Trayectorias ortogonales

En ingeniería se presenta a menudo el

problema geométrico de encontrar una

familia de curvas (trayectorias

ortogonales) que intersequen

ortogonalmente en cada punto a una

familia dada de curvas. Por ejemplo, es

posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las

líneas equipotenciales.

Para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas se

escribe primero la ecuación diferencial que describe a la familia; la ecuación

diferencial de la familia ortogonal se calcula a partir de la condición de

ortogonalidad.

Sea la ecuación diferencial que describe una familia de curvas.

La ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula

Ejemplo 1:

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas .

Solución: La familia de curvas corresponde a hipérbolas, donde es una

constante arbitraria, habrá tantas curvas como valores de se asignen. La

ecuación diferencial de esta familia de curvas se obtiene derivando:

. Pero , entonces .

Es decir, de , se tiene que , por lo que la ecuación

diferencial de la familia ortogonal se determina:

Esta ecuación diferencial se resuelve por el método de variables

separables:

Que también se puede simplificar donde la constante es arbitraria.

En la figura se grafican la familia de la función , y la familia de función

, ortogonales entre sí en sus puntos de intersección.

Familia de curvas ortogonanales de la función , y de la función

Ejemplo 2:

Dadas las curvas y . Demuestre que

las funciones y cumplen la condición de ortogonalidad en el punto

.

Solución: Sus derivadas son

y

La condición de ortogonalidad establece que . Con lo que:

Realizando la operación obtenemos la igualdad. Por lo tanto las funciones

y son ortogonales.

EJERCICIOS

1. Encuentre las trayectorias ortogonales de cada familia:

a. R/

b. R/

c. R/

d. R/

e. R/

Ley de Enfriamiento de Newton

en el aire es proporcional a la diferencia

entre la temperatura del cuerpo y la

temperatura del aire

Donde es la temperatura ambiente

Ejemplo 1:

Una taza de café a una se introduce a una habitación con una

temperatura ambiente de , transcurridos , la taza de café tiene

una temperatura de . ¿Calcular la temperatura que se tendrá después

de ? Calcular el tiempo en el cual la taza de café tendrá una

temperatura de .

Solución: Resolviendo La ecuación por separación de variables, tenemos:

Si pata se tiene que . Podemos hallar el valor de así:

Con lo que

Ahora si para se tiene . Podemos hallar el valor de .

Para la solución tenemos que Si , entonces .

Para una temperatura , se tendrá un tiempo

EJERCICIOS

1. Un motor se ha sobrecalentado y alcanzado una temperatura de 400°C,

para probar si sus partes se deterioran se introduce en ese instante en

un frigorífico que se encuentra a 3°C. Transcurridos 15 min se mide su

temperatura, y esta es 350°C. Calcule el tiempo en el cual el motor

tendrá una temperatura de 220°C. Si se necesita que el motor alcance la

temperatura de 25°C ¿en qué tiempo se realizará esto? R/ ,

2. Una sustancia al colocarse en aire, cuya temperatura es de 20°C, se

enfría de 100°C a 60°C en 10 min. Hallar la temperatura después de 40

min. R/

3. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al

exterior donde la temperatura del aire es de 10°F. Después de medio

minuto el termómetro marca 50°F y al minuto marca 36.6°F. Hallar la

temperatura inicial de la habitación. R/

4. La temperatura de una taza de café acabada de servir es de 200º F. Un

minuto después se ha enfriado a 190º F en un cuarto que está a 70º F

¿Qué tan grande debe ser el período que debe transcurrir antes de que

el café alcance una temperatura de 150º F? R/

5. Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un

cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua

después de 20 minutos. ¿Cuándo la temperatura será de 40º C y 26º C?

R/ ,

Crecimiento de Población

La población humana, en sociología y biología, es el grupo de personas que

vive en un área o espacio geográfico. Para la demografía, centrada en el

estudio estadístico de las poblaciones humanas, la población es un

conjunto renovado en el que entran nuevos individuos (por nacimiento o

inmigración) y salen otros (por muerte o emigración). La población total de

un territorio o localidad se determina por procedimientos estadísticos y

mediante el censo de población.

La evolución de la población y su crecimiento o decrecimiento, no

solamente están regidos por el balance de nacimientos y muertes, sino

también por el balance migratorio, es decir, la diferencia entre emigración e

inmigración; la esperanza de vida y el solapamiento intergeneracional.

Otros aspectos y aplicaciones del comportamiento humano de las

poblaciones se estudian en sociología, economía, ingenierías y geografía,

en especial en la geografía de la población y en la geografía humana.

Ejemplo 1:

El crecimiento de las amibas en el organismo del

ser humano. A un paciente se le hizo un análisis

gastro-intestinal y se determinó una población inicial

de de amibas. Después de 15 días se

repitió el análisis y se determinó que la población de

éstas se había triplicado. ¿En qué tiempo la

población será 5 veces mayor a la inicial?

Solución:

Resolviendo por separación de variables tenemos:

Si para tenemos que , entonces hallamos el valor de

Por lo tanto .

Para 15 días se tiene una población . Con esto hallamos .

Con lo que .

La ecuación finalmente sería

La población será 5 veces mayor a la inicial en

De aquí que

EJERCICIOS

1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante

cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas presentes

en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, cuánto demorará en

triplicarse? Cuánto demorará en cuadruplicarse? R/ ,

2. Cierto día y con un fuerte dolor de cabeza el redactor de un reglamento fue

a visitar al médico y los estudios practicados determinaron que las

neuronas estaba disminuyendo. La primera prueba indicó que el número de

neuronas fue de 1x106. Después de 20 días y de haber aprobado el

reglamento, se comprobó que había disminuido el 2% de las neuronas.

Determinar el tiempo en el cual sólo quedarían vivas el 60% de ellas. R/

3. Si T es el tiempo de vida media, mostrar que .

4. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene de la cantidad

original de C14. Determinar la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida

media del C14 es 5600 años. R/

5. Un cultivo tiene inicialmente un número de bacterias. Para hora, el

número de bacterias medido es . Si la rapidez de multiplicación es

proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo

necesario para que el número de bacterias se triplique. R/

Problemas de mezclado de tanques

El nombre problema de mezclado se refiere a

una gran colección de problemas diferentes

donde dos o más sustancias se mezclan entre

sí a distintas velocidades. Los ejemplos varían

del mezclado de contaminantes en un lago a

la mezcla de productos químicos en un

tanque, a la difusión de humo de cigarro en el

aire en un cuarto.

En los problemas de mezclas se quiere calcular la cantidad de una

sustancia, que hay en un tanque en cada instante de tiempo . Usando

que la derivada de respecto a expresa la razón de cambio de la

sustancia presente en el tanque, se cumple la relación:

velocidad de entrada - velocidad de salida

Dada la velocidad a la que un fluido que contiene la sustancia entra en el

tanque y la concentración de la sustancia, se cumple la relación:

(Velocidad de flujo entrante ) ( concentración) = velocidad de entrada.

Suponiendo que la concentración de la sustancia es uniforme, para calcular

la concentración se divide por el volumen de la mezcla que hay en el

instante . Así,

(Velocidad de flujo saliente) (concentración) = velocidad de salida.

Ejemplo 1:

Un tanque contiene inicialmente 50 galones de agua pura, en el tiempo t=0

entra al tanque una salmuera que contiene 2 lbs de sal disuelta por galón

con un gasto volumétrico de 3 gal/min. La mezcla se mantiene uniforme

mediante agitación. Una vez uniforme, ésta sale simultáneamente del

tanque con la misma rapidez (con el mismo gasto). ¿Qué cantidad de sal se

encuentra dentro del tanque después de 25 min?

Solución:

Nota: Decir que la mezcla

es ideal indica que la

concentración dentro del

tanque es la misma.

Cantidad de sal en cada

momento = Ent - Sal

velocidad de entrada (E) - velocidad de salida (S).

Velocidad de entrada (E) = (Velocidad de flujo entrante ) ( concentración)

Velocidad de salida (S)=(Velocidad de flujo saliente) (concentración)

Resolviendo por separación de variables tenemos:

Si para , la cantidad de sal es cero, entonces,

Luego, .

Para , la cantidad de sal será de

EJERCICIOS

1. Un tanque contiene inicialmente 50 galones de salmuera en donde se han

disuelto 10 lbs de sal.

Se bombea salmuera dentro del

tanque a razón de 5 gal/min, con

una concentración de 2 lbs de

sal/galón. La mezcla se

mantiene uniforme mediante

agitación y se descarga

simultáneamente a la misma

razón de 5 gal/min.

¿Qué cantidad de sal hay en el tanque después de 60 min?

2. Un tanque de 100 lts está lleno con salmuera que contiene 60 kg de sal

disuelta.

Entra agua en el tanque con un

gasto de 2 lts/min, y la mezcla

que se encuentra uniforme

mediante agitación sale a la

misma velocidad.

¿Cuánta sal queda en el tanque después de una hora? R/

3. En el tanque hay 378 lts de salmuera que contiene 23 kg de sal disuelta

entra agua en el tanque a razón de 11.5 lts/min y la mezcla sale en igual

cantidad.

La concentración dentro del

tanque se mantiene uniforme

mediante agitación. ¿Qué

cantidad de sal queda en el

tanque al cabo de una hora? Si a

la salida del tanque el gasto

volumétrico fuera el mismo.

¿Cuál será la cantidad de sal después de 30 min?

4. Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua limpia.

En un tiempo t = 0, salmuera que

contiene ½ libra de sal por galón,

fluye al interior del tanque a una

rapidez de 2 galones por minuto

y la mezcla homogenizada

abandona el tanque con la

misma rapidez.

¿Qué cantidad de sal hay en 2 minutos? R/

5. Un gran tanque que está lleno con 100 galones de agua en el cual se

disuelven 10 libras de sal, una salmuera que contiene 0.5 libras de sal por

galón, se bombea dentro del tanque con una rapidez de 4 galones por

minuto. ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque después de 10 min? R/