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5 APLICACIONES DE LA

Recta Tangente

Llamamos Recta Tangente al gráfico de f(x) en el punto (x0;f(x0)) a pasa por ese punto y cuya pendiente es f´(x0).

�� ´��. ��

1) Considere la función �

�� . Represente gráficamente.

Cálculo de: � � ��Cálculo de: �´��

�.√�

Recta Tangente: �� Recta Normal= ��

Matemática - Cuarto Año - 1

APLICACIONES DE LA DERIVADA - Trabajo Práctico

Recta Tangente Recta Normal

Llamamos Recta Tangente al gráfico de )) a la recta que

pasa por ese punto y cuya pendiente es

Llamamos Recta Normal al gráfico de f(x) en el punto (x0;f(x0)) a la recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es (La perpendicular a la recta tangente en ese punto).

�� ´�� . ��

�� √� � � y calcule las rectas tangente y normal en

. Represente gráficamente.

� �� √� � � � � �� ; luego resulta �´��

�

� � � �� . �� 3� � 2 → ��

��

� � � 4. �� 3� � 2 → �� 4� � 14

Trabajo Práctico

Recta Normal

Llamamos Recta Normal al gráfico de f(x) )) a la recta que pasa

por ese punto y cuya pendiente es -1/f´(x0). (La perpendicular a la recta tangente en

��

y calcule las rectas tangente y normal en

� �

2) Hallen los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico de es:

a) Paralela a la recta

b) Perpendicular a la recta

c) Horizontal.

a) �´��

Hacemos: �´�� ! �� Obtenemos:

� � ��

El punto solicitado es:

b) �´��

Para que las rectas sean perpendicularopuestas, luego hacemos: �´�� →


Hallen los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico de

Paralela a la recta � � �

Perpendicular a la recta � ��

! � �"# � � �

!

�

� $��% �&�

El punto solicitado es: '�� ;&�)

! � �� "# � �

�� Para que las rectas sean perpendiculares, las pendientes deben ser recíprocas y opuestas, luego hacemos:

→ �� → � � �"


Hallen los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico de ��

s, las pendientes deben ser recíprocas y

� ��

El punto solicitado es: ��; ��

c) Hacemos: �´��


es Mínimo de la función.

3) Si f´(4) = 3 y f(4) = 10, ¿Cuál es la ecuación d e la recta tangente al gráfico de

f(x) en el punto de abscisa 4?.

4) Realice estudio completo

a) �� b) ��

��

c) ��

d) ��

e) ��

f) ��

g) �� . ��


� � → �� → � � �

El punto solicitado es: (1;2) que

Mínimo de la función.

Si f´(4) = 3 y f(4) = 10, ¿Cuál es la ecuación d e la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto de abscisa 4?. ¿Y de la recta normal?

completo y gráfico de las funciones:

� � �

� � ��

→ � �

Si f´(4) = 3 y f(4) = 10, ¿Cuál es la ecuación d e la recta tangente al gráfico de

Nota: en el apunte de ejercicios resueltos encontrará más ejemplos, variantes de los

propuestos. Utilice los ejemplo resuel

5) ¿Cuáles son los valores de “a” y de “b” si

máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a t ravés de f(x) es 6 ?

[Rta.: � �� * � + . Resuelva analíticamente y verifique con geogebra] .

6) Demuestre que el rectángulo de á

unidades” es un cuadrado.

7) ¿Cuál es el valor de “a” para que la función

en � � �? . Determinar si para el valor hallado de de “a” la fu nción tiene un

máximo ó un mínimo relativo.

8) Encuentre los puntos que pertenecen a la recta

próximos al origen de coordenadas. [Rta.:

para visualiza r el problema y la fórmula de distancia entre dos p untos

,�� -��


: en el apunte de ejercicios resueltos encontrará más ejemplos, variantes de los

Utilice los ejemplo resueltos y geogebra para orientarse.

¿Cuáles son los valores de “a” y de “b” si �� ..máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a t ravés de f(x) es 6 ?

. Resuelva analíticamente y verifique con geogebra] .

Demuestre que el rectángulo de á rea máxima con perímetro igual a “K

unidades” es un cuadrado. [/"0 � �1 � �2 � 3; Á0". � 1.2; 56.

¿Cuál es el valor de “a” para que la función 7�� .��

Determinar si para el valor hallado de de “a” la fu nción tiene un

máximo ó un mínimo relativo.

Encuentre los puntos que pertenecen a la recta � �� próximos al origen de coordenadas. [Rta.: / � '+8 ;

�8)] . Sugerencia:

r el problema y la fórmula de distancia entre dos p untos

�� .

: en el apunte de ejercicios resueltos encontrará más ejemplos, variantes de los

. �� *. � tiene un

máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a t ravés de f(x) es 6 ? -

. Resuelva analíticamente y verifique con geogebra] .

xima con perímetro igual a “K

56.. : 1 � 2 � ��3 ].

tenga un extremo

Determinar si para el valor hallado de de “a” la fu nción tiene un

� y que están más

Sugerencia: utilice GeoGebra

r el problema y la fórmula de distancia entre dos p untos

9) Juan tiene 20 m. de tela de alambre con la que plan ea cercar un espacio

rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima,

las dimensiones?

10) Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea

máximo.

11) Encuentre el volumen de una caja sin tapa más grand e que se pueda hacer con

una hoja cuadrada de cartón de 24 cm. de lado.

12) Ejercicio de E valuación del Programa de Diploma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Juan tiene 20 m. de tela de alambre con la que plan ea cercar un espacio

rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima,

Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea

Encuentre el volumen de una caja sin tapa más grand e que se pueda hacer con

una hoja cuadrada de cartón de 24 cm. de lado.

valuación del Programa de Diploma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Juan tiene 20 m. de tela de alambre con la que plan ea cercar un espacio

rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima, ¿cuáles deben ser

Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea

Encuentre el volumen de una caja sin tapa más grand e que se pueda hacer con

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13) Sea la función �� a) Coordenadas de Extremos.

b) Coordenadas del Punto de Inflexión.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� � � �� se pide calcular y justificar:

Coordenadas de Extremos.

b) Coordenadas del Punto de Inflexión.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

14) Para la función ��6� �críticos. Calcule, si existen, valores máximos, mín imos e inflexión. Grafique.

15) Encuentre , � �´��.

.� � √��

*� � :"#�;�� <� � ��

La Regla de L´Hospital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de

L´Hospital (1661-1704), pero fue descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli

(1667-1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por

medio del cual el marqués de L´Hospital compró los derechos de los descubrimient

matemáticos de Bernoulli. Esta regla apareció impresa por primera vez en el libro Analyse des

Infiniment Petits, publicado por el Marqués de L´Hospital en 1696. Fue el primer libro de texto de

cálculo alguna vez publicado y el ejemplo que allí utilizó

Regla de L´Hospital : Supóngase que

y que 0)´( ≠xg cerca de

lím

lím

x

x

entonces:


� � � :"#�6� <=:�6�"#">?#6"0@.>=A�;;B críticos. Calcule, si existen, valores máximos, mín imos e inflexión. Grafique.

� � ,� para las siguientes funciones

Regla de L´Hospital


1704), pero fue descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli

1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por

medio del cual el marqués de L´Hospital compró los derechos de los descubrimient



cálculo alguna vez publicado y el ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar su regla fue:

4 3

3 243 .2

axa

xaaxxalím

ax−

−−

Supóngase que gf y son dos funciones derivables

cerca de a (excepto quizás en a). Si:

)( y )(

ó

0)( y 0)(

±∞=±∞=

==

xglímxflím

xglímxflím

axa

axa

)´(

)´(

)(

)(

xgxf

límxgxf

lím axax =

B identifique puntos críticos. Calcule, si existen, valores máximos, mín imos e inflexión. Grafique.


1704), pero fue descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli

1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por

medio del cual el marqués de L´Hospital compró los derechos de los descubrimientos



el marqués para ilustrar su regla fue:

son dos funciones derivables

si el límite del segundo miembro existe (o es infinito).

La Regla de L´Hospital afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al

límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones

previas (indeterminaciones del tipo

las condiciones referente

La Regla de L´Hospital también es válida para los límites laterales y los límites

en el ∞± ; es decir, x

siguientes:

,, +∞→→→ −+ xaxax 16) Resuelva los siguientes límites indeterminados

x 1 x

x x 13

x 0 x

lna) b)

1

ln 1c) d)

1 e) f)

g)

x

x elím lím

x x

x xlím lím

x

e tg xlím lím

sen x x

+∞ −

−

−

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

( )x x

x 0 x 03 2

2 2

x 1 x 0

x 2

ln 1 2

( ) cos ( ) 1) j)

ln(2 1) (2 )k) l)

( 1)

ln( ))

x

xlím lím

e

x sen x xi lím lím

x x

x sen x xlím lím

tg x x

x xm lím

x

+∞ +∞

+∞

+

− −

− +−+

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

uuur n) .ln( )2+


si el límite del segundo miembro existe (o es infinito).

afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al


previas (indeterminaciones del tipo ∞∞

bien o 0

0). Es muy importante comprobar

las condiciones referentes a los límites de f y g , antes de aplicar la regla.


ax → se puede reemplazar con cualquiera de los símbolos

., −∞→+∞ x

Resuelva los siguientes límites indeterminados

x 1 x 2

2

x x 1

x 0 x

a) b)

ln 1c) d)

1

1 e) f)

xx elím lím

x x

x xlím lím

x

e tg xlím lím

sen x xπ π

∞

+∞ −−+

−

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

)( )3

x x 2

2

x 0 x 03 2

2 2

x 1 x 0

ln h)

( ) cos ( ) 1) j)

ln(2 1) (2 )k) l)

xlím lím

x

x sen x xi lím lím

x x

x sen x xlím lím

tg x x

+∞ +∞

− −

− +

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

2x 0 n) .ln( )lím x x+uuur

afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al


). Es muy importante comprobar

, antes de aplicar la regla.


se puede reemplazar con cualquiera de los símbolos

Tasa de Variación Media

La tasa de variación media de una función

� en un intervalo A.; *B es el cociente:

�CD��; A.; *B� � ��*�*

(cociente incremental)

Ejemplos de aplicación resueltos:

17) Una población de 300 bacterias se introduce en un

según la expresión #�Calcular: a) El número y la tasa de crecimiento al cabo de 5 horas.b) El instante en que la velocidad de crecimiento e s de 300 bacterias/hora. a) E?6 � 8 → #�8� � ��

A las 5 horas hay aproximadamente 1277 bacterias.

La tasa de crecimiento al cabo de 5 horas es la tasa de variación media de la

función en el interval [0;5].

�CD�#; A

b) Puesto que la velocidad de

instantánea, el instante solicitado se obtendrá determinando el valor de

cual la derivada de la función vale 300.


Tasa de Variación Media Tasa de Variación Instantánea

La tasa de variación media de una función

es el cociente:

� � ��.�* .

(cociente incremental)

Se define la tasa de variación instantánea

de una función � en un punto

�CF��; �� GHIJ→� �CD

es decir:

�CF��; �� GHIJ→��

(derivada en �K

Ejemplos de aplicación resueltos:

Una población de 300 bacterias se introduce en un cultivo. Si su número crece

�6� � ��. '� � >#�6� � ��), siendo t el tiempo en horas.

a) El número y la tasa de crecimiento al cabo de 5 horas. b) El instante en que la velocidad de crecimiento e s de 300 bacterias/hora.

��. L� >#��+�M �≅ ��OO*.<6"0?.:

A las 5 horas hay aproximadamente 1277 bacterias.


función en el interval [0;5].

� A�; 8B� � #�8� #�8�8 � � ��OO ��

8 � �&8

Puesto que la velocidad de crecimiento pedida corresponde

instantánea, el instante solicitado se obtendrá determinando el valor de

cual la derivada de la función vale 300.

Tasa de Variación Instantánea

Se define la tasa de variación instantánea

en un punto �� como:

�CD��; A��; �= � JB�

�� J� ��J

K ; P � ∆R)

cultivo. Si su número crece

el tiempo en horas.

b) El instante en que la velocidad de crecimiento e s de 300 bacterias/hora.


�&8, �

corresponde a una variación

instantánea, el instante solicitado se obtendrá determinando el valor de t para el

#´�6� � �� Ecuación de Segundo grado de solución

Por tanto, transcurrida una hora

están reproduciendo a una velocidad de 300 bacterias

18) El crecimiento, en centímetros, de una planta duran te sus primeros ocho días

de vida viene dado por la función planta transcurridos “x” días de su nacimiento. a) ¿Cuánto mide la planta finalizado el día? b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento en esos cuatro días ?c) ¿Cuál fue la tasa media de crecimiento en ese pe ríodo? d)¿Cree que la función dada puede representar el cr ecimiento de la planta a lo

largo de toda s u vida? a) �� . ��<!b) TUVUWUXYZ[YZ\]\Y^V_

c) �CDA�; `B � ��`��`��

d) No. Supondría que

este comportamiento no es propio de los seres vivos.

importancia que tiene restringir el dominio de una función.

19) El espacio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sale de

un garaje hasta que entra en una autopista sigue la ecuación

el tiempo viene dado en minutos y el espacio en kil ómetros.a) ¿Cuál es la velocidad media del b) ¿A qué velocidad circula en el momento en que en tra en la autopista?

Exprésela en km/h.


#´�6� � ��$� � �66� � �% �

+��. 66� � �

�� → +��. 66� � � � �� → ��. 6� +��. 6 � ��

Ecuación de Segundo grado de solución 6 � � hora, que es el instante buscado.

Por tanto, transcurrida una hora desde su inclusión en el cultivo, las bacterias se

están reproduciendo a una velocidad de 300 bacterias/hora.

El crecimiento, en centímetros, de una planta duran te sus primeros ocho días de vida viene dado por la función �� ` , que indica la medida de la planta transcurridos “x” días de su nacimiento. a) ¿Cuánto mide la planta finalizado el cuarto día? ¿ Y si ha finalizado el octavo

¿Cuál es la tasa de crecimiento en esos cuatro días ? c) ¿Cuál fue la tasa media de crecimiento en ese pe ríodo? d)¿Cree que la función dada puede representar el cr ecimiento de la planta a lo

u vida?

<! ��`� � �� <!.

Z[YZ\]\Y^V_abY��`� �� , &``<!.

� �,&``� � �, ��O<!/,í.

la planta crece indefinidamente, pues GHIeste comportamiento no es propio de los seres vivos. Este es un ejemplo claro de la

importancia que tiene restringir el dominio de una función.

El espacio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sale de

un garaje hasta que entra en una autopista sigue la ecuación

el tiempo viene dado en minutos y el espacio en kil ómetros. a) ¿Cuál es la velocidad media del coche en estos diez minutos?b) ¿A qué velocidad circula en el momento en que en tra en la autopista?

��

hora, que es el instante buscado.

desde su inclusión en el cultivo, las bacterias se

El crecimiento, en centímetros, de una planta duran te sus primeros ocho días , que indica la medida de la

Y si ha finalizado el octavo

d)¿Cree que la función dada puede representar el cr ecimiento de la planta a lo

GHI�e �� ∞ , y

Este es un ejemplo claro de la

El espacio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sale de

un garaje hasta que entra en una autopista sigue la ecuación "�6� � 6�� , donde

coche en estos diez minutos?

b) ¿A qué velocidad circula en el momento en que en tra en la autopista?

c) Un día el conductor recibe una multa porque, seg ún el radar de la policía, en el minuto ocho sobrepasó el límite de 70 km/h exist entedonde circulaba. ¿Puede recurrir la multa?

a) C! � "��"�� 8

+g!

!?#h6=

b) "´�6� � 6+ → "´��

c) En el minuto “8” circulaba a estaba justificada.

20) Se quiere vaciar un depósito de agua.Sea i�6� � ��. �&�� que quedan en el depósito al cabo de “t” minutos vaciarlo. a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el de pósito?, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?, ¿Cuál es la función que descr ibe el número de litros que han salido al cabo de “t” minutos de haber comenzad o a vaciarlo?b) Calcula la función derivadaminutos. Relacione los resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía el depósito. a) Inicialmente se considera cuando

El depósito estará vacío cuando

y esto sucede a los

La función que describe el número de litros que han salido sera:

E�� `�� i�

b) i´�6� � ��. ��6 +�vacía el depósito. En

i´�� . �� i´�� . �� Lo cual indica que la velocidad de


c) Un día el conductor recibe una multa porque, seg ún el radar de la policía, en el minuto ocho sobrepasó el límite de 70 km/h exist entedonde circulaba. ¿Puede recurrir la multa?

g!!?#h6= � 8�g!/J

� � ��+

g!!?#h6= � ��J!/J

En el minuto “8” circulaba a "´�`� � ��

g!!?#h6= � `�J!/J ; por lo tanto, la multa

Se quiere vaciar un depósito de agua. � 6� +�6�la función que describe el número de litros

que quedan en el depósito al cabo de “t” minutos de haber comenzado a

a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el de pósito?, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?, ¿Cuál es la función que descr ibe el número de litros que han salido al cabo de “t” minutos de haber comenzad o a vaciarlo?b) Calcula la función derivada de la función Q y su valor para minutos. Relacione los resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía

se considera cuando 6 � � , entonces hay i��estará vacío cuando i�6� � �, es decir, cuando

y esto sucede a los 6 � ��!?#h6=:. La función que describe el número de litros que han salido sera:

�6� � ��. 6 ��. 6� en el interval A�

+��es la función que proporciona la rapidez con la que se

vacía el depósito. En 6 � �� 6 � �� es:

+�� `��

+��

Lo cual indica que la velocidad de vaciado disminuye con el tiempo.

c) Un día el conductor recibe una multa porque, seg ún el radar de la policía, en el minuto ocho sobrepasó el límite de 70 km/h exist ente en el lugar por

por lo tanto, la multa

la función que describe el número de litros de haber comenzado a

a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el de pósito?, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?, ¿Cuál es la función que descr ibe el número de litros que han salido al cabo de “t” minutos de haber comenzad o a vaciarlo?

de la función Q y su valor para t=10 y t=20 minutos. Relacione los resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía

� � � �`��>?60=:. , es decir, cuando &�� +�6 � 6� � �

La función que describe el número de litros que han salido sera:

A�; ��B

es la función que proporciona la rapidez con la que se

vaciado disminuye con el tiempo.

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