Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la educacin.UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDESFACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADEMICA PROFECIONAL ARQUITECTURA

ARQUITECTURA O ARTE EN LA MATEMATICA

PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

CATEDRA: LUZ MEDINA PELAIZAINTEGRANTES: ALANYA VELI JIMENA ANTAY CCOAS JORGE LOBATON GAGO JAZMIN PARIONA MENDOZA YANETCICLO: ISECCION: A-2TURNO: MAANA

HUANCAYO-PERU2015

DEDICATORIA:"Este trabajo en primer lugar se lo quiero dedicar a Dios, que durante todo este tiempo me estuvo acompaando, iluminando y guindome para llegar a mi meta.A mis padres que con su amor incondicional me apoyaron en todo momento, en mis momentos de fortaleza y de debilidad, siempre estuvieron para incentivarme a seguir adelante.

INDICE:1 INTRODUCCION:1.1. OBJETIVO1.2. DEFINICION1.3. HISTORIA 1.3.1. BREVE HISTORIA DE LAS MATEMATICAS Y ARQUITECTURA HASTA HOY EN DIA 1.3.2. LAS MATEMATICAS EN REACION A LA ARQUITECTURA2 MATEMATICA EN EL RENACIMIENTO:2.1. DEFINICION2.2. DESARROLLO2.2.1. MATEMATICOS SOBRESALIENTES DE ESTA EPOCA Y SUS APORTACIONESA: NICOLAS CHUQUETB: LUCA PACIOLIC: LEONARDO DA VINCI2.2.2. LA ALGEBRA GERMANICA 2.2.3. FORMULA TAUTAGLIA_CARDANO2.2.4. LOS NUMEROS COMPLEJOS 2.2.5. LA GEOMETRIA EN EL SIGLO XVI3 MUJERES EN LAS MATEMATICAS:3.1. DEFINICION3.2. HIPATIA DE ALELONDRIA 3.3. EMILIE DE CHARTELET3.4. MARIA GAETANA AGNESI4 ARQUITECTURA Y MATEMATICA 4.1. DEFINICION4.2. GEOMETRIA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADOR4.3. SUPERFICIES MINIMAS EN ARQUITECTURA4.4. LA GENESIS DEL DISEO GEOMETRICO ASISTIDO POR ORDENADOR4.5. GADG EN LA ARQUITECTURA5 CONCLUCION6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1 INTRODUCCION:

La Arquitectura pertenece al rea de fsico- matemticas y desde ah se percibe que las matemticas son de gran uso en esta rea.

1.1 OBJETIVO:

El objetivo principal de la Arquitectura es el construir las formas volumtricas que ordenan los espacios en que se desarrollan las funciones de la vida humana, y para ello, usa la geometra eucldea pero no a nivel funcional o constructivo, sino esttico desde el minimalismo actual hasta las proporciones clsicas.

Este tipo de geometra, propone una nueva relacin de la arquitectura con otras geometras. Se disert sobre las matemticas de geometras distintas a la eucldea, llamndose geometra visual o proyectiva. Se propone tambin como parte de la geometra pre-eucldea, los clculos abstractos, con nmeros infinitos y sobre todo los no dibujables.

1.2 DEFINICION:

La arquitectura se define como arte que se mueve o que debe moverse en la cualidad, la intuicin, de la figuracin y de la sensibilidad geomtrica.Gracias a las Matemticas el arquitecto tiene hoy da ms libertad de diseo

Las matemticas tienen una gran aplicacin directa en arquitectura. Porque antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que emplear, las cargas que tienen que soportar y quizs tambin el coste econmico, parece que esta aplicacin se reduce slo a esto, al clculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseo del objeto arquitectnico mismo. Pensamos que con respecto a la creacin artstica, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemticas y deja volar la imaginacin en la bsqueda de la forma deseada, y no es exactamente as. Las matemticas tambin pueden ayudar, si no en el mismo momento mgico de creacin artstica, s en el inmediatamente posterior. Toda creacin arquitectnica es geometra es una mxima que se puede encontrar en los tratados de geometra descriptiva. Los arquitectos siempre aprovechan superficies de las que pueden calificarse de clsicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros das, tambin lo continan haciendo.

Una de las superficies que ms se han aplicado en arquitectura es el paraboloide hiperblico. El paraboloide hiperblico es un espcimen ya conocido por los griegos en donde las curvas cnicas (la elipse, la parbola y la hiprbole) son para la dimensin dos, en dimensin tres lo son las superficies cudricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperblico, una de las superficies cudricas, estas secciones son parbolas e hiprbolas. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de Mxico. El techo est formado por ocho paraboloides hiperblicos. Lasmatemticas a travs de dimensiones y formas completan el diseo de un edificio y le confieren una belleza aceptada universalmente y Arquitectnicamente.

1.3 HISTORIA:

No es mi intencin desarrollar aqu, ni siquiera de forma esquemtica, un compendio de Historia de la Matemtica, ni profundizar en todos sus conceptos, sino que me limitar a apuntar algunos datos relacionados con la materia propia de este trabajo, las matemticas y la arquitectura.ARQUITECTURALa arquitectura es el arte y tcnica de proyectar y disear edificios, estructuras y espacios. El trmino arquitectura proviene del griego (arch, cuyo significado es jefe, quien tiene el mando), y (tekton es decir constructor). As, para los antiguos griegos el arquitecto era el jefe o director de la construccin y la arquitectura la tcnica o arte de quien realizaba el proyecto y diriga la construccin de los edificios y estructuras, ya que la palabra (techne) significa saber hacer alguna cosa. De ella proceden las palabras tcnica y tambin tectnico (constructivo).La arquitectura abarca la consideracin de todo el ambiente fsico que rodea la vida humana: no podemos sustraernos a ella mientras formemos parte de la civilizacin, porque la arquitectura es el conjunto de modificaciones y alteraciones introducidas en la superficie terrestre con objeto de satisfacer las necesidades humanas, exceptuando slo el puro desierto.

MATEMTICALa matemtica es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las matemticas trabajan con nmeros, smbolos, figuras geomtricas, etc.A partir de axiomas y siguiendo razonamientos lgicos, las matemticas analizan estructuras, magnitudes y vnculos de los entes abstractos. Esto permite, una vez detectados ciertos patrones, formular conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deduccin.Adems de lo expuesto no podemos pasar por alto que existen dos importantes tipos de matemticas: Las matemticas puras, que se encargan de estudiar la cantidad cuando est considerada en abstracto. Las matemticas aplicadas, que proceden a realizar el estudio de la cantidad pero siempre en relacin con una serie de fenmenos fsicos.Las matemticas trabajan concantidades(nmeros) pero tambin con construcciones abstractas no cuantitativas. Su finalidad es prctica, ya que las abstracciones y los razonamientos lgicos pueden aplicarse en modelos que permiten desarrollar clculos, cuentas y mediciones con correlato fsico.Podra decirse que casi todas las actividades humanas tienen algn tipo de vinculacin con las matemticas. Esos vnculos pueden ser evidentes, como en el caso de laingeniera, o resultar menos notorios, como en lamedicinao lamsica.Es posible dividir las matemticas en distintas reas o campos de estudio. En este sentido puede hablarse de laaritmtica(el estudio de los nmeros), ellgebra(el estudio de las estructuras), lageometra(el estudio de los segmentos y las figuras) y laestadstica(el anlisis de datos recolectados), entre otras.

ARTEEl Arte es una actividad creativa propia del ser humano que funciona como un medio de expresin de ideas, sentimientos y creencias. El Arte, por s mismo, es una expresin espiritual y emotiva; por tanto, la Universidad de Guadalajara no puede sustraerse de esta actividad inherente del ser humano.La Arquitectura por s misma es un Arte. Como tal, proporciona las herramientas para la proyeccin y construccin de edificios y estructuras funcionales que sirven de patrimonio de una cultura.El Diseo no es propiamente un Arte; sin embargo, est embebido en l. Es una disciplina que tiene por objeto una armonizacin del entorno humano para la bsqueda de soluciones y expresin.es entendido generalmente como cualquier actividad o producto realizado por el ser humano con una finalidad esttica y tambin comunicativa, mediante la cual se expresan ideas, emociones o, en general, una visin del mundo, a travs de diversos recursos, como los plsticos, lingsticos, sonoros o mixtos. El arte es un componente de la cultura, reflejando en su concepcin los sustratos econmicos y sociales, y la transmisin de ideas y valores, inherentes a cualquier cultura humana a lo largo del espacio y el tiempo. Se suele considerar que con la aparicin del Homo sapiens el arte tuvo en principio una funcin ritual, mgica o religiosa (arte paleoltico), pero esa funcin cambi con la evolucin del ser humano, adquiriendo un componente esttico y una funcin social, pedaggica, mercantil o simplemente ornamental.

1.3.1. BREVE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA ARQUITECTURA HASTA NUESTROS DAS

La arquitectura se revela como una de las ms complejas actividades de sntesis del pensamiento humano; opera en el espacio mediante la construccin y su fin ltimo es dotar al hombre de un escenario para su vida. Es una disciplina autnoma, integradora, con un lenguaje propio en el que se barajan el Arte, la Ciencia, el Humanismo, la Tecnologa... Hay un paralelismo innegable entre las concepciones matemticas y el pensamiento arquitectnico: la geometra euclidiana, configurando el ser sensible segn dimensiones mensurables y precisas, acompaa a la sensibilidad griega. Si Leibniz no hubiera trabajado en el Clculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometra Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cpula de San Lorenzo en Turn. Sin la cuarta dimensin del cubismo, surgida de la revolucin de la fsica contra la concepcin absoluta de Newton y de la convergencia declarada por la ciencia moderna de las entidades espacio y tiempo, junto con la contribucin de Einstein al concepto de simultaneidad, no habra tenido Le Corbusier la idea de igualar las cuatro fachadas de la Ville Savoie, rompiendo la distincin entre fachada principal, laterales y posterior, implcita en la representacin en perspectiva, donde el punto de vista establece una jerarqua... Por ello es evidente que la arquitectura se ver beneficiada de cada paso que da el hombre en el progreso cientfico, como bagaje comn de la sociedad, y as cada etapa Felix Calcerrada Zamora Las Matemticas y la Arquitectura 3 de la civilizacin posee su propia arquitectura y utiliza unos medios materiales especficos para llevar a cabo sus realizaciones, por lo que la Historia de la Arquitectura es tan antigua como la de la humanidad misma, desde el punto de vista en que sta abandon los refugios naturales y prepar o construy refugios artificiales para protegerse del entorno. En las civilizaciones orientales existe el sabio, el hombre que sabe, el hombre que conoce los secretos de la divinidad y, como depositario de ellos, acta de mago, taumaturgo, poeta... De las prcticas de los agrimensores del antiguo Egipto nacin la geometra mediterrnea. Demcrito de Abdera se jacta de no haber encontrado a nadie que lo supere en el arte de trazar lneas en las figuras y demostrar sus propiedades... ni an entre los agrimensores egipcios. Entre los sumerios y los propios egipcios se dan tambin los primeros sistemas de numeracin escrita, encontrados en papiros o tablillas, de los que hoy conservamos el sistema sexagesimal de medida de ngulos y del tiempo. En Mesopotamia aparece adems un cierto matiz abstracto, lo que podamos llamar precedente del lgebra, en el tratamiento de adivinanzas y recreaciones matamticas, que incluyen casos de proporcionalidad, regla de tres y progresoines aritmticas y geomtricas, que en el caso egipcio adoptan una forma ms aritmtica. En Egipto se conocan ya casos particulares del Teorema de Pitgoras (el 3-4-5). Debido a la importancia religiosa que atribuan a la orientacin de sus tumbas y templos, recurrieron a un crculo de orientacin, trazado sobre el mismo terreno, en el que marcaban la sombra de alcance mnimo de un mstil colocado en su centro. Con una cuerda dividida por medio de nudos en 3 + 4 + 5 = 12 segmentos iguales, trazaban una perpendicular rigurosa a esta lnea que les daba exactamente la direccin EsteOeste. Por otra parte el investigador Moessel observ que el crculo director se divida, para el trazado de planos, tanto de planta como de alzados, en diversas combinaciones o bien de la segmentacin natural astronmica (4, 8, 16 partes), o bien en otra ms sutil (5 o 10 partes), de manera que las distintas variaciones sugeridas por los puntos y lneas as obtenidas suministraban la armazn del plano, mediante la inscripcin en uno o varios crculos directores de polgonos regulares. Incluso se encuentran en determinados casos Felix Calcerrada Zamora Las Matemticas y la Arquitectura 4 dos crculos directores concntricos, el mayor de los cuales, que corresponde al trazado exterior del edificio, esta dividido en 8 o 16 partes, mientras el correspondiente al ncleo se divide en 5 o 10 segmentos. El trazado vertical est regido por el mtodo pentagonal, pero en uno de sus elementos lineales est suministrado por el crculo exterior, lo que crea un en lace orgnico entre los dos temas. La segmentacin relacionada con elementos rectangulares o hexagonales se ha venido llamando esttica, mientras que la que hace intervenir relaciones pentagonales se denomina dinmica. En los diversos cnones sugeridos para descifrar la compleja geometra de la arquitectura egipcia, y ms tarde la griega e incluso la gtica, aparece, segn Matila C. Ghyka, un hecho relevante: el empleo de superficies de un nmero de encuadramientos rectangulares cuya razn entre los lados o mdulo (a/b) no es ya un nmero racional, sino nmeros irracionales, conmensurables en potencia, que aparecieron en cuanto se trat de intercalar una media geomtrica entre dos puntos. La Cmara del Rey en la Gran Pirmide de Kops tiene por base un doble cuadrado, y por altura la mitad de la longitud de la base, lo que significa una proporcionalidad respecto a las magnitudes 4, 5 y 2, es decir la presencia de un irracional. La particin asimtrica ms sencilla de un segmento en dos partes a y b viene dada por la proporcin a + b es a a, como a es a b, lo que nos da un valor para el mdulo a/b = (1+5)= 1,618.... Esta razn aparece en todas las figuras pentagonales y en los poliedros formados con caras poligonales de cinco, diez, etc. lados, por lo que todo trazado, toda proyeccin que represente esos cuerpos, requiere la particin inicial segn esa seccin, denominada por Leonardo da Vinci seccin area. Kepler cita como segunda joya de la Geometra la seccin area (la primera es el Teorema de Pitgoras). Los sistemas vitales de materia organizada, el crecimiento de los seres vivos, que acta de dentro a fuera, por impulso de turgencia, no de aglutinacin, tiende a producir formas homotticas con base en la proporcin asimtrica de la razn area (disposicin folicular, composicin pentameral en las flores, as como en las proporciones del cuerpo humano), mientras la materia inerte, los sistemas cristalinos, se ordenan en sistemas de tipo cbico o hexagonal. Felix Calcerrada Zamora Las Matemticas y la Arquitectura 5 La civilizacin griega crea un tipo nuevo de personalidad: el pensador, el hombre que piensa, que tiene ideas propias o sabe imprimir un sello personal a los conocimientos que adquiere de otros. Ese ser pensador, suplanta al sabedor de cosas, encuentra el camino de la demostracin para asegurar la viabilidad de un sistema, cuyos miembros se encadenan de manera lgica, e inventa la Episteme, la Ciencia tal y como hoy la concebimos. No obstante, esta ciencia, y en particular la ciencia por excelencia, la Matemtica, est intrnsecamente unida a lo mgico, a lo esotrico, al secretismo y al mito, cuya muestra ms genuina se dan en la escuela pitagrica. Trata de la mstica del nmero que se entremezcla tanto con la Metafcia de la armona del gran todo, como con la msica y la euritmia en general. El concepto matemtico director de esta sntesis es la analoga o proporcin, la equivalencia o concordancia de dos o ms relaciones, la conmensurabilidad del todo y sus partes: la proporcin geomtrica, en suma. Esta concordancia, esta simetra (en un sentido completamente distinto al que nosotros damos al trmino), se da en forma perfecta en el cuerpo humano y resulta del vnculo que, mediante el prototipo de medida comn o mdulo, une los distintos elementos entre s y con el todo. Esta concepcin de la armona pitagrica llega a Platn, quien a pesar de no pertenecer a la Escuela del maestro de Samos, mantuvo, como sus miembros, el secreto de sus enseanzas: Entonces fue cuando todos los gneros, constituidos de esta manera recibieron de l su figura, por la accin de las ideas y los nmeros. Pues en la medida que era posible, de estos gneros el Demiurgo ha hecho un conjunto, el ms bello y mejor. Platn, Timeo-53,b En este ritual de silencio y secreto, la contrasea fue un smbolo, el pentagrama, el pentgono estrellado, emblema de la armona, cuya transmisin se produjo por las tcnicas ocultas de los arquitectos y las sociedades secretas de carcter mgico, continuando con la logia masnica, que veneraba en el centro de sus altares la letra G, inicial de geometra. Felix Calcerrada Zamora Las Matemticas y la Arquitectura 6 Segn palabras de Bertrand Rusell lo ms curioso de la ciencia moderna sea tal vez su retorno a Pitgoras La vuelta a una pura ley del nmero de la que ya es posible deducir el Anlisis, la Lgica, las Geometras... y que marc una nueva forma de entender la Matemtica como un absoluto a comienzos de este siglo. Pero regresando al hilo conductor, Vitruvio, que si bien no hizo aportaciones originales a la Arquitectura, s hizo una recopilacin de conocimientos desde varios siglos anteriores a l, se ocupa mucho de esta cuestin, esta sinfona perfecta de las proporciones en el cuerpo humano, y de proporciones anlogas, idnticas a veces, que el arquitecto debe establecer en los planos de los edificios sagrados. As, en esta combinacin de superficies, unidas por relaciones racionales, en las que figuras semejantes, pero de distinta magnitud, se agrupan rtmicamente reflejando a diversas escalas la forma fundamental, entiende Vitruvio la conmodulatio o juego de proporciones en la simetra. Euclides, cuya Teora de las proporciones fue copiada por Eudoxio de Cnido, heredero directo del sistema de Platn, no lo entenda de otro modo cuando distingua entre las proporciones racionales que se expresan por nmeros y las otras que se representan por lneas, superficies o slidos. No en vano el problema de la duplicacin del cubo haba dejado al descubierto lo que hoy denominamos una ecuacin de tercer grado, no resoluble por mtodos euclidianos y que se poda expresar en trminos de proporciones como el problema de intercalar dos medias continuas entre dos longitudes, la segunda de las cuales es el doble que la primera. En Grecia, y en el Oriente helnico existan cofradas de tcnicos de la construccin que, an despus de que Constantino estableciera el culto cristiano, continuaron manteniendo las tradiciones tcnicas y el mismo ritual de secreto profesional inicitico. Los principios de composicin arquitectnica eran asimismo transmitidos como secretos de familia de padres a hijos, y as aparecen los smbolos y trazados geomtricos de la escuela pitagrica, y en particular todo lo concerniente a la proporcin area, a travs del Imperio de Carlomagno y en la poca de las grandes construcciones religiosas de las magnficas abadas benedictinas. Estos monjes conservaron y transmitieron los textos Felix Calcerrada Zamora Las Matemticas y la Arquitectura 7 matemticos de la antigedad griega o bizantina que han llegado hasta nosotros, incluyendo el propio tratado de Vitruvio. Disendose ya en esa poca la lenta Reconquista de Espaa, se lleg a un nuevo contacto, debido a los intercambios con los arquitectos rabes que aportaron frmulas y soluciones arquitectnicas evolucionadas en la cuenca oriental del Mediterrneo, bajo la triple influencia helenstica, persa y egipcia. En la misma poca, las Cruzadas, crearon otra va de comunicacin entre los guardianes de la tradicin geomtrico-arquitectnica occidental, tanto laica como eclesistica y la oriental. Fue entonces cuando los arquitectos y maestros constructores se reagruparon en sociedades casi secretas, puramente laicas y constituyeron en el Sacro Imperio Germnico, que persisti hasta el siglo XVII, la Bauhtte, Federacin de las Logias de los talladores de piedra, cuyo primer gran maestre fue el arquitecto de la Catedral de Estrasburgo, Erwin de Steinbach. De una u otra forma estas agrupaciones de arquitectos-constructores funcionaron en toda Europa, siendo para todos ellos la Geometra una Ciencia fundamental y mantuvieron una relacin mtua que se evidencia en los signos lapidarios que aparecen en todas las construcciones del romnico y el gtico, y que son pequeos tratados de geometra, concedidos nicamente a los oficiales y maestros, para los que constitua una marca o firma. Lucca Pacioli, en 1494, publica en Venecia la Summa de Arithmtica, Geometra, Proportione et proportionalit en cuyo prefacio insiste ya en el carcter fundamental de la Ciencia Matemtica, cuyos principios deben servir como gua de todas las ciencias y las artes. La lite de artistas-matemticos de la poca refleja sin duda el ambiente que el Renacimiento haba creado en el ltimo tercio del siglo XV: Alberti, Piero della Francesca, Giovanni Bellini, Mantegna, Boticelli, Perugino, Ghirlandaio, Verrochio, Leonardo... maestros en las artes del dissegno, pintura, escultura, arquitectura, etc. pusieron de manifiesto la preocupacin que les mova para sacar conclusiones prcticas de la Teora matemtica de la visin. La perspectiva matemtica constituy una garanta para lograr la correccin y verosimilitud en la representacin del espacio, y lo que es ms, una garanta de perfeccin esttica. El uso riguroso de la regla y el comps confiere la proporcin que hace perfectas y admirables las obras de estos artistas. Felix Calcerrada Zamora Las Matemticas y la Arquitectura 8 Las partes de la Summa dedicadas al lgebra, la Geometra y la Aritmtica se apoyan fundamentalmente en Euclides y, sobre todo, en los escritos de Leonardo de Pisa, conocido con el sobrenombre de Fibonacci, considerado el ms grande matemtico de la Edad Media, que introdujo en el Occidente cristiano el clculo aritmtico rabe, de enorme repercusin en la matemtica europea. Ms tarde, Gerolamo Cardano denunci grandes errores en la Summa de Pacioli, sin dejar de reconocer que sin ella nunca habra podido llegar a escribir su Ars Magna. Es en 1498 cuando termina Luca Pacioli su obra mas universal, el tratado De Divina Proportione, ilustrado con sesenta dibujos coloreados de mano de Leonardo da Vinci, su amigo en la corte de Ludovico el Moro. La edicin impresa en 1509 incluye un Tractato de la Architectura de inspiracin netamente vituviana: Quien de Vitruvio se aparta, cava enn el agua y cimienta en la arena y muy pronto malogra el arte, dice refirindose a los arquitectos que se alejan de las reglas matemticas, con peligro de que sus construcciones no se sostengan en pie. La rectitud moral y el deseo de renovacin de la arquitectura se ligan en Pacioli a la esmerada preparacin matemtica, a la exaltacin del ngulo recto, sin el cual no es posible distinguir el bien del mal, ni en modo alguno se puede dar medida cierta. La arquitectura debe reflejar la estructura matemtica del universo. La proporcin matemtica, principio universal y objetivo de belleza son el punto de referencia obligado del arte. El carcter inconmensurable de la proporcin area fue la causa de su restringida aplicacin real en la arquitectura del Renacimiento, pues sus propiedades irracionales son difciles de conciliar con una anotacin fidedigna y conmensurable de las dimensiones. El atractivo de la divina proporcin era de una especie ms intelectual, y no ser hasta el siglo XIX, con el renovado inters por el estudio de las proporciones irracionales, cuando la seccin area ser de nuevo pieza clave en las especulaciones artsticas y estticas.

1.3.2. LAS MATEMATICAS EN RELACION A LA ARQUITECTURA:

Mi tema se inicia en Egipto Nacin de la geometra mediterrnea, se dice que en mesopotamia aparece un matz abstracto que podriamos decir que procede del lgebra En Egipto se conocia ya el teorema de Pitgoras debido a la importancia de sus tumbas y templos dividido por medio de nudos lo que les daba exactamente la direccin Este-Oeste usaban tambien los circulos, los polgonos ya que eran muy exactos en medidas y proporciones en sus tumbas, segun las estatura del faran y la reina fallecidos tomando en cuenta que les ponan sus pertenencias haciendo los atades en forma de pentgono. Hablando de sus pirmides ponemos como ejemplo la cmara del rey en la pirmide de Keops que tiene como base el cuadro doble, se basaron en el nmero 4 como magnitud, es decir la presencia de encuadramientos que le podramos llamar presencia irracional.Usaban mucho el teorema de Pitgoras por lo cual aparece en todas las figuras pentagonales y poliedros con caras poligonales desde 5, 10, etc lados.La seccin urea (segn Leonardo da Vinci) es la segunda joya de la geometra, la primera es el teorema de Pitgoras con base en la razn urea podemos decr que las flores y el cuerpo humano tienen una disposicin folicular mientras la materia inerte se ordena en sistemas tipo cbico y hexagonal.El pentagrma (pentgono estrellado), se produjo por las tecnicas ocultas de los Arquitectos, continuando con la logia masnica que veneraba en los altares la letra G (geometra).Otro de los Arquitectos fue Vitruvio pero l no hizo grandes aportaciones a la arquitectura, pero si hizo una recopilacin de siglos anteriores a l cuestionando la sinfona perfecta del cuerpo humano y deduciendo segn su teora que el Arquitecto debe establecer en los planos de los Edificios Sagrados, una sinfona perfecta.Eudoxio de Cnido heredero directo del sistema de Platn entenda sin embargo que las proporciones racionales que se expresan por nmeros y otros que se representan por lneas o juego de proporciones de la simetra lo cual lo copi de Euclides. En Grecia y en el Oriente Helnico existan tcnicos de la construccin que an despues de que Constantino estableciera el culto Cristiano, mantenan en secreto las tcnicas transmitidas de padres a hijos y asi aparecen los smbolos y trazados geomtricos de la escuela pitagrica y todo lo concerniente a la proporcin urea a travz del Imperio de Carlomagno, (Epoca de las grandes construcciones religiosas). Estos monjes nos transmitieron los textos matemticos de la antigedad bizantina incluyendo el tratado de Vitruvio.Los Arquitectos Arabes aportaron frmulas arquitectnicas que evolucionaron en la Cuenca del mediterrnea, en la misma Epoca de las Cruzadas bajo la influencia Helenstica, Persa y Egipcia, fue entnces cuando los Arquitectos y los Maestros Constructores se agruparon en Sociedades casi secretas y construyeron el Sacro Imperio Germnico que persisti hasta el siglo XVII, usaban el tallado de la piedra cuyo primer gran Maestro fu el Arquitecto de la Catedral de Estamburgo: Erwin de Stunbach, los cuales funcionaron en toda Europa, siendo de todos ellos la geometra una ciencia fundamental la cual se hace evidente en los signos lapidarios que aparecen en todas las construcciones Gticas y Romanas y que son pequeos tratados de geometra lo cual constitua una marca firma.La Ciencia matemtica, cuyos principios sirven como gua de todas las Ciencias, Artes, Pintura, Escultura y Arquitectura. La perspectiva matemtica es una garanta en la perfeccin esttica usando el comps y la regla.El lgebra, la geometra y la aritmtica se apoyan en Euclides y sobre todo en los escritos de Leonardo de Pisa, considerado el mas grande matemtico de la Edad Media, que introdujo en el Occidente Cristiano el clculo aritmtico rabe.La rectitud moral y el deseo de renovarse llevaron a Pacioli ala exaltacin del ngulo recto del cual se deca no era posible distingur el bien del mal. La Arquitectura debe reflejar la estructura matemtica del Universo y la belleza es punto obligado en el arte.En la Arquitectura del Renacimiento el atractivo de la divina proporcin era una especie mas bien intelectual y fu hasta el siglo XIX que se renov el inters por el estudio de las proporciones irracionales, cuando la seccion urea fue de nuevo pieza clave en las especulaciones artsticas.El panten Romano, y el altar mayor de Santa Mara de Gracia en Milln estn inspirados en el Poludro de 72 caras aunque no nos consta literalmente ste hecho.Miguel Angel se identificaba con los techos esfricos como su Capilla Medici, identificndose con el Maestro Pasioli.En la antiguedad se detect un problema: Las construcciones deban transmir y proyectar placer esttico por su armona al observador, esa sensacin se deba persibr en el espritu pero no as si el edificio se percibe desde uan posicin anormal,por ejemplo muy cerca pues el ojo observa los edificios vertical u horizontalmente, todo esto a dado lugar a grandes estudios matemticos llamados correcciones pticas que se inicia en Grecia desde Vitruvio utilizndo soluciones matemticas como arcos y parbolas, viene una ayuda inesperada a mitad del siglo XVI que se llama logstica spaciosa gracias a Francois Viete y con el da comienzo lo que hoy llamamos AlgebraEl cientfico se ocupa de demostrar hechos para comprobarlos, las mentes ms estrictas utilizan ecuaciones matemticas, luego vienen otros hombres que aplican estos conocimientos y los traducen en objetos concretos de usos de aplicabilidad prctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible, aquello que no se puede demostrar a travs de esas frmulas matemticas: es la realidad sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, las cuales normalmente marchan paralelas. En estos tres ltimos fascculos de Matemtica maravillosa, nos referimos a dos aspectos que han estado presentes a lo largo de toda la obra, incluyendo las dos colecciones anteriores: Matemtica para todos (2004) y El mundo de la matemtica (2005), cuales son: Construcciones geomtricas. Vinculacin entre matemtica, artes y arquitectura. En relacin con las figuras geomtricas hemos utilizado frecuentemente algunas resultantes de diversas construcciones, pero en otras no se han indicado los procedimientos para dibujarlas. Esto es parte de lo que vamos a desarrollar en las prximas pginas. En cuanto a la vinculacin con las artes y la arquitectura, ya se ha presentado una amplia gama de ejemplos en diversas secciones de esta serie y en las dos colecciones anteriores. Ahora intentamos mostrar una visin unificadora, un conjunto de temas matemticos que inciden de alguna forma en las artes y la arquitectura.La matemtica ha estado vinculada a la arquitectura, la pintura, la escultura, el grabado y la msica, desde la antigedad.

Las artes, la arquitectura y la matemtica tienen intereses comunes, en cuanto a la forma y su estructura, en las representaciones, la geometra y la manera como los objetos encajan y se relacionan mutuamente, se proporcionan, se equilibran. Estas vinculaciones han conducido a que en las dos ltimas dcadas se haya convocado una variedad de seminarios y congresos internacionales, en diversos pases, relacionando las artes, la arquitectura y la matemtica.

A partir de 1992, en Qubec, Canad, se iniciaron los Congresos Internacionales sobre Educacin Matemtica (ICME por sus siglas en ingls), en los que se ha conformado, de manera permanente, un grupo temtico sobre Arte y Matemtica, lo cual puede considerarse un indicador de la importancia del tema relacionado con la enseanza-aprendizaje de la matemtica. Posteriormente se han continuado en Sevilla (1996), Tokio/Makuhari (2000) y Oslo (2004).

En el cuadro sinptico que presentamos a continuacin, se intenta, a travs de la agrupacin de algunos temas matemticos que intervienen en las artes y la arquitectura, sintetizar parte de las relaciones entre estas disciplinas. Componentes matemticas en las artes y la arquitectura

Componentes matemticas en las artes y la arquitectura

All aparecen siete ttulos con sus respectivos subttulos. Los de menor data en orden histrico se refieren a los fractales, mientras que los de mayor antigedad corresponden a la poca de los egipcios y griegos: polgonos, poliedros, el nmero de oro, los frisos o bandas, las cnicas y los cuerpos redondos (esferas, conos y cilindros); asimismo, la msica (escala pitagrica) que estaba incluida en la matemtica formando parte del quadrivium pitagrico. En la parte intermedia se sita la perspectiva (s. XV, el quattrocento, como es conocido). En los fascculos anteriores de esta serie de Matemtica maravillosa se han mostrado ejemplos sobre los siguientes aspectos: a) Simetras en un plano: polgonos y mosaicos, teselaciones, mosaicos de Escher; b) Simetras en el espacio: poliedros, teselaciones, el hipercubo; c) Armnicos (aproximaciones de Fourier); d) Fractales en 2D y 3D; e) Curvas y superficies: Cnicas, espirales, catenaria, cicloide, cudricas; f) Una resea breve sobre perspectiva. No obstante, tambin existen otros componentes matemticos relacionados con el tema que nos ocupa que no han sido tratados en ninguna de nuestras publicaciones ya que requieren de conocimientos ms especializados, entre los cuales destacan: Los nudos. Las superficies mnimas, las superficies algebraicas y las superficies de Bzier. La belleza dentro del caos. Las geometras no euclidianas y la topologa.

Construcciones geomtricas Muchas de las construcciones geomtricas se pueden Realizar con regla y comps. Entre ellas estn:Mediatriz de un segmento (la perpendicular al Segmento en su punto medio)

Perpendicular a una recta o un segmento de recta por un punto dado

Bisectriz de un Angulo o (semirrecta que pasa por el vrtice del ngulo y lo divide en dos ngulos iguales).

Paralela a una recta pasando por un punto dado

Tangencia a una circunferencia en un punto de la misma

2 LAS MATEMTICAS EN EL RENACIMIENTO

2.1. DEFINICION:

El renacimiento fue el periodo de la historia europea que se caracteriz por un inters por el pasado grecorromano clsico y especialmente por su arte.Despues de la cada del impero Bizantino en 1453 con la derrota de Constantinopla provoco que muchos se fueran con destino a Italia, llevando consigo numerosos manuscritos y tratados griegos desconocidos en Europa Occidental.

Esto uni al Oriente y Occidente y trajo consigo un intercambio cultural enorme en diferentes reas. Gracias a la imprenta la actividad matemtica se inici en Alemania e Italia al principio del renacimiento se extendi por toda Europa occidental y la mayor parte de las obras relevantes de la antigedad han llegado a nuestros das.

Podemos decir que lo ms importante fue el lgebra y la trigonometra.

2.2. DESARROLLO:

2.2.1: MATEMTICOS SOBRESALIENTES DE ESTA POCA Y SUS APORTACIONES

A: Nicols Chuquet:

Escribi el primero libro renacentista sobre algebra, encontrado en 1481 titulado triparty en la science des nombres

B: Luca Pacioli:

Escribi el libro summa de Aritmtica, el cual fue el libro ms conocido del algebra renacentista. Fue publicado en 1494 y en l se recopila aritmtica, geometra euclidea muy elemental, contabilidad de doble entrada y algebra.

C: Leonardo DaVinci:

En su obra De Divina Proportione se estudian los polgonos y poliedros regulares.

2.2.2: EL ALGEBRA GERMNICA

El desarrollo simblico del algebra se inicia de manera destacada en el periodo renacentista. Los libros alemanes sobre algebra hicieron posible que durante algn tiempo se impusiera en Europa la palabra Coss para designar incgnita y la expresin arte csico para referirse al algebra

2.2.3: FORMULA TARTAGLIA-CARDANO

Tartaglia y Cardano encontraron una frmula anloga para ecuaciones cubicas (en la que aparecen races cubicas adems de races cuadradas) y que Ferrari encontr otra ms compleja para ecuaciones cuarticas. En realidad, ms que frmulas, encontraron mtodos de resolucin que pueden resumirse en sendas frmulas, si bien, en el caso de las ecuaciones cuarticas, la frmula es tan compleja que resulta inmanejable, y es preferible describir el proceso de resolucin como un algoritmo de varios pasos.Utilizando el simbolismo algebraico moderno, la frmula de Tartaglia-Cardano que permite resolver la ecuacin de tercer grado x3 + px + q = 0, en la que se puede transformar cualquier ecuacin cbica completa, es:

(Si < 0 estamos en presencia del caso irreducible cuyas soluciones reales se deben calcular haciendo intervenir nmeros complejos.)

2.2.4: LOS NMEROS COMPLEJOS

Despues de la resolucin de las cubicas los algebristas buscaban una solucin de la quintica, su bsqueda era errnea pero fue un buen avance para las matemticas. Los algebristas evitaban la existencia de los nmeros imaginarios diciendo que las ecuaciones del tipo x2+1=0 eran insolubles. Tras la resolucin de la cubica la situacin cambi radicalmente ya que cuando las tres races de la ecuacin cubica resultan reales y no nulas, la frmula de Tartaglia-Cardano nos da races cuadradas de nmeros negativos, lo que condujo al estudio del comportamiento de los nmeros imaginarios

2.2.5: LA GEOMETRA EN EL SIGLO XVI

Antes del siglo XVI, en Europa muchos problemas geomtricos comenzaron a desarrollarse de forma algebraica y a veces el encontrar la solucin de ecuaciones algebraicas se explicaba mediante ejemplos geomtricos. La geometra pura perdi parte de la esencialidad, y ms an cuando se desarroll de manera considerable el lgebra simblica. A finales de la edad media comenzaran a desarrollarse nuevas formas de ver la geometra desarrollndose as otros tipos de geometra tales como la geometra euclidea, la proyectiva y la descriptiva.3 MUJERES EN LASMATEMTICAS

3.1: DEFINICION:

31 agosto, 2011marifermeryDeja un comentarioMujeres en las matemticasPor qu, entonces, no se citan mujeres matemticas anteriores al siglo XX? La razn es un conjunto de barreras social y culturalmente impuestas, entre las que podramos citar: Actitudes negativasno slo acerca de su talento cientfico sino tambin acerca de la utilidad de las matemticas para ellas Dificultades para conseguir una educacin matemtica Falta de apoyo y comprensin para relevar a la mujer de las tareas cotidianasLas mujeres tambin han tenido a lo largo de la historia muchas y serias dificultades para introducirse en el mundo de la ciencia y en concreto en el de las matemticas. Aqu recogemos algunos ejemplos donde queremos reflejar su esfuerzo y sus aportaciones. Ellas lucharon por sus ideales, hasta alcanzar sus metas y propsitos, obteniendo al fin plazas para distintas universidades, en las cuales hicieron grandes descubrimientos, muchos de ellos muy importantes.3.2: HIPATIA DE ALEJANDRA.

Contribuy a la invencin de aparatos como el aermetro y construy el astrolabio.Era defensora del heliocentrismo (teora que defiende que la tierra gira alrededor del sol).Trabaj sobre escritos relacionados con las ecuaciones diofnticas, sobre las cnicas y la geometra y tambin elabor tablas sobre movimientos de los astros.3.3: MILIE DE CHTELET.

Con diez aos ya haba estudiado matemticas y la metafsica; a los 12 saba ingls, italiano, espaol y alemn y traduca textos en latn. En un caf de Pars no la dejaron entrar por ser mujer. Estudi a Descartes, Leibniz y a Newton. Escribilas instituciones de la fsica, libro que contiene el clculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemtica de Newton. Despus de quedarse embarazada termin la edicin de la Principia.3.4: MARA GAETANA AGNESI.En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae que abordaba los problemas de filosofa natural que habitualmente se discutan en los salones. Despus escribi el libro Instituciones analticas al uso de la juventud italiana en el que explicaba una parte novedosa de las matemticas: el clculo analtico.Todos hemos escuchado hablar sobre Aristteles, Einstein, etc. pero Cundo haz escuchado sobre una mujer que contribuy en las matemticas? En mi opinin, las mujeres han contribuido de alguna manera positiva en las matemticas y no se les reconoce tanto como a los hombres. Las mujeres siempre han sido reprimidas del campo de la ciencia y matemticas sin embargo sus logros han sido bastantes admirables y tenemos que darles su mrito.

4: ARQUITECTURA Y MATEMTICAS

La geometra al servicio del arte: de Gaud a Gehry4.1DEFINICION:No extraa a nadie el hecho de que las matemticas tengan una aplicacin directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que emplear, las cargas que tienen que soportar y quizs tambin el coste econmico. Sin embargo parece que esta aplicacin se reduce slo a esto, al clculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseo del objeto arquitectnico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creacin artstica, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemticas y deja volar la imaginacin en la bsqueda de la forma deseada. Pues bien, esto no es exactamente as.Lo que quizs resulta desconocido es que las matemticas tambin pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mgico de creacin artstica, s en el inmediatamente posterior. Toda creacin arquitectnica es geometra es una mxima que se puede encontrar en los tratados de geometra descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clsicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros das, tambin lo continan haciendo. Una nueva teora, la de las superficies de Bzier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la dcada de los 60 en varias empresas automovilsticas y de construccin aeronutica, permite ayudar al arquitecto a disear superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cmo ha aprovechado la arquitectura en el ltimo siglo no slo las tcnicas matemticas, sino tambin las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaud hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Flix Candela y por el estadio olmpico de Mnich. Un recorrido que paralelamente nos traer desde las superficies clsicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.

Descripcin explcita de la parte del paraboloide hiperblico utilitada por el arquitecto Flix Candela.

Toda creacin arquitectnica es geometra4.2 GEOMETRA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADORUna de las superficies que ms se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperblico. Gaud fue uno de los que la emplearon, pero quien ms la ha trabajado ha sido Flix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperblico es un espcimen ya conocido por los griegos. Lo que las curvas cnicas (la elipse, la parbola y la hiprbole) son para la dimensin dos, en dimensin tres lo son las superficies cudricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperblico, una de las superficies cudricas, estas secciones son parbolas y hiprbolas.

Explicacin de la construccin del paraboloide hiperblico como superficie reglada.

Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motiv el inters tanto de Gaud como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperblico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con lneas rectas. Lo nico que se tiene que hacer es ir variando el ngulo de inclinacin de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los gemetras las denominamos superficies regladas y tenemos ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permita a Gaud dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando stos tenan que construir un paraboloide hiperblico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el ao 1883).Veamos exactamente cmo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estn en un mismo plano, hay un nico paraboloide hiperblico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. sta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una nica recta. Lo que tenan que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Despus slo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.Arriba, fotografa de un bar en la Malva-rosa, en Valencia.Debajo, representacin con el programa Mathematica de la cubierta de este bar.Foto: M. LorenzoGaud utiliz el paraboloide hiperblico y tambin otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolucin. Quien mostr una maestra sublime en su utilizacin fue el arquitecto de origen espaol, exiliado a Mxico y despus nacionalizado norteamericano, Flix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de Mxico. El techo est formado por ocho paraboloides hiperblicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogrfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.

Arriba, fotografa de un bar en la Malva-rosa, en Valencia.Debajo, representacin con el programa Mathematica de la cubierta de este bar.Foto: M. LorenzoEn palabras del matemtico DeCasteljau 'ni l saba qu poda hacer en aquella empresa, ni, lo que es peor, la empresa saba qu poda hacer con un matemtico'

Tanto Gaud como Candela aprovecharon superficies matemticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseo de la forma deseada. Slo podan utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parmetros. La nica variacin permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parmetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas supli este defecto.

Representacin como unin de partes de un paraboloide hiperblico de la cubierta del edificio de recepcin de lOceanogrfic.

LOceanogrfic, fotografiado durante su contruccin, muestra su estructura.Foto: J. Yaya4.3 SUPERFICES MNIMAS EN ARQUITECTURAEl siguiente ejemplo de utilizacin de un determinado tipo de superficie en arquitectura lo podemos encontrar en dos de los edificios del complejo olmpico de Mnich (1972). Tanto la cubierta de las gradas del estadio olmpico como la de la piscina son ejemplos de las nominadas superficies mnimas. Estas superficies, conocidas en geometra desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen rea mnima. La propiedad de minimizar el rea es la que aprovech su arquitecto, el alemn Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economa de material y una forma atrevida.Las superficies mnimas, aunque permiten ms grados de libertad que el uso exclusivo de los paraboloides hiperblicos, continan teniendo restricciones. Bsicamente estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mnima est totalmente determinada. Por lo tanto, los diseadores de superficies slo pueden actuar sobre la frontera y esperar que la superficie mnima resultante presente la forma deseada.

Fotografas de la cubierta de la estacin del Cabanyal, en Valencia.Fotos: M. Lorenzo

4.4 LA GNESIS DEL DISEO GEOMTRICO ASISTIDO POR ORDENADOR

Este problema, la carencia de libertad en el diseo, que aparece con la utilizacin de superficies cudricas o mnimas, es el mismo que se plante en el origen de una nueva disciplina: obtener curvas y superficies de formas diversas pero con un procedimiento sencillo. Esto no se puede conseguir con ecuaciones, puesto que la intuicin, mal que nos pese a los gemetras, se pierde cuando sustituimos una superficie por una ecuacin. Hace falta un procedimiento geomtrico simple que permita construir formas complicadas. En stas estaban en el centro de diseo de la empresa automovilstica Citron cuando, en las postrimeras de la dcada de los 50, contrataron un joven matemtico. En palabras del mismo matemtico ni l saba qu poda hacer en aquella empresa, ni, lo que es peor, la empresa saba qu poda hacer con un matemtico. El caso es que le plantearon un problema relacionado con el diseo y la respuesta que dio es ahora conocida como el inicio del diseo geomtrico asistido por ordenador. Su apellido era DeCasteljau, pero ahora las curvas y superficies que ide se conocen con el nombre de curvas y superficies de Bzier, en honor de otro matemtico que, de manera independiente y alternativa, lleg a la misma solucin trabajando para una empresa de la competencia, la Renault. La explicacin de este cambio de nombre es a la vez sencilla y cruel, la poltica de propiedad intelectual de la Citron era mucho ms restrictiva con sus trabajadores que la de la Renault. DeCasteljau no obtuvo el permiso para publicar su trabajo en revistas cientficas, con todo lo que conlleva de difusin internacional de los resultados, lo que s que pudo hacer Bzier.La idea de DeCasteljau para construir superficies tiene como germen el mismo paraboloide hiperblico. Ya hemos visto que con cuatro puntos determinamos un paraboloide hiperblico. De alguna manera podemos decir que estos puntos controlan la superficie. La idea consiste en utilizar una red de puntos que controlan la superficie, y construir la superficie con un procedimiento parecido al que utilizan los obreros, matemticamente denominado interpolacin lineal, de manera recursiva. Hay que sealar que uno de los ingredientes fundamentales que los informticos, y tambin los matemticos, aprovechan cuando disean un algoritmo es la recursividad. Por tanto, la construccin de DeCasteljau est totalmente adaptada a la nueva herramienta de trabajo que representaba el ordenador en aquellos primeros aos de su aparicin.

4.5 CADG EN LA ARQUITECTURAEn Les Alqueries, en La Plana Baixa, se poda contemplar a principios de verano del 2002 cmo al lado de la carretera empezaba a levantarse una estructura que llamaba poderosamente la atencin. Eran las cuadernas de madera que soportaran el techo de un nuevo restaurante. El edificio es de planta rectangular, con paredes sin ningn ornamento, todo muy clsico. Sin embargo, el elemento ms llamativo es la forma de la cubierta. En contraste con la utilizacin de lneas rectas y paredes totalmente planas, la cubierta casi volaba mostrando una estructura curvada grcilmente. Casi como si una mgica alfombra voladora se hubiera puesto como techo. Las paredes de vidrio contribuyen a hacer ms patente esta sensacin. Pues bien, la cubierta no es otra cosa que una de las ms sencillas superficies de la nueva disciplina.La cubierta que se poda contemplar a principios de verano del 2002, totalmente acabada a comienzos del otoo, es el ejemplo de superficie de Bzier ms sencillo a parte del propio paraboloide hiperblico. Contina siendo una superficie reglada. Dos de los lados de la superficie son parbolas, una cncava y la otra convexa. Los otros dos son segmentos rectilneos. Podemos pensar en la superficie como una familia de segmentos rectilneos, apoyados en sus extremos sobre ambas parbolas. Es decir, los obreros de Gaud habran deslizado la barra con los extremos sobre las dos parbolas.Esta superficie todava conserva una de las propiedades del paraboloide hiperblico, todava es una superficie reglada. Las dimensiones de su red de control son 3 por 2. Un ejemplo de superficie de Bzier con un grado ms de complejidad se puede construir con una red de control del tipo 3 por 3. Pues bien, resulta que tambin podemos encontrar una materializacin arquitectnica en la misma ciudad de Valencia, concretamente en el extremo norte de la playa de la Malvarrosa.El ejemplo ms emblemtico de aplicacin del diseo asistido por ordenador en la arquitectura lo tenemos tambin cerca, el Museo Guggenheim (1997) del arquitecto canadiense Frank O. Gehry. Sus aristas curvadas, la forma sinuosa de las paredes recubiertas de titanio, los volmenes nada uniformes, la geometra irregular, en definitiva, son producto de la voluntad de integrar el edificio en el entorno que lo rodea y de la ayuda que su creador ha tenido de los programas informticos de diseo basados en los conceptos de curvas y superficies de Bzier y de sus generalizaciones.El embrin del diseo del Museo son unos pocos garabatos. Slo con informacin adicional podemos relacionar el boceto con el resultado final. Pese a esto, la chispa creativa est all. Todo lo que viene despus es tcnica. Ahora bien, la nocin de superficies de Bzier ayud al arquitecto a pasar con facilidad de las musas al papel. En palabras del arquitecto mismo: Despus el ordenador hace los modelos y yo los utilizo como revisin visual final. Entonces, con el ordenador creo que cambia la ecuacin entre arquitecto y construccin. Nos podemos imaginar el estudio de arquitectura con el arquitecto trabajando con un programa de diseo asistido por ordenador en marcha (concretamente, era uno llamado CATIA, de una empresa aeroespacial francesa) haciendo pruebas y ms pruebas, cambiando de sitio los puntos de control, hasta que aquello que mostraba el monitor reflejara lo que l tena en mente.Si visitis alguna vez el museo de Bilbao, recordad que el mismo envoltorio del museo, el edificio, tanto el exterior como el interior, es tambin una obra de arte producto de un arquitecto de su tiempo, un Vitruvio electrnico, que aprovech las herramientas matemticas en el mismo proceso de creacin. Herramientas que permitieron transformar las visiones escultricas en un proyecto factible.

Fotografas del museo Guggenheim, en Bilbao, del arquitecto canadiense Frank O. Gehry

5 CONCLUCION:

Las Matemticas se encuentran presentes en las plantas y elementos decorativos de los edificios que nos rodean. Basta con situarnos delante de uno de ellos y contemplarlo con detenimiento, para observar que el orden que se refleja en su imagen arquitectnica est ntimamente relacionado con la insercin en el mismo de figuras geomtricas, y con la existencia de relaciones entre los elementos de stas, de forma que la composicin arquitectnica est estrechamente ligada a las matemticas, y a la geometra. Saber ver la arquitectura es, en cierto modo, descubrir en ella la perfeccin que le confiere su diseo geomtrico y su ordenamiento matemtico.

Mi conclusin acerca de las matemticas en la Arquitectura de Egipto a la Edad Media es como se avanz hasta los tiempos modernos en que el Arquitecto se dedica a hacer los planos y el constructor realiza fidedignamente el trabajo de la construccion y el criterio es aceptado al fn.

6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

http://www.youtube.com/watch?v=4Wq8w251o7khttp://www.youtube.com/watch?v=as4edAwJwUUhttp://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates56/opciones/investigaciones%20matematicas%200506/mujeresmatematicas/mujeres%20matematicas.htmhttp://www.xtec.es/~fgonzal2/mujeres_mat.htmlLas Matemticas a lo Largo de la Historia: De La Europa Medieval Al Siglo XIX (Toms David Pez Gutirrez)