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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 7: Cálculo de Integrales

2015- Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

UNIDAD 7

Cálculo de Integrales

Contenidos de la Unidad 7: Primitivas de una función. Integral de Riemann (o inte-gral de�nida). Teorema del Valor Medio. Integral inde�nida. Teorema Fundamental delCálculo. Regla de Barrow. Técnicas de integración.

El cálculo de integrales constituye la segunda parte del curso de Análisis Matemático I. Trata dosproblemas aparentemente bien distintos:

1. Primitivas o integrales inde�nidas: la reconstrucción de una función a partir del conoci-miento de su derivada, mediante el cálculo de primitivas o anti-derivadas. Este problema sepuede plantear como un caso particular de las llamadas ecuaciones diferenciales.

2. Integrales de�nidas: el cálculo de cantidades acumuladas, asociado a la suma continua decontribuciones de valor cambiante. En cierto sentido, este problema es una generalización dela "regla de tres simple" al caso en que las contribuciones no se mantienen proporcionales alincremento de una variable.

Ambos problemas están íntimamente ligados por el llamado Teorema Fundamental del Cálculo. Poreste motivo se los estudia juntos, tanto que se los trata con las mismas herramientas y con la mismanotación.

Veremos el planteo de cada problema en las dos primeras clases, y luego desarrollaremos conjunta-mente la teoría y las técnicas prácticas del cálculo integral.

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CLASE 7.1. FUNCIONES PRIMITIVAS 247

Clase 7.1. Funciones primitivas

Contenidos de la clase: Noción de función primitiva. Propiedades.

7.1.1. Introducción

En esta clase trabajaremos la siguiente pregunta: si nos interesa una función que no conocemos,pero tenemos información sobre su derivada, ¾podemos reconstruir la función?

Ejemplo 7.1.1. Un automóvil viaja por una ruta recta. Con mucho cuidado observamos elvelocímetro y anotamos la velocidad en función del tiempo, v(t), durante una hora. ¾Podremossaber la posición del auto en la ruta, en cada instante del recorrido?

Llamamos t al tiempo, medido con un cronómetro desde el comienzo del recorrido. Trabajandoen minutos, nos interesa 0 ≤ t ≤ 60min. Si llamamos x a la posición del auto en la ruta, medida enmetros, la pregunta de este problema es si podemos encontrar la función x(t), para 0 ≤ t ≤ 60min.

Sabemos que la velocidad v del auto se relaciona con la función posición mediante una derivada:v(t) = x′(t). Nuestro dato es la función v(t), que hemos anotado durante el recorrido, y nuestraincógnita es la función x(t).

Supongamos que los datos medidos muestran una relación

v(t) = 2m

min+ 0.1

m

min2t

Veamos que no resulta difícil construir una función x(t) tal que

x′(t) = 2m

min+ 0.1

m

min2t

Para eso, vamos a aprovechar lo que aprendimos de derivadas, y usarlo para intuir la forma de x(t):

como la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de cada término, podemostrabajar cada término por separadocomo la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada dela función, podemos dejar la constante afuera y trabajar el factor que contenga la variablecomo (t)′ = 1, donde encontramos un 1 proponemos que es la derivada de t

como (t2)′ = 2t, donde encontramos t proponemos que es la derivada de1

2t2

Tenemos como solución la propuesta

x(t) = 2m

mint+ 0.1

m

min2

1

2t2

¾Es una solución correcta? Veri�quemos:

x′(t) = 2m

min(t)′ + 0.1

m

min2

1

2(t2)′

= 2m

min1 + 0.1

m

min2

1

22t

= 2m

min+ 0.1

m

min2t


La solución hallada para x(t) veri�ca que la velocidad v(t) = x′(t) es igual que la que observamos.Es una solución válida.

Pero, ¾es la única solución posible? Si hubiera más de una solución, ¾cómo sabremos cuál es lacorrecta para nuestro automóvil?

como la derivada de una constante es cero, la función x(t) podría tener un término más, unaconstante, y su derivada no cambiaría.

Nuestro problema tiene en realidad una familia de soluciones, de la forma

xC(t) = 2m

mint+ 0.1

m

min2

1

2t2 + C

donde cualquier valor de C constante es aceptable. Eligiendo el valor de C podemos gra�car distintassoluciones:

Usamos la notación xC(t) para dejar claro que son distintas funciones, según el valor de C.Todas ellas veri�can que la velocidad resulta la misma

vC(t) = x′C(t) = 2m

min+ 0.1

m

min2t

La lectura del velocímetro no nos da información su�ciente para decidir cuál de estas solucionesxC(t) es la función posición de nuestro automóvil: se necesita información extra para hacerlo. Porejemplo, si al principio del recorrido (es decir, en t = 0) estábamos junto a un cartel que marcaba"x = 10m", tenemos una condición inicial para ajustar

xC(t = 0) = 2m

min0 + 0.1

m

min2

1

202 + C = 10m

y elegir C = 10m.

7.1.2. Función primitiva.

El problema de hallar una función, a partir de conocer su derivada, aparece en muchas aplicaciones.Vamos a planterlo en general.

Supongamos que una función conocida f : (a, b)→ R con fórmula y = f(x) es la derivada de otrafunción desconocida F : (a, b)→ R en todo el intervalo (a, b).

Definición 7.1.2. Dada una función f : (a, b)→ R, si existe F : (a, b)→ R derivable en (a, b) yveri�ca F ′(x) = f(x), se dice que F (x) es una función primitiva de f(x) en (a, b).

Observen que anotamos "una" función primitiva. No corresponde decir "la" función primitiva porla siguiente:

Propiedad 7.1.3. La primitiva de una función no es única.


Si F0(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo (a, b), entonces, para cualquier constante Creal, FC(x) = F0(x) + C también es primitiva de f(x) en el mismo intervalo (a, b).

Demostración: dado que F ′0(x) = f(x), es fácil comprobar que FC(x) = F0(x) + C es primitivade f(x) usando la de�nición 7.1.2: FC(x) es suma de funciones derivables y su derivada se calcula comoF ′C(x) = F ′0(x) + C ′ = f(x).

Por otro lado, si F0(x) es una primitiva, la familia de funciones FC(x) = F0(x) +C describe todaslas primitivas posibles. Este resultado se basa en el siguiente

Lema 7.1.4. Dada una función F (x) derivable en un intervalo (a, b), si F ′(x) = 0 en todo elintervalo entonces F (x) es una función constante.

Dicho de otra manera las funciones constantes, no importa su valor, son las únicas primitivas def(x) = 0. Como consecuencia podemos probar:

Propiedad 7.1.5. Si F (x) y G(x) son dos primitivas de la misma función f(x) en un intervalo(a, b), entonces están relacionadas por una constante C de forma tal que G(x) = F (x) + C.

Demostración: la funciónG(x)−F (x) es derivable en (a, b), porqueG y F son derivables. Podemoscalcular (G(x)− F (x))′ = f(x)− f(x) = 0. Por el lema anterior, G(x)− F (x) = C, constante. LuegoG(x) = F (x) + C.

Observación 7.1.6. Las grá�cas de la familia completa de primitivas FC(x) = F0(x) + C seobtienen a partir de la grá�ca de cualquier miembro de la familia, mediante traslaciones en el ejevertical. Para identi�car una determinada función de la familia, una forma conveniente es dar suvalor en un punto x0: una condición de la forma F (x0) = y0 permite �jar el valor de la constanteC, como hicimos en el ejemplo 7.1.1.

Notación: dada una función f(x) llamaremos F (x) a una primitiva que podamos construir.En general, usaremos una letra minúscula para la función y la misma letra en mayúscula para suprimitiva.

Cuando conocemos una determinada primitiva F0(x), para referirnos a la familia completa deprimitivas usaremos la notación F0(x) +C. La constante C, por motivos que veremos más adelante,se llama "constante de integración".

Para aliviar la notación, es usual usar también F (x) para la familia completa de primitivas(dejando de lado el subíndice de FC). Según el contexto, deben distinguir si se trata de una primitivao de la familia de primitivas.


Veremos más adelante, luego de avanzar en la teoría de integrales, otra notación estándar paralas primitivas.

7.1.3. Tabla de primitivas básicas

Para hallar primitivas, hay que recordar muy bien la tabla de derivadas. El mecanismo es similaral de estudiar las tablas de dividir números enteros: hay que pensar en las tablas de multiplicar, ysaberlas bien de memoria.

Como ejemplo, hallemos una primitiva de la función f(x) = cos x. Recordando que la derivada desen x es (sen x)′ = cos x, reconocemos que F (x) = sen x es una primitiva de cos x en todo el eje real.Además podemos sumar una constante C, porque su derivada es cero.

Similarmente, si g(x) = x, recordando que (x2)′ = 2x en todo el eje real, podemos a�rmar que(x2

2

)′=

2x

2= x y entonces GC(x) =

x2

2+ C es la familia completa de primitivas de g(x) = x.

Razonando de la misma manera, comprueben que si h(x) = x2 entonces HC(x) =x3

3+ C es su

familia de primitivas en todo el eje real.

Actividad 7.1.7. Completen la siguiente tabla de primitivas (tendrán que recordar las derivadasde funciones ya estudiadas):

función f(x) primitivas F (x) dominio de validez

xx2

2+ C (−∞,+∞)

x2 x3

3+ C

x6

cosxsen x − cosx+ C (−∞,+∞)√x

x1/3

lnx+ Cex

coshxsenhx

1

x2 + 1

Durante el resto del curso, tendrán que preparar y recordar una tabla más completa. Todaslas funciones que hayan encontrado útiles en una tabla de derivadas serán útiles en esta tabla deprimitivas.

Observación 7.1.8. La operación de hallar primitivas se conoce como antiderivada, porque esinversa a la derivación. Sin embargo, si derivamos una función y luego antiderivamos el resultado,no obtenemos la función original: hallamos la función original junto a una familia de funcionesasociadas, porque la primitiva no es única.

7.1.4. Propiedades de la función primitiva

Hemos visto que la derivación tiene varias propiedades que dan lugar a reglas prácticas para calcularderivadas. Como el cálculo de la función primitiva es una operación inversa a la derivación, podemos


aprovechar lo que aprendimos de derivadas para escribir algunas reglas prácticas en el cálculo deprimitivas.

Primitiva de una derivada.

Cuando necesitamos una primitiva de cierta función, que es derivada de una función conocidaf(x), una primitiva es directamente f(x). Es lo que estuvimos haciendo en la actividad anterior y loenunciamos como una sencilla

Propiedad 7.1.9. Si una función f(x) es derivable en (a, b), entonces g(x) = f ′(x) admiteprimitiva en (a, b):

si g(x) = f ′(x), entonces G(x) = f(x) + C

Ejemplo 7.1.10. Esta propiedad es consecuencia directa de la de�nición de primitiva: dado queg(x) = f ′(x), existe f(x) y se veri�ca que (f(x) + C)′ = f ′(x) = g(x). Por ejemplo, sabiendo que(cosx)′ = − senx para todos los reales,

dada g(x) = −sen x, entonces G(x) = cosx+ C

Primitiva de una constante por una función.

Propiedad 7.1.11. Si f(x) admite primitiva en un intervalo (a, b), entonces g(x) = c f(x) admiteprimitiva en (a, b):

si g(x) = c f(x), entonces G(x) = c F (x)

Demostración: es su�ciente veri�car, usando reglas de derivación, que

(cF (x))′ = c F ′(x) = c f(x)

Ejemplo 7.1.12. Calculemos una primitiva de g(x) = 3x. Podemos escribir g(x) = 3 f(x),lamando f(x) = x. Luego una primitiva de g(x) es

G(x) = 3F (x) = 3x2

2=

3

2x2

La familia completa de primitivas se expresa sumando una constante de integración. Por simplicidad,conviene hallar primero una primitiva y agregar la constante al �nal:

G(x) =3

2x2 + C

(noten que en un caso anotamos G(x) para una primitiva, y en el otro caso usamos G(x) para lafamilia de primitivas).

Primitiva de una suma.

Propiedad 7.1.13. Si f(x) y g(x) admiten primitiva en un intervalo (a, b), entonces h(x) =f(x) + g(x) admite primitiva en (a, b):

si h(x) = f(x) + g(x), entonces H(x) = F (x) +G(x)

Demostración: es su�ciente veri�car, usando reglas de derivación, que

(F (x) +G(x))′ = F ′(x) +G′(x) = f(x) + g(x)

Estas dos propiedades 7.1.11 y 7.1.13 dicen que el cálculo de primitivas es lineal. Se pueden recordarjuntas como

si h(x) = a f(x) + b g(x), entonces H(x) = aF (x) + bG(x)

La propiedad de la suma también se aplica a restas, dado que f(x)− g(x) = 1.f(x) + (−1).g(x).


7.1.5. Técnicas para hallar primitivas (información preliminar)

Hasta aquí hemos construido primitivas muy directas, cuando reconocemos a simple vista que unafunción es derivada de otra conocida. Incluso pudimos construir primitivas de una constante por unafunción y de una suma de funciones. Pero no estamos preparados para construir una primitiva decualquier función dada.

Actividad 7.1.14. Discutan si pueden hallar una función F (x) cuya derivada sea

f(x) =2x3 − 4x2 − x− 3

x2 − 2x− 3

(no inviertan mucho tiempo ahora...)

Lamentablemente, no hay reglas directas para calcular la primitiva de cualquier función. Proba-blemente el primer obstáculo se encuentra cuando buscamos la primitiva de un producto:

Actividad 7.1.15. Consideren una función escrita como producto de otras dos, digamos h(x) =f(x) g(x), y supongan que conocen las primitivas F (x) y G(x), una para cada factor.

Discutan si pueden construir una primitiva H(x) multiplicando F (x) y G(x).

Habrán concluido, dicho en palabras, que el producto de primitivas no es una primitiva del producto.Sin embargo, afortunadamente, se conocen dos modelos de productos de funciones con los cuales

podremos operar en las próximas clases. Presentaremos las técnicas adecuadas después de avanzar enla teoría de integrales.

7.1.6. Ejercicios

Los ejercicios de esta clase apuntan a construir una tabla de primitivas, que necesitarán memo-rizar para trabajar con los temas siguientes. También a manejar sumas de funciones y productos deconstantes por funciones.

Ejercicio 7.1.1.

1. Hallen una primitiva para x7, x8, x10.

2. Comprueben que para f(x) = xn, la primitiva es F (x) =xn+1

n+ 1+ C, con n cualquier número

natural (incluyendo n = 0).

Ejercicio 7.1.2. Calculen la familia de primitivas de los polinomios:

1. p(x) = 3x2 + 5x− 1

2. q(x) = −1

2x5 + x3

Ejercicio 7.1.3.

1. Hallen primitivas para 3√x, 5√x , x1/4. ¾En qué dominio son válidas?

2. Comprueben que para f(x) = x1/n la familia de primitivas es F (x) =x

1n

+1

1n + 1

+ C, con n ≥ 2

natural (pueden escribir tambien el resultado con raíces). ¾En qué dominio son válidas?3. Comprueben que si r > 0 es un número racional positivo, la primitiva de f(x) = xr en (0,+∞)

es F (x) =xr+1

r + 1+ C .


Ejercicio 7.1.4. Calcular las primitivas de las siguientes funciones, indicando el intervalo dondees válida la respuesta:

1. 2 senx+ 3 coshx2. 2ex − 1

3x3

3. x1/2 + 3x4

4. x2/3 − 5x6

Ejercicio 7.1.5.

1. Recordando que (tanx)′ =1

cos2 xen (−π

2,π

2), expresen la familia de primitivas de

1

cos2 xen

ese intervalo.2. Sabemos que cosx 6= 0 si x 6= π

2+kπ, donde k es cualquier entero. ¾En qué intervalos se puede

de�nir una primitiva para1

cos2 x?

Ejercicio 7.1.6. Recordando las derivadas de las funciones inversas trigonométricas e hiperbólicasque aprendimos en la Unidad 5, encuentren la familia de primitivas de las siguientes funciones, indicandoel dominio de validez:

1.1

1 + x2

2.1√

1− x2

3.1√

1 + x2

4.1√

x2 − 1No olviden agregar estos resultados a sus tablas de primitivas.

CLASE 7.2. INTEGRAL DE RIEMANN 254

Clase 7.2. Integral de Riemann

Contenidos de la clase: Cálculo de cantidades acumuladas. Integral de Riemann (ointegral de�nida). Regla de Barrow.

7.2.1. Introducción

Recordemos que muchas veces conocemos una función pero lo que nos interesa es su ritmo decambio. Para eso estudiamos la derivada y todas sus propiedades. Recuerden también que el diferencialde una función nos sirve para representar sus cambios in�nitesimales.

En muchas otras situaciones la información que tenemos describe directamente el cambio de unacantidad ante un cambio pequeño de una variable. Pero lo que nos interesa es el cambio acumuladoluego de un cambio grande de esa variable. Por ejemplo,

La velocidad de una reacción química describe la cantidad de moles de la sustancia inicial quereaccionan por segundo. Para saber cuántos moles de un producto se hanproducido a lo largode una hora, hay que sumar lo que se produce en cada instante. Típicamente la velocidad dereacción decae, y lo producido en el primer minuto es notablemente mayor que lo producidoen el último minuto.La tasa de nacimientos de una población de bacterias registra la cantidad de nacimientos porunidad de tiempo, mientras la tasa de defunción registra las muertes por unidad de tiempo.Para conocer el cambio de la población en cierto período, hay que calcular la cantidad denacimientos acumulados, calcular la cantidad de muertes acumuladas, y hacer la diferencia.La velocidad de un movimiento registra los kilómetros recorridos por hora; para saber la dis-tancia recorrida en cierto intervalo de tiempo, hay que acumular los kilómetros recorridos.Para ser más precisos, cuando la velocidad depende del tiempo, habría que acumular en detallelos metros recorridos, o los centímetros recorridos, en cada instante (intervalos de tiempo tancortos como haga falta).El balance diario de una empresa registra las ganancias del día. Para calcular la ganancia deun mes hay que sumar las ganancias de cada día a lo largo del mes; notemos que las gananciasdependen del día, incluso pueden ser positivas o negativas.

Estos cálculos son sencillos si el ritmo de cambio es constante. Sólo en esos casos el cambio de lacantidad que nos interesa es proporcional al cambio de la variable, y podremos usar la regla de tressimple. Cuando el ritmo cambio va variando a lo largo del proceso, necesitamos una herramienta máselaborada para calcular el cambio acumulado. Lo que debemos hacer, básicamente, es sumar "unacantidad muy grande de cambios muy pequeños". En el límite en que se suma "una cantidad in�nitade cambios in�nitesimales", este proceso de suma se llama integración 1. Dedicamos esta clase al cálculode cantidades acumuladas, mediante la técnica de la integral de Riemann.

7.2.2. Ejemplos detallados

Veamos con cuidado un ejemplo, que tiene todos los ingredientes necesarios para plantear despuésla teoría general de integración.

Ejemplo 7.2.1. Se llena un tanque subterráneo de combustible mediante un proceso de bombeo.Se controla fácilmente la cantidad de litros bombeados por segundo, con un caudalímetro, mientrasque no es fácil medir el volumen acumulado en el tanque subterráneo. Por eso es importante calcularel volumen bombeado, sumando los litros que se vierten por unidad de tiempo.

Este ejemplo se enmarca en el estudio más general de transporte de materia. En el caso detransporte de �uidos (líquidos o gases) se llama caudal al volumen de �uido transferido por unidadde tiempo, y es usual anotarlo con la letra Q.

1Nuestras clases de integración, al �nal de cada semana, se re�eren precisamente a sumar el conocimiento acumuladoen las clases anteriores.


Consideremos primero el llenado del tanque en un régimen de caudal Q constante, Q = 5 l/s(medimos el volumen en litros y el tiempo en segundos). ¾Cuál es el volumen V que se vierteal tanque en un minuto?

Dado que el caudal es constante, el volumen es proporcional al tiempo transcurrido: en un segundo5 litros, en dos segundos 10 litros, etc. Al cabo de un minuto (t = 60 s),

V = Qt = 5l

s60 s = 300 l

Consideremos ahora un caso más realista: el rendimiento de la bomba depende del tiempo,desde que se arranca hasta que logra la temperatura de funcionamiento. Según el manualdel fabricante, el caudal real es

Q(t) = (1− exp(−t/10 s)) 5l

s

como se muestra en el grá�co

¾Cuál es el volumen V que se vierte al tanque en el primer minuto de funcionamiento?Una estrategia razonable para este problema es partir el primer minuto varios intervalos de

tiempo pequeños, y estimar el volumen vertido cada intervalo como si el caudal se mantuvieraconstante, con un valor de Q representativo de ese intervalo.

Por ejemplo, podemos tomar intervalos de 5 s y usar el valor de Q(t) al principio de cadaintervalo. En cada intervalo multiplicamos caudal por tiempo, y sumamos:

V = Q(0 s)5 s+Q(5 s)5 s+Q(10 s)5 s+ · · ·+Q(55 s)5 s

Grá�camente, lo que hicimos es calcular el área de varios rectángulos multiplicando la base (es decir,un intervalo de tiempo) por la altura (es decir, un valor de caudal) de cada uno, y sumar las áreasobtenidas:

Este resultado nos da el volumen vertido en un minuto en forma aproximada, y podemos diseñarvarias maneras de mejorarlo.


Vemos del grá�co que logramos un volumen menor que el verdadero, porque usamos el caudalmínimo de cada intervalo (al principio del intervalo, siendo Q(t) creciente). Si usáramos elcaudal máximo (al �nal de cada intervalo), tendríamos un resultado mayor que el real. Siusáramos el caudal en el punto medio de cada intervalo, probablemente tendríamos unamejor aproximación.

Los intervalos no necesitan ser todos de igual longitud. En el grá�co vemos que hay un errorimportante en los primeros intervalos, porque el caudal cambia rápidamente (la derivadaQ′(t) es grande). Parece conveniente tomar intervalos cortos en el primer tramo, para mejorarla precisión, e intervalos más largos luego, para ahorrar trabajo. Por ejemplo, 4 intervalosen los primeros 10 s, 3 intervalos entre 10 s y 20 s, 2 intervalos entre 20 s y 40 s y 1 intervaloentre 40 s y 60 s; con un total de 10 intervalos, y con el mismo esfuerzo de cálculo que enlas grá�cas anteriores, quedaría mejor cubierta el área bajo la curva.Si tomamos intervalos más cortos, digamos de 1 s, tendremos que trabajar más (son 60intervalos) pero el resultado será una aproximación mucho mejor. Grá�camente, se observaque cubriremos mejor el área bajo la curva.

La manera de calcular el volumen vertido con precisión es aumentar inde�nidamente elnúmero de intervalos, que serán cada vez más pequeños. Es decir, diseñar un cálculo con Nintervalos, resolverlo en forma general (para cualquier N) y �nalmente tomar el límite paraN → +∞. El resultado preciso, calculado de este modo, nos dice que en el primer minutose vierten 250.12 l.

Para �jar ideas de lo que signi�ca calcular cantidades acumuladas en forma aproximada, y reconocerlo trabajoso que puede ser, primero les proponemos algunas actividades.

Actividad 7.2.2. Siguiendo el ejemplo, calculen el volumen aproximado vertido en el tanqueen un minuto, según la partición de 5 s mostrada en el primer grá�co. El resultado debe ser 236.62 l.


Ahora calculen el volumen aproximado vertido en el tanque en un minuto, según la partición de5 s mostrada en el segundo grá�co. El resultado debe ser 261.56 l.

Si calcularan con intervalos de 1 s, usando el caudal al principio de cada intervalo obtendrían248.61 l y usando el caudal al �nal de cada intervalo obtendrían 251.61 l.

En nuestro sitio web, entre el material adicional de la Unidad 7, pueden encontrar un archivode GeoGebra para calcular y gra�car estas sumas (el mismo que usamos para generar los grá�cosde este ejemplo).

Si prueban con intervalos cada vez más pequeños, verán que el resultado se estabiliza en 250.12 l.

Actividad 7.2.3. Veamos un ejemplo en el que podamos calcular a mano el volumen vertidopara cualquier partición de N intervalos.

Digamos que el caudal depende del tiempo según la función lineal

Q(t) =1

2t

con el tiempo t expresado en segundos y el caudal Q expresado en litros/segundo.

Proponemos una partición del intervalo [0, 30] en N tramos, de longitudes iguales. Los

tiempos intermedios son tj =30

Nj. Noten que t0 = 0 y tN = 30, y que la longitud de cada

intervalo es el incremento ∆tj = tj+1 − tj con j = 0, · · · , N − 1; en este caso son todos

iguales, ∆tj =30

N. Gra�quen esquemáticamente.

Calculen en forma aproximada el incremento de volumen vertido en cada intervalo ∆tj ,usando como valor de caudal el valor de Q(t) al principio del intervalo:

∆Vj = Q(tj) ∆tj = 0.5

(30

Nj

)30

N=

450

N2j

Sumen los incrementos de volumen. Podemos usar la notación de sumatoria y resultados deálgebra para calcular el volumen acumulado

VN =

N−1∑j=0

∆Vj =450

N2

N−1∑j=0

j

Hay una fórmula de suma que nos sirve aquí,∑N−1

n=0 n =(N − 1)N

2(seguramente la vieron

en el curso de Algebra, la pueden probar por inducción completa). Encontramos que

VN =450

2

(N − 1)N

N2

Este resultado depende de N , es decir del número de intervalos utilizados en la partición. Enotras palabras, tenemos una sucesión de volúmenes calculados, mejor aproximados cuantomás grande sea N . Ahora tomamos el límite para N → +∞ (es indeterminado, tienen quetrabajar un poco para resolverlo). Hallamos

V = lımN→+∞

225(N − 1)

N= 225

½Eureka! El volumen queda expresado en litros, V = 225 l.Recordando que el volumen se calcula como una suma de N términos, y que se hace tenderN a +∞, observen que cuando N es arbitrariamente grande cada término resulta arbitra-riamente pequeño. A esto nos referimos con "sumar una cantidad in�nita de contribucionesin�nitesimales". ½Y el resultado es un número �nito!Interpretación grá�ca. Vuelvan a gra�car Q(t) = t/2, en el intervalo [0, 30], y reconozcansu forma de triángulo.Noten que el procedimiento de acumulación que desarrollamos corresponde a gra�car rec-tángulos de altura Q(tj) y base ∆tj , cuya área es Q(tj) ∆tj , uno junto a otro hasta recorrertodo el intervalo [0, 30]. En las �guras mostramos N = 10 y N = 30.


La suma de estas áreas se parece al área del triángulo, con mejor aproximación cuanto másgrande sea N .En el límite N → +∞ esta suma debería tender al área del triángulo. Calculen el área deltriángulo con la fórmula de geometría (base por altura sobre dos) y comparen con nuestroresultado.

7.2.3. La integral de Riemann

Vamos a formalizar lo que aprendimos en los ejemplos anteriores, para calcular la integral de unafunción cualquiera. El resultado se conoce como teoría de integración de Riemann.

El primer paso para un planteo general es describir la idea de "acumulación" para una funcióngenérica y = f(x). Para eso recurrimos a nociones geométricas: el plano xy de la grá�ca de la función,distancias y áreas.

Consideremos una función y = f(x), y un intervalo cerrado [a, b] incluido en el dominio de f .Gra�quemos esquemáticamente la función en el plano xy

Supongamos primero que en todo el intervalo [a, b] se cumpla que f(x) ≥ 0. Al recorrer el eje xdesde a hasta b queda encerrada un área entre la grá�ca y el eje de abscisas. En este sentido decimosque el recorrido de x desde a hasta b "barre" un área entre la curva y el eje de abscisas.

Para calcular esta área en forma aproximada vamos a considerar una partición del intervalo [a, b],en N intervalos consecutivos. Primero introducimos valores intermedios de x que llamaremos xj , orde-nados:

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN−1 < xN = b

Quedan determinados N sub-intervalos Ij : I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], ... , IN = [xN−1, xN ]. Lalongitud de cada sub-intervalo Ij es el incremento ∆xj = xj − xj−1: ∆x1 = x1 − x0, ∆x2 = x2 − x1,... , ∆xN = xN − xN−1. Llamaremos ∆ a esta partición.

Sobre cada sub-intervalo Ij construimos un rectángulo con altura dada por el valor de la función enalgún punto del sub-intervalo, que podemos elegir y llamamos x∗j . El rectángulo de base ∆xj y alturaf(x∗j ) tiene área ∆Aj = f(x∗j )∆xj :


Sumando las áreas de todos los rectángulos2, obtenemos el área total aproximada

A∆,∗ =N∑j=1

∆Aj =N∑j=1

f(x∗j )∆xj

que anotamos como A∆,∗ porque depende de la partición ∆ utilizada y depende de la elección de losvalores x∗j dentro de cada intervalo.

... ...

Incluyamos ahora la posibilidad de que f(x) tome valores negativos: si en un intervalo Ij se eligex∗j tal que f(x∗j ) < 0, el rectángulo de base ∆xj se dibuja por debajo del eje de abscisas y la cantidadacumulada f(x∗j )∆xj resulta negativa, ∆Aj < 0.

En la suma∑N

j=1 ∆Aj puede haber, en general, términos positivos, términos nulos y términosnegativos. Se interpreta cada contribución ∆Aj como un área con signo: área positiva por encimadel eje x y área negativa por debajo del eje x.

2Usamos el símbolo Σ para expresar sumas, como han visto en Algebra.


La suma completa∑N

j=1 ∆Aj es, en general, una suma algebraica (de términos positivos ynegativos). El resultado �nal puede ser tanto positivo como negativo, o nulo.

Este procedimiento de suma algebraica de áreas elementales se conoce como suma de Riemann.

El paso siguiente es el re�namiento de las sumas de Riemann, trabajando distintas particiones consub-intervalos de longitud cada vez más corta. Noten que los sub-intervalos pueden ser de distintalongitud; para cada partición ∆ que se utilice, se llama norma de la partición a la longitud del mayorsub-intervalo presente

‖∆‖ = max |xj − xj−1|De esta manera, si re�namos las particiones disminuyendo el valor de ||∆|| la longitud de todos lossub-intervalos se mantiene controlada: para todo j, ∆xj ≤ ‖∆‖. Naturalmente, la cantidad N desub-intervalos es cada vez mayor cuando se disminuye la norma de la partición. Se puede estimar queN ≥ (b− a)/‖∆‖, y en consecuencia N crece inde�nidamente cuando la norma tiende a cero.

Cuando ‖∆‖ → 0, para cualquier j tenemos que ∆xj → 0. Cada término de la suma de Riemann,∆Aj = f(x∗j )∆xj , se hace arbitrariamente pequeño en este proceso 3. Se dice que cada ∆Aj = f(x∗j )∆xjes una contribución in�nitesimal al área que estamos calculando.

Esperamos que las correspondientes sumas de Riemann, calculadas para particiones de norma ‖∆‖cada vez más pequeña, tiendan a estabilizarse en algún resultado. En ese caso, diremos que existe ellímite de las sumas de Riemann, para ‖∆‖ → 0.

El proceso de límite sobre distintas particiones, para ‖∆‖ → 0, es un proceso delicado. Comoentrenamiento, hicimos un ejemplo en la actividad 7.2.3 y vimos que, para la partición particularelegida, el límite existe y es �nito. Se puede demostrar que en muchos casos el valor de las sumasde Riemann realmente se estabiliza cuando ‖∆‖ → 0, y que el valor límite es independiente de lasparticiones elegidas y de la elección de puntos x∗j en cada sub-intervalo. En esos casos, el valor dellímite de�ne el área que estamos calculando.

Definición 7.2.4. Dada una función y = f(x), y un intervalo [a, b] en el dominio de f , si ellímite sobre particiones (descripto antes)

lım‖∆‖→0

N∑j=1

f(x∗j )∆xj

existe y es independiente de las particiones elegidas y de la elección de puntos x∗j en cada sub-

intervalo, se dice que la función f(x) es integrable Riemann (o, más breve, integrable) en [a, b].El resultado del límite se anota

lım‖∆‖→0

N∑j=1

f(x∗j )∆xj =

ˆ b

af(x) dx

que se lee "integral de Riemann de f(x) entre a y b" o "integral de�nida de f(x) entre a y b".

Observación 7.2.5.

La integral de Riemann también se llama integral de�nida, son nombres sinónimos.El símbolo

´recuerda a una letra S, y representa el "recuerdo" de la sumatoria Σ. La

integral de�nida es el resultado de una suma, seguida de un proceso de límite.A la función f(x) se la llama "integrando".Los extremos del intervalo [a, b] se llaman "límites de integración"; aquí la palabra límite sere�ere a borde, o frontera. La forma de anotarlos debajo y encima del símbolo

´es similar

a la notación j = 1 y j = N de la sumatoria. Noten que el intervalo I1 comienza en x = a yel intervalo IN termina en x = b.

3Esta suposición puede fallar, por ejemplo cerca de una asíntota vertical, donde |f(x)| pueda ser arbitrariamentegrande.


La notación dx se re�ere al diferencial de la variable de integración. Representa el "recuerdo"de los incrementos ∆xj en las sumas de Riemann, y se usa el diferencial dx para recordar queen el proceso de límite ||∆|| → 0 todos los sub-intervalos ∆xj son arbitrariamente pequeños.Los términos que se suman, f(x∗j )∆xj , resultan arbitrariamente pequeños para funcionesf(x) acotadas. En ese sentido, se dice que

f(x) dx

es una contribución in�nitesimal a la integral de Riemann.El valor de la integral de Riemann

´ ba f(x) dx representa el área algebraica encerrada entre

la grá�ca de f(x) y el eje de abscisas4, en el intervalo [a, b]. Es decir, es el resultado de sumarcontribuciones positivas cuando f(x) > 0 y contribuciones negativas cuando f(x) < 0.

La integral de Riemann es la herramienta que nos provee el Análisis Matemático para calcularcantidades acumuladas. Cuando se gra�ca una función en el plano, la integral está asociada al áreaacumulada entre la grá�ca y el eje horizontal, al "barrer" el intervalo de integración. Esta área, llamadaárea algebraica, lleva signo: acumula contribuciones positivas cuando la grá�ca queda por encima deleje, y negativas cuando la grá�ca queda por debajo.

En particular, cuando la función f(x) a integrar describe la razón de cambio de alguna cantidadrespecto de una variable x, la integral de�nida

´ ba f(x) dx representa el cambio acumulado de esa

cantidad mientras x pasa de a a b. Por ejemplo, al integrar el caudal a lo largo de un intervalo detiempo calculamos el cambio en el volumen contenido en un depósito; al integrar la velocidad dereacción a lo largo de un intervalo de tiempo calculamos la cantidad de moles que han reaccionado; alintegrar la velocidad de un vehículo a lo largo de un intervalo de tiempo calculamos su desplazamientoneto; etc.

Las aplicaciones de la integral de�nida son muy variadas, siempre asociadas al concepto de sumarpequeñas contribuciones para calcular una cantidad acumulada. Otros ejemplos pueden ser sumartramos de una curva para calcular su longitud, sumar volúmenes de láminas delgadas para calcular elvolumen de un cuerpo, sumar ganancias para calcular un balance, etc.

Como la integral de�nida es el límite de una sucesión de sumas de Riemann, en el que cadatérmino de las sumas se vuelve arbitrariamente pequeño, se suele decir que la integral es una "sumain�nita de contribuciones in�nitesimales". En las aplicaciones, muchas veces van a construir primerolas "contribuciones in�nitesimales" y luego "sumarlas"; dicho sin comillas, primero van a reconocer lafunción a integrar, y luego calcular la integral.

7.2.4. Resultados prácticos: funciones continuas, primitivas y regla de Barrow

Hasta aquí discutimos el concepto de integral de�nida y el planteo del cálculo de cantidades acu-muladas. Ha quedado en evidencia que plantear sumas de Riemann para un N arbitrario, y calcular ellímite para N → +∞, parece una tarea muy difícil. Incluso podría darse que el límite no exista (quesea in�nito, u oscilante).

Antes de profundizar en la teoría de integrales, vamos a adelantar los principales resultados prác-ticos:


Existencia de la integral de�nida en intervalos cerrados

Se conoce un teorema sencillo de enunciar que nos permite asegurar si una dada función es integrableen un intervalo cerrado.

Teorema 7.2.6. Existencia de la integral de�nida de funciones continuasSi una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) es integrable Riemannen [a, b]. Es decir, existe la integral de�nidaˆ b

af(x) dx

También, si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] excepto un número �nito de disconti-

nuidades tipo salto, existe la integral de�nida´ ba f(x) dx.

No vamos a demostrar este importante teorema pero haremos algunos comentarios.En primer lugar, pensemos en funciones continuas en todo el intervalo. La misma noción de conti-

nuidad que nos permite trazar la grá�ca sin levantar el lápiz nos hace intuir que el área bajo la curvatiene un valor de�nido, y que la aproximación del área mediante rectángulos arbitrariamente delgadosserá exacta cuando ‖∆‖ → 0.

En segundo lugar, si la función tiene �nitas discontinuidades tipo salto signi�ca que existen loslímites laterales y son �nitos, no hay asíntotas verticales. Intuitivamente al trazar la grá�ca movemosel lápiz �verticalmente� al pasar por cada discontinuidad; podemos imaginar que tomamos rectángulosa cada lado del salto y que así el área queda bien aproximada cuando ‖∆‖ → 0.

En la práctica, este teorema nos dice que podemos integrar cualquier función conocida en unintervalo cerrado, siempre que el intervalo de integración contenga a lo sumo un número �nito dediscontinuidades tipo salto. Si bien este teorema asegura la existencia de la integral, no dice cómocalcularla ni cuánto vale.

Regla de Barrow

Otro importante teorema nos ayuda a calcular efectivamente el resultado de una integral de�nidasin pasar por el cálculo de sumas de Riemann. En cambio, haremos uso de funciones primitivas.

Teorema 7.2.7. Regla de BarrowSi una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], y admite primitiva F (x) en [a, b],entonces ˆ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

Este resultado es maravillosamente simple. Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], ypodemos hallarle una primitiva F (x) válida en todo el intervalo (es decir, que F ′(x) = f(x) en todoel intervalo), obtenemos inmediatamente el resultado de la integral de Riemann. Es decir, el arduotrabajo de calcular sumas de Riemann y sus límites se puede reemplazar por el cálculo de primitivas,y el uso de la Regla de Barrow.

Observación 7.2.8. Seguramente recuerdan que la primitiva no es única, y quizás por eso laregla de Barrow les parezca ambigua. Pero observen que si cambiamos la primitiva sumándole unaconstante C, el resultado de esta regla es el mismo (la constante aparecerá sumando junto a F (b)y restando junto a F (a), por lo que se cancela). Por lo tanto pueden usar cualquier primitiva quetengan a mano.

Vale la pena discutir un argumento sencillo que permite intepretar la Regla de Barrow, usandodiferenciales. Dejamos la demostración formal para más adelante.


Demostración informal. En primer lugar, como f(x) es continua en un intervalo cerrado[a, b], existe la integral de�nida

´ ba f(x) dx. Es decir, existe el límite de las sumas de Riemann sobre

cualquier sucesión de particiones ∆ del intervalo [a, b] tales que su norma tiende a cero, ‖∆‖ → 0.Supongamos que elegimos una partición ∆ con norma su�cientemente pequeña como para aproximarsatisfactoriamente ˆ b

af(x) dx ≈

N∑j=1

f(x∗j )∆xj

y que cada x∗j se ha tomado como el extremo inicial de cada sub-intervalo (usamos la misma notaciónque cuando de�nimos sumas de Riemann). Entonces

f(x∗j )∆xj = F ′(x∗j )∆xj = dFj

donde llamamos dFj a la diferencial de la función primitiva F (x) en el punto extremo inicial de cadasub-intervalo j, con incremento ∆x = xj − xj−1(ancho de ese sub-intervalo).

Consideremos también que la partición ∆ tiene norma su�cientemente pequeña como para quela diferencial dFj aproxime satisfactoriamente al incremento de F (x),

dFj ≈ F (xj)− F (xj−1)

Entonces, la suma de Riemann se puede organizar así:N∑j=1

f(x∗j )∆xj ≈∑N

j=1 dFj ≈N∑j=1

[F (xj)− F (xj−1)]

= [F (xN )− F (xN−1)] + [F (xN−1)− F (xN−2)] + · · ·+ [F (x1)− F (x0)]

Este tipo de sumas se llama telescópica, todos los términos se cancelan entre sí excepto el primeroy el último. Como en cualquier partición siempre tomamos x0 = a y xN = b, tenemos queˆ b

af(x) dx ≈ F (b)− F (a)

Si han seguido con atención este argumento, verán que tratamos a la integral de Riemann como unasuma de diferenciales. No es una demostración formal por lo siguiente: sabemos que podemos mejorararbitrariamente la aproximación diferencial si tomamos incrementos cada vez más pequeños, pero elcosto es que tendremos una cantidad arbitrariamente grande de términos para sumar. Se necesita unadiscusión más profunda para controlar el error que puede producir la suma de una cantidad muy grandede errores muy pequeños.

Sin embargo vale la pena destacar que la interpretación de la integral de Riemann como una sumade diferenciales tiene gran valor constructivo; es muy útil al hacer aplicaciones, seguramente en otrasmaterias la usarán con este nivel de informalidad.

Observación 7.2.9. NotaciónLa regla de Barrow se usa con tanta frecuencia que hay una notación especial para expresar la

resta del lado derecho. Se anota ˆ b

af(x) dx = [F (x)]ba

donde [F (x)]ba signi�ca [F (x)]ba ≡ F (b)− F (a). Se suele leer "F en b menos F en a"

Discutiremos la demostración formal de este teorema en las próximas clases. Ahora, será convenientehacer unos ejemplos y algunos ejercicios.

Ejemplo 7.2.10. Calculemos el área de la región del plano encerrada entre la parábola deecuación y = 1− x2 y la recta de ecuación y = 0.


La parábola tiene su vértice en (0, 1) y las ramas hacia abajo, y por supuesto la recta y = 0 esel eje x. La parábola corta al eje x en a = −1 y b = 1. Entre la parábola y la recta queda encerradauna región que se recorre con valores de x en el intervalo [−1, 1].

La región sombreada tiene una altura variable. El área total encerrada se calcula como la sumade áreas in�nitesimales de rectángulos de base dx y altura f(x) = 1 − x2, mientras x recorre elintervalo [−1, 1]. Es decir, como la integral

A =

ˆ 1

−1(1− x2) dx

Vemos que el integrando 1− x2 es una función continua en [−1, 1], y que una primitiva posible

es F (x) = x− 1

3x3. La regla de Barrow se aplica, y nos da

A = F (1)− F (−1) =

(1− 1

3

)−(−1 +

1

3

)=

4

3

Actividad 7.2.11. Veamos si el resultado es razonable. Para eso dibujen rectángulos y triángulossencillos sobre la grá�ca anterior, que contengan o que estén contenidos en la región sombreada.

Comparen sus áreas con el área calculada con la integral.

7.2.5. Ejercicios

Ejercicio 7.2.1. Calculen usando una integral el área de la región encerrada por la recta y = x yel eje x, para x entre 0 y 1.

Gra�quen, reconozcan la región, y comparen con resultados elementales de geometría.

Ejercicio 7.2.2. Calculen usando una integral el área geométrica de la región encerrada por lagrá�ca de y = x3 y el eje x, para x entre −2 y 2.

Gra�quen, reconozcan la región, y comparen con resultados elementales de geometría.Calculen también

´ 2−2 x

3dx.

Ejercicio 7.2.3. Analicen la integral de�nida de la función f(x) = senx en distintos intervalos:

1. Gra�quen el integrando f(x) = senx en el intervalo [0, 2π].2. Gra�quen el área algebraica representada por la integral

´ 2π0 senx dx. ¾Pueden anticipar el

resultado de la integral?3. Calculen la integral

´ 2π0 senx dx usando la regla de Barrow.

4. ¾Cuál es el área algebraica encerrada entre la grá�ca y el eje x, entre 0 y π?5. ¾Cuál es el área algebraica encerrada entre la grá�ca y el eje x, entre π y 2π?6. ¾Cuál es el área geométrica (positiva) encerrada entre la grá�ca de y = senx y el eje x, entre

0 y 2π?


Ejercicio 7.2.4. En una reacción química, una sustancia A se produce con una velocidad dereacción R(t) = 2e−t, expresada en moles por segundo (recuerden que la velocidad de reacción expresala derivada de la cantidad de moles presentes de la sustancia respecto del tiempo t).

1. ¾Qué cantidad in�nitesimal de la sustancia A se produce en un diferencial de tiempo dt?2. ¾Qué cantidad de la sustancia A se produce al cabo de 10 segundos?3. ¾Qué cantidad de la sustancia A se produce al cabo de 20 segundos? ¾Es el doble que la

anterior?

CLASE 7.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 266

Clase 7.3. Actividades de integración

Contenidos de la clase: Ejercitación en el cálculo de primitivas. Ejercitación en el planteoy cálculo de integrales de Riemann.

El cálculo de primitivas requiere práctica, y un buen manejo de la tabla de primitivas conocidas. .

Por otro lado, la regla de Barrow nos enseña que las primitivas se usan en el cálculo de integralesde Riemann. En cada ejercicio de integrales de�nidas necesitarán, como un cálculo auxiliar, hallarprimitivas.

7.3.1. Tabla de primitivas conocidas

Deben armar y tener a mano una tabla de funciones fáciles de integrar. Con la práctica, debenrecordarla de memoria.

Actividad 7.3.1. Armen su tabla de primitivas conocidas. Repasen todos los casos trabajadosen la clase 7.1.

7.3.2. Primitivas de funciones discontinuas: cálculo por tramos

Dada una función f(x), hemos de�nido una primitiva F (x) en un intervalo abierto (a, b) donde severi�que que F ′(x) = f(x). También se puede trabajar con funciones f(x) cuyo dominio esté partidocomo unión de dos o más intervalos. En esos casos calcularemos, si es posible, funciones primitivasdentro de cada intervalo; se dice que buscamos una función primitiva por tramos. Esta separaciónagrega un ingrediente nuevo: para expresar la familia completa de primitivas podemos usar constantesdistintas en cada tramo.

Actividad 7.3.2. Consideren la función f(x) =1

x2= x−2. Su dominio natural es la unión de

los intervalos (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Recordando que, siempre que x 6= 0,(x−1

)′= −x−2, podemos concluir que F (x) = −1

xes una

primitiva de f(x) en (−∞, 0) y también en (0,+∞).La propiedad 7.1.5 nos permite a�rmar que toda otra primitiva de�nida en un mismo intervalo

di�ere de F (x) en una constante. Pero como F (x) es discontinua en x = 0, la constante elegida en(−∞, 0) podría ser diferente de la tomada en (0,+∞).

Podemos resumir este análisis diciendo que la familia más general de primitivas de f(x) = x−2

es

F (x) =

{− 1x + C1, si x < 0

− 1x + C2, si x > 0

Hemos buscado en varias actividades y ejercicios las primitivas de las potencias xn para todo nentero distinto de −1. Analicemos ahora las primitivas del caso n = −1:

Actividad 7.3.3.

1. Comprueben que lnx es una primitiva de la función 1/x en el intervalo (0,+∞).2. Consideren ahora x < 0. Si bien el logaritmo no está de�nido para números negativos, po-

demos considerar la función ln(−x). Comprueben que ln(−x) es una primitiva de la función1/x en el intervalo (−∞, 0).

3. Como la función 1/x es discontinua, podemos escribir que la primitiva general de f(x) = 1/xes

F (x) =

{ln(−x) + C1, si x < 0

lnx+ C2, si x > 0


Una primitiva particular, la más sencilla, se obtiene con C1 = C2 = 0. Recordando la de�nicióndel valor absoluto |x|, podemos escribir en forma compacta

dada f(x) = 1/x, una primitiva válida en todo su dominio es F (x) = ln |x|

Este es un resultado importante en la tabla de primitivas básicas, que se puede aplicar tanto parax > 0 como para x < 0. Recuerden además que pueden elegir distintas constantes de integración acada lado de x = 0.

Ejercicio 7.3.1. Calculen la primitiva más general de 5x−1 + 2. Indiquen su dominio de validez.

7.3.3. Reescribir antes de buscar la primitiva

Cuando no encuentren cuál regla usar para hallar una primitiva, va a ser muy importante manipularla función para reescribirla de maneras alternativas, buscando una que sí permita aplicar una regla. Porun lado, tienen que estar entrenados en casos de factoreo, simpli�cación, y todo tipo de manipulaciónalgebraica. Por otro lado, cuando encuentren funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales ylogaritmos, necesitarán que recordar propiedades y algunas identidades para salir del paso.

Por ejemplo,

2x−x3√x

= 2x1/2−x5/2, por lo tanto su primitiva es 2x1/2+1

1/2 + 1− x5/2+1

5/2 + 1+ C =

4

3x3/2 − 2

7x7/2 + C.

Ejercicio 7.3.2. Hallen la familia de primitivas de4

x√x

x(x− 2)2

7.3.4. Integrales de�nidas

Ejercicio 7.3.3. Consideren la integral´ 1−1 x

2 dx.

1. Gra�quen el integrando, el intervalo de integración, y el área algebraica representada por laintegral. ¾Coincide con el área geométrica?

2. Calculen la integral de�nida usando la regla de Barrow.3. Planteen la integral necesaria para calcular el área encerrada entre la grá�ca de y = x2 y el ejex, entre 0 y 1. ¾Pueden anticipar el resultado?

4. Calculen la integral planteada en el ítem anterior usando la regla de Barrow.

Ejercicio 7.3.4. Para las siguientes funciones, calculen la integral de�nida entre los números a yb dados. No olviden veri�car las hipótesis antes de aplicar la regla de Barrow.

1. f(x) = x2 − 3x, a = 0, b = 10

2. g(t) = t− 1

t2, a = −3, b = −1

3. h(x) = 2ex − 13x

3, a = 0, b = 2

4. k(x) = 2x−3 + 5x4, a = −2, b = −1

Veri�quen sus resultados con GeoGebra.

Ejercicio 7.3.5. Para la siguiente función, hallen sus primitivas y luego calculen las integralesde�nidas entre a y b.

g(t) =1

t, para a = 1, b = 2 y para a = −2, b = −1.

Gra�quen y comparen ambos resultados, usando que g(t) es una función impar.


Ejercicio 7.3.6.

Teniendo en cuenta la discontinuidad en x = 0, hallen una primitiva general para x−3, x−5

para todo x 6= 0.

Comprueben quex−n+1

−n+ 1es una primitiva de x−n para todo x 6= 0, si n cualquier número

natural n 6= 1, y que la primitiva general es

ˆx−ndx =

x−n+1

−n+1 + C1, si x < 0

x−n+1

−n+1 + C2, si x > 0

.

Hallen una primitiva general para x−1/3,para todo x 6= 0.

Comprueben quex−r+1

−r + 1es una primitiva de x−r para todo x 6= 0, si r es cualquier número

racional positivo (r 6= 1). ¾Cuál es la primitiva general?

Ejercicio 7.3.7. Gra�quen la región del plano delimitada por las curvas de ecuaciones y = x3 +x,x = 2 y y = 0 y calculen su área.

Ejercicio 7.3.8. Un vehículo se desplaza por un camino recto con velocidad variable v(t) =4ms + 2m

s2t. Dado que v(t) es la derivada de la función posición respecto del tiempo, podemos escribir

un diferencial de desplazamiento como dx = v(t) dt.

1. Calculen la distancia recorrida por el vehículo entre t = 0 s y t = 10 s.2. Gra�quen la función v(t) e indiquen cómo visualizar la distancia recorrida.

7.3.5. Uso de GeoGebra

Uso de GeoGebra 7.3.4.GeoGebra tiene comandos para calcular primitivas:

De�nan la función f(x) = 1 + sen x y escriban en la línea de entrada

F(x)=Integral[f]

Observen la función que se crea, y veri�quen (derivando) que es primitiva de f(x).Más adelante veremos por qué se escribe Integral, en lugar de Primitiva.

Uso de GeoGebra 7.3.5. También pueden calcular integrales de�nidas:

Calculen el área encerrada entre la grá�ca de f(x) = 1 + sen x y la recta y = 0 (es decir, el ejex), para x entre −π/2 y π/2, escribiendo el comando

IntegralEntre[f,0,-Pi/2,Pi/2]

Observen el ára sombreada en la Vista Grá�ca y el valor calculado en la Vista Algebraica.Calculen el área usando la regla de Barrow, escribiendo el comando

F(x)=Integral[f]

y luegoF[Pi/2]-F[-Pi/2]

Desafío (para pensar más) 7.3.9.

Si conocen algún lenguaje de programación, es sencillo escribir un programa para calcularáreas aproximadas mediante particiones en rectángulos, y evaluarlas para distintos valores delnúmero de intervalos N .Si manejan una planilla de cálculo, tipo Excel, pueden usar una columna para guardar lospuntos de la partición, otra para los valores de la función, otra para las áreas de cada rectángulo,y �nalmente sumar esta columna para acumular el área aproximada.


Con GeoGebra pueden preparar una partición con el comando Secuencia, dibujar rectánguloscon el comando Polígono, repetirlos con el mismo comando Secuencia, calcular sus áreas conel comando Area, y sumarlas con el comando Suma. Los grá�cos de esta clase, y las áreascalculadas, están preparados con GeoGebra. Pueden encontrar los archivos en nuestro sitioweb, para modi�carlos a gusto.Si logran usar alguno de estos métodos, aplíquenlos al ejemplo 7.2.1.

CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 270

Clase 7.4. Propiedades de la Integral. Integral Inde�nida y primitivas.

Esta clase recorre tres ejes distintos:- Propiedades de la integral de�nida (que completan la clase anterior)- Noción de integral inde�nida y sus propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo- Notación integral para las primitivas. Técnica para hallar primitivas: sustitución

de variables

7.4.1. Propiedades básicas de la integral de�nida

La integral de�nida se construye como límite de sumas de Riemann, es decir sumas algebraicas deáreas de rectángulos (con signo). Las propiedades algebraicas de la suma y las propiedades geométricasde las áreas dan lugar a las propiedades más básicas de la integral de Riemann.

Propiedad 7.4.1. Linealidad respecto del integrandoSi f(x) y g(x) son integrables en [a, b], y k es una constante, entonces

1. k f(x) es integrable en el intervalo [a, b],ˆ b

ak f(x) dx = k

ˆ b

af(x) dx

2. f(x) + g(x) es integrable en el intervalo [a, b],ˆ b

a(f(x) + g(x)) dx =

ˆ b

af(x) dx+

ˆ b

ag(x) dx

Las propiedades de linealidad re�ejan que la integral de�nida se construye como límite de sumas:la primera habla de "sacar factor común" k y la segunda habla de "asociar" los términos con f(x) porun lado y los términos con g(x) por otro lado. Estas operaciones son naturalmente válidas al manipularsumas de Riemann, pero la demostración formal de las propiedades 7.4.1 requiere tratar con cuidadoel paso �nal, es decir el límite para ‖∆‖ → 0. No lo haremos en este curso.

Ejemplo 7.4.2.ˆ 3

−3

(2x2 − 3x+ 1

)dx = 2

ˆ 3

−3x2 dx− 3

ˆ 3

−3x dx+

ˆ 3

−31 dx

= 2

[x3

3

]3

−3

− 3

[x2

2

]3

−3

+ [x]3−3

= 42

Observen que podríamos haber calculado una primitiva del polinomio completo, y usar directa-mente la regla de Barrow. Veri�quen que el resultado sería el mismo. Discutan por qué.

Recordemos que la integral de Riemann se de�nió en intervalos [a, b], donde a es menor que b. Esconveniente extender la de�nición de

´ ba f(x) dx cuando b = a y cuando b < a.

Definición 7.4.3. Extensión de la de�nición de integral de Riemann

Se dan las siguientes de�niciones para la integral´ ba f(x) dx cuando b no es mayor que a:

si a = b, y existe f(a), se de�ne ˆ a

af(x) dx = 0

si b < a, y existe f(x) y es integrable en el intervalo [b, a], se de�neˆ b

af(x) dx = −

ˆ a

bf(x) dx


Estas de�niciones tienen interpretación geométrica: la primera dice que si el intervalo de integracióntiene ancho nulo, entonces el área encerrada es nula. La segunda dice que si se quiere acumular áreayendo desde a hasta b hacia la izquierda, la base de los rectángulos de Riemann será un incrementonegativo; la integral "al revés" dará la cantidad opuesta a la integral calculada desde b hasta a.

Ejemplo 7.4.4. ˆ 0

5x dx = −

ˆ 5

0x dx = −

[x2

2

]5

0

= −12.5

Gra�quen el integrando y el área encerrada para discutir el signo del resultado.

Propiedad 7.4.5. Aditividad respecto de intervalos

1. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, c] y b es un punto intermedio a < b < c, entoncesˆ c

af(x) dx =

ˆ b

af(x) dx+

ˆ c

bf(x) dx

2. Si a, b y c no están ordenados, y f(x) es integrable en los tres intervalos determinadospor a, b y c, entonces también valeˆ c

af(x) dx =

ˆ b

af(x) dx+

ˆ c

bf(x) dx

La parte (1) re�eja la propiedad asociativa de la suma en las sumas de Riemann: dado que a < b < cse pueden hacer particiones del intervalo completo [a, c] de forma tal que las primeros sub-intervaloscubran el intervalo [a, b] y los restantes cubran el sub-intervalo [b, c]. Intenten dibujarlo. Si se sumanlos primeros sub-intervalos por un lado, y los restantes por otro lado, se construyen por separado lasintegrales

´ ba f(x) dx y

´ cb f(x) dx.

La parte (2) es una extensión del resultado, incorporando que tiene sentido una integral recorridade derecha a izquierda ("al revés") y es equivalente a restar la integral recorrida de izquierda a derecha("al derecho").

Ejemplo 7.4.6. ˆ 8

0x dx =

ˆ 10

0x dx+

ˆ 8

10x dx

=

ˆ 10

0x dx−

ˆ 10

8x dx

Gra�quen el integrando y las áreas encerradas para discutir el signi�cado del resultado: alintegrar entre 0 y 10 estamos encerrando más área que la que corresponde a integrar entre 0 y8. Al restar

´ 108 x dx "sacamos el exceso".

Una aplicación útil de la propiedad de la aditividad ocurre cuando integramos una función continuapero de�nida a trozos. Conviene separar la integral en intervalos donde la función a integrar mantengauna misma fórmula, de modo de hallar fácilmente la primitiva. Veámoslo en un ejemplo con la funciónvalor absoluto.

Ejemplo 7.4.7. Calculemos la integral de�nida de f(x) = |x| en el intervalo [−1, 1].Recordando la de�nición, podemos escribir:ˆ 1

−1|u| du =

ˆ 0

−1(−u) du+

ˆ 1

0u du =

[−u

2

2

]0

−1

+

[u2

2

]1

0

=1

2+

1

2= 1.

Gra�quen la función en el intervalo [−1, 1] y comprueben geométricamente que el área encerradaentre la grá�ca de la función y el eje x es efectivamente 1.


Otra situación en que recurrimos a partir el intervalo de integración es el caso de calcular laintegral de�nida de una función continua salvo �nitas discontinuidades de tipo salto. Hemos enunciadoque dicha integral existe; para calcularla aprovecharemos la propiedad de aditividad. Para que quedebien establecido lo enunciamos como una propiedad:

Propiedad 7.4.8. Integral de Riemann de funciones continuas a trozosSi f(x) es continua en el intervalo [a, b], excepto un número �nito de discontinuidades tipo saltoen puntos intermedios x1, x2, etc, la integral de Riemann

ˆ b

af(x) dx

se puede calcular sumando las integrales sobre cada intervalo [a, x1], [x1, x2], etc. En cada sub-intervalo, el integrando se rede�ne para que sea continuo.

Ejemplo 7.4.9. Calculemos la integral de�nida de la función signo

f(x) =

{1 si x > 0

−1 si x < 0

entre x = −2 y x = 3.En x = 0 la función presenta una discontinuidad de tipo salto. Para usar correctamente la regla

de Barrow, a partir de la propiedad 7.4.8 podemos calcular por separado la integral en el intervalo[−2, 0] y en el intervalo [0, 3] y luego sumar los resultados.

En el intervalo [−2, 0] debemos tratar al integrando como si valiera −1, incluso en el borde x = 0(que es el valor de su límite lateral por izquierda):ˆ 0

−2f(x) dx =

ˆ 0

−2−1 dx = [−x]0−2 = −2

usando la regla de Barrow porque el integrando f(x) = −1 es continuo en [−2, 0]. En el intervalo[0, 3] debemos tratar al integrando como si valiera 1, incluso en el borde x = 0 (que es el valor desu límite lateral por derecha): ˆ 3

0f(x) dx =

ˆ 3

01 dx = [x]30 = 3

Finalmente, ˆ 3

−2f(x) dx =

ˆ 0

−2f(x) dx+

ˆ 3

0f(x) dx = −2 + 3 = 1

Gra�quen para interpretar mediante áreas el resultado de la integral en cada tramo y el resultadode la integral completa.

Noten que si una función no es continua en algún borde del intervalo de integración pero tiene límitelateral �nito (tomado desde el interior del intervalo), la situación es similar a un salto: corresponderede�nir el integrando para salvar la discontinuidad y luego utilizar la regla de Barrow.

Observación 7.4.10. Dada f(x), de�nida en un intervalo [a, b], la integral de�nida´ ba f(x) dx

es un número, no depende de x. En ese sentido, se puede cambiar el nombre de la variable y escribirˆ b

af(x) dx =

ˆ b

af(u) du

Recordemos la de�nición de integral de Riemann, como límite de sumas de Riemann: lo importantees haber sumado valores de la función f multiplicados por incrementos de su variable. No importasi la variable que usamos se llama x o se llama u, sólo importan los valores que toma en el intervalo[a, b]. Este hecho es análogo al que habrán visto en Algebra con sumatorias, donde pueden cambiarel nombre del índice de suma:

∑Ni=1 ai =

∑Nj=1 aj ; allí importan los valores sumados y no importa

cómo los hayan anotado.


Por esta observación se dice que la variable de integración es muda.

7.4.2. La integral inde�nida

La integral inde�nida juega un rol muy importante en la teoría de integrales: nos da una relaciónexplícita entre la noción de integral de Riemann (o de�nida) y la noción de función primitiva. Comoaplicación práctica, nos permite demostrar la validez de la regla de Barrow.

En esta clase presentamos la noción de integral inde�nida, junto con ejercitación sencilla para �jareste nuevo concepto, y el enunciado de sus propiedades. Luego completaremos los desarrollos teóricos.

Recordemos que aprendimos a hacer integrales de Riemann en intervalos cerrados [a, b]ˆ b

af(x) dx

donde los límites de integración a y b son valores dados (�jos). Ahora vamos a tratar al límite superior dela integral (es decir, el borde derecho del intervalo) como una variable. Analizaremos cómo el resultadodepende del valor de b.

Para dejar clara esta intención vamos a llamar x al borde derecho: integraremos una función en unintervalo [a, x]. Para evitar confusiones no podemos llamar con la letra x a la variable de la función queestamos integrando; vamos a llamarla con otra letra u, aprovechando que la variable de integración esmuda (ver la Observación 7.4.10).

Consideremos una función f : D → R, integrable en un intervalo I incluido en D. Llamemos u ala variable de la función, u = a a un punto �jo del intervalo I y u = x a otro punto del intervalo I.

La integral de Riemann

ˆ x

af(u) du

depende del valor de x, y está bien de�nida para cualquier x en I. Es decir, esta integral le asigna a cadax ∈ I un y sólo un número real, el resultado de la integral: el resultado es función de x. Llamaremosintegral inde�nida, y anotaremos Fa(x), a esta función:

Definición 7.4.11. Dada una función f : D → R, integrable en un intervalo I ⊂ D, la funciónFa : I → R, con regla de asignación

Fa(x) =

ˆ x

af(u) du

se llama integral inde�nida de la función f .

Esta función describe el área algebraica encerrada entre la grá�ca de f(u) y el eje u, desde u = ahasta u = x. Anotamos un subíndice a en el nombre de la función para recordar dónde comienza estaárea.


Si se piensa que la variable de integración recorre el eje u desde a hasta x, se puede decir que Fa(x)es el valor de área acumulada entre el eje y la curva, hasta llegar a x ; claramente, si cambia x cambiatambién el área algebraica encerrada.

Observación 7.4.12. El valor de la variable x puede quedar tanto a la derecha como a laizquierda de a. Recuerden que si x < a corresponde calcular

´ xa f(u) du = −

´ ax f(u) du. Recuerden

también que´ aa f(u) du = 0.

El nombre de integral inde�nida puede resultar confuso5, ya que estamos de�niendo algo bienpreciso pero lo llamamos "inde�nido". Algunos libros evitan este nombre y la llaman función área, ofunción acumulación, por su signi�cado geométrico.

Ejemplo 7.4.13. Consideremos la función f(x) = 2x+ 3 en el intervalo [−1, 3] .

Como la función f(x) está de�nida y es continua en el intervalo [−1, 3], podemos construir laintegral inde�nida como una integral de Riemann entre −1 y x, para −1 ≤ x ≤ 3. Usando la letrau como variable de integración, la función integral inde�nida es

F−1(x) =

ˆ x

−1(2u+ 3) du

Aquí debemos ser cuidadosos conceptualmente: esta función está bien de�nida, aunque la integral noesté resuelta. Esto lo podemos a�rmar por el teorema de existencia 7.2.6. Por ejemplo, F−1(−1) = 0,ya que x = −1 es el punto inicial (todavía no hay área acumulada). También sabemos que parax > 1 la función F−1(x) es positiva (porque f(u) es positiva en [−1, x]), etc.

Si queremos una expresión explícita para F−1(x) tenemos que resolver la integral de Riemann.La forma práctica de hacerlo es usar la regla de Barrow (aunque aún no demostramos formalmentesu validez): f(u) = 2u+ 3 es continua y una primitiva posible es F (u) = u2 + 3u, por lo que

F−1(x) =[u2 + 3u

]x−1

= x2 + 3x+ 2

Gra�quen la curva y = f(x) y valores de F−1(x) para comprobar los resultados obtenidos.

También podemos calcular la integral inde�nida de una función continua de�nida a trozos, o con unafunción con algunas discontinuidades tipo saltos. De la misma manera que trabajamos con integralesde�nidas, separaremos la integral en tantos intervalos como haga falta.

Ejemplo 7.4.14. Consideremos nuevamente la función valor absoluto f(x) = |x| y calculemossu integral inde�nida a partir de x = −1. Recordando la de�nición, y usando la regla de Barrow,podemos escribir:

para − 1 ≤ x ≤ 0 : F−1(x) =

ˆ x

−1|u| du =

ˆ x

−1(−u) du = −

[u2

2

]x−1

= −x2

2+

1

2,

en particular F−1(0) =´ 0−1 |u| du =

1

2

para 0 ≤ x ≤ 1 : F−1(x) =

ˆ x

−1|u| du =

ˆ 0

−1(−u) du+

ˆ x

0u du = F−1(0) +

[u2

2

]x0

=1

2+x2

2.

En particular, F−1(1) = 1. Comprueben que coincide, por supuesto, con el cálculo de´ 1−1 |x| dx que

hicimos en el ejemplo 7.4.7.

5Es un juego de palabras en castellano. En inglés se usa inde�nite, mientras algo sin de�nición se dice unde�ned.


7.4.3. El Teorema Fundamental del Cálculo

La función integral inde�nida Fa(x) que discutimos en la sección anterior tiene dos propiedadesmuy importantes. En primer lugar:

Teorema 7.4.15. Si f(x) es continua en un intervalo I, salvo quizás �nitas discontinuidadestipo salto, entonces la integral inde�nida Fa(x) =

´ xa f(u) du es una función continua en todo el

intervalo I.

La idea detrás de este enunciado es que la acumulación de área bajo la curva acotada no puedeproducir una discontinuidad: la integral inde�nida de una función continua a trozos y acotada es siemprecontinua. Se suele decir que es una operación regularizante, porque Fa(x) posee mejores propiedadesque f(x), ya que resulta continua aún en puntos donde f(x) no lo era.

Más importante aún:

Teorema 7.4.16. Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)Si f(x) es continua en un intervalo abierto I y a es un punto en I, entonces la integral inde�nidaFa(x) =

´ xa f(u) du es derivable respecto de x en I y su derivada es

F ′a(x) = f(x)

Es decir, Fa(x) es una primitiva de f(x).

En la próxima clase presentaremos la demostración formal del TFC, y como consecuencia la de-mostración de la regla de Barrow. Sin embargo, vale la pena discutirla informalmente el esquema dela demostración.

Demostración informal. Para estudiar si Fa(x) es derivable en un punto x0 debemos empezarpor el cociente incremental

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)

∆xy notar que

Fa(x0 + ∆x) =

ˆ x0

af(u) du+

ˆ x0+∆x

x0

f(u) du

= Fa(x0) +

ˆ x0+∆x

x0

f(u) du

Luego

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0) =

ˆ x0+∆x

x0

f(u) du

describe el área de una región de base ∆x, como se ilustra en el dibujo.


En el límite ∆x → 0, esta área se puede aproximar arbitrariamente bien por un rectángulo debase in�nitesimal ∆x y altura f(u∗). Además, el valor f(u∗) será arbitrariamente cercano a f(x0)porque la función f(x) es continua, y podemos estimarˆ x0+∆x

x0

f(u) du ≈ ∆x f(x0)

Con estos elementos podemos evaluar, para ∆x→ 0,

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)

∆x≈ ∆x f(x0)

∆x= f(x0)

e intuir que existe la derivada F ′a(x0) y vale f(x0), como intentamos demostrar.Claramente este cálculo de F ′a(x0) no es formal, porque no hemos evaluado el límite del cociente

incremental sino una aproximación para incrementos pequeños. Sin embargo, el resultado es elcorrecto.

Observación 7.4.17. Cabe destacar que en la demostración no se calcula explícitamente Fa(x),sólo se calcula su derivada. Por eso el TFC es conceptualmente anterior a la regla de Barrow.

En este curso teórico- práctico adelantamos el enunciado de la regla de Barrow por su utilidadcomo herramienta práctica.

Una vez enunciado el TFC podemos hacer varias observaciones importantes. En particular, podemoscompletar la presentación de los nombres y notaciones utilizados en el cálculo integral.

Observación 7.4.18.

La integral de Riemann en un intervalo dado se llama integral de�nida, en contraste con laintegral inde�nida que vimos esta clase. La integral de�nida es un número, mientras que laintegral inde�nida tiene por resultado una función.La integral inde�nida de f(x) da una primitiva de f(x). Por eso elegimos la letra F mayúsculaal de�nir

Fa(x) =

ˆ x

af(x) dx

y un subíndice a para recordar dónde empezamos a integrar.Si una función es integrable en un intervalo abierto I se pueden construir distintas integralesinde�nidas, o primitivas, eligiendo el punto inicial de integración. Por ejemplo, dado b 6= apunto distinto de I,

Fb(x) =

ˆ x

bf(u) du

también es una primitiva de f(x), de�nida en el mismo intervalo I.Por ser Fa(x) y Fb(x) dos primitivas de la misma función, sólo pueden ser distintas por lasuma de una constante. Eso es lo que sucede, por las propiedades de aditividad,ˆ x

bf(u) du =

ˆ a

bf(u) du+

ˆ x

af(u) du

signi�ca que

Fb(x) = Fa(x) +

ˆ a

bf(x) dx

donde´ ab f(x) dx tiene por resultado un número (una constante).

Por la observación anterior, cuando uno necesita construir una primitiva como integral in-de�nida puede elegir a gusto el punto inicial de la integración; se suele anotar

F (x) =

ˆ x

f(u) du

para remarcar que no es importante el punto inicial del intervalo de integración, o másbrevemente


Notación integral para primitivas: F (x) =

ˆf(x) dx

Como resultado del Teorema Fundamental del Cálculo, y de la propiedad 7.1.5, integralinde�nida resulta sinónimo de primitiva. Se suele llamar "integrar" al proceso de hallar unaprimitiva; la notación ˆ

f(x) dx

es la más común para indicar primitivas. A la tabla de primitivas también se la puede llamartabla de integrales.

Actividad 7.4.19. Queremos destacar que el TFC permite conocer la derivada de la funciónintegral inde�nida, aunque no conozcamos la función en sí misma.

Calculen, sin hacer cuentas, la derivada respecto de x de las siguientes funciones:

F (x) =´ x

1

(u3 + 2u2 − 3

)du, para x > 1

F (x) =´ x

1

(u3 + 2u2 − 3

)du, para x < 1

7.4.4. Técnicas de integración: integrales por sustitución

Como tercera parte de esta clase, vamos a avanzar en el problema de construir primitivas, aplicandolas ideas y la notación que aprendimos con la integral inde�nida.

Ya hemos visto que la primitiva de un producto no es el producto de las primitivas. La reglade integración por sustitución se aplica a cierto producto donde aparecen multiplicadas una funcióncompuesta f(u(x)) por la derivada u′(x) de la función interna, y está relacionada con la derivaciónpor regla de la cadena. Como siempre que trabajamos con funciones compuestas, tenemos que sercuidadosos con la notación y con los dominios de cada función.

Propiedad 7.4.20. Si una función de�nida en (a, b) tiene la forma f(u(x))u′(x) donde u′(x) esla derivada de u(x) en (a, b), y f(u) admite primitiva F (u) en toda la imagen u((a, b)), entoncesla función f(u(x))u′(x) admite primitiva en (a, b):ˆ

f(u(x))u′(x) dx = F (u(x))

Demostración: es su�ciente veri�car, usando la regla de la cadena, que

(F (u(x)))′ = F ′(u(x))u′(x) = f (u(x)) u′(x)

para todo punto x de (a, b).

Una forma usual de escribir la regla de primitivas por sustitución, usando notación integral, apro-vecha que du = u′(x) dx para expresar

ˆf(u(x))u′(x) dx =

ˆf(u) du

Esta forma es la más sencilla de recordar cómo hacer integrales por sustitución. Sin embargo,después de hallar la primitiva de f(u) no se olviden de reemplazar u = u(x) para que el resultado seauna función de x.

Ejemplo 7.4.21. Calculemos las primitivas´x sen

(x2)dx.

Notamos que hay una función seno compuesta con u(x) = x2, y nos preguntamos si aparecemultiplicada por du = 2x dx. Sólo falta el factor 2, pero lo podemos manipular multiplicando y


dividiendo por 2: ˆsen (x²)x dx =

1

2

ˆsen (x²) (2x) dx

=1

2

ˆsenu du

Por otro lado conocemos (por tabla) una primitiva de senu:´

senu du = − cosu. Entonces podemosa�rmar que ˆ

sen (x²)x dx = −1

2cos (u(x)) + C

= −1

2cos(x2)

+ C

Observen que la notación de primitivas como integrales inde�nidas permite trabajar directamentecon los diferenciales; una vez reconocida la función u(x) apropiada uno sustituye u(x) → u yu′(x) dx → du y le queda planteada la primitiva de f(u). En este sentido es habitual hacer lasustitución y luego preocuparse por encontrar la primitiva de f(u).

Como siempre que calculamos primitivas, conviene veri�car el resultado. Derivando,(−1

2cos(x2)

+ C

)′= −1

2

(− sen

(x2))

2x = x sen (x²)

prueba que hallamos las primitivas correctamente.

7.4.5. Ejercicios

Ejercicio 7.4.1. Calculen´ 0

10 x dx;´ 5−5(x3 + x) dx;

´ 55 (x3 + x) dx.

Ejercicio 7.4.2.

Supongamos que se sabe que´ 2

1 f(x) dx = 3. A partir de la propiedad de linealidad, calculen´ 21 (3f(x) + 2x) dx.

Supongamos que´ 3

0

(12f(x) + ex

)dx = 10. Calculen

´ 03 f(x) dx.

Ejercicio 7.4.3. Sabiendo que´ 10

2 f(x) dx = 9 y que´ 10

5 f(x) dx = 3, calculen´ 5

2 f(x) dx . Ilustrencon un grá�co y expliquen su respuesta.

Ejercicio 7.4.4. Supongamos cierta función continua f(x) de�nida en [0, 6] de la que se sabe que

f(x) < 0 en (0, 2); f(x) > 0 en (2, 6); f(0) = f(2) = f(6) = 0.´ 60 f(x) dx = 3.5el área geométrica encerrada entre la función y el eje x en el intervalo [0, 2] es 1.5.

Calculenˆ 2

0f(x) dx;

´ 62 f(x) dx;

ˆ 6

0(2 + f(x)) dx;

´ 60 |f(x)| dx; .

Sabiendo que F (x) =´ xa f(u) du es una primitiva de f(x), podemos calcular las derivadas de

expresiones más complejas.

Ejemplo 7.4.22. Consideremos la expresión g(x) =´ 3x

1 cos(u2) du como función de x y busque-mos su derivada.

Podemos llamar f(x) = cos(x2)y F (x) =

´ x

1 cos(u2) du a su integral inde�nida. Como cos(x2)

es una función continua en todos los reales, F (x) es derivable y F ′(x) = cos(x2).Además, g(x) se puede escribir como la composición

g(x) = F (3x)


Para derivarla respecto de x, solo hace falta usar regla de la cadena y recordar el Teorema funda-mental del cálculo:

d

dx(F (3x)) = F ′(3x). (3x)′ = cos(3x)2.3 = 3 cos

(9x2).

Ejercicio 7.4.5. Calculen la derivada respecto de x de´ x1 f(u) du;

´ 1x f(u) du;

´ 2x0 f(u) du´ x3

π/2 cos(t) dt;´ 1x2

(3 + sen2 u

)du´ senx

2x eu du; Sugerencia: escribir´ senx

2x eu du =´ a

2x eu du+

´ senxa eu du´ x2+2

lnx

3√uu2+1

du

Ejercicio 7.4.6. Consideren la función

f(x) =

{x, si 0 ≤ x ≤ 1

x2, si 1 < x ≤ 2.

¾Dónde es continua f(x)?Encuentren la expresión de A(x) =

´ x0 f(u) du y comprueben que A′(x) = f(x) para todo x del

dominio.Calculen A(1/2), A(1) y A(2).

Ejercicio 7.4.7. Consideren ahora la función

f(x) =

{x, si 0 ≤ x ≤ 1

x2 + 1, si 1 < x ≤ 2

1. Encuentren la expresión de A(x) =´ x

0 f(u) du para todo x real.2. Calculen A(1), A(3/2) y A(2).3. ¾Dónde es continua A(x)? ¾Dónde es derivable A(x)?

Ejercicio 7.4.8. Hallen por sustitución la familia de primitivas de las siguientes funciones. Veri-�quen los resultados, indicando el dominio de validez.

1. x√x2 + 1

2. x(x2 + 4

)3(como alternativa, desarrollen también la potencia antes de hallar las primitivas.

Observen que la sustitución u(x) = x2 + 4 es mucho más práctica)

Ejercicio 7.4.9. Hallen una primitiva de cos(2x) usando la sustitución u(x) = 2x.

Ejercicio 7.4.10. Hallen una primitiva para cada una de las siguientes funciones por el métodode sutitución:

1.√

2x+ 42. x2ex

3

3. senx cosx (Pueden resolverla planteando u(x) = senx o bien u(x) = cosx. Es interesantecomparar ambas alternativas.)

CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 280

Clase 7.5. Teoremas del cálculo integral

Contenidos de la clase: Leyes de monotonía. Teorema del Valor Medio. Demostracióndel Teorema Fundamental del Cálculo y de la Regla de Barrow.

Otras técnicas del cálculo integral: integración por partes y fracciones simples.

Dedicaremos la primera parte de esta clase a formalizar propiedades de la integral de�nida y de laintegral inde�nida. El objetivo �nal es demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla deBarrow que ya hemos enunciado. Entretanto veremos el Teorema del Valor Medio.

En una segunda parte avanzaremos con técnicas para construir primitivas.

7.5.1. Leyes de monotonía

.

Propiedad 7.5.1. Leyes de monotonía (conservación de desigualdades).

1. Si f(x) ≥ 0 es integrable en el intervalo [a, b], entoncesˆ b

af(x) dx ≥ 0

2. Si f(x) y g(x) son integrables en el intervalo [a, b] y g(x) ≥ f(x) en todo el intervalo,entonces ˆ b

ag(x) dx ≥

ˆ b

af(x) dx

Una vez más, las propiedades 7.5.1 re�ejan que la integral de�nida se construye como límite desumas: la primera dice que al "sumar" cantidades no negativas se obtiene un resultado no negativo,y la segunda dice que al "sumar" cantidades mayores que otras se obtiene un resultado mayor queotro. Es decir, las leyes de monotonía de la suma son válidas para integrales de�nidas. Lo ilustramosgrá�camente en el caso de funciones positivas: en un mismo intervalo, una función positiva encierra unárea positiva, y una de mayor altura encierra mayor área.

Actividad 7.5.2. Ilustren la propiedad 7.5.1, parte (2), en algún caso en que las funciones nosean positivas.


7.5.2. El Teorema del Valor Medio para integrales

Este importante teorema se puede presentar grá�camente. Cuando una función continua y positivaf(x) no es constante en un intervalo [a, b], como en la �gura que sigue, el área que queda encerradaentre la grá�ca de la función y el eje x se puede igualar con el área de un rectángulo de base (b− a) yaltura apropiada:

En el grá�co resulta claro que la altura apropiada h es algún valor intermedio entre el mínimo y elmáximo de la función (si h fuera mayor que el máximo el rectángulo tendría mayor área que la encerradapor la curva; si h fuera menor que el mínimo el rectángulo tendría menor área que la encerrada por lacurva). Noten que podemos hablar del máximo y del mínimo absoluto, que se alcanzan en puntos de[a, b], porque f(x) es continua en un intervalo cerrado. Además, dado que h está entre el mínimo y elmáximo de la función, por el Teorema del Valor Intermedio debe existir un número c en [a, b] tal queh = f(c). Luego la integral encierra un área que se puede escribir como (b − a)f(c) (base por alturadel rectángulo).

La situación descripta es cierta para cualquier función continua en un intervalo cerrado, inclusocuando f(x) no sea positiva (recuerden que usamos áreas con signo, que hemos llamado áreas algebrai-cas).

El resultado general se enuncia como

Teorema 7.5.3. Teorema del Valor Medio para integrales.Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal queˆ b

af(x) dx = f(c)(b− a)

Demostración. Vamos a desarrollar con notación matemática lo que observamos en la �guraanterior. Dado que f(x) es continua en [a, b], encontramos un valor m ∈ [a, b] tal que f(m) es elmínimo absoluto y un M ∈ [a, b] tal que f(M) es el máximo absoluto de f(x) en [a, b], por lo que

f(m) ≤ f(x) ≤ f(M)

De�niendo dos funciones constantes g(x) = f(m) y h(x) = f(M), por la propiedad 7.5.1 lasintegrales de cada miembro mantienen la desigualdadˆ b

af(m) dx ≤

ˆ b

af(x) dx ≤

ˆ b

af(M) dx,

podemos sacar las constantes fuera de cada integral

f(m)

ˆ b

adx ≤

ˆ b

af(x) dx ≤ f(M)

ˆ b

adx

y resolver´ ba dx = b− a,

f(m)(b− a) ≤ˆ b

af(x) dx ≤ f(M)(b− a).


Dividiendo cada miembro por b− a(> 0) llegamos a

f(m) ≤ 1

(b− a)

ˆ b

af(x) dx ≤ f(M).

En otras palabras, la expresión1

(b− a)

´ ba f(x) dx es un valor intermedio entre el mínimo f(m) y el

máximo f(M). Entonces, por el Teorema del Valor Intermedio, existe c entre m y M tal que

1

(b− a)

ˆ b

af(x) dx = f(c),

de donde despejamos ˆ b

af(x) dx = f(c)(b− a).

Las �guras siguientes, tomadas del libro Cálculo I de Larson, Hostetler y Edwards, ilustran lasáreas involucradas en esta demostración.

Valor medio de una función continua.

En la demostración del Teorema 7.5.3 f(c) es la altura de un rectángulo tal que su área (con signo)es igual al área real algebraica encerrada por la función, (b− a)f(c) =

´ ba f(x) dx. A esta altura se la

llama valor medio de la función f(x) en el intervalo [a, b]. Se de�ne:

Definición 7.5.4. Si la función f(x) es integrable en el intervalo [a, b], se llama valor medio dela función f(x) en el intervalo [a, b] a

〈f(x)〉[a,b] =1

(b− a)

ˆ b

af(x) dx

Observen que el cálculo del valor medio de una función es análogo al promedio de un conjunto denúmeros. Para un conjunto �nito de números, se suman todos y se divide por la cantidad de números.Para funciones, se integra todo el intervalo y se divide por la longitud del intervalo.

Ejemplo 7.5.5. El valor medio de la función y = sen x en el primer cuadrante (es decir,0≤x≤ π/2) se calcula como

〈sen(x)〉[0,π/2] =1

π/2

ˆ π/2

0sen(x)dx

=2

π[− cos(x)]

π/20

=2

π≈ 0.637


7.5.3. Demostración del Teorema Fundamental del Cálculo

Finalmente estamos en condiciones de demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo. Dado quees tan importante, volvemos a recordar su enunciado:

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)Si f(x) es continua en un intervalo abierto I y a es un punto en I, entonces la integral inde�nidaFa(x) =

´ xa f(u) du es derivable respecto de x en I y su derivada es

F ′a(x) = f(x)

Es decir, Fa(x) es una primitiva de f(x).

Demostración. Corresponde calcular la derivada por de�nición, comenzando con la razón decambio a partir de un punto x0 y un incremento ∆x,

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)

∆x

Por la aditividad de la integral respecto del intervalo, podemos escribir

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0) =

ˆ x0

af(u) du+

ˆ x0+∆x

x0

f(u) du−ˆ x0

af(u) du

=

ˆ x0+∆x

x0

f(u) du

Dado que f es continua entre x0 y x0+∆x, el Teorema del Valor Medio para integrales permite escribir6ˆ x0+∆x

x0

f(u) du = f(c)∆x

6Noten la diferencia con la demostración informal anterior.


donde c es un número entre x0 y x0 + ∆x. Reemplazando en la razón de cambio,

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)

∆x=f(c)∆x

∆x= f(c)

Resta tomar el límite. Como c está atrapado entre x0 y x0 + ∆x, cuando ∆x → 0 necesariamentec→ x0. Además, f(x) es continua en x0. Entonces existe el límite

lım∆x→0

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)

∆x= lım

c→x0f(c) = f(x0)

como queríamos demostrar.

Observación 7.5.6. En esta demostración no indicamos si tomamos el límite por derecha opor izquierda, ni detallamos qué pasa cuando x = a o x = b. El grá�co sólo ilustra la situaciónmás sencilla, que es el límite por derecha x→ x+

0 en un punto x0 interior a [a, b]. Si lo revisan concuidado, basados en las propiedades anteriores, verán que todos los pasos son válidos para el límitepor izquierda. También es válido que Fa(x) admite derivada lateral en los bordes x = a y x = b.

7.5.4. Demostración de la regla de Barrow

Como aplicación inmediata del Teorema Fundamental del Cálculo, podemos dar la demostraciónformal de la regla de Barrow. Recordemos el enunciado:

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y admite primitiva F (x) en [a, b],entonces ˆ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

Demostración: Vamos a tratar el caso en que f(x) sea continua en un intervalo abierto quecontiene a [a, b] (es decir, un poco más a la izquierda de a y un poco más a la derecha de b). Si f(x)es continua estrictamente en [a, b] el resultado es válido, pero la prueba es más trabajosa.

Consideremos la integral inde�nida Fa(x) =´ xa f(u) du, que por el Teorema Fundamental del

Cálculo que es una primitiva de f(x) en [a, b]. Y consideremos que conocemos F (x), otra primitiva def(x) en [a, b]. Como las primitivas de una función pueden ser distintas solamente por una constante,existe C tal que

Fa(x) = F (x) + C (∗)

Evaluando esta igualdad (∗) en x = a encontramos que Fa(a) =´ aa f(u) du = 0, porque el intervalo

de integración tiene ancho nulo. Luego

0 = F (a) + C

de donde despejamos C = −F (a).Evaluando la misma igualdad (∗) en x = b encontramos que

Fa(b) = F (b) + C

donde Fa(b) =´ ba f(u) du es la integral de�nida que queremos evaluar. Usando que C = −F (A)

llegamos a la conclusión ˆ b

af(u) du = F (b)− F (a)

Como la variable de integración es muda, podemos cambiar u por x y queda demostrada la regla deBarrow.


7.5.5. Técnicas de integración: integral por partes

Volvamos al problema de construir una primitiva de un producto, con la ténica conocida comointegral por partes.

Esta técnica no resuelve directamente la primitiva, sino que permite cambiar el cálculo de laprimitiva de un producto de funciones por la primitiva de otro producto de funciones, con la expectativade que este último quede más sencillo. Se aplica a productos de la forma u(x)v′(x) y se enuncia así:

Propiedad 7.5.7. Si u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a, b), y u′(x)v(x) admite primi-tiva en (a, b) entonces ˆ

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−û′(x)v(x) dx

Demostración: El cálculo de primitivas por partes se relaciona con la derivación de un producto.Para probarlo basta con derivar el lado derecho usando la regla de Leibnitz y el Teorema Fundamentaldel Cálculo (

u(x)v(x)−û′(x)v(x) dx

)′= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)− u′(x)v(x)

= u(x)v′(x)

Noten que podremos aplicar esta regla cuando necesitemos la primitiva de un producto de funciones,donde uno de los factores (que aquí llamamos u(x)) sea derivable y el otro (que aquí llamamos v′(x))tenga una primitiva accesible. Cuando anotamos este segundo factor como v′(x) queremos decir quepodemos construirle una primitiva v(x).

Para aplicar esta técnica debemos reconocer un producto de la forma u(x)v′(x) yi) a partir de u(x) calcular u′(x)ii) a partir de v′(x) calcular v(x) =

´v′(x) dx

En la práctica, cambiamos el cálculo de una primitivaú(x)v′(x) dx por el cálculo de dos primiti-

vas: la del factor v′(x), que necesitamos para escribir v(x), yú′(x)v(x) dx, con la expectativa de que

esta última sea más sencilla que la primitiva original.En notación compacta, aprovechando que u′(x) dx = du y v′(x) dx = dv, se puede recordar queˆ

u dv = uv −ˆv du

Ejemplo 7.5.8. Calculemos las primitivas de f(x) = x ex.En primer lugar, no van a encontrar el resultado en la tabla de integrales. En segundo lugar,

la forma de producto de f(x) no se ajusta a la técnica de sustitución. Busquemos la primitiva porpartes.

Escribimos la primitiva a encontrar como integral inde�nidaˆx ex dx

donde elegimosu = x y dv = ex dx

Para aplicar la técnica necesitamos calcular

du = x′ dx = dx

v =

êxdx = ex

(no hace falta agregar la constante de integración, porque estamos buscando una primitiva). Luegoˆx ex dx = uv −

ˆv du

= x ex −êx dx


que funciona bien porque ahora podemos resolver´ex dx = ex. Finalmente, las primitivas hallada

son ˆxex dx = xex − ex + C

Como siempre, conviene veri�car el resultado derivando:

(xex − ex + C)′ = 1.ex + xex − ex = xex

prueba que hallamos las primitivas correctamente y que son válidas en todo el eje real.

Observación 7.5.9. El objetivo de la técnica de primitivas por partes es cambiar el problemaoriginal por el cálculo de una primitiva más fácil de resolver.

A veces se puede obtener un problema más complicado que el original. Recién luego de construirel producto u′(x)v(x) podrán estimar si el cálculo de su primitiva es viable, y si vale la pena seguiradelante.

En nuestro ejemplo, si hubiéramos planteado

u(x) = ex y v′(x) = x

habríamos llegado a´xex dx = x2

2 ex−´x2

2 ex dx. Observen que la última integral resulta más difícil

de resolver que el problema original.Cuando suceda esto, es recomendable replantear el problema con otra estrategia.

Observación 7.5.10. Cuando calculamos una integral de�nida utilizando la técnica de integra-ción por partes, debemos hallar primero una primitiva y luego aplicar la regla de Barrow. Recordemosque la primitiva de f(x) = u(x)v′(x) es F (x) = u(x)v(x)−

´u′(x)v(x) . Luego, la aplicación de la

regla de Barrow indica que

ˆ b

au(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ba −

ˆ b

au′(x)v(x) dx

Siguiendo con el ejemplo anterior,ˆ 1

0xex dx = [xex]10 −

ˆ 1

01.ex dx = e− [ex]10 = e− (e− 1) = 1

7.5.6. Reescribir antes de integrar: separación en fracciones simples

La técnica de fracciones simples se basa en un resultado de Algebra que permite reescribir uncociente de polinomios como varios cocientes más sencillos, con la intención de facilitar el cálculo desus primitivas.

Antes de presentar los modelos generales para reescribir expresiones racionales, recordemos algunasintegrales que podemos hacer, y que aparecerán en los cálculos.

Actividad 7.5.11. Calculen las siguientes integrales. Recuerden las respuestas porque las vamosa utilizar inmediatamente.´

1x−adx;

´1

(x−a)ndx con n natural, n ≥ 2;´

1x2+1

dx;´

1x2+a2

dx;´

xx2+a2

dx.

Respuestas: ln |x− a|; (x−a)−n+1

−n+1 ; arctanx; 1a arctan(x/a); ln(x2+a2)

2 .

Caso 1: hay una forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fracciones simples,que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x) se puedefactorizar como producto de factores de grado uno, no repetidos. La mostramos en el siguienteejemplo:


Ejemplo 7.5.12. Calculemos como ejemplo una primitiva para la función f(x) =1

x2 − 1.

Como el denominador x2−1 = (x−1)(x+1) es un producto de dos factores, podemos pensar quela función f(x) es el resultado de haber sumado dos fracciones, una con denominador x− 1 y otracon denominador x+ 1. Se prueba en Algebra que existen tales fracciones, ambas con numeradoresconstantes A y B que todavía no conocemos

1

(x− 1)(x+ 1)=

A

x− 1+

B

x+ 1

Para encontrar dichas constantes resolvemos la suma de fracciones

A

x− 1+

B

x+ 1=A(x+ 1) +B(x− 1)

(x− 1)(x+ 1)=

(A+B)x+ (A−B)

(x− 1)(x+ 1),

y la igualamos al cociente original

1

(x− 1)(x+ 1)=

(A+B)x+ (A−B)

(x− 1)(x+ 1)

Como el denominador es el mismo, son iguales los numeradores

(A+B)x+ (A−B) = 1.

En Algebra demostrarán que dos polinomios son iguales cuando todos los coe�cientes que acompañana las distintas potencias de x son iguales. En este caso nos queda un sistema de dos ecuaciones linealespara hallar A y B: {

A+B = 0

A−B = 1

cuya solución es A = 1/2, B = −1/2 (compruébenlo). Es decir,

1

(x− 1)(x+ 1)=

1/2

x− 1− 1/2

x+ 1

Esto nos permite encontrar la primitiva "término a término"ˆ

1

x2 − 1dx =

ˆ (1/2

x− 1− 1/2

x+ 1

)dx =

1

2ln |x− 1| − 1

2ln |x+ 1|+ C

(que también pueden escribir como 12 ln |x−1

x+1 |+ C).

En general, por cada factor lineal no repetido del denominador, x− a, se propone una fracciónA

x− a

Caso 2: hay una segunda forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fraccionessimples, que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x)se puede factorizar como producto de factores de grado uno, incluso repetidos. Veamos unejemplo:

Ejemplo 7.5.13. Calculemos la primitiva de1

x3 − 2x2 + x.

Observemos que x3− 2x2 + x = x(x− 1)2, es decir que el denominador contiene un factor linealx− 1 repetido dos veces. La propuesta anterior llevaría a escribir 1

x3−2x2+x= A

x + Bx−1 + C

x−1 , perono funciona (veri�quen). Se prueba en Algebra que es posible una separación de la forma siguiente:

1

x3 − 2x2 + x=A

x+

B

x− 1+

C

(x− 1)2


Desarrollando la suma de fracciones, e igualando los numeradores, llegan a un sistema de tresecuaciones lineales con tres incógnitas. Comprueben que la solución es única, A = 1, B = −1 yC = 3. La función queda reescrita

1

x3 − 2x2 + x=

1

x− 1

x− 1+

3

(x− 1)2

y lista para integrar término a término,

ˆ1

x3 − 2x2 + xdx =

ˆ (1

x− 1

x− 1+

3

(x+ 1)2

)dx = ln |x| − ln |x− 1| − 3

1

x− 1+ C

En general, cuando x − a es un factor lineal del denominador repetido n veces, con n ≥ 2, seproponen fracciones Ak/(x − a)k hasta llegar al grado k = n. Por ejemplo, si el denominadorcontiene (x− a)3, se propone

A1

x− a+

A2

(x− a)2+

A3

(x− a)3

Observen que el mayor trabajo es algebraico: resolver la suma de fracciones, igualar numeradorespara generar un sistema de ecuaciones, y resolver ese sistema de ecuaciones para hallar el valor de lasconstantes. Finalmente, las integrales de cada sumando son sencillas.

Caso 3: hay una tercera forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fraccionessimples, que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x)contiene factores cuadráticos irreducibles en los reales. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 7.5.14. ¾Qué ocurre cuando el polinomio tiene un factor cuadrático sin raíces reales?

Calculemos la primitiva de1

x3 + 4x.

Observemos que x3 + 4x = x(x2 + 4) y que el factor cuadrático x2 + 4 no se puede seguirfactoreando en los reales. La propuesta nueva es separar

1

x3 + 4x=A

x+Bx+ C

x2 + 4

La segunda fracción es la propuesta asociada al factor (x2 + 4). Como antes, debemos resolver lasuma de fracciones, igualar numeradores y resolver el sistema de ecuaciones para A, B y C. Háganlo,deben llegar a A = 1, B = −1 y C = 0. Separando las integrales obtendrán que la primitiva es

ˆ1

x3 + 4xdx = ln |x| − 1

2ln(x2 − 4) + C

En general, cuando en el denominador aparece un factor cuadrático sin raíces reales de la forma(x2 + bx2 + c), se propone una fracción

Bx+ C

x2 + bx2 + c

Además, si aparece un factor cuadrático sin raíces reales repetido, (x2+bx2+c)n, se van agregandofracciones de la misma forma con denominador (x2 + bx2 + c)k, hasta llegar al exponente k = n.Por ejemplo, si apareciera (x2 + 2x+ 2)2 (comprueben que no tiene raíces reales) se propondrá

B1x+ C1

x2 + 2x+ 2+

B2x+ C2

(x2 + 2x+ 2)2

Cocientes de polinomios p(x)/q(x) donde el grado de p(x) es mayor o igual que el grado deq(x). Cuando sucede esto, conviene hacer primero la división entera de los polinomios, para


obtener un cociente c(x) y un resto r(x), tales que p(x) = c(x) q(x) + r(x). Luego

p(x)

q(x)=c(x) q(x) + r(x)

q(x)= c(x) +

r(x)

q(x)

El primer término es un polinomio, fácil de integrar; el cociente con el resto siempre tendráel numerador con grado menor que el denominador, y se podrá tratar con alguno de los casosanteriores. Por ejemplo,

Actividad 7.5.15. Dada f(x) =2x3 − 4x2 − x− 3

x2 − 2x− 3, realicen la división de los polimonios para

escribir2x3 − 4x2 − x− 3 = 2x

(x2 − 2x− 3

)+ (5x− 3)

Entonces2x3 − 4x2 − x− 3

x2 − 2x− 3=

2x(x2 − 2x− 3

)+ (5x− 3)

x2 − 2x− 3= 2x+

5x− 3

x2 − 2x− 3Ahora, calculen una primitiva usando fracciones simples en el último término. Quizás recuerden queesta primitiva parecía imposible en la clase 7.1...

7.5.7. Técnicas de integración: método de sustitución en integrales de�nidas y cambiode límites de integración

El método de sustitución, que consiste en sustituir´f(u(x))u′(x) dx =

´f(u) du, es básico para

calcular primitivas. La primitiva hallada queda como función de u y el paso �nal es reemplazar u = u(x).No hay di�cultad si la sustitución es explícita. Pero la primitiva compuesta suele ser más complicadaque la primitiva en función de u.

Cuando calculamos integrales de�nidas, usando la regla de Barrow, podemos evitar la vuelta a lavariable original si encontramos los límites de integración para la variable nueva. Dado que la regla deBarrow es válida sólo cuando el integrando es una función continua, y que el método de sustitución sebasa en funciones compuestas, hay que tener cuidado con los cambios de variables. El procedimientoes correcto si se respeta la siguiente

Propiedad 7.5.16. a

Si la función u(x) tiene derivada continua en un intervalo cerrado [a, b] y la función f(u) escontinua en los valores u(x) cuando x recorre el intervalo [a, b], entoncesˆ b

af(u(x))u′(x) dx =

ˆ u(b)

u(a)f(u) du

aEsta propiedad se demuestra combinando el Teorema Fundamental del Cálculo con la regla de la cadena paraderivar funciones compuestas.

Ejemplo 7.5.17. Calculemos´ 1

0 x(x2 + 1

)3dx.

Primero, hallamos una primitiva por sustitución: proponemos u = x2 +1, por lo que du = 2x dx.ˆx(x2 + 1

)3dx =

ˆ1

2u3du =

1

8u4

y no nos preocupamos por reemplazar u en función de x.Luego, calculamos los límites de integración para la variable nueva: como u(0) = 1 y u(1) = 2,

x = 0 corresponde a u = 1 y x = 1 corresponde a u = 2. Entonces,ˆ 1

0x(x2 + 1

)3dx =

ˆ 2

1

1

2u3du =

1

8

[u4]21

=1

8(16− 1) =

15

8.

También podríamos haber utilizado la primitiva F (x) =1

8

(x2 + 1

)4y aplicar la regla de Barrow

para escribir.


ˆ 1

0x(x2 + 1

)3dx =

[1

8(x2 + 1)4

]1

0

=1

8(24 − 1) =

15

8.

Este cálculo es apenas un poco más complicado que el que propusimos primero. Sin embargo,en los casos en los que se propone una sustitución x = h(u) el método más conveniente suele serplantear una sustitución, encontrar los nuevos límites de integración y resolver la nueva integral.

7.5.8. Ejercicios

Ejercicio 7.5.1. Calculen las integrales de�nidas

1.ˆ 1

−1

dx√x2 + 1

2.´ 2

1 x(x2 − 5)dx

Ejercicio 7.5.2. Hallen una primitiva para cada una de las siguientes funciones, integrando porpartes:

1. x senx2. x2ex (tendrán que utilizar el método de integración por partes dos veces)3. lnx en el intervalo (0,+∞) . Consideren u(x) = lnx y v′(x) = 1

En algunos casos habrá que combinar los métodos de integración, como en el ejercicio siguiente.

Ejercicio 7.5.3. Hallar una primitiva para cada una de las siguientes funciones:

1. x sen 2x . Proponer primero la sustitución u(x) = 2x y luego aplicar integración por partes.2. x5ex

3. Escribir x5 = x3x2 y proponer la sustitución u(x) = x3

Ejercicio 7.5.4. Encuentren las primitivas de las siguientes funciones usando el método de inte-gración por partes:

(a) x arctanx; (b) xe−x; (c)lnx√x

; (d) x ln (2x)

Ejercicio 7.5.5. Separen en fracciones simples y calculen las primitivas de

(a)3

x2 − x− 2; (b)

2x

x2 − x− 2; (c)

x2 + 4

x3 − 4x; (d)

3

x4 + 2x3 + x2; (e)

´ 1

x3 − x2dx


Clase 7.6. Actividades de integración

Contenidos de la clase: ejercitación en técnicas de integración.

7.6.1. Integrales por sustitución

Les proponemos varios ejercicios para resolver por sustitución.

Ejercicio 7.6.1. Encuentren las primitivas de las siguientes funciones utilizando sustitucionesadecuadas:

1. (x4 + x2)(2x3 + x)

2. x3√

1− x2

3.ln 2x

x4.

x

x2 + 1

Ejercicio 7.6.2. Sea f(x) una función continua en [0, 4] tal que´ 4

0 f(x)dx = 10. Calculen lassiguientes integralesˆ 2

0f(2u) du

ˆ 2

0uf(u2) du

Ejercicio 7.6.3. Completando cuadrados y sacando factor común, podrán reescribir las siguientesfunciones y luego encontrar sus primitivas por sustitución:

1.1

x2 + 9

2.1

x2 + 6x+ 10

3.1√

x2 + 2x+ 2

4.1√

x2 − 2x

5.1√

3− x2 + 2x

6.1

4x2 + 1(Sugerencia: escriban primero

1

(2x)2 + 1y propongan una sustitución adecuada)

7.1√

2x2 − 2x+ 5/2

En cada caso, veri�quen sus resultados.

Ejercicio 7.6.4. Encuentren las primitivas de las siguientes funciones. En todos los casos, pro-pongan primero una sustitución adecuada.

(a)1

e2x + 1; (b)

cosx

2− sen2 x; (c)

√x√

x+ 1; (d)

1

x lnx(lnx+ 1); (e) e

√x;

7.6.2. Integrales por partes

Ejercicio 7.6.5. Calculen las siguientes integrales:

1.´ π/4

0

1− sen tcos2 t

dt

2. arc senx;3. x arc senx2


7.6.3. Descomposición en fracciones simples

Ejercicio 7.6.6. Hallen las primitivas de las siguientes funciones utilizando descomposición enfracciones simples.

(a)3x

x2 − 9; (b)

1

x(x2 + 1); (c)

x

x4 − 1.

7.6.4. Técnicas de cálculo de primitivas: integrales de funciones trigonométricas e hiper-bólicas

Para encontrar primitivas de algunas expresiones que involucran funciones trigonométricas necesi-taremos recordar algunas identidades y usarlas para reescribir el integrando original. Las identidadesbásicas las presentamos en la Unidad 1. Probablemente las más útiles ahora son

cos2 x+ sen2 x = 1

cos2 x− sen2 x = cos 2x

Actividad 7.6.1. Sumando (respectivamente restando) las igualdades anteriores término a tér-mino, obtengan las expresiones

cos2 x =1 + cos 2x

2

sen2 x =1− cos 2x

2

Usando estos resultados, calculenˆ

cos2 x dx y´

sen2 x dx

Para hallar primitivas de potencias pares más altas de senos o cosenos (o productos de ambas),pueden usar las identidades anteriores repetidas veces. Una propuesta alternativa es hacer integracionespor partes para ir bajando el grado de dichas potencias.

Actividad 7.6.2. Calculemos la primitiva de sen4 x usando un truco. Escribiendo sen4 x =sen3 x. senx e integrando por partes (llamen u(x) = sen3 x y v′(x) = senx) obtenemos

ˆsen4 x dx = sen3 x(− cosx)−

ˆ(− cosx)3 sen2 x. cosx dx = − sen3 x. cosx+ 3

ˆsen2 x. cos2 x dx.

Escribiendo en la última integral sen2 x cos2 x = sen2 x(1− sen2 x) = sen2 x− sen4 x obtenemos´sen4 x dx = − sen3 x. cosx+ 3

´sen2 x dx− 3

´sen4 x dx

donde vuelve a aparecer, a la derecha, la integral que queremos calcular! El truco es despejar´sen4 x dx (como si fuera una incógnita) y llegar a

4´

sen4 x dx = − sen3 x. cosx+ 3´

sen2 x dx.

La primitiva de sen2 x que ya han hecho en la actividad anterior sirve para terminar el cálculo.

Ejercicio 7.6.7. Resuelvan las siguientes integrales utilizando que cos2 x = 1+cos 2x2 y que sen2 x =

1−cos 2x2 , y luego sustituciones:´

sen3 x dx (reescriban sen3 x = sen2 x. senx = (1− cos2 x) senx y luego planteen una sustitu-ción)´

cos3 x sen4 x dx (reescriban cos2 x en función del seno y planteen una sustitución)


ćos5 x dx

Observen que esta técnica permite calcular primitivas de potencias impares de senos (o cosenos) y deproductos de potencias impares de senos con potencias pares de senos (o al revés).

Ejercicio 7.6.8. Resuelvan las siguientes integrales:ćos4 x dx´sen2 x. cos4 x dx (reescriban primero el seno en términos del coseno) (o al revés)

Ejercicio 7.6.9. Recordando las de�niciones del seno y coseno hiperbólico en términos de expo-nenciales, calculen´

senh2 x dx y´

cosh2 x dx

Ejercicio 7.6.10. Utilizando la identidad fundamental cosh2 x − senh2 x = 1 y razonando comohicimos para las funciones trigonométricas, encuentren las primitivas de los siguientes productos desenos y cosenos hiperbólicos.´

senh3 x dxćosh3 x. senh2 x dxćosh4 x dx

7.6.5. Técnicas de cálculo de primitivas: sustituciones trigonométricas e hiperbólicas

Veamos un ejemplo fácil de plantear, pero bastante elaborado para resolver:

Ejemplo 7.6.3. Calculemos la integral inde�nida de f(x) =√

1− x2 en el mayor dominioposible.

En primer lugar, la función f(x) está de�nida y es continua en el intervalo [−1, 1]. Podemosconstruir la integral inde�nida como una integral de Riemann entre −1 y x, para −1 ≤ x ≤ 1.Usando la letra u como variable de integración, tenemos que calcular

F−1(x) =

ˆ x

−1

√1− u2 du

Podemos usar la regla de Barrow, porque√

1− u2 es continua en [−1, x], siempre que encontre-mos una primitiva

´ √1− u2 du.

Aunque no veamos una función compuesta, vamos a operar con una sustitución u = sen(t), quetiene inversa t = arcsen(u).

Observen que√

1− u2 =√

1− sen2 t =√

cos2 t = | cos t|. Como t = arc sen(u), toma valoresen el intervalo [−π/2, π/2], y entonces cos t > 0. Esto nos permite escribir

√1− u2 = cos t. Por otro

lado, du = cos(t) dt. Luego

ˆ √1− u2 du =

ˆ √1− sen2(t) cos(t) dt =

ˆcos2(t) dt

que es una integral conocida.Recuerden que cos(2t) = cos2 t− sen2 t = cos2 t− (1− cos2 t) = 2 cos2 t− 1, de donde podemos

despejar cos2 t = (1 + cos(2t)) /2. Entonces

ˆ √1− u2 du =

1

2

ˆ(1 + cos(2t)) dt

=t

2+

1

4sen(2t)

=1

2arcsen(u) +

1

4sen(2arcsen(u))


Con esta primitiva podemos evaluar

F−1(x) =

[1

2arcsen(u) +

1

4sen(2arcsen(u))

]x−1

=1

2arcsen(x) +

1

4sen(2arcsen(x)) +

π

4,

(recuerden el valor de arcsen(−1) = −π/2).Interpretemos el resultado. La función f(x) =

√1− x2 representa la mitad superior de una

circunferencia de radio 1, y F−1(x) representa el área acumulada entre la semicircunferencia y el ejex, entre −1 y un valor variable de x:

Pueden comprobar que F−1(0) = π/4, y que F−1(1) = π/2, como corresponde a un cuarto y unmedio de la super�cie de un círculo de radio 1.

En el Ejemplo 7.6.3 calculamos la primitiva de√

1− x2 proponiendo una sustitución x = sen t.No era una sustitución evidente, pero resultó útil. Conviene conocer la forma de algunas integralesdonde son útiles sustituciones de este tipo. Se las llama sustituciones trigonométricas y sustitucioneshiperbólicas. Para presentarlas supongamos a > 0 un número �jo:

Para integrales que contienen la variable x en la forma√a2 − x2, prueben la sustitución x =

a sen t. Entonces, usando identidades trigonométricas, comprueben que√a2 − x2 = a cos t y dx = a cos t dt

(siempre que mantengan −π2≤ t ≤ π

2, para que cos t no sea negativo). En estos casos, si lo

pre�eren, también funciona la sustitución x = a cos t.Para integrales que contienen la variable x en la forma

√a2 + x2, prueben la sustitución x =

a senh t. Entonces, usando identidades hiperbólicas, comprueben que√a2 + x2 = a cosh t y dx = a cosh t dt

Para integrales que contienen la variable x en la forma√x2 − a2, prueben la sustitución x =

a cosh t. Entonces, usando identidades hiperbólicas, comprueben que√x2 − a2 = a senh t y dx = a senh t dt

(donde deben considerar t ≥ 0 para asegurar que senh t ≥ 0).

Luego de estas sustituciones, quedarán por resolver integrales trigonométricas (como las de la secciónanterior) o integrales hiperbólicas.

Tengan cuidado con el dominio de las funciones involucradas: antes de proponer la sustitución x(t)deben reconocer el dominio de las funciones originales, de variable x, y controlar que el dominio parala nueva variable t asegure que x(t) pertenezca al dominio original. Recomendamos, como siempre,veri�car que la primitiva hallada sea correcta derivando el resultado.

Ejercicio 7.6.11. Resuelvan las integrales


1.´ dx√

4x2 + 1

2.´ dx(√

x2 + 1)3

3.´ dx

x2√

9− x2

4.´ √

x2 − 2x dx (sugerencia: completen cuadrados y luego intenten una sustitución trigono-métrica)

5.ˆ 3

2

√2

32

1

x2√

9− x2dx

7.6.6. Aplicaciones del Teorema del Valor Medio

Ejercicio 7.6.12. Calculen el valor medio de la función f(x) = 4 − 4x2 en el intervalo [−2, 2]y comprueben que existen dos valores de c en el intervalo que veri�can el Teorema del Valor Medio.Gra�quen la situación. ¾Es razonable que hayan encontrado dos valores de c?

Ejercicio 7.6.13. Sin realizar la integral, discutan si la siguiente comparación es verdadera o falsa,y expliquen su respuesta: ˆ 1

−1

(1 + x2

)dx ≥ 2

Calculen luego la integral.

Ejercicio 7.6.14. Supongamos que cierta función continua f(x) cumple que senx ≤ f(x) ≤ x+ 12

para x ∈ [0, π/2]. ¾Entre qué valores se encuentra´ π/2

0 f(x) dx?

Ejercicio 7.6.15. Calculen el valor medio de las siguientes funciones en los intervalos dados:

3x2 + 1, en [0, 2]sen2x, en [0, 2π]

Ejercicio 7.6.16. Justi�car la existencia de un número c entre a y b tal que´ ba f(x) dx = f(c)(b−a)

y encontrar el valor de c.´ 20 (1− 2

√x) dx´ π/4

−π/4 2 sec2 x dx

análisis matemático i – cibex · se llama "constante de integración". para aliviar...

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