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MODULO: Matemáticas Discretas

NOMBRE DEL TRABAJO:

ANTOLOGÍA DE LAS UNIDADES SISTEMAS DE

NUMERACIÓN Y LÓGICA PROPOSICIONAL.

PROFESOR: Iván Azamar Palma ALUMNO: Martínez Contreras Cristian Yovani

GRUPO:4151 TURNO:VespertinoSEMESTRE:En curso 1°

CARRERA: ING. En sistemas Computacionales

A 11 de Octubre de 2011


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Objetivó:

Eh aquí una muestra del conocimiento adquirido durante el certamen

delasUnidades por esa razón se le considera unos de los pilares fundamentales

tanto el examen, con el proyecto (antología), que se realizara a fin de llegar al

punto donde reunamos todos nuestros conocimientos, y así poderlos poner en

práctica, se sabe de ante mano que no todo, es teoría por tal razón debemos de

dar a conocer, lo que aprendimos...

Mi principal objetivoes; conocer las partes que conformar nuestraLógica y saber

hasta dónde llega nuestro conocimiento por tal razón, formado por las

conversiones y Lógicas, propuestas.

Propósito.

Mi propósito es poner bien en claro cada parte de conversión, asi como ejercicios

de cómo hacer una práctica así, se toma en cuenta que no es importante entregar

la tarea si no lo que importa es el saber lo que estoy entregando.

Me he fijado que debemos de tomar en cuenta cada ejercicio cada tema para

poder, realizar éste tipo de trabajo así mismo, se considera, un ejemplo para que

si algún día llegase a ocupar de nuevo este trabajo me sea de utilidad y así poder

hacer más rápido lo que se busca.

Además de que todo esto me lleva a la experiencia formando un base de

conocimientos que ya deberías de saber en sí.


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Índice General N°. pág.

Sistemas de Numeración...…………….…………………………………………… …………………… (3) Conversión del sistema binario al decimal. ……………………………….……………………………. (4) Conversión del decimal al binario. ……………………… ..…………………………………………….. (5) Conversión del binario al hexadecimal..………..…………………………………………………….… ( ) Conversión del binario al octal. …………………………………………………………………….……. ( ) Sistema hexadecimal. ………………………………………………………………….…………………. ( ) Conversión del hexadecimal al binario. ……………………………………….………………………... ( ) Conversión del decimal al hexadecimal…..……………….……………………………………………. ( ) Conversión del hexadecimal al decimal. ……………………………………………….………………. ( ) Conversión del hexadecimal al octal. ……………………………….………………………………….. ( )

Sistema octal. ……………………………………………………………..……………………………….. ( ) Conversión del decimal al octal. ……………………………………….………………………………... ( ) Conversión del octal al decimal. ……………………………………..…………………………............. ( ) Conversión del octal al binario. …………………………………………………………………...….... ( ) Conversión del octal al hexadecimal. ………….……………………………………………………..… ( ) Suma en binario. ………………………..……………………….…………………………………………... ( )

Resta en binario. ……………………………………..………………….…………………………….……... ( )

Complemento a dos………………………………………………………………………………….( )

Complemento a uno…………………………………………………………………………………( )

Resta utilizando el complemento a dos……………………………………………………………...( ) Multiplicación en binario. ……………………...………………………………………………………….. ( ) División en binario. ……………………...………………………………………………………………… ( )


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Sistema de numeración. Son símbolos o letras que

representan un dato.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL:

Este Sistema de numeración lo utilizamos muy comúnmente, es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

BINARIO:

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), bueno en pocas palabras es como si fue un foco encendido y otro apagado.

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.

Ahora veamos la interacción entre Ambos sistemas,

el valor representado y asignado.

Numeración binaria Numeración decimal

0000 0

0001 1

0010 2

0011 3

0100 4

0101 5

0110 6

0111 7

1000 8

1001 9

1010 A

1011B

1100 C

1101 D

1110 E

1111 F


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Solo se da valores a cada 1 o 0 iniciando de derecha a izquierda comenzando por el 1 después el 2, 4, 8,16, 32, 64... Si te das cuenta el valor va al doble así sucesivamente dependiendo de la cantidad de dígitos que se manejen, luego

se multiplica el valor por el digito al que representa y posteriormente se suman todos.

CONVERSIÓN DEL SISTEMA BINARIO AL DECIMAL

Para la conversión de un número binario, a uno decimal es necesario

seguir algunos pasos por el cual yo lo entendí.

a) Tenemos nuestro numero

binario 1110

b) Tenemos el, 1110. Se le va a dar

valores de la siguiente manera el 0=1, el

1=2, 1=4,1=8 de derecha a izquierda

c) Únicamente se toman en cuenta para

realizar una suma aquellos valores, que tiene

el valor 1.

d) Entonces; se sumarian únicamente los

valores: 2 + 4 + 8, site das cuenta el 0 =1 no

se toma en cuenta ya que es cero.

e) Entonces la suma daría la siguiente

cantidad;2 + 4 + 8=14

CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARIO Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77/ 2 = 38 Resto: 1<mcd

38/ 2 = 19 Resto: 0

19/ 2 = 9Resto: 1

9 / 2 = 4Resto: 1

4 / 2 = 2Resto: 0

2 / 2 = 1Resto: 0

1 / 2 = 0Resto: 1<lcd

Y tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

¿Por qué entre 2? Ya que el sistema binario representa la base 2 Siempre los restos de la división entre 2 será; 0 ó 1


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CONVERSIÓN DEL SISTEMA BINARIO AL HEXADECIMAL

La conversión entre números binarios a

Hexadecimal se realiza agrupando cada

dígito hexadecimal a cuatro dígitos

binarios. Por ejemplo, para expresar en

hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de

cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente

hexadecimal, puedes ver la tabla:

1010-0111-00112

10102 = A1601112 = 71600112 = 316

Posteriormente únicamente se acomodan los dígitos A73, como se muestra:

Y, por tanto: 1010011100112 = A7316

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo.

Por ejemplo:

1011102 = 001011102 = 2E16

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, SE REPRESENTA COMO BASE 16


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CONVERSIÓN DEL SISTEMA BINARIO AL OCTAL

El método que utilizaremos es similar al

hexadecimal solo que aquí únicamente se agrupan de 3 en 3.

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema

binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de

numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en

"contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos

grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

101-001-011

1012 = 580012 = 180112 = 38

Esta forma es un poco más fácil, posteriormente se acomodan de acuerdo a su posición derecha a izquierda.

Y de ese modo: 1010010112 = 5138

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar queocupen. Se representa como base 8.


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SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL:

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F

representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,

porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno

de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula

mediante potencias de base 16.

En el sistema hexadecimal los números

se representan con dieciséis símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y

F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D,

E y F representando las cantidades

decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15

respectivamente, SE REPRESENTA

COMO BASE 16

¿Por qué se crearon estos dos sistemas?

Algunos números resultan muy largos. Por este motivo se

utilizan otros sistemas de numeración que resulten más

cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema

hexadecimal.


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CONVERSIÓN DEL SISTEMA HEXADECIMAL AL BINARIO

La conversión de números hexadecimales a

binarios se hace del mismo modo,

reemplazando cada dígito hexadecimal por

los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para

convertir a binario, por ejemplo, el número

hexadecimal 1F616hallaremos en la tabla las

siguientes equivalencias:

1-F-6

116 = 00012

F16 = 11112

616 = 01102

Únicamente se acomodan de orden consiguiente,

de tal forma que sea

Y, por tanto: 1F616 = 0001111101102

CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL HEXADECIMAL

Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un

número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal el

número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 / 16 = 108 Resto: 716

108 /16 = 6 Resto: C16 es decir, 1210

6 / 16 = 0 Resto: 616

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en

hexadecimal:

173510 = 6C716


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Se tendrá que multiplicar, cada valor hexadecimal por 16, y posteriormente de derecha a izquierda elevar potencias desde, 0, 1, 2, 3, 4, etc., sucesivamente dependiendo de cuantos dígitos hexadecimales allá.

CONVERSIÓN DEL SISTEMA HEXADECIMAL AL DECIMAL

Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16

Bueno esta es otra forma de encontrar el valor decimal;

Se tendrá que multiplicar, cada valor hexadecimal por 16, y posteriormente de derecha a izquierda elevar potencias desde, 0, 1, 2, 3, 4, etc., sucesivamente dependiendo de cuantos dígitos hexadecimales allá.

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160

De ante mano sabemos que los valores como A y F tienen un valor decimal y por tanto se sustituyen

Se tienen que aplicar las potencias, y multiplicaciones y finalmente se realizan la suma que nos dará, el valor decimal.

1A3F16 = 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910


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SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL:

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos

números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de

numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema

hexadecimal. Afortunadamente, resulta

muy fácil convertir un número binario a

octal o a hexadecimal.

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho

dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. El valor de cada una de las posiciones

viene determinado por las potencias de base 8, y por esta misma razón las

divisiones o multiplicaciones empleadas en la conversión son 8.

CONVERSIÓN DEL SISTEMA DECIMAL AL OCTAL

En el sistema de numeración octal,

los números se representan

mediante ocho dígitos diferentes: 0,

1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene,

naturalmente, un valor distinto

dependiendo del lugar queocupen.

Se representa como base 8.


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La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 / 8 = 15 Resto: 2

15 / 8 = 1 Resto: 7

1 / 8 = 0 Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

12210 = 1728

CONVERSIÓN DEL SISTEMA OCTAL AL DECIMAL

Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:

Este método es parecido en la conversión de hexadecimal a octal;

Se tendrá que multiplicar, cada valor octal por 8, y posteriormente de derecha a izquierda elevar potencias desde, 0, 1, 2, 3, 4, etc., sucesivamente dependiendo de cuantos dígitos octales allá.

2738 = 2*83 + 7*82 + 3*81 =

Se tienen que aplicar las potencias, y multiplicaciones y finalmente se realizan la suma que nos dará, el valor decimal.

2738 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738 = 149610

CONVERSIÓN DEL SISTEMA OCTAL AL BINARIO

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo

método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por

ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente

binario de cada uno de sus dígitos:

78 = 1112

58 = 1012

08 = 0002

Y, por tanto: 7508 = 1111010002


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+

+

SUMA EN BINARIA

Tratare de ser lo más explícito que se pueda para aprender a sumar, La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles para facilitar un poco conseguí esta pequeña tablita:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 + 1

De ante mano las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero qué pasa con las suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda.

0102 = 210 1012 = 510 1112 = 710

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1112 = 710 11112 = 710

11102 = 1410

Veamos algunos ejemplos:

001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

RESTA BINARIA

Toma en cuenta que 1+1=10 se deja el 0 y llevamos 1. Se coloca arriba del siguiente valor a sumar, y se realiza lo mismo, 1+1=0 llevamos 1 ahora se suma con el siguiente valor 0+1 =1


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--

--

--

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema

decimal. Ahora aquí al igual que la suma tiene

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de

la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse,

sumándola, a la posición siguiente.

1112 = 710

1012 = 510

010 2 = 210

1112 = 7

112 = 3

1002 = 4

1 1012 = 510

102 = 210

0112 = 310

Veamos algunos ejemplos:

10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410

COMPLEMENTO A DOS

En esta resta se ve una

complicación cuando

tenemos 0-1, en esta

parte se deja 1 y

llevamos 1, a la

siguiente resta.


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El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:

N = 4510 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112

Otro ejemplo es el siguiente: N=111012

Nuestra formula: C2N = 2n – N

N=2910 n= 5 25=32 entonces:C2N= 32-29 =3 = 000112

COMPLEMENTO A UNO

Esta es una forma de saltar el paso de complemento a dos únicamente se invierte los

valores de N y posteriormente se le suma 1.

Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:

N = 0110110101

N = 1011012

El complemento a uno es:

C1N = 1001001010

C1n = 010010

Y el complemento a dos es:

C2N = 1001001011

C2N = 010011

RESTA UTILIZANDO EL COMPLEMENTO A DOS


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Tenemos: 10101012 =85 01111112 =63 sustraendo 22

C2N=2n – N

N= 63 n= 7 27=128

C2N=27- 63 =128-63=65= 1000001

Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos.

N = 01111112

El complemento a uno es:

C1n = 1000000

Recuerda que se le suma 1 al complemento a 1 Y el complemento a dos es:

C2N =1000001

Ahora el resultado que nos da del sustraendo ya aplicado el complemento a 2 se le hace la suma al valor de arriba: 1 10101012 =85 110000012 =65 10010110 = 22

Ahora trataremos que la resta sea más fácil, y te

preguntaras por que utilizar el complemento 2, ya que hay

menores posibilidades de equivocación, al restar, ahora

veamos cómo se aplica.

- Ahora aplicare el complemento

a dos al sustraendo

Como te diste cuanta aplique el complemento a 2, es un poco más complicado ahora para verificar lo hare con el complemento a1.

Para mi forma de ver es más

rápido aplicar el complemento

a 1 y como vez llegamos a un

más rápido que aplicando el

complemento a dos, llegando al

mismo resultado.

+ Bueno ya haciendo la suma, se da cuenta

que efectivamente, da el resultado. NOTA:

el último valor de la suma de la izquierda

jamás se toma en cuenta.


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MULTIPLICACION BINARIA

La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:

En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

Bueno encontré este ejemplo: complicado no está solo es cuestión de realizar las sumas correctamente.

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537


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DIVISIÓN BINARIA

Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el

cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 / 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el

mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se

intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100).

Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.


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LOGICA PROPOSICIONAL

Conectivas lógicas

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la

lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos

que se utilizan para representarlas.

Conectiva

Expresión en el

lenguaje

natural

Ejemplo

Símbolo en

este

artículo

Símbolos

alternativos

Negación no No está lloviendo.

Conjunción y Está lloviendo y está nublado.

.

Disyunción o Está lloviendo o está soleado.

Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día.

Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes

visibles.

Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.

Disyunción

excluyente o bien... o bien

O bien está soleado, o bien está

nublado.


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En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad.

Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de

verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad

V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la

función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo

verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está

lloviendo».

El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como

funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de

verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede

recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse

mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a

todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.

TABLAS DE VERDAD

La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles

interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la fórmula y el valor de

verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad

para la fórmula sería:

Como se ve, esta fórmula tiene 2n interpretaciones posibles —una por cada línea de la

tabla—, donde n es el número de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) ,

y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las

variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa termina siendo V.


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Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra de Boole. El Álgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon publicó un libro llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés", estableciendo los primeros conceptos de la actual teoría de la conmutación, cuando se ha producido un aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Álgebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede realizarse con rapidez.

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole



http://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_l%C3%B3gico


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