aplicaciones de algebra matricial

Métodos cuantitativos en las FinanzasIng. William Mendoza

APLICACIONES DE LAS MATRICES

1. Matriz de inventarios (Suma de matrices)El inventario (en galones) de una pequeña tienda de pinturas al inicio de una semana está dado por la matriz A.

Negro Blanco Rojo

Sus ventas durante la semana están dadas por la matriz S.

Negro Blanco Rojo

Escriba el inventario al término de la semana.

2. Matriz de producción (Suma de matrices y producto por un escalar)Una empresa produce dos tipos de café en tres tamaños distintos. La producción (en miles de unidades) en su planta de la locaclidad A está dada por:

Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3

Mientras que la producción (en miles) en su planta de la localidad B está dada por:

Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3

El gerente de la empresa planea abrir una tercera planta en una localidad C, la cual tendría una capacidad de un 20% más que la localizada en B. Cuál será la producción total en las tres localidades?

3. Trabajo e ingresos (producto de matrices)Susana gana $5 en una hora como institutriz, $6 la hora como mecanógrafa y $1.50 en una hora como niñera. El número de horas que trabajó en cada tipo de trabajo en un periodo de 4 semanas está dado por la matriz A.

Semana I II III IV

Si denota su matriz de ingresos, determine la patriz PA e interprete sus elementos.

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4. Análisis Insumo-Producto, Matriz de Leontief (matriz inversa, sistemas de ecuaciones lineales)

El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los cuarenta por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía. El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria (vector x) a fin de satisfacer demandas futuras para diversos productos (vector D). Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias. Por ejemplo, un incremento en la demanda de automóviles no solo conducirá a un aumento en los niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de una variedad de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la industria de los neumáticos, etc. En el modelo original de Leontief, la economía de Estados Unidos aparece dividida en 500 sectores de este tipo que interactúan entre sí.

Supóngase que una economía se divide en n industrias, y cada industria produce solamente un tipo de producto final. Usualmente las industrias están relacionadas en el sentido de que cada una de ellas debe usar algunos de los productos de las otras para poder funcionar. Además, una economía debe producir generalmente algunos productos terminados para la demanda final. El análisis de insumo-producto determina la producción de cada una de las industrias si cambia la demanda final, suponiendo que la estructura de la economía no varía. Es conveniente tabular los datos para el análisis insumo-producto, como se muestra en la tabla siguiente:

UsuarioProduc-tor

1 2 ... n Demandafinal

ProducciónTotal

1 b11 b12 ... b1n d1 x1

2 b21 b22 ... b2n d2 x2

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .n bn1 bn2 ... bnn dn xn

En donde bi j es el valor o importe (en unidades monetarias) de los productos producidos por la industria i, consumidos o empleados por la industria j, d i es la demanda final para los productos de la industria i , y xi es la producción total de la industria i (es decir, xi= bi1+bi2+...+bin+di). Sea B=[bi j]nxn , D=[di]nx1 (vector demanda) , X=[xi]nx1 (matriz de producción).

La estructura económica se puede describir ahora mediante la matriz insumo-producto A=[ai j]nxn, en donde ai j=(bi j/xj) representa la proporción de los insumos consumidos

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por la industria j, provenientes de la industria i. Por lo tanto, como b i j=ai j.xi , entonces la i-ésima industria debe producirax1+ai2x2+...+ainxn para satisfacer las demandas de todas las industrias. Por tanto, el vector demanda interindustrial puede plantearse como AX. Además, como la producción de la economía debe ajustarse para satisfacer tanto las necesidades interindustriales como la demanda final, entonces deberá ser:X= AX+DPor lo cual: X-AX=D

(I-A)X=D y, finalmente: X=(I-A) -1 D

En donde (I-A) se conoce como matriz de Leontief.

Por ejemplo, considérese una economía hipotética muy sencilla de dos industrias I y II, representadas en la tabla siguiente:

UsuarioProductor Ind. I Ind. II Demanda

FinalProducciónTotal

Industria I 500 350 150 1000Industria II 320 360 120 800

En donde las cifras corresponden a millones de dólares.Se desea determinar cuál deberá ser el vector producción (X) de tal economía, si luego de un estudio de mercado se espera que la demanda final cambie a 200 en el caso de la industria I y a 100 en caso de la industria II.Solución:

B= , X= , nueva D=

Como ai j=(bi j/xj), entonces A=

I-A=

(I-A)-1=

Entonces, X=(I-A)-1D= = .

Economía hipotética con dos industriasUna economía hipotética simple de dos industrias, I y II, está representada en la siguiente tabla (las cifras son millones de unidades monetarias de productos).

Usuario

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Productor Ind. I Ind. II DemandaFinal

ProducciónTotal

Industria I 150 240 210 600Industria II 200 120 160 480

Determinar el vector producción que corresponde a la economía, si la demanda final cambia a (a) 100 para I y 200 para II ; (b) 50 para I y 60 para II.Respuestas: a) 442.11 para I y 463.16 para II. B) 170.53 para I y 155.79 para II.

Trabajo grupal: Resuelva el problema siguiente.

Una economía hipotética simple de tres industrias, A, B y C, está representada en la siguiente tabla (las cifras son millones de unidades monetarias de productos).

UsuarioProductor A B C Demanda

FinalProducciónTotal

A 80 100 100 40 320B 80 200 60 60 400C 80 100 100 20 300

Determinar el vector producción que corresponde a la economía, si la demanda final cambia a (a) 120 para A, 40 para B y 10 para C; (b) 60 para A, 60 para B y 60 para C.

Respuestas: (a) 481.74 para A, 469.57 para B, y 371.74 para C. (b) 469.57 para A, 542.61 para B y469.570 para C.

5. Punto de equilibrio del mercadoLa ecuación de demanda de cierto producto es p+2x=25 y la ecuación de oferta es p-3x=5, en donde p es el precio y x es la cantidad demandada o suministrada (ofrecida), según el caso. Calcule los valores de x y p en el punto de equilibrio. Utilice técnicas matriciales. Respuesta: x=4, p=17.

6. Asignación de maquinariaUna empresa produce tres productos, A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas está dado por la matriz:

A B C

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Si dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y de la máquina III por 550 horas, cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible las máquinas? Respuesta: 100, 150 y 200 unidades de A, B, C.

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