Ecuaciones diferenciales

HISTORIA El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan

viejo como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías. En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método “universalmente válido”.

El matemático y filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Leibniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.

La segunda etapa (1728-1783 ) de la historia de las EDs estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820- ) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:

o Las ecuaciones diferenciales nacen como respuesta a problemas geométricos, problemas físicos o cualquier problema que da respuesta a definiciones utilizadas en ingeniería, economía, etc. También vemos que una ecuación diferencial

Matemáticamente nace una primitiva, así por ejemplo: Ejemplos: Dada la primitiva, hallar la ecuación diferencial Primitiva: y= senx/x Ecuación Diferencial:

. dy=(xcosx-senx/x²)

Xdy/dx= xcosx/x-senx/x xý=cosx-senx como: y= senx/x Rpta xý=cosx- y

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

En ingeniería se presenta a menudo el problema geométrico de encontrar una familia de curvas (trayectorias ortogonales) que intersequen ortogonalmente en cada punto a una familia dada de curvas. Por ejemplo, es posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación delas líneas equipotenciales. Consideremos la familia de curvas descrita por la ecuación F(x; y) = k, donde k es un parámetro real.

i) Usando diferenciación implícita, demuestra que, para cada curva de la familia, la pendiente está dada por

dy / dx = - (αF / αx) /(αF / αy)

CRECIMIENTO DE POBLACIÓN El modelo malthusiano de crecimiento de una población p(t)

supone que la tasa de crecimiento es proporcional a la población presente. Sabiendo que la población de Estados Unidos en 1790 era de 3.93 millones y en 1800 de 5.31 millones, usa el modelo anterior para conocer la población en función del tiempo. Este modelo supone que la tasa de mortalidad es nula, que desde luego es errónea. Parece natural pensar que la tasa de mortalidad natural también es proporcional al tamaño de la población. No obstante, debido a otros factores de mortalidad (desnutrición, enfermedades, crímenes violentos, etc), se puede suponer que la tasa de mortalidad es proporcional al número de interacciones bipartitas. Para una población de tamaño p, existen p(p - 1)/2 interacciones de este tipo. Prueba que con esta hipótesis, el PVI que rige el modelo tiene la forma

dp/ dt = ap - bp2 ; p(0) = p0:

MECÁNICA NEWTONIANA Vuelo de un cohete. Un cohete con masa inicial de m0 Kg

se lanza verticalmente desde la superficie de la Tierra. El cohete expele gas a razón de α Kg/seg y a una velocidad constante de β m/seg relativa al cohete. Suponiendo que el campo gravitacional es constante de g kg/seg2, la segunda ley de Newton da lugar a la ecuación

(m0 - αt)dv /dt - αβ = -g(m0 - αt);

Donde v = dx/dt es la velocidad del cohete, x es su altura respecto de la superficie de la Tierra y m0 - αt es la masa del cohete a los t segundos del lanzamiento. Sabiendo que la velocidad inicial es cero, resuelve la ecuación anterior para calcular la velocidad y altura del cohete para 0 ≤ t ≤ m0 / α.