aprender matemáticas metodología y modelos europeos

AAULASDEVERANOULASDEVERANOInstituto

Superior deFormacin delProfesorado

APRENDERMATEMTICAS.METODOLOGA YMODELOS EUROPEOS

La primera de nuestras colecciones se denomina Aulas de Verano, y pretende que todo el profesorado pueda acceder al conocimiento de las conferencias que se desarrollan durante los veranos en la Universidad Internacional Menndez Pelayo de Santander, en los cursos de la Universidad Complutense en El Escorial, en los de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia en vila y en los de la Fundacin Universidad de Verano de Castilla y Len en Segovia.

La segunda coleccin se denomina Conocimiento Educativo. Con ella pretendemos tanto difundir investigaciones realizadas por el profesorado o grupos de profesores, el contenido de aquellos cursos de verano de carcter ms general y dar a conocer las acciones educativas que desarrolla el Instituto Superior de Forma-cin del Profesorado durante el ao acadmico.

Estas colecciones tienen un carcter de difusin y extensin educativa, al servicio de la intercomunicacin entre los docentes que desarrollan sus tareas en las distintas Comunidades y Ciudades Autnomas de nuestro Estado.

Serie

Coleccin Conocimiento Educativo, que se identifica con elcolor amarillo oficial

Serie Didctica Color azul Serie Situacin Color verde Aula Permanente Color rojo Serie Patrimonio Color violeta

Coleccin Aulas de Verano, que se identifica con elcolor bermelln Salamanca.

Color amarillo Serie Principios Color naranjaSerie Color azul Serie Humanidades Color verde Serie Ciencias

Tcnicas

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I.S.B.N.: 978-84-369-4427-3

APRENDER MATEMTICAS.METODOLOGA Y MODELOS EUROPEOS

MINISTERIO DE EDUCACIN Y CIENCIASECRETARA GENERAL DE EDUCACINInstituto Superior de Formacin del Profesorado

Edita: SECRETARA GENERAL TCNICA

Subdireccin General de Informacin y Publicaciones

N.I.P.O.: 651-07-078-4I.S.B.N.: 978-84-369-4427-3Depsito Legal: M-26290 - 2007

Imprime: SOLANA E HIJOS, A.G., S. A.

http://publicaciones.administracion.es

Coleccin: AULAS DE VERANOSerie: Principios

APRENDER MATEMTICAS.METODOLOGA Y MODELOS EUROPEOS

El libro, dirigido a profesores de Educacin Infantil y Primaria, se es-cribe desde la actualizacin cientfica y la fundamentacin de metodologadidctica para la enseanza de la Matemtica, dirigiendo su lectura hacia eldiseo y desarrollo de procedimientos significativos para el proceso de ense-anza-aprendizaje y la presentacin de materiales, tcnicas y recursos quepuedan mejorar el desarrollo del pensamiento lgico y matemtico de losalumnos de 3 a 12 aos de edad, a travs del carcter instrumental, formativoy de interpretacin y aplicacin de esta ciencia.

Los modelos europeos para el aprendizaje de la Matemtica dan porvlida aquella metodologa que aporte COMPRENSIN. Aplicar correcta-mente los conceptos adquiridos al entorno inmediato en el que el alumno sedesenvuelve, y construir otros nuevos que aporten al conocimiento amplitudintelectual. Desarrollar en el que aprende la observacin, la imaginacin, laintuicin, el razonamiento lgico y la emocin. Este libro presenta, desde lateora y la prctica educativa, una exposicin de modelos que basan la educa-cin matemtica en la experiencia, el descubrimiento y la construccin de losconceptos, procedimientos y estrategias, ms que en la instruccin.

Direccin editorial del volumen Aprender matemticas. Metodologa ymodelos europeos: JOS ANTONIO FERNNDEZ BRAVO.Coordinacin: CAMARENA CABEZA, M. Dolores

Autores:

AIZPN LPEZ, AlbertoATRIO CEREZO, SantiagoCANALS TOLOSA, M. AntoniaFERNNDEZ BRAVO, Jos AntonioMARN RODRGUEZ, MargaritaPERALTA CORONADO, F. JavierRAMREZ SILVA, Luis Fernando

NDICE

Metodologa didctica para la enseaza de la matemtica: variablesfacilitadoras del aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Jos Antonio Fernndez Bravo

Un viaje por el fascinante mundo de los nmeros . . . . . . . . . . . . . . . 27Javier Peralta Coronado

La construccin progresiva del saber numrico desde infantil aprimaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51M. Antonia Canals Tolosa

El sentido de la matemtica en la educacin primaria . . . . . . . . . . . 59Alberto Aizpn Lpez

Apntate un tanto y tantea el punto. Resolucin de problemasmatemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Jos Antonio Fernndez Bravo

Competencias matemticas del nio en la escuela infantilde 3 a 6 aos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Margarita V. E. Marn Rodrguez

La insumisin del algoritmo en el aula de educacin primaria . . . . 123Santiago Atrio Cerezo

El valor del cuento en la construccin de conceptos matemticos . . 141Margarita V. E. Marn Rodrguez

Cuando dos ms dos dan cinco: un abordaje emocional de lasmatemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Luis Fernando Ramrez Silva

Historias de la historia. Tan slo un recurso para la docencia delas matemticas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Santiago Atrio Cerezo

Ediciones del Instituto Superior de Formacin del Profesorado . . . . 181

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METODOLOGA DIDCTICAPARA LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA:

VARIABLES FACILITADORAS DEL APRENDIZAJE

Jos Antonio Fernndez BravoCentro de Enseanza Superior Don Bosco.

Madrid

INTRODUCCIN

1. ANLISIS DE LA SITUACIN ACTUALA) Las operacionesB) Pensamiento y matemticasC) Clculo y matemticaD) Recuerdos de la enseanza de la matemtica

2. VARIABLES FACILITADORAS DEL APRENDIZAJE2.1. Concepto frente a smbolo2.2. Desarrollo del pensamiento matemtico

3. PRINCIPIOS METODOLGICOS E INTERVENCINEDUCATIVAA) Contenido frente a conocimientoB) Enunciar-memorizar-comprender?C) Metalenguaje y lenguaje objetoD) La enseanza de la matemtica3.1. Existencia y asistencia del pensamiento3.2. Etapas del acto didctico3.3. Ideas sobre metodologa didctica para la enseanza de la

matemtica

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INTRODUCCIN

An a pesar de estar totalmente admitido que la Matemtica es una ac-tividad mental, seguimos imponiendo, sin carcter cientfico y bajo la pere-zosa sospecha de la apata, ese dogma prescriptivo: as se hace, as se co-loca, as se resuelve, as se calcula,..; protocolo aburrido y penumbraintelectual de un extrao secreto, justificado por la orgullosa accin de ter-minar un programa sin calidad, que, por los resultados obtenidos de las eva-luaciones externas, ni siquiera imprime cuantificacin acadmica. Seguimosvistiendo a la Matemtica, desde la enseanza, con ese falso atavo de ojostristes, smbolos mezquinos y largas faldas negras, y en su aprendizaje se lareconoce, entonces, lejos de esa razonada elegancia discreta que la caracteri-za y que, quizs, no sepamos transmitir.

Uno de los mayores problemas con que se enfrentan las matemticases el de explicar a los dems de qu tratan. Los aderezos tcnicos deesta materia, su simbolismo y expresiones formales, su desconcertan-te terminologa, su aparente deleitarse con clculos largusimos: todoello tiende a ocultar su autntico carcter () Esta ciencia no tratade smbolos y clculos. () El objetivo de las matemticas son losconceptos. Se trata sobre todo de ver el modo en que los diferentesconceptos se relacionan unos con otros. El objetivo de las matemti-cas es comprender () No se trata simplemente de hallar la respues-ta correcta, sino ms bien en comprender por qu existe una respues-ta, () Pero lo que sobre todo tienen es significado.1

1. ANLISIS DE LA SITUACIN ACTUALA) Las operaciones

Nos podramos preguntar si actualmente tiene sentido hacer sumas,restas, multiplicaciones o divisiones, sin comprender lo que se est haciendoo para qu se hace2; pues una cosa es, por ejemplo, hacer multiplicaciones y,

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Aprender matemticas. Metodologa y modelos europeos

1 STEWART, Ian. De aqu al infinito. Las matemticas hoy. Crtica. Barcelona,2004, pgs. 13 y 14.2 Whitehead (1965), en un ensayo Mathematics and liberal Education, publicadopor primera vez en 1912, deca que Las matemticas (se refiere a la enseanza dela matemtica)... deben ser depuradas de todo elemento que slo pueda justificarsede cara a estudios posteriores. No puede haber nada ms destructivo para una verda-dera educacin que el gastar largas horas en la adquisicin de ideas y mtodos queno llevan a ningn sitio... La sola idea de aprender tiene un sentido muy extendidode aburrimiento. Yo lo atribuyo a que a los estudiantes se les ensean muchas cosassimplemente en el aire, cosas que no tienen ninguna coherencia con los pensamien-tos que surgen naturalmente en cualquier persona que viva en este mundo moderno,independiente de que sea o no un intelectual.

otra, muy distinta, saber multiplicar. As ocurre que muchos docentes se ex-presan diciendo: no lo entiendo, mira que multiplican bien pero les cuestamucho ver los problemas. Con experiencia apoyada en datos cientficos po-demos decir que si sus alumnos supieran qu es multiplicar, no tendran difi-cultad alguna en identificar situaciones multiplicativas en la vida real; la di-ficultad educativa reside, en este caso, en que se confunde saber multiplicarcon hacer multiplicaciones. Y, quizs de estas confusiones se obtenga comoresultado, algo Didcticamente equivocado, conceptualmente hipertrfico,cientficamente intil e histricamente absurdo, utilizando palabras de Pas-cal, como las refiere Rey Pastor3 en su libro Elementos de Anlisis Algebrai-co. Lo esencial requiere la organizacin de procedimientos abiertos a la opor-tunidad de adaptar, de renovar, reorganizar, cambiar, seleccionar, de realizar,de crear4.

B) Pensamiento y matemticasDicen que las matemticas ensean a pensar. Sin embargo, muchos do-

centes advierten que eso no sucede en la clase de matemticas; en ella ase-guran: no se piensa. Esto puede deberse a dos razones fundamentales: una,que las matemticas no enseen a pensar y hayamos sido vctimas de un en-gao universal; otra, que en clase de matemticas se haga de todo, menosMatemticas. Son muchos los profesionales de la educacin los que tambinadmiten que se pierde mucho tiempo en rellenar ejercicios de libros vac-os de actividad rentable, con el nico fin de entregar a los padres carpetasllenas de fichas o cuadernos repletos de nmeros, prueba del trabajo y de laconstancia y del contenido elaborado, pero lejos, muy lejos como se puedecomprobar de explicar conocimiento5 alguno.

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Jos Antonio Fernndez Bravo

3 REY PASTOR, J. Elementos de Anlisis Algebraico. Biblioteca Matemtica. Ma-drid, 1981, pg. 8.4 Ensear a sumar, restar, multiplicar y dividir, como fin en s mismo, se exiga haceunos aos en las escuelas porque se necesitaba entonces para abrirse camino en lavida, y aproximadamente hasta finales de la primera mitad del siglo pasado. Estono quiere decir que no haya que hacer uso en la escuela actual de esas operaciones,pues cometeramos un grave error si hiciramos una falsa interpretacin de estasideas. Lo que se intenta decir es que el uso de las operaciones se haga desde una evi-dente realidad matemtica y, ms que la finalidad sea el clculo de operaciones, elobjetivo consista en utilizarlas como medio para desarrollar el pensamiento. Peroestas expresiones que aqu hemos utilizado: si son fciles de entender, no son fcilesde aceptar. 5 Nos referimos al conocimiento matemtico. La eleccin, si cabe, entre proceso yresultado o la exactitud del nmero frente al rigor del pensamiento. Muchas veces semutila el proceso afianzando una forma ms cmoda, segn el profesor, para res-ponder a los contenidos. As pues dime, y sin miedo, qu es lo que t piensas quees el conocimiento. (Platn. Teeto. En Obras completas. Aguilar. Madrid, 1979).

C) Clculo y matemtica

Que el clculo sea el instrumento de la matemtica, nadie lo pone enduda; que la matemtica sea en s misma clculo es totalmente discutible. Enmodo alguno se est diciendo que el clculo no sea importante6; ms bien,que el clculo es ese utensilio que se elige cuando se sabe qu hacer y quconseguir con l. Reconocer una situacin matemtica con claridad, en la quese necesite llegar a un resultado, y elegir convenientemente el procedimien-to que me permita llegar a conclusiones lgicas, pertenece, a mi juicio, alhacer matemtico. Luego, de ser as, a este hacer matemtico no le describeslo el procedimiento, sino tambin el reconocimiento, la eleccin y el razo-namiento. Ideas comprendidas, en suma, frente a formas de operar vacas deactividad rentable.

D) Recuerdos de la enseanza de la matemtica

Actualmente existe un claro rechazo al aprendizaje de la matemtica.Incluso, son muchos los profesores, sobre todo en Educacin Infantil y Edu-cacin Primaria, que huyen, de alguna forma, de su enseanza. Sus recuer-dos hacia la matemtica, como ellos dicen, no son agradables. Yo les pre-gunto: por qu?, te ha pegado alguna vez el nmero siete?, te ha araadoalguna vez el signo menos?, te has hecho dao al caerte de una raz cbicade ocho metros de altura?,... No, me dicen sonriendo. No, no, no. No es quetengan un mal recuerdo de la matemtica, de lo que realmente tienen un malrecuerdo es de su enseanza, de la tensin que generaba una persona, que conun carn de profesor ignoraba como actividades prioritarias la duda, la in-vestigacin, la comprobacin del error, la necesidad de someter a contrastelas ideas, las alternativas que probasen o refutasen, la participacin comobsqueda de conocimiento, la necesidad de inventar una expresin conven-cional, la conduccin del pensamiento errneo mediante preguntas que amodo de retos canalizasen las conclusiones, la utilizacin de ejemplos y con-traejemplos, la comprensin de las ideas generadoras de nuevas relaciones,el descubrimiento de distintos teoremas, la necesidad de identificarlos y po-nerles un nombre, la utilizacin de materiales y recursos... Todo esto no sehace habitualmente, simplemente se cambia, con la dudosa explicacin antela sociedad de que no hay tiempo, por cmodas acciones que subrayan comonico protagonista al profesor de la asignatura; de esta forma, de esta

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6 Gagn distingue el conocimiento declarativo del procedimental: Conocimiento de-clarativo sera el conocimiento sobre qu es algo, mientras que el conocimiento pro-cedimental versa sobre cmo hacer algo. GAGN, E. La psicologa cognitiva delaprendizaje escolar. Aprendizaje-Visor. Madrid, 1991.

forma se representa..., de esta forma se calcula el lmite de..., de esta formase expresa el teorema..., de esta forma...

2. VARIABLES FACILITADORAS DEL APRENDIZAJE

El desarrollo de cuatro capacidades favorece el pensamiento lgico-matemtico:

La observacin. Se debe potenciar sin imponer la atencin del nio alo que el adulto quiere que mire. La observacin se canalizar libremente yrespetando la accin del sujeto, mediante juegos cuidadosamente dirigidos ala percepcin de propiedades y a la relacin entre ellas. Esta capacidad de ob-servacin se ve aumentada cuando se acta con gusto y tranquilidad y se vedisminuida cuando existe tensin en el sujeto que realiza la actividad. SegnKrivenko7, hay que tener presentes tres factores que intervienen de forma di-recta en el desarrollo de la atencin: el factor tiempo, el factor cantidad y elfactor diversidad.

La imaginacin. Entendida como accin creativa, se potencia con ac-tividades que permiten una pluralidad de alternativas en la accin del sujeto.Ayuda al aprendizaje matemtico por la variabilidad de situaciones a las quese transfiere una misma interpretacin.

La intuicin. Las actividades dirigidas al desarrollo de la intuicin nodeben provocar tcnicas adivinatorias; el decir por decir no desarrolla pensa-miento alguno. La arbitrariedad no forma parte de la actuacin lgica. El su-jeto intuye cuando llega a la verdad sin necesidad de razonamiento. Ciertoesto, no significa que se acepte como verdad todo lo que se le ocurra al nio,sino conseguir que se le ocurra todo aquello que se acepta como verdad.

El razonamiento lgico. El razonamiento es la forma del pensamientomediante la cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, denominadospremisas, llegamos a una conclusin conforme a ciertas reglas de inferencia.Para Bertrand Russell8 la lgica y la matemtica estn tan ligadas que afir-ma: la lgica es la juventud de la matemtica y la matemtica la madurezde la lgica. La referencia al razonamiento lgico se hace desde la dimen-sin intelectual que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuacin,ante un determinado desafo. El desarrollo del pensamiento es resultado de lainfluencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar.

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7 KRIVENKO, M. Psicologa. Planeta. Barcelona, 1990.8 RUSSELL, B. Introduccin a la filosofa matemtica. Paidos. Madrid, 1985, pg.171.

Con estos cuatro factores hay que relacionar cuatro elementos que,para Vergnaud9, ayudan en la conceptualizacin matemtica:

Relacin material con los objetos. Relacin con los conjuntos de objetos. Medicin de los conjuntos en tanto al nmero de elementos. Representacin del nmero a travs de un nombre con el que se

identifica.

2.1. Concepto frente a smbolo

El pensamiento matemtico hay que entenderlo, al menos, desde trescategoras bsicas:

Capacidad para generar ideas cuya expresin e interpretacin sobrelo que se concluya sea: verdad para todos o mentira para todos.

Utilizacin de la representacin o conjunto de representaciones conlas que el lenguaje matemtico hace referencia a esas ideas.

Comprender el entorno que nos rodea, con mayor profundidad, me-diante la aplicacin de los conceptos aprendidos.

Sobre estas indicaciones cabe advertir la importancia del orden en elque se han expuesto. Obsrvese que, en muchas ocasiones, se suele confun-dir la idea matemtica con la representacin de esa idea. Se le ofrece al nio,

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9 VERGNAUD, G. El nio, las matemticas y la realidad. Trillas. Mxico, 1991.

en primer lugar, el smbolo, dibujo, signo o representacin cualquiera sobreel concepto en cuestin, haciendo que el sujeto intente comprender el signi-ficado de lo que se ha representado. Estas experiencias son perturbadoraspara el desarrollo del pensamiento lgico-matemtico. Se ha demostrado su-ficientemente que el smbolo o el nombre convencional es el punto de llega-da y no el punto de partida, por lo que, en primer lugar, se debe trabajar sobrela comprensin del concepto, propiedades y relaciones.

Para la formacin del conocimiento matemtico es necesaria la distin-cin entre la representacin del concepto y la interpretacin de ste a travsde su representacin. Se suele creer que cuantos ms smbolos matemticosreconozca el nio ms sabe sobre matemticas. Esto se aleja mucho de la rea-lidad porque se suele ensear la forma; as, por ejemplo, escuchamos: Eldos es un patito o La culebra es una curva o Tales expresiones puedenimplicar el reconocimiento de una forma con un nombre, por asociacinentre distintas experiencias del nio, pero en ningn modo contribuye al de-sarrollo del pensamiento matemtico, debido a que miente sobre el conteni-do intelectual al que se refiere, por ejemplo, el concepto dos: nunca designaa UN patito. En resumen, lo que favorece la formacin del conocimientolgico-matemtico es la capacidad de interpretacin matemtica, y no la can-tidad de smbolos que es capaz de recordar por asociacin de formas.

2.2. Desarrollo del pensamiento matemtico

La Matemtica es una actividad mental. El pensamiento matemtico sedesarrolla cuando se hace Matemtica. Hacer Matemtica implica ante todoestablecer relaciones. El rigor va unido a la Matemtica desde las primerasexperiencias que el nio tiene para conseguir conocimiento. Pero rigor no esabuso de formalizacin y simbologa sin significado; rigor es, ante todo cla-ridad mental. El desarrollo del pensamiento no se consigue solo cuando tra-bajamos actividades de un contenido especfico, sino en el momento en elque una accin o un conjunto de acciones se esfuerzan por conquistar laconstruccin de una idea. Formular unas cuantas observaciones indicativascon el fin de subrayar que el nio ha realizado actividades para desarrollar elpensamiento nada dice sobre el verdadero desarrollo, si descuidamos la emo-cin, la observacin, la intuicin, la creatividad y el razonamiento de lasdems actuaciones, procesos, estrategias, comportamientos y dilogos. Todaaccin lgica que opere significativamente en el aprendizaje de la Matem-tica debe, a nuestro juicio, desde la enseanza:

Basar la educacin en la experiencia, el descubrimiento y la cons-truccin de los conceptos, procedimientos y estrategias; ms que en

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la instruccin. Basar la educacin en estrategias de falsacin o con-traejemplos, evitando el bien o mal como autoridad que susti-tuye a la evidencia. Extender y transferir los conocimientos gene-rando articuladas redes de aplicacin.

Atender a la manipulacin de materiales con actividades que opti-micen el entendimiento, que provoquen, desafen, motiven porqueactualizan las necesidades del alumno. Simplicidad, claridad y pre-cisin en el lenguaje utilizado en la presentacin de las actividadeso enunciacin de los conceptos. Respetar al alumno cuando vive elacto de pensar. Potenciar la autoestima, la confianza, la seguridad,

Habituar al alumno a explicar; fundamentar mediante argumentoslgicos sus conclusiones, evitando eso de porque s. Familiarizar-les con las reglas de la lgica para permitir el desarrollo y la mejoradel pensamiento. Esta familiarizacin no debe ser penosa y arduapara el alumno, sino todo lo contrario: una forma de jugar a crear re-laciones, contrastando las respuestas antes de optar por una de ellas.

Lo que se pretende desde la enseanza de la matemtica es poner a dis-posicin del alumno mecanismos vlidos de autocorreccin, para ello es ne-cesario canalizar las estrategias didcticas hacia la comprensin, accin pri-mordial para que los alumnos establezcan relaciones desde su realidad men-tal y la evidencia lgica. Estas estrategias didcticas no darn mucho xito sino formulan preguntas que provoquen claros desafos al pensamiento, ni fa-vorecen creativamente la discusin y el dilogo dirigido a la investigacin:Qu pasara si? Supongamos que

El desarrollo del pensamiento lgico-matemtico se puede recorrer di-dcticamente:

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a) Estableciendo relaciones, clasificaciones y mediciones. b) Ayudarles en la elaboracin de las nociones espacio-temporales,

forma, nmero, estructuras lgicas, cuya adquisicin es indispen-sable para el desarrollo de la matemtica.

c) Impulsar a los alumnos a averiguar cosas, a observar, a experi-mentar, a interpretar hechos, a aplicar sus conocimientos a nuevassituaciones o problemas

d) Desarrollar el gusto por una actividad del pensamiento a la que irllamando matemtica.

e) Despertar la curiosidad por comprender un nuevo modo de expre-sin.

f) Guiarle en el descubrimiento mediante la investigacin que le im-pulse a la creatividad.

g) Proporcionarles tcnicas y conceptos matemticos sin desnaturali-zacin y en su autntica ortodoxia.

Los procedimientos que se utilicen para la consecucin de los objeti-vos presentados anteriormente sern vlidos en tanto se apoyen, en un prin-cipio, lo ms posible en la experimentacin, obteniendo como resultado ex-periencias fructferas que aseguren la fiabilidad del conocimiento lgico ymatemtico. Con razn escriba Puig Adam10. Si abstraer es prescindir dealgo, debe existir ese algo del que se pueda prescindir.

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10 PUIG ADAM, P. Didctica. Matemtica. Eurstica. Institucin de Enseanza La-boral. Madrid, 1956, pg. 8.

3. PRINCIPIOS METODOLGICOS E INTERVENCINEDUCATIVA

A) Contenido frente a conocimiento

Que el alumno sea el constructor de sus propios aprendizajes, se hadicho de mil formas diferentes en diferentes reformas educativas. Yo creo enello. No por odas, sino por lo que la experiencia me ha dictado y me dicta.Por lo que no tengo inconveniente en afirmar, desde mi experiencia, que deotro modo el aprendizaje se ver desnaturalizado, aportando al alumno uncontenido, que no un conocimiento. Ya he dicho en otras ocasiones, que con-tenido es lo que se ensea y conocimiento es lo que se aprende.

B) Enunciar - memorizar - comprender?

Otra tesis en la que apoyo mi intervencin como didacta de la mate-mtica es el cambio de: Enunciar, memorizar, comprender por Compren-der, enunciar, memorizar y aplicar. Me explico: Habitualmente se empiezapor el enunciado de los conceptos, las relaciones o su representacin con-vencional, como segundo paso se hace que se retenga en la memoria y, fi-nalmente, se realizan ejercicios para su comprensin. Este orden de presen-tacin de la enseanza de la matemtica nunca me dio buenos resultados.Cambi, entonces. En primer lugar, elabor actividades que mediante ejem-plos y contraejemplos, y sin corregir en modo alguno el pensamiento delalumno, le ayudasen a generar ideas, a comprender el concepto identificadosiempre desde su propio lenguaje. Posteriormente enunciaba correctamenteel nombre o expresin convencional de aquello que haban comprendido. Porltimo trabajaba en su memorizacin. Claro est que la memoria es impor-tante. Pero para evitar esfuerzos innecesarios conviene que memoricen cmose llama aquello que saben qu es.

C) Metalenguaje y lenguaje objeto

Es necesario, por tanto, como primera actividad, partir en todo mo-mento del vocabulario del alumno11. En la construccin del conocimiento

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11 FERNNDEZ BRAVO, J. A. La Numeracin y las cuatro operaciones bsicas:La investigacin y el descubrimiento a travs de la manipulacin. Editorial CCS.Madrid, 2002; FERNNDEZ BRAVO, J. A. El nmero de dos cifras. Editorial CCS.Madrid, 2004; FERNNDEZ BRAVO, J. A. Didctica de la Matemtica en Educa-cin Infantil. Grupo Mayutica. Madrid, 2006.

cientfico se hace distincin entre metalenguaje y lenguaje objeto. El lengua-je objeto es el propio de la ciencia en cuestin y el metalenguaje es ese len-guaje que utiliza para describir los trminos pertenecientes al lenguaje obje-to. Despus, muchos trminos del lenguaje objeto se pueden ir explicando atravs de otros trminos de ese lenguaje objeto. Cierto esto, el metalenguajedel aula para la construccin del conocimiento es el propio del alumno. Pos-teriormente, identificaremos un trmino matemtico a partir de su lenguaje.Llegar un momento, dependiendo de la edad, que en el vocabulario delalumno podamos encontrar ya varios trminos del lenguaje objeto que utili-za la matemtica, definiendo, entonces, otros a partir de stos. En definitiva,creo que hablamos demasiado y demasiado mal, cuando lo que hay que in-tentar es evitar, en la medida de lo posible, la informacin verbal, y enunciarcon la precisin que caracteriza a la matemtica cuando tengamos que ha-cerlo. Si observamos la ambigedad de expresin que existe actualmente enlos libros de texto dirigidos principalmente a los escolares de infantil y pri-maria, nos preguntamos cmo pueden tener con esos materiales un pensa-miento lgico, y si ste no existe cmo pueden acceder a un pensamiento ma-temtico. Faltan didactas y, sobran intrpretes de libros de texto.

D) La enseanza de la matemtica

Generalmente se ha aceptado que el aprendizaje de la matemtica serefera al nmero y a la cantidad, apoyadas principalmente sus actividades enel orden y la seriacin, siendo el contar el trabajo ms preciado para la acti-vidad matemtica. Hoy la naturaleza de la enseanza de la matemtica semuestra diferente: como expresin, como un nuevo lenguaje y un nuevomodo de pensar con sus aplicaciones prcticas a su entorno circundante, me-diante la contrastacin de las ideas. Aunque la asociacin matemtica y n-mero suele ser habitual, se hace necesario indicar que no siempre que apare-ce la matemtica se refiere al nmero, del mismo modo que el hecho de uti-lizar nmeros nada puede decir del hacer matemtico, si este hacer no ha sidogenerado por una accin lgica del pensamiento.

Apoyamos la enseanza de la matemtica en lo que el profesor sabe,cuando deberamos apoyarla en lo que el alumno desconoce. Damos porhecho que la simple informacin verbal de una situacin clara para el do-cente, trasmite a la mente del alumno, con la misma claridad, lo que nosotrossobre ello comprendemos; y eso, mucho se aleja de la autntica comprensindel concepto por la observacin y experimentacin de diversidad de situa-ciones en la que ste puede aparecer. Esto supone que muchos escolares re-conozcan el concepto o la relacin slo cuando se le presenta de la mismaforma como se le ha presentado para su aprendizaje. No puede reconocerlo

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en otras diferentes situaciones, no es funcional su aprendizaje, la aplicacindel concepto se apoya en el azar y la adivinacin y es nula la transferencia deestos contenidos a otros nuevos para la construccin del conocimiento. Esnecesario que el profesor sustituya la informacin verbal que dirige a susalumnos por dudas, retos y desafos mediante acertadas actividades, que cui-dadosamente preparadas, permitan adquirir lo que se esta trabajando con lasolidez que como contenido matemtico le caracteriza. Si el profesor dice:esto es una recta, tambin est diciendo a la lgica interpretacin delalumno que todo lo que no sea esto, no se puede reconocer como recta(Wittgenstein)12.

3.1. Existencia y asistencia del pensamiento

La existencia del pensamiento pertenece, todava hoy, a un procesomgico. Sin embargo, la asistencia al pensamiento se recoge, por su posibi-lidad de contrastacin, en un proceso cientfico. La enseanza debe permitirque el sujeto llegue a la adquisicin de los conceptos por sus propios hallaz-gos. Su terminologa especfica y la simbologa pertinente deben ser el puntode llegada en la construccin del conocimiento, y no el punto de partida.Enunciar el concepto es posterior a la comprensin de ste, porque creemos,al igual que Heidegger13, que El enunciado es la articulacin de lo que seha comprendido.

Esta indicacin, tan reconocida en la teora como escasa en la prcti-ca, seala unos procedimientos a la vez que anula otros. Se espera, que la pre-gunta reine de modo supremo en la expresin del profesor, pero las pregun-tas preestablecidas para respuestas preestablecidas no forman parte del de-sarrollo de la actividad intelectual. Que todo desafo implique una pregunta,no hace suponer que toda pregunta implique un desafo, porque ste aspira aprovocar en el sujeto un estado de indagacin cuyo resultado aada algo a loque ya saba. Los retos, los ejemplos y contraejemplos son los alimentos delos que se nutre la interaccin profesor-alumno. Se puede partir, entonces, delas experiencias y conocimientos previos de los que aprenden, que tienen laoportunidad de jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas; accinque resuelve con frecuencia, el grave problema para el aprendizaje que su-pone la falta de ideas, junto con la privacin de autonoma, perseverancia yflexibilidad14.

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12 WITTGENSTEIN, L. Observaciones sobre los fundamentos de la Matemtica.Alianza Editorial. Madrid, 1987.13 HEIDEGGER, M. El ser y el tiempo. FCE. Mxico, 1951, pg. 112.14 STEPHEN, J. y ASHCROFT, J. R. Mathematics for Dyslexics. A teaching Hand-book. Whurr Publishers. London, 1999.

3.2. Etapas del acto didctico

Existen, a mi juicio, cuatro etapas15 fundamentales en el acto didcti-co: Elaboracin, Enunciacin, Concretizacin y Transferencia o Abstraccin.Este orden de presentacin de las etapas es irreemplazable.

1. Etapa de Elaboracin. En esta etapa se debe conseguir la intelec-tualizacin de la/s estrategia/s, concepto/s, procedimiento/s que hayan sidopropuestos como tema de estudio.

El profesor, respetando el trabajo del alumno y el vocabulario por lempleado, crear, a partir de las ideas observadas, desafos precisos que sir-van para canalizarlas dentro de la investigacin que est realizando en su ca-mino de bsqueda. Tal planteamiento, supone evitar la informacin verbal,as como las palabras correctivas: bien o mal; utilizando, en todo mo-mento, ejemplos y contraejemplos que aporten continuidad a la pluralidad derespuestas que escuchemos. Estas respuestas, ya correctas o incorrectas, seforman a travs de un dilogo entre todos y de un dilogo interior, y debenser recogidas, como hiptesis, desde la motivacin de comprobarlas por suspropios medios para establecer conclusiones vlidas. La curiosidad por lascosas surge por la actualizacin de las necesidades de nuestros alumnos; ne-cesidades, no solamente fsicas o intelectuales sino tambin operativas en elpensamiento para buscar soluciones a las dudas que se reflejan en focos con-cretos de las situaciones propuestas.

Esta etapa subraya el carcter cualitativo del aprendizaje. El respeto alnio es obligacin permanente para que su originalidad y creatividad tomeforma en las estrategias de construccin del concepto o relacin. Y es en estaetapa, ms que en ninguna otra, donde el profesor pondr a prueba el domi-nio que tiene sobre el tema. Un domino sin el cual se perder fcilmente.

2. Etapa de Enunciacin. El lenguaje, que desempea un papel fun-damental en la formacin del conocimiento lgico-matemtico, se conviertemuchas veces en obstculo para el aprendizaje. Los nios no comprendennuestro lenguaje. Si partimos de nuestras expresiones les obligaremos a re-petir sonidos no ligados a su experiencia. Estas expresiones darn lugar aconfusin y se ver aumentada la complejidad para la comprensin de losconceptos y la adquisicin de otros nuevos. Por esto, llegados al punto en queel nio ha comprendido a partir de la generacin mental de una serie de ideasexpresadas libremente con su particular vocabulario, se hace necesario enun- M

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15 FERNNDEZ BRAVO, J. A. Las cuatro etapas del acto didctico. ComunidadEducativa. ICCE, nm. 228, 1995.

ciar o simbolizar lo que ha comprendido, respecto a la nomenclatura o sim-bologa correctas: los convencionalismos. Este es el objetivo de esta etapa:poner nombre o enunciar con una correcta nomenclatura y simbologa. Porello, la etapa anterior es de exagerada importancia y debe tener su particularevaluacin para no considerar intelectualizado todo lo que en ella se ha visto,sino todo lo que en ella, ciertamente, se ha intelectualizado.

En esta etapa, se puede orientar al sujeto de esta forma: Eso que tdices... se dice..., Eso que t escribes como... se escribe..., Lo que t lla-mas... se llama..., Lo que t expresas de la forma... se expresa..., Lo quet indicas con... se indica... (...)

3. Etapa de Concretizacin. Es la etapa en la que el alumno aplica,a situaciones conocidas y ejemplos claros ligados a su experiencia, la estra-tegia, el concepto o la relacin comprendida con su nomenclatura y simbo-loga correctas. Se proponen actividades similares a las realizadas para queel alumno aplique el conocimiento adquirido, y evaluar en qu medida hadisminuido el desafo presentado en la situacin propuesta en la etapa de Ela-boracin.

4. Etapa de Transferencia o Abstraccin. Etapa en la que el nioaplica los conocimientos adquiridos a cualquier situacin u objeto indepen-diente de su experiencia. Es capaz de generalizar la identificacin de unaoperacin o concepto y aplicarlo correctamente a una situacin novedosa,tanto en la adquisicin de nuevos contenidos, como en la interrelacin con elmundo que le rodea. En muchas ocasiones, no se puede estudiar despus dela etapa de Concretizacin; se confundira con ella y su independencia comoetapa no sera significativa. Existen nios que reproducen, sin dificultad al-guna, formas de figuras inmediatamente despus de haberlas trabajado, y, sinembargo, muchos de ellos no reconocen esas formas en los objetos del en-torno en el que desenvuelven su actividad cotidiana, unos das ms tarde. Sepuede decir, que estos alumnos no han asimilado la relacin o conjunto de re-laciones trabajadas con anterioridad sobre el concepto. Si esto ocurre, el pro-fesor revisar la preparacin de las etapas anteriores y su actuacin en ellas,desde una investigacin-accin.

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3.3. Ideas sobre metodologa didctica para la enseanza de lamatemtica

1. Dominar la matemtica que se esta enseando, distinguiendo laidea, de la notacin de la idea. Una cosa es el concepto y otra, muy distinta,es la simbologa que se utiliza para representarlo. As, por ejemplo, el nme-ro cero no es esto: 0, eso es lo que se utiliza para representar la ausenciade elementos, siempre y cuando as se interprete. No faltan libros de texto enlos que, confundindose concepto y simbologa, podemos leer que el cero esuna o, que el cero es una rosquilla, que el dos es un patito, o, que el seis (6)es el nmero que no quiso ser cero.

2. Dominar el arte de preguntar, partiendo siempre del lenguaje delalumno, como modelo de duda, desafo y camino de comprensin para elaprendizaje, en la adquisicin del concepto que se est elaborando intelec-tualmente; conduciendo al alumno mediante ejemplos y contraejemplos quefomenten la discusin y el dilogo, para que sea l, y sin correccin algunapor nuestra parte, el que advierta con claridad, por el dilogo interior provo-cado: el acierto o el error cometido.

3. Entender que la evidencia, la realidad, la necesidad y la curiosidadson las situaciones necesarias en los procesos de enseanza-aprendizaje de lamatemtica; por lo que no debemos olvidar que los materiales que utilicemospueden, por la metodologa empleada, favorecer, o no, esas situaciones. En-tendindose nicamente por material vlido para el aprendizaje de la mate-mtica, aquel que hace uso de ellas.

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4. Utilizar modelos didcticos, fomentando la investigacin y el m-todo cientfico que, a modo de recurso, permita el descubrimiento de los con-ceptos, para facilitar que el alumno llegue al saber matemtico con precisinde resultados y sin equivocacin alguna.

5. Enunciar, representar y simbolizar, como un buen comunicador ycon el rigor y la precisin cientfica que no impliquen ambigedad algunadespus, y slo despus, de que el alumno haya comprendido el concepto orelacin. Relatar acontecimientos de la Historia de la Matemtica que estnrelacionados con el concepto trabajado, siempre que sea posible, y de mane-ra sugerente y atractiva.

6. Presentar al alumno actividades matemticas de cualquier tipo omodelo, desde las ms sencillas a las ms complejas, cuando el alumno tengasuficientes mecanismos de auto-correccin.

7. Fomentar en cualquier etapa educativa, con una correcta adaptacinla aplicacin, transferencia y abstraccin de los contenidos enseados, acualquier campo cientfico, natural y social.

8. Apoyar la participacin del alumno, de forma natural y espontnea,en la bsqueda del conocimiento, y no tan slo y de forma exclusiva en el an-tojo de la enseanza para obtener respuestas a preguntas pre-establecidas.

9. Motivar al aprendizaje de la matemtica hacia el saber, hacia el sen-tir y hacia el querer.

10. Escuchar al alumno, atendiendo a modo cientfico: a) Que las respuestas que obtenemos no coincidan con las que es-

peramos implica simplemente discrepancia entre la enseanzay el aprendizaje, y no significa en modo alguno que el nio norazone.

b) El nio nunca responde por azar, si no ha sido intimidado.c) El nio nunca quiere fallar o hacerlo mal, si no ha sido irritado d) Ni existe, ni existir mtodo alguno de enseanza superior a la

capacidad de aprendizaje de la mente humana.

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