“integrales singulares y teor´ia de pesos: un maridaje … · “integrales singulares y...

“INTEGRALES SINGULARES Y TEORIA DE PESOS:UN MARIDAJE DE LO MAS FRUCTIFERO’

Carlos Perez

Universidad del Pais Vasco y BCAM

Universidad Carlos III de Madrid

Leganes, 31-Enero-2018

Integrales Singulares y pesos [email protected]

• Los resultados principales se obtuvieron en colaboracion con

1



Tuomas Hytonen

1



Tuomas Hytonen

Daewon Chung & Cristina Pereyra

1



Tuomas Hytonen


• y otros resultados con

1



Tuomas Hytonen



Teresa Luque & Ezequiel Rela

1



Tuomas Hytonen




• relacionados con trabajos previos en colaboracion con

1



Tuomas Hytonen




• relacionados con trabajos previos en colaboracion con

D. Cruz-Uribe, A. Lerner, J.M. Martell, S. Ombrosi, S. Treil, A. Volberg

1


Plan de la charla

2


Plan de la charla

1) Las Integrales Singulares.

2


Plan de la charla

1) Las Integrales Singulares.• Motivacion. El mundo Lp

2


Plan de la charla


• Los operadores de Calderon-Zygmund.

2


Plan de la charla


• Los operadores de Calderon-Zygmund.• Otros espacios: BMO y el fenomeno de la automejora.

2


Plan de la charla


• Los operadores de Calderon-Zygmund.• Otros espacios: BMO y el fenomeno de la automejora.• Conmutadores.

2


Plan de la charla



2) El operador maximal

2


Plan de la charla



2) El operador maximal• Revision de la teoria Ap clasica.

2


Plan de la charla



2) El operador maximal• Revision de la teoria Ap clasica.• Resultados nuevos: del teorema A2 al teorema Ap (extrapolacion).

2


Plan de la charla



2) El operador maximal• Revision de la teoria Ap clasica.• Resultados nuevos: del teorema A2 al teorema Ap (extrapolacion).• Mejorando el teorema A2, a los resultados mixtos A2 −A∞.

2


Plan de la charla




3) Otros operadores Integrales Singulares

2


Plan de la charla




3) Otros operadores Integrales Singulares

• Conmutadores con funciones de BMO.

2


Series de Fourier: nucleos “buenos” y nucleos “malos”

3



f ∈ L1[0,1]

3



f ∈ L1[0,1]

Le asociamos su serie de Fourier

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx

Sumas parciales:

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx

Sumas parciales: SNf(x) =∑Nk=−N f(k)e2πikx

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx

Sumas parciales: SNf(x) =∑Nk=−N f(k)e2πikx = DN ∗ f(x)

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx


DN(x) = sin(π(2N+1)x)sin(πx)

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx


DN(x) = sin(π(2N+1)x)sin(πx) el nucleo de Dirichlet

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx


DN(x) = sin(π(2N+1)x)sin(πx) el nucleo de Dirichlet que es un nucleo malo

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx



SNf(x) ≈ Hf(x)

donde

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx



SNf(x) ≈ Hf(x)

donde

Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy

3



f ∈ L1[0,1]


f ;

∞∑k=−∞

f(k)e2πikx



SNf(x) ≈ Hf(x)

donde

Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy

La transformada de Hilbert

3



4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

donde n(x) =1

x

4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

donde n(x) =1

x

que es un nucleo malo

4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

donde n(x) =1

x


Hf(x) = v.p.∫R

f(y)

x− ydy

4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

donde n(x) =1

x


Hf(x) = v.p.∫R

f(y)

x− ydy

i.e.

4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

donde n(x) =1

x


Hf(x) = v.p.∫R

f(y)

x− ydy

i.e.

= limε→0

∫|y−x|>ε

f(y)

x− ydy

4



Hf(x) =∫R

f(y)

x− ydy = n ? f(x)

donde n(x) =1

x


Hf(x) = v.p.∫R

f(y)

x− ydy

i.e.

= limε→0

∫|y−x|>ε

f(y)

x− ydy

• la cancelacion

4


El mundo Lp

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp

esto es

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp

esto es ‖SNf − f‖Lp → 0

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp


Una variante: Las sumas de Cesaro

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf

y se estudia la convergencia Lp:

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf

y se estudia la convergencia Lp: ‖σNf − f‖Lp → 0

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf


σNf(x) = FN ∗ f(x)

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf


σNf(x) = FN ∗ f(x) FN es el nucleo de Fejer

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf



FN(x) =1

N + 1

(sin(π(N + 1)x)

sin(πx)

)2

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf



FN(x) =1

N + 1

(sin(π(N + 1)x)

sin(πx)

)2

es un nucleo bueno,

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf



FN(x) =1

N + 1

(sin(π(N + 1)x)

sin(πx)

)2

es un nucleo bueno, es una ”aproximacion de la identidad”.

5


El mundo Lp

SNf → f in Lp



σNf(x) =1

N + 1

N∑k=0

SNf



FN(x) =1

N + 1

(sin(π(N + 1)x)

sin(πx)

)2

es un nucleo bueno, es una ”aproximacion de la identidad”.

Intimamente relacionado con la funcion maximal de Hardy-Littlewood.

5


El operador de Laplace

6



Consideramos la ecuacion de Poisson en Rn:

6




∆u = f

6




∆u = f

La solucion viene dada por el potencial de Newton

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)

con n(x) = c|x|n−2

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)


La pregunta es: si f ∈ X

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)


La pregunta es: si f ∈ X encontrar el espacio Y tal que

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)


La pregunta es: si f ∈ X encontrar el espacio Y tal que u ∈ Y

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)



• Y suele ser un espacio de Sobolev

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)




Punto clave,

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)




Punto clave, analizar las segundas derivadas de u:

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)





f ∈ X implica D2u ∈ X

6




∆u = f


u(x) =∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy = n ? f(x)





f ∈ X implica D2u ∈ X

Ejemplo principal X = Lp(Rn)

6


Motivacion: Las transformadas de Riesz

Podemos calcular

7



Podemos calcular

∂2i,ju(x) = c

∫Rnki,j(x− y)f(y) dy

7



Podemos calcular

∂2i,ju(x) = c


ki,j(x) = cxi|x|

xj

|x|1

|x|n

7



Podemos calcular

∂2i,ju(x) = c


ki,j(x) = cxi|x|

xj

|x|1

|x|n

ki,j es otra vez un nucleo que NO es localmente integrable.

7



Podemos calcular

∂2i,ju(x) = c


ki,j(x) = cxi|x|

xj

|x|1

|x|n


Estos operadores son esencialmente las TRANSFORMADAS DE RIESZ:

7



Podemos calcular

∂2i,ju(x) = c


ki,j(x) = cxi|x|

xj

|x|1

|x|n



Rjf(x) = cn v.p.∫Rn

xj − yj|x− y|n+1

f(y) dy j = 1, · · · , n

7



Podemos calcular

∂2i,ju(x) = c


ki,j(x) = cxi|x|

xj

|x|1

|x|n



Rjf(x) = cn v.p.∫Rn


f(y) dy j = 1, · · · , n

• El caso n = 1 corresponde con la transformada de Hilbert.

7


Integrales singulares de convolucion.

8



D2u(x) =∫RnK(x− y)f(y) dy

8




donde K es un nucleo ”singular” en Rn.

8





Propiedades:

8





Propiedades:

• (A) Propiedad de cancelacion:∫a<|x|<b k(x) dx = 0

lo cual implica:

8





Propiedades:


lo cual implica:

K ∈ L∞(Rn)

esto es:

8





Propiedades:


lo cual implica:

K ∈ L∞(Rn)

esto es: T : L2(Rn)→ L2(Rn)

8





Propiedades:


lo cual implica:

K ∈ L∞(Rn)


• (B) Tamano critico: |K(x)| ≤C

|x|n

8





Propiedades:


lo cual implica:

K ∈ L∞(Rn)


• (B) Tamano critico: |K(x)| ≤C

|x|n

• (C) Regularidad: |∇K(x)| ≤C

|x|n+1

8


Ejemplos

9


EjemplosLas Transformadas de Riesz:

Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.

9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.

y desde el punto de vista de Fourier:

9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.


Rjf(ξ) = −iξj

|ξ|f(ξ)

9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.


Rjf(ξ) = −iξj

|ξ|f(ξ) Hf(ξ) = −sign(ξ)f(ξ) (n = 1)

9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.


Rjf(ξ) = −iξj

|ξ|f(ξ) Hf(ξ) = −sign(ξ)f(ξ) (n = 1)

• La transformada de Ahlfors-Beurling:

9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.


Rjf(ξ) = −iξj

|ξ|f(ξ) Hf(ξ) = −sign(ξ)f(ξ) (n = 1)


Bf(z) =1

πp.v.

∫C

f(ω)

(ω − z)2dω

9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.


Rjf(ξ) = −iξj

|ξ|f(ξ) Hf(ξ) = −sign(ξ)f(ξ) (n = 1)


Bf(z) =1

πp.v.

∫C

f(ω)

(ω − z)2dω


9



Rjf(x) =∫Rn


f(y) dy j = 1, . . . , n.


Rjf(ξ) = −iξj

|ξ|f(ξ) Hf(ξ) = −sign(ξ)f(ξ) (n = 1)


Bf(z) =1

πp.v.

∫C

f(ω)

(ω − z)2dω


Bf(ξ) = −ξ

ξf(ξ)

9


El caso no convolucion

Uno de los ejemplos principales viene dado por losoperadores Pseudodiferenciales

10




Tf(x) =∫Rnσ(x, ξ)f(ξ)eix·ξ dξ

10





donde |∂βx∂αξ σ(x, ξ)| ≤ Cα,β(1 + |ξ|)−|α|

10






Todos estos ejemplos son casos especiales de lo que se conoce como

10







Operadores de Calderon-Zygmund:

10








Tf(x) =∫RnK(x, y) f(y) dy

10








Tf(x) =∫RnK(x, y) f(y) dy

• Muchas aplicaciones en: EDP (regularidad eliptica, dominios no suaves);teoria de operadores; anaiisis complejo, teoria de la senal etc

10


Mas ejemplos

11


Mas ejemplosEl conumtador de Calderon:

Tf(x) =∫R

a(x)− a(y)

x− yf(y)

x− ydy

11



Tf(x) =∫R

a(x)− a(y)

x− yf(y)

x− ydy

donde a is una funcion Lipschitz.

11



Tf(x) =∫R

a(x)− a(y)

x− yf(y)

x− ydy


Relacionado con la transformada de Cauchy:

Cf(z) =∫

Γ

f(ξ)

z − ξd(ξ)

11



Tf(x) =∫R

a(x)− a(y)

x− yf(y)

x− ydy



Cf(z) =∫

Γ

f(ξ)

z − ξd(ξ)

donde Γ es una curva de Lipschitz.

11



Tf(x) =∫R

a(x)− a(y)

x− yf(y)

x− ydy



Cf(z) =∫

Γ

f(ξ)

z − ξd(ξ)


Dificultad: no hay teoria L2 Inmediata porque no son de convolucion

11



Tf(x) =∫R

a(x)− a(y)

x− yf(y)

x− ydy



Cf(z) =∫

Γ

f(ξ)

z − ξd(ξ)


Dificultad: no hay teoria L2 Inmediata porque no son de convolucion

Teorema T1 de David-Journe

11


La escuela de Chicago: A. P. Calderon y A. Zygmund

Thm Sea T un operador de Calderon-Zygmund, entonces:

T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞

Aplicacion a ∆u = f

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞


si f ∈ Lp(Rn), p > 1

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞


si f ∈ Lp(Rn), p > 1 entonces D2u ∈ Lp(Rn)

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞


si f ∈ Lp(Rn), p > 1 entonces D2u ∈ Lp(Rn) i.e. u ∈W2,p(Rn)

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞



De forma similar, si f ∈ L1(Rn),

12




T : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

y como consecuencia

T : Lp(Rn)→ Lp(Rn) 1 < p <∞



De forma similar, si f ∈ L1(Rn), entonces D2u ∈ L1,∞(Rn)

12


El espacio B.M.O. de John-Nirenberg

13



• ¿ Como se comportan estos operadores en L∞ ?

13




• Ejemplo: H(χ(0,1)

)(x) = c log |x|

13





)(x) = c log |x|

Este espacio esta ligado al concepto de oscilacion:

13





)(x) = c log |x|


Definicion

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q|f(y)− f

Q| dy <∞

13





)(x) = c log |x|


Definicion

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q|f(y)− f

Q| dy <∞

• Famoso por el teorema de John-Nirenberg

13





)(x) = c log |x|


Definicion

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q|f(y)− f

Q| dy <∞


Ejemplos:

13





)(x) = c log |x|


Definicion

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q|f(y)− f

Q| dy <∞


Ejemplos: 1) log |x| ∈ B.M.O.

13





)(x) = c log |x|


Definicion

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q|f(y)− f

Q| dy <∞


Ejemplos: 1) log |x| ∈ B.M.O. 2) W1,n(Rn)

13





)(x) = c log |x|


Definicion

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q|f(y)− f

Q| dy <∞


Ejemplos: 1) log |x| ∈ B.M.O. 2) W1,n(Rn)

Teorema Si T es un operador de Calderon-Zygmund:

T : L∞c (Rn)→ B.M.O.(Rn)

13


Conmutadores y BMO

14


Conmutadores y BMO

Si b es una funcion y T es lineal consideramos

[b, T ]f = b T (f)− T (bf)

14


Conmutadores y BMO


[b, T ]f = b T (f)− T (bf)

Si T tiene nucleo K:

14


Conmutadores y BMO


[b, T ]f = b T (f)− T (bf)


[b, T ]f(x) =∫Rn

(b(x)− b(y))K(x− y) f(y) dy,

14


Conmutadores y BMO


[b, T ]f = b T (f)− T (bf)


[b, T ]f(x) =∫Rn

(b(x)− b(y))K(x− y) f(y) dy,

que en el caso de la transformada de Hilbert:

14


Conmutadores y BMO


[b, T ]f = b T (f)− T (bf)


[b, T ]f(x) =∫Rn

(b(x)− b(y))K(x− y) f(y) dy,


[b,H]f(x) =∫R

b(x)− b(y)

x− yf(y) dy

14


Conmutadores y BMO


[b, T ]f = b T (f)− T (bf)


[b, T ]f(x) =∫Rn

(b(x)− b(y))K(x− y) f(y) dy,


[b,H]f(x) =∫R

b(x)− b(y)

x− yf(y) dy

(Coifman-Rochberg-Weiss (1976))

[b,H] : Lp(R) −→ Lp(R) ⇐⇒ b ∈ BMO(R)

14


Conmutadores y BMO


[b, T ]f = b T (f)− T (bf)


[b, T ]f(x) =∫Rn

(b(x)− b(y))K(x− y) f(y) dy,


[b,H]f(x) =∫R

b(x)− b(y)

x− yf(y) dy

(Coifman-Rochberg-Weiss (1976))

[b,H] : Lp(R) −→ Lp(R) ⇐⇒ b ∈ BMO(R)

Si T es un un operador de Calderon-Zygmund y si b ∈ BMO(Rn):

‖[b, T ]‖Lp(Rn)

≤ c ‖b‖B.M.O.

14


Otras versiones

15


Otras versiones

• Si iteramos m veces el conmutador:

15


Otras versiones


(mveces)︷︸︸︷[b, ··, [b, T ]] =

∫Rn

(b(x)− b(y))mK(x− y)f(y) dy.

15


Otras versiones


(mveces)︷︸︸︷[b, ··, [b, T ]] =

∫Rn


Son operadores mas singulares

15


Otras versiones


(mveces)︷︸︸︷[b, ··, [b, T ]] =

∫Rn



• De forma mas general si: ~b = (b1, ··, bm),

15


Otras versiones


(mveces)︷︸︸︷[b, ··, [b, T ]] =

∫Rn



• De forma mas general si: ~b = (b1, ··, bm),

T~bf(x) =∫Rn

(b1(x)− b1(y)) · · · (bm(x)− bm(y))K(x− y)f(y)dy.

15


El operador maximal de Hardy–Littlewood

16



Esta definido por la expresion

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|

∫Q|f(y)| dy

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|

∫Q|f(y)| dy ≈ sup

r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy

Resultados clasicos:

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy

Resultados clasicos:M : Lp(Rn)→ Lp(Rn), 1 < p ≤ ∞

y

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy


y M : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy


y M : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)

• Operador central por muchas razones:

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy


y M : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)


• 1) Teorema de diferenciacion de Lebesgue.

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy


y M : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)



• 2) Se usa para caracterizar los espacios de Sobolev spaces W1,p(Rn):

16




Mf(x) = supx∈Q

1

|Q|


r>o

1

|Br(x)|

∫Br(x)

|f(y)| dy


y M : L1(Rn)→ L1,∞(Rn)



• 2) Se usa para caracterizar los espacios de Sobolev spaces W1,p(Rn):

|f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|(M(|∇f |)(x) +M(|∇f |)(x))

16


Teoria de pesos

17


Teoria de pesos

C. Fefferman & E.M. Stein (1971)

17


Teoria de pesos


Teorema‖Mf‖

L1,∞(w)≤ cn

∫Rn|f(x)|Mw(x)dx w ≥ 0.

17


Teoria de pesos


Teorema‖Mf‖

L1,∞(w)≤ cn


• Define la clase A1 de pesos

17


Teoria de pesos


Teorema‖Mf‖

L1,∞(w)≤ cn


• Define la clase A1 de pesos M(w)(x) ≤ C w(x)

17


Teoria de pesos


Teorema‖Mf‖

L1,∞(w)≤ cn



• Una de las consecuencias mas importantes:

17


Teoria de pesos


Teorema‖Mf‖

L1,∞(w)≤ cn




Extension vectorial del teorema Lp maximal:

17


Teoria de pesos


Teorema‖Mf‖

L1,∞(w)≤ cn




Extension vectorial del teorema Lp maximal:

Teorema Si 1 < p, q <∞,

∥∥∥∥∥(∑

j

(Mfj)q)1q

∥∥∥∥∥Lp(Rn)

≤ c∥∥∥∥∥(∑

j

|fj|q)1q

∥∥∥∥∥Lp(Rn)

17


La condicion Ap de Muckenhoupt

18



Teorema (B. Muckenhoupt (1971)Sea 1 < p <∞, entonces

M : Lp(w) −→ Lp(w)

si y solo si

18




M : Lp(w) −→ Lp(w)

si y solo siw satisface la condicion Ap:

[w]Ap

= supQ

(1

|Q|

∫Qw dx

) (1

|Q|

∫Qw−1p−1 dx

)p−1

<∞

18




M : Lp(w) −→ Lp(w)


[w]Ap

= supQ

(1

|Q|

∫Qw dx

) (1

|Q|

∫Qw−1p−1 dx

)p−1

<∞

El caso p = 2 es especialmente util:

[w]A2

= supQ

(1

|Q|

∫Qw dx

) (1

|Q|

∫Qw−1 dx

)

18




M : Lp(w) −→ Lp(w)


[w]Ap

= supQ

(1

|Q|

∫Qw dx

) (1

|Q|

∫Qw−1p−1 dx

)p−1

<∞

El caso p = 2 es especialmente util:

[w]A2

= supQ

(1

|Q|

∫Qw dx

) (1

|Q|

∫Qw−1 dx

)

Siempre se tiene [w]Ap≥ 1

18


El teorema de Buckley

19



Version optima del teorema de Muckenhoupt

19




Teorema (S. Buckley ≈ 1990)

19




Teorema (S. Buckley ≈ 1990)Sea 1 < p <∞ y sea w ∈ Ap, entonces

‖M‖Lp(w)

≤ cn p′ [w]1p−1

Ap

19





‖M‖Lp(w)

≤ cn p′ [w]1p−1

Ap

Ademas, el exponente es optimo: 1p−1 no puede ser sustituido por 1

p−1−ε

19





‖M‖Lp(w)

≤ cn p′ [w]1p−1

Ap

Ademas, el exponente es optimo: 1p−1 no puede ser sustituido por 1

p−1−ε

• Analisis armonico cuantitativo

19


Pesos y ecuaciones elipticas degeneradas

20



Se considear el operador diferencial

Lu = div(A(x).∇u)

donde A satisface la condicion eliptica degenerada:

20




Lu = div(A(x).∇u)


1

c|ξ|2w(x) ≤ A(x)ξ.ξ ≤ c|ξ|2w(x)

20




Lu = div(A(x).∇u)


1

c|ξ|2w(x) ≤ A(x)ξ.ξ ≤ c|ξ|2w(x)

donde w es un peso con algun tipo de singularidad. Contexto de Fabes-Kenig-Serapioni.

20




Lu = div(A(x).∇u)


1

c|ξ|2w(x) ≤ A(x)ξ.ξ ≤ c|ξ|2w(x)

donde w es un peso con algun tipo de singularidad. Contexto de Fabes-Kenig-Serapioni.• Objetivo: regularidad de las soluciones.

20




Lu = div(A(x).∇u)


1

c|ξ|2w(x) ≤ A(x)ξ.ξ ≤ c|ξ|2w(x)


Lu = 0

20




Lu = div(A(x).∇u)


1

c|ξ|2w(x) ≤ A(x)ξ.ξ ≤ c|ξ|2w(x)


Lu = 0

La teoria clasica se debe a: DiGiorgi, Nash, Moser (decadas de los 50 y 60.)

20


Desigualdades de Poincare-Sobolev “degeneradas”

21



Hay dos puntos claves en el metodo ”iterativo” de Moser:

21



Hay dos puntos claves en el metodo ”iterativo” de Moser:La desigualdad de Poincare:(

1

w(Q)

∫Q|f − fQ|2w

)12≤ C `(Q)

(1

w(Q)

∫Q|∇f |2w

)12.

21




1

w(Q)

∫Q|f − fQ|2w

)12≤ C `(Q)

(1

w(Q)

∫Q|∇f |2w

)12.

y las de Poincare-Sobolev: existe ε > 0

21




1

w(Q)

∫Q|f − fQ|2w

)12≤ C `(Q)

(1

w(Q)

∫Q|∇f |2w

)12.


(1

w(Q)

∫Q|f − fQ|2+εw

) 12+ε

≤ C `(Q)

(1

w(Q)

∫Q|∇f |2w

)1/2

21




1

w(Q)

∫Q|f − fQ|2w

)12≤ C `(Q)

(1

w(Q)

∫Q|∇f |2w

)12.


(1

w(Q)

∫Q|f − fQ|2+εw

) 12+ε

≤ C `(Q)

(1

w(Q)

∫Q|∇f |2w

)1/2

• que son ciertas si w ∈ A2

21


Las condicion A∞

22


Las condicion A∞

• Las clases Ap son crecientes:

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq

• Es natural pues definir:

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq

• Es natural pues definir: A∞ = ∪p≥1Ap

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq


• satisfacen la propiedad que se conoce como:

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq



desigualdad de Holder al reves: existen r, c > 1

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq



desigualdad de Holder al reves: existen r, c > 1(1

|Q|

∫Qwr dx

)1r

≤c

|Q|

∫Qw dx

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq




|Q|

∫Qwr dx

)1r

≤c

|Q|

∫Qw dx

• w satisface la condicion de Fujii-Wilson

22


Las condicion A∞


1 ≤ p ≤ q <∞ ⇒ Ap ⊂ Aq




|Q|

∫Qwr dx

)1r

≤c

|Q|

∫Qw dx

• w satisface la condicion de Fujii-Wilson

[w]A∞

= supQ

1

w(Q)

∫QM(wχQ) dx

22


La RHI optimal

23


La RHI optimal

Teorema (T. Hytonen y C. P.)

Sea w ∈ A∞. Entonces, si δ = 1τn[w]A∞

, con τn apropiado

(1

|Q|

∫Qw1+δ

) 11+δ ≤

2

|Q|

∫Qw

23


La RHI optimal



, con τn apropiado

(1

|Q|

∫Qw1+δ

) 11+δ ≤

2

|Q|

∫Qw

• el resultado es esencialmente el mejor posible: [w]A∞

23


La RHI optimal



, con τn apropiado

(1

|Q|

∫Qw1+δ

) 11+δ ≤

2

|Q|

∫Qw


Corolario (la propiedad de la apertura optima)

Si w ∈ Ap entonces

23


La RHI optimal



, con τn apropiado

(1

|Q|

∫Qw1+δ

) 11+δ ≤

2

|Q|

∫Qw



Si w ∈ Ap entoncesw ∈ Ap−ε

23


La RHI optimal



, con τn apropiado

(1

|Q|

∫Qw1+δ

) 11+δ ≤

2

|Q|

∫Qw




dondeε ≈ p−1

[w1−p′]A∞

23


La RHI optimal



, con τn apropiado

(1

|Q|

∫Qw1+δ

) 11+δ ≤

2

|Q|

∫Qw




dondeε ≈ p−1

[w1−p′]A∞con

[w]Ap−ε ≈ [w]Ap

23


Primer resultado reciente: mejora del teorema de Buckley.

24



Recordemos el teorema de Buckley: ‖M‖Lp(w)

≤ cp [w]1p−1

Ap

24




≤ cp [w]1p−1

Ap


Sea 1 < p <∞ y sea w ∈ Ap. Si σ = w−1p−1 , entonces

‖M‖Lp(w)

≤ cn,p([w]Ap[σ]A∞

)1/p

24




≤ cp [w]1p−1

Ap



‖M‖Lp(w)


)1/p

• Otro tipo de resultados dentro del Analisis cuantitativo.

24




≤ cp [w]1p−1

Ap



‖M‖Lp(w)


)1/p


• Este resultado permite recuperar el teorema de Buckley.

24




≤ cp [w]1p−1

Ap



‖M‖Lp(w)


)1/p


• Este resultado permite recuperar el teorema de Buckley.

• Este resultado constituye un ejemplo modelo para abordar operadores masdificiles.

24


El teorema de Hunt-Muckenhoupt-Wheeden (1973)

25



Teorema Sea 1 < p <∞, entonces

H : Lp(w)→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap

25




H : Lp(w)→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap

Este resultado fue mejorado muy notablemente:

25




H : Lp(w)→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap


Teorema R. Coifman y C. Fefferman ( ≈ 1974)Sea T un operador de Calderon-Zygmund. Sean 0 < p <∞ y w ∈ A∞.Entonces existe una constante c tal que

25




H : Lp(w)→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap



‖Tf‖Lp(w)

≤ c ‖Mf‖Lp(w)

25




H : Lp(w)→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap



‖Tf‖Lp(w)

≤ c ‖Mf‖Lp(w)

la prueba se basa en la tecnica de las buenas ”λ”

25




H : Lp(w)→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap



‖Tf‖Lp(w)

≤ c ‖Mf‖Lp(w)

la prueba se basa en la tecnica de las buenas ”λ”

CorolarioSea 1 < p <∞ y sea w ∈ Ap. Entonces,

T : Lp(w)→ Lp(w)

25


Nuevo milenio: La teoria A2 para las Integrales Singulares

26



Teorema (S. Petermichl & A. Volberg ≈ 2003)Sea B la transformada de Ahlfors-Beurling

‖B‖L2(w)

≤ c [w]A2

26




‖B‖L2(w)

≤ c [w]A2

Este resultado permitio resolver una conjetura propuesta por Astala-Iwaniec-Saksman sobre la regularidad de las soluciones de la ecuacion de Beltrami.

26




‖B‖L2(w)

≤ c [w]A2


Teorema (S. Petermichl ≈ 2005)Sea H la transformada de Hilbert

‖H‖L2(w)

≤ c [w]A2

26




‖B‖L2(w)

≤ c [w]A2


Teorema (S. Petermichl ≈ 2005)Sea H la transformada de Hilbert

‖H‖L2(w)

≤ c [w]A2

Similarmente para las transformadas de Riesz.

26


El teorema A2

27


El teorema A2

Sea T un operador de Calderon-Zygmund.

27


El teorema A2


Teorema (T. Hytonen, 2011)

‖T‖L2(w)

≤ cT

[w]A2

27


El teorema A2



‖T‖L2(w)

≤ cT

[w]A2

• Trabajos previos con D. Cruz-Uribe y J. M. Martell (asumiendo un poco deregularidad en el nucleo).

27


El teorema A2



‖T‖L2(w)

≤ cT

[w]A2


• Treil-Volberg

27


El teorema A2



‖T‖L2(w)

≤ cT

[w]A2


• Treil-Volberg

• ¿Por que L2(w)?

27


El contexto Lp : El teorema optimo de extrapolacion.

28



Corolario‖T‖Lp(w) ≤ cp,T [w]

max{1, 1p−1}

Ap1 < p <∞

y el exponente es optimo.

28




max{1, 1p−1}

Ap1 < p <∞


• Comparar con: ‖M‖Lp(w)

≤ cp [w]1p−1

Ap, 1 < p <∞

28




max{1, 1p−1}

Ap1 < p <∞



≤ cp [w]1p−1

Ap, 1 < p <∞

Teorema Sea T un operador tal que para un exponente 1 < p0 <∞ yun α > 0

‖T‖Lp0(w)

≤ c [w]αAp0

28




max{1, 1p−1}

Ap1 < p <∞



≤ cp [w]1p−1

Ap, 1 < p <∞


‖T‖Lp0(w)

≤ c [w]αAp0

entonces para cada 1 < p <∞

‖T‖Lp(w)

≤ c [w]αmax{1,p0−1

p−1 }

Ap

28




max{1, 1p−1}

Ap1 < p <∞



≤ cp [w]1p−1

Ap, 1 < p <∞


‖T‖Lp0(w)

≤ c [w]αAp0

entonces para cada 1 < p <∞

‖T‖Lp(w)

≤ c [w]αmax{1,p0−1

p−1 }

Ap

• Este es el teorema de Extrapolacion de Rubio de Francia pero con controlen las constantes.

28


Nuevos resultados

29


Nuevos resultados

Recordemos la definicion de la constante A∞ que estamos usando

[σ]A∞

= supQ

1

σ(Q)

∫QM(σχQ) dx

29


Nuevos resultados


[σ]A∞

= supQ

1

σ(Q)

∫QM(σχQ) dx

Teorema (T. Hytonen & C.P. ) Sea w ∈ A2 & σ = w−1 , entonces

‖T‖L2(w)

≤ cT [w]1/2A2

([w]A∞ + [σ]A∞

)1/2

29


Nuevos resultados


[σ]A∞

= supQ

1

σ(Q)

∫QM(σχQ) dx


‖T‖L2(w)

≤ cT [w]1/2A2

([w]A∞ + [σ]A∞

)1/2

• Una consecuencia interesante: la llamada “conjetura A2 al reves”:

29


Nuevos resultados


[σ]A∞

= supQ

1

σ(Q)

∫QM(σχQ) dx


‖T‖L2(w)

≤ cT [w]1/2A2

([w]A∞ + [σ]A∞

)1/2


[w]A2≤ cn,T ‖T‖L2(w)

29


Nuevos resultados


[σ]A∞

= supQ

1

σ(Q)

∫QM(σχQ) dx


‖T‖L2(w)

≤ cT [w]1/2A2

([w]A∞ + [σ]A∞

)1/2


[w]A2≤ cn,T ‖T‖L2(w)

es FALSA.

29


Repasamos de los conmutadores

Reordemos los conmutadores [b, T ]

30




[b, T ]f = b T (f)− T (bf)

donde T es un operador de Calderon-Zygmund o cuaquier operador lineal ysea b una a funcion.

30




[b, T ]f = b T (f)− T (bf)


En el caso de la transformada de Hilbert hay un ejemplo expilcito:

30




[b, T ]f = b T (f)− T (bf)



[b,H]f(x) =∫R

b(x)− b(y)

x− yf(y) dy

30




[b, T ]f = b T (f)− T (bf)



[b,H]f(x) =∫R

b(x)− b(y)

x− yf(y) dy

o de forma mas general:

30




[b, T ]f = b T (f)− T (bf)



[b,H]f(x) =∫R

b(x)− b(y)

x− yf(y) dy

o de forma mas general:

Hkb f(x) =

∫R

(b(x)− b(y))k

x− yf(y) dy

30


El teorema clasico de Coifman-Rochberg-Weiss

31



la primera pregunta es si estos conmutadores estan acotados en L2(Rn) oen Lp(Rn)

31




Teorema Coifman-Rochberg-Weiss (1976)Sea 1 < p <∞. Entonces

[b,H] : Lp(R) −→ Lp(R) ⇐⇒ b ∈ BMO(R)

31





[b,H] : Lp(R) −→ Lp(R) ⇐⇒ b ∈ BMO(R)

Mas generalmente, probaron que si T es un operador de Calderon-Zygmund

31





[b,H] : Lp(R) −→ Lp(R) ⇐⇒ b ∈ BMO(R)

Mas generalmente, probaron que si T es un operador de Calderon-Zygmund

b ∈ BMO =⇒ [b, T ] : Lp(Rn) −→ Lp(Rn)

31


Nuevos resultados: estimaciones cuadraticas.

Teorema D. Chung, C. Pereyra, & C.P.Sea T un operador lineal acotado en L2(w) tal que para algun α > 0

‖T‖L2(w) ≤ c [w]αA2

w ∈ A2

32




‖T‖L2(w) ≤ c [w]αA2

w ∈ A2

entonces

‖[b, T ]‖L2(w) ≤ c [w]1+α

A2‖b‖BMO w ∈ A2, b ∈ BMO

32




‖T‖L2(w) ≤ c [w]αA2

w ∈ A2

entonces

‖[b, T ]‖L2(w) ≤ c [w]1+α


La prueba se basa en el metodo de conjugacion de la teoria de operadores

32




‖T‖L2(w) ≤ c [w]αA2

w ∈ A2

entonces

‖[b, T ]‖L2(w) ≤ c [w]1+α


La prueba se basa en el metodo de conjugacion de la teoria de operadoresEn particular, se deduce lo siguiente

32




‖T‖L2(w) ≤ c [w]αA2

w ∈ A2

entonces

‖[b, T ]‖L2(w) ≤ c [w]1+α



Corolario Si T es un operador de Calderon-Zygmund y w ∈ A2

‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]2A2‖b‖

BMO

32




‖T‖L2(w) ≤ c [w]αA2

w ∈ A2

entonces

‖[b, T ]‖L2(w) ≤ c [w]1+α



Corolario Si T es un operador de Calderon-Zygmund y w ∈ A2

‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]2A2‖b‖

BMO


32


Aplicando el teorema de extrapolacion

33



Por el teorema de extrapolacion con control en las constantes

33




Corolario Si T es un operador de Calderon-Zygmund y si 1 < p <∞

‖[b, T ]‖Lp(w)

≤ c [w]2 max{1, 1

p−1}

Ap‖b‖

BMO

33





‖[b, T ]‖Lp(w)

≤ c [w]2 max{1, 1

p−1}

Ap‖b‖

BMO

y ademas el exponente es optimo.

33





‖[b, T ]‖Lp(w)

≤ c [w]2 max{1, 1

p−1}

Ap‖b‖

BMO

y ademas el exponente es optimo.

• Hay resultados mixtos A2 −A∞.

33


A2 −A∞ results

34


A2 −A∞ results

Teorema (C.P. & T. Hytonen)Sea b ∈ BMO. Supongamos w ∈ A2 y denotemos σ = w−1. Entonces

‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]12

A2

([w]

A∞+ [σ]

A∞

)32 ‖b‖

BMO

34


A2 −A∞ results


‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]12

A2

([w]

A∞+ [σ]

A∞

)32 ‖b‖

BMO

• Podemos recuperar los resultados anteriores:

34


A2 −A∞ results


‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]12

A2

([w]

A∞+ [σ]

A∞

)32 ‖b‖

BMO


‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]2A2‖b‖BMO

34


A2 −A∞ results


‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]12

A2

([w]

A∞+ [σ]

A∞

)32 ‖b‖

BMO


‖[b, T ]‖L2(w)


• Para conmutadores de orden superior tenemos

34


A2 −A∞ results


‖[b, T ]‖L2(w)

≤ c [w]12

A2

([w]

A∞+ [σ]

A∞

)32 ‖b‖

BMO


‖[b, T ]‖L2(w)


• Para conmutadores de orden superior tenemos

‖T kb ‖L2(w)≤ c [w]

12

A2

([w]

A∞+ [σ]A

∞

)k+12 ‖b‖k

BMO

34


El metodo “sparse”

35


El metodo “sparse”Si S ⊂ D es una familia ”sparse” definimos una especie de ”integral singulardiadica” asociada a S:

TSf :=∑Q∈S

1

|Q|

∫Qf dx · χQ

35



TSf :=∑Q∈S

1

|Q|

∫Qf dx · χQ

La idea clave: “transplantar” el case continuo al caso discreto.

35



TSf :=∑Q∈S

1

|Q|

∫Qf dx · χQ


TeoremaSea T un operador de Calderon-Zygmund.

35



TSf :=∑Q∈S

1

|Q|

∫Qf dx · χQ


TeoremaSea T un operador de Calderon-Zygmund.Entonces

|Tf(x)| ≤ cTTS(|f |)(x)

35



TSf :=∑Q∈S

1

|Q|

∫Qf dx · χQ



|Tf(x)| ≤ cTTS(|f |)(x)

Esto produce una nueva prueba mucho has sencilla del teorema A2 y abremuchos problemas.

35



TSf :=∑Q∈S

1

|Q|

∫Qf dx · χQ



|Tf(x)| ≤ cTTS(|f |)(x)

Esto produce una nueva prueba mucho has sencilla del teorema A2 y abremuchos problemas.• Lerner y Nazarov y J. Conde y G. Rey

35


36


MUCHASGRACIAS

36

“integrales singulares y teor´ia de pesos: un maridaje … · “integrales singulares y...

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