entre la variación del ingreso y la variación infinitesimal de la cantidad demandada.

Para obtener el ingreso marginal debemos calcular la derivada del ingreso respecto de la cantidad demandada, sabiendo que el precio del bien es función de esta última; dependencia que viene reco-gida en la curva inversa de demanda del mercado. Obtendremos:

dqdpqpdqdRIM+==

Si ahora sacamos factor común p en el segundo miembro, resultará:

......+=........+==e111pdqdppqpdqdRIM

Considerando que se trata de un bien ordinario, la elasticidad tendrá signo negativo. Por lo tanto, podemos escribir finalmente:

........-==e11pdqdRIM

� Si 1=e, entonces 0=dqdR. Si la elasticidad es unitaria entonces el ingreso marginal es cero. El ingreso no varía al variar la cantidad demandada. � Si 1>e, entonces 0>dqdR. Si la curva de demanda es elástica entonces el ingreso marginal es positivo. El ingreso varía en el mismo sentido que la variación de la cantidad demandada.

� Si 1e<, entonces 0<dqdR. Si la curva de demanda es inelástica entonces el ingreso marginal es negativo. El ingreso varía en sentido contrario a la variación de la cantidad de-mandada.

Capítulo 15

LA DEMANDA DEL MERCADO

Glosario

Curva de demanda de elasticidad constante: Existen curvas de demanda del mercado que poseen una elasticidad constante, por ejemplo, pRq=; a diferencia de lo que sucede con las curvas de demanda lineales.

p pRq= 1=e q Figura 15.5. Curva de demanda del mercado de elasticidad constante

Curva de demanda del mercado: Se trata de una particularización de la función de demanda del mercado de un bien, cuando los pre-cios de los restantes bienes y la renta de cada uno de los consumidores permanecen constantes.

La curva de demanda del mercado adopta la siguiente expresión funcional: . Es decir, la cantidad demandada en el mercado del bien en cuestión se expresa en función del precio del bien. ()pDq=

Gráficamente se representa normalmente del siguiente modo: en el eje de abscisas la variable inde-pendiente (el precio p) y en el eje de ordenadas la variable dependiente (la cantidad q). La pendiente de la curva de demanda del mercado sería dpdq.

Sin embargo, tal como aparece en la Figura 15.1, la curva de demanda del mercado se ha represen-tado con los ejes de coordenadas cambiados: abscisas para la cantidad y ordenadas para el precio. Así se procede en el texto a lo largo de todo el capítulo.

p q=D(p) q Figura 15.1. Curva de demanda del mercado

La curva de demanda del mercado es la suma horizontal de las curvas de demanda de cada uno de los consumidores. Esto es, la suma de las cantidades demandadas por cada uno de los consumido-res para cada precio vigente en el mercado. Teniendo siempre en cuenta que ningún consumidor demandará jamás una cantidad negativa del bien, dado que carece de sentido económico, sino una cantidad nula en el peor de los casos.

Curva de demanda del mercado elástica: Cuando 1>e. Una variación del precio del bien en una determinada proporción origina una varia-ción de la cantidad demandada del bien en mayor proporción.

Curva de demanda del mercado de elasticidad unitaria: Cuando 1=e. Una variación del precio del bien en una determinada proporción origina una varia-ción de la cantidad demandada del bien en la misma proporción.

Curva de demanda del mercado inelástica o rígida: Cuando 1<e. Una variación del precio del bien en una determinada proporción origina una varia-ción de la cantidad demandada del bien en menor proporción.

Curva de demanda del mercado perfectamente elástica: La elasticidad de la curva de demanda es infinita. En este caso, la elasticidad de la curva inversa de demanda es cero. Lo que puede interpretarse del siguiente modo: ante una variación de la cantidad

demandada, el precio del bien no se altera; esto es, a un determinado precio se demanda cualquier cantidad del bien en cuestión. Se dice entonces que la curva de demanda es perfectamente elástica, dado que no se precisa ninguna variación del precio del bien para que tenga lugar una variación de la cantidad demandada.

p q=D(p) 8=e q Figura 15.4. Curva de demanda del mercado perfectamente elástica

Curva de demanda del mercado totalmente inelástica o completamente rígida: La elasticidad de la curva de demanda es cero. Esto es, la variación del precio no afecta a la cantidad demandada. Se dice entonces que la curva de demanda es totalmente inelástica o completamente rígida, dado que permite cualquier variación del precio del bien sin que se altere la cantidad deman-dada de este último.

p q=D(p) 0=e q Figura 15.3. Curva de demanda totalmente inelástica o completamente rígida

Curva de demanda lineal: La pendiente de la curva de demanda es constante, en cambio la elasticidad varía entre cero (cuando el precio es cero) e infinito (cuando la cantidad demandada es cero).

p 8=e q=a-bp 1>e a/2b 1=e 1<e 0=e a/2 q Figura 15.2. Elasticidad de una curva de demanda lineal

Curva inversa de demanda del mercado: Adopta la siguiente expresión funcional: ()qpp=. Es decir, el precio vigente en el mercado se ex-presa en función de la cantidad demandada. Gráficamente se representa normalmente del siguiente modo: en el eje de abscisas la variable independiente (la cantidad q) y en el de ordenadas la variable dependiente (el precio p). La pendiente de la curva inversa de demanda del mercado sería dqdp.

Elasticidad-precio de la curva de demanda del mercado: La elasticidad es una medida del grado de sensibilidad de la cantidad demandada de un bien ante variaciones en el precio. Se trata de un ratio abstracto, carente de unidades de medida, que, por tan-to, es independiente de las unidades en que se expresa el precio del bien y la cantidad demandada de este último.

La elasticidad-precio de la demanda de un bien es el cociente entre la variación porcentual de la can-tidad demandada del bien y la variación porcentual del precio de este último que da origen a aquélla:

qpdpdqpdpqdq==e

Normalmente la elasticidad tiene signo negativo, dado que, salvo indicación contraria, nos referiremos siempre a bienes ordinarios, cuya curva de demanda es decreciente, esto es, tiene pendiente negati-va ........<0dpdq.

Función de demanda del mercado: El análisis llevado a cabo hasta el momento gira en torno al estudio de la función de demanda de un determinado consumidor, por ejemplo el i-ésimo:

()()iiiiiimppxxmppxx,,,,21222111==

La función de demanda del mercado del bien 1 ()1X, es la suma de las funciones de demanda de ese bien correspondientes a cada uno de los h consumidores que intervienen en el mercado:

()(S===hiiihmppxmmmppXX1211212111,,,,,,,�

Teniendo siempre en cuenta que cualesquiera que sean los precios de los bienes y la renta, ningún consumidor demandará jamás una cantidad negativa del bien en cuestión, dado que carece de senti-

do económico, sino una cantidad nula en el peor de los casos.

La demanda del mercado de un bien depende de los precios de los bienes y de la renta de cada uno de los consumidores, esto es, depende de la distribución de la renta agregada o renta total M entre los distintos consumidores.

Por este motivo, sólo bajo condiciones restrictivas, fundamentalmente que la distribución de la renta agregada M entre los consumidores se mantenga inalterada, la función de demanda del mercado de un bien puede expresarse en función de la renta agregada, como si fuera la función de demanda de un �consumidor representativo� que percibe una renta M igual a la suma de las rentas de los h con-sumidores:

()MppXX,,2111=

Ingreso: Se define el ingreso (R) como el resultado de multiplicar el precio del bien por la cantidad vendida de este último: . Coincide exactamente con el gasto que realizan los consumidores en la adqui-sición de ese bien. pqR=

La influencia de la variación del precio de bien en el ingreso viene recogida en la siguiente expresión matemática:

[]e-=1qdpdR

� Si 1=e, entonces 0=dpdR. Si la elasticidad es unitaria entonces el ingreso no varía al variar el precio. � Si 1>e, entonces 0<dpdR. Si la curva de demanda es elástica, el ingreso varía en sen-tido inverso a la variación del precio. � Si 1<e, entonces 0>dpdR. Si la curva de demanda es inelástica, el ingreso varía en el mismo sentido que la variación de precio.

Ingreso marginal: El ingreso marginal no es más que el cociente entre la variación del ingreso y la variación infinitesimal de la cantidad demandada.

Para obtener el ingreso marginal debemos calcular la derivada del ingreso respecto de la cantidad demandada, sabiendo que el precio del bien es función de esta última; dependencia que viene reco-gida en la curva inversa de demanda del mercado. Obtendremos:

..

.

.

..

.

.-==e11pdqdRIM

� Si 1=e, entonces 0=dqdR. Si la elasticidad es unitaria entonces el ingreso marginal es cero. El ingreso no varía al variar la cantidad demandada.

� Si 1>e, entonces 0>dqdR. Si la curva de demanda es elástica entonces el ingreso marginal es positivo. El ingreso varía en el mismo sentido que la variación de la cantidad demandada. � Si 1e<, entonces 0<dqdR. Si la curva de demanda es inelástica entonces el ingreso marginal es negativo. El ingreso varía en sentido contrario a la variación de la cantidad de-mandada.

Capítulo 18

LA TECNOLOGÍA

Breve introducción

En este capítulo se estudian algunas de las características más sobresalientes que debe reunir la gama de procesos productivos disponibles.

Capítulo 18

LA TECNOLOGÍA

Un proceso productivo o técnica de producción lo representaremos de este modo . Donde x()yxx.21,1 y x2 son los inputs o factores productivos. El output, producto o cantidad producida es y.

Si tomamos dos procesos productivos cualesquiera a y b los podemos representar del siguiente modo: ()aaayxx.21,; ()bbbyxx.21,.

El conjunto de procesos productivos o combinaciones input-output tecnológicamente factibles o viables recibe el nombre de conjunto de producción o tecnología.

Este último debe cumplir al menos los siguientes axiomas:

� Imposibilidad de producción libre. Es decir, para obtener una cantidad positiva de output es preci-so emplear al menos un input. No se puede producir algo a partir de nada. � Eliminación gratuita. Si es posible obtener una determinada cantidad de producto empleando una cierta cantidad de inputs, también es posible obtener una cantidad menor del primero empleando los mismos inputs. En otras palabras, si el proceso productivo ()yxx.21, es factible o viable, también es factible el proceso productivo ()zxx.21, tal que z<y. Debido a este segundo axioma, el conjunto de producción o tecnología contiene procesos que son técnicamente ineficientes, es decir, con los que no se obtiene la cantidad máxima de output dada la cantidad de inputs empleada.

Por este motivo, se reserva el nombre de función de producción al conjunto de procesos producti-vos técnicamente eficientes, es decir, aquellos con los que se obtiene la cantidad máxima de output dadas las cantidades empleadas de inputs. Se dice entonces que la función de producción es la fron-tera del conjunto de producción.

y output Función de producción y=f(x) Conjunto de producción input o factor x Figura 18.1. Conjunto de producción y función de producción

Propiedades de la tecnología

Supongamos que tenemos un proceso productivo genérico ()yxx.21,. Si este proceso producti-vo es factible o viable, también puede serlo otro proceso productivo ()yxxaaa.21, tal que 10<<a. Si esto es así, entonces la escala de producción a la que opera este proceso productivo puede reducirse a voluntad. Se dice entonces que el proceso productivo en cuestión es divisible.

Supongamos que tenemos dos procesos productivos cualesquiera:

()aaayxx.21, ()bbbyxx.21,

Si ambos son factibles también puede serlo un proceso productivo que sea el resultante de em-plear ambos simultáneamente:

()bababayyxxxx+.++2211,

Si esto es así, se dice que ambos procesos productivos son aditivos.

En cursos superiores se demuestra que la divisibilidad de los procesos es condición imprescindi-ble para que la tecnología sea convexa.

Esto quiere decir que si tenemos dos procesos productivos factibles o viables cualesquiera en los que se obtiene el mismo nivel de output y, también será posible obtener al menos ese mismo volu-men de output mediante procesos que sean el resultado de combinar los dos anteriores a modo de una media ponderada de ambos:

()()[]()1011,12211<<-+.-+-+aaaaaaabababayyxxxx

Como tendremos: yyyba==

()()[]101,12211<<.-+-+aaaaayxxxxbaba

Si combinando ambos procesos a modo de una media ponderada, tal como se indica, se obtiene un nivel de output mayor que y, entonces se dice que la tecnología es estrictamente convexa.

Dando diferentes valores a a, se obtienen los procesos productivos resultantes de la combinación de los procesos productivos originarios. Tales procesos productivos se representan gráficamente como puntos de la línea recta que une ()aaxx21, y ()bbxx21,.

x2 ()aaxx21, ()()[]babaxxxx22111,1aaaa-+-+ ()bbxx21, y (isocuanta) x1 Figura 18.2. Tecnología estrictamente convexa

x2 ()aaxx21, ()()[]babaxxxx22111,1aaaa-+-+ ()bbxx21, y (isocuanta) x1 Figura 18.3. Tecnología convexa

La función de producción

Dentro de la función de producción se consideran únicamente los procesos productivos técnicamente eficientes (la frontera del conjunto de producción) disponibles dentro de la tecnología en cuestión. Es decir, aquellos con los que se obtiene el máximo volumen de output dadas las cantidades de inputs empleadas.

Además, dentro de la función de producción se considera que:

� Existen infinitas técnicas o procesos productivos eficientes. � Los inputs se combinan en infinitas proporciones continuamente variables.

Con ambos supuestos, la función de producción, cuya expresión genérica es , re-sulta ser, desde un punto de vista matemático, una función continua y dos veces diferenciable. ()21,xxfy=

En este contexto, pues, estamos en condiciones de definir convenientemente el producto o pro-ductividad marginal de cada uno de los inputs, el cual exige lógicamente el cálculo de las derivadas parciales de la función de producción:

()()()()221212121211,,,,xxxfxxPMxxxfxxPM..=..=

La productividad marginal del primer factor, por ejemplo, nos indica la variación en el nivel de out-put ocasionada por una variación infinitesimal de la cantidad empleada del input en cuestión, perma-neciendo constante la cantidad empleada del otro input.

La función de producción se representa gráficamente mediante un mapa de curvas isocuantas.

x2 isocuantas y0 < y1 < y2 Función de producción y=f(x1,x2) y2 y1 y0 x1 Figura 18.4. La función de producción y las isocuantas

� Las isocuantas son las curvas de nivel de la función de producción. Esto es, el lugar geométrico de todas las combinaciones de inputs correspondientes a procesos productivos eficientes con los que se obtiene el mismo nivel de output. � Las isocuantas más alejadas del origen representan mayores niveles de output. � Las isocuantas son siempre decrecientes, dado que al aumentar la cantidad empleada de un in-put es preciso reducir la cantidad empleada del otro para que el volumen de output no sufra alte-ración alguna. Se dice entonces que la tecnología que estamos considerando es monótona, dado que un aumento de la cantidad empleada de al menos un input conlleva un incremento de la can-tidad producida. � Las isocuantas nunca se cortan, dado que si lo hicieran entonces un determinado proceso pro-ductivo, la combinación de inputs correspondiente al punto de intersección, permitiría obtener dos volúmenes de output diferentes; y esto es absurdo, dado que dentro de la función de producción sólo se consideran los procesos productivos técnicamente eficientes. � La isocuantas son curvas convexas de curvatura regular, esto es, carentes de segmentos linea-les, si la tecnología es estrictamente convexa. Véase la Figura 18.2.

La relación técnica de sustitución (RTS)

Nos indica en cuánto debe reducirse el empleo del segundo factor para poder incrementar en una unidad la cantidad empleada del primer factor, y a la vez mantener inalterado el nivel de producción:

12dxRTSdx=

La RTS en un determinado punto de una curva isocuanta es, pues, el cociente entre la variación que debe experimentar el empleo de ambos factores para que permanezca inalterado el nivel de pro-ducción, esto es, para mantenernos dentro de la misma curva isocuanta:

12dxdxRTS=

La RTS coincide, pues, con la pendiente de la curva isocuanta en el punto de que se trate, siem-pre que no sea un vértice o punto angular, donde la pendiente no está definida.

Dado que la tecnología que estamos manejando es monótona, la RTS resulta ser negativa.

Calculando la diferencial total de la función de producción obtendremos:

()()22121211,,dxxxPMdxxxPMdy+=

Puesto que a lo largo de la isocuanta, resultará: 0=dy

()()21221112,,xxPMxxPMdxdxRTS-==

La RTS es el cociente, cambiado de signo, de las productividades marginales de ambos factores.

La RTS decrece en valor absoluto a medida que aumenta el empleo del primer factor al despla-zarnos a lo largo de una curva isocuanta cualquiera, cuando la tecnología es estrictamente convexa. Esto es debido a que las curvas isocuantas son curvas convexas, de forma que su pendiente aumen-ta a medida que aumenta x1, pero como es negativa, la pendiente de las isocuantas decrece en valor absoluto a medida que aumenta el empleo del primer factor.

Lo que quiere decir que a medida que se emplea una mayor cantidad del primer factor se precisa reducir en menor cuantía la cantidad empleada del segundo factor para obtener el mismo volumen de producción, esto es, para mantenernos dentro de la misma curva isocuanta.

La función de producción a corto plazo: La ley del producto marginal decreciente

El producto o productividad media de un factor es el cociente entre el output obtenido y la cantidad empleada de ese input:

()()()()221212121211,,,,xxxfxxPMexxxfxxPMe==

La productividad media de un factor es creciente, si y sólo si la productividad marginal de ese fac-tor es mayor que la productividad media.

La productividad media de un factor es decreciente, si y sólo si la productividad marginal de ese factor es menor que la productividad media.

La productividad media de un factor es constante, si y sólo si la productividad marginal de ese fac-tor es igual a la productividad media.

A corto plazo, considerando fija la cantidad empleada del segundo factor, el nivel de producción crece a medida que aumenta la cantidad empleada del primer factor (productividad marginal positiva de este factor); pero el crecimiento de la producción es cada vez menor a medida que se emplean sucesivas dosis del primer factor y se mantiene constante la cantidad empleada del segundo. Esto es, la productividad marginal del primer factor es decreciente a medida que se emplea una mayor canti-dad de este último, manteniendo constante la cantidad empleada del segundo factor.

PM PMe A B PMe PM C x1 Figura 18.5. Ley de los rendimientos decrecientes Productividades media y marginal del factor variable

Explicación del gráfico: Cuando la cantidad empleada del primer factor, el factor variable, es muy pequeña, entonces la productividad marginal de este factor crece hasta alcanzar un máximo en el punto A. A partir de ahí la productividad marginal es decreciente.

Además, cuando la cantidad empleada del factor variable es muy pequeña, la productividad media de este factor también es creciente. Por consiguiente, en un primer momento la productividad margi-nal es mayor que la productividad media del factor variable. Hasta llegar a un punto, tal como B, en que ambas productividades coinciden. Este punto en que la productividad media del factor variable es máxima recibe el nombre de �Óptimo Técnico�.

A partir de ese punto, la productividad media decrece. Por consiguiente, la productividad marginal es inferior a la productividad media y decrece igualmente hasta llegar a anularse (punto C). Este pun-to recibe el nombre de �Máximo Técnico�, debido a que en él se obtiene la cantidad máxima de pro-ducto. A partir de ahí, el nivel de producción disminuye a medida que se emplea una mayor cantidad del factor variable, dado que la productividad marginal de este factor se hace negativa.

La función de producción a largo plazo: los rendimientos a escala

Consideremos ahora que todos los factores varían en la misma proporción, esto es, que no hay nin-gún factor fijo. La forma como afecta este hecho al nivel de output es lo que define los rendimientos a escala de la función de producción:

� Rendimientos constantes a escala: Cuando el nivel de output varía en la misma proporción que la cantidad de inputs empleada. Por ejemplo, si se duplica la cantidad empleada de todos los inputs se duplica el volumen de producción. � Rendimientos decrecientes a escala: Cuando el nivel de output varía en menor proporción que la cantidad de inputs empleada. Por ejemplo, si se duplica la cantidad empleada de todos los inputs la producción crece pero no llega a duplicarse. � Rendimientos crecientes a escala: Cuando el nivel de output varía en mayor proporción que la cantidad de inputs empleada. Por ejemplo, si se duplica la cantidad empleada de todos los inputs la producción crece más del doble. Decimos que la función de producción ()21,xxfy= es homogénea de grado a cuando para to-do se cumple: 0>t()()2121,,xxfttxtxfa=. Es decir, si multiplicamos por t las cantidades em-pleadas de todos los inputs, el volumen de output queda multiplicado por . Por consiguiente: at

� Cuando 1=a (homogeneidad de grado uno de la función de producción), los rendimientos son constantes a escala. � Cuando 1>a(homogeneidad de grado mayor que uno de la función de producción), los ren-dimientos son crecientes a escala.

� Cuando 1<a(homogeneidad de grado menor que uno de la función de producción), los ren-dimientos son decrecientes a escala.

Capítulo 18

LA TECNOLOGÍA

Glosario

Aditividad de los procesos productivos: Supongamos que tenemos dos procesos productivos cualesquiera:

()aaayxx.21, ()bbbyxx.21,

Si ambos son factibles, también puede serlo un proceso productivo que sea el resultante de emplear ambos simultáneamente:

()bababayyxxxx+.++2211,

Si esto es así, se dice que ambos procesos productivos son aditivos.

Conjunto de producción: El conjunto de procesos productivos o combinaciones input-output tecnológicamente factibles o via-bles recibe el nombre de conjunto de producción o tecnología.

Debido al axioma de libre disposición o eliminación gratuita, el conjunto de producción o tecnología contiene procesos que son técnicamente ineficientes, es decir, con los que no se obtiene la cantidad máxima de output dada la cantidad de inputs empleada.

Convexidad de la tecnología: Esto quiere decir que si tenemos dos procesos productivos factibles o viables cualesquiera en los que se obtiene el mismo nivel de output y, también será posible obtener al menos ese mismo volumen de output mediante procesos que sean el resultado de combinar los dos anteriores a modo de una media ponderada de ambos:

()()[]()1011,12211<<-+.-+-+aaaaaaabababayyxxxx

Como tendremos: yyyba==

()()[]101,12211<<.-+-+aaaaayxxxxbaba

Si combinando ambos procesos a modo de una media ponderada, tal como se indica, se obtiene un nivel de output mayor que y, entonces se dice que la tecnología es estrictamente convexa.

Dando diferentes valores a a, se obtienen los procesos productivos resultantes de la combinación de los procesos productivos originarios. Tales procesos productivos se representan gráficamente como puntos de la línea recta que une ()aaxx21, y ()bbxx21,.

x2 ()aaxx21, ()()[]babaxxxx22111,1aaaa-+-+ ()bbxx21, y (isocuanta) x1 Figura 18.2. Tecnología estrictamente convexa x2 ()aaxx21, ()()[]babaxxxx22111,1aaaa-+-+ ()bbxx21, y (isocuanta) x1 Figura 18.3. Tecnología convexa

En cursos superiores se demuestra que la divisibilidad de los procesos es condición imprescindible para que la tecnología sea convexa.

Curvas isocuantas: La función de producción se representa gráficamente mediante un mapa de curvas isocuantas.

x2 isocuantas y0 < y1 < y2 Función de producción y=f(x1,x2) y2 y1 y0 x1 Figura 18.4. La función de producción y las isocuantas

� Las isocuantas son las curvas de nivel de la función de producción. Esto es, el lugar geomé-trico de todas las combinaciones de inputs correspondientes a procesos productivos eficien-tes con los que se obtiene el mismo nivel de output. � Las isocuantas más alejadas del origen representan mayores niveles de output. � Las isocuantas son siempre decrecientes, dado que al aumentar la cantidad empleada de un input es preciso reducir la cantidad empleada del otro para que el volumen de output no sufra alteración alguna. Se dice entonces que la tecnología que estamos considerando es monóto-na, dado que un aumento de la cantidad empleada de al menos un input conlleva un incre-mento de la cantidad producida. � Las isocuantas nunca se cortan, dado que si lo hicieran entonces un determinado proceso productivo, la combinación de inputs correspondiente al punto de intersección, permitiría ob-tener dos volúmenes de output diferentes; y esto es absurdo, dado que dentro de la función de producción sólo se consideran los procesos productivos técnicamente eficientes. � La isocuantas son curvas convexas de curvatura regular, esto es, carentes de segmentos li-neales, si la tecnología es estrictamente convexa.

Divisibilidad de los procesos productivos: Supongamos que tenemos un proceso productivo genérico ()yxx.21,. Si este proceso producti-vo es factible o viable, también puede serlo otro proceso productivo ()yxxaaa.21, tal que

10<<a. Si esto es así, entonces la escala de producción a la que opera este proceso productivo puede reducirse a voluntad. Se dice entonces que el proceso productivo en cuestión es divisible.

En cursos superiores se demuestra que la divisibilidad de los procesos es condición imprescindible para que la tecnología sea convexa.

Eliminación gratuita: También se denomina libre disposición. Si es posible obtener una determinada cantidad de producto empleando una cierta cantidad de inputs, también es posible obtener una cantidad menor del primero empleando los mismos inputs. En otras palabras, si el proceso productivo ()yxx.21, es factible o viable, también es factible el proceso productivo ()zxx.21, tal que z<y.

Función de producción: Es el conjunto de procesos productivos técnicamente eficientes pertenecientes al conjunto de produc-ción, es decir, aquellos con los que se obtiene la cantidad máxima de output dadas las cantidades empleadas de inputs. Se dice entonces que la función de producción es la frontera del conjunto de producción.

y output Función de producción y=f(x) Conjunto de producción input o factor x Figura 18.1. Conjunto de producción y función de producción

Además, dentro de la función de producción se considera que:

� Existen infinitas técnicas o procesos productivos eficientes. � Los inputs se combinan en infinitas proporciones continuamente variables.

Con ambos supuestos, la función de producción, cuya expresión genérica es , resulta ser, desde un punto de vista matemático, una función continua y dos veces diferenciable. (21,xxfy=

La función de producción se representa gráficamente a partir de sus curvas de nivel, que son las cur-vas isocuantas.

Como ejemplo, consideraremos tres tipos de funciones de producción:

� Tecnología de proporciones fijas, denominada también de coeficientes fijos o tecnología de Leontief. � Tecnología de factores sustitutivos perfectos. � Función de producción Cobb-Douglas.

Función de producción Cobb-Douglas: Adopta la siguiente expresión funcional:

baxxxxf = y2121A =),(

Es el prototipo de una tecnología regular, esto es, monótona y estrictamente convexa.

a) Productividad marginal de los factores.

112121(,)0bafxxPMAxaxx-.==.

112212(,)0abfxxPMAxbxx-.==.

Las productividades marginales de ambos inputs son positivas.

b) Productividad media de los factores.

112111(,)abfxxPMeAxxx-== 112212(,)abfxxPMeAxxx-==

c) 2112dxPMaxRTSdxPMbx==-=-

Luego las isocuantas tienen pendiente negativa. Y además la pendiente sólo depende de la proporción con que se emplean ambos inputs y no de la cantidad utilizada de estos últimos, es decir, de la escala de producción. Esto es debido a que la función de producción es homogénea; algo parecido sucedía con las funciones de utilidad Cobb-Douglas, que eran homotéticas. Además, la RTS, esto es, la pendiente de las isocuantas varía continuamente a medida que varía la proporción en que son utilizados ambos inputs. Por este motivo, las curvas isocuantas poseen una curvatura regular, esto es, carecen de segmentos lineales.

d) Comportamiento de la RTS a medida que varía x1:

0)(2122212212121221>+=--==..xbxbaaxbabxdxdxabxdxxdxRTS

Eso quiere decir que las isocuantas son curvas convexas (0 >2122dxxd). Esto mismo sucedía con las curvas de indiferencia de la función de utilidad Cobb-Douglas.

De ahí que la RTS sea creciente a medida que aumenta la cantidad empleada del factor x1 (0 >1xRTS..). Pero como la RTS es negativa, ello quiere decir que esta última es decrecien-te en valor absoluto a medida que aumentamos la cantidad empleada del factor x1. Esto mismo sucedía con la RMS en el caso de la función de utilidad Cobb-Douglas.

e) Homogeneidad de la función de producción.

Si multiplicamos cada uno de los inputs por t>0, tendremos:

()()yt =xAxttxtxAb+abab+aba2121=

Es decir, el output queda multiplicado por ta+b. Luego la función de producción Cobb-Douglas que estamos manejando es homogénea de grado a+b. De este modo:

� Si a+b=1 entonces los rendimientos son constantes a escala. � Si a+b>1 entonces los rendimientos son crecientes a escala. � Si a+b<1 entonces los rendimientos son decrecientes a escala.

f) Hemos visto anteriormente que la productividad marginal es positiva para ambos inputs. Estudiemos ahora el comportamiento de ambas productividades marginales a medida que se altera la cantidad empleada de ambos inputs respectivamente. 21121(1)baPMxAxaax-..=-

22212(1)abPMxAxbbx-..=-

Sólo si a<1 y b<1 ambas productividades marginales serán decrecientes a medida que au-menta el empleo de ambos factores respectivamente:

.PM1/.x1<0 .PM2/.x2<0

Como esta condición es compatible con a+b>1, a+b<1, a+b=1, ello quiere decir que la tec-nología Cobb-Douglas admite productividades marginales decrecientes para ambos fac

to-res cualquiera que fueren los rendimientos a escala que prevalezcan.

Función de producción homogénea: Decimos que la función de producción ()21,xxfy= es homogénea de grado a, cuando para todo se cumple: 0>t()()2121,,xxfttxtxfa=. Es decir, si multiplicamos por t las cantidades emplea-das de todos los inputs, el volumen de output queda multiplicado por . at

� Cuando 1=a (homogeneidad de grado uno de la función de producción), los rendimien-tos son constantes a escala. � Cuando 1>a(homogeneidad de grado mayor que uno de la función de producción), los rendimientos son crecientes a escala. � Cuando 1<a(homogeneidad de grado menor que uno de la función de producción), los rendimientos son decrecientes a escala.

Ley de la productividad marginal decreciente: Véase ley de los rendimientos decrecientes.

Ley de los rendimientos decrecientes: A corto plazo, considerando fija la cantidad empleada del segundo factor, el nivel de producción crece a medida que aumenta la cantidad empleada del primer factor (productividad marginal positiva de este factor); pero el crecimiento de la producción es cada vez menor a medida que se emplean suce-sivas dosis del primer factor y se mantiene constante la cantidad empleada del segundo. Esto es, la productividad marginal del primer factor es decreciente a medida que se emplea una mayor cantidad de este último, manteniendo constante la cantidad empleada del segundo factor.

PM PMe A B PMe PM C x1 Figura 18.5. Ley de los rendimientos decrecientes Productividades media y marginal del factor variable

Explicación del gráfico: Cuando la cantidad empleada del primer factor, el factor variable, es muy pequeña, entonces la productividad marginal de este factor crece hasta alcanzar un máximo en el punto A. A partir de ahí la productividad marginal es decreciente.

Además, cuando la cantidad empleada del factor variable es muy pequeña, la productividad media de este factor también es creciente. Por consiguiente, en un primer momento la productividad marginal es mayor que la productividad media del factor variable. Hasta llegar a un punto, tal como B, en que ambas productividades coinciden. Este punto en que la productividad media del factor variable es máxima recibe el nombre de �Óptimo Técnico�.

A partir de ese punto, la productividad media decrece. Por consiguiente, la productividad marginal es inferior a la productividad media y decrece igualmente hasta llegar a anularse (punto C). Este punto recibe el nombre de �Máximo Técnico�, debido a que en él se obtiene la cantidad máxima de produc-to. A partir de ahí, el nivel de producción disminuye a medida que se emplea una mayor cantidad del factor variable, dado que la productividad marginal se hace negativa.

Máximo técnico: Dentro de la ley de los rendimientos decrecientes, es el punto en el que la productividad marginal del factor variable se anula y, a partir de ahí, se hace negativa. Con lo que en ese punto se obtiene la máxima cantidad de producto.

Óptimo técnico: Dentro de la ley de los rendimientos decrecientes, es el punto en el que la productividad media del factor variable es máxima, y coincide con la productividad marginal de este factor.

Proceso productivo: Lo representaremos de este modo (). Donde xyxx.21,1 y x2 son los inputs o factores producti-vos. El output, producto o cantidad producida es y.

Si tomamos dos procesos productivos cualesquiera a y b los podemos representar del siguiente mo-do: ()aaayxx.21,; ()bbbyxx.21,.

Si un proceso productivo es técnicamente eficiente, entonces permite obtener la cantidad máxima de output a partir de unas determinadas cantidades de inputs. De lo contrario, se dice que el proceso productivo es técnicamente ineficiente.

Decimos que un proceso productivo es factible o viable si resulta posible llevarlo a cabo, esto es, si

pertenece al conjunto de producción o tecnología.

Producción libre: Tiene lugar cuando para obtener una cantidad positiva de output no es preciso emplear ningún input. Algo totalmente absurdo.

Productividad marginal: La productividad marginal del primer factor, por ejemplo, nos indica la variación en el nivel de output ocasionada por una variación infinitesimal de la cantidad empleada del input en cuestión, permane-ciendo constante la cantidad empleada del otro input.

Exige lógicamente el cálculo de las derivadas parciales de la función de producción:

()()()()221212121211,,,,xxxfxxPMxxxfxxPM..=..=

Productividad media: El producto o productividad media de un factor es el cociente entre el output obtenido y la cantidad empleada de ese input:

()()()()221212121211,,,,xxxfxxPMexxxfxxPMe==

� La productividad media de un factor es creciente, si y sólo si la productividad marginal de ese factor es mayor que la productividad media. � La productividad media de un factor es decreciente, si y sólo si la productividad marginal de ese factor es menor que la productividad media. � La productividad media de un factor es constante, si y sólo si la productividad marginal de ese factor es igual a la productividad media.

Relación Técnica de Sustitución (RTS): Nos indica en cuánto debe reducirse el empleo del segundo factor para poder incrementar en una unidad la cantidad empleada del primer factor, y a la vez mantener inalterado el nivel de producción:

12dxRTSdx=

La RTS en un determinado punto de una curva isocuanta es, pues, el cociente entre la variación que debe experimentar el empleo de ambos factores para mantener inalterado el nivel de producción, esto es, para permanecer dentro de la misma curva isocuanta:

12dxdxRTS=

� La RTS coincide, pues, con la pendiente de la curva isocuanta en el punto de que se trate, siempre que no sea un vértice o punto angular, donde la pendiente no está definida. � Dado que la tecnología que estamos manejando es monótona, la RTS resulta ser negativ

a. � La RTS es el cociente, cambiado de signo, de las productividades marginales de ambos factores:

()()21221112,,xxPMxxPMdxdxRTS-==

� La RTS decrece en valor absoluto a medida que aumenta el empleo del primer factor al desplazarnos a lo largo de una curva isocuanta cualquiera, cuando la tecnología es estric-tamente convexa. Esto es debido a que las curvas isocuantas son curvas convexas, de forma que su pendiente aumenta a medida que aumenta x1, pero como es negativa, la pen-diente de las isocuantas decrece en valor absoluto a medida que aumenta el empleo del primer factor. Lo que quiere decir que a medida que se emplea una mayor cantidad del primer factor se precisa reducir en menor cuantía la cantidad empleada del segundo factor para obtener el mismo volumen de producción, esto es, para mantenernos dentro de la misma curva iso-cuanta.

Rendimientos constantes a escala: Cuando el nivel de output varía en la misma proporción que la cantidad de inputs empleada. Por ejemplo, si se duplica la cantidad empleada de todos los inputs se duplica el volumen de producción.

La función de producción es homogénea de grado uno.

Rendimientos crecientes a escala: Cuando el nivel de output varía en mayor proporción que la cantidad de inputs empleada. Por ejem-plo, si se duplica la cantidad empleada de todos los inputs la producción crece más del doble.

La función de producción es homogénea de grado mayor que uno.

Rendimientos decrecientes a escala: Cuando el nivel de output varía en menor proporción que la cantidad de inputs empleada. Por ejem-plo, si se duplica la cantidad empleada de todos los inputs la producción crece pero no llega a dupli-carse.

La función de producción es homogénea de grado menor que uno.

Técnica de Producción: Véase proceso productivo.

Tecnología: Véase conjunto de producción.

Tecnología de factores sustitutivos perfectos:

Adopta la siguiente expresión funcional:

2121 = ),(bxaxxxfy+=

Tiene una forma parecida a la función de utilidad de los bienes sustitutivos perfectos.

Tecnología de proporciones fijas: Denominada también de �coeficientes fijos� o �tecnología de Leontief�.

Adopta la siguiente expresión funcional:

...

...ßa2121,min = ),(xxxxf=y

a y ß son las proporciones con que se emplean ambos inputs, de forma muy parecida a lo que ocurría con la función de utilidad de los bienes complementarios perfectos.

Tecnología monótona: Aquélla que tiene la propiedad de que al tomar un proceso productivo eficiente cualquiera, si aumen-tamos la cantidad empleada de un input, ello da lugar a otro proceso productivo eficiente en el que se obtiene una mayor cantidad de output.

En otras palabras, si incrementamos la cantidad empleada de un input, debemos reducir la cantidad empleada de al menos otro para obtener el mismo volumen de producción. De ahí que las curvas isocuantas sean curvas decrecientes.

Tecnología regular: Aquélla que es monótona y estrictamente convexa.

CONVEXIDAD DE LA TECNOLOGÍA

Partiendo de la base de que una tecnología convexa requiere que los procesos productivos sean perfectamente divisibles, vamos a ver brevemente por qué la convexidad de la tecnología o conjunto de producción excluye los rendimientos crecientes a escala. En otras palabras, para que una tecnolo-gía o conjunto de producción sea un conjunto convexo se requiere que los rendimientos a escala sean constantes o decrecientes.

Concentrémonos en el caso de un conjunto de producción muy simple constituido por un solo input (x) y un solo output (y). De forma que la función de producción ()yfx= sería, como sabemos, la frontera de ese conjunto de producción o tecnología.

En el caso de los rendimientos constantes a escala, la representación gráfica del conjunto de produc-ción y de la función de producción sería:

Como puede observarse, si se duplica el empleo del único input o factor variable x, el output obtenido también crece en la misma proporción. Por ese motivo, la función de producción es una línea recta que parte del origen de coordenadas. La productividad marginal del factor variable x, es decir, la pen-diente de la función de producción, sería positiva y constante.

En cambio, cuando los rendimientos son decrecientes a escala, si se duplica el empleo del único in-put o factor variable x, el output obtenido también crece pero en menor proporción. Por ese motivo, la función de producción es una curva cóncava pero creciente que parte del origen de coordenadas. La

Conjunto de producción

x

y

y=f(x)

Rendimientos constantes a escala

productividad marginal del factor variable x, es decir, la pendiente de la función de producción, sería positiva y decreciente a medida que aumenta el nivel de producción.

En este caso, la representación gráfica sería, por tanto, la siguiente:

En ambos casos puede observarse que el conjunto de producción, constituido por su frontera, que es precisamente la función de producción, y el área sombreada situada debajo de la misma, es un conjunto convexo; dado que cualquier línea recta que une entre sí dos puntos cualesquiera que pertenecen a este conjunto, en particular los situados en su frontera, estaría constituida por puntos que pertenecen todos ellos al citado conjunto.

En cambio, cuando los rendimientos a escala son crecientes, el conjunto de producción resultante no es convexo, como puede observarse en la siguiente figura:

Rendimientos decrecientes a escala

Conjunto de producción

x

y

y=f(x)

Dado que es posible unir al menos dos puntos pertenecientes al conjunto de producción, en particular si están situados en su frontera, mediante una línea recta que tendría puntos situados fuera del conjunto de producción, es decir, que no pertenecerían al conjunto de producción.

Esto es debido a que la función de producción en este caso es una curva convexa pero creciente que parte del origen de coordenadas. La productividad marginal del factor variable x, es decir, la pendien-te de la función de producción, sería positiva y creciente a medida que aumenta el nivel de produc-ción.

En resumen, tal como hemos visto, los rendimientos a escala no-crecientes (constantes o decrecien-tes) dan lugar a conjuntos de producción convexos. En cambio, cuando los rendimientos a escala son crecientes el conjunto de producción resultante no es convexo.

¿A qué se debe este fenómeno? Como vamos a ver a continuación, está relacionado con la divisibili-dad de los procesos productivos.

Si dado un proceso productivo cualquiera perteneciente al conjunto de producción, por ejemplo, , resulta que es factible o viable, esto es, que pertenece al conjunto de producción, el si-guiente proceso productivo: 1x.

1101xyaaa.<

resultante de disminuir arbitrariamente la escala de producción a la opera el proceso productivo de partida, entonces decimos que el proceso productivo de partida es perfectamente divisible.

Conjunto de producción

Rendimientos crecientes a escala

x

y

y=f(x)

El hecho de que una tecnología o conjunto de producción sea divisible quiere decir que todos los procesos productivos pertenecientes al conjunto de producción son perfectamente divisibles, de acuerdo con la definición que hemos dado de divisibilidad.

Como puede observarse, para que un proceso productivo cualquiera sea divisible, el nivel de output sólo puede reducirse como mucho en la misma proporción en que se reduce el empleo de todos los inputs. Nunca en una proporción mayor. Es evidente, pues, que esto sólo puede ocurrir sin los rendi-mientos son constantes o decrecientes a escala.

Efectivamente, como puede observarse en la figura anterior, en el caso de los rendimientos constan-tes a escala el proceso productivo:

1101xyaaa.<

pertenece a la frontera del conjunto de producción y, por tanto, al conjunto de producción. Luego es un proceso factible o viable y, además, técnicamente eficiente.

Esto es debido, como resulta obvio, a que una reducción de la cantidad empleada del único input existente (x1) en una determinada proporción (a) origina una reducción del nivel de output (y1) en la misma proporción.

En el caso de los rendimientos decrecientes a escala, en la figura anterior puede observarse que el proceso productivo:

1101xyaaa.<

Rendimientos Decrecientes a Escala

Rendimientos Constantes a Escala

1ya

y2

y1

y

1xa

x1

x

1xa

x1

x

y

1ya

y1

pertenece al interior del conjunto de producción.

Esto es debido a que con 1xa unidades del único input existente estamos en condiciones de producir una cantidad de output mayor que 2y1ya. Pues, como es bien sabido, cuando los rendimientos son decrecientes a escala una reducción de la cantidad empleada de todos los inputs en una determinada proporción origina una reducción del nivel de output en menor proporción.

Por consiguiente, el citado proceso productivo, aunque es técnicamente ineficiente, pertenece al con-junto de producción; se trata, pues, de un proceso productivo factible o viable.

Como puede observarse, hemos hecho uso del axioma de libre disposición o de eliminación gratuita; que nos dice que si es posible obtener una determinada cantidad de output empleando una cierta cantidad de inputs 2y1xa, también resulta posible obtener una menor cantidad de output 1ya em-pleando la misma cantidad de inputs. En realidad, con esa cantidad 1xa del único input existente se obtiene la cantidad máxima de output técnicamente factible , de acuerdo con la función de produc-ción, y lo que hemos hecho es eliminar gratuitamente una parte del output producido, quedándonos, pues, con una cantidad menor de output. 2y

En el caso de los rendimientos crecientes a escala, en la figura precedente puede observarse que el proceso productivo:

1101xyaaa.<

no pertenece al conjunto de producción.

x

x1

1xa

y

y1

1ya

y2

Rendimientos Crecientes a Escala

Esto es debido a que con 1xa unidades del único input existente estamos en condiciones de producir una cantidad de output menor que 2y1ya. Pues, como es bien sabido, cuando los rendimientos son crecientes a escala una reducción de la cantidad empleada de todos los inputs en una determinada proporción origina una reducción del nivel de output en mayor proporción.

Por este motivo, los rendimientos crecientes a escala conllevan la indivisibilidad de los procesos pro-ductivos y, de ahí, la no-convexidad de la tecnología o conjunto de producción.

Capítulo 19

LA MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO

Breve introducción

En este capítulo se estudia el comportamiento del empresario o productor, el cual se centra en la selección de técnicas que lleva a cabo, tanto en el corto como en el largo plazo, dados el precio del producto y los precios de los inputs. Tal selección de técnicas está guiada por el criterio de la maximi-zación del beneficio.

Capítulo 19

LA MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO

Definición de beneficio

Los beneficios se entienden como la diferencia entre los ingresos derivados de la venta del producto elaborado por la empresa de que se trate, menos los costes de producción en los que incurre.

No obstante, los costes de producción han de entenderse no como los costes contables, esto es, el dinero desembolsado para pagar los factores de producción empleados; sino como los costes de oportunidad, esto es, la cantidad de dinero que habría que pagar por disponer de un determinado factor, se desembolse o no efectivamente en la práctica.

De ahí que si una empresa obtiene beneficios nulos, no quiere decir por ello que no sea rentable. En términos económicos quiere decir que, puesto que todos los factores son retribuidos de acuerdo con su coste de oportunidad, la empresa obtiene los beneficios normales derivados del uso del factor capital; sólo que tales beneficios normales se imputan como el coste de oportunidad derivado de la utilización de este factor, de ahí que los beneficios en términos económicos resulten nulos.

En consecuencia, en términos económicos, se dice que una empresa obtiene beneficios positivos, cuando sus beneficios contables superan los beneficios normales u ordinarios. En términos económi-cos, obtener beneficios es sinónimo de obtener beneficios extraordinarios por encima del pago de los factores de acuerdo con su coste de oportunidad, entre los cuales se encuentra precisamente el fac-tor capital que requiere ser retribuido con unos beneficios normales u ordinarios.

Factores de producción fijos y variables � Factor fijo: se trata de un factor del que siempre se emplea una determinada cantidad (incluso aunque la empresa decida no producir nada) que es independiente del nivel de producción. Los factores fijos sólo tienen cabida en el corto plazo. � Factor variable: se trata de un factor del que se emplea una determinada cantidad que depende del nivel de producción. Si la empresa decide no producir nada, la cantidad empleada de este factor es cero. Los factores variables tienen cabida tanto en el corto como en el largo plazo. � Factor cuasifijo: se trata de un factor del que siempre se emplea una determinada cantidad que es independiente del nivel de producción, siempre que éste sea positivo. Si la empresa decide no producir nada, la cantidad empleada de este factor es cero. Los factores cuasifi

jos tienen cabida tanto en el corto como en el largo plazo. Los factores cuasifijos son un caso particular de los factores variables, dado que la cantidad em-pleada de tales factores es cero cuando el nivel de producción es cero; y la cantidad empleada es positiva cuando el nivel de producción es positivo. La cantidad empleada de un factor cuasifijo varía,

pues, cuando el nivel de producción pasa de cero a un número positivo. En cambio, a diferencia de lo que ocurre con los factores variables, la cantidad empleada de los factores cuasifijos se mantiene constante para cualquier nivel de producción positivo.

La maximización del beneficio en el corto plazo

Partamos de nuestra función de producción y hagamos fijo el segundo factor:

()21,xxfy=

Sea p el precio del producto y w1 y w2 los precios de ambos factores. La elección óptima del em-presario resulta de maximizar la siguiente función de beneficios que depende de x1:

()221121,max1xwxwxxpfx--

La condición de equilibrio es la siguiente: ()1211,wxxpPM=. Esto es, el valor de la productividad marginal de primer factor, el factor variable, ha de ser igual a su precio.

Puesto que el segundo factor es fijo, la productividad marginal del primer factor es decreciente a medida que se emplea una mayor cantidad de este último. Teniendo en cuenta este hecho podemos realizar algunos ejercicios de estática comparativa:

� Supongamos que crece p, el precio del producto. En tal caso, debe decrecer la productividad marginal del primer factor para que siga cumpliéndose esta última igualdad. En consecuencia, debe aumentar la cantidad empleada de este factor y, de ahí, el nivel de output. En otras pala-bras, la curva de oferta del producto es creciente a corto plazo. � Supongamos que crece w1, el precio del factor variable. Para que siga cumpliéndose la misma igualdad, debe crecer la productividad marginal de este factor. En consecuencia, tiene que redu-cirse la cantidad empleada del factor variable y, de ahí, el nivel de producción. En otras palabras, la curva de demanda del factor variable es decreciente a corto plazo. � En cambio, si se altera el precio del factor fijo ello no afecta en absoluto a la cantidad demandada del factor variable, ni, por tanto, al nivel de producción; tan sólo se verán afectados los beneficios obtenidos por la empresa. Desde un punto de vista gráfico, la maximización del beneficio a corto plazo puede abordarse por medio de las llamadas rectas isobeneficio.

Sean p los beneficios de la empresa:

2211xwxwpy--=p

Despejando y, obtenemos el nivel de output en función de x1:

1122xpwxpwpy++=p

La representación gráfica de esta función es un conjunto de líneas rectas de pendiente w1/p y or-denada en el origen 22xpwp+p. Cada nivel de beneficios p define una recta isobeneficio, que es el lugar geométrico de todas las combinaciones de factores y producto que generan el mismo nivel de beneficios. Las rectas más alejadas del origen de coordenadas representan mayores niveles de bene-ficios.

La maximización del beneficio a corto plazo tiene lugar en el punto en que la función de produc-ción es tangente a la recta isobeneficio de más alto nivel.

La maximización del beneficio nunca puede tener lugar sobre una recta isobeneficio que corte a la función de producción, porque en este caso siempre es posible saltar a otra recta isobeneficio de mayor ordenada en el origen, por tanto, asociada a un mayor nivel de beneficios, que sea tangente a la función de producción.

La maximización del beneficio tampoco puede tener lugar sobre una recta isobeneficio que esté situada por encima de la función de producción, sin tener ningún punto de contacto con esta última. Porque en este caso, el nivel de beneficios asociado a tal recta isobeneficio no sería alcanzable.

y rectas isobeneficio pendiente w1/p y* ),(21xxfy= función de producción pxw22+p x1* x1 Figura 19.1. La maximización del beneficio a corto plazo y las rectas isobeneficio

Obsérvese en la Figura 19.1, que la representación gráfica de la función de producción a corto plazo que estamos manejando es una curva creciente (primera derivada positiva) y cóncava (segunda

derivada negativa). Por tanto, la productividad marginal del factor variable x1 es positiva, y decreciente a medida que se emplea una mayor cantidad de este factor.

A partir de aquí se pueden realizar los mismos ejercicios de estática comparativa que hicimos an-teriormente:

� Supongamos que crece p, el precio del producto. En tal caso, disminuye la pendiente de las rec-tas isobeneficio, y al mismo tiempo la ordenada en el origen de la recta isobeneficio que hasta ahora era tangente a la función de producción. En consecuencia, esta recta isobeneficio corta ahora a la función de producción, de ahí que el nuevo punto de equilibrio debe situarse sobre otra recta isobeneficio de mayor ordenada en el origen, por tanto, de mayor nivel de beneficios, la cual será tangente a la función de producción en un punto situado más a la derecha. En resu-men, aumenta tanto el empleo del factor variable, como el nivel de producción, como los benefi-cios de la empresa. f(x1) p bajo p alto x1 Figura 19.2. Estática comparativa Alteración de p

� Supongamos que crece w1, el precio del factor variable. En tal caso, aumenta la pendiente de las rectas isobeneficio, permaneciendo inalterada la ordenada en el origen de la recta isobeneficio que hasta ahora era tangente a la función de producción. En consecuencia, esta recta isobenefi-cio se sitúa por encima de la función de producción, sin tener ningún punto de contacto con esta última; de ahí que el nuevo punto de equilibrio deba situarse sobre otra recta isobeneficio de me-nor ordenada en el origen, por tanto, de menor nivel de beneficios, la cual será tangente a la fun-ción de producción en un punto situado más a la izquierda. En resumen, disminuye tanto el em-pleo del factor variable, como el nivel de producción, como los beneficios de la empresa.

f(x1) w1 alto w1 bajo x1 Figura 19.3. Estática comparativa Alteración de w1

� En cambio, si se altera el precio del factor fijo ello no afecta a la pendiente de las rectas isobene-ficio, ni por tanto al punto de tangencia con la función de producción. En consecuencia, permane-ce inalterada la cantidad demandada del factor variable y el nivel de producción. Además, como seguimos situados sobre la misma recta isobeneficio, la ordenada en el origen pxw22+p no se altera; por este motivo, cualquier variación del precio del factor fijo queda compensada con una variación en sentido contrario del nivel de beneficios.

La maximización del beneficio en el largo plazo

Ahora no hay factores fijos. El problema de la maximización del beneficio en el largo plazo puede plantearse de la siguiente forma:

()221121,,max21xwxwxxpfxx--

La condición de equilibrio resultante es la siguiente:

()()22121211,,wxxpPMwxxpPM==

El valor de las productividades marginales de ambos factores ha de ser igual a sus respectivos precios.

A partir de aquí se obtienen las funciones de demanda de ambos factores y la función de oferta del producto, dependientes todas ellas de los precios de los factores y del precio del producto.

La maximización del beneficio exige que la función de producción posea rendimientos decrecien-tes a escala. Cuando no se cumple este supuesto el problema no está bien definido.

De hecho, cuando la función de producción posee rendimientos constantes a escala, el beneficio máximo debe ser cero. De lo contrario, si fuera positivo, podría incrementarse sin límite a medida que aumentan en la misma proporción las cantidades empleadas de los factores y el nivel de output, y, por tanto, el beneficio no sería máximo.

El axioma débil de la maximización de beneficio

Sin postular siquiera la existencia de una función de producción de las características analizadas en este capítulo, ni establecer ningún supuesto acerca del comportamiento de las productividad margina-les de los factores; haciendo uso únicamente de las implicaciones que conlleva la elección del em-presario cuando maximiza el beneficio, puede llegarse a las mismas conclusiones que en los ejerci-cios de estática comparativa realizados con anterioridad.

A saber, que la curva de oferta del producto es creciente y que las curvas de demanda de los fac-tores son decrecientes. Esto es, que el precio del producto y la cantidad producida varían en la misma dirección; y que la cantidad demandada de cada factor varía en sentido inverso en relación con su respectivo precio.

Capítulo 19

LA MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO

Glosario

Axioma débil de la maximización de beneficio: Sin postular siquiera la existencia de una función de producción de las características analizadas en este capítulo, ni establecer ningún supuesto acerca del comportamiento de las productividad margina-les de los factores; haciendo uso únicamente de las implicaciones que conlleva la elección del em-presario cuando maximiza el beneficio, puede llegarse a las mismas conclusiones que en los ejerci-cios de estática comparativa realizados con anterioridad.

A saber, que la curva de oferta del producto es creciente y que las curvas de demanda de los factores son decrecientes. Esto es, que el precio del producto y la cantidad producida varían en la misma di-rección; y que la cantidad demandada de cada factor varía en sentido inverso en relación con su res-pectivo precio.

Beneficio: Es la diferencia entre los ingresos derivados de la venta del producto elaborado por la empresa de que se trate, menos los costes de oportunidad correspondientes a los factores de producción em-pleados; esto es, la cantidad de dinero que habría que pagar por disponer de un determinado factor, se desembolse o no efectivamente en la práctica.

De ahí que si una empresa obtiene beneficios nulos, no quiere decir por ello que no sea rentable. En términos económicos quiere decir que, puesto que todos los factores son retribuidos de acuerdo con su coste de oportunidad, la empresa obtiene los beneficios normales derivados del uso del factor capital; sólo que tales beneficios normales se imputan como el coste de oportunidad derivado de la utilización de este factor, de ahí que los beneficios en términos económicos resulten nulos.

En consecuencia, en términos económicos, se dice que una empresa obtiene beneficios positivos, cuando sus beneficios contables superan los beneficios normales u ordinarios. En términos económi-cos, obtener beneficios es sinónimo de obtener beneficios extraordinarios por encima del pago de los factores de acuerdo con su coste de oportunidad, entre los cuales se encuentra precisamente el fac-tor capital que requiere ser retribuido con unos beneficios normales u ordinarios.

Beneficio contable: Es la diferencia entre los ingresos derivados de la venta del producto elaborado por la empresa de que se trate, menos los costes de producción en los que incurre, los cuales suponen el pago efecti-vamente realizado de los factores de producción empleados.

Corto plazo: Se caracteriza por la presencia de factores fijos por los que el empresario debe pagar unos costes fijos aunque decida no producir nada.

Por consiguiente, en el corto plazo el empresario puede obtener pérdidas (beneficios negativos), que, como máximo, serán los costes fijos.

Factor cuasifijo: Se trata de un factor del que siempre se emplea una determinada cantidad que es independiente del nivel de producción, siempre que éste sea positivo. Si la empresa decide no producir nada, la canti-dad empleada de este factor es cero. Los factores cuasifijos tienen cabida tanto en el corto como en el largo plazo.

Los factores cuasifijos son un caso particular de los factores variables, dado que la cantidad emplea-da de tales factores es cero cuando el nivel de producción es cero; y la cantidad empleada es positiva cuando el nivel de producción es positivo. La cantidad empleada de un factor cuasifijo varía, pues, cuando el nivel de producción pasa de cero a un número positivo. En cambio, a diferencia de lo que ocurre con los factores variables, la cantidad empleada de los factores cuasifijos se mantiene cons-tante para cualquier nivel de producción positivo.

Factor fijo: Se trata de un factor del que siempre se emplea una determinada cantidad (incluso aunque la empre-sa decida no producir nada) que es independiente del nivel de producción. Los factores fijos sólo tie-nen cabida en el corto plazo.

Factor variable: Se trata de un factor del que se emplea una determinada cantidad que depende del nivel de produc-ción. Si la empresa decide no producir nada, la cantidad empleada de este factor es cero. Los facto-res variables tienen cabida tanto en el corto como en el largo plazo.

Largo plazo: Se caracteriza por la ausencia de factores fijos. Los factores empleados en el largo plazo son, bien

variables, bien cuasifijos. En el largo plazo no existen costes fijos.

Por consiguiente, si el empresario decide en el largo plazo no producir nada, esto es, no instalar su empresa en el mercado, los costes en los que incurre serían cero y, de ahí, los beneficios serían nu-los. En el largo plazo, pues, es imposible que el empresario incurra en pérdidas.

Maximización del beneficio en el corto plazo: Partamos de nuestra función de producción y hagamos fijo el segundo factor:

()21,xxfy=

Sea p el precio del producto y w1 y w2 los precios de ambos factores. La elección óptima del empresa-rio resulta de maximizar la siguiente función de beneficios que depende de x1:

()221121,max1xwxwxxpfx--

La condición de equilibrio es la siguiente: ()1211,wxxpPM=. Esto es, el valor de la productividad marginal de primer factor, el factor variable, ha de ser igual a su precio.

Puesto que el segundo factor es fijo, la productividad marginal del primer factor es decreciente a me-dida que se emplea una mayor cantidad de este último. Teniendo en cuenta este hecho podemos realizar algunos ejercicios de estática comparativa:

� Supongamos que crece p, el precio del producto. En tal caso, debe decrecer la productivi-dad marginal del primer factor para que siga cumpliéndose esta última igualdad. En conse-cuencia, debe aumentar la cantidad empleada de este factor y, de ahí, el nivel de output. En otras palabras, la curva de oferta del producto es creciente a corto plazo. � Supongamos que crece w1, el precio del factor variable. Para que siga cumpliéndose la misma igualdad debe crecer la productividad marginal de este factor. En consecuencia, tie-ne que reducirse la cantidad empleada del factor variable y, de ahí, el nivel de producción. En otras palabras, la curva de demanda del factor variable es decreciente a corto plazo. � En cambio, si se altera el precio del factor fijo ello no afecta en absoluto a la cantidad de-mandada del factor variable, ni, por tanto, al nivel de producción; tan sólo se verán afecta-dos los beneficios obtenidos por la empresa.

Maximización del beneficio en el largo plazo: Ahora no hay factores fijos. El problema de la maximización del beneficio en el largo plazo puede plantearse de la siguiente forma:

()221121,,max21xwxwxxpfxx--

La condición de equilibrio resultante es la siguiente:

()()22121211,,wxxpPMwxxpPM==

El valor de las productividades marginales de ambos factores ha de ser igual a sus respectivos pre-cios.

A partir de aquí se obtienen las funciones de demanda de ambos factores y la función de oferta del producto, dependientes todas ellas de los precios de los factores y del precio del producto.

La maximización del beneficio exige que la función de producción posea rendimientos decrecientes a escala. Cuando no se cumple este requisito el problema no está bien definido.

De hecho, cuando la función de producción posee rendimientos constantes a escala, el beneficio máximo debe ser cero. De lo contrario, si fuera positivo, podría incrementarse sin límite a medida que aumentan en la misma proporción las cantidades empleadas de los factores y el nivel de output, y, por tanto, no sería máximo.

Rectas isobeneficio: Nos encontramos en el corto plazo, de modo que el segundo factor es fijo. Sean p los beneficios de la empresa:

2211xwxwpy--=p

Despejando y, obtenemos el nivel de output en función de x1:

1122xpwxpwpy++=p

La representación gráfica de esta función es un conjunto de líneas rectas de pendiente w1/p y orde-nada en el origen 22xpwp+p. Cada nivel de beneficios p define una recta isobeneficio, que es el lugar geométrico de todas las combinaciones de factores y producto que generan el mismo nivel de beneficios. Las rectas más alejadas del origen de coordenadas representan mayores niveles de bene-ficios.

La maximización del beneficio a corto plazo tiene lugar en el punto en que la función de producción es tangente a la recta isobeneficio de más alto nivel.

La maximización del beneficio nunca puede tener lugar sobre una recta isobeneficio que corte a la función de producción, porque en este caso siempre es posible saltar a otra recta isobeneficio de mayor ordenada en el origen, por tanto, asociada a un mayor nivel de beneficios, que sea tangente a la función de producción.

La maximización del beneficio tampoco puede tener lugar sobre una recta isobeneficio que esté si-tuada por encima de la función de producción, sin tener ningún punto de contacto con esta última. Porque en este caso, el nivel de beneficios asociado a tal recta isobeneficio no sería alcanzable.

y rectas isobeneficio pendiente w1/p y* ),(21xxfy= función de producción pxw22+p x1* x1 Figura 19.1. La maximización del beneficio a corto plazo y las rectas isobeneficio

Obsérvese en la Figura 19.1, que la representación gráfica de la función de producción a corto plazo que estamos manejando es una curva creciente (primera derivada positiva) y cóncava (segunda deri-vada negativa). Por tanto, la productividad marginal del factor variable x1 es positiva, y decreciente a medida que se emplea una mayor cantidad de este factor.

A partir de aquí se pueden realizar los mismos ejercicios de estática comparativa que hicimos ante-riormente:

� Supongamos que crece p, el precio del producto. En tal caso, disminuye la pendiente de las rectas isobeneficio, y al mismo tiempo la ordenada en el origen de la recta isobeneficio que hasta ahora era tangente a la función de producción. En consecuencia, esta recta isobene-ficio corta ahora a la función de producción, de ahí que el nuevo punto de equilibrio debe si-tuarse sobre otra recta isobeneficio de mayor ordenada en el origen, por tanto, de mayor nivel de beneficios, la cual será tangente a la función de producción en un punto situado más a la derecha. En resumen, aumenta tanto el empleo del factor variable, como el nivel de producción, como los beneficios de la empresa.

f(x1) p bajo p alto x1 Figura 19.2. Estática comparativa Alteración de p � Supongamos que crece w1, el precio del factor variable. En tal caso, aumenta la pendiente de las rectas isobeneficio, permaneciendo inalterada la ordenada en el origen de la recta isobeneficio que hasta ahora era tangente a la función de producción. En consecuencia, es-ta recta isobeneficio se sitúa por encima de la función de producción, sin tener ningún punto de contacto con esta última; de ahí que el nuevo punto de equilibrio deba situarse sobre otra recta isobeneficio de menor ordenada en el origen, por tanto, de menor nivel de benefi-cios, la cual será tangente a la función de producción en un punto situado más a la izquier-da. En resumen, disminuye tanto el empleo del factor variable, como el nivel de producción, como los beneficios de la empresa.

f(x1) w1 alto w1 bajo x1 Figura 19.3. Estática comparativa Alteración de w1

� En cambio, si se altera el precio del factor fijo ello no afecta a la pendiente de las rectas isobeneficio, ni por tanto al punto de tangencia con la función de producción. En conse-cuencia, permanece inalterada la cantidad demandada del factor variable y el nivel de pro-ducción. Además, como seguimos situados sobre la misma recta isobeneficio, la ordenada en el origen pxw22+p no se altera; por este motivo, cualquier variación del precio del fac-tor fijo queda compensada con una variación en sentido contrario del nivel de beneficios.

Capítulo 19

LA MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO

Factores variables a largo plazo Normalmente suele afirmarse que a largo plazo todos los factores son variables. Esto contradice la respuesta a la pregunta de test 19.5 de la Guía Didáctica, dado que afirma que puede haber factores cuasifijos.

Efectivamente a largo plazo puede haber factores cuasifijos que, sin embargo, pueden considerarse como un caso particular de los factores variables. Dado que la cantidad utilizada de un factor cuasifijo varía cuando el nivel de producción pasa de cero a una cantidad positiva. La cantidad utilizada del factor cuasifijo sería cero cuando el nivel de producción es cero, y una cantidad positiva y constante para cualquier nivel de producción positivo.

Por este motivo, hecha esta precisión, la afirmación de que a largo plazo todos los factores son varia-bles puede considerarse correcta. Ahora bien, si diferenciamos los factores variables en sentido es-tricto de los factores cuasifijos, tal afirmación no sería correcta. Ésta es precisamente la razón de ser de la pregunta de test 19.5 de la Guía Didáctica.

Capítulo 20

LA MINIMIZACIÓN DE LOS COSTES

Breve introducción

En este capítulo vamos a considerar la combinación de inputs que minimiza el coste de producción de obtener un determinado volumen de output.

Sean x1 y x2 los factores productivos, w1 y w2 su respectivos precios e y el volumen de output que debemos obtener. La función de producción de la empresa es: ),(21xxfy=.

El problema que nos ocupa puede formularse matemáticamente del siguiente modo:

yxxfxwxwxx=+),(a sujetamin212211,21

Puesto que tanto los precios de los factores como el volumen de output son un dato, obtendremos la combinación de inputs minimizadora del coste de producción.

Capítulo 20

LA MINIMIZACIÓN DE LOS COSTES

En este capítulo vamos a considerar la combinación de inputs que minimiza el coste de producción de obtener un determinado volumen de output.

Sean x1 y x2 los factores productivos, w1 y w2 su respectivos precios e y el volumen de output que debemos obtener. La función de producción de la empresa es: ),(21xxfy=.

El problema que nos ocupa puede formularse matemáticamente del siguiente modo:

yxxfxwxwxx=+),(a sujetamin212211,21

Puesto que tanto los precios de los factores como el volumen de output son un dato, obtendremos la combinación de inputs minimizadora del coste de producción.

En general, las cantidades requeridas de cada uno de los inputs, minimizadoras del coste de pro-ducción, serán función de los precios de los factores y del nivel de output. Se trata de las llamadas funciones de demanda derivadas o condicionadas de los factores:

()()ywwxxywwxx,,,,21222111==

A partir de aquí, resulta inmediato obtener la función de costes, dependiente de las mismas varia-bles; la cual nos indica los costes mínimos necesarios para obtener el volumen de output y, dados los precios de los factores (w1,w2):

()()ywwxwywwxwywwC,,,,),,(2122211121+=

Desde un punto de vista gráfico, el problema de determinar la combinación de inputs que minimi-za el coste de producción de obtener un determinado nivel de output, se aborda del siguiente modo.

En primer lugar, consideremos todas las combinaciones de factores asociadas a un determinado coste de producción C. Deben satisfacer la ecuación siguiente:

2211xwxwC+=

La cual puede rescribirse del siguiente modo:

12122xwwwCx-=

Se trata de una línea recta decreciente de pendiente �w1/w2 y de ordenada en el origen C/w2. Se denomina recta isocoste; y es el lugar geométrico de todas las combinaciones de factores asociadas al mismo coste de producción C.

A medida que va variando C obtenemos una familia de rectas isocoste, todas ellas líneas rectas paralelas decrecientes. Las más alejadas del origen de coordenadas representan mayores niveles del coste de producción.

x2 Elección óptima Rectas pendiente �w1/w2 x2* Isocuanta f(x1,x2)=y x1* x1 Figura 20.1. La minimización de los costes

Consideremos ahora la curva isocuanta asociada al nivel de producción y, perteneciente a una función de producción correspondiente a una tecnología regular (monótona y estrictamente convexa). Tal curva isocuanta será una curva convexa de curvatura regular, esto es, carente de segmentos lineales, y de ángulos o vértices donde la pendiente no está definida.

La combinación de inputs óptima minimizadora del coste de producción de obtener el nivel de output y se corresponderá con el punto de tangencia entre la curva isocuanta y la recta isocoste de menor nivel. Se trata de un óptimo interior en el que se emplea una cantidad positiva de ambos in-puts. En ese punto la pendiente de ambas líneas será la misma:

212112wwPMPMdxdxRTS-=-==

Esta igualdad puede rescribirse del siguiente modo:

2211wPMwPM=

Es lo que se conoce con el nombre de ley de la igualdad de las productividades marginales pon-deradas de los factores, condición que debe cumplir la combinación de inputs minimizadora del coste de producción.

Las funciones de demanda derivadas o condicionadas de los factores

Hemos visto anteriormente que adoptan la siguiente forma:

()()ywwxxywwxx,,,,21222111==

Dependen tanto de los precios de los factores como del nivel de producción.

Veamos su comportamiento cuando aumenta el nivel de producción. Si aumenta la cantidad de-mandada del factor en cuestión se dice que este último es un factor normal; si disminuye la cantidad demandada, se dice que se trata de un factor inferior.

El comportamiento de la cantidad demandada de ambos factores al variar el nivel de producción, permaneciendo los precios de estos últimos constantes, puede representarse gráficamente mediante la llamada senda de expansión de la producción. Que es el lugar geométrico de todas las combina-ciones de factores que minimizan el coste de producción para cada nivel de output.

x2 Senda de expansión de la producción x1 Figura 20.2. Senda de expansión de la producción Ambos factores son normales

Explicación del gráfico: Puesto que los precios de ambos factores permanecen constantes, la pendiente de las rectas isocoste no se altera. La línea que une los sucesivos puntos de tangencia de las rectas isocoste con las correspondientes curvas isocuantas es precisamente la senda de expan-sión de la producción. Esta última nos indica la combinación de inputs óptima, minimizadora del coste de producción, elegida por el empresario para cada nivel de producción, dados los precios de ambos factores. Como puede apreciarse en la figura, ambos factores son normales, dado que su utilización crece conforme aumenta el nivel de producción, es decir, conforme nos desplazamos hacia curvas isocuantas más alejadas del origen de coordenadas.

Podemos igualmente dibujar la senda de expansión de la producción cuando uno de los factores es normal y el otro inferior; es decir, cuando la utilización de este último disminuye conforme aumenta el nivel de producción.

x2 Senda de expansión de la producción x1 Figura 20.3. Senda de expansión de la producción x2 factor normal, x1 factor inferior

Por otra parte, sin postular siquiera la existencia de una función de producción, haciendo uso úni-camente de las implicaciones que conlleva la elección del empresario cuando minimiza el coste de producción de obtener un determinado nivel de output (Axioma débil de la minimización del coste), puede demostrarse que la cantidad demandada de un determinado input varía en sentido inverso a la variación del precio de este último. En otras palabras, la curva de demanda derivada o condicionada de un factor tiene pendiente negativa: al aumentar el precio de este último se reduce la cantidad em-pleada del mismo.

Además, si sube el precio de un factor, los costes mínimos necesarios para obtener el mismo vo-lumen de output nunca pueden disminuir, en realidad serán normalmente mayores.

Costes fijos, costes variables y costes cuasifijos

Los costes fijos son los costes que se derivan del empleo de factores fijos. En tales costes incurre el empresario a corto plazo. Se derivan, por ejemplo, del tamaño de la planta, que no se puede alterar a corto plazo. Tales costes deben sufragarse siempre, aunque no se produzca nada.

Los costes variables son los costes que se derivan del empleo de los factores variables. Su cuan-tía depende del nivel de producción.

Los costes cuasifijos son los costes que se derivan del empleo de factores cuasifijos. Se incurre en ellos cuando el empresario decide producir una cantidad positiva. En este sentido, son costes fijos, dado que su cuantía no depende del nivel de producción, siempre que éste sea positivo. En cambio, no deben sufragarse si el empresario decide no producir nada. En este sentido, puede decirse que se trata de costes variables con el nivel de producción, cuando pasa de cero a una cantidad positiva.

Relación entre los costes a corto y largo plazo

Los costes a corto plazo se definen como el coste mínimo necesario en que debe incurrirse para ob-tener un determinado nivel de output, ajustando sólo los factores variables y respetando los factores fijos.

Los costes a largo plazo se definen como el coste mínimo necesario en que debe incurrirse para obtener un determinado nivel de output, ajustando todos los factores, como si fueran variables.

Es evidente que los costes a largo plazo coinciden con los costes a corto plazo cuando la cantidad utilizada de los factores fijos a corto plazo coincide con la que demandaría el empresario a largo plazo como factores variables, esto es, con la que minimiza los costes a largo plazo. Cuando no se cumple esta condición los costes a corto plazo son superiores a los costes a largo plazo, dado que no se emplea la cantidad óptima de los factores fijos para obtener el nivel de producción de que se trate.

De aquí se infiere que los costes a corto plazo nunca pueden ser inferiores a los costes a largo plazo.

Capítulo 20

LA MINIMIZACIÓN DE LOS COSTES

Glosario

Axioma débil de la minimización del coste: Sin postular siquiera la existencia de una función de producción, haciendo uso únicamente de las implicaciones que conlleva la elección del empresario cuando minimiza el coste de producción de obtener un determinado nivel de output (y), puede demostrarse que la cantidad demandada de un determinado input varía en sentido inverso a la variación del precio de este último. En otras palabras, la curva de demanda derivada o condicionada de un factor tiene pendiente negativa: al aumentar el precio de este último se reduce la cantidad empleada del mismo.

Curvas de demanda condicionadas o derivadas de los factores: Se trata de una particularización de las funciones de demanda derivadas o condicionadas de los fac-tores, manteniendo constante el nivel de output y el precio de los otros factores distintos al que esta-mos considerando:

()()222111wxwx..==

La cantidad demandada de un determinado input varía en sentido inverso a la variación del precio de este último. En otras palabras, la curva de demanda derivada o condicionada de un factor tiene pen-diente negativa: al aumentar el precio de este último se reduce la cantidad empleada del mismo. Para demostrar este extremo se hace uso del axioma débil de la minimización del coste de producción.

Factor inferior: Consideremos la función de demanda condicionada o derivada de un factor. Si la cantidad demanda-da del factor en cuestión disminuye al aumentar el nivel de producción, se dice entonces que se trata de un factor inferior.

Factor normal: Consideremos la función de demanda condicionada o derivada de un factor. Si la cantidad demanda-da del factor en cuestión crece al aumentar el nivel de producción, se dice entonces que se trata de un factor normal.

Función de costes: A partir de las funciones de demanda condicionadas o derivadas de los factores resulta inmediato obtener la función de costes, dependiente igualmente de los precios de los factores y del nivel de output; la cual nos indica los costes mínimos necesarios para obtener el volumen de output y, dados los precios de los factores (w1,w2).

()()ywwxwywwxwywwC,,,,),,(2122211121+=

Una propiedad fundamental de las funciones de costes es que si sube el precio de un factor, los cos-tes mínimos necesarios para obtener el mismo volumen de output nunca pueden disminuir, en reali-dad serán normalmente mayores.

Funciones de demanda condicionadas o derivadas de los factores: En general, las cantidades requeridas de cada uno de los inputs, minimizadoras del coste de produc-ción, serán función de los precios de los factores y del nivel de output. Se trata de las llamadas fun-ciones de demanda derivadas o condicionadas de los factores:

()()ywwxxywwxx,,,,21222111==

Veamos su comportamiento cuando aumenta el nivel de producción. Si aumenta la cantidad deman-dada del factor en cuestión se dice que este último es un factor normal; si disminuye la cantidad de-mandada, se dice que se trata de un factor inferior.

El comportamiento de la cantidad demandada de ambos factores al variar el nivel de producción, permaneciendo los precios de estos últimos constantes, puede representarse gráficamente mediante la llamada senda de expansión de la producción.

Ley de la igualdad de las productividades marginales ponderadas de los factores: Condición que debe cumplir la combinación de inputs minimizadora del coste de producción:

2211wPMwPM=

La combinación de inputs minimizadora del coste de producción debe ser tal que las productividades marginales ponderadas con los precios de los factores han de ser iguales.

Minimización del coste de producción: Sean x1 y x2 los factores productivos, w1 y w2 su respectivos precios e y el volumen de output que debemos obtener. La función de producción de la empresa es: ),(21xxfy=.

El problema que nos ocupa puede formularse matemáticamente del siguiente modo:

yxxfxwxwxx=+),(a sujetamin212211,21

Puesto que tanto los precios de los factores como el volumen de output son un dato, obtendremos la combinación de inputs minimizadora de costes.

Desde un punto de vista gráfico, el problema de determinar la combinación de inputs que minimiza el coste de producción de obtener un determinado nivel de output, se aborda del siguiente modo.

Consideremos en primer lugar la familia de rectas isocoste dados los precios de los factores w1 y w2. En segundo lugar, consideremos la curva isocuanta asociada al nivel de producción y, perteneciente a una función de producción correspondiente a una tecnología regular (monótona y estrictamente convexa). Tal curva isocuanta será una curva convexa de curvatura regular, esto es, carente de seg-mentos lineales, y de ángulos o vértices donde la pendiente no está definida.

La combinación de inputs óptima minimizadora del coste de producción de obtener el nivel de output y se corresponderá con el punto de tangencia entre la curva isocuanta y la recta isocoste de menor nivel. Se trata de un óptimo interior en el que se emplea una cantidad positiva de ambos inputs. En ese punto la pendiente de ambas líneas será la misma:

212112wwPMPMdxdxRTS-=-==

x2 Elección óptima Rectas pendiente �w1/w2 x2* Isocuanta f(x1,x2)=y x1* x1 Figura 20.1. La minimización de los costes

Recta isocoste: Consideremos todas las combinaciones de factores asociadas a un determinado coste de producción C. Deben satisfacer la ecuación siguiente:

2211xwxwC+=

La cual puede rescribirse del siguiente modo:

12122xwwwCx-=

Se trata de una línea recta decreciente de pendiente �w1/w2 y de ordenada en el origen C/w2. Se de-nomina recta isocoste; y es el lugar geométrico de todas las combinaciones de factores asociadas al mismo coste de producción C.

A medida que va variando C obtenemos una familia de rectas isocoste, todas ellas líneas rectas para-lelas decrecientes. Las más alejadas del origen de coordenadas representan mayores niveles del coste de producción.

Senda de expansión de la producción: Es el lugar geométrico de todas las combinaciones de factores que minimizan el coste de producción para cada nivel de output, permaneciendo los precios de los factores constantes.

x2 Senda de expansión de la producción x1 Figura 20.2. Senda de expansión de la producción Ambos factores son normales

Explicación del gráfico: Puesto que los precios de ambos factores permanecen constantes, la pen-diente de las rectas isocoste no se altera. La línea que une los sucesivos puntos de tangencia de las rectas isocoste con las correspondientes curvas isocuantas es precisamente la senda de expansión de la producción. Esta última nos indica la combinación de inputs óptima, minimizadora del coste de producción, elegida por el empresario para cada nivel de producción, dados los precios de ambos factores. Como puede apreciarse en la figura, ambos factores son normales, dado que su utilización crece conforme aumenta el nivel de producción, es decir, conforme nos desplazamos hacia curvas isocuantas más alejadas del origen de coordenadas.

Podemos igualmente dibujar la senda de expansión de la producción cuando uno de los factores es normal y el otro inferior; es decir, cuando la utilización de este último disminuye conforme aumenta el nivel de producción.

x2 Senda de expansión de la producción x1 Figura 20.3. Senda de expansión de la producción x2 factor normal, x1 factor inferior

CURVAS ISOCUANTAS Y RENDIMIENTOS A ESCALA

Consideremos una función de producción estándar con dos inputs variables: . Vamos a ver la forma geométrica que adoptan las curvas isocuantas, según los rendimientos a escala que posean los procesos productivos pertenecientes a esta función de producción, con objeto de caracte-rizar convenientemente el problema de la minimización del coste de producción. 12(,)yfxx=

En primer lugar, consideremos la existencia de rendimientos constantes a escala dentro de la función de producción de referencia. Tendremos una figura como la siguiente:

Hemos pintado dos procesos productivos, A y B, representados mediante sendas flechas:

; 12(,)aaxxy.12(,)bbxxy.

con los que se obtiene el mismo nivel de output y.

Una combinación convexa de ambos procesos productivos adoptará la siguiente forma:

1122(1),(1)01ababxxxxyaaaaa..+-+-.=..

Dando lugar al conjunto de procesos productivos geométricamente representados por todos los pun-tos pertenecientes al segmento AB, con los que se obtiene el mismo nivel de output y.

x2

2ax

2bx

x1

1bx

1ax

y

Isocuanta

Rendimientos Constantes a Escala

A

B

Efectivamente, esto es debido a que empleando la siguiente cantidad de inputs: , se ob-tiene exactamente la cantidad de output 12(,axxaaya.

Y empleando la siguiente cantidad de inputs: 1(1),(1)bxaa..--.., se obtiene exactamente la cantidad de output (1)ya-.

Dado que cuando los rendimientos a escala son constantes, una reducción de la cantidad empleada de todos los inputs en una proporción a o (1a-), origina una reducción del output producido en la misma proporción.

Por este motivo, si utilizamos simultáneamente ambos procesos productivos obtendremos la siguiente colección de procesos representada por la suma de ambos:

1122(1),(1)01ababxxxxaaaaa..+-+-==..

la cual es precisamente la combinación convexa a la que hacemos referencia más arriba, con la que obviamente se obtiene el nivel de output y.

Por consiguiente, no sólo los puntos A y B, que son los procesos productivos de partida, sino todos los puntos perteneciente al segmento AB formarán parte de la isocuanta correspondiente al nivel de output y, tal como puede observarse en el gráfico precedente.

En consecuencia, cuando los rendimientos a escala son constantes las curvas isocuantas tendrán en general segmentos lineales, es decir, no poseerán una curvatura regular. Salvo que estemos conside-rando el caso extremo de infinitos procesos productivos independientes, como el A y el B, infinita-mente próximos entre sí. En tal caso, la curva isocuanta poligonal degeneraría en una curva convexa de curvatura regular como la que aparece en el siguiente gráfico:

Rendimientos Decrecientes a Escala

Isocuanta

1ax

1bx

x1

2bx

2ax

x2

A

B

y

Cuando los rendimientos a escala son decrecientes, la curvas isocuantas serán curvas convexas de curvatura regular, es decir, carentes de segmentos lineales, como puede verse en la figura anterior.

Efectivamente, esto es debido a que empleando la siguiente cantidad de inputs: , se ob-tiene una cantidad de output mayor que 12(,axxaaya cuando 01a<<.

Y empleando la siguiente cantidad de inputs: 1(1),(1)bxaa..--.., se obtiene una cantidad de output mayor que (1)ya- cuando 01a<<.

Dado que cuando los rendimientos a escala son decrecientes, una reducción de la cantidad empleada de todos los inputs en una determinada proporción a o (1a-), origina una reducción del output producido en menor proporción.

Por este motivo, si utilizamos simultáneamente ambos procesos productivos obtendremos la siguiente colección de procesos representada por la suma de ambos:

1122(1),(1)01ababxxxxaaaaa..+-+-<<..

la cual es precisamente una combinación convexa de los dos procesos productivos de partida A y B, con la que obviamente se obtiene un nivel de output mayor que y.

Por consiguiente, todos los puntos pertenecientes al segmento AB, excluidos los puntos extremos A y B, no podrán formar parte de la isocuanta correspondiente al nivel de output y que pasa precisamen-te por estos dos últimos puntos, sino que deben pertenecer a isocuantas de mayor nivel de output, tal como puede observarse en el gráfico precedente.

Como este razonamiento puede repetirse para dos procesos productivos de partida A y B cualesquie-ra arbitrariamente próximos entre sí, podemos concluir que cuando los rendimientos son decrecientes a escala, cualquier curva isocuanta, por ejemplo, la correspondiente al nivel de output y, será una curva convexa, de curvatura regular, esto es, carente de segmentos lineales.

Por este motivo, cuando planteamos el problema de la minimización del coste de producción en los términos de la Figura 20.1 del libro de texto, donde la curva isocuanta que allí aparece es una curva convexa carente de segmentos lineales, estamos suponiendo implícitamente rendimientos decrecien-tes a escala dentro de la función de producción; o bien, rendimientos constantes a escala con infinitos procesos productivos independientes infinitamente próximos entre sí, es decir, procesos productivos que no son el resultado de una combinación convexa de otros procesos productivos.

En cambio, por un razonamiento semejante al anteriormente expuesto, es fácil deduc

ir que si los ren-dimientos a escala son crecientes las curvas isocuantas serían curvas cóncavas.

Observemos el siguiente gráfico:

Cuando los rendimientos a escala son crecientes, empleando la siguiente cantidad de inputs: , se obtiene una cantidad de output menor que 12(,axxaaya cuando 0a<<. Y empleando la siguiente cantidad de inputs: , se obtiene una cantidad de output menor que (11(1),(1)bxaa.--.)ya- cuando 0a<<. Dado que cuando los rendimientos a escala son crecientes una reducción de la cantidad empleada de todos los inputs en una determinada proporción a o (1a-), origina una reducción del output producido en mayor proporción.

Por este motivo, si utilizamos simultáneamente ambos procesos productivos obtendremos una colec-ción de procesos representada por la suma de ambos:

1122(1),(1)01ababxxxxaaaaa..+-+-<<..

la cual es precisamente una combinación convexa de los dos procesos productivos de partida A y B, con la que obviamente se obtiene un nivel de output menor que y.

Por consiguiente, todos los puntos pertenecientes al segmento AB, excluidos los puntos extremos A y B, no podrán formar parte de la isocuanta correspondiente al nivel de output y que pasa precisamen-te por estos dos últimos puntos, sino que pertenecerán a isocuantas de menor nivel de output, tal como puede observarse en el gráfico precedente.

Cuando este razonamiento puede repetirse para dos procesos productivos de partida A y B arbitra-riamente próximos entre sí, podemos concluir que cuando los rendimientos son crecientes a escala, cualquier curva isocuanta, por ejemplo, la correspondiente al nivel de output y, tenderá a ser una cur-va cóncava, de curvatura regular, esto es, carente de segmentos lineales.

Rendimientos Crecientes a Escala

Isocuanta

1ax

1bx

x1

2bx

2ax

x2

A

B

y

En consecuencia, la convexidad de las curvas isocuantas excluye los rendimientos crecientes a esca-la dentro de la función de producción, y, por tanto, sólo contempla dos casos:

a) Los rendimientos decrecientes a escala. b) Los rendimientos constantes a escala, cuando existen infinitos procesos productivos inde-pendientes infinitamente próximos entre sí. Al decir procesos productivos independientes lo que se quiere decir es que tales procesos no son el resultado de una combinación convexa de otros procesos productivos.

Esta conclusión nos debe llevar a pensar en las limitaciones de la función de producción Cobb-Douglas:

12cdyxx=

Dado que las curvas isocuantas que genera son siempre curvas convexas de curvatura regular, con independencia de los rendimientos a escala que prevalezcan, es decir, con independencia de lo que sumen los exponentes c y d.

A tenor de este resultado, la función de producción Cobb-Douglas sólo es consistente cuando los rendimientos a escala no son crecientes.

Y, por el mismo motivo, el problema de la minimización del coste de producción de obtener un deter-minado nivel de output, del que trata el presente capítulo del libro de Varian, sólo está bien definido cuando los rendimientos no son crecientes a escala.

Capítulo 21

LAS CURVAS DE COSTES

Breve introducción

En este capítulo vamos a estudiar la forma que adoptan las curvas de costes medios, variables me-dios y marginales, y su relación mutua. Así como la relación existente para tales curvas de costes entre el corto y el largo plazo.

La función de costes obtenida en el capítulo anterior nos permite conocer los costes mínimos necesa-rios en que debe incurrir el empresario para obtener un determinado nivel de producción. Se trata de una función que depende de esta última variable y de los precios de los factores:

()21,,wwyc

A lo largo del presente capítulo consideraremos constantes los precios de los factores, y nos centra-remos exclusivamente en la variación de los costes de la empresa con el nivel de producción de esta última: . )(ycc=

Capítulo 21

LAS CURVAS DE COSTES

En este capítulo vamos a estudiar la forma que adoptan las curvas de costes medios, variables me-dios y marginales, y su relación mutua. Así como la relación existente para tales curvas de costes entre el corto y el largo plazo.

La función de costes obtenida en el capítulo anterior nos permite conocer los costes mínimos ne-cesarios en que debe incurrir el empresario para obtener un determinado nivel de producción. Se trata de una función que depende de esta última variable y de los precios de los factores:

()21,,wwyc

A lo largo del presente capítulo consideraremos constantes los precios de los factores, y nos cen-traremos exclusivamente en la dependencia de la función de costes de la empresa del nivel de pro-ducción de esta última: . )(ycc=

Costes medios, variables medios y marginales en el corto plazo

El corto plazo se caracteriza por la presencia de factores fijos. Los costes de producción asociados a este tipo de factores reciben el nombre de costes fijos (CF). Es evidente que estos últimos son cons-tantes e independientes del nivel de producción.

Además, el empresario incurre en unos costes variables (CV) derivados del empleo de los llama-dos factores variables, cuya utilización depende del nivel de producción.

En el corto plazo, el coste de producción es la suma de los costes fijos más los costes variables:

)()(yCVCFyc+=

El coste medio es, por definición, el cociente entre el coste y el nivel de producción. Otro tanto puede decirse del coste fijo medio y del coste variable medio.

Como es lógico, en el corto plazo el coste medio es la suma del coste fijo medio más el coste va-riable medio:

)()()()()(yCVMeyCFMeyyCVyCFyycyCMe+=+==

Evidentemente, los costes fijos medios son siempre decrecientes a medida que aumenta el nivel de producción.

El coste marginal es el cociente entre la variación del coste de producción y la variación infinitesi-mal del nivel de output:

dyydCVdyydcyCM)()()(==

Puesto que cuando varía el nivel de producción, los costes fijos no se alteran. El coste marginal se define también como el cociente entre la variación de los costes variables dividida por la variación del nivel de output, cuando esta última es infinitesimal.

La relación entre los costes variables medios y los costes marginales es muy fácil de establecer:

� Los costes variables medios son constantes si, y sólo si, son iguales a los costes marginales. � Los costes variables medios son crecientes si, y sólo si, los costes marginales son mayores que los costes variables medios. � Los costes variables medios son decrecientes si, y sólo si, los costes marginales son menores que los costes variables medios. � La curva de costes marginales corta a la curva del coste variable medio en su punto mínimo. � El coste variable medio es igual al coste marginal cuando el nivel de output tiende a cero.

La relación entre los costes medios y los costes marginales es la siguiente:

� Los costes medios son constantes si, y sólo si, son iguales a los costes marginales. � Los costes medios son crecientes si, y sólo si, los costes marginales son mayores que los cos-tes medios. � Los costes medios son decrecientes si, y sólo si, los costes marginales son menores que los costes medios. � La curva de costes marginales corta a la curva de costes medios en su punto mínimo.

El coste de producción en el corto plazo, dados los precios de los factores w1 y w2, y considerando que el segundo factor es fijo, resulta ser:

2211xwxwc+=

Obviamente, el primer término del segundo miembro son los costes variables, y el segundo térmi-no son los costes fijos.

Obtengamos el coste variable medio:

111111/PMewxywyxwCVMe===

Es evidente que el coste variable medio y la productividad media del factor variable se comportan de forma inversa: cuando la productividad media del factor variable crece, entonces cae el coste va-

riable medio, etc. Por consiguiente, la curva del coste variable medio tiene forma de U, y es precisa-mente la inversa de la curva de la productividad media del factor variable obtenida en el capítulo 18. Alcanza su mínimo en el Óptimo Técnico.

Obtengamos el coste marginal:

111111/)(PMwdxdywdydxwdyydCVdydcCM=====

Es evidente que el coste marginal y la productividad marginal del factor variable se comportan de forma inversa: cuando la productividad marginal crece, entonces cae el coste marginal, etc. Por con-siguiente, la curva del coste marginal tiene forma de U, y es precisamente la inversa de la curva de la productividad marginal del factor variable obtenida en el capítulo 18. Corta a la curva del coste varia-ble medio en su punto mínimo, precisamente en el Óptimo Técnico.

La curva del coste medio no es más que un desplazamiento vertical de la curva del coste variable medio, pues a esta última hay que sumarle, para obtener la primera, el coste fijo medio, el cual es decreciente a medida que aumenta el nivel de producción. Por tanto, este desplazamiento vertical es tanto menor cuanto mayor es el nivel de output.

CMe CVMe CM CFMe CM CVMe CMe CFMe y Figura 21.1. Las curvas de costes

La suma de los costes marginales correspondientes a sucesivas unidades producidas entre cero y un determinado nivel de producción y*, coincide con los costes variables asociados a ese nivel de

producción. De ahí que el área situada debajo de la curva del coste marginal coincida con el coste variable.

CM CM Costes variables y* y Figura 21.2. El coste marginal y los costes variables

Costes medios y marginales en el largo plazo

En el largo plazo, por definición, no hay factores fijos. Puede haber factores cuasifijos que son un caso particular de los factores variables. El empresario puede adecuar todos los factores al nivel de producción requerido, sin que esté sujeto a ninguna restricción aparte de la tecnológica propiamente dicha.

Por tanto, en el largo plazo no hay costes fijos.

La forma que adopta la curva de costes medios a largo plazo depende de los rendimientos a es-cala de la tecnología:

� Si los rendimientos a escala son decrecientes, el coste medio crece a medida que aumenta el nivel de producción. � Si los rendimientos a escala son constantes, el coste medio permanece también constante a medida que aumenta el nivel de producción. � Si los rendimientos a escala son crecientes, el coste medio disminuye a medida que aumenta el nivel de producción.

La curva estándar de costes medios a largo plazo tiene forma de U. Se supone que en un primer momento los rendimientos a escala son crecientes, por eso el coste medio es decreciente. Alcanza su mínimo en un determinado nivel de producción que recibe el nombre de dimensión óptima de la em-

presa. Y finalmente el coste medio crece a partir de ahí al suponerse rendimientos a escala decre-cientes.

Es evidente que la curva de costes marginales a largo plazo se situará por debajo de la curva de costes medios a largo plazo antes de alcanzar la dimensión óptima de la empresa, dado que estos últimos costes son decrecientes. La curva de costes marginales a largo plazo cortará a la curva de costes medios en su punto mínimo; y a partir de ahí se situará por encima de la curva de costes me-dios, al ser esta última creciente.

CMeL CML CML CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.3. Las curvas de costes medios y marginales a largo plazo

Relación entre los costes medios y marginales a corto y largo plazo

Consideremos que en el corto plazo el factor fijo que tiene el empresario sea el tamaño de la planta k. Lógicamente existirá una función de costes a corto plazo asociada a cada tamaño de la planta, a ca-da nivel alcanzado por el factor fijo. La familia de curvas de costes a corto plazo, asociada cada una de ellas a un determinado tamaño de la planta, se representará mediante la siguiente función: . ),(kycs

En el largo plazo, el empresario puede ajustar el tamaño de la planta al tamaño adecuado que re-quiere la escala de producción (y) que desea alcanzar, para incurrir en los costes mínimos. Por con-siguiente, los costes a largo plazo asociados a un determinado nivel de producción y no son más que los costes a corto plazo en los que incurre el empresario cuando utiliza el tamaño adecuado de la planta para obtener precisamente ese volumen de producción: )(yk

()[]ykycycs,)(=

En consecuencia, los costes a corto plazo nunca pueden ser inferiores a los costes a largo plazo, coincidiendo con estos últimos en aquellos niveles de producción tal que el tamaño de la planta utili-zado es el adecuado. Lo mismo sucederá con los costes medios.

La curva de costes a largo plazo será, pues, la envolvente de las curvas de costes a corto plazo, cada una de ellas asociada a un determinado tamaño de la planta. Y lo mismo sucederá con las cur-vas de costes medios. En otras palabras, las curvas de costes totales y medios a corto plazo nunca pueden cortar a las respectivas curvas de costes totales y medios a largo plazo.

CMeC CMeL CMeC(k1) CMeC(k2) CMeC(k3) CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.4. La curva de costes medios a largo plazo como envolvente de las curvas de costes medios a corto plazo

Dado un tamaño de la planta k*, existirá un nivel de producción y*, para el cual tal tamaño de la planta resulta adecuado. Esto es, que con ese tamaño de la planta se incurre en los costes mínimos necesarios para obtener el nivel de output y*. Este nivel de producción recibe el nombre de volumen de producción típico asociado a ese tamaño de la planta. Para ese volumen de producción típico habrá coincidencia entre los costes a corto y largo plazo; lo mismo sucederá con los costes medios a corto y largo plazo; y con los costes marginales a corto y largo plazo.

CMeC CMeL CMC(k*) CMeC(k*) CMC CML CML CMeL y* y´ y Figura 21.5. Curvas de costes medios y marginales a largo plazo y su relación con el volumen de producción típico y* asociado a un tamaño de la planta k*

Obsérvese en la Figura 21.5, no obstante, que los costes medios mínimos a corto plazo asociados al tamaño de la planta k* que estamos considerando, se alcanzan para un volumen de producción y´, mayor que el volumen de producción típico y* asociado a ese tamaño de la planta; precisamente cuando la curva de costes marginales a corto plazo corta en su punto mínimo a la curva de costes medios a corto plazo asociada al antedicho tamaño de la planta.

La curva de costes marginales a largo plazo estará constituida por los costes marginales a corto plazo asociados a los volúmenes de producción típicos correspondientes a cada tamaño de la planta que estemos considerando. Efectivamente, tal como se aprecia en la Figura 21.5, los costes margina-les a corto y largo plazo coinciden para el volumen de producción típico y* asociado al tamaño de la planta k*. Lo mismo sucedería si dibujáramos otras curvas de costes medios y marginales a corto plazo asociadas a los restantes tamaños de la planta que estemos considerando.

El tamaño de la planta cuyo volumen de producción típico coincide con la dimensión óptima de la empresa, esto es, con el mínimo de la curva de costes medios a largo plazo, recibe el nombre de tamaño óptimo de la planta. Para el volumen de producción denominado dimensión óptima de la em-presa, hay coincidencia plena entre los costes medios a corto y largo plazo con los costes marginales a corto y largo plazo. Todas estas curvas coinciden precisamente cuando se alcanza ese volumen de producción.

CMeC CMeL CMeC(Tamaño óptimo planta) CMC CML CML CMC(Tamaño óptimo planta) CMeL CML Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.6. Curvas de costes medios y marginales a corto y largo plazo: Dimensión óptima de la empresa y Tamaño óptimo de la planta

Capítulo 21

LAS CURVAS DE COSTES

Glosario

Coste fijo medio: Es, por definición, el cociente entre el coste fijo y el nivel de producción.

Evidentemente, los costes fijos medios son siempre decrecientes a medida que aumenta el nivel de producción.

CMe CVMe CM CFMe CM CVMe CMe CFMe y Figura 21.1. Las curvas de costes

Coste marginal: Es el cociente entre la variación del coste de producción y la variación infinitesimal del nivel de output que da origen a aquélla:

dyydCVdyydcyCM)()()(==

Puesto que cuando varía el nivel de producción, los costes fijos no se alteran. El coste marginal se define también como el cociente entre la variación de los costes variables dividida por la variación del nivel de output, cuando esta última es infinitesimal.

La suma de los costes marginales correspondientes a sucesivas unidades producidas entre cero y un nivel de producción y*, coincide con los costes variables asociados a ese nivel de producción. De ahí que el área situada debajo de la curva del coste marginal coincida con el coste variable.

CM CM Costes variables y* y Figura 21.2. El coste marginal y los costes variables

Coste marginal a corto plazo: Puede expresarse del siguiente modo:

111111/)(PMwdxdywdydxwdyydCVdydcCM=====

Es evidente que el coste marginal y la productividad marginal del factor variable se comportan de forma inversa: cuando la productividad marginal crece, entonces cae el coste marginal, etc. Por con-siguiente, la curva del coste marginal tiene forma de U, y es precisamente la inversa de la curva de la productividad marginal obtenida en el capítulo 18 (ley de los rendimientos decrecientes). Corta a la curva del coste variable medio en su punto mínimo, precisamente en el Óptimo técnico.

CMe CVMe CM CFMe CM CVMe CMe CFMe y Figura 21.1. Las curvas de costes

Coste marginal a largo plazo: Es evidente que la curva estándar de costes marginales a largo plazo se situará por debajo de la cur-va de costes medios a largo plazo antes de alcanzar la dimensión óptima de la empresa, dado que estos últimos son decrecientes. La curva de costes marginales a largo plazo cortará a la curva de costes medios en su punto mínimo; y a partir de ahí se situará por encima de la curva de costes me-dios, al ser esta última creciente.

CMeL CML CML CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.3. Las curvas de costes medios y marginales a largo plazo

Coste medio: Es, por definición, el cociente entre el coste y el nivel de producción.

La relación entre los costes medios y los costes marginales es la siguiente:

� Los costes medios son constantes si, y sólo si, son iguales a los costes marginales. � Los costes medios son crecientes si, y sólo si, los costes marginales son mayores que los costes medios. � Los costes medios son decrecientes si, y sólo si, los costes marginales son menores que los costes medios. � La curva de costes marginales corta a la curva de costes medios en su punto mínimo.

Coste medio a corto plazo: Es, por definición, el cociente entre el coste a corto plazo y el nivel de producción.

El coste medio a corto plazo es la suma del coste fijo medio más el coste variable medio:

)()()()()(yCVMeyCFMeyyCVyCFyycyCMe+=+==

En el corto plazo, la curva del coste medio no es más que un desplazamiento vertical de la curva del coste variable medio, pues a esta última hay que sumarle, para obtener la primera, el coste fijo medio, el cual es decreciente a medida que aumenta el nivel de producción. Este desplazamiento vertical es tanto menor cuanto mayor es el nivel de output.

CMe CVMe CM CFMe CM CVMe CMe CFMe y Figura 21.1. Las curvas de costes

Coste medio a largo plazo: Es, por definición, el cociente entre el coste a largo plazo y el nivel de producción.

La forma que adopta la curva de costes medios a largo plazo depende de los rendimientos a escala de la tecnología:

� Si los rendimientos a escala son decrecientes, el coste medio crece a medida que aumenta el nivel de producción. � Si los rendimientos a escala son constantes, el coste medio permanece también constante a medida que aumenta el nivel de producción. � Si los rendimientos a escala son crecientes, el coste medio disminuye a medida que au-menta el nivel de producción.

La curva estándar de costes medios a largo plazo tiene forma de U. Se supone que en un primer momento los rendimientos a escala son crecientes, por eso el coste medio es decreciente. Alcanza su mínimo en un determinado nivel de producción que recibe el nombre de dimensión óptima de la em-presa. Y finalmente el coste medio crece a partir de ahí al suponerse rendimientos a escala decre-cientes.

CMeL CML CML CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.3. Las curvas de costes medios y marginales a largo plazo

Coste variable medio: Es, por definición, el cociente entre el coste variable y el nivel de producción.

La relación entre los costes variables medios y los costes marginales es la siguiente:

� Los costes variables medios son constantes si, y sólo si, son iguales a los costes margina-les. � Los costes variables medios son crecientes si, y sólo si, los costes marginales son mayores que los costes variables medios. � Los costes variables medios son decrecientes si, y sólo si, los costes marginales son meno-res que los costes variables medios. � La curva de costes marginales corta a la curva del coste variable medio en su punto míni-mo. � El coste variable medio es igual al coste marginal cuando el nivel de output tiende a cero.

El coste variable medio en el corto plazo puede expresarse del siguiente modo: 111111/PMewxywyxwCVMe===

Es evidente que el coste variable medio y la productividad media del factor variable se comportan de forma inversa: cuando la productividad media del factor variable crece, entonces cae el coste variable medio, etc. Por consiguiente, la curva del coste variable medio tiene forma de U, y es precisamente la inversa de la curva de la productividad media del factor variable obtenida en el capítulo 18 (ley de los rendimientos decrecientes). Alcanza su mínimo en el Óptimo técnico.

CMe CVMe CM CFMe CM CVMe CMe CFMe y Figura 21.1. Las curvas de costes

Costes a corto plazo: En el corto plazo, el coste de producción es la suma de los costes fijos más los costes variables:

)()(yCVCFyc+=

El coste de producción en el corto plazo, dados los precios de los factores w1 y w2, y considerando que el segundo factor es fijo, resulta ser:

2211xwxwc+=

El primer término del segundo miembro es el coste variable; el segundo término es el coste fijo.

Costes a largo plazo: En el largo plazo, por definición, no hay factores fijos. Puede haber factores cuasifijos que son un caso particular de los factores variables. El empresario puede adecuar todos los factores al nivel de producción requerido, sin que esté sujeto a ninguna restricción aparte de la tecnológica propiamente dicha. Por tanto, en el largo plazo no hay costes fijos.

Costes fijos: El corto plazo se caracteriza por la presencia de factores fijos. Los costes de producción asociados a este tipo de factores reciben el nombre de costes fijos (CF). Es evidente que estos últimos son cons-tantes e independientes del nivel de producción.

Costes variables: Son aquellos costes en los que incurre el empresario (CV) derivados del empleo de los llamados fac-tores variables, cuya utilización depende del nivel de producción.

Curvas de costes marginales a corto y largo plazo: La curva de costes marginales a largo plazo estará constituida por los costes marginales a corto plazo asociados a los volúmenes de producción típicos correspondientes a cada tamaño de la planta que estemos considerando. Efectivamente, tal como se aprecia en la Figura 21.5, los costes marginales a corto y largo plazo coinciden para el volumen de producción típico y* asociado al tamaño de la planta k*. Lo mismo sucedería si dibujáramos otras curvas de costes medios y marginales a corto plazo aso-ciadas a los restantes tamaños de la planta que estemos considerando.

CMeC CMeL CMC(k*) CMeC(k*) CMC CML CML CMeL y* y´ y Figura 21.5. Curvas de costes medios y marginales a largo plazo y su relación con el volumen de producción típico y* asociado a un tamaño de la planta k*

Curvas de costes medios a corto y largo plazo: Consideremos que en el corto plazo el factor fijo que tiene el empresario sea el tamaño de la planta k. Lógicamente existirá una función de costes a corto plazo asociada a cada tamaño de la planta, a ca-da nivel alcanzado por el factor fijo. La familia de curvas de costes a corto plazo, asociada cada una de ellas a un determinado tamaño de la planta, se representarán mediante la siguiente función: . ),(kycs

En el largo plazo, el empresario puede ajustar el tamaño de la planta al tamaño adecuado que requie-re la escala de producción y que desea alcanzar, para incurrir en los costes mínimos. Por consiguien-te, los costes a largo plazo asociados a un determinado nivel de producción y no son más que los

costes a corto plazo en los que incurre el empresario cuando utiliza el tamaño adecuado de la planta para obtener precisamente ese volumen de producción: )(yk

()[]ykycycs,)(=

En consecuencia, los costes a corto plazo nunca pueden ser inferiores a los costes a largo plazo, coincidiendo con estos últimos en aquellos niveles de producción tal que el tamaño de la planta utili-zado es el adecuado (volumen de producción típico). Lo mismo sucederá con los costes medios.

La curva de costes a largo plazo será, pues, la envolvente de las curvas de costes a corto plazo, cada una de ellas asociada a un determinado tamaño de la planta. Y lo mismo sucederá con las curvas de costes medios. En otras palabras, las curvas de costes totales y medios a corto plazo nunca pueden cortar a las respectivas curvas de costes totales y medios a largo plazo.

CMeC CMeL CMeC(k1) CMeC(k2) CMeC(k3) CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.4. La curva de costes medios a largo plazo como envolvente de las curvas de costes medios a corto plazo

Dimensión óptima de la empresa: Es el nivel de producción asociado al mínimo de la curva estándar de costes medios a largo plazo, que tiene forma de U. También recibe el nombre de escala mínima eficiente.

CMeC CMeL CMeC(Tamaño óptimo planta) CMC CML CML CMC(Tamaño óptimo planta) CMeL CML Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.6. Curvas de costes medios y marginales a corto y largo plazo: Dimensión óptima de la empresa y Tamaño óptimo de la planta

Tamaño óptimo de la planta: El tamaño de la planta cuyo volumen de producción típico coincide con la dimensión óptima de la empresa, esto es, con el mínimo de la curva de costes medios a largo plazo, recibe el nombre de tamaño óptimo de la planta. Para el volumen de producción denominado dimensión óptima de la em-presa, hay coincidencia plena entre los costes medios a corto y largo plazo con los costes marginales a corto y largo plazo. Todas estas curvas coinciden precisamente cuando se alcanza ese volumen de producción.

CMeC CMeL CMeC(Tamaño óptimo planta) CMC CML CML CMC(Tamaño óptimo planta) CMeL CML Dimensión óptima de la empresa y Figura 21.6. Curvas de costes medios y marginales a corto y largo plazo: Dimensión óptima de la empresa y Tamaño óptimo de la planta

Volumen de producción típico: Dado un tamaño de la planta k*, existirá un nivel de producción y*, para el cual tal tamaño de la planta resulta adecuado. Esto es, que con ese tamaño de la planta se incurre en los costes mínimos necesa-rios para obtener el nivel de output y*. Este nivel de producción recibe el nombre de volumen de pro-ducción típico asociado a ese tamaño de la planta. Para ese volumen de producción típico habrá co-incidencia entre los costes a corto y largo plazo; lo mismo sucederá con los costes medios a corto y largo plazo; y con los costes marginales a corto y largo plazo.

CMeC CMeL CMC(k*) CMeC(k*) CMC CML CML CMeL y* y´ y Figura 21.5. Curvas de costes medios y marginales a largo plazo y su relación con el volumen de producción típico y* asociado a un tamaño de la planta k*

Obsérvese en la Figura 21.5, no obstante, que los costes medios mínimos a corto plazo asociados al tamaño de la planta k* que estamos considerando, se alcanzan para un volumen de producción y´, mayor que el volumen de producción típico y* asociado a ese tamaño de la planta; precisamente cuando la curva de costes marginales a corto plazo corta en su punto mínimo a la curva de costes medios a corto plazo asociada al antedicho tamaño de la planta.

Capítulo 21

LAS CURVAS DE COSTES

Concepto económico de �planta� En las explicaciones de los diferentes apartados del tema el autor siempre habla de la �planta� de la empresa, pero no acabo de entender a qué se refiere con este término.

El tamaño de la planta de una empresa no es más que la capacidad productiva instalada a corto pla-zo, la cual va asociada a unos determinados costes fijos.

Se dice que el tamaño de la planta es óptimo para obtener un determinado volumen de output, cuan-do se incurre en los costes mínimos para producir ese nivel de output. De forma que otros tamaños de la planta incurren en costes mayores en las mismas circunstancias.

Capítulo 22

LA OFERTA DE LA EMPRESA

Breve introducción

En este capítulo estudiaremos la forma que adopta la curva de oferta de una empresa competitiva maximizadora del beneficio, tanto en el corto como en el largo plazo.

Capítulo 22

LA OFERTA DE LA EMPRESA

Consideremos un mercado perfectamente competitivo, donde las empresas que en él actúan son precio-aceptantes, esto es, toman el precio como dado. De este modo, cada empresa considera por separado que el precio de mercado del bien en cuestión no viene afectado por sus decisiones relati-vas al nivel de producción que decida lanzar al mercado.

La curva de demanda a la que se enfrenta una empresa competitiva no sólo depende de la con-ducta de los consumidores, la cual determina la curva de demanda del mercado, sino del comporta-miento de las otras empresas que actúan en este último.

p Curva de demanda del mercado Precio de mercado p* Curva de demanda a la que se enfrenta la empresa competitiva y Figura 22.1. Curva de demanda a la que se enfrenta una empresa competitiva

La curva de demanda a la que se enfrenta una empresa competitiva tiene la siguiente interpreta-ción económica:

� Al precio de mercado la empresa puede vender cuanto desea. Eso quiere decir que la cantidad producida y vendida del bien en cuestión por parte de una empresa competitiva constituye una parte muy pequeña de la cantidad total demandada por los consumidores en ese mercado. De lo contrario, en el mercado habría un reducido número de empresas, las cuales lógicamente no tendrían un comportamiento competitivo.

� A un precio superior al de mercado, la empresa no puede vender nada; la demanda que sopor-ta es cero. Como todas las empresas venden el mismo producto homogéneo, no diferenciado, los consumidores compran a la empresa que vende más barato. La empresa que intenta vender más caro el mismo producto ahuyenta a los consumidores. � A un precio inferior al de mercado, la empresa acapara toda la demanda de mercado por parte de los consumidores. Por el mismo motivo señalado en el punto anterior. Otra cosa distinta es que una empresa competitiva no puede satisfacer toda la demanda del mercado, dada su redu-cida dimensión en relación con el tamaño de este último.

El comportamiento de una empresa competitiva en el corto plazo

Hay que tener en cuenta que en el corto plazo están presentes los llamados factores fijos, por los que tiene que pagar el empresario (costes fijos) aunque no produzca nada. Por este motivo, hay que con-siderar que en el corto plazo la empresa ya está instalada y en condiciones de funcionar. De ahí que sus decisiones de producción, orientadas a la maximización de beneficio, conlleven un mayor o me-nor grado de utilización de la capacidad productiva ya instalada, incluida la inactividad completa.

Dados los precios de los factores, el problema de la maximización del beneficio en el corto plazo por parte de una empresa competitiva puede formularse del siguiente modo:

)(maxycpyy-=p

Donde el precio de mercado del bien en cuestión es un parámetro, que no viene afectado por la cantidad producida por esa empresa.

� En consecuencia, la condición de primer orden que debe cumplir el nivel de producción elegido por la empresa competitiva, es que el precio de mercado ha de ser igual al coste marginal asociado a ese nivel de producción: )(yCMp=

� La condición de segundo orden que debe cumplir el nivel de producción elegido por una empresa competitiva maximizadora del beneficio, es que el coste marginal debe ser creciente cuando au-menta tal nivel de producción. � La tercera condición es que para ese nivel de producción y, el nivel de beneficios debe ser al me-nos tan elevado como el resultante de no producir nada, que es la otra opción que siempre tiene el empresario. Puesto que en este último caso los beneficios (negativos) que obtiene la empresa

competitiva son los costes fijos (-CF), para que a esta última le interese producir el nivel de output y>0 debe cumplirse: CFCFyCVpyycpy-=--=-=)()(p

De donde se infiere que: . Esto es, para que a una empresa competitiva le resulte rentable producir un output positivo (y) en el corto plazo, el precio de mercado nunca puede ser in-ferior al coste variable medio. Si el precio de mercado fuera inferior al coste variable medio, , entonces se cumpliría la llamada �condición de cierre� por parte de la empresa; de forma que a esta última le interesará no producir nada en el corto plazo. )(yCVMep=)(yCVMep<

Por consiguiente, teniendo en cuenta la forma que adoptan las curvas de costes marginales, cos-tes medios y costes variables medios en el corto plazo, ya estudiadas con anterioridad, podemos afirmar: que la curva de oferta de una empresa competitiva en el corto plazo es su curva de costes marginales, en su tramo creciente, situada por encima de su curva de costes variables medios.

CM CMe CM CVMe CVMe p CMe Óptimo de la explotación po=CMe pm=CVMe Mínimo de la explotación ym yo y Figura 22.2. Curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva

La curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva tiene dos puntos singulares. El pri-mero de ellos es el punto en el que la curva de costes marginales corta a la curva de costes variables medios, cuando éstos alcanzan su mínimo. En ese punto se cumple la condición . El nivel de output y)(mmyCVMep=m recibe el nombre de Mínimo de la Explotación: es el volumen de producción mínimo que una empresa competitiva es capaz de lanzar al mercado en el corto plazo. Por debajo de ese volumen de producción se cumple la condición de cierre:

para )(yCVMep<myy<, dado que mpp<

El segundo punto singular de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva es aquel en que la curva de costes marginales corta a la curva de costes medios, cuando éstos alcanzan su mínimo. En ese punto se cumple la condición )(ooyCMep=. La empresa obtiene beneficios nu-los. El nivel de output yo recibe el nombre de Óptimo de la Explotación: los costes medios en los que incurre la empresa al obtener ese nivel de producción, asociados al tamaño de la planta que se en-cuentra instalada en el corto plazo, alcanzan su mínimo.

El excedente del productor

El excedente del productor es, por definición, la diferencia entre los ingresos que efectivamente obtie-ne el empresario por la venta del producto, menos los ingresos mínimos que estaría dispuesto a per-cibir por lanzar al mercado el volumen de producción de que se trate.

Ahora bien, los ingresos mínimos que estaría dispuesto a percibir el empresario por la venta de una determinada cantidad de producto son precisamente los costes variables en los que incurre al obtener ese volumen de producción. Dado que si no fuera así, al no poder cubrir los costes variables en los que incurre, le interesaría cerrar la empresa, esto es, no producir nada; así, al menos, incurriría en unas pérdidas mínimas equivalentes a los costes fijos de la empresa.

Luego el excedente del productor resulta ser igual a los ingresos menos los costes variables; lo que equivale a decir que es igual a los beneficios más los costes fijos.

Puesto que el área situada debajo de la curva de costes marginales son los costes variables. El excedente del productor, correspondiente al precio p1, es el área situada encima de la curva de cos-tes marginales (véase Figura 22.3), dado que los ingresos son p1y1.

CM CVMe CM p CVMe p1 Excedente del productor pm=CVMe ym y1 y Figura 22.3. El excedente del productor: área situada encima de la curva de costes marginales

El excedente del productor también es igual al área situada a la izquierda de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva (área R+T de la Figura 22.4). Este área no es más que la variación de los ingresos menos la variación de los costes variables cuando el output pasa de ym (el mínimo de la explotación) a y1; esto es, cuando el precio sube de pm a p1.

CM CVMe CM p CVMe p1 T R Z pm=CVMe H ym y1 y Figura 22.4. El excedente del productor: área R+T, situada a la izquierda de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva

Efectivamente, la variación de los costes variables cuando el output aumenta de ym a y1 es el área Z+H, situada debajo de la curva de costes marginales. La correspondiente variación de los ingresos que tiene lugar es: p1y1-pmym (área R+T+Z+H). En consecuencia, la variación del excedente del pro-ductor cuando el precio sube de pm a p1 es precisamente el área R+T.

Como sucede que para precios inferiores a pm se cumple la condición de cierre, el nivel de pro-ducción es nulo al igual que los costes variables y los ingresos. De ahí que el aumento del precio del bien desde cero hasta pm no altera la variación del excedente del productor que hemos calculado (área R+T). Por este motivo, este área se convierte precisamente en el excedente del productor co-rrespondiente al precio p1.

Dada la definición del excedente del productor, es evidente entonces que la variación de los bene-ficios en el corto plazo debida a una alteración del precio de mercado del bien, es igual a la variación que experimenta el excedente del productor, dado que los costes fijos no se alteran.

El comportamiento de una empresa competitiva en el largo plazo

Al igual que en el corto plazo, las decisiones de una empresa competitiva en el largo plazo en relación con el nivel de producción vienen guiadas por la maximización del beneficio. Lo que conlleva que el precio ha de ser igual al coste marginal, y que este último debe ser creciente ante un posible aumento del nivel de producción elegido, al igual que ocurría en el corto plazo.

Además, para el volumen de producción elegido, el empresario debe obtener al menos los mis-mos beneficios que obtiene no produciendo nada, esto es, no instalando su empresa en el mercado, que es la opción que siempre tiene a su alcance en el largo plazo.

Puesto que en el largo plazo no hay factores fijos, los costes fijos son cero; de ahí que los costes de producción asociados a la opción de no producir nada, de no instalarse en el mercado, resultan ser cero también. En consecuencia, el empresario en el largo plazo nunca puede obtener pérdidas; de lo contrario, la mejor decisión sería no instalarse en el mercado, y así obtener unos beneficios nulos.

Por todo lo anterior, la condición adicional que debe cumplir el volumen de producción elegido por el empresario en el largo plazo, es que el precio no puede ser nunca inferior al coste medio en el que incurre al obtener ese volumen de producción: . )(yCMep=

En consecuencia, teniendo en cuenta la forma que adoptan las curvas estándar de costes margi-nales y costes medios en el largo plazo, vistas en el capítulo anterior, podemos concluir: que la curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva es su curva de costes marginales a largo plazo situada por encima de su curva de costes medios, cuando ésta alcanza su punto mínimo, donde los costes medios y marginales coinciden.

CML CMeL p CML CMeL p=CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 22.5. Curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva

En el largo plazo, el empresario decide entre instalarse o no en el mercado. Y, decidida su insta-lación, al seleccionar el nivel de producción a lanzar al mercado, elige la dimensión de la empresa. Además, como puede ajustar todos los factores al no haber ninguno fijo, elige el tamaño de la planta adecuado que le permite producir ese nivel de output incurriendo en los costes mínimos posibles. La elección del empresario en el largo plazo se centra, pues, en la capacidad productiva a instalar y no en la elección del grado de utilización de la capacidad productiva ya instalada, como ocurría en el corto plazo.

Finalmente hay que decir que, dado un tamaño de la planta, los costes marginales a corto plazo y a largo plazo sólo coinciden cuando se trata del volumen de producción típico y* asociado a ese ta-maño de la planta. Sin embargo, la curva de costes marginales a corto plazo es siempre más inclina-da que la curva de costes marginales a largo plazo. Esto es, el incremento del coste al aumentar el nivel de producción es siempre mayor en el corto plazo, donde el empresario no puede alterar el ta-maño de la planta, que en el largo plazo, donde el empresario puede ajustar el tamaño de la planta.

Por este motivo, la curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva es siempre más elástica, esto es, más sensible a las variaciones del precio del producto, que la curva de oferta a corto plazo. Lo que quiere decir que un pequeño aumento del precio del producto origina un mayor creci-miento del nivel de producción en el largo plazo, donde el empresario puede ajustar el tamaño de la planta, que en el corto plazo, donde la empresa se encuentra limitada por un determinado tamaño de la planta que no puede modificar.

p=CMC p Curva de oferta a corto plazo p=CML Curva de oferta a largo plazo y* y Figura 22.6. Curva de oferta a corto y largo plazo de una empresa competitiva

Capítulo 22

LA OFERTA DE LA EMPRESA

Glosario

Condición de cierre: Si el precio de mercado es inferior al coste variable medio, )(yCVMep<, entonces se cumple la llamada �condición de cierre� por parte del empresario, de forma que a este último le interesará no producir nada en el corto plazo.

Curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva maximizadora del beneficio: Hay que tener en cuenta que en el corto plazo están presentes los llamados factores fijos, por los que tiene que pagar el empresario (costes fijos) aunque no produzca nada. Por este motivo, hay que con-siderar que en el corto plazo la empresa ya está instalada y en condiciones de funcionar. De ahí que sus decisiones de producción, orientadas a la maximización de beneficio, conlleven un mayor o me-nor grado de utilización de la capacidad productiva ya instalada, incluida la inactividad completa.

Dados los precios de los factores, el problema de la maximización del beneficio en el corto plazo por parte de una empresa competitiva puede formularse del siguiente modo:

)(maxycpyy-=p

Donde el precio de mercado del bien en cuestión es un parámetro, que no viene afectado por la can-tidad producida por esa empresa.

� En consecuencia, la condición de primer orden que debe cumplir el nivel de producción elegido por la empresa competitiva, es que el precio de mercado ha de ser igual al coste marginal asociado a ese nivel de producción:

)(yCMp= � La condición de segundo orden que debe cumplir el nivel de producción elegido por una empresa competitiva maximizadora del beneficio, es que el coste marginal debe ser cre-ciente cuando aumenta tal nivel de producción. � La tercera condición es que para ese nivel de producción y, el nivel de beneficios debe ser al menos tan elevado como el resultante de no producir nada, que es la otra opción que siempre tiene el empresario. Puesto que en este último caso los beneficios (negativos) que obtiene la empresa competitiva son los costes fijos (-CF), para que a esta última le interese

producir el nivel de output y>0 debe cumplirse:

CFCFyCVpyycpy-=--=-=)()(p De donde se infiere que: . Esto es, para que a una empresa competitiva le resulte rentable producir un output positivo (y) en el corto plazo, el precio de mercado nun-ca puede ser inferior al coste variable medio. Si el precio de mercado fuera inferior al coste variable medio, , entonces se cumpliría la llamada �condición de cierre� por parte de la empresa; de forma que a esta última le interesará no producir nada en el corto plazo. )(yCVMep=)(yCVMep<

Por consiguiente, teniendo en cuenta la forma que adoptan las curvas de costes marginales, costes medios y costes variables medios en el corto plazo, ya estudiadas con anterioridad, podemos afirmar: que la curva de oferta de una empresa competitiva en el corto plazo es su curva de costes margina-les, en su tramo creciente, situada por encima de su curva de costes variables medios.

CM CMe CM CVMe CVMe p CMe Óptimo de la explotación po=CMe pm=CVMe Mínimo de la explotación ym yo y Figura 22.2. Curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva

La curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva tiene dos puntos singulares: el Mínimo de la Explotación y el Óptimo de la Explotación.

Curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva maximizadora del beneficio: Al igual que en el corto plazo, las decisiones de una empresa competitiva en el largo plazo en relación con el nivel de producción vienen guiadas por la maximización del beneficio. Lo que conlleva que el precio ha de ser igual al coste marginal, y que este último debe ser creciente ante un posible aumento del nivel de producción elegido, al igual que ocurría en el corto plazo.

Además, para el volumen de producción elegido, el empresario debe obtener al menos los mismos beneficios que obtiene no produciendo nada, esto es, no instalando su empresa en el mercado, que es la opción que siempre tiene a su alcance en el largo plazo.

Puesto que en el largo plazo no hay factores fijos, los costes fijos son cero; de ahí que los costes de producción asociados a la opción de no producir nada, de no instalarse en el mercado, resultan ser cero también. En consecuencia, el empresario en el largo plazo nunca puede obtener pérdidas; de lo contrario, la mejor decisión sería no instalarse en el mercado, y así obtener unos beneficios nulos.

Por todo lo anterior, la condición adicional que debe cumplir el volumen de producción elegido por el empresario en el largo plazo, es que el precio no puede ser nunca inferior al coste medio en el que incurre al obtener ese volumen de producción: . )(yCMep=

En consecuencia, teniendo en cuenta la forma que adoptan las curvas estándar de costes marginales y costes medios en el largo plazo, vistas en el capítulo anterior, podemos concluir: que la curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva es su curva de costes marginales a largo plazo si-tuada por encima de su curva de costes medios, cuando ésta alcanza su punto mínimo, donde los costes medios y marginales coinciden.

CML CMeL p CML CMeL p=CMeL Dimensión óptima de la empresa y Figura 22.5. Curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva

Empresas precio-aceptantes: Se dice que una empresa es precio-aceptante cuando toma el precio de mercado como dado, siendo este último independiente de la cantidad que aquélla decida producir y lanzar al mercado.

Un mercado competitivo se caracteriza porque todas las empresas que en él actúan son precio-aceptantes. De este modo, cada empresa considera por separado que el precio de mercado del bien en cuestión no viene afectado por sus decisiones relativas al nivel de producción que decida lanzar al mercado.

Excedente del productor: El excedente del productor es, por definición, la diferencia entre los ingresos que efectivamente obtie-ne el empresario por la venta del producto, menos los ingresos mínimos que estaría dispuesto a per-cibir por lanzar al mercado el volumen de producción de que se trate.

Ahora bien, los ingresos mínimos que estaría dispuesto a percibir el empresario por la venta de una determinada cantidad de producto son precisamente los costes variables en los que incurre al obtener ese volumen de producción. Dado que si no fuera así, al no poder cubrir los costes variables en los que incurre, le interesaría cerrar la empresa, esto es, no producir nada; así, al menos, incurriría en unas pérdidas mínimas equivalentes a los costes fijos de la empresa.

Luego el excedente del productor resulta ser igual a los ingresos menos los costes variables; lo que equivale a decir que es igual a los beneficios más los costes fijos.

Puesto que el área situada debajo de la curva de costes marginales son los costes variables. El ex-cedente del productor, correspondiente al precio p1, es el área situada encima de la curva de costes marginales (véase Figura 22.3), dado que los ingresos son p1y1.

CM CVMe CM p CVMe p1 Excedente del productor pm=CVMe ym y1 y Figura 22.3. El excedente del productor: área situada encima de la curva de costes marginales

El excedente del productor también es igual al área situada a la izquierda de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva (área R+T de la Figura 22.4). Esta área no es más que la variación de los ingresos menos la variación de los costes variables cuando el output pasa de ym (el mínimo de la explotación) a y1; esto es, cuando el precio pasa de pm a p1.

CM CVMe CM p CVMe p1 T R Z pm=CVMe H ym y1 y Figura 22.4. El excedente del productor: área R+T, situada a la izquierda de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva

Efectivamente, la variación de los costes variables cuando el output aumenta de ym a y1 es el área Z+H, situada debajo de la curva de costes marginales. La correspondiente variación de los ingresos que tiene lugar es: p1y1-pmym (área R+T+Z+H). En consecuencia, la variación del excedente del pro-ductor cuando el precio sube de pm a p1 es precisamente el área R+T.

Como sucede que para precios inferiores a pm se cumple la condición de cierre, el nivel de producción es nulo a igual que los costes variables y los ingresos. De ahí que el aumento del precio del bien des-de cero hasta pm no altera la variación del excedente del productor que hemos calculado (área R+T). Por este motivo, este área se convierte precisamente en el excedente del productor correspondiente al precio p1.

Dada la definición del excedente del productor, es evidente entonces que la variación de los benefi-cios en el corto plazo debida a una alteración del precio de mercado del bien, es igual a la variación que experimenta el excedente del productor, dado que los costes fijos no se alteran.

Mercado competitivo: Se caracteriza porque todas las empresas que en él actúan son precio-aceptantes.

De este modo, la curva de demanda a la que se enfrenta una empresa competitiva no sólo depende de la conducta de los consumidores, la cual determina la curva de demanda del mercado, sino del comportamiento de las otras empresas que actúan en el mismo mercado.

p Curva de demanda del mercado Precio de mercado p* Curva de demanda a la que se enfrenta la empresa competitiva y Figura 22.1. Curva de demanda a la que se enfrenta una empresa competitiva

La curva de demanda a la que se enfrenta una empresa competitiva tiene la siguiente interpretación económica:

� Al precio de mercado la empresa puede vender cuanto desea. Eso quiere decir que la can-tidad producida y vendida del bien en cuestión por parte de una empresa competitiva, cons-tituye una parte muy pequeña de la cantidad total demandada por los consumidores en ese mercado. De lo contrario, en el mercado habría un reducido número de empresas, las cua-les lógicamente no tendrían un comportamiento competitivo. � A un precio superior al de mercado, la empresa no puede vender nada; la demanda que soporta es cero. Como todas las empresas venden el mismo producto homogéneo, no dife-renciado, los consumidores compran a la empresa que vende más barato. La empresa que intenta vender más caro el mismo producto ahuyenta a los consumidores. � A un precio inferior al de mercado, la empresa acapara toda la demanda de mercado por parte de los consumidores. Por el mismo motivo señalado en el punto anterior. Otra cosa distinta es que una empresa competitiva no puede satisfacer toda la demanda del mercado dada su reducida dimensión en relación con el tamaño de este último.

Mínimo de la explotación: Punto singular de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva. Se caracteriza porque la curva de costes marginales corta a la curva de costes variables medios, cuando éstos alcanzan su

mínimo. En ese punto se cumple la condición )(mmyCVMep=. El nivel de output ym recibe el nombre de Mínimo de la Explotación: es el volumen de producción mínimo que una empresa competitiva es capaz de lanzar al mercado en el corto plazo. Por debajo de ese volumen de producción se cumple la condición de cierre:

)(yCVMep< para myy<, dado que mpp<

Óptimo de la explotación: Punto singular de la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva. Se caracteriza porque la curva de costes marginales corta a la curva de costes medios, cuando éstos alcanzan su mínimo. En ese punto se cumple la condición )(ooyCMep=. La empresa obtiene beneficios nulos. El nivel de output yo recibe el nombre de Óptimo de la Explotación: los costes medios en los que incurre la em-presa para ese nivel de producción, asociados al tamaño de la planta que se encuentra instalada en el corto plazo, alcanzan su mínimo.

Relación entre las curvas de oferta a corto y largo plazo de una empresa competitiva maximizadora del beneficio: En el largo plazo, el empresario decide entre instalarse o no en el mercado. Y, decidida su instala-ción, al seleccionar el nivel de producción a lanzar al mercado, elige la dimensión de la empresa. Además, como puede ajustar todos los factores al no haber ninguno fijo, elige el tamaño de la planta adecuado que le permite producir ese nivel de output incurriendo en los costes mínimos posibles. La elección del empresario en el largo plazo se centra, pues, en la capacidad productiva a instalar y no en la elección del grado de utilización de la capacidad productiva ya instalada, como ocurría en el corto plazo.

Finalmente hay que decir que, dado un tamaño de la planta, los costes marginales a corto plazo y a largo plazo sólo coinciden cuando se trata del volumen de producción típico y* asociado a ese tamaño de la planta. Sin embargo, la curva de costes marginales a corto plazo es siempre más inclinada que la curva de costes marginales a largo plazo. Esto es, el incremento del coste al aumentar el nivel de producción es siempre mayor en el corto plazo, donde el empresario no puede alterar el tamaño de la planta, que en el largo plazo, donde el empresario puede ajustar el tamaño de la planta.

Por este motivo, la curva de oferta a largo plazo de una empresa competitiva es siempre más elásti-ca, esto es, más sensible a las variaciones del precio del producto, que la curva de oferta a corto pla-

zo. Lo que quiere decir que un pequeño aumento del precio del producto origina un mayor crecimien-to del nivel de producción en el largo plazo, donde el empresario puede ajustar el tamaño de la plan-ta, que en el corto plazo, donde la empresa se encuentra limitada por un determinado tamaño de la planta que no puede modificar.

p=CMC p Curva de oferta a corto plazo p=CML Curva de oferta a largo plazo y* y Figura 22.6. Curva de oferta a corto y largo plazo de una empresa competitiva

Capítulo 22

LA OFERTA DE LA EMPRESA

Coste marginal creciente En este tema el autor habla de una excepción en relación con la decisión de oferta en el corto plazo de una empresa competitiva maximizadora del beneficio. No entiendo en qué consiste esta excepción.

La maximización del beneficio a corto plazo por parte de una empresa competitiva conlleva la produc-ción de un determinado nivel de output tal que el precio de mercado ha de ser igual al coste marginal de producir ese nivel de output. Ésta es la condición de primer orden que debe cumplirse.

Pero, además, para que el beneficio sea máximo ha de cumplirse una condición de segundo orden, que consiste en que el coste marginal correspondiente a ese nivel de output debe ser creciente. Esta exigencia aparece demostrada precisamente en el apéndice del capítulo. En esto consiste la excep-ción de la que se está hablando.

En la Figura 22.2 el nivel de output maximizador del beneficio es y2, y no y1, a pesar de que en ambos casos el precio es igual al coste marginal.

y1 no puede ser un nivel de output maximizador del beneficio porque el coste marginal no es creciente en ese punto. Por ese motivo, un ligero aumento del nivel de output por encima de y1 conlleva un aumento del nivel de beneficio, dado que se reduce el coste de producir esas unidades adicionales de output y en cambio el precio de venta de este último permanece constante.

Por esta razón, la curva de oferta a corto de una empresa competitiva maximizadora del beneficio es su curva de costes marginales en su tramo creciente; y, además, el tramo creciente situado por enci-ma de la correspondiente curva del coste variable medio, dado que por debajo de esta curva se cum-ple la condición de cierre de la empresa.