aplicaciones del cálculo diferencial
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TALLER DE PROBLEMAS: APLICACIONES DE CALCULO DIFERENCIAL
JULIHO CASTILLO
Indice
1. Linealizacion 1Resumen 1Ejercicios 22. Optimizacion 2Resumen 2Ejercicios 43. Teorema del Valor Medio 4Introduccion 4Crecimiento y primera derivada 4Concavidad y segunda derivada 54. Graficacion 7Metodo para graficar 7Ejercicios 9Referencias 9
1. Linealizacion
Resumen. Supongamos que f : R → R es diferenciable en a ∈ R, es decir, existe la derivadaf ′(a). Como ya hemos visto, esta derivada en la pendiente de la recta tangente, que es la mejoraproximacion lineal de f en a. La ecuacion de la recta tangente se puede obtener a partir de lasiguiente ecuacion:
y − f(a)
x− a= f ′(a),
que es la ecuacion de una recta que pasa por el punto (a, f(a)) con pendiente f ′(a).
Definicion 1.1. Sea f : R→ R una funcion diferenciable. Definimos la linealizacion de f alrededorde (o con pivote en) a ∈ R como
Lf,a(x) = f(a) + f ′(a)(x− a).
La linealizacion Lf,a(x) se puede usar para hacer calcular de manera bastante precisa de valorde f(x) para x ≈ a.
Ejemplo 1.1. Existen varios algoritmos para calcular la raiz de un numero real. Sin embargo,podemos calcular raices de numeros reales de manera muy precisa, usando la linealizacion.
Por ejemplo, calculemos√
4.1. Primero determinamos la funcion a linealizar, en este caso, f(x) =√x. La derivada de f es
f ′(x) =1
2√x.
Date: 27 de noviembre de 2013.1
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Figura 1. Linealizacion de√
(x) alrededor a = 4.
Despues, escogemos como pivote el punto a = 4. En este caso f(4) = 2 y f ′(4) = 14. De donde
obtenemos
L(x) = f(4) + f ′(4)(x− 4) = 2 +1
4(x− 4).
Entonces √4.1 ≈ L(4.1) = 2 + .25(4.1− 4) = 2.025.
Si usaramos una calculador, obtendriamos√
4.1 = 2.02484567313. El error absoluto entre estevalor y el que obtuvimos de la aproximacion es
Err = |2.025− 02484567313| ≈ 1.54× 10−4.
Ejercicios.
§ 1.1. Use una aproximacion lineal para calcular los siguientes valores. Posteriormente, use unacalculadora para encontrar su valor y determine el error absoluto.
1. (2.001)5
2. e−0.015
3. (8.06)2/3
4. 11002
5. tan(44o)6.√
99.8
2. Optimizacion
Resumen.
Definicion 2.1. Sea f : D ⊂ R→ R. Decimos que:
1. f alcanza su valor maximo o maximo global en c ∈ D si f(c) ≥ f(x), para toda x ∈ D;2. f alcanza su valor mınimo o mınimo global en c ∈ D si f(c) ≤ f(x), para toda x ∈ D.
Teorema 2.1 (Teorema del Valor Extremo). Si f : [a, b]→ R es continua, entonces f alcanza sumaximo y su mınimo.
Aunque el crıterio anterior nos es util al optimizar en intervalos compactos, es decir, de la forma[a, b], en un caso general no siempre esto es cierto. Sin embargo, tenemos la siguiente nocion demaximo (mınimo) en intervalos abiertos.
Definicion 2.2. Sea f : D ⊂ R→ R. Decimos que:
1. f tiene un maximo local en c ∈ D si existe un radio ε > 0 suficientemente pequeno, demanera que f(c) ≥ f(x), para toda x ∈ (c− ε, c+ ε) ⊂ D;
2. f tiene un mınimo local en c ∈ D si existe un radio ε > 0 suficientemente pequeno, demanera que f(c) ≤ f(x), para toda x ∈ (c− ε, c+ ε) ⊂ D.
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Figura 2. f(x) = x3 − 3x2 + 1
Observacion. La condicion de que exista si existe un radio ε > 0 suficientemente pequeno, y quex ∈ (c − ε, c + ε) ⊂ D se puede entender como que x ∈ D este suficientemente cerca de c ∈ D.De manera informal, podemos decir que f alcanza un maximo local en c si f(c) ≥ f(x) parax suficientemente cercanos a c. Lo mismo se puede decir para un mınimo local. Note que todomaximo (mınimo) global es, en particular, un maximo (mınimo resp.) local.
Teorema 2.2 (Teorema de Fermat). Si f : D ⊂ R → R alcanza un maximo o mınimo local enc ∈ D y f ′(c) existe, entonces necesariamente f ′(c) = 0.
Observacion. Debemos tener cuidado al usar el teorema de Fermat. Por ejemplo f = |x| alcanzasu mınimo en cero, pero en este punto la derivada no existe. En cambio, f(x) = x3 tiene derivadaigual a cero en x = 0, pero este punto no es maximo ni mınimo de la funcion.
Como podemos apreciar, los puntos mas interesantes para nuestro estudio son aquellos donde laderivada no existe o si existe, es igual a cero.
Definicion 2.3. Sea f : D ⊂ R→ R y c ∈ D. Decimos que c es un punto crıtico si f ′(c) no existeo si existe, f ′(c) = 0.
Con los resultados anteriores, podemos describir un criterio para optimizar funciones continuasen compactos.
Proposicion 2.3. Supongamos que
1. f : [a, b]→ R es continua,2. f : (a, b)→ R es diferenciable.
Si f alcanza su maximo (o mınimo) global en c, entonces
1. c = a o c = b, o2. f ′(c) = 0 un punto crıtico.
En decir, para encontrar donde f alcanza sus valores extremos, basta probar en los extremosdel intervalo o en los puntos crıticos, que se encuentran en su interior.
Ejercicio muestra 2.1. Encuntre el maximo y el mınimo global de la funcion f(x) = x3−3x2 +1si −1
2≤ x ≤ 4.
Solucion. Como f es continua en [−12, 4] y diferenciable en su interior (−1
2, 4) (¿porque?), podemos
aplicar el criterio de la proposicion 2.3.Primero evaluamos en los extremos. {
f(−12) = 1
8
f(4) = 17
Derivamos f y obtenemos los puntos crıticos, resolviendo la ecuacion
f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2) = 0.
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Los puntos crıticos son x = 0 y x = 2. Sus respectivos valores son f(0) = 1 y f(2) = −3.Finalmente, basta comparar los diferente valores obtenidos para concluir que el maximo global
es 17 y se alcanza en x = 4, mientras que el mınimo global es −3 y se alcanza en x = 2.
Ejercicios.
§ 2.1. Encuentre los maximos y mınimos absolutos en el intervalo indicado. Grafique.
1. f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 1, [−2, 3]2. f(x) = x
x2−x+1, [0, 3]
3. f(x) = t√
4− t2, [−1, 2]4. φ(t) = 2 cos(t) + sin(2t), [0, π
2]
5. f(x) = xe−x2/8, [−1, 4]
6. f(x) = ln(x2 + x+ 1), [−1, 1]7. f(x) = x− 2 arctan(x), [0, 4]
3. Teorema del Valor Medio
Introduccion. ¿Como calculamos la velocidad de un objeto? Supongamos que en un intervalode tiempo I := [t0, tf ], el desplazamiento de este esta dado por s : I → R, es decir, solamente semueve a lo largo de una lınea recta. Si queremos calcular la velocidad promedio en I, usamos lasiguiente formula:
v =s(tf )− s(t0)tf − t0
.
Sin embargo, puede ser que la velocidad varıe instantaneamente y en tal caso, necesitariamosconsiderar la velocidad instantanea en un tiempo t ∈ I dada por:
v′(t) =ds
dt.
El siguiente teorema, uno de los mas importantes del calculo, nos dice que en algun instantet∗ ∈ I, la velocidad intantanea sera igual a la velocidad promedio en dicho intervalo I.
Teorema 3.1 (Teorema del Valor Medio). Sea f : [a, b] → R una funcion continua, que ademases diferenciable en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a)
b− a= f ′(c).
Este teorema nos permitira estudiar el comportamiento de las funciones en ciertos intervalos,a partir del comportamiento de sus derivadas en el mismo. A continuacion, presentamos algunosresultados importantes que se pueden obtener a patir de este teorema.
Crecimiento y primera derivada.
Proposicion 3.2. Sea f : (a, b)→ R una funcion diferenciable. Entonces f es constante en (a, b)si y solo si f ′(c) = 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostracion. Sabemos que si una funcion es constante, entonces su derivada es cero. Ahorasupongamos que f ′(c) = 0 para todo c ∈ (a, b). Comparemos el valor de las funciones en dospuntos diferentes x, y ∈ I tales que x ≤ y.
Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] y como f ′(c) para todo c ∈ (a, b), enparticular, para todo c ∈ (x, y) ⊂ (a, b), tenemos que para algun c ∈ (x, y) ⊂ (a, b):
f(y)− f(x)
y − x= f ′(c) = 0.
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Multiplicando por ambos lados por y − x, tenemos que
f(y)− f(x) = 0,
y por tanto, para todo x, y ∈ (a, b),
f(x) = f(y),
es decir, la funcion f es contante en este intervalo.�
Definicion 3.1. Decimos que una funcion f.D ∈ R → R es creciente (resp. decreciente) en sudominio D si
x < y ⇒ f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Proposicion 3.3. Si f : (a, b)→ R una funcion diferenciable, entonces f es creciente en (a, b) siy solo si f ′(c) > 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostracion. Primero supongamos que f es creciente y sea x ∈ (a, b). Si h > 0, entonces f(x +h) > f(x), porque x+ h > x y por lo tanto
f(x+ h)− f(x)
h> 0.
Si tomamos el lımite cuando h→ 0, entonces
f ′(x) = lımh→0+
f(x+ h)− f(x)
h> 0,
y por lo tanto f ′(x) > 0 para toda x ∈ (a, b).Ahora, supongamos que para toda x ∈ (a, b) : f ′(x) > 0. Escojamos dos puntos, x, y ∈ (a, b),
tales que x < y. Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] tenemos que para algunc ∈ (x, y)
f(y)− f(x)
y − x= f ′(c) > 0,
y multiplicando por y − x > 0 de ambos lados, obtenemos
f(y)− f(x) > 0,
es decir, si x < y entonces f(x) < f(y).�
De manera similar, se puede demostrar que
Proposicion 3.4. Si f : (a, b)→ R una funcion diferenciable, entonces f es decreciente en (a, b)si y solo si f ′(c) < 0 para todo c ∈ (a, b).
Concavidad y segunda derivada. Consideremos la funcion f : D → R en la figura 3 y su-pongamos que es diferenciable en cada punto; su grafica es concava hacia arriba. ¿Como podemosdefinir esto de manera analitica? Note que para cualquier punto a ∈ D, la lınea tangente estasiempre por debajo de la grafica. La funcion que describe esta recta es
La(x) = f(a) + f ′(a)(x− a),
y entonces esta condicion de concavidad se expresarıa como que para cada punto x0 ∈ D
f(a) + f ′(a)(x− a) ≤ f(x), x ∈ D.
Entonces, tenemos la siguiente definicion.
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Figura 3. Funcion concava hacia arriba
Definicion 3.2. Una funcion f : D → R diferenciable es concava hacia arriba si para todox, x0 ∈ D, tenemos que
(1) f(x)− f(x0) ≤ f ′(x0)(x− x0).En particular, si a < b, es decir, 0 < b−a, entonces usando la ecuacion 2 para x0 = a, obtenemos
quef(b)− f(a)
b− a≥ f ′(a).
De manera similar, entonces usando la ecuacion 2 para x0 = b,
f(b)− f(a)
b− a≤ f ′(b).
Por tanto,
f ′(a) ≤ f(b)− f(a)
b− a≤ f ′(b),
es decir, la derivada es creciente si la funcion es concava hacia arriba. Lo cual se puede observaren la figura 3.
Ahora bien, si la derivada es creciente, ¿la funcion necesariamente es concava hacia arriba? Sı,y veamos porque.
Si la derivada es creciente y c ≤ a, entonces f ′(c) ≤ f ′(a). Supongamos que x > a, y que laderivada es creciente. Entonces, por el teorema del valor medio, existe un c ∈ R, x > c > a, talque
f(x)− f(a) = f ′(c)(x− a) ≥ f ′(a)(x− a),
que no es mas que la condicion 2 para el caso x > a. El caso x < a se obtiene de manera similar.Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente
Proposicion 3.5. Si f : (a, b)→ R es diferenciable, entonces f es concava hacia arriba si y solosi f ′ es una funcion creciente.
Por el teorema 3.3, obtenemos el siguiente
Corolario 3.6. Si f : (a, b)→ R es diferenciable, entonces f es concava hacia arriba si y solo sif ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b).
De manera similar, podemos definir la concavidad hacia abajo.
Definicion 3.3. Una funcion f : D → R diferenciable es concava hacia abajo si para todo x, x0 ∈D, tenemos que
(2) f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0).
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Figura 4. Puntos de inflexion
Figura 5. Puntos de silla
y obtenemos resultados similares,
Proposicion 3.7. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia abajo si y solosi f ′ es una funcion decreciente.
Corolario 3.8. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia abajo si y solo sif ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b).
En particular, obtenemos una manera de caraterizar los maximos y mınimos locales de manerapratica.
Teorema 3.9 (Criterio de la Segunda Derivada). Sea f : (a, b) → R con segunda derivada.Entonces:
1. c ∈ (a, b) es maximo local si y solo si f ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0.2. c ∈ (a, b) es mınimo local si y solo si f ′(c) = 0 y f ′′(c) > 0.
Para finalizar, tenemos la siguiente definicion
Definicion 3.4. Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entonces decimos que c ∈ (a, b) espunto de inflexion si
f ′′(c) = 0,
es decir la funcion f cambia de concavidad en c.
4. Graficacion
Metodo para graficar. Supongamos que f : (a, b) es una funcion con segunda derivada. Podemosproceder de la siguiente manera para encontrar su grafica.
1. Encontrar las raices, es decir, los puntos c tales que f(c) = 0;2. Encontrar los puntos crıticos, es decir, los puntos c tales que f ′(c) = 0;
a) Si f ′′(c) > 0, entonces c es mınimo local,b) Si f ′′(c) < 0, entonces c es maximo local,
3. Encontrar los puntos de inflexion, es decir, los puntos c tales que f ′(c) = 0.
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Figura 6. Grafica del ejericicio 4.1
Los puntos de inflexion pueden ser como en la figura 4. Si f ′′ cambia de negativa a positiva,la grafica localmente como la de la izquierda, mientras que en el otro caso, luce como en la de laderecha.
Falta por caracterizar los puntos crıticos c donde f ′′(c) = 0, es decir, que tambien son puntosde inflexion. Estos puntos se les conoce como puntos de silla y alrededor de estos, la grafica se vecomo alguna de las de la figura 5.
Ejercicio muestra 4.1. Grafique la funcion f : [−1, 1]→ R, f(x) = x3 − x.
Solucion. Primero, resolvemos la ecuacion
x3 − x = 0,
y tenemos que las raices de f son x = −1, 0, 1.Despues derivamos f :
f ′(x) = 3x2 − 1,
y resolvermos la ecuacion f ′(c) = 0.Entonces, los puntos crıticos de la funcion son x = ± 1√
3. Utilizamos el criterio 3.9 para decidir
si son maximo o mınimos locales, o incluso, puntos de silla.La segunda derivada de f es
f ′′(x) = 6x.
Como f ′′( 1√3) = 6
(1√3
)> 0, entonces
c =1√3
es un mınimo local.De manera similar, concluimos que
c = − 1√3
es un maximo local.Finalmente, resolvemos f ′′(c) = 0, pero la unica solucion es c = 0 y por tanto, este es el unico
punto de inflexion. Como antes de c = 0, f ′′ < 0, mientras que despues f ′′ >, concluimos que eneste punto, la grafica se ve localmente como la grafica de la derecha en la figura 4.
Podemos utilizar GeoGebra para graficar y comparar con nuestros resultados. La grafica estadada en la figura 6.
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Ejercicios.
§ 4.1. Esboce la grafica de cada una de las siguientes funciones, utilizando el metodo anterior.Grafique usando GeoGebra y compare sus resultados.
1. x3 − 7x+ 6,2. 6x3 − x2 − 5x+ 2,3. x4 − 3x3 + 3x2 − 3x+ 2.
Referencias
[1] Stewart, J.; Calculo de una variable, trascendentes tempranas; Cengage Learning, 6a Edicion, 2008.[2] Thomas, G., Finney, R.; Calculo, una variable; Addison-Wesley, 9a Edicion, 1998.[3] Courant, R., Fritz, J.; Introduction to Calculus and Analysis; Interscience Publisher, 1965.[4] Rudin, W.; Priciples of Mathematical Analysis; Mc-Graw Hill,3a ed., 1976.
E-mail address: [email protected]