an.lisis multiobjetivo considerando · problema del pert-coste: 4. programación de inversiones •...

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TUTORIAL:ANÁLISIS MULTIOBJETIVO CONSIDERANDOINCERTIDUMBRE E IMPRECISIÓN

III CONGRESO COLOMBIANO Y I CONFERENCIA ANDINA INTERNACIONAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Patricia Jaramillo A. y Ricardo A. Smith Q.Instituto de Sistemas y Ciencias de la Decisión

Facultad de Minas

Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia

OBJETIVO

Presentar los conceptos y metodologías fundamentales para la resolución de problemas de Optimización con Múltiples Objetivos, considerando además Incertidumbre e Imprecisión, tanto en los datos del problema como en la estructura de preferencias del decisor.

Las metodologías presentadas se basan en la Programación Estocástica y en la Lógica Difusa.

2

PROGRAMA

1. La toma de decisiones bajo múltiples objetivos2. Metodologías clásicas: 3. La consideración de la Incertidumbre. Criterios

de Incertidumbre- Método PROTRADE.4. La consideración de la Imprecisión en Análisis

Multiobjetivo. AMO bajo Lógica Difusa5. Casos de Aplicación

MÓDULO 1.

LA PROGRAMACIÓN MULTIOBJETIVO

3

1. Conceptos Generales2. Métodos AMO3. Pesos de Importancia relativa4. Propuesta

Formulación del problema AMO

Max Z(x)=(Z1(x),Z2(x)......Zq(x))

sujeto a:g1 (x) < b1

S(x) g2 (x) < b2

gk (x) < bk

S

Z1(x)

A

B

Zmax

a d

c

Zmin

...

Pro

ducc

ión

eco

nóm

ica

($)

Hectáreas preservadas en estado satisfactorio

4

EJEMPLO: Planificación de la producción de una papelera

Dos posibles productos:x1: pulpa de celulosa obtenida por medios mecánicosx2: pulpa de celulosa obtenida por medios químicos.

30001000Margen Neto ($/ton)

2

1

200

x2

1Demanda Biológica de O (un/ton)

1Jornales requeridos (jor/uni)

300Capacidad máxima de producción (Ton/dia)

X1

Los costos fijos de la papelera se estiman en 300.000 $/día. La empresa desearía, al menos, cubrir los costos fijos.

Las preferencias de la empresa se concretan en:

•Maximización del margen Neto (objetivo económico)

•Minimización del daño generado en el río en el que la papelera vierte sus residuos productivos (objetivo ambiental).

Objetivos

Maximizar Z1= 1000x1 + 3000 x2 Margen bruto

Maximizar Z2 = -1x1 - 2 x2 Demanda de O

Restricciones

x1 ≤ 300 y x2 ≤ 200 (capacidad de producción)

x1 + x2 ≤ 400 (empleo)

1000x1 + 3000x2 ≥ 300000 (margen bruto)

x1, x2 ≥ 0

5

3003000000300E

500600000100300D

600800000200200C

4006000002000B

2003000001000A

Z2Demanda

de O

Z1(u.m)

X2(ton)

X1(ton)

Puntos extremos

X1: pasta por medios mecánicos (ton)

A

B

E

C

D

400

300

200

100

400

X2:

pas

ta p

or m

edio

s quí

mic

os (t

on)

Zona factible

200300X (ópt)2

600800X (ópt) 1

Z 2Z 1

A

B

E

C

D

z1:Margen bruto (miles u.m.dia)

Z 2: D

eman

da b

ioló

gica

de

oxíg

eno

(uni

dade

s dí

a)

400

600

200

300 600 900

Zona factible

Frontera eficiente

Optimo

Matriz de Pagos

6

S

Z1(x)

A

B

a d

c

Zmin

Z2(x)

Zmax

Solución Pareto OptimaSe dice que una solución x* es Pareto

óptima si y solo si no existe otra x ∈ S, tal que Zi(x) ≥ Zi(x*) para todo i y Zj(x) ≠Zj(x*) para al menos un j

S

Z1(x)

A

B

Zmax

a d

c

Zmin

Pro

ducc

ión

eco

nóm

ica

($)

Hectáreas preservadas en estado satisfactorio

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SOLUCIÓN MCDM

OPTIMAOPTIMASATISFACTORIASATISFACTORIA

EFICIENTEEFICIENTE

xx

Tipos de problemas según el ambiente de certidumbre

• Ambiente de certidumbre

• Ambiente de riesgo

• Ambiente de incertidumbre

• Ambiente de Imprecisión

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1. Problema del transporte:

• Minimizar Costos

• Maximizar Rapidez de entrega

• Maximizar el trato especial de ciertos clientes en particular

• Minimización de los riesgos de transporte

• Maximizar Cumplimiento de los contratos programados.

2. Problema de asignación de tareas

• Minimizar Costos

• Minimizar tiempo

• Maximizar calidad en la realización de tareas

EJEMPLOS AMO

• Minimizar costos

• Minimizar duración

3. Problema del PERT-COSTE:

4. Programación de inversiones

• Maximizar Atención a la demanda futura

• Minimizar el uso de los recursos financieros disponibles

• Minimizar Contaminación de medio ambiente

• Minimizar Impactos sociales

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• Maximizar los beneficios por ventas

• Maximizar la producción de todos los artículos

• Minimizar rupturas de stock

• Minimizar horas ociosas

• Minimizar horas extra

• Minimizar sobreproducción

5. Problema de la producción y distribución

6. Problemas de Gestión Ambiental

•Minimizar Impactos Ambientales

• Maximizar población Beneficiada

• Maximizar beneficios económicos

M. de las Restricciones

M. de las Ponderaciones

Factores Ponderantes

Programación de compromiso

Programación por metas

ELECTRE I,II, III y IV

PROMETHEE

AHP

Generan un

conjunto de SND

Generan una

SND

Ordenan un conjunto

de alternativas

Discretas

Métodos de Análisis Multiobjetivo

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)('...)(')(' 2211 xxx qqZwZwZw +++

Casi todos los métodos se basan en optimizar una nueva función que integra todas las funciones objetivo en una sola, de la forma:

)(' xiZDistancia al ideal

Distancia al peor valor

Utilidad

Etc.

−

−+

−−

+−−

+−−

minmax

min

minmax

min

min2

max2

min22

2min1

max1

min11

1

)(.......)(......)()(

qq

qqq

ii

iii ZZ

ZZw

ZZZZw

ZZZZw

ZZZZw

xxxx

Maximizar

Sujeto a x ∈ S

Dondewi = Peso de importancia relativa del objetivo i

I. Método de los factores ponderantes

11

S

Factores Ponderantes

'''2

22'

1

11 .............

q

qq

i

ii Z

Zw

ZZw

ZZw

ZZw +++Maximizar

w1

w2

Z1(x)

Z2(x)

A

B

C


Z 2: D

eman

da b

ioló

gica

de

oxíg

eno

(uni

dade

s día

)

400

600

200

300 600 900

Frontera eficiente

Optimo

12

II. Programación de compromiso

Asume que las preferencias de un decisor pueden expresarse como una distancia métrica entre dos puntos: el ideal y el nivel alcanzado por una solución.

El método obtiene la solución factible más cercana al punto ideal: Minimizar Dp

Zmax

Z1

Z2

Dp

Familia de funciones de distancia

{ }pn

i

pp BABAD

1

1

),(

−= ∑

=

Distancia Manhattan (ciudad) p=1, D1= a + b

Distancia Euclidiana p=2, D2= (a2 + b 2)1/2 = c

Distancia Tchebysheff, p=∞, D∞ = max (a,b)

A

B

a

b

c

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pq

i

p

ii

iiip ZZ

ZZwDMin

1

1minmax

max )()(

−−

= ∑=

xx

di

Formulación para la Programación de Compromiso:

x∈S

Programación de compromiso p=∞ :

−−

minmax

max )(

ii

iii ZZ

ZZwMaxMin x

λMin

Sujeto a: qiZZZZwii

iii ,...1,)(

minmax

max

=∀≤−− λx

Esto es equivalente a:

x∈S

x∈S

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Lo cual da una solución “equilibrada“, pues satisface la siguiente relación entre objetivos:

minmax

max

min2

max2

2max2

2min1

max1

1max1

1)(

...)()(

qq

qqq ZZ

ZZw

ZZZZw

ZZZZw

−

−==

−−

=−− xxx

Métrica = 1

Si todos los pesos wi son iguales:

Zmax

Z1

Z2

15

Métrica = 2


Zmax

Z1

Z2

Métrica = ∞


Zmax

Z1

Z2

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Objetivos

Maximizar Z1= 1000x1 + 3000 x2 Margen bruto

Maximizar Z2= -1x1 - 2 x2 demanda de O

Restricciones

x1 ≤ 300 y x2 ≤ 200 (capacidad de producción)

x1 + x2 ≤ 400 (empleo)

1000x1 + 3000x2 ≥ 300000 (margen bruto)

Planificación de la producción de una papelera

−−−

−−−−+

−+−

)600(200)2(200

5.0300000800000

)30001000(8000005.0 2121 xxxxMin

métrica=1,w1=0.5, w2=0.5

Sujeto a:

x1 ≤ 300

x2 ≤ 200

x1 + x2 ≤ 400

1000x1 + 3000x2 ≥ 300000

Solución: x1= 0 Z1= $600000

x2 =200 Z2 = 400 unidades

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2/1221

221

)600(200)2(2005.0

300000800000)30001000(8000005.0

−−−

−−−−+

−+− xxxxMin

métrica=2,w1=0.5, w2=0.5

Sujeto a:

x1 ≤ 300

x2 ≤ 200

x1 + x2 ≤ 400

1000x1 + 3000x2 ≥ 300000

Solución: x1= 0 Z1= $595082

x2 =198.36 Z2 = 396.7 unidades

λ≤−−−

−−−−)600(200

)2(2005.0 21 xx

métrica= ∞, w1=0.5, w2=0.5

x1 ≤ 300

x2 ≤ 200

x1 + x2 ≤ 400

1000x1 + 3000x2 ≥ 300000

Solución: x1= 0 Z1= $572727

x2 =191 Z2 = 381.8 unidades

λ

Sujeto a:

Minimizar

λ≤−

+−300000800000

)30001000(8000005.0 21 xx

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50.8259.02396.7595D2

54.5554.55381.8572D∞

5060400600D1

Z’2(%)

Z’1(%)

Z2

(uni.)Z1

(103$)

En resumen:

A

p=1


Z 2: D

eman

da b

ioló

gica

de

oxíg

eno

(uni

dade

s día

)

400

600

200

300 600 900

p=2p=∞

Zmax

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El método obtiene la solución factible más cercana al punto meta.

Punto ideal: Vector de todos los óptimos independientes de los objetivos - No puede ser superado

Punto Meta: Vector de todos los niveles deseados por el decisorpara los objetivos- Puede ser superado

III. Programación por Metas

Meta Z*

Ideal

Z2

Z1

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Los Pesos de Importancia Relativa Los Pesos de Importancia Relativa WWi

Describen la importancia relativa de cada objetivo.

Si: wk : peso asignado a Zk

wm : peso asignado a Zm

Zk es wk/wm veces más importante que Zm

wmZm+wkZk=U

1

-wm /wk

CompensaciónEl decisor está dispuesto a ganar una unidad de Zmy perder wm / wk unidades de Zk, para que su satisfacción no cambie

Zm

Zk

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Desventajas de los pesos1. Dificultad práctica en darle un valor numérico

WWii

0.260.26

0.420.42

0.780.78

0.150.15

0.460.46

0.350.35

??

Desventajas de los pesos

2. Asumen tasas constantes de intercambio

3. Se solicitan al principio del proceso

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4. Para diferentes combinaciones de pesos puede obtenerse la misma solución

Zm

Zk

eben buscarse formas de expresar las preferencias de decisor considerando que:

os intercambios propuestos por el decisor deben considerar en que nivel se encuentran los logros actuales.

La búsqueda debe ser dinámica y no estática =proceso iterativo

e requieren de parámetros de significado más

PropuestaPropuesta::

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Búsqueda por navegaciónZ1(x)

S

Zmax

Z2(x)


S

Zmax

Z2(x)

−∆ Z‘j-1

24


S

Zmax

Z2(x)

−∆ Z‘j-1

+∆ Z‘j


S

Zmax

Z2(x)

25


S

Zmax

Z2(x)


S

Zmax

Z2(x)

26

Basado en la teoría del “comportamiento complaciente”

Objetivo j -1 Objetivo j Objetivo j + 1

Optimo

Peor

+∆ Z‘j

a

−∆ Z‘j-1

)(xkZ

jjZ ≥∈)(x

Sx ∈

Dada una solución actual, tal que se desea mejorar el logro

del objetivo k, a expensas del objetivo i en un sacrificio ∆Zi

Donde ∈j representa los valores de Zj correspondientes a los niveles marcados en las barras desplazables de cada uno de los objetivos j.

Maximizar

Sujeto a:

iii ZZ ∆−≥∈)(x

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•Permite que el decisor, a la luz de la información que se le presenta progresivamente, vaya “atrapando” la solución correspondiente a su verdadera estructura de preferencias,

Ventajas

•Da información sobre las posibles consecuencias de las acciones, ayudándo a entender las relaciones en el espacio de decisión del problema.

•Permite analizar simultáneamente el espacio de todos los objetivos y de todas las variables de decisión

Ventajas

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•No asume independencia entre objetivos, pero permite percibir dependencia entre objetivos.

•No permite incompatibilidades en los parámetros de preferencia

Ventajas

•Existe una alta posibilidad de hacer análisis de sensibilidad muy completos que puedan llevar a identificar soluciones robustas.

•Las funciones pueden ser no lineales o lineales

•No requiere llevar los objetivos a una misma unidad (Normalización)

Ventajas

an.lisis multiobjetivo considerando · problema del pert-coste: 4. programación de inversiones •...

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