aÑo acadÉmico 2015/2016 facultad de ciencias sociales …

AÑO ACADÉMICO 2015/2016

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y DE LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICAS

José Manuel Pérez Martín

Matemáticas. Criterios de evaluación

José Manuel Pérez Martín 1

1. RESULTADOS DE APRENDIZAJE EN RELACIÓN CON LAS COMPETENCIAS QUE DESARROLLA LA MATERIA

COMPETENCIAS GENÉRICAS

C.G.1. Expresarse oralmente y por escrito de manera correcta y adecuada en lengua castellana.

CG.4. Aplicar los conocimientos dirigidos a promover y facilitar los aprendizajes en niños de 0 a 12 años desde una perspectiva globalizadora e integradora de las diferentes dimensiones: cognitiva, emocional, psicomotora, volitiva y social.

C.G.6. Desarrollar habilidades propias de la profesión docente, adaptadas a las nuevas situaciones educativas y cambios sociales.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE RELACIONADOS CON LAS COMPETENCIAS GENÉRICAS.

C.G.1. Conocer y dominar técnicas de expresión oral y escrita.

CG.4. Organizar los recursos materiales y personales, los espacios y los tiempos, aplicando criterios pedagógicos.

C.G.6. Diseñar la evaluación de los procesos de intervención, argumentando la selección del modelo, las estrategias y las técnicas e instrumentos utilizados.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CEpr.6.1. Adquirir competencias matemáticas básicas (numéricas, cálculo, geométricas, representaciones espaciales, estimación y medida, organización e interpretación de la información, etc.) CEpr.6.2. Conocer el currículo escolar de matemáticas. Analizar, razonar y comunicar propuestas matemáticas.

CEpr.6.3. Plantear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana. Valorar la relación entre matemáticas y ciencias como uno de los pilares del pensamiento científico.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE RELACIONADOS CON LAS COMPETENCIAS ESPECÍFICAS.

CEpr.6.1. Caracterizar los fundamentos matemáticos.

CEpr6.2.Determinar las estrategias metodológicas de acuerdo con los modelos psicopedagógicos.

CEpr.6.3. Plantear situaciones en el aula en las que los alumnos resuelvan problemas de la vida cotidiana aplicando conocimientos matemáticos.



2. UNIDADES DE QUE CONSTA LA MATERIA

La materia consta de CUATRO unidades que son:

UNIDAD 1:

Marcos teóricos que contemplan el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria.

UNIDAD 2:

Teorías educativas para la enseñanza de las Matemáticas en Educación Primaria.

UNIDAD 3:

La Matemática en Educación Primaria

3.1 Numeración y operaciones

3.2 Medida

3.3. Geometría

3.4 Organización de la información

3.5 Resolución de problemas

UNIDAD 4:

Historia de la Matemática

3. TEMPORALIZACIÓN

Los contenidos se irán impartiendo según cuatro sesiones presenciales más la sesión de evaluación final. Los contenidos y unidades que se impartirán en cada sesión vienen reflejados del siguiente modo:

- Primera sesión presencial: Presentación y unidades 1, 2 y 4.

- Segunda sesión presencial: Unidad 3.

- Tercera sesión presencial: Unidad 3.

- Cuarta sesión presencial: Unidad 3.

- Quinta sesión presencial: Examen.



SOY ALUMN@ DE MATEMÁTICAS Y MI PROFESOR ES JOSÉ MANUEL PÉREZ MARTÍN.

¿QUÉ TENGO QUE HACER PARA APROBAR LA ASIGNATURA?

1 � La asistencia no es obligatoria en ninguno de los casos.

2 � Caso 1. A mí me han convalidado la asignatura desde la UCJC.

LA NOTA TE LA PONE LA UCJC EN FUNCIÓN DE TU NOTA EN TU CARRERA ORIGINAL.

3

� Caso 2. Cursa la asignatura.

� Problemas matemáticos (60%)

� Examen final (40%)

4

� POR LA ACTIVA PARTICIPACIÓN EN DETERMINADOS MOMENTOS DE LAS CLASES SE PODRÁN OBTENER HASTA 1 PUNTO EXTRA QUE SE SUMARÁ SOBRE LA NOTA FINAL.

La fecha tope de entrega de los cuestionarios será la de la 4ª sesión presencial. Hasta

ese día los trabajos deben ser entregados preferiblemente por email al correo

[email protected].

UNIDAD 1:

Tratamiento didáctico de los contenidos del área de Matemáticas en E. Primaria.

Currículum, aprendizaje y evaluación del área de Matemáticas.

Matemáticas. Tratamiento didáctico de los contenidos del área de Matemáticas

en E. Primaria. Currículum, aprendizaje y evaluación del área de Matemáticas.


ÍNDICE.

1. TRATAMIENTO DIDÁCTICO DE LOS CONTENIDOS DEL CURRÍCULO DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

1.1. Contribución de la enseñanza de las matemáticas en la Enseñanza Primaria. 1.2. Pretensiones en la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria. 2. APRENDIZAJE Y COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ENSEÑANZA DE

LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA. 2.1. Competencias básicas en el área de matemáticas en la Enseñanza Secundaria. 2.2. Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Primaria.

3. EL CURRÍCULO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA

PRIMARIA. EVALUACIÓN.

3.1. Bloques de contenidos. 3.2. Apartados en los bloques de contenidos. 3.3. Evaluación del aprendizaje. 4. BIBLIOGRAFÍA 5. WEBGRAFÍA.




1. TRATAMIENTO DIDÁCTICO DE LOS CONTENIDOS DEL CURRÍCULO DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

1.1. Contribución de la enseñanza de las matemáticas en la Enseñanza Primaria.

En preámbulo del RD 1513/2006 sobre los contenidos mínimos en la especialidad de matemáticas en la Enseñanza Primaria, se señala y describe el tratamiento didáctico y el sentido de la enseñanza de las Matemáticas en la Enseñanza Primaria (LOE).

Se entienden así las matemáticas como un conjunto de ideas y formas de actuar que

conllevan no sólo utilizar cantidades y formas geométricas, sino, y sobre todo, hacerse

preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que, al

analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener

informaciones y conclusiones que inicialmente no estaban explícitas. Concebidas de esta

forma, las matemáticas incorporan las características que les han sido tradicionalmente

asignadas y que se identifican con la deducción, la precisión, el rigor, la seguridad, etc.,

pero son y aportan mucho más de lo que se deduce de estos términos. También son

inducción, estimación, aproximación, probabilidad y tentativa, y mejoran la capacidad

de enfrentarse a situaciones abiertas, sin solución única y cerrada.

Todo ello se refleja en la doble función que se viene dando al aprendizaje escolar de las

matemáticas y que mantiene su validez, aunque con una interpretación más amplia: se

aprende matemáticas porque son útiles en otros ámbitos (en la vida cotidiana, en el

mundo laboral, para aprender otras cosas...) y, también, por lo que su aprendizaje aporta

a la formación intelectual general, en concreto las destrezas susceptibles de ser utilizadas

en una amplia gama de casos particulares, y que contribuyen, por sí mismas, a potenciar

capacidades cognitivas de niños y niñas.

En el caso del RD 126/2014 sobre los contenidos mínimos en la especialidad de matemáticas en la Enseñanza Primaria, se señala el marco de actuación para con esta asignatura en la Enseñanza Primaria (LOMCE).

Las matemáticas permiten conocer y estructurar la realidad, analizarla y obtener

información para valorarla y tomar decisiones; son necesarias en la vida cotidiana,

para aprender a aprender, y también por lo que su aprendizaje aporta a la formación

intelectual general, y su contribución al desarrollo cognitivo. El uso de las

herramientas matemáticas permite abordar una gran variedad de situaciones. Las

matemáticas son un conjunto de saberes asociados a los números y a las formas, y

constituyen una forma de analizar diversas situaciones, se identifican con la deducción,

la inducción, la estimación, la aproximación, la probabilidad, la precisión, el rigor, la

seguridad, etc., nos ayudan a enfrentarnos a situaciones abiertas, sin solución única y

cerrada; son un conjunto de ideas y formas que nos permiten analizar los fenómenos y

situaciones que se presentan en la realidad, para obtener informaciones y conclusiones

que no estaban explícitas y actuar, preguntarnos, obtener modelos e identificar

relaciones y estructuras, de modo que conllevan no sólo utilizar cantidades y formas

geométricas sino, y sobre todo, encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas.




Estos primeros párrafos de ambos preámbulos, se destaca la Enseñanza de las matemáticas como un conjunto de conocimientos y de estrategias que aportan al alumno una amalgama de conocimientos y técnicas cognitivas que de hecho, sirven para resolver situaciones en la vida cotidiana.

En este sentido, podemos añadir que la enseñanza de las matemáticas conlleva, desde el exclusivo punto de vista de los contenidos matemáticos:

F Asimilación de los principales contenidos y conceptos matemáticos.

F Consolidación de destrezas y rutinas básicas matemáticas como procesos de cálculo, de abstracción, representación, utilización de modelos mentales, generalización, verificación o simbolización.

F Resolución de situaciones matemáticas problemáticas.

F Aprecio, valoración y gusto por las matemáticas.

Sin embargo, las matemáticas no sólo incorporan conocimientos aplicables a las propias matemáticas sino una cantidad ingente de habilidades que son necesarias para el propio desarrollo personal y el afrontamiento de problemas de la vida cotidiana, en muchos casos, alejados de la actividad matemática

� En el Informe Cockroft se cita que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la “resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las mismas

situaciones de la vida diaria”.

� En el libro de Hofsdadter, “Gödel, Escher y Bach”, se dice que “las capacidades

básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la

resolución de problemas, siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones

que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que

encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno estima, hace

conjeturas y sugiere explicaciones”.

Así, la enseñanza de las matemáticas desarrolla y potencia, entre otros, los siguientes aspectos:

o Desarrolla la creatividad y la imaginación.

o Enseña a analizar situaciones, a optimizar, a pensar y argumentar sobre datos conocidos.

o Enseña a pensar antes de actuar.

o Favorece la flexibilidad del pensamiento y su permanente revisión.

o Crea modelos y esquemas mentales.

o Potencia el espíritu de colaboración y la capacidad de trabajo en grupo.




o Acrecienta el disfrute por el trabajo y la persistencia en la tarea.

o Fortalece la confianza en uno mismo.

o Forma y desarrolla la capacidad de reflexión lógica y el razonamiento deductivo e inductivo.

o Colabora en el desarrollo de la comprensión lectora.

En conclusión, el preámbulo establece que el aprendizaje de las matemáticas en Enseñanza Primaria aporta dos elementos fundamentales en cuanto a que:

� Son útiles para desenvolverse en la sociedad.

� Incorporan destrezas que sirven para enfrentarse a problemas y a mejorar las capacidades cognitivas.

1.2. Pretensiones en la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria.

El RD 1513/2006 en su preámbulo, continúa exponiendo los elementos que persigue en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la Enseñanza Primaria. Así, determina que, “En la Educación primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica,

entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que

intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva,

directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito.

Es importante resaltar que para lograr una verdadera alfabetización numérica no basta

con dominar los algoritmos de cálculo escrito, se precisa también, y principalmente,

actuar con relaciones básicas que se dan entre ellos.

En el caso del RD 126/2014 (LOMCE), es casi literal respecto del publicado para la LOE en 2006. En la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización

numérica, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las

que intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva,

directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito.

Para lograr una verdadera alfabetización numérica no basta con dominar los algoritmos

de cálculo escrito, es necesario actuar con seguridad ante los números y las cantidades,

utilizarlos siempre que sea necesario e identificar las relaciones básicas que se dan entre

ellos.

Por lo tanto, se señala de modo claro que se pretende una “alfabetización numérica” en el sentido de:

� Nombrar, representar, interpretar, comparar, estimar y operar correctamente con números en toda clase de situaciones de la vida cotidiana.

� Afianzar técnicas de cálculo mental y escrito.

� Relacionar los métodos y técnicas de cálculo básico.




Por otra parte, el preámbulo señala el sentido que deben tomar los contenidos del área y el modo de aprendizaje a lo largo de toda la etapa:

El sentido de esta área en la Educación primaria es eminentemente experiencial; los

contenidos de aprendizaje toman como referencia lo que resulta familiar y cercano al

alumnado, y se abordan en contextos de resolución de problemas y de contraste de puntos

de vista. Los niños y las niñas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos

funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para adquirir

progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los

conocimientos previos.

También el RD del currículum LOMCE se hacen similares propuestas:

El trabajo en esta área en la Educación Primaria estará basado en la experiencia; los

contenidos de aprendizaje parten de lo cercano, y se deberán abordar en contextos de

identificación y resolución de problemas. Las matemáticas se aprenden utilizándolas

en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para ir

adquiriendo progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias

y los conocimientos previos.

Se determina, por lo tanto, que el aprendizaje se obtenga principalmente de situaciones problemáticas de la vida cotidiana y se creen rutinas y nociones capaces de dar explicación y resolver dichos problemas. Se señalan los siguientes puntos fundamentales para el aprendizaje:

� El aprendizaje debe tener un sentido exponencial, partiendo de situaciones muy básicas y profundizando, a lo largo de los cursos, cada vez con mayor velocidad.

� El aprendizaje parte de situaciones problemáticas de la vida cotidiana y asumibles al entendimiento del alumno.

� Las matemáticas deben “utilizarse” en la vida cotidiana.

El preámbulo del RD deja meridianamente claro cuál es el vehículo de introducción y descubrimiento de todos los contenidos del área en la Etapa Primaria:

Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la

actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático

a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación

matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las

capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo

que se va revisando durante la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar

la solución si se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados.

Así mismo la LOMCE también plantea como piedra angular del aprendizaje en matemáticas la resolución de problemas:




Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la

actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje a lo largo de

la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la

resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades

básicas: leer, reflexionar, planificar el proceso de resolución, establecer estrategias y

procedimientos y revisarlos, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si

se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados. El currículo básico se ha

formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el que se encuentra el

alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus posibilidades

cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con el entorno, y

de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa. Los objetivos

generales del área van encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e

iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones

elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser

capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

De este modo, la resolución de problemas queda señalada como:

� Soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la Enseñanza Primaria.

� Elemento básico para asimilar capacidades básicas como la lectura comprensiva, mecanismos de reflexión y deducción; creación y modificación de estrategias; comprobación de resultados y expresión correcta y rigurosa del método y resultados alcanzados.

Desde esta perspectiva, ambos RD están proponiendo el trabajo en Resolución de Problemas según el modelo de Polya. Este modelo consta de cuatro fases básicas que procedemos a describir:

o Comprensión del problema. Consiste en asimilar cual es el objetivo/s del problema, cuales son los datos que se nos dan, etc.

o Elaborar la estrategia: Consiste en trazarse un plan para llegar hasta la solución del problema. Así, se observarán las relaciones que existen entre los datos conocidos y desconocidos; se investigarán los concepto/s matemáticos que subyacen en el interior del problema; se indagará sobre el tipo de cálculos que vamos a desempeñar; e incluso se buscarán mentalmente problemas similares o analogías con alguno anterior ya resuelto.

o Aplicación de la estrategia: Es la fase en la que se ejecuta el plan. Una vez establecido el camino o ruta a seguir, se van efectuando todos los razonamientos deductivos e inductivos junto con los cálculos a que dan lugar para llegar a los resultados o conclusiones.

o Vista retrospectiva. Habiendo resuelto mediante nuestra estrategia el problema, debemos volver al enunciado y verificar que los valores alcanzados satisfacen todas y cada una de las condiciones impuestas por el mismo.




Ejemplo: En un autobús en el que inicialmente viajan un número de personas, al llegar

a la primera parada se bajan 4 pasajeros y suben 7. En una segunda parada se bajan el

mismo número de personas que suben mientras que en la última parada suben solamente

dos y no baja ninguna. Si tras esta última parada cuento que hay 23 personas en el

autobús, ¿cuántas personas hay en el autobús al comenzar el trayecto?

Procedemos a resolver el problema siguiendo el método de Polya:

F Comprensión del problema. Observamos que se nos pide un valor que es el número de pasajeros después de las tres paradas. También observamos y comprendemos que ocurre en cada una de las paradas y nos damos cuenta que, aunque en la segunda parada no nos dan número alguno de pasajeros que suben o que bajan, no va a constituir un problema para nosotros puesto que al bajarse los mismos que suben es como si no hubiera parado.

F Elaborar la estrategia: El enunciado sólo comenta el número de pasajeros después de la tercera parada. Parece convincente comenzar el problema en este punto, recorriendo las paradas de la 3ª a 1ª, restando las que se suben y sumando las que se bajan.

F Aplicación de la estrategia: Ponemos nuestro plan en marcha:

Se bajan Suben Quedan

Después de la 3ª parada 0 2 23

Después de la 2ª parada y antes de la 3ª a a 23 – 2 = 21

Después de la 1ª parada y antes de la 2ª 4 7 21 + a – a = 21

Antes de la 1ª parada 0 0 21 – 7 + 4 = 18

Por lo tanto, el resultado alcanzado es 18 pasajeros.

F Vista retrospectiva. Procedemos a verificar que el resultado es correcto sometiéndolo a la condiciones del problema. Por lo tanto, recorremos de nuevo el enunciado y buscamos que después de la tercera parada haya 23 personas en el interior del autobús.

Se bajan Suben Quedan

En la 1ª parada 4 7 18 – 4 + 7 = 21

En la 2ª parada a a 21 – a + a = 21

En la 3ª parada 0 2 21 + 2 = 23

Por lo tanto, la comprobación valida el resultado obtenido.




2. APRENDIZAJE Y COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

2.1. Competencias básicas en el área de matemáticas en la Enseñanza Primaria.

Recordemos que la Enseñanza Primaria y Secundaria está enfocada a la consecución del aprendizaje de ocho competencias básicas como son la competencia lingüística, competencia matemática, competencia en interacción con el mundo físico; competencia social y ciudadana; competencia digital y de tratamiento de la información; competencia cultural y artística; competencia en aprender a aprender; y competencia en autonomía e iniciativa personal. En este sentido, el RD 1513/2006 destaca lo siguiente:

Los contenidos del área se orientan de manera prioritaria a garantizar el mejor

desarrollo de la competencia matemática en todos y cada uno de sus aspectos, lo que

incluye la mayor parte de los conocimientos y de las destrezas imprescindibles para ello.

Es necesario remarcar, sin embargo, que la contribución a la competencia matemática

se logra en la medida en que el aprendizaje de dichos contenidos va dirigido

precisamente a su utilidad para enfrentarse a las múltiples ocasiones en las que niños y

niñas emplean las matemáticas fuera del aula.

En el caso del RD 126/2014, destacaríamos:

El currículo básico se ha formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el

que se encuentra el alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus

posibilidades cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con

el entorno, y de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa. Los

objetivos generales del área van encaminados a desarrollar las competencias

matemáticas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de

operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como

ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana

Por lo tanto, se señala a la competencia matemática en la LOE como la que va a tener el mayor peso en el aprendizaje de las matemáticas (tanto en su vertiente de conocimientos como en la de estrategias), pero sin olvidar su carácter instrumental y utilitario para resolver cuestiones y situaciones de la vida cotidiana. Por ese motivo, se destaca como segunda competencia la interacción con el mundo físico según:

El desarrollo del pensamiento matemático contribuye a la competencia en el

conocimiento e interacción con el mundo físico porque hace posible una mejor

comprensión y una descripción más ajustada del entorno. En primer lugar, con el

desarrollo de la visualización (concepción espacial), los niños y las niñas mejoran su

capacidad para hacer construcciones y manipular mentalmente figuras en el plano y en

el espacio, lo que les será de gran utilidad en el empleo de mapas, planificación de rutas,

diseño de planos, elaboración de dibujos, etc. En segundo lugar, a través de la medida

se logra un mejor conocimiento de la realidad y se aumentan las posibilidades de

interactuar con ella y de transmitir informaciones cada vez más precisas sobre aspectos




cuantificables del entorno. Por último, la destreza en la utilización de representaciones

gráficas para interpretar la información aporta una herramienta muy valiosa para

conocer y analizar mejor la realidad.

El párrafo anterior señala el aprendizaje e interacción del mundo físico debe partir de la manipulación, interpretación y clasificación de cuanto objeto rodea al alumno, la creación de modelos mentales de todo cuanto ven y tocan; y la creación de representaciones y de informaciones que describan y ayuden a comprender y resolver problemas de la realidad. Por lo tanto, se señala:

� Percepción del mundo que nos rodea.

� Creación de modelos mentales sobre lo que se percibe.

� Descripción gráfica, escrita y oral de cuanto nos rodea a partir de las fases anteriores.

En este sentido la LOMCE concreta: “Para facilitar la concreción curricular, los

contenidos se han organizado en cinco grandes bloques: Procesos, métodos y actitudes

en matemáticas. Números. Medida. Geometría. Estadística y probabilidad”. Si nos fijamos estos contenidos están muy relacionados como decía la LOE en herramientas para el conocimiento del mundo físico y su análisis.

El RD 1513/2006 continuaba estableciendo como prioridad del siglo XXI la utilización y trabajo con las nuevas tecnologías y en el tratamiento de la información según:

Las Matemáticas contribuyen a la adquisición de la competencia en tratamiento de la

información y competencia digital, en varios sentidos. Por una parte porque

proporcionan destrezas asociadas al uso de los números, tales como la comparación, la

aproximación o las relaciones entre las diferentes formas de expresarlos, facilitando así

la comprensión de informaciones que incorporan cantidades o medidas. Por otra parte,

a través de los contenidos del bloque cuyo nombre es precisamente tratamiento de la

información se contribuye a la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico,

esenciales para interpretar la información sobre la realidad. En menor escala, la

iniciación al uso de calculadoras y de herramientas tecnológicas para facilitar la

comprensión de contenidos matemáticos, está también unida al desarrollo de la

competencia digital.

Si bien se señala que el aprendizaje de las matemáticas fundamentalmente debe capacitar la descripción y entendimiento de informaciones numéricas, mediciones, relaciones geométricas o estadísticas; también se indica que el alumno debe comenzar su aprendizaje en el uso de la calculadora y de programas informáticos básicos para obtener un completo aprendizaje, adecuado a la era que le ha tocado vivir. Se vuelve a señalar la resolución de problemas como eje fundamental para capacitar a los alumnos en la competencia de “autonomía e iniciativa personal”:




Los contenidos asociados a la resolución de problemas constituyen la principal

aportación que desde el área se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal. La

resolución de problemas tiene, al menos, tres vertientes complementarias asociadas al

desarrollo de esta competencia: la planificación, la gestión de los recursos y la

valoración de los resultados. La planificación está aquí asociada a la comprensión en

detalle de la situación planteada para trazar un plan y buscar estrategias y, en definitiva,

para tomar decisiones; la gestión de los recursos incluye la optimización de los procesos

de resolución; por su parte, la evaluación periódica del proceso y la valoración de los

resultados permite hacer frente a otros problemas o situaciones con mayores

posibilidades de éxito. En la medida en que la enseñanza de las matemáticas incida en

estos procesos y se planteen situaciones abiertas, verdaderos problemas, se mejorará la

contribución del área a esta competencia. Actitudes asociadas con la confianza en la

propia capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones inciertas, están incorporadas

a través de diferentes contenidos del currículo.

La competencia en aprender a aprender queda va a ser asimilada por parte de los alumnos gracias al carácter instrumental de las propias matemáticas

El carácter instrumental de una parte importante de los contenidos del área proporciona

valor para el desarrollo de la competencia para aprender a aprender. A menudo es un

requisito para el aprendizaje la posibilidad de utilizar las herramientas matemáticas

básicas o comprender informaciones que utilizan soportes matemáticos. Para el

desarrollo de esta competencia es también necesario incidir desde el área en los

contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abordar

situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad

para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. Por último, la

verbalización del proceso seguido en el aprendizaje, contenido que aparece con

frecuencia en este currículo, ayuda a la reflexión sobre qué se ha aprendido, qué falta

por aprender, cómo y para qué, lo que potencia el desarrollo de estrategias que facilitan

el aprender a aprender.

Como se puede observar en el párrafo anterior, se hace especial énfasis en la comunicación del procedimiento aplicado en la resolución de problemas y cálculos, que ayuda a reflexionar y a mejorar incluso las estrategias utilizadas y variar el método de trabajo.

En cuanto a la competencia lingüística, se señalan dos aspectos: por una parte el lenguaje propio de las matemáticas, que en la Enseñanza Primaria está muy atenuado, y por otra parte, la contribución a la expresión propia en el lenguaje que se desarrolla el conocimiento.

Para fomentar el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística desde el área

de Matemáticas se debe insistir en dos aspectos. Por una parte la incorporación de lo

esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su

uso. Por otra parte, es necesario incidir en los contenidos asociados a la descripción




verbal de los razonamientos y de los procesos. Se trata tanto de facilitar la expresión

como de propiciar la escucha de las explicaciones de los demás, lo que desarrolla la

propia comprensión, el espíritu crítico y la mejora de las destrezas comunicativas.

En su primer aspecto, el alumno debe ser capaz de describir, definir y hablar de modo correcto y riguroso al referirse a cuantos objetos matemáticos trabaje. En su segundo aspecto, debemos contribuir con la enseñanza matemática a que el alumno mejore su comprensión lectora, su expresión oral y escrita, su ortografía y su caligrafía.

Las matemáticas también pueden contribuir a la competencia cultural y artística desde su propia historia que está relacionada con la historia y la cultura de la humanidad. La geometría juega un papel determinante en la contribución a la competencia artística por cuanto la geometría es clave en la arquitectura, en la pintura, escultura y en general en el arte.

Las Matemáticas contribuyen a la competencia en expresión cultural y artística desde la

consideración del conocimiento matemático como contribución al desarrollo cultural de

la humanidad. Así mismo, el reconocimiento de las relaciones y formas geométricas

ayuda en el análisis de determinadas producciones artísticas.

Por último, la consecución de la competencia social y ciudadana se señala desde la perspectiva del trabajo en grupo y de la colaboración y aceptación de las ideas de los demás, aun cuando no vayan en el mismo sentido que las nuestras.

La aportación a la competencia social y ciudadana se refiere, como en otras áreas, al

trabajo en equipo que en Matemáticas adquiere una dimensión singular si se aprende a

aceptar otros puntos de vista distintos al propio, en particular a la hora de utilizar

estrategias personales de resolución de problemas.

En este sentido, la LOMCE tiene un apartado propio de transversalidad y competencias digitales en las que explicita dichas relaciones entre áreas en Educación Primaria.

2.2. Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Primaria.

El RD 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, señala que los objetivos se determinan mediante las capacidades que se pretende que los alumnos asimilen. En este sentido, las capacidades a crear en los alumnos son:

1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.




3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.

7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma.

En el caso del RD 126/2014 no se explicitan contenidos concretos y detallados como acabamos de ver para la Ley en derogación. Ya hemos visto anteriormente cuáles son los objetivos de aprendizaje para las Matemáticas en Educación Primaria. Del mismo modo se establecen unos contenidos y unas competencias por bloques y detalladas en tablas.

3. EL CURRÍCULO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA PRIMARIA. EVALUACIÓN.

3.1. Bloques de contenidos.

Atendiendo al RD 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, se determinan los siguientes bloques de conocimientos:

� Bloque 1 “Números y operaciones”

� Bloque 2 “Medida. Estimación y cálculo de magnitudes”

� Bloque 3 “Geometría”

� Bloque 4 “Tratamiento de la información, azar y probabilidad”

Se entiende, por tanto, que el bloque 1 constara de cuantas operaciones básicas, estrategias y trabajo sobre la escritura, el cálculo mental y escrito se refiere, respecto de los números naturales, enteros y fraccionarios.




El bloque 2 se fundamentará en la manipulación y medición de magnitudes, operaciones con dinero, tiempo y ángulos.

El bloque 3, se basará en todo lo relacionado con la manipulación, visualización, interpretación y clasificación de distancias, orientación, figuras planas y espaciales, simetrías, giros, etc.

El bloque 4, será una iniciación a la estadística unidimensional mediante la creación de tablas estadísticas, interpretación, sentido crítico de las informaciones, creación de gráficas y modelos de representación así como del cálculo de algunas probabilidades en sencillos experimentos de azar.

En este caso el RD que desarrolla la LOMCE indica que serán 5 bloques de contenidos:

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

Bloque 2. Números.

Bloque 3. Medida.

Bloque 4. Geometría.

Bloque 4. Estadística y Probabilidad.

3.3. Evaluación del aprendizaje.

Los criterios de evaluación que establece el Real Decreto 1513/2006 están secuenciados por ciclos. Los criterios están secuenciados según los bloques y apartados de contenidos antes expuestos de tal modo que suele haber una correspondencia de uno o dos criterios por cada bloque (unos ocho criterios por cada ciclo). Exponemos los criterios por ciclos:

A) PRIMER CICLO.

1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números hasta el 999.

2. Comparar cantidades pequeñas de objetos, hechos o situaciones familiares, interpretando y expresando los resultados de la comparación, y ser capaces de redondear hasta la decena más cercana.

3. Realizar, en situaciones cotidianas, cálculos numéricos básicos con las operaciones de suma, resta y multiplicación, utilizando procedimientos diversos y estrategias personales.

4. Medir objetos, espacios y tiempos familiares con unidades de medida no convencionales (palmos, pasos, baldosas...) y convencionales (kilogramo; metro, centímetro; litro; día y hora), utilizando los instrumentos a su alcance más adecuados en cada caso.




5. Describir la situación de un objeto del espacio próximo, y de un desplazamiento en relación a sí mismo, utilizando los conceptos de izquierda-derecha, delante-detrás, arriba-abajo, cerca-lejos y próximo-lejano.

6. Reconocer en el entorno inmediato objetos y espacios con formas rectangulares, triangulares, circulares, cúbicas y esféricas.

7. Realizar interpretaciones elementales de los datos presentados en gráficas de barras. Formular y resolver sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos.

8. Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, hechos y situaciones de la vida cotidiana, seleccionando las operaciones de suma y resta y utilizando los algoritmos básicos correspondientes u otros procedimientos de resolución. Explicar oralmente el proceso seguido para resolver un problema.

B) SEGUNDO CICLO.

1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de números naturales de hasta seis cifras, interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por el valor posicional y en la recta numérica.

2. Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

3. Utilizar estrategias personales de cálculo mental en cálculos relativos a la suma, resta, multiplicación y división simples.

4. Realizar, en contextos reales, estimaciones y mediciones escogiendo, entre las unidades e instrumentos de medida usuales, los que mejor se ajusten al tamaño y naturaleza del objeto a medir.

5. Obtener información puntual y describir una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de una pista...) tomando como referencia objetos familiares y utilizar las nociones básicas de movimientos geométricos, para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana y para valorar expresiones artísticas.

6. Reconocer y describir formas y cuerpos geométricos del espacio (polígonos, círculos, cubos, prismas, cilindros, esferas).

7. Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenar estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el resultado de forma de tabla o gráfica.

8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación, aplicando dos operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o tratamiento de la información y utilizando estrategias personales de resolución.




C) TERCER CICLO.

1. Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas).

2. Realización de operaciones y cálculos numéricos sencillos mediante diferentes procedimientos, incluido el cálculo mental, que hagan referencia implícita a las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

3. Utilizar los números decimales, fraccionarios y los porcentajes sencillos para interpretar e intercambiar información en contextos de la vida cotidiana.

4. Seleccionar, en contextos reales, los más adecuados entre los instrumentos y unidades de medida usuales, haciendo previamente estimaciones y expresar con precisión medidas de longitud, superficie, peso/masa, capacidad y tiempo.

5. Utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad, simetría, perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.

6. Interpretar una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de casas y maquetas) realizada a partir de un sistema de referencia y de objetos o situaciones familiares.

7. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos al entorno inmediato. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado (posible, imposible, seguro, más o menos probable) de situaciones sencillas en las que intervenga el azar y comprobar dicho resultado.

8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.

En el caso del RD 126/2014 carecemos de información por ciclos o niveles, dejando eso a criterio de las transposiciones legales que emanan de los parlamentos autonómicos en forma de decretos.




4. BIBLIOGRAFÍA Algunos libros y referencias con los que se confeccionó el material o pueden servir para ampliar son: - ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso más),

Santillana, 2006. Libro de texto de la editorial Santillana con los distintos bloques de contenido,

actividades, metodología aplicada, etc. a nivel de 6º Primaria. - ALSINA, C. Y OTROS. (1995): Enseñar matemáticas. Barcelona. Graó. Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la matemática dando pautas de trabajo,

metodología y didáctica para toda la primaria y secundaria. - ALSINA, C., BURGUÉS Y FORTUNY J. M. (1987): Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid. Síntesis. Obra dedicada a la propuesta de actividades manipulables y dispuestas para el

aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría .a un nivel de primaria y

secundaria. - ALSINA, C., BURGUÉS Y FORTUNY J. M. (1987): Materiales para construir la geometría. Madrid. Síntesis. Obra dedicada a la propuesta de actividades manipulables y dispuestas para el

aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría .a un nivel de primaria y

secundaria. - CASCALLANA, M. T. (1988): Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Madrid. Santillana. Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la matemática mediante materiales y

recursos didácticos atrayentes para el alumnado. - CASTELLNUOVO, E. (1981): La matemática. Geometría. Ed. Ketres. Barcelona. Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la geometría mediante movimientos,

traslaciones, rotaciones, cortando, calcando, y moviendo distintas figuras planas




- CASTRO MARTÍNEZ, E.: Didáctica de la matemática en la Educación Primaria.

Editorial Síntesis. El objetivo de este manual es proporcionar un marco conceptual sólido y unas

herramientas útiles tanto para la formación del profesorado de Matemáticas de la

Educación Primaria como para su trabajo en el aula. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se aborda desde una perspectiva propia

que integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio

detallado de los correspondientes temas básicos del currículo. Asimismo, el libro ofrece

una aproximación disciplinar propia y original a las nociones relacionadas con la

formación en Didáctica de la Matemática. - CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”. Libro dedicado a desentrañar la evolución de los conocimientos matemáticos en la Etapa

Primaria y la metodología a aplicar en esta etapa. - ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica

general. Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha. La obra está dividida en tres partes organizadas por capítulos que cubren de manera

comprensiva tres ejes principales del aprendizaje didáctico: los fundamentos de la

enseñanza, el diseño curricular y la investigación didáctica. La primera parte se centra

en el aprendizaje de los fundamentos de la enseñanza. Para ello se estudian, por este

orden, los siguientes fundamentos: epistemológico, filosófico-antropológico, educativo,

histórico, psicológico y socio-ambiental. La parte segunda explora el aprendizaje del

diseño del currículum. Proporciona unas herramientas básicas para alcanzar un

conocimiento práctico necesario para llevar a cabo una enseñanza educativa de calidad.

Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo curricular, los

principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula junto

con las adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del

currículum y un repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la

temática de la investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los

principales paradigmas de investigación didáctica y los métodos de investigación más

relevantes utilizados en didáctica con un énfasis especial en la Investigación-Acción. - GIMENO SACRISTÁN, J. Y CARBONELL SEBARROJA, J (COORDS.) (2004): El

sistema educativo: una mirada crítica. Barcelona: Praxis




Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas

necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema

educativo - GUZMAN, MIGUEL DE (2006): Para pensar mejor: desarrollo de la creatividad a

través de los procesos matemáticos. Editorial Pirámide. Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas

necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema

educativo - LEVY-LEBLOND, J: On the conceptual nature of the Physical constants. Cahiers Fundamenta Scientiae. 1976. Manual de física universitaria para profundizar sobre los aspectos fundamentales

tratados durante este tema.

-MEC (2004): Una educación de calidad para todos y entre todos. Madrid: Servicio de Publicaciones. Recoge aquellos aspectos que a juicio de la administración deben ser objeto de reformas

y realiza una serie de propuestas de actuación.

- SARRAMONA, J. (2004): Las competencias básicas en la Educación Obligatoria.

Barcelona. El sistema educativo español ha vivido en los últimos años importantes transformaciones

demandadas por el avance del conocimiento pedagógico y por tos profundos cambios

operados en la sociedad, pero a veces también impuestas por la ideología política

dominante en cada período. Esta breve obra pretende mostrar la temática que se vincula

con una corriente de renovación curricular que se abre camino con fuerza en muchos

países: es la introducción del concepto de competencia para referirse al tipo de logros

que cabe exigir a la acción educativa y formativa. Se trata de una nueva perspectiva que

responde a las exigencias de los tiempos y que recoge la mejor tradición pedagógica de

los logros integrados y vinculados con la realidad. - TORRÁ, M.: Construir las Matemáticas en la Educación Primaria. Ediciones Proyecto Sur. Obra totalmente aplicada e ideal para la ecuación primaria en el sentido de que ofrece

contenidos manipulables a partir de piezas, cartulinas, trabajos con compás y regla, etc.

para alumnos que están aprendiendo geometría.




- WEISSTEIN, E.W. (1999): CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman Hall. Completa obra acerca de la geometría a nivel universitario. Contiene todos los conceptos

y definiciones comentados en el tema pero a un nivel muy superior al que se imparte en

primaria y secundaria. Para profundizar.

5. WEBGRAFIA. Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado. - http://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409 Página con acceso al texto íntegro del RR.DD. 1513/2006 sobre los contenidos mínimos

de la Enseñanza Primaria.

- http://capileiraticrecursos.wikispaces.com/RECURSOS+PARA+E.+PRIMARIA Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos

sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo

desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria. - http://miclase.wordpress.com/category/2-matematicas/ Página con acceso a recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en

Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso

de las TIC en matemáticas de primaria. - http://www.vitutor.com/ Página web dedicada a las matemáticas de ESO y Bachillerato con muchos ejercicios y

problemas referentes a los conocimientos de este tema. Muy interesante para saber cómo

evolucionarán los contenidos de matemáticas en niveles superiores a parte de observar

algunos de los contenidos de este tema.

- http://www.aula21.net/ Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos

sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo

desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC…




- http://www.cnice.mecd.es/ Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo

incorporar las TIC en el aula y fuera de ella, acceso a recursos educativos y tecnológicos

para diferentes materias; también existe acceso a cursos de formación permanente del

profesorado, recursos educativos para alumnos y para profesores y se puede enlazar con

otras páginas educativas de la red. - http://www.portaldidactico.org/ Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias.

- http://www.eduteka.org/webquest.php3 Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y

medias. Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a

utilizar. Posibilidad de buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de

recursos educativos. - http://www.educamadrid.org Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos

(software, recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros

educativos a una red, como utilizar las TIC en el aula… - http://www.educaweb.com/ Recursos para estudiantes, profesionales de la educación, posibilidad de enlazar desde

esta página con otras que te informan sobre becas, estudios superiores, mundo laboral.

Se ofrece también información de todas las etapas del sistema educativo, sobre la Prueba

de Acceso a la Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el

extranjero y noticias actuales sobre el ámbito educativo.

- http://dewey.uab.es/pmarques/ Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las

TIC, uso de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros

portales educativos, revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 2:

Marcos teóricos que contemplan el aprendizaje de las matemáticas en

Educación Primaria.

ÍNDICE. 1. TRATAMIENTO DIDÁCTICO DE LOS CONTENIDOS DEL CURRÍCULO DEL ÁREA

DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

1.1. Contribución de la enseñanza de las matemáticas en la Enseñanza Primaria.

1.2. Pretensiones en la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria.

2. APRENDIZAJE Y COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS

MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

2.1. Competencias básicas en el área de matemáticas en la Enseñanza Secundaria.

2.2. Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Primaria.

3. EL CURRÍCULO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA

PRIMARIA. EVALUACIÓN.

3.1. Bloques de contenidos.

3.2. Apartados en los bloques de contenidos.

3.3. Evaluación del aprendizaje.

4. BIBLIOGRAFÍA

5. WEBGRAFÍA.

ASIGNATURA: Matemáticas I UNIDAD 2: Teorías educativas para la enseñanza de las Matemáticas en Educación Primaria.

2

1. METODOLOGÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS.

La Didáctica se sitúa entre las ciencias que suelen ser calificadas como "aplicativas", es decir, ciencias que poseen un interés y un valor eminentemente práctico, pero también debe estudiar la congruencia entre las acciones de enseñanza y los resultados del aprendizaje, sus requisitos, sus condicionantes, su proceso.

Son muchos los autores que conciben la Didáctica como la planificación tecnológica del proceso de enseñanza-aprendizaje.

"Por tecnología se entiende una forma determinada de conducir la acción, una forma de

planificar y controlar el proceso operativo. No debe conducirse tal proceso con los

elementos materiales que puedan intervenir en él".

(FERRÁNDEZ, SARRAMONA, TARÍN, 1979, pág. 37).

La primera dificultad que se plantea a la hora de abordar el tema de los recursos o los medios didácticos es la de encontrar una definición o un concepto claro y unívoco de los mismos. Así hay autores que no distinguen entre recursos y materiales didácticos como Ossanna, entendiendo por éstos:

“Los objetos-materiales o no y las representaciones de los mismos o de los hechos del

pasado, que constituyen un medio a través del cuál los objetivos del proceso de

enseñanza-aprendizaje se alcanzan de manera eficaz, desde el punto de vista del

conocimiento como de las habilidades o de las actitudes que se quieren lograr”

(Ossanna, 1994).

Por su parte, Blázquez nos dice:

“Utilizar los términos de medios o recursos, indistintamente es una opción entre las

variadas que adoptan los didactas para significar lo mismo, con ligeros matices: así

Mattos habla de recursos didácticos. Holdino de ayudas didácticas, Escudero de medios,

Sarramona de medios educativos, Nereci de material didácticos” (Blázquez, 1996).

Otros autores, sin embargo, distinguen entre materiales y recursos, pero cada uno de ellos establecen matizaciones distintas que son dignas de mención: Novo por ejemplo, diferencia entre los dos términos y señala:

“Entendemos por materiales todos aquellos auxiliares didácticos que el docente utiliza

en el aula (textos, guías, audiovisuales, carteles, mapas, útiles de laboratorio, etc..)

Concebimos los recursos como elementos que, fuera del centro escolar (o incluso

tomando el mismo centro como objeto de estudio), puedan ser utilizados como

estructuras de apoyo para actividades de Educación”.

Aquí incluye aulas de la naturaleza, granjas-escuela, itinerarios de la naturaleza, itinerarios urbanos, etc. Santos Guerra (Santos Guerra, 1995) bajo el término materiales didácticos distingue claramente aquellos que organizan las actividades de aprendizaje de los que son elementos auxiliares:


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“Llamamos materia/es didácticos a las diferentes herramientas o utensilios que utilizan

los profesores y los alumnos en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Unos tienen un carácter globalizados, articulante y orientativo de todo el proceso

(materiales curriculares, libros de texto, por ejemplo...) y otros son elementos, vicarios,

de carácter auxiliar (ordenadores, materiales de laboratorio, retroproyectores,

diapositivas, etc...)”.

Por su parte, Gimeno en un sentido amplio, entiende por materiales: “Cualquier

instrumento u objeto que pueda servir como recurso para que, mediante su

manipulación, observación o lectura se ofrezcan oportunidades de aprender algo, o bien

con su uso se intervenga en el desarrollo de alguna función de la enseñanza. Es decir, los

materiales comunican contenidos para su aprendizaje y pueden servir para estimular y

dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje”. (Gimeno, 2002)

A su vez, todo este tipo de materiales, junto con todo lo referente a medios y a tecnología educativa, podría incluirse dentro de lo que denominamos “recursos”. Zabalza distingue dos polos en la idea de recursos (García Ruiz, 2003):

• Un polo de máxima reducción del concepto que liga su aspecto material de aparatos o

materiales para la enseñanza.

• Un polo de máxima expansión que sitúa como recurso a cualquier tipo de proceso articulado o técnica, cualquier instrumento pedagógico que se emplea en la enseñanza, así como los materiales utilizados (organización de los contenidos, la evaluación, etc...), todos serían recursos a través de cuyo manejo sistematizado se trataría de obtener unos resultados.

Nosotros, utilizaremos ese polo de máxima expansión, para articular los recursos, de acuerdo con la siguiente división:

- Recursos metodológicos: la fundamentación del trabajo en unos principios y su

concreción en unas estrategias y unas técnicas constituyen, sin duda, el medio más complejo de la planificación didáctica, tanto es así que resulta frecuente en la

bibliografía la confusión e identificación entre recurso didáctico y recurso

metodológico.

- Recursos materiales: los entendemos en toda su variedad (impresos, audiovisuales e informáticos) su selección y utilización pertinente acorde con una planificación rigurosa constituye un medio fundamental en el desarrollo didáctico.

- Recursos ambientales: comprenden desde la conformación flexible y funcional del

espacio del aula, hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que fuera de él (museos, archivos, bibliotecas, hemerotecas, espacios naturales, etc.) puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos.

- Recursos instrumentales: Bajo esta denominación se agrupan los instrumentos que se

emplean en el estudio e investigación de las distintas áreas, y que a la vez son un excelente recurso didáctico para el aprendizaje de las mismas.


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- Recursos personales: el profesor, los alumnos, cualquier ser humano que pueda

intervenir en el desarrollo didáctico de un contenido para completar, aclarar, confrontar, etc. Cabe destacar entre los recursos personales que han de cooperar con el medio propiamente institucional el relevante papel de la familia; desde su medio y, también en ocasiones con su participación en tareas escolares, debe contribuir al desarrollo de actitudes, intereses y hábitos positivos.

2. RECURSOS METODOLÓGICOS.

El concepto de Recurso Metodológico es manejado por distintos autores, desde SEVILLANO GARCÍA (2007) hasta DE LA TORRE (2005). Siguiendo a los mismos podemos decir que es

“Un elemento del currículo, que incluye los grandes principios de intervención

educativa, las fórmulas estratégicas comunes a todas las áreas/materias/módulo, y,

también, algunas técnicas”.

La acepción método (etimológicamente “camino”) se entiende como vía que conduce al profesor a un fin. Se considera el componente esencial de los recursos didácticos.

En los Proyectos Educativos, sus Programaciones y, posteriormente, en las programaciones de aula este elemento, gracias a la priorización de algunos principios, estrategias y técnicas, hará transparente el estilo educativo del centro y de sus profesores. En estos niveles de desarrollo curricular conviene identificar, también, los otros recursos didácticos ya destacados: personales, materiales y ambientales; ello contribuirá a hacer más explícitas las intenciones y el modelo formativo que se persigue.

Además, el desarrollo idóneo de las secuencias de enseñanza-aprendizaje, exige una perfecta articulación entre las estrategias didácticas que se utilicen y los medios y recursos que se pongan al servicio de las mismas. Dicha interacción llega a producir un solapamiento de medios y estrategias, en tanto que determinadas técnicas necesitan un soporte material para su desarrollo, y en todo caso actúan como mediadores entre el sujeto y el hecho educativo. No obstante, aunque cada técnica específica tiene su acomodación idónea dentro de un modelo didáctico en particular, no es menos cierto que podemos contar con estrategias didácticas cuyo uso sea lo suficientemente versátil como para no exigir el empleo exclusivo de determinada metodología.

2.1. Principios metodológicos.

Destacamos los grandes principios metodológicos que deben estar presentes en la enseñanza:

A) El Principio metodológico de intervención. Recurso metodológico con carácter de

norma, fundamento o base que ha de inspirar el proceso de enseñanza-aprendizaje en cualquier situación didáctica. Los principios de intervención aseguran la continuidad y la coherencia vertical (en los diferentes niveles, etapas, ciclos y cursos) y horizontal (en las distintas áreas, materias o módulos).


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El estudio de los principios didácticos en el proceso de enseñanza y aprendizaje requiere el conocimiento de un compendio de fundamentación bibliográfica y normativa. La síntesis actual la encontramos en multitud de propuestas: bibliográficas y normativas. El Diseño Curricular Base para la Educación Secundaria Obligatoria (1989, pág. 31) subrayaba que los principios psicopedagógicos que subyacen en él "se enmarcan en una concepción

constructivista del aprendizaje escolar y de la intervención pedagógica en sentido

amplio, sin que puedan identificarse con ninguna teoría en concreto, sino más bien

con enfoques presentes en distintos marcos teóricos". En efecto, el denominado marco constructivista recibe aportaciones de autores tales como PIAGET, BRUNER, AUSUBEL, NORMAN, FEUERSTEIN Y VYGOTSKY, entre otros muchos.

Aunque esta publicación (DCB) exponía que el constructivismo no es un movimiento psicológico y pedagógico con unos supuestos de carácter uniforme, parece que es más bien esta idea la que ha cuajado en el pensamiento del profesorado en general. M. Carretero, en su obra Constructivismo y Educación, expone sobre este particular, lo siguiente

"Conviene indicar que no puede decirse en absoluto que el constructivismo sea un

término unívoco. Por el contrario, creemos que puede hablarse de varios tipos de

constructivismo. De hecho es una posición compartida por diferentes tendencias de

la investigación psicológica y educativa...que en última instancia poseen más

elementos en común que diferencias. ¿Qué es el constructivismo? Básicamente

puede decirse que es la idea que mantiene que el individuo -tanto en los aspectos

cognitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos- no es un mero

producto del ambiente ni un mero resultado de sus disposiciones internas, sino una

construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la

interacción entre esos dos factores. En consecuencia, según la posición

constructivista, el conocimiento no es una copia de la realidad sino una construcción

del ser humano" (1993, pp.20-21).

Así pues, la concepción actual sobre la naturaleza de los problemas que afectan a la enseñanza y el aprendizaje viene marcada por dos notas:

• El estudio conjunto y como proceso de la enseñanza y el aprendizaje. • La concepción de este proceso como de construcción personal en un contexto

social.

MONEREO (2001), en su valoración a la compilación de REIGELUTH (2000), sintetiza las distintas posiciones o "familias" constructivistas. Éstas difieren en la consideración de qué es lo que se construye y a través de qué mecanismos psicológicos y/o sociales. La más reciente, centra sus esfuerzos en la elaboración previa del tema objeto de aprendizaje como medio para favorecer las relaciones que pueda establecer el alumno. Los autores representativos de esta posición son los inspiradores de la denominada Psicología de la Instrucción (GAGNÉ, AUSUBEL, NOVAK, MERRILL Y REIGELUTH).

De los aspectos fundamentales del pensamiento y de la obra de los autores de orientación constructivista que hemos destacado derivan los grandes principios,


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estrategias y técnicas hacia las que el currículo establecido orienta: la necesidad de contribuir al desarrollo de las capacidades de los alumnos, la importancia de impulsar la actividad a través de aprendizajes verbales significativos, la repercusión de los esquemas mentales en el ajuste y reestructuración de los aprendizajes y la influencia de la interacción con los compañeros y con el profesor en el proceso de construcción personal de los contenidos.

En las disposiciones normativas vigentes (Ley de Calidad y Currículo Prescriptito) se identifican también los principios didácticos de orientación constructivista. No obstante, hay que apuntar que los referentes teóricos de este marco normativo siguen evolucionando. Desde esta perspectiva destacan las aportaciones de GARDNER (2001) y el nuevo marco sobre el que se está trabajando en una línea que est á ya tomando cuerpo (VVAA, 2003) en el mundo occidental; un importante movimiento de investigación y práctica educativa orientado a incrementar la calidad de la educación mediante la mejora de los centros escolares. Se trata de un movimiento que integra dos tradiciones en el ámbito educativo: la de la eficacia escolar y la de la mejora de la escuela. A esta línea se la ha denominado “Efective School improvement”(ESI) que puede traducirse como Mejora de la Eficacia Escolar.

Tras la referencia al marco bibliográfico y normativo en el que se inscriben los principios de intervención educativa, pasamos a ocuparnos de su desarrollo, no sin antes apuntar algunas consideraciones sobre su valor: sirven de punto de referencia para todo el sistema educativo (para todas las áreas, materias y módulos), asegurando:

− La coherencia vertical entre los distintos cursos, ciclos, etapas y niveles. − La coherencia horizontal entre las diferentes áreas, materias y módulos del

currículo.

Los principios están recogidos de forma analítica y fragmentada en publicaciones de teoría del aprendizaje de los autores señalados y, de forma sintética en los currículos oficiales y algunas publicaciones de didáctica. Siguiendo esta última línea los abordamos (POZO Y POSTIGO, DE LA TORRE, SEVILLANO GARCÍA, ZABALA, COLL). Son los siguientes:

• Promover el desarrollo de la capacidad de "aprender a aprender". Es un

principio que repercute en la consideración, explícita o implícita, de las diversas vertientes del contenido (además de la conceptual): la actitudinal y la procedimental.

Los procedimientos van a constituir auténticas herramientas de trabajo, es el caso de la observación, el análisis, los comentarios. POZO y POSTIGO (2000) destacan la relación directa que existe entre el trabajo sistemático con estos contenidos y el impulso de la capacidad de aprender a aprender. Las actitudes orientarán la asimilación de los conceptos y la utilización de técnicas como el interés y la participación.

• Impulsar la participación activa del alumno. El aprendizaje significativo

requiere actividad mental por parte del sujeto que aprende. Conseguir un


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propósito tan complejo como éste, exige que el alumno se encuentre motivado hacia las tareas que va a emprender. El profesor, en la planificación y desarrollo de sus unidades didácticas podrá utilizar estímulos variados para conseguirlo:

o Estímulos emocionales: apoyo a los logros, atención directa en las dificultades,

atractivo en la presentación de los contenidos, etc. o Estímulos intelectuales: diseño de algunas actividades alternativas que les

permitan tratar los mismos contenidos, ejercitar su capacidad de toma de decisiones.

o Estímulos sociales: utilización de recursos característicos del medio, de trabajos en grupo, etc.

• Contribuir al establecimiento de un clima de aceptación mutua y de

cooperación. La labor del docente como mediador entre los contenidos y la actividad del alumno es esencial. Junto a los estudios dirigidos a profundizar en el alcance de esta interacción, está cobrando un importante auge la investigación sobre el papel que desempeñan los propios compañeros en algunas metas educativas y en aspectos específicos del desarrollo cognitivo y de la capacidad de socialización.

COLL Y COLOMINA (1991) han realizado una síntesis de las principales investigaciones en este campo y muestran que la interacción entre alumnos influye decisivamente en:

o El control de los impulsos agresivos. o La relativización de puntos de vista. o El incremento de las aspiraciones y del rendimiento académico. o El proceso de socialización.

BONALS (2000) señala que el trabajo en grupo desarrolla importantes funciones: regulación de los aprendizajes, socialización y potenciación del equilibrio emocional.

• Dotar a las actividades de enseñanza-aprendizaje de un carácter lúdico. La

actividad lúdica debe ser considerada como un recurso adecuado en la Educación. En ocasiones, las experiencias de enseñanza-aprendizaje poseerán un claro carácter lúdico y, en otras exigirán del alumno un esfuerzo mayor pero, en ambos casos, deberán ser gratificantes y estimulantes, condición indispensable para que el alumno construya sus aprendizajes.

B) El Principio metodológico del aprendizaje significativo. El término es acuñado por AUSUBEL en la década de los sesenta (aunque en nuestro Estado se extendió en los noventa) Atribuir significación a un contenido quiere decir llegar a establecer vínculos sustantivos entre los nuevos contenidos que hay que aprender y los que ya se dominan. Para conseguir que este fenómeno llegue a producirse, se requieren una serie de condiciones, pues el nuevo contenido ha de poseer:


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o Significación desde la perspectiva de la estructura psicológica del alumno. Se necesitará un determinado nivel de capacidad, unos conocimientos básicos y, también, una actitud favorable (el sujeto deberá estar motivado).

o Significación desde el punto de vista de la estructura lógica de la disciplina. Para

ello, será necesario que los contenidos sean relevantes y se presenten organizados.

o Significación desde el plano de la propia funcionalidad de lo aprendido. Los conocimientos objeto de aprendizaje deberán ser susceptibles de aplicación en nuevas situaciones. La funcionalidad de lo aprendido hace posible la aplicación de los contenidos en el medio socio-cultural y favorece el aprendizaje de otros contenidos curriculares.

De esta manera, hablar de aprendizaje significativo exige referirse al sentido, al int erés de determinados contenidos desde la perspectiva del alumno, de la materia y de la utilidad que poseen para la adquisición de nuevos aprendizajes. Entre las vías para desarrollar este principio podemos destacar la teoría de la elaboración y los enfoque s globalizador e interdisciplinar.

La Teoría de la Elaboración de Merril y Reigeluth constituye un modelo de diseño de instrucción que optimiza la adquisición, retención y transferencia del conocimiento significativo siguiendo unas fases de tratamiento lógico. Se trata, en definitiva, de ordenar y desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje de acuerdo con los siguientes principios:

o Principio de síntesis inicial o Principio de elaboración gradual o Principio del familiarizador introductivo o Principio de lo más importante lo primero. o Principio del tamaño óptimo. o Principio de la síntesis periódica El desarrollo del principio de transferencia del

contenido a través de la materialización de los enfoques globalizador e interdisciplinar favorecerá la concreción del aprendizaje significativo.

Entre las directrices de la enseñanza sobre el principio metodológico de aprendizaje significativo destacan:

• Partir del nivel de desarrollo del alumno. El principio de aprendizaje significativo

exige, como hemos señalado, partir del nivel de desarrollo del alumno. Ello requiere conocer las capacidades y conocimientos previos del alumno. Cada uno de ellos posee un papel.

Respecto al papel de las capacidades en el aprendizaje significativo, es fundamental. Constituye la base general, el sustrato. Ha sido muy frecuente entender que el término capacidad significaba, sin más, nivel de desarrollo evolutivo en abstracto. Hoy la capacidad individual se vincula, de forma clara, a las experiencias de aprendizaje y a los conocimientos adquiridos en el transcurso de las mismas.


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Así pues, identificar las capacidades de un alumno exige:

o Poseer conocimientos de su nivel de desarrollo psicológico (cognitivo, afectivo,

moral, lingüístico, psicomotriz). o Familiarizarse con las experiencias de aprendizaje contextualizadas (medio socio-

cultural, familiar, medio escolar -sistema educativo y centro) y los conocimientos adquiridos en el transcurso de las mismas.

El conocimiento del nivel de desarrollo del alumno nos lo proporcionará la fuente psicológica, a través de las aportaciones de sus autores más destacados. La organización escolar, la sociología y el conocimiento del Proyecto Educativo, nos proporcionarán datos sobre el contexto y los conocimientos que en él se han elaborado.

• Conocer y dar importancia a los conocimientos previos también es fundamental

para conseguir un verdadero aprendizaje significativo. Estos conocimientos son los indicadores de un pensamiento que se construye, de los medios de compresión de los que dispone el alumno; pueden determinar la elección de los medios didácticos. También nos pueden proporcionar valiosas indicaciones en la definición realista de los objetivos a alcanzar porque aportan datos sobre las etapas intermedias que materializan la construcción del saber. Las investigaciones sobre conocimientos previos y su papel específico en los procesos de e-a han llegado a determinar que:

o El sujeto que aprende no graba y conserva sin más las informaciones, es un

organismo actor, posee una estructura de recepción. o Eje substrato, o preconcepción debe ser el punto de partida para que el profesor

diseñe sus estrategias y elabore los mensajes que desea transmitir. o Esos conocimientos previos serán básicos pueden adoptar la forma de modelos

explicativos y tienen al tiempo una génesis individual y social. o Los conocimientos previos no son siempre ideas intuitivas e imprecisas, pueden

determinar estrategias cognitivas para seleccionar las informaciones pertinentes, para estructurar y organizar lo real.

2.2. Estrategias de enseñanza-aprendizaje.

El término Estrategia ha sido definido por distintos autores (SEVILLANO GARCÍA, DE LA TORRE, COLL, ZABALA), partiendo de las teorías de Ausubel (Aprendizaje Significativo) y Bruner (Aprendizaje por Descubrimiento), pudiendo afirmarse que se trataría de un Recurso metodológico que determina un plan de actuación respecto a la

posición del profesor y del alumno/s en el proceso de enseñanza/aprendizaje. Los dos grandes tipos de alternativas estratégicas son, como ya hemos indicado, la exposición y la indagación; que identifican al protagonista de la transmisión de conocimientos en un momento (exposición del profesor y/o del alumno/s), en el caso de la primera, y el grado de autonomía en la construcción de los conocimientos (estrategias indagatorias mediante aprendizaje dirigido, semidirigido o “libre”), en la segunda.

De forma bastante generalizada, se reconoce el valor de la alternancia de estrategias expositivas e indagatorias para optimizar los resultados de los procesos de e/a gracias a la confluencia de técnicas que cada uno de los dos tipos señalados puede ayudar a disponer.


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• Las estrategias didácticas expositivas. La importancia de la aplicación de este tipo de

estrategias viene avalada por autores como el ya citado AUSUBEL (1963), quien, frente a otros autores de orientación también constructivista, ha defendido la importancia del aprendizaje verbal significativo o aprendizaje "receptivo significativo". El profesor, como agente mediador, debe conseguir que los aprendizajes receptivos sean significativos. Ello dependerá de las condiciones en las cuales se produzcan. Las estrategias expositivas promoverán la construcción de aprendizajes significativos siempre que:

o Partan del nivel de desarrollo del alumno, considerando que este nivel aparece

conformado por sus capacidades y sus conocimientos previos, cuenten con el interés de los mismos o se dirijan a promoverlo. Presenten con claridad los nuevos contenidos.

Su utilización deberá restringirse a momentos clave del tratamiento de la unidad didáctica. Destacamos los siguientes:

o Planteamientos panorámicos o introductorios. o Síntesis o recapitulaciones periódicas. o Síntesis o recapitulaciones finales.

La estrategia expositiva debe ser mínima y de corta duración tanto en la etapa primaria como secundaria.

• Las estrategias didácticas de indagación. Su valor ha sido destacado por diferentes

autores; entre ellos podemos subrayar el papel de Bruner (1961, 1966), ya citado. La configuración de estrategias didácticas de indagación permitirá que los alumnos siguiendo unas pautas más o menos definidas (la intervención del profesor deberá ajustarse a las necesidades de los alumnos), puedan trabajar contenidos de distinto tipo (conceptos, actitudes y procedimientos). Se encontrarán en situaciones de acción y reflexión. Así, podrán:

o Identificar problemas. o Intentar determinar algunas de sus causas. o Obtener datos. o Clasificarlos. o Analizarlos y compararlos. o Establecer conclusiones y generalizarlas.

Esta estrategia es la que tiene que tener un mayor peso tanto en la enseñanza primaria como en la secundaria respecto a la expositiva.

2.3. Técnicas metodológicas.

Según SEVILLANO GARCÍA (2007) y DE LA TORRE (2005), podemos definirlas como los “Recursos metodológicos concretos que precisan una serie de elementos y/o

pasos puntuales para orientar la acción sirviendo, por tanto, de guía para sistematizar la

forma en que se desarrollarán las actividades del proceso de e/a”.


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Algunos tipos de técnicas de gran valor por su funcionalidad para el desarrollo de distintos principios de intervención (aprendizaje significativo, aprender a aprender..) son el debate, el coloquio, el mapa de contenidos, la investigación bibliográfica, el resumen y el esquema. Identificaremos algunas de ellas, tomando como referencia las obras de HERNÁNDEZ y GARCÍA, (1997), de GARCIA RUIZ (2003), GALINDO MORALES (2004) y otros autores.

3. RECURSOS PERSONALES.

Los medios o recursos personales poseen un valor fundamental en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje desde una posición constructivista. En un sentido restringido, los alumnos y los profesores desempeñan un papel de recursos, de vehículos de transmisión y/o de mediación en la construcción de conceptos, procedimientos y actitudes. En un sentido más amplio, cualquier agente social, cualquier trabajador, cualquier profesional de la información puede ser considerado medio personal en la construcción de conocimientos y valores.

La cuestión del docente como parte de los recursos humanos, considerados agentes decisivos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, más todavía el tema de los docentes no acostumbra a considerarse en relación a los elementos de la enseñanza.

Sin embargo, el docente va a desempeñar un papel mediador entre cultura y alumnos. En este sentido Word y Bruner (Wood y Brunner, 1980) han utilizado una metáfora que ha alcanzado gran popularidad, la metáfora del andamiaje:

“Un edificio se construye sobre una base; las personas que construyen el edificio deben

tener la base accesible y, a la vez, la posibilidad de construir por encima de lo ya

construido. Los andamios hacen posible agacharse para enlazar con la construcción

previa y, estirándose, tirar luego hacia arriba; cuando ya no se alcanza más, se debe subir

el andamio de altura, agacharse a la nueva base (que fue la cota máxima de la

construcción anterior) y continuar ascendiendo. Al final de la construcción no hubiera

sido posible sin su ayuda”.

Por tanto, en el proceso educativo, la labor del profesor se sitúa en la línea del proceso descrito. Será necesario partir del nivel en el que los alumnos se encuentran e ir estimulando el acceso a nuevos niveles de competencia y desarrollo. El papel que juega el profesor en este proceso es fundamental.

Además, la figura del docente es determinante para el uso óptimo de los recursos que en absoluto anulan ni limitan la personalidad del profesional de la educación, sino todo lo contrario, enriquecen su labor, dotando a su actividad de cierto dinamismo (García Ruiz, 2003).

Por último, la atención a la diversidad del alumnado obliga al profesorado a que conozca, disponga y haga uso de una variedad de recursos que le permitan dinamizar las actividades y que mejoren el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se abandona, de este modo, el modelo tradicional meramente expositivo, donde la expresión oral, la pizarra y el libro aparecen como el único triángulo de recursos que sustenta la enseñanza-aprendizaje; lo que supone un empobrecimiento de los medios y una pérdida de posibilidades y oportunidades de aprendizaje. De este modo, el nuevo sistema educativo español -articulado a partir de la


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LOGSE culminado por la LOE, que da una enorme importancia a la atención a la diversidad-, concede un gran papel a otras metodologías más participativas que favorecen la interacción, parten de la situación real del alumnado y aseguran un nivel adecuado de motivación mediante el uso diverso de todos los recursos de los que dispone. El resultado es que el docente supera su papel de mero transmisor de conocimientos para convertirse en el elemento articulador que proporciona a los alumnos de medios necesarios para que éstos realicen un aprendizaje realmente significativo (García Ruiz, 2003).

Además, dada la incorporación en las aulas de una gran variedad de recursos, el papel del docente cobra gran importancia a la hora de delimitar los objetivos que tienen que conseguirse, las características del alumnado, la selección del medio más idóneo para llevar acabo el proceso de enseñanza-aprendizaje, la elaboración del guión en relación a los contenidos –exposición oral-, la preparación del material, la aplicación de os distintos recursos, la coordinación de las actuaciones de los alumnos y la evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje. De hecho, es tal su importancia, que está demostrado que un excelente material mal empleado, producirá peores resultados que otro más sencillo pero usado de forma correcta.

4. RECURSOS AMBIENTALES.

Los recursos ambientales comprenden desde la conformación flexible y funcional del espacio del aula, (para trabajar individualmente, para fomentar el trabajo en equipo) hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que, fuera de él puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos.

En el propio centro y fuera del propio espacio-aula podemos destacar:

• El aula de informática, para la búsqueda de información. • La sala de audiovisuales, para el visionado de material de estas características, muy útil

para la explicación de las unidades didácticas y para la realización de actividades. • La biblioteca permite la toma de contacto con una selección de obras científicas,

técnicas, literarias. • El salón de actos es un espacio para el intercambio de comunicación, la creatividad, etc.

Las salidas fuera del centro desempeñan un importante papel al facilitar la observación y el encuentro con el medio natural, social, cultural y laboral y los procesos y fenómenos que en ellos tienen lugar. Ilustran y hacen más comprensibles a los alumnos determinados conocimientos. Las salidas favorecen la adquisición de hábitos de autonomía y el desarrollo de actitudes como el respeto hacia el entorno natural, cultural y social. Asimismo, impulsan capacidades de relación en los alumnos.

5. RECURSOS MATERIALES.

La enorme variedad de recursos materiales que el medio en que vivimos pone a nuestro alcance nos obliga a prever unos soportes de material variado: impreso, audiovisual e informático. Entre los elementos del currículo común señalados por la nueva LOE se encuentra la promoción e impulso a la lectura, la comunicación audiovisual y las Tecnologías de la Información y Comunicación. Los contenidos, expuestos con estos


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materiales y soportes pueden resultar más claros y atractivos. Al tiempo, pueden estimular al alumno a buscar y seleccionar información en diversas fuentes.

Además, en ocasiones, los recursos didácticos constituyen elementos materiales cuya función principal estriba en facilitar la comunicación que se establece entre educadores y educandos (VIDO-

RRETA GARCÍA; 1992: 7). Los recursos materiales son soportes físicos, facilitadores de la información en el proceso comunicativo-educativo, puesto que su misión estriba en vehiculizar esa información, en ser, en definitiva, canales de la misma (COLOM CAÑELLAS, A. Y OTROS. 1988: 18). Es lo que sucede cuando por ejemplo en una clase se utiliza la pizarra, una fotografía o una película de vídeo, un libro de láminas, un cuento, etc. Es decir, en este sentido los recursos, también denominados "medios", son elementos físicos y materiales, transportadores y/o clarificadores de los mensajes educativos.

Los recursos materiales pueden ser de naturaleza muy variada, más específicos de una etapa educativa en particular o de un área determinada. Sin embargo, y en general, los distintos tipos de recursos materiales podrían ser clasificados como sigue:

- Materiales impresos (libros de texto, libros de consulta, libros de prácticas y actividades, etc.). - Materiales audiovisuales (transparencias, diapositivas, vídeos educativos, etc.) - Materiales informáticos (programas didácticos, programas de propósito general, etc.)

5.1. Materiales impresos

Dentro de este grupo podemos incluir: el material bibliográfico, el libro de texto, el material documental, la prensa escrita o el material cartográfico. De cada una de ellas, vamos a establecer las características más adecuadas para conseguir una mayor efectividad de las mismas (García Ruiz, 2003).

• El libro de texto: Este material impreso ha sido tradicionalmente casi el único medio

didáctico para el desarrollo de las actividades de enseñanza-aprendizaje. En la actualidad, se le siguen reconociendo aspectos positivos como permitir centralizar y sistematizar el aprendizaje, establecer relaciones y ofrece un marco conceptual ordenado lógicamente, proporcionando imágenes, datos, ejercicios, etc. Por todo ello, se sigue utilizando en las tareas de aprendizaje. Sin embargo, debe complementarse con otros recursos, como los juegos de simulación, los libros de consulta, etc.

En definitiva, el libro de texto debe dejar de ser un texto escrito con algunas ilustraciones, para convertirse en colección de recursos didácticos utilizados por el profesorado con la mayor flexibilidad, aprovechando posibilidades, modificando sus propuestas y complementándolo con otros recursos generados por la propia actividad escolar.

• El material bibliográfico. Dentro de este material, destacan: los libros de consulta

(enciclopedias, catálogos, tratados, colecciones, etc.), los estudios locales o regiones, las biografías, los libros de viaje, libros auxiliares (calculadora, diccionarios, mapas, etc.).


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Todos estos materiales contribuyen al desarrollo del currículo. A veces por el carácter consultivo de los datos o como fuente de conocimientos.

La labor del profesor en la selección y utilización de los materiales impresos que puedan estimular el interés por la lectura y, además el desarrollo de valores personales y sociales, será trascendental. Con objeto de facilitar el acceso a este material bibliográfico por parte de los alumnos, se recomienda la opción de la biblioteca, bien a nivel de centro o de aula. La tarea del profesorado, en este caso, será seleccionar en cada caso los textos más adecuados, dependiendo de los niveles de comprensión y la capacidad de abstracción de los alumnos (García Ruiz, 2003).

Otros materiales que destacamos por su utilidad en la enseñanza son:

A) La prensa. De hecho, la prensa nos permite desarrollar actividades muy ricas e importantes que no pueden abordarse con los libros de texto específicos. Para un mejor aprovechamiento didáctico de la prensa escrita habría que delimitar tres niveles de uso: como objeto de estudio, como técnica de trabajo o como auxiliar didáctico, según define García Ruiz (García Ruiz, 2003):

o El uso de la prensa como objeto de estudio pern1itirá al alumno a aprender a leer

dicha prensa, conociendo algo de sus mecanismos internos en relación a las fuentes informativas, al tratamiento de las noticias, al uso de la libertad de expresión, a los aspectos propagandísticos, etc.

o La utilización de la prensa como técnica de trabajo hace posible que los alumnos investiguen el medio, realicen entrevistas, elaboren textos donde expresan sus observaciones e incluso imprimen los más significativos.

o El uso de la prensa escrita como auxiliar didáctico, ofrece en relación a cualquier área, la posibilidad de comentar y contrastar noticias de actualidad, realizar el seguimiento de datos meteorológicos, recoger información sobre fenómenos naturales, reunir noticias locales sobre aspectos sociales, medioambientales o de conservación de patrimonio, o de contrastar datos demográficos, económicos o relacionados con problemáticas ciudadanas.

Como material para la enseñanza-aprendizaje, la prensa diaria y las revistas especializadas constituyen un medio de gran valor. Unen a la información, la reseña crítica. Una noticia como las cotizaciones en una subasta a un hecho singular, puede permitir el desarrollo de técnicas tan importantes como la de análisis y comentario de texto, o el debate-coloquio. Pero a su vez, el análisis sobre una muestra puede servir de base para visitar la exposición a la que alude, desarrollando otra técnica como es los itinerarios didácticos. Incluso, las conclusiones de la misma, se pueden archivar en un fichero o dossier, convirtiéndose en una fuente consultiva para el centro o el alumno. Con ello, además, de un método de trabajo puede contribuir a crear unos hábitos y tipos de comportamiento para actuaciones posteriores, más allá de la dimensión escolar (García Ruiz, 2003; Aranda Hernando, 2003).

B) El archivo de aula. Estaría constituido por un fichero en el que se conservan y

clasifican los materiales complementarios y alternativos al libro de texto, ya sean de elaboración propia o simplemente extraídos de fuentes diversas. De hecho, gran parte de


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los materiales analizados hasta este momento, pueden ser objeto de ordenación y archivo, con vistas a usos posteriores o alternativos. Los ficheros o Archivos de Aula tienen múltiples usos, como indica García Ruiz (García Ruiz, 2003):

o Ofrece a los alumnos unos materiales adaptados al contexto específico del centro y

del entorno. o Permite utilizar dichos materiales de forma autónoma por parte de los alumnos,

siendo especialmente útil en cuanto a la atención a la diversidad. o Favorece la adquisición de destrezas relativas a la clasificación de la información. o Aumenta la motivación del alumnado en relación a la elaboración y uso de

materiales didácticos propios. o Complementa el uso de la prensa escrita, recogiendo con carácter de hemeroteca

aquellas noticias consideradas de interés. o Permite el archivo y utilización de fichas diversas, en función de las necesidades de

aprendizaje (información y documentación, monografías, técnicas de trabajo, recuperación o profundización, autoevaluación, etc.)

o Se enriquece y amplía constantemente por medio de actividades de aprendizaje de los alumnos, y no obliga al profesorado a cambios metodológicos radicales.

Entre los propios del aula de matemática podemos destacar los dominós, geoplanos, libros de espejos, tangram, cartas, dados, …

La editorial Proyecto Sur Ediciones S.L. es una de las principales creadoras de materiales didácticos de matemáticas.

http://www.proyectosur.com/prestashop/category.php?id_category=19

C) Libros de juegos o de lectura. La posibilidad de acceder a múltiples libros en Internet (que pueden imprimirse) y los servicios educativos a la carta que ofrecen algunos portales abren nuevas posibilidades para el aprovechamiento de estos materiales en la escuela y en casa. Además, tal vez pronto tendremos los primeros interlibros: libros convencionales que además incluirán referencias a páginas web con vídeos, simulaciones y ejercicios autocorrectivos; pasando un puntero sobre estas referencias se accederá inmediatamente a estos recursos si se dispone de un ordenador, de una agenda o de un móvil con acceso a Internet. Existen muchas editoriales como Nívola que están haciendo un gran esfuerzo por dar cabida a literatura infantil y juvenil sobre matemáticas.

5.2. Material audiovisual.

La presencia permanente de los medios audiovisuales en el mundo actual es una de las características más representativas de nuestra época -una época de la imagen-, ha provocado modificaciones en las formas de expresión y de pensamiento actuales.

Lógicamente, esta influencia en la sociedad, también se manifiesta en el ámbito educativo donde la integración de la cultura audiovisual en los procesos de enseñanza- aprendizaje se ha convertido en algo necesario. Además, los medios audiovisuales nos permiten transmitir con exactitud elementos históricos o artísticos de espacios ajenos al


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nuestro, o acercamos a realidades sociales, económicas o políticas de épocas históricas lejanas en el tiempo.

Sin embargo, en el uso de estos recursos, el docente debe evitar las actitudes meramente receptivas por parte de los alumnos, induciendo a éstos a través de las propuestas didácticas a realizar un aprovechamiento realmente significativo, como indica Galindo Morales (Galindo Morales, 1995).

Entre los materiales audiovisuales que pueden manejarse en el aula, destacan:

o Diapositivas (proyector): La fotografía en diapositivas, sigue siendo, sin discusión

el medio más utilizado para plasmar partes y detalles, interiores o exteriores. Su gran inconveniente es la incapacidad de abarcar el edificio completo, lo contempla desde un solo punto de vista. En cambio, es muy válida la reproducción fotográfica de planos, convirtiéndose así en un elemento primordial para la interpretación del espacio. De ahí que, en los últimos tiempos estén siendo sustituidas por el ordenador, dotado de “cañón”, que ofrece mayores posibilidades didácticas.

o Transparencias (Retroproyector): Las transparencias son un medio audiovisual

ideal para el desarrollo de técnicas como el mapa de contenidos. Además, una de sus mayores ventajas que tiene este material es la capacidad de intervención que el docente tiene sobre el mismo. Así, la posibilidad de superponer o realizar provisionalmente modificaciones en las transparencias, las hace especialmente útiles para la comprensión de esquemas de mayor o menor complejidad, o de planos, gozando además de una absoluta disponibilidad en el momento preciso y aventajando tremendamente a la pizarra en este aspecto. A pesar de las ventajas comentadas, el uso de este recurso en los centros educativos es escaso, no tanto por la inexistencia de proyectores, sino por el trabajo que acarrea realizar las transparencias por parte de los docentes.

o Grabaciones sonoras: Su aplicación puede resultar especialmente interesante:

� Como complemento a las diapositivas, adecuando la grabación al contenido

gráfico de las diapositivas. � Como recurso complementario de acercamiento a otras épocas (por ejemplo: la

música del Barroco se caracteriza por sus contrastes, de la misma manera que el arte, pudiendo utilizarse como apoyo en las clases de Conocimiento del entorno y del medio natural y social, desde una perspectiva interdisciplinar), o a determinadas coyunturas históricas.

� Como apoyo técnico para nuestros alumnos en la realización de trabajos de campo, entrevista, encuestas, etc.

o Televisión/vídeo/cine: A pesar de tratarse de recursos diferentes, vamos a

considerarlos conjuntamente, dado que todos ellos nos ofrecen imágenes acompañadas de sonido, que podemos visualizar en el aula a través del televisor (García Ruiz, 2003).

Respecto a la televisión en abierto, ésta nos permite aprovechar la oferta de los canales comerciales en aquellos aspectos que puedan favorecer las actividades de


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enseñanza-aprendizaje, (los documentales, los programas informativos, los programas específicos de televisión educativa, etc.), ya sea en el momento de su emisión o grabándolos para un aprovechamiento posterior. La selección, grabación y clasificación de estos materiales puede realizarse con la participación activa del alumnado, organizando grupos que lleven a cabo el seguimiento de la oferta televisiva de la semana, quienes deberán hacer una selección de dicha oferta. En este aspecto, el docente puede orientar a sus alumnos hacia un análisis crítico de la televisión. Una vez realizada la grabación, se pueden aplicar técnicas para su utilización, como los debates-coloquios.

En relación al uso de la videocámara o la cámara de DVD por los alumnos, lo más destacado desde el punto de vista didáctico, sería su uso en los itinerarios didácticos, que precisan la recogida de imágenes, que luego pueden analizarse y comentarse en el aula, o pueden ser la base, para realizar diapositivas a partir de las mismas, o, y ya estaríamos hablando de otro tipo de recursos, digitalizarse, para utilizarlas con un soporte informático (Marín Viadel, 2003).

Respecto al aprovechamiento del cine en el ámbito educativo, vemos que efectivamente, en ocasiones las producciones cinematográficas pueden reflejar un momento histórico, una determinada situación social, o un ámbito natural preciso, convirtiéndose en base para el desarrollo de técnicas como el debate-coloquio No obstante, conviene tener presente que, salvo contadas excepciones, las evocaciones cinematográficas generalmente carecen de rigor científico, y que la extensión o la temática particular de la obra puede que en ocasiones limite la visión por el alumnado.

Especialmente recomendable en para la educación matemática en primaria la película “Donald en el país de las matemáticas” (1935) de Walt Disney; la película “Dentro del laberinto” (1985) de Jim Henson o la serie “Ojo Matemático”.

5.3. Recursos informáticos.

Las ventajas del ordenador en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya fueron señaladas por Moreno Jiménez hace más de diez años (Moreno Jiménez, 1995), al afirmar que se centran en la rapidez de ejecución de tareas, en la capacidad para almacenar información, en la multiplicidad de formas para presentar dicha información, y en la aptitud para la interacción. De hecho, como afirma Marín Viadel:

“Una computadora bien equipada en un aula proporciona las mayores posibilidades

de creación visual que herramienta alguna ha podido representar hasta el momento.

Es la herramienta por excelencia y no podemos obviarla en el proceso educativo de

nuestro alumnado. El mundo en el que van a vivir va a estar inundado de imágenes

virtuales, de interfaces intuitivas, visuales, de publicidad interactiva. La

potencialidad que encierran estos medios es imposible de prever, pero es seguro que

el mundo que venga se construirá a través de ellos” (Marín Viadel, 2003).


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Así, la presencia del ordenador en nuestros centros educativos podríamos decir que responde a tres funciones fundamentales:

o El ordenador como objeto de estudio en sí mismo. Los alumnos, en este caso,

aprenden contenidos acerca del ordenador, de la tecnología informática y de las nuevas tecnologías de la información.

o El ordenador como recurso didáctico. El uso didáctico del ordenador se organiza a

través de actividades de aprendizaje diseñadas por el profesor para la consecución de los objetivos del currículo correspondiente a las distintas áreas. Los alumnos, en este caso, aprenden con el ordenador y del ordenador contenidos escolares (conceptos, hechos, principios, procedimientos, estrategias, etc.)

o El ordenador como herramienta o instrumento para facilitar el acceso al currículo de

alumnos con necesidades educativas especiales puedan acceder al currículo, expresarse, etc.

En la actualidad, la utilización del ordenador como recurso didáctico se entiende que debe ser llevada a cabo de una manera integrada, formando parte de resto de las actividades diseñadas dentro de la programación.

Su utilización, como el de cualquier otro recurso o medio didáctico, está condicionado por el grado de adecuación a los objetivos didácticos propuestos. Además, debe estar en consonancia con el resto de las actividades que dentro de una unidad didáctica se orientan a promover la construcción de los aprendizajes por parte de los alumnos (PNTIC-MEC, 1992).

Los materiales curriculares que mediante el uso de un ordenador desarrollan un contenido concreto determinado por el programa se suelen englobar dentro de los llamados Programas de Enseñanza Asistida por Ordenador. En la actualidad, la EAO se entiende en un sentido amplio (superados ya los modelos didácticos conductistas y asumiendo las innovaciones técnicas que estos programas han experi- mentado). Efectivamente, en esta categoría se incluyen distintos tipos de programas, que posibilitan, a su vez, metodologías diversas de uso del ordenador.

En primer lugar, los programas de ejercitación presentan a los alumnos una serie de preguntas o problemas habitualmente estructurados en niveles de complejidad crecientes. El sistema comprueba la respuesta del usuario y plantea una nueva situación problemática. Estos programas, pioneros dentro de la informática educativa, versan habitualmente sobre un aspecto o contenido muy concreto. En la actualidad, los programas han evolucionado hacia modelos que incluyen nuevos elementos en la interacción entre el alumno y el material.

En segundo lugar, los programas tutoriales, que suministran información y ayuda sobre los contenidos que desarrolla el programa. Presentan contenidos estructurados y secuenciados de tal forma que se establece un diálogo entre el alumno y el ordenador.

En tercer lugar, los programas de simulación, que presentan modelos de una realidad difícilmente accesible para los alumnos mediante la experiencia directa. Existe un buen


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número de fenómenos que, debido a su peligrosidad, a lo dilatado o corto de su duración, a la lejanía del entorno donde se produce a su complejidad, etc., no pueden ser observados o manipulados directamente y que, en cambio, pueden ser reproducidos con el uso del ordenador, facilitando de este modo la interacción de los alumnos con estos hechos y circunstancias (por ejemplo, procesos en un reactor nuclear, desarrollo urbanístico de una ciudad, movimiento de los planetas, funcionamiento del aparato circulatorio, etc.).

Por último, los programas de juegos educativos que presentan ambientes más o menos diversos orientados al aprendizaje en un entorno lúdico. Su valor principal es la motivación que producen, y el tipo de tareas que suele plantear a los alumnos.

Los programas de EAO se caracterizan, genéricamente, por desarrollar contenidos procedimentales y conceptuales que vienen predeterminados por el propio programa - programas cerrados-. Cuando un programa no determina los contenidos sino que proporcionan una estructura didáctica concreta, un armazón, a partir del cual el profesor puede definir una aplicación determinada con las herramientas que ofrece el

programa, hablamos de programas abiertos. Este tipo de programas son muy diversos tanto en finalidad como en estructura didáctica, y permiten al profesor desarrollar sus propias aplicaciones, adaptadas por lo tanto a las necesidades del contexto y momento concreto del proceso de enseñanza y aprendizaje, a las características del grupo y de los alumnos individuales, etc.

Efectivamente, el profesor puede, por ejemplo, variar los textos adaptándolos al nivel de vocabulario de sus alumnos, modificar actividades ajustándolas al nivel de conocimientos previos detectados, ampliar el banco de ejercicios o problemas de un determinado aspecto que necesita ser reforzado por un grupo de alumnos, etc.

Además del tipo de materiales que hemos descrito anteriormente, específicamente diseñados para su uso didáctico, los denominados programas de propósito general, aplicaciones informáticas de uso o propósito no didáctico que sin embargo son cada vez más empleados por el profesorado y los alumnos en un contexto escolar con fines educativos. Nos estamos refiriendo a los procesadores de texto, las bases de datos, las hojas de cálculo, los programas de autoedición, los programas de diseño gráfico, etc.


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6. NUEVAS TECNOLOGÍAS EN EL AULA DE MATEMÁTICAS.

La riqueza, versatilidad y variedad de opciones de medios didácticos que presentan las TIC abre nuevos horizontes a las relaciones enseñanza/aprendizaje. MARQUÈS (CP; 2006: 80-88) nos ofrece un panorama bien trazado sobre ellos: su identificación y prestaciones.

Mostramos algunos de los que actualmente están en vigor:

• Programas y plataformas. Facilitan el desarrollo de la materia. Entre ellos

destacamos:

- Wiris desktop. Es una herramienta tipo calculadora on-line con versiones para primaria y secundaria. Se trata de un elemento didáctico que resulta interesante para resolución de problemas y comprobación de soluciones.

http://www.wiris.net/demo/wiris/es/elementary.html

- Usa el coco. Es una plataforma realizada por Nacho Diego. Propone acertijos,

problemas, sucesiones, problemas lógicos, etc. a nivel de primaria y secundaria.

http://www.usaelcoco.com/

- Plataforma del gobierno de canarias. Es una plataforma que consta de diversas actividades flash apropiadas para primaria.

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/recursoseducativos/category/ 2-ciclo-de-primaria-2c/matematicas-2c/

- Plataforma “El Tanque” de Mario Ramos. Es una plataforma que consta de

diversas actividades flash apropiadas para primaria.

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/

- Plataforma “Genmagic”. Es una plataforma que consta de diversas actividades flash apropiadas para primaria. La materia de matemáticas la puedes encontrar aquí:

http://www.genmagic.net/educa/course/view.php?id=3

- Racó del Clic. Programa online JCLIC. Es una plataforma que consta de diversas

actividades realizadas por profesores y apropiadas para primaria. Permite crear actividades.

http://clic.xtec.cat/es/jclic/

- Contenidos Educativos Digitales de la Junta de Extremadura. Es una plataforma

que consta de diversos módulos que explicitan los contenidos de educación infantil, primaria y secundaria de muchas materias, entre ellas matemáticas. La materia de matemáticas la puedes encontrar aquí:


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http://conteni2.educarex.es/

- Infoymates. Es una plataforma de José María Arias Cabezas que consta de diversos apartados donde podemos encontrar juegos para trabajar las tablas de sumar, restar, multiplicar, dividir o hacer las raíces cuadradas. Trabaja mucho el tema de “carné del calculista”, herramienta muy adecuada para primaria.

http://www.infoymate.es/

- Aula21.net. Es una plataforma que consta de diversos apartados sobre programas y

recursos entre los que destacan el apartado acerca del programa “hot potatoes”, capaz de crear actividades de unión de imágenes, completar frases o creación de test.

http://www.aula21.net

• Materiales didácticos digitales en cd o en línea. La mayoría de editoriales tienen

acceso digital a plataformas con contenidos sobre los materiales que proporcionan en formato impreso. Por ejemplo, En la mediateca del grupo de investigación Didáctica y Multimedia, DIM (http://dewey.uab.es/pmarques/dim) se puede consultar la evaluación de algunos de estos materiales. Además hay fuentes completas de materiales no interactivos (documentos, apuntes, esquemas, fotos, audiovisuales, ejercicios, etc.),

• Materiales para crear audio y video. Si pretendemos crear un archivo sonoro

podemos utilizar el programa AUDACITY que es un editor , grabador y reproductor gratuito.

http://audacity.sourceforge.net/?lang=es

Si queremos grabar videos didácticos podemos utilizar programas como Windows Moviemaker.

• La pizarra digital. Es un elemento que se va a imponer en el aula en un futuro muy

cercano. Actualmente se están introduciendo mejoras para poder disponer de bancos de actividades especializadas en cada materia. La pizarra digital puede usarse como proyector, como pizarra en la que escribir o como vehículo interactivo de realización de actividades mediante la manipulación manual de la misma.

Las pizarras digitales suelen llevar incorporado un programa donde disponemos de algunas características de tipo matemático como representador de polígonos, compás, regla, que nos permite ser más precisos en nuestras representaciones.

7. BIBLIOGRAFÍA

Algunos libros y referencias con los que se confeccionó el material o pueden servir para ampliar son:

- ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y

VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso mas), Santillana, 2006.


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Libro de texto de la editorial Santillana con los distintos bloques de contenido, actividades,

metodología aplicada, etc. a nivel de 6º Primaria.

- ALSINA, C. Y OTROS. (1995): Enseñar matemáticas. Barcelona. Graó.

Con esta obra se pretende fomentar ele aprecio a la matemática dando pautas de trabajo,

metodología y didáctica para toda la primaria y secundaria.

- CASCALLANA, M. T. (1988): Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Madrid. Santillana.

Con esta obra se pretende fomentar ele aprecio a la matemática mediante materiales y recursos

didácticos atrayentes para el alumnado.

- CASTRO MARTÍNEZ, E.: Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Ed. Síntesis.

El objetivo de este manual es proporcionar un marco conceptual sólido y unas herramientas útiles

tanto para la formación del profesorado de Matemáticas de la Educación Primaria como para su trabajo en el aula.

La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se aborda desde una perspectiva propia que

integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio de los

correspondientes temas del currículo. Asimismo, el libro ofrece una aproximación disciplinar

propia y original a las nociones relacionadas con la formación en Didáctica de la Matemática.

- CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”.

Libro dedicado a desentrañar la evolución de los conocimientos matemáticos en la Etapa Primaria y la metodología a aplicar en esta etapa.

- ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica general. Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha.

La obra está dividida en tres partes organizadas por capítulos que cubren de manera comprensiva

tres ejes principales del aprendizaje didáctico: los fundamentos de la enseñanza, el diseño

curricular y la investigación didáctica. La primera parte se centra en el aprendizaje de los

fundamentos de la enseñanza. Para ello se estudian, por este orden, los siguientes fundamentos:

epistemológico, filosófico-antropológico, educativo, histórico, psicológico y socio-ambiental. La

parte segunda explora el aprendizaje del diseño del currículum. Proporciona unas herramientas

básicas para alcanzar un conocimiento práctico necesario para llevar a cabo una enseñanza

educativa de calidad. Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo curricular,

los principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula junto con las

adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del currículum y un

repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la temática de la

investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los principales paradigmas de

investigación didáctica y los métodos de investigación más relevantes utilizados en didáctica con un

énfasis especial en la Investigación-Acción.

- GIMENO SACRISTÁN, J. Y CARBONELL SEBARROJA, J (COORDS.) (2004): El sistema

educativo: una mirada crítica. Barcelona: Praxis

Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para

comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo

- GUZMAN, MIGUEL DE (2006): Para pensar mejor: desarrollo de la creatividad a través de los

procesos matemáticos. Editorial Pirámide.


23

Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para

comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo

- LEVY-LEBLOND, J: On the conceptual nature of the Physical constants. Cahiers Fundamenta Scientiae. 1976.

Manual de física universitaria para profundizar sobre los aspectos tratados sobre medida.

- MEC (2004): Una educación de calidad para todos y entre todos. Madrid: Servicio de Publicaciones.

Recoge aquellos aspectos que a juicio de la administración deben ser objeto de reformas y realiza

una serie de propuestas de actuación.

- SARRAMONA, J. (2004): Las competencias básicas en la Educación Obligatoria. Barcelona.

El sistema educativo español ha vivido en los últimos años importantes transformaciones

demandadas por el avance del conocimiento pedagógico y por tos profundos cambios operados en

la sociedad, pero a veces también impuestas por la ideología política dominante en cada período.

Esta breve obra pretende mostrar la temática que se vincula con una corriente de renovación

curricular que se abre camino con fuerza en muchos países: es la introducción del concepto de

competencia para referirse al tipo de logros que cabe exigir a la acción educativa y formativa. Se

trata de una nueva perspectiva que responde a las exigencias de los tiempos y que recoge la mejor

tradición pedagógica de los logros integrados y vinculados con la realidad.

- TORRÁ, M.: Construir las Matemáticas en la Educación Primaria. Ediciones Proyecto Sur.

Obra totalmente aplicada e ideal para la ecuación primaria en el sentido de que ofrece contenidos

manipulables a partir de piezas, cartulinas, trabajos con compás y regla, etc. para alumnos que

están aprendiendo geometría.

- WEISSTEIN, E.W. (1999): CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman Hall.

Completa obra acerca de la geometría a nivel universitario. Contiene todas los conceptos y

definiciones comentados en el tema pero a un nivel muy superior al que se imparte en primaria y

secundaria. Para profundizar.

8. WEBGRAFIA.

Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado.

- http://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409

Página con acceso al texto integro del RR.DD. 1513/2006 sobre los contenidos mínimos de la Enseñanza Primaria.

- http://capileiraticrecursos.wikispaces.com/RECURSOS+PARA+E.+PRIMARIA

Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre

como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.

- http://miclase.wordpress.com/category/2-matematicas/

Página con acceso a recursos educativos y consejos sobre como realizar búsquedas en Internet,

recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en

matemáticas de primaria.


24

- http://www.vitutor.com/

Página web dedicada a las matemáticas de ESO y Bachillerato con muchos ejercicios y

problemas referentes a los conocimientos de este tema. Muy interesante para saber como

evolucionarán los contenidos de matemáticas en niveles superiores a parte de observar algunos

de los contenidos de este tema.

- http://www.aula21.net/


como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor

decente haciendo uso de las TIC…

- http://www.cnice.mecd.es/

Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo




otras páginas educativas de la red.

- http://www.portaldidactico.org/ Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias.

- http://www.eduteka.org/webquest.php3 Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias.

Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad

de buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos.

- http://www.educamadrid.org Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software,

recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red, como

utilizar las TIC en el aula…

- http://www.educaweb.com/

Recursos para estudiantes, profesionales de la educación, posibilidad de enlazar desde esta

página con otras que te informan sobre becas, estudios superiores, mundo laboral. Se ofrece

también información de todas las etapas del sistema educativo, sobre la Prueba de Acceso a la

Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias actuales

sobre el ámbito educativo.

- http://dewey.uab.es/pmarques/ Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso de

las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos,

revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 3:

La matemática en Educación Primaria.

Numeración y operaciones.

ÍNDICE. 1. NECESIDAD DE LOS NÚMEROS Y OPERACIONES A LO LARGO DE LA

HISTORIA.

2. DIVERSAS SITUACIONES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE CON “NÚMEROS Y OPERACIONES”

2.1. Representación de números.

2.2. Cálculo mental.

2.3. Operaciones.

2.4. Juegos matemáticos de deducción.

3. BIBLIOGRAFIA.

4. WEBGRAFIA.

ASIGNATURA: Matemáticas I UNIDAD 2: La matemática en Educación Primaria. Numeración y

operaciones.

2

1. NECESIDAD DE LOS NÚMEROS Y OPERACIONES A LO LARGO DE LA HISTORIA. Abordamos primeramente la importancia real que los números y las operaciones han jugado a lo largo de la historia para comprender, mediante su evolución, la perspectiva didáctica que en la mayoría de las ocasiones debemos seguir. El concepto de número natural está presente desde el inicio de la actividad en matemáticas en las civilizaciones antiguas más primitivas. La motivación del concepto de los números naturales nace de la necesidad de contar y posteriormente ordenar. La naturaleza de la noción de número natural está estrechamente ligada al concepto de conjunto. Los modos de representación de los sistemas de numeración han sido principalmente dos, aditivo y posicional, aplicando cada civilización sus propios símbolos. � El sistema aditivo es un sistema en el que cada símbolo representa una cantidad. Los números se escriben por la concatenación de símbolos que van sumando su valor. Sistemas aditivos fueron el egipcio y el romano. � El sistema posicional tiene la característica de que cada símbo lo representa un tipo de cantidad diferente en función de la posición que ocupa en el número formulado. Nuestro sistema de numeración es posicional. Dentro de los sistemas de numeración posicionales, la elemento fundamental para marcar las posiciones lo determina la base del sistema. Estas bases han sido muy variadas y siempre han ido ligadas a las características bien corpóreas o bien por necesidades de medición de cada momento. Así, los primeros seres humanos usaron sistemas de numeración posicionales de base 20, 12, 60 5, imponiéndose mayoritariamente el decimal. El sistema de numeración decimal es el que empleamos actualmente. Tiene base 10 y proviene de la India. Se gestó entre los siglos III d.C y IX d.C. Los transmisores de este sistema fueron los árabes que, durante los siglos VII a XV se expandieron por todo el norte de África y sur de Europa. Leonardo de Pisa “Fibonacci” fue un comerciante y matemático del siglo XII que escribió “El libro del Ábaco” en el cual explicaba el modo de representar y operar con números que tenían los árabes. De este modo quería introducir el nuevo sistema al verlo más eficaz que el romano. No se le hizo mucho caso hasta el siglo XV en el que las cifras arábigas quedaron perpetuadas como la numeración y el sistema de occidente. Los números negativos aparecieron para resolver el problema del manejo de cantidades en procesos económicos de debito. Estas situaciones se plantearon en el floreciente comercio que establecieron algunas civilizaciones. Los números racionales positivos son conocidos desde las más antiguas civilizaciones de Babilonia y Egipto que los introdujeron para cálculos astronómicos, geométricos y, sobre todo, de reparto. La motivación algebraica sobre la posibilidad de resolver con ellos ecuaciones fue muy posterior. La existencia de números irracionales se plantea en procesos de medición de determinadas longitudes de figuras conocidas o de relación o proporción entre las mismas. Se cifra en el siglo


operaciones.

3

IV a.C. la demostración de la existencia de un valor no racional que determina la diagonal del cuadrado de lado 1. A estas cantidades se las denominó inicialmente “cantidades incompensurables” y son los llamados actualmente números irracionales. Otros números de la misma naturaleza irracional como π eran igualmente conocidos pero sólo hasta el siglo XVII a XIX no es cuando se demuestra su característica irracional. Hasta mediados del siglo XIX no se sistematiza la noción de número real. Este concepto se logra debido a la motivación proporcionada por los métodos del Análisis infinitesimal surgidos en el siglo XVII. Tales métodos empleaban nociones intuitivas de infinitésimos para realizar las operaciones de límite, derivada o integral. Las principales estrategias propuestas para definir los números reales son debidas a Weierstrass, Dedekind y Cantor. Los números complejos aparecen para solucionar ecuaciones polinómicas de segundo y tercer grado cuando estás no tiene solución desde el punto de vista real. Fue Cardano el primero que, en el siglo XVI, se atrevió a escribir la resolución de una ecuación mediante sus raíces complejas. Posteriormente, Euler (XVIII) y Gauss (XVIII) establecen el formalismo adecuado para estos números. Entre los siglos XVII a XX se resuelven numerosos problemas a partir de la aplicación de sucesiones y series de números lo que hace definir estos términos con rigor así como el concepto de convergencia, límite, acotación, así como los criterios básicos de manipulación de estos elementos. En los siglos XIX y XX, gracias a la crisis de fundamentos dentro del ámbito matemático, la lógica entra de lleno en las matemáticas y se formalizan las estructuras de numéricas. Cabe destacar matemáticos de la talla de Peano, que axiomatiza la estructura del conjunto de los números naturales; Cauchy, Weierstrass y Dedekind, entre otros, en su esfuerzo por definir la estructura de los números reales; o la creación de la teoría de conjuntos, pilar básico para la definición de las estructuras numéricas. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) son también inherentes al propio razonar humano por cuanto debieron de usarse desde el principio de los tiempos. Sin embargo el método algorítmico de realización de las operaciones ha ido evolucionando a lo largo del tiempo a medida que se ha transformado el sistema de numeración utilizado y la simbología aplicada en cada momento.


operaciones.

4

2. DIVERSAS SITUACIÓN ES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE CON “NÚMEROS Y OPERACIONES”.


A) Representación de números mediante el ábaco japonés. El ábaco japonés no tiene la

misma disposición que el ábaco tradicional. En cada alambre o varilla hay 5 bolas que están separadas de tal modo que en la parte inferior hay 4 y en la parte superior 1. La bola de arriba vale 5 veces el valor de una de las de abajo. La posicionalidad de las varillas es la misma que en el ábaco tradicional de nueve bolas por cada varilla.

Los números se disponen del siguiente modo:

Puede ser una actividad interesante escribir números con el ábaco japonés y realizar sumas y restas. (Todos los ciclos)

B) Los números egipcios. El sistema de numeración egipcio seguía normas aditivas. Cada

número se gesta a partir de la suma de los valores de cada uno de los símbolos que intervienen. Los principales símbolos numéricos egipcios eran:

Puede resultar altamente interesante representar números egipcios ya que ayuda a comprender la importancia y evolución del sistema romano o de nuestro sistema de numeración respecto a este. (Todos los ciclos)


operaciones.

5


A) Truco de cálculo mental para multiplicar números de dos cifras por 11. Consiste

en colocar como centenas las decenas del número, como decenas la suma de los dos dígitos del número; y como unidades las unidades del número. Así 43 x 11 = 4 (4 + 3) 3 → 473

B) Truco de cálculo mental para multiplicar por 9, 99, 999.... Tomamos como ejemplo 46 x 9 por ejemplo. Lo que se hace es multiplicar por 10 y al número resultante (460) se le resta el número inicial (46). El resultado es 414. Otro ejemplo: 76 x 99. Multiplicamos por 100, (7600) y restamos el número 76. El resultado es 7.524

C) Truco de cálculo mental para dividir por 5. Tomamos como ejemplo 197 : 5 por ejemplo. Lo que se hace es multiplicar por 2 al número de arriba y luego dividirlo por 10. 197 x 2 = 394. Al dividirlo entre 10 será 39´4.

D) Truco de cálculo mental para multiplicar números de dos cifras entre 10 y 19. Tomamos como ejemplo 15 x 16 por ejemplo. El número comienza sumando 15 + 6 (el primer número más las unidades del otro) que da 21. Luego multiplicamos las unidades de cada número 5 x 6 = 30 Hacemos 210 + 30 = 240.

E) Truco de cálculo mental para multiplicar números de dos cifras entre 90 y 99. Tomamos como ejemplo 95 x 92 por ejemplo. Las diferencias respecto a 100 de ambos números son -5 y -8. Hacemos pro ejemplo el primer número (95) menos la diferencia del segundo (8). Esto da 95 – 8 = 87. Ahora multiplicamos las dos diferencias, 5 x 8 = 40. EL resultado de la multiplicación es el 87 seguido de 40, es decir, 8740.

2.3. Operaciones.

A) La tabla del 9 con los números. Consiste en colocar las dos manos con las palmas

hacia abajo con los dedos extendidos. Para tener el resultado por ejemplo de 9 x 7, contaremos siete desde el dedo meñique de la mano izquierda y doblaremos el dedo donde acabamos (el segundo empezando por la izquierda en la mano derecha). El resultado de 9 x 7 lo podemos distinguir perfectamente contando que hay dos dedos separados por el dedo doblado de otros 7. Por tanto, el resultado es 27. (Primer y segundo ciclo).

Hay otro método algo más complicado con los dedos de las manos para las multiplicaciones por 6, 7, 8, 9 y 10 a partir de las tablas del 1, 2, 3, 4 y 5 que puede servirnos para reforzar las tablas de multiplicar y las sumas.


operaciones.

6

4 3 2

7

6

4 3 2

2 8

2 1

1 4

7

3 2 4

1 8

1 2

6

2 8 3 2

B) Método de multiplicación en celosía. Es un método muy útil para enseñar las tablas de multiplicar y las sumas llevando. No se conoce exactamente cuál es su origen y algunos apuntan la India mientras que otros señalan a autores del renacimiento italiano. (Segundo y tercer ciclo).

Ej. Multiplicación de 432 x 76

→

Resultado: 432 x 76 = 32.832

C) Método de multiplicación geométrico japonés. Es un método muy útil para enseñar las tablas de multiplicar porque se muestra muy visual. Sólo debemos contar ya que las multiplicaciones se van haciendo solas. (Segundo o tercer ciclo)

Ej. Multiplicación de 231 x 12

→

Resultado: 2331 x 12 = 2.772


operaciones.

7

14 4 7 9

8 10

13 3 15


A) Cuadrados mágicos. Los cuadrados mágicos son colecciones de números en forma de tablas cuadradas en las que cada fila, cada columna y cada diagonal, suman siempre lo mismo. Fueron inventados por la civilización china y son considerados un símbolo de buena suerte. Se pueden utilizar con la limitación lógica de las operaciones en cualquier ciclo. Un problema interesante de cara al razonamiento lógico-deductivo y a reforzar el cálculo mental de sumas y restas consiste en completar o crear algún tipo de cuadrado mágico.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Cuadrado mágico (la suma es 15) Completa el cuadrado mágico Sagrada Familia

de Gaudi en Barcelona (la suma es 33)

B) Problemas lógico-deductivos sobre números. Sirven para trabajar la componente lógica

en los cursos de tercer ciclo de primaria sobre bases de conocimientos cada vez más completas sobre operaciones. Este es uno de los problemas más conocidos de esta clase:

Dos profesores están charlando sobre sus respectivas familias y uno le dice al otro:

- Por cierto, ¿qué edades tienen tus tres hijas?.

El otro profesor, gran amante de las matemáticas, le responde:

- El producto de sus edades es 36, y su suma, es la misma que la del número de este autobús. Tras reflexionar un buen rato, el profesor que formuló la pregunta exclamó:

- Me falta un dato.

- Tienes razón. - admitió el otro - Me olvidé decirte que la mayor ya toca el piano.

¿Cuáles son las edades de las hijas?


operaciones.

8

3. BIBLIOGRAFÍA




Libro de texto de la editorial Santillana con los distintos bloques de contenido, actividades, metodología aplicada, etc. a nivel de 6º Primaria.

- ÁLVAREZ, Mª D.; MIRANDA, A. Y.; PARRA, S.; REDONDO, R.; SANTOS, T.: Matemáticas

3º ESO (Serie Practica), Santillana, 2006.

Libro de texto de la editorial Santillana con los distintos bloques de contenido, actividades, metodología aplicada, etc. a nivel de 3º E.S.O.


Con esta obra se pretende fomentar ele aprecio a la matemática dando pautas de trabajo, metodología y didáctica para toda la primaria y secundaria.

- ALSINA, C., BURGUÉS Y FORTUNY J. M. (1987): Invitación a la didáctica de la geometría.

Madrid. Síntesis.

Obra dedicada a la propuesta de actividades manipulables y dispuestas para el aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría .a un nivel de primaria y secundaria.

- ALSINA, C., BURGUÉS Y FORTUNY J. M. (1987): Materiales para construir la geometría.

Madrid. Síntesis.


- CASCALLANA, M. T. (1988): Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos.

Madrid. Santillana.

Con esta obra se pretende fomentar ele aprecio a la matemática mediante materiales y recursos didácticos atrayentes para el alumnado.

- CASTELLNUOVO, E. (1981): La matemática. Geometría. Ed. Ketres. Barcelona.

Con esta obra se pretende fomentar ele aprecio a la geometría mediante movimientos, traslaciones, rotaciones, cortando, calcando, y moviendo distintas figuras planas

- CASTRO MARTÍNEZ, E.: Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Editorial

Síntesis.

El objetivo de este manual es proporcionar un marco conceptual sólido y unas herramientas útiles tanto para la formación del profesorado de Matemáticas de la Educación Primaria como para su trabajo en el aula.

La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se aborda desde una perspectiva propia que integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio detallado de los correspondientes temas básicos del currículo. Asimismo, el libro ofrece una aproximación disciplinar propia y original a las nociones relacionadas con la formación en Didáctica de la Matemática.


operaciones.

9



- ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica general.

Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha.

La obra está dividida en tres partes organizadas por capítulos que cubren de manera comprensiva tres ejes principales del aprendizaje didáctico: los fundamentos de la enseñanza, el diseño curricular y la investigación didáctica. La primera parte se centra en el aprendizaje de los fundamentos de la enseñanza. Para ello se estudian, por este orden, los siguientes fundamentos: epistemológico, filosófico-antropológico, educativo, histórico, psicológico y socio-ambiental. La parte segunda explora el aprendizaje del diseño del currículum. Proporciona unas herramientas básicas para alcanzar un conocimiento práctico necesario para llevar a cabo una enseñanza educativa de calidad. Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo curricular, los principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula junto con las adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del currículum y un repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la temática de la investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los principales paradigmas de investigación didáctica y los métodos de investigación más relevantes utilizados en didáctica con un énfasis especial en la Investigación-Acción.

- GIMENO SACRISTÁN, J. Y CARBONELL SEBARROJA, J (COORDS.) (2004): El sistema educativo: una mirada crítica. Barcelona: Praxis

Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo




- LEVY-LEBLOND, J: On the conceptual nature of the Physical constants. Cahiers Fundamenta

Scientiae. 1976.

Manual de física universitaria para profundizar sobre los aspectos fundamentales tratados durante este tema.


Recoge aquellos aspectos que a juicio de la administración deben ser objeto de reformas y realiza una serie de propuestas de actuación.


El sistema educativo español ha vivido en los últimos años importantes transformaciones demandadas por el avance del conocimiento pedagógico y por tos profundos cambios operados en la sociedad, pero a veces también impuestas por la ideología política dominante en cada período. Esta breve obra pretende mostrar la temática que se vincula con una corriente de renovación curricular que se abre camino con fuerza en muchos países: es la introducción del concepto de competencia para referirse al tipo de logros que cabe exigir a la acción educativa y formativa. Se trata de una nueva perspectiva que responde a las exigencias de los tiempos y que recoge la mejor tradición pedagógica de los logros integrados y vinculados con la realidad.


operaciones.

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Obra totalmente aplicada e ideal para la ecuación primaria en el sentido de que ofrece contenidos manipulables a partir de piezas, cartulinas, trabajos con compás y regla, etc. para alumnos que están aprendiendo geometría.


Completa obra acerca de la geometría a nivel universitario. Contiene todas los conceptos y definiciones comentados en el tema pero a un nivel muy superior al que se imparte en primaria y secundaria. Para profundizar.

4. WEBGRAFIA.





Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.


Página con acceso a recursos educativos y consejos sobre como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.


Página web dedicada a las matemáticas de ESO y Bachillerato con muchos ejercicios y problemas referentes a los conocimientos de este tema. Muy interesante para saber como evolucionarán los contenidos de matemáticas en niveles superiores a parte de observar algunos de los contenidos de este tema.


Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC…


Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo incorporar las TIC en el aula y fuera de ella, acceso a recursos educativos y tecnológicos para diferentes materias; también existe acceso a cursos de formación permanente del profesorado, recursos educativos para alumnos y para profesores y se puede enlazar con otras páginas educativas de la red.


operaciones.

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- http://www.eduteka.org/webquest.php3 Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias. Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad de buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos.

- http://www.educamadrid.org Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software, recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red, como utilizar las TIC en el aula…


Recursos para estudiantes, profesionales de la educación, posibilidad de enlazar desde esta página con otras que te informan sobre becas, estudios superiores, mundo laboral. Se ofrece también información de todas las etapas del sistema educativo, sobre la Prueba de Acceso a la Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias actuales sobre el ámbito educativo.

- http://dewey.uab.es/pmarques/ Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos, revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 3:


Medida.

ÍNDICE.

1. NECESIDAD DE LOS CONTENIDOS ACERCA DE LA MEDIDA A LO LARGO DE LA HISTORIA.

2. DIVERSAS SITUACIONES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE CON “MEDIDA”.

2.1. Medición de longitudes.

2.2. Medición de capacidades.

2.3. Medición del tiempo.

2.4. Medición de ángulos.

2.5. Medición de áreas.

2.6. Medición de dinero.

3. BIBLIOGRAFÍA.

4. WEBGRAFÍA.

1.- Necesidad de los medida a lo largo de la historia. El concepto de medida está ligado al de magnitud en tanto que magnitud es cualquier propiedad de los cuerpos que es susceptible de ser medida. Desde los hombres y mujeres prehistóricos, el ser humano ha necesitado medir. Ha utilizado gran parte de las medidas corporales para atender a las mediciones de longitudes. También se afanó en medir cantidades, superficies, volúmenes, cantidades de elementos o seres vivos. La cantidad dinero es una magnitud que apareció con necesidades comerciales al acabar el método del trueque. El tiempo también es una magnitud que se ha medido desde muy antiguo como atestiguan, por ejemplo, el monumento megalítico de la edad de bronce en Stonehenge que predecía las estaciones. La unidad de medida de una magnitud es la cantidad constante que se considera como la unidad respecto de la cual hacer comparaciones con otras cantidades de la misma magnitud. Existen innumerables unidades para medir. Sin embargo, para que no se produzcan problemas con diferentes unidades, los científicos han establecido un único sistema de unidades para las magnitudes fundamentales, llamado Sistema Internacional (SI). Este sistema determina los símbolos comunes a utilizar para nombrar a cada magnitud, la unidad ha emplear y el símbolo de la unidad. En muchas ocasiones para medir magnitudes es preciso utilizar múltiplos o submúltiplos de las unidades que se nos han determinado porque la medición es extraordinariamente grande o pequeña (tendiendo a cero). A este proceso se denomina cambio de unidades de medida. En estos casos se mantiene el nombre y símbolo de la unidad del SI, precedido del prefijo que indica la siguiente tabla según hayamos aumentado o disminuido la medición multiplicando o dividiendo por la unidad seguida de ceros. Los principales factores de conversión entre unidades, prefijos y símbolos que se pueden llegar a utilizar en la Edad Primaria son los siguientes:

Factor de multiplicación Nombre del prefijo Símbolo que precede a la

unidad del SI

1012 Tera T

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo K

102 Hecto H

101 Deca Da

10– 1 Deci d

10– 2 Centi c

10– 3 Mili m

10– 6 Micro µ

10– 9 Nano n

10– 12 Pico p

Actualmente, existen siete magnitudes básicas o fundamentales:

• Longitud. Es la longitud es la distancia entre dos puntos dados. La longitud entre un punto y el mismo es evidentemente 0 pero la longitud entre dos puntos distintos deberá ser medida a partir de la comparación con una distancia determinada y fija. Esta medida, según el S.I. es el metro.

El metro se definió primeramente como la diezmillonésima parte de un cuadrante de un meridiano terrestre. Otra definición equivalente a esta determina al metro como la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en un lapso de tiempo de 1/299.792.458 segundos.(XVII Conferencia General de Pesas y Medidas, 1983).

Existen otras unidades de medida, todavía muy utilizadas entre las que se encuentran:

• La pulgada: Es una unidad que se utiliza actualmente, por ejemplo, para medir la diagonal de la pantalla de los monitores. Equivale a 2´54 cm.

• El pie: Es una unidad que aún se emplea para expresar la altura a la que vuelan los aviones. Equivale a 30´48 cm.

• La yarda: Suele hacerse distinción entre yarda marítima y terrestre siendo la primera de uso muy frecuente. La yarda marítima equivale a 1.853 m mientras que la terrestre equivale a 1.609 m.

• El nudo: También de medición marítima no es propiamente de longitud sino una unidad referida a la magnitud derivada velocidad. Equivale a 1 milla por hora.

• Masa. Se llama masa a la cantidad de materia que tiene un cuerpo. Curiosamente, aunque se determina como unidad de medida al kilogramo, este se define a partir de un submúltiplo suyo como es el gramo.

Para la masa los franceses definieron el gramo como la masa de un centímetro cúbico de agua a 4 grados centígrados. Para hacer mención al kilogramo se construyó un bloque de platino de 1000 gramos, que se conserva igualmente en la oficina internacional de pesos y medidas de Sevres, que es lo que se toma actualmente como unidad sin referencia al agua.

Otras unidades de la masa son:

• La libra es la cantidad de masa correspondiente a 0´4536 kg.

• La onza es la cantidad de masa que se emplea como unidad base para determinar

el precio de metales preciosos como el oro, la plata o el platino y equivale a 28´53 g.

Para poder medir la masa se suele utilizar un sin fin de instrumentos dependiendo del peso del cuerpo. Entre los instrumentos más utilizados están las balanzas.

• Tiempo. La magnitud tiempo se define actualmente como la duración de 9.192.631.770

períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado base del átomo de cesio-133.(XIII Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967).

Otras unidades para la medición del tiempo son los minutos, horas, días, años, lustros, décadas o siglos de tal modo que se dan las siguientes relaciones:

1 milenio = 1000 años

1 siglo = 100 años.

1 lustro = 5 años.

1 año = 365 días y 7 horas.

1 día = 24 horas

1 hora = 60 minutos.

1 minuto = 60 segundos.

En este sentido, la magnitud tiempo es frecuentemente utilizada mediante las dos formas posibles: compleja (se determina mediante varias unidades de medición) e incompleja (se utiliza una sola unidad de medición).

El instrumento básico para la medición del tiempo es el reloj. Existen muchos tipos de relojes desde el antiguo reloj de arena, relojes solares que permiten medir las estaciones del año, meses o años hasta los sofisticados relojes digitales.

• Temperatura. La temperatura mide el nivel térmico de los cuerpos, es decir su nivel de

calor o de frío. La unidad de medida es el grado Kelvin(K), de modo que el 0º K es el considerado cero real ya que, según el científico Lord Kelvin, ningún cuerpo experimenta ningún tipo de enfriamiento por debajo de esa temperatura.

El Kelvin se define como la fracción 1/273´16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (XIII Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967).

Existen otras unidades de medición de la temperatura como son el grado centígrado (el más conocido en Europa) y el grado Fahrenheit, asociadas a sus correspondientes escalas Celsius y Fahrenheit respectivamente.

• La escala Celsius asigna el valor 0 al punto de fusión del helo y el valor 100 al de ebullición del agua.

• La escala Fahrenheit asigna el valor 32 al punto de fusión del hielo y 212 al de ebullición del agua. Esta escala es muy utilizada por los países anglosajones.

De este modo, las relaciones entre las escalas Celsius, Fahrenheit y Kelvín son las siguientes:

K = ºC + 273

º C = º F − 32 100 180

Todo instrumento que sirve para medir temperatura se denomina termómetro. Existen una infinidad de termómetros distintos: El más famoso es el termómetro de mercurio, que de distintas graduaciones se basa en el ascenso o descenso de esta sustancia dentro de un recipiente normalmente alargado. También existen termómetros digitales que no utilizan mercurio.

Las otras tres magnitudes fundamentales son Intensidad de corriente, Intensidad luminosa y Cantidad de sustancia que escapan de los contenidos de la Enseñanza Primaria. Las restantes magnitudes físicas son consideradas como derivadas de las anteriores en tanto que se pueden expresar mediante relaciones o leyes físicas en función de estas. La medición de ángulos se originó a partir de la astronomía, ciencia aplicada que sirvió a los navegantes para no perderse en los océanos y mares. Su unidad de medida es el grado teniendo como submúltiplos a los minutos (1º = 60´) y los segundos (1´= 60´´). El aparato más básico para medir ángulos es el transportador.

Por otra parte, medir una magnitud es compararla con otra de la misma naturaleza, llamada unidad, para averiguar el número de veces que la contiene. El resultado de medir una magnitud hace que distingamos dos tipos de magnitudes: Escalares (medidas por un número seguido de la unidad empleada) y vectoriales (medidas por un vector).

La magnitud dinero responde a utilidades económicas y de intercambio. Muchas son las unidades de medida que han utilizado las diversas civilizaciones, países, etc. durante todo el proceso de evolución del ser humano. Desde los antiguos dracmas griegos o los sestercios romanos, hasta los actuales dólares o euro. Cada unidad monetaria tiene sus correspondientes múltiplos y submúltiplos que van preferentemente marcados por los tipos de monedas y billetes del sistema. En otros tiempos las monedas se tallaban en metales muy valiosos como el oro, plata, bronce, platino. Actualmente las monedas carecen prácticamente de valor.

En ocasiones ocurre que para medir, la exactitud que deseamos no coincide con el número total de dígitos que se nos plantean inicialmente. En ese caso, se utilizan los siguientes procesos de estimación:

1. Aproximación por cifras significativas o truncamiento. En determinadas situaciones se

opta por estimar o aproximar un número decimal dado mediante un número k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las

siguientes por cero. Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los números sin transformar se denomina dígito más significativo.

2. Aproximación mediante notación científica (No se trabaja en Ed. Primaria). Este

proceso se utiliza usualmente cuando el número a utilizar para los cálculos es demasiado grande o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra

forma de expresar los dígitos significativos de un número aproximado es escribirlo en

notación científica, es decir, del modo siguiente (a0 + a-1 · 10-1 + . . . + a-p · 10-p) · 10m, la serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de 10 se denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número entre 1 y 9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se vuelve muy útil.

3. Proceso de aproximación. Una aproximación de un número decimal hasta cierta posición

(decenas, unidades, décimas, . . . ) es una truncamiento a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición y que podemos hacer por defecto o exceso dependiendo si disminuimos o aumentamos una unidad en la cifra de posición que señalamos respectivamente.

4. Proceso de redondeo. Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas,

unidades, décimas, . . . ) es una aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición. Se trata de tomar la más cercana de las estimaciones de aproximación por defecto o por exceso a la posición señalada. Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última haremos lo siguiente:

� Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5.

� Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.

2.2. Diversas situaciones de enseñanza aprendizaje con “Medida”. 2.2.1. Medición de longitudes.

A) Uso de la pulgada, el palmo, el codo y el pie. Se trata de que el alumno comience a medir mediante unidades de medida corporales y que compare con otros compañeros para deducir diferencias y la necesidad de establecer una unidad para todos. (Primer y segundo ciclo).

B) Uso del metro. Se trata de que el alumno comience a medir mediante un metro y que

compare con otros compañeros para deducir que no hay diferencias. (Primer y segundo ciclo).

C) Cambio de submúltiplos en la unidad del metro. Se trata de que el alumno se

familiarice con las principales transformación de múltiplos y submúltiplos del metro y la multiplicación y división entre la unidad seguida de ceros (Tercer ciclo).

2.2.2. Medición de capacidades.

A) Uso de vasos de distintos tamaños y formas. Se trata de que el alumno comience a medir capacidades mediante vasos de muy distintos tamaños y formas para que vea la complejidad y las diferencias que se crean. Se puede preguntar primeramente una estimación del número de vasos que harán falta para medir alguna cantidad establecida respecto a distintos tipos de vasos. (primer y segundo ciclo)

B) Uso de vasos graduados, botellas o latas. Se trata de que el alumno comience a

medir con determinados recipientes de los que conozca previamente su capacidad máxima según el S.I. como latas de 33 cL, botellas de plástico de 1 L o 2 L. Es interesante que se compare con otros compañeros para comprobar las diferencias. (primer y segundo ciclo).

2.2.3. Medición del tiempo.

A) Creación de un reloj analógico con cartulina. Se trata de que el alumno se familiarice con el reloj analógico y mediante preguntas vaya asimilando los cuartos y medias horas (Primer y segundo ciclo).

B) Creación de un calendario con cartulina. Se trata de que el alumno se familiarice

con el calendario y asimile los días de cada mes, los días de la semana y los días del año. (Primer y segundo ciclo)

C) Paso de forma incompleja a forma compleja y viceversa en mediciones horarias.

Se trata de que el alumno se familiarice con la transformación de horas, a minutos y minutos a segundos y viceversa sabiendo responder de modo incomplejo y complejo según se pida.(Tercer ciclo)

2.2.4. Medición de ángulos.

A) Comparación de ángulos con representaciones de ángulos creados en cartulina. Se trata de que el alumno se familiarice con los ángulos de 45º, 60º, 30º, 90º, 180º y 270º a partir de representaciones hechas y medición de algunos ángulos a partir de su comparación (ángulos de 120º, 225º, …). (Segundo y tercer ciclo)

B) Creación de un transportador en cartulina y medición con el mismo. Se trata de

que el alumno se familiarice con los ángulos más importantes a partir de su construcción de un transportador en cartulina a partir de un transportador de plástico (90º, 45º, 60º, 30º). (Tercer ciclo).

C) Paso de forma incompleja a forma compleja y viceversa en mediciones de

ángulos. Se trata de que el alumno se familiarice con la transformación de grados, a minutos y minutos a segundos y viceversa sabiendo responder de modo incomplejo y complejo según se pida.(Tercer ciclo)

2.2.5. Medición de áreas.

A) Medición de superficies a partir de un cuadrado de 1 cm de lado. Se trata de utilizar papel milimetrado para medir diversas superficies que se delimitan mediante un trazado cerrado en el papel. El alumno, que tiene el cuadrado creado también en cartulina o papel va contando el número de veces que cabe la unidad en la superficie. También se puede hacer contando cuadros en el propio papel. (Tercer ciclo).

B) Uso de baldosas en la pared o en el suelo para medir superficies. Se trata de,

tomando algún tipo de baldosa cuadrada como modelo, estimar o medir superficies y áreas de paredes y suelos. (Tercer ciclo).

2.2.6. Medición de dinero.

A) Creación de monedas y billetes de cartulina y creación de un mercadito. Se trata de que los alumnos sepan dar las vueltas correctamente.

B) Dibujar las posibles vueltas de cantidades a pagar cuando se da un billete y

sobra. Se trata de que el alumno se familiarice con el físico de las monedas a través de el cálculo de la vuelta y a continuación (con determinadas restricciones) represente las monedas que le devolverán al pagar con un billete que excede la cantidad a pagar.

3. BIBLIOGRAFÍA

Algunos libros y referencias con los que se confeccionó el material o para ampliar son: - ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y









Madrid. Síntesis.



Madrid. Síntesis.



Madrid. Santillana.





Síntesis.



integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio detallado

de los correspondientes temas básicos del currículo. Asimismo, el libro ofrece una aproximación

disciplinar propia y original a las nociones relacionadas con la formación en Didáctica de la

Matemática. - CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”.











educativa de calidad. Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo

curricular, los principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula

junto con las adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del

currículum y un repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la temática

de la investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los principales paradigmas de

investigación didáctica y los métodos de investigación más relevantes utilizados en didáctica con

un énfasis especial en la Investigación-Acción.








Scientiae. 1976. Manual de física universitaria para profundizar sobre los aspectos tratados en el tema.











tradición pedagógica de los logros integrados y vinculados con la realidad. - TORRÁ, M.: Construir las Matemáticas en la Educación Primaria. Ediciones Proyecto Sur.




4. WEBGRAFIA.

Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado. - http://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409




como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.







algunos de los contenidos de este tema. - http://www.aula21.net/







otras páginas educativas de la red. - http://www.portaldidactico.org/

Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias.

- http://www.eduteka.org/webquest.php3

Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias.

Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad de

buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos. - http://www.educamadrid.org

Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software,

recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red,

como utilizar las TIC en el aula… - http://www.educaweb.com/




Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias

actuales sobre el ámbito educativo. - http://dewey.uab.es/pmarques/

Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos, revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 3:


Geometría.

ÍNDICE. 1. NECESIDAD DE LOS NÚMEROS Y OPERACIONES A LO LARGO DE LA

HISTORIA.

2. DIVERSAS SITUACIONES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE CON “NÚMEROS Y OPERACIONES”



2.3. Operaciones.


3. BIBLIOGRAFIA.

4. WEBGRAFIA.

1. Necesidad de la geometría a lo largo de la historia.

El nacimiento de la Geometría está ligado al problema de determinación de áreas y volúmenes de objetos diversos. Los primeros testimonios escritos de que disponemos sobre reglas de cálculo de áreas y volúmenes se remontan a más de 4.000 años de antigüedad. Son resultados obtenidos en las antiguas civilizaciones de Egipto y Babilonia.

Muchos son los que sostienen que la geometría fue especialmente importante para los Egipcios que tenían que sufrir las crecidas del Nilo en determinadas estaciones, anegando sus cultivos. Esto les exigía medir los campos de cultivo para, después de cada crecida, volver a repartir las superficies sin agua mediante las mismas áreas.

Hace unos 2.500 años los Griegos se hicieron cargo de tales resultados y los aplicaron profusamente para medidas de territorios. De hecho el origen de la palabra geometría en griego es medida de la tierra.

La antigua Grecia tiene un papel fundamental en el desarrollo de la Geometría. Los poliedros regulares son conocidos por Platón. El teorema de Pitágoras es demostrado por los griegos (aunque los egipcios anteriores ya lo conocían). La teoría de proporcionalidad es iniciada por Tales de Mileto.

El estudio de problemas sobre los triángulos se originó como consecuencia de las necesidades de la astronomía y dio lugar a la trigonometría. Los astrónomos griegos eran expertos en el uso de los resultados básicos de la trigonometría y particularmente en la trigonometría esférica, que se desarrolló antes que la plana.

Los científicos griegos descubrieron numerosas propiedades geométricas y establecieron una teoría basada en dos aspectos:

• Se admitían una serie de propiedades, llamadas axiomas o postulados, que se

suponían evidentes a partir de la experiencia del mundo real.

• A partir de los axiomas y mediante deducción lógica se generaban nuevas propiedades.

Sobre una época cercana al año 300 antes de Cristo, la teoría de la Geometría establecida por los griegos fue escrita y compilada en los “Elementos de la Geometría” de Euclides. Este tratado de 13 libros recopila todo el saber matemático en cuanto a geometría, aritmética, proporción, . . . hasta la fecha tanto en resultados como en técnicas utilizadas. El término “Elementos” no quiere expresar “elementariedad” sino “fundamentos”.

Hasta el final del siglo diecinueve la llamada geometría Euclidea, incluida su extensión al espacio tridimensional, era el único modelo existente del espacio físico. Sus teoremas eran considerados como verdades innegables sobre el mundo en que vivimos.

Euclides basó su geometría del plano en cinco postulados, a partir de los que dedujo un gran conjunto de teoremas. Esos postulados sobre el plano pueden enunciarse en la forma siguiente:

Postulado 1. Dados dos puntos distintos, sólo hay una recta que pasa por ambos. Postulado 2. Cualquier segmento rectilíneo puede siempre prolongarse. Postulado 3. Una circunferencia puede construirse con centro en cualquier punto y radio

arbitrario. Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales. Postulado 5. Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo

lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Estos cinco postulados fueron considerados verdades evidentes. Los cuatro primeros son suficientemente simples y diversos y por ello fueron aceptados sin dificultad como lógicamente independientes (ninguno puede obtenerse de los otros por deducción). Sin embargo, el quinto fue considerado por muchos geómetras de la antigüedad como una consecuencia de los otros cuatro y multitud de intentos para probarlo fueron emprendidos lo que constituyó uno de los grandes problemas de la matemática clásica. El descubrimiento de otros sistemas de postulados no contradictorios para la geometría es debido fundamentalmente a los matemáticos Lovachevski (1793 –1856), Gauss (177-1855) y Bolyai (1802–1860). En el siglo XVII, Fermat y Descartes crean el método de las coordenadas (Geometría analítica), mientras que Newton y Leibnitz desarrollan los algoritmos de cálculo infinitesimal que van a permitir el posterior estudio de las curvas y superficies a partir de sus propiedades diferenciales. Posteriormente se desarrolla la geometría de los espacios vectoriales, muy vinculada al álgebra.

En 1827, Gauss introduce la geometría intrínseca de superficies utilizando las coordenadas curvilineas en lugar de las cartesianas. Se abren enormes vías de desarrollo para la Geometría. A mitad del siglo XIX, Riemann proporciona un nuevo impulso a la Geometría Diferencial de Gauss abordando el estudio de espacios de dimensión arbitraria sin asumir que están sumergidos en espacios Euclideos. Por último hay que reseñar, en cuanto a la geometría euclidea se refiere, que Hilbert a través de exposición de preguntas a resolver por la comunidad matemática en el siglo XX, impulsa la modernización de la axiomática Euclidea. El modelo de Kolmogorov y algunos otros responden actualmente a esa modernización.

2. Diversas situaciones de enseñanza aprendizaje con “Geometría”.

Tenemos en cuenta que el uso de la pizarra digital con algún programa informático adecuado puede servirnos para sustituir o evolucionar algunas de las actividades que presentamos.

2.1. Representación de ángulos y figuras planas.

A) Representación de figuras mediante palillos o plastilina. Se trata de representar figuras planas poligonales mediante palillos según algún patrón. (Primer ciclo).

B) Recorte de polígonos y figuras circulares. Se trata trabajar manipulativamente

mediante las tijeras para crear diversas figuras de tres lados, cuatro lados, … circulares e ir introduciendo nombres y características. (Primer, segundo ciclo)

C) Creación y representación de ángulos y figuras mediante geoplanos. Se trata de

crear un geoplano a partir de una tabla y alfileres, tornillos o palillos que se insertan. Con gomas se representan ángulos, figuras planas poligonales mediante el geoplano teniendo un modelo o patrón. También se puede utilizar uno ya hecho. (Primer, segundo y tercer ciclo).

Se puede también trabajar la competencia digital mediante geoplanos virtuales como el que hay en la página http://www.uco.es/~ma1marea/Recursos/Geoplano.swf

D) Creación y representación de ángulos mediante cartulina. Se trata de crear modelos de

ángulos que clasificamos y nombramos, con los cuales medir luego otros ángulos. (Tercer ciclo).

E) Medición de ángulos mediante transportador. (Tercer ciclo). F) Uso del programa de dibujo básico por ordenador para representación de figuras.

Aplicando la competencia digital podemos trabajar en la representación de figuras.

G) Creación y representación de figuras mediante Tangram. Se trata de crear un tangram

a partir de una cuartilla cortando según se indica en la figura. Después se pueden formar figuras de todo tipo y medir áreas en relación con las áreas de las figuras primitivas del Tangram. (Primer, segundo y tercer ciclo).

2.2.- Creación de cuerpos en el espacio.

A) Creación de cuerpos a partir de palillos y plastilina. Se trata de crear poliedros, pirámides, conos, cilindros, etc. a partir de palillos que se unen mediante bolas de plastilina. Luego se elabora una ficha con las características básicas de la figura.

B) Creación de cuerpos a partir del desarrollo plano. Se trata de crear el desarrollo

plano o bien recortarlo y pegarlo formando poliedros, pirámides, conos, cilindros, etc. Luego se elabora una ficha con las características básicas de la figura.

2.3. Simetrías, planos, escalas y coordenadas.

C) Creación de figuras simétricas con el geoplano. Se trataría de aplicar la simetría respecto a una recta o la simetría respecto a un punto utilizando distintas figuras iniciales establecidas. (Primer y segundo ciclo).

D) Creación de planos de la clase o de casa. Es un modo muy útil de representación de

espacios conocidos y orientación crear el plano de la casa o el aula del alumno. (Segundo y tercer ciclo).

E) Uso del programa de dibujo básico para mostrar el proceso de aumento o

disminución de tamaño y las escalas. Aplicando la competencia digital podemos trabajar en la representación de distintas figuras y luego las reducimos o aumentamos mediante el programa.

D) Uso del programa geogebra para representación de puntos. Aplicando la

competencia digital podemos trabajar en la representación de puntos mediante el programa gratuito geogebra que se puede encontrar en www.geogebra.org

2.4. Reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos.

A) Clasificación de fotografías de monumentos, pinturas o elementos de la naturaleza por las figuras que aparecen. Se trata de buscar lugares y objetos que podamos reconocer de modo inequívoco para que el alumno asigne nombre y explique propiedades y simetrías. Se puede plantear en plan concurso.

B) Excursión a algún museo de pintura o de ciencia o lugar conocido que tenga

elementos geométricos claramente reconocibles. Se trata de buscar lugares y donde podamos encontrar objetos que podamos reconocer de modo inequívoco para que el alumno asigne nombre y explique propiedades y simetrías.

2.5.- Observación de propiedades.

A) Juegos con palillos. Se trata de buscar regularidades y agudizar el sentido visual de nuestros alumnos.

Ejemplo: Quita dos palillos y deja entonces dos cuadrados. (Primer y segundo ciclo).

Ejemplo: Quita seis palillos y deja cuatro triángulos equiláteros.

B) Juegos con puntos y trazados. Se trata de distribuciones y trayectorias para agudizar el sentido visual de nuestros alumnos a la vez que trabajamos y nombramos elementos geométricos. (Primer y segundo ciclo)

Ejemplo: Recorre los nueve puntos con tres trazos sin levantar el bolígrafo del papel.

Ejemplo: Traza de una sola vez la figura sin levantar el bolígrafo del papel y sin repetir líneas.

C) Observaciones de propiedades. Se trata de buscar longitudes, áreas, o volúmenes

iguales o entre los que existan relaciones básicas que se puedan encontrar de modo visual pero con sentido crítico. Estos problemas agudizan el sentido visual y espacial del alumno (Tercer ciclo).

Ejemplo: Sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 4 cm, que E es el punto medio del segmento AB y F el punto donde se cortan las diagonales del cuadrado, ¿cuál es el área de la zona sombreada de la figura?

Ejemplo: Calcula el área del cuadrado grande BCEF sabiendo que el área del pequeño ABCD es de 10 cm

2.

Ejemplo: El círculo pequeño, cuya área es 4, pasa por el centro del círculo grande al que es tangente. ¿Cuál es el área del círculo grande?

3. BIBLIOGRAFÍA











Madrid. Síntesis.



Madrid. Síntesis.



Madrid. Santillana.





Síntesis.

El objetivo de este manual es proporcionar un marco conceptual sólido y unas herramientas

útiles tanto para la formación del profesorado de Matemáticas de la Educación Primaria como para su trabajo en el aula.


integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio detallado de

los correspondientes temas básicos del currículo. Asimismo, el libro ofrece una aproximación

disciplinar propia y original a las nociones relacionadas con la formación en Didáctica de la

Matemática. - CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”.











educativa de calidad. Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo

curricular, los principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula

junto con las adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del

currículum y un repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la temática

de la investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los principales paradigmas de

investigación didáctica y los métodos de investigación más relevantes utilizados en didáctica con

un énfasis especial en la Investigación-Acción.








Scientiae. 1976.












tradición pedagógica de los logros integrados y vinculados con la realidad. - TORRÁ, M.: Construir las Matemáticas en la Educación Primaria. Ediciones Proyecto Sur.

Obra totalmente aplicada e ideal para la ecuación primaria en el sentido de que ofrece contenidos manipulables a partir de piezas, cartulinas, trabajos con compás y regla, etc. para

alumnos que están aprendiendo geometría. - WEISSTEIN, E.W. (1999): CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman Hall.


4. WEBGRAFIA.

Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado. - http://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409



Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre como realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre como desarrollar la

labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.







algunos de los contenidos de este tema. - http://www.aula21.net/







otras páginas educativas de la red. - http://www.portaldidactico.org/

Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias.

- http://www.eduteka.org/webquest.php3

Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias.

Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad de

buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos. - http://www.educamadrid.org

Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software, recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red, como utilizar las TIC en el aula…





Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias

actuales sobre el ámbito educativo. - http://dewey.uab.es/pmarques/

Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos, revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 3:


Tratamiento de la Información. Azar y probabilidad.

ÍNDICE.

1. ANÁLISIS DEL RR.DD. DE MÍNIMOS SOBRE EL BLOQUE “TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN. AZAR Y PROBABILIDAD”. SECUENCIACIÓN POR CICLOS.

1.1. Pretensiones sobre el bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” en la Enseñanza Primaria.

1.2. Capacidades relacionadas con el bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad”.

1.3. Contenidos mínimos y criterios de evaluación del bloque de Tratamiento de la información. Azar y probabilidad en la Educación Primaria.

2. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE SITUACIONES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE SOBRE EL BLOQUE “TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN. AZAR Y PROBABILIDAD”.

2.1. Necesidad de los contenidos acerca de la Tratamiento de la información. Azar y probabilidad a lo largo de la historia.

2.2. Diversas situaciones de enseñanza aprendizaje con “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad”.

2.2.1. Realización de muestras mediante encuestas.

2.2.2. Creación de tablas y gráficas.

2.2.3. Cálculo de parámetros y probabilidades.

3. BIBLIOGRAFÍA.

4. WEBGRAFÍA.

ASIGNATURA: Matemáticas I UNIDAD 3: Tratamiento de la información. Azar y probabilidad.

2

1. ANÁLIS IS DEL R R. DD. DE M ÍNIM OS SOB RE EL B LOQ UE “

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN. AZAR Y PROBABILIDAD” . S ECUENC IAC IÓN PO R CICLOS.

1.1. Pret en sion e s sob re e l b loq u e “ Tratamiento de la información. Azar y probabilidad”

en la Enseñanza Primaria.

En preámbulo del RR.DD. 15/2006 sobre los contenidos mínimos en la especialidad de matemáticas en la Enseñanza Primaria, se señala y describe las pretensiones del bloque 4, “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” del siguiente modo:

Los contenidos del bloque 4, Tratamiento de la información, azar y probabilidad, adquieren su pleno significado cuando se presentan en conexión con actividades que implican a otras áreas de conocimiento. Igualmente el trabajo ha de incidir de forma significativa en la comprensión de las informaciones de los medios de comunicación, para suscitar el interés por los temas y ayudar a valorar el beneficio que los conocimientos estadísticos proporcionan ante la toma de decisiones, normalmente sobre cuestiones que estudian otras áreas. Tienen especial importancia en el bloque los contenidos actitudinales, que favorecen la presentación de los datos de forma ordenada y gráfica, y permiten descubrir que las matemáticas facilitan la resolución de problemas de la vida diaria. A su vez, los contenidos de este bloque deben iniciar en el uso crítico de la información recibida por diferentes medios.

Por tanto, lo que se pretende con la enseñanza del bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” se puede resumir en los siguientes puntos:

� Ser capaz de comprender informaciones de los medios de comunicación relacionadas

con tablas, estadísticas sencillas y gráficos estadísticos. � Valoración de las matemáticas por su modo riguroso de representar y ordenar datos y

por su aplicación en la vida cotidiana. � Iniciar los mecanismos de alerta ante informaciones recibidas en los medios.

1.2. Capacidades relacionadas con el bloque “Tratamiento de la información. Azar y

probabilidad”.

Las ocho capacidades que señala el RR.DD 1513/2006 en la Enseñanza de las Matemáticas dentro de la Etapa Primaria están lo suficientemente relacionadas unas con otras como para poder decir que todas contribuyen al trabajo de los contenidos del bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad”.

Es interesante destacar que la Tratamiento de la información. Azar y probabilidad se debe relacionar con todos los bloques de contenidos en la medida de lo posible, fomentando actitudes de rigor y ordenación. Podemos señalar como propias del bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” a las siguientes:

1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones

y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.


3

3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para

afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la

búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.


8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre

fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma.

1.3. Contenidos mínimos y criterios de evaluación del bloque de Tratamiento de la

información. Azar y probabilidad en la Educación Primaria.

Atendiendo al RRDD 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, tendremos que el bloque 4 “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” se desglosa en sus tres ciclos según los siguientes contenidos mínimos:

A) PRIMER CICLO

Gráficos estadísticos

� Descripción verbal, obtención de información cualitativa e interpretación de

elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos cercanos. � Utilización de técnicas elementales para la recogida y ordenación de datos en

contextos familiares y cercanos.

Carácter aleatorio de algunas experiencias

� Distinción entre lo imposible, lo seguro y aquello que es posible pero no seguro, y utilización en el lenguaje habitual, de expresiones relacionadas con la probabilidad.

� Participación y colaboración activa en el trabajo en equipo y el aprendizaje organizado a partir de la investigación sobre situaciones reales. Respeto por el trabajo de los demás.


4

Los criterios de evaluación que establece el Real Decreto en este primer ciclo, relacionados con el bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” son:

1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números

hasta el 999.

Este criterio pretende comprobar la capacidad de aplicar a situaciones inventadas los conocimientos adquiridos sobre el uso de los números. Se evaluará la capacidad para interpretar y emitir informaciones en situaciones familiares empleando números hasta el entorno del millar. Igualmente se pretende valorar el dominio sobre el valor de posición que tienen los números, en el orden de magnitud indicado, en el sistema decimal de numeración y la capacidad de asociar escritura cifrada y denominaciones orales.

2. Comparar cantidades pequeñas de objetos, hechos o situaciones familiares, interpretando y expresando los resultados de la comparación, y ser capaces de redondear hasta la decena más cercana.

Se trata de apreciar la capacidad para estimar cantidades pequeñas de objetos, de forma oral o mediante escritura cifrada, como etapa previa al cálculo exacto. Una vez realizado el conteo o la operación, se debe valorar la capacidad de contraste con la estimación previa. Asimismo, se valorará si saben redondear, escogiendo entre las respuestas razonables, el resultado de un cálculo hasta la decena más cercana.


Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los cálculos de sumas, restas y multiplicaciones, la estructura del sistema decimal de numeración, mostrando flexibilidad a la hora de elegir el procedimiento más conveniente. Debe prestarse especial atención a la capacidad para desarrollar estrategias propias de cálculo mental en contextos habituales. Se valorará también la aplicación intuitiva de las propiedades de las operaciones y la capacidad de explicar oralmente los razonamientos.

7. Realizar interpretaciones elementales de los datos presentados en gráficas de

barras. Formular y resolver sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos.

Con este criterio se trata de valorar la capacidad de interpretar gráficos sencillos de situaciones familiares y verificar la habilidad para reconocer gráficamente informaciones cuantificables. También se pretende evaluar si los niños y las niñas están familiarizados con conceptos y términos básicos sobre el azar: seguro, posible, imposible...


Con este criterio se pretende evaluar la capacidad de seleccionar y aplicar la operación adecuada a la situación problemática a resolver. Es asimismo importante observar la capacidad de emplear más de un procedimiento y la madurez que se manifiesta en la expresión oral y escrita del proceso de resolución.


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B) SEGUNDO CICLO

Gráficos y tablas

� Tablas de datos. Iniciación al uso de estrategias eficaces de recuento de datos. � Recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares

utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición. � Lectura e interpretación de tablas de doble entrada de uso habitual en la vida

cotidiana. � Interpretación y descripción verbal de elementos significativos de gráficos sencillos

relativos a fenómenos familiares. � Disposición a la elaboración y presentación de gráficos y tablas de forma ordenada

y clara.


� Valoración de los resultados de experiencias en las que inter viene el azar, para apreciar que hay sucesos más o menos probables y la imposibilidad de predecir un resultado concreto.

� Introducción al lenguaje del azar. � Confianza en las propias posibilidades, y curiosidad, interés y constancia en la

interpretación de datos presentados de forma gráfica.

Los criterios de evaluación que establece el Real Decreto en el segundo ciclo, relacionados con el bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” son:

1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de números naturales de

hasta seis cifras, interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por el valor posicional y en la recta numérica.

Este criterio pretende comprobar el manejo, en situaciones reales, de la representación de cantidades de hasta seis cifras, partiendo del concepto de valor de posición. Igualmente se trata de verificar, en contextos de la vida cotidiana, la capacidad de interpretar y expresar situaciones con cantidades de la mencionada magnitud, de dominar la organización de la serie escrita de las cifras de un número y de situarlo en la recta.

2. Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del

sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los cálculos la estructura del sistema decimal de numeración y las propiedades de las operaciones, mostrando flexibilidad a la hora de elegir el procedimiento más adecuado, si bien debe prestarse especial atención al dominio de los algoritmos escritos.


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7. Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenar estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el resultado de forma de tabla o gráfica.

Este criterio trata de valorar la capacidad para realizar un efectivo recuento de datos y representar el resultado utilizando los gráficos estadísticos más adecuados a la situación. Es asimismo motivo de evaluación la capacidad para describir e interpretar gráficos sencillos relativos a situaciones familiares.

8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación,

aplicando dos operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o tratamiento de la información y utilizando estrategias personales de resolución.

Este criterio trata de comprobar la capacidad para utilizar estrategias personales para la resolución de problemas y para aplicar los conocimientos adquiridos. Es asimismo importante observar la facultad de emplear más de un procedimiento y la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y la expresión, oral y escrita, de forma ordenada el proceso seguido.

C) TERCER CICLO

Gráficos y parámetros estadísticos

� Recogida y registro de datos utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición.

� Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos. � Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se

presentan a través de gráficos estadísticos. � La media aritmética, la moda y el rango, aplicación a situaciones familiares. � Disposición a la elaboración y presentación de gráficos y tablas de forma ordenada

y clara. � Obtención y utilización de información para la realización de gráficos.


� Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un

suceso. � Valoración de la necesidad de reflexión, razonamiento y perseverancia para superar

las dificultades implícitas en la resolución de problemas. � Confianza en las propias posibilidades e interés por utilizar las herramientas

tecnológicas en la comprensión de los contenidos funcionales.


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Los criterios de evaluación que establece el Real Decreto en el tercer ciclo, relacionados con el bloque “Tratamiento de la información. Azar y probabilidad” son:

1. Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de

números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas).

Con este criterio se pretende comprobar el manejo, en situaciones tomadas de la vida real, de diferentes tipos de números, interpretando su valor y siendo capaces de comparar e intercalar números escritos de diferentes maneras.


Se trata de comprobar la capacidad de operar con los números y el conocimiento sobre la jerarquía de las operaciones. Igualmente, se trata de apreciar la utilización de las propiedades de las operaciones, las estrategias personales y los diferentes procedimientos que se utilizan según la naturaleza del cálculo que se ha de realizar (algoritmos escritos, cálculo mental, tanteo, estimación, calculadora), decidiendo sobre el uso más adecuado.


Con este criterio se pretende comprobar la utilización de los diferentes tipos de números en contextos reales, estableciendo equivalencias entre ellos, y la capacidad

7. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos al entorno inmediato. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado (posible, imposible, seguro, más o menos probable) de situaciones sencillas en las que intervenga el azar y comprobar dicho resultado.

Este criterio trata de comprobar la capacidad de recoger y registrar una información que se pueda cuantificar, de utilizar algunos recursos sencillos de representación gráfica: tablas de datos, bloques de barras, diagramas lineales... y de comprender y comunicar la información así expresada. Además, se comprobará que se empieza a constatar que hay sucesos imposibles, sucesos que con casi toda seguridad se producen, o que se repiten, siendo más o menos probable esta repetición. Estas nociones estarán basadas en la experiencia.

8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.

Este criterio está dirigido especialmente a comprobar la capacidad en la resolución de problemas, atendiendo al proceso seguido. Se trata de verificar que ante un problema los alumnos y las alumnas tratan de resolverlo de forma lógica y reflexiva y comprobar que comprenden la importancia que el orden y la claridad tienen en la presentación de los datos y en la búsqueda de la solución correcta, para detectar los posibles errores, para explicar el razonamiento seguido y para argumentar sobre la validez de una solución.


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2. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE SITUACIONES DE ENSEÑA NZA APRENDIZAJE

SOBRE EL B LOQ UE “ TRATAMIENTO DE LA INFORM ACIÓN. AZAR Y PROBABILIDAD”.

2.1. Necesidad de la Tratamiento de la información. Azar y probabilidad a lo largo de la

historia.

En nuestros días los métodos estadísticos ocupan un lugar prominente en las distintas ciencias tanto naturales como sociales y constituyen una de las herramientas más utilizadas y apreciadas por los investigadores. La estadística actual es el resultado de la confluencia de dos disciplinas que evolucionaron independientemente hasta unirse en un cuerpo común hacia el siglo XIX:

El cálculo de probabilidades que nace en el siglo XVII como teoría matemática de los juegos de azar (dados, barajas, lotería, etc.).

La "estadística" (o ciencia del estado, del latín Status) que estudia la descripción de datos y tiene raíces muy antiguas (los primeros censos conocidos se remontan a los chinos, realizados 2.000 años a.C.).

La integración de ambas líneas de investigación ha dado lugar a una ciencia experimental interdisciplinar basada en el empleo de modelos matemáticos propios. La estadística proporciona también una metodología para evaluar y juzgar las discrepancias de sus modelos respecto de la realidad.

Los primeros resultados de la estadística y probabilidad se remontan a la resolución del reparto de partidas interrumpidas que planteaba el Caballero de Meré a Pascal y Fermat. Ambos dan resultados sorprendentes que inician la teoría de probabilidades sobre la que se asentarán posteriores escritos de Bernoulli, Laplace y Poisson.

Los orígenes de la estadística inferencial están ligados a la teoría de errores y al método de ajuste por mínimos cuadrados (Gauss y Markov). La teoría moderna del muestreo, la estimación y el contraste de hipótesis se debe a la escuela anglo-americana (Fisher, Pearson y Neyman).

La estadística es, aparte de un importante objeto de estudio como parte de las matemáticas, una de las más importantes herramientas de las ciencias aplicadas y de la técnica. Los datos numéricos son la información más habitual que extraemos del mundo que nos rodea y la estadística se utiliza siempre que es necesario analizar datos como, por ejemplo, en las ciencias de la naturaleza como la física, la química, la biología, economía, sociología o medicina.


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2.2. Diversa s sit u acion es d e en señ an za ap ren d i zaj e con “ Tratamiento de la información.

Azar y probabilidad”.


2.2.1. Realización de muestras mediante encuestas.

El muestreo es una de las herramientas primeras de la Estadística y probabilidad. Consiste en tomar una colección de objetos de la población que imiten a pequeña escala la respuesta de dicha población.

En nuestro caso podemos motivar al alumnado interviniendo en el proceso de creación de la muestra mediante encuestas, ya sea con sus compañeros o en su familia y amigos.

En este sentido podemos crear hábitos y buenas prácticas en nuestro alumnado a partir de la participación en procesos de encuestación y podemos hacer que consoliden su socialización.

En este sentido podemos pedir:

A) Encuesta sobre el número de piezas de fruta que comen diariamente. B) Encuesta sobre el número de amigos que tienen en el colegio. C) Encuesta sobre el número de horas que ven diariamente la televisión. D) Número de veces que se duchan a la semana.

2.2.2. Creación de tablas y gráficas.

A) Búsqueda de tablas y gráficas en informaciones en prensa, radio, tv.

B) Creación de murales de tablas y gráficas sobre alguna experiencia que hayan

encuestado previamente o sobre alguna información en prensa.

C) Creación de gráficas y tablas a partir de datos de una muestra. Ejemplo. Los 20 alumnos de una clase han lanzado un dado de seis caras anotando el resultado. Estos son los valores obtenidos:

5 4 3 5 6 1 2 3 6 1 4 6 1 2 3 1 2 4 5 6

Representar la muestra mediante una tabla de frecuencias y dibujar su diagrama de barras asociado.

D) Uso de hojas de cálculo para representar y ordenar datos estadísticos. Se trata

de que demos al alumno los datos para que ellos creen una tabla donde poder poner los datos de un modo ordenado y luego crear un diagrama de barras o sectorial.


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2.2.3. Cálculo de parámetros y probabilidades.

A) Interpretación de gráficas y aproximación de sus parámetros de centralización

a partir de la observación. Se trataría de aplicar la intuición para conocer los valores de la media, moda y mediana a partir de gráficos con diagrama de barras.

B) Creación de murales de medidas de centralización sobre alguna experiencia que

hayan encuestado previamente o sobre alguna información en prensa.

C) Cálculo de la media en el lanzamiento de una moneda. Se trata de llevar a cabo una experiencia con todos los alumnos a la vez, lanzando una moneda y calculando el número de caras que aparecen. A continuación se calcula la probabilidad de cara. Se vuelve a repetir el experimento y se suma a los datos anteriores. La importancia radica en que la probabilidad debe acomodarse en torno a 0´5 si las monedas son correctas.

D) Cálculo del número medio de veces que hay que lanzar un dado hasta que sale

un 6. Se trata de llevar a cabo una experiencia con todos los alumnos a la vez, lanzando un dado hasta que aparece un 6. A continuación se calcula la media. Se vuelve a repetir el experimento y se suma a los datos anteriores. La importancia radica en que la media se estabiliza en torno a un valor fijo (6).

E) Cálculo de medidas de centralización a partir de datos de una muestra. Ejemplo.

Los 20 alumnos de una clase han lanzado un dado de seis caras anotando el resultado. Estos son los valores obtenidos:

5 4 3 5 6 1 2 3 6 1 4 6 1 2 3 1 2 4 5 6

Calcular la media, moda y mediana.

F) Cálculo de la probabilidad de que una aguja toque una línea según el experimento de Buffon. El experimento “La aguja de Buffon” relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie plana en la que previamente hemos dibujado líneas paralelas con una distancia fija d. Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre dicha superficie, la probabilidad de que la aguja toque a una línea es L·π/d·2

G) Cálculo de la probabilidad de que dos alumnos coincidan en su cumpleaños. Se

trata de encuestar un número determinado de personas preguntando la fecha (día y mes) de nacimiento. La probabilidad de que un conjunto de n individuos tenga dos o más personas coincidentes en su día de cumpleaños es

H) Cálculo de probabilidades a partir de la regla de Laplace. Se Trata de idear experiencias en que sepamos cual es la probabilidad de que ocurra un suceso. Luego se realiza la experiencia un número alto de veces para ver la cercanía de la media a la probabilidad.


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3. BIBLIOGRAFÍA


- ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso mas), Santillana, 2006.


- ÁLVAREZ, Mª D.; MIRANDA, A. Y.; PARRA, S.; REDONDO, R.; SANTOS, T.: Matemáticas 3º ESO (Serie Practica), Santillana, 2006.





Madrid. Síntesis.



Madrid. Síntesis.



Madrid. Santillana.





Síntesis.




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- ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica general. Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha.




- GUZMAN, MIGUEL DE (2006): Para pensar mejor: desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos. Editorial Pirámide.


- LEVY-LEBLOND, J: On the conceptual nature of the Physical constants. Cahiers Fundamenta Scientiae. 1976.







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5. WEBGRAFIA.












- http://www.cnice.mecd.es/ Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo incorporar las TIC en el aula y fuera de ella, acceso a recursos educativos y tecnológicos para diferentes materias; también existe acceso a cursos de formación permanente del profesorado, recursos educativos para alumnos y para profesores y se puede enlazar con otras páginas educativas de la red.


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UNIDAD 3:

La matemática en Educación Primaria. Resolución de problemas matemáticos en

Educación Primaria.

ÍNDICE.

1. ANÁLISIS DEL RR.DD. DE MÍNIMOS SOBRE EL TRATAMIENTO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA. SECUENCIACIÓN POR CICLOS.

1.1. Pretensiones sobre la resolución de problemas matemáticos en la Enseñanza Primaria.

1.2. Capacidades relacionadas con la resolución de problemas matemáticos en la Enseñanza Primaria.

1.3. Contenidos mínimos y criterios de evaluación relacionados con la resolución de problemas matemáticos en la Educación Primaria.

2. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE SITUACIONES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

2.1. Necesidad de los contenidos acerca de la resolución de problemas a lo largo de la historia.

2.2. Diversas situaciones de enseñanza aprendizaje con la resolución de problemas.

3. BIBLIOGRAFÍA.

4. WEBGRAFÍA.

ASIGNATURA: Matemáticas I UNIDAD 6: Resolución de problemas matemáticos en la Educación Primaria.

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1. ANÁLISIS DEL RR.DD. DE MÍNIMOS SOBRE EL TRATAMIE NTO DE LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA. SECUENCIACIÓN POR CICLOS.

1.1. Pretensiones sobre la resolución de problemas matemáticos en la Enseñanza

Primaria.

En preámbulo del RR.DD. 15/2006 sobre los contenidos mínimos en la especialidad de matemáticas en la Enseñanza Primaria, se señala y describe las pretensiones sobre la resolución de problemas del siguiente modo:

El sentido de esta área en la Educación primaria es eminentemente experiencial; los contenidos de aprendizaje toman como referencia lo que resulta familiar y cercano al alumnado, y se abordan en contextos de resolución de problemas y de contraste de puntos de vista. Los niños y las niñas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para adquirir progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos previos.

Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo que se va revisando durante la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados.

Por tanto, lo que se pretende en cuanto a resolución de problemas se puede resumir en los siguientes puntos:

� Que la resolución de problemas sean el eje fundamental del aprendizaje. � Que mediante la resolución de problemas se afiancen capacidades como la

comprensión lectora, la reflexión, el razonamiento, la creación de pautas para llegar al resultado y la comprobación y estimación de la solución.

� Dotar de sentido a los contenidos matemáticos en tanto que se aplican en la resolución de problemas.

1.2. Capacidades relacionadas con la resolución de problemas matemáticos en la

Enseñanza Primaria.

Las ocho capacidades que señala el RR.DD 1513/2006 en la Enseñanza de las Matemáticas dentro de la Etapa Primaria están contribuyen a la resolución de problemas como no puede ser de otra manera puesto que la resolución de problemas es el eje fundamental sobre el que tienen que girar todos los bloques de contenidos y las capacidades a asimilar. Mostramos las ocho capacidades y cómo demandan el trabajo sobre la resolución de problemas.


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1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones

y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se

requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.

3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y

reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para

afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así

como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la

búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.


8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre

fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma.

1.3. Contenidos mínimos y criterios de evaluación relacionados con la resolución de

problemas matemáticos en la Educación Primaria.

Atendiendo al RRDD 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, podemos señalar algunos de los muchos contenidos mínimos que están relacionados directa o indirectamente con la resolución de problemas:

A) PRIMER CICLO

BLOQUE “NÚMEROS Y OPERACIONES”

Números naturales

� Recuento, medida, ordenación y expresión de cantidades en situaciones de la vida cotidiana.

� Orden y relaciones entre números. Comparación de números en contextos familiares.


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Operaciones

� Disposición para utilizar los números, sus relaciones y operaciones para obtener y

expresar información, para la interpretación de mensajes y para resolver problemas en situaciones reales.

Estrategias de cálculo

� Desarrollo de estrategias personales de cálculo mental para la búsqueda del

complemento de un número a la decena inmediatamente superior, para el cálculo de dobles y mitades de cantidades y para resolver problemas de sumas y restas.

� Resolución de problemas que impliquen la realización de cálculos, explicando oralmente el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

� Confianza en las propias posibilidades, y curiosidad, interés y constancia en la búsqueda de soluciones.

BLOQUE 2: MEDIDA.

Longitud, peso/masa y capacidad

� Elaboración y utilización de estrategias personales para medir. � Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la

medición.

Medida del tiempo

� Confianza en las propias posibilidades y por compartir con los demás los procesos que utilizan la medida para obtener y expresar informaciones y para resolver problemas en situaciones reales.

BLOQUE 3: GEOMETRÍA.

La situación en el espacio, distancias y giros

� Interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios y elaboración de los

mismos.

Regularidades y simetrías

� Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos.

� Interpretación de mensajes que contengan informaciones sobre relaciones espaciales.

� Resolución de problemas geométricos explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

� Confianza en las propias posibilidades; curiosidad, interés y constancia en la búsqueda de soluciones.


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BLOQUE 4: TRATAMIENTO DE LA INFORMAC IÓN. AZAR Y PROBABILIDAD.

Gráficos estadísticos

� Descripción verbal, obtención de información cualitativa e interpretación de

elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos cercanos. � Utilización de técnicas elementales para la recogida y ordenación de datos en

contextos familiares y cercanos.


� Distinción entre lo imposible, lo seguro y aquello que es posible pero no seguro, y utilización en el lenguaje habitual, de expresiones relacionadas con la probabilidad.

� Participación y colaboración activa en el trabajo en equipo y el aprendizaje organizado a partir de la investigación sobre situaciones reales. Respeto por el trabajo de los demás.

En cuanto a los criterios de evaluación que establece el Real Decreto en este primer ciclo , algunos de los que están relacionados con la resolución de problemas son:

1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números

hasta el 999.


7. Realizar interpretaciones elementales de los datos presentados en gráficas de barras. Formular y resolver sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos.


B) SEGUNDO CICLO

BLOQUE 1: NÚMEROS Y OPERACIONES.

Números naturales y fracciones.

� Sistema de numeración decimal. Valor de posición de las cifras. Su uso en situaciones reales.

� Números fraccionarios para expresar particiones y relaciones en contextos reales, utilización del vocabulario apropiado.


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Operaciones

� Utilización en contextos reales de la división para repartir y para agrupar. � Interés para la utilización de los números y el cálculo numérico para resolver

problemas en situaciones reales, explicando oralmente y por escrito los procesos de resolución y los resultados obtenidos.


� Utilización de los algoritmos estándar, en contextos de resolución de problemas, de

suma, resta, multiplicación y división por una cifra. � Utilización de estrategias personales de cálculo mental. � Estimación del resultado de una operación entre dos números, valorando si la

respuesta es razonable. � Utilización de la calculadora en la resolución de problemas de la vida cotidiana,

decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos.

� Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar los números, sus relaciones y operaciones para obtener y expresar informaciones, manifestando iniciativa personal en los procesos de resolución de problemas de la vida cotidiana.

� Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones.

BLOQUE 2: MEDIDA.

Longitud, peso/masa y capacidad

� Unidades de medida convencionales: múltiplos y submúltiplos de uso cotidiano,

utilización en contextos reales. Elección de la unidad más adecuada para la expresión de una medida.

� Elaboración y utilización de estrategias personales para medir. � Estimación de medidas de objetos de la vida cotidiana. � Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la

medición.

Medida del tiempo

� Confianza en las propias posibilidades y por compartir con los demás los procesos que utilizan la medida para obtener y expresar informaciones y para resolver problemas en situaciones reales.


La situación en el espacio, distancias y giros

� Interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios y elaboración de los

mismos.


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Formas planas y espaciales

� Identificación de los cuerpos geométricos en objetos familiares. Descripción de su

forma, utilizando el vocabulario geométrico básico.


� Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos.

� Resolución de problemas geométricos explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

� Confianza en las propias posibilidades; curiosidad, interés y constancia en la búsqueda de soluciones.


Gráficos y tablas

� Tablas de datos. Iniciación al uso de estrategias eficaces de recuento de datos. � Recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares

utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición. � Lectura e interpretación de tablas de doble entrada de uso habitual en la vida

cotidiana.


� Confianza en las propias posibilidades, y curiosidad, interés y constancia en la interpretación de datos presentados de forma gráfica.

En cuanto a los criterios de evaluación que establece el Real Decreto en este segundo ciclo, algunos de los que están relacionados con la resolución de problemas son:

1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de números naturales de

hasta seis cifras, interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por el valor posicional y en la recta numérica.

2. Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del

sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

5. Obtener información puntual y describir una representación espacial (croquis de

un itinerario, plano de una pista...) tomando como referencia objetos familiares y utilizar las nociones básicas de movimientos geométricos, para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana y para valorar expresiones artísticas.

7. Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana utilizando técnicas

sencillas de recuento, ordenar estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el resultado de forma de tabla o gráfica.


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8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación, aplicando dos operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o tratamiento de la información y utilizando estrategias personales de resolución.

C) TERCER CICLO

BLOQUE 1: NÚMEROS Y OPERACIONES.

Números enteros, decimales y fracciones.

� Números positivos y negativos. Utilización en contextos reales. � Números decimales. Valor de posición y equivalencias. Uso de los números

decimales en la vida cotidiana. � Ordenación de números enteros, de decimales y de fracciones por comparación y

representación gráfica.


� Utilización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números, en situaciones cotidianas y en contextos de resolución de problemas.

� Calculo de tantos por ciento básicos en situaciones reales. � Estimación del resultado de un cálculo y valoración de respuestas numéricas

razonables. � Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias personales de

cálculo mental y relaciones entre los números, explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

� Utilización de la calculadora en la resolución de problemas, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos.

� Capacidad para formular razonamientos y para argumentar sobre la validez de una solución identificando, en su caso, los errores.

� Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo, manifestando iniciativa para resolver problemas que implican la aplicación de los contenidos estudiados

BLOQUE 2: MEDIDA.

Longitud, peso/masa, capacidad y superficie

� Desarrollo de estrategias personales para medir figuras de manera exacta y aproximada.

� Estimación de longitudes, superficies, pesos y capacidades de objetos y espacios conocidos; elección de la unidad y de los instrumentos más adecuados para medir y expresar una medida.

� Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en mediciones y estimaciones.


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Medida del tiempo

� Equivalencias y transformaciones entre horas, minutos y segundos, en situaciones

reales.

Medida de ángulos

� Utilización de la medición y las medidas para resolver problemas y comprender y transmitir informaciones.


La situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros.

� Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros...


� Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones de

incertidumbre relacionadas con la organización y utilización del espacio. Confianza en las propias posibilidades para utilizar las construcciones geométricas y los objetos y las relaciones espaciales para resolver problemas en situaciones reales.


Gráficos y parámetros estadísticos

� Recogida y registro de datos utilizando técnicas elementales de encuesta,

observación y medición. � Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos. � Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se

presentan a través de gráficos estadísticos. � La media aritmética, la moda y el rango, aplicación a situaciones familiares. � Obtención y utilización de información para la realización de gráficos.


� Valoración de la necesidad de reflexión, razonamiento y perseverancia para superar

las dificultades implícitas en la resolución de problemas. � Confianza en las propias posibilidades e interés por utilizar las herramientas

tecnológicas en la comprensión de los contenidos funcionales.

En cuanto a los criterios de evaluación que establece el Real Decreto en este tercer ciclo, algunos de los que están relacionados con la resolución de problemas son:



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5. Utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad, simetría,

perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.

6. Interpretar una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de casas y

maquetas) realizada a partir de un sistema de referencia y de objetos o situaciones familiares.

7. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos

relativos al entorno inmediato. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado (posible, imposible, seguro, más o menos probable) de situaciones sencillas en las que intervenga el azar y comprobar dicho resultado.

8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución

razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.

2. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE SITUACIONES DE ENSEÑA NZA APRENDIZAJE

SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

2.1. Necesidad de la resolución de problemas a lo largo de la historia.

Desde la más lejana antigüedad se ha intentado dar pautas para la enseñanza a la resolución de cualquier tipo de problema, ya sea por agrupando problemas, ya sea estableciendo técnicas o determinando modelos.

Así, la aparición de tablas de barro, documentos y papiros de las principales civilizaciones (egipcia, Babilónica, etc.) nos dan clara idea de que, en aquella época, se instruían en la resolución de problemas mediante ejemplos de grupos de problemas concretos, así como en las operaciones básicas. Su método de resolución de problemas consistía en aprender el problema tipo o ejemplo en que se instruía, reconocerlo en otros problemas con otros datos diferentes y aplicar el mismo razonamiento que en el del ejemplo.

Por otro lado, nos consta la aparición de escuelas, sobre todo las de los grandes filósofos atenienses, donde se instruía, entre otras muchas cosas, en la resolución de problemas matemáticos. Algunas de las más importantes fueron las de Sócrates (470-399 a.C.), Platón (428-347 a.C.), o Pitágoras (500 a.C.).


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En el siglo III A.C., Euclides de Alejandría escribió “Elementos de la geometría” que, compuesto por XIII libros, deja constancia de casi todo el saber matemático de la época mediante proposiciones y demostraciones donde se dejan ver métodos y técnicas heurísticas (métodos de razonamiento deductivo, inductivo, reducción al absurdo, etc.) en pos de la solución de cada uno de los enunciados que se propone demostrar. Es un perfecto manual de técnicas acerca de cómo resolver proporciones matemáticas.

En la Edad Media y en la India, entre los siglos V-VII, los matemáticos Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara consiguen desarrollar un lenguaje simbólico que permite plantear desarrollar y resolver problemas: son los inicios del lenguaje algebraico.

Una de las escuelas más importantes que surgieron en este periodo (S.VI d.C.) fue la escuela de Bagdad, donde se profundizó en la utilización del lenguaje algebraico para la resolución de problemas matemáticos generales. Representantes de esta escuela son Alkwarizmi, quien determinó un algoritmo para la resolución de la ecuación polinómica de segundo grado, y Al Batani (858-929), que elaboró estrategias para la resolución de problemas como así refleja el tratado sobre Algebra escrito por Omar Khayyan en el siglo XII.

En la Edad Media en Europa, surgen las universidades en donde se trabajan manuales ya escritos en épocas anteriores en pos de la resolución de problemas prácticos, ofreciendo determinados modelos para algunas situaciones especıficas.

En la época Moderna, y sobre todo renacentista resurge con fuerza el pensamiento y actividad matemática gracias al capitalismo y a la universalización del sistema de numeración hindú-arábigo.

El filósofo R. Descartes (s. XVI) cree haber descubierto un método general que permite resolver cualquier problema geométrico mediante su sistema de coordenadas cartesianas y trata de generalizar tal logro a todo el saber matemático buscando y dictando reglas que permitan resolver y demostrar casi cualquier problema o proposición. Así imprimió a la matemática de un carácter deductivo y lógico extraordinario en pos de demostrar y resolver problemas mediante una gran educación heurística.

Otros grandes pensadores y matemáticos fueron, Euler (s XVII), quien trabaja ya plenamente técnicas heurísticas como la analogía, el análisis de posibilidades, generalización, etc. siendo uno de los más prolíficos matemáticos en la creación de técnicas generales de resolución de problemas y demostraciones; o J. L. Lagrange (1736- 1813) da pautas para la resolución general de las ecuaciones numéricas, en la cual se exponen dos estrategias para la resolución de problemas utilizando como recurso las ecuaciones numéricas simples.

B. Bolzano (1781-1848), en su libro Wissenschaftslebre dirigido a la lógica, dedicó una extensa parte a la heurística.


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En los albores del siglo XX, las matemáticas comienza una profunda reconversión a raíz de las contradicciones de la magnifica teoría de conjuntos. Esto trae como consecuencia la revisión de todos los argumentos y estrategias matemáticas de demostración y resolución a la vez que a la axiomatización de muchas partes de las matemáticas como Hilbert (s.XX) expone en su famosa exposición de 1904.

Bajo estas circunstancias, en el campo de la resolución de problemas aparecieron los trabajos del matemático francés H. Poincare (1854-1912), quien se ocupó sobremanera en la metodología general de la ciencia; y los escritos de J. Hadamard (1865-1963) proponiendo un esquema más profundo para explicar el proceso de creación matemática.

En 1945, el matemático y pedagogo húngaro, G Polya escribe el libro “How to Solve It”, que junto con el trabajo “Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis” marcan las bases del tratamiento y análisis de la resolución de problemas mediante modelos y técnicas heurísticas.

Polya y Hadamard abrieron el camino a la formalización de conceptos como problema, algoritmo, etc. muy utilizados en la enseñanza de las Matemáticas. Entre los muchos modelos de resolución de problemas, uno de los más populares y quizá el más difundido entre los educadores es el modelo de Polya. La gran ventaja de este modelo es la simplicidad del mismo. La gran desventaja es que no se explicita suficientemente como llevar a cabo cada una de sus partes. Presentamos aquí las cuatro fases de que consta y una sucinta explicación de cada una de ellas:

• Comprensión del problema, consiste en asimilar cual es el objetivo/s del problema,

cuales son los datos que se nos dan, etc.

• Elaborar la estrategia, consiste en trazarse un plan para llegar hasta la solución del problema. Así, se observarán las relaciones que existen entre los datos conocidos y desconocidos; se investigarán los concepto/s matemáticos que subyacen en el interior del problema; se indagará sobre el tipo de cálculos que vamos a desempeñar; e incluso se buscarán mentalmente problemas similares o analogías con alguno anterior ya resuelto.

• Aplicación de la estrategia, es la fase en la que se ejecuta el plan. Una vez establecido el camino o ruta a seguir, se van efectuando todos los razonamientos deductivos e inductivos junto con los cálculos a que dan lugar para llegar a los resultados o conclusiones.

• Vista retrospectiva. Habiendo resuelto mediante nuestra estrategia el problema, debemos volver al enunciado y verificar que los valores alcanzados satisfacen todas y cada una de las condiciones impuestas por el mismo.

Inspirados en las ideas de Polya y Hadamard, psicólogos como Shaldon (1954), Rubinstein (1965) o Kantowski (1981) entre otros, van a ir desarrollando y explicitando los modernos modelos y técnicas heurísticas de resolución de problemas.


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2.2. Diversas situaciones de enseñanza aprendizaje con la resolución de problemas.


Dentro del modelo de Polya y más concretamente en la fase de elaboración de la estrategia, se debe crear en el alumno un verdadero “banco de estrategias heurísticas” a las cuales consciente o inconscientemente tienda el alumno ante cualquier planteamiento problemático.

Conocer y añadir nuevas técnicas a las ya asimiladas proporcionará al alumnado de más posibilidades para la resolución de problemas a la vez que aumentará la seguridad y autoestima y se estimulará el gusto por las matemáticas.

Entre otros muchos, existen tres grupos de heurísticos bastante amplios y definidos que podemos definir del siguiente modo:

• GENERALIZACIÓN. Se trata de extraer una conclusión universal para cualquier

situación a partir de la comprobación de las distintas posibilidades y regularidades que obtenemos mediante algunos ejemplos.

Este método está sujeto a las leyes de inducción matemáticas aunque el proceso complejo y completo de inducción y la demostración de la ley general no se pueden llevar a cabo a edades tan tempranas. Sin embargo, el alumnado si que está en situación de poder observar o conjeturar la ley general.

La búsqueda y exposición de la ley general se puede potenciar a partir de trabajos sistemáticos como:

o Realizar varios ejemplos distintos. o Comparar los resultados obtenidos en función de los datos utilizados y observar las

regularidades.

o Comprobar las regularidades encontradas mediante nuevos ejemplos más distanciados.

o Enunciar de modo simbólico, gráfico o lingüístico la ley general. o Plantearse la duda de si se cumplirá siempre la ley general.

Ejemplo: Plantear el método para el cálculo del ángulo central de un polígono regular de n lados.

Solución: Utilizando distintas representaciones para el caso del triángulo, cuadrado, pentágono, etc.


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360º / 3 = 60º 360º / 4 = 90º 360º / 5 = 72º

se puede llegar a comprobar que la ley general consiste en dividir 360º entre el número de lados n del polígono (360º /n).

• ANALOGÍA. Esta estrategia está basada en la comparación y por lo tanto necesita de

cierta experiencia previa en la resolución de problemas. Se trata por tanto de buscar un modelo conocido que pueda utilizarse para la nueva problemática aún cuando no sea exactamente igual.

Por lo tanto, previamente habrá un proceso de descarte observando si las diferencias entre cualquier proceso conocido son fundamentales como para apartarlo. En Educación primaria la búsqueda de comparación de modelos se realiza mediante tres tipos fundamentales: modelos físicos (objetos que nos permiten resolver el problema de modo fácil), gráficos (dibujos, esquemas que nos permiten la resolución) y simbólicos (símbolos, nomenclatura y lenguajes que nos ayudan)

Ejemplo. Resolver el siguiente ejercicio por analogía gráfica.

Si en casa tengo tres camisas distintas y tres pantalones distintos, ¿de cuántas maneras diferentes puedo salir vestido de casa?.

Solución. Mediante un modelo gráfico de diagrama de árbol, tendremos que hay 3 x 3 = 9

Modos distintos de salir de casa vestido/a.

• PARTICULARIZACIÓN. Se busca la comprobación de una propiedad, ley general o

enunciado dado a partir de ejemplos con objetos, símbolos, etc. Existen dos típicas estrategias de particularización como son:

o Ensayo error, por la cual se hacen pruebas para llegar hasta la solución o la

propiedad buscada. Esta técnica puede ser:

� Por ensayo error fortuito, cuando no se tiene una idea clara de por dónde podemos encontrar la solución y se prueba al azar hasta encontrar la solución).


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� Por ensayo error sistemático, cuando nuestra elección se ciñe a los casos posibles

que se pueden dar.

� Por ensayo error dirigido, cuando nuestra elección siempre toma en cuenta los

casos posibles y las anteriores elecciones de tal modo que vamos acotando y maximizando la posibilidad de encontrar la solución.

Ejemplo: Buscar todos los capicúas de tres cifras cuya suma de cifras de 9.

El ensayo error fortuito nos llevará a encontrar todas las soluciones en un plazo de tiempo muy abierto y exagerado (dependiendo del azar y suerte que tengamos al escoger), mientras que el error sistemático nos hará buscar todos los números que sean capicúas y los que su suma de cifras sea 9

Números de tres cifras cuya suma de cifras es 9

Capicúas de 3 cifras

900, 810, 801, 720, 702, 711, 630, 603, 621, 612, 540, 504, 531, 513, 522, 450, 405, 441, 414, 423, 432, 360, 306, 351, 315, 342, 324, 333, 270, 207, 261, 216, 252, 225, 243, 234, 180, 108, 171, 117, 162, 126, 153, 135, 144

111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191

202, 212, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292

303,313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393

404,414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494

505,515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595

606,616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696

707,717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797

808,818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898

909,919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

De entre todos los números, los que cumplen ambas condiciones son: 414, 333, 252 y 171.

El ensayo – error dirigido, nos hará buscar sólo la lista de números de tres cifras cuyas suma de cifras es 9 y de entre ellos sólo nos quedaremos con los capicúas.

El Análisis de posibilidades, por la cual se exploran todas las posibilidades abiertas en encuentro de la solución a partir de las condiciones del problema.


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Otros métodos muy utilizados en la primaria son:

• COMENZAR EL EJERCICIO POR EL FINAL. Esta estrategia parte de la situación

temporal final del ejercicio y trata de descubrir la solución que es un valor de pasado razonando las operaciones al contrario de cómo las haríamos en caso de ir del principio al final.

Ejemplo: Resolver el siguiente problema: Rellena los círculos utilizando las operaciones inversas de las que aparecen y calcula el número inicial del laberinto

Utilizando la técnica de comenzar el ejercicio por el final, iremos realizando las operaciones opuestas a las que marca el esquema.

: 2 - 4 x 3

: 6

+2 x 5 - 4

: 2

+ 7 x 4 + 4

:7

- 9 : 4 x 8

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• BUSCAR UN PROBLEMA SIMILAR O MÁS FÁCIL: Esta técnica está inmersa en el grupo de heurísticos por analogía. Se trata de buscar en el banco de experiencias en resolución de problemas si hay algún problema que se parezca en sus datos y planteamiento al dado.

Ejemplo: ¿Cuántos números capicúas podremos crear de cuatro cifras con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?.

Sabemos que un número capicúa es un número que leído de derecha a izquierda y viceversa es el mismo. De este modo, un capicúa de cuatro cifras deberá tener la las unidades de millar igual a las unidades y las centenas igual a las decenas, como por ejemplo 2 3 3 2


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Por lo tanto, una vez determinadas las dos primeras cifras (unidades de millar y centenas), el capicúa está determinado. En ese caso un problema similar es encontrar la cantidad de números de dos cifras que podemos formar con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En ese caso, serán 100 – 10 = 90 ya que a los 100 números de dos cifras (00, 01, . . . , 99) le hemos de quitar todos aquellos que comiencen por 0 ya que estos no crearán capicúas.

• DIVIDIR EL PROBLEMA EN SUB-PROBLEMAS. Esta estrategia sólo tendrá éxito si

los sub-problemas que nos planteamos son sencillo y asequibles para nosotros.

Ejemplo: Resolver el siguiente problema mediante la estrategia de planteamiento de sub- problemas: En una frutería hay una balanza un tanto especial. No tiene graduador. Se pesaron manzanas, limones y peras del siguiente modo:

Primero se puso en un platillo dos manzanas y en el otro un limón y una pera quedando la balanza equilibrada

Luego se puso en un platillo cinco peras con un limón y en el otro cinco manzanas quedando nuevamente la balanza equilibrada

¿Cuántas manzanas harán falta para compensar la balanza compuesta en un platillo por cinco limones y una pera?

Solución. Los sub-problemas ha resolver serían los siguientes:

o Determinar el peso equivalente de una pera y una manzana o Determinar el peso en manzanas equivalente al de seis limones y seis peras o Determinar el peso de una pera y cinco limones.


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El primer problema está resuelto en la primera viñeta: una pera y un limón equivalen a dos manzanas.

El segundo problema se resuelve a partir de la primera conclusión: Si una pera y un limón equivalen a dos manzanas, seis peras y seis limones equivalen a doce manzanas.

El tercer problema se resuelve utilizando la conclusión anterior junto con la segunda viñeta observando que si a seis peras y seis limones equivalen a doce manzanas, y cinco peras y un limón equivalen a cinco manzanas, tendremos que al quitar cinco peras a las seis y un limón a los seis, tendremos que quitar cinco manzanas a las doce que hay, por lo que el peso equivalente pedido será siete manzanas.

3. BIBLIOGRAFÍA











Madrid. Síntesis.



Madrid. Síntesis.



Madrid. Santillana.



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Síntesis.



- CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”. Libro dedicado a desentrañar la evolución de los conocimientos matemáticos en la Etapa Primaria y la metodología a aplicar en esta etapa.










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Scientiae. 1976.










5. WEBGRAFIA.









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aÑo acadÉmico 2015/2016 facultad de ciencias sociales …

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