ANLISIS FENOMENOLGICO

LUIS PUIGUNIVERSITAT DE VALNCIA

En Rico, L. La educacin matemtica en la enseanza secundaria.Barcelona: Horsori, en prensa

CAPTULO 3

ANLISIS FENOMENOLGICO

Luis PuigUniversitat de Valncia

3.1. LA IDEA FREUDENTHALIANA DE FENOMENOLOGA DIDCTICA

3.1.1. EL ANLISIS FENOMENOLGICO COMO COMPONENTE DEL ANLISISDIDCTICO

El anlisis didctico de las matemticas, esto es, el anlisis de loscontenidos de las matemticas que se realiza al servicio de la organizacinde su enseanza en los sistemas educativos, tiene varios componentes, queorganizan varios de los captulos de este libro. Uno de los componentestoma su nombre de la obra de Hans Freudenthal Didactical Phenomenologyof Mathematical Structures y es el objeto de este captulo. Voy pues adesarrollar aqu los rasgos caractersticos y algunas consecuencias de lo queyo entiendo por anlisis fenomenolgico de las matemticas como uncomponente de su anlisis didctico. Mi exposicin se referircontinuamente a la obra de Freudenthal, pero me tomar algunas libertadescon la terminologa que l utiliza e introducir otra que le es ajena.

No puedo pretender desarrollar un anlisis fenomenolgicopormenorizado de los contenidos matemticos de la educacin secundariaen el espacio de unas pocas pginas, as que me extender ms enconsideraciones de ndole general alrededor de dos ideas bsicas que para mson cruciales para entender a dnde puede conducir este anlisis o, almenos, qu sentido le he dado yo. La primera atae a la naturaleza de losobjetos matemticos y de la prctica matemtica y, en consecuencia, a lanaturaleza de la actividad que hay que dar la oportunidad a los alumnos querealicen para que puedan tener acceso a genuina experiencia matemtica; deella me ocupar en el siguiente apartado. La segunda es una toma de partidosobre cules son los objetivos que hay que perseguir en la enseanza de lasmatemticas para capas amplias de la poblacin, con respecto a la naturalezade los conocimientos matemticos que se propone que adquieran, y se cifraen la expresin de Freudenthal constitucin de objetos mentales versusadquisicin de conceptos; esta idea la desarrollar en el apartado tercero.Finalmente, recorrer los bloques de contenidos del currculo dematemticas de secundaria, esbozando el sentido en que se ha hecho suanlisis fenomenolgico o el sentido en que, a mi entender, habra que

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hacerlo. El lector puede recurrir a los minuciosos anlisis que Freudenthaldesarroll en sus libros aunque a pesar de su volumen tampocoencontrar en ellos cubierto el conjunto de la educacin secundaria o bienusar como ejemplo los textos de Freudenthal traducidos al castellano que seindican en el apndice y ejercitarse en el anlisis fenomenolgico.

3.1.2. EL ANLISIS FENOMENOLGICO

Tanto la exposicin de las dos ideas que acabo de indicar como losesbozos de anlisis que les seguirn son parte constitutiva de unadescripcin de en qu consiste un anlisis fenomenolgico y permiten, portanto, que se pueda concebir qu es la fenomenologa didctica de lasestructuras matemticas en el sentido de Freudenthal. Si quiero sercoherente con las ideas que voy a exponer, no puedo comenzar por unadefinicin de fenomenologa y pretender que est dado de una vez por todassu concepto. Freudenthal comienza su exposicin con un ejemplo y slotras l presenta, en el captulo titulado El mtodo, su caracterizacin. Peropara hacer concebir la fenomenologa didctica yo tengo una ventaja sobre elpropio Freudenthal, a saber, puedo comenzar con la propia caracterizacinque l hace, plantearla como problemtica y perseguir que el lector puedaconstituir un objeto mental fenomenologa didctica como consecuenciadel sentido que l produzca a partir de su lectura de las pginassubsiguientes de este captulo.

Freudenthal comienza indicando que le ha dado a su mtodo deanlisis de los contenidos matemticos el nombre de fenomenologaporque parte de la contraposicin establecida en la tradicin filosfica entrelo que se expresa en esa tradicin con los trminos fenmeno y nomeno.Esa contraposicin, cuyo carcter de anttesis pone en duda, la establece enlas matemticas entre los conceptos o estructuras matemticas, que serannomenos y los fenmenos que esos conceptos organizan. As, por ejemplo,las figuras geomtricas como objetos matemticos organizan un conjunto defenmenos que globalmente considerados se puede calificar como el mundode los contornos.

El anlisis fenomenolgico de un concepto o de una estructuramatemtica consiste entonces en describir cules son los fenmenos para losque es el medio de organizacin y qu relacin tiene el concepto o laestructura con esos fenmenos. La descripcin de los fenmenos para losque es un medio de organizacin ha de considerar la totalidad de losfenmenos para los que actualmente es as, esto es, ha de tomar lasmatemticas en su desarrollo actual y en su uso actual, pero tambin esconveniente que se indique cules son los fenmenos para cuyaorganizacin fue creado y a qu fenmenos se extendi posteriormente. La

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descripcin de la relacin con los fenmenos en cuestin ha de mostrar dequ manera acta sobre esos fenmenos como medio de organizacin y dequ poder nos dota sobre ellos. Veremos ms adelante que la relacin entrefenmenos y conceptos se torna ms compleja al intervenir un tercero en larelacin, el objeto mental, y que el anlisis fenomenolgico ha de tomar enconsideracin tambin las relaciones entre fenmenos y objeto mental yentre objeto mental y concepto.

3.1.3. FENOMENOLOGA SIN NOMENOS

He mencionado que los trminos que dan origen al nombre delmtodo los toma Freudenthal de la tradicin filosfica, pero no he indicadoqu significan en ella. Un primer motivo para no haberlo hecho es que esostrminos tienen una larga historia en la filosofa y su significado vara deun sistema filosfico a otro. Freudenthal es de poca ayuda al respecto ya queapenas va ms all de dar una caracterizacin negativa: taxativamenteafirma que cuando usa el trmino fenomenologa no se refiere al sentidoque le dan Hegel, Husserl o Heidegger, pero no acompaa esta negacin deuna afirmacin de adscripcin, sintona o simpata con otros filsofos.Nomeno lo identifica con objeto de pensamiento sin ms explicacionesy respecto a fenmeno slo dice que consideramos algo como unfenmeno cuando tenemos experiencia de ello. No voy a intentar dilucidaraqu si estas someras indicaciones pueden interpretarse como una filiacinkantiana; por un lado, escapa a mi competencia, pero, por otro lado, no meinteresa buscar filiaciones sino derivar consecuencias del uso queFreudenthal hace de los trminos que adopta cuando los pone enfuncionamiento.

Los trminos nomeno y fenmeno provienen de hecho del griego.Nomeno procede de nous [noq] y puede decirse que significa lo que espensado mediante la razn o lo inteligible. Fenmeno proviene dephainmenon [fainmenon], que significa lo que aparece. Losfenmenos son, por tanto, las apariencias o lo que se nos aparece de lascosas. En su origen pues los fenmenos se contraponen a la realidadverdadera. Por otro lado, en la tradicin filosfica realista el mundo de losnomenos es el que se califica de real. La contraposicin entre fenmenos ynomenos es una contraposicin entre mundos, el mundo de lo sensible yel de lo inteligible, el marco de la experiencia posible y lo que cae fuera denuestra experiencia. Identificar entonces los conceptos matemticos connomenos los sita fuera del campo de nuestra experiencia. Sin embargo,esto se compagina mal con una de las caractersticas de las matemticas queel mismo Freudenthal seala de inmediato: un concepto matemtico que esel medio de organizacin de un fenmeno o unos fenmenos, pasa aformar parte de un campo de fenmenos que son organizados por un

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nuevo concepto matemtico, y este proceso se repite una y otra vez. Losconceptos matemticos no caen fuera del campo de nuestra experiencia, niestn en un mundo distinto del mundo de los fenmenos que organizan.

Con el fin de poner seguir interpretando las ideas de Freudenthal en elsentido que acabo de apuntar, me parece pues prudente, en vez de cargar lostrminos con el peso de los significados que han sido producidos por losfilsofos, despojarlos al mximo de ellos. Prescindir por completo deltrmino nomeno, que substituir simplemente por medio deorganizacin, esto es, por la funcin de los conceptos cuando se consideranen su relacin con los fenmenos. Mantendr el trmino fenmeno comouna manera de hablar de lo que es objeto de nuestra experienciamatemtica, dejando de lado explcitamente su significado original deapariencia, y teniendo presente que los medios de organizacin de losfenmenos, aquello con lo que pretendemos dar cuenta de nuestraexperiencia matemtica, es tomado a su vez como objeto de experiencia. Elpar fenmenos/medios de organizacin est definido as por la relacinentre ambos y no por la pertenencia a mundos distintos y se despliega enuna serie fenmenos/medios de organizacin en la que los medios deorganizacin de un par pasan a ser fenmenos del siguiente. Hacerfenomenologa es entonces describir una de esas series o uno de sus pares.

3.1.4. TIPOS DE ANLISIS FENOMENOLGICO

El anlisis fenomenolgico desarrollado por Freudenthal, aunquetome prestados trminos de la filosofa como acabamos de ver y tengaconsecuencias para cmo se conciba la naturaleza de las matemticascomo veremos en el apartado siguiente, est hecho al servicio de ladidctica. Sin embargo, Freudenthal distingue varios tipos defenomenologa, todos importantes desde el punto de vista de la didctica,pero slo uno de ellos calificado de didctico. Esos tipos son:

Fenomenologa.

Fenomenologa didctica.

Fenomenologa gentica.

Fenomenologa histrica.

Lo primero que caracteriza cada uno de estos anlisis fenomenolgicoses los fenmenos que se toman en consideracin con respecto al conceptocuyo anlisis se realiza. En el primer caso se trata de los fenmenos queestn organizados en las matemticas tomadas en su estado en el momento

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actual y considerando su uso actual. En el caso didctico intervienen losfenmenos presentes en el mundo de los alumnos y los que se proponen enlas secuencias de enseanza. En el caso gentico, los fenmenos seconsideran con respecto al desarrollo cognitivo de los aprendices. En el casohistrico se presta especial atencin a los fenmenos para cuya organizacinse cre el concepto en cuestin y cmo se extendi a otros fenmenos.

La descripcin de las relaciones entre los fenmenos y el concepto tomaen consideracin en el primer caso las que estn establecidas y en los otrostres cmo se produjeron, se adquirieron o se conformaron esas relaciones enel sistema educativo, con respecto al desarrollo cognitivo o en la historia,respectivamente.

Adems, en el caso de la fenomenologa pura, los conceptos o lasestructuras matemticas se tratan como productos cognitivos, mientras queen el caso de la fenomenologa didctica se tratan como procesos cognitivos,es decir, situados en el sistema educativo como materia de enseanza ysiendo aprendidos por los alumnos. Freudenthal dice que al escribir unafenomenologa didctica uno puede pensar que debera estar basada en unafenomenologa gentica, pero que esta idea es errnea. El orden en que hayque desplegar los distintos tipos de anlisis fenomenolgico comienza por lapura fenomenologa (para la que basta conocer las matemticas y susaplicaciones), se completa con una fenomenologa histrica, sigue por unafenomenologa didctica (para lo que hay que conocer el proceso deenseanza y aprendizaje) y termina, en todo caso, con una fenomenologagentica. Ningn anlisis fenomenolgico puede resultar efectivo cuando seorganice posteriormente la enseanza a partir de l si no se sustenta en unslido anlisis de pura fenomenologa.

3.2. UNA CONCEPCIN DE LA NATURALEZA DE LAS MATEMTICAS

3.2.1. UN SOLO MUNDO EN EXPANSIN.

El anlisis fenomenolgico de Freudenthal tiene como objetivo servirde base para la organizacin de la enseanza de las matemticas y nopretende elaborar una explicacin de la naturaleza de las matemticas.Cabra la posibilidad de utilizarlo sin adoptar ningn compromisoepistemolgico u ontolgico sobre las matemticas, es decir, aceptar que parala organizacin de la enseanza podemos ver los conceptos matemticoscomo medios de organizacin de fenmenos, sin mantener que las cosassean realmente as. Sin embargo, las ideas que los alumnos se forman de lanaturaleza de las matemticas y las que tienen los profesores influyen deforma extremadamente importante en cmo unos y otros conciben laactividad matemtica que hay que realizar en las clases y los conocimientos

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que unos elaboran y los otros pretenden ensear. Por ello, voy a exponer eneste apartado un esbozo de una concepcin de la naturaleza de lasmatemticas que me parece compatible con la interpretacin que acabo dehacer del anlisis fenomenolgico de Freudenthal.

Partiremos, por tanto, de la afirmacin de que los conceptosmatemticos son medios de organizacin de fenmenos del mundo. Ahorabien, esta caracterizacin nos dice poco si no precisamos a qu nos referimoscuando hablamos del mundo y si no establecemos qu fenmenosorganizan los conceptos matemticos. Sin embargo, una de las tareas de lafenomenologa es precisamente indagar, analizando los conceptosmatemticos, cules son los fenmenos que organizan, de modo que no sepuede pretender saber de antemano cules son. Yo tampoco puedopretender caracterizar de entrada el tipo de fenmenos organizados por lasmatemticas, porque para ello necesitara haber engarzado la fenomenologade las matemticas en una fenomenologa general en la que se establezcauna tipologa de los fenmenos tarea que podra abordarse, a mi entender,con la fenomenologa de Pierce, de modo que slo podremos tener unaidea del tipo de fenmenos de que se trata a partir de los anlisis concretosque realicemos.

Es posible interpretar, por otro lado, que de la afirmacin precedente sederiva que las matemticas se encuentran en un mundo separado delmundo cuyos fenmenos organiza y que ste es el mundo que nos rodea, elmundo real. Esa interpretacin, sin embargo, no me parece la ms adecuada.

En efecto, si nos situamos en el origen, o en el nivel ms bajo,podramos decir que los fenmenos que van a ser organizados por losconceptos matemticos son fenmenos de ese mundo real, fsico, cotidiano.Nuestras experiencias con ese mundo fsico tienen que ver con los objetosdel mundo, sus propiedades, las acciones que realizamos sobre ellos y laspropiedades que tienen esas acciones. De modo que los fenmenos que va aorganizar las matemticas son los objetos del mundo, sus propiedades, lasacciones que hacemos sobre ellos o las propiedades de esas acciones, cuandoobjetos, propiedades, acciones o propiedades de acciones son vistos como loque organizan esos medios de organizacin y se consideran en su relacincon ellos.

Esta primera interpretacin sirve para hacer patente la idea de que losconceptos matemticos no estn pues en un mundo ideal cuyo reflejoestudiamos, ni tienen una existencia anterior a la actividad matemtica, nista consiste por tanto en el descubrimiento de la geografa del mundo en elque estn esos objetos. Pero tampoco, al ser creados como medios deorganizacin de fenmenos del mundo, se instalan en un mundo ajeno a

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nuestra experiencia. La interpretacin anterior no es afortunada en estepunto porque no toma en cuenta que Freudenthal no se queda en el nivelms bajo describiendo la actividad matemtica simplemente como un juegoentre fenmenos del mundo y medios de organizacin de las matemticas,en el que los fenmenos solicitan ser organizados y se crean medios paraello en las matemticas. Por el contrario, el proceso de creacin de objetosmatemticos como medios de organizacin lo acompaa Freudenthal de unproceso por el que los medios de organizacin se convierten en objetos quese sitan en un campo de fenmenos. En consecuencia, los objetosmatemticos se incorporan al mundo de nuestra experiencia, en el queentran como fenmenos en una nueva relacin fenmenos / medios deorganizacin en la que se crean nuevos conceptos matemticos, y esteproceso se reitera una y otra vez.

Las matemticas estn por tanto en el mismo mundo de losfenmenos que organizan: no hay dos mundos sino uno que crece con cadaproducto de la actividad matemtica. Los fenmenos que organizan losconceptos matemticos son los fenmenos de ese mundo que contiene losproductos de la cognicin humana y en particular los productos de la propiaactividad matemtica; los fenmenos que organizan los conceptosmatemticos son los objetos de ese mundo, sus propiedades, las acciones querealizamos sobre ellos y las propiedades de esas acciones, en tanto seencuentran en el primer trmino de un par fenmenos /medios deorganizacin.

La progresin escalonada de pares fenmenos / medios deorganizacin comporta dos procesos: el proceso de creacin de conceptosmatemticos como medios de organizacin, que viene indicado por cadapar, y el proceso por el cual se objetiva un medio de organizacin de formaque puede entrar a formar parte de un nuevo par, ahora en la posicin delos fenmenos. La progresin escalonada dibuja una imagen de laproduccin de objetos matemticos cada vez de nivel ms elevado, msabstractos, y muestra que la actividad matemtica genera su propiocontenido.

He dicho que en el proceso de creacin de conceptos matemticos loque se crea no son objetos ideales que se sitan en un mundo ajeno anuestra experiencia. Desde mi punto de vista esto es as fundamentalmentepor el papel que desempean los sistemas de signos en que se expresan, serepresentan o se escriben las matemticas en la prctica matemtica. De ellome ocupo a continuacin.

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3.2.2. SISTEMAS MATEMTICOS DE SIGNOS

Los textos matemticos aparecen a cualquier mirada, experta o profana,plagados de signos que no pertenecen al lenguaje vernculo. Este hechohace que sea corriente hablar del lenguaje de las matemticas como unlenguaje distinto del vernculo. Adems, en la historia de las matemticashay episodios en que la elaboracin de un lenguaje propio de la matemticasha constituido una tarea esencial. De la combinacin de ambos hechos sederiva que la idea ms ampliamente extendida sea que existe un lenguajepropio de las matemticas diferente del lenguaje vernculo. Esta idea estpresente radicalmente en quienes conciben que las verdaderas matemticaso las matemticas rigurosas son las escritas en un lenguaje totalmenteformalizado y que, si en su prctica cotidiana los matemticos no escribenlas matemticas as, es porque sera extraordinariamente penoso y porciertas limitaciones internas de los formalismos; por usar la expresin deBourbaki, los textos matemticos efectivamente escritos estn llenos deabusos de lenguaje, ya que estn escritos en parte en lenguaje vernculo yste se ve como un substituto torpe y grosero del lenguaje matemtico.

Una consecuencia de esta idea incluso en sus versiones ms alejadasdel formalismo es que las descripciones que se suelen hacer del lenguaje enque estn escritos los textos matemticos distinguen dos subconjuntos designos en ellos: uno formado por signos que suelen llamarse artificiales yse subrayan como los propios de las matemticas y otro por los signos dealguna lengua verncula. Ahora bien, lo que a mi entender interesa msdesde un punto de vista didctico no es el estudio de los signos y sus tipos,sino el estudio de los procesos de significacin y produccin de sentido.Entonces, esa diferencia entre un signo artificial que sera elpropiamente matemtico deja de ser crucial, para colocar en primer planoel sistema de signos considerado globalmente. Lo que hay que calificar dematemtico entonces no es un tipo particular de signos, sino sobre tododeterminados sistemas de signos, es decir, hay que hablar de sistemasmatemticos de signos y no de sistemas de signos matemticos.

Lo que se est usando en la actividad matemtica no lo voy a separar,por tanto, en signos matemticos o un sistema de signos matemticos, ellenguaje vernculo y, quiza, otros medios de representacin. Por elcontrario, voy a considerar que todos los signos que se usan, estncombinados constituyendo un sistema matemtico de signos. Ahora bien,una vez he subrayado que lo voy a tratar como un sistema, tengo quesealar que, a diferencia de los que sucede con el sistema de las lenguasvernculas, sus signos no son homogneos. Adems, como quiero tomar enconsideracin todos los signos que se usan en la actividad matemtica, meparece ms conveniente adoptar una terminologa tomada de la semitica,

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en vez de una tomada de la lingstica, ya que muchos de los signos que seusan en la actividad matemtica no tienen naturaleza lingstica. En esesentido, prefiero no usar la pareja significante / significado que introdujoSaussure para describir las dos caras del signo, sino hablar como hacen Ecoo Barthes, siguiendo a Hjemslev de expresin y contenido de un signo (ouna funcin semitica, en general). En esos trminos, los sistemasmatemticos de signos contienen signos cuya materia de la expresin esheterognea caracterstica que los separa de las lenguas vernculas, comoya he dicho, y que comparten con los sistemas de signos de otras actividadeshumanas como el cine o la cancin.

Vale la pena sealar que el par expresin / contenido, en las teorassemiticas a las que me he referido, se presenta mediante el diagrama

expresin contenido

expresin contenido

ya que el signo, que se compone de expresin y contenido, se sita en larelacin de ser la expresin de un contenido al que remite o que implica (yque es de hecho otro signo).

Este carcter dinmico, implicativo del signo resulta a mi entenderparticularmente esclarecedor para los sistemas matemticos de signos, yaque stos se ven involucrados en la relacin fenmenos / medios deorganizacin, y en ella los conceptos matemticos son creados por lossistemas matemticos de signos que los describen. De ah que los objetosmatemticos as creados no sean entonces objetos ideales que se coloquenfuera del mundo de nuestra experiencia ya que tienen la existencia materialque les dan los sistemas de signos que simultneamente los describen y loscrean.

Correlativamente, la abstraccin progresiva generada en el proceso deobjetivacin de los medios de organizacin y su situacin como fenmenosante unos nuevos medios de organizacin tiene su expresin en la creacinde sistemas matemticos de signos tambin ms abstractos, con los que secrean esos conceptos ms abstractos.

3.2.3. OTROS TRAZOS QUE HACEN EL CUADRO MS COMPLEJO.

Lo que he expuesto hasta aqu son los rasgos ms importantes de unaconcepcin de la naturaleza de las matemticas que hace uso de ideas que sederivan de la fenomenologa de las matemticas desarrollada porFreudenthal y de una idea de sistemas matemticos de signos que tiene su

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origen en trabajos realizados por Eugenio Filloy*. Sin embargo, es obvio queel cuadro que trazan es todava demasiado simple. En lo que sigue apuntoalgunas ideas que a mi entender son necesarias para completar el cuadro.Esas ideas proceden de Lakatos y de Kitcher; como no voy a desarrollarlas endetalle sino slo relacionarlas con las anteriormente expuestas, remito allector a los textos correspondientes que aparecen en la bibliografa.

3.2.3.1. LAS ACCIONES PERMITIDAS.

Lo que se convierte en objeto de experiencia en la actividad matemticalo he descrito como objetos del mundo, propiedades de los objetos, accionesque realizamos sobre esos objetos y propiedades de esas acciones. Kitcherintroduce la idea, esencial para poder dar cuenta de gran parte de lasmatemticas que efectivamente han sido producidas a lo largo de la historia,de que las acciones mencionadas no son las que nosotros efectivamenterealizamos o somos capaces de realizar, sino que son las acciones queestablecemos que puede realizar un sujeto ideal al que dotamos de poderesde actuacin que van ms all de los que tenemos, por ejemplo, recorrer lasecuencia de los nmeros naturales o usar la funcin de eleccin de Hilbert.

Esta idea de Kitcher tiene el peligro de hacer pensar que lasmatemticas puedan desarrollarse a partir de estipulaciones arbitrarias deesos poderes y que, por tanto, generen conceptos matemticos carentes detodo fin epistmico o prctico. Este peligro est de hecho presente, pero seconjura en la prctica de varias maneras.

Una tiene que ver con la idea que he introducido anteriormente delpapel de los sistemas matemticos de signos en la creacin de los conceptosmatemticos y la elaboracin, correlativa al ascenso en la cadena fenmenos/ medios de organizacin, de sistemas matemticos de signos ms abstractos.Esos sistemas matemticos de signos no slo nos permiten organizar losfenmenos creando los conceptos pertinentes, sino que tambin nos hacencapaces de realizar nuevas acciones sobre los objetos matemticos o deapreciar la posibilidad de que, si estuviramos liberados de ciertaslimitaciones de tiempo o consumo de energa, pudiramos realizarlas. Eneste sentido, las acciones nuevas que establecemos que son realizables noson acciones arbitrarias sino aqullas que vienen sugeridas por los sistemasmatemticos de signos ms abstractos y, en este sentido, extiendenacciones que en un nivel inferior nos habamos visto capaces de realizar ohabamos establecido que eran realizables.

* Cf. E. Filloy. Theoretical Aspects of PME Algebra Research. Manuscript. Institute ofEducation, University of London, 1988.

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Por otro lado, desempea un papel importante como mecanismo deregulacin la aceptacin por parte de la comunidad de matemticos de queesas nuevas acciones van a incorporarse al elenco ya establecidoaceptacin que no est exenta de controversia, como el propio ejemplo dela funcin de eleccin de Hilbert atestigua.

3.2.3.2. LOS CONCEPTOS NO SON INMUTABLES. CONCEPTOS GENERADOS POR LAPRUEBA.

Hemos visto que los conceptos matemticos se crean en el procesofenmenos / medios de organizacin, pero esto no significa que una vezcreados permanezcan inmutables. Por el contrario, los conceptosmatemticos se modifican en la historia como consecuencia de su uso y delos nuevos sistemas matemticos de signos en que se describen. Esto noquiere decir, sin embargo, que las modificaciones de un concepto indiquenque el concepto original era errneo y que tengamos que ver la historia delos conceptos matemticos como un avance hacia la verdad, ya que hemosrechazado que los objetos matemticos tengan una existencia anterior alproceso que los crea.

Una idea distinta de la evolucin de los conceptos en la historia es laque desarroll Lakatos en su libro Pruebas y refutaciones. Para lo que aqunos interesa, Lakatos examina en ese libro cmo evolucionan los conceptosbajo la presin de la prueba de teoremas en los que estn involucrados.

Lakatos narra cmo tras el establecimiento de la conjetura de que paraun poliedro cualquiera se verifica la relacin C + V = A + 2 y su prueba porEuler surgen ejemplos de slidos que no encajan con la prueba realizada o,lo que es ms importante, con el teorema probado. Desde una concepcin dela naturaleza de los objetos matemticos segn la cual hay un objeto idealpreexistente al que llamamos poliedro y la actividad matemtica lo que hacees descubrir sus propiedades, el asunto est claro: esos slidos no sonverdaderos poliedros o la demostracin es errnea. La reconstruccin de lahistoria que hace Lakatos no es sta.

Lakatos separa los dos tipos de contraejemplos que acabo de mencionar,y los llama contraejemplos locales y globales, respectivamente. Uncontraejemplo local es el que tiene caractersticas que hacen que para l laprueba no sea aplicable, pero que verifica la relacin. Estos contraejemplosno refutan la conjetura: lo que hacen es indicar que en la prueba se ha usadouna propiedad que se supona valida para todos los poliedros, pero que estono es as. Lo que queda entonces refutado es un lema que se ha usadoimplcitamente y, por tanto, la prueba. La presencia de estos contraejemplosintroduce una diferencia en los conceptos que antes no estaba presente.

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Los efectos de la aparicin de contraejemplos globales tienen msimportancia para lo que estamos examinando. Un contraejemplo es globalcuando refuta la conjetura. Lakatos presenta como primeros contraejemplosglobales del teorema planteado por Euler el slido que consiste en un cubocon un hueco cbico en su interior, y un slido formado por dos tetraedrosunidos por una arista o un vrtice; ms adelante presenta el caso an msinteresante de un slido estrellado, que verifica o no la relacin segn quese considere que sus caras son los polgonos estrellados o no. La presencia deesos slidos como contraejemplos produce una tensin entre el concepto, elteorema y su prueba. Esa tensin puede resolverse de varias maneras queafectan todas ellas al concepto de poliedro. Las ms elementales son:

1) Exclusin de monstruos.

Los contraejemplos presentados no se consideran ejemplos genuinosdel concepto de poliedro, sino monstruos, esto es, seres cuya existencia esposible pero no deseada. La posibilidad de su existencia viene determinadapor la definicin de poliedro que se est utilizando, ya sea explcita oimplcitamente, de modo que, para salvar el teorema, se elabora una nuevadefinicin del concepto de poliedro que los excluye explcitamente.

2) Exclusin de excepciones.

Los contraejemplos presentados se consideran ejemplos del concepto,cuya existencia no se haba previsto al enunciar la conjetura. La conjetura semodifica con la intencin de retirarse a un terreno seguro. Para ello seintroduce una diferencia en el concepto, que separe a estos ejemplos.

3) Ajuste de monstruos.

Los objetos se miran de otra manera que hace que dejen de sercontraejemplos; es el caso de las dos formas de ver los poliedros estrellados:como compuestos de polgonos estrellados o no.

Aunque stas sean slo las formas ms elementales de enfrentarse a latensin creada, simplemente con ellas podemos ver que el concepto depoliedro se ve afectado en todos los casos. Ya se acepten o se excluyan loscontrajemplos como ejemplos del concepto, el campo semntico se ampla.En un caso, porque el contenido de la expresin aumenta o, dicho de otramanera, el campo de fenmenos para los que el concepto se haba creadoque es lo que constituye su campo semntico no contena loscorrespondientes a los objetos y las propiedades que ahora estn presentes yse extiende a ellos. En el otro caso, porque el concepto entra en un juego derelaciones con esos nuevos objetos de los que se desmarca explcitamente en

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la nueva definicin, que forman tambin parte constitutiva de sucontenido.

La historia completa es ms compleja y en ella intervienen tambin lossistemas matemticos de signos progresivamente ms ricos o ms abstractosa los que se traducen los conceptos expresados inicialmente en otrossistemas matemticos de signos menos ricos o menos abstractos, y haceafirmar a Lakatos que los conceptos generados por la prueba no mejoran losconceptos originales, no son especificaciones ni generalizaciones de ellos,sino que los convierten en algo totalmente distinto, crean nuevosconceptos. Esto es precisamente lo que me interesa subrayar: el resultado delproceso que presenta Lakatos de tensin entre conceptos, teoremas y pruebasno es la delimitacin del verdadero concepto de poliedro que secorrespondera al objeto ideal preexistente, sino la creacin de nuevosconceptos.

Una buena ilustracin del resultado de la historia que narra Lakatos esleer las definiciones de polgono y poliedro que pueden encontrarse hoy enda en los libros de matemticas. Por ejemplo, las que transcribo acontinuacin, acompaadas de las definiciones correspondientes depolgono regular y poliedro regular, tomadas todas ellas del mismo libro*:

Polgono:

En el espacio eucldeo n-dimensional, un polgono A0A1A2 es unafigura formada por una sucesin de puntos llamados vrtices, unidos enpares sucesivos por segmentos A0A1, A1A2 llamados aristas.

Polgono regular:

Para una isometra cualquiera S, un punto no invariante A0 tiene unarbita, que es el conjunto de puntos An en los que se transforma el punto A0por las potencias Sn, en las que n recorre los enteros. Diremos entonces queel polgono A0A1A2 as generado es regular. Ya que los valores posibles den incluyen los enteros negativos, la sucesin de puntos va tanto haciaadelante como hacia atrs, y el polgono A0A1A2 debera describirse deforma ms precisa as: A -2A -1A0A1A2

Poliedro:

* H. S. M. Coxeter, Regular Complex Polytopes. Cambridge University Press: London, 1974.Las definiciones estn en las pginas 3-4 y 12.

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Un poliedro es un conjunto finito de polgonos planos, llamados caras,junto con todos sus aristas y vrtices, que satisfacen las tres condicionessiguientes:

i) Toda arista pertenece exactamente a dos caras y esas caras no estn enel mismo plano.

ii) Las caras que comparten un vrtice forman un nico ciclo, esto es,su seccin por una esfera suficientemente pequea, centrada en el vrticecomn, es un polgono esfrico nico.

iii) Ningn subconjunto propio de las caras satisface la condicin i).

Poliedro regular:

Para un poliedro cualquiera, definimos como una bandera (A , AB ,ABC) la figura formada por un vrtice A , una arista AB que contiene a esevrtice y una cara ABC que contiene a esa arista. Un poliedro es regular sisu grupo de simetras es transitivo en sus banderas.

Este ejemplo es particularmente notable porque la definicion propuestade polgono y la de poliedro llevan la huella, cada una de ellas, de formasdistintas de responder a la tensin que estamos examinando. Salta a la vistaque la definicin de polgono est elaborada aceptando nuevos objetos yampliando as inmensamente de forma explcita el contenido del concepto(y se acompaar despus de un desglose necesario en polgonos demltiples tipos).

En la definicin de poliedro, por el contrario, cada una de lascondiciones est introducida para excluir determinados objetos. As, porejemplo, la condicin i) no permite considerar como poliedro el slidoformado por dos tetraedros unidos por una arista y responde por tanto a laexclusin de monstruos. Sin embargo, esa misma condicin no permite queun poliedro estrellado se interprete como un poliedro cuyas caras no son lospolgonos estrellados correspondientes, ya que, si se hace esto, haynecesariamente caras que estn en un mismo plano. As que esa condicinno autoriza el ajuste de ese monstruo y, por tanto, los poliedros estrelladosson poliedros a condicin de que sus caras sean los polgonos estrelladoscorrespondientes. El aumento del contenido del concepto de poliedro estaqu en las relaciones que cada una de las condiciones establece con otrosobjetos matemticos y en su expresin en el sistema de signos en que sepresenta.

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3.2.3.3. RESOLVER PROBLEMAS, DEFINIR Y OTROS PROCESOS QUE TAMBINGENERAN CONCEPTOS.

De Lakatos acabo de extraer la idea de que los conceptos matemticosno permanecen inmutables una vez creados. Tambin he esbozado cmolos conceptos cambian, impelidos por la tensin que les produce el estarinvolucrados en pruebas y refutaciones. Ahora bien, la actividadmatemtica no consiste solamente en probar teoremas. Uno de los motoresfundamentales del desarrollo de las matemticas es la resolucin deproblemas y sta engloba la prueba de teoremas, pero tambin otrasactividades.

La resolucin de problemas engloba la prueba de teoremas en dossentidos. En el primer sentido, la resolucin de problemas engloba la pruebade teoremas considerada globalmente, ya que, si seguimos la terminologade Polya y en vez de distinguir entre problemas y teoremas como hicieronpor primera vez los matemticos griegos los llamamos a todos problemas ydistinguimos entre problemas de encontrar y problemas de probar, entoncesla prueba de teoremas no es sino un tipo de resolucin de problemas: laresolucin de problemas de probar.

En el segundo sentido, ms importante, la resolucin de problemasengloba la prueba de teoremas en la resolucin de cada problema enparticular; en efecto, lo que caracteriza la resolucin de problemas enmatemticas, incluso cuando se trata de problemas de encontrar, es que laobtencin del resultado se tiene que acompaarse de un argumento quejustifique que el resultado obtenido verifica las condiciones del problema,esto es, cualquier problema es un problema de probar o, si es de encontrar,contiene un problema de probar el problema de probar que el resultadoencontrado verifica las condiciones del enunciado.

Este hecho ya nos obliga a extender el terreno en que los conceptos seven sometidos a la tensin que los modifica ms all de la prueba deteoremas a la resolucin de problemas. Pero adems an resulta msnecesario hacerlo si tomamos en consideracin otras partes de la resolucinde problemas que no son la prueba de teoremas, en concreto, elplanteamiento de nuevos problemas o el estudio de familias de problemas.

La resolucin de problemas tampoco agota el campo de actividadesmatemticas, ni el de actividades matemticas que generan conceptos. Otrasactividades que son responsables de la creacin de gran parte de losconceptos matemticos tal y como ahora los conocemos tienen que ver conla organizacin de conjuntos ms o menos extensos de resultadosobtenidos en la actividad de resolver problemas y probar teoremas en

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un sistema deductivo. Esa organizacin sistemtica ha adoptado formasdistintas a lo largo de la historia, y puede ser ms local o ms global, ms omenos axiomtica o formalizada, pero en cualquier caso constituye uncomponente esencial de las matemticas, desde que los matemticospasaron de acumular resultados y tcnicas para obtenerlos a escribirelementos. En efecto, aunque aqu no voy a detallar ese conjunto deactividades, un rasgo esencial suyo es que ha transformado el sentido en quese usan las definiciones en las matemticas. En matemticas, una definicinno sirve simplemente para explicar a la gente lo que significa un trmino,sino que, cuando consideramos las actividades matemticas mediante lascuales se organizan sistemas deductivos, las definiciones usando unaexpresin de Freudenthal son eslabones en cadenas deductivas.

El proceso de definir es, entonces, un medio de organizacin deductivade las propiedades de un objeto matemtico, que pone en primer plano lasque se juzga que permiten constituir un sistema deductivo, local o global, enel que ese objeto matemtico est incorporado. Ahora bien, resaltar unaspropiedades como las que definen un concepto no es una operacininocente, neutral con respecto al concepto, ya que, por un lado, hace aparecerese concepto como creado originalmente para organizar los fenmenoscorrespondientes y, por otro lado, hace que el contenido del concepto sea apartir de ese momento lo que se derive de esa definicin en el sistemadeductivo al que se ha incorporado. Por tanto, al igual que sucede al probarteoremas, este proceso de definir crea tambin nuevos conceptos. En elapartado siguiente examinaremos este extremo con respecto al concepto denmero que defini Peano.

3.3. CONSTITUCIN DE OBJETOS MENTALES VS ADQUISICIN DECONCEPTOS.

3.3.1. OBJETOS MENTALES Y CONCEPTOS

En los apartados anteriores he hablado de los conceptos matemticos,de su creacin en una relacin fenmenos / medios de organizacin, de laobjetivacin de los medios de organizacin y su entrada en una relacinfenmenos / medios de organizacin de nivel superior; tambin he habladode las transformaciones de los conceptos como consecuencia de lasactividades matemticas de probar teoremas, resolver problemas, organizaren un sistema deductivo y del proceso de definir. Todo ello acompaado dela afirmacin de que los conceptos matemticos no tienen una existenciaindependiente de la actividad matemtica que los crea. En este apartado voya hacer entrar en escena una nueva idea desarrollada por Freudenthal quenos obligar a volver a pensar lo que he desarrollado hasta aqu: se trata dela idea de objeto mental, contrapuesta a concepto.

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Para m esta idea es importante sobre todo porque a partir de ellaFreudenthal adopta una toma de partido didctica: el objetivo de la accineducativa en el sistema escolar ha de ser bsicamente la constitucin deobjetos mentales y slo en segundo lugar la adquisicin de conceptos ensegundo lugar tanto temporalmente como en orden de importancia. Estatoma de partido es adems particularmente importante para la etapaobligatoria de la escolaridad ya que en ella hay que considerar qu hay queofrecer de las matemticas al conjunto de la poblacin. Pero adems esimportante para el anlisis fenomenolgico de los conceptos matemticos;ms an si ese anlisis es una fenomenologa didctica y se tiene en menteque el anlisis es previo a la organizacin de la enseanza y se realiza conese objetivo. De ese aspecto es del que voy a tratar aqu.

En una primera aproximacin, la contraposicin objeto mental /concepto que plantea Freudenthal puede verse como la consecuencia deconsiderar a las personas que conciben o usan las matemticas frente a lasmatemticas como disciplina o conjunto de saberes histrica, social oculturalmente establecidos. En los apartados anteriores, al hablar de losconceptos matemticos los hemos considerado bsicamente en la disciplinay apenas hemos hecho intervenir a las personas concretas; en todo caso haaparecido su trasunto, el sujeto ideal que realiza acciones con poderessuperiores a los que nosotros tenemos. Podemos partir pues de una imageninicial: la contraposicin objeto mental / concepto es una contraposicinentre lo que est en la cabeza de las personas los objetos mentales y loque est en las matemticas como disciplina los conceptos.

Como ste es el sentido en que Freudenthal usa esos trminos y en elque los voy a usar aqu, conviene advertir antes de continuar que en el usocorriente no suele aparecer el trmino objeto mental. Lo habitual es quetambin se hable del concepto que tiene una persona de nmero o detringulo o de cualquier otra cosa, ya pertenezca a las matemticas o no, oque se use el trmino concepcin en vez de concepto y se hable de laconcepcin que una persona tiene de circunferencia, por ejemplo; pero eneste caso suele quererse subrayar que lo que hay en la mente de esa personaes una parte o una forma de ver el concepto*.

* El trmino concepcin contrapuesto a concepto no slo aparece en el uso cotidiano. Tambines un concepto de la didctica de las matemticas tal como la desarrolla la escuela francesa.Yo no voy a discutir aqu las diferencias entre la contraposicin concepto / objeto mental enFreudenthal y la contraposicin concepto / concepcin en esa teora. Tampoco sus diferenciascon la contraposicin concepto / imagen del concepto teorizada inicialmente por Vinner.Aunque las tres parezca que se refieren al mismo asunto, al estar enmarcadas en teorasdiferentes no slo lo explican de forma distinta sino que hablan de cosas distintas.

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El concepto de perro no puede ladrar. Los alumnos a los que se intentinculcar en la poca de las llamadas matemticas modernas el concepto denmero en una versin escolar de la construccin cantoriana de loscardinales hubieran salido de la escuela sin poder numerar, si nohubieran constituido un objeto mental de nmero al margen de lo que losprogramas oficiales queran que se les enseara. Usar como ejemplo eseconcepto complejo y mltiple para mostrar la diferencia entre objeto mentaly concepto, describindola en trminos semiticos en vez de como lo haceFreudenthal.

Si consideramos la actividad mundana de las personas y no slo lasactividades matemticas de los matemticos o las actividades escolares delos alumnos en las clases de matemticas, el nmero o, mejor, los nmerosse usan en contextos muy diversos. Una lista de esos contextos puede incluirlos contextos de secuencia, recuento, cardinal, ordinal, medida, etiqueta,guarismo escrito, mgico, clculo. La descripcin de las caractersticas de cadauno de los contextos no es mi objeto aqu: me interesa slo mencionar lalista para mostrar que es posible distinguir una buena cantidad de ellos. Loque me importa es explorar el significado que el nmero adopta en cada unode esos contextos. Siguiendo por un momento a Wittgenstein, entender elsignificado constituido por el uso que se hace de un trmino, siendo el usono un uso arbitrario, el producto de lo que a una persona le venga en ganahacer con el trmino en cuestin, sino una prctica sometida a reglas.

Los usos de los nmeros en cada uno de esos contextos siguen reglasdistintas: as, por ejemplo, cuando se dice mi nmero de telfono es tres,ochenta y seis, cuarenta y cuatro, ochenta y seis, el nmero se refiere a unobjeto y no describe ninguna propiedad suya ni de su relacin con otros,sino que sirve para identificarlo se es el contexto de etiqueta, y en l,cuando la expresin es oral, las cifras que componen el nmero suelenexpresarse aisladamente o en bloques de dos, como en el ejemplo que hereferido; en un contexto ordinal, el nmero se refiere a un objeto que esten un conjunto ordenado de objetos y describe qu lugar ocupa lleg eltercero o es el que hace tres; en un contexto cardinal, el nmero serefiere a un conjunto de objetos (sin orden o cuyo orden no se toma enconsideracin) y describe la numerosidad del conjunto hay tres; etc.

La totalidad de los usos de los nmeros en todos los contextosconstituye el campo semntico de nmero, el significado enciclopdico denmero. La identificacin del contexto en que el nmero se est usandopermite a quien lee el texto, o recibe el mensaje, atenerse a la restriccinsemntica que establece el contexto y poder interpretarlo as de formaafortunada. Ahora bien, el sujeto que lee un texto o ha de interpretar unmensaje no opera en el conjunto de la enciclopedia es decir, la totalidad

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de los usos producidos en una cultura o una episteme sino en su camposemntico personal, que ha ido elaborando produciendo sentido sentidosque se convierten en significados si la interpretacin es afortunada ensituaciones o contextos que le exigan nuevos usos para nmero o losnmeros.

Lo que Freudenthal llama objeto mental nmero se corresponde enmi descripcin semitica a este campo semntico personal. La toma departido didctica de Freudenthal por la constitucin de objetos mentales esque la intencin de los sistemas educativos tendra que ser, expresada en lostrminos que estamos usando, que el campo semntico personal de losalumnos sea lo suficientemente rico abarque suficientemente laenciclopedia como para permitirle interpretar de forma afortunada todaslas situaciones en las que haya de usar nmero o los nmeros.

Los contextos de uso mundano de los nmeros son los distintoslugares en que podemos experimentar los fenmenos que han sidoorganizados mediante el concepto de nmero, tanto los fenmenos para losque originalmente se cre como otros a los que se encuentra extendido en laactualidad. La idea de objeto mental que acabamos de introducir hay queverla tambin pues como un medio de organizacin de fenmenos: con elobjeto mental nmero las personas son capaces, entre otras cosas, denumerar. Los objetos mentales se constituyen en cadenas fenmenos /medios de organizacin, de la misma manera que sucede con los conceptos,con el consiguiente aumento de nivel de hecho, los contextos de usomundano de los nmeros que he mencionado se sitan en los niveles msbajos, y, para dar cuenta de la riqueza fenomenolgica del nmero en lasecundaria, hay que tomar en consideracin otros contextos, entre elloscontextos ya matematizados.

sta es mi explicacin inicial de lo que es un objeto mental y cmo seconstituye, pero esto que Freudenthal llama objeto mental poda habersedenominado simplemente el concepto que una persona tiene de nmero.Para justificar la introduccin de un trmino que lo distinga hace faltaexplicar para qu otra cosa se reserva el trmino de concepto y en qu sedistingue de lo que acabamos de denominar objeto mental. Ya he dichoque la primera distincin es que los objetos mentales estn en la mente delas personas y los conceptos estn en las matemticas. Pero esto apenas serarazn suficiente para contraponer objeto mental a concepto si pensramosque el objeto mental es el reflejo del concepto en la mente de las personas.La relacin entre objeto mental y concepto no es sin embargo una relacinespecular. Lo explicar de nuevo en trminos semiticos.

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El objeto mental nmero lo he identificado con el campo semnticopersonal y ste proviene de todos los usos de los nmeros en todos loscontextos en que stos se usan, de un campo semntico formado por todoslos significados culturalmente establecidos. Los conceptos matemticos denmero natural y uso el plural para poner de relieve que considero comoconceptos distintos los elaborados por Peano, Cantor o Benacerraf, porejemplo tal como estn en las matemticas actuales son el producto deuna larga historia, cuyos procesos de creacin y modificacin de conceptos yahe examinado en los apartados anteriores. Desde la descripcin semiticaque estoy usando ahora, cualquier concepto matemtico de nmero quequiera examinarse una vez ya creado aparece como resultado del proceso dedefinir que lo ha incorporado a un sistema organizado deductivamentecomo un recorte del campo semntico. As, por ejemplo, el concepto denmero natural elaborado por Peano sobre todo en sus versiones msmodernas puede verse como el desmenuzamiento del significado propiodel contexto de secuencia y su presentacin en forma de una serie deaxiomas, que dan cuenta exhaustiva de sus componentes. El concepto denmero natural que se deriva de la construccin cantoriana, por su parte, seadscribe, desde el propio nombre que le dio Cantor en su intencin original,al contexto cardinal.

Los conceptos aparecen en esta explicacin relacionados directamentecon una parte del objeto mental, ya que en el proceso de definir se haseleccionado parte del significado que abarca el objeto mental. De inmediatosealar que sa no es la nica diferencia y que la relacin entre objetomental y concepto no quiero dar a entender que sea una relacin entre unaparte del contenido del objeto mental y la totalidad de su contenido. Peroantes de ello quiero indicar que lo que esta explicacin establece fundamentala toma de partido de Freudenthal que he mencionado al comienzo de esteapartado: la adquisicin del concepto es un objetivo educativo secundario,que puede posponerse a una slida constitucin de los objetos mentales, y,en todo caso, es posterior a sta.

La relacin entre objeto mental y concepto es ms compleja de lo quemuestra la explicacin que acabo de dar usando el ejemplo de nmero,porque mi explicacin se ha limitado a comparar el despliegue del camposemntico de nmero y la definicin de Peano, como si no hubiera toda unahistoria de siglos que ha producido tanto los contextos de uso que ya noslos vamos a encontrar con huellas de su organizacin por conceptos denmero como la definicin de Peano. Tomando en cuenta lo que ya heexpuesto de la naturaleza de los procesos de creacin y modificacin deconceptos que hay presentes en esa historia, la relacin entre el objetomental que puede constituirse a partir de los contextos mencionados y el

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contenido del concepto de nmero creado por la definicin de Peano no sereduce a una relacin parte / todo.

Constituir un objeto mental conlleva poder dar cuenta con l de todoslos usos en todos los contextos o poder organizar todos los fenmenoscorrespondientes, entonces el objeto mental est bien constituido. Elobjetivo de los sistemas educativos que marca Freudenthal es estaconstitucin de buenos objetos mentales. Adquirir el concepto implicaexaminar cmo ha sido establecido en las matemticas organizado local oglobalmente en un sistema deductivo. La relacin particular que cadaconcepto matemtico tiene con el objeto mental correspondiente determinacmo se relaciona la constitucin del objeto mental con la adquisicin delconcepto. Los constituyentes del objeto mental bueno se determinan graciasal anlisis fenomenolgico del concepto correspondiente.

3.3.2 OBJETOS MENTALES Y CONCEPTOS EN LA HISTORIA DE LAS MATEMTICAS

El anlisis que nos ha conducido a distinguir entre objeto mental yconcepto es un anlisis didctico. Esto es, en el anlisis tenemos presenteque lo que nos interesa es examinar las matemticas, sus conceptos y susestructuras, en la medida en que hay personas que quieren aprenderlas y hayun sistema, el sistema escolar, que quiere ensear contenidos social yculturalmente establecidos. Por ello, hemos de tener presentes, por un lado,los conocimientos que los alumnos elaboran los objetos mentales y, porotro, los contenidos social y culturalmente establecidos que son losconocimientos a los que queremos que los alumnos accedan losconceptos. La contraposicin objetos mentales / conceptos la estamosexaminando en el sistema educativo. Los objetos mentales los he situado enla mente de las personas porque son lo que stas elaboran a partir de suexperiencia, como medios de organizacin que le permiten dar cuenta deella, y lo que les da poder sobre ella. Los conceptos los he estado situando enlas matemticas como disciplina, pero tambin son medios de organizacinde fenmenos y como tales los estamos tratando. Lo que sucede en elsistema escolar es que para los alumnos los conceptos preexisten a suexperiencia con los fenmenos correspondientes y lo que el sistema quierees que los alumnos constituyan un objeto mental como medio deorganizacin de esos fenmenos y que tengan acceso a los medios deorganizacin que la historia nos ha legado como medios valiosos deorganizacin de esos fenmenos, es decir, a los conceptos.

Ahora bien, en la historia los conceptos matemticos no son algo quepreexista a nuestra experiencia, sino que es la actividad matemtica la quelos crea y la actividad matemtica no es otra cosa que la actividad de losmatemticos. En ese sentido, los conceptos matemticos, vistos ahora en la

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historia, no son sino cristalizaciones de objetos mentales. Incluso puededarse el caso, como seala Freudenthal, de que los matemticos trabajendurante mucho tiempo con un objeto mental sin convertirlo en concepto:es lo que sucedi con la continuidad. Qu quiere decir aqu convertir unobjeto mental en un concepto? No estoy distinguiendo de la mismamanera objeto mental de concepto ahora que cuando he examinado esadistincin como se presenta en el sistema escolar. Aqu no estoy hablandode aprender algo que ya est establecido en las matemticas y que, por tanto,preexiste a nuestra experiencia, sino de la creacin de nuevos conceptosmatemticos. Lo que ahora pongo de relieve es que uno de los procesos quecrean nuevos conceptos matemticos es el anlisis de los objetos mentalesque los matemticos estn usando como medios de organizacin defenmenos con el fin de definirlos conceptualmente, es decir, incorporarlosal sistema de las matemticas. La actividad matemtica produce puesconceptos a partir de objetos mentales. Lakatos seala algo parecido en elrelato que narra en Pruebas y refutaciones cuando en uno de sus episodiosdice que poliedro an no est definido, pero que se supone una familiaridadcon el concepto.

Los asaltos al concepto por sucesivos contraejemplos producidos comoconsecuencia de la prueba de teoremas y las formas de modificar el conceptoestudiadas por Lakatos de las que ya he hablado, tambin los podemostrasladar ahora al proceso por el cual un objeto mental se analiza y se perfilacreando un concepto. A menudo entre el objeto mental y el concepto creadoa partir de l se producen desajustes. Entonces uno puede admitir que suobjeto mental no estaba tan bien constituido como pensaba y modificarlo ointentar una revisin de la definicin conceptual.

Freudenthal seala el caso de la continuidad como ejemplo de esedesajuste, de esa distancia entre el objeto mental y el concepto creado a partirde l. Tan pronto se dio la primera definicin explcita de continuidad, elobjeto mental continuidad fue asaltado por numerosos ejemplos, que ahoraeran ejemplos de funciones continuas de acuerdo con la definicin, peroque nunca haban sido pensadas como tales con anterioridad no eranejemplos del objeto mental. Sin embargo, las nuevas generaciones dematemticos dice Freudenthal se acostumbran pronto a esas nuevasfunciones continuas aberrantes: educados por la definicin de continuidad,por el concepto de continuidad, revisan su objeto mental primitivo. Ahorabien, ese objeto mental primitivo fue indispensable para el desarrollo de lasmatemticas, y no ha sido substituido simplemente por el concepto, sinopor un nuevo objeto mental que contiene al concepto creado por ladefinicin, o que es compatible con l, al menos provisionalmente.

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3.3.3. DE LOS FENMENOS A LOS OBJETOS MENTALES Y A LOS CONCEPTOS ATRAVS DE LA ENSEANZA.

Entre los objetos mentales y los conceptos la relacin es variada.Ambos se constituyen como medios de organizacin de fenmenos, losobjetos mentales preceden a los conceptos y stos no substituyen a losprimeros sino que contribuyen a la formacin de nuevos objetos mentalesque los contienen o con los que son compatibles.

La distancia entre el objeto mental o, mejor, el primer objeto mental yel concepto puede ser un abismo: es el caso del objeto mental curva y elconcepto de curva de Jordan, por ejemplo. En general, en la topologa losobjetos mentales no conducen muy lejos y es preciso formar conceptos yadems mediante una formacin de conceptos que involucra ms que unaorganizacin local. Esos conceptos, entran en un campo de fenmenos queson organizados en un nivel ms elevado por objetos mentales comoespacios y variedades de dimensin arbitraria, que a su vez son convertidosen conceptos mediante nuevos procesos de organizacin y la creacin desistemas de signos ms abstractos para describirlos. Como muestra esteejemplo, tras introducir la idea de objeto mental, el proceso de ascensoprogresivo a travs de la cadena de pares fenmenos / medios deorganizacin se engarza con un proceso de transformacin de objetosmentales en conceptos.

En otros dominios de las matemticas, por el contrario, se puedeavanzar mucho sin conceptos: es el caso de la geometra elemental en la quelos objetos mentales son suficientes para organizar gran cantidad defenmenos. Aqu, adems, la formacin de conceptos puede hacerse conorganizaciones locales en las que se resuelvan las distancias entre los objetosmentales y los conceptos. Es el caso, por ejemplo, de rectngulo, cuyo primerobjeto mental, es decir, el constituido a partir de las experiencias queorganiza no es razonable que contenga a cuadrado, pero que basta unaorganizacin local para que su concepto y su nuevo objeto mentalmodificado por el concepto pueda contenerlo sin conflicto.

Sin embargo, tambin hay en la geometra ejemplos de distancia entreel objeto mental y el concepto: es el caso de los conceptos elementales depunto, lnea y superficie, que parecen estar muy cerca de objetos del mundofsico. Algunos objetos del mundo fsico, en efecto, sugieren los objetosmentales: una mota o una marca hecha con un objeto punzante, un hilotenso, una hoja de papel sugieren, respectivamente, que no se puede dividirms, que el ancho no tiene importancia con respecto al largo o que el gruesono la tiene respecto del largo y el ancho. Luego hay que perfilar esos objetosmentales para convertirlos en los conceptos que estan expresados en las

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definiciones con las que Euclides encabeza el libro primero de losElementos :

Un punto es lo que no tiene partes.

Una lnea es una longitud sin anchura.

Una superficie es lo que slo tiene longitud y anchura.

Freudenthal seala que desde el punto de vista del desarrollocognitivo, el camino no va de una dimensin a tres, sino ms bien alcontrario: se tiene experiencia de las superficies como superficie de uncuerpo. Ahora bien, las fuentes fenomenolgicas de la lnea son tanto elcorrespondiente paso de tres dimensiones a dos, esto es, experimentar laslneas como bordes de superficies, como otras tales como flechas, hilos,caminos y cortes. En esta diferencia entre las fuentes fenomenolgicas conlas que se constituye los objetos mentales correspondientes y la presentacinde los conceptos dados por sus definiciones eucldeas ya reside la distanciaentre objetos mentales y conceptos en este caso. Pero esta distancia se tornaan mayor si nos fijamos en el objeto mental involucrado en el paso de unoa otro de stos, es decir, en la dimensin. La transformacin de la dimensinen un concepto se hace en topologa; en ella aparece una distancia entre elobjeto mental y el concepto que no slo es tremenda, sino adems de untipo nuevo, producida por el hecho de que propiedades que desde el objetomental son evidentes se tornan extremadamente difciles de probar como,por ejemplo, que el producto cartesiano de n segmentos es n -dimensional.

La apotesis de la distancia entre el objeto mental y el concepto dedimensin llega cuando se crean nuevos objetos que obligan a hablar dedimensiones fraccionarias.

Los anlisis de fenomenologa didctica han de sustentarse en anlisisde pura fenomenologa teniendo presente que en muchos ms casos de losque uno puede imaginar la distancia entre el objeto mental y el concepto estan grande que no se pueden tender puentes entre uno y otro por mediosdidcticos en la escuela secundaria.

Para la constitucin de objetos mentales a travs de la enseanzateniendo los conceptos presentes, la distancia entre ellos y las distintasformas que adopta esa distancia tienen entonces importancia. Adems de losejemplos que acabo de mostrar, vale la pena mencionar otros casos como lossiguientes:

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En ocasiones, hay componentes esenciales para la formacin delconcepto que no son pertinentes para la constitucin del objeto mental. Es elcaso del nmero cardinal: la comparacin de conjuntos sin estructura esesencial para el concepto, pero apenas desempea papel alguno para laconstitucin del objeto mental porque, en las situaciones reales en que unapersona experimenta el fenmeno que se organiza con el objeto mentalnmero en su significado cardinal, los conjuntos de objetos rara vez carecende estructura y, adems, la estructura es un medio para realizar lacomparacin, en vez de algo que hay que eliminar para hacerla.

En ocasiones, lo que muestra una fenomenologa didctica es quelos fenmenos organizados por el concepto son tan variados que seconstituyen de hecho objetos mentales diferentes segn el campo defenmenos que se elija para explorar en la enseanza, o varios objetosmentales si se exploran varios tipos de fenmenos. Para la adquisicin delconcepto es preciso integrar entonces esos distintos objetos mentales en unnico objeto mental. ste es el caso, por ejemplo, del concepto de rea.

Longitudes, reas y volmenes son las magnitudes que se miden en lageometra elemental. Hace falta por tanto que se adquieran esos conceptoscomo parte del aprendizaje de la medida y la medicin. La comparacinentre cualidades de objetos es el comienzo de la actividad de medicin. stase convierte en medida por el intermedio del establecimiento de unaunidad y la consideracin de los objetos que se tratan como objetos de losque se puede predicar esa cualidad por ejemplo, se les puede predicar lalongitud si tiene sentido decir de ellos que son largos.

Ahora bien, longitud, rea y volumen, como conceptos, sonproblemticos por la variedad de enfoques para la constitucin del objetomental rea (o volumen). En efecto, las figuras planas se pueden compararcon respecto al rea directamente, si una es parte de otra, o indirectamente,despues de transformaciones de cortar y pegar, congruencias y otrasaplicaciones que preservan el rea; o bien midindolas ambas. La medidapuede hacerse cubriendo la figura con unidades de rea, o medianteaproximaciones interiores y exteriores; para lo cual se usa la aditividad delrea bajo la composicin de figuras planas que son mutuamente disjuntas,salvo sus fronteras (de dimensin uno), o la convergencia de las reas poraproximacin. No est claro que estos enfoques conduzcan al mismoresultado, y, de hecho, la prueba de que el resultado de la medicinsiguiendo todos esos procedimientos es la misma no es simple. Laconstitucin del objeto mental volumen tiene adems la complicacinadicional de considerar los fenmenos correspondientes a la capacidad, que,usualmente, se miden con unidades distintas.

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En ocasiones, incluso es difcil distinguir el objeto mental delconcepto. Al menos si se quiere tener un objeto mental unitario: slomediante el acceso al concepto es posible unificar un conjunto heterogneode objetos mentales. ste es el caso del concepto de funcin. (Ver las notassobre una fenomenologa y una fenomenologa histrica del concepto defuncin expuestas en 3.4.9.)

Finalmente, hay objetos mentales cuyo campo de fenmenos slo sepresenta en un contexto matemtico o matematizado. Un ejemplo de elloen la Educacin Secundaria lo proporcionan los conceptos de la geometraanaltica.

En efecto, en la historia, la localizacin global utilizando coordenadasconduce a la algebrizacin de la geometra. Mientras que el sistema decoordenadas polares utilizado para describir la bveda celeste y la superficieterrestre ha servido para sistematizar la localizacin, el sistema decoordenadas cartesianas resulta particularmente eficaz para describir figurasgeomtricas y movimientos mecnicos y, ms adelante, funciones engeneral. Una figura se traduce algebraicamente en una relacin entrecoordenadas, un movimiento en una funcin que depende del tiempo yuna aplicacin geomtrica en un sistema de funciones de un cierto nmerode variables.

Los fenmenos que son propios de la geometra analtica son puesfenmenos producidos por la expresin de las propiedades geomtricas en elcomplejo sistema de signos en que las expresiones algebraicas y larepresentacin cartesiana se refieren mutuamente. Son, por tanto,fenmenos que slo pueden explorarse en contextos matematizadospreviamente mediante el uso de esos sistemas de signos.

3.4. NOTAS PARA UNA FENOMENOLOGA DE LOS CONCEPTOSMATEMTICOS DE LA EDUCACIN SECUNDARIA.

3.4.1. NMERO.

Usar el singular en el caso del concepto de nmero es errneo. No slohay conceptos distintos de nmero por la calificacin que lleven (naturales,enteros, racionales, reales), sino que estrictamente hablando son conceptosdistintos de nmero (natural) los elaborados, por ejemplo, por Cantor,Peano, Frege o Benacerraf. Ahora bien, la profusin del uso civil de losnmeros en mltiples contextos, el encuentro de los nios con estoscontextos y estos usos desde la ms temprana edad y la referencia desde ellenguaje natural como nmero a todos ellos obliga a una fenomenologadidctica a considerar la constitucin de un objeto mental que integra otros

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objetos mentales adecuados para dar cuenta de cada uno de los usos denmero en cada uno de los contextos.

La exploracin fenomenolgica por parte de los alumnos que conducea este objeto mental se ha iniciado fuera de la escuela y se ha proseguido a lolargo de la etapa de Primaria. Para introducir los anlisis fenomenolgicosque son pertinentes para la etapa de Secundaria hay que hacer referencia,aunque sea sucintamente, a esos primeros fenmenos y estudiar lasextensiones y modificaciones de significado que producen los nuevosfenmenos con que se enfrentan los alumnos en esta etapa.

Como ya hemos mencionado en el apartado anterior, el objeto mentalnmero se constituye para organizar fenmenos de naturaleza diversa,cuyas caractersticas pueden describirse fijndose en cules son los objetos alos que los nmeros se refieren (objetos individuales, conjuntos, palabras,los propios nmeros), si los objetos son discretos o continuos, si estnpreviamente ordenados o no, de qu naturaleza son las unidades y qu es loque describe el nmero de esos objetos a los que se refiere. Las distintasposibilidades que tienen esas caractersticas pueden clasificarse en trminosde contextos de uso de los nmeros, siendo una clasificacin bastantecomn, la que considera los contextos cardinal, ordinal, de medida, desecuencia, de recuento, de etiqueta, mgico, de lectura de guarismos. Elconjunto de todos los usos en todos los contextos compone el camposemntico de nmero y los que una persona concreta ha experimentadocontribuyen a la constitucin de su objeto mental nmero. La adquisicinde los conceptos de nmero ahora en plural slo puede hacerse a partirde buenos objetos mentales, mediante recortes de ese campo semntico.

Lo que importa para la Secundaria es que este proceso de constitucinde objetos mentales no puede decirse que culmina en un determinadomomento con la constitucin de un objeto mental inmutable, tras el cual setratar de constituir otros objetos mentales. As, por ejemplo, el uso denmeros negativos modifica significados del contexto ordinal y desecuencia, y las expresiones decimales lo hacen en el contexto de medida.

Adems hay que tener en cuenta que en el nivel de la secundaria losnmeros no slo se usan en los contextos que hemos sealado, que soncontextos de uso de los nmeros de nivel bajo, sino que tambin se usan enotros contextos matematizados. Las extensiones del significado de losnmeros tienen su apotesis en lo que podemos llamar el acceso algebraicoal concepto de nmero. Este acceso se realiza tomando como fenmenos quehay que organizar las propias operaciones aritmticas y construye unconcepto de nmero de nivel ms elevado y de estilo muy distinto de todoslos que se generan a partir de los contextos anteriores. Es nmero aquello

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con lo que pueden realizarse las operaciones aritmticas. Este nuevoconcepto de nmero est presente en la historia haciendo posible laconsideracin como nmeros legtimos de todos los nmeros que cuando sehan usado anteriormente se han calificado de ajenos al (verdadero)concepto de nmero, y se les ha puesto nombre de acuerdo con estaexclusin (imaginarios, falsos). La extensin de las operaciones de laaritmtica a objetos no considerados como nmeros con el fin deconvertirlos en tales est presente ya en la obra de algebristas rabes del sigloXI como al-Karaji que tratan los objetos del lgebra explcitamente comonmeros, y forma parte, por ejemplo, de los esfuerzos de Cantor paraconvencer a sus contemporneos de que los nmeros transfinitos que habacreado podan realmente calificarse de nmeros.

3.4.2. OPERACIONES ARITMTICAS.

Lo dicho para numero es tambin aplicable para cada una de lasoperaciones aritmticas. As, la adicin y la substraccin como objetosmentales combinan los significados derivados de las acciones de seguircontando, unir conjuntos y yuxtaponer magnitudes en un campo semnticoen que esos significados se han integrado gracias a las correspondenciasentre ellos que proporcionan artefactos didcticos como, por ejemplo, larecta numrica. Multiplicacin y divisin tienen una riqueza an mayor designificados. Ms que en el caso de nmero, los significados de lasoperaciones se ven afectados por la experiencia de nuevos fenmenos ytipos de nmeros. As, por ejemplo, es preciso extender el significado denmero de veces si se quiere dar sentido a la multiplicacin de fracciones ode nmeros decimales. Por otro lado, en los contextos ms matematizadosla extensin de las operaciones se concibe como extensin algebraica.

3.4.3. RAZN Y PROPORCIN.

La razn es una funcin de un par ordenado de nmeros o de valoresde una magnitud. Las operaciones aritmticas elementales tambin lo son,pero en ellas lo que importa es el valor que la funcin asigna a cada par yste puede obtenerse por procedimientos algortmicos. Ahora bien, si unarazn se lee como el valor que se obtiene al efectuar la divisincorrespondiente, la razn desaparece. El significado de razn no reside en elproceso por el que se le asigna un valor, sino en la posibilidad de hablar deigualdad (o desigualdad) de razones, sin conocer el tamao de la razn. Elsignificado de razn viene de poder decir con sentido a es a b como c es ad, sin anticipar que a es a b se puede reducir a un nmero que es elmismo al que se puede reducir c es a d.

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El estatuto lgico de la razn desde el punto de vista fenomenolgicoha de describirse entonces en trminos de la relacin de equivalencia tenerla misma razn. ste es de hecho tambin el que le dio Euclides, ya que enel libro V de los Elementos , definicin 5, lo que realmente define no esrazn, sino tener la misma razn. El estatuto lgico de la razn es pues,desde este punto de vista, de un nivel ms elevado que el de nmero,fracciones, longitudes y otros conceptos con los que los alumnos se hantropezado previamente en su escolaridad. El sentido en que calificamos elnivel de ms elevado es el que le da el provenir de una relacin deequivalencia: lo que organiza es una propiedad intensiva y no unapropiedad extensiva de objetos o conjuntos de objetos.

La variedad de propiedades intensivas de objetos organizados por larazn es enorme. Aqu slo sealaremos una gran divisin que es precisotomar en cuenta en la enseanza: la razn puede ser una relacin en unamagnitud o entre magnitudes. La situacin se puede esquematizar as:

Hay dos espacios de medida o magnitudes y una aplicacin linealentre ellos. La razn en una de las magnitudes es interna; entre las dosmagnitudes, externa. Una proporcin conlleva una funcin lineal entre losespacios de medida. El que sea lineal significa que las razones internas soninvariantes bajo la funcin y que las razones externas entre elementos quela funcin hace corresponder es constante. La linealidad viene dada respectode las razones internas implcitamente en tiempos iguales se recorrenespacios iguales, y respecto de las razones externas, explcitamente

f(x)=x, para todo x.

Una fenomenologa didctica muestra, por otra parte, que en el caminohacia la constitucin del objeto mental razn y proporcin desempean unpapel importante objetos mentales precursores del objeto mental de razn yproporcin. Aqu slo sealo que un buen nmero de ellos tienen carctercualitativo y que involucran comparaciones de razones como el contexto enel que se le puede dar sentido a la igualdad de razones, es decir, a laproporcin. Entre ellos me parece particularmente importante lo queFreudenthal llama el objeto mental relativamente. Este objeto mental esel que permite decir con sentido, por ejemplo, que un chocolate es msdulce que otro porque contiene relativamente ms azcar, y eserelativamente se refiere a un criterio de comparacin que puede estarimplcito o explcito el peso, por ejemplo.

El objeto mental relativamente se constituye en la enseanza graciasa

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Entender que las ordenaciones pueden relativizarse (relativamentemayor, menor, ms, menos).

Entender relativamente en el sentido de en relacin con, conel criterio de comparacin en el lugar de los puntos suspensivos.

Usar con sentido relativamente y en relacin con.

Completar relativamente y en relacin con en un contexto.

Conocer operativamente lo que relativamente y en relacincon significan.

Explicar lo que relativamente y en relacin con significan.

3.4.4. EL LGEBRA DEL CURRCULO DE SECUNDARIA Y EL PUNTO DE VISTAFENOMENOLGICO.

El lgebra moderna organiza fenmenos que tienen que ver con laspropiedades estructurales de conjuntos de objetos arbitrarios en los que haydefinidas operaciones. Esas propiedades y esos objetos provienen de laobjetivacin de medios de organizacin de otros fenmenos de nivel msbajo y son el producto de una larga historia con sucesivos ascensos de nivel.

Una manera de recorrer la historia consiste en situarse en el siglo IX enel momento en que al-Khwarizmi escribe el Libro conciso de al-jabr y al-muqabala y tomar ese acontecimiento como nacimiento del lgebra en tantodisciplina claramente identificada entre las matemticas. Lo que hace al-Khwarizmi, que lo separa de todos los trabajos que desde el suyo se verncomo lgebra, es comenzar estableciendo todos los tipos de nmeros queson necesarios para los clculos tesoros, races y simples nmeros odirhams, en su terminologa, a continuacin todas las combinacionesposibles de esos tipos seis tipos: tesoros ms races igual a nmeros,etc. y luego un algoritmo para resolver cada uno de los tipos hallar sutesoro o su raz. Cada uno de los tipos es una forma cannica a la que sepuede reducir cualquier problema por el intermedio de su traduccin entrminos de cosas, tesoros, races y dirhams. Lo que es nuevo en al-Khwarizmi no son pues los mtodos de resolucin, sino el establecimientode un conjunto completo de formas cannicas todas ellas resolubles y laorganizacin posterior de la aplicacin a los problemas cuyas soluciones seorganizan por esas formas cannicas.

El siguiente salto de nivel lo da Galois al dejar de buscar nuevassoluciones para estudiar las condiciones de resolubilidad de las ecuaciones.Y el resto de la historia hasta el lgebra moderna actual puede verse tambin

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como sucesivos saltos de nivel por objetivacin de los medios deorganizacin de fenmenos del nivel anterior.

Sin embargo, esta fenomenologa histrica apenas es pertinente para ellgebra del currculo actual de secundaria, en el que ha desaparecido todovestigio del lgebra moderna que se introdujo en los aos setenta. Al estarconsiderada en su aspecto de lenguaje, la fenomenologa que es pertinentedesde el punto de vista didctico resulta ser un anlisis de los rasgos dellenguaje natural y los sistemas de signos de la aritmtica escolar, en cuyocontexto y a partir de los cuales han de adquirir los alumnos el nuevolenguaje del lgebra. Para realizar ese anlisis Freudenthal recorre lospuntos siguientes en el texto que se indica en el apndice:

Reglas de transformacin (en el lenguaje natural).

Lenguaje aritmtico.

Lenguaje como accin.

Formalizar como un medio y como un objetivo.

Construccin algortmica de los nombres propios.

Reglas de puntuacin.

Variables en el lenguaje vernculo.

Variables en el lenguaje de las matemticas.

El signo igual.

Estrategias y tcticas algebraicas

Substitucin formal.

El principio de permanencia algebraico.

Traduccin algebraica.

El lgebra lineal, por su parte, est planteada como una herramientaaplicada. El punto de vista fenomenolgico no consiste en este caso tampocoen buscar en la historia los fenmenos que dieron origen a lo que hoyentendemos por lgebra lineal. Lo que se trata aqu es de considerar lasaplicaciones como un terreno en el que hay fenmenos que el lgebra linealpuede organizar y buscar el significado de los conceptos del lgebra lineal en

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ese mundo particular de fenmenos. As, la operacin de producto dematrices se puede dotar de sentido a travs de su aplicacin a matrices deconectividad de grafos y usarse despus en otros contextos de aplicacin enel plano de la expresin sin recurso al contenido.

3.4.5. OBJETOS GEOMTRICOS. FIGURAS Y DIBUJOS.

El espacio como objeto mental y como concepto matemtico no est enel punto de partida de la geometra, sino que es el producto de un largoproceso de elaboracin. Como dice Freudenthal, los objetos geomtricos,como conceptos, estn en el espacio, pero los objetos mentalescorrespondientes a esos conceptos, estn en un contexto geomtrico. Dedonde se parte, en la historia y en la historia de cada persona no es defenmenos experimentables slo en un nivel ya matematizado que seorganizan con el concepto de espacio, ni tampoco de contextos geomtricos,sino es de otros fenmenos y otros contextos.

Los fenmenos organizados inicialmente son formas y configuracionesque se encuentran en un contexto visual contornos y lneas de visin,ligados muy pronto a la propia fabricacin humana, que produce formasgeomtricas. Los objetos geomtricos, como conceptos, se elaboran a partirde los objetos mentales constituidos como medios de organizacin de lasfiguras geomtricas observadas o trazadas en la tierra, para lo que susdefiniciones han de desprenderse de las propiedades sensibles de esas figurasque pretenden organizar. As Euclides se fuerza a definir, un punto es loque no tiene partes, una lnea es una longitud sin anchura, conpropiedades que indican carencias, desprendimientos, creando un conceptoque se separa del objeto mental que organiza los fenmenoscorrespondientes. Por ello, a partir de entonces lo que se puede hacer con lasfiguras o lo que se vea en ellas tendr que ser sometido a anlisis para poderaceptarse para los objetos geomtricos, porque si se traza en el suelo o en unpapel una circunferencia y una recta tangente a ella, en el dibujo no secortan en un punto sino en toda una longitud, como argumentabaProtgoras contra los matemticos de su poca, mostrando la distancia entreel concepto construido por Euclides y el objeto mental primitivo. Pero lasfiguras geomtricas trazadas en el papel, los dibujos geomtricos, se usan asu vez para representar los objetos geomtricos.

Esta relacin entre figura, dibujo y objeto geomtrico est presente en laconstitucin de los objetos mentales correspondientes y en la ulterioradquisicin de los conceptos. Un buen objeto mental tendr que llevarincorporado el anlisis de la figura en sus elementos y las relaciones entreellos.

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Adems, las relaciones entre el dibujo y el objeto geomtrico son mscomplejas porque el paso del dibujo al objeto geomtrico es el resultado deuna interpretacin por un sujeto humano. De ello se deduce que un dibujogeomtrico no es necesariamente interpretado por su lector como algo quele remita a un objeto geomtrico, y, por otra parte, que las interpretacionesde un mismo dibujo en tanto que signo o, mejor dicho, expresin de la queun objeto geomtrico es el contenido son mltiples por dos razones: laprimera consiste en que las interpretaciones dependen del lector y de susconocimientos as como del contexto; la segunda tiene que ver con lanaturaleza misma del dibujo, que por s solo no puede caracterizar un objetogeomtrico. Un dibujo remite a los objetos tericos de la geometra en lamedida en que el que lo lee decide hacerlo: la interpretacin evidentementedepende de la teora con la que el lector elige leer el dibujo, as como de losconocimientos de dicho lector. El contexto desempea un papelfundamental en la eleccin del tipo de interpretacin. Para el aprendizaje dela geometra hay que situar pues los dibujos en contextos geomtricos.Adems, estas relaciones entre el dibujo y el objeto geomtrico no puedenser aprendidas si no media su enseanza.

Una manera de abordar este asunto es la propuesta por ColetteLaborde* en el contexto del Cabri-gemetra. En esa propuesta se plantea a losalumnos las dos caras de la relacin entre los dibujos y los objetosgeomtricos:

situaciones problema que traten de dibujos, en las que la geometrasea una herramienta eficaz de modelizacin y de solucin; porejemplo, en las que permita hacer dibujos que satisfaganrestricciones dadas, de manera menos costosa que el tanteocontrolado por la percepcin y que la geometra garantice lacorreccin del resultado: por ejemplo, la geometra nos asegura latangencia de una recta a un crculo cuando es perpendicular al radio.

situaciones en geometra en las que el recurso al dibujo y laexperimentacin con l eviten perderse en soluciones tericasdemasiado largas.

Por otro lado, la consideracin de un entorno informtico como es elCabri-gemetra modifica las relaciones entre dibujo y objeto geomtrico,cuyo anlisis acabamos de esbozar. En efecto, los dibujos realizados con elCabri en la pantalla del ordenador, los Cabri-dibujos, se comportan demanera diferente a los dibujos realizados con lpiz en un papel, ya que no se

* Vase Laborde, C. 1996. Cabri-gemetra o una nueva relacin con la geometra. En Puig, L. yCaldern, J., eds. Investigacin y didctica de las matemticas. Madrid: CIDE, pgs. 67-85.

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trazan a mano, sino que se definen mediante las primitivas del programa,que se corresponden siempre con propiedades geomtricas. La modificacinde un Cabri-dibujo por desplazamiento de alguno de sus elementos haceque no puedan mantenerse determinadas interpretaciones del dibujofundadas en sus propiedades espaciales.

Finalmente, en la experiencia de los alumnos, el mundo de fenmenosque son organizados por los objetos geomtricos que hay que abordar en laSecundaria es tan extraordinariamente rico, con slo que se busque en lanaturaleza, el arte o las construcciones humanas, que no vamos a elaboraraqu ninguna lista. Slo sealaremos que esta abundancia de fenmenosgeomtricos se ha incrementado enormemente en los ltimos tiempos contodos los productos infogrficos: videojuegos; imgenes digitales queaparecen como cartulas de programas de televisin, videoclips, etc.; juegosde ordenador.

3.4.6. MOVIMIENTOS Y TRANSFORMACIONES GEOMTRICAS.

Las transformaciones geomtricas estn relacionadas con movimientosfsicos de figuras geomtricas. Ahora bien, tambin hay una relacincompleja y conflictiva entre las caractersticas o propiedades geomtricas delas transformaciones geomtricas y las propiedades espaciales de losmovimientos. Freudenthal lo expresa mostrando tres diferencias bsicas:

el movimiento mientras que la transformacines es

de un objeto del espaciose realiza se realiza

dentro del espacio sobre el espacioy sucede y sucede

en el tiempo de golpea lo largo de un recorrido sin recorrido intermedio

sta es la fuente de dificultades como la de identificar como igualestodas las transformaciones cuyo resultado sea el mismo aunque el recorridode las figuras al efectuar el movimiento correspondiente sea diferente, la deaceptar como transformacin la identidad, ya se llame traslacin de vector0 o giro de centro A y ngulo 0, etc.

Teniendo presente esta distancia entre fenmeno y conceptomatemtico, tambin puede ser numeroso el mundo de fenmenospresentes en el entorno de los alumnos o que se les puede ofrecer para suexploracin que son pertinentes para la constitucin del objeto mental detransformacin geomtrica.

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3.4.7. ESTADSTICA.

Los conceptos de la estadstica descriptiva se han desarrollado con el finde organizar la informacin que proporcionan datos numricos. Esos datosprovienen de una gran diversidad de fenmenos de la vida social, poltica yeconmica, cuya enumeracin sera interminable. Ahora bien, todos esosfenmenos no son ms que los contextos en los que se usan los conceptos dela estadstica, y tiene inters didctico tomarlos en consideracin comocontextos de uso, ya que constituyen un campo de experimentacin de lossujetos en la constitucin de los objetos mentales de la estadstica. Losfenmenos de los que stos realmente tratan tienen que ver con lainformacin cuantitativa que hay en los datos y lo que los conceptosorganizan es esa informacin cuantitativa resumindola, caracterizndola,tipificndola, disponindola de forma que pueda ser comparada con otrasinformaciones provenientes de datos masivos.

En la vida cotidiana de los alumnos, los conceptos estadsticos aparecenen la prensa, la televisin y otros medios de comunicacin aplicados acuestiones diversas para describirlas; en las noticias de las campaaspolticas, para predecir el comportamiento de los votantes. Desde el puntode vista de la fenomenologa didctica, todos estos elementos en los que laestadstica ya est presente, en su uso civil, forman parte tambin de lasexperiencias con que los alumnos configuran los objetos mentalescorrespondientes.

En el terreno de la inferencia estadstica, los fenmenos son mscomplejos y de naturaleza ms abstracta, ya que ataen a la posibilidad deobtener conocimiento a partir de la observacin de los rasgos de casos. IanHacking ha discutido la dificultad de constitucin de la inferencia estadsticabajo el dominio del paradigma de la ciencia galileana, ya que sta ha deluchar con lo que se entiende por evidencia aceptable para establecer unaverdad en un momento histrico determinado y en unas prcticas socialesconcretas. Esta dificultad slo puede romperse con Fisher, que introduce laidea de que el rechazo de la hiptesis nula no equivale a su refutacin, yaque la alternativa no es rechazar la hiptesis nula / aceptar la hiptesisnula, sino rechazar la hiptesis nula / equivocarse al rechazar lahiptesis nula.

3.4.8. PROBABILIDAD.

En el origen del clculo de probabilidades como en el mundo en queviven los alumnos, estn los juegos de azar, los fenmenos con variosresultados posibles de los que se desconoce cul va a suceder, los sorteos, eltiempo atmosfrico, etc. En el lenguaje oral, el trmino probable o la

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expresin es probable tanto quiere decir puede que suceda como creoque va a suceder, y la desambiguacin suele venir producida por el nfasisque pone el que habla; adems, estos trminos comparten el camposemntico con posible y es posible.

Los puntos de vista logicista, subjetivista y frecuencialista, que se hanpropuesto para fundamentar la idea de probabilidad, muestran el rango defenmenos subyacentes y las dificultades para delimitar los conceptosbsicos de probabilidad y aleatoriedad. Unos buenos objetos mentales de loaleatorio y la probabilidad pueden constituirse con componentes que sederivan de las estipulaciones de Kolmogorov:

La experiencia tiene ms de un resultado posible.

Con los conocimientos de quien observa la experiencia, lo que sucederes impredecible.

La experiencia puede suponerse que es reproductible en las mismascondiciones n veces, n suficientemente grande.

La secuencia de resultados obtenidos en la repeticin carece de unpatrn que quien observa pueda predecir.

Las fluctuaciones de las frecuencias relativas se hacen cada vez msestables cuando