Volvemos al problema origuinal para, por inversin obtener losrestantes puntos de tangencia de las soluciones (con la otracircunferencia).

4-Alineando T1 y T2 con el centrode inversin O obtenemos T1' y T2'

CCP: Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior a ellas.ENUNCIADO SOLUCIN

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (1)Dos soluciones mediante inversin positiva

Este problema solo puede ser resuelto por el mtodo reductivo medianteINVERSIN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia,mediante inversin positiva, lo cual nos dar como soluciones doscircunferencias tangentes exteriores a las dos dadas, en algn caso muyparticular podriamos encontrarnos con que una de las circunferencias dela solucin. De este modo reducims el problema a CCP. La inversinpositiva nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles

Inversin negativa, k

CO C'

P

P'A'

A

CCP: Trazar las circunferencias tg. a dos cir. dadas y que pasan por un punto exterior a ellas.ENUNCIADO SOLUCIN

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (2)Dos soluciones mediante inversin negativa

Este problema solo puede ser resuelto por el mtodo reductivo medianteINVERSIN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia,mediante inversin negativa, lo cual nos dar como soluciones dos circunferenciastangentes a las dos dadas, cada una de las soluciones contendr a una de lascircunferencias dadas. De este modo reducims el problema a CCP. La inversinnegativa nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles

Inversin negativa, k

2- A partir de ah aplicaremos unainversin positiva en problema.El centro de inversin positiva esel centro de homotecia directa deeste modo trazamos una paralelaa CT por C' obteniendo el puntonomottico de T (T)'. Uniendo T con(T)' obtenemos O, centro deinversin.

C

T

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCR (3)El punto es el punto de tangencia

POR INVERSIN

ENUNCIADO SOLUCIN

CCP:Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto de tangencia sobre una de las circunferencias. POR INVERSIN POSITIVA

Si conocemos bin el procedimiento de la inversin para el caso estandar de este problema, cuandoel punto dado es el punto de tangencia sobre una de las circunferencias dadas el problema quedasimplificado sobremanera. Al invertir una de las circunferencias en la otra, o vicebersa, tenamostambin que obtener el punto inverso (lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican elejercicio).Para los dos casos que se muestran en esta pgina, al estar el punto contenido en una de lascircunferencias, el punto inverso se encontrar sobre su circunferendia transformada lo cual haceposible resolver el problema con muy pocos trazados y muy rpidamente.

2

ENUNCIADO SOLUCIN 1

2

3- Uniendo C' con T' ( propiedad fundamental de las tangencias)obtenemos el centro de la circunferencia solucin.

2- INVERSIN NEGATIVA: Situamosel centro de inversin (O). Para ellohemos trazado un radio paralelo alradio CT desde C' obteniendo (T)',que es el homottico inverso de T.Uniendo T con (T)' obtenemos elcentro O.

Para ilustrar estos mtodos ( que en realidad es el mismoa diferencia del signo positivo o negativo de la razn deinversin) hemos cambiado el punto de tangencia por razonesde espacio, pero el mtodo no cambia en cualquier caso.

CCP:Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto de tangencia sobre una de las circunferencias. POR INVERSIN NEGATIVA

1- Los centros de la solucin, encualquier caso, se encontrarnsobre la recta que pasa por el puntode tangencia dado y el centro de lacircunferencia a la que pertenece.

1

Sobre la recta OT, encontramos elpunto T' sobre la circunferencia decentro C'.

T' es el punto de tangencia de lasolucin sobre la segundacircunferencia.

Uniendo T y T' con los centros de sus respectivas circunferencias obtenemos una interseccin que por teoremafundamental de las tangencias es el centro de la solucin.

Esta mtodo tiene el inconveniente de, generalmente, tener el centro de inversin algo alejado de las circunferenciasdadas, por lo que si no nos dan el problema preparado en funcin al espacio grfico, el centro de inversin se saledel lmite del papel y su resolucin se complica considerablemente. Esto puede suceder en ejercicios donde esteproblema es solamente uno mas de los varios que el ejercicio pueda contener.

CO C'

TT

(T)

CC'

T

Los centros de la solucinen cualquier caso seencontrarn sobre unarecta que pasa por el centrode la cir. y el punto detangencia dados.

C OC'

T

T

(T)

C OC'

T

T

(T)

Trazando una recta que pasa por T y porO ( en este caso ya la hemos trazado pararesolver el centro de inversin. Obtenemosotro punto, T', sobre la cir. de centro C',que es el inverso de razon negativa delpunto T. este punto es el punto detangencia de la solucin sobre la segundacircunferencia.3

En ambas modalidades de este problema el procedimiento es el mismo, no importa sobre quecircunferencia se situe el punto de tangencia dado.

CCP: Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferenciasconocido un punto de tangencia sobre una de las dos circunferenciasdadas. Resolucin por Potencia (eje radical y centro radical)

ENUNCIADO SOLUCIN

Este centro radical, CR, lo es respecto de las dos circunferenciasdadas y de la auxiliar que hemos trazado, pero tambien lo esrespecto de las dos soluciones.

3- Con centro el centro radical CR, trazamos una circunferenciaque pasa por el punto de tangencia dado. Los puntos deinterseccin con la otra circunferencia, T1 y T2 sern lospuntos de tangencia de las circunferencias solucionessoluciones.

Esto se debe a que el valor CR-T debe ser el mismo desdeCR a los puntos de tangencia de las soluciones al ser CR elpunto que cumple la misma potencia respecto a las trescircunferencias.

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (4)El punto es el punto de tangencia

POR POTENCIA: EJE RADICAL-CENTRO RADICAL

1- Unimos el centro de la circunferencia con el punto detangencia. Sobre esta recta estar indiscutiblemente(propiedad fundamental de tangencias) el centro de lassoluciones

2- Trazamos una circunferencia tangente por elpunto dado a la primera y secante a la segunda.Hallamos el centro radical, CR, de las trescircunferencias. Para ello debemos trazar losejes radicales de las dos parejas decircunferencias.

T

CR

T

4-Unimos estos puntos de tangencia, T1 y T2, con elcentro de la circunferencia, C. donde estas rectas cortena la recta que pasa por el centro de la otra cir. y el puntode tangencia dado tendremos los centros de lassoluciones.

CR

T1

T2

T

CT1

T2

T

Este mtodo podra ser msapropiado en el caso de que elcentro de inversin positva sesalirea de los lmites del papel.

En este caso el centro de una delas circunferencias se alejabastante del nucleo del ejercicio,pero eso es debido a las posicionesrelativas de las dos circunferenciasy puntod e tangencia dado quehacen que una de las cir. solucintenga un rdio considerablemente mayor que los de las cir. dadas.

apolonio_ccp