anÁlisis de esfuerzos en una flecha de un helicÓptero …
TRANSCRIPT
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD TICOMÁN
“ANÁLISIS DE ESFUERZOS EN UNA FLECHA
DE UN HELICÓPTERO A ESCALA”
TESINA
QUE PARA OBTENER EL TITULO PROFESIONAL DE
INGENIERO EN AERONÁUTICA
PRESENTA
GARCÍA MARTÍNEZ MIGUEL ÁNGEL
LOZANO AMARO JUAN CARLOS
ASESOR DE TESINA
ING. JOAQUIN CEDILLO CÁRDENAS
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
ÍNDICE DE CONTENIDO
SIMBOLOGÍA ............................................................................................................................................. 4
ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 7
OBJETIVO ............................................................................................................................................... 8
1CAPITULO 1 Marco teórico ......................................................................................................................... 9
1.1Helicóptero .............................................................................................................................................. 9
1.1.1Rígido (sin articulaciones) .......................................................................................................... 12
1.1.2Semirrígido (basculante) ............................................................................................................. 13
1.1.3Rotor principal individual ........................................................................................................... 14
1.1.4Rotores gemelos .......................................................................................................................... 15
1.2Esfuerzos presentes en las estructuras .............................................................................................. 15
1.2.1Tracción. ..................................................................................................................................... 15
1.2.2Compresión. ................................................................................................................................ 16
1.2.3Cizallamiento o cortadura. .......................................................................................................... 16
1.2.4Torsión. ....................................................................................................................................... 18
1.2.5Flexión ........................................................................................................................................ 18
1.2.6Resistencia a la flexión ............................................................................................................... 19
1.2.7Vibraciones de los rotores ........................................................................................................... 21
1.2.8Vibraciones por resonancia ......................................................................................................... 21
1.2.9Vibración por desalineación ....................................................................................................... 22
1.2.10Vibraciones por defecto de los rodamientos ............................................................................. 22
2CAPITULO 2 Metodología para el análisis de la flecha ............................................................................. 23
2.1Calculo del ángulo de aleteo 𝜷 ...................................................................................................... 24
2.2.Momento de inercia de la pala ...................................................................................................... 26
2.3Calculo de la pendiente de la curva de levantamiento del perfil NACA 0015 .............................. 28
2.4Resolución del angulo de aleteo con ayuda de MATLABMR ........................................................... 29
2.5Análisis Modal ................................................................................................................................... 37
Página 3
3CAPITULO 3 Fase experimental ................................................................................................................. 40
3.1Calculo del coeficiente K ( de los dámper rubbers) ....................................................................... 40
4CAPITULO 4 CONCLUSIONES Y RESULTADOS ............................................................................................ 46
4.1Observaciones, conclusiones, trabajos futuros: ................................................................................. 46
ANEXOS ....................................................................................................................................................... 47
Programas en MATLABMR ..................................................................................................................... 47
Especificaciones técnicas ........................................................................................................................ 49
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................. 51
SIMBOLOGÍA
Símbolo Descripción
𝛽 Angulo de aleteo
𝜌 Densidad del aire
Ω Velocidad tangencial
𝐶 Cuerda
𝑎0 Pendiente de la curva de sustentación
𝐹𝑧 Fuerza de sustentación
m Masa de la pala
𝐾 Constante de los damper rubbers
E Módulo de elasticidad de la flecha
I Módulo de inercia de la flecha
𝐼𝛽 Momento de inercia de la pala
Página 5
ÍNDICE DE FIGURAS
Ilustración 1 rotor semirigico ____________________________________________________________________ 10
Ilustración 2 fuerzas en la pala ___________________________________________________________________ 11
Ilustración 3 centroide del disco de sustentación _____________________________________________________ 12
Ilustración 4 rotor rigido ________________________________________________________________________ 12
Ilustración 5 grados de libertad del rotor rigido _____________________________________________________ 12
Ilustración 6 rotor semirigido ____________________________________________________________________ 13
Ilustración 7 angulo de libertad __________________________________________________________________ 14
Ilustración 8 rotor de cola _______________________________________________________________________ 14
Ilustración 9 rotor fenestron _____________________________________________________________________ 14
Ilustración 10 con un sistema NOTAR _____________________________________________________________ 14
Ilustración 11 rotores en tandem _________________________________________________________________ 15
Ilustración 12 rotor coaxial _____________________________________________________________________ 15
Ilustración 13 rotores entrecruzados ______________________________________________________________ 15
Ilustración 14 rotor transversal___________________________________________________________________ 15
Ilustración 15 esfuerzos de compresion ____________________________________________________________ 16
Ilustración 16 cortante _________________________________________________________________________ 16
Ilustración 17 flexion ___________________________________________________________________________ 17
Ilustración 18 torsion __________________________________________________________________________ 18
Ilustración 19La alineación de las coronas y piñones así como el conjunto de embrague es uno de los puntos donde
aparecen las vibraciones. Es importante que prestemos atención a la alineación y equilibrio. Uno de los puntos
donde antes se reflejan este tipo de vibraci _________________________________________________________ 20
Ilustración 20 diagrama de cuerpo libre de la pala ___________________________________________________ 23
Ilustración 21 perfil naca 0015 ___________________________________________________________________ 26
Ilustración 22 momento de inercia ________________________________________________________________ 28
Ilustración 23 diagrama de cuerpo libre de la flecha _________________________________________________ 40
Ilustración 24 sistema flecha -damper rubber _______________________________________________________ 40
Ilustración 25dinamometro _____________________________________________________________________ 41
Ilustración 26 comparador de caratula ____________________________________________________________ 42
Ilustración 27 aplicacion de fuerza en el experimento ________________________________________________ 42
Ilustración 28 sistema completo del experimento____________________________________________________ 43
Ilustración 29 grafica de K_______________________________________________________________________ 45
Ilustración 30 grafica cl/ alpha __________________________________________________________________ 29
Ilustración 31 subsistema de tetha ________________________________________________________________ 31
Ilustración 32 subsistema de la fuerza de sustentacion ________________________________________________ 32
Ilustración 33 beta_____________________________________________________________________________ 33
Ilustración 34 grafica de beta ___________________________________________________________________ 34
Ilustración 35 modelo de los momentos ___________________________________________________________ 35
Ilustración 36 grafica de los momentos ____________________________________________________________ 36
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 37 raices del sistema _________________________________________________________________ 38
Ilustración 38 formas modales ___________________________________________________________________ 39
Página 7
INTRODUCCIÓN
Para tratar de mitigar estos esfuerzos generados en un rotor de un helicóptero se opta por una
configuración semirrígida en la que el ángulo de abatimiento aumenta pero los esfuerzos
cortantes disminuyen.
La poca concentración de esfuerzos requeriría materiales más ligeros y por lo tanto se
conseguiría reducción de peso y costos en la aeronave. Por lo tanto, es necesario identificar las
áreas de oportunidad en el cálculo de esfuerzos en el eje del rotor de un helicóptero. Debido a
que no podemos realizar experimentos en una aeronave real seleccionamos un modelo a escala y
simularemos con ayuda del software MATLABMR las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, así
resolveremos el sistema de cargas dinámicas que actúan en la pala para su posterior análisis.
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
OBJETIVO
General:
Analizar los esfuerzos que se presentan en una flecha de helicóptero con rotor
semirrígido y comprobar experimentalmente las ecuaciones que rigen los esfuerzos
flexionantes en una flecha.
Comparar los esfuerzos flexionantes de la flecha de rotor y compararlos con los
conseguidos experimentalmente.
Particulares:
Determinar los esfuerzos críticos en una flecha de helicóptero de motor semirrígido
Proponer el diseño de una nueva flecha en base a los esfuerzos encontrados mediante
métodos teóricos y experimentales
Página 9
CAPITULO 1 Marco teórico
Helicóptero Un helicóptero es una aeronave que es sustentada y propulsada por uno o más rotores
horizontales, cada uno formado por dos o más palas. Los helicópteros están clasificados como
aeronaves de alas giratorias para distinguirlos de las aeronaves de ala fija porque los helicópteros
crean sustentación con las palas que rotan alrededor de un eje vertical. La palabra «helicóptero»
deriva del término francés hélicoptère, acuñado por el pionero de la aviación Gustave Ponton
d'Amécourt en 1863 a partir de las palabra griega ελικόπτερος, helix/helik- (hélice) y pteron (ala)
La principal ventaja de los helicópteros viene dada por el rotor, que proporciona sustentación sin
que la aeronave se esté desplazando, esto permite realizar despegues y aterrizajes verticales sin
necesidad de pista. Por esta razón, los helicópteros se usan a menudo en zonas congestionadas o
aisladas donde los aviones no pueden despegar o aterrizar. La sustentación del rotor también
hace posible que el helicóptero pueda mantenerse volando en una zona de forma mucho más
eficiente de la que podría otra aeronave VTOL (de despegue y aterrizaje verticales), y pudiendo
realizar tareas que una aeronave de ala fija no podría.
La idea del helicóptero es muy anterior a la del autogiro, inventado por el español Juan de la
Cierva, aeronave con la que tiene sólo cierta similitud externa. Sin embargo, los primeros
helicópteros pagaron patente y derechos de utilización del rotor articulado, original del ingeniero
español. También se tomaron ideas del genio italiano Leonardo da Vinci, pero el inventor del
primer helicóptero pilotado y motorizado fue el eslovaco Jan Bahyl. El primer aparato
controlable totalmente en vuelo y producido en cadena fue fabricado por Igor Sikorsky en 1942.
Comparado con otros tipos de aeronave como el avión, el helicóptero es mucho más complejo,
tiene un mayor coste de fabricación, uso y mantenimiento, es relativamente lento, tiene menos
autonomía de vuelo y menor capacidad de carga. No obstante, todas estas desventajas se ven
compensadas por otras de sus características, como su gran maniobrabilidad y la capacidad de
mantenerse estático en el aire, girar sobre sí mismo y despegar y aterrizar verticalmente. Si no se
consideran aspectos tales como la posibilidad de repostaje o las limitaciones de carga y de
altitud, un helicóptero puede viajar a cualquier lugar y aterrizar en cualquier sitio que tenga la
suficiente superficie (dos veces la ocupada por el aparato).
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Rotor de helicóptero
Un rotor de helicóptero es la parte rotativa de un helicóptero que genera
la sustentación aerodinámica. El rotor de helicóptero, también llamado el sistema rotor,
normalmente hace referencia al rotor principal del helicóptero que está montado en un mástil
vertical sobre la parte superior del helicóptero, aunque también puede referirse al rotor de cola.
Un rotor generalmente está compuesto de dos o más palas. En los helicópteros, el rotor principal
proporciona tanto la fuerza de sustentación como la de empuje, mientras que el rotor de cola
proporciona empuje para compensar el par motor que genera el rotor principal.
Tipos de rotor
Articulado
Ilustración 1 rotor semirrígido
Utiliza articulaciones para reducir los esfuerzos a los que se ven sometidas las palas y que
pueden transmitirse indebidamente a la cabeza del rotor. Son sistemas de rotor con tres o más
palas en los que se emplean articulaciones para el batimiento (disminución del ángulo de ataque
de la pala que avanza y aumento de la que retrocede), el paso (aumento del ángulo de paso de la
pala) y el arrastre (avance o retroceso de las palas individualmente para la conservación del
momento angular).
La articulación de batimiento fue debida a los trabajos de investigación del ingeniero español
Juan de la Cierva en el vuelo y desarrollo de autogiros. Durante sus trabajos se dio cuenta que
existe una "asimetría de sustentación" en el vuelo de avance entre la pala que avanza y la que
retrocede, por lo que optó por dotar de una articulación de batimiento para que los dos lados del
rotor alcancen su propio equilibrio de fuerzas. Sin el desarrollo de esta articulación no hubiera
Página 11
sido posible el desarrollo de los helicópteros, que, aunque las palas son activas (en lugar de
pasivas) se encuentran con el mismo problema.
Gracias a la articulación de batimiento se consigue que las palas trabajen exclusivamente a
tracción sin estar sometidas a esfuerzos de flexión en el encastre. En una condición cualquiera de
vuelo, la resultante Rs debida a la sustentación L de la pala, a la fuerza centrífuga Fc y al peso de
la misma forma.
Ilustración 2 fuerzas en la pala
Rotor articulado permite a las palas oscilar libremente sobre el eje de batimiento. Si las palas
oscilarán al unísono el CG del conjunto de las pala permanecería en el centro, pero como esa
oscilación es libre para cada pala, provoca que el CG del rotor se desplace fuera del centro
provocando vibraciones en el sistema.
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 3. Centroide del disco de sustentación
Rígido (sin articulaciones)
Ilustración 5 grados de libertad del rotor rígido
Ilustración 4 rotor rigido
Página 13
El eje de giro y el buje están unidos formando una sola pieza y las palas están encastradas
rígidamente al buje, teniendo solamente la libertad de giro sobre su eje longitudinal para la
variación del paso. Las ventajas de este sistema son su sencillez y robustez mecánica. El material
que compone la pala realiza los movimientos de batimiento, paso y arrastre por esfuerzo del
material. Suelen ser helicópteros ágiles y de rápida respuesta como el BO-105.
Características más importantes:
– Sencillez
– Robustez mecánica.
Semirrígido (basculante)
Ilustración 6 rotor semirigido
Se permite a las palas un ligero batimiento vertical individual. Todo el conjunto pivota, de
manera que la pala que avanza asciende para disminuir su ángulo de ataque y por ende su
sustentación y la que retrocede desciende para aumentar ángulo de ataque y sustentación
equilibrándose así la disimetría de sustentación creada por el movimiento traslacional. Este
sistema solamente es posible en rotores de dos palas. El problema que surge es que los encastres
de las palas se ven sometidos a esfuerzos considerables de flexión.
Elimina algunos de los inconvenientes de los rotores articulados, aunque naturalmente surgen
otros propios de este sistema. Las palas no se articulan en el buje; es el conjunto el que puede
inclinarse en todas direcciones mediante la puede inclinarse en todas direcciones mediante la
articulación cardan o junta universal que une el buje al mástil.
El sistema es capaz de corregir automáticamente la asimetría de sustentación, ya que la pala que
avanza puede subir a la vez que desciende la pala que retrocede gracias a que todo el sistema en
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
conjunto puede bascular. En condiciones normales de vuelo, este tipo de rotor está sometido a
esfuerzos de flexión en los encastres de las palas.
Ilustración 7 angulo de libertad
Rotor principal individual
Ilustración 8 rotor de cola Ilustración 9 rotor fenestron
Ilustración 10 con un sistema NOTAR
Página 15
Rotores gemelos
Ilustración 11 rotores en tandem Ilustración 12 rotor coaxial
Ilustración 13 Rotores entrecruzados Ilustración 14 Rotor transversal
Esfuerzos presentes en las estructuras
Al construir una estructura se necesita tanto un diseño adecuado como unos elementos que sean
capaces de soportar las fuerzas, cargas y acciones a las que va a estar sometida. Los tipos de
esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras son:
Tracción.
Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen una pieza, tendiendo a
alargarla. Por ejemplo, cuando se cuelga de una cadena una lámpara, la cadena queda sometida a
un esfuerzo de tracción, tendiendo a aumentar su longitud
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Compresión.
Hace que se aproximen las diferentes partículas de un material, tendiendo a producir
acortamientos o aplastamientos. Cuando nos sentamos en una silla, sometemos a las
patas a un esfuerzo de compresión, con lo que tiende a disminuir su altura
.
Ilustración 15 esfuerzos de compresión
Cizallamiento o cortadura.
Se produce cuando se aplican fuerzas perpendiculares a la pieza, haciendo que las partículas del
material tiendan a resbalar o desplazarse las unas sobre las otras. Al cortar con unas tijeras un
papel estamos provocando que unas partículas tiendan a deslizarse sobre otras. Los puntos sobre
los que apoyan las vigas están sometidos a cizallamiento.
Ilustración 16 Cortante
Página 17
Es una combinación de compresión y de tracción. Mientras que las fibras superiores de la pieza
sometida a un esfuerzo de flexión se alargan, las inferiores se acortan, o viceversa. Al saltar en la
tabla del trampolín de una piscina, la tabla se flexiona. También se flexiona un panel de una
estantería cuando se carga de libros o la barra donde se cuelgan las perchas en los armarios
.
Ilustración 17 Flexión
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Torsión.
Las fuerzas de torsión son las que hacen que una pieza tienda a retorcerse sobre su eje central.
Están sometidos a esfuerzos de torsión los ejes, las manivelas y los cigüeñales.
Ilustración 18 Torsión
Flexión
El esfuerzo de flexión puro o simple se obtiene cuando se aplican sobre un cuerpo pares de
fuerza perpendiculares a su eje longitudinal, de modo que provoquen el giro de las secciones
transversales con respecto a los inmediatos.
Sin embargo y por comodidad para realizar el ensayo de los distintos materiales bajo la acción de
este esfuerzo se emplea generalmente a las mismas comportándose como vigas simplemente
apoyadas, con la carga concentrada en un punto medio (flexión practica u ordinaria).
En estas condiciones además de producirse el momento de flexión requerido, se superpone al un
esfuerzo cortante, cuya influencia en el calculo de la resistencia del material varia con la
distancia entre apoyos, debido a que mientras los momentos flectores aumentan o disminuyen
con esta, los esfuerzos cortantes se mantienen constantes, como puede comprobarse fácilmente
en la figura, por lo que será tanto menor su influencia cuanto mayor sea la luz entre apoyos.
Es por esta razón que la distancia entre los soportes de la probeta se han normalizado
convenientemente en función de la altura o diámetro de la misma, pudiendo aceptar entonces que
la acción del esfuerzo de corte resulta prácticamente despreciable. Para ensayos más precisos la
aplicación de la carga se hace por intermedio de dos fuerzas con lo que se logra “flexión pura”.
Página 19
Resistencia a la flexión
La fórmula de la tensión será, como ya sabemos la relación del esfuerzo con la sección donde
actúa. El momento flector máximo en la viga es igual:
Mfmax = P . ( L – d ) / 4
Siendo P la carga total, L la distancia entre apoyos y d la separación entre las cargas (ver dibujo
en la pag. Siguiente)
Si el modulo resistente Wz es:
Wz = p . d³ /32
Remplazando en la fórmula que determina la tensión y considerando el momento flector
máximo, obtenemos la “resistencia estática o módulo de rotura de la flexión”.
Vibraciones
Las vibraciones son inherentes al diseño de los helicópteros. Los helicópteros están sometidos a
gran cantidad de esfuerzos mecánicos, estos esfuerzos afectan a la estructura del chasis y
provocan desalineación de algunos componentes y esta desalineación provoca vibraciones.
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 19La alineación de las coronas y piñones así como el conjunto de embrague es uno de los puntos donde aparecen las vibraciones. Es importante que prestemos atención a la alineación y equilibrio. Uno de los puntos donde antes se reflejan este tipo de vibración. *
Página 21
Vibraciones de los rotores
Quizás las más obvias debido a lo fácil que es que el rotor no esté equilibrado. Pueden producirse
en cualquiera de los dos rotores y los síntomas que presentan son distintos dependiendo de que
sea el rotor principal o el de cola. Estas vibraciones se producen cuando hay desequilibrio entre
las palas, es decir, que el eje de giro no coincide con el eje de las masas de las palas. Idealmente
ambos ejes deben coincidir y tanto mayor será la vibración cuanto más alejados estén el eje de
giro y el de masas de las palas.
Los síntomas que las identifican son fácilmente visibles. En el caso de desequilibrio del rotor
principal el helicóptero vibra circularmente y por completo en dirección transversal, mientras
que si el desequilibrio está en el rotor de cola lo veremos por la vibración de las puntas del
estabilizador horizontal o, dependiendo de la severidad, la vibración vertical de la cola al
completo.
Vibraciones por resonancia
Todos y cada uno de los modelos de helicópteros que existen en el mundo tienen lo que se
denomina una frecuencia de resonancia. Esta frecuencia de resonancia depende del diseño del
helicóptero y provoca que a ciertas vueltas del rotor principal la mecánica completa vibre. El
esfuerzo de los ingenieros radica en situar esa frecuencia de resonancia fuera de los límites de
operación normal del helicóptero, es decir, en el caso concreto del radio control donde usamos
entre 1300 y 2000 revoluciones por minuto, no resultaría problemático que nuestro sonancia de
2100 rpms. La frecuencia de resonancia se manifiesta de dos maneras, cuando es por exceso de
vueltas es una vibración completa del helicóptero de alta frecuencia que se suele ver en la
vibración del estabilizador vertical, mientras que si es por defecto de vueltas, el helicóptero gira
como un hoola-hop.
La forma de corregirla es aumentando o disminuyendo vueltas según el caso.
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Vibración por desalineación
Se localizan principalmente en el conjunto embrague/motor o campana/transmisión. El eje de
giro de nuestro motor ha de estar perfectamente alineado con el eje de giro de la campana de
embrague. Esto es uno de los puntos más difíciles de conseguir en algunos modelos de
helicópteros, que incluso requieren de la utilización de un reloj comparador para alinear el
embrague. Estas son unas de las vibraciones más dañinas para nuestros helicópteros debido a que
hacen vibrar la mecánica completamente y a alta frecuencia, provocando fallos en nuestro
modelo. Se pueden identificar también acústicamente por un sonido similar a un
“uhmmmmmmm” continuo y se deben solucionar de inmediato. Normalmente vienen
acompañadas de muchas burbujas en el depósito de combustible y vibración lateral del
estabilizador vertical, lo cual nos ayuda también a identificarla.
También se identifican fácilmente a ralentí. Si nuestro helicóptero vibra a ralentí es un síntoma
claro como lo es un embrague muy agarrado.
Se pueden producir también por desalineación del eje principal en la mecánica, bien sea porque
no hemos hecho el apriete final del chasis sobre una superficie plana o porque los bloques de los
rodamientos tengan juego.
Vibraciones por defecto de los rodamientos
Otra causa cada vez más común de vibraciones, debido a la proliferación de máquinas de
procedencia china, es la producida por los rodamientos en mal estado.
Estas vibraciones son muy difíciles de detectar en sus inicios pero se van agravando cada vez
más ya que el fallar el rodamiento va cogiendo o gripando por lo que empieza a afectar al soporte
del rodamiento que a su vez coge holgura amplificando la vibración. Los rodamientos en mal
estado pueden incluso generar interferencias en 35 Mhz por lo que es importante prestarles
atención. Sólo un buen mantenimiento preventivo puede evitar que se produzcan.
Las vibraciones de los rodamientos se suelen presentar en forma de tirones esporádicos, similares
a los generados por la mala carburación.
En el caso de los rodamientos de un solo sentido se muestran cada vez que tocamos el paso por
una vibración violenta.
Página 23
CAPITULO 2 Metodología para el análisis de la flecha
Para empezar a analizar las cargas en la pala debemos de analizar la pala como un sistema no
amortiguado. La primera carga que analizaremos es la fuerza centrífuga. Esta fuerza parte del
centro de gravedad de la pala, y es totalmente perpendicular al eje.
Ilustración 20 diagrama de cuerpo libre de la pala
Partimos de la ecuación
𝐹 = 𝑚𝑎
Donde
𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎
𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
Δ𝐹 = 𝑚Ω2Δ𝑟
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Para saber el momento que la fuerza centrífuga está aplicando en la flecha debemos de
multiplicar la magnitud de la fuerza centrífuga por el brazo de palanca, que en este caso es
𝑠𝑒𝑛 𝛽 ∙ 𝑟´ = 𝜷𝒓´
Para llegar a esta conclusión debemos de recordar que beta siempre es un ángulo muy pequeño
asi , podemos usar la siguiente identidad trigonométrica
𝑠𝑒𝑛 0.00000001 ≅ 0.00000001
Sustituyendo,
Δ𝑀𝐶.𝐹. = 𝑚ΔrΩ2(𝑟 − 𝑒)𝛽
Teniendo en cuenta que solo se analiza la pala después de la articulación, para que la ecuación
quede de manera más cómoda para su análisis transformaremos la ecuación solo con 𝑟´
𝑟´ = 𝑟 − 𝑒
Ahora tenemos
Δ𝑀𝐶.𝐹. = 𝑚Δ𝑟´Ω2(𝑟´ + 𝑒)𝛽
Finalmente tenemos el momento total es:
𝑀𝐶.𝐹. = 𝛽Ω2 ∫ 𝑚(𝑟´ + 𝑒)𝑅−𝑒
0
𝑟´𝑑𝑟´
Sin embargo sabemos que
𝐼𝑏 = ∫ 𝑚𝑅−𝑒
0
𝑟´2𝑑𝑟´
𝑀𝑏𝑔⁄ = ∫ 𝑚
𝑅−𝑒
0
𝑟´𝑑𝑟´
Donde 𝐼𝑏 es el momento de inercia de la pala y 𝑀𝑏
𝑔⁄ es el momento estático, sustituyendo:
𝑴𝑪.𝑭. = 𝜷𝛀𝟐(𝑰𝒃 + 𝒆𝑴𝒃
𝒈⁄ )
Calculo del ángulo de aleteo 𝜷
Página 25
Para poder determinar el ángulo 𝜷 debemos estudiar el rotor como un péndulo simple
amortiguado, el cual está en equilibrio dinámico. Para tal estudio tenemos la siguiente ecuación:
∑ 𝑀 = 0
∑ 𝑀 = 𝐼�̈� + 𝐶�̇� + 𝐾𝛽 + 𝑓(𝜃0)
Ahora tenemos que analizar cada parte de la ecuación
𝐼�̈�
Sin embargo aún no podemos usarla para nuestros propósitos tendremos que trabajar con ella
para poder calcular el ángulo 𝛽 de nuestra pala
𝐼𝛽�̈� + 12⁄ 𝜌Ω2𝑟2𝑎0𝐶(𝜃0 +
�̇�
Ω) + (mΩ2𝑟2 − 𝐾)𝛽 = 0
𝐼𝛽�̈� + 12⁄ 𝜌Ω2𝑟2𝑎0𝐶𝜃0 +
𝐹𝑧�̇�
Ω+ (mΩ2𝑟2 − 𝐾)𝛽 = 0
Donde
𝐼𝛽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑎0 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙
𝐶 = 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
Ω = velocidad tangencial
𝜃0 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙
𝑟 =2
3𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟
m = masa de la pala
K = constante del resorte
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Al analizar la ecuación no podemos dar cuenta que aún tenemos más incógnitas que solo 𝛽 el
estudio de todas las variables a detalle continuara en las siguientes secciones.
Momento de inercia de la pala
Momento de inercia es el nombre que se le da a la inercia rotacional. En la tabla de arriba se ve
que su análogo en el movimiento lineal es la masa. Aparece en las relaciones de la dinámica del
movimiento rotacional. El momento de inercia debe especificarse respecto a un eje de rotación
dado. Para una masa puntual el momento de inercia es exactamente el producto de la masa por el
cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación, I = mr2. Esa relación de la masa
puntual, viene a ser la base para todos los demás momentos de inercia, puesto que un objeto se
puede construir a partir de una colección de puntos materiales.
Para calcular el momento de inercia nos ayudamos de la herramienta de modelado CATIA, para
esto obtenemos los puntos de perfil NACA 0015 los cuales están en la siguiente tabla, los
puntos ya están de acuerdo a nuestra cuerda de la pala del helicóptero que es de 60 mm.
Ilustración 21 perfil naca 0015
Naca 0015
Extradós Intradós
X(mm) Y(mm) X(mm) Y(mm)
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
NACA 0015 unitaria
Página 27
60 0.0948 1.5 -1.9608
57 0.6048 3 -2.6658
54 1.086 4.5 -3.15
48 1.9674 6 -3.5118
42 2.748 9 -4.0092
36 3.4224 12 -4.3032
30 3.9702 15 -4.4562
24 4.3524 18 -4.5012
18 4.5012 24 -4.3524
15 4.4562 30 -3.9702
12 4.3032 36 -3.4224
9 4.0092 42 -2.748
6 3.5118 48 -1.9674
4.5 3.15 54 -1.086
3 2.6658 57 -0.6048
1.5 1.9608 60 -0.0948
0.75 1.4202 0.75 -1.4202
0 0 1.5 -1.9608
Se exportan los puntos en CATIA y se unen para obtener el perfil delineado, después con los
datos técnicos del helicóptero se extruye a 70 centímetros y se obtiene el momento de inercia con
el botón measure inertia , con el cual obtenemos toda la información de nuestra geometría.
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 22 momento de inercia
Para nuestro caso solo debemos obtener el momento de inercia en el eje Y el cual es igual a
𝐼 = 0.018 𝑘𝑔𝑚2.
Calculo de la pendiente de la curva de levantamiento del perfil NACA 0015
Para obtener la pendiente de la curva de levantamiento lo único que tenemos que hacer es
graficar 𝐶𝐿/𝛼 y con los puntos se hace una regresión linean y se obtiene la pendiente de la
línea recta
Página 29
Ilustración 23 grafica cl/ alpha
𝑚 = 0.1061
Resolución del ángulo de aleteo con ayuda de MATLABMR
Para poder resolver la ecuación diferencial saremos MATLABMR con la cual podemos resolver
la ecuación diferencial para conocer el angulo de aleteo 𝛽.
Analizando la ecuación para introducirla a SIMULINK debemos de asignarle a cada variable
una variable en MATLABMR para eso nos ayudaremos de la siguiente tabla
𝐼𝛽�̈� + 12⁄ 𝜌Ω2𝑟2𝑎0𝐶𝜃0 +
𝐹𝑧�̇�
Ω+ (mΩ2𝑟2 − 𝐾)𝛽 = 0
y = 0.1061x - 2E-05
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-15 -10 -5 0 5 10 15
CL/alpha
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
variable variable en MATLABMR valor Unidades
R R 0.7 m
𝐼𝛽 Ib 1.406𝑋10−4 𝑘𝑔𝑚2
Ω ohm 1950 RPM
r rr 2/3R m
𝑎0 A0 0.1016
𝐶 c 0.06 m
m mb 0.210 kg
𝐾 K 2000 Kg/m
𝜌 ro 1.25 𝑘𝑔/𝑚3
Una vez que ya conocemos todas las variables podemos empezar a modelar nuestra ecuación
diferencial para esto debemos de organizar nuestra ecuación en varias partes la primera parte
que vamos a hacer es 𝜃0 ya que la fuerza de sustentacion depende de este. Sabiendo que 𝜃0 es el
Angulo de ataque de la pala la cual se manda la señal de control. Para modelarlo usaremos una
serie de Fourier, esto lo hacemos con el objetivo de obtener 𝜃 los valores de 𝜃1𝑠 𝑦 𝜃1𝑐 se
obtiene de las condiciones de vuelo estacionario que es nuestro caso de estudio.
𝜃 = 𝜃0 + 𝜃1𝑐𝑠𝑒𝑛Ψ + 𝜃1𝑠𝑐𝑜𝑠Ψ
Página 31
La siguiente figura muestra el subsistema de teta al cual llamaremos tet
Ilustración 24 Subsistema de tetha
Una vez modelada 𝜃 podemos continuar modelando a la fuerza de sustentación la cual es igual
a
𝐹𝑧 = 12⁄ 𝜌Ω2𝑟2𝑎0𝐶𝜃
Como podemos observar solo es un producto de constantes y de 𝜃 solo se usa el bloque
product con varias entradas
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 25 subsistema de la fuerza de sustentación
Para el paso siguiente modelamos nuestra ecuación general y el resultado será en radianes con
respecto del tiempo la cual se muestra en la siguiente gráfica.
𝐼𝛽�̈� + 𝐹𝑧 +𝐹𝑧�̇�
Ω+ (mΩ2𝑟2 − 𝐾)𝛽
Página 33
Ilustración 26 Beta
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 27 Grafica de beta
Para obtener los momentos que se transmiten a la flecha beta se multiplica por K debido a que
beta es demasiado pequeño que podemos tomarla como una distancia. Que en este caso sera
nuestro brazo de palanca.
Página 35
Ilustración 28 Modelo de los momentos
En la siguiete grafica se muestran los momentos transmitidos a la flecha, como se puede observar
los momentos son variables con respecto al tiempo
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 29 Gráfica de los momentos
Página 37
Análisis Modal
Debido a que nuestra viga está apoyada con un apoyo simple y un resorte vamos a tener
varias condiciones de frontera la primera de ellas es
Ψ =∂2Ψ
∂x2= 0
Cuando 𝑥 = 0
∂2Ψ
∂x2= 0 𝐸𝐼
∂3Ψ
∂x3= 𝐾Ψ
Cuando 𝑥 = 𝐿
Ψ = C1sin (α𝑋
𝐿) + C3sin (α
𝑋
𝐿)
Sustituyendo la condición 𝑥 = 𝐿
−α2C1sin(α) + α2C3sin(α) = 0
𝐸𝐼α3
L3[−C1cos(α) + C3 cosh(α)] = 𝑘[C1sin(α) + C3sinh(α)]
[
sin(α) −sinh(α)
𝐾L3
𝐸𝐼α3sin(α) + cos(α)
𝐾L3
𝐸𝐼α3senh(α) − cosh(α)
] [C1
C3] = [
00
]
Entonces, igualando a cero el determinante de la matriz de coeficientes y simplificando al
dividirla por el término
sin(𝛼)sinh (𝛼)
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Se obtiene la ecuación característica del sistema
cot(𝛼) − coth(𝛼) + 2𝐾𝐿3
𝐸𝐼𝛼3 = 0
Al resolver las raíces en MATLABMR con el comando solve se presentaron errores numéricos
por tratar con números pequeños. Así que se procedió a dividir la ecuación característica en F1 y
F2, de la siguiente manera
F1 = cot(𝛼) , 𝐹2 = − coth(𝛼) + 2𝐾𝐿3
𝐸𝐼𝛼3
De esta forma las raíces se presentarán cuando F1 – F2 = 0; es decir cuando ambas gráficas se
intersecten.
En la figura 37, se presenta la solución de ambas ecuaciones, se observan las tres raíces de la
ecuación característica que son definidas por los puntos de intersección.
Ilustración 30 Raices del sistema
La frecuencia natural (deducción en las página de Ginsberg 427 ec. 7.2.16) está definida por la
sig. Ecuación.
𝜔𝑗 = (𝐸𝐴
𝜌𝐴𝐿2)1 2⁄
𝛼𝑗
De esta ecuación j corresponde a la j frecuencia natural del j valor propio α, en donde j=1,2,…,∞.
La densidad del material de la flecha está definido por ρ en kgm/m3, E, A y L, son el módulo de
elasticidad en kgf/m2, el área de la sección transversal de la flecha en m2 y la longitud total de la
flecha en metros.
Página 39
Las primeras frecuencias naturales j=1, 2, 3, serán entonces:
𝜔1 = 1997800𝑟𝑎𝑑
𝑠= 31796𝐻𝑧,
𝜔2 = 1066900𝑟𝑎𝑑
𝑠= 169800.4𝐻𝑧,
𝜔3 = 2632800𝑟𝑎𝑑
𝑠= 419030𝐻𝑧
Las formas modales, es decir, la deformación de la flecha al entrar en resonancia son descritas
por la siguiente ecuación:
𝜓𝑗 = 𝐶1 [𝑠𝑒𝑛 (𝛼𝑗
𝑥
𝐿) +
𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑗)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝛼𝑗)𝑠𝑒𝑛ℎ (𝛼𝑗
𝑥
𝐿)] , 𝑗 = 1,2,3
Las 3 formas modales se presentan en la figura 38.
Ilustración 31 Formas modales
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
CAPITULO 3 Fase experimental
Calculo del coeficiente K ( de los dámper rubbers)
Al analizar nuestra flecha deducimos que nuestro sistema esta compuesto por una viga la cual
tiene un resorte y un apoyo sencillo tal como se muestra en la siguiente figura. En esta
sección vamos a determinar la constante del resorte que en este caso es la parte mecánica
llamada dumper rubber según el manual de helicóptero.
Ilustración 32 diagrama de cuerpo libre de la flecha
Ilustración 33 sistema flecha -damper rubber
Página 41
Para describir el procedimiento debemos tomar en cuenta la ley de elasticidad de Hooke. La cual
establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente
proporcional a la fuerza aplicada F
𝜖 =𝛿
𝐿=
𝐹
𝐴𝐸
Siendo 𝛿 el alargamiento, L la longitud original y E el modulo de Young y A la sección
transversal de la pieza estirad. La ley se puede aplicar a materiales elásticos hasta un límite
denominado límite elástico.
Para determinar el coeficiente K de los damper rubber debemos de hacer un experimento en el
cual debemos de aplicar una fuerza y tenemos que medir su deformación; para medirla fuerza
debemos de usar un dinamómetro y el desplazamiento será medido por un comparador de
caratula. Los cuales se muestran en la siguiente figura.
Ilustración 34 Dinamómetro
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Ilustración 35 Comparador de carátula
Se procede a fijar la flecha y el comparador de caratula de un extremo y el dinamometro en el
toro extremo y se le aplica una fuerza
Ilustración 36 aplicacion de fuerza en el experimento
F
Página 43
Se aplica una fuerza y se registra la deformación leída del comparador de caratula y la fuerza
del dinamómetro, en la siguiente tabla se muestra el registro
Ilustración 37 sistema completo del experimento
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
KgF Desplazamiento
(mm)
0 0
0.5 0.004
1 0.005
1.5 0.008
2 0.01
2.5 0.015
3 0.019
3.5 0.022
4 0.025
4.5 0.027
5 0.03
5.5 0.032
6 0.035
6.5 0.039
7 0.043
7.5 0.045
8 0.048
8.5 0.052
9 0.056
10 0.06
15 0.08
20 0.11
25 0.13
Se graficaron los puntos que se obtuvieron y se obtuvo la regresión lineal, cuando tenemos la
regresión lineal el módulo de elasticidad es la pendiente de la línea recta, como se muestra en la
gráfica.
Página 45
Ilustración 38 Gráfica de K
𝑲 = 𝟐𝟎𝟎𝟎
y = 2000x - 5.0026
-50
0
50
100
150
200
250
300
0 0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.0001 0.00012 0.00014
K
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
CAPITULO 4 CONCLUSIONES Y RESULTADOS
Observaciones, conclusiones, trabajos futuros:
Debido a que las revoluciones del rotor son aproximadamente 1800 RPM, es decir 30 Hz. La
flecha dista de estar en resonancia, aún en paso cíclico u otros efectos dinámicos que se
presentan en vuelo.
Según las formas modales, la flecha llega a deformarse hasta una vez su longitud,
definitivamente se presentará la destrucción de la flecha y/o el resto del mecanismo.
El análisis debe concentrarse en los momentos de flexión máximos que se provoquen en vuelo e
ignorar las resonancias. Sin embargo, si se requiere hacer cambios en la flecha de flexión o en la
rigidez de las gomas, debe hacerse nuevamente este análisis.
Además, un valor crítico a revisar es las rigidez de las gomas. Estas, con el uso, pierden rigidez.
Es obligatorio analizar cuál es el límite de rigidez de las gomas para no provocar resonancias
peligrosas en la flecha de flexión.
Página 47
ANEXOS
Programas en MATLABMR
clear all R=0.7; ro=1.25 ohm=700/60*2*pi Ib=0.018 rr=2/3*R A0=0.1061 c=0.06 tet=5*2*pi/180 K=2e+6 m=0.217
clear all syms x%se especifica x como la variable independiente, ro=7850;%densidad del accero kgm/m^2 E=2.1000e+10;%Módulo de elasticidad del acero kgm/m^2 %E=6.5e+10/9.81%2.1000e+10;%Módulo de elasticidad del aluminio kgm/m^2 M=0.1;% masa de la flecha completa en kgm a=0.007/2;%radio del agujero de la flecha; b=0.01/2;%radio de la flecha A=(pi*b^2-pi*a^2);%[Area de la superficie sólida transversal L=0.1;%longitud de la flecha I=0.5*M*(b^2+a^2);%momento de inercia de cilindro hueco K=2000;% la rigidez de la goma %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% %alpha=solve(cot(x)-coth(x)+2*K*L^3./(E*I*x.^3))%primera raiz del sistema %demasiado grande por errores numéricos de MATLAB. Mejor utilizar inspección %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% xx=0:0.01:10; y=cot(xx)-coth(xx)+2*K*L^3./(E*I*xx.^3); y1=cot(xx); y2=-coth(xx)+2*K*L^3./(E*I*xx.^3); figure(1) plot(xx,y1,'--',xx,y2); ylim([-10 10]);
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
%por inspección alpha1=2.38; alpha2=5.5; alpha3=8.64; w1=(E*I/(ro*A*L^4))^0.5*alpha1^2%primera frecuencia natural del sistema w1=w1/(2*pi)% en herz (ciclos por segundo) w2=(E*I/(ro*A*L^4))^0.5*alpha2^2%primera frecuencia natural del sistema w2=w2/(2*pi)% en herz (ciclos por segundo) w3=(E*I/(ro*A*L^4))^0.5*alpha3^2%primera frecuencia natural del sistema w3=w3/(2*pi)% en herz (ciclos por segundo) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%frecuencias naturales demasiado grandes, la flecha nunca entrará en resonancia. figure(2) C1=1; xxx=0:0.001:L; psi1=C1*(sin(alpha1*xxx/L)+sin(alpha1)/sinh(alpha1)*sinh(alpha1*xxx/L)) psi2=C1*(sin(alpha2*xxx/L)+sin(alpha2)/sinh(alpha2)*sinh(alpha2*xxx/L)) psi3=C1*(sin(alpha3*xxx/L)+sin(alpha3)/sinh(alpha3)*sinh(alpha3*xxx/L)) plot(xxx,psi1,xxx,psi2,'--',xxx,psi3,'x');
Página 49
Especificaciones técnicas
“Análisis de esfuerzos en la fleche del rotor de un helicóptero a escala”
Página 51
BIBLIOGRAFÍA
Dewey H. Hodges and g. Alvin Pierce 2002 Introduction to structural dynamics and
aeroelasticity.
Jerry h. Ginsberg 2001 Mechanical and structural vibrations
Raymond W. Prouty 205 Helicopter performance stability, and control
Hibbeler, R.C, 1995 Mecánica para ingenieros
Serway, Raymond A. 2000 Física para ciencias e ingeniería
Beer and Jhonson, 1993 Mecánica de materiales