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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Módulo 5: Comportamiento asintótico y

análisis cualitativo de gráficas

2016

MÓDULO 5

Comportamiento asintótico y análisis cualitativo de grá�cas

Contenidos del Módulo 5: Límites para x → ±∞. Crecimiento sin cota y órdenes demagnitud.

Construcción cualitativa de grá�cas usando las nociones de continuidad, crecimien-to, concavidad y límites.

5.1. Límite de una función f(x) para x tendiendo a in�nito

Contenidos de la clase: Límites para x → ±∞. Cálculo intuitivo y reglas prácticas.Asíntotas horizontales. Crecimiento sin cota y órdenes de magnitud.

La continuidad y las derivadas de una función nos permiten conocer aspectos cualitativos de sugrá�ca: signo, crecimiento, concavidad. Además, las discontinuidades nos advierten que hay puntosque deben ser mirados con mayor cuidado. Para completar la descripción de una grá�ca nos faltaexplorar el comportamiento de funciones cuando su variable toma valores arbitrariamente lejanos alorigen, tanto a la derecha como a la izquierda de cero. En esa exploración, conocida como análisisasintótico, diremos que la variable tiende a más in�nito o a menos in�nito, respectivamente. De estamanera podremos interpretar las partes de una grá�ca que no caben en un dibujo.

Dedicamos la primera clase del Módulo al estudio de límites de funciones cuando la variabletiende a in�nito.

5.1.1. Cuando el límite para x tendiendo a in�nito existe: límites �nitos

Comencemos con un ejemplo:

Ejemplo 5.1.1. Se controla el nivel de oxígeno en un estanque donde se han vertido desechosorgánicos. Una función h(t) mide el nivel de oxígeno h en un estanque de modo que h = 1corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando comienza elcontrol (t = 0), con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser

h(t) = 1− t

t2 + 1Con esta información nos interesa saber si en algún momento se recupera el nivel normal de oxígenodel estanque.

Veamos una tabla de valorest (en semanas) h

1 0.50010 0.900100 0.9901000 0.999

y una grá�ca

1

Módulo 5: Comportamiento asintótico y análisis cualitativo 5.1

Aparentemente el nivel se acerca a 1, aunque toma muchas semanas hacerlo y no estamosseguros de que lo logre. Ni la tabla ni la grá�ca permiten expresar valores inde�nidamente grandesde t.

Este ejemplo sugiere que es necesario algún mecanismo nuevo para analizar valores arbitraria-mente grandes de la variable de una función.

El ejemplo analiza el comportamiento de cierta función f(x) cuando los valores de x en el dominiocrecen cada vez más. Esto se conoce como el estudio de la función cuando x tiende a más in�nito.

El comportamiento de distintas funciones para valores de x cada vez más grandes puede ser muydiverso: al mirar cada vez más a la derecha su grá�ca puede crecer, decrecer, oscilar, etc. En el casoespecial en que dichos valores se estabilizan cerca de algún número real L, decimos que la funcióntiene límite para x tendiendo a más in�nito, y que el límite vale L. La de�nición de límite en estecaso es:

Dada una función f(x) de�nida al menos en un intervalo (a,+∞), decimos que

lımx→+∞

f(x) = L

cuando los valores de f(x) se mantienen tan cercanos como se quiera a un valor �jo L, bajola condición de tomar valores de x su�cientemente grandes. Esta notación se lee: el límite def(x), cuando x tiende a más in�nito, es igual a L.También podemos escribir

f(x)→ L cuando x→ +∞que se lee "f(x) tiende a L cuando x tiende a más in�nito".

El grá�co siguiente ilustra en general ese comportamiento.

La palabra tiende es clave para describir un límite, como vimos en el Módulo 2: signi�ca que lavariable x no está �ja sino que se mueve hacia cierto lugar. También signi�ca que x no llega a ese

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lugar: no hay un último valor de x que podamos considerar: nos interesa x grande, pero cada vez quese tome un valor de x bien grande, siempre se pueden tomar otros valores de x todavía más grandes.

En el ejemplo del nivel de oxígeno, la exploración numérica y grá�ca sugiere que

lımt→+∞

h(t) = 1

Al igual que en los casos discutidos en el Módulo 2, al decir lımx→+∞ f(x) = L estamos dandodos informaciones: por un lado que el límite existe, es decir que la función se estabiliza, y por el otrocuánto vale dicho límite.

También es análogo al Módulo 2 que cuando el lımx→+∞ f(x) existe es único. Es decir, una funciónno puede estabilizarse en dos valores de límite distintos cuando x→ +∞.

Grá�camente vemos que cuando lımx→+∞

f(x) = L la grá�ca de la función se estabiliza cerca de

la grá�ca de la recta horizontal y = L cuando x crece más y más (podríamos decir mirando a laderecha de la grá�ca). Hay muchas maneras de estabilizarse. Las siguientes grá�cas muestran distintasposibilidades.

En los dos primeros grá�cos el valor de la función se acerca a L cuando x crece, en un caso pordebajo y en el otro por arriba, sin llegar nunca a valer L. En el tercer grá�co vemos que en algunostramos el valor de la función se acerca a L, alcanza el valor L y luego se aleja pero menos que antes,y vuelve a acercarse; todos estos casos cumplen la misma de�nición: los valores de la función semantienen cada vez más cerca de L cuando tomamos x su�cientemente grande.

También nos interesa el comportamiento de funciones de�nidas al menos en un intervalo semi-in�nito (−∞, a), cuando la variable se hace arbitrariamente negativa (es decir, negativa y de valorabsoluto arbitrariamente grande). En esta exploración decimos que x tiende a menos in�nito yanotamos x→ −∞.

Si la grá�ca de una función f(x) se estabiliza cerca de un valor L cuando x decrece más y másnegativamente (podríamos decir mirando a la izquierda de la grá�ca) decimos que existe el límite def(x) para x tendiendo a −∞. La de�nición, similar a la anterior, es la siguiente:

Dada una función f(x) de�nida al menos en un intervalo (−∞, a), decimos que

lımx→−∞

f(x) = L

cuando los valores de f(x) se mantienen tan cercanos como se quiera a un valor �jo L, bajola condición de tomar valores de x su�cientemente negativos (es decir, negativos y de valorabsoluto su�cientemente grande). Esta notación se lee: el límite de f(x), cuando x tiende amenos in�nito, es igual a L.También podemos escribir

f(x)→ L cuando x→ −∞que se lee "f(x) tiende a L cuando x tiende a menos in�nito".

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Ejemplo 5.1.2. Recuerden la grá�ca de la función exponencial f(x) = ex

Una exploración grá�ca sugiere que

ex → 0 cuando x→ −∞

Usaremos la expresión x→ ±∞ para referirnos a ambos límites, para x→ +∞ y para x→ −∞.

5.1.2. Asíntotas horizontales

Cuando existe el límite lımx→+∞

f(x) = L, la grá�ca de la función se mantiene cerca de la recta

horizontal y = L cuando x crece más y más, hacia la derecha. A dicha recta se la llama asíntotahorizontal derecha.

Cuando existe el límite lımx→−∞

f(x) = M , la grá�ca de la función se mantiene cerca de la recta

horizontal y = M cuando x crece más y más negativamente, hacia la izquierda. A dicha recta se lallama asíntota horizontal izquierda.

Más generalmente, a cualquiera de ellas se las llama asíntota horizontal.

La recta y = L se llama asíntota horizontal de la grá�ca de y = f(x) si

lımx→+∞

f(x) = L o lımx→−∞

f(x) = L

Conviene indicar en cada caso si la asíntota horizontal describe el comportamiento de la funciónhacia la derecha, hacia la izquierda, o por ambos lados.

Ejemplo 5.1.3. La función analizada en el ejemplo 5.1.1 tiene una asíntota horizontal derecha,con ecuación h = 1. Está representada con línea punteada en la grá�ca de ese ejemplo.

La función y = ex tiene una asíntota horizontal izquierda, con ecuación y = 0.Noten que la asíntota horizontal es una guía visual para reconocer que el límite correspondiente

existe, muestra la tendencia de la función a estabilizarse en un cierto valor.

5.1.3. Cuando el límite para x tendiendo a in�nito no existe: límites in�nitos y com-

portamiento oscilante

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Ejemplo 5.1.4. En muchos casos puede ser que no exista el límite para x→ +∞. Considerenlas grá�cas siguientes:

¾Podrían decir si existe el límite de estas funciones cuando x→ +∞ ?En el primer caso vemos que los valores de la función se escapan por encima de la región

gra�cada. Intuimos que crecen por encima de cualquier valor cuando tomamos valores de x su�-cientemente grandes.

En el segundo caso los valores que toma la función oscilan entre 1 y 3. Intuimos que estasoscilaciones se mantienen cuando tomamos valores de x arbitrariamente grandes.

Podemos ver que la situación de estas funciones cuando x crece más y más es diferente a lasanteriores. En el primer caso, se observa que los valores de f(x) crecen más y más. Si bien el límiteno existe, hay una forma de indicar que la función toma valores arbitrariamente grandes: se dice queel límite no existe porque la función tiende a más in�nito.

En el segundo caso, se observa del grá�co que f(x) toma repetidamente un rango de valores sinestabilizarse alrededor de ningún valor de�nido. En esta caso, decimos que el límite no existe porquela función oscila.

Precisemos la de�nición del primer caso:

Dada una función f(x), de�nida al menos en un intervalo (a,+∞), decimos que

lımx→+∞

f(x) = +∞

cuando los valores de f(x) se mantienen tan grandes como se quiera, bajo la condición de tomarvalores de x positivos su�cientemente grandes.También podemos escribir

f(x)→ +∞ cuando x→ +∞que se lee "f(x) tiende a más in�nito cuando x tiende a más in�nito".

Hay que destacar que +∞ no es un número, y que la igualdad en esta de�nición de límite essimbólica. Al anotar

lımx→+∞

f(x) = +∞

decimos que el límite no existe (en el sentido que la función no se estabiliza) y además informamoscómo se comporta la función cuando x crece. Usualmente se lee en forma breve "el límite de f(x),cuando x tiende a más in�nito, es más in�nito". Podríamos decir con más precisión "el límite noexiste porque la función tiende a más in�nito"1.

Análogamente se describen otros comportamientos in�nitos.

1Otros autores dicen que el límite existe y es in�nito para expresar la misma idea.

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Ejemplo 5.1.5. Recuerden la grá�ca de f(x) = x3, vista en la clase 2 del Módulo 1. Observenque es evidente que

lımx→+∞

x3 = +∞ y lımx→−∞

x3 = −∞

Los mismos resultados se encuentran razonando analíticamente: ¾cómo es el valor de x3 cuandox es muy grande y positivo? ¾cómo es el valor de x3 cuando x es muy grande y negativo?

El límite para x tendiendo a −∞ explora una región del dominio bien distinta que el límite parax tendiendo a +∞ y deben estudiarlos por separado. Según la función que se analice, podría ocurrirque los resultados sean iguales o que sean distintos.

Por último, si el dominio de una función f(x) permite explorar el límite de una función parax → +∞ o para x → −∞, y encontramos que el límite no es �nito ni in�nito, se dice que el límiteno existe porque la función oscila. Un ejemplo típico de este comportamiento, con una grá�ca bienconocida, es la función f(x) = senx.

5.1.4. Cuando los límites son evidentes

En lo que va de esta clase hemos hablado de límites para x→ ±∞ en base a grá�cos y tablas devalores. Sin embargo, con una tabla nunca alcanzamos valores arbitrariamente grandes, mientras queun grá�co muestra solamente una ventana y nunca la grá�ca completa de la función. Desde ya, ellímite no se puede calcular evaluando la función, con estas técnicas sólo se puede intuir la existenciay el valor del límite.

En general, al mirar la fórmula de una función f(x) debemos preguntarnos qué pasará cuandox sea cada vez más grande y descubrir la respuesta. En algunos casos será bastante evidente y enotros casos no. Es importante que reconozcan los límites de las funciones básicas que repasamos enla Unidad 1. Aceptaremos como correctos esos límites evidentes de funciones básicas2.

Ejemplo 5.1.6. Entre muchos límites evidentes, podemos dar como ejemplo:lımx→+∞ x

n = +∞ para cualquier potencia n natural.lımx→−∞ x

n = +∞ para cualquier potencia n par y positiva.lımx→−∞ x

n = −∞ para cualquier potencia n impar y positiva.

limx→+∞1

xn= 0 y limx→−∞

1

xn= 0 para cualquier potencia n natural.

lımx→+∞ lnx = +∞lımx→+∞ e

x = +∞lımx→+∞

√x = +∞

Cuando consideren una función más elaborada, expresada con operaciones entre funciones básicas(como suma, producto, cociente, composición), empiecen por explorar cada función que sencilla queaparece en la expresión. En el resto de la clase veremos reglas prácticas que permitan determinar laexistencia y valor de algunos límites elaborados, siempre a partir de los límites que reconozcamos enfunciones más sencillas.

2Se pueden probar trabajando con la de�nición de límite, pero no lo haremos en este curso.

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5.1.5. Algebra de límites �nitos, cuando x→ ±∞

Se pueden aplicar las técnicas aprendidas para x → x0, al cálculo de límites cuando x → ±∞.Los enunciados son similares para x→ +∞ y para x→ −∞:

Supongamos que lımx→+∞

f(x) y lımx→+∞

g(x) existen y son �nitos, y sea k una constante real.

Entonces

1. existe limx→+∞

(f(x) + g(x)) = limx→+∞

f(x) + limx→+∞

g(x)


(kf(x)) = k limx→+∞

f(x)


(f(x).g(x)) = limx→+∞

f(x) · limx→+∞

g(x)

4. si limx→+∞

g(x) 6= 0, existe limx→+∞

(f(x)

g(x)

)=

limx→+∞ f(x)

limx→+∞ g(x)

En cada caso, deben calcular primero los límites de f(x) y g(x) por separado. Si existen, y son�nitos, la expresión de la derecha les dice cuál es el resultado de los límites planteados.Reglas similares valen para x→ −∞.

Ejemplo 5.1.7. Calculemos lımx→−∞ (1− ex)

(2− 1

x

)Inspeccionamos cada función que interviene:

lımx→−∞ ex = 0 (porque conocemos el grá�co de y = ex)

lımx→−∞ 1 = 1 (porque conocemos el grá�co de una función constante)luego lımx→−∞ (1− ex) = 1

lımx→−∞1

x= 0 (porque conocemos el grá�co de y =

1

x)

lımx→−∞ 2 = 2 (porque conocemos el grá�co de una función constante)

luego lımx→−∞

(2− 1

x

)= 2

luego lımx→−∞ (1− ex)

(2− 1

x

)= 1 ∗ 2 = 2

5.1.6. Algebra de límites in�nitos

Cuando analicemos el límite de una suma, o de un producto, o de un cociente, o de una funcióncompuesta, es posible que alguna de las funciones involucradas tienda a in�nito. Vale la pena insistiren que in�nito no es un número, no se puede operar con in�nitos como si fueran números.

Las reglas que aprendimos para manipular in�nitos en el caso en que x tiende a un número x0también son válidas cuando x→ ±∞. Repasamos a continuación los casos más evidentes, anotandolımx→a para referirnos tanto a x→ ±∞ como a x→ x0 �nito:

Sumas.

Si lımx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = L �nito, entonces lımx→a (f(x) + g(x)) = +∞Silımx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = +∞, entonces lımx→a (f(x) + g(x)) = +∞

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Productos.

Si lımx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = L �nito y no nulo, entonces lımx→a (f(x) g(x)) = ±∞,dependiendo del signo de L.Si lımx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = ±∞, entonces lımx→a (f(x) g(x)) = ±∞, dependiendodel signo de cada función.

Cocientes.

Si lımx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = L �nito y no nulo, entonces lımx→a (f(x)/g(x)) = ±∞,dependiendo del signo de L.Si lımx→a f(x) = 0 y limx→a g(x) = ±∞, entonces lımx→a (f(x)/g(x)) = 0.Si lımx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = 0, entonces lımx→a (f(x)/g(x)) = ±∞, dependiendodel signo de cada función.

Funciones compuestas. Hemos visto cómo proceder con el límite de funciones compuestas, dela forma lımx→a g(u(x)), cuando lımx→a u(x) = b es �nito, y cuando g(u) es continua en u = b, enel Módulo 2. Ese resultado se puede extender a casos donde lımx→a u(x) = ±∞. También se puedeextender a casos donde lımu→b g(u) = ±∞. Lo podemos enunciar en forma extendida re�riéndonosal lımx→a g(u(x)) como sigue:

Sean u y g dos funciones que veri�can que Imu ⊂ Dom g.Si

1. lımx→a

u(x) = b donde a es un símbolo que puede representar +∞ o −∞, y b es un símbolo

que puede representar +∞ o −∞,2. lımu→b g(u) = c, donde c es un símbolo que puede representar un número �nito, +∞ o−∞,

entonces

lımx→a

g(u(x)) = lımu→b

g(u)

donde la igualdad es simbólica, indicando que si el lado derecho es un límite in�nito, el ladoizquierdo también lo es (o que si el lado derecho es un límite �nito, el lado izquierdo también es�nito y da el mismo número).

En el caso en que lımx→a

u(x) sea un número �nito u0, se debe veri�car además que o bien que

g(u) sea continua en u = u0, o bien u(x) se mantenga distinto de u0 cuando x se acerca a a,para asegurar la validez de esta regla.

Ejemplo 5.1.8. Calculemos el límite

lımx→+∞

√x2 + 1

Se trata de una función compuesta, donde conviene llamar u(x) = x2 + 1 y g(u) =√u, de manera

tal que f(x) = g(u(x)) =√x2 + 1. Se analiza "desde adentro hacia afuera":

Vemos que u(x) = x2 + 1 → +∞ cuando x → +∞, porque es la suma de un término x2 quetiende a +∞ y un término 1 constante (con límite �nito).

Vemos también que g(u) =√u→ +∞ cuando u→ +∞, porque conocemos la grá�ca de esta

función.Podemos a�rmar entonces que

lımx→+∞

√x2 + 1 = lım

x→+∞g(u(x)) = lım

u→+∞g(u) = +∞

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Veamos otro ejemplo donde u(x) tienda a un valor �nito u0 y exista el límite lımu→u0 g(u), perog(u) no sea continua en u0(es decir, que g(u) tenga una discontinuidad evitable en u0).

Ejemplo 5.1.9. Analicemos el límite

lımx→+∞

sen(1/x)

1/x

Se trata de un cociente, por lo que corresponde primero explorar el numerador y el denominador.Para analizar el numerador usamos la regla de la función compuesta con u(x) = 1/x, de maneratal que u(x) = 1/x → 0+ cuando x → +∞ y que sen(u) es continua en u = 0; vemos que elnumerador tiende a cero:

lımx→+∞

sen(1/x) = lımu→0+

sen u = 0

El denominador también tiende a cero, por lo que se trata de un límite indeterminado, del tipo "0sobre 0". Debemos tratar de salvar la indeterminación pero vemos no se puede sacar factor comúnpara simpli�car; trataremos todo el cociente como una función compuesta, llamando u(x) = 1/x

y g(u) =senuu

. Como es bien sabido, existe lımu→0senuu

= 1.

Se analiza la composición "desde adentro hacia afuera". Vemos que u(x) = 1/x→ 0+ cuandox → +∞ y que g(u) no es continua (ni siquiera está de�nida) en u = 0, pero podemos controlarque u(x) = 1/x se mantiene distinto de 0 cuando x → +∞ (en el proceso de tomar el límitex→ +∞ nunca será necesario evaluar g(0)).

Podemos a�rmar entonces que

lımx→+∞

sen(1/x)

1/x= lım

u→0+

senuu

= 1

Casos indeterminados

En las listas anteriores evitamos algunos límites indeterminados: sumas, productos y cocientes enlos que el límite no se puede determinar en una primera inspección. Son las mismas situaciones quevimos en el Módulo 2, las repasamos ahora anotando lımx→a para referirnos tanto a los casos nuevosx→ ±∞ como a x→ x0 �nito.

si limx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = +∞, no podemos anticipar el resultado delımx→a (f(x)− g(x)).Según las funciones en cuestión, podríamos obtener un límite �nito y no nulo, o bien cero,o bien ±∞. Intuitivamente, se trata de ver cuál in�nito es más "importante". Se trata deun caso indeterminado del tipo "∞ menos ∞"; se recomienda operar para reescribir la resta,antes de calcular el límite.

Ejemplo 5.1.10. Calculemos el límite de un polinomio para x→ +∞, por ejemplo

lımx→+∞

(x3 − 2x2 + 1)

Analizamos primero cada término y vemos que x3 → +∞, 2x2 → +∞ y 1→ 1 (como práctica,justi�quen cada límite), y encontramos una competencia del tipo "∞−∞". Es necesario reescribirla resta, antes de calcular el límite. Para eso se recomienda sacar de factor común la potencia másalta

x3 − 2x2 + 1 = x3(

1− 2

x+

1

x3

)9


Ahora exploramos el límite de cada factor en este producto: x3 → +∞ y(1− 2

x+ 1

x3

)→ 1,

porque 2/x→ 0 y 1/x3 → 0. Usando reglas para el producto podemos a�rmar que

lımx→+∞

(x3 − 2x2 + 1) = lımx→+∞

x3(

1− 2

x+

1

x3

)= +∞

(noten que no es correcto escribir "+∞.1 = +∞, porque in�nito no es un número; al trabajar enpapel es recomendable usar �echas para indicar el límite de cada factor, y justi�car en palabras elúltimo paso).

si limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = 0, no podemos anticipar el resultado delımx→a (f(x) g(x)).Según las funciones en cuestión, podríamos obtener un límite �nito y no nulo, o bien cero, obien ±∞. Intuitivamente, se trata de si es más "importante" el in�nito o el cero. Se trata deun caso indeterminado del tipo "0 por∞", y se recomienda operar para reescribir el producto,antes de calcular el límite.limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = ±∞, no podemos anticipar el resultado delımx→a (f(x)/g(x)).Según las funciones en cuestión, podríamos obtener un límite �nito y no nulo, o bien cero, obien ±∞. Intuitivamente, se trata de si es más "importante" el in�nito del numerador o eldel denominador. Se trata de un caso indeterminado del tipo "∞ sobre ∞", y se recomiendaoperar para reescribir el cociente, antes de calcular el límite.

Este último caso indeterminado probablemente es el más frecuente cuando estudiamos límitespara x → ±∞. Por eso vamos a discutir algunas recomendaciones: la estrategia para resolverlos esreescribir las funciones del numerador y/o del denominador para poder hacer alguna simpli�cación.Si lo logramos, y las nuevas expresiones ya no son del tipo "∞ sobre ∞", se dice que salvamos laindeterminación.

Ejemplo 5.1.11. Un caso importante es el de cocientes de polinomios. Vamos a calcular como

ejemplo el lımx→+∞x2 + 1

2x− 1.

Explorando los límites del numerador y del denominador cuando x→ +∞, vemos que los dosdan +∞. Luego el límite del cociente es indeterminado.

1. En estos casos conviene sacar de factor común la mayor potencia de x, en el numerador yen el denominador:

x2 + 1

2x− 1=x2 (1 + 1/x2)

x (2− 1/x))

No hay problema en dividir por x porque nos interesa x 6= 0 (de hecho, x bien grande).2. Luego se puede simpli�car

x2 + 1

2x− 1= x

[1 + 1/x2

2− 1/x

]con lo cual reescribimos el cociente original como un producto.

3. Como el primer factor tiende a +∞ y el segundo factor tiende al límite �nito 1/2 (háganlocon cuidado, con las reglas que ya vimos), podemos a�rmar que

lımx→+∞

x2 + 1

2x− 1= +∞

Gra�quen con computadora f(x) =x2 + 1

2x− 1y veri�quen el resultado.

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Un límite tipo "∞ sobre ∞" especial: lımx→+∞ex

xLa función exponencial aparece con frecuencia en modelos aplicados, donde podría ser de interés

calcular el límite lımx→+∞ex

x. Una inspección basta para ver que tanto el numerador como el denomi-

nador tienden a +∞: el límite es indeterminado del tipo "∞ sobre ∞", pero no podemos simpli�car(½las propiedades de ex no permiten extraer un x de factor común!). Veamos el comportamiento enuna grá�ca:

La grá�ca sugiere que la funciónex

xtoma valores arbitrariamente grandes cuando x→ +∞. Este

resultado es correcto, y lo aceptaremos sin pedirles más justi�cación.

Recuerden a partir de este ejercicio que

lımx→+∞

ex

x= +∞

Varios límites interesantes, en particular algunos que incluyen logaritmos y veremos a continua-ción, se relacionan con este resultado. Por su importancia, proponemos en la práctica un ejerciciopara discutir una posible justi�cación analítica.

Ejemplo 5.1.12. Con este resultado podemos justi�car un procedimiento para calcular

lımx→−∞

xex

Dado que se propone el límite de un producto, inspeccionamos primero cada factor. Vemos que,cuando x→ −∞, por supuesto x→ −∞ y ex → 0. Se trata de un límite indeterminado, del tipo"0 por ∞".

Proponemos un cambio de variables u = −x, de manera tal que cuando x → −∞ la nuevavariable u → +∞ (lo hacemos con el objetivo de llevar la exploración a +∞). Reemplazandox = −u3 podemos usar la regla de la función compuesta y decir que

lımx→−∞

xex = lımu→+∞

(−ue−u

)= − lım

u→+∞

u

eu= − lım

u→+∞

1

eu/u

El signo igual en estas manipulaciones es tentativo: si al �nal el límite existe, se trata de igualdadesentre números. Pero si al �nal el límite es in�nito, el signo igual es simbólico: signi�ca que todaslas expresiones involucradas tienen límite in�nito (y no es una igualdad entre números). En estecaso, sabiendo que

lımu→+∞

eu

u= +∞

y usando reglas de cocientes concluimos que

11


lımx→−∞

xex = − lımu→+∞

1

eu/u= 0

5.1.7. Comparación de in�nitos: órdenes de magnitud

Vamos a explorar un poco más el comportamiento de funciones que tienden a in�nito.Para ser precisos, tomemos dos funciones f(x) y g(x) tales que lımx→+∞ f(x) = +∞ y

lımx→+∞ g(x) = +∞. De ambas funciones sabemos lo mismo: sus valores son tan grandes como unoquiera si tomamos x su�cientemente grande. Pero no todas las funciones que tienden a +∞ lo hacencon la misma rapidez.

Ejemplo 5.1.13. Observemos las funciones f(x) = x y g(x) = x2: ambas tienden a +∞ cuandox→ +∞, pero sus grá�cas muestran que crecen de manera diferente:

Para valores grandes de la variable se observa que g(x) resulta mucho mayor que f(x) (tantoque la grá�ca de g(x) no cabe en el grá�co cuando la de f(x) todavía cabe; intenten con GeoGebracambiar la escala del eje y para observar mejor la diferencia entre las grá�cas). Dicho de otramanera, si queremos ambas funciones tomen valores comparables, necesitamos explorar f(x) muchomás a la derecha que donde exploremos g(x) (en la grá�ca vemos que g(x) es mayor que 12 parax mayor que 3.5, en tanto que f(x) es mayor que 12 recién para x mayor que 12).

El análisis grá�co indica que, cuando x→ +∞, la parábola g(x) = x2 crece más rápido que larecta f(x) = x. En el ejemplo 5.1.14 veremos, con más generalidad, como comparar el crecimientode polinomios.

Cuando una función crece más rápido que otra, como vimos en el ejemplo, se dice que una tienemayor orden de magnitud que la otra. La manera técnicamente adecuada de comparar órdenes demagnitud entre funciones f(x) y g(x) que tienden a in�nito cuando x→ +∞ es analizar su cociente,

lımx→+∞

f(x)

g(x)

Claro que es un límite indeterminado, del tipo "∞ sobre ∞"; si podemos resolverlo, sabremos cuálfunción crece más rápido:

cuando f(x) y g(x) crecen de manera similar, el cociente se mantiene estable;cuando f(x) crece más rápido que g(x), el cociente se hace arbitrariamente grande;y cuando f(x) crece más lento que g(x), el cociente se hace arbitrariamente pequeño.

Veamos las de�niciones precisas para funciones que tienden a +∞ cuando x→ +∞.

12


Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que lımx→+∞ f(x) = lımx→+∞ f(x) = +∞.

Si lımx→+∞f(x)

g(x)= L 6= 0 (es decir, un valor �nito no nulo) se dice que f(x) y g(x)

crecen con el mismo orden de magnitud. Se suele escribir que

cuando x→ +∞, f(x) ∼ g(x)

para indicar que f(x) y g(x) se mantienen en el mismo orden.

Si lımx→+∞f(x)

g(x)= +∞ se dice que f(x) crece con mayor orden de magnitud que

g(x). Se suele escribir que

cuando x→ +∞, f(x)� g(x)

para indicar que f(x) es mucho mayor que g(x).

Si lımx→+∞f(x)

g(x)= 0 se dice que f(x) crece con menor orden de magnitud que

g(x). Se suele escribir que

cuando x→ +∞, f(x)� g(x)

para indicar que f(x) es mucho menor que g(x).

El mismo análisis se hace con funciones que tienden a −∞ cuando x → +∞. Análogamente sedescribe el comportamiento asintótico cuando x→ −∞.

Los ejemplos más importantes de comparación de órdenes de magnitud se dan entre polinomiosde distinto grado, y entre funciones exponenciales, polinomios y logaritmos. Los discutimos en lossiguientes ejemplos, resolviendo los límites necesarios:

Ejemplo 5.1.14. Dados los polinomios p(x) = 3x3 + 4x2 − 5x+ 1 y q(x) = x2 − 2x+ 3, ¾cuáltiene mayor orden de magnitud cuando x→ +∞?

Vamos a analizar el cociente3x3 + 4x2 − 5x+ 1

x2 − 2x+ 3=x3 (3 + 4/x− 5/x2 + 1/x3)

x2 (1− 2/x+ 3/x2)= x

(3 + 4/x− 5/x2 + 1/x3)

(1− 2/x+ 3/x2)

Vemos que, cuando x → +∞, el paréntesis en el numerador tiende a 3 y el paréntesis en eldenominador tiende a 1, mientras que x tiende a +∞. Luego

lımx→+∞

3x3 + 4x2 − 5x+ 1

x2 − 2x+ 3= +∞

Encontramos que el polinomio p(x) tiene mayor orden de magnitud que el polinomio q(x).

Regla práctica: en general, dados dos polinomios p(x) y q(x), con coe�cientes principales posi-tivos, el polinomio de mayor grado tiene mayor orden de magnitud cuando x→ +∞.

Ejemplo 5.1.15. Otro ejemplo importante, que sale con un poco de ayuda, es la comparacióndel crecimiento del logaritmo natural con el crecimiento de potencias. Calculemos

lımx→+∞

lnx

xr

donde r > 0 es cualquier número positivo. Podemos escribirlnx

xr=

lnx

er lnx

13


y llamar u = r lnx. Como r es positivo, x→ +∞ implica u→ +∞. Usando la regla de la funcióncompuesta

lımx→+∞

lnx

xr= lım

u→+∞

1

r

u

eu= 0

(donde usamos el límite especial eu � u).

Regla práctica: para cualquier r real y positivo,

cuando x→ +∞, lnx� xr

(además de exponentes irracionales esta regla incluye potencias y raíces de x, cuando r = 1/2, 1/3,etcétera).

Ejemplo 5.1.16. Dado el polinomio p(x) = 3x2 + 2x− 1 y la función exponencial g(x) = ex,¾cuál tiene mayor orden de magnitud cuando x→ +∞?

Sabemos que lımx→+∞ p(x) = lımx→+∞ g(x) = +∞, y corresponde analizar el cocienteex

3x2 + 2x− 1=ex

x21

(3 + 2/x− 1/x2)

Como el paréntesis en el denominador tiende al valor �nito 3, el trabajo importante es calcular el

límite indeterminado lımx→+∞ex

x2.

Es un caso indeterminado interesante, que requiere un poco de ayuda: conviene estudiar primero

ln

(ex

x2

)= x− 2 lnx = x

(1− 2

lnx

x

)Ahora usamos que lımx→+∞

lnx

x= 0 (que probamos recién, si tomamos r = 1) para saber que la

expresión entre paréntesis tiende a 1, luego

lımx→+∞

ln

(ex

x2

)= +∞

Finalmente, podemos llamar u = ln(ex

x2

)y calcular

lımx→+∞

ex

x2= lım

x→+∞eln(

ex

x2) = lım

u→+∞eu = +∞

La conclusión es que ex crece con mayor orden de magnitud que x2. En consecuencia, ex crececon mayor orden de magnitud que el polinomio 3x2 + 2x− 1 (en palabras, la exponencial naturalcrece más rápido que las parábolas).

Trabajando de la misma manera, pueden mostrar que para cualquier r > 0 la exponencialnatural crece más rápido que xr.

Regla práctica: para cualquier r > 0

cuando x→ +∞, ex � xr

(esto incluye raíces de x, cuando r = 1/2, 1/3, etcétera).

Podemos reunir los resultados previos y escribir (como ayuda-memoria): para cualquier r > 0,

cuando x→ +∞, lnx� xr � ex

Todo este trabajo, como habrán notado, se desprende de la validez de lımx→+∞ex

x= +∞.

14


5.1.8. Ejercicios

Ejercicio 5.1.1. Teórico

Siguiendo el modelo de de�nición para lımx→+∞

f(x) = +∞ dado en el texto, construyan las

de�niciones correspondientes a los comportamientos descritos por: lımx→+∞

f(x) = −∞,

lımx→−∞

f(x) = +∞ y lımx→−∞

f(x) = −∞. Ilustren grá�camente las distintas situaciones.

¾Qué signi�ca que una función tienda a in�nito con mayor orden de magnitud que otra? Denun ejemplo comparando polinomios.

Ejercicio 5.1.2. Gra�quen una función que cumpla

1. lımx→−∞

f(x) = 2 y lımx→+∞

f(x) = −∞.

2. lımx→−∞

f(x) = 0 y tenga una asíntota horizontal y = 2 .

3. lımx→−∞

f(x) = 2 y no posea asíntota horizontal a derecha.

Ejercicio 5.1.3. Estos ejercicios son un entrenamiento para intuir la existencia y valor de algunoslímites, a partir de las funciones básicas que intervienen. Recomendamos resolverlos por exploraciónanalítica y luego veri�car sus resultados gra�cando en computadora.

Determinen los límites de f(x) cuando x→ +∞ y cuando x→ −∞, e indiquen si hay asíntotashorizontales, en los siguientes casos:

1. f(x) = x3 + x2. f(x) = (3− x)(1 + x)2 Sugerencia: pensar en cada factor y en el signo del producto.3. f(x) = x4

x4+2

Ejercicio 5.1.4. Calculen

1. lımx→+∞

−2x3 − 3x2; b) lımx→−∞

3x3 − 5x5 + 1.

2. Consideremos un polinomio general p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, donde an 6= 0. Calculen

lımx→−∞

p(x) y lımx→+∞

p(x),

analizando por separado los casos n par o impar, y an < 0 o an > 0.

Ejercicio 5.1.5. Los límites de cocientes de polinomios de grado mayor o igual que 1, cuandox → ±∞, son en principio indeterminados. La sugerencia es sacar como factor común la mayorpotencia de x , tanto en el numerador como en el denominador, simpli�car y analizar luego elcociente obtenido. Procediendo de esa manera, calculen

1. lımx→±∞

−2x3 − 1

3x2 − 2 + 5x

2. lımx→±∞

−2x− 1

3x2 − 2x+ 5

3. lımx→±∞

−2x3 − 1

3x3 + 5x+ 6

¾Pueden encontrar una regla para predecir el lımx→±∞

p(x)

q(x), según el grado de cada polinomio y el signo

de los coe�cientes principales?

15


Ejercicio 5.1.6. La potencia de x que domina una expresión también se puede reconocer enraíces. Calcular los siguientes límites:

1. lımx→±∞

√x2 − x+ 1 (sugerencia: sacar como factor común la mayor potencia de x, y extraerla

de la raíz cuadrada; recuerden que√x2 = |x|)

2. lımx→±∞

√4x2 − 1

x− 2x2 + 2¾Pueden encontrar una regla para predecir estos límites, según las potencias involucradas?

Ejercicio 5.1.7. Determinen cuál de las funciones de cada ítem crece con mayor orden demagnitud en la región indicada, o si tienen el mismo orden de magnitud:

1. y = 2x o y = 5x, cuando x→ +∞ (sugerencia: recuerden que bx = e(ln b)x)2. y = ln (x2) o y = 2x, cuando x→ +∞3. y = x2 + 2x− 1 o y = e−2x, cuando x→ −∞4. y = coshx o y = x4, cuando x→ +∞ y cuando x→ −∞

Ejercicio 5.1.8. Calculen los siguientes límites e indiquen si encuentran asíntotas horizontaleso verticales:

1. lımx→+∞

x1/x = 1 (sugerencia: escribir x1/x = eln xx )

2. lımx→+∞

2x

x3= +∞, (escribir 2x = e(ln 2)x y proponer el cambio u = (ln 2) x).

3. lımx→+∞

3x2 + 2ex

e2x − 5 lnx(sugerencia: tanto en el numerador como en el denominador, sacar como

factor común el término de mayor orden de magnitud)4. lımx→0+ x

3 lnx (sugerencia: proponer el cambio de variable u = 1/x y trabajar con la variableu)

Ejercicio 5.1.9. Calculenlım

t→+∞t(e1/t − 1

)(sugerencia: propongan un cambio de variables u = 1/t; discutan si pueden aplicar la regla del

límite de funciones compuestas)

Ejercicio con GeoGebra 5.1.10. Exploren grá�camente algunos de los límites calculados enesta ejercitación.

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5.2. Integración de conceptos: análisis cualitativo de grá�cas

Contenidos de la clase: uso de las herramientas ya adquiridas en el análisis cualitativode grá�cas. Repaso aplicado de límites, continuidad y derivadas.

Vamos usar todo lo que hemos aprendido hasta ahora para construir cualitativamente la grá�ca deuna función. El objetivo es que podamos reconocer las características de una función y visualizarlasen un grá�co aproximado, a partir del análisis de su fórmula.

5.2.1. Análisis cualitativo de grá�cas

Las distintas herramientas que hemos desarrollado hasta ahora dan información acerca de lagrá�ca de una función y = f(x). Tomadas en conjunto permiten esbozar cualitativamente la grá�cade la función a partir de su fórmula.

Ubicaremos el dominio y las regiones de positividad, de crecimiento, y la concavidad. Además,registraremos información sobre el comportamiento de la función en cada punto de discontinuidada partir de los límites laterales, y de su comportamiento asintótico a partir de sus límites cuandox → ±∞, si el domino lo permite. Ubicaremos las intersecciones con los ejes, los extremos y lospuntos de cambio de concavidad.

Volcando los puntos más destacados en una tabla de valores tendremos una referencia paraesbozar la grá�ca, que completaremos cuidando que los comportamientos cualitativos en cadatramo sean consistentes con los puntos calculados.

Cuando seamos capaces de hacerlo, podremos decir que entendimos la función.

Les aconsejamos tener a mano una lista de las diferentes cuestiones que hemos estudiado hastaahora, para aprovechar la información que nos brinda cada uno de los conceptos que aprendimos aanalizar:

1. Dominio, posibles simetrías (función par o impar), si se trata de la composición de otra funcióncon alguna operación conocida (traslación, valor absoluto...), etc:a) hallar el dominio de fb) simetrías: son útiles para simpli�car el análisis. Por ejemplo,

si f es par, la grá�ca para x < 0 se puede obtener re�ejando la obtenida para x > 0sobre el eje y .si f es impar, la grá�ca para x < 0 se puede obtener rotando 180o la obtenida parax > 0 .

En ambos casos, basta realizar el análisis para x ≥ 0 (o bien para x ≤ 0, si lo pre�eren).si f es periódica de período a, es decir que f(x + a) = f(x), alcanza con realizar elanálisis para el intervalo [0, a] y luego copiar la grá�ca, a izquierda y a derecha (lasfunciones trigonométricas son un ejemplo de esta situación).

Algunas veces puede ser más sencillo realizar el análisis en todo el dominio. Si lo hacen así,las simetrías deberían tenerse en cuenta para veri�car que los resultados sean consistentes.

2. Puntos de intersección con los ejes: (0, f(0)) es el punto donde la grá�ca corta al eje y (si eldominio lo permite), en tanto que los valores de x tales que f(x) = 0 indican dónde la grá�cacorta al eje x. Son puntos especiales que ayudan a ir ubicando la grá�ca.

3. Regiones de positividad. Permiten ubicar la grá�ca por encima o por debajo del eje x.4. Continuidad o puntos de discontinuidad, asíntotas verticales: en caso de existir algún puntox0 donde la función no está de�nida o donde cambia la de�nición de la misma, calculamos ellímite para saber si es continua o discontinua, y en ese caso, de qué tipo es la discontinuidad.Seguramente tengan que calcular los límites laterales primero.

17


En caso de que alguno de los límites sea ±∞, sabemos que x = x0 es asíntota vertical. Con-viene gra�carla en líneas punteadas e indicar, según el valor del límite, la tendencia de lagrá�ca (a derecha y/o a izquierda, según corresponda).Si el dominio es un intervalo, se deben calcular sólo los límites laterales correspondientes.

5. Regiones de crecimiento y decrecimiento, máximos y/o mínimos locales: buscamos puntoscríticos (donde f ′ se anula o no existe). A partir de ellos, y de los puntos donde no estáde�nida la función, si es el caso, separamos en intervalos y analizamos el signo de f ′, a �n dedeterminar dónde es creciente y dónde decreciente.Luego, ya podemos determinar la existencia de mínimos y/o máximos locales. Recuerden quetambién pueden utilizar la regla de la derivada segunda, siempre que se cumplan las condi-ciones para aplicarla.Pueden indicar con �echas (↗ o ↘) el crecimiento/decrecimiento en cada intervalo e ir gra-�cando los puntos donde se alcanzan los extremos locales.

6. Regiones de concavidad: buscamos los puntos donde f ′′ se anula o no existe. A partir de ellos,y de los puntos donde no está de�nida la función, si es el caso, separamos en intervalos yanalizamos el signo de f ′′, a �n de determinar la concavidad en cada tramo.Pueden indicar con símbolos^ o_ los sentidos de concavidad de cada intervalo e ir gra�candolos puntos de cambio de concavidad.

7. Comportamiento asintótico en ±∞, asíntotas horizontales u orden de magnitud: en el casoen que el límite sea �nito, digamos L, conviene dibujar, con líneas punteadas, la asíntotahorizontal y = L por lo menos para x grandes, positiva o negativamente, según corresponda.Así tendremos un control de la grá�ca, ya que sabemos que f se asemeja a dicha recta cuandox→ ±∞ (según corresponda) .

Si bien aconsejamos recordar esta lista, el análisis no debe ser mecánico. El objetivo es volcarordenadamente la información en un grá�co. En general ciertas combinaciones de propiedades que severi�can simultáneamente pueden condicionar lo que ocurrirá con otras propiedades de la función.Esperamos que realicen en cada caso un análisis crítico de la consistencia de las característicascalculadas; esto permite corroborar lo que los cálculos indican, o bien descubrir y corregir algún errorcometido a lo largo de dichos cálculos.

5.2.2. Práctica

La mejor manera de aprender a analizar grá�cas es desarrollar ejemplos variados. Les proponemosalgunos ejemplos desarrollados en detalle, y encontrarán muchos más en los libros recomendados.

Los ejemplos están propuestos como ejercicios: para aprovecharlos, intenten resolverlos antes demirar la resolución. A medida que los resuelven, comparen con la versión desarrollada. Además, pararepasar todo lo aprendido, fundamenten cada uno de los pasos con los conceptos teóricos correspon-dientes.

Ejercicio 5.2.1. Analicen cualitativamente la grá�ca de f(x) =x

1 + x3.

1. Dom f :R− {−1}f(−x) =

−x1− x3

.

Vemos que ni f(−x) = f(x) ni f(−x) = −f(x); es decir que f no es par ni impar.

2. f(x) = 0 implica x = 0, que es el único punto de intersección con el eje x y a la vez resultaintersección con el eje y.

18


3. lımx→±∞

x

1 + x3= 0, es decir, y = 0 es asíntota horizontal por izquierda y por derecha.

4. Como x = −1 no está en el dominio, es un punto de discontinuidad. Veamos de qué tipo es,analizando los límites laterales:.

lımx→−1−

x

1 + x3= +∞ y lım

x→−1+

x

1 + x3= −∞

Luego, el límite no existe; es una discontinuidad in�nita. La recta x = −1 es una asíntotavertical.

5. Calculemos f ′(x). Luego de utilizar las reglas de derivación y operar algebraicamente, van a

obtener f ′(x) =1− 2x3

(1 + x3)2 ., si x 6= −1.

El único punto crítico es x = 1/ 3√

2, pero además x = −1 no pertenece al dominio. Haytres intervalos para analizar el crecimiento/decrecimiento. Como el denominador es positivo,basta con analizar el signo del numerador. Veri�quen la siguiente información:

intervalo signo f ′ crec/decrec(−∞,−1) + ↗

(−1, 1/ 3√

2) + ↗(1/ 3√

2,+∞) - ↘Luego, como además f es continua en x = 1/ 3

√2 , presenta allí un máximo local. El punto en

la grá�ca es (1/ 3√

2, 2/3 3√

2).Como sabemos que f → +∞ cuando x→ −1−, el máximo no puede ser absoluto.Con lo que saben hasta ahora, ¾pueden anticipar la concavidad para x muy grandes (positivay negativamente) y a ambos lados de x = −1?

6. Calculemos ahora f ′′. La expresión es f ′′(x) =−6x2 (1 + x3) (2− x3)

(1 + x3)4 ., si x 6= −1, una vez

factorizada .Como el denominador es positivo, buscamos los ceros del numerador. Estos son x = 0, x = −1y x = 3

√2. Además, x = −1 no pertenece al dominio. Separando en intervalos, analizamos el

signo de f ′′. Veri�quen la siguiente información:

intervalo signo f ′′ concavidad(−∞,−1) + ^

(−1, 0) - _

(0, 3√

2) - _

( 3√

2,+∞) + ^

Ya tenemos toda la información necesaria para hacer la grá�ca. Es útil confeccionar una tabla contoda la información, les mostramos un formato posible:

intervalo crec/decrec concavidad(−∞,−1) ↗ ^

(−1, 0) ↗ _

(0, 1/ 3√

2) ↗ _

(1/ 3√

2, 3√

2) ↘ _

( 3√

2,+∞) ↘ ^

x f(x)

−1 @ asíntota vertical0 0 intersección con los ejes

1/ 3√

2 2/3 3√

2 máximo local3√

2 3√

2/3 cambio de concavidad

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Dibujen la grá�ca cualitativamente y luego comprueben con GeoGebra el resultado:

Ejercicio 5.2.2. Veamos otro ejemplo. La propuesta es, en todos los casos, que ustedes desarro-llen cada ítem siguiendo las pautas de la sección 5.2.1 y vuelquen la información esquemáticamenteen un grá�co.

Gra�quen cualitativamente f(x) =√

4 + x2 . No olviden justi�car cada uno de los pasos desarro-llados.

1. Dom f :Rf(−x) = f(x), es decir f es par.Vamos entonces analizar solamente el intervalo [0,+∞) y luego re�ejar la grá�ca con respectoal eje y.

2. f(0) = 2 .Intersección con el eje y: como 4 + x2 6= 0 ∀x, la curva no corta al eje x.

3. lımx→+∞

√4 + x2 = +∞, No posee asíntota horizontal por derecha, sino que la grá�ca alcanza

valores arbitrariamente altos.

4. La función es continua en todo su dominio.

5. Calculemos f ′(x). Deberán arribar a la expresión f ′(x) =x√

4 + x2..

El único punto crítico es: x = 0 . Como el numerador y el denominador son positivos (recuer-den que nos enfocamos solamente en x ≥ 0) tenemos quef ′(x) > 0 si x > 0, es decir la función es creciente en (0,+∞).

6. Calculemos ahora f ′′(x) para analizar concavidad. Con un poco de trabajo van a obtener

f ′′(x) =4

(4 + x2)3/2 .

.

20


Esta expresión es siempre positiva. Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en (0,+∞) .

Realicen ahora la grá�ca en [0,+∞) y complétenla en los reales negativos teniendo en cuenta quela función es par. A partir de ella comprueben que el comportamiento completo de la función es elsiguiente:

intervalo crec/decrec concavidad(−∞, 0) ↘ ^(0,+∞) ↗ _

x = 0 es mínimo local y absoluto; f(0) = 2

A continuación presentamos la grá�ca.

Ejercicio 5.2.3. Analicen cualitativamente la grá�ca de f(x) =

√1− x2x

. No olviden justi�car

cada una de sus a�rmaciones.

1. Dom f :|x| ≤ 1, con x 6= 0, es decir, [−1, 0) ∪ (0, 1].f(−x) = −f(x), es decir f es impar.Supongamos que se nos pasó por alto esta observación y hagamos el análisis en todo su do-minio. Después discutiremos sobre la conveniencia de haber tenido en cuenta la imparidad.

2. f(0) no está de�nido; es decir que la grá�ca no corta al eje x.f(x) = 0 en x = ±1.

3. No tiene sentido buscar asíntotas horizontales porque x no se acerca a ±∞.

4. La función es continua en todo su dominio. En x = −1 es continua a derecha y en x = 1 escontinua a izquierda.Veamos el comportamiento cuando x→ 0.

Comprueben que lımx→0−

√1− x2x

= −∞ y limx→0+

√1− x2x

= +∞,

es decir, la recta x = 0 es asíntota vertical.

21


5. Calculemos f ′(x). Deberán llegar a la expresión f ′(x) =−1

x2√

1− x2.

Observen que esta expresión es siempre negativa, y que tendremos que analizar por separadolo que ocurre en x = ±1 (puntos que pertenecen al dominio de la función pero donde no sepueden utilizar reglas de derivación). Separando en los intervalos (−1, 0) y (0, 1) obtenemosentonces quef es decreciente en (−1, 0) y en (0, 1).De acuerdo a este resultado, podemos a�rmar que x = −1 es máximo local y x = 1 es mínimolocal. ¾Por qué no son extremos absolutos?Analicemos ahora la existencia o no de la derivada lateral en x = ±1.

f ′−(1) no existe: podemos calcular el cociente incremental para comprobarlo:

lımx→1−

f(x)− f(1)

x− 1= lım

x→1−

√1−x2

x− 0

x− 1= lım

x→1−−√

(1 + x)(1− x)

x(1− x)= lımx→1−

√1+xx

1√1−x = −∞

Procediendo de manera similar, veri�quen que f ′+(−1) no existe, ya que:

limx→−1+

f(x)− f(−1)

x− (−1)= lim

x→−1+

√1− xx

1√1 + x

= −∞

6. Calculemos ahora f ′′. Su expresión ya trabajada algebraicamente es f ′′(x) =x(2− 3x2)(x2√

4 + x2)2..

El denominador es positivo. El numerador se anula en x = 0 (donde no está de�nida la fun-ción) y en x = ±

√2/3 .

Separando en los intervalos correspondientes, veri�quen que

intervalo signo de f ′′ concavidad

(−1,−√

2/3) + ^

(−√

2/3, 0) - _

(0,√

2/3) + ^

(√

2/3, 1) - _

Reunamos toda la información en una misma tabla:

intervalo crec/decrec concavidad

(−1,−√

2/3) ↘ ^

(−√

2/3, 0) ↘ _

(0,√

2/3) ↘ ^

(√

2/3, 1) ↘ _

x f(x)

−1 0 máximo local−√

2/3 −√

5/2 cambio de concavidad0 @ asíntota vertical√2/3

√5/2 cambio de concavidad

1 0 mínimo localAhora tracen la grá�ca. Compárenla con la que produce GeoGebra.

22


Ejercicio 5.2.4. Analicen la grá�ca de la siguiente función: f(x) = x− 3x1/3.1. Dom f :Rf(−x) = −f(x), es decir f es impar.Vamos entonces analizar solamente el intervalo [0,+∞) y luego rotar la grá�ca 180o.

2. f(0) = 0 .Intersección con el eje y: debe ocurrir x = 3x1/3.Resuelvan y comprueben que f(x) = 0 para x = 0, x = ±3

√3.

3. lımx→+∞

x− 3x1/3 = lım

x→+∞x(1− 3x−

2/3) = +∞, es decir, no posee asíntota horizontal por de-

recha.

4. Para conocer el orden de magnitud del crecimiento cuando x → +∞, al escribir x− 3x1/3 =x(1 − 3x−2/3) notamos que la expresión entre paréntesis tiende a 1: el crecimiento está dadopor el factor x. Esto se veri�ca técnicamente calculando

lımx→+∞

x− 3x1/3

x= 1

5. La función es continua en todo su dominio.

6. La derivada se puede calcular por reglas para x 6= 0. Allí van a obtener f ′(x) = 1− x−2/3.f ′(x) = 0 en x = ±1 .Para x = 0 tendremos que analizar la existencia de f ′(0) por de�nición. Lo hacemos porderecha:

lımx→0+

f(x)− f(0)

x= lım

x→0+

x− 3x1/3

x= lım

x→0+

(1− 3

1

x2/3

)=−∞.

Es decir, no existe f ′+(0).Recuerden que estamos trabajando solamente con x > 0, entonces los intervalos de análisisson (0, 1) y (1,+∞). Comprueben la siguiente información:intervalo signo f ′ crec/decrec

(0, 1) - ↘(1,+∞) + ↗

Luego, x = 1 es un mínimo local.

7. Calculemos ahora f ′′(x) = 23x

−5/3.

Esta expresión es siempre positiva. Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en (0,+∞).

Intenten realizar ahora la grá�ca en [0,+∞) y complétenla en los reales negativos teniendo en cuentaque la función es impar.

23


Por último, de acuerdo al grá�co �nal, comprueben que el comportamiento completo de la funciónes el siguiente:

intervalo crec/decrec concavidad(−∞,−1) ↗ _

(−1, 0) ↘ _(0, 1) ↘ ^

(1,+∞) ↗ ^

x f(x)

−3√

3 0−1 2 máximo local0 0 cambio de concavidad1 −2 mínimo local

3√

3 0

Comparen su trabajo con el grá�co que produce GeoGebra:

Observen que (0, 0) es un punto donde la función es continua pero no existe la derivada primeraporque el cociente incremental tiende a −∞. La grá�ca tiende a �ponerse vertical� al pasar por dichopunto.

Ejercicio 5.2.5. Consideren cómo harían las actividades 5.2.2 y 5.2.4 sin tener en cuenta laparidad o imparidad de las funciones. Discutan sobre la conveniencia de utilizar esta información ala hora de economizar el trabajo.

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5.3. Práctica

El análisis de grá�cas de funciones utiliza todos los conceptos aprendidos en la primera partedel curso; hacerlos sirve como repaso general de la primera parte de la materia. Proponemos variasfunciones para analizar y gra�car, y luego algunos ejercicios más conceptuales.

Ejercicio 5.3.1. Teórico.¾Qué elementos deben tener en cuenta para hacer el análisis cualitativo de la grá�ca de unafunción?

Ejercicio 5.3.2. Analicen y gra�quen cualitativamente las funciones indicadas.En cada caso indiquen: dominio natural, posibles simetrías, puntos de continuidad, asíntotas ver-

ticales, asíntotas horizontales, comportamiento asintótico, regiones de crecimiento y/o decrecimiento,máximos y/o mínimos locales, regiones de concavidad, máximos y/o mínimos absolutos.

Recomendamos fuertemente ir cotejando con esquemas provisorios las conclusiones que van ob-teniendo, preguntándose siempre si son coherentes entre sí. Vayan anticipando, en la medida enque la función así lo permita, algún comportamiento todavía no analizado, y luego con�rmen sussuposiciones.

1. f(x) = x5 − 5x+ 2

2. f(x) =

{−x2 + 1, si x ≤ 1

(x− 1)2 , si x > 1

3. f(x) =x

x− 1(¾pueden reconocer esta función entre las presentadas en el Módulo 1?)

4. f(x) =x2

x− 1

5. f(x) =x

x2 − 1

6. f(x) =

√1− xx

. ¾Existe la derivada lateral de f en 1? ¾Cómo se traslada esa información a

la grá�ca?7. f(x) =

x√x2 + 1

8. f(x) = xex

9. f(x) = x− ex10. f(x) = xx

11. f(x) = 12x− senx, 0 ≤ x ≤ 3π

12. f(x) = ln(x2 + 1)13. f(x) = 5x2 − 2x2 lnx

14. f(x) =ln |x|x

Ejercicio 5.3.3. Hemos obtenido varios resultados usando que

lımx→+∞

ex

x= +∞

Vale la pena dar una justi�cación, basada en la grá�ca cualitativa de esta función.

Estudien la función f(x) =ex

xen el dominio (0,+∞) .

Prueben que tiene un mínimo absoluto en x = 1, y que en (1,+∞) se mantiene creciente.Prueben que la función es cóncava hacia arriba en (0,+∞).

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Escriban la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2.

Por ser cóncava hacia arriba en (0,+∞), la grá�ca deex

xse mantiene por encima de la recta

tangente hallada en el inciso anterior para cualquier valor de x > 0. ¾Qué conclusión sacanpara lımx→+∞

ex

x= +∞?

Ejercicio 5.3.4. Supongamos una función que cumple: f(3) = −2, f ′(3) = −1, f ′(x) < 0 yf ′′(x) > 0 para todo x.

1. Realizar una posible grá�ca para la función f .2. ¾Cuál es el lım

x→−∞f(x)?

3. Comprobar que f(x) = 0 tiene una única solución. Ayuda: usar el Teorema del Valor Inter-medio.

4. ¾Es posible que f ′(2) = −1/2? ¾Por qué?

Ejercicio 5.3.5.1. Realicen la grá�ca de una función f que veri�que:f ′(x) > 0 si x 6= 1; f tiene una asíntota vertical en x = 1.

2. Ajusten el grá�co realizado para que además cumpla que:f ′′(x) > 0 en (−∞, 1) y en (3,+∞); f ′′(x) < 0 en (1, 3).

Ejercicio 5.3.6. Construyan la grá�ca de una función f(x) de�nida en R que veri�que todas lassiguientes condiciones:

1. f(1) = 0; f(x) continua para x 6= 0.2. f(x) sea creciente en x < 0.3. lım

x→−∞f(x) = −∞; lım

x→0+f(x) = 2.

4. tenga una asíntota horizontal en y = 2 y una asíntota vertical en x = 0.¾Puede ser la función cóncava hacia abajo para valores negativos cercanos a x = 0? Justi�quen larespuesta.

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análisis matemático i – cibex · módulo 5: comportamiento asintótico y análisis cualitativo...

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