ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA

PERSONAJESTales de Mileto 548-545 aC.Filósofo, astrónomo y matemático griego nació en Mileto en el año 624 a. de C. de acuerdo con el pensador griego Apolodoro, y murió a la edad de 78 años.Tales es el padre tradicional de la matemática griega. Simboliza las circunstancias bajo las cuales los fundamentos, no solamente de la matemática moderna, sino también de la ciencia y de la filosofía, fueron establecidasUna de las anécdotas que se cuentan de su vida es cuando estuvo encargado de unas mulas cargadas con sacos de sal; en su camino, al cruzar el río, una mula resbaló; la sal se disolvió y su carga se aligeró. El animal entonces se sumergía mañosamente cada vez que tenía que cruzar un río. Tales encontró la solución para darle una lección a la mula: la cargó con un saco de esponjas.Tales estableció cinco teoremas:1. El círculo se bisecta por su diámetro.2. Los ángulos de la base de un triángulo con dos lados iguales son iguales.3. Los ángulos opuestos de líneas rectas que se intersectan, son iguales.4. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son congruentes.5. El ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo rectoTeorema de Tales:Si dos rectas r y r’ se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra.

Díaz Gómez, José Luis. TALES DE MILETO. Sin editorial. Vol. 1, No. 1, Enero 2002. Páginas: 13-17.

Pitágoras 569-475 aC.Nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C. La Escuela Pitagórica, al parecer fundada por Pitágoras, fue una asociación religiosa y política además de filosófica. Para acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos alimentos y observar el celibato (permanecer soltero). En los grados más altos, los pitagóricos vivían en completa comunidad de bienes. Las enseñanzas de los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado Pitágoras, fundador de la escuela.Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.Algunos de los descubrimientos matemáticos que se le atribuyen son:El teorema de PitágorasLos números IrracionalesLa clasificación de los números (triangulares, cuadrados y perfectos)Los sólidos cósmicos (octaedro, icosaedro, tetraedro, dodecaedro y cubo)

Algunos recuentos sugieren que visitó los templos y participó en discusiones con los sacerdotes, iniciándose en los ritos y creencias que luego impondría a la sociedad que fundó en Italia.

Vi el 25 de agosto de 2015, en: http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/pitagor.htm

Platón 427-347 aC.Nace el año 428-427 en Atenas, o quizás en Aegina. Pertenecía a una familia noble.Tras el regreso a Atenas, después de su primer viaje, Platón funda en el año 387 la Academia, en un bosque cercano a Atenas dedicado al héroe Akademos. La Academia está pensada según el modelo de las sedes pitagóricas de las cuales es heredera. Los estudios de la Academia tendrían que ver con el conjunto de disciplinas necesarias para la formación de los filósofos gobernates, tal como se presentan en el libro VII de la República: la aritmética (522 c), la geometría (526 c), astronomía (528 e), música (531 a-c), y dialéctica (532-537).Platón matematiza toda la realidad, pero no sólo la realidad física, sino también la esfera espiritual –lo moral, lo estético, lo político, etc.– en un ambicioso proyecto que quiere abarcar la globalidad de la naturaleza y del ser humano –las estructuras matemáticas gobiernan no sólo «la naturaleza del alma humana», sino también «la naturaleza del alma del mundo» (Timeo, 34b–36d)–. Para Platón las Matemáticas están dotadas de un carácter de necesidad divina, lo que sintetiza en la máxima «Dios siempre hace Geometría» –frase atribuida a Platón por Plutarco. Con Platón la Geometría se convierte en un instrumento heurístico medular de toda su obra, que recoge el pálpito y el sentir de toda la cultura griega.Es justamente en el terreno matemático en el que mejor se ilustra la Teoría de las ideas de Platón. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.El Timeo es un grandioso mito cosmogónico de raíz pitagórica donde Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de toda la naturaleza. La acción demiúrgica del Dios geómetra soberano geometriza el universo y lo diseña según las leyes de la Matemática, disponiendo los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (Timeo, 53a–53b). Con un inusitado despliegue de fantasía geométrico-cósmica, Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica mediante una trasferencia de propiedades del mundo matemático al mundo natural. Platon en la Academia de Atenas. Cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–.

Visto el 25 de agosto de 2015, en: http://www.filosofia.org/bio/platon.htm

Arquímedes 287-212 aC.Arquímedes fue un notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.Se cree que nació en Siracusa en la isla de Sicilia en el año 287 a.C. En aquella época, Siracusa era un asentamiento griego. Se cree también que era hijo de Phidias, un astrónomo. Pertenecía a una clase social elevada, amigo o familiar del rey Hierón II, lo que le permitió estudiar en Alejandría.En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.Hizo una buena aproximación del número π (pi), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares a una circunferencia. Descubrió teoremas sobre el centro de gravedad de figuras planas y sólidos.Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos colaboró con las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, en 212 a.C., fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: 'No desordenes mis diagramas'.

Visto el 25 de agosto de 2015, en: http://www.astromia.com/biografias/arquimedes.htm

Euclides 325-265 aC.Fue un matemático. Se conoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno al año 300 a.c. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón. Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías no euclídeas.Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides, que ofrecemos a continuación, son: I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

 IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/euclides/euclid.htm

Hypatia de Alejandría 370-415 dC.Se cree que Hipatia nació en Alejandría y vivió entre los finales del siglo IV y los inicios del V. El año exacto de su nacimiento es un tema controversial, pero la mayoría de las fuentes le dan mayor valor al 370. Era hija de un reconocido filósofo, matemático y astrónomo llamado Theon, quien probablemente impartía clases en la Biblioteca de Serapeo, centro de la vida intelectual y cultural griega.Al parecer escribió varios libros sobre matemáticas y astronomía, entre ellos 13 volúmenes de Comentarios al álgebra de Diofanto y el Canon Astronómico. También editó el tercer libro de su padre, Comentarios al Almagesto de Ptolomeo, y lo asistió a la hora de producir una nueva versión de los Elementos de Euclides.  Lamentablemente todo el trabajo científico de Hipatia se perdió, excepto algunos títulos y referencias que otros autores hacen sobre estos. En las cartas de Sinesio de Cirene se señala que esta singular mujer construyó un astrolabio, un hidroscopio y un hidrómetro graduado de latón, lo cual habla mucho de su creatividad tecnológica y de su inteligencia.Hipatia tiene dedicado el asteroide 238 Hypatia (descubierto en 1884) y el cráter lunar Hipatya fueron bautizados con su nombre en su honor. Este último se sitúa junto a los cráteres que recuerdan a su padre Teón y a los patriarcas Cirilo y Teófilo, unos 70 Km. al norte del cráter se halla un sistema de canales de 180 Km. de longitud llamado Rimae Hypatia, al sur del ecuador lunar, a lo largo del mar de la Tranquilidad.Uno de los descubrimientos propiciados por el afán de resolver los tres enigmas clásicos previos fue el de las figuras o secciones cónicas –las curvas que se generan por la intersección de un plano con un cono, tal y como se ilustra en la figura adyacente- y sus propiedades. Y de las cuáles los matemáticos griegos, sobre todo a raíz de la publicación de Las Cónicas de Apolonio, vislumbraron que contenían muchas de las claves que podían explicar muchos fenómenos naturales y entre los que destacaba el movimiento de los cuerpos celestes.Una de las más destacadas aplicaciones que de la geometría hicieron los griegos fue el estudio del movimiento de los distintos cuerpos celestes. Uno de los primeros, el mismo Apolunio, considerado uno de los fundadores de la astronomía y que aplicó modelos geométricos para explicar el movimiento planetario. Un campo en el que constituyó un hito fundamental la publicación del Almagesto de Ptolomeo una recopilación de todos los conocimientos astronómicos de la época que aplica la geometría para su análisis. Y una disciplina en la que Hipatia jugo una activa y decisiva participación. Al ayudar a su padre en sus Comentarios a la obra tolemaíca, y al procesar los valores documentados por Ptolomeo, fue capaz de deducir nuevas conclusiones matemáticas que aquel no había constatado. Y que luego aplicó para elaborar las tablas de los movimientos de los astros que conforman su Canon astronómico, sobre el que se sustenta su fama como astrónoma.

Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.batanga.com/curiosidades/3933/hipatia-de-alejandria-primera-mujer-cientifica-de-la-historia y http://www.quo.es/ser-humano/problemas-hipatia

Leonardo Pisano Fibonacci 1170-1215 dC.Matemático italiano que difundió en Occidente los conocimientos científicos del mundo árabe, los cuales recopiló en el Liber Abaci (Libro del ábaco). Popularizó el uso de las cifras árabes y expuso los principios de la trigonometría en su obra Practica Geometriae (Práctica de la geometría).Considerado como el primer algebrista de Europa (cronológicamente hablando) y como el introductor del sistema numérico árabe, fue educado de niño en Argelia, donde su padre era funcionario de aduanas, y donde aprendió "el ábaco, al uso de los indios". Después tuvo manera, por razones de tipo comercial, de conocer todo lo que de esta ciencia se enseñaba en Egipto, en Siria, en Sicilia y en Provenza. Al material así reunido le dio un orden, una unidad de método y una claridad de enseñanza en el Liber Abaci (Libro del ábaco), que, como modelo de texto universitario, sirvió también, por su caudal de ejemplos, para la compilación de manuales de aritmética para uso de los comerciantes.Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci(1202):Cuando mi padre, quien había sido nombrado por su país notario público en Bugia para trabajar para los mercaderes pisanos que iban allí, ocupaba su cargo, me llamó aún siendo niño para ir con él, y al tener yo un buen ojo para la inutilidad y la conveniencia futura, quiso que me quedara y recibiera instrucción en la escuela de contaduría. Ahí, cuando brillantemente me enseñaron el arte de los nueve símbolos de los indios, el conocimiento de este arte muy pronto me complació más que cualquier otra cosa y logré comprenderlo para todo aquello que era estudiado por este arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variantes.En Flos da Fibonacci una aproximación precisa para la raíz de 10x + 2x2 + x3 = 20, uno de los problemas por cuya solución fue desafiado por Johannes de Palermo. Este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que éste lo obtuvo del libro de álgebra de Omar Khayyam, donde se resuelve por medio de la intersección de un círculo y una hipérbola. Fibonacci prueba que la raíz de la ecuación no es un entero, una fracción ni la raíz cuadrada de una fracción.Sin explicar sus métodos, Fibonacci después da la solución aproximada en notación sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (esto está escrito en base 60, por lo que es 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Esto se convierte en el número decimal 1.3688081075 que es correcto hasta nueve cifras decimales, un logro notable.Un problema en la tercera sección de Liber abaci condujo a la introducción de los números y de la sucesión de Fibonacci, por los cuales se le recuerda a Fibonacci hoy en día:Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por pared por todas partes. ¿Qué tantas parejas de conejos pueden producirse a partir de esa pareja en un año, si se supone que cada mes cada pareja produce una nueva pareja que a partir del segundo mes se vuelve fértil?La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en Liber abaci). Esta sucesión, en la cual cada número es la suma de los dos números precedentes, ha resultado muy fructífera y aparece en muy distintas áreas de las matemáticas y la ciencia. El Fibonacci Quarterly es una revista moderna dedicada a estudiar las matemáticas relacionadas con esta sucesión.

Fibonacci también prueba muchos resultados interesantes sobre teoría de números tales como:No existen valores x, y, tales que x2 + y2 y    x2 – y2 sean ambos números cuadrados.Y x4 - y4 no puede ser un cuadrado.Definió el concepto de congruum, un número de la forma ab(a + b)(a – b), si a + b es par, y 4 veces esto si a+ b es impar. Fibonacci probó que un congruum debe ser divisible entre 24 y también probó que para x, ctales que si x2 + c y x2 – c son ambos cuadrados, entonces c es un congruum. También probó que un cuadrado no puede ser un congruum.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/leonardo_depisa.htm y http://paginas.matem.unam.mx/cprieto/index.php/es/matematicos/matematicos-f/122-fibonacci-leonardo-da-pisa

Filippo Brunelleschi 1377-1446 dC.(Florencia, 1377-id., 1445) Arquitecto y escultor italiano. Fue el arquitecto italiano más famoso del siglo XV y, con Alberti, Donatello y Masaccio, uno de los creadores del estilo renacentista. Se formó como escultor y orfebre e inició su carrera en el ámbito de la escultura. No es de extrañar, por tanto, que participara en el concurso para la realización de las puertas del baptisterio de Florencia en 1401, certamen en el que quedó segundo, después de Ghiberti. Se dice que su decepción por este relativo fracaso fue tal que en lo sucesivo decidió dedicarse casi exclusivamente a la arquitectura.Sus profundos conocimientos matemáticos y su entusiasmo por esta ciencia le facilitaron el camino, además de llevarle al descubrimiento de la perspectiva, la clave del arte del Renacimiento. A Brunelleschi se debe, de hecho, la formulación de las leyes de la perspectiva central, tal como afirma Alberti en su famoso tratado Della pintura. Pero en su época, su fama estuvo asociada, sobre todo, a la cúpula de la catedral de su ciudad natal, Florencia, ya que sus conocimientos de ingeniería le permitieron solventar los problemas, en apariencia insolubles, de la construcción de dicha cúpula, por lo que sus conciudadanos lo reverenciaron. De hecho, en la actualidad la cúpula continúa siendo su obra más admirada. A partir de los monumentos clásicos y de las realizaciones del románico toscano, creó un estilo arquitectónico muy personal, en el que desempeñan un papel fundamental las matemáticas, las proporciones y los juegos de perspectiva. En todos los edificios que llevan su firma, las partes se relacionan entre sí y con el todo mediante fórmulas matemáticas, de manera que, por ejemplo, una sección es la mitad o la cuarta parte del todo, etc. También entran en juego las combinaciones de diferentes figuras geométricas (cuadrado, círculo, triángulo), ya que para Brunelleschi, como buen renacentista, la estética no era un juego de azar sino el resultado de la correcta aplicación de una serie de leyes preestablecidas. Precisamente por ello, sus edificios no son aptos para suscitar emociones sino para intentar comprender fría y racionalmente las leyes que el artista quiso plasmar a través de sus realizaciones. Su arquitectura elegante y moderadamente ornamental queda compendiada a la perfección en dos espléndidas creaciones: la capilla Pazzi y la Sacristía Vieja de San Lorenzo. Son dos obras de planta central, basadas en la armonía visual y en la alternancia, característica del artista, entre arenisca gris y estuco blanco. Pese a la importancia de su figura, la influencia de Brunelleschi en las generaciones posteriores fue muy limitada. Sin embargo, quien sin

duda se inspiró de algún modo en él para sus realizaciones arquitectónicas fue Miguel Ángel.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/brunelleschi.htm

Luca Pacioli 1445-1517 dC.Después de completar sus estudios teológicos y ser ordenado fraile franciscano, entre 1470 y 1477, Luca Pacioli, conocido también como Lucas de Burgo, empezó su carrera enseñando matemáticas en varias ciudades italianas. Entre 1477 y 1480 da lecciones de aritmética en la Universidad de Perugia, de las que  escribe un tratado para uso de sus estudiantes. Después entre los años 1481 y 1489 enseña sucesivamente en Zara (Yugolavia), que pertenecía entonces a la república de Venecia, Nápoles  y Roma. Su principal obra, la Summa de arithmetica, proportioni et proportionalita, se imprime en Venecia el año 1494 y puede considerarse como la primera enciclopedia de matemática pura y aplicada. En 1497 aparece uno de los episodios más interesantes de la vida de Pacioli, es invitado a la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, para enseñar matemáticas. Allí conoce a Leonardo da Vinci, del que se hace amigo y comparten experiencias. Leonardo ilustra con delicadeza la otra de las grandes obras de Luca, De divina proportione. Pocos maestros pueden vanagloriarse de haber tenido un artista de la fuerza y genio de Leonardo para ilustrar sus libros.Luca Pacioli no puede considerarse un gran matemático creador, pero su gran mérito consiste en exponer los temas con vivacidad y escribir en lengua vulgar, haciendo más asequibles los conocimientos a todo el mundo. Junto con sus argumentos matemáticos nos cuenta episodios de su vida, anécdotas y preceptos morales, no en vano era fraile, por ejemplo compara los tres segmentos que aparecen en la sección aúrea con la Santísima Trinidad. En resumen, Luca Pacioli, en la Summa nos muestra como las matemáticas pueden ser utilizadas en el comercio, en la vida diaria y en el reparto de los bienes. En la Divina proportione prueba que la matemática está íntimamente ligada a la belleza y a la simetría. Mientras que en otros escritos, como en De viribus quantitatis, muestra que la matemática puede ser incluso divertida.La Summa de Pacioli es una recopilación de la matemática de su tiempo, operaciones aritméticas con la nueva numeración hindú-arábica, suma, resta, multiplicación y división, raíces cuadradas. Aplicaciones sencillas. Geometría de Euclides y aplicaciones prácticas. Resolución de problemas que llevan a ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado. La resolución de la cúbica, que el mismo Pacioli considera quizás un problema insoluble, fue un éxito de los italianos que le siguieron después, Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli, etc.Visto el 28 de agosto de 2015, en: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/pacioli/pacioli.html

Nicolás de Cusa 1401-1464 dC.Nicolás de Cusa nació el año de 1401 en la ciudad de Küe situada en lo que hoy conocemos como Alemania. Desde su juventud tuvo interés por el estudio de la lógica y la

geometría ocupándose del análisis de la infinitud matemática y universal. A los 39 años se ordenó y ejerció como cardenal en Brixton y a los 45 se especializó en astronomía.Algunas de sus importantes aportaciones fueron la publicación de las “tablas alfonsinas”, método para ubicar la posición de los planetas; su participación como astrónomo en la reforma del calendario y su defensa de la doctrina de la soberanía popular y el conciliarismo para la formación de nuevos estados.Sus conocimientos en materia religiosa relacionados con su inquietud por temas científicos lo llevaron a plantear analogías filosóficas relevantes para la transición del pensamiento medieval al pensamiento moderno, tales como la docta ignorancia, la coincidencia de opuestos y la defensa metafísica de la infinitud universal. Tales nociones siempre señalaban la importancia de establecer límites a la capacidad humana de conocer sin restarle importancia a la misma, con lo que inauguró una vertiente importante en la reflexión epistemológica de su época, misma que se manifiesta en la cuestión acerca de las posibilidades de los seres humanos para conocer a Dios, tema que se aborda en el presente texto.Nicolás de Cusa murió en Italia a los 63 años.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.revista.unam.mx/vol.5/num3/art11/art11-1.htm

Alberto Durero 1471-1528 dC.René Descartes 1596-1650 dC. nació en La Haye (Turaine; Francia) el 31 de Marzo de 1.596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de Febrero de 1.650  a causa de una afección pulmonar. Su familia pertenecía a la rica burguesía y su madre murió cuando él tenía un año de edad. Fue educado en el colegio de La Flèche, regentado por los jesuitas y considerado uno de los más famosos de Europa; allí permaneció entre 1.604 y 1.615, estudiando a los clásicos. Como curiosidad digamos que, debido a su frágil salud, en el colegio tenía permiso para permanecer en la cama hasta las 11 h. de la mañana y conservó esta costumbre el resto de su vida.La obra más importante de René Descartes fue El Discurso del Método (Discours de la méthod pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans las sciences), que publicó en 1637. Dentro de esta obra, lo más destacado son tres apéndices: ◦ La Dioptrique, un tratado sobre óptica que recopila las ideas existentes entonces sobre el tema y recoge algunas aportaciones propias originales.◦ Les Météores, un tratado sobre meteorología.◦ La Géométrie, un tratado sobre geometría, que es, sin lugar a dudas, su mayor aportación a la ciencia y en concreto a las matemáticas. En este trabajo consigue establecer una sólida relación entre la geometría (prácticamente experimental entonces) y el álgebra, que caminaban por separado. Esto ha marcado el desarrollo de las Matemáticas hasta hoy, dando lugar al nacimiento de la geometría analítica (prácticamente en la línea en la que la estudiamos hoy en secundaria). Un ejemplo de la trascendencia de sus trabajos es la introducción de dos diagramas "Cartesianos" con sus coordenadas también llamadas "Cartesianas" que reciben su nombre del propio Descartes.Otras obras importantes: El Compendium musicae (1618); las Regulae ad directiomem ingenii (1628); el Tratado del hombre (1633); Discurso del método (la Dióptrica, los Meteoros, la Geometría) (1637); Las Meditaciones Metafísicas (1641); Los Principios Filosóficos (1644); Las Pasiones del Alma (1649); Tratado de las pasiones humanas (1650);

y una extensa correspondencia con numerosos sabios, filósofos, teólogos y con la princesa Isabel de Suecia.Visto el 28 de agosto de 2015, en http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/descartes/rene.htm

Leonard Euler 1707-1783 dC.Leonhard Euler fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.

Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733.En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte.Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y nietos.Murió el 7 de septiembre de 1783.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.astromia.com/biografias/euler.htm

Gaspard Monge 1746-1818 dC.El matemático y físico francés Gaspard Monge, nació en Beaune el 9 de mayo de 1746. Era el menor de los tres hijos varones de un feriante a quien su buen olfato para los negocios le convirtió en un hombre rico.

Su extraordinaria capacidad le permitió obtener una cátedra de Física en los Oratorios de Lyón con tan sólo 16 años, cargo que ocupó durante tres años. Pero el ambiente religioso de esta institución lo agobiaba y decidió volver con su familia a Beaune.Monge poseía una extraordinaria capacidad de visualización espacial y a su vuelta a Beaune elaboró un plano a gran escala de su ciudad natal, para lo que utilizó aparatos de medida de su propia invención.El resultado fue tan impresionante que el coronel Vignau, segundo jefe de la Escuela Militar de Mezières, propuso al joven Gaspard que ingresara en la prestigiosa escuela de ingenieros militares del país. Al no ser noble de cuna, no pudo hacerlo en la sección de ingenieros militares y tuvo que conformarse con la de constructores y aparejadores.Monge revolucionó el diseño y construcción de fortificaciones gracias a los métodos geométricos desarrollados por él mismo. Gracias a este trabajo, fue nombrado profesor auxiliar de Matemáticas de la Academia. En 1769 ocuparía la cátedra de Matemáticas e iniciaría sus famosos cursos de Geometría Descriptiva, que durante muchos años fueron considerados secreto militar.Sin embargo, sus investigaciones estuvieron mucho más centradas en el terreno de la Física que en el de las Matemáticas. En 1777 se casó con una joven viuda rica con la que tuvo tres hijas. Tres años más tarde ocupó la plaza de geómetra adjunto en la Academia de Ciencias de París. Y en 1783 fue nombrado examinador de los alumnos de la Marina, lo que le obligó a realizar viajes de inspección por los puertos más importantes del país.La Geometría Descriptiva fue la aportación más importante de Monge a las Matemáticas, pero no la única. En 1785 publicó una importante memoria sobre Las evolutas, los radios de curvatura y los diferentes géneros de inflexión de las curvas de doble curvatura.También fue pionero en el desarrollo de la Geometría Analítica, que quedó patente en sus Hojas de análisis aplicado a la geometría y la Aplicación del Álgebra a la Geometría.Con la llegada al poder de Napoleón Bonaparte, se convirtió en su consejero, fue nombrado comisionado para el examen y la valoración del botín de guerra que los franceses reclamaron a Italia y participó en la campaña de Egipto, donde ayudó a fundar el Instituto de Egipto, del que fue director. Además Bonaparte le otorgó la Orden de la Legión de Honor, le hizo conde y le nombró senador.Con los Borbones se inició el declive de Monge. En 1816 fue expulsado de la Escuela Politécnica y de la Academia. Sin recursos económicos y condenados al ostracismo murió en París el 28 de agosto de 1818.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://www.rtve.es/noticias/20110603/gaspard-monge-gran-matematico-del-sxviii/436743.shtml

August Ferdinand Mobius 1790-1868Moebius, August Ferdinand. Nació el 17 de noviembre de 1790 en Schulpforta, Sajonia, ahora Alemania, y murió el 26 de septiembre de 1868 en Leipzig, Alemania. Fue hijo único de Johann Heinrich Moebius, un maestro de baile, quien falleció cuando August tenía tres años de edad.El maestro que más influencia tuvo sobre Moebius durante su estancia en Leipzig fue el astrónomo Karl Mollweide, quien también es bien conocido por un cierto número de descubrimientos matemáticos, en particular, las relaciones trigonométricas de Mollweide, que descubrió entre 1807 y 1809, y la proyección conforme de mapas de Mollweide, es decir, que conserva ángulos.

En 1813, Moebius viajó a Göttingen, donde estudió astronomía bajo la dirección de Gauss, quien era director del Observatorio en Göttingen y, por supuesto, el más grande matemático de su época. Así, nuevamente Moebius pudo estudiar con un astrónomo, cuyos intereses eran de tipo matemático. De Göttingen, Moebius se fue a Halle, donde estudió con Johann Pfaff, maestro también de Gauss. Con Pfaff, Moebius estudió matemáticas más que astronomía, así que a estas alturas ya estaba trabajando sólidamente en ambas disciplinas.En 1815, Moebius escribió su tesis doctoral sobre La ocultación de estrellas fijas y comenzó a trabajar en su Habilitación, que es un grado posterior al doctorado, que en muchas universidades de Europa central se exige para ocupar una plaza definitiva. De hecho, mientras escribía este trabajo, hubo un intento de enrolarlo en el ejército prusiano.Casi toda la obra de Moebius fue publicada en el Crelle Journal, la primera revista dedicada exclusivamente a publicar matemáticas. La obra de Moebius de 1827 Der barycentrische Calkül (El cálculo baricéntrico), sobre geometría analítica, se convirtió en un clásico e incluye muchos de sus resultados sobre geometría proyectiva y geometría afín. En ella introduce las coordenadas homogéneas y también discute transformaciones geométricas, en particular, transformaciones proyectivas. Introdujo una configuración ahora llamada red de Moebius, que ha jugado un importante papel en el desarrollo de la geometría proyectiva.El nombre de Moebius está ligado con muchos importantes objetos matemáticos tales como la función de Moebius, que introdujo en su artículo de 1831 Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series) así como la fórmula de inversión de Moebius.En 1837 publicó el Lehrbuch der Statik (Texto de Estática), que hace un estudio geométrico de la estática.  Condujo, de hecho, al estudio de sistemas de rectas en el espacio.Antes de que Francis Guthrie hubiera planteado el problema de los cuatro colores para colorear mapas, en 1840 Moebius había preguntado lo siguiente:Hubo una vez un rey que tenía cinco hijos.  En su testamento estipuló que a su muerte, el reino habría de dividirse por sus hijos en cinco regiones, de tal forma que cada región tuviese una frontera común con cada una de las otras cuatro. ¿Es posible cumplir con los términos del testamento?Por supuesto, la respuesta es negativa y fácil de demostrar. Sin embargo, ilustra el interés de Moebius en las ideas topológicas, un área en la cual se le recuerda mucho como pionero. En una memoria, presentada a la Académie des Sciences y apenas descubierta hasta después de su muerte, discutió las propiedades de las superficies de una sola cara, que incluyen la famosa banda de Moebius, que descubrió en 1858. Este descubrimiento lo hizo al trabajar en una pregunta sobre la teoría geométrica de los poliedros, planteada por la Academia de París.Aunque conocemos este objeto hoy en día como banda de Moebius, no fue Moebius quien lo describió primero; tomando cualquier criterio, ya sea fecha de publicación o fecha del primer descubrimiento, en esto lo precedió Listing.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://paginas.matem.unam.mx/cprieto/index.php/es/matematicos/matematicos-k/136-moebius-august-ferdinand

DEFINICIONESAxiomaUn axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.POSTULADOUn postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.Difiere del axioma en que, en un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición no deducida de otra, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (en oposición a los postulados).2También se denomina postulado a los principios sustentados por una determinada persona, un grupo, o una organización. Por ejemplo, en Filosofía y en Psicología los diversos enfoques o escuelas suelen diferenciarse en una serie de proposiciones filosóficas. A éstas se les nombra postulados, como definiciones opcionales que delimitan una concepción de cada disciplinaVisto el 28 de agosto de 2015, en: http://geometriaytrigonometria-ara.blogspot.mx/2012/05/axioma-postulado.html

TeoremaUn teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico a la ves logra ser afirmación que puede ser demostrada verdadera dentro de un marco lógico.Un teorema generalmente posee un número de condiciones que pueden ser enumeradas en los teoremas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.Un teorema requiere cierto marco lógico, este marco consistirá en un conjunto de axiomas, como también un proceso de inferencia, el cual permite derivar nuevos teoremas a partir de los axiomas y otros teoremas que han sido derivados anteriormente. En lógica preposicional, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema.Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://edgarmauusco.blogspot.mx/2008/06/que-es-un-teorema.html

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra. Este teorema nos permite calcular, por tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos. Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u6/M3_U6_contenidos/11_teorema_de_thales.htmlTeorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Visto el 28 de agosto de 2015, en: http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm