Aplicaciones de interpolación

Programación Numérica

Caso 1: Modelo de población

El crecimiento de población de bacterias puede modelarse mediante

kpdt

dp

Donde p es la población y k es la velocidad de crecimiento específico. La solución de esta ecuación diferencial es

p(t) = p0 ekt

Obviamente k no puede ser constante.

Un modelo de k es suponerlo un modelo de crecimiento de saturación

fK

fkk

max

kmax = velocidad de crecimiento máxima

K = constante de saturación media

Evaluar kmax y K para los siguientes datos usando ajuste de mínimos cuadrados de 1/k y 1/f.

f (mg/L) 7 9 15 25 40 75 100 150

k (dia–1) 0.29 0.37 0.48 0.65 0.80 o.97 0.99 1.07

Solución:

Resolviendo en MatLab se obtiene:

kmax = 1.230431 dia–1

K = 22.192666 mg/L

Gráfico del ajuste

Trazadores para transferencia de calor

Los lagos de zona templada se dividen en estratos térmicos durante el verano: epilimnion y hipolimnion, separadas por un plano llamado termoclina.

La termoclina se caracteriza por ser el punto donde la curva de temperatura tiene un punto de inflexión d2T/dt = 0 y la primera derivada tiene un máximo.

Utilizar trazadores cúbicos para determinar la profundidad de la termoclina para los siguientes datos:

T (ºC) 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1

z (m) 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2

function termoclina2 prof = [0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2]; temp = [22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1];%calcula trazadores cúbicos pt = spline3(prof,temp); [r c] = size(pt); x = []; y = []; y1 = []; y2 = [];

El siguiente guión calcula los trazadores y los grafica en pasos uniformes. Calcula también la primera y segundas derivadas y las grafica.

%evalua los trazadores desde 0 a 28 m de profundidad en pasos uniformes for p=0:28 for j=1:r if p>=prof(j) & p<prof(j+1) k = j; end end x = [x p]; pol = pt(k,1)*p^3+pt(k,2)*p^2+pt(k,3)*p +pt(k,4); dpol = 3*pt(k,1)*p^2+2*pt(k,2)*p+pt(k,3); d2pol = 6*pt(k,1)*p+2*pt(k,2); y = [y pol]; y1 = [y1 dpol]; y2 = [y2 d2pol]; end

subplot(3,1,1) plot(x,y) subplot(3,1,2) plot(x,y1) subplot(3,1,3) plot(x,y2)

De las gráficas puede verse que el valor de profundidad donde la segunda derivada es cero o la primera derivada es máxima es 11.35 m con un gradiente de temperatura de -1.61ºC/m, aproximadamente.