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Características de la distribición Chi-cuadrada

• Las características principales de la distrbución chi-cuadrada son:· tiene sesgo positivo· es no negativa· está basada en los grados de liberad· cuando los grados de libertad cambian se crea una

nueva distribución

14-2


CHI-SQUARE DISTRIBUTION CHI-SQUARE DISTRIBUTION

gl = 3

gl = 5

gl = 10

χ2

2-2

Probabilidad

Valores de chi-cuadarada


Prueba de bondad de ajuste: frecuencias esperadas iguales

• Sean las frecuencias observada y esperada respectivas.

• : no hay diferencia entre• : existe una diferencia entre • El estadístico de prueba es:

• El valor crítico es un valor de chi-cuadrada con (k - 1) grados de libertad, donde k es el número de categorías.

eff y 0

H0

1H

( )x

f f

fe

e

2 0

2

=−

Σ

14-4

eff y0

eff y 0


EJEMPLO 1

• Los siguientes datos de ausentismo se recolectaron en una planta manufacturera. Para .05 de nivel de confianza, realice una prueba para determinar si existe diferencia en el tasa de ausentismo por día de la semana.

Día FrecuenciaLunes 120Martes 45

Miércoles 60Jueves 90Viernes 130

14-5


EJEMPLO 1 continuacón

• Suponga frecuencias esperadas iguales:

(120 + 45 + 60 + 90 + 130) / 5 = 89.• Use estos números para calcular que el

estadístico de prueba es 42.4719.• Los grados de libertad son (5 - 1) = 4.• Entonces, el valor crítico es 9.488

14-6


EJEMPLO 1 continuacón

• H0 : no existe diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas de ausencias.

• H0 : existe una diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas de ausencias.

• Estadístico de prueba: chi-cuadrada = 60.8

• Regla de decisión: rechazar H0 si el estadístico de prueba es mayor que el valor crítico.

• Conclusión: rechazar H0 y concluir que existe una diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas de ausencias.

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Prueba de bondad de ajuste: frecuencias esperadas distintas

EJEMPLO 2

• El U.S. Bureau of the Census indica que 63.9% de la población está casada, 7.7% es viuda, 6.9% divorciada (y no vuelta a casar) y 21.5% soltera (nunca casada). Una muestra de 500 adultos del área de Filadelfia indica que 310 personas estaban casadas, 40 viudas, 30 divorciadas y 120 solteras. Para .05 de nivel de significancia ¿se puede concluir que el área de Filadelfia es diferente al de Estados Unidos como un todo?

14-8


EJEMPLO 2 continuación

Estado

Casado 310 319.5 .2825

Viudo 40 38.5 .0584Divorciado 30 34.5 .5870

Soltero 120 107.5 1.4535

Total 500 2.3814

f0 fe ( ) /f f fe e02−

14-9



• Paso 1: H0 : la distribución no ha cambiado.

• H1 : la distribucón cambió.

• Paso 2: H0 se rechaza si α =.05

• Paso 3:

• Paso 4: H0 se rechaza. La distribución cambió.

,3=,815.7>2 glx

x2 2 3824= .

14-10


Prueba de bondad de ajuste para normalidad

• Propósito: probar si las frecuencias observadas en una distribución de frecuencias se ajusta a la distribución normal teórica.

• Procedimiento: determinar la media y la desviación estándar de la distribución de frecuencias.· Calcular el valor z para el límite inferior y superior

de cada clase.· Determinar para cada categoría

· Usar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrada

para determinar si coincide con .

f e

f0 fe

14-11


EJEMPLO 3

• Una muestra de 500 donativos a la Arthritis Foundation se presenta con la siguiente distribución de frecuencias. ¿Es razonable concluir que se tiene una distribución normal con media de $10 y desviación estándar de $2? Use .05 de nivel de significancia.

• Nota: para calcular para la primera clase, primero se calcula la probabildad de esta clase. P(X<6)=P[Z<(6-10)/2]=.0228. Así, es (.0228)(500)=11.4

fe

fe

14-12



<$6 20 .02 11.40 6.49

$6-8 60 .14 67.95 .93

$8-10 140 .34 170.65 5.50

$10-12 120 .34 170.65 15.03

$12-14 90 .14 67.95 7.16

>$14 70 .02 11.40 301.22

cantidad gastada f0 área fe ( ) /f f fe e0

2−

Total 500 500 336.33

14-13



• Paso 1: H0 : la distribución es normal.

• H1 : la distribución no es normal.

• Paso 2: H0 se rechaza si α=.05

• Paso 3:

• Paso 4: H0 se rechaza. La distribución no es normal

x2 336 33= .

14-14

,5=,07.11>2 glx


Análisis de tablas de contingencia

• El análisis de tablas de contingencia se usa para probar si dos características o variables están relacionadas.

• Cada observación se clasifica según las dos variabes.• Se usa el procedimiento de prueba de hipótsis

normal.• Los grados de libertad son iguales a: (número de

filas - 1)(número de columnas - 1).

• La frecuencia esperada se calcula como: Frecuencia esperada = (total por fila)(total por

columna)/gran total

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EJEMPLO 4

• ¿Existe una relación entre el lugar de un accidente y el sexo de la persona accidentada? Una muestra de 150 accidentes presentada a la policía estaba clasificada por tipo y sexo. Con .05 de nivel de significancia, ¿se puede concluir que el sexo y el lugar del accidente están relacionados?

14-16



Sexo Trabajo Hogar Otro Total

Hombre 60 20 10 90

Mujer 20 30 10 60

Total 80 50 20 150

Nota: la frecuencia esperada para la intersección hombre-trabajo se calcula como (90)(80)/150 = 48.De manera similar, se pueden calcular las frecuencias esperadas para las otras celdas.

14-17



• Paso 1: H0 : el sexo de la persona y el lugar del accidente no están relacionados. H1 : el sexo y el lugar están relacionados.

• Step 2: H0 se rechaza si

α =.05• Step 3:

• Step 4: H0 se rechaza. El sexo y el lugar sí tienen una relación.

,2=,991.5>2 glx

667.16=2x

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