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ANÁLISIS DE LOS

MODELOS

CIRCUITALES 5

TO

Contenidos Capítulo I Ley de Ohm y Leyes de Kirchhofff (repaso) Ley de Ohm ………………………………………………………..…………………….… 1 Leyes de Kirchhoff …………………………………………..…………………………….. 1 Divisor resistivo de tensión ……………..………………………..…………….………….. 3 Divisor resistivo de corriente ………………………………………………………….…… 3 Multiplicadores y Submultiplicadores …………………………………………………...... 4 Práctica …………………………….. …………………………………………………….... 4 Capítulo II Números Complejos Introducción ……………………………………………………..…………….…………... 7 Formas de escribir un número complejo …………..………..…………………...…………. 7 Pasaje de la forma binómica a la forma polar con calculadora ………………...…………. 8 Pasaje de la forma polar a la binómica polar con calculadora ………………...………….. 8 Operaciones con números complejos …………………………………………...…………. 9 Práctica ……………………………………………………….………………...…………. 10 Capítulo III Impedancia Compleja Introducción …………………………………………………………………..…………… 11 Corriente Alterna …………………………………………..…………… 11 Oscilación senoidal ……………….…………………………………………..…………… 12 Valor Medio – Valor Eficaz …….…………………………………………..…………… 12 Forma Fasorial ……………….…………………………………………..……….……… 13 Reactancia inductiva XL …………….………………………………………..…………… 14 Reactancia capacitiva XC …………….………………………………………..…………… 14 Formas de calcular una impedancia ….………………………………………..…………… 15 Modelo de ejercicio de impedancia compleja ………………………………..…………… 16 Práctica ………………………………………………………………………..…………… 20 Capítulo IV Resonancia Definición …………………………………..…………………....……………………….. 21 Resonancia de un circuito RLC serie …………..……..………..………………………… 21 Resonancia de un circuito RLC paralelo ...…………………………...…………………… 21 Práctica .……………………………………………………………...………..…………… 22 Capítulo V Filtros Pasivos Introducción ………………………………….………………………….……………….. 23 Filtro PASA BAJO RC ……………………………….……………………..…………… 23 Filtro PASA ALTO RC ……………………………….……………………..…………… 28 Filtro PASA BAJO RL ……………………………….……………………..…………… 32 Filtro PASA ALTO RL ……………………………….……………………..…………… 36 Modelo de ejercicio de filtro ………………………….……………………..…………… 40 Práctica ………………………….…………………….……………………..…………… 44 Capítulo VI Potencia Definición de Potencia Eléctrica ……………………….………………..……………….. 45 Potencia de Corriente Continua CC…………………….……………………..…………… 45 Potencia de Corriente Alterna CA ……………………………………………………….. 45 Componentes de la Intensidad …………………………………………………………….. 46 Triángulo de Potencia …………………………………………………………….. 47 Potencia APARENTE …………………………………………………………………….. 47 Potencia ACTIVA ………….…………………………………………………………….. 47 Potencia RECTIVA …………………………………………………………………….. 47 Factor de Potencia cos ϕ ………………………………………………………………….. 47 Importancia del Factor de Potencia ……………………………………………………….. 48 Práctica …………………………..……………………………………………………….. 48

1° Edición

Año MMXVII

Análisis de los Modelos Circuitales

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1

Prof. De Marinis

R

VI =

643521 IIIIII ++=++

Capitulo I Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff (repaso)

Ley de Ohm

La corriente fluye por un circuito eléctrico siguiendo varias leyes definidas. La ley básica del flujo de la corriente es la ley de Ohm, así llamada en honor a su descubridor, el físico alemán Georg Ohm.

Según la ley de Ohm, la cantidad de corriente que fluye por un circuito formado por resistencias puras es directamente proporcional a la fuerza electromotriz aplicada al circuito, e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito.

Esta ley suele expresarse mediante la fórmula

Leyes de Kirchhoff

Estas leyes, descubiertas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff, son conocidas como las leyes de Kirchhoff.

Ley de los nodos: Esta ley enuncia que en cualquier unión en un circuito a través del cual fluye una corriente constante, la suma de las intensidades que llegan a un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo.

"Las corrientes que entran a un nodo son iguales a las corrientes que salen"

Ejemplo:

Las corrientes entrantes al nodo son: I1 , I2 y I5 .

Las corrientes salientes al nodo son: I3 , I4 y I6 .

Por lo tanto se cumple que:

Ley de las mallas: Esta ley afirma que. comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al punto inicial, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (fem) halladas será igual a la suma de las caidas de tensión.

Esta ley es sencillamente una ampliación de la ley de Ohm.

Capítulo I

Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff

2

I

3R2R1R654321 VVVVVVVVV ++=+−+−+

321654321 RIRIRIVVVVVV ⋅+⋅+⋅=+−+−+

0VVVVVVVVV 3R2R1R654321 =−−−+−+−+

"La sumatoria de las fuerzas electromotrices (fem) en una malla menos la sumatoria de las caídas de potencial en los resistores presentes es igual a cero"

Ejemplo: Dado el siguiente circuito:

Tiene las siguientes FEM: V1 , V2, V3 , V4 , V5 y V6 .

Además las siguientes impedancias (resistencias): R1 , R2 y R3 .

El primer paso es determinar el sentido de la corriente. Se tomará por convención, el sentido horario (sentido en que giran las agujas del reloj)

Ahora se debe determinar cuales fem (baterías, pila, etc.) se deben considerar positivas (que entregan energía) y cuales negativas (que absorben energía).

Si la corriente en la fem circula entrando por el borne negativo y saliendo por el borne positivo se considera que esta fem es positiva, está entregando energía al circuito.

Si la corriente en la fem circula entrando por el borne positivo y saliendo por el borne negativo se considera que esta fem es negativa, está absorbiendo energía al circuito.

Por lo tanto las fem positivas son: V1 , V2, y V6 .

Y las negativas son: V3 , V4 y V5 .

Por lo tanto la ecuación será:

ó

Donde VR1 , VR2, y VR3 son las caídas de tensión en las impedancias (resistencias): R1 , R2 y R3 .

I

I


.

3

Prof. De Marinis

VR1

VR2

VR3

2321

T2R R

RRR

VV ⋅

++=

1321

T1R R

RRR

VV ⋅

++=

3321

T3R R

RRR

VV ⋅

++=

221

T1R R

RR

II ⋅

+=

121

T2R R

RR

II ⋅

+=

Divisor resistivo de tensión.

Dada la siguiente disposición de tres impedancias conectadas en serie alimentadas con una fem VT.

La tensión VT se reparte en las 3 resistencias en forma proporcional. A mayor valor de resistencia mayor será el valor de la caída de tensión.

Para el cálculo de las caídas de tensión en cada resistencia se pueden aplicar las siguientes fórmulas:

Divisor resistivo de corriente.

Dada la siguiente disposición de dos impedancias conectadas en paralelo, a las cuales se le hace circular una corriente IT.

La corriente IT se reparte en las 2 resistencias. A mayor valor de resistencia menor será el valor de la intensidad que circula por ella. Y a menor valor de resistencia mayor es la intensidad de corriente que circula.

Para el cálculo del valor de corriente en cada resistencia se pueden aplicar las siguientes fórmulas:

IR1

IR2

IT

Capítulo I


4

Multiplicadores y Submultiplicadores

En muchas aplicaciones es necesario medir cantidades, para las cuales las unidades comunes pueden parecer o muy pequeñas o muy grandes. Para estos casos se utilizan los multiplicadores

Práctica 1. Aplicando ley de Ohm

Completar la taba aplicando la formula. Realizarlo en forma completa: el valor numérico, la unidad y el multiplicador si correspondiera.


.

5

Prof. De Marinis

2. Aplicación de la ley de Kirchhoff referida a mallas. Hallar el valor de la corriente. Desarrollar el ejercicio en forma completa, dibujando en cada caso el circuito para indicar la dirección de la corriente.



Capítulo I


6

5. Aplicación de la ley de Kirchhoff referida a nodos. Hallar el valor de la corriente faltante. Desarrollar el ejercicio en forma completa, dibujando en cada caso el circuito para indicar la dirección de la corriente

6. Aplicación del divisor resistivo de tensión . Usando la formula hallar el valor de la caída de tensión en Z1 y en Z2 .

7. Aplicación del divisor resistivo de corriente. Aplicando la formula hallar el valor de la corriente que circula por Z1 y en Z2 .


.

7

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Capitulo II Números Complejos

Introducción: Los números complejos son una extensión de los números reales. Los números complejos

incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.

Formas de escribir un número complejo:

Existen varias formas de representar un número complejo, entre ellas veremos las siguientes: • Par Ordenado • Forma Binómico • Forma Polar • Forma Trigonométrica

De las formas vistas en el ejemplo usaremos la forma binómico y la forma polar. En la forma binómico se observan 2 partes: la real y la imaginaria.

Capítulo II

Números Complejos

8

En la forma polar, también se observan dos partes: el módulo y el argumento.

Pasaje de la forma binómica a la forma polar con calculadora La forma de realizar el pasaje, depende mucho del modelo de la calculadora, generalmente se

hace como se muestra en el siguiente ejemplo: Debes accionar e ingresar los valores de la siguiente forma:

Pasaje de la forma polar a la forma binómica con calculadora La forma de realizar el pasaje, también depende mucho del modelo de la calculadora,

generalmente se hace como se muestra en el siguiente ejemplo: Debes accionar e ingresar los valores de la siguiente forma:

Ingresa el número de la parte imaginaria con signo, y

si es decimal usar como “,” el punto “.”


.

9

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Operaciones con números complejos

• Suma y resta de números complejos:

Para sumar o restar números complejos se debe trabaja en la forma binómica. Se suma o se resta parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.

Ejemplo:

• Multiplicación y división de números complejos:

Para multiplicar o dividir números complejos se debe trabaja en la forma polar.

Para multiplicar: Se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

Ingresa el número de la parte imaginaria con signo, y si es

decimal usar como “,” el punto “.”

Capítulo II

Números Complejos

10

Para dividir: Se dividen los módulos y se restan los argumentos.

NOTA : Trabajar preferentemente con 3 decimales, en todos los casos

Práctica

Dado los siguientes números complejos: Resolver:

=+2

Z1

Z

=−2

Z1

Z

=⋅2

Z1

Z

=2

Z1

Z

=+43

ZZ

=−43

ZZ

=⋅43

ZZ

=4

Z3

Z

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18

=+65

ZZ

=−6

Z5

Z

=⋅6

Z5

Z

=6

Z5

Z

=+87

ZZ

=−87

ZZ

=⋅87

ZZ

=8

Z7

Z

=+10

Z9

Z

=−10

Z9

Z

=⋅10

Z9

Z

=10

Z9

Z

=+

⋅

2Z

1Z

2Z

1Z

=+

⋅

4Z

3Z

4Z

3Z

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

=+

⋅

6Z

5Z

6Z

5Z

=+

⋅

8Z

7Z

8Z

7Z

=+

⋅

10Z

9Z

10Z

9Z


.

11

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Capitulo III Impedancia Compleja Introducción

La impedancia (Z) es una medida de oposición que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica una tensión. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna (CA), y posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que sólo tiene magnitud. Cuando un circuito es alimentado con corriente continua (CC), su impedancia es igual a la resistencia, lo que puede ser interpretado como la impedancia con ángulo de fase cero.

El concepto de impedancia permite generalizar la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (CA), dando lugar a la llamada ley de Ohm de corriente alterna que indica:

Donde Z es la impedancia, V es el fasor tensión e I corresponde al fasor intensidad.

La impedancia puede representarse en forma binómica como la suma de una parte real y una parte imaginaria:

Donde R es la parte resistiva o real de la impedancia y X es la parte reactiva o imaginaria de la impedancia. Básicamente hay dos clases o tipos de reactancias:

• Reactancia inductiva o XL: Debida a la existencia de inductores.

• Reactancia capacitiva o XC : Debida a la existencia de capacitores.

Si se realiza una representación vectorial de la reactancia inductiva y de la capacitiva, estos vectores se deberán dibujar en sentido opuesto y sobre el eje imaginario, ya que las impedancias se calculan como jX L y - jX C respectivamente.

Corriente Alterna (CA) Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de alternating

current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido varían cíclicamente.

La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la oscilación senoidal con la que se consigue una transmisión más eficiente de la energía, a tal punto que al hablar de corriente alterna se sobrentiende que se refiere a la corriente alterna senoidal.

Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de oscilación periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

I

VZ

Z

VI =⇒=

jXRZ +=

Capítulo III

Impedancia Compleja

12

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las industrias. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. En estos usos, el fin más importante suele ser la transmisión y recuperación de la información codificada (o modulada) sobre la señal de la CA.

Oscilación senoidal Una señal senoidal o sinusoidal,

a(t) , tensión, v(t) , o corriente, i(t) , se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos, como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:

Donde: • A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de

pico). • ω la pulsación o frecuencia angular en Herz (Hz) o en radianes/segundo. • t el tiempo en segundos. • β el ángulo de fase inicial, se puede medir en radianes o grados.

También la señal sinusoidal se puede expresar con la siguiente fórmula:

Donde f es la frecuencia en Hertz (Hz) y equivale a la inversa del período T. Nota: La frecuencia angular y la frecuencia (ambas se miden en Herz) se relacionan por la

siguiente formula:

Valor Medio – Valor Eficaz

Valor medio : El valor medio se puede interpretar como el componente de continua de la oscilación sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje de abscisas y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, su valor medio es nulo.

( )β+⋅ω⋅= tsenA)t(a 0

( )β+⋅π⋅= tf2senA)t(a 0

f2 ⋅π⋅=ω

T

1f =

+

-


.

13

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Valor eficaz : El valor eficaz se define como el valor de una corriente (o tensión) continua que produce los mismos efectos calóricos que su equivalente de alterna. Es decir que para determinada corriente alterna, su valor eficaz (I ef) será la corriente continua que produzca la misma disipación de potencia (P) en una resistencia(R). Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período:

Si la corriente o la tensión es de la forma sinusoidal el cálculo del valor eficaz da:

Forma Fasorial

Una función sinusoidal de una corriente o tensión se puede ser representada por un número complejo en la forma polar. Que para el caso de tensión y corriente se la denomina fasor o representación de Fresnel:

• Girará con una velocidad angular ω. • Su módulo es el valor eficaz.

∫⋅=T

0

2ef dt)t(a

T1

a

2

Amplitudaef =

Capítulo III

Impedancia Compleja

14

La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.

Supongamos una tensión de CA (corriente alterna)

En forma fasorial seria:

Reactancia inductiva XL: La ley de Lenz dice que todo conductor sometido a un campo magnético variable, crea en sí

una corriente inducida que tiende a oponer sus efectos a la causa que la produce. Llamamos a la oposición a la circulación reactancia.

La reactancia inductiva es:

Donde: Les la inductancia de la bobina que se mide en henrios (Hy)

f es la frecuencia que se mide en Hertz (Hz).

ω es la frecuencia angular de resonancia (ω=2πf), también se mide en Hertz (Hz).

XL es la reactancia inductiva y se mide en Ohmios (Ω).

Reactancia capacitiva XC: La reactancia capacitiva se representa por XC y su valor viene dado por la fórmula:

Donde: C es la capacidad eléctrica que se mide en faradios (F)

f es la frecuencia que se mide en Hertz (Hz).

ω es la frecuencia angular de resonancia (ω=2πf), también se mide en Hertz (Hz).

XC es la reactancia capacitiva y se mide en Ohmios (Ω).

LLf2X L ⋅ω=⋅⋅π⋅=

C

1

Cf2

1X C ⋅ω

=⋅⋅π⋅

=

( ) )30t314(senv310tv °+⋅=

°= 302

v310vr


.

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Formas de calcular una impedancia Este año trabajaremos con dos formas de calcular una impedancia:

• Forma Binómica

• Forma Polar

Para ello, se comenzará a calcular las impedancias de componentes puros o ideales.

Impedancia de elementos ideales: Elemento Forma Binómica Forma Polar Representación Vectorial

Resistencia

RZR =

°∠= 0RZR

Inductor

LjZL ω=

°∠ω= 90LZR

Capacitor

jC

1ZC ω

−=

°−∠ω

= 90C

1ZR

ZC

ZL

ZR

Capítulo III

Impedancia Compleja

16

Modelo de ejercicio de impedancia compleja Dado el siguiente circuito, hallar el valor de la corriente y las caídas de tensión en forma

sinusoidal. El ejercicio me pide hallar el valor de la corriente…

Para hallar el valor de ella tengo que utilizar la ley de Ohm

Para poder aplicar esta fórmula debemos tener la tensión aplicada (V) y la

impedancia (Z)

De esta forma puedo obtener:

• La amplitud de la tensión que es igual a 100V

• La frecuencia de resonancia ω=200 Hz

• La fase que es 30°

)30t200(senv100v °+=

Ω= K1R

Hy2L =

F2C µ=

Bien resolveremos este ejercicio juntos…

ZV

I =

La tensión la tengo

pero de una forma

muy extraña. En la forma sinusoidal )30t200(senv100v °+=


.

17

Prof. De Marinis

Pero como debo utilizar la ley de Ohm, que es una división la forma sinusoidal no

me sirve, debo trabajar en forma fasorial (polar). Para ello calculo el valor

eficaz de la tensión aplicando la siguiente fórmula:

entonces

Con el valor eficaz vef y la fase que vale 30° podemos escribir la tensión aplicada

en forma fasorial (polar)

Los tres componentes (la resistencia, el inductor y el

capacitor), están conectados en serie.

Para calcular la impedancia total se debe aplicar:

Para ello previamente calculamos la impedancia para cada componente Con estos tres valores podemos calcular la impedancia total:

Pero para poder aplicar la ley de Ohm también la impedancia debe estar en la

forma polar.

v711,702

v100vef ≅=

2

Amplitudvef =

°= 30v711,70vAhora debemos calcular

la impedancia Z

CLRT ZZZZ ++=

Ω== K1RZR

j400jHy2Hz200LjZL Ω=⋅=ω=

jK5,2jF2Hz200

1j

C1

ZC Ω−=µ⋅

−=ω

−=

jK1,2K1jK5,2j400K1ZT Ω−Ω=Ω−Ω+Ω=

°−Ω= 537,64K326,2ZT

Capítulo III

Impedancia Compleja

18

Como podemos ver el resultado nos dio en forma fasorial (polar) y en el enunciado

nos pide en forma sinusoidal Para pasarlo acordate que tomas el valor eficaz de la corriente y lo multiplicas

por para poder obtener la amplitud.

Por lo tanto la corriente en forma sinusoidal es: Se refiere calcular las caídas de tensión en los tres

componentes que forman la impedancia.

Para ello, despejando de la ley de Ohm, usamos la

siguiente fórmula

Pero para poder aplicar la fórmula debemos pasar cada impedancia de cada

componente a la forma polar.

¡Ah! ¡Excelente!

Ahora sí podemos

calcular la corriente

°=°−Ω

°= 537,94mA4,30537,64K326,2

30711,70I

2

mA992,422mA4,30Amplitud =⋅=

)537,94t200(senmA992,42I °+=El enunciado también nos pide

calcular las caídas de tensión en

forma sinusoidal

La caída de tensión…

¿en dónde?

ZIV ⋅=

°Ω=Ω= 0K1K1ZR


.

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Prof. De Marinis

La caída de tensión en la resistencia es:

De la misma forma como hicimos con la corriente, hallamos la caída de tensión en

forma sinusoidal.

Realizamos los mismos pasos para VL y VC

°Ω=Ω= 90400j400ZL

°−Ω=Ω−= 90K5,2jK5,2ZC

°=°Ω⋅°= 537,94V4,300K1537,94mA4,30VR

°=°Ω⋅°= 537,184V16,1290400537,94mA4,30VL

)537.94t200(senV992,42VR °+⋅=2×

)537,184t200(senV197,17VL °+⋅=2×

°=°−Ω⋅°= 537,4V7690K5,2537,94mA4,30VC

)537,4t200(senV480,107VC °+⋅=2×

Así terminamos el

problema

Capítulo III

Impedancia Compleja

20

Práctica

Dado el siguiente circuito: Datos:

• Valor de la amplitud de la tensión. A = 100V • Desfasaje de la tensión θ = 20° • Valor de la resistencia R = 2 KΩ • Valor de la auto inductancia L = 4 Hy • Valor de la capacitancia C = 5 µF

Hallar el valor de la corriente y las caídas de tensión en forma sinusoidal con las siguientes

frecuencias angulares

N° de ejercicio

ω N° de ejercicio

ω

1 1 Hz 21 10 KHz 2 10 Hz 22 20 KHz 3 100 Hz 23 30 KHz 4 200 Hz 24 40 KHz 5 300 Hz 25 50 KHz 6 400 Hz 26 60 KHz 7 500 Hz 27 70 KHz 8 600 Hz 28 80 KHz 9 700 Hz 29 90 KHz 10 800 Hz 30 100 KHz 11 900 Hz 31 200 KHz 12 1 KHz 32 300 KHz 13 2 KHz 33 400 KHz 14 3 KHz 34 500 KHz 15 4 KHz 35 600 KHz 16 5 KHz 36 700 KHz 17 6 KHz 37 800 KHz 18 7 KHz 38 900 KHz 19 8 KHz 39 1 MHz 20 9 KHz 40 2 MHz


.

21

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Capítulo IV Resonancia

Definición

La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el que existen elementos reactivos (bobinas y condensadores) cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule.

Resonancia de un circuito RLC serie

La frecuencia angular y la frecuencia de resonancia en un circuito RLC serie, como muestra la figura, se calcula mediante la siguiente fórmula:

Frecuencia angular: Frecuencia

Resonancia de un circuito RLC paralelo

La frecuencia angular y la frecuencia de resonancia en un circuito RLC paralelo, como muestra la figura, se calcula mediante la siguiente fórmula:

Frecuencia angular: Frecuencia

Resonancia de un circuito RL-RC paralelo

La frecuencia angular y la frecuencia de resonancia en un circuito RL-RC paralelo, como muestra la figura, se calcula mediante la siguiente fórmula:

Frecuencia angular:

CL1

0 ⋅=ω

CL1

21

f0 ⋅⋅

π⋅=

CL1

0 ⋅=ω

CL1

21

f0 ⋅⋅

π⋅=

( )

( )CL

R

CL

R

CL1

2C

2L

0

−

−⋅

⋅=ω

¿Te diste cuenta?

Las fórmulas coinciden

con las RLC serie

Capítulo IV

Resonancia

22

Frecuencia Nota: En este ejemplo RL=R1 y RC=R2 Si R1=R2 las fórmulas se reducen a:

Frecuencia angular: Frecuencia:

Práctica

Calcular la frecuencia angular de resonancia y la frecuencia de resonancia de todos los circuitos dados a continuación:

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

( )

( )CL

R

CL

R

CL1

21

f2

C

2L

0

−

−⋅

⋅⋅

π⋅=

CL1

0 ⋅=ω

CL1

21

f0 ⋅⋅

π⋅=


.

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Vout V in

Capitulo V Filtros Pasivos

Introducción El filtro pasivo es un filtro electrónico formado únicamente por elementos pasivos, es decir,

resistencias, condensadores y bobinas.

En los sistemas de comunicaciones se emplean filtros para dejar pasar solo las frecuencias que contengan la información deseada y eliminar las restantes. Los filtros son usados para dejar pasar solamente las frecuencias que pudieran resultar ser de alguna utilidad y eliminar cualquier tipo de interferencia o ruido ajeno a ellas. Existen dos tipos de filtros: Filtros Pasivos: son aquellos tipos de filtros formados por combinaciones serie o paralelo de elementos R, L o C. Los filtros activos son aquellos que emplean dispositivos activos, por ejemplo los transistores o los amplificadores operacionales, junto con elementos R L C.

Filtro PASA BAJO RC Este filtro esta formado por una resistencia y un capacitor conectados de la siguiente manera:

.

Podemos observar que se formó un cuadripolo. La transferencia está dada por la siguiente

fórmula: Esto se mide en veces, para lo cual es muy engorroso representarlo en

un gráfico. Por tal motivo es conveniente medirlo en decibeles (dB) que facilita la representación como veremos más adelante (diagrama de BODE), pero para ello usaremos la fórmula:

Determinamos una circulación de

corriente, donde se cumple que:

Vout V in

in

outV V

VA =

[ ]dBV

Vlog20A

in

outV ⋅=

I

CRin ZIZIV ⋅+⋅=

⋅ω−⋅+⋅= j

C1

IRIVin

⋅ω−⋅= j

C1

RIVin

⋅ω−⋅= j

C1

IVout

Capítulo V Filtros Pasivos

24

Con estas expresiones reemplazamos Vin y Vout en Av

Trabajaremos únicamente con el módulo por lo tanto: Operando matemáticamente: Finalmente la transferencia queda como: Para representar gráficamente la transferencia del filtro se utiliza el diagrama de BODE.

Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia)

en decibelios en función de la frecuencia en escala logarítmica.

jC

1R

jC

1

log20j

C

1RI

jC

1I

log20AV

ω−

ω−

⋅=

ω−

ω−

⋅=

Se simplifican las corrientes I

22

V

C

1R

C

1

log.20j

C

1R

jC

1

log20A

ω+

ω=

ω−

ω−

⋅==

C

1CRC

1

log20

C

1CRC

1

log.20

C

1R

C

1

log.20A222

22

22222

V

ω+ω

ω⋅=

ω+ω

ω=

ω+

ω=Se

simplifican ωC

1CR

1log20A

222V+ω

⋅=


.

25

Prof. De Marinis

Para realizar el diagrama de magnitud de BODE realizamos la siguiente tabla: ω f Av

RC100

1=ω RC100

1

2

1f

π= dB0

0001,1

1log20

1RC100

1CR

1log20A

222

v =⋅=

+

⋅=

RC10

1=ω RC10

1

2

1f

π= dB0

01,1

1log20

1RC10

1CR

1log20A

222

v =⋅=

+

⋅=

RC

1C =ω=ω

RC

1

2

1f

π= dB3

2

1log20

1RC

1CR

1log20A

222

v −=⋅=

+

⋅=

RC

10=ω RC

10

2

1f

π= dB20

101

1log20

1RC

10CR

1log20A

222

v −=⋅=

+

⋅=

RC

100=ω RC

100

2

1f

π= dB40

10001

1log20

1RC

100CR

1log20A

222

v −=⋅=

+

⋅=

Como vemos este es un filtro PASA BAJO, las señales con frecuencias menores a ωC pasan

sin ser atenuadas y para las señales con frecuencias mayores a ωC son atenuadas.

Av

[dB]

ω [Hz] 10

CωCω C10ω C100ω

-20 dB

-40dB

-20 dB/dec

-3dB

Frecuencia angular de corte ωC

100Cω


26

Para desarrollar el diagrama de fase debemos considerar los siguientes diagramas fasoriales:

• La tensión Vout es la caída de tensión en el capacitor cuyo diagrama polar de la impedancia es:

• Y la tensión Vin es la caída de tensión en la resistencia y en el capacitor cuyo diagrama polar de la impedancia (ZT) es:

Para evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la

entrada para una frecuencia determinada consideramos el siguiente análisis. Donde: Podemos desarrollar la siguiente tabla: ω f <Av

RC100

1=ω RC100

1

2

1f

π= ( ) °−=

°−°−=

−°−=

⋅−

°−=∠ 57,043,89

90

100arctag

90

RC100

1RC

1agcotar

90A v

RC10

1=ω RC10

1

2

1f

π= ( ) °−=

°−°−=

−°−=

⋅−

°−=∠ 71,529,84

90

10arctag

90

RC10

1RC

1agcotar

90A v

ZC rad

290

π−=°−

jC

1RZT ω

−=C

1ZC ω

=

RZR =

T

Cv Z

ZA

∠∠=∠

°−=∠ 90ZC

ω−=

ω−

=∠RC

1agcotar

RC1

gcotarZT


.

27

Prof. De Marinis

ω f

RC

1C =ω=ω

RC

1

2

1f

π= ( ) °−=

°−°−=

−°−=

⋅−

°−=∠ 4545

90

1arctag

90

RC

1RC

1agcotar

90A v

RC

10=ω RC

10

2

1f

π= °−=

°−°−=

−

°−=

⋅−

°−=∠ 29,8471,5

90

10

1arctag

90

RC

10RC

1agcotar

90A v

RC

100=ω RC

100

2

1f

π= °−=

°−°−=

−

°−=

⋅−

°−=∠ 43,8957,0

90

100

1arctag

90

RC

100RC

1agcotar

90A v

El diagrama de BODE de fase es:

De esta gráfica podemos sacar la siguiente conclusión:

• Para señales con frecuencia menores a ωC el filtro no modifica la fase, pero para señales superiores a ωC la señal a la salida está desfasada en 90°.

VA∠

ω [Hz] 100

Cω10

CωCω C10ω C100ω

0°

-45°

VA∠

-90°


28

Filtro PASA ALTO RC Este filtro esta formado por una resistencia y un capacitor conectados de la siguiente manera:

Determinando una circulación de corriente, donde se cumple que:

Siendo


Trabajaremos únicamente con el módulo por lo tanto:

Vout V in I

CRin ZIZIV ⋅+⋅=

⋅ω−⋅+⋅= j

C

1IRIVin

⋅ω−⋅= j

C

1RIVin

RIVout ⋅=

jC

1R

Rlog20

jC

1RI

IRlog20AV

ω−

⋅=

ω−

⋅=


22

V

C

1R

Rlog.20

jC

1R

Rlog20A

ω+

=

ω−

⋅==

[ ]dBV

Vlog20A

in

outV ⋅=


.

29

Prof. De Marinis

Operando matemáticamente: Finalmente la transferencia queda como: Para realizar el diagrama de magnitud de BODE realizamos la siguiente tabla: ω f Av

RC100

1=ω RC100

1

2

1f

π=

dB400001,1

01,0log20

1RC100

1CR

RC100

1RC

log20A2

22

v −=⋅=

+

⋅⋅=

RC10

1=ω RC10

1

2

1f

π=

dB2001,1

1,0log20

1RC10

1CR

RC10

1RC

log20A2

22

v −=⋅=

+

⋅⋅=

RC

1C =ω=ω

RC

1

2

1f

π=

dB32

1log20

1RC

1CR

RC

1RC

log20A2

22

v −=⋅=

+

⋅⋅=

RC

10=ω RC

10

2

1f

π=

dB0101

10log20

1RC

10CR

RC

10RC

log20A2

22

v =⋅=

+

⋅⋅=

RC

100=ω RC

100

2

1f

π=

dB010001

100log20

1RC

100CR

RC

100RC

log20A2

22

v =⋅=

+

⋅⋅=

1CR

RClog20

C

1CR

Rlog20

C

1CR

Rlog.20

C

1R

Rlog.20A

222222

22

22222

V+ω

ω⋅=

ω+ω

⋅=

ω+ω

=

ω+

=

1CR

RClog20A

222V+ω

ω⋅=


30

Como vemos este es un filtro PASA ALTO, las señales con frecuencias mayores a ωC pasan

sin ser atenuadas y para las señales con frecuencias menores a ωC son atenuadas. La tensión Vout es la caída de tensión en la resistencia, cuyo diagrama polar de la impedancia

es: Y la tensión Vin es la caída de tensión en la resistencia y en el capacitor cuyo diagrama polar

de la impedancia (ZT) es: Para evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la

entrada para una frecuencia determinada consideramos el siguiente análisis.

Av

[dB]

ω [Hz] 100

Cω10

CωCω C10ω C100ω

-20 dB

-40dB

20 dB/dec

-3dB

ZR

jC

1RZT ω

−=C

1ZC ω

=

RZR =

T

Rv Z

ZA

∠∠=∠


.

31

Prof. De Marinis

Donde: Podemos desarrollar la siguiente tabla:

ω f <Av

RC100

1=ω RC100

1

2

1f

π=

( ) °=

°−°=

−°=

⋅−

°=∠ 43,8943,89

0

100arctag

0

RC100

1RC

1agcotar

0A v

RC10

1=ω RC10

1

2

1f

π= ( ) °=

°−°=

−°=

⋅−

°=∠ 29,8429,84

0

10arctag

0

RC10

1RC

1agcotar

0A v

RC

1C =ω=ω

RC

1

2

1f

π= ( ) °=

°−°=

−°=

⋅−

°=∠ 4545

0

1arctag

0

RC

1RC

1agcotar

0A v

RC

10=ω RC

10

2

1f

π= °=

°−°=

−

°=

⋅−

°=∠ 71,571,5

0

10

1arctag

0

RC

10RC

1agcotar

0A v

RC

100=ω RC

100

2

1f

π= °=

°−°=

−

°=

⋅−

°=∠ 57,057,0

0

100

1arctag

0

RC

100RC

1agcotar

0A v

°=∠ 0ZR

ω−=

ω−

=∠RC

1agcotar

RC

1

gcotarZT


32



Filtro PASA BAJO RL

Este filtro esta formado por una resistencia y una bobina conectados de la siguiente manera:

Determinando una circulación de corriente, donde se cumple que:

Vout V in I

LRin ZIZIV ⋅+⋅=

LjIRIVin ⋅ω⋅+⋅=

ω [Hz]

10Cω

Cω C10ω C100ω

90°

-45°

VA∠

0°

100Cω


.

33

Prof. De Marinis

Siendo


Trabajaremos únicamente con el módulo por lo tanto: Finalmente la transferencia queda como:

( )LjRIVin ω+⋅=

RIVout ⋅=

( ) jR

L1

1log20

jR

L1R

Rlog20

LjR

Rlog20

LjRI

IRlog20AV

ω+⋅=

ω+⋅⋅=

ω+⋅=

ω+⋅=


222

V

R

L1

1log.20

R

L1

1log.20

jR

L1

1log20A

ω+

=

ω+

=ω+

⋅==

2V

RL

1

1log20A

ω+

⋅=

[ ]dBV

Vlog20A

in

outV ⋅=

Sacamos factor común R en el denominador

Se simplifican las R


34

Para realizar el diagrama de magnitud de BODE realizamos la siguiente tabla: ω f Av

L

R

100

1=ω L

R

100

1

2

1f ⋅

π= dB0

0001,1

1log20

L

R

100

1

R

L1

1log20A

2v =⋅=

⋅+

⋅=

L

R

10

1=ω L

R

10

1

2

1f ⋅

π= dB0

01,1

1log20

L

R

10

1

R

L1

1log20A

2v =⋅=

⋅+

⋅=

L

RC =ω=ω

L

R

2

1f

π= dB3

2

1log20

L

R

R

L1

1log20A

2v −=⋅=

⋅+

⋅=

L

R10=ω

L

R10

2

1f ⋅

π= dB20

101

1log20

L

R10

R

L1

1log20A

2v −=⋅=

⋅+

⋅=

L

R100=ω

L

R100

2

1f ⋅

π= dB40

10001

1log20

L

R100

R

L1

1log20A

2v −=⋅=

⋅+

⋅=

Como vemos este es un filtro PASA BAJO, las señales con frecuencias menores a ωC pasan

sin ser atenuadas y para las señales con frecuencias mayores a ωC son atenuadas.

Av

[dB]

ω [Hz] 100

Cω10

CωCω C10ω C100ω

-20 dB

-40dB

-20 dB/dec

-3dB


.

35

Prof. De Marinis

Para desarrollar el diagrama de fase debemos considerar los siguientes diagramas fasoriales:

• La tensión Vout es la caída de tensión en la resistencia cuyo diagrama polar de la impedancia es:

• Y la tensión Vin es la caída de tensión en la resistencia y en la bobina cuyo diagrama polar de la impedancia (ZT) es:


entrada para una frecuencia determinada consideramos el siguiente análisis. Donde: Podemos desarrollar la siguiente tabla: ω f <Av

L

R

100

1=ω L

R

100

1

2

1f ⋅

π=

( ) °−=

°°=°=

⋅

°=∠ 57,057,0

0

01,0arctag

0

L

R

100

1

R

Lagcotar

0A v

L

R

10

1=ω L

R

10

1

2

1f ⋅

π= ( ) °−=

°°=°=

⋅

°=∠ 71,571,5

0

1,0arctag

0

L

R

10

1

R

Lagcotar

0A v

L

RC =ω=ω

L

R

2

1f

π= ( ) °−=

°°=°=

⋅

°=∠ 4545

0

1arctag

0

L

R

R

Lagcotar

0A v

L

R10=ω

L

R10

2

1f ⋅

π= ( ) °−=

°°=°=

⋅

°=∠ 29,8429,84

0

10arctag

0

L

R10

R

Lagcotar

0A v

L

R100=ω

L

R100

2

1f ⋅

π=

( ) °−=

°°=°=

⋅

°=∠ 43,8943,89

0

100arctag

0

L

R100

R

Lagcotar

0A v

ZR

LjRZT ω+=LZL ω=

RZR =

T

Rv Z

ZA

∠∠=∠

°=∠ 0ZR

ω⋅=

ω=∠R

Lagcotar

R

LgcotarZT


36

El diagrama de BODE de fase es:



Filtro PASA ALTO RL Este filtro esta formado por una resistencia y una bobina conectados de la siguiente manera:

Determinando una circulación de corriente, donde se cumple que: y

Siendo

ω [Hz] 100

Cω10

CωCω C10ω C100ω

0°

-45°

VA∠

-90°

Vout V in I

LRin ZIZIV ⋅+⋅=

LjIRIVin ⋅ω⋅+⋅=

( )LjRIVin ω+⋅=

LjIVout ω⋅=

[ ]dBV

Vlog20A

in

outV ⋅=


.

37

Prof. De Marinis


Trabajaremos únicamente con el módulo por lo tanto:

Finalmente la transferencia queda como: Para realizar el diagrama de magnitud de BODE realizamos la siguiente tabla: ω f Av

L

R

100

1=ω L

R

100

1

2

1f ⋅

π=

dB400001,1

01,0log20

L

R

100

1

R

L1

L

R

100

1

R

L

log20A2v −=⋅=

⋅+

⋅⋅=

L

R

10

1=ω L

R

10

1

2

1f ⋅

π=

dB2001,1

1,0log20

L

R

10

1

R

L1

L

R

10

1

R

L

log20A2v −=⋅=

⋅+

⋅⋅=

L

RC =ω=ω

L

R

2

1f

π=

dB32

1log20

L

R

R

L1

L

R

R

L

log20A2v −=⋅=

⋅+

⋅⋅=

L

R10=ω

L

R10

2

1f ⋅

π=

dB0101

10log20

L

R10

R

L1

L

R10

R

L

log20A2v =⋅=

⋅+

⋅⋅=

L

R100=ω

L

R100

2

1f ⋅

π=

dB010001

100log20

L

R100

R

L1

L

R100

R

L

log20A2v =⋅=

⋅+

⋅⋅=


2V

RL

1

RL

20A

ω+

ω⋅=

( ) jR

L1

jR

L

log20j

R

L1R

Ljlog20

LjR

Ljlog20

LjRI

LjIlog20A V

ω+

ω⋅=

ω+⋅

ω⋅=ω+

ω⋅=ω+

ω⋅=

Sacamos factor común R en el denominador

22

V

R

L1

R

L

log.20j

R

L1

jR

L

log20A

ω+

ω=

ω+

ω⋅==


38

T

Lv Z

ZA

∠∠=∠

Como vemos este es un filtro PASA ALTO, las señales con frecuencias mayores a ωC pasan

sin ser atenuadas y para las señales con frecuencias menores a ωC son atenuadas. Para desarrollar el diagrama de fase debemos considerar los siguientes diagramas fasoriales

que: La tensión Vout es la caída de tensión en la bobina cuyo diagrama polar de la impedancia es: Y la tensión Vin es la caída de tensión en la resistencia y en la bobina cuyo diagrama polar de

la impedancia (ZT) es:


entrada para una frecuencia determinada consideramos el siguiente análisis.

Av

[dB]

ω [Hz] 100

Cω10

CωCω C10ω C100ω

-20 dB

-40dB

20 dB/dec

-3dB

ZL

LjRZT ω+=LZL ω=

RZR =


.

39

Prof. De Marinis

Donde: Podemos desarrollar la siguiente tabla: ω f <Av

L

R

100

1=ω L

R

100

1

2

1f ⋅

π= ( ) °=

°°=°=

⋅

°=∠ 43,8957,0

90

01,0arctag

90

L

R

100

1

R

Lagcotar

90A v

L

R

10

1=ω L

R

10

1

2

1f ⋅

π= ( ) °=

°°=°=

⋅

°=∠ 29,8471,5

90

1,0arctag

90

L

R

10

1

R

Lagcotar

90A v

L

RC =ω=ω

L

R

2

1f

π= ( ) °=

°°=°=

⋅

°=∠ 4545

90

1arctag

90

L

R

R

Lagcotar

90A v

L

R10=ω

L

R10

2

1f ⋅

π= ( ) °=

°°=°=

⋅

°=∠ 71,529,84

90

10arctag

90

L

R10

R

Lagcotar

90A v

L

R100=ω

L

R100

2

1f ⋅

π= ( ) °=

°°=°=

⋅

°=∠ 57,043,89

90

100arctag

90

L

R100

R

Lagcotar

90A v



°=∠ 90ZL

ω [Hz]

100Cω

10Cω

Cω C10ω C100ω

90°

-45°

VA∠

0°

ω⋅=

ω=∠R

Lagcotar

R

LgcotarZT


40

Modelo de ejercicio de filtro Dado el siguiente filtro, escribir la función transferencia, identificar el tipo de filtro, graficar

los diagramas de BODE de AMPLITUD en función de ω y f y también los diagramas de BODE de FASE en función de ω y f.

Primero debemos reconocer que tipo de filtro es: Es un filtro PASA ALTO y su transferencia es:

¡Hola!

Nos volvemos a encontrar.

Parece que es un problema muy difícil.

Pero no es así.

Seguí cada paso y verás que no es tan problemático.

Busquemos es este capítulo donde está este tipo de filtro…

¡Ah!

¡Ya lo encontré!

Está en la página 36

2V

RL

1

RL

20A

ω+

ω⋅=


.

41

Prof. De Marinis

Ahora debemos reemplazar en la fórmula los valores de R y L y realizar los

cálculos.

Antes de realizar la tabla debemos calcular la frecuencia angular de corte ωC y la

frecuencia de corte fC.

ω f Av

KHz5,12100

1C =ω=ω KHz99,1f

100

1f C ==

dB40Av −=

KHz12510

1C =ω=ω KHz9,19f

10

1f C ==

dB20Av −=

MHz25,1C =ω=ω KHz94,198ff C == dB3A v −=

MHz5,1210 C =ω=ω MHz99,1f10f C == dB0A v =

Mhz125100 C =ω=ω MHz9,19f100f C == dB0A v =

( )22V

seg8001

seg80020

K5

mHy41

K5

mHy4

20Aω⋅η+

ω⋅η⋅=

ωΩ

+

ωΩ⋅=

Acá está la

transferencia para

este filtro en particular

MHz25,1mHy4

K5

L

RC =Ω==ω KHz94,198

mHy4

K5

2

1

L

R

2

1f C =Ω

π=

π=

Para realizar las tablas NO es necesario

cuentas muy complicadas, simplemente usa los valores de ωC y fC recién calculados

Simplemente multiplicas o

dividís por 10 o 100, según corresponda…

Los valores de la ganancia

AV son siempre los mismos

sin importar los valores de

R y L.

Solo dependen de cuantas

décadas por adelante o atrás de ωC y fC .


42

Para graficar el diagrama de BODE simplemente ubicamos ωC en un lugar arbitrario del

eje de las abscisas y luego a distancias equidistantes se ubican las demás frecuencia

angulares de la tabla. Este es el diagrama de BODE de amplitudes en función de la frecuencia angular de

resonancia.

Para desarrollar el diagrama en función de la frecuencia f simplemente se repite el

mismo gráfico, pero con los valores de frecuencias.

f AV

fC = 198,94KHz 1,99KHz 19,9KHz 1,99MHz 19,9MHz

-20dB

-40dB

-3dB

ω AV

ωC = 1,25MHz 12,5KHz 125KHz 12,5MHz 125MHz

-20dB

-40dB

-3dB

Bien

Ahora nos falta el análisis de fase

Como hicimos con la

tabla de amplitud,

realizamos la tabla de

fase


.

43

Prof. De Marinis

ω f

KHz5,12100

1C =ω=ω KHz99,1f

100

1f C ==

°≈° 9043,89

KHz12510

1C =ω=ω KHz9,19f

10

1f C ==

°≈° 9029,84

MHz25,1C =ω=ω KHz94,198ff C == °45

MHz5,1210 C =ω=ω MHz99,1f10f C == °≈° 071,5

Mhz125100 C =ω=ω MHz9,19f100f C == °≈° 057,0

Con esta tabla podemos desarrollar los dos diagramas de BODE de fase

VA∠Los valores de la

VA∠ son siempre los

mismos sin importar

los valores de R y L.

Solo dependen de

cuantas décadas por

adelante o atrás de

ωC y fC .

Los valores serán redondeados.

f

fC = 198,94KHz

1,99KHz 19,9KHz 1,99MHz 19,9MHz

45°

90°

VA∠

0°

ω

ωC = 1,25MHz

12,5KHz 125KHz 12,5MHz 125MHz

45°

90°

VA∠

0°


44

Práctica

1. Dados los siguientes filtros, escribir la función transferencia, identificar el tipo de filtro, graficar los diagramas de BODE de AMPLITUD en función de ω y f y también los diagramas de BODE de FASE en función de ω y f.

a.

b.

c.

d. 2. Desarrollar un filtro PASA BAJO con componentes comerciales de frecuencia

angular de corte (ωC) de 10 KHz. Escribir la función transferencia, graficar los diagramas de BODE de AMPLITUD en función de ω y f y también los diagramas de BODE de FASE en función de ω y f.

3. Desarrollar un filtro PASA ALTO con componentes comerciales de frecuencia de

corte (fC) de 10 KHz. Escribir la función transferencia, graficar los diagramas de BODE de AMPLITUD en función de ω y f y también los diagramas de BODE de FASE en función de ω y f.

R=2KΩ C=5µF

R=10KΩ

L=10mHy

R=5KΩ

C=2nF

R=500Ω

L=10mHy


.

45

Prof. De Marinis

Capitulo VI Potencia

Definición de Potencia Eléctrica

La potencia eléctrica es la relación de paso de energía de un flujo por unidad de tiempo; es decir, la cantidad de energía entregada o absorbida por un elemento en un momento determinado. La unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el vatio (watt).

La energía consumida por un dispositivo eléctrico se mide en vatios-hora (Wh), o en kilovatios-hora (kWh). Normalmente las empresas que suministran energía eléctrica a la industria y los hogares, en lugar de facturar el consumo en vatios-hora, lo hacen en kilovatios-hora (kWh). La potencia en vatios (W) o kilovatios (kW) de todos los aparatos eléctricos debe figurar junto con la tensión de alimentación en una placa metálica ubicada, generalmente, en la parte trasera de dichos equipos. En los motores, esa placa se halla colocada en uno de sus costados y en el caso de las bombillas de alumbrado el dato viene impreso en el cristal o en su base.

Potencia de Corriente Continua CC

Cuando se trata de corriente continua (CC) la potencia eléctrica desarrollada en un cierto instante por un dispositivo de dos terminales, es el producto de la diferencia de potencial entre dichos terminales y la intensidad de corriente que pasa a través del dispositivo. Por esta razón la potencia es proporcional a la corriente y a la tensión. Esto es:

Donde: I es el valor instantáneo de la intensidad de corriente.

V es el valor instantáneo del voltaje.

Si I se expresa en amperios y V en voltios, P estará expresada en watts (vatios). Igual definición se aplica cuando se consideran valores promedio para I , V y P.

Cuando el dispositivo es una resistencia de valor R o se puede calcular la resistencia equivalente del dispositivo, la potencia también puede calcularse como:

Potencia de Corriente Alterna CA

Cuando se trata de corriente alterna (AC) sinusoidal, el promedio de potencia eléctrica desarrollada por un dispositivo de dos terminales es una función de los valores eficaces o valores cuadráticos medios, de la diferencia de potencial entre los terminales y de la intensidad de corriente que pasa a través del dispositivo.

Si a un circuito se aplica una tensión sinusoidal v(t) con velocidad angular (frecuencia angular) ω y valor de pico (Amplitud) V0 de forma:

Esto provocará, en el caso de un circuito de carácter inductivo (caso más común), una corriente i(t) desfasada un ángulo ϕ respecto de la tensión aplicada:

IVP ⋅=

R

VIRP

22 =⋅=

( ) )t(senVtv 0 ω⋅=

( ) )t(senIti 0 φ−ω⋅=

Capítulo VI

Potencia

46

Donde, para el caso puramente resistivo, se puede tomar el ángulo de desfase como cero.

La potencia instantánea vendrá dada como el producto de las expresiones anteriores:

Mediante trigonometría, la expresión anterior puede transformarse en la siguiente:

Y sustituyendo los valores del pico por los eficaces:

Como se puede observar la potencia consta de dos partes:

• Un valor constante:

A este valor se lo llama

POTENCIA ACTIVA

• Un valor que es variable

A este valor se lo llama

POTENCIA FLUCTUANTE

Componentes de la Intensidad Consideremos un circuito de C. A. en el que la corriente y la tensión tienen un desfase φ. Se

define componente activa de la intensidad, I a, a la componente de ésta que está en fase con la tensión, y componente reactiva, I r, a la que está en cuadratura con ella. Sus valores son:

El producto de la intensidad, I , y las de sus componentes activa, I a, y reactiva, I r, por la tensión, V, da como resultado las potencias aparente (S), activa (P) y reactiva (Q), respectivamente:

o Potencia APARENTE:

o Potencia ACTIVA:

o Potencia REACTIVA:

( ) )t(sen)t(senIVtp 00 φ−ω⋅ω⋅⋅=

( )2

)t2cos()cos(IVtp 00

φ−ω−φ⋅⋅=

( ) )t2cos(iv)cos(ivtp efefefef φ−ω⋅⋅−φ⋅⋅=

)cos(iv)cos(2

IVefef

00 φ⋅⋅=φ⋅⋅

)2cos(iv)t2cos(2

IVefef

00 φ−ω⋅⋅=φ−ω⋅⋅

)cos(Ii a φ⋅=)(senIi r φ⋅=

efef00 viVI2

1S ⋅=⋅=

φ⋅⋅= cosVIP 00

φ⋅⋅= senVIQ 00


.

47

Prof. De Marinis

Triángulo de Potencia Las tres potencias vistas, forman lo que se llama el triángulo de potencia:

Potencia APARENTE La potencia compleja de un circuito eléctrico de corriente alterna (cuya magnitud se conoce

como potencia aparente y se identifica con la letra S), es la suma (vectorial) de la potencia que disipa dicho circuito y se transforma en calor o trabajo (conocida como potencia promedio, activa o real, que se designa con la letra P y se mide en vatios (W)) y la potencia utilizada para la formación de los campos eléctrico y magnético de sus componentes, que fluctuará entre estos componentes y la fuente de energía (conocida como potencia reactiva, que se identifica con la letra Q y se mide en voltiamperios reactivos (var)). Esto significa que la potencia aparente representa la potencia total desarrollada en un circuito con impedancia Z. La relación entre todas las potencias aludidas es .

La potencia aparente se mide en voltiamperios (VA ).

Potencia ACTIVA Es la potencia capaz de transformar la energía eléctrica en trabajo. Los diferentes dispositivos

eléctricos existentes convierten la energía eléctrica en otras formas de energía tales como: mecánica, lumínica, térmica, química, etc. Esta potencia es, por lo tanto, la realmente consumida por los circuitos y, en consecuencia, cuando se habla de demanda eléctrica, es esta potencia la que se utiliza para determinar dicha demanda.

Potencia REACTIVA Esta potencia no se consume ni se genera en el sentido estricto (el uso de los términos

"potencia reactiva generada" y/o "potencia reactiva consumida" es una convención) y en circuitos lineales solo aparece cuando existen bobinas o condensadores.

Factor de Potencia cos ϕ Se define factor de potencia, f.d.p., de un circuito de corriente alterna, como la relación entre

la potencia activa, P, y la potencia aparente, S. Da una medida de la capacidad de una carga de absorber potencia activa. Por esta razón, f.d.p = 1 en cargas puramente resistivas; y en elementos inductivos y capacitivos ideales sin resistencia f.d.p = 0.

S

Pcos =φ

Capítulo VI

Potencia

48

Importancia del Factor de Potencia Para comprender la importancia del factor de potencia se van a considerar dos receptores con

la misma potencia, 1000W, conectados a la misma tensión de 220V(valor eficaz), pero el primero con un f.d.p. alto cos ϕ1 =0,96 y el segundo con uno bajo cos ϕ2 =0,25 .

Primero calculamos el valor pico

De la formula de Potencia ACTIVA

despejamos la corriente

• Para el primer receptor se cumple:

• Para el segundo receptor se cumple :

Analizando ambos resultados, se obtienen las siguientes conclusiones:

• Un f.d.p. bajo comparado con otro alto, origina, para una misma potencia, una mayor demanda de corriente, lo que implica la necesidad de utilizar cables de mayor sección.

• La potencia aparente es tanto mayor cuanto más bajo sea el f.d.p., lo que origina una mayor dimensión de los generadores.

Ambas conclusiones nos llevan a un mayor costo de la instalación alimentadora. Esto no resulta práctico para las compañías eléctricas, puesto que el gasto es mayor para un f.d.p. bajo. Es por ello que las compañías suministradoras penalizan la existencia de un f.d.p. bajo, obligando a su mejora o imponiendo costos adicionales.

Práctica 1. Trazar el triángulo de potencias de un circuito cuya tensión es v(t) = 150 v sen (ωt+10°) y

i(t) = 5 A sen (ωt-50°) .

2. La potencia consumida por un circuito serie de dos elementos vale 940 w, siendo el factor de potencia igual a 0,707 en adelanto. Hallar las constantes del circuito sabiendo que la tensión aplicada es : v(t) = 99 v sen(ωt+30°) .

3. Determinar el triángulo de potencia del circuito serie:

v3112v2202vV ef0 =⋅=⋅=

φ⋅⋅= cosVIP 00

φ⋅=

cosV

PI

00

Amp394,396,0v311

watt1000

cosV

PI

00 =

⋅=

φ⋅=

Amp862,1225,0v311

watt1000

cosV

PI

00 =

⋅=

φ⋅=

°−∠ 90v50

Ω= 3ZR

j6ZL Ω=

j2ZC Ω−=


.

49

Prof. De Marinis

4. En el circuito el valor eficaz de la intensidad de corriente total es 30 Amp. Hallar las potencias:

5. La potencia total disipada es 1100 watt. Hallar la potencia de cada elemento y la lectura del amperímetro,

6. Determinar el triángulo de potencia de un circuito al que se le aplica la tensión v(t)= 200 v sen (ωt+110°) y circula la intensidad i(t)= 5 A sen (ωt+110°).

7. Determinar el triángulo de potencias de un circuito al que se aplica la tensión v(t) =14,14 v sen ωt y circula una intensidad i(t)= 17,1 A sen (ωt - 14,05°).

8. Determinar el triángulo de potencias de un circuito al que se aplica la tensión v(t) =340 v sen (ωt - 60°) y circula una intensidad i(t)= 13,3 A sen (ωt – 48,7°).

9. La tensión eficaz aplicada a un circuito serie R = 10 Ω y ZC = - 5 Ωj , es 120 volts. Determinar el triángulo de potencia.

10. La tensión eficaz aplicada a un circuito serie R = 5 Ω y ZL = 15 Ωj , es 31,6 volts. Determinar el triángulo de potencia.

Ω= 3ZR

Ω= 4ZR

j3ZC Ω−=

Ω= 3ZR

Ω= 10ZR

j4ZL Ω=

Material Consultado

• Teoría y Problemas de Circuitos Eléctricos . Joseph A. Edminister, M.S.E.

• Wikipedia

anÁlisis de los modelos circuitales 5tosc135d121fe84ade3.jimcontent.com/download/...análisis de...

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