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Aportes del Análisis Matemático II a la modelización y estudio del movimiento de brazos robóticosHumberto Riccomi, Carina Pacini, Lucía Sacco y Juan Pablo Desperés

Autores: Los autores son integrantes de la cátedra de Análisis Matemático II en la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional San Nicolás. Humberto Riccomi es Especialista en Docencia Universitaria; Carina Pacini y Lucía Sacco, Magister en Docencia Universitaria. Juan Pablo Desperés es estudiante de Ingeniería Mecánica.Dirección de contacto: [email protected]

ResumenLa cátedra de Análisis Matemático II de la FRSN, dependiente de la UTN, implementa estrategias de enseñanza con el propósito de mejorar el proceso de aprendizaje de los alumnos. Una de ellas consiste en plantear el desarro-

Este trabajo presenta la modelización y el estudio de los movimientos de un brazo robótico de tres grados de libertad, a través de la utilización de las fórmulas de Frenet. La propuesta permitió iniciar a los alumnos en la investigación de temas de Ingeniería Mecánica II y Mecánica Racional.Palabras claves: Investigación. Resolución de Problemas. Modelización. Curvas en el espacio.

AbstractThe subject Mathematical Analysis II at FRSN, dependant on UTN, employs teaching strategies in order to impro-

problems.This work presents the modeling and study of the movements of a robotic arm with three degrees of freedom, through the use of the Frenet formulas. The project introduced the students to the research of topics related to Mechanical Engineering II and Rational Mechanics.Key words: Research. Solution of problems. Modeling. Curves in the space.

IntroducciónLas funciones más habituales de los ingenieros son el desarrollo, el diseño, la producción, la evaluación y el con-

de criterios, análisis y resolución de problemas, entre otras competencias.De acuerdo con el programa de Mejoramiento de la Enseñanza de la Ingeniería (PROMEI, 2007) referirnos a com-petencias, en particular a las profesionales, es hablar del conjunto de aptitudes que permiten al ingeniero resolver

adquirido a situaciones nuevas.

ello, desde nuestra visión, ha de vincularse a la automatización, lo que implica un mayor bagaje de conocimientos matemáticos y una formación en la investigación. Este es uno de los requerimientos de la CONEAU para la for-mación del ingeniero, el cual se explicita en la Resolución ME 1232/01ANEXO IV. Cuando se hace referencia a formación en investigación, se centra la atención en investigación como proceso organizado y objetivo cuyo propósito es responder a un interrogante. Es una actividad sistemática dirigida a ob-tener nuevos conocimientos que se necesitan para ampliar los diversos campos de la ciencia y la tecnología,

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mediante observación y experimentación. Se puede definir, también, como la acción y el efecto de realizar actividades intelectuales de modo sistemático, con el propósito de aumentar los conocimientos sobre una determinada materia, en este caso de Análisis Mate-mático. En el ciclo básico de Ingeniería, el Análisis Matemáti-co cumple funciones fundamentales en dos aspectos. Por un lado, un aspecto cognitivo porque promueve el aprendizaje de conocimientos básicos necesarios para la formación del estudiante y, por otro, formativo pues genera el desarrollo de actitudes y capacidades para su futuro desempeño profesional.La cátedra de Análisis Matemático II, de la Facultad Regional San Nicolás dependiente de la Universidad Tecnológica Nacional, ha iniciado, desde el año 2007, un proceso de implementación de distintas estrategias didácticas con el propósito de mejorar la enseñanza y el aprendizaje de esta asignatura, y así potenciar las actitudes y capacidades esperadas en el estudiante de ingeniería. Dentro de este proceso es necesario que el alumno adquiera la habilidad de modelizar. La modelización matemática supone reconocer las relaciones más no-tables sobre las que se va a operar, los símbolos que se va a utilizar para representarlas, los elementos en los que es posible afirmarse para aceptar la eficacia del modelo que se está utilizando, las propiedades que permiten justificar los procedimientos utilizados y la reinterpretación de los resultados obtenidos en el problema planteado (Chevallard, Gascón y Bosch, 1997). Este material, a modo de ejemplo, presenta la mode-lización y el estudio de los movimientos de un brazo robótico de tres grados de libertad, a través de la uti-lización de las fórmulas que son trabajadas en la ma-teria. Además, se considera que la herramienta mate-mática, para el abordaje del tema, aporta una mirada diferente en pos de la resolución del problema. Objetivos y propósitosSe plantean los siguientes objetivos:-Mostrar los resultados de la primera etapa de investi-gación durante el presente año por alumnos y docen-tes de la cátedra en torno a un problema específico de mecánica, utilizando contenidos desarrollados en la asignatura.-Plantear una propuesta de trabajo que permita a los futuros ingenieros:el desarrollo de competencias específicas (precisión y claridad en el lenguaje, creatividad, análisis e inter-pretación de problemas reales, modelización) y trans-versales (autonomía en el aprendizaje y habilidades cognitivas) (Pacini, Riccomi, Sacco y Schivo, 2008). la iniciación en proyectos de investigación de temas de su especialidad, teniendo en cuenta tópicos de

otras disciplinas, vinculadas horizontal y vertical-mente, como Ingeniería Mecánica II y Mecánica Ra-cional, entre otras.

Estudio del problemaEl problema al que se refiere este trabajo surge como uno de los apropiados, formulado y propuesto en la cátedra, para iniciar a los alumnos en la investigación.El enunciado se presenta durante el desarrollo de la Unidad Didáctica Nº6 “Límite, continuidad y deriva-da direccional de funciones de Rn en Rm” de la plani-ficación de Análisis Matemático II. Para su resolución se utilizan conceptos desarrollados en la asignatura, como son curvas en el espacio, ver-sores y Triedro de Frenet.Para la interpretación, estudio y resolución del pro-blema se aplican dos software como recursos tecno-lógicos. Por un lado, Maxima como sistema com-putacional de cálculo simbólico, el cual permite la manipulación de expresiones algebraicas complejas y la realización de las operaciones de cálculo. Y por otro, Autocad, con el cual se diseña el brazo del robot y se construyen figuras para el análisis de su geome-tría.A continuación, se muestra en primer lugar su reso-lución empleando el marco teórico de curvas en el espacio definido en la asignatura y, en segundo lugar, la comparación del resultado obtenido con otros dos caminos de resolución hasta el presente realizados, uno utilizando conceptos de trigonometría y otro, a través de conceptos de rototraslación.

EnunciadoDado el siguiente brazo robótico (Figura 1), encontrar las ecuaciones que describen el movimiento del punto P con respecto al origen de coordenadas O del sistema básico de referencia (versores i, j y k).Sugerencias para la resolución del problema:a) Escriba las ecuaciones del movimiento del punto

1O (origen de coordenadas del sistema de versores or-tonormales 1T , 1N y 1B ) en función de R (constante), h (constante) y 1θ (variable).b) Calcular 1T , 1N y 1B . c) Escriba las ecuaciones del movimiento del punto

2O (origen de coordenadas del sistema de versores or-tonormales 2T , 2N y 2B ) en función de 1R (constante) y

2θ (variable), utilizando como sistema de referencia a los versores 1T , 1N y 1B .d) Calcular 2T , 2N y 2B .e) Escriba las ecuaciones del movimiento del punto P en función de 2R (constante) y 3θ (variable), utili-zando como sistema de referencia a los versores 2T

, 2N y 2B .f) Resolver lo pedido en el enunciado.

Desarrollo de experiencias didácticas con carácter innovador en la enseñanza de grado


Figura 1 Brazo robótico de tres grados de libertad.

Descripción del brazo robótico “Un robot es cualquier estructura mecánica que ope-ra con un cierto grado de autonomía, bajo el control de un computador, para la realización de una tarea, y que dispone de un sistema sensorial más o menos evolucionado para obtener información de su entor-no” (Acosta Sánchez & Sigut Saavedra, 2005).El estudio del problema, a partir de elementos de la robótica, lleva a investigar conceptos referidos a su cinemática, la cual estudia el movimiento del brazo con respecto a un sistema de referencia, conociendo el número de articulaciones y los parámetros geomé-tricos que lo describen (Ottaviano, Husty & Ceccare-lli, 2004).El brazo del robot en estudio mecánicamente está for-mado por tres elementos o eslabones unidos median-te articulaciones que permiten un movimiento entre cada dos eslabones consecutivos. El movimiento posible para las articulaciones es el de giro (articula-ciones de rotación o de revolución). Cada uno de los movimientos independientes que puede realizar cada articulación con respecto a la anterior se denomina grado de libertad.El problema más básico a resolver es obtener un mo-delo de la estructura mecánica que permita relacionar los tres grados de libertad con las coordenadas de to-dos y cada uno de los puntos que constituyen el robot. Este trabajo se posiciona en utilizar herramientas bá-sicas de Análisis Matemático II, diferentes a las que se utilizan en robótica para resolver este tipo de pro-blemas, las cuales permiten describir el movimiento del punto P con respecto al origen de coordenadas O del sistema básico de referencia (versores i, j y k). Se adoptó para el estudio, dentro de la gran variedad de robots que existen para las distintas aplicaciones, un robot Puma 560, acotando el problema a 3 grados de libertad e introduciendo algunas modificaciones respecto a la separación de los elementos en movi-miento.

Resolución del problema desde Análisis Matemático IIConceptos necesarios de Análisis Matemático IILos conceptos trabajados en Análisis Matemático II, con Curva Paramétrica, Curva regular, Versor Tan-gente, Normal y Binormal a una curva. Triedro de Frenet. Los mismos se desarrollan en clase.

Propuesta de resolución con curvas en el espacioPara la resolución del problema se propone, como bien lo indica el enunciado, el estudio del movimien-to de tres puntos

1O , 2O y P, definiendo variables y

constantes con las cuales se trabaja (Figura 2):

Figura 2 Sistemas de coordenadas en los puntos O, O1, O2 y P.Movimiento del punto 1O (origen de coordenadas del sistema de versores ortonormales 1T , 1N y 1B ), la va-riable generalizada 1θ (ángulo de giro con respecto al versor i

) y R (longitud del eslabón) y h (altura)

constantes.Movimiento del punto 2O (origen de coordenadas del sistema de versores ortonormales 2T , 2N y 2B ), la va-riable generalizada 2θ (ángulo de giro con respecto al versor 1T ) y 1R (longitud del eslabón) constante.Movimiento del punto P (efecto final del movimiento del brazo robótico), la variable generalizada 3θ (án-gulo de giro con respecto al versor 2N− ) y 2R (longi-tud del eslabón) constante.Una vez definidas las variables del problema se ini-cia la resolución de los ítems a) a e), utilizando lápiz y papel, como también, los softwares seleccionados. A continuación se muestran las ecuaciones de mo-vimiento de los puntos 1O , 2O y P, utilizando única-mente los conceptos de Análisis Matemático II antes mencionados y el software Maxima.

Movimiento del punto 1O :Este punto gira un ángulo 1θ , a una altura h y a una distancia R, alrededor del eje z, como muestra la Fi-gura 3.



Figura 3 Movimiento de O1.Las ecuaciones de movimiento del punto 1O , con res-pecto al origen de coordenadas O, sistema básico de referencia (versores i, j y k), son sencillas de obtener y se puede expresarlas a través de la parametrización, según ecuación (1)

(1)A partir de ella se obtienen los valores de los tres ver-sores ortonormales 1T , 1N y 1B , según ecuaciones (2, 3 y 4) que permiten obtener la ecuación de movimien-to del punto 2O con respecto al sistema determinado por dichos versores:

Movimiento del punto 2O :Este punto gira un ángulo 2θ , a distancia R1 de 1O

, como muestra la Figura 4, vista desde la dirección de 1N .

Figura 4: Movimiento de O2.

La ecuación (5) describe el movimiento de 2O con respecto al origen de coordenadas del sistema de ver-sores ortonormales 1T , 1N y 1B :

Reemplazando 1T y 1B en (5), resulta:

De igual forma, a partir de la ecuación (5) se obtiene:

Movimiento del punto P:Este punto gira un ángulo 3θ , a distancia R2 de 2O, como muestra la Figura 5, vista desde la dirección de 2B .

Figura 5 Movimiento de P.

La ecuación (10) describe el movimiento de P con respecto al origen 2O :

Si reemplazamos (2), (4), (7) y (8) en (10), resulta:

Por último, las ecuaciones que describen el movi-miento del punto P (efecto final del movimiento del brazo robótico), con respecto al origen de coordena-das O del sistema básico de referencia (versores i, j y k), se realizan mediante la suma vectorial de las ecua-ciones (1), (6) y (11), obteniendo la ecuación (12):

Con dicha expresión queda resuelto el problema, uti-lizando los aportes de AM II.

Resolución del problema de otras formasEl objetivo de esta parte del trabajo es mostrar a los alumnos que en su vida profesional el ingeniero pue-de encontrarse con problemas que no tienen una única forma de resolución, más aun, que se pueden presen-tar distintas alternativas de solución. Por otra parte, no existirá la figura del profesor para corregir lo que está mal sino que tendrán que ser sus propios evalua-dores. Por ello se busca comparar este resultado con otras alternativas de resolución.

x



Resultados obtenidos utilizando elementos de trigonometríaObservando la Figura 2 y representando una vista su-perior, desde el eje z, se obtiene la Figura 6. De ella puede observarse que la componente en la dirección del versor i

, al aplicar relaciones trigonométricas

elementales, corresponde a la ecuación (13).

De igual forma, la componente en la dirección del versor j

resulta la ecuación (14):

Ambas ecuaciones (13) y (14) coinciden con las com-ponentes indicadas en la expresión (12).

Figura 6 Vista superior del dispositivo.

Para la verificación de la componente según el versor k

, basta mirar la Figura 2, para ver que se puede es-cribir como la ecuación (15):

Con lo que comprobamos el resultado obtenido em-pleando curvas en el espacio por otro método.

Resultados obtenidos utilizando el algoritmo de Denavit - Hartenberg Otro enfoque para resolver este problema es la utili-zación del algoritmo de Denavit y Hartenberg, quie-nes propusieron un método matricial para describir y representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo (Ollero Baturone, A., 2001).La representación de Denavit-Hartenberg (D-H) es-tablece que es necesario seleccionar adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada articu-lación para pasar de uno al siguiente. En nuestro caso ello se realizaría mediante 4 transformaciones básicas que dependen de las características geométricas de la articulación. Después de estudiar el problema por este método se observa que existen discrepancias con los cálculos

obtenidos. Esta cuestión resulta un motivo de futuras investigaciones a partir de un modelo real.

Propuesta de trabajoEn el ámbito de la enseñanza es muy frecuente la re-solución de ejercicios repetitivos. Si bien su resolu-ción es importante en el aspecto formativo para con-solidar habilidades instrumentales básicas, no debe confundirse esto con la resolución de problemas, que implica el uso de estrategias, la toma de decisiones sobre el proceso de solución que debe seguirse, etc. Es posible interpretar que la realización de ejercicios se basa en el uso de destrezas o técnicas aprendidas, es decir, convertidas en rutinas automatizadas como consecuencia de una práctica continuada. Lo grave es que la enseñanza quede solo en la resolución de estos ejercicios y que la evaluación también.La cátedra de Análisis Matemático II considera que una propuesta de trabajo en torno a problemas, como el que se presenta en este trabajo, permite a los estu-diantes, futuros ingenieros, el desarrollo de compe-tencias específicas en cuanto a la resolución de pro-blemas, tarea concreta de su rol profesional.Se considera que una de las formas más completas para promover en los alumnos esta capacidad es el trabajo por proyectos. Esta es una metodología funda-mental porque el alumno aprende haciendo, se invo-lucra y se compromete. Cuando se habla de proyecto se hace referencia a la sistematización de actividades y recursos que deben realizarse a fin de producir ya sea bienes o servicios, capaces de satisfacer necesi-dades o bien de resolver problemas (UTN Rectorado, 1997).Trabajar con proyectos puede cambiar las relaciones entre los docentes y los estudiantes, reducir la compe-tencia entre los alumnos y promover el trabajo cola-borativo entre ellos. Además, los proyectos son capa-ces de cambiar el enfoque del aprendizaje al llevarlos de la simple memorización de hechos a la exploración de ideas. Es importante destacar que los pasos de este méto-do coinciden con las etapas del trabajo profesional del ingeniero, planteo del problema, justificación del proyecto que se llevará a cabo y conceptos esenciales que lo sustentan, formulación de hipótesis de trabajo, experimentación, desarrollo de partes y condiciones para la ejecución.

Organización de la propuestaDe acuerdo con la cantidad de alumnos interesados en la propuesta, y también a la cantidad de proble-mas básicos posibles, se divide el curso en equipos de investigación y trabajo de no más de tres integrantes cada uno. Se propone a cada equipo un problema bá-sico y se establece un cronograma de actividades, de consultas y presentación de “avances” del proyecto,



que no es absolutamente rígido sino que se flexibiliza en función de la diversidad que presentan los diferen-tes equipos de estudiantes.Actividades del docente/s: La función de los docen-tes de la cátedra es inducir a los alumnos a definir y resolver los problemas que se le van presentando, y guiarlos hacia las posibles fuentes de información. Además, evaluar en forma continua las propuestas de los grupos de trabajo.Actividades de los alumnos: La tarea de los alumnos es la confección del proyecto, que comprende una serie de pasos detallados donde ellos asumen el rol de un profesional, y su defensa ante el tribunal eva-luador.Material didáctico: Amplia bibliografía sugerida des-de la cátedra que actúa como guía para el desarrollo de las tareas.

Evaluación de la propuestaLa evaluación de los avances de la investigación, ini-ciada en torno al estudio del movimiento del brazo de un robot, utilizando la metodología de trabajo por proyectos en la cátedra de Análisis Matemático II, asume tres características. Cualitativa, puesto que el objeto de estudio, el estudio del problema a través de la implementación del método de proyectos, ha sido tenido en cuenta desde el punto de vista de su diseño. Exploratoria, en tanto se pretende recoger y analizar información que sirva para diseñar y orientar futuras propuestas de investigación en torno a problemas es-pecíficos. Descriptiva, generando informes narrativos y material didáctico a partir de la investigación de campo realizada. Se considera que la propuesta ha producido gran motivación y resulta un disparador para que los alumnos comiencen a investigar.

Continuidad de la propuestaSe resalta que el inicio de esta propuesta de trabajo en la cátedra ha comenzado este año y los resultados presentados son los que hasta el momento se han ob-tenido. Durante el segundo cuatrimestre se considera realizar un segundo relevamiento de nuevos avances. El interés y entusiasmo que ha producido el estudio de este problema, ya sea por parte de los alumnos como de los miembros de la cátedra, ha llevado a és-tos últimos a pensar en futuras investigaciones y en el planteo de nuevos brazos robóticos.

ConclusionesEs posible analizar el valor agregado de este tipo de trabajo en una asignatura como es Análisis Matemáti-co II, de segundo año del ciclo básico, y descubrir su implicancia en la Ingeniería.Se incentiva a los alumnos a acometer tareas de in-vestigación respecto a temas de interés para su for-mación profesional, lo que conlleva la adquisición

de la habilidad para tomar decisiones acertadas en el momento oportuno, con una postura de reflexión per-manente ante cambios posibles del entorno que los rodea, a transferir conocimiento a situaciones nuevas y a construir una postura que integre los aspectos cog-nitivos, las habilidades y el pensamiento crítico nece-sario para investigar la realidad. Asimismo, este trabajo conduce a los docentes a reflexionar respecto del proceso educativo, las es-trategias de enseñanza y actividades de aprendizaje, orientadas a desarrollar competencias profesionales y lograr un conjunto de aptitudes que permitan, a cada uno de los estudiantes, resolver situaciones proble-máticas de interés a la especialidad, en diversos con-textos, de manera independiente y flexible.

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