INVESTIGACiÓN REVISTA MEXICANA DE FíSICA 47 (1) [()-16 FEBRERO 2001

Análisis de la birrefringencia de forma en una rejilla mediante la teoría modal

G. Martíncz-Poncc y Cristina SolanoCentro de Investigaciones en Óptica A.c.

Loma del Bosque J J5, LOfllas del Campestre, 37/50 León, GU(fllnjuato, Mexico

Recihido el 3 de mayo de 2(X)O;aceptado el 21 de julio de 20(X)

En este trabajo se analiza la propagación de una onda electromagnética plana a través de una rejilla utilizando la teoría modal. Estableciendoel problema de valor característico se determina que la soluci6n es dependiente de la razón longitud de onda de iluminaci6n CA.)y el periodode la rejilla (rI). En el caso >'/d» 1, conocido como el límite cuasi estático. la rejilla se comporta como una película uniaxial. obteniéndoselos índices ordinario y extraordinario a partir de una aproximación a la ecuación característica. Este fenómeno. llamado birrefringencia deforma, puede emplearse para diseñar elementos birrcfringentes.

[)('scrip!or('s: Difr,lCción: birrefringencia de forma: rejilla sub-longitud de onda

Thc propagation of aplane electromagnetic wavc through a'grating llsing Ihe modal Ihcory is nnnlyzed. The eigenproblem is solved infUllction nf the ratio illurninalion wavelcnglh (,\) to grating period (ti). When this ratio is much greater than one (quasiestatic limit), thegrating shows a response similar to an uniaxial film. It is possib1c to approximale the eigenfullction for calculating the effectivc rcfractiveindices of the birefringem element. This cffect is called form hirefringence and can be used lo design retardatian plales.

Ke,'\\'ords: Diffraction: birefringence: suh-wavclcngth grating

PACS: 42.79.Ci: 42.79.Dj: 42.79.Gn

I. Introducción

La propagación de las ondas electromagnéticas a través demedios estratificados da por resultado lo que conocemos pordifracción. La difracción modifica los parámetros de la luzincidente en el medio dispersor tales como amplitud, fase ypolarización. Para una rejilla estos camhios estarán en fun-ción de la geometría que presente la misma. esto es, del fac-tor de forma. de la profundidad de relieve, de la periodicidad,eh.:. No es fácil apreciar todas las modificaciones en las ca-racterísticas de las ondas electromagnéticas por reflexión otransmisión, sohre todo cuando las dimensiones de la rejillason mayores a la longitud de onda de iluminación. Uno de losprocedimiell!Os que se realizan para estudiar el efecto del me-dio difractor sobre la perturhación luminosa es el de reduciralgunas de sus características geométricas.

Supongamos que una onda plana con longitud de onda/\ incide en una rejilla dc tipo laminar con periodo d y cuyovector de propagación hace un ángulo f}¡ con respecto a lanormal de la interfase. Al atravesar la rejilla se generarán va.dos órdenes de di fracción, los cuales tendrán una distrihucióndada por la ecuación de la rejilla [1],

rejilla es igualo menor que la longitud de onda de la luz in-cidente. la onda difractada que corresponde al orden centralpresenta un camhio en su polarizaci6n con respecto a la pri-mera. Este fenómeno es conocido como hirrefringencia deforma [2] y se deriva del hecho que el medio se comportaC0l110 una película anisótropa que presenta dos índices de rc-fracción, uno para cuando el vector de campo eléctrico dela onda incidente se encuentra contenido en el plano de in-cidencia (modo TM) y otro cuando es perpendicular (modoTE). Este fenómeno se presenta con mayor énfasis cuando larazón >'/d » 1, también llamado Umite cuasi-estático [3J.A las rejillas con tales características sc les denomina rejillassub-longitud de mula.

A continuación se presenta la manera en que la luz queincide sohre la rejilla se distrihuye espacialmente después deser difractada a través del medio incidente (ondas reflejadas).así como a través del medio que se encuentra después del me-dio dispersor (ondas transmitidas). Posteriormente se hará unanálisis del comportamiento de la onda dentro de la rejilla yse establecerán las condiciones para la solución del prohlema.Este análisis se lleva a cano mediante la teoría modal dada aconocer por Rytov [4J.

donde f)1Il es el <íngulo que forma el vector de propagacióndel ordenfll-ésimo difractado con respecto a la normal de laintcrfasc. Cuando /11 /\jrl > 1 se da un caso especial de di-!"racci6n. esto debido a que se producen ondas evanescentes.las cuales viajan perpendicularmente a la dirección de propa-gación del ordcll central (/11 = O) Yse atenúan a una distanciaIllUYcercana a la rejilla.

Uno de los par~ímctros que pueden variarse al momentode fabricar una rejilla es el periodo. Cuando el periodo dc la

'In = 0, :f:l, :f:2,. ( I )

2. Difracción por una rejilla

La función dc propagaci6n compleja de una onda plana mo-nocromática dcpcndicIllc dcl tiempo, polari/.ada linealmentey con longitud de onda .\ cn cl vacío, a través de un mediocon permitividad constante El' se expresa como

13;(.r.1I.z;/) = l'xp[j(k¡ .,7_ wt)]¡l

= l'xp[j(o:r -13.'1 - w/)jl7, (2)

ANÁLISIS DE LA BIRREFRINGENCIA DE FORMA EN UNA REJILLA MEDIANTE LA TEORíA MODAL 11

donde 17es el vector de polarización, ü = kt sin f) y ¡3 =".\ ros 8; B es el ángulo que hace el vector de onda k1 dela onda incidente con respecto al eje coordenado y (Fig. 1).", =lk,I=21r£:j2 j'\ Yw es la frecuencia de la luz incidente.

Supongamos que esta onda incide sobre una rejilla degrosor h, la cual tiene las caras paralelas al plano x-z y queadcllli:ís presenta una distribución periódica de su pcrmitivi-dad dada por.

o<x<cc<x<d'

(3)I

"

Re~ión 1; El

Región 11; EII(X)

e d~ Región 111;£m

Tt

x

=E1=E,+ ¿R"exp[ian:r+i!J'n(y-h)], y>h (4)

donde Enl Y £gr son las pcrmitividadcs en la región de larejilla. La luz al viajar a través de esta estructura periódicase descompondrá en ondas reflejadas y/o transmitidas. de talforma que al llegar a las interfaces, es decir la cara anteriory posterior de la rejilla, habrá ciertas distribuciones de ondJsdifractadas tanto en la región I como en la región III. Estasondas se pueden expresar, eliminando por simplicidad la de-pendencia del tiempo, mediante una expansión de Rayleighcomo [5],

y

=E", = ¿:f,l CXP(i0H:l' - i/33ny),

11=-00

y < o, (5)

FI(jURA l. Representación esquemática de la incidencia de una on.da clecvomagnética sobre una rejilla.

Ahora hien, cualquier onda polarizada linealmente puededescomponerse en sus componentes transversal y longitudi-nal, por lo que el vector de polarización 17en la Ec. (2) estarácontenido en el plano ;I;-Y o en dirección del eje z, respectiva.mente, El primer caso se denomina polarización transversalTM y el segundo polarización transversal TE, Cada una deestas ondas polarizadas dentro de la rejilla tiene un compor-tamiento diferente, por lo que es necesario considerarlas porseparado. Además, la modulación en la región II sólo tienecomponentes en dirección del eje coordenado x, esto CS, lasfranjas no tienen inclinación con respeclo a los ejes yo:;.

donde Jl71 es el vector de amplitud de la H-ésima onda rene-jada y Tn es el vector de amplitud de la n-ésima onda trans-rnilida. Adem<ls,

J.l. Teoría modal

3./. J. Po{arizaci(Jn TE

3. Solución de la ecuación de Helmholtz dentrode la rejilla

Una forma de descrihir el comportamiento de las ondas elec-tromagnéticas dentro de la rejilla es la descomposición enmodos de la onda incidente, donde cada uno de estos modoscllmple con la ecuación de HelmholtZ en forma independien-te.

(9)

(8)

(7)

(10)o<x<ce<;r<d

E,(.I'.,II) = exp[j(U + !Jy)]z.

y1E+k,E = O,

Consideremos la onda plana de la Ec. (2), la cual incide sobrela rejilla de la Fig, 1, Si la polarización de la luz es del modoTE, es decir, el campo eléctrico es perpendicular al plano deincidencia, puede expresarse como

donde

Dchido a que el campo eléctrico total E tiene la mismapolarización que el campo incidente es posihle omitir la no-tación vectorial. En cada región el campo eléctrico. E debesatisfacer la ecuación de Helmholtz,

En la mayoría de los prohlemas ópticos se asume que la per-meahilidad magnética ¡ti es constante e igual a la permeabi-lidad en el vacío en cada una de las regiones,

La ecuación de HelmholtZ a resolver en la región II es de1" forma [71

(6)0n = n + nJ';~

IJ111 = kr - n~,

/J3n = k~ - n~,

donde "3 = 21r(EIIt)'j2 fA es la amplilud del vector de pro-pagación k;{ del orden central en la región nI, cuya perrniti-vidad es [111.°" resulta de la aplicación de las condicionesJe Floquel [6]. siendo K = 21rjd.

Si 0n > "In Ó Qn > k:~Tl se generan ondas evanescentes,por lo que las expresiones para f31Tt Y f3:ln corresponden a laecuación de la rejilla para el caso de ondas rellejadas y ondastransmitidas, respectivamente. En el intervalo O < Y < 11 esposihle descrihir el comportamiento de las ondas suponiendoque la rejilla actlía como una guía de ondas.

He". Mex. Fú 47 (1) (2(X)I) ltl-16

12 G. MARTÍNEZ.PONCE y CRISTINA SOLANO

donde r-. c+, d- Y d+ solo los límites izquierdo y dcrc-\..'110. respectivamente. para la función evaluada en ;1: = (' y.r = d. Al mismo tiempo, dehen cumplirse las condicionesdc pseudo-periodicidad [8]

donde 1."2 = ¡"Le- = /;'1//2 Y ¡,-2 = ¡.lé = k2n2 1l'ni ''--ni 'nlgr ~ gr . gr' rdy IIgr son los índices de refracción mayor y menor, respecti-vamente, t!cnt¡;o de la región ll. Además, el campo eléctricotiene satisfacer las siguientes condiciones a la trontcra:

q<l+,y) = exp(jod)E(O-,y);

OE(d+,y) (. )OE(O+,y)J = exp Jnd O '( .r ,7:

(20)

c:S:r::;rl

1¡¡sin((i.r), ° :S ,: :S e

1¡¡sin(¡Je)cos[¡{r - e)] (21)

1+-cos((3e) sinh(" - e)), e:S,T:S dí

¡cos ((3:r),8 = cos((3e) cosh(': - e.).]fi

- -sinh(:r - e)],~¡

,¡, =

Luego

y

donde ,''2 = /]'2 + ('2.

Dehido a que fJ.1jJ satisfacen la Ec. (16), el wronskiano esconslante y de las condiciones dadas eo la Ec. (19)

( 12)

(1 1)

OE(c+,y)O.r

iJE(d+, y) .O.¡:

OE(c-, y)D.r

OE(d-, y)O.r

E«--.y) = E(c+,y),

q<l-.y) = E(d+,y),

donde nd es el camhio dc fase del campo incidente a lo largode un periodo.

La geometría del problema nos permite proponer una so-lución de variahles separables, esto cs, Ahora escribimos la solución como

(22)

E(,¡:, y) = ,,(,:)v(y), (13) //(.1') = A8(,r) + B'¡J(,r) (23)

y se aplican las restricciones de pseudo-periodicidad,Ec, (12). Esto es,

dc donde se ohtiene para u

O<;r < e,

e <;1; < d,

y para l'

( 14)exp(jnd)A = A8(d) + BIjJ(d),

exp(jnd)B = A8'(d) + B¡J¡'(d). (24)

( 15)Para que este sistema de ecuaciones tenga una solución

no-trivial se requiere que

La Ec (1 ..1-)puede ser reescrita en forma más concisa dela siguiente manera:

/1" + (!S(x - c)u = -/foll, ( 16)

[8(d) - exp(jod)]['¡,'(d) - exp(jnd)]

-8'(d)¡J¡(d) = O, (25)

donde Usando la Ec. (22) este úllimo resultado se reduce a

.) ') 2(w = kgr - ~'nl'

13'2 = k;d _ (2 ( 17)

ein"[8(d) + '¡,'(d)] = 1+ e"'''L,

8(d) + '¡,'(d) = 2cos(od), (26)

La Ec. (16) es un problema de valor característico para elcual cxistcn s610 cicrtas soluciones en función de (J. Sean H y1/' dos solucioncs linealmcnte independientes del prohlema devalor característico, las cuales son continuas y diferenciablesen .1" = c. tales que

y 5(.1') es la función escalón definida como

S(,r) = {o, para x < °1, para x ~ o.

Sustituyendo la Ec, (20) y la derivada de la Ec. (21) en laEc. (26) llegamos a la siguiente igualdad:

(28)V(!I) = (/.('()s((!I) + (¡sin((y),

La solución de esta ecuación trascendental nos dará todos losposihlcs valores característicos jj que determinarán cada unode los modos existentes dentro de la rejilla.

La solución de la Ec. (15) es

cos((le) cosh(d - e)]

1(d' + -')- 2. fh J sinUie) sinh(d - e)] = cos(ml). (27)

( 18)

( 19)

1jJ(0) = O,

';/(0) = L

8(0) = L

8'(0) = 0,

Rel'. Mex. Fú. 47 (1) (2IXII) IO-t6

ANÁLISIS DE LA BIRREFRINGENCIA DE FORMA EN UNA REJILLA MEIlIi\NTE LA TEORíA MODAL 13

(40)

(41 )

(37)

(39)

e S; :1: S; d,

e S; ;r S; d,

_1_1t,(c-) = _1_1t'(C+),£rd Egr

11"(8,1/') = _1_(81// _ 8'</J) = _1 .o(.r) Enl

1i3sin(lh),Ii3s;n(/ic) ('os(-¡(.r - e)1

E p;r 1+--("os(/Jr) s;nh(,(" - e)l,Enl r'

y

cxp(jod)u(O-) = It(d+),

1 f 1 I +- cxp(jml)ll (0-) = -It (d ). (38)Erd Egr

donde ,"2 = /1"2 + ("2.

El wronskiano apropiado esta dado por

Al igual que para el caso de polarización TE, se del1nendos soluciones linealmente independientes para el caso dela ecuación difercncial dc segundo grado dependientc de lavariable ;f las cuales se definen como fJ y 1jJ. Al aplicar lascondiciones (.38) y las condiciones de continuidad dadas porla expresión (37), se ohticne quc

Ij>(.r) =

mientras que [as condiciones de pseudo-periodicidad estándadas por

Las condiciones a la frontera para el caso de polarizaciónTM con respecto a la variable x se expresan como

(30)

(31 )

(32)

D [ I DH] D [ I DH]- --- +- --- +H=OD.I" "',(.1")2 D.I" Dy /;.,(.1")2 Oy ,

la cual puede reescribirse como

En eslc caso el vector magnético ti es el que esta en dircc-ci¡ln del eje::, y, nuevamente debido a la independencia de lapolarización, podrcmos escrihir la representación del campoen forma escalar. Como consecuencia de las discontinuida-des de la constante de permitividad a lo largo del eje :r, laecuación de HelmholtZ adecuada se expresa de la siguienteforma:

por lo que la solución general de la Ee. (9) se expresa comola superposición de todos los modos permitidos dentro de larcjilla [D]. cslo es

\7 x E = - jWJI.ll.

E(J" y) =LCmum(x) cXP(~mY)' (29)m

La funci6n 6(;1:) evaluada en el punto:r = e representa la dis-continuidad de la derivada de la función de propagación delcampo electromagnético. ( está definida como en la igual-dad (17) Yl., (.1") como en la Ec. (10). Nuevamente se proponeuna solución de variahles separahles de la forma

3. /.2. Polarización TM

a la Ec. (29).

donde m es el índice de modo y Cm se determina a partirde la aplicación de las condiciones a la frontera del campoeléctrico en la regi6n 1y 111.Para que la onda que se propagaa través de la rejilla no sea evanescente se debe cumplir que /3sea un número complejo. E.m se ohtiene a partir de la soluciónrJm y dc la Ec. (17). Posteriormente, para la aplicación dc lascondiciones dc continuidad del campo magnético D(:r, y), seaplica la ecuación dc Maxwcll.

Al suslilu; •. la Ec. (33) en la ecuación de Helmholiz seohtienen dos expresiones que representan el problema de va-lor característico, una para la dependencia en .r y otra para ladependencia en ]J,

el cual es constante, luego H y Ó cumplen con la Ec. (34) Yla solución puede cscrihirsc como la superposición de estasfunciones.

H(.r, y) = ll(,r)v(y). (33)

I/(.r) = A8(.r) + BIjJ(:¡;) (42)

[ , ]'"' 11.) ."¡/;,(.•.)- ~(.)' + (-S(.r - e)u = -/3-"," 2 .1

(34)Al aplicar las condiciones de pseudo-periodicidad (38) a laexpresión anterior, se ohtiene el siguiente sistema de ccua-ciones simull:íneas.

donde

(35)

(36)

(,xl'(jod)A = A8(d) + BIj,(d).

_1_('xp(jod)B = _1 [A8'(d) + B</J'(d)J,e <'-nI '-¡;I"

(43)

Ro'. Atcr. VÚ. 47 (1) (200 1) IO~16

14 G. MARTiNEZ-PONCE y CRISTINA SOLANO

la cual se reduce, después de aplicar el resultado obtenidoen (41). a

2..0 2..5 . o132/~2

(adimensional)

-- 9(d) -\V'(d) - 2 cos(ad)----- 9(d)-(e,,¡/tp) 1¡I'(dl-2 cos(adl(adirncnsionales)

-,

12

.1.5

f-](;URA 2. Curvas resultantes de la evaluación de [as funcio-nes l'aral'tcrístil'as para los modos de polarización TE y Tf\.1 pro-pag;índosl' a través de una rejilla sub-longitud de onda.

(45)oB(d) + ...."!¡J,'(d) = 2cos(ad).e'- gr

Sustituyendo las expresiones para (}(:r) y la derivada de l.b(:t)en el intervalo (r', d) en la El'. (45) se llega a la ecuación tras-cendental

[B(d) - <,.xp(jod)] [--}-¡J'(d) - --}- exp(jod)]cgr "rd

_l/J(d)_l B'(d) = O. (44)0g,

el cual tendrá una solución no~trivial siempre y cuando secumpla tille

FJ(lURA ~. Imliccs dc refracción efectivos para el orden cero trans-mitido ohtenidos a partir de las soluciones del prohlema de valorcaractcrísticu para los modos de polarización TE y TM.

x si u (¡Je) sin[-y(d - e)] = eos(od). (46)

Esta ecuación característica se cumple para un númeroinlinito de valores de ti. valores propios. por lo que existe unIllímcro in1inilo dc modos propagándose a través de la rejilla.los cuales sl~r~índiferentes a los ohtcnidos para la polariza-ción TE. La solución para la parte dependiente de y tiene lamisma forllla que la El'. (2X), por lo que la solución para losmodos propag~índosc cn la región 11 tiene la forma general

l/(.r.!!) = L D",/I",(.r)cxP((mY)' (47)

'"donde el subindice 111 corresponde alm-ésimo modo dentrode la rejilla y f),IO se determina a partir de las condiciones dccontinuidad del campo eléctrico a través de las interfaces. Pa-ra que la El". (47) corresponda a una onda electromagnéticapropag<Índose se debe cumplir que ¡3 sea compleja. El campoeléctrico E(.r. y) se deriva de la aplicación de la ecuaci6n def\lax\VeIL

I..N

''''1.47

e~ 146Oo• 1.45..=2u 144~~ 1. 43u.¡;.: 1.42

1.41

140

[.W

[JI!0.0 o. .'i lO I..'i

Ud2. O J. O

Las soluciones de las ecuaciones trascendentales (27) y (46)para ordenes de propagación corresponderán a los valores de,¡".! < n en ambos casos. En la Hg. 2 se muestra el compor-tamiento en función de la razón AJd de las funciones 8(d) -I,,(d) -:2 co;,; (od) y H(d) - (£rd -£l!.r)1./J' (d) - 2 ('os (od) cuan-do la rejilla se ilumina cn forma normal y AO = 6:32.8 nm,d = ().(i2,~)'\0' f' = O,;' d, érc! = (1.2iT! Y égr = (1.5--if, Lascurvas crulan el eje horizontal sólo una vez cuando ¡{2 < O.lo que indic;¡ que existe sólo un orden de propagación siendoel resto de los ordenes, los cuales suman un número inlinito,L'vanescentes, La solución del prohlema de valor caracterls-

v x li = jwdf,

" laEc(47l.

J.!. Limite l'u:lsit.'st:ítico

(4X)tico para cada polarización corresponde a un valor diferentede ri y. por lo tanto. a un índice de refracción efectivo dife-renle tamhién.

Cuando la radlll longitud de onda de iluminación a perio-do de la rcjilla ).,Jtl > 1 los on.lcncsde difracción disminuyenen nlÍmero dehido a la generación de ondas evanescentes. Sincmhargo, el estado de polari/.ación de los ordenes difracta-dos camhia dehido a un comportamiento similar a un cristalanisotnlpico. El ereclO de anisotropia es mayor cuando sóloexiste un ordcn de propagación. el orden cero. En la Fig. 3se muestra la tendencia de las soluciones de las Ecs. (27) y(--I()) a un valor constante en runción de ¡p cuando AJtl » 1.El valor al cual tienden estas dos ecuaciones es diferente. por10 que se ohtendr<Í Ull índice de refracción efectivo diferen-le para cada caso, De lo anterior concluimos que la llamadahir/"(~f¡'¡lIg(,1Iá(/ dc/rmll(/ del mcdio sed independiente de lalongitud de onda cuando se trahaja en el límite cuasiestático.

Rel', Mex. Fú. 47 (1) (lOO 1) 10-16

ANÁLISIS DE LA HIRREFRINGENCIA DE FORMA EN UNA REJILLA MEDIANTE LA TEORÍA MODAL 15

5. Discusión

FIGURA 4. Valores de la birrefringcncia artificial de una rejilla enfunción de la razón longitud de onda de iluminación/periodo de larejilla.

con respecto a la TE constante, se calcula la elipticidad edel haz transmitido al orden cero en función de la longitudde onda incidente y del ángulo T} de polarización del mismo,Fig. 5. Para este calculo se utilizan los índices de refracciónresultantes de la solución exacta de los prohlemas de valorcaracterístico previamente analizado y un haz incidiendo nor-malmente a la rejilla con polarización JJ.

Para lograr que la rejilla funcione como una placa retar-dadora ),,/4 puede eonsiderarse los valores de elipticidad enel intervalo 0.9 < ~ < 1 para el haz transmitido. El rangoespectral que cumple con esta condición en la Fig. 5 se en-cuentra en 1.4 < )../tI < 2. mientras que existe también unatolerancia para el ángulo de polarización incidente. El rangoangular de polarización es ;350 < 1] < 55°.

3.02,520L5

Ud<.0

0,026

0.024

0.022

0.020

~"E" 0.01~~

I0.016

0.014

0.012

00 05

La teoría Illodal demue~tra que el efccto de difracción poruna rejilla puede analizarse como la propagación de una on-da electromagnética a través de una guía de ondas. Además,estahlece que los modos que se propagan a través de esta es-tructura (soluciones del prohlema de valor característico) sonlos ordcnes de difracción ohservados. Es más, esta teoría pue-de utilizarse para la descripción del comportamiento de lasrejillas de alta frecuencia, las cuales muestran una respuestasemejante a un cristal uniaxial. Mediante una aproximación aprimcr orden es posihle calcular los índices de refracción or-dinario y extraordinario del medio hirrefringente equivalentc.Cuando se aplica este caso especial, la teoría modal se redu-ce a una teoría de orden cero. pucs es el único orden que sepropaga. De esta manera, se determina que las dimensionesgeométricas de la rejilla suh-longitud de onda pueden modi-ficarse para utilizarlas en el diseJlo de elementos retardadoresde fase.

Una de las ventajas que ofrecen los elementos birrefrin-gentes hasados en rejillas es el hecho de que pueden ampliarel ancho espectral cn el cual los retardadores de fase produ-

'}") ') , ,} E"nl£gr"()"; = ¡Jh,=} ,,; = ( D) D' (50)

£gr 1- +Enlsiendo no y /Ir los índices de refracción ordinario y extraor-dinario. respectivamente, de un cristal uniaxial equivalente yD = c/d

El resultado expresado en la Ec. (50) permite el diseilo deelementos hirrefringentes basados en rejillas sub-longitud deonda. El retraso de fase de la componente TM con respectoa la TE obtenido estad dado por el producto k(nf, - !to)h,el clIal es función de la longitud de onda, periodo. el gro-sor de la rejilla y de los índices de refracción, lo cual pue-de utilizarse para el diseño de placas retardadoras de fa~se [ll-l~t1. En la Fig. 4 se muestra la dependencia de la hi-rrefringencia'ó''' = lIe - no en función de la longitud deonda de iluminación para crd = (1.27)2, cgr = (1.54)2,d = OG2:J Ar" '\' = 632.8 nm, y " = lO ¡Jln. Utilizando laEc. (50) se encuentra un valor de índices de refracción artifi-ciales no = 1.411 YHe ::::: 1.386, que son los mismos valoresbacia los que tiende la solución exacta cuando )../ti > 1.

4. Diseño de elementos retardadores de fase

Una de las aplicaciones de la birre:-. ingencia de forma es eldiseño de elementos ópticos que modifiquen la rase de unhaz de luz polarizada. El cambio en la fase de las compo-nentes TE y TM esta en función de la diferencia de índicede refracción efectivo que muestra la rejilla sub-longitud deonda. Como consecuencia de la diferencia de fase, la rejillapuede provocar un cambio en el estado de polarización dela luz incidente. De esta forma es posihle emplear la rejilla.suh~[ongitud de onda como placas retardadoras ),,/4. >../2 Yrelrasadores de fase, éstos últimos no alteran el estado de po-larií'.ación del haz incidente.

Con el propósito dc analizar la región espectral en la cualla rejilla proporciona un retraso de fase de la componente Trvl

Los Índices dc refracción artificiales ordinario y extraor-dinario se encuentran en una dirección perpendicular y pa-ralela a la de la modulación del Índice de refracción, res-pectivamente. Estos índices de refracción que posee la reji-lla suh~longitud de onda están en función de su geometría yde la longitud de onda incidente. Existen varios criterios enlas aproximaciones para la obtención del valor de la birrc-fringcncia [10]. De cada criterio surge una teoría llamada deorden cero debido a que sólo existe un orden de propagaci6n,el cero. Una de estas teorías propone la expansión en seriesde las soluciones del problema de valor caracteríslico, Ecs.(27) y (46), tomando sólo los términos de primer orden delperiodo, que para {j2 puede expresarse como.

¡3fE = (k~r - k;d) D + k;d'

, (,,~, - k;d)E:,dD 2$~M = --------+krd, (49)

(1 - D)E:g, + Dé,d

donde podemos definir,2, 2 _ 2 , 2 _/,0"0 -/3TE => Ha - crd(1 - D) + cgrD,

Re('. Mex. 1'(,. 47 (1) (2001) ](1-16

1(, G. r-.1ARTfNEZ-PONCE y CRISTINA SOLAi'O

Elipticidad e

Ud

FHiURA 5. Valores de la clipticidad del orden ccro transmitido por una rejilla suo.longilUJ dc onda ('ll función de la razón longitud de

tll1Ja/pcrioJo y del :íngulu de polarización incidente.

(en Ullíl respuesta aceptahle, además de permitir una toleran-da en el :lllgulo del vector de campo eléctrico. Esta propiedadpuede ser empicada para solucionar el prohlema de camhiotic longitud de onda central de emisión o variación del <Íngulodc polaritaciúll por calentamiento de algunas fuentes de lulo.

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Agradecimientos

Los autores agradecen el apoyo de CONACyT para la reali-zación de la presente investigación hajo el proyecto .33793.E.además de la beca de posgrado para G. Martíncz-Poncc.

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