Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanMateria: Clculo Integral Catedrtico: Ing. Zerafn Hernndez Aguilar Alumnos: Domnguez Grepo Germn De Jess Hiplito Prodigios Cruz Lpez Cecilia Nahayely Hernndez Chis Modesto Martnez Fararoni Jaime Xolo Minquiz Pablo

*Antologa de la Unidad III Aplicaciones de la integral* Observaciones:_______________________________________________ ____________________________________________________________

Clculo Integral

Unidad III Aplicaciones de la integral

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Acayucan, Veracruz a 4 de marzo de 2012

ndice:

3.1 reas2 pg. 3.1.1 rea bajo la grfica de una funcin 3 pg. 3.1.2 rea entre as grficas de funciones

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3.1 REAS:Problema del clculo de un rea

Si A es el rea buscada se tiene: SD < A < SE Cuando el nmero de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las reas por defecto (SD) y por exceso (SE) coincidirn y ese valor comn ser el rea encerrada (Intuitivo. No lo formalizamos, si necesitas ms teora visita este enlace Integracin)

A ese valor se le llama la integral definida de f en [a, b]. Se escribir:

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reas de recintos planos Geomtricamente la integral definida mide el rea comprendida entre la curva y = f(x) (f positiva en [a, b] ) el eje de las X y las rectas x = a y x = b. A ab Ejemplo 1. Vamos a expresar mediante una integral el rea del trapecio de vrtices: (3, 0), (15, 0), (15, 15) y (3, 3), (ver figura) Necesitamos conocer la expresin de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), en este caso es trivial, es y = x.

El rea viene dada por: A = Relacin entre la integral definida y la indefinida La regla de Barrow nos relaciona las primitivas de una funcin con la integral definida, y es lo que utilizaremos para el clculo de reas planas. Regla de Barrow

Si f es continua en [a, b] y G es una primitiva de f Ejemplo 2. El valor del rea del ejemplo 1 es:

=

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A= = = (comprobarlo) rea encerrada entre dos curvas Teniendo en cuenta los resultados anteriores el rea que encierra una curva f con el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b se puede calcular as: , ya que de esta manera ser la funcin siempre positiva. Ejemplo 3. Calcula el rea del recinto determinado por la parbola y =x-x2 y el eje OX. Solucin = =

El rea encerrada por dos curvas f y g entre a y b ser Ejemplo 4. Halla el rea de la regin comprendida entre las curvas determinadas por f(x)=4x2 y g(x)=3x2. Solucin.

Dibujamos el recinto. Los lmites de integracin son las abscisas de los puntos de corte de las grficas, que se obtienen al resolver el sistema (Comprobar que dan -1 y 1)

Por tanto A =

3.1.1 REA BAJO LA GRAFICA DE LA FUNCINDefinicin de integral definida. rea bajo la grafica de una funcin

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Unidad III Aplicaciones de la integral, ). tal que toma solo valores NO

Sea una funcin continua en el intervalo negativos en dicho intervalo (

Nos planteamos el siguiente problema: Como podemos calcular el rea comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones en la figura de abajo: y , la grafica de la funcin y el eje X? El rea que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul

Esta rea es el valor de la integral entre

y de y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un nmero, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la funcin que se integra ). Veamos una manera de dar una solucin aproximada al problema que nos plantebamos (el calculo de dicha rea).

Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud limites de estos intervalos mas pequeos son:

. Los

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donde

.

Para

construyamos el rectngulo cuya base es el intervalo . , terminamos con rectngulos. La suma de sus

y cuya altura es de longitud Haciendo esto para

areas es una aproximacin al rea bajo la grafica de que queremos calcular. En general, cuanto mayor sea mejor aproximacin ser la suma de las reas de los

rectngulos a As, cuando :

.

Uno podra esperar que la aproximacin obtenida sea peor que si se considera un nmero mayor de rectngulos, por ejemplo :

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Llamemos

a la suma de los rectngulos as construidos. Se tiene que:

Es decir, infinito.

tiende a

cuando el nmero de rectngulos,

, tiende a

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la funcin toma valores NO negativos en el intervalo las rectas verticales de ecuaciones X? . Que pasara si tomase valores NO positivos y , la grafica de la funcin y el eje en dicho intervalo? En este caso, como podemos calcular el rea comprendida entre

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Unidad III Aplicaciones de la integralseria aplicable al caso ,

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso pero ahora:

y el rea sobre la grafica de la funcin es

Siendo la integral definida

NO positiva porque

.

El rea aproximada bajo el grfico de una funcin puede formularse al representar un rectngulo pequeo de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la funcin en el medio del intervalo correspondiente.

3.1.2. REA ENTRE LOS GRFICOS DE FUNCIONESSi lo que se quiere es calcular el rea se proceder as:

1. Si f(x)>0 en el intervalo [a,b] , el rea =

2. Si f(x)0 y [c,b] donde f(x)