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FUNCIONES
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Juan Ramón Cadena Villota
Profesor de Matemáticas y en la Formación de Docentes, Carrera de
Matemáticas e Informática, Facultad de Filosofía Universidad Central
del Ecuador. Licence en Matemátiques (Matemático), Université Jean
Monnet, Francia. Máster en Nuevas Tecnologías Aplicadas a la
Educación, Universidad Autónoma de Barcelona –Universidad de
Alicante. Doctorando en Investigación Educativa en la Universidad de
Alicante. Ha asistido como ponente a varios Congresos y Cursos
Nacionales e Internacionales. Participa en varios proyectos de
Investigación en Docencia de Matemática y es Director del Proyecto
de Investigación Etnomatemática. Miembro del SEDEM, Sociedad
Ecuatoriana de Matemática. Coordinador de la Red Latinoamericana
de Etnomatemática, RELAET, Capítulo Ecuador.
FUNCIONES
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Índice
La idea de función………………………………………………………………6
Actividades preparatorias……………………………………………………….7
La noción de función…………………………………………………………….10
¿Qué es una curva que representa a una función?......................................12
Paréntesis cultural: Leonhard Euler………………………..…………………15
¿Cómo encontrar el dominio de definición de una función?........................16
Crecimiento y Decrecimiento de una Función……………………………….17
Función creciente……………………………………………………………….18
Función decreciente……………………………………………………………19
Máximos y mínimos……………………………………………………….……29 Simetrías, funciones pares, impares y periódicas………………...…………32
Sentido de variación de una curva………..…………………………………..35 Ejercicios Propuestos…………………………………………………………..39
Operaciones con funciones……………………………………………………52
Multiplicación y división de funciones………………………………………..54
Composición de funciones…………………………………………………… 58
Ejercicios Propuestos…………………………………………………………..64
Funciones Inyectivas…………………………………………………………...65
Funciones Inversas……………………………………………………………..68
Función Lineal y Afín…………………………………………………………...73
Función Valor Absoluto………………………………………………………...84
El valor absoluto como distancia……………………………………………...85
La Función Cuadrática…………………………………………………………89
Funciones Exponenciales………………………………………………………100
Funciones Logarítmicas……………………………………………………….111
Bibliografía………………………………………………………………………125
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FUNCIONES
La idea de función.
En la vida diaria nos encontramos con expresiones como:
En todas estas expresiones aparecen las palabras: “depende de” o “está en
función de”, lo que significa que hay “algo” que está sujeto a una condición
determinada.
En Matemática, decimos que UNA EXPRESIÓN ESTÁ EN FUNCIÓN DE OTRA.
En Biología: “la contaminación
ambiental depende
de los gases
emanados a la
atmósfera”.
En Economía:
“el índice de inflación depende
de los precios de los artículos”.
“que me quede al
supletorio,
depende de las
notas que saque
en los exámenes”
En Física:
“la aceleración que experimenta
un cuerpo está en función de la
fuerza que se le aplique”.
“la cosecha de arroz
depende del tiempo
que haga en la
temporada”.
“el consumo de gasolina está
en función de la velocidad y la
marca del auto”.
“el tráfico depende de la hora”
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AYUDA:
Por ejemplo, vamos a “leer” la temperatura a las 10 de la mañana, para lo cual: buscamos
el número 10 en el eje de las x, trazamos mentalmente una línea vertical hasta que le
“toque” a la curva (punto D), desde ese punto trazamos ahora una línea vertical hacia el
eje de las y, leemos el número correspondiente, en este caso: 16oC.
Actividades preparatorias:
Temperatura en Quito:
Observemos con atención el siguiente gráfico:
Según el gráfico, contesta lo siguiente:
1.- ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la mañana?, ¿a las 8 de la mañana?
2.- ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la tarde?, ¿a las 10 de la noche?
3.- ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura “crece”?, ¿en qué intervalos de
tiempo la temperatura “decrece”?,
4.- ¿A qué hora se tiene la temperatura “máxima”?, ¿a qué hora la temperatura
es “mínima”?, ¿cuáles son esas temperaturas?
Un ejemplo en Biología.-
Los biólogos han probado experimentalmente que la población de amebas se
“dobla” cada 24 horas. Utilicemos al día como unidad de tiempo y a un millón
de amebas como la unidad de población. Suponiendo que empezamos con un
millón de amebas, entonces es natural escribir 𝑷 (0) = 1.
Las amebas son seres unicelulares cuyo crecimiento poblacional depende del
tiempo. Simbolicemos 𝑷 la población de amebas y 𝒕 el tiempo (en días). Para indicar
que la población depende del tiempo transcurrido, utilicemos la “notación”: 𝑷 (𝒕). Se
lee: “𝑷𝑑𝑒 𝒕”
En él, el eje x
(horizontal)
representa las
horas de un día de
invierno en Quito,
y el eje y
(vertical)
representa los
grados
centígrados de
temperatura.
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Es evidente que: 𝑷 (1) = 2; 𝑷 (2) = 2x2 = 22; 𝑷 (3) = 23; 𝑷 (4) = 24; etc.
Completa:𝑷 (7) =…….; 𝑷 (9) =…….
¿Qué te parece si podemos deducir la fórmula general?: 𝑷(𝒕) = 2𝒕. Si 𝒕 es un
número entero, por ejemplo: para 𝒕 = 3, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 23 = 8, pero el tiempo no
siempre es un número entero, si tenemos un día y medio por ejemplo,
𝒕 = 1.5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 21.5 = 2.8284…
En la calculadora, para calcular 2𝒕, utilizamos la tecla:
Ahora vamos a estudiar el crecimiento de la población de amebas en los 4
primeros días, es decir, cuando 𝒕 pertenece al intervalo [ 0, 4 ].
En el eje x ponemos los días, del 1 al 4, y en el eje y ponemos la población de
amebas (en millones de individuos), la “curva” quedaría así:
Observamos que la curva representa el crecimiento de la población de amebas
en millones de individuos para un período de tiempo de 4 días,
matemáticamente, diremos que la curva representa el gráfico de la
“función”: 𝑷(𝒕) = 2𝑡, en el “intervalo”: 0 ≤ 𝒕 ≤ 4.
“Leyendo” el gráfico, contesta lo siguiente:
1.- ¿Cuál es la población aproximada en 36 horas?, ¿en 60 horas?
2.- Con la calculadora, calcula los valores siguientes: 21.5 y 22.5 y compara tus
respuestas con las de la pregunta anterior.
3.- “Lee” en el gráfico: ¿cuántos días son necesarios para que haya una
población de 8 millones?, ¿de 12 millones?
Otro ejemplo, ahora en Economía:
La siguiente curva representa el
balance comercial
(exportaciones- importaciones)
de un país, tomando como 0 al
año 2000 (en el eje de las x), en
yx
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el eje y tenemos el monto en millones de dólares.
Vamos a contestar lo siguiente:
1.- Expresar lo que representa esta curva con una frase que contenga la
expresión: “en función de”.
2.- ¿Entre qué años está definida esta curva?
3.- ¿Cuál es el valor de la balanza comercial para los años: 1980, 1995,2005?
4.- ¿En qué año, la balanza es de 40 millones?, ¿de -10 millones?
5.- ¿En cuales años la balanza estuvo o estará equilibrada?
6.- ¿Sobre qué intervalo de tiempo hay un déficit en la balanza comercial?, ¿un
superávit?
7.- ¿Cuál es el comportamiento (crece o decrece) de la balanza comercial entre
mediados de 1997 al 2010? Lo mismo para los años 1985 y mediados de 1997.
8.- ¿En qué año la balanza tiene su “máximo”?, ¿su “mínimo”?, ¿cuáles son esos
valores?
Puedes encontrar más ejemplos de funciones, tales como: el estiramiento de un
resorte en función de la masa que se cuelga de él, el área de un círculo en
función de su radio, la presión atmosférica en función de la altura, etc. Tienes
como tarea buscar esos ejemplos.
La noción de función:
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Una función 𝒇 definida sobre un subconjunto de los números reales D es una
“relación” que a cada número 𝒙 perteneciente a D, le asocia un único resultado
numérico que le llamaremos 𝒇(𝒙).
Veamos este ejemplo: “desde las 6 de la mañana hasta las 10 de la noche, el
número de pasajeros en la estación norte del trole varía en función del tiempo”.
Esta frase nos indica una relación entre el tiempo, sobre “el intervalo” entre las
6 y las 22 horas y el número de pasajeros en la estación. Lo podemos ver en el
siguiente esquema:
𝑥𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑓(𝑥)
Lo que acabamos de hacer se llama modelización matemática de un caso de la
vida cotidiana, lo que nos conduce a definir “una función”, que la vamos a
llamar 𝒇, de tal manera que a un tiempo 𝒙 del intervalo [6, 22] le asocia un único
resultado, llamado 𝒚 = 𝒇(𝒙)., que es el número de pasajeros presentes en la
estación norte del trole a la hora 𝒙.
Esta función está definida sobre el intervalo [6, 22], y como los resultados son
números, se llama función numérica.
Ahora, definamos formalmente a una función numérica:
Simbología:
Al conjunto D le llamamos: conjunto de definición o dominio de la función,
también se le “nota” Df (según el nombre de la función).
El número 𝒇(𝒙)se llama la imagen de 𝒙 a través de 𝒇. Al número 𝒙 se
llama pre-imagen de 𝒇(𝒙) a través de 𝒇.
Número de pasajeros
Análisis del caso
Tiempo entre las 6 y 22 horas
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Definición.- En un plano cartesiano, la curva C que representa a la función 𝒇 es el
conjunto de puntos M del plano, de coordenadas (𝒙, 𝒚)tal que:
o la abscisa 𝒙 recorre el conjunto de definición Df
o la ordenada 𝒚 es la imagen de 𝒙 por 𝒇.
En símbolos: 𝒙 ∈Df y 𝒚 = 𝒇(𝒙).
𝒙 es la variable, que también puede llamarse: 𝒕, 𝒛, 𝒑, 𝒖,…, 𝒇 es la función,
que también puede llamarse: 𝒇, 𝒈, 𝒉, 𝒊, … Por generalización llamamos 𝒚 = 𝒇(𝒙).
Es importante anotar que el resultado 𝒇(𝒙) es único para cada 𝒙. En el
caso analizado, no es posible que, por ejemplo, hayan más o menos de 56
pasajeros a las 8 de la mañana.
En el fenómeno descrito, la función 𝒇 toma valores continuos en D. En
general, la función 𝒇 es definida sobre un intervalo I, subconjunto de ℝ.
Cuando el conjunto de definición no está dado, la función se escribe:
𝒇 ∶ ℝ⟶ℝ 𝒙 ⟶ 𝒇(𝒙)
En algunos ejercicios se pedirá encontrar el conjunto de definición o dominio.
Por lo general,𝒇 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂, donde 𝒚 = 𝒇(𝒙) es un
número que resulta de reemplazar el valor numérico de 𝒙 en la fórmula.
Por ejemplo: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + √𝒙 es la fórmula para 𝒇, algunos valores numéricos
serían:
𝑓(0) = 02 + √0 = 0
𝑓(4) = 42 + √4 = 18
𝑓(7) = (7)2 + √7 = 51.6457…
Podemos ver que esta función está definida para valores no negativos (por la
raíz cuadrada), luego Df= [0,+∞[.
Hay infinitos ejemplos de funciones, como: 𝑓(𝜃) = sin 𝜃 + tan 𝜃; ℎ(𝑡) = 𝑣𝑜𝑡 +
1
2𝑎𝑡2; 𝐸(𝑚) = 𝑚𝑐2; 𝑉(𝑟) =
4
3𝜋𝑟3;
¿Qué es una curva que representa a una función?
FUNCIONES
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Definimos además: el rango o conjunto imagen de 𝒇, como al conjunto formado por
todas las 𝒚, de tal manera que 𝒚 = 𝒇(𝒙), donde 𝒙 ∈Df.Le notamos Imf
Observa que:
una curva es un conjunto de puntos;
𝒙 es la abscisa en el “eje de las x”;𝒇(𝒙) es el número en el “eje de las y”,
llamada ordenada;
𝒚 = 𝐟(𝒙) es la ecuación de la curva C; y,
El conjunto de definición Df está en el eje de las x.
El conjunto imagen está en el “eje de las y”.
Observa con atención el gráfico siguiente:
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El punto M tiene coordenadas: (𝒙, 𝒇(𝒙))
Hagamos a continuación un ejemplo numérico: C es la curva de una función 𝒇 definida sobre el intervalo: Df= [−2, 7].
La imagen de -2 es 5, es decir 𝑓(−2) = 5 esel punto de la curva
correspondiente es 𝐴(−2,5)
𝑓(0) = 3; 𝐵(0,3)
𝑓(5) = 0; 𝐶(5,0)
𝑓(7) = ⋯
2 es la imagen de -1 y de 7, es decir, 2 tiene como pre-imágenes a los números
-1 y 7.
Observa ahora el gráfico y comprueba lo anterior:
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Ahora, según el siguiente gráfico, trata de responder el cuestionario:
1.- ¿Cuál es el conjunto de definición de 𝒇?
2.- Dar imágenes aproximadas de: 0, 3, -3
3.- Aproximadamente, el conjunto imagen de 𝒇 es el intervalo:
4.- ¿Cuáles son las pre-imágenes de 6?
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Bien, ahora ya sabes reconocer algunos elementos de la noción de función, que
es uno de los conceptos más importantes en Matemáticas. Es recomendable que
hagas más ejercicios de reconocimiento, para lo cual puedes utilizar una
calculadora gráfica o el programa DeadLine, por ejemplo.
Listo, sigamos con un poco más de materia, veamos ahora:
El Gran Leonhard Euler: Apuntes biográficos
Leonhard Euler nació en Basilea (Suiza) en
1707. Su padre, pastor calvinista, se
preocupó de que la formación intelectual de
su hijo fuese de gran calidad. Leonhard
estudió matemáticas con Jean Bernoulli,
física, astronomía, medicina, teología y
lenguas orientales.
En 1727, animado por sus amigos y
compatriotas Daniel y Nicolás Bernoulli,
ingresó en la Academia de San Petersburgo.
En 1730, ocupó la cátedra de filosofía natural
y a los veintisiete años, después de que
Nicolás y Daniel dejasen San Petersburgo, se
convirtió en el matemático más relevante de
la Academia. A los veintiocho años perdió la
vista de su ojo derecho. En 1741 se incorporó
a la Academia de Berlín, pero en 1766 volvió
a Rusia. En 1771 se quedó ciego pero ello no
impidió que Euler siguiera publicando e
investigando.
Se cuenta que cuando el filósofo ateo D.
Diderot visitó la corte rusa fue informado de
que un matemático suizo había demostrado la
existencia de Dios mediante razonamientos
de tipo algebraico. Interesado por dicha
noticia y esperando rebatir tales
argumentos, Diderot concertó una entrevista
con Leonhard. Puesto en contacto con Euler,
éste le dijo: “Señor (a + bn)/n = x, entonces
Dios existe”. Diderot, cuyos conocimientos
de álgebra eran nulos, se quedó sin respuesta
y regresó a Francia.
Leonhard murió en 1783 mientras se estaba
tomando una taza de té y jugando con uno de
sus nietos.
Euler escribió sobre temas relativos a todas
las ramas de las matemáticas. A lo largo de
su vida publicó más de quinientos libros y
artículos y fue padre de trece hijos.
Entre sus numerosísimas contribuciones
destacamos las referentes al simbolismo
matemático. Así, Euler introdujo el símbolo
e para la base de los logaritmos naturales; π para la razón de la circunferencia al
diámetro; i para la unidad imaginaria; a, b, c
para los lados de un triángulo; A, B, C para
los ángulos de un triángulo; Σ para la suma;
y f(x) para una función de x. En geometría
elemental es famosa su fórmula c + v = a
+ 2, que relaciona el número de caras (c),
vértices (v) y aristas (a) de cualquier
poliedro convexo. La expresión 𝑒𝜋𝑖 + 1 = 0,
que aparece en su Introduction in analysin
infinitorum (1748), incluye los cinco números
más importantes de las Matemáticas.
Su definición de función dice textualmente:
“Una función de una magnitud variable es
cualquier expresión analítica formada con la
cantidad variable y con números o
cantidades constantes”
Desde luego, no coincide exactamente con la
definición actual de función. Pero más allá
del rigor de la definición, el hecho
destacable y realmente significativo es que
Euler convirtió a la función en el objeto
fundamental del Cálculo, que hasta esa época
se basaba esencialmente en las propiedades
de las curvas.
¡Aquí vale la pena un... Paréntesis Cultural!
FUNCIONES
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Cuando nos dan la ley de la función: 𝐟(𝒙) =…, o si nos dan de la forma:
𝒇: ℝ → ℝ
𝒙 ↦ 𝒚 =. ..
Analicemos dos casos importantes:
a) Si hay un denominador en la fórmula de 𝐟(𝒙), ejemplo: 𝐟(𝒙) =𝟒𝒙+𝟔
𝟑𝒙−𝟏, como
𝒙 ∈ ℝ, entonces: 𝟑𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝒙 ≠𝟏
𝟑, por lo tanto: el conjunto de
definición de la función es: Df = ℝ − {𝟏
𝟑}.
Como aplicación, calcula el Df de 𝒇(𝒙) =𝟓𝒙−𝟕
𝟒𝒙+𝟔
b) Si existe una raíz cuadrada en la fórmula de𝐟(𝒙),ejemplo: 𝐟(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟖,
igualmente, cómo 𝒙 ∈ ℝ, entonces:
𝟐𝒙 + 𝟖 ≥ 𝟎, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝒙 ≥ −𝟒, por lo tanto, el dominio de la función es:
Df = {𝒙; 𝒙 ≥ −𝟒}𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [𝟒,+∞[.
Aplicación:
Calcula el Df de 𝒇(𝒙) = √𝟔𝒙 −𝟏
𝟒.
Combinando los dos casos, calcula el Df de 𝒇(𝒙) =𝒙𝟑−𝟒𝒙
√𝟓
𝟑−𝟏𝟎𝒙
Seguidamente vamos a formalizar ciertos conceptos que se dieron anteriormente
de manera intuitiva, como: creciente, decreciente, máximo, mínimo, etc.
FUNCIONES
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Crecimiento y Decrecimiento de una Función
¿Qué es crecer?, naturalmente tenemos que remitirnos a la noción cotidiana de
crecer, como por ejemplo el niño que pasa de los 3 a los 6 años, decimos que
ha crecido en estatura; en los países industrializados crece la contaminación
ambiental; en nuestros países latinoamericanos crece el interés de la deuda
externa, a pesar que ya se les ha pagado el monto de la deuda; cuando
aprendemos matemáticas estamos creciendo en nuestro intelecto; en fin
asociamos crecimiento al “aumento de algo”; Para el decrecimiento podemos
hacer un razonamiento análogo. Pero, tenemos que definir formalmente estos
conceptos en matemática, para lo cual veamos los siguientes ejemplos:
1.- En Geometría:
El área de un círculo está en función de su radio, con la conocida fórmula: 𝑨 =
𝝅𝒓𝟐, donde: 𝑨 es el área y 𝒓 es el radio. Observa que de esta manera se ha
definido una función, en este caso : 𝑨(𝒓) = 𝝅𝒓𝟐, utilizando la 𝑨 en lugar de la 𝐟
y la 𝒓 en lugar de la 𝒙. Es lógico observar que el área del círculo aumenta
conforme aumenta el radio, por ejemplo, para un radio de 2 cm tenemos un área
de 4𝜋 = 12.5663…𝑐𝑚2, si aumentamos el radio a 6 cm, tendremos un área de
36𝜋 = 113.0973… . 𝑐𝑚2 . En este caso diremos que el área de un círculo, que
está en función del radio, es una función creciente.
Definición intuitiva.-Si los valores de 𝒙 aumentan, entonces los valores de𝒇(𝒙)
también aumentan, luego diremos que una función es creciente; o lo que es lo
mismo, si los valores de 𝒙disminuyen, los valores de 𝒇(𝒙) también disminuyen.
FUNCIONES
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Definición formal.- Sea f una función definida sobre
un intervalo I de los reales, se dice que f es creciente
sobre el intervalo I, si para toda pareja de números
reales: 𝒖 𝒚 𝒗 que pertenecen a I:
Observa que las dos desigualdades tienen el mismo sentido
2.- En la carretera: Un auto está en movimiento, la cantidad de gasolina en su
tanque disminuye o “decrece” conforme el auto avanza en el camino, es decir,
mientras aumentan los kilómetros recorridos, la reserva del tanque disminuye.
Podemos entonces decir que la cantidad de gasolina en el tanque es una función
decreciente con respecto a la distancia recorrida.
Definición intuitiva.- Si los valores de 𝒙 aumentan, entonces los valores de𝒇(𝒙)
disminuyen, luego diremos que una función es decreciente; o lo que es lo
mismo, si los valores de 𝒙 disminuyen, los valores de 𝒇(𝒙) aumentan.
Definición formal.-Sea f una función definida sobre un intervalo I de los reales,
se dice que f es decreciente sobre el intervalo I, si para toda
pareja de números reales: 𝒖 𝒚 𝒗 que pertenecen a I:
Observa que las dos desigualdades tienen sentido
contrario.
3.- Un reloj antiguo:
¿Te acuerdas de los relojes de péndulo, como este grandfather en la imagen
contigua? La siguiente figura que encontrarás es una simulación gráfica de los
si 𝒖 < 𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑢) ≤ 𝑓(𝑣)
si 𝒖 < 𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑢) ≥ 𝑓(𝑣)
FUNCIONES
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movimientos del péndulo de este reloj: el punto A representa la extremidad del
péndulo. La distancia AH desde A hasta la vertical Ox está en función del tiempo.
En un intervalo de 1 minuto, esta función no es creciente ni decreciente, en
efecto, como el péndulo se balancea varias veces en este intervalo de tiempo,
esta distancia aumenta y disminuye alternativamente.
Hagamos algunas aplicaciones: Definición.- Se dice que una función 𝒇 definida sobre un intervalo I es constante, si para todo elemento 𝒙 ∈ I se tiene que 𝒇(𝒙) = 𝒄, donde 𝒄 es un
número real.
FUNCIONES
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1) El ascensor de un edificio, sube del primero al sexto piso; entonces, la
distancia que le separa del piso, ¿es una función creciente o decreciente
en función del tiempo? El mismo ascensor sube al noveno piso y luego
baja al tercero; en este caso, la distancia que le separa del piso, ¿es una
función creciente, decreciente o ninguna de las dos en función del tiempo?
2) Un bus interprovincial que viaja desde Quito hasta Ambato:
a) La distancia entre Quito y el bus, ¿es una función creciente o
decreciente en función del tiempo? ¿Por qué?
b) La distancia entre Ambato y el bus, ¿es una función creciente o
decreciente en función del tiempo? ¿Por qué?
3) Cuando vas a una cabina de Internet, el precio que te cobran está en
función del……………...de utilización, ¿será esta función creciente o
decreciente?
4) En el círculo trigonométrico, de radio 1, se define al seno y al coseno como
los segmentos siguientes: sSi el ángulo 𝛼 varía desde 00 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 900, en el
sentido anti horario, el seno y el coseno dependen del ángulo, es decir
son funciones de 𝛼, analizando el gráfico,
el seno: ¿es creciente o decreciente?,
el coseno: ¿es creciente o decreciente?
FUNCIONES
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5) Tienes como tarea averiguar si el precio del petróleo a nivel internacional,
es una función decreciente, creciente o ninguna de los dos, en el lapso de
tiempo de los dos últimos meses.
Interpretación gráfica
Funciones crecientes.-Veamos los siguientes gráficos de funciones
crecientes:
i) 𝒚 = 𝟐𝒙
Analizando algunos puntos en la gráfica, por ejemplo:
𝟏 < 2 𝑓(𝟏) = 𝟐; 𝒇(𝟐) = 𝟒; 𝟐 < 4 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓(1) < 𝑓(2)
−𝟐 < 0 𝑓(−𝟐) = −𝟒; 𝒇(𝟎) = 𝟎; −𝟒 < 0 𝑙𝑢𝑒𝒈𝒐 𝒇(−𝟐) < 𝑓(0)
*Se conservan las desigualdades, parece ser una función creciente, pero…:
ii) 𝒚 = 𝟐𝒙 iii) 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙
ADVERTENCIA: Es muy importante señalar que para probar que la
función es creciente, no es suficiente hacerlo con ejemplos
numéricos, por numerosos que sean, puesto que no estamos seguros
que en algún par de puntos no se cumpla la condición. Esta es una
aseveración indispensable en la matemática, puesto que una de sus
características más potentes es precisamente la generalización de
resultados: NO SE PUEDE DEMOSTRAR UNA PROPOSICIÓN
MATEMÁTICA SOLO CON EJEMPLOS.
FUNCIONES
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En los dos gráficos anteriores se observa que las curvas “suben” de izquierda a
derecha en el plano cartesiano.
iv) Veamos un caso especial:
Esta función está definida en el intervalo [−4, 6], observamos que en el intervalo
[−4,1[ la función “crece”, pero en el intervalo [1, 4], la función permanece
constante, cuyo valor es 1 (su gráfico es una línea horizontal); después, en el
intervalo ]4, 6] sigue “creciendo” hasta alcanzar su “máximo” valor en 6, 𝑓(6) =
4.
La pregunta es: ¿En el intervalo [𝟏, 𝟒] la función crece o decrece?Veamos si
cumple con la definición: 𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦): como para todo
número 𝒙en el intervalo[𝟏, 𝟒]𝒇(𝒙) = 𝟏, entonces para cualquier pareja de
números 𝒙 𝑒 𝒚 en el intervalo, se tiene que 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚), por lo tanto se cumple
con la definición de función creciente, porque, no te olvides que:
FUNCIONES
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𝒇(𝒙) ≤ 𝒇(𝒚) 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) < 𝑓(𝒚) 𝒐 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚)
* Por lo tanto se puede concluir que: una función constante en un intervalo I,
es una función creciente en I.
¿Podrá ser decreciente también? ¡Piénsalo!
FUNCIONES
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Funciones decrecientes.- Observemos los siguientes ejemplos:
i) 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟑
Probemos con unos puntos en la gráfica:
−𝟏 < 2 𝑓(−1) = 5; 𝑓(2) = −1; 5 > −1 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒇(−𝟏) > 𝑓(𝟐)
𝟑 < 4 𝑓(3) = −3; 𝑓(4) = −5; −3 > −5 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒇(𝟑) > 𝑓(𝟒)
* Las desigualdades cambian.
Sin embargo, como antes, no podemos asegurar con certeza que la función es
decreciente, pero el gráfico nos da una buena pista:
ii) 𝒚 = (𝟏
𝟐)𝒙
iii) 𝒚 = −√𝒙
Como puedes observar, en el gráfico de una función decreciente, la curva
“baja” de izquierda a derecha en el plano cartesiano.
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iv) Caso especial:
En el dibujo, se puede notar que la función es decreciente en el intervalo
[−4,−2[, es constante en el intervalo [−2, 3], y otra vez decreciente en el
intervalo ]3, 6]. Nos interesa el intervalo [−2, 3]; como en el análisis anterior, para
verificar que es decreciente es necesario que cumpla:
𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒚); pero como:
𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒚) 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) > 𝑓(𝒚) 𝒐 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚) ;
La definición se ajusta perfectamente al intervalo en que la función es constante.
Luego, una función constante en un intervalo I también es decreciente en I.
* Conclusión: Una función que es constante en un intervalo I, es creciente y
decreciente a la vez en I.
Toma un respiro y vamos con otras definiciones:
Definición.- Se dice que una función definida sobre un
intervalo 𝑰 es estrictamente creciente, si cumple con: 𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) < 𝒇(𝒚).
Definición.- Se dice que una función definida sobre un
intervalo 𝑰 es estrictamente decreciente, si cumple con: 𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝒙) > 𝒇(𝒚)
FUNCIONES
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¿En qué se diferencian estas dos definiciones de las ya anotadas anteriormente?
Pues precisamente en los signos de desigualdad, fíjate bien y compara.
Analizando estos conceptos:
Si una función 𝒇 es estrictamente creciente (estrictamente
decreciente) sobre un intervalo𝑰, entonces esta función es
creciente (decreciente) sobre el intervalo, pero una función
creciente (decreciente) no es necesariamente estrictamente
creciente (estrictamente decreciente) en el intervalo.
Se dice que una función𝒇 es monótona sobre un intervalo 𝑰si 𝒇es
creciente o decreciente sobre el intervalo 𝑰.
Se dice que una función 𝒇 es estrictamente monótona sobre un
intervalo 𝑰 si 𝒇 es estrictamente creciente o estrictamente
decreciente sobre el intervalo 𝑰.
El gráfico de una función estrictamente monótona no presenta
líneas horizontales.
Hay que notar que la noción de creciente o decreciente,
estrictamente o no, está relacionada con el intervalo escogido, por
ejemplo, la función del gráfico siguiente, no es creciente ni
decreciente (no es monótona) en el intervalo [𝑎, 𝑏], pero es
estrictamente monótona decreciente en [𝑎, 𝑐] y estrictamente
monótona creciente en [𝑐, 𝑏]:
Ejemplos:
FUNCIONES
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Puedes construir más ejemplos para que te acostumbres a las nociones
precedentes, hazlo a mano y también con la ayuda de una computadora o
calculadora gráfica, en matemática es imprescindible explorar nuevos
conocimientos, no importa equivocarse al principio, que de los errores se
aprende.
Ahora vamos a ver cómo demostrar formalmente el crecimiento o decrecimiento
de una función; el método es bastante “algebraico”, es decir que hay un algoritmo
fácil a seguir:
Para demostrar que una función 𝒇 es creciente, tomamos un par de
números cualquiera en el dominio de definición de 𝒇, digamos 𝒙 𝒆 𝒚 , tal
que 𝒙 < 𝑦, y debemos mostrar que: 𝒇(𝒙) ≤ 𝒇(𝒚). Para probar que es
decreciente, debemos mostrar que 𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒚) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 < 𝑦.
Ejemplo: Probemos que la función: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐 es creciente:
Solución: Sea 𝒙 < 𝑦:
Estrictamente monótona creciente en ℝ+
Estrictamente monótona decreciente en ℝ
Ni creciente ni decreciente en [−4, 7]
Estrictamente creciente en [−6,4]
Estrictamente decreciente en [−2,3]
Constante en ℝ
FUNCIONES
27
Multiplicando por 3 a los dos miembros de la desigualdad se obtiene: 𝟑𝒙 < 3𝒚
Restando 2 a los dos miembros de la desigualdad se tiene: 𝟑𝒙 − 𝟐 < 3𝒚 − 𝟐
Pero 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐; 𝒇(𝒚) = 𝟑𝒚 − 𝟐; por lo tanto:
𝒇(𝒙) < 𝑓(𝑦), que es lo que queríamos probar, luego 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐 es creciente.
Otra forma: mostrar que 𝒇(𝒙) < 𝑓(𝑦) es lo mismo que mostrar que:
𝒇(𝒚) − 𝒇(𝒙) > 0, para lo cual, según la definición de 𝒇se tiene que:
𝒇(𝒚) − 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒚 − 𝟐 − (𝟑𝒙 − 𝟐) = 𝟑𝒚 − 𝟑𝒙 = 𝟑(𝒚 − 𝒙)
Pero como 𝒙 < 𝑦, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 − 𝒙 > 0por lo tanto 𝟑(𝒚 − 𝒙) > 0, entonces
𝒇(𝒚) − 𝒇(𝒙) > 0; De lo cual concluimos que: 𝒇(𝒙) < 𝑓(𝑦); entonces la función es
creciente.
*Puedes escoger cualquiera de las dos formas
Ejemplo: Mostremos que 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏 es decreciente:
Solución: Sea 𝒙 < 𝑦:
Multiplicando por -4 a los dos miembros de la desigualdad se obtiene:
−𝟒𝒙 > −4𝒚 (No te olvides que al multiplicar por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido)
Sumando 1 a los dos miembros de la desigualdad obtenemos:
−𝟒𝒙 + 𝟏 > −4𝒚 + 𝟏
Pero 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏, 𝒇(𝒚) = −𝟒𝒚 + 𝟏 por lo tanto:
𝒇(𝒙) > 𝑓(𝑦), que es lo que queríamos probar, luego 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏 es
decreciente.
Como tarea, prueba el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) =5
4𝑥 − 9 b) 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 𝑥
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, sugerencia para esta función: considerar dos intervalos:[−∞, 0] y
[0, +∞]
Como ves, es indispensable conocer las propiedades de las desigualdades y, a
partir de 𝒙 < 𝒚 vas construyendo 𝒇(𝒙) y 𝒇(𝒚), al final los comparas y listo. Los
gráficos son de gran ayuda, usa el DeadLine.
Máximos y Mínimos
Estos conceptos matemáticos también se ajustan al lenguaje ordinario,
escuchamos frecuentemente: La Liga, al ganar la Copa Libertadores es “lo
FUNCIONES
28
máximo”; ayer la temperatura “mínima” en Quito fue 10 grados y la “máxima” de
21 grados; los préstamos hipotecarios tendrán un monto “máximo” de 70000
dólares; la nota “mínima” para pasar de año es de 28 puntos sobre 40, etc.
La idea intuitiva de “máximo” es el valor más grande
que se pueda alcanzar en una determinada
situación; la de “mínimo”, es el valor más pequeño.
Pero, ahora nos toca definirlo matemáticamente,
toma aire y…
Definición:
MÁXIMO.- Sea 𝒇 una función definida sobre un
intervalo 𝑰, sea𝒂 un número real que pertenece a
𝑰.Decir que 𝒇 tiene un máximo en 𝒂, o que 𝒇(𝒂) es
el máximo de 𝒇 en 𝑰, significa que: para todo 𝒙
elemento de 𝑰, 𝒇(𝒂) ≥ 𝒇(𝒙)
Definición:
MÍNIMO.-Sea 𝒇 una función definida sobre un intervalo 𝑰, sea 𝒃 un número real
que pertenece a 𝑰.Decir que 𝒇 tiene un mínimo en 𝒃, o que 𝒇(𝒃) es el mínimo
de 𝒇 en 𝑰, significa que: para todo 𝒙 elemento de 𝑰, 𝒇(𝒃) ≤ 𝒇(𝒙)
Esto quiere decir que el máximo de una función 𝒇 es el valor más alto que puede
alcanzar 𝒇 en el intervalo 𝑰, el mínimo en cambio es el menor valor de todos los
valores de 𝒇 en el intervalo 𝑰.
Interpretación gráfica
MÁXIMO:
Espacio para la
publicidad:
"El razonamiento se
hace por el sentimiento
que nos produce en la
mente la evidencia de la
verdad, sin necesidad de
norma o regla alguna"
Frase del matemático francés
Jean Marie Duhamel (1797-
FUNCIONES
29
MÍNIMO:
El punto 𝑩(𝒃, 𝒇(𝒃)) es el punto más bajo de la curva, 𝒇 tiene un mínimo en 𝒃;el
mínimo es 𝒇(𝒃).
Veamos el siguiente caso, es una función definida a trozos, sobre el intervalo
El punto 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) es el punto más alto de la curva, 𝒇 tiene un máximo en
𝒂; el máximo es 𝒇(𝒂).
FUNCIONES
30
Esta función está definida en el intervalo [𝟎, 𝟖].
o En el intervalo [𝟎, 𝟖], la función tiene un máximo en x = 2, ese máximo es 5.
o En el mismo intervalo: [𝟎, 𝟖], el mínimo es 1, para x = 0y x = 5. o En el intervalo [𝟎, 𝟐], el mínimo es 1, para x = 0, el máximo es 5, para
x = 2.
o En el intervalo [𝟐, 𝟓], el mínimo es 1, para x = 5, el máximo es 5, para x = 2.
o En el intervalo [𝟓, 𝟖], el mínimo es 1, para x = 5, el máximo es 3, para x = 8.
Con esto, hay que notar que las nociones de máximo y mínimo están
relacionadas con el intervalo a considerarse, además vemos que alguna
función puede alcanzar su máximo o mínimo en varios puntos.
Una pregunta: ¿será que todas las funciones tienen máximos y mínimos?
La respuesta es obviamente NO, ejemplos:
i. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 no tiene máximo ni mínimo en ℝ
ii. 𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙 no tiene máximo ni mínimo en ℝ.
Otros ejemplos:
iii. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 tiene mínimo en 0, pero no tiene máximo en ℝ.
iv. 𝒇(𝒙) = −√𝒙 + 𝟐 tiene máximo en 0, pero no tiene mínimo en ℝ
v. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 , definida en el intervalo [𝟎, 𝟐𝝅]tiene un máximo en 𝝅
𝟐, cuyo
valor es 1, y tiene un mínimo en 𝟑𝝅
𝟐, cuyo valor es -1.
¡Compruébalo con la ayuda de la calculadora o un programa de gráficos, el
programa GeoGebra: http://geogebra.softonic.com/ también es muy bueno!
Simetrías
FUNCIONES
31
Funciones: Pares, Impares, Periódicas
SIMETRÍA.- La simetría es un concepto también asociado a la realidad, en la
naturaleza encontramos algunos ejemplos: muchas flores tienen dispuestos sus
pétalos de forma “simétrica”, el cuerpo humano es “simétrico”, algunas figuras
geométricas son “simétricas”, etc.
La idea intuitiva asociada al concepto de simetría es el espejo. Pero tenemos
que definirla matemáticamente, para lo cual consideramos dos tipos de
simetría:
A. Simetría axial.- Se dice que dos puntos A y
B son simétricos respecto a un eje d,
llamado “eje de simetría”, si d es la
mediatriz del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
En el plano cartesiano, los ejes de simetría suelen
ser precisamente el eje x y el eje y.
B. Simetría central.- Dos puntos M y N son
simétricos respecto a un punto O, si O es la
mitad del segmento 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅.
Igualmente, en el plano cartesiano, el origen de
coordenadas suele ser el punto de simetría central.
Sea 𝒇 una función definida sobre un intervalo 𝑰, entonces aprendamos las
siguientes definiciones:
FUNCIONES
32
Función par
I está centrado en cero y para todo x elemento
de I, se tiene que:
𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙)
El eje de las ordenadas
(eje y) es el eje de simetría de la curva
Función impar
I está centrado en cero y para todo x elemento
de I, se tiene que:
𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)
El origen de
coordenadas es el centro de simetría de la
curva
Función periódica
El dominio de definición de f es y para todo x elemento de , se tiene
que:
𝒇(𝒑 + 𝒙) = 𝒇(𝒙)
Donde p es un número real, llamado período de
f
La curva es “invariante” por traslación horizontal
Notas: muchas funciones no son ni pares ni impares, en particular, no lo son las
funciones cuyo conjunto de definición no esté centrado en cero, por ejemplo, el
intervalo: [−3, 3], está centrado en cero, mientras el intervalo [−2,5] no lo está.
Ahora ¿cómo reconocer si una función es par o impar? Nos ayudará el esquema
siguiente:
FUNCIONES
33
Ejemplos:
Estudiar la “paridad” de las siguientes funciones:
1.-𝒇(𝒙) =𝟒
𝒙𝟐+𝟏, definida sobre ℝ
Calculamos inmediatamente: 𝒇(−𝒙) =𝟒
(−𝒙)𝟐+𝟏=
𝟒
𝒙𝟐+𝟏= 𝒇(𝒙)
Luego, la función es par.
2.- 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑−𝒙
𝒙𝟐−𝟗, definida sobre ℝ− {𝟑,−𝟑}
Calculamos 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑−(−𝒙)
(−𝒙)𝟐−𝟗=−𝒙𝟑+𝒙
𝒙𝟐−𝟗= −𝒇(𝒙)
Luego la función es impar.
3.- 𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔, definida sobreℝ− {𝟐, 𝟑}
Calculando 𝒇(−𝒙) =𝟏
(−𝒙)𝟐−𝟓(−𝒙)+𝟔=
𝟏
𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟔≠ 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙)
Luego la función no es par ni es impar.
* La función seno es periódica de período 𝟐𝝅, puesto que: 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝟐𝝅) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙),
(comprueba con algunos valores en la
calculadora). Más adelante veremos con
detalle estas funciones. Pero si puedes
contestar la pregunta siguiente: ¿el seno es
par o impar? Construye el gráfico y deduce.
Sentido de Variación de una Curva.-
Analicemos la curva siguiente:
Cálculo de f(-x) f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)f no es par ni
es impar
f es imparf es par
Un chistecito gringo:
FUNCIONES
34
La función 𝒇 que representa esta curva, está definida en el intervalo [𝟎, 𝟏𝟎], en
el cual no es creciente ni decreciente, pero si la analizamos por sub-intervalos
veremos mejor su comportamiento: en el intervalo [𝟎, 𝟓]𝒇 es estrictamente
decreciente, en el intervalo [𝟓, 𝟕] es constante y en el intervalo [𝟕, 𝟏𝟎]𝒇 es
estrictamente creciente.
De esta manera hemos estudiado el “sentido de variación” de la curva que
representa la función. Es decir, hemos encontrado los intervalos en los que la
curva es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante. Pero
esto lo podemos simplificar con una tabla, llamada tabla de variación de la
función, para el ejemplo anterior quedaría así:
x 0 5 7 10
f
4 4
1 1
Como aplicación, encuentra la tabla de variación de la siguiente curva:
FUNCIONES
35
Pero, en la mayoría de casos, nos dan la tabla de variación y se pide construir la
curva, como vemos en este ejemplo:
Construye la curva de una función que tiene la tabla de variación siguiente:
x -4 0 2 5
f
3
-2 -1 -1
Como pueden ver, la representación anterior coincide con lo planteado en la
tabla de variación.
FUNCIONES
36
Claro que la curva también podría ser así:
Es decir, hay infinidad de curvas que se pueden dibujar con esa tabla de
variación. Entonces el método de la tabla es una manera solo aproximada de
dibujar la curva, pero en todo caso es muy útil para ver su “comportamiento” en
forma general, es decir su monotonía en cada intervalo. Además no necesitamos
conocer la ley de la función.
Tracemos ahora una curva por otro método, el llamado “punto por punto”:
Sea la función: 𝒇(𝒙) =−𝟒𝒙−𝟑
𝒙𝟐+𝟏, definida sobre el intervalo [−𝟕, 𝟕]
El método consiste en construir una tabla de valores de la siguiente manera:
X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
y 0.5 0.55 0.65 0.75 0.9 1 0.5
0 1 2 3 4 5 6 7
-3 -3.5 -2.2 -1.5 -1.1 -0.9 -0.75 -0.6
Se han colocado en la fila se las x, los valores enteros entre -7 y 7, en la fila de
las y, se han colocado los valores obtenidos con UNA CALCULADORA
programable, con una aproximación de 2 centésimas, siguiendo la fórmula:
𝒇(𝒙) =−𝟒𝒙−𝟑
𝒙𝟐 ; la secuencia de teclas es la siguiente:
( (-) 4 × 𝒙 - 3 ) ÷ (
𝒙 ^ 2 + 1 )
¡Comprueba los valores de la tabla!
Observemos y analicemos los valores obtenidos:
FUNCIONES
37
De -7 a -2, la variación no es muy importante, los valores de la función
crecen “despacio” desde 0.5 a 1.
De -2 a -1 hay un “pequeño” decrecimiento; en cambio de -1 a 0, el
decrecimiento es más “rápido”. Calculemos por ejemplo: 𝑓(−0.5) = −0.8
y 𝑓(−0.25) = −1.9
Podemos deducir que la función tiene un máximo que es 1, para x = -2,
se puede observar que al calcular 𝑓(𝑥) para valores “próximos” a -2, nos
dan números menores que 1. Pero –¡cuidado!-, no está demostrado
formalmente que 1 es el máximo; para ello habría que demostrar que
𝑓(𝑥) ≤ 1 para todos los x que pertenecen a [−𝟕, 𝟕]
Según la tabla, la función tiene el valor más pequeño: -3.5, para x =1, pero
por si acaso calculemos algunos valores más:
𝑓(0.4) = −𝟑. 𝟗𝟔 baja a 𝑓(0.5) = −𝟒 sube a 𝑓(0.6) = −𝟑. 𝟗𝟕
Deducimos que hay un mínimo en 0.5, este valor es -4.
Ahora ya podemos dibujar la curva
Bueno aquí nos paramos de tanta teoría y nos vamos a hacer
algunos ejercicios, lo cual es muy necesario para reafirmar la
teoría. Aquí se necesita tu mayor concentración, si no sabes
alguna pregunta, revisa nuevamente la teoría, no te rindas frente
a un problema, algunos son más difíciles que otros, pero TODOS
SON RESOLUBLES.
FUNCIONES
38
Ejercicios Propuestos
CONTESTA VERDADERO O FALSO:
1. La “relación” que une a un padre con sus dos hijos ¿es una función?
2. Si x es un elemento del conjunto de definición de 𝒇, entonces 𝒇(𝒙)siempre
existe.
3. Sea A (-3,2) un punto de una curva que representa a la función 𝒇,
entonces es verdad que 𝒇(−𝟑) = 𝟐.
4. Las pre-imágenes de una función está en el eje de las ordenadas.
5. Una función que no es par, entonces es impar.
IDENTIFICACIÓN GRÁFICA:
1. Observar las curvas siguientes:
a) Indicar cuáles curvas representan una función (sugerencia: Si trazas una
línea vertical en cualquier parte del plano, para que la curva represente a
una función, ésta debe cortar en un SOLO PUNTO a la curva).
b) ¿Cuáles son pares, impares?
c) Para cada curva encontrar el conjunto de definición.
FUNCIONES
39
2. Observa la curva del gráfico, definida en [−5, 5] y contesta lo siguiente:
i. Realiza la tabla de variación de la función
ii. ¿Cuál es el máximo, cuál es el mínimo en el intervalo [−5, 5]?
iii. ¿Cuál es el mínimo en el intervalo [−5,−1]?, ¿Cuál es máximo en el
intervalo [2, 5]?
iv. Encuentra los siguientes valores de la función: 𝑓(−5), 𝑓(5), la función es
¿par, impar?
v. Si 𝑓(𝑥) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 =?
vi. Traza otra curva con la misma tabla de variación de esta función.
3. En el gráfico que sigue se han trazado unas curvas que representan la talla y
el peso de los muchachos y las muchachas entre 0 y 18 años.
Las dos curvas superiores indican las tallas y las dos inferiores indican el peso.
Las curvas que indican a las muchachas están en rojo, las de azul indican a los
muchachos y la verde indica los pesos de un muchacho con desnutrición.
FUNCIONES
40
Nota que hay dos ejes de ordenadas, la de la izquierda indica las tallas en cm y
la de la derecha indica los pesos en kg.
PREGUNTAS:
a) ¿Cuáles curvas son estrictamente crecientes?, ¿cuáles son crecientes,
decrecientes?, ¿ninguna de las dos? En el intervalo [1, 18]
b) Indicar el máximo y el mínimo en el intervalo [1, 18] de cada una de las
cinco curvas representadas, precisar la edad.
c) Un chico desnutrido pesa 35 kg, ¿qué edad tiene?
d) Comparar la manera de crecer en talla y en peso entre los muchachos y
las muchachas.
e) Busca tu edad y encuentra tu peso y tu talla.
f) Definimos una nueva función llamada 𝑔, donde 𝑔(𝑥) es el peso de un
muchacho de edad 𝑥, y sea 𝑚(𝑥) el peso de un muchacho de edad 𝑥 que
tiene desnutrición, entonces, sea la función:
𝑑(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 𝑚(𝑥)
FUNCIONES
41
Encontrar aproximadamente los valores 𝑑(15), 𝑑(17), 𝑑(8). Saca alguna
conclusión.
¿En qué intervalos la curva que representa a la función 𝑑 es creciente,
decreciente? Concluye algo interesante.
4. Un problema de Física
El gráfico que se muestra a continuación representa la variación de la distancia
en función del tiempo 𝒅(𝒕), realizada por un móvil M. también se da una tabla de
datos, en la cual se tiene valores del tiempo 𝒕, expresado en segundos y su
respectiva distancia 𝒅(𝒕), expresada en metros.
𝒕 0 2 5 10 15 20 30 40 50
𝒅(𝒕) 0 19 29 42 56 61 78 88 98
Recordemos que la velocidad media �̅� de un móvil, entre los instantes:
𝒕𝟏 𝒚 𝒕𝟐 está definida como el cociente entre la variación de la distancia recorrida
y el tiempo utilizado, es decir: �̅� =𝒅(𝒕𝟏)−𝒅(𝒕𝟐)
𝒕𝟐−𝒕𝟏
Veamos lo que se puede concluir de los datos anteriores:
a. ¿El móvil recorre la misma distancia en iguales intervalos de tiempo?, es
decir, el movimiento ¿es uniforme? Sugerencia: fíjate en la tabla, por
ejemplo en el intervalo entre 5 y 10 segundos, ¿es la misma distancia que
el intervalo entre 10 y 15, o 15 y 20?, etc.
FUNCIONES
42
b. ¿Recorre más metros durante los primeros cinco segundos que durante
los diez últimos?, es decir ¿es mayor la velocidad en el intervalo de
tiempo[0, 5]que sobre el intervalo [40, 50]?
c. De acuerdo al gráfico, la velocidad del móvil: ¿tiende a disminuir?, ¿a ser
constante?, verificar con la tabla.
d. Según el gráfico y la tabla, ¿cuál es el intervalo de tiempo en que el móvil
tiene mayor velocidad?
e. ¿Cuál es la velocidad media en el intervalo [0, 20]?, ¿en el intervalo
[0, 50]?
f. Supongamos que otro móvil N, se mueve con la misma velocidad que el
móvil M en el intervalo [0, 20], es decir el móvil N se mueve con esa
velocidad constante desde el tiempo 𝑡 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑡 = 20, sin hacer
cálculos, directamente sobre el gráfico, traza la curva que representa la
función 𝑔(𝑡), que es la distancia en metros que recorre el móvil N en el
tiempo 𝑡.
5. a) 𝒇 es una función creciente en el intervalo [𝟑, 𝟕], ¿por qué f(3) es el mínimo
en el intervalo [𝟑, 𝟕]? ¿Por qué f (7) es el máximo en el mismo intervalo?
b) 𝒈 es una función decreciente en el intervalo [−𝟒, 𝟓], ¿por qué f(-4) es el
máximo en el intervalo [−𝟒, 𝟓]? ¿Por qué f (5) es el mínimo en el mismo
intervalo?
6. 𝒇 es una función definida en ℝ, f es creciente sobre ℝ, tal que f(0) = 1, ¿se
puede decir que es cierto que: si 𝑥 ≥ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≥ 1?
7. 𝒇 es una función estrictamente creciente en el intervalo [𝑎, 𝑏], es cierto o falso
lo siguiente: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑛]𝑎, 𝑏[ se tiene que: 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑏)
8. Indicar la monotonía (decir si es creciente, decreciente, estrictamente o no) de
las siguientes funciones:
I. 𝑥 ⟼ 3𝑥 − 4
II. 𝑥 ⟼ 3𝑥 + 1
III. 𝑥 ⟼ 3− 𝑥
FUNCIONES
43
IV. 𝑥 ⟼ 12
V. 𝑥 ⟼4
3𝑥 + 5
VI. 𝑥 ⟼ −1
2𝑥 − 3
¿Las funciones I y II, tienen la misma monotonía?
9. Dada la siguiente tabla de variación de una función, hacer dos gráficos
aproximados de la misma.
X -2 0 3 6
F
5 0
-1 -3
10. Sea la función 𝑓 sobre ℝ, definida por 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙.
a. Verificar que 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒚) = (𝒚 − 𝒙)(𝒙 + 𝒚 − 𝟐)
b. Demostrar las dos propiedades siguientes:
{𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 ≤ 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 𝑦 < 2𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 𝑦 > 2
c. Deducir de a. y b. que 𝑓 es estrictamente creciente en el intervalo ]−∞, 𝟏]
y que es estrictamente decreciente en el intervalo[𝟏,+∞[. Hallar la tabla
de variación de la función.
d. Resolver la ecuación: −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎(factora e iguala a cero cada factor).
e. Utiliza c. y d. para resolver la inecuación:−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 > 0.
11. Resolver lo siguiente:
i. ¿Qué número real es igual a su opuesto? Deducir la función definida sobre
ℝ, que es a la vez par e impar.
ii. f es una función impar, definida sobre el intervalo [– 𝑎, 𝑎], entonces,
demostrar que 𝑓(0) = 0
FUNCIONES
44
iii. Demostrar que si f es creciente sobre el intervalo [0, 𝑎], entonces 𝑓
también es creciente en el intervalo [−𝑎, 0].
iv. Demostrar que si f es decreciente sobre el intervalo [0, 𝑎], entonces 𝑓
también es decreciente en el intervalo [−𝑎, 0].
v. Analizar lo mismo si 𝑓 es par.
12. Sea 𝑓 una función definida sobre el intervalo [– 𝑎, 𝑎]. Sobre este intervalo,
consideremos las funciones 𝑔 𝑦 ℎ definidas así:
𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)
2
ℎ(𝑥) =𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)
2
a. Determinar las funciones 𝑔 𝑦 ℎ cuando: 𝑓 es par, 𝑓 es impar.
b. Estudiar la paridad de 𝑔 𝑦 ℎ en una forma general.
13. Para cada par de números reales 𝑥1 𝑦 𝑥2tal que: −2 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 9, se
tiene:𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2).
a) ¿Qué se puede decir de la monotonía de esta función?
b) f es una función definida sobre [−4, 5] y tal que: 𝑓(−3) = 4 𝑦 𝑓(4) = 6,
¿Se puede decir que la función es creciente en [−4, 5]? Justificar.
c) Se sabe que 𝑓(2) = 5, y que para todo real 𝑥 del intervalo [2, 8] se tiene
que 𝑓(𝑥) ≤ 5. ¿Se puede decir que esta función es decreciente en [2, 8]?
Justificar.
14. Dibujar las siguientes curvas:
i. Decreciente en [−2, 3] y creciente en [3,5]
ii. 𝑓 está definida en el intervalo [0, 7], tal que : sea decreciente en [0, 4],
decreciente en [4, 7], pero no estrictamente decreciente en [0, 7]
iii. 𝑓 es creciente en el intervalo [2, +∞], y tal que, para todo 𝑥 del conjunto
de definición: −4 ≤ 𝑓(𝑥) < 3
iv. 𝑓 es una función decreciente sobre los números negativos y tal que para
todo 𝑥 ≤ −2, se tiene que 𝑓(𝑥) ≥ 0
15. Considera la curva de la función 𝑓𝑛 en el gráfico siguiente:
FUNCIONES
45
a) Encontrar el conjunto de definición de 𝑓.
b) Resolver gráficamente las ecuaciones: 𝑓(𝑥) = 5 ; 𝑓(𝑥) = −2 ; 𝑓(𝑥) =
0.
c) Encontrar los puntos de las abscisas donde la imagen es negativa.
d) Resolver gráficamente: 𝑓(𝑥) ≥ 0.
16. Una función definida a trozos tiene la forma siguiente:
𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 25 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
Se ha representado dicha función en cada una de sus partes para que puedas
observar cómo se grafica este tipo de funciones cuya curva de definición no tiene
un comportamiento igual en todo su dominio.
FUNCIONES
46
a. ¿Hay máximo?, ¿hay mínimo?, ¿cuáles son?
b. ¿En qué intervalos es creciente?, ¿en qué intervalos es decreciente?
c. Si la función se “anula”, ¿en qué puntos?
d. ¿En qué intervalos es positiva?, ¿en qué intervalos es negativa?
e. ¿Cuál es su conjunto imagen?
17. Un problema de medicina
Se inyecta a un ratón de laboratorio por vía intramuscular una sustancia
inofensiva que pasa del músculo a la sangre y es eliminada enseguida por los
riñones. El gráfico siguiente muestra la variación de la cantidad de sustancia 𝑆(𝑡)
en gramos por litro presente en la sangre en el instante 𝑡(en segundos). Observar
el gráfico para responder estas preguntas:
FUNCIONES
47
(Considera que el proceso de asimilación de la sustancia sucede en el intervalo
de 0 a 18 segundos, mientras que el proceso de eliminación sucede a partir de
los 18 segundos en adelante.)
a. ¿Cuál es la cantidad máxima de sustancia que pasa a la sangre?, ¿en
qué tiempo?
b. ¿A partir de qué momento comienza la eliminación de la sustancia?
c. ¿El tiempo de la asimilación de la sustancia es más largo o más corto que
la eliminación? ¿por qué?
d. ¿Cuál es el tiempo de paso de 1.5 g a 2.3 g en el proceso de asimilación?
¿Cuál es el tiempo de paso de 2.3 g a 1.5 g en el proceso de eliminación?
Compara los dos tiempos.
18. Demostrar que la función 𝒇: 𝒙 ↦ 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔, es estrictamente decreciente
en el intervalo]−∞, 4], y es estrictamente creciente en el intervalo [4, +∞[,
construye la tabla de variación y dibuja la curva.
19. Un problema de Física
Un proyectil se lanza desde el suelo , designamos por ℎ(𝑡) la altura en metros al
instante 𝑡 en segundos, los físicos estiman que la altura del objeto responde a la
ley siguiente: ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 100𝑡.
a) ¿En qué instante el proyectil regresará al suelo?
b) Demostrar que la función ℎ(𝑡) es estrictamente creciente en el
intervalo [0, 10] y es estrictamente decreciente en el intervalo [10, 20].
c) ¿Cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?
d) ¿En qué tiempo llegó a esa altura?
e) Acuérdate de las clases de Física y responde: ¿cuál es la velocidad
inicial con la que se lanzó el proyectil?, ¿qué valor aproximado de g
(aceleración de la gravedad) se ha tomado en la fórmula de ℎ(𝑡)?
f) Dibuja la curva.
20. Vamos por la Ecología, tema tan de moda en estos tiempos
FUNCIONES
48
En base de los valores que proporciona el estudio de la evolución de las fuentes
de energía en el mundo desde 1950 a 1985 elaborar la tabla de variación de
cada función:
1. A partir de 1980, ¿qué pasó con el consumo del carbón y la madera?
2. ¿Qué función tendió a crecer más rápidamente?
3. ¿En qué año se presentó la máxima producción de carbón?
4. ¿Por qué tendió a disminuir el consumo de la madera?
21. La relación que une a cada número real con su cuadrado ¿es una función?
V____ F____
22. Si el punto P (3, 2) pertenece a la curva de la función 𝒇 , entonces se verifica
que: 𝒇(𝟐) = 𝟑. V____ F____
23. El dominio de una función es un subconjunto del eje de las x. V____ F____
24. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙, entonces 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) V____ F____
FUNCIONES
49
25. En una relación 𝒉 se tiene 𝒉(𝟐) = 𝟒 𝒚 𝒉(𝟐) = 𝟔, entonces no es una función
V_____ F____
26. En el gráfico se representa la distancia recorrida por los ciclistas en la Vuelta
a la República del Ecuador en la etapa Quito - Santo Domingo, de la manera
siguiente:
a) ¿A qué hora salen?_______, ¿A qué hora llegan?_______
b) Suponiendo que tienen velocidad constante en cada hora, calcula la
velocidad en cada tramo: 10-11:_____km/h; 11-12:____km/h; 12-
13____km/h; 13-14_____km/h; 14-15____km/h; 15-16____km/h
c) ¿Dónde y a qué hora hay la mayor cuesta?: hora_______; Km_______
d) ¿Dónde y a qué hora hay la mayor bajada?: hora_______; Km_______
27. Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 20 cm de lado, se recorta
en cada esquina un cuadrado de 𝒙 cm de lado y luego se dobla para fabricar una
caja.
a) Expresar el volumen de la caja en función de 𝑥 : 𝑽(𝒙) =
________________________
b) Hallar el dominio de𝑽: 𝑫𝑽 = {𝒙|______________________________}
Nota: El volumen de la caja es igual a la superficie de la base por la altura
FUNCIONES
50
28. Una agencia de alquiler de autos propone dos
tarifas diarias a sus clientes para alquilar un auto:
Primera: $50 fijos más $0.5 por kilómetro. Segunda:
$25 fijos más $1.5 por kilómetro. Llamemos 𝒙 al
número de kilómetros recorridos en el día, 𝒇(𝒙)al
precio que se pagaría en la primera tarifa; 𝒈(𝒙) al
precio que se pagaría por la segunda tarifa.
a) Encontrar 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙); 𝒇(𝒙) =
_______________________𝒈(𝒙) = _____________________
b) Suponiendo que se recorra 500 km en el día,
¿Cuál de las dos tarifas es más conveniente? Explicar:
(se sugiere hacer un gráfico en la parte de atrás)
29. Hallar el dominio de las siguientes funciones:
a) 𝒇(𝒙) =𝟐𝒙
𝟑𝒙−𝟐, 𝑫𝒇 =
___________________________________
b) 𝒇(𝒙) =𝒙+𝟓
𝒙𝟐−𝟏𝟎𝟎, 𝑫𝒇 =
_________________________________
c) 𝒇(𝒙) =𝟓
𝟒𝒙+𝟐+𝟓𝒙
𝒙, 𝑫𝒇 =
_________________________________
d) 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 − 𝟗, 𝑫𝒇 =
_________________________________
e) 𝒇(𝒙) =𝟔
√𝟕−𝟏𝟒𝒙 𝑫𝒇 =
__________________________________ 30. Dados los siguientes gráficos, encontrar el dominio y el conjunto imagen
Operaciones con Funciones:
Paréntesis cultural: Galois
Galois fue un matemático genial
que no es conocido por el público en
general. Su obra pertenece al
campo del Análisis Matemático que
no está entre los contenidos de la
escuela primaria ni secundaria,
quedando al margen de los estudios
básicos de cultura general. Su
genio le permitió dejar una obra de
inestimable valor habiendo vivido
sólo 21 años. Su vida se desarrolló
en Francia a comienzos del siglo
XIX en uno de los turbulentos
períodos de la historia de Europa.
Evaristo Galois nació en Bourg-
la-Reine el 25 de octubre de
1811. A los doce años ganó una
beca para estudiar en el Colegio
de Reims y al poco tiempo se fue
a París para estudiar en el Liceo
Luis-le-Grand, donde con sus
escasos doce años discutía
violentamente sobre el destino
político de Francia. En realidad la
política era el tema que lo volvía
agresivo y por lo demás era un
adolescente soñador; gustaba de
la literatura, sin por esto
descuidar su inclinación ya
notable por la matemática.
Con solo 13 años estudió la
geometría de Legendre, y en
pocos meses asimiló su
contenido. Buscó aprender
álgebra así que se puso a
desentrañar la obra de Lagrange.
Estos dos matemáticos,
Legendre y Lagrange, influyeron
notablemente en su pasión por la
matemática y entonces se
propuso prepararse para el
ingreso a la Escuela Politécnica
FUNCIONES
51
Las funciones, al igual que los números también se pueden “combinar” con varias
operaciones para producir otras funciones, vamos a estudiar algunas de estas
operaciones:
SUMA Y RESTA DE FUNCIONES:
Para poder sumar o restar dos funciones es necesario que ambas tengan el
mismo dominio de definición𝑫, de esta forma definimos:
Sean 𝒇 𝑦 𝒈dos funciones con el mismo dominio de definición𝑫, entonces la suma
de 𝒇 y𝒈simbolizada: 𝒇 + 𝒈tiene la ley:(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), donde
𝒙 pertenece a 𝑫
Sean 𝒇 𝑦 𝒈dos funciones con el mismo dominio de definición 𝑫, entonces la resta
de 𝒇y𝒈 simbolizada: 𝒇 − 𝒈 tiene la ley:(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), donde
𝒙 pertenece a 𝑫
Ejemplos:
1. Sean 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐, y 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 entonces: (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 4𝑥2 + 5𝑥 − 6
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟒
FUNCIONES
52
Gráficos:
1. Sean 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐;
𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 . Entonces:
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 6
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟖
Gráficos:
de París sin dejar, por supuesto
las otras actividades. Intervenía
en las discusiones artísticas. En
el año 1827, Galois fracasó en su
intento de ingresar a dicha
institución, así que se dedicó a
preparar una memoria con sus
trabajos y la presentó por su
cuenta en la Academia de
Ciencias. Sus apuntes sobre la
teoría de ecuaciones algebraicas
fueron olvidados sin que nunca
más se supiera de ellos; algunos
argumentan que por celos
profesionales, otros que los
prejuicios de la época fueron los
causantes. Al año siguiente volvió
a dar el examen de ingreso a la
Politécnica. Esta vez no consiguió
entenderse con los profesores
que le tomaron el examen y se
puso a corregir las preguntas que
le hacían sobre la teoría de
logaritmos; es muy probable que
Galois, a esa altura, supiera
mucho más que sus profesores.
Pero claro, a ellos no les gustó la
observación del aspirante y le
llamaron seriamente la atención
con lo cual Galois ya no pudo
dominar su temperamento, les
tiró el borrador por la cabeza y
se fue diciendo que eran unos
"ganapanes de la enseñanza" y,
por supuesto, tampoco esa vez
pudo ingresar a la Politécnica de
París. Abandonó para siempre la
posibilidad del ingreso a la
Politécnica y se dedicó a entrar
en la Escuela Normal que había
sido reabierta.
Entró en la Escuela Normal el 20
de febrero de 1830. Ganarse la
incomprensión de sus maestros
fue una condición que Galois
FUNCIONES
53
3. Sean 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2(𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟐
Gráficos:
4. Sean 𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙−
𝟏
𝒙𝟐 ; 𝒈(𝒙) = −
𝟏
𝒙𝟐−𝟏
𝒙 entonces:
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =1
𝑥−1
𝑥2− (−
1
𝑥2−1
𝑥 )
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =1
𝑥−1
𝑥2+1
𝑥2+1
𝑥
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) =𝟐
𝒙
Gráficos:
conservó toda su vida de
estudiante. En la Escuela Normal
sus profesores de matemática le
tenían por un alumno inteligente,
lúcido y aceptaban que había
obtenido resultados nuevos en el
Análisis Matemático; pero los
otros le consideraban un pésimo
alumno. La atmósfera política de
la ciudad ya estaba cargada y
desde ese momento lo que siguió
fue a desembocar directamente
en la revolución de julio que
derrocó a Carlos X y puso en el
poder a Luis Felipe. Y así fue
como Galois se lanzó nuevamente
a la actividad política. Pero esta
vez sin descuidar totalmente sus
estudios matemáticos. En esta
época publicó el resultados de
algunas de sus investigaciones,
dio clases particulares de
álgebra superior, funciones
elípticas y teoría de números,
pero también se hizo tiempo para
participar de las reuniones
literarias en el Cenáculo, una
sociedad literaria famosa
fanática de Víctor Hugo que se
reunía en el salón Charles Nodier.
Así que Galois, llevado por su
temperamento extremista no
tuvo mejor idea que dejar
aclarado su punto de vista y para
eso eligió a un partidario de Luis
Felipe, nada menos que el
director de la Escuela Normal a
quien envió una explosiva carta
de protesta. Y así fue como lo
expulsaron también de la Escuela
Normal.
Por su comportamiento
apasionado en temas políticos,
sus mañas para convencer a las
masas a compartir sus ideales, y
FUNCIONES
54
Multiplicación y División de Funciones:
De la misma forma que la suma y la multiplicación, para
que dos funciones puedan multiplicarse deben tener el
mismo dominio de definición. La multiplicación entonces
sigue las mismas reglas que el producto entre números
reales; sin embargo para la división es necesario
constatar que el denominador sea diferente de cero.
Sean 𝒇 𝑦 𝒈 dos funciones con el mismo dominio de
definición 𝑫, entonces el producto de 𝒇 y 𝒈
simbolizado: 𝒇 × 𝒈 tiene la ley: (𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ×
𝑔(𝑥), donde 𝒙 pertenece a 𝑫
Sean 𝒇 𝑦 𝒈 dos funciones con el mismo dominio de
definición 𝑫, entonces la división de 𝒇 por 𝒈
simbolizada: 𝒇/𝒈 tiene la ley: (𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥),
donde 𝒙 pertenece a 𝑫 y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎
Ejemplos:
1. Sean 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 entonces:
(𝑓 × 𝑔) = (2𝑥2 − 3𝑥)(𝑥2 + 1)
(𝒇 × 𝒈) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
su continuas muestras de
desafecto por Luis Felipe, fue en
varias ocasiones tomado
prisionero, pero por cortos
períodos. Esta fue sin dudas la
causa de su temprana
desaparición física, cuando una
vez más se complicó en enredos
políticos con sus enemigos y
aceptó batirse a duelo por
motivos que nunca quedaron muy
claros. Consciente de su
desventaja ante su adversario la
noche antes del duelo escribió su
última voluntad: un testamento
científico que daría buen trabajo
a los científicos que lo
sucedieron. En él puso sus
especulaciones sobre la teoría de
grupos que había concebido en los
últimos tiempos y a las que nunca
había destinado el tiempo
suficiente para escribirlas ya que
estaba siempre involucrado en
episodios confusos. Así expuso
sus teorías en una sola noche. Al
día siguiente se enfrentó con su
adversario: duelo a pistola y a
veinticinco pasos. Recibió un
balazo en el vientre y a pesar de
recibir atención médica falleció
al día siguiente, el 31 de mayo de
1832 y fue enterrado en la fosa
común. Galois era un genio
netamente romántico. Tanto su
vida como su muerte tuvieron los
detalles del romanticismo
francés. No es casual entonces
que los temas matemáticos de su
interés hayan sido abstractos y
que incursionara en la teoría de
las estructuras mostrando así las
aspiraciones románticas de
ocuparse de ideales filosóficos
elevados.
FUNCIONES
55
Veamos los gráficos:
2. Sean 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐; 𝒈(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒) entonces:
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟑)
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
(𝒙 + 𝟑)
(𝒙 + 𝟐)
Pero: 𝒙 ≠ −𝟐 𝒚 𝒙 ≠ 𝟒,
Veamos a continuación los gráficos de dichas funciones:
Como se puede apreciar en la mayoría de los gráficos, los resultados de sumar,
restar, multiplicar o dividir pueden ser graficados de manera diferente a la que
indican sus funciones iniciales. También se puede combinar las operaciones.
Ejemplos:
Sean 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥, 𝑔(𝑥) =𝑥+1
𝑥−1, ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥
Hallar: 2𝑓 − 3𝑔 + 4ℎ:
FUNCIONES
56
Solución:
(2𝑓 − 3𝑔 + 4ℎ)(𝑥) = 2𝑓(𝑥) − 3𝑔(𝑥) + 4ℎ(𝑥)
(2𝑓 − 3𝑔 + 4ℎ)(𝑥) = 2(2𝑥2 − 4𝑥) − 3 (𝑥 + 1
𝑥 − 1) + 4(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥)
Un ejemplo interesante:
Sea𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, se pide encontrar: 𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉, donde ℎ es un número diferente de
cero.
Solución:
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ=(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ=𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉=ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ= 𝟐𝒙 + 𝒉
Tomemos un ejemplo de la vida real:
una pequeña industria produce zapatos; suponiendo que la materia prima
cuesta $7 por cada par de zapatos, se deben pagar gastos fijos, como luz,
agua y teléfono: $75; a los 3 empleados se les paga $300 mensuales, a
cada uno. Suponiendo que al mes se producen 𝑥 pares de zapatos, se
pide encontrar las fórmulas matemáticas de las siguientes funciones, 𝑭:
gastos fijos al mes; 𝑯: gastos móviles, de acuerdo al número de pares de
zapatos producidos al mes; si cada par de zapatos se vende a $20,
encontrar la función 𝑉 de dinero producido por la venta de 𝑥 pares de
zapatos, por último, se pide encontrar la función 𝐺 de ganacias al vender
𝑥 pares de zapatos.
Solución:
𝐹(𝑥) = 75 + 900, 𝑭(𝒙) = 𝟗𝟕𝟓
𝑯(𝒙) = 𝟕𝒙
𝑽(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙
𝑮(𝒙) = 𝑽(𝒙) − 𝑯(𝒙) − 𝑭(𝒙)
𝐺(𝑥) = 20𝑥 − 7𝑥 − 975
FUNCIONES
57
𝑮(𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 − 𝟗𝟕𝟓
Si vende 100 pares de zapatos, ¿cuál es su ganancia?:
𝑮(𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 − 𝟗𝟕𝟓
𝑮(𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟑(𝟏𝟎𝟎) − 𝟗𝟕𝟓 = 𝟑𝟐𝟓, luego su ganancia es: $325
¿Cuántos pares de zapatos debe vender para obtener una ganancia de por lo
menos $1000?
𝑮(𝒙) ≥ 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟑𝒙 − 𝟗𝟕𝟓 ≥ 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒙 ≥ 𝟏𝟓𝟏. 𝟗𝟐
Luego, para conseguir una ganancia de por lo menos $1000 debe vender 152
pares de zapatos o más.
Composición de Funciones
Vamos a aprender una nueva forma de operar funciones. Es un poco más
complicada que las anteriores; pero una vez que la comprendas, se te hará fácil.
Además esta operación es muy útil para muchos temas de la matemática. Toma
un respiro y va la definición siguiente:
Definición.- Sean 𝑨,𝑩 𝒚 𝑪 tres conjuntos de los números reales, sea 𝒇 una
función de 𝑨 en 𝑩, sea 𝒈 una función de 𝑩 en 𝑪, definimos entonces la función:
“compuesta de g con f”, simbolizada 𝒈 ∘ 𝒇que va de 𝑨 en 𝑪, de tal manera
que: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)),donde 𝒙 pertenece a 𝑨.
Parece un poco complicado, pero vamos analizando la definición: esta operación
se llama “composición” porque la nueva función resulta de aplicar una función en
otra, es decir, la función 𝒈 ∘ 𝒇 resulta de aplicar la función 𝒈 a la función 𝒇. En
general, si tomamos dos funciones 𝒇 𝒚 𝒈, si tomamos un elemento 𝒙 del dominio
de 𝒇, calculamos luego su imagen: 𝒇(𝒙), si este número 𝒇(𝒙) pertenece al
dominio de 𝒈, entonces podemos calcular el número: 𝒈(𝒇(𝒙)). Entonces el
dominio de la nueva función (𝒈 ∘ 𝒇)es un subconjunto del dominio de la función
𝒇 , de tal manera que 𝒇(𝒙) pertenece al dominio de 𝒈 , el conjunto imagen o
FUNCIONES
58
rango de 𝒈 ∘ 𝒇 es un subconjunto del rango de 𝒈. Podemos apreciar mejor en el
esquema siguiente:
Con un ejemplo numérico se aclara tremenda duda que tienes:
Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓, hallemos 𝒈 ∘ 𝒇
Por definición: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) Luego:
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟒(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝟓
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟗
Otro ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟏, hallemos 𝒈 ∘ 𝒇
Por definición: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) luego:
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏)
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟏
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √𝒙𝟐
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = |𝒙|
Y otro más: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 y sea 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐, hallemos 𝒈 ∘ 𝒇
Por definición: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) luego:
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = (𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙
Otro caso: De igual manera podemos definir la función 𝒇 ∘ 𝒈, que sería así:
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))
Esquema:
f(x)
g(f(x))
g o f
x
FUNCIONES
59
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓, hallemos 𝒇 ∘ 𝒈
Por definición: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) luego:
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝟒𝒙 − 𝟓)
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟑(𝟒𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟐(𝟒𝒙 − 𝟓) − 𝟏
Otro: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟏, hallemos 𝒇 ∘ 𝒈
Por definición: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) luego:
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(√𝒙 + 𝟏)
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = (√𝒙 + 𝟏)𝟐− 𝟏
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒙
Otro más: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 y sea 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐
Por definición: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) luego:
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟐)
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐
g(x)
f(g(x))
f o g
x
FUNCIONES
60
Ejercicio: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑 y sea 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐, halla 𝒇 ∘ 𝒈
Analicemos el caso inverso de las operaciones algebraicas que hemos realizado
hasta ahora en los ejemplos anteriores:
Variando los ejercicios: Dadas 𝒇 ∘ 𝒈 o 𝒈 ∘ 𝒇, hallar 𝒇 𝒚 𝒈
Sea (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = √𝒔𝒆𝒏𝒙
Vemos que: 𝒇(𝒙) = √𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙
Sea (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = √√𝒙 − 𝟏𝟑
Vemos que 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑
y 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟏
Sea (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) =𝟐
𝒕𝒂𝒏𝒙
Vemos que: 𝒇(𝒙) =𝟐
𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝒙
Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Hallar 𝒇 ∘ 𝒇.
𝒇 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒇(𝒙)) = 𝒇(𝒙𝟑) = 𝒙𝟗
¿Será cierto que la operación “composición* es *conmutativa”?, es decir que:
𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒈 ∘ 𝒇 , evidentemente y por definición: en general NO. Pero puede darse
el caso en que 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒈 ∘ 𝒇, por ejemplo:
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐; 𝒈(𝒙) =𝒙 + 𝟐
𝟑
Encontremos 𝒇 ∘ 𝒈; 𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))
𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 + 𝟐
𝟑)
𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝟑 (𝒙 + 𝟐
𝟑) − 𝟐
𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝒙
FUNCIONES
61
Ahora calculemos 𝒈 ∘ 𝒇; 𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙))
𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝟑𝒙 − 𝟐)
𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟐
𝟑
𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒙
Entonces vemos que en este caso 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒈 ∘ 𝒇, pero es solo un caso particular,
en general la composición no es conmutativa.
¡Encuentra otro ejemplo!
¿Será cierto que la operación “composición es asociativa”?
Veamos, para que la composición sea asociativa se debe cumplir:
𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉) = (𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉
Desarrollemos los dos lados de la igualdad:
(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇((𝒈 ∘ 𝒉)(𝒙))
(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒉(𝒙)))
Por otro lado: ((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒉(𝒙))
((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒉(𝒙)))
Como se puede ver las dos expresiones son iguales; por tanto, hemos probado
formalmente que la composición de funciones es asociativa.
Probemos con un ejemplo:
Sean 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐; 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙; 𝒉(𝒙) =𝟏
𝒙
Calculemos primero: (𝒈 ∘ 𝒉)(𝒙) = 𝒈(𝒉(𝒙)) = 𝒈 (𝟏
𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (
𝟏
𝒙);
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
FUNCIONES
62
Ahora:
(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇((𝒈 ∘ 𝒉)(𝒙))
(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇 (𝒔𝒆𝒏(𝟏
𝒙))
(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟏
𝒙)
Por otro lado:((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒉(𝒙))
((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈) (𝟏
𝒙)
((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟏
𝒙)
Por lo tanto:
𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉) = (𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉
Encuentra otro ejemplo para que te ejercites.
Existe una función real muy particular, que se llama la función identidad, la
notamos: 𝒊𝒅; 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒅(𝒙) = 𝒙, es decir es una función que a cualquier valor le
devuelve el mismo valor. Su gráfico es:
Sea 𝒇 cualquier función real, hagamos la composición de 𝒇 con la función
identidad:
(𝒇 ∘ 𝒊𝒅)(𝒙) = 𝒇(𝒊𝒅(𝒙)) = 𝒇(𝒙)
(𝒊𝒅 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒊𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇(𝒙)
Es decir al componer cualquier función con la identidad, tanto a la izquierda como
a la derecha nos da como resultado la misma función. Decimos entonces que la
FUNCIONES
63
función identidad cumple con una misión modulativa o de neutralidad, si te
acuerdas un poco de los números reales, existen dos números que cumplen con
esa propiedad, el cero para la suma y el uno para la multiplicación.
En este caso, como estamos tratando con funciones y con la operación
composición, es lógico que ese papel lo cumpla otra función, y esta es la función
identidad.
Haciendo un resumen: hemos visto que la composición de funciones es una
operación que cumple con dos propiedades: la asociativa y la existencia de un
elemento neutro, que se llama función identidad, más adelante veremos que
cumple con otra propiedad más, que se llama la existencia de un inverso y
verás cómo se juntan mágicamente dos partes esenciales de la matemática: el
análisis en los reales y el álgebra abstracta. Todo esto es posible -claro está-
bajo las condiciones de existencia y de cada una de las composiciones de las
funciones que intervienen en las propiedades.
Ejercicios Propuestos
1. Dadas las siguientes funciones, hallar las operaciones indicadas y su conjunto
de definición.
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒙(𝒙 + 𝟏); 𝒉(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙; 𝒊(𝒙) =𝒙
𝒙 + 𝟏
a) 𝟑𝒇 + 𝟐𝒈
b) 𝒈𝒊 + 𝒇
c) 𝒇
𝒈− 𝒉𝒊
d) 𝒇+𝒈−𝒉
𝒊
e) 𝟏 − 𝒉𝟐
f) 𝒇 ∘ 𝒈
g) 𝒉 ∘ 𝒊
h) 𝒇 ∘ 𝒊
i) (𝒈 ∘ 𝒇) ∘ (𝒊 ∘ 𝒉)
j) 𝒉 ∘ 𝒉
k) (𝒈 ∘ 𝒊) − (𝒊 ∘ 𝒈)
l) (𝒊 ∘ 𝒉)𝟐 + (𝒇 ∘ 𝒈)𝟐
2. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier 𝒙 ∈ ℝ se tiene que: 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝒇(𝒙) = 𝟏
3. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier 𝒙 ∈ ℝ se tiene que: 𝒙 − 𝒇(𝒙) = 𝟎
4. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier𝒙 ∈ ℝ − {𝟎}se tiene que:
𝒇(𝒙) ×𝟏
𝒙= −𝟏
FUNCIONES
64
5. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier 𝒙 ∈ [𝟎,𝝅
𝟐[ se tiene que:
𝐬𝐢𝐧 𝒙 ÷ 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧𝒙
6. Si sabemos que 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏, hallar una función 𝒈(𝒙), tal que:
(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒙 − 𝟏
7. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏, hallar una función 𝒈(𝒙), tal que: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒊𝒅(𝒙)
8. Definimos la siguiente operación: 𝚿, de tal manera que, dadas dos funciones
reales 𝒇 𝒚 𝒈, se tiene que: (𝒇 𝚿 𝒈)(𝒙) = (𝒇 + 𝒈) + (𝒇
𝒈) (𝒙). Si 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 y
𝒈(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙, demostrar que: (𝒇 𝚿 𝒈)(𝝅) = 𝟏
9. Definimos: (𝒇𝚯𝒈)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) + (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙), sean: 𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙+𝟏,
𝒈(𝒙) =𝟏−𝒙
𝒙, demostrar que (𝒇𝚯𝒈)(𝟎. 𝟎𝟎𝟏) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐
10. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, hallar: 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉. Encontrar 𝒇(𝟐), 𝒈(𝟐) (en función de h)
Si 𝒉 = 𝟎. 𝟎𝟏¿Cuánto vale 𝒈(𝟐)?. Compara con 𝒇(𝟐)
Funciones Inyectivas
Hay un tipo muy especial de funciones que se llaman inyectivas o uno a uno.
Para aproximarnos a su concepto veamos un par de ejemplos de la vida real: si
a cada ciudadano del Ecuador le asociamos el número de su cédula de identidad,
es decir, si establecemos una relación entre el conjunto de ciudadanos y sus
números de cédula, sabemos que, en primer lugar, cada ciudadano tiene un
único número de cédula(es decir no puede tener más de uno), lo cual convierte
a esta relación en una función; pero, por otro lado, dos ciudadanos distintos,
digamos Pedro y Luis, no pueden tener el mismo número de cédula, lo cual,
ya vamos a ver, le convierte a esta función en inyectiva.
En el conjunto de los números naturales: {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒… }, tomemos el
subconjunto de los números pares:{𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔… }, encontremos una función que:
a cada número par “le asocie” un determinado y único número natural, así por
ejemplo tendríamos las parejas:{(𝟎, 𝟏), (𝟐, 𝟐), (𝟒, 𝟑), (𝟔, 𝟒)… }, en este caso
FUNCIONES
65
hemos formado una función inyectiva, es decir, a cada número par se le asocia
un número natural determinado, de tal manera que: dos números pares
distintos, tienen distintas parejas.
De esta manera podemos acercarnos al concepto defunción inyectiva,
“una función es inyectiva cuando por cada dos números distintos del dominio,
se les asocia dos números diferentes en el conjunto imagen”
Definición formal: Sea 𝒇 una función real definida sobre un intervalo 𝑰, decimos
que 𝒇 es inyectiva si: 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝒚) o 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚) ⇒ 𝒙 = 𝒚, donde 𝒙 ∈
𝑰, 𝒚 ∈ 𝑰.
Traduciendo: 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝒚), significa que: en una función inyectiva, si
tenemos dos elementos distintos del dominio entonces sus imágenes deben ser
también distintas. También se puede poner así: 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚) ⇒ 𝒙 = 𝒚, lo que
quiere decir que: para que la función sea inyectiva, si dos imágenes son iguales,
entonces, sus pre – imágenes deben ser también iguales.
También podemos interpretar este concepto gráficamente: “si trazamos líneas
horizontales en cualquier parte de la gráfica, estas líneas deben cortar a la
gráfica de la función en un solo punto”.
En cambio, si trazamos líneas horizontales y éstas cortan a la gráfica en dos
puntos o más, entonces esta función no es inyectiva:
FUNCIONES
66
También lo podemos ver en un diagrama de conjuntos:
Función inyectiva Función no inyectiva
Ejemplos:
Funciones inyectivas: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟔
𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙 − 𝟗
𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙
Funciones no inyectivas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙
Ahora, ¿cómo podemos probar formalmente que una función es inyectiva?
El método es relativamente fácil: tomamos dos imágenes iguales y mostramos
que sus pre – imágenes también son iguales.
Ejemplo:
FUNCIONES
67
Probemos que la función: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟔 es inyectiva.
Tomamos 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚), 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐; 𝟑𝒙 + 𝟔 = 𝟑𝒚 + 𝟔
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟔 𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝟑𝒙 = 𝟑𝒚,
𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝟑: 𝒙 = 𝒚 Por lo tanto, hemos partido de la igualdad de las dos
imágenes y hemos concluido en la igualdad de las pre-imágenes; por lo tanto, la
función:
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟔 es inyectiva.
Prueba con la función: 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙 − 𝟗
Veamos en cambio esta función:
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐. Suponemos la igualdad de dos imágenes cualquiera: 𝒙𝟐 = 𝒚𝟐, en este
caso no podemos probar que 𝒙 = 𝒚, puesto que, por ejemplo: (𝟑)𝟐 =
(−𝟑)𝟐 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝟑 ≠ −𝟑
Esta función (cuadrática) no representa una función inyectiva, lo puedes
comprobar haciendo el gráfico con el programa Deadline, y trazando líneas
paralelas al eje “x”; verás que cada paralela corta a la curva en 2 puntos.
¡Ya estamos listos entonces para hacer algunos ejercicios sobre este tema!
Ejercicios Propuestos
1. Dadas las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
b) 𝑔(𝑥) =1
𝑥+ cos 𝑥2
c) ℎ(𝑥) = 1 + 𝑥
d) 𝑖(𝑥) = 𝑥2 + 7
e) 𝑗(𝑥) = √𝑥2 − 5
f) 𝑘(𝑥) =1
𝑥+ 𝑥
g) 𝑙(𝑥) = 3𝑥 + 25
determine cuáles son inyectivas y cuáles no. Justifique.
2. Dadas las representaciones gráficas de ciertas funciones siguientes:
FUNCIONES
68
Determine cuáles representan funciones inyectivas. Justifique.
3. Determine si las siguientes funciones son o no inyectivas.
a) 𝑦 =𝑥+2
𝑥−5
b) 𝑦 = √1 − 𝑥2
c) 𝑦 = √𝑥 + 5
d) 𝑦 = 4 − √2 + 𝑥
e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
f) 𝑦 = 2𝑥 + 3
g) 𝑦 = |𝑥|
h) 𝑦 =𝑥2−2
𝑥+1
i) 𝑦 =2𝑥
√1+𝑥
j) 𝑦 =3𝑥2−2+𝑥
𝑥+1
Funciones inversas:
A continuación analicemos otra propiedad que cumplen las funciones. Para
determinar dicha propiedad es muy importante conocer si la función es o no
inyectiva. Estamos hablando de las Funciones Inversas, las cuales solo pueden
obtenerse a partir de una función inyectiva.
El concepto de función Inversa cotidianamente se asocia con la imagen que se
obtiene al reflejar un cuerpo en un espejo. Es exactamente esta la relación que
existe entre una función y su inversa.
FUNCIONES
69
Tomando la función f, como una función inyectiva, podemos representar a la
función inversa de f como f-1. La relación existente entre estas 2 funciones
recíprocamente inversas una de la otra establece que:
Dominio de 𝒇 = Imagen de 𝒇−𝟏
Imagen de 𝒇 ⊆ Dominio de 𝒇−𝟏
Tal que:𝒇−𝟏(𝒚) = 𝒙 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇(𝒙) = 𝒚 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 ∶ 𝒇 ∘ 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒇−𝟏 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒙
Gráficamente una función y su inversa son simétricas
respecto a la recta f(x)=x, o también representada como
y=x. Esta recta es quien funciona como el espejo entre las
curvas de las funciones recíprocamente inversas.
En general, en dicha representación cada par ordenado (𝒙; 𝒚) de la función
principal 𝒇 representa el par ordenado (𝒚; 𝒙) de la función inversa. Como ya
habíamos enunciado el dominio (o valores que toma la función en x) de la función
𝒇 pasa a ser la Imagen (o valores que toma la función en y) de 𝒇−𝟏, es decir que
si (𝟎; 𝟒) ∈ 𝒇 entonces (𝟒; 𝟎) ∈ 𝒇−𝟏.
Por ejemplo, las funciones: 𝒚 = 𝒙𝟐, e 𝒚 = √𝒙 son inversas. Veamos sus
gráficos por separado:
TRABALENGUAS: Toda función inyectiva es la función inversa de otra función, y viceversa.
FUNCIONES
70
Ahora, en el gráfico siguiente, se observa a dos funciones cuyos gráficos son
simétricos respecto a la recta 𝒚 = 𝒙: (pero sólo en el intervalo [𝟎, +∞[); ¿por
qué?
Veamos entonces cómo obtener la inversa de una función inyectiva utilizando
métodos algebraicos.
Ejemplo:
Sea 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟑 − 𝟏. Hallar la función inversa si es posible.
Antes de comenzar definamos el Dominio y la Imagen de 𝑓
FUNCIONES
71
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = {𝒙 ∈ ℝ ∕ 𝒙 ≥ 𝟑} = [𝟑;+∞[
𝑰𝒎 𝒇 = {𝒚 ∈ ℝ 𝒙⁄ ≥ −𝟏} = [−𝟏;+∞[
A continuación hay que determinar si es esta una función inyectiva:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚)
√𝒙 − 𝟑 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟑 − 𝟏 Simplificamos en cada miembro el -1 por ser factor
común.
√𝒙 − 𝟑 = √𝒚− 𝟑 Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.
𝒙 − 𝟑 = 𝒚 − 𝟑 Simplificamos en cada miembro el -3 por ser factor común.
Por lo tanto: 𝒙 = 𝒚 entonces la función es inyectiva; y, por lo tanto. se puede
determinar su función inversa.
A continuación procedemos a despejar la x de la función principal. Para más
comodidad sustituiremos F(x) por y:
𝒚 = √𝒙 − 𝟑 − 𝟏
𝒚 + 𝟏 = √𝒙 − 𝟑 Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.
(𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝒙 − 𝟑
(𝒚 + 𝟏)𝟐 + 𝟑 = 𝒙 Al despejar la variable 𝒙 hemos invertido la ecuación, con lo
cual podemos intercambiar las variables 𝒙 𝒆 𝒚 para obtener la ecuación de
definición de la función Inversa, haciendo un cambio de variable:
𝒚 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑 Queda definida entonces 𝒇−𝟏(𝒙) = (𝒙+ 𝟏)𝟐+𝟑
FUNCIONES
72
Teniendo en cuenta la relación de dominio e Imagen de las funciones y sus
inversas queda definida esta nueva función de modo siguiente:
𝑫𝒐𝒎 𝒇−𝟏 = ℝ
𝑰𝒎 𝒇−𝟏 = {𝒚 ∈ ℝ ∕ 𝒚 ≥ 𝟑} = [𝟑;+∞[
Ejercitemos los contenidos de este resultado para garantizar una mejor
comprensión del tema.
Ejercicios Propuestos
1. Represente gráficamente la función 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 1. Por simetría con
la recta y=x represente en el mismo gráfico la función inversa
correspondiente.
2. Según los resultados obtenidos en los ejercicios de comprobación de
inyectividad en el epígrafe anterior, halle las funciones inversas en los
casos en que sea posible.
3. Encuentre algébricamente la inversa de la función: 𝒚 =𝒙+𝟏
𝒙−𝟏
4. Si una función no es inyectiva en todo su dominio, ¿será posible encontrar
su inversa en la parte en que sí es inyectiva? Prueba con la función: 𝒚 =
𝒔𝒆𝒏(𝒙), en el intervalo: [𝟎, 𝟐𝝅]
Funciones Especiales
En esta parte de la materia vamos a comenzar con el estudio de ciertas funciones
especiales, muy comunes en matemáticas de números reales, así pues,
empezamos con:
La función lineal y la función afín
FUNCIONES
73
Para todos es conocida la frase: “el camino más corto entre dos puntos es la
línea recta”. Pues bien, la línea recta es una de las funciones más conocidas y
útiles, muchos fenómenos físicos, económicos y sociales se describen mediante
una recta. Vamos a definirla correctamente:
UNA FUNCIÓN LINEAL ESTÁ DEFINIDA SOBRE LOS REALES, DE ESTA
FORMA:
𝒇 ∶ ℝ →ℝ
𝒙→ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
Donde 𝒂 ∈ ℝ.
Gráficos:
Vemos que la gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen,
si 𝒂 es positiva, el gráfico va de izquierda a derecha “subiendo”, es decir es una
función creciente (acuérdate de la definición); en cambio, si 𝒂 es negativa, el
gráfico va “de bajada” de izquierda a derecha (es decir, es una función
decreciente).
Igualmente, es evidente que el dominio de la función lineal es el conjunto de los
números reales, lo mismo para el conjunto imagen
La función lineal siempre pasa por el origen. ¿Por qué? ¿Cómo será el gráfico
de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 si 𝒂 es cero?
Casos particulares:
Función identidad: es de la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒙, es decir 𝒂 = 𝟏
Su gráfico:
FUNCIONES
74
La función opuesto aditivo: es de la forma: 𝒇(𝒙) = −𝒙, es decir 𝒂 = −𝟏
Su gráfico:
En la función lineal, las imágenes 𝒚, son proporcionales a los valores de 𝒙.
Por ejemplo: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙
𝒙 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
𝒚 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
Ser proporcional significa que el cociente 𝒚
𝒙 (𝒙 ≠ 𝟎)es siempre constante e igual
a 𝒂
Comprueba con los valores de la tabla.
FUNCIONES
75
En física, un ejemplo de una función lineal es el espacio recorrido cuando
transcurre el tiempo, en el movimiento uniforme (sin aceleración) 𝒅 = 𝒗𝒕 , en este
caso la constante 𝒂 es la velocidad y la variable independiente es el tiempo 𝒕.
En geometría, la longitud de un círculo en función del radio es lineal y se mide
por 𝒄 = 𝟐𝝅𝒓, 𝒂 = 𝟐𝝅, y la variable independiente es 𝒓
UNA FUNCIÓN AFÍN ESTÁ DEFINIDA SOBRE LOS REALES, DE ESTA
FORMA:
𝒇 ∶ ℝ →ℝ
𝒙→ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃
Donde 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. ( 𝒃 ≠ 𝟎)
Como puedes ver, se diferencia de la función lineal en que a ésta se le suma el
número 𝒃, en su gráfica, la función afín pasa por el punto (𝟎, 𝒃).
Si 𝒂 es positiva, la
función afín es
creciente sobre ℝ
Si 𝒂 es negativa, la
función afín es
decreciente sobre ℝ.
Si 𝒂 es cero, la función
afín se llama función
constante: 𝒚 = 𝒃
Analicemos su fórmula: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃, con 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, al número 𝒂 se le llama
coeficiente director o pendiente de la recta, de tal forma que si la recta forma un
ángulo agudo ∝ con el eje de las 𝒙, se tiene que: |𝒂| = 𝒕𝒂𝒏 ∝
Veamos en el gráfico:
FUNCIONES
76
Ejemplo:
Sea la función: 𝒚 = −𝟏
√𝟑𝒙 + 𝟐, observamos que 𝒂 = −
𝟏
√𝟑 𝒃 = 𝟐, entonces la
curva pasa por el punto (𝟎, 𝟐), y |−𝟏
√𝟑| = 𝒕𝒂𝒏 ∝ =
𝟏
√𝟑, donde ∝= 𝟑𝟎𝟎
Como vemos, la noción de una función afín:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃
Generaliza a estos tipos de funciones:
Si 𝒃 = 𝟎, entonces 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, es una función lineal.
Si 𝒂 = 𝟎, entonces 𝒇(𝒙) = 𝒃, es una función constante
Si 𝒂 = 𝟎 𝒚 𝒃 = 𝟎, entonces 𝒇(𝒙) = 𝟎, es la función nula. Para pensar: ¿cuál sería el gráfico de la función nula?
Ejercicios Propuestos
1. Señale la respuesta correcta: si f(x) = (-3/7) x, entonces f (2) es:
a) -32/7 b) -0.857 c) -6/7
FUNCIONES
77
2. El precio P de un producto aumenta en un 10 %, entonces el nuevo precio es:
a) 1.1 P b) 110 P c) 0.9 P
3. Para una función lineal g, la imagen de 2 es -3, entonces el coeficiente director
es:
a) -2/3 b) -3/2 c) -6
4. i) El ancho de un rectángulo es 2 cm, el largo es x cm, entonces el perímetro
P es:
a) 2x b) 2 + 2x c) 4 + 2x
ii) Complete la tabla siguiente:
x 0 1 2 3 4 5
P
iii) ¿Es esta una tabla de proporcionalidad? ________
iv) ¿La función que asocia a x con P es aplicación lineal? ________
5. a) La base de un triángulo es 4 cm, su altura es x, entonces el área es: A =
______.
b) ¿Es A una aplicación lineal? _______
c) Calcular el área si x = 5. A = _________cm2
d) ¿Para qué valor de la altura, el área es 100 cm2?: x = _______cm.
6. En un campamento de vacaciones hay 360 personas, de las cuales 198 son
niños, el resto son adultos. Todos los días, 176 niños y 1/3 de los adultos van a
la piscina.
a) ¿Cuántos adultos van todos los días a la piscina? __________
b) ¿Cuál es el porcentaje de todas las personas que van a la piscina?
__________%
7. El siguiente gráfico representa el consumo de gasolina, C (en litros), de un
auto en función de los kilómetros recorridos, x, a la velocidad constante de 90
km/h.
FUNCIONES
78
a) Leer en el gráfico el consumo de gasolina para 250 km: _________litros.
b) Deducir el consumo para 100 Km: __________litros.
c) ¿Cuál es la aplicación lineal que representa a la gráfica?: C = ______x.
8. Dados los puntos A = (1.4; 4.55) y B = (-1.8; -5.85), encuentre la ecuación que
define la recta que une esos dos puntos: y = __________________.
¿Es una aplicación lineal? ________
9. Grafique la siguiente función: y = x + 1
10. Grafique en el plano las siguientes parejas de puntos:
X -2 -1 0 1 2
y 5 3 1 -1 -3
¿Es una aplicación afín? _________ Su ecuación es: y = _____________a
11. En cada caso, indicar si existe una relación del tipo y = ax entre x e y. Indicar,
también, ¿qué representa a?
a) y = distancia en Km recorrida por un auto con velocidad constante. x = tiempo
en horas que se demora el auto en recorrer esa distancia.
b) y = distancia en un mapa. x = distancia real.
12. Para cada tabla: decir si es una tabla de proporcionalidad de la forma y = ax,
en ese caso, encontrar a.
x 1 5
FUNCIONES
79
y 4 20
x -2 0 3
y -8 0 12
x -3 5 7
y -6 -10 -15
13. La receta de un mousse de chocolate para 3 personas necesita la utilización
de 2 huevos. En esta receta, el número de personas: x, es proporcional al
número de huevos utilizados: n.
a) ¿Cuál es el coeficiente de la aplicación lineal que asocia x con n?
b) Calcular n, si x = 24
c) Calcular x, si n = 44.
14. ABC es un triángulo rectángulo en A. El ángulo B = 60o, h es la longitud de
la hipotenusa y x es la longitud del lado AB.
a) Expresar h en función de x
b) ¿Es una relación de proporcionalidad? , en tal caso encontrar el coeficiente
de proporcionalidad. Dato adicional: cos 60o = 0.5
15. Un rectángulo de ancho: A y de largo: L, tiene por perímetro igual a 500.
Decir si hay una aplicación lineal que asocia A con B, encontrar su ecuación.
16. f es la aplicación lineal tal que f: x - 0.9 x
Calcular: f (10), f (0), f (-5).
Calcular x si f (x) = 0.99.
Graficar Y = - 0.9 x
17. Para demostrar que una propiedad es falsa, basta con encontrar un ejemplo
en que la propiedad es falsa, este método se llama: por contraejemplo. a) Si 𝑓
es la aplicación lineal definida por 𝑓 (𝑥) = 𝑥. (se llama aplicación identidad),
verificar que 𝑓 (2) × 𝑓 (3) = 𝑓 (2 × 3).
FUNCIONES
80
b) Sea 𝑓 la aplicación lineal definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥. María afirma que para todo
par de números: 𝑐 𝑦 𝑑, se cumple que 𝑓(𝑐 × 𝑑) = 𝑓(𝑐) × 𝑓 (𝑑), demostrar por
contraejemplo que María está equivocada.
18. Sea la función: 𝑓(𝑥) = 5𝑥. Demostrar que cumple:
𝑓 (2 + 4) = 𝑓 (2) + 𝑓 (4). Dar un ejemplo más. Sea ahora la función general
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, demostrar que para cualquier par de números 𝑎 𝑦 𝑏, se cumple que
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 (𝑏)
(ES LA PROPIEDAD QUE DEFINE A UNA FUNCIÓN LINEAL)
19. En un sistema de coordenadas cartesiano, la recta L pasa por el origen y por
el punto (1,3). ¿Representa esta recta una aplicación lineal? Si es así, ¿cuál es
su coeficiente, cuál es su ecuación? Iguales preguntas son válidas para la recta
que pasa por los puntos (3,1.5) y (6,3).
20. Dar un ejemplo de una función que sea afín pero no lineal: f(x)= ___________
21. Se mide el ancho (a) y el largo (l) de unas hojas de ramas de cedro, se
obtienen los siguientes resultados:
a 5.2 4.8 4.4 4.2 4
l 6.5 6 5.5 5.25 5
a) ¿Es esta una tabla de proporcionalidad? Si: ____. No:____
b) Expresar a en función de l : a =___________
c) Expresar l en función de a : l = ___________
22. a) Convertir una velocidad de 35 m/s en km/h: __________km/h. Sea V la
velocidad expresada en km/h, sea v la velocidad expresada en m/s. Expresar V
en función de v: V = __________v; expresar v en función de V: v
=__________V. Convertir una velocidad de 46.8 km/h en m/s; __________km/h.
23. Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos: (1,-1) y
(3,3), Ecuación: y = _____________. ¿Esta recta pasa por el punto (0,-2)?.
Si___, No___. ¿Pasa por el punto (2,1)?. Si___. No___.
FUNCIONES
81
24. Decir si es verdadero o falso:
a) En cualquier aplicación afín : f(x) = ax + b, se cumple que: f(0) = b _____
b) Toda aplicación afín es lineal. _____
c) En cualquier aplicación afín : f(x) = ax + b, se cumple que: f(-b/a)= 0 _____
d) Toda aplicación lineal es constante.____
25. Sea la aplicación lineal: y = ¾ x, Entonces:
a) La imagen de 6 es :____
b) Si y = -9, entonces x =____
26. Unos zapatos costaban $ 55 hace dos años, cada año el precio aumentó en
5%. ¿Cuál es el valor actual de esos zapatos?
27. Graficar la función: y = 2x -4
28. Encontrar la ecuación de la recta que representa el siguiente gráfico:
y =__________
29. Si una aplicación lineal tiene coeficiente director 5, (a = 5) entonces, la
imagen de 80 es:
a) 85 b) 400 c) 16
30. Un cuadrado tiene de lado x, entonces su área es: A = ____, ¿es una
aplicación afín?______
FUNCIONES
82
31. Se tiene la aplicación lineal f(x)= -3x, calcular f (-5) =_____. Si la imagen de
x es -9, entonces x = ____
32. Sea la aplicación afín: f(x) = 3x – 5, calcular f (-2/3). Calcular el número que
tiene por imagen 4, es decir, si y = 4, entonces x =____
33. Sea la función afín definida por: 𝑦 =1
2x -
1
3, completar la tabla:
x 1 2
y 1 2
34. Sea la función f(x) = 3x – 2, encontrar un número x tal que su imagen sea el
mismo número. x =_____
35. 𝒇 es una función afín, tal que: f (3) = -1 y f (-3) = 5, encontrar la ecuación de
Y de la forma: y = ax + b.
Y = ___________
36. Trazar la gráfica de la función: y = 2x – 4
37. Dada la siguiente gráfica:
Hallar su ecuación: y = _____________
La imagen de -10 es _____, si y = 3, entonces x = ______
FUNCIONES
83
38. Se quiere comprar un computadora portátil, cuyo precio es $ 1600, se ofrece
el 25 % de descuento, ¿cuánto se debe pagar? $_________
39. Por un DVD se obtuvo una rebaja del 10 %, se pagó 57.60 dólares. ¿Cuál
fue el precio real del aparato? $_________
40. Un automovilista recorre media hora a la velocidad de 200 km/h, luego una
hora a la velocidad de 100 km/h.
a) Hacer un gráfico de la distancia en función del tiempo
b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total? ______________km
Función valor absoluto
En la sección de los números reales hemos visto ya el valor absoluto, ahora lo
vamos a ver en su aspecto analítico y gráfico:
La función valor absoluto se define así:
𝒇(𝒙) = |𝒙| = {𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 < 0
Su gráfico es:
FUNCIONES
84
Se puede deducir que:
El valor absoluto es una función afín para x positivo: 𝒇(𝒙) = 𝒙
El valor absoluto es una función afín para x negativo 𝒇(𝒙) = −𝒙
El valor absoluto es creciente en [0, +∞[
El valor absoluto es decreciente en ]−∞, 0]
El valor absoluto tiene un mínimo en (𝟎, 𝟎)
El valor absoluto es par
El valor absoluto tiene como eje de simetría al eje y
El valor absoluto como distancia
Si se te pregunta: ¿cuál es la distancia entre tu casa y el colegio o universidad
donde estudias? Seguramente harías un cálculo en metros o kilómetros,
haciendo una línea recta imaginaria entre las dos localidades.
Igualmente podemos preguntarnos: ¿cuál es la distancia entre el 7 y el 12? La
respuesta es sin duda, 5; puesto que el número de unidades que separa al 12
del 7 es 5. Con esto, vamos a formalizar la distancia entre dos números reales
cualesquiera, de esta manera:
Llamaremos 𝒅(𝒙,𝒚) a la distancia entre un par de números reales 𝒙 𝒆 𝒚,
FUNCIONES
85
Definimos formalmente:
𝒅(𝒙, 𝒚) = {𝒚 − 𝒙 𝒔𝒊 𝒚 > 𝑥𝒙 − 𝒚 𝒔𝒊 𝒙 > 𝑦
Es decir 𝒅(𝒙, 𝒚) = 𝒎𝒂𝒙(𝒚 − 𝒙; 𝒙 − 𝒚).
Veamos con ejemplos:
Encontrar: 𝒅(𝟐, 𝟕) =?
Calculamos: 𝟐 − 𝟕 = −𝟓; 𝟕 − 𝟐 = 𝟓, luego escogemos el máximo (más grande)
entre – 𝟓 𝒚 𝟓, que naturalmente es el 𝟓
Entonces 𝒅(𝟐, 𝟕) = 𝟓,
Observaciones:
𝒅(𝒙,𝟎) = {𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0
O lo que es lo mismo:
d(x ; 0) = max(-x ; x)
Se observa fácilmente que la distancia es simétrica, es decir:
𝒅(𝒙, 𝒚) = 𝒅(𝒚, 𝒙)
Pero, ¿qué tiene que ver esto con el valor absoluto?, fácil, fíjate bien:
𝒅(𝒙,𝟎) = {𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0
Es la misma definición del valor absoluto, es decir:
|𝒙| = 𝒅(𝒙, 𝟎)
O, lo que es lo mismo:
|𝒙| = 𝒎𝒂𝒙(𝒙,−𝒙)
𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(−5; 4)
FUNCIONES
86
Otra forma de definir al valor absoluto:
|𝒙| = √𝒙𝟐
Para pensar: 𝒅(𝒙, 𝒙) = ? 𝒅(𝒙,−𝒙) = ?,
Así, pues, es lógico deducir que: 𝒅(𝒙,𝒚) = |𝒙 − 𝒚|
Veamos ahora la relación entre valor absoluto e intervalos:
Por las propiedades de valor absoluto, sabemos que: |𝒙| = 𝒄, significa que 𝒙 =
𝒄 𝒐 𝒙 = −𝒄, 𝒄𝒐𝒏 𝒄 > 0
Ahora bien, consideremos esta igualdad: |𝒙 − 𝒂| = 𝒄
Se tiene que: 𝒙 − 𝒂 = 𝒄 𝒐 𝒙 − 𝒂 = −𝒄, de lo cual resulta que:
𝒙 = 𝒂 + 𝒄 𝒐 𝒙 = 𝒂 − 𝒄; es decir, 𝒙 puede tomar los valores extremos del
intervalo [𝒂 − 𝒄, 𝒂 + 𝒄]
En cambio, si tenemos la desigualdad: |𝒙 − 𝒂| ≤ 𝒄, 𝒄𝒐𝒏 𝒄 > 0, sabemos que, por
la propiedad del valor absoluto: 𝒂 − 𝒄 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 + 𝒄 ; es decir, la desigualdad:
|𝒙 − 𝒂| ≤ 𝒄 significa que la variable 𝒙 puede tomar todos los valores entre 𝒂 − 𝒄
y 𝒂 + 𝒄, que es equivalente a decir que: 𝒙 ∈ [𝒂 − 𝒄, 𝒂 + 𝒄]
En otras palabras, decimos que alrededor del punto 𝒂, existe una vecindad o un
entorno de radio 𝒄, en el idioma de las distancias pondremos: 𝒅(𝒂, 𝒙) ≤ 𝒄
𝑎 − 𝑐 𝑎 + 𝑐
𝑎
𝑎 − 𝑐 𝑎 + 𝑐
𝒂
FUNCIONES
87
Y esta es la idea fundamental para comprender muchos conceptos en
matemática, como es el límite.
Ejercicios Propuestos:
1. ¿Cuánto vale |𝟑 − 𝝅|?
2. Si |𝒙| > |𝒚| 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 > 𝑦 V____; F____
3. Si |𝒙 + 𝟕| = 𝟒. Determine la respuesta correcta dentro de las siguientes
opciones:
a) la distancia entre 𝒙 y 7 es igual a 4;
b) la distancia entre 𝒙 y 4 es igual a 7;
c) la distancia entre 𝒙 y -7 es igual a 4;
d) la distancia entre 𝒙 y -4 es igual a 7.
4. La inecuación |𝟓 + 𝒙| > 1 tiene por solución:
5. La inecuación |𝟑 − 𝟐𝒙| < 7 tiene por solución:
6. La inecuación |𝒙 − 𝟓𝟎𝟎| > −100 tiene por solución:
7. Resolver la ecuación: 𝟐|𝒙| − 𝟏 = |𝒙| por dos métodos:
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑐 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑐
FUNCIONES
88
Primer método: Considere dos casos: cuando 𝒙 ≥ 𝟎 𝒚 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 < 0
Segundo método: Sean 𝒇(𝒙) = 𝟐|𝒙| − 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = |𝒙| , llene la siguiente tabla:
Grafique las dos funciones y concluya.
8. Mediante el uso del valor absoluto, encontrar una expresión para:
a) 𝒙 ∈ [𝟐, 𝟏𝟐]] significa que: __________________
b) 𝒙 ∈ ]−𝟐, 𝟏𝟎[ significa que: __________________
Ejemplo: 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟓] significa que: |𝒙 − 𝟏| ≤ 4
9. Escriba en símbolos matemáticos (con valor absoluto):
a) La distancia entre 𝒙 y 3 es mayor a 2:
_______________________________________
b) La distancia entre -5 y 𝒙 es menor o igual a7:
________________________________
10. La propiedad llamada desigualdad triangular dice que para cualquier par
de números reales 𝒙 e 𝒚 se cumple que: |𝒙 + 𝒚| ≤ |𝒙| + |𝒚|
a) “Pruebe” que se cumple con dos números cualquiera.
b) ¿Qué significa geométricamente la desigualdad triangular?
La función cuadrática
Es una función de la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, donde: 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son números
reales. Es evidente verificar que:
Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎entonces 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙 + 𝒄, es una función afín
Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 = 𝟎entonces 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙, es una función lineal
Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎entonces 𝒇(𝒙) = 𝒄, es una función constante
Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = 𝟎entonces 𝒇(𝒙) =, es la función nula
Para lo cual, vamos a considerar que 𝒂 ≠ 𝟎
Vamos por partes:
Consideremos la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, en este caso: 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = 𝟎
FUNCIONES
89
Su gráfico, muy sencillo:
Se llama parábola; nos recuerda al tiro parabólico, o a los faros del auto o a la
trayectoria de ciertos cometas.
Ahora grafiquemos la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐, 𝒂 = 𝟐, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = 𝟎
Comparando los dos gráficos, vemos que: el gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 es más
angosto que el gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, lo que en realidad significa que la curva 𝟐𝒙𝟐
crece más rápido que la curva 𝒙𝟐; de tal manera que, si seguimos aumentando
el valor de 𝒂, la curva será cada vez más angosta; es decir, crecerá más rápido
para valores positivos de 𝒙 y decrece más rápido para valores negativos de 𝒙.
Mira esto, 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟐
FUNCIONES
90
En cambio si tomamos valores de 𝒂 más pequeños que 1, pero positivos, por
ejemplo: 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟓𝒙𝟐, su gráfico queda así:
Ahora 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟏𝒙𝟐
Como puedes observar, los gráficos se vuelven cada vez más anchos conforme
𝒂 se acerca a 0 con valores positivos, lo cual quiere decir que la curva crece más
lento para valores positivos y decrece más lento para valores negativos de 𝒙.
FUNCIONES
91
En todos los casos anteriores, la gráfica de estas funciones es:
- Decreciente en el intervalo:]−∞, 𝟎]
- Creciente en el intervalo:[𝟎,+∞[
Y efectivamente, la función 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐, tiene un mínimo en (𝟎, 𝟎)
Si 𝒂 toma ahora valores negativos: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐
Como puedes observar es el mismo gráfico de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, solo que
hacia abajo. Análogamente, los gráficos cuando 𝒂 tome cada vez valores más
pequeños menores a -1, el gráfico se tornará más angosto; pero hacia abajo del
eje. Mientras que, si 𝒂 toma valores entre 0 y -1, (excluyendo el 0), la gráfica se
volverá más ancha, otra vez, hacia abajo.
Como tarea tienes que hacer estos gráficos en el DeadLine y concluir sobre los
intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso de que 𝒂 tome valores
negativos, y decir dónde hay mínimo o tal vez, máximo.
Avancemos un poco, veamos ahora cómo graficar una función cuadrática de la
forma: 𝒚 = (𝒙 + 𝒉)𝟐
El gráfico de 𝒚 = (𝒙 + 𝟑)𝟐
(No te olvides que (𝒙 + 𝟑) = (𝒙 − (−𝟑))
FUNCIONES
92
Como puedes ver, el gráfico es muy parecido al de 𝒚 = 𝒙𝟐, solo que se ha
“corrido” 3 unidades a la izquierda.
Veamos este otro: 𝒚 = (𝒙 − 𝟒)𝟐
Éste, en cambio, se ha recorrido 4 unidades a la derecha. Podemos entonces
generalizar de esta manera:
“El gráfico de 𝒚 = (𝒙 − 𝒉)𝟐 es igual al gráfico de 𝒚 = 𝒙𝟐, pero desplazado 𝒉
unidades en el eje de las x, si 𝒉 es positivo, se desplaza a la derecha, y si 𝒉 es
negativo, se desplaza a la izquierda del origen”
Observación: No te olvides que (𝒙 + 𝒉) = (𝒙 − (−𝒉)); por eso, en el gráfico de
𝒚 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 se desplaza a la izquierda puesto que: (𝒙 + 𝟑) = (𝒙 − (−𝟑)), en
este caso, 𝒉 = −𝟑 es negativo
Es evidente que se pueden deducir los gráficos de: 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌
Continuemos con otro ejemplo para ilustrar mejor el comportamiento gráfico de
las funciones cuadráticas:
FUNCIONES
93
𝒚 = 𝟐(𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝟒
Vamos por partes: el gráfico tiene la misma forma de 𝒚 = 𝟐𝒙, pero se ha
desplazado 3 unidades a la derecha en el eje de las x, y 4 unidades hacia arriba
en el eje de las y.
Otro: 𝒚 = 𝟎. 𝟓(𝒙 + 𝟐)𝟐 − 𝟏
Y otro más: 𝒚 = −𝟑(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐
FUNCIONES
94
Listo, ya podemos graficar una parábola de la forma: 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌, donde:
El vértice de la parábola es: (𝒉, 𝒌)
Si 𝒂 es positivo, el gráfico se abre hacia arriba y la gráfica tiene un
mínimo en el punto: (𝒉, 𝒌)
Si 𝒂 es negativo, el gráfico se abre hacia abajo y la gráfica tiene un
máximo en el punto: (𝒉, 𝒌)
Su anchura o angostura depende del valor absoluto de 𝒂, es decir: si
|𝒂| > 1, el gráfico es más angosto que el gráfico de 𝒚 = 𝒙𝟐, en cambio, si
|𝒂| < 1, el gráfico es más ancho.
Pero, si nos piden graficar y analizar una función cuadrática de la forma: 𝒚 =
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, es fácil: igualemos las dos formas.
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌 = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙𝒉 + 𝒂𝒉𝟐 + 𝒌
Obtenemos: 𝒂 = 𝒂; 𝒃 = −𝟐𝒂𝒉; 𝒄 = 𝒂𝒉𝟐 + 𝒌
De donde deducimos que: 𝒉 = −𝒃
𝟐𝒂, 𝒌 =
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
Y de esta forma, 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 la podemos expresar como:
𝒚 = 𝒂(𝒙 + 𝒃/𝟐𝒂)𝟐 +𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐
𝟒𝒂
Ejemplo: Probemos con un gráfico
Graficar la función: 𝒚 = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏
Haciendo las transformaciones anteriores, esta expresión es equivalente a: 𝒚 =
−𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑, y su gráfico es:
FUNCIONES
95
Claro que esto lo podemos hacer también completando los cuadrados, así:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙𝟐 +𝒃
𝒂𝒙 +
𝒃𝟐
𝟒𝒂𝟐) + 𝒄 −
𝒂𝒃𝟐
𝟒𝒂𝟐= 𝒂(𝒙 + 𝒃/𝟐𝒂)𝟐 +
𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐
𝟒𝒂
Si hacemos 𝒚 = 𝟎, se obtienen las “raíces de la función”, es decir las abscisas
donde la curva interseca al eje de las x, así:
𝒂(𝒙 + 𝒃/𝟐𝒂)𝟐 +𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂= 𝟎, despejando x, se obtiene: 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Bueno, ¡basta de álgebra! Aquí lo importante es observar las propiedades de la
parábola; pues bien, podemos observar que ésta tiene un eje de simetría y es la
recta 𝒙 = 𝒂.
Además, si tenemos el siguiente gráfico de la función: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔
Se puede observar que sus raíces son -3 y 2, luego como 𝒂 = 𝟏 es positivo, la
parábola se abre hacia arriba; y en el intervalo [−𝟑, 𝟐], se tiene que la función es
negativa (𝒚 ≤ 𝟎), mientras que en el intervalo ]−∞, −𝟑[ ∪ ]2,+∞[ la función es
positiva (𝒚 > 0). Un análisis similar se puede hacer para los casos siguientes:
Intenta hacerlos tú.
FUNCIONES
96
Ejercicios Propuestos
1. Completar: a) x2 + 2x – 15 = (x +…….)2 – 16; b) x2 - 2x – 8 = (x -1)2. Graficar
a) y b).
2. Encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que las medidas
de sus lados son tres números enteros consecutivos (utilizar el teorema de
Pitágoras).
3. Hallar tres números enteros consecutivos tales que, si al cuadrado del mayor
se le restan los cuadrados de los otros dos, se obtenga como resultado 3.
4. Las soluciones de la ecuación: (2x + 3)2 – x2 = 0 son:
a) -1 y -3 b) 1 y -3 c) -1 y 3
5. Probar que la ecuación: x2 + x + 3 = 0 no tiene soluciones reales.
6. Graficar las funciones cuadráticas siguientes:
a) x² – 3x – 10 = 0 b) x² – 10 = 0 c) 9x² – 12x + 4 = 0
d) -x² + 7x – 1 = 0 e) -2x² + 3x – 7 = 0
7. Si a = 0, entonces, la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se convierte en una función:
____________.
8. El gráfico de la función cuadrática se llama una: _____________.
9. Con la función: 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 + 1, completa la tabla:
x y
-2
1
-1
2
FUNCIONES
97
10. i) Dar un gráfico aproximado de:
a) 𝑦 = 2𝑥2 b) 𝑦 = −(𝑥 + 3)2 + 1
ii) Sabiendo que los siguientes gráficos tienen la misma forma de 𝑦 = 2𝑥2,
encontrar las ecuaciones de:
Y =________________ y =________________
11. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar el vértice (decir si es
máximo o mínimo) y su eje de simetría:
a) 𝑦 = −0.1𝑥2. V( , ) es _________, Eje simetría: X = ____
b) 2(𝑥 − 2)2 + 3. V( , ) es _________, Eje simetría: X = ____
c) 2𝑥2 − 12𝑥 + 17 V( , ) es _________, Eje simetría: X = ____
12. En las siguientes ecuaciones, encontrar su discriminante y decir si hay dos
raíces reales distintas, una sola raíz o no hay raíces reales:
a) 8𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 ; ∆= _______ Hay_______________________
b) 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0 ; ∆= ________ Hay_______________________
c) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 ; ∆= _______ Hay_______________________
d) 𝑥2 − 1 = 0 ; ∆= _______ Hay_______________________
FUNCIONES
98
13. Encontrar las raíces de:
a) 𝑥2 − 𝑥 − 72 = 0 b) 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 0 c) 6 𝑥2 + 6𝑥 + 1 = 0
14. Demostrar que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, es igual a: −𝑏
2𝑎
15. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
16. Dar un gráfico aproximado de: a) 𝑦 = −2𝑥2
17. Factorizar los polinomios siguientes:
𝑥2 + 14𝑥 + 49 =
𝑥2 − 6𝑥 + 9 =
𝑥2 − 𝑥 +1
4=
3𝑥2 −3
4=
(2𝑥 − 3)(𝑥 − 7) + (𝑥2 − 14𝑥 + 49) =
𝑥2 − 16 =
𝑥2 + 11𝑥 + 28 =
𝑥2 − 𝑥 + 6 =
18. Desarrollar:
(2𝑥 − 1)2 =
(𝑥 +1
2)2
=
19. Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes:
a) 𝑥2 − 1 = 0
b) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0
20. Encontrar un número de tal manera que su triple aumentado en dos sea igual
a su doble disminuido en tres.
FUNCIONES
99
21. Encontrar dos números pares consecutivos, de tal manera que su producto
sea 2024.
22. Probar que la ecuación: x2 + 2x - 3 = 0 tiene soluciones 2 soluciones reales
distintas.
23. i) Dar un gráfico aproximado de: a) 𝑦 = 0.5𝑥2 b) 𝑦 = −(𝑥 − 2)2 + 1
24. Resolver las ecuaciones:
a) 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0
b) 6 𝑥2 + 24𝑥 + 18 = 0
c) −𝑥2 + 4𝑥 − 8 = 0
25. ¿Para qué valores de x, el perímetro del rectángulo es más pequeño que el
perímetro del triángulo equilátero?
x
3.5
Funciones exponenciales:
FUNCIONES
100
En tus estudios precedentes debes haber definido y trabajado con potencias.
Este concepto define que para todo número real positivo 𝒂 ≠ 𝟏 y todo número
real c, existe un único número real 𝒃 > 0 tal que 𝒂𝒄 = 𝒃, y recíprocamente 𝒂𝒄
es la potencia de base a y exponente c.
Esta es la base de la definición de la Función Exponencial. Solo cambiaremos
la variable c por una x para homogenizar con otras bibliografías sobre el tema
que podrás consultar.
Entonces decimos que a cada número real x una única potencia del número real
a (𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1). Esta propiedad permite definir la Función Exponencial.
Debes observar que en la función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 la base es constante en
tanto que el exponente es variable. Las funciones de tipo 𝑦 = 𝑥𝑎 en las cuales la
base es variable y el exponente constante son funciones potenciales (como 𝑦 =
𝑥^2).
Al ser la relación de x con la potencia 𝑎𝑥 única para cada valor de x, podemos
inferir que las funciones exponenciales son inyectivas. Siendo así podemos
afirmar que dichas funciones tienen una función inversa asociada: la función
logarítmica que estudiaremos más adelante. Debido a esto a las funciones
exponenciales también se les conoce como Antilogaritmo.
Comencemos a estudiar a continuación un ejemplo que nos ayudará a entender
mejor el comportamiento y las propiedades de la función exponencial.
Es muy común la utilización de la base a=10 en las funciones exponenciales por
su alto grado de aplicación, pues los números reales se escriben cómodamente
Definición: se llama función exponencial de base a (𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1) a la función que a cada número real x le hace corresponder 𝒂𝒙, es decir el conjunto de pares ordenados {(𝑥, 𝑎𝑥); 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1}
FUNCIONES
101
en el sistema decimal. Sin embargo no es preciso tomar como base al número
10, cualquier otro entero positivo diferente de 1 puede tomarse como base.
La representación gráfica de la función 𝑦 = 10𝑥 es la siguiente.
Como puedes ver para lodo 𝑥 ∈ ℝ la función 10𝑥 > 0, por lo que su gráfica no
toca el eje “x”, aunque sí se acerca ilimitadamente a él. Esta recta a la cual la
curva se aproxima ilimitadamente se denomina Asíntota de la Función
Exponencial.
A partir de la Gráfica podemos definir las propiedades de la función:
Dominio: 𝑥 ∈ ℝ
Imagen: 𝑦 ∈ ℝ∗ (reales positivos).
Ceros (puntos donde la curva interseca el eje “x”): no tiene Monotonía:
Creciente.
Valor máximo: no tiene la función; toma cualquier valor positivo.
Valor mínimo: no tiene la función; se aproxima indefinidamente al eje “x”
sin tocarlo.
Paridad: no es par ni es impar puesto que la función no es simétrica
respecto al origen ni al eje “y”.
FUNCIONES
102
Analicemos los siguientes gráficos de las funciones 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 3𝑥; 𝑦 =
(1
2)𝑥
respectivamente.
¿Qué notas en común? ¿Qué diferencias puedes determinar?
A continuación resumo las principales conclusiones que podrás aprender de este
análisis.
Para las funciones de tipo: 𝒚 = 𝒂𝒙
En ambos casos las propiedades de las funciones resultantes coinciden con las
de 𝑦 = 10𝑥, solo es diferente la monotonía en el caso de 0 < 𝑎 < 1 que pasa a
ser decreciente.
𝒚 = 𝟐𝒙 𝒚 = 𝟑𝒙 𝒚 = (𝟏
𝟐)𝒙
∗ Si 𝑎 > 1 entonces log 𝑎 > 0 por ∗ Si 0 < 𝑎 < 1 entonces log 𝑎 < 0, y la una contracción o dilatación en la contracción o dilatación de la gráfica de dirección del eje “x”. 𝑦 = 10𝑥 le sigue una simetría respecto al eje "y"
FUNCIONES
103
Transformaciones de funciones exponenciales:
Partiendo de los gráficos de las funciones 𝑦 = 2𝑥; y 𝑦 = (1
2)𝑥
tratemos de esbozar
cómo serían las gráficas de 𝑦 = 2𝑥 − 8; y 𝑦 = (1
2)𝑥−2
CASO 1: 𝑦 = 2𝑥 − 8.
Tomando como base la función 𝑦 = 2𝑥 en su forma 𝑓(𝑥) = 2𝑥 podemos decir que
la función 𝑦 = 2𝑥 − 8 es del tipo 𝑓(𝑥) − 𝑐 donde 𝑓(𝑥) = 2𝑥 y 𝑐 = 8.
Siendo así la gráfica de 𝑦 =
2𝑥 − 8 se obtiene por un
desplazamiento de la función
𝑓(𝑥) = 2𝑥 en 8 unidades hacia
abajo. Partiendo de 𝑦 = 1 en la
función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 la 𝑥 = 0; y
para la función 𝑦 = 2𝑥 − 8, la x
correspondiente se ubica 8
unidades más abajo. Por lo
tanto sería 𝑥 = −7, y el par
ordenado sería (-7; 1)
Tarea:
Cuál sería el gráfico de 𝑦 =
2𝑥 + 8
FUNCIONES
104
CASO 2: Utilizamos el mismo procedimiento que en el caso anterior. Definimos entonces
que 𝑦 = (1
2)𝑥−2
es una función
de tipo 𝑓(𝑥 − 𝑐) donde 𝑓(𝑥) =
(1
2)𝑥
y 𝑐 = 2.
De aquí que su gráfica se obtenga recorriendo la gráfica
de 𝑓(𝑥) = (1
2)𝑥
2 unidades a la
derecha. Tarea: Cuál sería el gráfico de
𝑦 = (1
2)𝑥+2
Función exponencial con base 𝓮
Leonard Euler, según has podido leer en el primer Paréntesis Cultural, realizó
disímiles investigaciones y aportes a la matemática moderna. El más reconocido
es el número 𝓮 = 2.71828. Con él se logra la ampliación de las aplicaciones de
las funciones exponenciales mediante la conceptualización de las funciones
exponenciales naturales. Dichas funciones tienen como base a 𝓮. Estas son
aplicadas en cálculos, estadísticas, análisis económicos, y en problemas que
implican crecimiento o decaimientos naturales, como estudios poblacionales,
intereses compuestos de inversiones y decaimientos radiactivos, por citar
algunos ejemplos.
FUNCIONES
105
Como puedes constatar a través de la representación gráfica, la función 𝒚 = 𝒆𝒙
mantiene las características y propiedades generales de las funciones
exponenciales con base 𝑎 > 1.
A continuación analicemos otros ejemplos que te ayudarán a comprender mejor
la aplicación de las funciones exponenciales en la resolución de problemas.
CASO 3: Una de las principales inquietudes de los padres es qué talla
alcanzarán sus hijos. Este es el caso de un niño llamado Carlos, quien tiene 3
años de edad. Carlos midió al nacer 30 cm de longitud y ha aumentado su
estatura a razón de 45% anual en sus 3 primeros años de vida.
a) Determine la función de crecimiento de Carlos
Estatura inicial= 30cm
% de crecimiento anual= 1.45%
Variable (exponente)= t (tiempo en años de vida de Carlos)
Recuerda las siguientes propiedades de las potencias que te serán muy útiles
Si 𝑎 > 0; 𝑏 > 0; 𝑟 𝑦 𝑠 ∈ ℝ
*𝑎𝑟 ∗ 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 ∗ 𝑎𝑟 ∗ 𝑏𝑟= (𝑎 ∗ 𝑏)
𝑟 ∗ (𝑎𝑟)𝑠 = 𝑎𝑟𝑠
*𝑎𝑟 ÷ 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟−𝑠 ∗ 𝑎𝑟 ∗ 𝑏𝑟 = (𝑎
𝑏)𝑟 *𝑎−𝑟 =
1
𝑎𝑟
*𝑎log𝑎 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑎0 = 1 ∗ 𝑎1 = 1
*Si 𝑎𝑟 = 𝑎𝑠, entonces 𝑟 = 𝑠
FUNCIONES
106
Con estos datos podemos definir la función de crecimiento de Carlos
como 𝑪(𝒕) = 𝟑𝟎(𝟏. 𝟒𝟓)𝒕.
b) Qué estatura tiene Carlos actualmente.
Han transcurrido 3 años desde el nacimiento de Carlos, por lo tanto 𝑡 = 3.
Entonces
𝐶(3) = 30(1,45)3
𝐶(3) ≈ 91,5
Carlos mide aproximadamente 91,5 cm de estatura.
c) Represente gráficamente la función de crecimiento de Carlos, y ubique en
la misma el punto de crecimiento hasta los 3 años.
CASO 4: El monto que se obtiene de una cantidad de dinero invertida a un
interés compuesto, está expresado por la función:
Secuencia en la calculadora:
1 . 45 x^y 3 = * 3 0 =
FUNCIONES
107
𝐹(𝑛) = 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛
Donde:
S=monto compuesto
n= años transcurridos desde el inicio de la inversión (variable independiente de
la función)
P=capital al final de n años
r= tasa de interés compuesto anual
Supongamos que hemos realizado una inversión de 1000 dólares a una tasa de
interés compuesta del 9% anual-
a) Representa gráficamente la función.
Comenzamos como puedes ver con un capital P=1000, la asíntota de la función
será la recta y=1000, porque desde que se inicia la inversión se comienza a
percibir ganancias de los intereses, por lo que el monto S nunca va a ser 1000
aunque se aproxime infinitamente a él.
b) Determine el monto acumulado a los 5 años.
𝑆 = 1000(1 + 0.09)5
𝑆 = 1000(1.09)5
FUNCIONES
108
Ya tenemos sistematizados los contenidos principales de esta sección, por lo
cual te propongo realizar los ejercicios de consolidación siguientes.
Ejercicios Propuestos
1. Los puntos A1; A2; A3; A4 están situados en la curva 𝑦 = 10𝑥. Sus ordenadas
son iguales a los números 1; 0,1; 1,2; 2; 79,6 respectivamente. Determina las
abscisas de dichos puntos.
2. Dadas las funciones 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = (1
2)𝑥. Determina a qué función corresponde
cada uno de los siguientes puntos:
(0;1); (-0,1;0); (5;1/32); (0;2); (-2;-4); (0;0); (-2;1/4)
3. Resume las propiedades que son comunes a todas las funciones
exponenciales.
4. Sean las funciones:
𝑓(𝑥) = 5𝑥 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = 5𝑥+3 𝑖(𝑥) = 5𝑥+3 − 1 𝑗(𝑥) = 5𝑥−4
a) Determina el Dominio y la Imagen de cada una de ellas.
b) Diga si tienen ceros.
c) Para qué valor de x se cumple que:
𝑓(𝑥) = √53; 𝑔(𝑥) − 4 = 0; ℎ(𝑥 + 6) =
1
25; 𝑖(𝑥 − 7) =
1
9; 𝑗(𝑥) = 3√2
5. Si 𝑓(𝑥) = 7𝑥−3 ; 𝑔(𝑥) = (1
7)𝑥
a) Determina el punto de intersección entre las 2 funciones.
b) Calcula 𝑓(12,7)+𝑓(2)−𝑓(0,15)
𝑔(0,15)−𝑔(2)+𝑔(7,3)
Secuencia en la calculadora:
1 . 09 x^y 5 = * 1 0 0 0 =
FUNCIONES
109
6. De las funciones siguientes:
𝑓(𝑥) = 6𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 2 + 8𝑥−2 ; ℎ(𝑥) = (2
5)𝑥+1; 𝑖(𝑥) = 9𝑥−2
a) Determina el Dominio y la Imagen de cada una.
b) Identifica los ceros en los casos donde sea posible.
c) Obtén en cada caso el par ordenado (0;y)
d) Realiza un esbozo gráfico de cada una de ellas.
7. Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Justifique su respuesta.
“Para toda función exponencial se cumple que si su base se encuentra en el
rango de 0 a 1, la representación gráfica de la misma es idéntica a la de la función
𝑓(𝑥) = 10𝑥 ”
8. Sea la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 determina si los pares ordenados siguientes
pertenecen a ella:
(0;5); (3;7); (0;6); (3;13); (5;37); (4;23); (11;126)
9. Sea 𝑓(𝑥) = 5𝑥−2 − 2.
Para qué valores de x se cumple que 𝑓(2𝑥 + 1) > 0
10. Calcula x en 𝑓(3𝑥 − 1) = 2
a) Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥
b) Si 𝑓(𝑥) = 42𝑥−3
c) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥−7 + 2
d) Si 𝑓(𝑥) =25𝑥−4
13𝑥−4
11. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) √4𝑥+1
= 2𝑥
b) 2𝑥−1 = 2𝑥
c) 5𝑥+1 + 5𝑥 = 750
FUNCIONES
110
d) (9
4)𝑥+1 ∗ (
8
27)𝑥−1 =
2
3
e) 3𝑥+1 + 2 ∗ 32−𝑥 − 29 = 0
12. Sea la función 𝑔(𝑥) = 5𝑥+4 − 7
a) Determina el Dominio y la Imagen de la misma
b) ¿Tiene ceros?
c) Clasifícala en cuanto a la paridad
d) Cuáles son sus valores mínimos y máximos.
e) Determina si los pares ordenados siguientes pertenecen a dicha función:
(0,015;15); (0;618)
13. En un mismo eje de coordenadas ortogonales graficar las funciones
siguientes:
a) y = 2x
b) y = 3x
c) y = 4x
14. Proceder de la misma manera que en el ejercicio anterior:
a) y = (1/2)x
b) y = (1/3)x
c) y = (1/4)x
15. Resolver estos sistemas:
a) 4x = 16.y
2(x + 1) = 4.y
b) 2x - 2y = 24
x + y = 8
16. Observa las bases de cada una de las funciones exponenciales y las gráficas
trazadas en los ejercicios anteriores, ¿qué conclusiones extraes?
17. En un cultivo de laboratorio el número de células en el momento t está dado
por la función 𝐿 = 𝐿𝑜(2𝑡/230), siendo 𝐿𝑜 la cantidad de células. ¿En qué tiempo
FUNCIONES
111
la cantidad de células se duplicará con respecto a la cantidad inicial?
18. Producto de la crisis económica mundial que está enfrentando todo el
planeta, los economistas han pronosticado para los países pobres una
disminución de las importaciones promedio, en un 15% anual para los próximos
12 meses. Si uno de estos países tiene un nivel de importaciones de 1500
millones de dólares ¿cuánto debería estar importando en el noveno mes? ¿Y en
el onceno mes?
19. Producto del envejecimiento poblacional que estaban experimentando
algunos países desarrollados, los estados implantaron políticas para incentivar
al aumento del número de hijos de un matrimonio. Después de 5 años de
comenzado el proyecto se ha constatado un aumento de un 2% anual en la
cantidad de niños nacidos. Si al inicio la población de niños de uno de estos
países era de 2,5 millones. ¿A cuánto ascendería la población de niños dentro
de 4 años?
20. Para la función 𝑦 = 15𝑥 − 4𝑥 − 5, determina:
a) ¿Para qué valor de x la función toma valor -5?
b) ¿Cuál es el Dominio e Imagen de la función?
c) ¿Tiene ceros la función?
Funciones logarítmicas
A continuación definiremos formalmente la función logarítmica.
Una vez más vemos la interrelación entre la función exponencial y la logarítmica,
tanto que, hasta para su definición, una está en relación de dependencia de la
otra. Decimos que log𝑎 𝑥 = 𝑦 es la forma logarítmica de la forma exponencial
𝑎𝑥 = 𝑦
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝒔í 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂𝒙 = 𝒚
FUNCIONES
112
Te muestro otro estilo de definición con un enfoque a los pares ordenados y los
valores admitidos para la constante y la variable de la ecuación. Veamos:
Gráfica:
Para obtener la gráfica de la función logarítmica podemos hallar los valores de y
que corresponden a cada x (ya sabemos que la función logarítmica es inyectiva
así que cada y se obtiene a partir de un solo valor de x) Pero además al saber la
relación inversa entre las funciones logarítmicas y exponenciales, podemos
utilizar el procedimiento gráfico explicado en el epígrafe de funciones inversas,
donde, trazando la recta 𝑦 = 𝑥 sobre el eje de coordenadas, y con la
representación gráfica de la función exponencial, proyectamos sobre la recta
dicha función, obteniéndose la curva correspondiente a la representación gráfica
de la función logarítmica.
Vamos a representar la función 𝑦 = log 𝑥, ya que en la sección de funciones
exponenciales habíamos representado la función inversa de esta, o se a 𝑦 =
10𝑥.
Una vez representada la función, comparemos las propiedades de esta, con su función inversa.
𝒚 = 𝒂𝒙 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒙
Se llama función logarítmica de base 𝑎 (𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1) a la función que a cada 𝑥 (𝑥 > 0) le hace corresponder log𝑎 𝑥, es decir, al conjunto:
{(𝑥; log𝑎 𝑥); 𝑥 𝜖 ℝ+∗ ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 }
FUNCIONES
113
Dominio ℝ ℝ+∗
Imagen ℝ+∗ ℝ
Ceros No tiene x=1 ya que log 1 = 0 Monotonía Creciente Creciente Valor máximo No tiene No tiene Valor mínimo No tiene, se acerca
infinitamente al eje x
No tiene, se acerca infinitamente al eje y
Paridad No es impar ni par No es impar ni par
Como puedes apreciar, la relación entre dominio e imagen de ambas funciones
nos confirma la relación inversa que existe entre ellas.
Analicemos ahora un Ejemplo en el que utilizaremos la base 𝑎 = 10, y vamos a
determinar para qué valores de 𝑥, la función 𝑦 = 𝑎𝑥 alcanza los valores 5; 10 y
42,5, respectivamente.
Los valores 5; 10 y 42,5 son imágenes de la función, o lo que es igual, son valores
que toma la variable y con determinado valor de x, respectivamente.
Entonces. si
𝑦 = 5 ⟹ 5 = 10𝑥
𝑦 = 10 ⟹ 10 = 10𝑥
𝑦 = 42,5 ⟹ 42,5 = 10𝑥
Los valores de x en cada caso los determinamos despejando dicha variable, con
lo cual obtenemos una ecuación logarítmica.
5 = 10𝑥
𝑥 = log 5
𝑥 = 0.699
10 = 10𝑥
𝑥 = 1
42,5 = 10𝑥
𝑥 = log 42,5
𝑥 = 1.6284
Recuerda que puedes obtener los valores de los logaritmos utilizando una
calculadora científica. La secuencia de teclas sería la siguiente:
Para 𝑦 = 5 5 Log =
Importante: Los logaritmos de base 10 son llamados Logaritmos comunes, y no es
necesario colocar el 10 en la base para saber que se trata de este tipo.
FUNCIONES
114
En el caso de calculadoras con editor de fórmulas la secuencia es la siguiente:
Ahora te propongo determinar cuáles serían las imágenes de la función anterior
si los valores de las abscisas (x) son 0,5; 1,3 y -1,7.
𝑦 = 100,5
𝑦 = 3,16
𝑦 = 101,3
𝑦 = 20
𝑦 = 10−1,7
𝑦 = 0,02
En la calculadora científica se obtienen dichos valores utilizando la secuencia
de teclas siguiente:
Apoyados en la demostración anterior podemos llegar a la conclusión siguiente:
En general las propiedades de las funciones 𝒚 = 𝒂𝒙 y sus gráficas pueden
obtenerse de la de la función 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙 ya que 𝒚 = 𝒂𝒙 = 𝟏𝟎(𝐥𝐨𝐠 𝒂 )𝒙
Es decir, una función exponencial desconocida se puede transformar una en una
variación de otra conocida. Lo mismo puede aplicarse en las funciones
Para curiosos
¿Cómo sería la representación gráfica de 𝒚 = 𝟐𝒙 sin utilizar ningún programa computarizado?
Tenemos una función de forma: 𝑦 = 2𝑥 ⟹ 𝑏 = 𝑎𝑐
Primero transformaremos la expresión en una potencia de base 10: 𝑏 =10𝑐 ⟹ 2 = 10𝐶 (ecuación 1)
Despejamos c en la ecuación 1 quedando: 𝑐 = log10 2 = log 2 (ecuación 2)
Calculamos el valor numérico de: 𝑙𝑜𝑔 2 = 0.3
En la función principal sustituimos las ecuaciones 1 y 2 y queda:
𝒚 = 𝟐𝒙⟹ 𝒚 = 𝟏𝟎(𝐥𝐨𝐠𝟐)𝒙 = 𝟏𝟎𝟎,𝟑𝒙
Como puede verse la función y=2^x se obtiene gráficamente por una
contracción de la función 𝑦 = 10𝑥 en el sentido del eje “x”. Por lo que si gráfica tiene la misma representación que esta última con una ligera contracción con respecto a ella.
Se infiere además que las propiedades de dicha función son muy similares a
las de la función de tipo 𝑦 = 10𝑥
1 0 𝑥𝑦 0 , 5 =
log 5 =
FUNCIONES
115
logarítmicas; pero eso ya debes suponerlo debido a la relación inversa que ya
conoces existe entre exponenciales y logarítmicas.
A continuación se relacionan algunas propiedades algebraicas de los logaritmos
que te serán muy útiles para el trabajo con estas funciones.
Ya estamos listos entonces para trazar la gráfica de la función 𝑦 = log2 𝑥, como
hicimos en las funciones exponenciales con 𝑦 = 2𝑥, sin utilizar un programa
computarizado.
𝑦 = log2 𝑥 Utilizamos la propiedad del cambio de base, para cambiar la base 2
por base 10.
𝑦 =log𝑥
log2 Calculamos con la calculadora científica el valor de log 2 = 0,3. Por lo
que:
𝑦 =log𝑥
0,3
Por lo tanto, la gráfica se puede obtener de la de 𝑦 = log 𝑥 por una contracción
en el sentido del eje x. Realiza el gráfico de ambas funciones y comprueba sus
concordancias (Recuerda que puedes utilizar el programa DeadLine).
Al igual que las funciones exponenciales, las logarítmicas de base 𝑎 (𝑎 > 1) se
pueden obtener de la de 𝑦 = log 𝑥 por una dilatación o contracción de su gráfica:
log𝑎 𝑥 =log𝑥
log𝑎 (log𝑎 𝑥 > 0)Por consiguiente estas funciones mantienen las
propiedades de la función 𝑦 = log 𝑥.
Ahora, si la base 𝑎 (0 < 𝑎 < 1), entonces se tiene que:
Si 𝑎 > 0; 𝑏 > 0;𝑚, 𝑟 𝑦 𝑛 ∈ ℝ
∗ log𝑎(𝑚𝑛) = log𝑎𝑚+ log𝑎 𝑛 ∗ log𝑎 (1
𝑚) = − log𝑎𝑚 ∗ log𝑎 1 = 0
∗ log𝑎 (𝑚
𝑛) = log𝑎𝑚− log𝑎 𝑛 ∗ log𝑎(𝑚
𝑟) = 𝑟 log𝑎𝑚 ∗ log𝑎 𝑎 = 1
∗ 𝑎log𝑎𝑚 = 𝑚 ∗ log𝑎 𝑎𝑟 = 𝑟 ∗ log𝑎𝑚 =
log𝑏𝑚
log𝑏 𝑎
*Si log𝑎𝑚 = log𝑎 𝑛, entonces 𝑚 = 𝑛
FUNCIONES
116
log𝑎 𝑥 =1
log𝑎log 𝑥 ; con
1
log𝑎< 0.
Esto significa que la gráfica se obtendría de 𝑦 = log 𝑥, añadiéndole a la dilatación
o contracción de su gráfica una simetría con respecto al eje x (la misma situación
que en exponenciales). Por ello las propiedades de estas funciones coinciden
con las de 𝑦 = log 𝑥, pero cambia el sentido de la monotonía de creciente para
𝑦 = log 𝑥 a decreciente para estas últimas.
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝐬𝐢 𝐚 > 1
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝐬𝐢 𝟎 < 𝐚 < 𝟏
Existe un tipo de logaritmo llamado logaritmo natural, cuya particularidad es que
tiene como base al número 𝒆, cuya notación es 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙, que es igual a log𝑒 𝑥.
Su representación gráfica, al ser 𝑒 > 1, coincide con la representación gráfica de
las funciones logarítmicas con base 𝑎 > 1. Puedes comprobarlo representando
gráficamente la función con la ayuda del programa DeadLine.
Esta coincidencia en los gráficos se hace extensiva a las propiedades, así que
la función 𝒚 = 𝐥𝐧𝒙, coincidirá con las propiedades de la función 𝑦 = log 𝑥.
Veamos a continuación algunos ejemplos que tanto nos ayudan a comprender
la importancia y aplicación del contenido teórico.
CASO 5: Revisa el caso 3 de la sección de Funciones Exponenciales y
responde:
Suponiendo que Carlos mantuviera dicha función de crecimiento y teniendo en
cuenta la talla promedio máxima de un hombre adulto (para este ejemplo la
FUNCIONES
117
fijaremos en 180 cm). ¿Hasta qué edad necesitaría crecer Carlos a este ritmo?
¿Es probable que a esa edad ya Carlos haya alcanzado esa talla?
En este caso podemos hacerlo utilizando la representación gráfica y ubicando
en el eje x el valor 180 cm, y buscando cuál es el valor de y correspondiente.
Pero lo haremos calculando por ser más exacto el resultado y porque no todos
los editores de gráficos nos permiten ese nivel de detalle. Siendo así:
𝐶(𝑡) = 180 Por lo que,
180 = 30(1,45)𝑡 Despejamos y,
180
30= 1,45𝑡, Simplificando obtenemos:
6 = 1,45𝑡, Despejamos en función de t, y quedaría:
log1,45 6 = 𝑡, Transformamos para poder calcular el valor,
log6
log1,45 = 𝑡 Quedando:
0,77815
0,161368= 𝑡, con lo que,
𝑡 = 4,82 ≈ 5.
Carlos alcanzaría la estatura de 180 cm a los 5 años, aproximadamente, lo cual
no es probable que ocurra.
CASO 6: Análogamente revisa el CASO 4 de funciones exponenciales y
responde: ¿a qué tiempo el monto acumulado será igual a 40000?
𝑆 = 40000 Por lo que,
40000 = 1000(1 + 0,09)𝑛 Simplificamos y queda:
40 = 1,09𝑛 Despejamos en función de n:
log1,09 40 = 𝑛, Transformamos para poder calcular el valor,
log40
log1,09 = 𝑛, Quedando:
1,602
0,1614= 𝑛, con lo que,
𝑛 = 9,93 ≈ 10
El monto acumulado será igual a 40000 a los 10 años, aproximadamente.
CASO 7: Este es un caso de aplicación de funciones exponenciales, y su
relación con los logaritmos naturales:
FUNCIONES
118
El señor Marcos López trabaja en las obras de construcción del nuevo
aeropuerto de Quito que se piensa se termine en el año 2011. El turno de trabajo
del señor Marcos comienza a las 11pm y termina a las 7am del otro día. Es así
que Marcos necesita dormir durante el día para estar listo en la noche para su
jornada laboral. Marcos decidió comprarse unas cortinas para tapar las
ventanas, disminuir un poco la intensidad de la luz del día y poder conciliar el
sueño. Cada tela de 1mm de espesor con las que están elaboradas las cortinas
que don Marcos escogió, según le indicó el vendedor reduce el 10% de la
intensidad de la luz. Si Marcos quisiera disminuir la intensidad de la luz en su
cuarto al 50%, ¿cuántas capas de esta tela deben tener las cortinas?
Solución: Como puedes ver, éste es un problema clásico de decaimiento de un
factor natural (como es la intensidad de la luz). Es por ello que supongo que
hayas inferido que en nuestra formulación del caso estará involucrado el
número 𝒆 como constante de nuestra ecuación de decaimiento.
El factor que queremos disminuir es la intensidad de la luz, que la definiremos
con la letra 𝑰 , con lo cual la intensidad de la luz inicial (o sea en un 100%) la
definimos por 𝑰𝒐. Como queremos reducirla al 50%, o sea a la mitad, en nuestro
caso diríamos que la intensidad que necesitamos es 𝑰 =𝑰𝒐
𝟐
La variable que necesitamos encontrar es la cantidad de capas de tela
necesarias, y la representaremos con la letra 𝒑. Dicha variable provoca una
disminución de la intensidad de la luz 𝑰 a razón de un 10% por capa, o sea 𝟎, 𝟏𝒑,
y al ser decaimiento debemos afectar dicho producto por un signo negativo de
denote la disminución, es decir −𝟎, 𝟏𝒑.
Con todos los datos definidos procedemos a plantear la ecuación que define la
función.
𝐼 = 𝐼𝑜𝑒−0,1𝑝
Para reducirla al 50% quedaría entonces:
𝑰𝒐𝟐= 𝐼𝑜𝑒
−0,1𝑝
Algebraicamente podemos cancelar la 𝐼𝑜 como factor común de ambos
miembros dividiendo por 1
𝐼𝑜. La formula queda entonces:
FUNCIONES
119
1
2= 𝑒−0,1𝑝
Despejamos para hallar 𝑝, quedando:
ln 0,5 = −0,1𝑝
Recuerda que es el logaritmo la función inversa de la función exponencial con la
cual podemos determinar el valor del exponente de la exponencial.
ln 0,5
−0,1= 𝑝
Resultando: 𝑝 = 6,9… ≈ 7
Por lo tanto, Marcos necesitaría 7 capas de tela para reducir la intensidad de la
luz en su cuarto a la mitad.
Después de los ejemplos citados, y con el estudio de los temas teóricos de esta
sección, ya estás listo para comenzar a realizar ejercicios para lograr una mejor
comprensión del contenido.
Ejercicios Propuestos
1. Calcular utilizando las propiedades de logaritmo estudiadas:
a) 8log77 =
b) 3log32 2 =
c) 7log2 16 =
d) 4log 1
366=
e) 5log16 2 =
f) 15log15ℎ =
g) 32log162 =
h) log2 16 =
i) log3 27 + log3 9 =
j) log5 5 − log5 25 =
k) log 0,1 log 0,01 =
l) log 4 64 + log 8 64 =
La secuencia en la calculadora seria:
0 , 5 ln * - 0 , 1
FUNCIONES
120
m) log 5 + log 20 =
n) log7 49 − log7 175 =
o) log 2 log 0,2 =
p) ln 35 −ln(𝑥+2)
ln𝑥= 0
2. Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 𝑙𝑜𝑔 (𝑥3 − 6. 𝑥2 + 11. 𝑥 − 5) = 0
b) log16 𝑥 + log4 𝑥 = log256 𝑥 +13
2
c) 𝑥log𝑥 = 1012
d) log2𝑛+1
𝑛−1= 0
e) log2𝑥
log(𝑥−15)= 2
f) log12
(1
16) + 2 log3(𝑥 − 3) ∗ log3(𝑥 + 2) = log32(𝑥 − 3) ∗ log32(𝑥 + 3)
3. Hallar el logaritmo de los números siguientes:
a) 𝑙𝑜𝑔 9,8907 =
b) 𝑙𝑜𝑔 718,41 =
c) 𝑙𝑜𝑔 5879,2 =
d) 𝑙𝑜𝑔 0,00050858 =
e) 𝑙𝑜𝑔 0,28904 =
4. Determine si pertenecen a 𝑦 = log 𝑥 los pares siguientes:
(100; 2) (1
10; −1) (855; 2,932) (5; 1,699)
5. Encuentre los valores de x para los cuales están definidas las funciones
siguientes:
a) 𝑓(𝑥) = log2(2𝑥 −3
4)
b) 𝑔(𝑥) = log5(1
5− 9)
c) ℎ(𝑥) = log(10 − 4𝑥)
d) 𝑖(𝑥) = log3(2 − 𝑥)
e) 𝑘(𝑥) = log2(𝑥
2−𝑥)
FUNCIONES
121
f) 𝑓(𝑥) = log(𝑥2 + 3𝑥 − 18)
6. Representa gráficamente los incisos anteriores, y determina la imagen en cada
caso. (Recuerda que puedes utilizar el programa DeadLine para estos fines)
7. Determina la función inversa de los incisos del ejercicio 2. ¿Cuáles serían los
dominios respectivos?
8. Utilizando las propiedades de los logaritmos expresa tan reducidas como sea
posible las funciones siguientes:
a) 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) − log2(𝑥 + 1)
b) 𝑓(𝑥) =log𝑥
log𝑦− log 𝑦
c) 𝑓(𝑥) =log2(3𝑥+1)
log4(3𝑥+1)− log4(3𝑥 + 1)
9. Determina el conjunto solución, en cada caso:
a) log3 𝑥 = 2 − log3 9
b) log2 3 + log3(𝑥 + 1) = 1
c) log7(𝑥 + 2) − log4 3 = 2
d) log2(3 𝑥2 − 3) = log2(𝑥 + 5) − log2 3
10. Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4; 𝑦 𝑔(𝑥) = log3(𝑥 − 3)
a) ¿En qué punto de la gráfica cortan al eje x?
b) Determina el Dominio y la Imagen de cada una.
c) Represéntelas gráficamente.
d) Halla x si 𝑓(𝑥) + 3 = 0; 𝑦 𝑔(𝑥) + log3(2𝑥 + 15) − 4 = 0
11. Completa las coordenadas de los puntos que constan a continuación, si todos
pertenecen a la función 𝑓(𝑥) = log(3𝑥 + 2)
a) (3; 𝑦)
b) (𝑥; 1)
c) (4; 𝑦)
FUNCIONES
122
d) (𝑥; −4)
e) (2; 𝑦)
f) (−5; 𝑦)
12. Sea la función ℎ(𝑥) = 3𝑥 + 3
a) ¿Cuáles de los pares, registrados a continuación, pertenecen a la función?
(4; 84) (−1;10
3) (0; 2) (2; 5)
b) Determina la imagen de la función en el intervalo (−1 < 𝑥 ≤ 2)
c) ¿Para qué valor de x, h(x)=12, h(x)=5?
13. Las propiedades radiactivas de las sustancias disminuyen con el paso del
tiempo. Digamos que tenemos la cantidad R de miligramos de una sustancia
radiactiva después de n años, y que la relación de dependencia entre estas 2
variables se define por la función 𝑅 = 250𝑒−0,027𝑡. Determina a partir de ella:
a) La cantidad de sustancia inicial.
b) La cantidad de sustancia presente después de 3,5 años; y después de 5
años.
c) Determina la vida media de la sustancia (apóyate en el ejemplo CASO 3)
d) ¿Después de qué cantidad de tiempo, encontraremos una cantidad de
sustancia de 35 miligramos?
14. El crecimiento poblacional normalmente se expresa en términos de una
función exponencial. Dado esto, si tenemos que en cierto país la población está
disminuyendo a razón de un 0,5% anual a partir de una población inicial de 10
millones de habitantes,
a) plantee la ecuación de definición de la función, donde la variable
dependiente es el crecimiento poblacional (C) y la variable independiente
es t (años transcurridos).
b) ¿Cuántos años tardará en disminuir al 50% de la población inicial?
15. En un submarino hay censores que determinan la intensidad de la luz solar
que está influyendo sobre el mismo. Estos censores marcan la intensidad de la
FUNCIONES
123
luz en cero a partir de un 2% de intensidad. Si se sabe que la intensidad de la
luz disminuye en un 15% por cada 50 cm de profundidad,
a) determine la función que representa dicha situación.
b) ¿A qué profundidad se detecta una intensidad media de la luz?
c) ¿A qué profundidad comenzará el censor a registrar la ausencia de luz?
16. Vamos a invertir un capital de 6000 dólares en un proyecto empresarial en el
cual recibiremos un incremento anual de la inversión inicial por concepto de
intereses compuestos del 15%. La ecuación que define dicha función es la
siguiente: 𝐴 = 𝐾(1,15)𝑡, donde A es el monto compuesto que obtendremos de
dicha inversión. Con estos datos responde:
a) ¿Cuántos años hacen falta para que la inversión inicial se triplique?
b) Si en el primer año se retira hasta el 50% del capital inicial, según el
contrato, no se acumula ningún interés por el tiempo que estuvo completo,
pero en su lugar se ganará una tasa de interés del 8% desde el inicio de la
inversión y hasta 5 años mínimos, en los cuales no podrá retirar el capital
restante. Entonces, ¿cuál sería la ecuación de definición y a cuánto
ascendería el monto de la inversión después de los 5 años?
17. Las ventas de un producto que recientemente se lanzó al mercado han
registrado un comportamiento según la siguiente función:
𝑉(𝑡) = 5400 (3
4)7𝑡
, siendo t el tiempo en días que ha transcurrido desde el
lanzamiento.
a) ¿Cuál fue la cantidad vendida el primer día. (aproxime el resultado al
número natural más cercano?
b) ¿Cuántos días harán falta para que a este ritmo de ventas se aumente 6
veces la cantidad vendida el primer día?
c) ¿En cuántos días se habrán vendido 30000 unidades?
18. De acuerdo con Richter, la magnitud 𝑀 de un terremoto que ocurre a 100 km
de cierto tipo de sismógrafo está dada por 𝑀 = log 𝐴 + 3, donde A es la magnitud
del trazo registrado (en milímetros) del terremoto.
FUNCIONES
124
a) Encuentra la magnitud de un terremoto que registra una amplitud de trazo
de 1mm.
b) Si un terremoto tiene amplitud 𝐴1 y magnitud 𝑀1, determina la magnitud de
un temblor con amplitud 100𝐴1. Exprese su respuesta en términos de 𝑀1.1
19. Dada la función 𝑓(𝑥) = log34𝑥2+3𝑥−1
4𝑥−1
a) Simplifica la expresión de la función hasta que sea posible.
b) Determina el Dominio e Imagen de la misma.
c) ¿Cuál es su Monotonía?
d) ¿Tiene ceros? ¿Cuáles?
20. En Química debes recordar que el pH de una disolución acuosa se determina
por la fórmula 𝑝𝐻 = log𝐻+. En dependencia del valor del pH podemos decir que
una disolución es ácida si 𝑝𝐻 < 7, básica si 𝑝𝐻 > 7, y neutra si 𝑝𝐻 = 7. Diga
entonces:
a) ¿Para qué valores de 𝐻+ la disolución es ácida? ¿y básica?
b) Si el 𝑝𝐻 = 7 cuál es el 𝐻+ de esta disolución, representa gráficamente la
función, rotulando en la misma los intervalos en que la función cambia de
𝑝𝐻 y por consiguiente de propiedades.
c) ¿Cuál es el pH de una disolución salina utilizada en la preparación de
cosméticos, si su 𝐻+ = 4 ∗ 10−3?
1 Ernest F. Haeussler Jr., Richard S. Paul, “Matemática para Administración y Economía”, Pearson Education, 209p.
FUNCIONES
125
BIBLIOGRAFÍA
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