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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
LICENCIATURA EN PEDAGOGÍA
UNIDAD AJUSCO
“ANÁLISIS CURRICULAR DE LOS PROGRAMAS
DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA:
(1928- 1993)”
T E S I N A
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIADA EN PEDAGOGÍA
P R E S E N T A:
GABRIELA HURTADO GONZÁLEZ
ASESOR: PROFR. ARTURO BAZÁN ZURITA
MÉXICO, D.F. 2006
INDICE
Pág. Introducción……………………………………………………………………………………………………………5
Capítulo 1. La educación secundaria en México…………………………………..........................................8
Visión histórica de la educación secundaria en México………………....................................8
La educación secundaria actual…………………………………………………………………..13 Capítulo 2. El currículo………………………………………………………………..........................................17
Definición de currículo……………………………………………………...................................17 Fases del currículo………………………………………………………………………………....18 Componentes de un diseño curricular……………………………………………………………19
Capítulo 3. Los programas de estudio de matemáticas para la educación secundaria en México…………………………………………………………………..................................................................22
El currículo de secundaria de 1928………………………………………….......................................22 Periodo posrevolucionario………………………………………………....................................22 Política educativa……………………………………...………………………………………..…..23 La educación secundaria en el periodo posrevolucionario………….....................................24 Los programas de matemáticas de 1928………………………………………………………...27
El currículo de secundaria de 1939……………………………………………………………………...35
El cardenismo………………………………………………………………………………….……35 La educación secundaria socialista…………………………………………………………..…..35 Reforma la educación secundaria……………………………………………………..…….…...37 Los programas de estudios de matemáticas de 1939...........................................................39
El currículo de secundaria de 1946……………………………………………………………………...44
Los sexenios de Ávila Camacho y Alemán Valdés…………………………………….……….44 La política educativa en los cuarentas.......……………………………………………….……..45
La secundaria y la reforma de 1946………………………………………………………….......46 Los programas de estudios de matemáticas de 1946………………………………………….47
El currículo de secundaria de 1964……………………………………………………………………...59
El sexenio de Adolfo López Mateos…………………………………........................................59
La reforma educativa en el sexenio de 1958-1964……………………………………………...59
La educación secundaria en los sesentas……………………………………….……………….60
Los programas de estudios de matemáticas de 1964…………………………………………..62
El currículo de secundaria de 1974……………………………………………………………………...76 El sexenio de Luis Echeverría……………………………………………………………….........76 La política educativa……………………………………………………......................................76 Reforma a la enseñanza secundaria………………………………..........................................77 Los programas de estudios de matemáticas de 1974...........................................................79
El currículo de secundaria de 1993…………………………………………………………………..….93 El Neoliberalismo en México…………...……………………………………………………….... 93
La política educativa……………………………………………………………………….....…… 94 Reforma educativa y la enseñanza secundaria………………………………………...…..…...94 Los programas de estudio de matemáticas de 1993………………………………………..…..97
Capítulo 4. Análisis de los programas de estudio de matemáticas para la educación secundaria de los años 1928- 1993………………………….................................................................................................108
La política educativa……………………………………………………………………...…........108 Definición y objetivos de la educación secundaria…………………………………………….113
Objetivos de los programas de estudio de matemáticas……………………………………...116
Contenidos en los programas de estudio de matemáticas…………………………..……….125
Actividades en los programas de estudio de matemáticas…………………………..……….134
El enfoque didáctico en los programas de estudio de matemáticas…………………………169 La evaluación en los programas de estudio de matemáticas………………………………...174
Conclusiones………………………………………………………………………………………………………...177
Bibliografía……………………………………………………………………………………………………..........184
Anexo………………………………………………………………………………………………………………… 187
AGRADECIMIENTOS
A mis Padres: Por brindarme su apoyo y confianza incondicionalmente,
y por estar conmigo siempre sin ustedes no lo hubiera logrado.
A la Universidad Pedagógica Nacional:
Por brindarme la oportunidad de pertenecer a una institución dedicada a la formación de profesionales de la educación;
Estoy orgullosa de pertenecer a ella.
A mis Profesores: A todos aquellos que contribuyeron en mí formación académica y profesional.
Especialmente gracias al profesor Arturo Bazán su conocimiento y experiencia permitieron el logro de este trabajo y
a la profesora Erendira Valdés C. por sus enseñanzas y apoyo en el último año de la carrera.
A mi prima Irma Hurtado, Por haberme dado la oportunidad de colaborar con ella, por compartir conmigo su experiencia, conocimiento y
por contribuir en mi formación académica y profesional.
A mis hermanas: Karina y Mariana: por su apoyo, comprensión y paciencia.
A mis Amigos: Rosa, Caro, Alfredo, Laura, Ana Lilia, Wendy, Jesús, Héctor, Luis,
y a todos los demás que han estado conmigo durante alguna etapa de mí vida y han compartido conmigo alegrías, tristezas, angustias, enojos y sobre todo este logro conmigo. Gracias por su amistad y cariño.
5
Introducción
A más de setenta años de su creación, la educación secundaria ha transitado por
momentos de cambio, además se encuentra inmersa en una serie de problemáticas
institucionales; las cuales se refieren a la relación del sistema educativo y la sociedad,
donde pueden apreciarse problemas como el financiamiento, el acceso, la permanencia, y
la organización, pero también se encuentran las cuestiones al interior del aula,
principalmente las relacionadas con el docente, el alumno y el proceso de enseñanza-
aprendizaje. Dentro de este último asunto, el sistema educativo nacional considera a los
docentes como una parte importante, los cuales son un elemento decisivo para llevar a
cabo la política educativa, ya que estos fungen como mediadores entre las políticas
establecidas y su realización en el aula. Las autoridades encargadas de la educación se
han visto en la necesidad de plantear de manera organizada, a partir de propuestas
curriculares, los fines del sistema educativo, así como aquellos aspectos que se requieren
para lograr formar al sujeto que requiere la sociedad en cierto momento histórico. El interés de realizar este trabajo de tesina surge, porque la matemática ha sido
una de las disciplinas que siempre se ha incluido en el currículo de la educación
secundaria como parte importante en la formación de los alumnos, dado que ésta no sólo
forma parte esencial del acervo cultural, sino además desarrolla en los alumnos
habilidades, hábitos y destrezas necesarios para la vida, de ahí la importancia de analizar
los diferentes componentes del diseño curricular en cada uno de los programas de estudio
propuestos para la enseñanza de las matemáticas en secundaria, desde que ésta se
fundó como ciclo específico y comenzó a formar parte de la Secretaría de Educación
Pública (SEP.), hasta su última modificación en 1993. Este trabajo de tesina es documental y las fuentes que lo apoyan son
principalmente documentos oficiales emitidos por la Secretaría de Educación Pública, en
los que se encuentran las principales reformas educativas que se han realizado a este
nivel y sus programas de estudio, dichas reformas datan de los años: 1935, 1946, 1964,
1974 y 1993.
Para la elaboración de esta investigación recurrí a bibliotecas, centros de
investigación educativa y al Archivo General de la Secretaría de Educación Pública, me
enfrente al reto o problema de la escasa bibliografía sobre el currículo de secundaria en
México, a la ausencia o falta de algunos documentos.
6
No es uno de los objetivos realizar una propuesta curricular, simplemente se
analiza este tema para conocer más sobre los planes y programas de estudio,
principalmente lo que se refiere a los programas de matemáticas, tomando en cuenta los
fundamentos socioeconómicos y educativos que dan origen a los cambios o
adecuaciones.
Se pretende describir las reformas a la educación secundaria considerando el
contexto en el que realizaron, su definición y finalidades; así como los programas de
estudio de matemáticas de los tres grados de 1928, 1939, 1946, 1964, 1974 y 1993, y así
analizar cada uno los componentes que los integran, como son: objetivos, contenidos,
actividades, enfoque y evaluación. Cabe señalar que los programas corresponden a la
modalidad de secundaria escolarizada.
Con respecto a los contenidos y a las actividades, sólo se analizan aquellas que
corresponden al estudio de la aritmética y el álgebra. Este trabajo se compone de cuatro capítulos, donde se explicitan aspectos
históricos de la secundaria, así como elementos curriculares explorados en cada uno de
los programas de estudio.
En el capítulo uno titulado “La educación secundaria en México”, se realiza una
revisión histórica de la educación secundaria en México, y como ésta a lo largo de su
existencia ha sufrido cambios importantes, dependiendo de los momentos políticos y
económicos por los que ha atravesado el país. Asimismo se aborda la estructura actual,
sus propósitos y modalidades que hoy en día existen. El capítulo dos se titula “El currículo”, se señalan algunas consideraciones teóricas
acerca del currículo, las cuales se toman en cuenta para la descripción y análisis de los
programas de estudio. El capítulo tres titulado “Descripción de los programas de estudio matemáticas para
la educación secundaria”, se realiza una descripción de los programas de matemáticas
para secundaria, no sólo se consideran los componentes curriculares de cada uno de los
programas de estudio, sino además un marco histórico, en el que se retoman algunos
aspectos políticos, económicos y sociales de cada uno de los periodos abordados, así
como los aspectos referentes a la secundaria, tales como su definición, objetivos y
reformas educativas.
El último capítulo intitulado “Análisis de los programas de estudio de matemáticas
para la educación secundaria de los años 1928-1993”, se toma en cuenta únicamente la
7
política educativa, la definición y objetivos de la secundaria, así como también se abordan
nuevamente los componentes curriculares presentes en cada uno de los programas de
estudio de matemáticas como: los objetivos generales, específicos, las actividades, el
enfoque y la evaluación. Finalmente, se proponen las conclusiones obtenidas a lo largo del presente trabajo
de investigación, mismas que son producto del análisis y estudio de la bibliografía a la que
tuve acceso para realizar mí tesina.
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CAPÍTULO 1. La educación secundaria en México
En este capítulo se realiza una revisión histórica que permite comprender lo que
hoy en día es la educación secundaria, su papel y finalidades en el sistema educativo, así
como los sujetos que están inmersos en ella.
La educación secundaria ha adquirido sus propios significados de acuerdo a los
diferentes momentos políticos, económicos y sociales que se han vivido en nuestro país.
Por consiguiente, se toman en cuenta aquellos aspectos históricos relevantes que han
permitido que este ciclo educativo adquiera una identidad propia; para enfrentar una crisis
de carácter casí permanente, en su búsqueda por constituir un ciclo propedéutico y que
tenga una continuidad con la primaria.
Visión histórica de la secundaria
La promulgación en 1867 de la Ley Orgánica de Instrucción Pública en el Distrito
Federal trajo consigo la creación de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP.), la cual
incluyó a la educación secundaria; esta última tenía como finalidad; preparar para la vida.
En años posteriores los Estados comenzaron a incorporar los estudios de secundaria en
los planes de estudio de los colegios del Estado.
“El 3 de Junio 1896 fue promulgado un decreto en el que se reglamentó que la institución oficial primaria elemental del Distrito y Territorios Federales dependiera exclusivamente del Ejecutivo de la Unión, y que la institución primaria superior (secundaria), se organizaría como enseñanza media, entre la primaria elemental, y la preparatoria”.1
En años posteriores, se comenzaron hacer serias críticas a la ENP., entre las que
destacaban que ésta sólo preparaba para los exámenes, y que los alumnos estaban
saturados de nociones científicas, pero no desarrollaban sus facultades ni tenían idea de
lo que era un trabajo activo. Por tanto, dos aspectos fueron relevantes en el proceso de implementación de la
escuela secundaria; el social y el pedagógico. Desde lo social, la Revolución exigió la
democratización de la enseñanza para hacer efectivo el ofrecimiento de la educación. La
preparatoria, cuyo primer ciclo fue el antecedente de la escuela secundaria, sólo tenía un
plantel, en donde se atendía a un número reducido de estudiantes de clases favorecidas,
1 Nota: El texto en negritas y entrecomillado son citas textuales. Cabellos, Quiroz Ángel. Educación secundaria y formación docente (1821-2000). SEP, Dirección General de Investigación Educativa, México, 1999, p. 5.
9
quienes continuaban con los estudios universitarios; por lo que el resto de la población
quedaba fuera de ella.
Desde el aspecto pedagógico, la corriente dominante era la positivista, la cual
preparaba intelectualmente al alumno, pero no consideraba los demás aspectos de su
formación.
Para que el ciclo secundario comenzara a consolidarse, en 1915 el congreso
pedagógico reunido en Jalapa, concluyó que era necesario dividir la enseñanza media en
enseñanza secundaria propiamente como tal, y secundaria preparatoria de profesiones
liberales. En este congreso se presentó un proyecto para la creación de la secundaria
como ciclo específico. En 1916 se expidió una Ley Educativa Popular del Estado de
Veracruz que dictó normas precisas sobre la educación secundaria, desligándola de la
preparatoria. En 1923, se dio otro intento por organizar la enseñanza secundaria, el Dr. Bernardo
Gastélum, fue quien propuso al consejo universitario, la reorganización de los estudios
preparatorios, con una clara distinción de la enseñanza secundaria como ampliación de la
primaria. En Diciembre, este planteamiento fue aprobado, así la ENP. adoptó un nuevo
plan de estudios, el ciclo secundario apareció dentro de la misma preparatoria con
características definidas.
En 1925 se estructuró el Sistema de Educación Secundaria mediante los decretos
presidenciales del 29 de Agosto y 22 de Septiembre de ese año. En el primero, el
presidente Plutarco Elías Calles, autorizó a la Secretaría de Educación Pública (SEP.), la
creación de las escuelas secundarias y declaró a la ENP. insuficiente para contener el
elevado número de alumnos que deseaba inscribirse y declaró que sus programas serían
equivalentes al llamado ciclo secundario de ésta institución. El segundo, dio vida a la
Dirección General de Educación Secundaria, la cual fue la encargada de satisfacer las
necesidades de este ciclo.
En Marzo de 1926, abrieron oficialmente las puertas de cuatro escuelas
secundarias en el DF; y en junio, la secundaria nocturna inició labores previa
transformación del ciclo nocturno de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP.) en escuela
secundaria.
Solana menciona “…se funda la escuela secundaria para ampliar la base piramidal del sistema educativo nacional creado por el nuevo orden social”2; se
2 Solana, Fernando. Historia de la Educación Pública en México. Fondo de Cultura Económica, México, 1981, p. 225.
10
considero a la educación secundaria como una elevación del nivel de cultura del pueblo,
así como un puente entre la educación primaria y la superior o profesional. En la década de los años treinta del siglo pasado, con la adopción de la corriente
socialista en la educación y las modificaciones al artículo tercero para adecuarlo a esta
visión, se aprobó el reglamento de las escuelas secundarias, que contenía las bases
fundamentales de organización y administración de estas escuelas, además el Ejecutivo
decretó el absoluto control del Estado sobre la enseñanza secundaria, se especificó que
ninguna institución de cultura media o superior, podría impartir educación secundaria sin
la autorización de la Secretaría de Educación Pública (SEP.).
Durante estos años, la secundaria no sólo conservó su carácter propedéutico, sino
además se complementó con una formación técnica. En 1935, “el Secretario de Educación, Ignacio García Téllez, declaró que las escuelas secundarias oficiales, se ocuparían de preparar técnicos, y no estudiantes para las profesiones liberales, función principal que desempeñaban; consecuentemente el Departamento de Enseñanza Técnica de la SEP estableció las escuelas prevocacionales, vocacionales y profesionales, cuyo conjunto después constituyó el Instituto Politécnico Nacional (IPN). La escuela prevocacional fue una variante de secundaria, que surgió por el año de 1935 y por decreto Presidencial se suprimen
en 1969”. 3
Al fundarse en ese mismo año el Instituto Nacional de Educación para
Trabajadores, se comenzaron a fundar escuelas prevocacionales en todos los niveles, las
cuales tenían un anexo a la escuela nocturna de obreros, con el fin de que estos
adquirieran todos los elementos teóricos que el trabajo no les podía dar. El gobierno del
General Lázaro Cárdenas (1934 – 1940), ofreció un verdadero apoyo a la educación para
trabajadores, fundó el Departamento de Educación Obrera, éste fue el antecesor de la
secundaria para trabajadores.
Como se mencionó anteriormente, el IPN. fundado en 1937, era el encargado de
las escuelas técnicas hasta entonces existentes; y fue a partir de ese momento, que se
incluyó el ciclo prevocacional (un tipo de secundaria), con duración de dos años, para el
cual, sólo se requería haber terminado la educación primaria; el ciclo vocacional, de dos
años de duración, y el ciclo profesional con duración en años variable según la profesión
elegida. En la prevocacional, que es la de nuestro interés, además de los estudios
3 Cabellos, Q. Ángel. Op. Cit. p.14
11
generales correspondientes a este ciclo secundario se impartían enseñanzas industriales
y comerciales para formar técnicos de nivel medio. En 1940, durante la administración de Miguel Alemán Valdés, se llevó a cabo una
reforma al artículo tercero, esta reforma canceló el proyecto de educación socialista
propuesto una década antes; se cambió hacia una visión de educación al servicio de la
“Unidad Nacional”.
Se exigió un ciclo secundario unificado, práctico y amplio, se reconoció que la
secundaria debía tener un carácter democrático y homogenizador; todos los adolescentes
tendrían las mismas oportunidades no importando su procedencia.
La SEP. trasformó la enseñanza prevocacional en educación secundaria;
extendiéndola a tres años, para crear un tipo único de establecimiento, donde se
integraran las orientaciones teóricas con las prácticas de la enseñanza técnica.
Además se desintegra el Departamento de Educación Obrera y las escuelas fueron
designadas escuelas secundarias nocturnas para adultos y trabajadores; pero cuatro años
más tarde éstas fueron reestructuradas para nombrárseles escuelas secundarias para
trabajadores. En el año de 1958, se creó la Subsecretaría de Enseñanza Técnica Superior y la
Dirección General de Enseñanza Tecnológica Industrial y Comercial. Con la creación de
estas instituciones se introduce por primera el concepto de secundaria técnica, para
diferenciarlo de la de tipo general; la secundaria técnica tenía como propósito, además de
la formación en las áreas científicas y humanísticas, desarrollar actividades tecnológicas
de aprendizaje, que promocionarían un adiestramiento para incorporar al egresado al
mercado de trabajo, en caso de que éste no prosiguiera sus estudios. A partir de 1966, las escuelas secundarias generales, prevocacionales y técnicas
adoptaron el plan de estudios aprobado por el Consejo Nacional Técnico de la Educación
(CNTE.); organismo encargado de planificar la educación. En 1969 el Instituto Politécnico
Nacional (IPN.), dejó de atender el ciclo secundario, llamado prevocacional y desaparece. Ante un gradual crecimiento de la demanda de la enseñanza secundaria, durante la
década de los sesentas, se introdujo una nueva modalidad de atención: la telesecundaria,
la cual en 1968 quedó comprendida dentro del Sistema Educativo Nacional y daría
servicio a las poblaciones donde no llegara este nivel de enseñanza, o donde la demanda
por este nivel fuera excesiva. Este modelo pedagógico estaba constituido por los
alumnos, el maestro, las lecciones televisadas y las guías para estas últimas. La
12
educación secundaria por televisión se impartía de acuerdo a los planes, programas y
disposiciones vigentes para este tipo de enseñanza. A principios de la década de los setentas, se llevaron a cabo diversas asambleas
regionales para el estudio de los problemas de educación, donde participaron directivos,
profesores y alumnos normalistas, a partir de las cuales, se solicitó la modificación al
artículo tercero constitucional para hacer obligatoria la enseñanza secundaria, solicitud
que quedaría planteada como propuesta en el Plan Nacional de Educación en el año de
1977.
En 1973, la Ley General de Educación, que sustituyó a la Ley Orgánica de
Educación Pública, sentó las bases para el establecimiento de sistemas abiertos de
secundaria, donde se atenderían alumnos mayores de 15 años.
En 1974, a través del Consejo Nacional Técnico de la Educación (CONALTE.), se
presentaron a la SEP., las resoluciones de la Asamblea Nacional Plenaria sobre
educación media básica, reunida en la ciudad de Chetumal Quintana Roo, donde se
aprobó un nuevo plan de estudios para secundarias, que pretendió ofrecer una formación
previa de acceso al campo laboral y para el ingreso al nivel medio superior. El plan
proponía dos estructuras programáticas; por áreas y por asignaturas, y se dio libertad
para que las escuelas optaran por una u otra; no había un plan único.
A principios de la década de los ochentas, la Subsecretaría de Educación Básica
se divide en dos; surgiendo la Subsecretaría de Educación Media, con el propósito de
administrar, controlar y evaluar los servicios escolarizados de la educación media básica.
De este organismo dependerían la Dirección General de Educación Secundaria (DGES.),
la Dirección General de Educación Secundaria Técnica (DGEST.) y la Unidad de
Telesecundaria. A finales de la década de los ochenta y principios de los noventas, se elaboró el
Programa para la Modernización Educativa, el cual presentó un diagnóstico de la
educación secundaria, este reconocía la existencia de problemas centrales en este nivel
educativo. Como respuesta, el Secretario de Educación Manuel Barlett (1989-1992)
elaboró una propuesta de modificación a los planes y programas de estudio, no sólo del
ciclo de secundaria, sino además de preescolar y primaria; conocida como “Modelo
pedagógico”, en base a ésta, se diseñó un programa experimental denominado “prueba
operativa”; pero los esfuerzos no fueron suficientes.
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En 1992, con un nuevo secretario de Educación el Dr. Ernesto Zedillo, se firmó el
Acuerdo Nacional para la Modernización Educativa (ANMEB.), el cual tenía tres
propósitos fundamentales: la reorganización del sistema educativo, la reformulación de
contenidos, materiales y la revaloración social de la función magisterial.
Aunque no formaba parte del ANMEB., el presidente Salinas de Gortari propuso la
prolongación de la enseñanza obligatoria hasta tercer grado de secundaria. A partir de
1993, el artículo tercero constitucional se reformó, y se establece que todo individuo tiene
derecho a recibir educación, el Estado, Federación y Municipios impartirán educación
preescolar, primaria y secundaria, serán obligatorias la primaria y secundaria, de acuerdo
con esto, la educación básica se eleva a nueve grados de enseñanza.
La educación secundaria actual
Política educativa actual Al dar comienzo el XXI, la educación es considerada como factor de desarrollo,
formación y sostenimiento de la nación, por ello las políticas están orientadas a impulsar
el desarrollo de conocimientos, habilidades y competencias que permitan mejorar la
calidad de vida de las personas. Por lo tanto, el actual gobierno de la República, decide tomar como base una
“Educación de Calidad para todos”, ésta se origina de la necesidad de lograr que los
ciudadanos desarrollen habilidades básicas que se requieren para desenvolverse en una
sociedad como la nuestra, y conseguir una educación que permita formar alumnos
analíticos, críticos y reflexivos. “Una educación de calidad fomentará en los individuos una actitud de calidad, por medio de ésta se alcanzará la igualdad de oportunidades entre las personas, por lo que la búsqueda de la equidad es una de las preocupaciones centrales de la política educativa actual”4.
Con respecto a la educación básica, existen propósitos, como lograr una justicia
educativa y una equidad en el acceso.
La equidad en educación básica abarca cuatro aspectos fundamentales:
Igualdad en el acceso y permanencia en ésta.
Ofrecer más y mejor educación
Ofrecer oportunidades de formación e igualdad de condiciones y calidad de servicios,
independientemente de la condición de origen.
4 Secretaria Educación Pública, Programa Nacional de Educación, 2000- 2006, SEP, México., 2001,p. 105.
14
Distribución equitativa de conocimientos que les permita a los egresados desarrollarse
en los diferentes ámbitos sociales.
Con respecto a la educación secundaria, ésta representa uno de los principales
retos del sector educativo, porque constituye un paso necesario para que las personas
ingresen a la educación media superior, aumentando con ello sus oportunidades de
superación e ingreso al campo laboral.
Entre los acciones principales que se plantean para la educación secundaria en el
Programa Nacional de Educación, está el “…desarrollar una nueva propuesta curricular que sea congruente con los propósitos de la educación básica, que considere las necesidades de los adolescentes, genere oportunidades de aprendizaje que fortalezcan la habilidades necesarias para seguir aprendiendo en un futuro, con el fin de lograr la continuidad curricular desde la educación
preescolar hasta la enseñanza secundaria”5. En Junio del 2004, la SEP. anunció el cambio de planes de estudio en secundaria,
como se mencionó, en el Programa Nacional de Educación se plantea el desarrollo de
una nueva propuesta curricular, esto se redujo únicamente a una modificación en los
planes de estudio, su objetivo reducir el enciclopedismo y el exceso de contenidos, y
colocar en su lugar las competencias.
Objetivos y estructura de la educación secundaria
Actualmente, la educación secundaria es el tercero y último nivel que conforma a la
educación básica, formada por la educación preescolar, primaria y secundaria. Ésta última
se cursa en tres grados y es de carácter propedéutico; necesario para ingresar al nivel
medio superior. Sus objetivos son: “que el educando amplíe las habilidades y profundice los
conocimientos adquiridos en la educación primaria, que conozca las opciones para su incorporación a la fuerza de trabajo”6.
El servicio va dirigido a jóvenes y adultos egresados de la educación primaria.
Proporcionándoles la oportunidad de realizar sus estudios en la modalidad escolarizada y
semiescolarizada.
5 SEP. (2001) Op Cit. p..138. 6 Dirección General de Tecnología de la información.(Sin fecha).Educación secundaria. Disponible en: http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_3480_educacion_secundaria. [2005, Febrero 12.].
15
La modalidad escolarizada cuenta con diferentes opciones como son: la secundaria
general, técnica, telesecundaria y para trabajadores.
La secundaria general pretende continuar y ampliar los elementos formativos e
informativos proporcionados durante la primaria, atendiendo a una población de 12 a 15
años de edad.
La secundaria técnica, además de preparar al estudiante para continuar estudios
superiores, se caracteriza por hacer énfasis en la educación tecnológica, considerándola
como aquélla que sistematiza el saber y el hacer. Proporciona a los estudiantes un
acercamiento a un ámbito tecnológico particular, a partir de una actividad tecnológica
concreta. La enseñanza que se imparte comprende diferentes ámbitos tecnológicos como:
industrial, agrícola, forestal, pecuario, pesquero y acuícola. Atiende al grupo de 12 a 15
años de edad.
La telesecundaria, desde su inicio en 1968, fue un servicio diseñado para funcionar
preferentemente en áreas rurales, pero dada la demanda por este nivel educativo, la
telesecundaria se fue extendiendo a las áreas urbanas. En comparación con las demás
opciones, ésta incorpora a la modalidad escolarizada elementos de educación a distancia,
el maestro encargado del proceso de enseñanza-aprendizaje; emplea los medios
electrónicos y materiales didácticos impresos elaborados exclusivamente para esta
modalidad. Ésta responde a un criterio propedéutico, el cual permite continuar con una
preparación profesional, ya que se rige con el actual plan de estudios; atiende a una
población de 13 a 15 años de edad.
La secundaria para trabajadores es la educación que se imparte a la población que,
por rebasar los 15 años o por formar parte de la fuerza de trabajo, no puede cursar la
secundaria general. La modalidad semiescolarizada cuenta con dos opciones educativas que son: la
secundaria a distancia para adultos y la secundaria abierta.
La secundaria a distancia para adultos, tiene como propósito contribuir a que una
parte de la población continué su preparación educativa; es una opción para los adultos
que no han cursado o concluido sus estudios de educación secundaria y que por razones
laborales o de otra índole no pueden asistir a la escuela. La secundaria abierta tiene como finalidad ofrecer un servicio educativo a una
población que por razones como edad, ocupación, distancia, tiempo disponible, entre
otras, no han podido proseguir y terminar sus estudios.
16
La secundaria abierta actual se rige bajo el modelo de educación para la vida, el cual
busca que la educación sea útil y adecuada.
La educación secundaria ha transitado por momentos de cambio y adecuaciones,
que muestran una clara intención por dotar a los alumnos de una formación general,
tanto propedéutica como para el trabajo y otras áreas de la vida. Sus fines y funciones se
han modificado de acuerdo a las necesidades sociales de los individuos y del país, y los
esfuerzos por hacer de la escuela secundaria una institución formativa, se reflejan en las
diversas reformas a planes, programas y su normatividad. Además, en este nivel
educativo se entrecruzan una amplia gama de problemáticas: el financiamiento, la
matrícula, la organización, gestión escolar, la formación y actualización de docentes, el
currículo, etcétera; cada una de éstas tiene su particularidad y especificidad.
El presente trabajo se enfoca únicamente en los planes y programas de estudio de
este nivel educativo, retomando principalmente las reformas y/o modificaciones, así como
el contexto en el que se han dado, desde que se fundó como ciclo especifico en 1926
hasta su última modificación en 1993. Tomando únicamente en consideración los
programas de estudio de matemáticas, ya que el estudio de ésta ciencia se considera
como parte fundamental en la formación de los alumnos.
En el siguiente apartado, se realiza un análisis teórico para conocer los principales
aspectos referentes al currículo.
17
CAPÍTULO 2. El currículo
En este capítulo se revisan algunos aspectos teóricos referentes al campo del
currículo, su definición, fases y componentes; estos elementos se consideran para la
realización de la descripción y análisis de los programas de estudio de matemáticas de
secundaria.
Definición de currículo
El término currículo ha sido objeto de un amplio desarrollo, tratamiento, y reflexión
desde su aparición a principios del siglo XX, incluso ha llegado a experimentar un
incremento teórico considerable. El enfoque teórico bajo el cual se configuran los modelos
curriculares, tiene que ver con una amplia gama de conceptualizaciónes en torno a
procesos de enseñanza- aprendizaje que se han construido a lo largo de la historia; al
igual que los modelos curriculares, la definición de currículo no ha sido exactamente la
misma; no hay autor que se refiera al currículo, que no haga mención a más de una
definición; Taba(1962), Stenhouse(1987), Kemmis(1988), Pérez Gómez(1992),
Gimeno(1992), son algunos de los autores que han sistematizado algunas definiciones de
currículo. Según Casarini7 el currículo se considera como producto de una construcción
social, por lo tanto cambia y se transforma en respuesta a las circunstancias sociales, a
los cambios e innovaciones tecnológicas, a las estructuras económicas, políticas, y a los
intereses existentes… Es de naturaleza prescriptiva, define algo que se caracteriza por
ser una pretensión, un querer ser; lo cual implica establecer y seleccionar un conjunto de
intencionalidades que se consideran mejores respecto a otras. Este conjunto de
intenciones son obtenidas de reflexiones derivadas de la práctica, así como de aportes
teóricos provenientes de investigaciones en educación. Este trabajo retoma al currículo como una prescripción, lo que se pretende que
debe suceder en la escuela, también conocido como “currículo formal”; el cual es una
planeación del proceso de enseñanza-aprendizaje; con sus finalidades sostenidas por una
estructura académica, administrativa, política, y económica.
“El currículo formal, también conocido como plan de estudios, así como los programas representan el aspecto documental del currículo”8; estos últimos son
7 Casarini Ratto, Martha. Teoría y Diseño Curricular. Trillas, México. 1997. pp. 4-5. 8 Ibídem. p. 7.
18
considerados una subestructura del plan de estudios, los cuales usualmente indican:
objetivos generales, específicos, organización, secuenciación de contenidos, actividades
de aprendizaje, y estrategias de enseñanza, así como la evaluación, y la distribución del
tiempo. Por lo tanto, el plan de estudios y los programas son considerados guías que
establecen finalidades, contenidos, y acciones que el profesor pondrá en práctica dentro
del aula. Como se mencionó, varios son los autores que han definido al currículo,
Stenhouse9 define al currículo como “una tentativa para comunicar los principios y rasgos
esenciales de un propósito educativo, de forma tal que permanezca abierto a la discusión
crítica y pueda ser trasladado efectivamente a la práctica”. Sin embargo, él plantea al
currículo desde dos fases; la primera realiza la descripción del proyecto educativo y la
segunda analiza empíricamente lo que sucede en la aula, por lo que la definición que él
da va más allá del programa de estudios. Otra definición próxima a la planteada por Stenhouse, y más adecuada al presente
trabajo, es la propuesta por Cesar Coll10, el cual define al currículo como: “el proyecto
que preside las actividades educativas escolares, precisa sus intenciones y proporciona
guías de acción adecuadas y útiles para los profesores quienes tienen la responsabilidad
directa de su ejecución. Para ello proporciona informaciones concretas sobre qué
enseñar, cuándo enseñar, cómo enseñar y qué, cómo y cuando evaluar”.
Fases del currículo
El currículo supone tres etapas: diseño, desarrollo y evaluación.
El diseño curricular es el proyecto que recoge tanto las intenciones o finalidades
más generales; es una representación de ideas, y acciones que operan como guía al
momento de llevar a cabo el proyecto curricular a la práctica.
El desarrollo se refiere a la puesta en práctica del proyecto curricular, lo cual sirve
para retroalimentar, rectificar, y ajustar el currículo formal al real (este último es la puesta
en práctica del currículo formal).
Por último en la evaluación curricular se encuentran los procedimientos por los
cuales se determinan los progresos.
9 Stenhouse, Lawrence. Investigación y desarrollo del currículo. Morata. Madrid, 1984, p.30 10 Coll Salvador, C. Psicología y Currículo. Paidós. México, 1991, pp. 31-32.
19
Este trabajo únicamente retoma aquellos aspectos referentes al diseño curricular,
Coll11 lo define como “un instrumento para la práctica pedagógica que ofrece guías de
acción a los profesores, responsables directos de la educación escolar” Es un proyecto
que debe presentar como características ser abierto a modificaciones y correcciones
dejando un amplio margen de acción al profesor, así como flexibilidad para integrar
elementos y enriquecerlo. Como lo menciona Coll12 “el diseño curricular no es una
propuesta de programación, sino un instrumento que facilita y sirve de base a la
programación”. Además, Coll menciona que para la elaboración de un diseño curricular, se deben
de tener en cuenta diversas disciplinas, las cuales sirven para afrontar y resolver
problemas que surgen en su realización, las cuales son: la psicología, la sociología, y la
epistemología. La primera aporta informaciones relativas a los factores y procesos que
intervienen en el crecimiento personal del alumno, la segunda ayuda a determinar las
formas culturales, contenidos, conocimientos, valores, destrezas, y normas; cuyo
aprendizaje es necesario para que los alumnos puedan insertarse como miembros activos
de la sociedad, y la última ayuda a separar los conocimientos esenciales de los
secundarios, lo cual permite establecer secuencias de actividades de aprendizaje.
Componentes de un diseño curricular
El diseño curricular se integra principalmente por objetivos, contenidos, actividades
y evaluación. Coll, es uno de los autores que han propuesto modelos curriculares para la
elaboración de un diseño curricular, en el cual se plantean una serie de componentes
considerados como una forma de concretar, organizar, aplicar y evaluar las intenciones
educativas. El modelo propuesto por Coll13 plantea cuatro componentes:
1. ¿Qué hay que enseñar?
2. ¿Cuándo enseñar?
3. ¿Cómo enseñar?
4. ¿Qué, cómo y cuándo evaluar?
11Coll, Salvador C. Op. Cit. p. 132. 12 Ídem.13 Coll, Salvador C. Op. Cit. p. 49
20
¿Qué hay que enseñar?, se refiere a la concreción de las intenciones educativas,
como se mencionó los objetivos son uno de los elementos primordiales que se plantean
en un currículo. En sentido amplio serían los hechos, conceptos, habilidades, actitudes, y
valores que se quiere comunicar o desarrollar en los alumnos; esto se expresa en
enunciados que explicitan lo que se quiere, y lo que se espera; son formulaciones
abstractas de lo que se intenta promover en los alumnos.
Coll establece niveles de abstracción de los objetivos, organizados en dos niveles:
el extracurricular y curricular. El nivel extracurricular hace referencia a los principios que
inspiran al propio sistema educativo, especialmente lo que se deriva del marco jurídico,
son las finalidades del sistema educativo nacional, las cuales se encuentran en la
Constitución y en las leyes que la desarrollan.
El nivel curricular está formado por tres niveles de concreción. Dentro del primer
nivel se encuentran “los objetivos generales de ciclo, se refiere a las capacidades que el alumno debe de adquirir al término del ciclo correspondiente. Los objetivos generales de área se refieren a las capacidades que los alumnos deberán haber adquirido a través de cada una de las áreas curriculares que componen cada ciclo educativo. Los objetivos generales hacen referencia a los tipos y grados de aprendizaje en relación con cada uno de los bloques de contenido que componen cada área curricular”.14 En el segundo nivel de concreción se menciona que lo habrán
de llevar a cabo los centros escolares. Por último, el tercer nivel de concreción donde se
encuentran los objetivos didácticos, definen el tipo de aprendizaje en relación con cada
unidad de contenido.
Los objetivos no sólo son un elemento importante en el currículo que se debe
prever, sino también influye en los demás componentes que integran una propuesta
curricular.
Dentro del qué hay que enseñar se encuentran presentes los contenidos,
entendidos estos “como el conjunto de conocimientos, ámbitos de conocimiento, formas de comportamiento, estrategias de investigación, teorías, paradigmas y, en general, los marcos referenciales en los que se construye el conocimiento”. 15 Cabe
señalar que para el establecimiento de los contenidos, existen fuentes y criterios para
seleccionarlos, además estos pueden clasificarse según Coll en hechos, conceptos,
procedimientos, principios, actitudes, valores y normas.
14 Pérez Pérez, R. El currículo y sus componentes. Hacia un modelo integrador. Oikos-Tau. España, 1994. p. 56 15Ibidem. p.72
21
El segundo componente planteado por Coll se refiere a cuándo hay que enseñar,
tiene continuidad con el qué enseñar, y es la manera de ordenar, secuenciar los
contenidos, y objetivos para lograr los aprendizajes deseados. Designando un conjunto de
técnicas, procedimientos, y criterios de secuenciación que parten de los resultados
esperados. Define a la tarea como una unidad de acción, en la que concurren un conjunto
de actividades, integradas, y coherentes, ordenadas en secuencias, y con una finalidad
más o menos explícita. El tercer componente cómo hay que enseñar se refiere al método de enseñanza, el
cual facilita el logro de los objetivos propuestos en relación con los contenidos
seleccionados. El último componente se refiere a la evaluación, ésta es un elemento esencial en
cualquier modelo curricular, permite ver en qué medida se lograron los objetivos,
proporciona información que permite hacer ajustes o modificaciones, ya sea a los mismos
objetivos o a los contenidos, métodos o en general a la propuesta curricular. “Es concebida como un instrumento que sirve al profesor para ajustar su actuación en el proceso de enseñanza aprendizaje, orientándolo y realizando la adaptación curricular necesaria.”16
Para el siguiente capítulo se describen los programas de matemáticas,
considerando los componentes curriculares presentes en cada uno de los programas de
estudio, además de incluir un panorama histórico que permita visualizar de manera
general la situación del país en cada uno de los periodos abordados.
16 Pérez, Pérez.Op. Cit. p. 149
22
CAPÍTULO 3. Los programas de estudio de matemáticas para la educación secundaria en México.
A continuación se presentan los programas de matemáticas que se analizan en
este trabajo de investigación; el criterio para la elección de estos, se hizo a partir de las
principales reformas que se han realizado a este ciclo educativo; dichos programas son:
los de 1928, 1939, 1946, 1964, 1974 y 1993. Se pretende describirlos considerando los
componentes curriculares señalados en el capítulo anterior, dichos componentes son: los
objetivos generales de la secundaria, objetivos generales de los programas de
matemáticas, los contenidos, las actividades, y la evaluación. Además, se expone un
panorama histórico, en el que se presentan aspectos políticos, económicos, sociales, y
educativos, que permitan entender cuál era la situación del país en cada uno de los
periodos abordados.
El currículo de matemáticas de 1928
Periodo posrevolucionario
A partir de 1910 se inició en el país un proceso revolucionario que finalizó con la
caída del régimen impuesto por Porfirio Díaz, para dar paso a un proceso de construcción
del nuevo Estado. Para esto, era necesario tomar medidas políticas, económicas, y
sociales que lograran integrar a las clases sociales; en especial las clases populares,
tratando de satisfacer sus demandas, con el fin de lograr la unidad nacional; replanteando
la relación entre el Estado y la sociedad. Esta nueva relación exigió una serie de
disposiciones, las cuales quedaron asentadas en la Constitución de 1917, que era el
marco normativo que regulaba las funciones políticas, económicas y sociales del país.
Los regímenes que sucedieron a la revolución empezaron a tomar las primeras
medidas, para dar comienzo a la etapa de reconstrucción nacional, dado que el país
estaba inmerso en una inestabilidad económica, política, y social, producto de las
tensiones obreras y campesinas, era necesario que el grupo en el poder obtuviera un
reconocimiento nacional y lograra tener el apoyo de los diversos sectores sociales que
habían participado en la lucha armada.
Entre las medidas que se tomaron durante el periodo presidencial del General
Plutarco Elías Calles (1924-1928) está la reconstrucción económica, que fue sin duda una
de las prioridades que tenía el Estado, con el fin de lograr no sólo un desarrollo capitalista,
sino además crear una base económica firme y autónoma. Se promovieron una serie de
23
disposiciones, entre las más relevantes se encuentran la creación del impuesto sobre la
renta, lo cual permitió elaborar una política de ingresos y de egresos del Estado, y sentó
las bases para formar el gasto público del país. La fundación del Banco de México dio fin
al monopolio bancario ejercido por los porfiristas, éste era el encargado de la emisión,
regulación, circulación de billetes y monedas, creó las condiciones necesarias para que se
diera el ahorro interno, además de fungir como representante financiero ante el extranjero,
garantizándole al gobierno la rectoría de la economía del país.
Otra medida, fue el fomento a la industrialización, considerada como una de las
políticas prioritarias establecidas para reorganizar e impulsar la economía del país, con el
fin de dar paso al desarrollo capitalista. Durante la década de los veinte se dio una rápida
recuperación económica; la producción minera y textil se recuperaron aceleradamente, sin
embargo el país aun no tenía las condiciones necesarias para lograr un crecimiento
sostenido, el cual alcanzo años más tarde.
La cuestión agraria era otro de los aspectos vitales de ser atendidos, ya que el
reparto agrario era una de las demandas centrales exigidas por los campesinos durante la
lucha armada. Durante la presidencia de Calles se elaboró una Reforma Agraria, este
programa no sólo implicó la repartición de tierra, sino además el impulso de la
modernización del campo.
Entre otras medidas se encuentran, la organización del movimiento obrero, el
reconocimiento internacional; el cual favoreció la recuperación económica del país, a
través de la obtención de créditos, y el intercambio comercial con diferentes naciones, en
especial se dio un fortalecimiento en relaciones con Estados Unidos.
La política educativa
Dentro de este marco, el gobierno puso en marcha una serie de políticas
educativas que iban orientadas hacia una educación popular. La educación era concebida
“…como un servicio público, para salvar a los niños, educar a los jóvenes, redimir a los indios, ilustrar a todos y difundir una cultura generosa y enaltecedora…”17
El discurso educativo contribuyó a desarrollar, y tener claro, a través de las
concepciones educativas, contenidos, y métodos, al nuevo sujeto y sociedad que se
quería construir. La educación jugo un papel relevante como medio para hacer factible la
efectiva incorporación de los mexicanos al nuevo proyecto nacional, y permitir la
uniformidad necesaria. Por lo que era urgente que el Estado estableciera un sistema
17Solana Fernando, Historia de la educación pública en México, Fondo de Cultura Económica, México., 2001 p. 198.
24
educativo que permitiera cumplir con los compromisos políticos e ideológicos adquiridos
por el nuevo régimen, por ello la política educativa impulsada se caracterizó por una
reforma iniciada tanto en el ámbito rural como en el urbano.
Una de las acciones, y la principal base de la política educativa de esos años, fue
el establecimiento de las escuelas rurales, las cuales nacieron para atender a los grupos
tradicionalmente marginados, ésta institución fue creada fundamentalmente para integrar
a la gente. La escuela rural fue concebida como una agencia de convivencia social
fundada en la psicología, donde se contemplaban las diferencias individuales, y en lo
sociológico se consideró la existencia de un desarrollo desigual en las sociedades. Entre los acontecimientos relevantes se encuentran: el impulso al establecimiento
de escuelas rurales, las misiones culturales, el nacimiento de la Escuela Nacional de
Maestros, y la fundación de la secundaria como ciclo específico.
La educación secundaria en el período posrevolucionario
Como resultado de los desajustes externos e internos propiciados por la Primera
Guerra Mundial y por la Revolución se dieron una serie de trasformaciones económicas, y
políticas que exigieron cambios en el sistema educativo.
La escuela primaria sufrió una serie de cambios, no sólo con respecto a sus
finalidades y métodos, sino además hubo una influencia de las corrientes pedagógicas
que provenían de Europa y de las necesidades sociales del país. A diferencia de la
educación primaria, la educación secundaria permaneció inmóvil, conservando viejas
tradiciones, ignorando los progresos que se habían dado en lo pedagógico, y las
necesidades creadas por la Revolución; como la de incorporar a los sectores mayoritarios
a este nuevo proyecto de nación. La escuela tradicional del adolescente en México, como en casi todo el mundo
estaba ligada a la Universidad, y era simplemente la antesala a ésta, convirtiéndose en
una institución aristocrática, destinada a una minoría, encargada de preparar hombres
cultos que realizarían estudios universitarios.
Su plan de estudios era rígido, fue establecido por Gabino Barreda, tenía como
fundamento la filosofía del positivismo propuesta por Augusto Comte, permanecía ajeno a
las diferencias individuales, habilidades, y capacidades del educando de esa época y sólo
estaba destinado a desarrollar una educación positivista.
25
Internacionalmente, la educación secundaria se concibió como una educación
organizada, la cual buscaba una adecuación al cambio; por lo que todos los países
afectados por la guerra tendieron a independizar la educación secundaria de la
Universidad esto “…con el fin de darle contenido más educativo y menos instructivo”,18 educar para la reflexión y formación de la personalidad más que en la
formación científica clásica o humanística.
Tras la revolución mexicana, al iniciarse la década de los veinte se abordó
principalmente el problema de la educación del pueblo, se insistió en que la educación
que impartía la Universidad se alejaba cada vez más de él. Además, no existía
propiamente una escuela para los adolescentes que condujera su integración personal y
social con métodos pedagógicos adecuados. Aunque en 1917, Moisés Sáenz como
director de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP.) inició la labor de reorganizar los
estudios preparatorios, influenciado por la doctrina norteamericana de John Dewey; quien
planteaba que la educación estaba íntimamente ligada con la vida humana, la escuela
sería la encargada de proveer a los educandos de elementos que le permitieran no sólo
progresar en lo individual, sino también colectivamente a través de conocimientos
académicos y de preparación para el trabajo; se logró únicamente reorganizar los
estudios preparatorios, incorporando una línea divisora en dos periodos: el ciclo de
secundaria, el cual correspondería con una ampliación de la primaria, y sería la
encargada de dar una cultura general, diferenciándose de los estudios de bachiller o de
ingreso a la Universidad.
Sin embargo, los esfuerzos no fueron suficientes, dado que se encontraba
desconectada de las necesidades, y aspiraciones del pueblo, por lo que la administración
callista como un esfuerzo por dar contenidos democráticos, y populares a la educación,
separa definitivamente de la ENP. el ciclo de enseñanza secundaria en 1926;
considerándolo como una elevación del nivel cultural, y como un puente entre la
educación primaria, y la superior o profesional. Ese mismo año se llevó a cabo una
reestructuración en la SEP., creando el Sistema de Educación Secundaria a cargo de la
Dirección de Educación Secundaria que fue la encargada de administrar y organizar este
nivel educativo.
Cabe mencionar que se tomaron como modelos los postulados pedagógicos e
ideológicos de la escuela secundaria alemana, y la estadounidense, entre los cuales se
18 Solana, Fernando. Op. Cit. p.223
26
encontraban: la preparación para los deberes ciudadanos, y el desarrollo de las facultades
mentales.
Objetivos de la educación secundaria en los veintes
La escuela secundaria nació acorde con el sentido democrático, popular, y
nacionalista. Entre sus objetivos generales planteados, se rescatan tres aspectos
fundamentales que se querían desarrollar en los educandos: por un lado se encontraba la
preparación del individuo como ciudadano (lo cual implicaba la integración de los
individuos en la nueva nación), como miembro cooperador de una sociedad en la cual
participaría activamente, y el desarrollo individual, a través del desarrollo de habilidades, y
la adquisición de conocimientos.
Solana19 menciona que sus principios se pueden agrupar en tres:
Preparar para la vida ciudadana
Propiciar la participación en la producción y en el disfrute de riquezas
Cultivar la personalidad independiente y libre
La secundaria era la encargada de preparar a los futuros ciudadanos como
miembros de la sociedad, además favorecería el desarrollo personal para incorporarse a
ésta, y comprendería los estudios necesarios para ingresar a la universidad.
El plan de estudios de secundaria
Desde su fundación como ciclo específico se hizo una revisión al plan de estudios,
con el propósito de lograr la articulación de la secundaria con el nivel educativo anterior, y
hacer que las asignaturas se vincularan con la vida de los educandos. El plan de estudios
de las escuelas secundarias pretendía proveer de conocimientos, los cuales no solamente
prepararían para el estudio de alguna carrera, sino también para las actividades de la vida
ordinaria.
Este se encontraba distribuido en diversas áreas: la académica donde se
encontraban aquellas disciplinas del conocimiento que le permitirían al educando adquirir
los conocimientos necesarios para ingresar a estudios posteriores, dichas disciplinas
eran: matemáticas, español, botánica, zoología, física, química, geografía e historia. El
área de higiene refería a aspectos de la salud del alumno e incluía la enseñanza de
higiene sexual. En el área de cultura física se incluían actividades relacionadas con
19 Solana, Fernando. Op. Cit.. p.225
27
diversos deportes como eran: el básquetbol, voleibol, natación, fútbol. Para establecer
una relación con la vida cotidiana se planteó la enseñanza de oficios, entre los que se
encontraban: la carpintería, y encuadernación, estos se realizaban en talleres
especialmente durante el primer año.
Los programas de matemáticas de 1928
Los programas de matemáticas de 1928 para secundaria no solamente tomaban en
cuenta las condiciones e interés de los educandos, sin duda indicio de la presencia de los
progresos en psicología, sino también pensaban en las matemáticas que el alumno usaba
y usaría probablemente, más que en aquellas matemáticas teóricas o puras, además de
vincular el conocimiento matemático con el trabajo. Las matemáticas que se proponían
eran aquéllas que servirían para enfrentar los problemas, y las exigencias que presentaba
la vida.
Con respecto a la carga horaria destinada al estudio de matemáticas, para primer
grado era de 3 horas a la semana, y para el segundo y tercer grado era de 5 horas
semanales respectivamente.
Objetivos generales de los programas de estudio de matemáticas
Para los programas de estudio de matemáticas se plantearon una serie de
objetivos generales entre los que se encontraban:
El dominio de las cuatro operaciones con los números usuales ejecutadas con un grado de rapidez y exactitud aceptables.
Un sentido claro de la validez y significado de los resultados, adquirido juntamente con la apreciación justa de la influencia de pequeños errores en los datos, así como el acierto al calcular, usando el número de cifras significativas adecuado.
La confianza en el uso del cálculo aritmético y algebraico y de construcciones geométricas para la resolución de problemas, adquirida juntamente con los medios apropiados de comprobar la resolución.
La posibilidad de usar y entender el lenguaje del álgebra en conexión con la expresión de relaciones cuantitativas muy sencillas, tales como ocurren en fórmulas, ecuaciones y enunciados de leyes comúnmente conocidas y usadas.
La habilidad para entender e interpretar representaciones graficas de hechos cuantitativos, en la forma en que tales representaciones se usan más generalmente.
28
La familiaridad con las formas geométricas comunes a la naturaleza, la industria,
el arte y las propiedades geométricas y relaciones entre sus partes constitutivas. La habilidad de entender y formular conceptos generales a los que se refiere el
pensamiento cuantitativo, así como la habilidad para servirse de ellos en los problemas que comúnmente presenta la vida.20
Estructura curricular de los programas de estudio de matemáticas de 1928
En los programas de matemáticas de 1928 se mencionaba: “los programas
intentan señalar cuáles son los conocimientos que fundamentalmente formarán parte del curso y cuál será su organización. Sugerir actividades que se consideren adecuadas para la adquisición de dichos conocimientos y para la realización de los fines propuestos. Los fines que más especialmente se desea alcanzar en conexión con dichas actividades y conocimientos”21. Los programas de primer, y segundo grado se presentaban en tres columnas: en la
primera columna del programa se señalaban los contenidos de la materia, la segunda
columna sugería una serie de actividades a través de las cuales se podía adquirir el
conocimiento, finalmente en la tercera columna señalaban los fines u objetivos por
alcanzar, planteados a partir de los contenidos, y las actividades. Como complemento a
estas indicaciones generales se hacían otras relativas a cada una de las partes que
formaban los programas, para el programa de primer grado, estas indicaciones se
encontraban al término de cada parte; para el de segundo grado las especificaciones se
localizaban al final del programa.
El programa de tercer grado tenía una presentación diferente en comparación con
el de primero, y segundo grado se encontraba divido en dos partes, se indicaban los
contenidos para cada una de ellas y después presentaban las indicaciones u
observaciones complementarias, donde se sugerían algunos ejercicios para el tratamiento
de dichos contenidos.
En el programa de primer grado se estipulaban principalmente contenidos
relacionados con la aritmética22, el de segundo grado en general estaba orientado al
estudio del álgebra y la geometría plana y el de tercer grado al estudio de la geometría del
20 Dirección de Enseñanza Secundaria, Programas de Matemáticas para las Escuelas Secundarias, Talleres Gráficos de la Nación, México., 1928, pp. 7-8. 21 Ídem. 22 En el mapa curricular también se encuentran algunos contenidos elementales de la geometría como son: medición de segmentos, ángulos y perímetros, áreas y volúmenes, semejanza de triángulos y dibujo a escala.
29
espacio, y la trigonometría, aunque también se incluían algunos temas de álgebra, y
nociones de estadística. .
Descripción de los programas de estudio de matemáticas de 1928 Para la descripción de cada uno de los programas de estudio se consideran
primero las indicaciones o especificaciones que se indicaban al final de cada una de las
partes de los programa, lo cual permite tener una clara idea de los aspectos que son
abordados dentro de los fines, actividades, y contenidos, para después rescatar lo
planteado en éstos.
Programa de matemáticas primer grado
Como lo había mencionado anteriormente, el programa de primer grado estaba
conformado por tres partes, para las cuales se planteaban indicaciones o
especificaciones. Proponía la revisión de los contenidos estudiados en la primaria, se
señalaba que “la revisión no será simplemente un repaso, sino realmente una revisión, es decir, una reconsideración de las enseñanzas que el alumno recibió en la escuela primaria, haciéndole ver, desde distintos puntos de vista, todo aquello que ya fue objeto de su atención”.23
En cuanto a la ejecución de las operaciones, no sólo se consideraba realizar la
operación adecuadamente, sino además el alumno debía de reflexionar sobre la
pertinencia del resultado, lo que tenía que ver con la estimación y el cálculo mental.
Las matemáticas que se proponían no eran aquéllas basadas en una serie de
procedimientos y reglas realizadas mecánicamente, sino aquellas donde el educando
debía usar su criterio para aplicar los procedimientos más adecuados, convenientes, y
útiles.
La segunda parte del programa tenía como propósito mostrar los algoritmos de las
operaciones, y la generalización de éstos, haciendo énfasis en aquéllos que pudieran ser
utilizados en el futuro, esta parte no presentó como único objetivo que el alumno ejecutara
las operaciones, también se pretendía que el alumno entendiera por qué se realizan de
esa forma. Además, se procuraba que los alumnos arribaran a una generalización, a
través del conocimiento de diferentes procedimientos de adición, sustracción,
multiplicación y división, para utilizar estos procedimientos en la aritmética, y trasladarlos
hacia otro tipo de operaciones; con el fin de demostrarle al alumno que la matemática
podía dejar de lado las reglas, además de prepararlo no sólo para la aplicación de
23 Dirección de Enseñanza Secundaria. Op. Cit. p. 13.
30
procedimientos aritméticos, sino también a procesos algebraicos que posteriormente
serían revisados. Con respecto a esta generalización, se señalaba que se debía tener
cuidado en la elección, y uso de las definiciones que se usan en la aritmética.
Se señalaba que “la teoría de la aritmética es, en gran parte, difícil, casi inabordable, con la preparación que el alumno tiene. La mayor parte de ella no debe enseñarse pero lo que se enseñe será presentado y trabajado en forma tal, que el alumno no lo olvide…Por eso quedan fuera del programa asuntos tales como: menor múltiplo y máximo común divisor por procedimientos basados en la teoría de los números; alternar, invertir, componer, etc., por lo que se refiere a proporciones, así como el uso de la notación antigua…”24 ; seleccionando los
contenidos por la utilidad, y el carácter práctico que estos tienen.
Por ultimo, la tercera parte presentaba la solución de problemas donde no sólo se
ejecutarían las operaciones que se requieren para resolver el problema, sino también el
educando debía seleccionar el procedimiento más apropiado por el cual obtendría la
respuesta, esto daría la pauta para que el alumno desarrollara el juicio y la capacidad de
análisis, para después efectuar las operaciones. Un aspecto destacable en esta tercera
parte es la introducción de contenidos de álgebra, a través de la solución de problemas,
en los cuales se manejaría la sustitución de letras por números, el uso de la x y del
paréntesis en formulas geométricas que presenten los problemas.
Contenidos correspondientes al programa de primer grado Entre los contenidos propuestos para el programa de primero eran los siguientes:
Para aritmética
Operaciones fundamentales con enteros, fracciones comunes, decimales, mixtos y
denominados, su comprobación. El sistema métrico decimal y sistema inglés (medidas
inglesas de longitud como: yarda, pulgada y pie). Razones, proporciones y porcentaje.
Noción de raíz cuadrada
Para geometría
Figuras geométricas (triángulo, cuadrado, hexágono, octágono. Perímetros, áreas y
volúmenes. Medición de segmentos de recta, Simetría axial y central. Medición, trazo y
construcción de ángulos, su clasificación El teorema de Pitágoras a través de
24 Dirección de Enseñanza Secundaria. Op. Cit. p. 21.
31
problemas. Dibujo a escala, trazo de paralelas y perpendiculares, trazo de figuras
geométricas uso de regla compás, metro, cinta, y transportador.
Para álgebra
Introducción de contenidos de álgebra, a través de la solución de problemas.
Programa de matemáticas de segundo grado
El programa de segundo grado estaba constituido por cuatro partes, donde se
señalaban los contenidos, las actividades, y fines, además siguen presentes las
indicaciones u observaciones generales.
Los contenidos del programa de segundo grado se centraban en temas
relacionados con el álgebra, y la geometría. Las observaciones del programa señalaban la
importancia que tienen éstas temáticas para el alumno.
Las indicaciones u observaciones generales planteaban que el estudio del álgebra
se considera valioso, ya que no sólo tenía una utilidad práctica, sino además dotaba a los
alumnos de una cultura general, dicha utilidad práctica se refería al uso del álgebra en
actividades diarias, además de considerar como una forma de “expresión”, y un “medio
general de comunicación”; por lo que el alumno debía de aprender a expresar e
interpretar expresiones algebraicas a través del uso de fórmulas que se consideran útiles
para la vida, con el fin de facilitar la resolución de problemas de la vida, seleccionando el
procedimiento conveniente y comprobando si éste es el correcto de acuerdo a lo que pide
el problema.
No sólo se contemplaba que el alumno conociera ciertos contenidos que se
consideran básicos, sino también el desarrollo de “actitudes mentales” conocidas
actualmente como operaciones mentales, entre las que se encuentra el análisis, la
síntesis, la generalización y la abstracción, lo que permitiría el desarrollo individual del
educando.
La enseñanza del álgebra se abordaría a través de la solución de problemas, estos
estaban planteados a partir de la utilización de fórmulas que se relacionaban en especial
con la física, geografía, mecánica y geometría, las cuales debían ser solamente aquellas
que fueran de uso común en la vida, y que se consideraban útiles; a través de la
aplicación de estas fórmulas el alumno iba a entender las diferentes definiciones o
conceptos usados en el álgebra, lo que le permitiría no ver de forma aislada una serie de
conceptos, reglas, y procedimientos a los cuales no les veía utilidad, desarrollando en el
alumno un pensamiento reflexivo. Se mencionaba que a través de este tipo de ejercicios
32
el alumno gradualmente entendería el significado de términos, y procedimientos
algebraicos.
El alumno no sólo iba a solucionar el problema ejecutando las operaciones que se
le pedían, sino también aprendería a plantear problemas, a seleccionar e interpretar la
ecuación o fórmula que resuelve el problema, realizar las operaciones en el orden debido,
a especificar el resultado, y comprobar si éste es válido para el problema planteado.
Una de las justificaciones para que la enseñanza del álgebra se llevara de esta
manera, era que se observaba una falta de interés y disgusto hacia el álgebra por parte
de los alumnos, ya que percibían los conceptos como ajenos a ellos, además de estar
acostumbrados al manejo de cierto tipo de lenguaje y de operaciones, esencialmente
aritméticas, lo que no les permitía lograr conectar estos conocimientos con las nuevas
asociaciones que presenta el álgebra.
El programa señalaba que para el aprendizaje del álgebra se debía de estar más
atento al procedimiento que al resultado, estableciendo ciertas relaciones entre los datos
del problema, y su solución, lo cual haría que el alumno lo relacionara con aspectos
aprendidos y usados.
Además indicaba que uno de los contenidos principales abordados en el programa
eran los números negativos, los cuales se sugería revisar al final del curso, cuando el
alumno estuviera familiarizado con el simbolismo, el uso de la ecuación, sustitución de
números por letras, así lograría enfocar toda su atención al uso del nuevo símbolo.
La geometría también estaba presente en el programa, pero no de un modo formal,
esto con el fin de desarrollar nociones geométricas que se consideraban sencillas y útiles. “El programa pide a la geometría todos los motivos posibles para que use el álgebra y a ésta todo el auxilio para estudiar y resolver los problemas de aquélla”25, por lo tanto, el álgebra como la geometría servirían como herramienta para un mejor
entendimiento de las situaciones planteadas. Como se mencionó, el programa estaba organizado en cuatro partes, la primera
parte del programa del programa se planteaba la revisión de contenidos anteriormente
adquiridos a través de problemas que se usan en el “comercio, la geometría, y la
industria”. En la segunda y tercera parte del programa se encontraba presente el estudio
del álgebra, la finalidad era conducir gradualmente al alumno para que entendiera el
significado de las expresiones, y procedimientos algebraicos, a través de la solución de
problemas. Por último en la cuarta parte, continúa presente el álgebra, además de
25 Dirección de Enseñanza Secundaria. Op. Cit. p. 68
33
contenidos relacionados con razones, proporciones, y trigonometría, a través de la
solución de problemas.
Contenidos correspondientes al programa de segundo grado
Los contenidos presentes en el programa de segundo eran: Para aritmética
Sistema métrico decimal, raíz cuadrada, números positivos y negativos, variación
directa e inversa, propiedades de la proporción. Para geometría
Teoremas de igualdad de triángulos, semejanza de triángulos, propiedades de las
principales figuras geométricas. Teorema de proporcionalidad de líneas. Simetría en
figuras conocidas Para álgebra
Conocimiento y uso de expresiones algebraicas a través de problemas, ecuaciones
con literales, ecuaciones de primer grado, ecuaciones fraccionarias, sistemas de
ecuaciones por sustitución, por adición y sustracción, productos notables, exponente
negativo, funciones. Para trigonometría
Tangentes trigonométricas y sus usos, funciones trigonométricas: seno, coseno y
cotangente. Resolución de triángulos rectángulos.
Además se rescatan algunos contenidos estudiados en el primer grado, con la
finalidad que el alumno relacione y complete conocimientos geométricos.
Programa de matemáticas de tercer grado
El programa de tercer grado, estaba constituido por tres partes: una revisión de
contenidos de álgebra vistos en el curso anterior, y dos partes más, en donde primero se
encontraban especificados los contenidos que serían estudiados para cada una de las
partes, y después se encuentran las observaciones, en las cuales estaban planteadas
algunas formas de tratar los temas.
Contenidos correspondientes al programa de tercer grado
Los contenidos presentes en el programa de tercer grado eran:
Para aritmética
La raíz cuadrada su algoritmo, y reglas para extraerla. Para álgebra
Los exponentes, (en el producto, en el cociente, en la potencia, en la raíz el exponente
cero, exponente fraccionario, exponente negativo). Operaciones con radicales,
cuadrado de un binomio, raíz cuadrada de un monomio, y un trinomio, solución de la
ecuación por tres métodos: solución grafica, completando el trinomio o
usando la fórmula
qpxx =±2
−b ± b2 −4ac2a
, gráficas de algunas funciones importantes.
Conocimiento y uso de tablas de logaritmos, sus operaciones. Operaciones con
radicales. Para geometría
Procedimientos generales para encontrar volúmenes. Proporcionalidad de líneas.
Noción de simetría. Noción de semejanza, semejanza de triángulos. Noción de lugar
geométrico. Demostraciones relativas a la igualdad de triángulos, y del Teorema de
Pitágoras. Para trigonometría
Tangente, seno, coseno, cotangente, secante, cosecante. Resolución de triángulos
rectángulos. Para estadística
Nociones de Estadística como son la frecuencia con que ocurre un hecho, graficas de
distribución normal, la tendencia central y sus medidas: promedio, frecuencia máxima,
“mediana o normal”; el uso y las limitaciones que tiene la estadística y el criterio con
que debe juzgarse los resultados.
34
35
El currículo de matemáticas de 1939
El Cardenismo
El sexenio que comprende de 1934 a 1940, a cargo del general Lázaro Cárdenas
fue un periodo que se destacó por la intensa participación del movimiento obrero y
campesino.
Durante la gubernatura estatal de Michoacán, y durante su régimen, Cárdenas
reivindicó los principios de la Revolución, los cuales quedaron asentados en su Plan
Sexenal.
Mirón Lince26 menciona que la reforma agraria, la expropiación petrolera, la
fundación del Partido de la Revolución Mexicana (PRM.) y la educación socialista, son
cuestiones primordiales para comprender el desarrollo económico y político del país
durante, y después del cardenismo.
La política agraria fue considerada por los gobiernos posrevolucionarios un aspecto
fundamental, dado los conflictos que presentaba el campo en esa época, a través de la
reforma agraria se dio respuesta a las demandas de los campesinos, logrando cierta
estabilidad en el campo; entre las acciones llevadas a cabo en materia agraria se
encuentra una redistribución de la tierra, una política crediticia para impulsar la producción
agrícola; lo cual se tradujo en la asignación de recursos, esto hizo posible integrar al
sector campesino en la nueva estructura del poder.
Por otra parte, la nacionalización de las empresas petroleras reafirmó el poder y la
soberanía del Estado frente al capital privado nacional y extranjero, y la creación del PRM
fortaleció al Estado como rector de toda actividad política nacional.
La educación socialista Durante este período presidencial, la educación cambió radicalmente adoptando
una orientación socialista. Al comenzar la década de los treinta a nivel mundial se agudizó
la polémica alrededor de socialismo, si se estaba en pro o en contra de ésta corriente. En
México, al igual que en otros países latinoamericanos, el socialismo estalló
posteriormente, lo cual no sólo tuvo impacto en el terreno político, sino también en el
educativo. Las primeras apariciones del socialismo se dieron durante el periodo
presidencial de Calles, sin embargo tomó fuerza durante el gobierno de Lázaro Cárdenas. La educación socialista tuvo como fundamento:
La soberanía del estado con relación a cualquier otro poder
26 Mirón Lince R, Cárdenas en el poder (II), en Evolución del Estado Mexicano Tomo II, El Caballito, México., 1991. p.237.
36
Libertad de conciencia, de creencias y de cultos
Autoridad del estado para gobernar la educación nacional Laicismo27
La educación socialista fue concebida como una educación que permitiría la
transición de una organización social inequitativa e injusta, hacia mejores formas de
convivencia social y económica; era claro también que no se pensaba que la educación
por si sola fuera a lograr tal cambio, pero se consideró que crearía una conciencia social
capaz de impulsar la transformación del país.
La educación socialista tuvo como antecedente el pensamiento de Ferrer de
Guardia y su escuela racionalista, el cual sostenía que la enseñanza debía orientarse al
trabajo, y trasmitir un mensaje de justicia social, donde la educación debía estar basada
exclusivamente en la razón, y la ciencia, su objetivo era formar hombres libres, y
respetuosos de los demás. A finales de 1934 se reformó el artículo tercero constitucional, el cual establecía
que la educación que impartiría el estado sería socialista. “La educación que imparta el Estado será socialista, y además de excluir toda doctrina religiosa combatirá el fanatismo y los prejuicios, para lo cual la escuela organizará sus enseñanzas y actividades en forma que permitan crear en la juventud un concepto racional y exacto del universo y de la vida social”.28
Además, se dejó claro que el Estado sería el único en impartir educación primaria,
secundaria, y normal, éste sólo concedería autorizaciones a los particulares que desearan
impartir educación.
Así, la adopción de la educación socialista subrayó el carácter popular de la
educación, promoviendo el predominio de la razón y las explicaciones científicas, con el
fin de combatir los dogmas y fanatismos, excluyendo toda enseñanza religiosa. Cárdenas, con el fin de dar orientación política y pedagógica de acuerdo a los
nuevos ideales socialistas planteados en el artículo tercero preparó los medios para
llevarlos a cabo. En 1935, el entonces Secretario de Educación Publica Ignacio García
Téllez formuló el Programa de Educación Pública, donde se señalaban las características
que debía tener la Escuela Socialista: “…debía ser emancipadora, única, obligatoria, gratuita, científica o racionalista, técnica de trabajo, socialmente útil,
27 Mirón, Lince R. Op. Cit.. p. 234. 28 Ibídem. p. 274
37
desfanatizadota e integral…”29La educación socialista aspiraba a la formación del
proletariado, con el fin de que éste tuviera una justa participación en la sociedad. Así, se
reforman los planes de estudio, libros de texto y programas de clase, desde la enseñanza
preescolar hasta las profesiones dependientes del Estado.
Cárdenas también se preocupó por las deficiencias en las que estaba inmersa la
enseñanza oficial en México, impulsó una serie de acciones como: la creación de centros
de alfabetización, con el propósito de abatir el analfabetismo; problema grave que se
agudizaba en las zonas rurales, además de difundir la enseñanza en aquellos sectores
que nunca la habían recibido (obreros, campesinos e indígenas). Además, la escuela se
diferenció de acuerdo al medio en donde se encontraba, creando escuelas urbanas,
semiurbanas, rurales, y centros de educación indígena. Entre otras acciones se encuentra
la creación del Instituto Politécnico Nacional (IPN.), que dio impulso a la enseñanza
técnica, así como el fomento al establecimiento de escuelas regionales campesinas, para
dotar a los maestros rurales de conocimientos prácticos.
A pesar de los avances significativos que se dieron en materia educativa durante la
administración de Cárdenas, se dejo ver el rechazo hacia la educación socialista, dado
que afectaba los intereses de varios sectores sociales, en especial del clero, el cual
ejercía una fuerza sobre la sociedad, esto puso en crisis a la educación creando un
ambiente hostil con el Estado.
Estas condiciones constituyeron el marco dentro del cual en 1939, se presenta otra
iniciativa para reformar el artículo tercero, con lo que se dio por terminada la educación
socialista.
Reforma a la enseñanza secundaria Adaptándose a los propósitos del artículo tercero reformado en 1934, la educación
secundaria se definió como “…toda educación que enlazándose o conectándose con la escuela primaria o teniéndola como antecedente necesario, imparta conocimientos generales, ya sea como fin o como medio, aunque fuese a pretexto de mayor preparación para la cultura superior”30. El propósito fundamental de esta reforma educativa era crear una juventud dotada
de justicia social, libre de prejuicios, preparada para conocer y juzgar a partir de un criterio
científico. La reforma le asignó a la secundaria la función de post primaria, ya que ésta
29 Mirón, Lince R. Op. Cit. p. 276 30 SEP. La reforma educativa y la enseñanza secundaria, SEP, México. 1935, p.22
38
completaría las aptitudes descubiertas en la primaria, encauzándolas hacia las
especializaciones profesionales. El jefe de Enseñanza Secundaria, Juan B. Salazar boletinó un proyecto de bases
de la escuela secundaria socialista con las siguientes características y finalidades: “es una escuela media, democrática, socializante, selectiva, práctica, formativa del carácter y de la ciudadanía, prevocacional, que combate el intelectualismo burocrático, es la escuela del trabajo y de reconstrucción social, que atiende a la educación íntegramente, es una escuela de cooperación y eminentemente social”31
Objetivos de la escuela secundaria
La escuela secundaria tenía tres finalidades: como “escuela de integración”, la cual
formaría ciudadanos de una misma colectividad; como “escuela socialista”, la cual
desarrollaría un concepto de responsabilidad, justicia social y solidaridad, lo cual aplicaría
el educando cuando hubiera concluido una profesión y como “escuela de trabajo”, lo cual
le quitaría el aspecto puramente teórico que no dejaba desarrollar algunas
potencialidades del alumno.
El plan de estudios de secundaria El plan de estudios tuvo vigencia de cinco años, en 1941 se reforma. Los
programas y métodos se adaptarían: “…para la preparación manual, para la producción; no enciclopedismo, orientación socialista en historia del proletariado, derecho revolucionario geografía e higiene social…”32
Las materias que aparecían en el mapa curricular eran: español, matemáticas, lengua
extrajera, biología, física, química, geografía, cultura cívica, historia de México, historia
universal, talleres, cultura física, dibujo, trabajo de gabinete y cultura musical, estas
distribuidas en los tres grados, con un total de 32 horas para primer grado, de 36 horas a
la semana para segundo y tercer grado.
Uno de los aspectos importantes, es que se aligeraron los programas conservando
temas que se consideraban sustanciales y procurando asociarlos con las asignaturas
afines, relacionando lo teórico con la experiencia práctica y fortaleciendo la enseñanza de
la historia.
31SEP.(1935) Op. Cit.. p. 281. 32 Ibídem. p. 277.
39
Los programas de estudios de matemáticas de 1939 Estos programas de estudio fueron tomados en cuenta para la descripción y
análisis, dado que fueron los únicos documentos encontrados de esta época.
Para la elaboración de los programas de estudio de matemáticas de este año, se
tomaron en cuenta los propósitos de la educación secundaria y algunas condiciones de
las comisiones encargadas de formular los programas de enseñanza, de entre las que se
encuentran características importantes como: considerar a la enseñanza secundaria
integral, donde ninguna disciplina enseñada se debía considerar como aislada de las
demás; por este medio los alumnos se desenvolverían y adquirirían la cultura para
entender los fenómenos.
La organización y extensión de la materia debía estar de acuerdo con las
condiciones del alumno, con lo que éste pudiera aprender y de acuerdo a su “desarrollo
mental”, característica que hacía del alumno el elemento principal de la enseñanza.
Otra aspecto importante, fue que se tomó en cuenta la resolución adoptada por la
III Conferencia Interamericana de Educación, la cual fijó que la segunda enseñanza no
sólo debía ser considerada como un antecedente para estudios superiores, sino una
preparación para la “vida social”
Como se mencionó anteriormente, la enseñanza debía adecuarse al
“desenvolvimiento mental del alumno”, donde los contenidos considerados accesibles se
presentarían primero y a medida que el alumno se iba desenvolviendo se le presentarían
los temas más abstractos; yendo de lo concreto ó lo más simple a lo complejo.
La enseñanza de la geometría, la aritmética y el álgebra se haría de manera
paralela ya se mencionaba que “en las naciones consideradas más cultas de la tierra se hace así desde hace muchos años, y en todas partes, lo mismo que en nuestras escuelas secundarias, la experiencia confirma el acierto de tal práctica”.33 Hay que
tener en cuenta que en el programa se señalaban los contenidos para cada una de estas
disciplinas separadamente, y se indicaba que el orden en que se presentaban no era el
que se debía llevar, sino que el maestro tenía la libertad de organizar estos contenidos
según las condiciones del alumno y de la materia.
Se señalaba que el programa omitía algunos temas, los cuales podían llegarse a
considerar saberes especializados no indispensables, dado que no se pretendía enseñar
a la matemática como una especialidad.
33 SEP. Planes de Estudios y Programas de segunda enseñanza. Matemáticas. SEP. México, 1939. p. 10.
40
El programa hace explícito que la comisión encargada de realizar los programas
estaba formada por profesores de secundaria.
Con respecto a la carga horaria para el estudio de esta asignatura era de cinco
horas semanales para el primer grado, cuatro para el segundo y tercer grado.
El contenido de la materia comprendía elementos de aritmética, geometría, álgebra y
trigonometría, distribuidos en los tres años de la secundaria.
Estructura curricular de los programas de estudio matemáticas de 1939 La presentación de los programas era la siguiente:
El programa de primer grado se componía de un apartado titulado carácter en
donde se planteaba de manera general los propósitos del curso; los métodos, que se
refería al tipo de enseñanza que debía llevarse a cabo; una síntesis del programa, en
donde se encontraba especificado en porcentaje la distribución del tiempo para
geometría, aritmética y álgebra, por último se encontraban señalados los contenidos que
serían abordados en cada una de las ramas de la matemática.
El programa de segundo grado presentaba el apartado de carácter, en el cual no se
encontraban especificados los métodos. Había una distribución del tiempo, pero ya no se
detallaba en porcentajes; para finalizar con el listado de contenidos. El programa de tercer grado sólo señalaba los contenidos que debía ser abordados
en este grado.
Los programas de estudio de matemáticas de 1939 no eran uniformes, en cuanto
que no presentan los mismos elementos, por ejemplo sólo el programa de primero y
segundo presenta el apartado llamado carácter en el de tercero hay una ausencia de éste;
la amplitud no era la misma, y el tiempo asignado a cada una de las ramas de la
matemática tampoco es el mismo.
Descripción de los programas de estudio de matemáticas de 1939
Programa de matemáticas de primer grado Como se había mencionado en el apartado anterior, el programa de primer grado
estaba constituido por un carácter, métodos, síntesis del programa y un listado de los
contenidos. Este se encontraba organizado en tres trimestres, en los cuales se abordaban
temas de geometría y aritmética.
41
Dentro del carácter se señalaba que el primer curso se considera una transición de
la enseñanza primaria, donde el aprendizaje era de carácter intuitivo y concreto, Era
importante que el profesor de secundaria considerara que el alumno “no sabe estudiar
solo”, por lo que era indispensable enseñarlo a estudiar para que él pudiera ser capaz de
adquirir conocimientos sin ayuda del maestro.
En cuanto al apartado de los métodos de enseñanza, se debía considerar
constantemente la “actividad personal del alumno”, dejando a un lado una actitud pasiva
del alumno como mero receptor de información.
Los contenidos se abordaban a partir de lo concreto, por medio de problemas
familiares se transitará al terreno abstracto.
La distribución del tiempo sugerida era: geometría intuitiva 40%, aritmética 40% e
iniciación al álgebra 20%.
Contenidos correspondientes al programa de primer grado
Para el primer grado los contenidos señalados estaban relacionados principalmente
con geometría, aritmética, además revisaban algunos contendidos relacionados con
álgebra. Para la aritmética
Las cuatro operaciones básicas con enteros, fraccionarios, denominados, sus
propiedades y comprobación, escritura y lectura de números y cantidades. Notación
romana. Divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo Sistema métrico
decimal. Extracción de la raíz cuadrada. Razones, proporciones y porcentajes. Para geometría
Conocimiento de algunas figuras y sus propiedades, perímetros, áreas y volúmenes,
propiedades y operaciones con segmentos, simetría axial y central, figuras simétricas,
clasificación y medición de ángulos. Trazo y construcción de figuras, uso de regla,
compás, regla graduada, transportador y papel cuadriculado.
Para álgebra:
Expresiones literales a través de fórmulas,
Programa de matemáticas de segundo grado Para el programa de segundo grado se planteaba un carácter, la distribución de
tiempo y los contenidos. Hay una ausencia de los métodos; por lo que se puede deducir
42
que los métodos señalados en el programa de primer grado eran considerados de manera
general para los programas de segundo y tercer grado.
El carácter planteado para el segundo grado señalaba que si se alcanzaban todos
los propósitos educativos del primer curso, los alumnos tendrían las herramientas para
lograr un trabajo reflexivo, donde se pudiera llegar poco a poco a un razonamiento
riguroso y preciso; se haría más énfasis en la abstracción y en la generalización.
La distribución del tiempo y la organización no era por trimestres como en el primer año;
ésta quedaba a consideración del profesor, de acuerdo a la parte cubierta de los
contenidos del programa anterior
Contenidos correspondientes al programa de segundo grado.
Los contenidos que se señalaban se relacionaban principalmente con el álgebra y
la geometría, para esta última se realiza una breve revisión del curso anterior. Para aritmética
Raíz cuadrada de un número, procedimiento general. Variación directa e inversa.
Propiedades de la proporción.
Para álgebra
Simbolismo algebraico, manejo de símbolos, ecuaciones de primer grado (raíces
positivas únicamente), operaciones con expresiones algebraicas, ecuaciones
incompletas de segundo grado.
Para la geometría
Igualdad de triángulos, lugares geométricos, figuras semejantes, áreas, propiedades
de los paralelogramos, igualdad de ángulos, ángulos inscritos, áreas, Teorema de
Pitágoras. Para trigonometría
Razones trigonométricas.
Programa de matemáticas de tercer grado El programa de tercer grado sólo señalaba los contenidos, los cuales estaban
relacionados con la geometría, y el álgebra, además se realizaba una revisión de los
cursos anteriores y una introducción a la trigonometría.
43
Contenidos correspondientes al programa de tercer grado Para álgebra
Operaciones con radicales, exponentes y logaritmos, ecuaciones de segundo grado y
sus gráficas.
Para la geometría
Demostraciones y solución de problemas.
Para trigonometría
Funciones angulares; tangente, cotangente, seno y coseno de ángulos de 0 a 360
grados. Graficas. Formulas usuales para el cálculo de triángulos rectángulos. Relación
entre los lados de los senos de los ángulos opuestos. Resolución de algunos
triángulos oblicuángulos.
Cabe señalar que en los tres programas no se encontraban señaladas actividades
o sugerencias para el estudio de los contenidos.
Se puede decir que los temas señalados tenían que ver principalmente con
aritmética, geometría, álgebra y nociones de trigonometría; presentándose una ausencia
de temas relacionados con la estadística.
44
El currículo de matemáticas de 1946
Los sexenios de Ávila Camacho y Alemán Valdés
La década que va de 1940 a 1950 constituyó la entrada a México a la modernidad;
durante las administraciones de Manuel Ávila Camacho (1940- 1946) y de Miguel Alemán
Valdés (1946- 1952) se realizaron una serie de acciones que sentaron las bases para el
desarrollo industrial del país, este proceso de industrialización se dio gracias al
reforzamiento de la inversión extranjera, la reprivatización de tierras y una política
beneficiaria para la iniciativa privada.
El impulso del desarrollo industrial se visualizó como el único camino para el
mejoramiento del país, tanto en lo político, en lo económico y lo social.
Gracias a la industrialización llevada a cabo durante estos dos sexenios, se fincó
una estabilidad política, la cual propició que inversionistas nacionales, y extranjeros
dirigieran su mirada hacia nuestro país.
La Segunda Guerra Mundial no sólo contribuyó en la política industrializadora, sino
también en las relaciones de Estados Unidos con México y una política de inversión
extranjera.
El sexenio de Ávila Camacho dio marcha atrás a medidas tomadas durante años
anteriores, se dio un retroceso en el reparto agrario, en política educativa y en el ámbito
sindical; buscando un entendimiento con inversionistas nacionales y extranjeros, los
cuales propiciarían el desarrollo industrial.
Durante éste sexenio se llevó a cabo la modernización del Banco de México y la
fundación de Nacional Financiera, lo cual estimuló el crédito y la formación de capitales, a
través de una política de financiamiento.
También se lanzó una política llamada de la “Unidad Nacional”, esta era una
política de conciliación entre los diversos intereses y grupos sociales, encaminada a
fortalecer la hegemonía del Estado; ésta política fue planteada como una forma de
controlar el poder regional que se había presentado en la etapa posrevolucionaria. La
Unidad nacional, inspirada en los principios de la democracia social, en la colaboración de
todas las clases sociales y no en la lucha de clases, sería la pauta de acción.
Si bien, en el periodo de Ávila Camacho se inició el rumbo hacia la
industrialización, en el periodo de Alemán Valdés se dio la consolidación de ésta.
Durante el gobierno de Alemán se invirtió la mitad del gasto público en
infraestructura de transporte, carreteras y una cuarta parte en petróleo, electricidad y en la
creación de empresas de apoyo, esto originó una reducción del gasto dedicado a la
45
educación, salud y servicios urbanos. La política de Miguel Alemán continuó con el apoyo
a los empresarios industriales; llevada a cabo durante el sexenio anterior, no sólo dio
apoyo al capital nacional, sino también al extranjero, al que consideraba un elemento
esencial para el crecimiento de la economía nacional.
La política educativa en los cuarentas.
Durante la década de los cuarentas el gobierno vio en la educación la base más
firme para lograr la “Unidad Nacional”, consideraba que para alcanzar este propósito era
indispensable asegurar la unidad de la educación, la cual se apoyó en los conceptos del
artículo tercero constitucional, donde se contemplaban los principios de libertad, igualdad
y fraternidad. Se conservó un sentido anticlerical con el laicismo, además se tomó en
cuenta un nuevo principio: democracia social, el cual actuaría en forma activa para el
mejoramiento económico, social y cultural del pueblo.
La necesidad de todos los sectores por modernizar el país, con el fin de alcanzar el
nivel económico de los países desarrollados dio un carácter singular a la política
educativa. Ésta tomó como guía principal la escuela unificada, la cual se funda en la idea
del progreso, orientar la educación hacia la producción económica y presenta el concepto
de aprender haciendo, empleado para indicar la necesidad de vincular el sistema
educativo y el económico.
A pesar que durante esta década se dio prioridad a la modernización del país, a
través de la industrialización, en materia educativa se llevaron a cabo acciones como: la
promulgación de la Ley Orgánica de Educación, se restablecieron las misiones culturales,
se elaboraron nuevos planes de estudio encaminados a renovar la educación; dándole
una nueva forma bajo el lema de escuela activa. Dado que el analfabetismo alcanzaba
proporciones alarmantes en todo el país se dio inicio a una campaña de alfabetización,
que lamentablemente no recibió la debida atención al igual que la cuestión indigenista, la
enseñanza agrícola y la escuela rural.
En Diciembre de 1945, se reformó de nuevo el artículo tercero constitucional,
donde desaparecen los ideales socialistas plasmados en la reforma anterior. La
educación se orientó hacia la “Unidad Nacional“, poniendo énfasis a la educación urbana
como apoyo al proceso de industrialización. En materia de educación secundaria se llevó
a cabo una reforma a este ciclo educativo en 1946.
46
La secundaria y la reforma de 1946 Durante la presidencia de Ávila Camacho se realizó una reforma a la “segunda
enseñanza”, dado que era necesario un ciclo “unificado, práctico y amplio” el cual
permitiera alcanzar la “Unidad Nacional”, dándole un carácter democrático y
homogeneizador, donde todos los adolescentes tendrían las mismas oportunidades y
recibirían el mismo trato.
La reforma de 1946 puede considerarse en cuanto a su estructura una de las más
completas, aparte de considerar la estructuración de los contenidos de los programas de
estudio, presentaba tres fundamentos: los legales, sociológicos y pedagógicos.
Dentro de los fundamentos legales se tomó en cuenta la Ley Orgánica de
Educación Pública, donde se señalaba que la enseñanza contribuiría a desarrollar y
consolidar la “Unidad Nacional”, excluyendo cualquier doctrina religiosa, influencia política
o social ajena al país.
En el aspecto sociológico se trató la necesidad de educar para la “paz, la
democracia y la justicia social”, estos tres ideales orientaron la educación durante la
posguerra.
Los fundamentos pedagógicos plantearon que la educación en México exigía
cambios, tanto por las necesidades de la guerra y de la posguerra, como por los avances
en materia educativa, ya sea con referencia a los docentes o los métodos de enseñanza.
La reforma a los planes de estudio se apoyaba en una nueva visión de aprendizaje, donde
se debía de perder el carácter “memorístico e intelectualista”, en el cual los contenidos
eran enciclopédicos y no respondían a los intereses de los adolescentes.
El aprendizaje ya no fue concebido como una actitud pasiva del alumno, se
mencionaba “el verdadero aprendizaje es aquel que el alumno adquiere por sí, y en que el educador principalmente promueve la actividad productora del educando. La nueva didáctica no es el arte de transmitir ideas y conocimientos, sino la técnica de dirigir y orientar el proceso de la enseñanza”34, el alumno adquiere por sí mismo y el
docente sólo propone y organiza actividades para promoverlo.
También hacia referencia a la adolescencia, considerada como una etapa de la
vida que necesitaba una atención específica, además de una preparación para la vida,
donde “se despertará en el joven la conciencia de su responsabilidad en el progreso
34 SEP. Revista Educación Nacional. Año II, octubre, Vol. III, Tomo I. SEP, México., 1946, p.11
47
de la cultura y las instituciones sociales y económicas, de excitar y afinar su sentido crítico y reflexivo…”35
Objetivos de la secundaria
La segunda enseñanza como se le llamaba a la secundaria durante esta época tenía
tres finalidades:
Ser continuación y ampliación de la primera enseñanza Servir como antecedente necesario a los estudios vocacionales técnicos Servir como antecedente necesario a los estudios preparatorios
universitarios.”36.
El plan y programa de estudios de 1946 El plan de estudios de ese año señalaba un enlace entre las asignaturas que
permitiría relacionar los contenidos teóricos y prácticos. Se realizaba un agrupamiento de
asignaturas: lengua y literatura española, lenguas extranjeras, ciencias físico-matemáticas
(matemáticas, física, química y dibujo constructivo), biología (botánica, zoología,
anatomía, fisiología e higiene y primeros auxilios) ciencias sociales (historia, geografía y
civismo), practicas de taller, música y educación física.
La articulación de las materias tenía como fin que el educando relacionara los
principios y usos científicos entre sí, para comprender su sentido, alcance y uso.
Las materias que aparecían en el mapa curricular eran: matemáticas, física, y
química, ciencias biológicas, geografía, historia universal y de México, lengua y literatura
castellana, lengua extranjera, educación cívica, educación musical, dibujo y modelado,
talleres y economía domestica, educación física; dichas materias distribuidas en los tres
grados con un total de 40 horas: 31 horas de clase y 9 de estudio.
Cabe señalar que la reforma de 1946 fue la de menor tiempo en vigencia.
Los programas de estudios de matemáticas de 1946 La elaboración de los programas de matemáticas de 1946 estaba basada en una
visión de la matemática a través del desenvolvimiento histórico, del contacto que han
tenido las verdades matemáticas con el mundo real y de las relaciones que estas
verdades tienen entre sí.
35 SEP. Revista Educación Nacional. (1946).Op. Cit. p.12. 36Ibídem. p. 5
48
Estos programas señalaban como fin de la enseñanza: “…apreciar la importancia de las matemáticas como instrumento de conquista material y de organización social y darse cuenta del valor y significación de un sistema de verdades rigurosamente organizado”37. Concebían a la matemática como un instrumento y como
ciencia.
Con respecto a la carga horaria para el estudio de ésta asignatura era de 4 horas
semanales para el primer grado y 3 horas a la semana para el segundo y tercer grado.
Estructura curricular de los programas de estudio de 1946
La presentación de los programas se formuló en “unidades de enseñanza”, para
facilitarle a los maestros la interpretación del programa, se señalaba en cada unidad el
contenido de la materia, se daban “sugestiones generales”, y se establecían
explícitamente objetivos de carácter general.
Cada unidad, se presentaba como sigue: al principio se formulaba una cuestión o
problema fundamental que da lugar a problemas secundarios, que eran los que
permitirían el establecimiento de las actividades, las cuales se sugieren como las más
adecuadas, pero el docente puede modificarlas de acuerdo a los alumnos.
Cada unidad detallada aparecía en dos columnas cuyos títulos indican el contenido
de ella.
Los objetivos generales que constituían el mínimo por lograr se indicaban con
letras mayúsculas.
En cuanto a los contenidos, para el primer grado se abordaban principalmente
contenidos relacionados con nociones de aritmética, álgebra y geometría; para el segundo
grado los contenidos estaban orientados al estudio de la aritmética, álgebra y geometría;
y el tercer grado estaba encaminado al estudio del álgebra, geometría y nociones de
trigonometría.
Los programas de matemáticas de 1946 tenían como característica global una
uniformidad en su presentación; ya que de manera general presentan los mismos
elementos, en cuanto a la amplitud, está no es igual, ya que existen diferencias en la
cantidad de contenidos y en el número de unidades por grado.
37 SEP. Programas de Matemáticas. Primer curso. SEP, México. 1946. p. 25
49
Descripción de los programas de matemáticas de 1946
Programa de matemáticas de primer grado
Objetivos del programa de matemáticas de primer grado
El programa señalaba objetivos más específicos para ser alcanzados por los alumnos;
dichos objetivos eran:
Capacitar al alumno para entender y resolver los problemas cuantitativos que constantemente se presentan en la vida diaria y que toda persona de mediana cultura necesita saber y no puede ignorar.
Ponerlo en contacto con una de las grandes tradiciones de la actividad humana, como es la Ciencia Matemática, con el fin de explotar sus aptitudes y encauzarlas.
Desarrollar en el adolescente el espíritu de observación, investigación y crítica. Hacerle comprender que todos los fenómenos físicos, biológicos, sociales,
están sujetos en general a variaciones cuantitativas que obedecen leyes. Capacitarlo para apreciar el grado de precisión con que es preciso realizar el
trabajo en sus diferentes aspectos. Orientarlo en el proceso natural de pasar de lo particular a lo general. Capacitarlo para emplear el simbolismo algebraico como instrumento de
abstracción y generalización y como un medio de expresión sintético y exacto. Fomentar su actitud inquisitiva respecto a las relaciones entre elementos de las
figuras geométricas y capacitarlo para investigarlas y utilizarlas. Ponerlo en contacto con los más valiosos tipos de razonamiento. Crear la actitud crítica que conduce a un examen atento, reflexivo y completo
como condición previa a la aceptación de conclusiones formuladas por uno mismo o por los demás38.
Dentro de estos objetivos resaltan aspectos destacables de la visión de las
matemáticas como: una matemática para la vida; un instrumento que ayudaría a entender
y resolver problemas que se presentan en la vida ordinaria; la matemática como parte de
la cultura y una de las grandes actividades de la humanidad, la matemática como ciencia,
la matemática con un carácter formativo; la cual desarrollaría el razonamiento, la reflexión
y aptitudes que permitirían al educando su desenvolvimiento individual. Además hace una
38 SEP, (1946) Op. Cit.. p. 25
50
vinculación de las matemáticas con otras disciplinas como la física, biología ciencias
sociales etc. El programa de primer grado se organizó en siete unidades de enseñanza, en las
cuales se encontraban presentes principalmente contenidos de aritmética y geometría.
Cabe recordar que en los programas se señalan “sugestiones generales”, objetivos
generales, contenidos de la materia, objetivos específicos y “sugestiones de problemas” y
actividades, que permitiría entender la matemática que se quería enseñar. La primera unidad plantea “Qué son los números y cómo se ha originado el actual
sistema de numeración”. Dentro de las “sugestiones” generales se proponía que toda la
información relacionada con el origen de números y numeración se debía presentar de
forma “sencilla, clara e interesante”, el lenguaje utilizado debía excluir tecnicismos
matemáticos desconocidos que podrían confundir al alumno.
El objetivo general de esta unidad era: que el alumno entienda las relaciones que hay entre el trabajo humano y las matemáticas y como éstas han nacido y se han desarrollado de acuerdo a las necesidades sociales mediante la influencia de civilizaciones.39 Lo que se quería era que el alumno se interesara en los hechos que ha
experimentado el hombre para contar y llevar nota de la cuenta, además debía de
percatarse del aspecto humano de las matemáticas. Tanto en el título de la unidad como en los objetivos generales, dejan ver el
carácter histórico de las matemáticas, las cuales han surgido de necesidades sociales,
este carácter histórico no muestra una matemática que sigue produciendo conocimientos,
sino una matemática acabada. La segunda unidad nombrada: “De que medios se han valido los hombres desde la
antigüedad para ejecutar sus transacciones comerciales sin tener materialmente a la vista
los objetos motivo de ellas”. Tenía como objetivos generales: lograr que el alumno recurra
a representaciones concretas cuando tenga dificultades en las operaciones, que adquiera
una actitud autocrítica a los procedimientos de solución de problemas que ha elegido,
compruebe y argumente la respuesta que obtuvo. Esta unidad se consideraba un repaso
de lo visto en primaria.
Se proponía su estudio a través de “problemas concretos de la vida; donde se
plantearían situaciones que le permitieran al alumno descubrir y aplicar las propiedades
de los números. Los problemas sugeridos serían de tipo variado; donde se incluirían
39 SEP, (1946). Op.Cit. p. 27
51
varias operaciones que le permitieran al alumno esforzarse por encontrarlos, se señala
que los problemas debían resolverse con “limpieza, orden y claridad”. La tercera unidad llamada: “Qué es medir y como se mide” hacía un
reconocimiento a la geometría métrica; la cual es la que se ocupa de todos aquellos
conceptos que tienen que ver con la medición. El interés de esta unidad era que el
alumno lograra medir con mayor precisión utilizando instrumentos, métodos adecuados y
condiciones reales o próximas a la realidad. La unidad proponía como objetivos
generales: aclarar y afirmar habilidades que el alumno comenzó a adquirir en la primaria,
que él sepa que toda medición tiene dificultades y que los resultados no son exactos , que
incluso la humanidad ha hecho durante siglos esfuerzos que han logrado cierto grado de
precisión en las mediciones. La cuarta unidad se refería a: “Cómo nos ayudan las matemáticas a entender y
resolver problemas de la vida social”; señala que los problemas debían tener relación con
“la vida del alumno y de la comunidad”; se recomendaba que las cuestiones fueran del
interés del alumno, ya que a partir de éstas el estudiante lograría relacionar la
matemática con fenómenos sociales. El objetivo general era que el alumno captara el
aspecto cuantitativo de los fenómenos sociales. A pesar que ésta unidad estaba orientada
a resolver problemas que tuvieran relación con la vida del alumno en las actividades no se
veía reflejada esta parte. La quinta unidad nombrada “Construcciones geométricas”; se consideraba una
revisión de los estudios hechos en la primaria, donde se daría una consolidación,
complemento y adquisición de nuevos conocimientos. Se señalaba que el aprendizaje de
la geometría comprende tres etapas: en la primera predomina el carácter intuitivo,
concreto de los conocimientos, el razonamiento informal y espontáneo; la segunda etapa
resalta el carácter abstracto, deductivo riguroso y formal del razonamiento y la tercera
etapa abarca los fundamentos de la ciencia como postulados o axiomas. Se consideraba
que en la secundaria, el aprendizaje de la geometría sólo abarcaba la primera etapa, la
que tiene que ver con experiencias que el alumno ha adquirido en su vida, por lo que esta
era la visión que guiaría el estudio de la geometría en este nivel educativo.
Los objetivos generales para esta unidad señalaban el conocimiento de las formas
geométricas más comunes, el desenvolvimiento de los conceptos fundamentales
indispensables para su estudio, la habilidad para manejar los instrumentos de dibujo en
construcciones y trazos geométricos, apreciar la belleza de las formas geométricas en la
52
naturaleza, el arte y la industria y hacerle ver al alumno las relaciones entre las verdades
geométricas y sus conexiones lógicas. La sexta unidad se intitulada: “Medición indirecta de distancias, áreas y
volúmenes”, tenía como objetivo hacerle ver al alumno el valor que tiene el conocimiento
de las relaciones cuantitativas y la importancia de su investigación. Las actividades eran
principalmente problemas de medición, relacionados con razones, proporciones, áreas de
triángulos, paralelogramos, trapecios y volumen del cubo; donde se ejercitaba el uso y
aplicación de fórmulas. La séptima unidad nombrada “Como se hacen y emplean las formulas” aborda
aspectos referentes al álgebra, donde los alumnos realizarían ejercicios y resolverían
problemas. Lo que se quería era que el alumno se familiarizara con el simbolismo
algebraico y entendiera que éste también es un medio de expresión. Cabe destacar que
en las actividades no se encontraron planteados problemas explícitamente, sólo se
señalaba que primero se plantearan problemas números y después sin éstos.
Contenidos correspondientes al programa de primer grado
En la primera, segunda y cuarta unidad se encontraron contenidos relacionados
principalmente con aritmética; dichos contenidos eran:
Operaciones básicas con naturales, enteros, decimales, fraccionarios y denominados,
numeración hablada y escrita, fracciones comunes y decimales, numeración romana,
divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, sistema métrico decimal,
sistema inglés de medidas, raíz cuadrada , concepto de razón, proporción,
porcentajes.
Los contenidos relacionados con la geometría estaban presentes en la tercera,
quinta y sexta unidad, los cuales eran:
Propiedades de las principales figuras geométricas, semejanza de triángulos medición
de áreas y volúmenes, propiedades de la recta y el segmento, medición de
segmentos, operaciones con segmentos, simetría central y axial, figuras simétricas,
ángulos, su clasificación, medición y operaciones, representación a escala, trazo de
paralelas y perpendiculares, uso de la regla, escuadra, compás, metro, cinta, regla
graduada y regla T.
53
Para álgebra
La séptima unidad consideraba contenidos para iniciar al alumno en el uso de la
notación, uso de paréntesis y simplificación de expresiones sencillas.
El programa de matemáticas de segundo grado El programa de segundo grado señalaba:
La ausencia de algunos asuntos que ordinariamente forman parte de un curso de álgebra y la presencia de otros que no es usual incluir en dicho curso.
La gran importancia que se le concede a cuestiones antes desatendidas (hábitos y habilidades específicas, actitudes, apreciaciones, adquisición de conceptos importantes, etc.) y la omisión o papel secundario que se asigna a otras, preferidas desde tiempo inmemorial por profesores y textos de álgebra: (habilidad en el cálculo con expresiones complicadas; resolución de problemas rebuscados, irreales que nunca o rara vez se presentan en la vida).
La preferencia que se concede a ejercicios y problemas de geometría, y física, en cuya resolución se usa con ventaja el álgebra, sobre ejercicios puramente mecánicos de operaciones algebraicas y problemas ideados, con el fin de que se empleen en su resolución ecuaciones especiales.40
Se mencionaba que la materia fue organizada tomando en cuenta: el carácter
obligatorio de las matemáticas y el aprendizaje de la materia; éste no dependía de la
materia misma, sino del acierto en la conducción de su enseñanza, además se debían de
aprovechar los progresos de la psicología y de otros estudios científicos que ayudan
mejorar la enseñanza. El programa de segundo grado estaba constituido por cinco unidades, en las cuales
se encontraban temas de álgebra y geometría. La primera unidad trataba contenidos de geometría, principalmente los que se
refieren a los movimientos de las figuras. Se señalaba que se debía evitar caer en
estudios de geometría formal, la cual tiene que ver con el estudio de una serie de
demostraciones, ya que ésta sería vista en el ciclo educativo posterior.
Lo que se pretendía era que el educando conociera las nociones elementales de
línea, punto, plano, ángulo, recta, curva etc. y supiera reconocerlas en las figuras, usar los
40 SEP. Programa de matemáticas. Segundo curso. SEP, México. 1946. p. 57
54
instrumentos como regla, escuadra y compás, para poder trazar, medir y entender el
dibujo.
Se requería que el alumno reflexionara, razonara, y no memorizara razonamientos
ajenos, que conociera y desarrollara las nociones geométricas adquiridas antes, dado que
el programa pedía de la geometría todos los motivos posibles para usar el álgebra y a
ésta todo el auxilio posible para estudiar y resolver problemas de aquella.
A pesar que se mencionaba que no se quería llegar al estudio de una geometría
formal, se señalan conceptos, proposiciones y principios referentes a los contenidos antes
mencionados, lo que deja ver un carácter teórico y formal de la matemática. La unidad dos, en general revisaba cuestiones referentes al álgebra por medio de
fórmulas, se señalaba que la enseñanza del álgebra en la forma tradicional tenía que ver
con la resolución de problemas y ejercicios ficticios, donde los alumnos no encontraban
una relación, lo que no permitía que lograran un buen manejo de esta. Ésta unidad tenía
como objetivo la adaptación al simbolismo algebraico y desarrollar en el alumno la
abstracción, el análisis y la generalización.
Se señalaba que el álgebra se adquiría con mayor facilidad si se iniciaba su estudio
mediante la fórmula, la ecuación y no con definiciones. Los conocimientos que el alumno
adquiriera debían ser “claros, precisos y utilizables para la vida”. La tercera unidad abordaba a la ecuación y la fórmula como solución general, se
sugería que era conveniente comenzar el estudio de la adición, sustracción, reducción de
términos, por medio de fórmulas y ecuaciones sencillas, lo que daría la pauta para ir
estudiando a la par los procedimientos, métodos, y no una simple aplicación de reglas.
El objetivo general era que el alumno supusiera el problema resuelto y luego
investigue las relaciones entre las magnitudes hasta formar la ecuación correspondiente y
resolverla, por lo que el alumno utilizaría un método general y no una serie de prácticas
rutinarias sólo aplicables a cierto tipo de problemas. En la cuarta unidad se abordaba principalmente lo referente a números positivos,
negativos y su utilización, se menciona que al alumno se le exigía un dominio y uso del
simbolismo algebraico, lo que la mayoría de las veces choca con hábitos adquiridos en el
aprendizaje de la aritmética, por lo que se consideraba que el tratamiento de un nuevo
signo como era el de los números negativos se diera después de que el alumno hubiera
logrado familiarizarse con el simbolismo algebraico, el uso de la ecuación, la fórmula,
cómputo de expresiones algebraicas etc., así toda su atención se centraría en el nuevo
55
símbolo. La unidad tenía como objetivo general que el alumno lograra apreciar la utilidad
de los números positivos y negativos. La quinta unidad titulada “Cómo el álgebra, la geometría y la aritmética nos auxilian
en la investigación”, tenía como objetivo adquirir la habilidad de “conducir correctamente”
el razonamiento. A pesar que el titulo de ésta unidad relaciona el álgebra, la geometría y
la aritmética con la investigación, en lo propuesto sólo se encuentran contenidos
independientes.
Contenidos correspondientes al programa de segundo grado
El programa de segundo grado, se incluían casi exclusivamente contenidos
álgebra y geometría; dichos contenidos eran: Para álgebra
Lenguaje algebraico, expresiones algebraicas: monomios, binomios y polinomios,
operaciones con monomios y polinomios, resolución de ecuaciones de primer grado,
productos notables.
Para geometría
Traslación rectilínea, lugares geométricos, la igualdad y sus propiedades, simetría
axial y central, ángulos sus propiedades y clasificación, El programa también incluía algunos temas de aritmética los cuales eran:
Números positivos y negativos, números primos, máximo común divisor, mínimo
común múltiplo, raíz cuadrada y el procedimiento general para extraerla.
Programa de matemáticas de tercer grado El programa de tercer grado establecía un curso obligatorio con tres horas
semanales más una de estudio dirigido y un curso optativo con cuatro horas semanales
más dos de estudio dirigido. El curso obligatorio estaba dirigido a todos los alumnos que
cursaban el tercer grado, comprendía aquellas actividades encaminadas a lograr
propósitos alcanzables y valiosos para todos, además planteaba actividades que no todos
lograban, la finalidad era “explorar las aptitudes personales del alumno”.
56
Objetivos del programa de tercer grado
En este tercer curso, debía insistirse en:
Capacitar al alumno para entender y resolver los problemas cuantitativos que constantemente se presentan en la vida diaria y que toda persona de mediana cultura necesita saber y no puede ignorar.
Darle los medios de investigar las leyes a que obedecen, en su aspecto cuantitativo, los fenómenos físicos, biológicos y sociales.
Capacitarlo para leer e interpretar las gráficas comúnmente usadas en los problemas de interés social, y servirse también de representaciones gráficas como auxiliar en el estudio y resolución de sus problemas personales.
Capacitarlo para emplear el simbolismo algebraico como un instrumento de abstracción y generalización y como un medio de expresión sintético y exacto.
Desarrollar una actitud inquisitiva respecto al mundo que lo rodea41. Se puede percibir que se hace énfasis sólo en la matemática para la vida y como
cultura general, y no se toma tanto en cuenta la perspectiva histórica presente en los
programas anteriores.
Por otro lado se señalaba que el curso optativo sería diferente al obligatorio; por el
grado de generalización y abstracción de los contenidos y actividades, este curso iba
dirigido a aquellos alumnos que pudieran desarrollar aptitudes para el estudio de ésta
disciplina.
Los fines en el curso optativo eran:
Poner al alumno en contacto con los más valiosos tipos de razonamiento. Crear una actitud de crítica que conduzca, a un examen atento, reflexivo y
completo como condición previa a la aceptación de conclusiones formuladas por uno mismo o por los demás.42
Estos fines son reflejo de la concepción de la matemática como ciencia. El programa de tercer grado estaba organizado en cuatro unidades; en las cuales
se estudiaban temas de álgebra, geometría y trigonometría. La primera unidad se refería principalmente a las demostraciones. Los objetivos
generales para ésta unidad eran: entender el significado del razonamiento matemático y
apreciar su valor como instrumento insustituible en la investigación de la verdad, conocer
41 SEP. Programa de matemáticas. Tercer curso. SEP, México. 1946 p. 79 42 Ídem.
57
y usar los procedimientos que se emplean en el razonamiento matemático, crear y
desarrollar un criterio científico y una actividad de crítica sana en cuanto a razones
científicas, entender el método directo e indirecto de la demostración.
En esta unidad, el carácter histórico de la matemática estaba presente al apreciar
cómo la geometría tardo siglos en constituirse como una rama de la matemática, además
de señalar la ineficiencia o limitación de los sentidos para adquirir una información cierta,
y cómo a partir de estas limitaciones hubo la necesidad de acudir a razonamientos
matemáticos como son las demostraciones para llegar a comprobarlos.
En esta unidad no sólo están presentes las demostraciones relacionadas con la
geometría, sino también demostraciones algebraicas. La unidad dos llamada “El plano y los cuerpos redondos” tenía como objetivo
desarrollar la imaginación espacial y afinar la percepción del alumno, cabe señalar que a
pesar que el objetivo de esta unidad era desarrollar la imaginación espacial, las
actividades sugeridas no daban pie a desarrollar esta habilidad. La unidad tres abarcaba temas relacionados con proporciones y trigonometría, el
objetivo de esta unidad era adquirir la habilidad de conducir correctamente el
razonamiento. En la unidad cuatro se estudiaban las ecuaciones de segundo grado y logaritmos a
través de la resolución de problemas y ejercicios, uso de tablas de cuadrados y raíces
cuadradas y problemas que conduzcan a ecuaciones incompletas y la práctica de
operaciones con expresiones en que estén presentes los exponentes.
Contenidos correspondientes al programa de tercer grado
Los contenidos para el programa obligatorio eran:
Para aritmética
Media proporcional, noción de cantidades directamente proporcionales e inversamente
proporcionales, teoremas relativos a las propiedades de la proporción. Para álgebra:
Resolución de ecuaciones completas e incompletas de segundo grado, obtenciones de
la fórmula general, exponentes y radicales.
58
Para geometría
Áreas, volúmenes, propiedades de las rectas, simetría axial y central, teorema de
Pitágoras, traslación y rotación, sistematización y demostración de lo revisado en
segundo, razón para llegar a una demostración, axiomas matemáticos.
Los contenidos del programa optativo eran: Para aritmética
Número primo, múltiplo común, divisor común, menor múltiplo común y máximo común
divisor, la desigualdad, con el fin de que el alumno adquiriera habilidad para encontrar
el máximo divisor común y el menor múltiplo común, usar propiedades de la
desigualdad en razonamientos sencillos a través de problemas. Para geometría
Superficies de revolución, la esfera, el cilindro de revolución y cono de revolución; lo
que se quería era que el alumno entendiera los métodos de demostración de la
geometría de los sólidos. Para álgebra
Noción de función, uso de tablas y formulas geométricas, Para trigonometría
Razones trigonométricas y su representación a través de problemas y ejercicios.
Además incluía algunas generalidades sobre progresiones y el binomio de Newton.
59
El currículo de matemáticas de 1964
El sexenio de Adolfo López Mateos
La década de los cincuentas se caracterizó por un crecimiento acelerado, un uso
intensivo de la mano de obra bajo mecanismos sindicales autoritarios y por el deterioro de
los salarios; las clases trabajadoras se encontraban en descontento, demandaban un
incremento de los salarios, la democratización de sus sindicatos y la participación en la
administración. Por su parte los campesinos además de tierra, exigían una reorientación
de las políticas de crédito y de irrigación, ya que estas sólo habían beneficiado a la
agricultura de exportación.
Frente a este panorama, las primeras acciones llevadas a cabo por el gobierno de
López Mateos fue neutralizar las protestas, reprimir las huelgas y dar inicio a una
estabilización social, a través de la reestructuración de los sindicatos y las empresas.
Otra medida que se llevó a cabo fue la reorientación de las inversiones del sector
público hacia los sectores de la industria, prestando mayor atención a las obras de
bienestar social. Con éste fin se dio a conocer un plan general de inversiones del sector
público, así se crearon tres secretarias: la de Presidencia, cuyas funciones era planear,
coordinar, vigilar el gasto y los programas de inversión; la de Patrimonio Nacional y la de
Obras Públicas. El Estado parecía estar listo para participar de una forma directa en la
planificación, creando instancias para administrar y canalizar los recursos de forma
prioritaria.
Durante este sexenio, el capital extranjero fue visto como un elemento dinamizador
que asociado con el capital nacional sacaría al país adelante, gracias a la Alianza del
Progreso se aumentó considerablemente los gastos sociales en materia de salud y
educación; invirtiendo en la construcción de viviendas, servicios de agua y educación, lo
que trajo consigo un endeudamiento con el exterior para financiar el gasto público.
La reforma educativa en el sexenio de 1958- 1964
En materia educativa, una de las acciones más importantes puestas en marcha
durante el sexenio del Lic. Adolfo López Mateos fue el Plan Nacional para la expansión y
mejoramiento de enseñanza primaria: “Plan once años”; que tenía como objetivo
“garantizar a todos los niños de México educación primaria gratuita y obligatoria”43, incluía un mejoramiento cualitativo; el cual dio origen a una revisión de planes y
programas de estudio y se definió al sujeto que se quería preparar: “un mexicano en
43 Teódulo Guzmán J, Alternativas para la Educación en México, Ediciones Gernika, México., 1978. p. 124.
60
quien la enseñanza estimule armónicamente la diversidad de sus facultades de comprensión, de sensibilidad, de carácter, de imaginación y de creación…”44
El Consejo Nacional Técnico de la Educación (CONALTE.) fue el encargado de
proponer la reforma a la enseñanza preescolar y primaria por áreas, además se reformó
la enseñanza normal, la cual fue organizada en dos etapas: una de cultura-vocacional y
otra profesional, se realizaron también algunas reformas curriculares al segundo ciclo de
enseñanza media. Se menciona que a pesar de las medidas tomadas para lograr el mejoramiento de
la educación durante éste sexenio, éstas no implicaron un cambio sustancial e integral en
la educación nacional; ya que los avances sólo se vieron reflejados en la educación
primaria.
La educación secundaria en los sesentas La educación secundaria llamada durante el sexenio de López Mateos ciclo inicial o
postprimaria, formó parte de la educación media, la cual estaba…dirigida a formar adolescentes durante la etapa comprendida entre el término de la primaria y el inicio de la educación superior45; fue concebida como un ciclo completo compuesto por
tres grados de secundaria y dos ò tres de preparatoria. La reforma al ciclo inicial entró vigor en 1960, las modificaciones se hicieron a los
contenidos, extensión, propósitos y orientaciones. Se mencionaba que era urgente y
necesaria una reforma a la educación en todos sus niveles, ya que las últimas revisiones
se habían hecho en 1944 y dos años después se había modificado el artículo tercero
constitucional, por lo que era imprescindible una adecuación a éste, ya que era el
sustento de la educación nacional. Lo que se quería era mejorar la calidad de la
enseñanza adaptando los planes y programas a las necesidades socioeconómicas del
país.
Objetivos de la educación secundaria
La educación secundaria fue concebida como “el nervio de todo proceso cívico”; y
una de sus funciones era la formación de la adolescencia
El ciclo inicial de educación media tenía como objetivos:
44 Teódulo Guzmán. Op. Cit. p. 125. 45 SEP, Memoria del Sexenio, SEP, Julio- Diciembre, México. 1964, p.26
61
Fomentar el desenvolvimiento de la personalidad del alumno, iniciado durante la educación primaria.
Estimular sus aptitudes a fin de que participe activamente en su propia formación, merced a la experiencia concreta del trabajo en las aulas, los laboratorios y talleres escolares.
Proporcionarle los conocimientos indispensables, así como el adiestramiento en las prácticas necesarias para ingresar en el ciclo preparatorio o en la vocacional técnica.
Despertar y conducir, en cada uno de los grados, la inclinación al trabajo, de modo que sí el alumno no puede continuar estudios superiores, quede capacitado para realizar, aunque sea modestamente alguna actividad productiva
Despertar su interés por el conveniente aprovechamiento de los recursos del país y por la ciencia y la técnica, a fin de orientar su esfuerzo hacia el robustecimiento de la economía nacional.
Encauzar su sentido de responsabilidad individual y su voluntad de colaboración social.
Fomentar su civismo, su amor a la patria, su adhesión a la democracia y su respeto para los valores de la cultura humana.
Familiarizarlo en el conocimiento de las instituciones fundamentales de la Republica y de las organizaciones internacionales de que México forma parte, vigorizando en su espíritu el sentimiento de la unidad y de la imprescindible cooperación de los pueblos para una convivencia justa, digna y pacífica.46
El plan de estudios de secundaria de los sesentas
El plan de estudios entró en vigor en septiembre de 1960. Se establecieron sólo
diez materias en cada uno de los grados, esto era con el fin de evitar el enciclopedismo y
el exceso de materias en los planes de estudio, lo que se quería era ofrecer los elementos
necesarios para lograr una formación integral.
La distribución de estas diez materias por grado era de seis asignaturas y cinco
actividades; se aumentó una hora por semana al estudio de las principales asignaturas
como eran: español, matemáticas, física, química y educación cívica y dos a la lengua
extranjera, también se introdujo en el tercer grado un curso de historia contemporánea,
para conducir al alumno a la comprensión y análisis de los problemas actuales. Se
estableció también una hora en el tercer grado destinada a información vocacional.
46 SEP, (1964). Op. Cit. .pp. 26-27
62
Las materias que aparecían en el mapa curricular eran las siguientes; matemáticas,
español, lengua extranjera, biología, física, química, historia, educación cívica,
geografía. Las actividades eran las tecnológicas, actividades cívicas, educación
artística, educación física y orientación educativa vocacional, distribuidas en los tres
grados con un total de 33 horas a la semana para cada grado.
Los programas de estudios de matemáticas de 1964 Tres fueron los enfoques que influyeron en la elaboración de los programas de
matemáticas de éste año: el sociológico, lógico y psicológico. El primero interesado en la
praxis, el segundo en la matemática como ciencia y el último centrado en las necesidades
del adolescente. Lo que se quería era lograr un equilibrio entre estos tres, con el fin de
que en los alumnos surgiera y se mantuviera el interés por ésta asignatura, donde la tarea
fundamental de los docentes era hallar una relación entre la matemática y la pedagogía.
Objetivos generales de la enseñanza de las matemáticas Los objetivos de la enseñanza de las matemáticas de ese año eran:
Instruir o impartir un caudal de conocimientos generales que permitan al alumno vivir su vida presente y futura, adaptándose para realizar las actividades en forma útil y satisfactoria para el y sus semejantes.
Formar hábitos, habilidades, actitudes y disposiciones útiles y provechosas en los educandos. Las matemáticas, debido a la naturaleza particular de su contenido, permiten a los adolescentes la creación de hábitos de rapidez mental aplicada tanto a la resolución de operaciones y problemas, como a las diversas necesidades de la vida real.
Determinan la exactitud en el cálculo. Sugieren a los alumnos la comprobación en los resultados. Las sencillas demostraciones inducen a no aceptar como verdadera una afirmación hecha, hasta encontrarla justificada o demostrada. Los métodos de inducción, deducción y analogía despertarán una actitud favorable a la investigación y a la crítica. La observación y la reflexión de las diferentes propiedades y leyes de magnitudes y figuras geométricas, determinaran asumir en forma habitual una actitud más serena para poder apreciar las diferencias y semejanzas de hechos que acontezcan en la vida real.
Las matemáticas son uno de los medios más valiosos que permiten a los maestros, padres de familia, distinguir la verdadera vocación de los alumnos. Se pueden apreciar las capacidades o aptitudes relacionadas con actividades
63
propias de las matemáticas en sus diversas ramas: físicos, químicos, geólogos, astrónomos y, en general, toda carrera relacionadas con la materia. Por tanto está finalidad de orientar al alumno en su vocación profesional, o sea el despertare simpatía o inclinación por alguna carrera o actividad futuras, de acuerdo con sus capacidades, tendencias o inclinaciones.47
La enseñanza de las matemáticas de este año tenía importancia, ya que permitía
conocer las relaciones entre los diferentes aspectos de los fenómenos y el conocimiento
de leyes; daba una preparación general a las personas, lo que permitía que fueran
utilizadas en la vida cotidiana.
Estructura curricular de los programas de matemáticas de 1964 Los programas de matemáticas presentaba objetivos generales y particulares, los
objetivos generales eran de formación y se perseguían durante todo el proceso de
enseñanza de las matemáticas y los particulares eran los que se trataban de alcanzar en
el desarrollo de cada tema o actividad.
Los programas estaban organizados en “unidades”, donde para cada unidad se
señalaban objetivos, contenidos y actividades. Cada unidad se encontraba detallada, se
dividía en dos columnas, en la primera columna se indicaban los temas u objetivos y en la
segunda columna se encontraban las actividades.
El programa de primer grado estaba constituido por ocho unidades, se abordaban
contenidos principalmente de la aritmética y geometría, precisando para cada unidad el
número de horas probables de clase que se debía destinar al estudio de éstas.
El programa de segundo grado constaba de ocho unidades, distribuidas en nueve
meses de actividades, fijándose a cada mes un número de horas probables de clase. Éste
programa abordaba principalmente temas de álgebra y geometría.
El programa de tercer grado se organizó en cuatro unidades, distribuidas en nueve
meses, al igual que los programas de primero y segundo grado se encontraba señalado el
número probable de horas, este programa abordaba temas relacionados con la geometría
plana, del espacio, álgebra y trigonometría.
Además para el programa de primer y tercer grado se señalaba una bibliografía de
apoyo.
47 SEP, Plan y programa de las escuelas secundarias, SEP, México. 1964, pp. 212-213.
64
Se mencionaba que a pesar de que se encontraba especificado el número de horas
probables por unidad, los programas no eran rígidos, los profesores tenían la libertad de
adaptarlos a las necesidades y condiciones de los alumnos.
Con respecto a la carga horaria para el estudio de ésta asignatura era de 4 horas
semanales para el primer, segundo grado y de 3 horas a la semana para el tercer grado.
Descripción de los programas de estudio de matemáticas de 1964
Programa de matemáticas de primer grado
Objetivos del programa de primer grado
Los objetivos particulares de éste programa eran:
Instruir al alumno en el manejo de los números, la ejecución de las operaciones
fundamentales y necesarias para la resolución de problemas. Completar los conocimientos que el alumno trae con relación a estas ciencias,
de la escuela primaria, capacitándolo así para continuar con estudios superiores y para la vida practica, iniciando de esta manera el estudio matemático.
Formar en los alumnos buenos hábitos de limpieza, orden y claridad, así como exactitud en sus resultados, concisión en el lenguaje, rapidez en el cálculo y adecuada resolución de problemas. Uso correcto de los símbolos y notaciones de las diferentes unidades de medida, habilidades en el manejo de los útiles de geometría.
Despertar el espíritu de investigación y de crítica sana con objeto de que el discípulo vaya mejorándose constantemente.48
El programa de primer grado abordaba principalmente a la aritmética y la
geometría; se señalaba que éstas constituían los principios y cimientos de la matemática,
estructuran el razonamiento de los alumnos, enseñándolo a ordenar sus ideas de una
forma clara y concisa para alcanzar lo que se propone.
Dentro de estos objetivos se destaca la importancia del manejo de los números y
sus operaciones para la resolución de problemas, donde el estudio de los contenidos va
orientado a completar la información recibida en la primaria, lo que le permitiría continuar
con estudios posteriores.
48 SEP, (1964) Op. Cit. p. 39
65
El programa de primer grado señalaba también algunas recomendaciones
generales para lograr los objetivos expresados; dichas recomendaciones eran:
Aplicar una prueba general de exploración Los maestros procurarán preparar cada clase antes de impartirla Los maestros, que así lo estimen conveniente, llevarán un diario de clase donde
anotarán los temas que se van a tratar Que los alumnos lleven un cuaderno de trabajo Proponer a los alumnos ejercicios y problemas para que encuentren
oportunidad de aplicar los conocimientos adquiridos Procurar que las tareas sean cortas, de fácil realización y revisión , a fin de que
los alumnos no empleen más de media hora aproximadamente en su resolución Practicar competencias para estimular a los alumnos en la práctica y resolución
de ejercicios y problemas Dar guías de estudio a los alumnos antes de cada prueba sin dar a conocer el
cuestionario Las pruebas mensuales calificadas deben devolverse a los alumnos, dándoles a
conocer los resultados correctos de las mismas a fin de que conozcan sus errores, y para que no los vuelvan a cometer en las pruebas siguientes insistir en una revisión de las mismas
Después de cada prueba el maestro debe insistir y volver a tratar aquellos temas en los cuales se haya equivocado la mayoría del grupo
Las pruebas semestrales conviene formularlas con bastante anticipación a fin de que los maestros tengan, cuando menos un mes antes, un ejemplar de la misma, para que puedan redondear sus programas, efectuar el repaso y dar la guía de estudio.49
El programa de primer grado se distribuía en dos semestre, cada semestre constaba
de cuatro unidades, cada unidad tenían una duración de un mes. La unidad uno planteaba “qué son los números y origen del actual sistema de
numeración”, el objetivo era aprender a escribir con cifras y con palabras los números,
que conocieran su ortografía, destinando ocho horas probables para su estudio. Con
respecto a geometría el objetivo era aprender el uso de los útiles que se requerían en esta
materia y sólo se destinaba dos horas a su estudio. También se encontraban algunos
hábitos y habilidades como: escribir en un lugar fijo de sus hojas de trabajo y en las
49 SEP, (1964). Op. Cit. pp.40- 41
66
pruebas, con orden, claridad y limpieza el nombre del alumno, su número de lista, la fecha
y el grupo para facilitar su identificación, además se quería que los alumnos adquirieran el
hábito de copiar correctamente los números, entender y seguir instrucciones, así como
escribir con ortografía los numerales cardinales y ordinales. La unidad dos establecía para la aritmética el estudio de las operaciones
fundamentales con enteros y fracciones decimales, el objetivo era el usó correcto de las
cuatro operaciones y su aplicación a problemas, además de revisar las cuatro
operaciones fundamentales sus principios y propiedades, había una aplicación de éstas a
la resolución de ecuaciones sencillas. Los alumnos debían de adquirir el hábito de colocar
correctamente las cifras para efectuar la operación, además de tener claridad en la
escritura de los números y precisión en los resultados. Para su estudio se destinaban
doce horas probables de clase.
Se encontraban presentes algunos hábitos y habilidades como la colocación
correcta de las cifras para efectuar las operaciones, claridad en la escritura de números,
adecuada interpretación de las operaciones y precisión en los resultados, adecuada
planeación y resolución de problemas.
La geometría en ésta unidad planteaba el estudio de rectas, teniendo como objetivo
el trazo y medición de segmentos de recta. Se revisaba conceptos de recta, semirrecta y
segmento propiedades, trazo y medida, destinándole cuatro horas de clase. La unidad tres tenía como objetivos el dominio de las fracciones comunes; para que
los alumnos estuvieran en condiciones de manejar las fracciones algebraicas, así como el
máximo común divisor y el mínimo común múltiplo que aplicarían en el curso siguiente al
estudiar la descomposición de factores. Además que los alumnos lograran comprender el
manejo de las razones y proporciones geométricas, conocieran los ángulos y manejaran
el transportador.
Para la aritmética se destinaban diez horas probables para el estudio de temas
como números primos, fracciones comunes, propias e impropias y sus operaciones. El
alumno debía de adquirir la costumbre de escribir correctamente las fracciones comunes,
tanto con cifras como con palabras, usar únicamente la raya horizontal en las fracciones
comunes, adquirir rapidez en la ejecución de operaciones, exactitud en los resultados,
debían de adquirir el hábito de dar siempre sus resultados, ya simplificados y cuidar la
ortografía de las fracciones comunes y decimales.
67
Para la geometría las horas de estudio eran de tres y se destinaban al estudio de
ángulos, sus conceptos, principios y trazo. Se debía tener cuidado en el manejo de los
útiles de geometría, así como limpieza, claridad y orden en los trabajos. En la cuarta unidad el objetivo era conocer la notación de pesas y medidas
utilizadas en México, conocer las principales unidades de medida y compararlas con el
sistema métrico decimal. El estudio estaba orientado a la revisión del sistema métrico
decimal, sistema de pesas y medidas inglesas, principales medidas antiguas mexicanas,
cambio de monedas; lo que implicaba un enfoque histórico en la revisión de estos temas,
destinándole seis horas de clase. El alumno debía adquirir ciertos hábitos y habilidades
como eran la rapidez y exactitud en la transformación de unas unidades en otras y el
manejo adecuado de los símbolos nacionales e internacionales.
Para la geometría, el objetivo era la clasificación de triángulos, se revisaban
conceptos y trazos de estos; se le destinaba dos horas de clase, el alumno debía trazar
adecuadamente los diferentes triángulos y desarrollar la habilidad en el manejo de los
útiles de geometría. La quinta unidad planteaba para la aritmética el estudio de la raíz cuadrada; su
concepto, algoritmo y el uso de tablas. El objetivo era que el alumno adquiriera rapidez en
la ejecución y la aplicación de la raíz cuadrada al teorema de Pitágoras y a problemas,
destinándole doce horas de clase a su estudio. Los hábitos y habilidades señalados eran:
claridad, orden, limpieza y exactitud y rapidez en la ejecución de la raíz cuadrada,
habilidad para aplicarla a la resolución de problemas.
Para la geometría el objetivo era el conocimiento de las diferentes clases de
triángulos y sus principales líneas; el alumno debía de adquirir un manejo adecuado de
los instrumentos de medición, además de identificar gráficamente el baricentro,
ortocentro, incentro y circuncentro de un triangulo cualquiera. Se destinaban cuatro horas
de estudio. En la sexta unidad en aritmética se dedicaba al estudio de las razones y
proporciones, el alumno debía de conocer y manejar las razones y las proporciones para
su aplicación posterior en la resolución de problemas mercantiles en cursos posteriores,
así como para entender las funciones trigonométricas que se estudiaban en el tercer
curso. Se dedicaba doce horas de clase probables de estudio. Entre los hábitos y las
habilidades estaban: la exactitud y claridad en las operaciones para determinar el valor de
la cuarta, media y tercera proporcionales.
68
En geometría se le asignó cinco horas de clase para el estudio de los triángulos y
cuadriláteros; manejo de fórmulas para determinar perímetros, áreas, construcción y trazo
de estos. El alumno debía lograr distinguir con facilidad las diferentes clases de
cuadriláteros, la habilidad en el manejo de fórmulas para determinar perímetros y áreas
de triángulos y cuadriláteros.
La séptima unidad comprendía para la aritmética la aplicación de los conocimientos
adquiridos a la resolución de problemas, además de la revisión del porcentaje y la regla
de tres simple, directa o inversa, a través de problemas de interés simple; se destinaban
seis horas de clase. Se señalaba que el alumno debía de guardar cierto orden en la
resolución de problemas, debían de adquirir la costumbre de anotar los resultados
completos, así como lograr una exactitud y rapidez en el cálculo.
Para la geometría en esta unidad se le asignó dos horas al estudio de los polígonos
su clasificación, propiedades y conocimiento de fórmulas. Debía de haber claridad y
limpieza en el trazo de polígonos, además de adquirir movilidad en el uso de los útiles de
geometría y en el manejo de fórmulas de perímetros y áreas. La aritmética en la octava unidad proponía la revisión de escalas y uso de gráficas,
se dedicaban trece horas de clase a su estudio.
La geometría en esta unidad revisaba fórmulas de áreas y volúmenes de los
principales cuerpos geométricos como son el círculo, prisma recto, cilindro circular,
pirámides regulares, cono circular y la esfera, dedicándoles cuatro horas de clase.
Contenidos correspondientes al programa de primer grado
Los contenidos determinados para el programa de primer grado eran:
Para aritmética
Numeración hablada y escrita, operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación
y división de enteros, decimales y denominados, sus propiedades y comprobación.
Números cardinales, ordinales, mixtos, racionales e irracionales. Fracciones comunes
y decimales. Notación romana y egipcia. Divisibilidad, Criba de Eratostenes, máximo
común divisor y mínimo común múltiplo. Sistema métrico decimal: unidades de
longitud, superficie, área, volumen capacidad y peso. Pesas y medidas inglesas:
unidades de longitud, velocidad marina, agraria, peso y capacidad. Medidas
mexicanas antiguas de longitud, agrarias, capacidad y peso. Raíz cuadrada de
enteros, decimales y de números compuestos. Concepto de razón y proporción,
69
magnitud directa e inversa proporcional, cuarta media proporcional, tercera
proporcional, porcentajes. Para la geometría
Clasificación de triángulos, cuadriláteros y polígonos. Perímetros de polígonos
regulares y triángulos. Áreas de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, círculo,
y poliedros regulares. Volúmenes de poliedros regulares, prismas rectos, cilindro
circular, pirámides regulares, cono circular y esfera. Clasificación de rectas,
propiedades, trazo y operaciones de segmentos. Clasificación y trazo de ángulos.
Teorema de Pitágoras. Trazo y construcción de triángulos cuadriláteros, polígonos y
del círculo. Uso de escuadras, regla, compás y transportador.
Programa de matemáticas de segundo grado
Objetivos del programa de matemáticas
Los objetivos fundamentales de éste programa eran:
Conocimiento y adaptación del alumno, a la generalización de los números (simbolismo algebraico).
Conocimiento de la fórmula como expresión general de relación o ley de magnitudes. Su uso y aplicación.
La ecuación. Debe ser motivada por problemas. Su carácter de igualdad. Expresar las magnitudes o valores numéricos de un problema, con relación a una igualdad. La característica fundamental de la solución de una ecuación: transformar unas expresiones algebraicas, difíciles, en otras fáciles.
El problema. El cálculo o búsqueda de un dato desconocido, cuando se conocen las relaciones de éste con otros datos conocidos.
Operaciones y ejercicios. Habituar al alumno a reconocer que tanto las operaciones como los ejercicios de adiestramiento, tienen la finalidad de instruir para despejar fórmulas, transformar expresiones algebraicas (simplificaciones), resolver ecuaciones y en general resolver problemas.50
A partir de las finalidades planteadas para el programa de segundo grado, se
puede señalar que éste programa hacía énfasis en el estudio del álgebra; el alumno al
terminó del curso debía de conocer y manejar el simbolismo algebraico, además de
resolver ecuaciones y resolver problemas.
50 SEP, (1964) Op. Cit.. p. 212
70
El programa que corresponde al segundo curso, estaba organizado en dos
semestres, cada semestre constaba de cuatro unidades. Las ocho unidades del programa
fueron distribuidas en nueve meses de actividades escolares, fijándose a cada mes un
número probable de clases, ésta distribución no tenía un carácter rígido, pues los
profesores la podían adaptar a las necesidades y condiciones específicas de sus grupos.
Asimismo se mencionaban finalidades de las matemáticas en las escuelas
secundarias, donde se señalaba:
La enseñanza de las matemáticas tiene importancia ya que permiten conocer las relaciones de los factores o elementos que intervienen en los fenómenos, y así conocer las leyes y propiedades que los rigen.
Las matemáticas, debido a su naturaleza particular de su contenido, permiten a los adolescentes la creación de hábitos de rapidez mental aplicada tanto a la resolución de operaciones y problemas, como a diversas necesidades de su vida real. Determinan la exactitud en el cálculo. Sugieren a los alumnos la comprobación de resultados. Las sencillas demostraciones inducen a no aceptar como verdadera una afirmación hecha, hasta encontrarla justificada o demostrarla.
Las matemáticas son uno de los medios más valiosos que permiten a los maestros y padres de familia, distinguir la verdadera vocación de los alumnos. Se pueden apreciar las capacidades o aptitudes relacionadas con actividades propias de las matemáticas en sus diversas ramas y en general, todas carrera relacionada con la materia. Esta finalidad de orientar al alumno en su vocación profesional, o sea despertar simpatía o inclinación por alguna carrera o actividad futura, de acuerdo con sus capacidades, tendencias o inclinaciones.51
También se mencionaban algunas recomendaciones como las siguientes:
Es necesario elaborar las guías de estudio, para que los alumnos presenten eficientemente sus exámenes.
Se sugiere la formación de hábitos de limpieza y orden en la presentación de trabajos, así como concisión en el lenguaje y exactitud en los resultados.
Procurar despertar en los alumnos una actitud favorable a la investigación y a la crítica, así como disposición al razonamiento , comprobación y demostración
51 SEP, (1964) Op. Cit. pp. 211- 212
71
Proponer ejercicios adecuados y problemas que tengan correlación con las otras asignaturas, contenidas en el plan de estudios, con la finalidad de satisfacer el aspecto funcional del programa.52
La unidad titulada “Introducción al álgebra” tenía como objetivo iniciar al alumno en
el uso e interpretación de las literales como magnitudes, así como la generalización de los
números y la utilización de signos de las operaciones y signos de relación y
agrupamiento. Se señalaba una diferencia entre el lenguaje utilizado en la aritmética y el
que se utiliza en el álgebra. La unidad dos llamada “Medios de expresión algebraica. La fórmula y valores
numéricos. Tabulación. La igualdad. La ecuación” estaba constituida por la aplicación del
lenguaje algebraico, donde la fórmula iba a ser el medio por el cual se revisarían
conceptos como: coeficiente, exponente y potencia, además se daba una noción de
función y las propiedades fundamentales de la igualdad. La unidad tres nombrada “Números positivos y números negativos, operaciones
con números algebraicos, operaciones con monomios algebraicos” tenía como objetivo el
conocimiento de los números positivos y negativos como ampliación de los números
aritméticos , así como la enseñanza de las operaciones con estos y sus propiedades,
además la formación de habilidades en los alumnos para operar con las nociones
algebraicas. La unidad cuatro “Operaciones con polinomios” estaba destinada al estudio de
operaciones con polinomios, productos notables y factorización, su objetivo era el
adiestramiento los alumnos en el conocimiento de las operaciones algebraicas, la
finalidad principal era capacitarlos para despejar fórmulas y resolver ecuaciones. La unidad cinco titulada “Fracciones algebraicas, sus propiedades y las cuatro
operaciones” tenía como objetivo habituar al alumno a operar con expresiones
algebraicas enteras, fraccionarias y mixtas, además de aplicar fórmulas y despejar
cualquier literal o término. La unidad sexta llamada “Ecuaciones de primer grado: numéricas y literales,
fórmulas, despejar cualquier literal”, estaba destinada al estudio de las ecuaciones de
primer grado a partir de la aplicación y despeje de fórmulas de física y química.
52 SEP. (1964).Op.Cit. pp. 212-213
72
La unidad séptima nombrada “Sistemas de dos ecuaciones lineales, con dos
incógnitas. Método de resolución analítico y gráfico”, establecía la revisión de sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas, por el método de por reducción (por adición o
sustracción) y el método y gráfico. La unidad ocho “Geometría” tenía como objetivo el uso de la geometría como un
auxiliar para ejercitar el razonamiento deductivo en la investigación de propiedades de las
figuras geométricas y la utilización de demostraciones en geometría.
Contenidos correspondientes para programa de segundo grado
Los contenidos establecidos en el programa de segundo grado eran:
Para aritmética
Números positivos y negativos, sus operaciones. Conceptos de razón y proporción,
razón directa e inversa, principios relativos a las proporciones. Para álgebra
Lenguaje algebraico. Monomios, binomios, trinomios y polinomios, operaciones con
monomios y polinomios, tabulación de expresiones algebraicas, reducción de
términos. Resolución de ecuaciones de primer grado. Sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas, método por reducción y gráfico. Productos notables y su
factorización. Noción de exponente. Concepto de función, variable, dependiente e
independiente. Para geometría
Rectas notables en el plano de un triangulo: mediatrices de los lados de un triangulo,
bisectrices de los lados de un triangulo, medianas de un ángulo y alturas de un ángulo.
Demostraciones en relación con los ángulos, aplicando las propiedades de igualdad.
Programa de matemáticas de tercer grado
El programa que corresponde al tercer grado estaba organizado en cuatro
unidades: dos destinadas al estudio de la geometría plana y del espacio, una unidad para
el estudio del álgebra y una para la revisión de temas relacionados con trigonometría.
En este programa no se encontraban señalados los objetivos generales, sin
embargo si se encontraban especificadas algunas recomendaciones didácticas, con la
finalidad de lograr un mayor aprovechamiento en los alumnos. Dichas recomendaciones
73
se hallaban planteadas en relación al aprendizaje, al ajuste entre el programa y el tiempo
fijado a los temas o unidades, con relación al estudio dirigido y a las tareas
extraescolares.
En relación al aprendizaje, se señalaba la aplicación de una prueba inicial,
proporcionarles a los alumnos guías de estudio antes de cada prueba, los conceptos
debían de impartirse de lo más fácil a lo difícil, era conveniente que el maestro expusiera
un procedimiento con razonamientos sencillos, que los alumnos pudieran hacerlos por su
cuenta, habiendo realizado antes ejercicios preparatorios. Se aludía que se le debía dar
mayor importancia a la geometría general: plana y del espacio, así los alumnos estarían
preparados para estudios superiores de geometría analítica y descriptiva.
Los conocimientos que el alumno adquiriera del álgebra, debían ser claros y útiles,
ya que el álgebra ayudaría al individuo en el desenvolvimiento de su cultura y en la
formación de hábitos y métodos que eran considerados la base para la organización del
pensamiento, y que no hubiera automatismos en los ejercicios dados. Por ejemplo antes
de obtener la fórmula general en la resolución de ecuaciones de segundo grado era
conveniente procurar que el alumno resolviera un gran número de casos concretos y
variados, asimismo se mencionaba la utilización de la representación gráfica de
conceptos, procesos o temas que permitieran hacerlo.
Con relación al ajuste entre el programa y el tiempo fijado a los temas o unidades,
los profesores se servirían de hacer una vigilancia u observación cuidadosa con relación a
las horas- clase fijadas a cada unidad.
En cuanto al estudio dirigido se recomendaba hacer equipos de alumnos para
realizar trabajos de afirmación, investigación o construcción, que por su índole requieran
una labor colectiva.
Las recomendaciones en relación a las tareas extraescolares se debía de procurar
que las tareas fueran cortas, de fácil realización y revisión con el fin de que los alumnos
no emplearan más de media hora en su resolución.
La unidad uno tenía como objetivo iniciar al alumno en el conocimiento de la
demostración, lo que se pretendía era que las demostraciones no se hicieran de manera
mecánica, sino primero utilizar casos particulares para después llegar a la generalización.
Se quería crear en el alumno una actitud de crítica que condujera a la reflexión de
conclusiones formuladas por los alumnos.
74
Por medio de una reseña histórica se introducía al alumno al estudio de geometría
plana y sus demostraciones, como eran las referentes a ángulos, igualdad de triángulos,
teorema de Pitágoras etc. La unidad dos estaba destinada al estudio de la geometría del espacio, para está
unidad no se establecen objetivos. La unidad tres se ocupaba del estudio del álgebra, el objetivo era capacitar al
alumno para emplear el simbolismo algebraico como un instrumento de abstracción y
generalización, se guiaba al alumno a la resolución de problemas reales que se presentan
en relación con la física, química, estadística y contabilidad.
La unidad cuatro establecía el estudio de la trigonometría como una parte de la
matemática que se usa más que ninguna otra, ya que se mencionaba que ésta tiene su
aplicación en la mecánica, en la aviación, en la electricidad etc.
Contenidos correspondientes al programa de tercer grado
Los contenidos presentes en el programa de tercer grado eran:
Para aritmética
Media y cuarta proporcional Para geometría plana
Principales axiomas matemáticos. Ángulos: concepto, ángulos positivos y negativos,
unidades angulares, clasificación de los ángulos. Demostración referente a los
ángulos: ángulos opuestos por el vértice, ángulos de lados paralelos y su aplicación a
los ángulos interiores de un paralelogramo. Generalidades relativas a los triángulos.
Ángulos en el círculo: rectas notables, ángulo central, inscrito, formado por dos
cuerdas que se cortan, formado por dos secantes y la relación entre arcos y ángulos
en un mismo círculo. Demostraciones referentes a los ángulos interiores y exteriores
de un triangulo. Generalidades relativas a los polígonos. Demostraciones sobre
igualdad de triangulo. Polígonos semejantes: concepto, triángulos semejantes,
teoremas sobre triángulos semejantes. Teorema de Pitágoras su demostración.
Para geometría del espacio
Determinación de un plano, intersección de los planos .Puntos , rectas y planos en un
cuerpo geométrico .El prisma, concepto, clasificación, área lateral y total y volumen. El
cilindro, pirámide, cono y esfera: conceptos, clasificación, áreas laterales, y totales y
volúmenes.
Para álgebra
Ecuaciones de segundo grado. Resolución de ecuaciones de la forma: ax 2 + c = 0 (por
despeje), ax 2 + bx = 0 (por factorización) pax 2 + bx = 0( por la fórmula general),
representación gráfica de la expresión y = ax 2. Logaritmos: su historia, notación,
reglas, manejo de tablas y operaciones con logaritmos. Operaciones con potencia,
exponente cero, negativo, fraccionario, operaciones con radicales.
Para trigonometría
Funciones trigonométricas de ángulos agudos, recíprocas, de ángulos
complementarios .Identidades trigonométricas sencillas .Valores de las funciones
trigonométricas de ángulos de 45°, 30° y 60°. Variaciones de las funciones
trigonométricas de 0° a 90°, empleando el círculo trigonométrico. Resolución de
triángulos rectángulos .Resolución de triángulos oblicuángulos, aplicando la ley de los
senos, cósenos y tangentes.
75
76
El currículo de matemáticas de 1974
El sexenio de Luís Echeverría
Al asumir la presidencia en 1970, Luís Echeverría manifestó una clara
preocupación por recuperar la credibilidad, legitimidad y confianza como gobierno, ante
los sucesos estudiantiles ocurridos en el año de 1968, y reconoció dos retos que debía de
atender durante su gobierno, el primero de ellos se refería al desarrollo económico del
país, el cual en las tres últimas décadas había tenido un avance, pero este sólo se había
visto reflejado en la concentración del capital, la riqueza y los ingresos de una minoría, por
lo que las carencias de la mayoría de los mexicanos en cuanto alimentación, vivienda,
educación y salud seguían vigentes.
La nueva política económica estableció grandes objetivos, a nivel discurso se
planteó la necesidad de exportar más, se pronunció por una mejor redistribución del
ingreso, el aumento del empleo, la modernización de la planta industrial y el campo para
aumentar la productividad. Todo esto exigió reformas, las cuales se tradujeron en “el
desarrollo compartido alianza para la producción”, el cual no sólo trato de dar un sentido
social a la política económica del Estado, sino además procuraría superar la crisis
económica que estaba viviendo el país.
La situación era difícil tanto en el ámbito económico como en el político, por lo que
la administración de Echeverría propuso una política gubernamental llamada “apertura
democrática”; la cual trato de liberar el ambiente político, desembocando el surgimiento
de nuevos partidos políticos y el establecimiento de una reforma electoral. Así, la
democratización fue vista como una forma y ejercicio del poder, que vio reflejado en
diversos terrenos como el sindical, agrario, estudiantil etc.
La política educativa
“Ante la urgencia de elevar el nivel escolar de la población y frente a una demanda social de educación cada vez más amplia, a finales de los cincuenta y principios de los sesentas el país adoptó una política de expansión rápida del sistema escolar, sobre todo a nivel primario (Plan de Once Años). Sin embargo, según el censo de 1970, de los mexicanos de 15 años o más de edad o sea, el 70.5% no tenían la primaria completa y el 31.6%) carecía totalmente de instrucción.
77
A pesar del esfuerzo por ampliar las oportunidades de educación, la demanda social crece tan rápidamente que el sistema escolar no logra atenderla adecuadamente”53.
Así, la administración de ese periodo decidió integrar el Consejo Nacional Técnico
de la Educación, con el propósito de formular una reforma educativa que llevara hacia un
cambio, no sólo en planes y programas de estudio, métodos y contenidos en cada uno de
los niveles educativos, sino también en lo referente a la normatividad.
En cuanto a la estructura y organización se inició una desconcentración, con el fin
de vincular más a las autoridades estatales en la organización y administración de la
educación. Los gobiernos estatales serían los encargados de las escuelas y los recursos
destinados; la Secretaria de Educación Publica (SEP) sólo era la coordinadora del
sistema y responsable de la política educativa.
“En materia administrativa se reorganizaron algunas dependencias de la SEP, como la Dirección General de Educación Preescolar y Primaria que pasó a ser Subsecretaria de Educación Elemental. Se creó el Instituto Nacional de Educación para Adultos, con esta institución quedó organizada la educación extraescolar bajo tres modalidades: escolarizada, semiescolarizada y abierta.
En lo jurídico se creó la Ley Federal de Educación, que sustituyó a la Ley Orgánica de Educación Pública, promulgada en 1942, la finalidad de esta nueva ley era dar sustento legal a la reforma educativa. En 1971, se anuncio una reforma a la educación normal, en 1975, surge un proyecto de creación de las licenciaturas en Educación Preescolar, Primaria, Normal y Educación Secundaria por TV”54, pero no es hasta los ochentas que la
educación normal se eleva a licenciatura.
Reforma a la enseñanza secundaria En 1971, la reforma educativa anunciada por el Presidente Luís Echeverría, puso
en marcha una serie de actividades tendientes a revisar o innovar la organización, los
métodos y los materiales de instrucción de las diferentes ramas del sistema educativo. En
lo que respecta a la enseñanza medía básica, el 30 de Agosto de 1974, el Consejo
Nacional Técnico de la Educación entregó al Presidente el documento conocido como
Resoluciones de Chetumal, el cual contenía las deliberaciones emanadas de los seis
seminarios regionales sobre la educación media básica, realizados previamente.
53 Cabellos Quiroz, Ángel. Op. Cit. p. 28 54 Ibídem. p. 29.
78
Las Resoluciones de Chetumal propusieron objetivos para la educación secundaria
que entraron en vigor en 1975, además se previó que el ciclo de enseñanza media básica
ofrecería al estudiante dos estructuras programáticas: por áreas y por asignaturas,
además en dicho documento no sólo se confirmaba el carácter terminal y/o propedéutico,
sino también la ampliaba al señalar que la educación media básica era parte de un
proceso que empieza en la primaria y se continúa a lo largo de la vida. Finalmente el
documento sugería una serie de medidas tendientes a la promoción del magisterio, a su
capacitación profesional para la implementación y adaptación de los programas de
secundaria a los diversos contextos sociales, propuso también una revisión de los criterios
de selección del alumnado que ingresa a las normales superiores, en cuanto a vocación,
aptitudes, conocimientos, practica docente y espíritu de servicio.
Así, la educación media básica se definió como una parte del sistema educativo
que, conjuntamente con la primaria, proporcionaría una educación general y común, la
cual promovería el desarrollo integral del educando y prepararlo para que participara en la
transformación de la sociedad.
Objetivos de la secundaria
Los objetivos de la educación media básica eran:
Propiciar que se cumplan las finalidades de la educación, de acuerdo con la filosofía social derivada de nuestra Constitución y de la Ley Federal de Educación.
Proseguir la labor de la educación primaria en la relación con la formación del carácter, desenvolvimiento de la personalidad crítica y creadora, y el fortalecimiento de actitudes de solidaridad y justicia social.
Estimular el conocimiento de la realidad del país para que el educando, al valorarla, esté en condiciones de participar en forma consciente y constructiva en su transformación-
Inculcar en el educando el amor y el respeto al patrimonio material y espiritual de la nación, capacitándolo para que lo aproveche en forma racional y justa.
Lograr la formación humanística, científica, técnica y artística que permita al educando afrontar las situaciones de la vida con espontaneidad, seguridad en sí mismo y economía de esfuerzo.
79
Promover las actividades encaminadas a la formación de hábitos y actitudes deseables respecto de la conservación de la vida y la salud física y mental del educando.
Ofrecer los fundamentos de una formación general de preingreso al trabajo y para el acceso al nivel inmediato superior.
Profundizar en el conocimiento y el seguimiento del educando en cuanto a su desarrollo integral y a su adaptación al ambiente familiar, escolar y social, para orientar sus capacidades, intereses e inclinaciones y ayudarlo a lograr su plena realización.
Desarrollar en el educando las capacidades de aprender a aprender, para que este en posibilidad de participar mejor en su propia formación, considerada ésta como un proceso permanente a lo largo de su vida.55
El plan de estudios de 1974
Con respecto a los programas de estudio, coexistieron fueron dos estructuras
programáticas: una por áreas de aprendizaje y otra por asignaturas o materias, las cuales
tenían flexibilidad necesaria para aplicarse en las diversas modalidades, además se dio
libertad que las escuelas optaran por una o por otra, no existió un plan único. Los dos
planes coincidían en ofrecer materias de español, matemáticas, lengua extranjera,
educación física, educación artística y educación tecnológica. El programa por áreas
incluía también el área de ciencias naturales, ciencias sociales, y el programa por
asignaturas incluía biología, física, química, historia, geografía y civismo.
Ambos programas presentaban la misma carga horaria 30 horas semanales en los
tres grados.
Los programas de estudio de matemáticas de 1974
Para la elaboración de los programas de estudio de matemáticas de 1974 fueron
tomados en cuenta dos aspectos principales: el primero fundamentalmente atendía a la
continuidad indispensable que debía existir en relación a los programas de primaria, estos
fueron elaborados por objetivos, de los cuales se derivó el estudio de siete aspectos
básicos, los cuales se trataban a través de los seis grados de educación primaria, dichos
aspectos eran: sistema decimal y algoritmos, números enteros: operaciones y
55 SEP, Educación Media Básica, Resoluciones de Chetumal, Plan de estudios y Programas Generales. SEP. México, 1974. pp. 17-18.
80
propiedades, fracciones y sus operaciones, variación funcional, lógica, geometría y
probabilidad y estadística.
Los objetivos que delinearon la programación en la educación secundaria,
representaba una continuidad con los propuestos en el nivel primario, por lo tanto dichos
objetivos generaron también el estudio de aspectos fundamentales como eran: lógica y
conjuntos, relaciones y funciones, operaciones numéricas, factorización, vectores
numéricos y sus gráficas, estructuras algebraicas, geometría y métrica, registros
estadísticos y probabilidad. A diferencia de los programas de primaria que fueron
organizados en unidades integradas, donde cada unidad presenta objetivos
pertenecientes a cada uno de los aspectos, los programas de secundaria se encontraban
organizados en unidades de materia de estudio, debido a que se tomaban en cuenta las
características psicológicas del adolescente.
El segundo aspecto considerado que señalaban los programa eran las
recomendaciones que se concluyen de los estudios de Jean Piaget sobre la Pedagogía
basada en la Psicología; ya que se mencionaba que había una clara preocupación sobre
si era adecuado el desarrollo de los temas citados anteriormente o esto era demasiado
ambicioso. Incluso se mencionaba que las personas que intervinieron en la elaboración de
los programas, en su experiencia personal en casi todos los casos había resultado
satisfactorio, pero esto resultaba un poco subjetivo, motivo por el cual decidieron
apoyarse en los resultados obtenidos por Piaget.
Se señalaba en el programa “…que el proyecto intenta reproducir una secuela psicogenética integrada por las siguientes etapas:
Observación Análisis Lenguaje y regulación Comprensión o invención Abstracción y razonamiento Reafirmación, aplicaciones y trasferencias
En la primaria este proceso no va más allá de los tres primero pasos. Esto se debe a que en la etapa infantil se debe de atender con prioridad a los procesos del desarrollo psicomotor y sensorial… Pero en la escuela secundaria los alumnos se encuentran en la adolescencia, donde se presenta un nuevo razonamiento que no
81
sólo se refiere a objetos o realidades, sino a hipótesis o proposiciones”56; por lo que
las generalizaciones de la matemática podía estudiarse en este periodo, donde se exigía
un grado más alto de abstracción.
“Así, la escuela francesa con la influencia de Bourbaki irrumpe en la enseñanza de la matemática haciendo hincapié en la matemática moderna y en la “teoría de conjuntos y en los isomorfismos estructurados”; esta tendencia de introducir estas nociones estaba justificada dado que las operaciones de reunión e intersección de conjuntos entre otras eran operaciones que la inteligencia construye y utiliza a las edades de 11-12 años”.57
Objetivos generales de los programas de estudio de matemáticas
Para la estructuración del programa de secundaria se partió de objetivos generales de
la enseñanza aprendizaje de la matemática en los tres grados, los cuales a su vez se
derivaron de los objetivos generales de la educación secundaria.
Mediante el aprendizaje de las matemáticas el alumno:
Cultivará la capacidad y la actitud de pensar en forma matemática y lógica como elementos esenciales de su desenvolvimiento integral.
Comprenderá el valor y la significación de las matemáticas con las limitaciones propias de una ciencia exacta, como un sistema coordinador de procesos y principios aplicables al estudio de propiedades, relaciones y estructuras abstractas.
Utilizará la matemática como un lenguaje técnico que permite la comunicación universal.
Descubrirá la utilidad de la matemática como un recurso de interpretación, de dominio y superación del ambiente físico, social y cultural.
Obtendrá los antecedentes educativos que le permitan el acceso a tipos superiores de estudios científicos o técnicos, en los que la formación matemática es imprescindible.
Obtendrá los conocimientos matemáticos básicos que le permitan incorporarse, en su oportunidad a la vida económicamente activa.58
56 SEP, (1974) Op. Cit. pp. 113-114. 57 Ibídem. p. 115. 58 Ibídem. pp.116-117.
82
Dentro de estos objetivos generales se destaca una matemática que permite la
formación integral del alumno, concebida como ciencia exacta, como cultura general,
como un medio de expresión y comunicación y una matemática para la vida.
De estos objetivos generales se derivaban los objetivos para los tres grados, que
posteriormente serán citados.
Estructura curricular de los programas de estudio de matemáticas de 1974
Se señalaba dentro de los lineamientos generales de los programas, que el
programa de aprendizaje “es un conjunto organizado de objetivos, actividades y sugerencias didácticas, que al aplicarse, provocan cambios en la conducta de los educandos para lograr, tanto su desenvolvimiento integral, como la transformación del medio”59. Torres60 menciona que en México fue hasta la década de los setentas cuando se
empiezo a introducir la concepción de currículo en educación, surge a partir de los
cuestionamientos sobre las relaciones entre las respuestas educativas y los
requerimientos sociales, esta perspectiva de currículo se estructuró bajo la idea de un
sistema tecnológico, donde el logro de actividades específicas permitiría desarrollar
competencias concretas.
Los programas de matemáticas correspondientes a las dos estructuras: por áreas y
asignaturas estaban precedidos por objetivos generales, los cuales el alumno iría
aproximándose cada vez más a medida que transitara por los tres grados de este nivel.
Los programas comprendían ocho unidades que correspondían aproximadamente
a los meses efectivos de trabajo. En cada unidad se indicaban los objetivos que el alumno
debía alcanzar al término de cada una, llamados objetivos de unidad los cuales eran
“…propósitos mediatos que alcanzan los educandos a través de cierto número de objetivos específicos y de una variada y permanente actividad”61. También se
señalaban objetivos específicos, los cuales indicaban las conductas que se esperan de
los alumnos, y serían la base para evaluar el aprendizaje. Además se sugerían
actividades para lograrlos, estas incluirían algunas estrategias pedagógicas y técnicas
grupales para dirigir el estudio de los alumnos .Estas actividades deberían considerarse
como sugerencias que el maestro podría modificar o sustituir por otras que ayudaran a los
alumnos a lograr los objetivos específicos.
59 SEP. (1974) Op. Cit. p. 21. 60 Torres Hernández, Rosa Ma. Paradigmas del currículo, en Revista Vasija No. 2 Ed. 2 Año Marzo-Junio. 1998 p. 72. 61 SEP.(1974) Op. Cit. p. 75.
83
Se señalaba que los programas tenían un carácter flexible, ya que los profesores
podían elegir y proponer objetivos y actividades que permitieran alcanzar los objetivos.
Asimismo en los programas de primero y tercero se le sugería al maestro una
bibliografía que podría utilizar como apoyo del curso.
Descripción de los programas de estudio de matemáticas de 1974
Programa de matemáticas de primer grado
Como se mencionó en el apartado anterior el programa de primer grado comprende
ocho unidades las cuales eran:
Lógica y Conjuntos
Operaciones con números naturales
Sistemas de numeración
Factorización
Números racionales no negativos
Números enteros
Geometría y métrica
Registros estadísticos
Objetivos del programa de primer grado
Los objetivos a alcanzar en este primer año eran:
Aplicará la lógica para formular juicios obtenidos en el análisis de problemas del
medio que lo rodea. Establecerá relaciones entre elementos de conjuntos y aplicará este concepto al
estudio de funciones. Aplicará el conocimiento acerca de los números naturales en la solución de
problemas de la vida diaria. Resolverá problemas aplicando el concepto de divisibilidad. Comprenderá el valor de los sistemas de numeración como instrumento para
representar números Manejará el sistema de los números enteros y el de los racionales. Afinará sus coordinaciones motoras en el trazo geométrico, a través del uso de
los instrumentos correspondientes. Interpretará los resultados de investigaciones realizadas mediante el análisis de
ellos.
84
Utilizará los símbolos necesarios para el estudio de cada uno de los aspectos que se traten62.
Estos objetivos se derivaron de los objetivos generales, y se encontraban
íntimamente relacionados con las unidades. Como se menciono, cada unidad también
presentaba sus objetivos, al término de cada una debían de haber sido alcanzados por los
alumnos.
La unidad uno “Lógica y conjuntos” tenía como objetivos: manejar los conceptos
más elementales de la lógica y la teoría de conjuntos, además el alumno debía de aplicar
ciertas operaciones relacionadas con esta temática como era la unión, intersección y
producto cartesiano a partir de la resolución de problemas. La unidad dos “Operaciones con números naturales” tenía como objetivos el
manejo de números naturales, sus operaciones y las propiedades de éstas a través de la
resolución de problemas. La unidad tres referente a los “Sistemas de numeración”, pretendía la comprensión
y manejo de los principios básicos de un sistema de numeración posicional, a través del
análisis de algunos sistemas de numeración, además del manejo del sistema decimal y
los algoritmos de las operaciones. La unidad cuatro se titula “Factorización”, sus objetivos señalaban el manejo y
utilización del concepto de divisibilidad y sus propiedades, además de la expresión en
factores primos de números dados y la obtención de múltiplos y divisores comunes,
mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. En la unidad cinco “Los números enteros” los objetivos eran la comprensión del
número entero, mediante el análisis de situaciones, el manejo del sistema aditivo de los
números enteros y sus propiedades, la comprensión de los términos adicción y
sustracción como operación inversa, y la realización de multiplicaciones y divisiones con
números enteros, a través de ejercicios propuestos y problemas. La unidad seis “Números racionales no negativos” pretendía el manejo de los
números racionales, su sistema aditivo y multiplicativo, la expresión decimal de los
números racionales, y la aplicación de estos conocimientos a la resolución problemas y
ejercicios.
62 SEP, (1974). Op. Cit. pp. 117- 118.
85
La unidad siete “Geometría y métrica” tenía como objetivos utilizar los conceptos
elementales de geometría, realizar operaciones con segmentos, ángulos, construcciones
relativas a paralelas, perpendiculares y polígonos, manejar el sistema métrico decimal,
evaluación y cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. La unidad ocho “Registros estadísticos y probabilidad” pretendía el registro y
clasificación de informaciones numéricas y su expresión gráfica, además de la aplicación
de la formula de probabilidad.
Contenidos correspondientes al programa de primer grado
Los contenidos planteados para el programa de primer grado eran:
Para aritmética
Números naturales, enteros, y racionales positivos sus propiedades y operaciones
básicas, sistema de numeración: egipcio y romano, sistemas posiciónales de
numeración: base cinco y binario, números primos compuestos y unitarios, Criba de
Eratostenes, divisibilidad, mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Sistema
métrico decimal. Concepto de razón, magnitudes proporcionales y directamente
proporcionales, sus propiedades. Variación proporcional.
Para geometría
Figuras cerradas, abiertas cóncavas y convexas. Perímetros de figuras regulares e
irregulares y del círculo. Áreas de polígonos y del círculo. Volúmenes del cubo,
paralelípedos, cilindro y prisma. Medición y operaciones con segmentos. Medición y
construcción de ángulos. Para estadística y probabilidad
Fórmula básica de probabilidad y su comprobación. Recopilación de datos estadísticos
Registro y clasificación de informaciones numéricas, expresión grafica de
informaciones estadísticas. Para Lógica y conjuntos
Concepto de lógica y teoría de conjuntos, unión, intersección y producto cartesiano.
Programa de matemáticas de segundo grado
El programa de segundo grado se encontraba organizado en ocho unidades que
eran:
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Lógica y conjuntos
Relaciones y funciones
Operaciones numéricas
Factorización
Vectores numéricos y sus gráficas
Estructuras algebraicas
Geometría y métrica
Registro estadísticos y probabilidad.
Objetivos del programa de segundo grado
Los objetivos a alcanzar en ese año eran:
Aplicará la lógica al formular juicios en los que se utilice proporciones compuestas.
Relacionará algunos conceptos de la teoría de conjuntos con las proposiciones lógicas estudiadas.
Manejara relaciones de equivalencia y de orden analizando sus propiedades. Resolverá problemas de ecuaciones lineales. Aplicará el sistema multiplicativo de potencia de una misma base en la solución
de problemas. Manejará representaciones vectoriales de polinomiales en la solución de
operaciones. Interpretará gráficas formuladas a partir de investigaciones de todo tipo. Cultivará sus aptitudes estéticas y psicomotoras a través de la aplicación de
construcciones geométricas a diseños decorativos.63
Estos objetivos se derivaron de los objetivos generales y se encontraban
íntimamente relacionados con las unidades. Cada unidad, también presentaba sus
objetivos los cuales debían ser alcanzados por los alumnos al termino de cada una de
ellas.
La unidad uno, “Lógica y conjuntos” tenía como objetivos aplicar conectivos en
enunciados de proposiciones compuestas, identificar conjuntos iguales, efectuar
operaciones de diferencia de conjuntos, además de representar esta información en
gráficas.
63SEP, (1974). Op. Cit.. p. 120
87
La unidad dos, “Relaciones y funciones” tenía como objetivos identificar
propiedades de igualdad, resolver ecuaciones lineales con una y dos incógnitas y su
representación gráfica.
En la unidad tres, referente a “Operaciones numéricas” los objetivos eran el manejo
del sistema multiplicativo de potencias, la deducción de leyes de exponentes, la
interpretación de expresiones con exponentes, además de la aplicación de cálculos
algebraicos con monomios y polinomios.
La unidad cuatro “Factorización” tenía como objetivos el factorizar monomios y
polinomios aplicando la propiedad asociativa y distributiva, la reducción de términos
semejantes, realización de operaciones algebraicas con monomios y polinomios, cálculo
de fracciones algebraicas aplicando las propiedades y algoritmos.
En la unidad cinco “Vectores numéricos y sus gráficas”, el alumno tabularía,
realizaría operaciones, identificaría propiedades de polinomiales y numerales.
La unidad seis comprendía “Estructuras algebraicas”, donde el alumno resolvería
sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas y resolvería problemas aplicando
sistemas de ecuaciones lineales.
La unidad siete “Geometría y métrica” tenía como objetivos la construcción de
figuras homotéticas mediante escala, identificación de sus propiedades y aplicación de las
nociones de congruencia, semejanza, variación proporcional, razones y proporciones.
La unidad ocho “Estadística y probabilidad”, tenía como objetivos construir e
interpretar gráficas de barras, cartesianas y circulares de funciones diversas, la tabulación
de datos, interpretación del significado de la tendencia central.
Contenidos correspondientes al programa de segundo grado
Los contenidos planteados para el programa de segundo grado eran:
Para aritmética
Números racionales, conversión de fracciones comunes y decimales. Para álgebra
Lenguaje algebraico, expresiones algebraicas y sus operaciones, reducción de
términos semejantes, valor numérico de expresiones con variables, ecuaciones de
88
primer grado, sistemas de ecuaciones por reducción y sustitución, concepto de
función, leyes de los exponentes. En geometría
Simetría axial y central, igualdad de ángulos, propiedades de los ángulos, traslación,
rotación, paralelismo en rectas, trazo de figuras homologas, uso de regla escuadra y
compás. Para estadística y probabilidad
Concepto de muestra, medidas de tendencia central: moda, mediana, media.
Probabilidad. En lógica y conjuntos
Proposiciones compuestas: negación, conjunción, disyunción e implicación y
equivalencia
Programa de matemáticas de tercer grado
El programa de tercer grado comprendía ocho unidades que eran:
Lógica y conjuntos
Relaciones y funciones
Operaciones numéricas
Factorización
Vectores numéricos y sus gráficas
Estructuras algebraicas
Geometría y métrica
Registro estadísticos y probabilidad
Objetivos del programa de tercer grado
Los objetivos a alcanzar en ese año eran:
Aplicará las leyes y representaciones básicas de la lógica en la obtención de
conclusiones. Manejará el método deductivo en modelos matemáticos. Utilizará las propiedades de las relaciones de igualdad y orden en la resolución
de problemas. Aplicará las leyes de los exponentes en el cálculo logarítmico.
89
Resolverá problemas que impliquen el análisis de la ecuación cuadrática. Manejará sistemas de transformaciones geométricas mediante el análisis de sus
propiedades formales. Cultivará sus aptitudes estéticas y psicomotoras a través de la practica del
discurso geométrico Utilizará los sistemas de transformaciones en la resolución de problemas
geométricos. Aplicará las funciones trigonométricas en el cálculo e magnitudes
geométricas64.
La unidad uno, “Lógica y conjuntos” tenía como objetivos: identificar subconjuntos
mediante la relación de inclusión, representar mediante el diagrama de Veen las
relaciones lógicas, obtendrá conclusiones en razonamiento lógico en la obtención de
conclusiones e identificara categorías de proposiciones.
La unidad dos “Relaciones y funciones” tenía como objetivos aplicar propiedades
de relación de orden a los números reales, resolver desigualdades mediante la relación de
orden, construir gráficas de desigualdades y sistemas de ecuaciones, y aplicar el
concepto de convexidad en análisis de gráficas.
En la unidad tres referente a “Operaciones numéricas” el alumno interpretaría
potencias de exponentes fraccionarios, manejaría logaritmos y aplicará la teoría de
logaritmos en problemas.
La unidad cuatro “Factorización” tenía como objetivos factorizar trinomios de
segundo grado, y aplicar la factorización en la solución de ecuaciones de segundo grado
con una incógnita.
En la unidad cinco “Vectores numéricos y su gráficas” el alumno representaría
gráficamente vectores binarios, realizaría trasformaciones geométricas de rotación,
traslación y geometría mediante la construcción y la aplicación fórmulas de
trasformaciones en la obtención de isometrías.
La unidad seis comprende “Estructuras algebraicas”, el objetivo era identificar
mediante el análisis las propiedades de las composiciones realizadas y su construcción.
64 SEP, (1974). Op. Cit. p. 120
90
La unidad siete “Geometría y métrica” manejaría funciones trigonométricas como
aplicación de homotecias del círculo unitario, construiría tablas de las funciones
trigonométricas y las utilizaría en la resolución de triángulos rectángulos.
La unidad ocho “Estadística y probabilidad” tenía como objetivos la interpretación
de gráficas estadísticas, su comparación con diversos modelos de curva normal e
interpretación del significado de la curva normal a partir de la observación y el análisis de
modelos y aplicará las formulas de probabilidad en la obtención de inferencias probables.
Contenidos correspondientes al programa de tercer grado
Los contenidos planteados para el programa de tercer grado eran:
Para álgebra
Ecuaciones de segundo grado como función cuadrática, su clasificación en completas
e incompletas, la fórmula general. Productos notables sus propiedades y factorización.
Para geometría
Clasificación de polígonos, triángulos, cuadrilátero, congruencia en triángulos,
propiedades de los paralelogramos el círculo sus propiedades y rectas. Aplicación del
teorema de Pitágoras. Figuras semejantes, teorema de semejanza. Lugares
geométricos. Uso de regla y compás. Demostración del teorema de Thales. Para trigonometría
Funciones trigonometrías, función seno, coseno y tangente en un círculo unitario,
razón entre cateto/ hipotenusa, cateto adyacente/hipotenusa, cateto opuesto/ cateto
adyacente. Resolución de triángulos rectángulos aplicando funciones trigonométricas.
Para estadística y probabilidad
Fórmula de probabilidad, datos estadísticos sobre fenómenos naturales, económicos
y sociales, curva de frecuencia. Para lógica y conjuntos
Diagrama de Veen, categorías de proposiciones: axiomas y teoremas.
Actividades en los programas de matemáticas de 1974
Los programas de matemáticas proponían una serie de actividades encaminadas al
logro de los objetivos propuestos, se sugería de manera general algunas actividades, pero
91
en cada unidad se encontraban especificadas de acuerdo a cada uno de los objetivos
planteados, dichas actividades eran:
Observar situaciones problemáticas propuestas Analizar situaciones problema, ejemplos Destacar y seleccionar datos Identificar relaciones entre los elementos de las situaciones Manejar el lenguaje simbólico adecuado al objetivo Elaborar modelos matemáticos a partir de situaciones concretas Definir conceptos como resultado de sus observaciones y análisis Aplicar la generalización obtenida en ejercicios y problemas concretos Plantear problemas Discutir con sus compañeros posibles soluciones a un problema determinado Deducir intuitivamente conclusiones Deducir conclusiones de manera formal Demostrar propiedades y teoremas a partir de axiomas dados Exponer temas investigados por él65
La selección de actividades sería de acuerdo con el objetivo propuesto
Enfoque de los programas de estudio de matemáticas de 1974
El programa mencionaba que los avances técnicos y científicos que se habían
suscitado, habían traído como consecuencia la necesidad de reformar y actualizar los
procedimientos para la dirección del aprendizaje de los alumnos. El nuevo enfoque
didáctico debía de estimular la participación activa del alumno, por lo tanto, el aspecto
metodológico del proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática más que planear la
enseñanza, era el diseño de actividades de estrategias didácticas: estas suponían un
proceso dinámico en el cual el alumno a partir de situaciones propicias redescubriera los
conceptos matemáticos y de esta forma se integren a ellos como experiencias vitales. Se
considera, que el único aprendizaje que iba trascender en los alumnos era aquél en el
donde el alumno descubre y lo incorpora a sus experiencias vitales. Para el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas era necesario considerar desde la selección
de objetivos de los que se deriva la planeación hasta la evaluación respectiva, la
planeación didáctica requería la selección del método, los procedimientos, los recursos
didácticos y las técnicas más adecuadas al objetivo propuesto.
65 SEP, (1974). Op. Cit. pp. 136- 137
92
El programa, además consideraba a la matemática como “una…ciencia de investigación, que parte de situaciones concretas con propiedades comunes, selecciona aspectos que le interesan, encuentra sus relaciones, los simboliza y formula una teoría”66 ; desde un punto de vista inductivo, el cual se refería a redescubrir
un conocimiento, formular una teoría.
La evaluación en los programas de matemáticas de 1974
La evaluación era definida como un proceso inseparable de la enseñanza
aprendizaje, que permitía comprobar el logro de los objetivos mediante las actividades
puestas en marcha por el docente.
Se consideraba que la evaluación debía realizarse de manera constante por el
docente con el fin de conocer los resultados y compararlos.
El programa planteaba cuatro tipos de evaluación: la inicial, la parcial, la continua y
final. La primera era un diagnostico de la preparación previa que se posee, ya sea para
comenzar un tema o una unidad. La segunda permitía visualizar los logros obtenidos ya
sea al terminar la unidad o un tema. La evaluación continúa era aquella con la que se
verifica el logro de cada objetivo específico y por último la evaluación final daba el
panorama general de los objetivos particulares de las unidades. La evaluación en el
programa de 1974, consistía en elegir situaciones que permitieran verificar las conductas
que se propusieron en los objetivos.
66 SEP, (1974). Op. Cit. p.135
93
El currículo de matemáticas de 1993
El neoliberalismo en México Bajo una política neoliberal, que comenzó a dejarse ver desde el sexenio de Miguel
de la Madrid y de modernidad en todos los aspectos nacionales y en respuesta a una
situación de crisis general del país, Carlos Salinas de Gortari tomó posesión en 1988. El
panorama nacional era preocupante en el ámbito económico, el social y el político; ante
esta situación el gobierno hizo evidente la nueva política que según señalaba, sacaría a
México de la crisis: la modernización, ésta se basaba en tres acuerdos presidenciales: en
lo económico, la recuperación de la economía con la estabilidad de precios; en lo social,
el mejoramiento del nivel de vida de los sectores más afectados por la crisis y en lo
político la ampliación de la democracia.
Económicamente, la estrategia neoliberal era la reducción de la participación del
Estado como rector, planificador y promotor del desarrollo económico y del bienestar
social, lo que supuso “una liberación en los precios, una apertura comercial, la liberación de flujos de inversión extranjera, la privatización de la mayoría de las empresas estatales, servicios de infraestructura…”67, donde la tarea primordial del
Estado sería controlar la estabilidad de precios. Se pretendía alcanzar el incremento de la
productividad, la incorporación de nuevos métodos y técnicas de producción, alcanzar una
tasa de crecimiento cercana al 6% anual, además del ingreso de la economía mexicana al
mercado internacional, que fue el objetivo fundamental. El gobierno salinista argumentó
que un aumento en la productividad impulsaría el mejoramiento social a través de
empleos y el aumento de salarios y así demandas sociales como seguridad pública,
educación, asistencia social y salud, de alimentación, vivienda y de servicios podrían ser
atendidas.
Por otro lado, la democracia en lo político significaba lograr “una sociedad más
participativa y crítica”; exigencia popular manifestada no sólo en las demandas sociales,
sino en los procesos electorales y en la participación en asuntos referentes a ecología y
derechos humanos.
La experiencia neoliberal trajo consigo el ingreso al mercado internacional con la
firma del tratado de libre comercio y la supresión del Estado en ciertos terrenos, pero los
resultados económicos y sociales estuvieron por debajo de lo propuesto, ya que la
67 Calva José Luis, El modelo neoliberal mexicano. Costos, Vulnerabilidad, Alternativas. Fontarama- FFERM Friedrich Errt S. México. 1993. p.51
94
economía estaba vulnerable, se presentó una inequidad en la distribución del ingreso, una
dependencia financiera extranjera, un crecimiento del desempleo, de la desnutrición
infantil y de pobreza extrema; en cambio aumentó la concentración del ingreso y riqueza
en pocas manos. Todo esto dejó ver que el país requería de un nuevo Estado que
asumiera las responsabilidades del desarrollo económico y social de la nación.
La política educativa La modernización del país que postulaba a la educación como un pilar de su
desarrollo integral requería apresurar los cambios en el ámbito educativo. Los primeros
discursos del Presidente Salinas señalaban que el centralismo y burocraticismo del
sistema educativo eran graves problemas que no habían permitido el logro de los
objetivos educativos, por lo que era necesario alcanzar un sistema educativo nacional afín
al federalismo, con el fin de unificar y coordinar la educación en toda la Republica y
distribuir las tareas educativas entre la Federación, los Estados y los Municipios. Es por
ello que la consolidación de un federalismo educativo fue planteada como eje de la
política educativa, se reorientaron las responsabilidades del Gobierno Federal y los
gobiernos de las entidades federativas y municipios y se reorganizó el sistema educativo,
donde el Ejecutivo Federal y cada Estado firmaron convenios, trasfiriendo los servicios,
bienes e inmuebles a cada entidad federativa, todos los asuntos administrativos debían
ser resueltos en cada uno de los estados y el Gobierno Federal sería el rector de la
política educativa nacional. Todo esto se concretó en el Acuerdo Nacional para la
Modernización de la Educación Básica (ANMEB.) el cual expresó como su finalidad
corregir la desigualad educativa, mejorar la calidad y los servicios educativos proponiendo
tres estrategias fundamentales para lograrlo: la reorganización del sistema educativo,
reformulación de contenidos y materiales y la revaloración social de la función magisterial.
Reforma educativa y la enseñanza secundaria
El Programa para la Modernización Educativa 1989-1994 (PME.), presentaba un
diagnóstico de la educación nacional, donde se reconocía la existencia de un conjunto de
problemas que afectaban a la educación. Parte de ese diagnóstico correspondía a la
educación secundaria, donde se reconoció la presencia de problemas centrales en
cobertura, reprobación, la coexistencia de dos estructuras programáticas curriculares y su
desvinculación con la primaria, el predominio de conocimientos informativos, además una
inapropiada organización escolar la cual no respondía a las necesidades de los
estudiantes. Para responder a lo planteado en el PME., durante la administración de
95
Manuel Barlett como Secretario de Educación Pública se elaboró una propuesta de
modificación de planes y programas de estudio de los niveles preescolar, primaria y
secundaria, con base en la cual se diseñó un programa experimental denominado “prueba
operativa”. Los cuestionamientos a esta propuesta se dejaron ver, éstos incluían el de por
qué si el PME reconocía un conjunto de problemas que afectaban a la educación básica,
los cambios sólo se centraban en una reforma a los planes y programas de estudio. En 1992, con un nuevo secretario de educación, el Dr. Ernesto Zedillo se firmó el
Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica (ANMEB.). Como se
mencionó en el apartado anterior, este acuerdo tomó en cuenta la reorganización del
sistema educativo, revaloración social de la función del magisterio, además de una
reformulación de contenidos y materiales; señalaba que los programas hasta ese
entonces vigentes mostraban deficiencias ya que no habían sido sometidos a reformas
integrales, y no proporcionaban un conjunto adecuado de conocimientos, habilidades,
capacidades y destrezas necesarios para el desenvolvimiento de los educandos.
Las modificaciones a los planes y programas tomaron en cuenta la necesidad de
fortalecer conocimientos y habilidades básicas y el regreso a la estructura programática
por asignatura; el acuerdo no presentó ninguna argumentación para fundamentar el
cambio de una estructura, por áreas a otra por asignaturas.
A partir del ciclo escolar 1992- 1993 y antes de que se concluyera la reforma, se
instrumentó en primer grado de secundaria, un nuevo plan de estudios organizado por
asignaturas, denominado Prueba Operativa, un año más tarde , el cambio se extendió al
resto del nivel.
Durante este sexenio, la educación secundaria adquirió una nueva importancia a
partir de lo asentado en la Ley General de Educación de 1993, donde se confirió el
carácter obligatorio a la educación secundaria, el Estado estaba obligado a proporcionar
la educación de este nivel a todas las personas que lo solicitaran, igualmente obligaba a
los padres de familia a enviar a sus hijos a la escuela secundaria, éste nivel comenzó a
formar parte de la educación básica desde ese año. Se sostuvo que este nuevo marco
jurídico, respondía al proceso de modernización en los ámbitos económico, social y
político, el cual requería una población mejor educada.
Objetivos de la educación secundaria
Los objetivos de la educación secundaría son “que el alumno amplié las habilidades y profundice los conocimientos adquiridos en la primaria, que conozca
96
las opciones educativas en las que puede continuar o reciba capacitación para su incorporación a la fuerza de trabajo”68
El plan de estudios de secundaria de 1993
El plan de estudios propone establecer una congruencia y continuidad del
aprendizaje obtenido en la primaria, su propósito esencial derivado del ANMEB, es
“…contribuir a elevar la calidad de la formación de los estudiantes que han terminado la educación primaria, mediante el fortalecimiento de aquellos contenidos que responden a las necesidades básicas de aprendizaje de la población joven del país y que sólo la escuela puede ofrecer. Estos contenidos integran los conocimientos, habilidades y valores que permiten a los estudiantes continuar su aprendizaje con un alto grado de independencia, dentro o fuera de la escuela; facilitan su incorporación productiva y flexible al mundo del trabajo; coadyuvan a la solución de demandas prácticas de la vida cotidiana y estimulan la participación activa y reflexiva en las organizaciones sociales y en la vida política y cultural de la nación”69.
En este plan de estudios se refuerza la enseñanza de la lengua española y las
matemáticas y se restablece el estudio de la historia, tanto universal como de México de
la geografía, civismo y orientación educativa70. La característica más importante del plan de 1993 es que se encuentra
estructurado por asignaturas, dado que se consideró que la organización por áreas había
contribuido a la insuficiencia y escasa sistematización en la adquisición de una formación
disciplinaria ordenada, además que al maestro se le dificultaba la enseñanza de
contenidos de campos de conocimientos diversos. El plan ofrece las materias de español,
matemáticas, historia universal, historia de México, geografía general, geografía de
México, biología, introducción a la física y a la química, física, química, civismo,
orientación educativa, lengua extranjera, expresión y apreciación artística, educación
física y educación tecnológica71. El plan de estipulaba una carga horaria de 35 horas semanales por grado.
68 Dirección General de Tecnología de la información.(Sin fecha).Educación secundaria. Disponible en: http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_3480_educacion_secundaria. [ 2005, Febrero 12.] 69SEP. Plan y Programas de Estudio Educación Básica. Secundaria. SEP. México. 1993. p.12 70 A partir del ciclo 1999- 2000 se estableció una nueva asignatura que sustituiría a las materias de Civismo y Orientación Educativa. 71 En el ciclo escolar 2004-2005 se puso en marcha una nueva propuesta curricular de la SEP para la Educación Secundaria.
97
Los programas de estudio de matemáticas de 1993
El programa de matemáticas de 1993, define a las matemáticas como el resultado
del intento del hombre de comprender y explicarse el universo y plantea como propósito
central que “el alumno aprenda a utilizarlas para resolver problemas, no solamente los que resuelve con los procedimientos y técnicas aprendidas en la escuela, sino también cuyo descubrimiento y solución requieren de la curiosidad e imaginación”
72. Por lo tanto se requiere el desarrollo de las habilidades tanto operatorias como
comunicativas que le permitan al alumno descubrir.
Para ello, el alumno debe desarrollar las capacidades para adquirir seguridad y
destreza en el empleo de técnicas y procedimientos, reconocer y analizar situaciones,
elaborar conjeturas, escoger procedimientos y resultados, predecir y desarrollar un
razonamiento deductivo, todo esto a través de la solución de problemas.
Objetivos generales de los programas de estudio de matemáticas
Los objetivos de los programas de matemáticas son:
El alumno aprenda a utilizarlas para resolver problemas, no solamente los que resuelven con los procedimiento y técnicas aprendidas en la escuela, sino también aquellos cuyo descubrimiento y solución requieren de la curiosidad y la imaginación creativa
Desarrollo de las habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento de los alumnos.
Transmitir a los alumnos una parte importante del acervo cultural de la humanidad
Propiciar el desarrollo de nociones y conceptos que les sea útiles para comprender su entrono y resolver problemas de la vida real, al mismo tiempo que les proporciona los conocimientos y las habilidades de pensamiento y razonamiento necesarios para avanzar en el estudio de las matemáticas, así como acceder al conocimiento de otras disciplinas.73
Estructura curricular de los programas de estudio de matemáticas de 1993
La organización de la asignatura se plantea a partir de temas, los cuales están
agrupados en cinco áreas:
72SEP. (1993) Op. Cit.. p.37. 73 SEP. Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria. SEP. México. 1994. p.12
98
Aritmética
Álgebra
Geometría (en tercer grado se agrega trigonometría)
Presentación y tratamiento de la información
Nociones de probabilidad
El programa de estudios de matemáticas menciona, que es flexible ya que no está
concebido como una sucesión de temas que deben verse uno a continuación del otro,
sino que estos contenidos podrían organizarse de acuerdo a lo que el maestro considere
conveniente. Recomienda que se debe procurar relacionar diferentes temas o áreas del
programa, con el fin de que el alumno perciba las relaciones que existen entre las
diferentes partes de las matemáticas.
Asimismo el programa no sugiere actividades de enseñanza, en su lugar se dan
orientaciones didácticas generales, además de existir materiales de apoyo como el libro
para el maestro y la secuencia y organización de contenidos, los cuales apoyan el
proceso de enseñanza y aprendizaje de esta materia.
Descripción de los programas de estudio de matemáticas de 1993
Programa de matemáticas de primer grado
El programa de primer grado comprende cuatro áreas:
Aritmética
Preálgebra
Geometría
Presentación y tratamiento de la información
Probabilidad
Los objetivos a alcanzar en 1993 y que en la actualidad son los que se persiguen son:
Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados.
Utilizar la calculadora como auxiliar en la solución de problemas. Practicar los algoritmos de las operaciones, así como el cálculo y la estimación
mental de resultados. Iniciarse gradualmente en el razonamiento proporcional y sus aplicaciones. Familiarizarse a través de ejemplos con el uso de literales, de paréntesis y con
otros temas que preparan el acceso al álgebra.
99
Practicar los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición, explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría; resolver problemas que conduzcan al calculo de perímetros y áreas de las figuras usuales.
Desarrollar la imaginación espacial a partir de la construcción y manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de cubos, paralelepípedos y cuerpos formados por su combinación.
Conocer el uso de porcentajes, tablas y otras formas usuales de organizar y presentar la información.
Familiarizarse con la noción de azar y algunas de las situaciones ideales de la probabilidad por medio del registro y la enumeración a priori de los resultados de experimentos aleatorios.74
Contenidos correspondientes al programa de primer grado
Los contenidos planteados para el programa de primer grado son:
Para aritmética
Operaciones con naturales y decimales, sus verificaciones. Lectura y escritura de
números naturales. Suma y resta de dos fracciones reducibles e irreducibles,
conversión de fracciones decimales. Números truncados o redondeados para
aproximar o estimar un resultado. Revisión de suma, resta, multiplicación y división de
números con signos, reglas de los signos. Evolución de los sistema de numeración:
romano, egipcio y maya, sistemas posiciónales con base distinta a 10. Múltiplos y
divisores de un número, criterios de divisibilidad. Raíz cuadrada de un número (tablas
y calculadora). Noción de razón entre dos cantidades, variación proporcional,
porcentajes. Para preálgebra
Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis en la aritmética. Iniciación al uso de
literales: fórmulas de geometría; problemas que conducen a la escritura de
expresiones algebraicas sencillas. Primeras reglas de escritura algebraica.
Construcción de tablas de valores a partir de fórmulas o expresiones algebraicas.
Operaciones asociadas: suma y resta; multiplicación y división. Ecuaciones numéricas.
74 SEP, (1994). Op. Cit. p. 19.
100
Para geometría
Propiedades de áreas y perímetros. Áreas del cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo
y figuras compuestas. Tabla de fórmulas para calcular el área. Noción de volumen y
capacidad, sus propiedades. Volúmenes, sus propiedades, cálculo de volúmenes y
superficies de cubos y paralelípedos. Construcción y características de los sólidos.
Representación plana de cubos paralelípedos rectos y sólidos. Simetría axial, dibujo y
medición. Trazo ejes de simetría. Trazo y construcción de figuras básicas.
Perpendiculares y paralelas. Uso de la regla graduada, compás escuadras y
transportador. Para estadística y probabilidad (tratamiento de la información)
Estimación y comparación de probabilidades. Situaciones de probabilidad: volados,
lanzamientos de dados, rifas. Expresión de una probabilidad de un evento.
El programa matemáticas de segundo grado
El programa de segundo grado comprende cinco áreas:
Aritmética
Álgebra
Geometría
Presentación y tratamiento de la información
Probabilidad
Los objetivos a alcanzar son:
Enriquecer el significado de los números y sus operaciones a través de la solución de problemas muy variados.
Practicar los procedimientos de cálculo, estimación mental de resultados y el uso inteligente de la calculadora.
Familiarizarse con los diversos medios de expresión matemática: la escritura simbólica, las tablas y las graficas y utilizarlos en la solución de problemas.
Plantear problemas sencillos que conduzcan a ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos utilizando procedimientos de dibujo y medida.
Seguir practicando el dibujo y los trazos geométricos y avanzar hacia la adquisición permanente del uso de los instrumentos de dibujo y medida. Resolver problemas que conduzcan a calcular el área de las figuras comunes y de otras formadas por su combinación.
101
Desarrollar la imaginación espacial por medio de la representación plana de algunos sólidos, la observación de las secciones que se forman al cortar un sólido por un plano (casos sencillos) y el cálculo de volúmenes.
Iniciarse gradualmente en el razonamiento deductivo, en situaciones escogidas por el profesor.
Conocer y acostumbrarse al uso de cantidades absolutas y relativas, tablas y gráficas y otras formas comunes de organizar y presentar la información.
Explorar las nociones frecuencial y clásica de la probabilidad a través de actividades muy diversas así como utilizar diagramas de árbol para enumerar y describir los posibles resultados de una experiencia aleatoria.75
Contenidos correspondientes al programa de segundo grado Los contenidos planteados para el programa son:
Para aritmética
Operaciones con números naturales y decimales, cálculo mental y estimación de
resultados, potencias, notación científica (uso de la calculadora), conteo, suma, resta
multiplicación y división de fracciones, equivalencia. Primos y compuestos,
factorización de primos y sus aplicaciones, múltiplo común y máximo común divisor.
Revisión de suma, resta, multiplicación y división de números con signos, reglas de los
signos. Para álgebra
Uso de la incógnita en la traducción al lenguaje algebraico, reglas para simplificar la
escritura y operar con expresiones algebraicas, introducción y uso de paréntesis.
Operaciones con monomios y polinomios, reducción de los factores con una base
común en un monomio, simplificación de términos semejantes en un polinomio.
Ecuaciones de primer grado. Sistemas de dos ecuaciones lineales con do incógnitas
por el método de sustitución. Para geometría
Propiedades de las figuras, el círculo, dibujo a escala. Áreas: justificación del cálculo
de áreas del paralelogramo, triángulo, trapecio y polígonos regulares. Volúmenes:
conocimiento y aplicación de fórmulas para el cálculo de volúmenes de prismas y
cilindros rectos, uso de tablas para cálculo de superficies y volúmenes. Desarrollo y
representación plana de prismas y cilindros rectos. Simetría axial y central sus
75SEP, (1994). Op. Cit. p. 26.
102
propiedades. Igualdad de ángulos opuestos por el vértice, ángulos entre paralelas y
una secante, igualdad de ángulos, suma de ángulos interiores de cuadriláteros,
triángulos y polígonos convexos. Demostraciones del teorema de Pitágoras por
descomposición y equivalencia. Trazo de figuras. Para estadística y probabilidad (presentación y tratamiento de la información)
Organización y presentación de datos: tablas y gráficas, pictogramas, diagramas de
barras. Cálculo de tanto por ciento, cálculo de promedio y densidad. Noción
frecuencial de probabilidad, fórmula clásica, elaboración de tablas y gráficas.
El programa de matemáticas de tercer grado
El programa de tercer grado comprende seis áreas:
Aritmética
Álgebra
Geometría
Trigonometría
Presentación y tratamiento de la información
Probabilidad
Los objetivos a ser alcanzados son:
Avanzar hacia la adquisición permanente de los procedimientos de cálculo numérico.
Conocer la idea de aproximación a través del cálculo de la raíz cuadrada y la estimación de errores en algunos casos sencillos.
Utilizar constantemente los diversos medios de expresión matemática: lenguaje algebraico, tablas y graficas en el planteo y la solución de problemas muy diversos, y en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de uno a otros.
Practicar el razonamiento deductivo en situaciones extraídas de la geometría y otras partes de las matemáticas.
Utilizar las formas para el cálculo de perímetros, áreas y volumen así como los teoremas de semejanza de Pitágoras y la trigonometría, para resolver numerosos problemas de cálculo geométrico.
Desarrollar la imaginación espacial a través de la representación plana de sólidos, el cálculo de volúmenes y capacidades y aplicaciones sencillas de los
103
teoremas de semejanza y de Pitágoras en la solución de problemas en el espacio.
Familiarizarse y utilizar las formas usuales de organizar, presentar y resumir la información contenida en una lista de datos y, a través de ejemplos, con las nociones de censo y encuesta de población y muestra.
Conocer las nociones frecuencial y clásica de la probabilidad así como la idea de simulación, para resolver problemas. Asimismo, utilizar las reglas de la suma y el producto para realizar cálculos sencillos con probabilidades.76
Contenidos correspondientes al programa de tercer grado
Los contenidos planteados para el programa de tercer grado son:
Para aritmética
Cálculo de raíz cuadrada por diversos métodos. Errores de aproximación, estimación
y acotación de errores. Para álgebra
Operaciones con monomios y polinomios, fracciones algebraicas y sus operaciones.
Ecuaciones con paréntesis, ecuaciones con coeficiente fraccionario, ecuaciones que
se reducen a lineales. Métodos de solución: sustitución, igualación, suma y resta,
método gráfico, sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y su solución
por el método de eliminaciones sucesivas. Solución de ecuaciones incompletas y
completas por factorización y completando cuadrados, fórmula general. Productos
notables, sus aplicaciones al cálculo numérico y a la factorización de polinomios de
segundo grado. Noción de función. Graficación de funciones. Leyes de los
exponentes y su verificación.
Para geometría
Igualdad de congruencia de triángulos, su aplicación, propiedades de los triángulos y
paralelogramos, círculo y sus rectas. Aplicación de fórmulas para el cálculo de
volúmenes: pirámide, cono, esfera y superficie. Teorema de Thales en triángulos,
semejanza de triángulos, homotecias y su aplicación, dibujo a escala, construcción
de triángulos, paralelogramos y rectas en el círculo. Demostraciones del teorema de
Pitágoras por diversos métodos.
76SEP, (1994). Op. Cit.. p.33
104
En trigonometría
Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente, valores del
seno, coseno y tangente para ángulos de 30º, 45º y 60º, uso de tablas y calculadora.
Resolución de triángulos rectángulos. Para estadística
Noción frecuencial de probabilidad, fórmula clásica, cálculo de probabilidades,
solución de problemas por simulación, esquema de urnas de Bernoulli. Tasas sus
usos y aplicaciones, descripción de listas de datos: moda, media, mediana. Nociones
de población y muestra: censo y encuestas.
Actividades en los programas de matemáticas de 1993
El programa no presenta actividades, sin embargo se consultó uno de los auxiliares
didácticos: el Libro para el maestro de secundaria de matemáticas, éste sirve de apoyo al
docente que imparte ésta asignatura.
En éste libro se plantean algunas recomendaciones didácticas, en las cuales se
señala “el diseño y selección de situaciones” que será la forma de organizar las
actividades. El maestro debe de diseñar situaciones y problemas interesantes, donde los
alumnos puedan resolverlos a partir de conocimientos previamente adquiridos.
Se menciona que al diseñar las actividades de enseñanza conviene distinguir entre
los diferentes tipos de ejercicios y problemas que puedan proponerse a los alumnos:
Ejercicios: su objetivo es favorecer la aplicación de los conocimientos básicos, así como que se adquiera seguridad y destreza en la aplicación de técnicas y procedimientos.
Problemas de aplicación, o aplicaciones: sirven para mostrar la utilidad de los conocimientos en la vida cotidiana, en otras partes de las matemáticas mismas y en las diversas disciplinas.
Problemas de exploración y búsqueda: necesarios para la formación de conceptos, el desarrollo de la capacidad de trabajo personal del alumno y de sus aptitudes para la investigación, la comunicación y la justificación de sus afirmaciones.77
Las actividades en clase deben de ser lo más ricas y flexibles posibles, ya que así
de adaptaran a los distintos ritmos de aprendizaje e intereses de los alumnos, ya que se
considera que existen diferencias individuales entre los alumnos y que cada grupo no es
77 SEP, (1994). Op. Cit. p. 44.
105
homogéneo, por lo que se le pide al maestro prestar atención en la actividad de cada
alumno.
La enseñanza no debe limitarse a las exposiciones del maestro o a los ejercicios
necesarios para ejercitar los procedimientos básicos, sino que es importante que los
alumnos intervengan, conozcan diseñen y resuelvan numerosos problemas.
La solución de problemas en el salón de clase requiere de tiempo, por ello el maestro
debe de prever su duración; los alumnos podrán organizarse en equipos para resolver y
discutir los problemas, esto permitirá comparar y contrastar las diversas soluciones que
aparezcan. Además, las actividades en clase deben realizarse en un ambiente
estimulante, de colaboración, donde los alumnos tengan la confianza y oportunidad de
expresar, comunicar y discutir sus ideas.
También se menciona que es conveniente que el profesor al diseñar sus
actividades considere relacionarlas con las otras asignaturas, ya que son una fuente de
ejemplos y actividades.
Cabe destacar que a parte de la solución de problemas hay actividades de carácter
permanente que deben practicarse y perfeccionarse constantemente al largo de toda la
enseñaza, estas son:
Los procedimientos de cálculo, incluido el cálculo y la estimación mental de resultados.
El uso de la calculadora como auxiliar en la solución de problemas. Los trazos y construcciones geométricas, al principio utilizando todos los
instrumentos de dibujo y medida y, más adelante, con la restricción en algunos casos de sólo utilizar regla sin graduar y compás.
El uso de los diferentes medios de expresión matemática en la solución de problemas: lenguaje simbólico, tablas y representaciones gráficas.
La iniciación gradual al razonamiento deductivo.78
Enfoque de los programas de estudio de matemáticas de 1993
Una de las características más importantes del plan de estudios de 1993 son los
cambios de enfoque propuestos en los programas de estudio. “La enseñanza de las matemáticas en el nivel de secundaria tiene entre sus
propósitos, trasmitir a los alumnos una parte importante del acervo cultural de la humanidad. Asimismo, debe propiciar el desarrollo de nociones y conceptos que
78 SEP, (1994). Op. Cit p. 46.
106
les sean útiles para comprender su entorno y resolver problemas de la vida real, al mismo tiempo que les proporciona los conocimientos y habilidades de pensamiento y razonamiento, necesarios para avanzar en el estudio de las matemáticas, así como para acceder al conocimiento de otras disciplinas”79
De acuerdo a lo anterior, el enfoque de las matemáticas, debe ser distinto al que
tradicionalmente se ha manejado, donde esta asignatura se proyecta en el plano de la
pura memorización de algoritmos, postulados, así como de la resolución de problemas
desligados del entorno del estudiante. El nuevo enfoque que se propone va más hacia
características formativas que a las de tipo informativo. Los programas están
contemplados desde un punto de vista formativo, considerando que el pensamiento del
alumno esta ligado a su experiencia personal a partir de esto se buscará el desarrollo del
pensamiento reflexivo crítico y creativo impulsando al alumno a construir su propio
conocimiento. De ahí que los programas de matemáticas presenten como aspecto fundamental, la
resolución de problemas, que permiten al estudiante apropiarse de manera significativa
los conceptos matemáticos. El aprendizaje significativo tiene lugar cuando se intenta dar
sentido o establecer relaciones entre los nuevos conceptos o nueva información y los
conocimientos ya existentes en el alumno o con alguna experiencia anterior. El National Council Teachers of Mathematics (NCTM.) que agrupa a una gran parte
los investigadores y profesores dedicados a la educación matemática en EUA elaboró un
documento en 1986 en el que se “…presenta a las matemáticas haciendo énfasis en la solución de problemas, en el sentido, que por medio de esta actividad se puede fomentar la indagación y comprensión de los contenidos matemáticos y su relación con la vida diaria, desarrollar estrategias para enfrentar diversas situaciones, adquirir confianza en el uso de las matemáticas y darle mayor significado al estudiante”80. Así la resolución de problemas tiene una prioridad y con
base en éstos giran los propósitos. La resolución de problemas no sólo permite hacer énfasis en el aspecto práctico de
las matemáticas sino además permite a los estudiantes poner a prueba estrategias y
recursos, las cuales permiten generar argumentos claros y precisos, que hará que el
alumno se apropie de manera significativa lo conceptos matemáticos. Por lo tanto es
79SEP(1994). Op. Cit. p. 12. 80 Mancera Eduardo Las Matemáticas en la escuela secundaria. En Revista cero en Conducta, Año 8 No.35 octubre, México. Educación y Cambio 1993. p. 14.
107
necesario que los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en situaciones que
tengan sentido para ellos.
Evaluación en los programas de matemáticas 1993
“El término evaluación se introdujo, entre otros propósitos para llamar la atención sobre el hecho de que con frecuencia la información que proporcionan los exámenes es insuficiente para conocer los resultados del aprendizaje y tomar decisiones sobre los procesos de enseñanza. En este sentido es importante que la evaluación no consista únicamente en la aplicación de uno o varios exámenes, localizados en momentos fijos de la enseñanza, sino que el maestro observe constantemente el desarrollo de las actividades en clase y la participación de sus alumnos en ellas, para observar si se dan lugar a la riqueza de situaciones esperadas, satisfaciendo los propósitos, para los cuales fueron diseñadas”81 En lo anterior, se nota el reconocimiento que un cambio en el proceso de
enseñanza de las matemáticas, debe llevar consigo un nuevo proceso de evaluación de
los aprendizajes de los alumnos, ya que sería incongruente por que lado que los alumnos
resuelvan problemas y sepan plantearlos, que las actividades busquen o propicien el
desarrollo de la reflexión, creatividad y construcción de conocimiento y por otro lado la
evaluación de estas actividades se limiten a la aplicación de un examen, para dar cuenta
de los aprendizajes logrados en el alumno sin cuestionar el proceso de enseñanza de la
asignatura. Por lo tanto el docente, debe tomar en cuenta los procesos y estrategias utilizadas
para dar respuesta a una actividad, así como analizar los diversos tipos de respuestas y
los errores más comunes con el fin de diseñar actividades que los ayuden a resolverlos, lo
que le proporciona al alumno elementos que le harán estar consciente de sus
aprendizajes.
En el siguiente capítulo se analiza aspectos como la política educativa en cada uno
de los periodos mencionados, la definición y objetivos de la educación secundaria, así
cada uno de los programas de matemáticas descritos anteriormente, tomando en cuenta
los objetivos, contenidos, actividades, enfoque didáctico y la evaluación.
81 SEP, (1994). Op. Cit. p 43.
108
CAPÍTULO 4. Análisis de los programas de estudio de matemáticas para la educación secundaria de los años
1928-1993.
En este capítulo se realiza un análisis comparativo de los programas de estudio de
matemáticas de secundaria, se considera la política educativa existente en México desde
que la secundaria se fundó como ciclo específico hasta la última reforma realizada a este
nivel educativo en los años noventa, además de examinar aquellos elementos curriculares
abordados en el capítulo anterior: los objetivos; no sólo de los programas de matemáticas,
sino de la secundaria en general, los contenidos, las actividades, el enfoque didáctico y la
evaluación.
La política educativa
Dentro de este marco, la educación en todos los regímenes ha jugado un papel
importante, a través de las políticas educativas propuestas y puestas en marcha los
gobiernos han visualizado al sujeto y a la sociedad que quieren. En la década de los veinte, el país tras haber enfrentado una revolución interna el
panorama político, económico y social cambió, fue necesario tomar medidas políticas que
lograran satisfacer las demandas suscitadas durante la Revolución; una de las más
importantes y sin duda la base no sólo de la política gubernamental, sino también en lo
que respecta a política educativa fue la incorporación de los sectores menos privilegiados
al nuevo proyecto, con el fin de lograr la unidad nacional; entendida ésta como la
incorporación y participación de todos los sectores sociales, no importando el status
económico, el cual años anteriores había sido parte primordial.
Durante los años veintes se tomó como pilar la educación popular, la cual iba a
permitir lograr una uniformidad nacional iniciándose la expansión de la educación, no sólo
en el sector urbano, sino también en el rural como una forma de cumplir las demandas del
pueblo que se había levantado en armas durante la revolución.
En lo concerniente a la educación secundaria, ésta surgió como ciclo específico
casi a finales de la década de los veinte, considerando a este nivel como aquel que
permitiría acercar al pueblo a la educación y elevar la cultura. En los años treintas, siguiendo los ideales de la Revolución y al cuestionarse
nuevamente la organización social inequitativa que seguía habiendo en el país, además
de los fanatismos que en éste había, se optó por una educación socialista, su finalidad era
109
lograr la transformación de una sociedad inequitativa e injusta a una con mejores formas
de vida social y económica, tanto en los sectores urbanos como en los rurales. La
educación socialista continuó haciendo énfasis en la educación popular impulsada una
década antes, sólo que ésta promovió el predominio de la razón y las explicaciones
científicas, además hacía referencia a la enseñanza orientada hacia el trabajo.
Bajo la adopción de la corriente socialista, se reforma el artículo tercero y con esto
los propósitos de la educación secundaria, ésta tuvo como objetivo fundamental no sólo
fomentar la razón, sino además consideró la enseñanza orientada al trabajo, destinada no
sólo a preparar a los estudiantes únicamente para las profesiones libres, sino se
complementó con una formación con preparación técnica introduciendo las escuelas
prevocacionales.
En los treintas, se pudo observar una educación popular y de masas, no sólo por
que se dio un gran impulso al sector rural, sino además se tomó en cuenta la educación
dirigida a los obreros creando el Departamento de Educación Obrera, esta educación
tenía como fin mejorar el nivel educativo de los obreros para que adquirieran elementos
teóricos que en el ámbito laboral no podían adquirir.
En la década de los cuarenta tras una reforma al artículo tercero constitucional, que
cancelaría la educación socialista, el panorama cambió tomando de base la llamada
política de “Unidad Nacional”,encaminada a fortalecer la hegemonía del Estado; basada
en los principios de democracia surgió una vinculación entre educación y democracia
como una idea de relación deseable entre los individuos, las regiones y los miembros de
la comunidad internacional, así como también el mejoramiento económico social y cultural
del pueblo. La prioridad del Estado ya no era atender las demandas sociales, sino no las
demandas económicas del país, introduciéndose los términos de modernización a la
educación, la prioridad era lograr la “Unidad Nacional”, pero ya no para incorporar
aquellos sectores que habían estado marginados, como fue en la década de los veinte,
sino para apoyar al proceso de industrialización. Se retoma el planteamiento de la
educación orientada al trabajo expuesto en la década de los treinta, que en los años
cuarenta toma fuerza, dado que se inició el proceso de modernización del país a través de
la industrialización. La educación debía de responder a las exigencias económicas del
país y no a las sociales. En lo que se refiere a la secundaria se pudo observar este último
aspecto cuando se desintegró el Departamento de Educación Obrera; estas escuelas
secundarias fueron reestructuradas en escuelas secundarias para trabajadores; lo que
110
interesaba en estos años fue generar mano de obra para insertarlos a la producción y así
fomentar el proceso de industrialización del país.
Desde la década de los cuarenta, la industrialización no sólo trajo consigo un mejor
desarrollo económico, sino también interfirió en el ámbito educativo, ya que se dio inicio a
la expansión de la educación, en especial durante los años cincuenta y sesenta, al
considerar que al proporcionar educación a todos, los avances del país en el ámbito
económico iban a ser significativos.
En los años posteriores, de los años cincuentas a los sesentas, los gobiernos
continúan siendo influidos por las tendencias que se habían seguido durante el régimen
anterior, retomando los principios de democracia social introducidos en la década de los
cuarenta. Se puede decir que este período fue de consolidación, sólo que se consideró el
problema educativo como uno de los fundamentales, manifestándose una preocupación
por preparar mejor a la niñez y a la juventud, además de darse cuenta que tras cincuenta
años de haberse iniciado los cambios, no sólo en el sistema político, sino también en el
educativo los resultados no habían sido satisfactorios. Una de las acciones más
importantes llevadas a cabo fue la puesta en marcha del llamado “Plan Once Años”
(1959), el cual proponía una expansión cuantitativa de la primaria y modificaciones en los
planes y programas de estudio de la educación preescolar primaria, media y normal. En lo
referente a la secundaria, las reformas a los programas de estudio de secundaria fueron
mínimas.
Una de la acción puesta en marcha años anteriores a la elaboración de dicho plan,
el cual también la considero fue la política de expansión educativa, la cual consistió en
dotar de infraestructura, con el fin de satisfacer la demanda nacional y así permitir la
accesibilidad a la educación a toda la nación e ir incorporando lentamente a las escuelas
a aquellos sectores a los que no había sido accesible. Un ejemplo de esto se da en el
nivel de secundaria a finales de los sesentas, donde se comienza a utilizar la televisión
para la alfabetización a través de la telesecundaria.
Otro aspecto importante fue la vinculación escuela-trabajo introducida en los
treintas, la cual cambió su visión en los cincuentas, ya que no era una enseñanza para el
mejoramiento de los estudiantes, sino para su capacitación e inserción en el aparato
productivo. Desaparecen las secundarias prevocacionales y se introducen las secundarias
técnicas, en las cuales se desarrollarían actividades tecnológicas que proporcionarían una
formación para la incorporación al mercado de trabajo en caso de no proseguir los
estudios.
111
De la década de los cuarenta a los sesenta, la política no sólo fue orientada a lo
cuantitativo; lo que concierne a infraestructura, matricula etc., sino también se
contemplaron aspectos cualitativos, dado que se dio una revisión a los planes de estudio
de la educación preescolar, primaria, media y normal. En la educación secundaria los
cambios tuvieron que ver con la adaptación de ésta al desarrollo socioeconómico del país,
en especial abriendo opciones para actividades tecnológicas, haciendo más específica la
formación técnica, proporcionando conocimientos y habilidades tecnológicas más
generales.
En los setentas tras el fracaso del “Plan de Once Años” puesto en marcha una
década atrás, al ver los resultados negativos arrojados por este, y al considerar que no
basta con proporcionar aulas a todos para lograr elevar el nivel educativo, además de
tomar en cuenta que el país estaba en un proceso de cambio hacia una sociedad
contemporánea, y que era necesario dar cumplimiento a estos cambios, el gobierno del
Lic. Luis Echeverría bajo la política de “apertura democrática”, por medio de la cual trato
de reestablecer el equilibro roto en 1968; insistió en una concepción distinta,
reconociendo que el país necesitaba un plan que diera continuidad, coherencia y unidad a
la educación, además de modificar la estructura socioeconómica. Suponiendo a la
educación como un factor relevante de desarrollo, el gobierno se mostró confiado en que
el impulso a la educación disminuiría las desigualdades económicas y contribuiría a que
se diera un cambio social, dado que su propósito era modificar el modelo de desarrollo del
país, haciéndolo mas igualitario, y participativo, fomentando en los educandos una
participación activa; cambiando la concepción de enseñanza y aprendizaje.
Se impulsó el sistema educativo nacional de educación técnica para formar
personal capacitado, a fin de incrementar la producción. La preparación que daba la
escuela se redujo a proporcionar una cultura tecnológica y una capacitación de carácter
más general, orientado hacia perfiles ocupacionales. Los requisitos industriales,
comerciales, agropecuarios y pesqueros hicieron surgir instituciones técnicas como el
CONALEP., para lograr adaptar la educación a los requerimientos de la producción. El
plan escuela industria tenía como finalidad establecer comunicación y coordinación entre
el sistema nacional de educación y el aparato productivo.
En lo que corresponde a la secundaria, lo anterior se ve reflejado en la creación del
Consejo Nacional Técnico de la Educación (CONALTE.), órgano encargado de unificar y
coordinar los planes y programas, en los que se dio una orientación a la secundaria de
preingreso al trabajo, dándole impulso a las secundarias técnicas.
112
Se propuso una “Reforma Educativa”, la cual incluía una serie de acciones entre
las que se encontraban: la modificación de la SEP. a su estructura organizativa creando
cuatro subsecretarias, esto se considera el inicio de un proceso de descentralización que
en los noventas se concretó, además se elaboró una nueva Ley de Educación, en la cual
se sentaron las bases para organizar el sistema educativo nacional. Se retomó la política
de expansión de los servicios educativos, planteamiento expuesto durante los años
sesentas además se incluyó el mejoramiento educativo; orientado hacia un cambio en el
modelo social y económico del país. Hubo preocupación por elevar el rendimiento
educativo, además de incluir una renovación pedagógica centrada en la enseñanza
primaria cuyos programas y textos fueron totalmente reformados. Este último aspecto
también se dejó ver en la educación secundaria, ya que la organización de los programas
de estudio optó por dos estructuras programáticas por área o por asignatura.
Considerando a la educación como un proceso personal de descubrimiento y exploración.
En la década de los ochenta los objetivos centrales de la educación estaban
orientados a ofrecer acceso a la educación y la cultura a todos los mexicanos y a elevar la
calidad de la enseñanza; el primer objetivo tenía que ver con responder cuantitativamente
a la demanda educativa; el segundo contemplaba que en la medida en que se elevara la
calidad de la educación, la sociedad y el Estado podrían aspirar a que las siguientes
generaciones dispusieran de mejores posibilidades de satisfacer sus aspiraciones y las
del país. La calidad en educación retomaba tres aspectos: la enseñanza del maestro, el
aprendizaje del alumno y los contenidos y materiales didácticos.
En lo que se refiere a la calidad de la enseñanza se elevó la educación normal a
nivel licenciatura, con el fin de obtener un personal más calificado, además se desarrollan
programas de actualización y capacitación docente.
Se retomó la reorganización del sistema educativo anunciando una plena
descentralización de la enseñanza básica, la cual se distinguió del proyecto de los
sesentas, ya que implicaba la transferencia de la educación a los gobierno estatales, sin
embargo no se logró concretar.
Durante estos años también se notó una clara preocupación por vincular la escuela
al sector productivo, no para formar mano de obra como en décadas anteriores, sino para
preparar mejor a los estudiantes, dado que las exigencias de la realidad exigían una
mayor y mejor preparación.
Finalmente en los noventas, la crisis económica de los años ochentas influyó en la
política educativa, el país estaba en una etapa de auge en cuanto a modernización y tras
113
un diagnóstico llevado a cabo, se reconoció una serie de problemas entorno a la
educación, lo cual exigió cambios, no sólo en cuanto a política educativa, sino al sistema
educativo en general.
En 1992, mediante la firma del Acuerdo Nacional para la Modernización de la
Educación Básica (ANMEB.), el cual tenía como fin corregir las desigualdades educativas
nacionales y mejorar la calidad en la educación; política iniciada en los ochentas, éste
proponía tres estrategias fundamentales: la reorganización del sistema educativo, la
reformulación de contenidos y materiales y la revaloración social de la función magisterial.
La descentralización o federalización de la educación, la cual se había iniciado
durante la década de los sesentas y continuó en los ochentas mediante proyectos e
iniciativas, pero no fue hasta el sexenio de Carlos Salinas de Gortari (1988-1994) que se
retoma el proyecto provisto por de la Madrid y se logra su aprobación; en la federalización
de la educación intervendrían las autoridades locales en la política educativa.
Dentro del ANMEB. se contempló una revisión curricular de los planes y programas
de estudios, bajo la exigencia de elevar la calidad de la educación, política impulsada
desde la década de los ochentas. En la secundaria se reforman los programas, donde su
organización regresa por asignaturas, estos planes entran en vigor en 1992.
Otro aspecto que se retoma fue la actualización y formación del magisterio; se
origino la “carrera magisterial”, proyecto por el cual se beneficiaría la calidad de los
docentes, con el fin de impulsar la calidad de la educación e implicaría someter por
primera vez a evaluación a los docentes.
La política educativa de esta década continuó con el planteamiento de la calidad en
educación, y retoma la expansión, mejoramiento y elevación de la educación, esto último
se deja ver en la modificación a la Ley Federal de Educación y al artículo tercero en 1993,
donde se confería el carácter obligatorio a la educación secundaria.
Definición y objetivos de la educación secundaria
Desde su fundación como ciclo específico, la educación secundaria ha presentado
un conflicto en relación con sus finalidades. Las reformas que se han realizado a este
nivel educativo han incorporado o suprimido algunas de sus concepciones.
La secundaria ha sido considerada una institución destinada principalmente a los
adolescentes, que junto con la primaria proporciona conocimientos y cultura general,
siendo una ampliación de la primaria. Además la secundaria se ha visto ligada con los
114
estudios superiores, y necesaria para ingresar a estos, además en ocasiones se le ha
reconocido como escuela para el trabajo.
Este conjunto de finalidades se pueden agrupar en cuatro orientaciones: la
formativa, propedéutica, para el trabajo y la social; estas orientaciones han sido
dominantes y en ocasiones se encuentran ligadas entre ellas.
La primera rescata dotar a los alumnos de conocimientos y cultura general. La
propedéutica tiene que ver con la preparación para realizar estudios superiores. La
preparación para el trabajo, que pretende insertar al individuo en la vida productiva. Y por
último, la orientación social la cual tiene que ver con la enseñanza de valores y formar
ciudadanos para la nación, considerando a la educación como un factor importante de
desarrollo del país. En la década de los veinte se planteó como objetivo preparar al individuo como
futuro ciudadano, el cual cooperara en la sociedad, además de desarrollar en el una
personalidad independiente y libre.
Durante esta década se hizo énfasis en el sentido popular y nacionalista de la
educación; los objetivos planteados para la educación secundaria incluían la preparación
del individuo como ciudadano, donde se deja ver la función social, la cual estaba
orientada a la integración de los individuos a la nueva nación, como miembro cooperador
de una sociedad, donde participaría activamente a favor del país.
Por último contemplaba el desarrollo individual a través del desarrollo de
habilidades y la adquisición de conocimientos, donde se ve reflejada una orientación
formativa.
En la década de los treinta se continuó teniendo una visión formativa, la educación
secundaria impartía conocimientos generales. Se incluyó la orientación propedéutica
dentro de sus objetivos, el preparar para una educación superior. Sin embargo, las
orientaciones que tomaron más fuerza fueron la social y la destinada al trabajo; La
orientación social se vio manifestada en la adopción de la corriente socialista en
educación, lo primordial era formar ciudadanos los cuales desarrollaran la justicia social y
solidaridad; por otro lado, la orientación para el trabajo el cual preparaba al estudiante
para éste.
En los años cuarentas en la reforma de 1946, se fortaleció el carácter propedéutico,
no sólo para continuar con estudios preparatorios, sino también sería necesaria para
estudios vocacionales técnicos, conservó el carácter formativo considerándola como una
ampliación de los conocimientos abordados en la primaria.
115
En la reforma de 1964, se retomaron las cuatro orientaciones; la propedéutica
donde se le proporcionaría todos los conocimientos necesarios para ingresar al ciclo
preparatorio o en la vocacional técnica, la formativa en la cual se fomentó el
desenvolvimiento del alumno iniciado en la primaria, la preparación para el trabajo;
capacitándolo para realizar alguna actividad, con el fin de insertarse en la vida productiva
del país. Y la social, donde se le fomentó el amor a la patria inculcándole valores,
encauzando su sentido de responsabilidad y su colaboración social; lo cual tuvo que ver
con el impulso de la “Unidad Nacional” como política. Con la “Reforma Educativa” llevada a cabo en 1974, la educación secundaria
desarrollaría en el alumno una personalidad crítica y un desarrollo integral, además de
que proseguiría con la labor de la primaria, situando a la educación secundaria dentro de
un aspecto formativo. Dentro de la orientación social fortalecería las actividades de
solidaridad y justicia social, inculcaría el amor a la patria. Se incluyen conjuntamente la
orientación propedéutica y para el trabajo, donde se le proporcionaría todos los elementos
que le permitan tener acceso a un nivel superior e ingresar al ámbito laboral.
En los noventas, la finalidad de la secundaria fue la de ampliar y profundizar los
contenidos de los niveles precedentes, con el propósito de sentar las bases para la vida
productiva y preparar a los estudiantes para proseguir sus estudio. En estos años fue
donde la secundaria comenzó a formar parte de la educación básica (junto con el
preescolar y la primaria), vinculándose más con el ciclo anterior, la primaria.
En esta década las finalidades de la secundaria incluyen únicamente tres
orientaciones: la formativa, propedéutica y para el trabajo. De acuerdo con lo anterior, los objetivos de carácter propedéutico han sido
constantes desde la reforma de 1935, pero no han tenido la misma importancia.
Los objetivos que se orientan hacia la formación del individuo están presentes en
todas las reformas, aunque asumen características particulares.
En cuanto a los objetivos que se refieren a la preparación para el trabajo han tenido
diferente importancia, por un lado está la opción vocacional que se relaciona con lo
propedéutico como fue en la reforma de 1935 y 1946, donde estaba orientado al
descubrimiento de habilidades y destrezas; en la reforma de 1964 se vinculó con la
capacitación y en 1974 y 1993 era como formación general de preingreso al trabajo o que
le permita continuar o recibir capacitación para lograr incorporarse al sector laboral.
116
Los objetivos que incluyen la orientación social, tiene que ver con el momento
histórico y político que se estaba viviendo en el país y las políticas gubernamentales de
cada sexenio.
Objetivos de los programas de matemáticas
El análisis que a continuación se presenta es sobre los objetivos generales y
específicos de los programas de matemáticas descritos en el capítulo anterior, para el
análisis sólo se toma en cuenta los objetivos que son expresados explícitamente en los
documentos consultados.
Como se mencionó en el capítulo dos, los objetivos son uno de los elementos
esenciales dentro de un diseño curricular; es donde se hace explícito lo que se quiere y lo
que se espera. Los objetivos generales sólo sirven de referencia, no proporcionan criterios
claros para el diseño de actividades, a diferencia, los objetivos específicos son
enunciados más precisos.
Para realizar el análisis de los objetivos generales y específicos, se tomó en cuenta
la existencia de diferentes tipos de objetivos de aprendizaje; diversos autores los han
clasificado de diferente manera. En este caso, nos basaremos en la clasificación hecha
por Zarzar82, donde específica dos tipos generales de objetivos: los de tipo informativo y
los objetivos formativos.
Los objetivos de tipo informativo, se refieren a la información con la que el alumno
entra en contacto. Dentro de este tipo de objetivos existen tres niveles: el conocer,
comprender y manejar los contenidos.
Los objetivos de tipo formativo, se refieren a la formación intelectual (adquisición de
métodos, habilidades ó destrezas, actitudes y valores de tipo intelectual); a la formación
humana (adquisición o fortalecimiento de actitudes y valores como individuo); a la
formación social (desarrollo de actitudes y habilidades por parte del alumno en relación
con otros) y la formación profesional (el desarrollo de actitudes, valores y habilidades
enfocados hacia un futuro profesional).
Objetivos generales de los programas de matemáticas.
Los programas de matemáticas de 1928, planteaban una serie de propósitos
generales para los tres grados, en los cuales se observa la presencia de características
que en su mayoría son de tipo informativas; tomando en consideración contenidos
82 Zarzar, Chaur Carlos, Habilidades básicas para la docencia en la escuela secundaria, Patria, México, 1994.
117
especialmente aritméticos, geométricos y algebraicos. La información brindada al alumno
muchas de las veces no sólo pretendía quedarse en una transmisión de conocimientos,
sino además se intentó retomar la comprensión y manejo de los contenidos; dado que se
explicita el entender y aplicar algunos conocimientos en situaciones teóricas (como eran
fórmulas ó enunciados de leyes) y en especial en situaciones prácticas que presente en
su vida. Se quiso retomar algunas características de tipo formativo, pero sólo se hacía
explícito el desarrollo de hábitos y destrezas necesarios para resolver problemas
matemáticos.
Los programas se formularon teniendo en cuenta la necesidad de hacer accesibles
al alumno las matemáticas como ciencia, para que las comprendieran y se dieran cuenta
de su utilidad.
Para los programas de matemáticas de 1939 no se realizó el análisis, ya que hay
una ausencia explicita de objetivos generales en los programas.
Los objetivos generales de los programas de matemáticas de 1946, siguen
presentando características de tipo informativas, aunque a diferencia de los objetivos de
1928; donde se vio reflejado un interés por transmitir cierto tipo de temáticas, en los
objetivos de 1946 no sólo se quería dotar a los alumnos de información, sino además, se
pretendía que los alumnos pudieran entender esa información para así poder aplicarla en
la solución de problemas de la vida diaria. Asimismo se planteaban algunas
características de carácter formativo, donde se planteaba desarrollar en el alumno
habilidades como la observación, investigación y generar en ellos una actitud crítica que
los pudiera conducir a algún tipo de razonamiento necesario para validar formulaciones de
la matemática o razonamientos realizados por él mismo.
Otro aspecto importante era que se pretendía darles a conocer a la matemática
como ciencia, donde todos los fenómenos físicos, biológicos, sociales están sujetos a ella
y así darse cuenta lo que como ciencia ha aportado. A través de este acercamiento, a los
alumnos les podrían interesar y comenzar a explorar sus posibles aptitudes y
encaminarlas, inclinándose por un futuro estudio de esta ciencia; introduciendo aspectos
formativos orientado hacia lo profesional.
En los objetivos de ese año, se observan dos visiones de la matemática: una
matemática para la vida, no sólo como parte de una cultura necesaria, sino además con
una utilidad y una matemática como un ciencia exacta con un sistema de verdades
rigurosamente organizada.
118
En los objetivos generales de 1964, continúan presentes características
principalmente de tipo informativo, considerando instruir o impartir conocimientos
generales como una parte importante. Se vuelve a rescatar la aplicación de estos
conocimientos de forma útil en la vida.
Se observa una presencia de objetivos formativos, orientados a desarrollar
habilidades, actitudes y principalmente hábitos y destrezas como eran: la exactitud y la
rapidez en los cálculos; que le serían útiles a los alumnos en su vida diaria. Se retoma
nuevamente despertar y desarrollar actitudes encaminadas a la investigación y a la crítica,
así como la observación y reflexión aplicada a diferentes situaciones matemáticas.
Por otro lado, se vuelve a mostrar a la matemática como el medio por el cual los
alumnos podrían descubrir ciertas capacidades ó aptitudes relacionadas con esta ciencia
y sus ramas; la finalidad era despertar en el alumno alguna simpatía o inclinación por
alguna carrera ó actividad ligada a la matemática.
La visión de las matemáticas en los programas de 1964, continuó presentando a
una matemática como ciencia, la cual tiene sus propios métodos y validaciones. También
retoma a una matemática con una visión utilitaria, que proporciona conocimientos
necesarios, los cuales pueden ser aplicados a situaciones prácticas. En los objetivos generales de matemáticas de 1974, se observa un cambio en el
tipo de objetivos que se planteaban; dado que se presentan objetivos con características
más formativas que informativas. Dentro de lo formativo, se planteaba que mediante el
aprendizaje de las matemáticas se fomentaría en los alumnos una actitud de pensar en
forma matemática, promoviendo este tipo de razonamiento, el alumno desarrollaría
habilidades, destrezas, actitudes, las cuales permitirían lograr un desenvolvimiento
integral.
Se toma en cuenta a la matemática orientada hacia una formación profesional, pero
desde una perspectiva diferente a la planteada en los programas de 1946 y 1964, en los
programas de 1974 la formación profesional iba orientada a dotar al alumno de los
antecedentes educativos necesarios para acceder a estudios superiores, ya fueran estos
técnicos o científicos.
La presencia de objetivos informativos era reducida y sólo se centra en la obtención
de conocimientos matemáticos básicos, considerados necesarios para incorporarse a la
vida económicamente activa.
Un aspecto primordial en los objetivos generales era que se plantea la utilización
de la matemática como un lenguaje técnico, como una forma de comunicación universal,
119
lo cual se ve reflejado no sólo en los objetivos generales, sino en todos los programas de
ese año; la utilización de un lenguaje más preciso. Aspecto que no se ve presente de
forma explicita en los objetivos generales de los demás programas.
La visión de las matemáticas en los programas de 1974, presentan a una
matemática como lenguaje, por medio del cual el alumno iba estudiar matemáticas a base
de matemáticas, además de considerar que como ciencia presenta sus propias
limitaciones, continuó presente ese carácter útil en diversos ámbitos. La enseñanza de las matemáticas de 1993, apunta más hacia características
formativas que a las de tipo informativo. Dado que no sólo proporciona al alumno una
parte importante del acervo cultural, también desarrolla en el alumno nociones y
conceptos, no sólo aplicables en los propios procedimientos matemáticos, sino además
pueden ser trasladados a otras situaciones. La matemática es considerada desde un
punto de vista formativo, dado que considera que el pensamiento del alumno está ligado a
su experiencia personal, se busca estimular un pensamiento reflexivo y creativo, con el fin
de impulsar procesos de autoaprendizaje que le permitan adquirir procedimientos
generales necesarios para la construcción de conceptos.
Un aspecto importante es la presencia de la resolución de problemas como eje
fundamental de la enseñanza de la matemática, la resolución de problemas
contextualizados contribuirá a que el alumno comprenda de mejor manera y descubra sus
propias estrategias, asimismo los alumnos den significado a las nociones y
procedimientos matemáticos aprendidos.
La visión de la matemática no es una matemática acabada, sino una matemática
que continúa construyéndose. Se puede decir, que los objetivos generales planteados en los programas de 1928,
1946, 1964 eran principalmente objetivos informativos, centran su atención en trasmitir al
alumno un conjunto de conocimientos generales considerados necesarios. Se intentan
rescatar algunas características formativas, como era el desarrollo de hábitos y destrezas
necesarias para el propio conocimiento de la matemática, así como para aplicarlas en la
vida diaria.
En los programas de 1946 y 1964, presentan objetivos formativos, en los cuales se
fomenta una actitud hacia la investigación y la crítica, así como también se observa el
fomentar y promover en los alumnos un interés por el estudio de esta ciencia.
A diferencia de los objetivos generales de 1928, 1946 y 1964, en los objetivos de
1974 y 1993, si bien continúan considerando los conocimientos matemáticos como una
120
parte importante del acervo cultural, el énfasis se encuentra en los objetivos de tipo
formativo, aunque en cada programa se manifiestan de diferente manera. En los objetivos
de 1974 se pretendía promover una actitud de pensar de forma matemática, a partir del
conocimiento de la estructura lógica de esta ciencia; donde el alumno desarrollaría
habilidades, hábitos, destrezas y actitudes que le permitirían un desenvolvimiento integral,
es decir, a partir de aprender matemáticas se desarrollarían. Un aspecto importante que
no había sido retomado en los demás programas; era la utilización de la matemática como
un lenguaje técnico y preciso. En los objetivos generales de 1993, lo que se pretende es
llevar a los alumnos a procesos de autoconstrucción; donde al brindarles una nueva
información y relacionarla con las creencias ó pensamientos que el alumno trae se
construiría un nuevo aprendizaje, por lo que se requería el desarrollo de ciertas
habilidades de pensamiento y de descubrimiento.
Un aspecto importante, es que en todos los programas se rescata la utilidad de las
matemáticas, la mayoría de las veces rescatando su aplicación en situaciones de la vida
diaria. Asimismo, se puede decir que la visión de las matemáticas en el programa de 1928
se quería dar a conocer a una matemática no rigurosa y accesible para el alumno, como
un instrumento que todos ocupan, en los programas de 1946 y 1964, la matemática era
vista como una ciencia exacta, la cual cuenta con un sistema riguroso, con métodos y
validaciones. En los programas de 1974 se observa a la matemática desde una
perspectiva diferente dado que se presenta a una matemática como lenguaje, donde por
medio del estudio de ésta ciencia el alumno iba aprender a hacer matemáticas. En los
programas de 1993 se presenta a una matemática que continúa en constante
construcción y que incluso el alumno puede construir.
En 1928, como se mencionó anteriormente se considera a la matemática como un
instrumento que todos ocupan planteando el carácter útil de la matemática; en 1946 y
1964 continúa presente ese carácter útil y se reconoce a la matemática como una ciencia
que proporciona conocimientos básicos necesarios, los cuales pueden ser aplicados en la
vida. En 1974, conserva el carácter útil pero no sólo en situaciones prácticas, sino puede
ser aplicable en diversos ámbitos.
Objetivos específicos de los programas de matemáticas
El análisis de los objetivos específicos por grado no pretende ser un análisis
profundo de estos; sólo se quiere dar a conocer algunas características generales que
121
permitan tener un punto de comparación entre estos y los objetivos generales planteados
para cada programa; con el fin de constatar la posible congruencia o el rompimiento entre
estos.
Cabe señalar que existen ausencias de objetivos específicos en algunos
programas de estudio, por lo que el análisis sólo se centra en aquellos que se encuentran
presentes en los documentos oficiales.
Objetivos de los programas de matemáticas de primer grado
Como se mencionó anteriormente, en los programas de primer grado de 1928,
1939 y 1946 no se encuentran presentes en los documentos objetivos específicos para
este grado. La formulación de objetivos específicos en el programa de primer grado de 1964,
continúan presentes características informativas; aspecto observado en los objetivos
generales de ese año. Haciendo énfasis en el manejo de los números y la ejecución de
las operaciones fundamentales consideradas necesarias para resolver problemas;
principalmente se ve la presencia del estudio de la aritmética.
Uno de los aspectos considerados en los objetivos generales, era orientarlo
profesionalmente, despertar en el alumno algún interés o inclinación por un futuro estudio
de alguna carrera a fin a la matemática; en los objetivos se observa que la enseñanza de
las matemáticas en el primer grado al igual que en los programas anteriores, pretendían
completar los conocimientos que el alumno traía de la escuela primaria y capacitarlo para
continuar con estudios superiores; más no se específica una inclinación por carreras
afines a la matemática, tampoco se rescata el descubrimiento de aptitudes o capacidades
que le permitieran considerar un estudio profesional de esta ciencia.
Como se mencionó en el apartado anterior, en los objetivos generales de este año
hay un intento por rescatar características formativas, existe una congruencia con lo
planteado en los objetivos generales; dado que se vuelve a mencionar la formación de
hábitos de limpieza, orden, claridad, exactitud, rapidez, tanto en el cálculo como en la
solución de problemas, además del uso correcto de símbolos y notaciones de las
unidades de medida, así como el manejo de útiles de geometría.
Igualmente, se retomó el despertar el espíritu de investigación y crítica como un
medio de mejoramiento personal.
122
Los objetivos del primer grado de 1974, se vio reflejado el interés por que a través
del conocimiento de aspectos más formales de la matemática, el alumno comenzaría a
desarrollar un pensamiento matemático que lo condujera a desarrollar ciertas habilidades.
En los objetivos se aprecia aquella matemática pura, con conceptos, operaciones,
teoremas, demostraciones y con un lenguaje preciso, es decir, con una estructura lógica
que permitirá al alumno conocer en que se apoya cada razonamiento matemático
estudiado. También se retoma aplicar ciertos aspectos estudiados en la solución de
problemas de la vida diaria.
Un aspecto importante, es que en los programas de 1974, se dio un cambio en la
forma en que se enuncian tanto los objetivos generales como los específicos, concibiendo
a los objetivos como la formulación explícita y precisa de los cambios que se esperan en
los alumnos como resultados del proceso de enseñanza y aprendizaje, es decir los
objetivos iban a describir el tipo de comportamiento que se espera que adquiera el
alumno, de tal modo que pueda ser observable para así reconocer el aprendizaje
buscado. Basándose en el modelo por objetivos conductuales; donde existe una
preocupación por los resultados de la enseñanza, pensando en la educación como un
medio para obtener fines.
Así, tanto en los objetivos generales como en los específicos en cada grado se
pueden observar estas características, asimismo en el caso de las matemáticas se ve un
alto grado de ejecución, un uso de un lenguaje concreto, así como la adquisición de
conocimientos y/o habilidades específicas. Estos aspectos sólo se presentan en los
programas de 1974.
En los objetivos de primer grado de 1993, si bien continúan presentando
características informativas. Principalmente se observa un cambio en la forma de
expresar los objetivos, dado que se quiere llevar al alumno a enriquecer y practicar los
conocimientos que trae, así como iniciarlo y familiarizarlo con aquellos que aun no
conoce. Presentan la resolución de problemas como el eje de enseñanza y aprendizaje.
Dos aspectos son importantes , la utilización de la calculadora como auxiliar, la
utilización de la estimación mental, así como el desarrollo de la imaginación espacial;
aspectos que no habían sido señalados en los demás programas de estudio de este
grado.
123
Objetivos en los programas de matemáticas de segundo grado Al igual que en los programas de primer grado, en los programas de segundo de
1928, 1939 y 1946, no se encuentran presentes en los documentos oficiales los objetivos
específicos para este grado. Por lo que sólo son analizados los de 1964, 1974 y 1993. Los objetivos específicos para el segundo grado del programa de 1964,
presentaban un interés por dar a conocer contenidos relacionados con el álgebra. Sin
embargo, hay una ausencia de aspectos mencionados en los objetivos generales como: la
formación de hábitos de limpieza, orden, rapidez entre otros, así como despertar un
espíritu hacia la investigación y crítica. En los objetivos de segundo grado de los programas de 1974, continúan
manteniendo una inclinación por dar a conocer a los alumnos aspectos más formales de
la matemática; aspecto que se ve reflejado en el lenguaje utilizado en los objetivos de los
tres grados. Continúan presentes contenidos matemáticos. Al igual que en los programas
de primer grado, la formulación de objetivos era más precisa, donde se describe el
comportamiento que se quiere que logren los alumnos.
Un aspecto que no se mencionaba en los objetivos de primer grado, era el
desarrollo de aptitudes estéticas y psicomotoras a través de la aplicación de la geometría.
No se aprecia la aplicación de aspectos estudiados en la solución de problemas de
la vida. Sólo se ve presente en la solución de problemas matemáticos. En los objetivos de segundo grado de los programas de 1993, al igual que en los
programas de primer grado continúan presentes aspectos informativos inmersos en los
objetivos.
Como se había mencionado, el interés no se centra únicamente en lo informativo,
sino más bien en lo formativo, de ahí la diferencia en la forma de enunciar los objetivos,
en los programas de 1993 no hace énfasis en los contenidos; sino en la forma en que el
alumno va a entrar en contacto con ellos y a hacerlos suyos. Continúan presente la
resolución de problemas como eje de enseñanza, además de la estimación mental, el uso
de la calculadora y el desarrollo de la imaginación espacial, así como el uso de
instrumentos de dibujo y medida.
124
Objetivos específicos en los programas de matemáticas de tercer grado
Como en los grados anteriores para el tercer grado existe la ausencia de objetivos
específicos en los programas de 1928, 1939, y 1964; por lo que se realiza el análisis
únicamente de los programas de 1946, 1974 y 1993.
En el programa de 1946 sólo se encontraron presentes los objetivos específicos
para tercer grado; los cuales presentan características informativas; se pretendía
capacitarlos o instruirlos en el empleo del simbolismo algebraico, como un medio de
expresión sintético y exacto, así como saber leer e interpretar representaciones gráficas
que le pudieran servir en la solución de problemas personales.
Se rescatan características formativas señaladas en los objetivos generales, como
desarrollar una actitud hacia la investigación, lo que le daría los medios para investigar
leyes cuantitativas que son aplicables a fenómenos físicos, biológicos y sociales.
Continúa presente la aplicación de contenidos estudiados en la solución de
problemas de la vida diaria. Un aspecto no rescatado, era el fomentar el interés por un
futuro estudio de la matemática. Para los programas de 1974 de este grado, al igual que en los anteriores
programas de este año, los objetivos estaban planteados en términos de resultados de
aprendizaje en el comportamiento del alumno, además de continuar usando un lenguaje
matemático formal. Se observa una ausencia explicita de la aplicación de estos
conocimientos en la vida diaria, así como considerar estos contenidos como necesarios
para acceder a estudios superiores.
Un aspecto presente en los programas de segundo y que se vuelve a retomar, es el
desarrollo de aptitudes estéticas y psicomotoras a través del estudio de la geometría. En los programas de tercer grado de 1993, los objetivos continúan con más
características formativas que de tipo informativo, si bien se encuentran enunciados
contenidos, se observa un interés por la forma en que el alumno va a familiarizarse con
ellos, practicarlos y utilizarlos. Continúa presente el desarrollo de la imaginación espacial,
así como el uso de la estimación de errores: no se señala el uso de la calculadora como
en los grados anteriores. Asimismo se enfatiza en la resolución de problemas.
Por lo tanto, en el análisis de los objetivos generales como específicos se ven
reflejadas diferencias en cuanto a la forma en que fueron presentados ó enunciados, así
como en el tipo de características que estos presentan, ya sea informativa o formativa.
125
En cuanto a la forma de enunciar los objetivos, se puede decir que no es uniforme
y se observan diferencias en cada programa. Los objetivos en los programas de 1928,
1946 y 1964, eran principalmente objetivos informativos, se concretan a partir de los
contenidos , los cuales poseen características importantes para la formación de los
alumnos y era tarea de la enseñanza organizarlos. En los programas de 1974, los
objetivos presentan características formativas, sin embargo estos fueron formulados en
función de los resultados esperados, se identifican los procesos cognitivos más
importantes con el fin de preparar un conjunto de destrezas que pueden generalizarse.
Los objetivos de 1993, también presentan características formativas, pero a diferencia de
los de 1974, estos se plantean a partir de actividades; en este caso la resolución de
problemas , los cuales se considera que poseen un valor formativo.
Contenidos en los programas de matemáticas Para llevar a cabo el análisis de los contenidos que se encuentran dentro de cada
programa de estudio revisado en este trabajo, sólo se toma en cuenta los contenidos de
aritmética y álgebra. Se elaboraron una serie de cuadros, los cuales fueron ordenados por
las principales temáticas que se abarcan en el estudio de estas dos ramas.
Asimismo, dentro de cada temática se clasificó a los contenidos por subtema, lo
que permitió visualizar de manera general las presencias y ausencias, así como los
contenidos que sólo estaban presentes en un programa en específico y la dominancia de
ciertas temáticas.
En el análisis de los contenidos únicamente se ubica cuales han sido los cambios
que se presentaron desde la década de los veinte hasta la última reforma llevada a cabo
en 1993 en cada una de las temáticas presentes en los tres grados. Se realizó el análisis
por temática en cada grado, tomando en consideración las relaciones entre grados.
Contenidos de aritmética en los programas de estudio.
Los contenidos que abarcan los programas de primer grado principalmente son:
números y sus operaciones, sistemas de numeración, números primos, sistemas de
pesas y medidas, raíz cuadrada, razones y proporciones.
Números y sus operaciones se encuentran presentes en los seis programas
revisados, toman en consideración el estudio de las cuatro operaciones con diferentes
conjuntos de números, especialmente con enteros, decimales y naturales, los cuales se
encuentran en todos los programas excepto en el programa de 1993, el cual sólo trata
operaciones con números naturales y decimales. En 1928, 1939, 1946 y 1964, con
126
números denominados. Hay una presencia de números mixtos en 1928 y 1964. El estudio
de números ordinales y cardinales está presente en los programas de 1946 y 1964, en
1974 se encuentran únicamente los números cardinales. Asimismo, se estudia las
propiedades de las operaciones que están presentes en los programas de 1939, 1946,
1964 y 1974, así como su comprobación o verificación que está en todos los programas
de primer grado.
También, dentro de los números y operaciones se toman en cuenta operaciones
con fracciones. En 1928, 1939, 1946, 1964 y 1974 se revisan las cuatro operaciones
fundamentales, en 1993 sólo se revisa la adición y sustracción de fracciones. En todos los
programas se toma en cuenta las fracciones comunes y decimales; en 1946 también se
considera la conversión de fracciones a tanto por ciento. En 1964 se toma en
consideración la potencia de fracciones, las raíces cuadradas de fracciones, además de
los conceptos de número irracional y racional. En 1993 se trata las fracciones reducibles e
irreducibles.
Los números enteros se hallan en todos los programas excepto en el de 1974, en
los programas de 1939, 1946 y 1993 se trata las operaciones con números positivos y
negativos; únicamente en el programa de 1993 están presentes las reglas de los signos. El programa de 1993 es el único que considera el estudio de números truncados o
redondeados para estimar resultados. Los sistemas de numeración se encuentran presentes en los seis programas,
donde el estudio del sistema decimal está presente en todos los programas. También se
toca el estudio del sistema romano, éste se encuentra en todos los programas excepto en
el de 1928, en el de 1939 sólo se limita a la numeración de capítulos y fechas. El egipcio
aparece a partir de 1964 hasta 1993, en éste último toma en cuenta sus principios. El
maya está presente en 1964 y 1993 y en éste último además se estudia sus principios. En
los programas de 1974 y 1993 se considera el estudio de sistemas posiciónales con base
distinta a diez, en el de 1974 se menciona el sistema binario y base cinco en donde
además se toman en cuenta sus principios, en el de 1993 no se específica que bases. Números primos no se encuentran presentes en los programas de 1928 y 1946. En
1939, 1964 y 1974 se estudia el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, así
como la divisibilidad que también se encuentra en 1993, donde se estudian sus
propiedades al igual que en 1974, asimismo en estos dos últimos programas además se
revisa múltiplos y divisores de un número. En los programas de 1964 y 1974 se revisa la
127
criba de Eratostenes. En 1974, además se presenta la clasificación de números naturales
en primos, compuestos y unitario. Los números compuestos también se encuentran en
1964, así como también conceptos básicos referentes a números primos como son:
múltiplo, submúltiplo, non y par. El sistema de pesas y medidas está presente en la mayoría de los programas,
excepto en el de 1993. En todos los programas se maneja el sistema decimal de pesas y
medidas, en los programas de 1928 y 1939 no se específica que unidades se van a
manejar, en 1946 sólo se encuentran presentes unidades de longitud, capacidad, peso,
en 1964 unidades de longitud, superficie, volumen, capacidad, peso y en 1974 sólo se
revisan las unidades de longitud.
En los programas de 1928, 1946 y 1964 se encuentra presente el sistema de pesas
y medidas inglesas, en los dos primeros programas mencionados sólo se menciona las
unidades de longitud como son yarda, pulgada y pie, y en el de 1964 están las unidades
de longitud, velocidad marina, agrarias, de peso y capacidad. Cabe mencionar que en
este programa también se estudian algunas medidas mexicanas antiguas donde se
revisaban unidades de longitud, agrarias, de capacidad y peso.
En los programas de 1939, 1946 y 1964, se revisa la conversión de unidades. La raíz cuadrada se encuentra presente en todos los programas, excepto en el
1974, en 1928, sólo se estudia una noción de raíz cuadrada, en 1946 se revisa la notación
y el concepto de raíz cuadrada, en 1964 la extracción de raíz de números decimales y de
fracciones comunes, raíces inexactas, así como la raíz cuadrada perfecta. En los
programas de 1939 y 1993 se revisa la extracción de la raíz cuadrada apoyada en tablas
y en el último se incluye también el uso de la calculadora. Razones y proporciones se encuentran presentes en todos los programas
revisados, en 1939,1946, 1964, 1993 se estudia a la razón como cociente de dos
cantidades. En los programas de 1964 y 1974, se revisa las magnitudes proporcionales y
directamente proporcionales, donde en el último programa señalado se ven sus
propiedades, en 1964 además se encuentran magnitudes inversamente proporcionales.
En el programa de 1964 además se alude a la tercera proporcional y la cuarta
proporcional que también está en el programa de 1946, en este mismo programa también
se revisa el cálculo de un término desconocido de una proporción. En los programas de
1993 únicamente se trata la variación proporcional. En todos los programas también se
propone el estudio de porcentajes, excepto en el 1974.
128
Los contenidos de aritmética de segundo grado principalmente son: números y sus
operaciones, números primos, sistemas de pesas y medidas, raíz cuadrada y razones y
proporciones; desapareciendo el tema de sistemas de numeración. Con respecto a números y sus operaciones sólo se encuentran en los programas
de segundo de 1974 y 1993; en el primer programa se sigue revisando los números
racionales y sus propiedades. En el programa segundo de 1993 continúa presente las
operaciones con naturales y decimales; se toma en cuenta el cálculo mental y la
estimación de resultados, así como la notación científica usando la calculadora. También
en los dos programas se propone el estudio de fracciones, donde continúa el estudio de
fracciones comunes y decimales. En el programa de segundo de 1993, se vuelve a
retomar la adición y la sustracción de fracciones, además en este grado se trata la
multiplicación y división de fracciones, así como la equivalencia de fracciones.
El estudio de los números primos sólo está presente en los programas de segundo
de 1946 y 1993. En el programa de 1946, se pospone su estudio a este grado, se
encuentran temas como factores primos, descomposición en factores, múltiplo y divisor
común, menor múltiplo común y máximo divisor común. En el programa de 1993 se trata
el máximo común divisor y el mínimo múltiplo común, además de los números primos y
compuestos y la factorización de los números primos y sus aplicaciones.
En cuanto al estudio de sistemas de pesas y medidas sólo sigue presente en el
programa de segundo de 1928, considerando el estudio del sistema métrico decimal. La raíz cuadrada en los programas de segundo sólo se encuentra presente en
1928, 1939 y 1946, en los tres programas se considera la extracción de la raíz cuadrada
por medio del procedimiento general; en 1946 se específica la extracción con números de
cuatro a cinco cifras enteros y fraccionarios. Razones y proporciones se encuentra presente únicamente en los programas de
segundo de 1928, 1939 y 1964. En los programas de 1928 y 1939 se revisa la variación
directa e inversa, así como las propiedades de la proporción. A diferencia, en los
programas de segundo de 1964, se trata los conceptos de razón y proporción; continúa
presente la cuarta proporcional, tema presente en primer grado, además de la media
proporcional.
129
En los programas de tercer grado, principalmente los contenidos son: números
primos, raíz cuadrada, razones y proporciones.
En cuanto a números primos, sólo están presente en 1964, continúan temas
presentes en segundo como el mínimo múltiplo común y máximo común divisor y la
divisibilidad. La raíz cuadrada, sólo se trata en 1928 y 1993, en este último programa se toma
en cuenta el cálculo de la raíz por diversos métodos.
En los programas de tercer grado el tema de razones y proporciones se encuentra
en casi todos los programas, excepto en el de 1928 y 1993. En los programas de 1939 y
1946 se revisa las cantidades directamente proporcionales, en este último programa se
trata también las cantidades inversamente proporcionales, además de los teoremas
relativos a propiedades de la proporción. En 1939 se estudian las propiedades de la
proporción. En el programa de 1946 y 1964 se trata la media proporcional, además en
este último programa también se considera el estudio de la cuarta proporcional. En 1974,
se propone el estudio de la variación directa e inversamente proporcional.
Un aspecto importante en los programas de tercer grado es que el programa de
1993, es el único programa en el que se encuentra presente el estudio de errores de
aproximación y acotación de errores. En suma el estudio de la aritmética en los programas de matemáticas revisados,
se advierte una mayor presencia de ésta en los programas de primer grado, quedando
casi ausente su estudio en los programas de tercer grado.
Números y sus operaciones y sistemas de numeración, principalmente se estudian
en primer grado, en los programas de segundo de 1974 y 1993 se continúan tratándose
operaciones con números naturales, decimales y con fracciones; en cuanto a sistemas de
numeración a partir de los programas de primer grado de 1974 se incorpora el estudio de
los sistemas posiciónales con base distinta a diez, así como también a partir del programa
de primer grado de 1964 el sistema de numeración egipcio y maya.
Sistema de pesas y medias se presenta en todos de los programas de primero y en
el programa de segundo grado de 1928, cabe destacar que principalmente se estudia el
sistema decimal, el estudio del sistema ingles sólo se presenta en los primeros
programas, además que en el programa de primer grado de 1964, es el único en el que
se revisan algunas medidas antiguas mexicanas.
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Números primos, raíz cuadrada, razones y proporciones son temáticas que se
hallan en los programas de matemáticas de los tres grados, en casi todos los programas
se tratan los mismos temas, aunque difieren en muchas ocasiones en cuanto a ubicación,
es decir, en ocasiones algunos temas se encuentran presentes en un programa y en otros
se pospone su estudio al siguiente año.
Cabe señalar que en razones y proporciones, temas como tercera y cuarta
proporcional se estudian en los primeros programas de matemáticas de secundaria
quedando ausentes a partir de 1974.
Un aspecto importante, es que en los programas de 1993, son los únicos
programas en los que se encuentran presentes contenidos que no están presentes en los
demás programas revisados, y estos son los ¨ números truncados o redondeados para
estimar un resultado, así como los errores de aproximación y acotación de errores.
Contenidos de álgebra en los programas de estudio.
El estudio del álgebra en primer grado sólo se trata en los programas de 1928,
1939 ,1946 y 1993, en todos los programas se propone el uso de literales, empleo de
fórmulas principalmente de geometría o física con el fin de sustituir números por letras, así
como el lenguaje algebraico. En el programa de 1946 además, se trata la simplificación de
expresiones sencillas, así como ecuaciones numéricas de primer grado y la resolución de
ecuaciones literales sencillas. Cabe señalar que el programa de primer grado de 1993
propone una división específica para el tratamiento de cuestiones para iniciar al alumno
en el álgebra; “preálgebra”, donde además de tratar el uso de fórmulas y literales, también
se propone la construcción de tablas de valores a partir de fórmulas o expresiones
algebraicas.
Los contenidos algebraicos que principalmente se encuentran en los programas de
segundo grado son: lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, ecuaciones de primer
grado, sistema de ecuaciones, ecuaciones de segundo grado, productos notables,
funciones y logaritmos. En cuanto a lenguaje algebraico se encuentra presente en todos los programas de
estudio de segundo grado, especialmente lo que se refiere al uso de la x, uso de
paréntesis, y familiarizar a los alumnos con algunos términos, como coeficiente, potencia,
y el manejo de símbolos.
131
Aparece el estudio de expresiones algebraicas en todos los programas de segundo
grado revisados. En los programas de 1946, 1964 y 1974 se encuentran los monomios,
binomios y polinomios, en 1993 únicamente monomios y polinomios. En el programa de
1964, además se encuentran los trinomios. Operaciones con monomios y polinomios
están en los programas de segundo de 1946, 1964, 1974 y 1993; en estos tres últimos
programas también se trata la reducción de términos semejantes.
En los programas de segundo de 1974 se trata el valor numérico de expresiones
con variables, en 1964 la tabulación de expresiones algebraicas y en 1939 las
trasformaciones de expresiones. En el programa de segundo de 1928, se propone el uso
y computó de expresiones algebraicas a través de fórmulas. El estudio de los sistemas de ecuaciones (ecuaciones con dos variables) se
encuentra ausente solamente en los programas de 1939 y 1946. Se trata el estudio de
diferentes métodos: el método de sustitución se estudia en los programas de 1928, 1974 y
1993, el de reducción en los programas de 1964 y 1974, el método por adición y
sustracción sólo se encuentra en 1928, así como el gráfico que está presente en 1964 y
1974.
La resolución de ecuaciones de primer grado numéricas y literales se encuentra en
todos los programas de estudio de segundo. En 1939, sólo con “raíces positivas”, en 1946
hay una presencia de sus aplicaciones a la resolución de problemas. En los programas de
1928 y 1946 se propone el estudio de ecuaciones de primer grado con números enteros y
fraccionarios, en 1939 se menciono con números fraccionarios. Se propone el estudio de ecuaciones de segundo grado únicamente en los
programas de 1939 de este grado, tratando las ecuaciones incompletas.
Productos notables se encuentra en los programas de segundo de 1928, 1946 y
1964, en el primer programa mencionado, sólo se estudia el cuadrado de un binomio y en
el programa de 1964 se trata: cuadrado de un binomio, producto de dos binomios
conjugados, producto de dos binomios que tienen un término común, cubo de un binomio,
trinomio cuadrado perfecto, raíz de un trinomio cuadrado perfecto, así como su
factorización.
En el programa de segundo de 1974, se propone el estudio del concepto de
función.
132
En cuanto al estudio de los exponentes sólo se encuentra en 1928, 1964 y 1974,
en el programa de segundo de 1928 se trata el exponente negativo, en 1964 se da una
noción de exponente y en el programa de 1974 las leyes de los exponentes.
En los programas de tercer grado los contenidos algebraicos se agruparon en:
expresiones algebraicas, ecuaciones de primer grado, sistema de ecuaciones, ecuaciones
de segundo grado, productos notables, función, logaritmos, exponentes y radicales. Las expresiones algebraicas en los programas de tercer grado sólo se encuentran
presentes en los 1928 y 1993, en el primer programa se trata la raíz cuadrada de
monomios, y en el programa de 1993 continúa presente al igual que en los programas de
segundo las operaciones con monomios y polinomios, además de considerar el estudio de
fracciones algebraicas y sus operaciones.
En los programas de 1928 y 1993 son los únicos programas en los que se sigue
tratando las ecuaciones de primer grado, en 1928 es una revisión de las ecuaciones de
primer grado y sus gráficas. En 1993 se propone el estudio de ecuaciones con
coeficientes fraccionaros y ecuaciones que se reducen a lineales. Los sistemas de ecuaciones sólo permanecen en los programas de tercer grado de
1993, se da una revisión del método por sustitución, además de tomar en cuenta el
método de igualación, el de suma y resta y el gráfico. También se encuentra el sistema de
tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y su solución por el método de eliminaciones
sucesivas. Las ecuaciones de segundo grado, únicamente estuvieron ausentes en los
programas de tercer grado de 1928, en los programas de tercer grado de 1946, 1964,
1974 y 1993 se propone la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas y
completas por factorización y completando cuadrados. En estos programas, también se
trata la obtención de la fórmula general. En el programa de 1939 y 1974, no sólo se
estudia las ecuaciones de segundo grado, sino también se incluyen sus gráficas. Productos notables se encuentran presentes en los programas de 1928, 1974 y
1993, en el primer programa mencionado sigue presente el cuadrado de un binomio
además de la raíz de un trinomio. En los programas de 1974 se estudia la factorización y
en los programas de 1993 se estudia la aplicación de los productos notables al cálculo
numérico y a la factorización de polinomios de segundo grado.
En los programas de 1928 y 1993 se considera el estudio de la función, en 1928 se
trata las gráficas de algunas funciones y en 1993 sólo se propone una noción de función. En 1928, 1939 y 1964 se revisa los logaritmos, en 1928 se propone su
conocimiento, el uso de tablas y operaciones sencillas, al igual que en 1964 donde
además se toman en cuenta su historia, notación, el antilogaritmo, su notación y el uso del
cologaritmo. Los exponentes se encuentran en todos los programas excepto en el de 1974. En
1928, 1946 y 1964 se estudia el exponente 0, fraccionario y negativo. Las leyes de los
exponentes se localizan en los programas de 1946 y 1993, en este último programa
también se toma en cuenta su verificación. El programa de 1928 también incluye el
exponente en el producto, en el cociente, en la potencia y en la raíz de expresiones
algebraicas.
En cuanto al estudio de radicales sólo se trata las operaciones con estos en los
programas de 1928, 1946 y 1964, además en 1946 se estudian las transformaciones de
radicales.
En suma, el estudio del álgebra en los programas de matemáticas revisados, si
bien se tratan algunas cuestiones de álgebra en algunos programas de primer grado, se
observa una mayor presencia en los programas de segundo y tercero.
En lenguaje algebraico se encuentran algunas aspectos tanto en primero como en
segundo grado, desapareciendo en los programas de tercer grado.
Se puede decir, que los contenidos en los programas de segundo y de tercer grado
son los mismos temas, ya que están presentes en los programas revisados; hay casos
como por ejemplo en ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones, productos
notables, que sólo cambia su ubicación, están presentes únicamente en segundo grado y
en otros continúan estudiándose en tercero grado. Tal es el caso de los programas de
1993 donde todas estas temáticas continúan tratándose en tercer grado.
Cabe señalar, que el estudio del concepto de función, es uno de los temas menos
frecuente, se presenta en el programa de segundo de 1974, quedando ausente en
tercero, sin embargo en los programas de tercer grado de 1928 y 1993 se considera su
estudio.
Otro aspecto que destaca, es el estudio de los logaritmos que si bien estaban
presentes únicamente en los programas de tercero de 1928, 1938 y 1964; y en el
programa de 1964 se estudia también su aspecto histórico.
133
134
Actividades en los programas de matemáticas
El análisis de las actividades que se encuentran en los programas de estudio de
matemáticas se realiza a partir de la clasificación de temáticas que se hizo para el análisis
de los contenidos de aritmética y álgebra.
Cabe señalar que en algunos programas de estudio no se encuentran presentes
actividades, por lo que sólo se toma en cuenta aquellas que se encuentran en los
documentos oficiales revisados. En los programas de 1928, se mencionaba que se sugieren actividades a través de
las cuales se consideraba se podían adquirir conocimientos, dando mayor importancia a
la observación o experiencia personal, que en las verdades matemáticas enunciadas.
Además, se señala que las actividades presentadas en el programa no eran las únicas, la
experiencia y conocimiento del profesor le iba a permitir encontrar muchas más. Otro
punto importante que se consideraba era tomar en cuenta las necesidades del alumno
para la selección del material.
Para la enseñanza de números y sus operaciones se consideraba que la
adquisición de éstas se había iniciado en la primaria, por lo que se pretendía que el
alumno completara la información y adquiriera un significado claro y exacto, con el fin que
estos usaran su reflexión y se sirvieran de estos. La adición y sustracción se abordaba
mediante operaciones con segmentos y medidas de ángulos. Se consideraba la solución
de problemas que dieran lugar a estas operaciones principalmente con números
denominados. Se proponían competencias en la adición y sustracción con quebrados,
números mixtos y denominados, con el fin de fortalecer hábitos en la ejecución de
operaciones y mejorar su rapidez.
En cuanto a la multiplicación y división se mencionaba la realización de ejercicios
orales y escritos para estimar aproximadamente el resultado, para adquirir hábitos
mentales en cuanto a ejecución y rapidez.
Por medio de la resolución de problemas relativos a geografía y ciencias generales
o de carácter general se pretendía generalizar y estimular el descubrimiento de
procedimientos de adición, sustracción, multiplicación y división; por medio de problemas
sin número a través del uso de fórmulas se quería ejercitar la habilidad de reconocer un
problema, saber que se necesita para resolverlo (la fórmula y el procedimiento adecuado)
y justificar el procedimiento elegido.
135
El estudio de razones y proporciones se abordaba mediante la solución de
problemas sencillos sobre mezclas, recetas o fórmulas domesticas.
El cómputo de porcentajes se trataba por medio de ejercicios sistemáticos orales y
escritos.
En el programa de primer grado las actividades eran poco claras, ya que la mayoría
de las veces se confunden con los contenidos. En el programa de primer grado de 1939, no sugería actividades, por lo que no se
realiza el análisis.
El programa de primer grado de 1946, las actividades se presentaban a través de
una pregunta/problema específica para cada una de las temáticas abordadas en el. Por
medio de estas preguntas/problemas se pretendía dar a conocer a los alumnos
información teórica que le sirviera para entender desde otro aspecto la presencia de
ciertos contenidos. Se mencionaba la utilización de exposiciones orales por parte del
profesor y la lectura en voz alta por parte del alumno, éstas pretendían habituar al alumno
a concentrar su atención en lo que esta leyendo o escuchando para así poder hacer una
síntesis o en su caso un resumen. En números y sus operaciones después de haber presentado la exposición oral o
lectura en voz alta de la información que responde al problema o la pregunta, tanto para el
conocimiento de los números cardinales como para las operaciones básicas, se proponía
una manipulación de objetos; por ejemplo poner en correspondencia uno a uno , reunir
varios grupos de la misma especie, arreglar materiales en fila que contenga igual número
de objetos o en el caso de las fracciones se proponía que con papel blanco se dividiera un
segmento en partes iguales, con el fin de darle mayor sentido y realidad al trabajo,
partiendo de lo concreto por un proceso de abstracción que se inicio en la primaria y que
sirve para que los alumnos recuerden ciertas temáticas.
Se proponía la solución de problemas con aplicación a la vida, el hogar, la escuela
y la comunidad. Para la multiplicación también se sugerían problemas cotidianos con
números sencillos. Se plateaba que el trabajo escrito relativo a la resolución de problemas
debía ser cuidadosamente atendido para lograr orden y claridad.
Para el abordaje de los números fraccionarios se proponían ejercicios de lectura
utilizando la regla graduada en pulgadas y en fracciones de pulgada.
136
Para razones y proporciones se proponía la solución de problemas que implicaran
la comparación de dos cantidades, además de elaborar tablas y hacer gráficas relativas a
problemas de salarios e intereses. En general, se sugería la utilización de ejercicios de adiestramiento en clase como:
competencias, concursos, llevar registros y otras actividades que estimularan los
esfuerzos de cada alumno para adquirir habilidades y mejorarlas.
En el programa de primer grado de 1964 para la enseñanza de la aritmética, no
sólo se presentaban algunas actividades para el manejo de los contenidos matemáticos,
sino también se hacía énfasis en actividades que formaban hábitos específicos en los
alumnos, principalmente en la escritura con palabras de diferentes conjuntos de números,
la cual debía ser con orden, claridad y limpieza, una de las finalidades era que el alumno
conociera la forma correcta de escribir los números cardinales, ordinales, decimales y
fraccionarios, así como cuidar su caligrafía y ortografía.
En el tema referente a números y sus operaciones, se le proponía al profesor
explicar brevemente la necesidad que tuvieron los pueblos primitivos de contar y realizar
cuentas, así como las dificultades que tuvieron que superar para crear el actual sistema
de numeración. En los números ordinales, lo que se refiere a ortografía se mencionaba
que el profesor debía de recomendar a los alumnos que los escribieran con una sola
palabra los números del primero al vigésimo. En lo que respecta a la enseñanza de las
cuatro operaciones básicas se sugería al maestro realizar una prueba de exploración,
para saber el nivel de conocimiento con que el alumno había entrado a la secundaria. Se
recomendaba establecer las diferencias que hay entre los distintos conceptos de las
operaciones, por ejemplo establecer la diferencia entre adición ó suma y total. Se
presentaría solución de problemas con datos estadísticos, de presupuestos, de
producción industrial o minera, etc., donde se apliquen las operaciones y sus
propiedades.
Asimismo, se planteaba realizar competencias y concursos con ejercicios de
lectura y escritura de números con cifras y con palabras, así como la solución de
operaciones donde el alumno registre individualmente sus resultados. Además se
proponían ejercicios de mecanización para afirmar los conocimientos.
En operaciones con fracciones se mencionaba que el profesor debía procurar que
los alumnos escribieran con raya horizontal y vertical las fracciones, así como ejecutar un
repaso con todo tipo de fracciones tanto comunes como decimales.
En las operaciones con números denominados, sólo se planteaba realizar
ejercicios con números denominados sencillos utilizando las unidades más usuales. En lo que respecta a sistemas de numeración se le proponía al profesor tratar
brevemente la invención de signos numéricos antiguos, como eran los egipcios,
babilónicos y mayas. En la notación arábiga se sugería al profesor que pidiera al alumno
realizar una lámina donde escribiera las cifras con claridad y limpieza para practicar su
caligrafía, además el profesor debía de dar algunas recomendaciones en lo que se refería
a la ortografía, como realizar ejercicios de práctica procurando que los alumnos
escribieran varias veces la palabra de difícil ortografía, especialmente las que llevan
acento. En la notación romana, el profesor se valdría de las reglas para la escritura y
lectura para la enseñanza de los números romanos, además de utilizar fechas notables en
la historia, capítulos de libros, etc., para ejemplificar la utilización de los números
romanos. Para los números primos se indicaba que el profesor ejemplificaría el proceso para
obtener los números primos utilizando la Criba de Eratostenes. Se planteaba que en los
ejercicios de máximo común divisor y mínimo común múltiplo el profesor debía de utilizar
como máximo cuatro números menores de 1000, además de plantear problemas de
aplicación.
Para el estudio de los sistemas de pesas y medidas se sugería que el alumno
realizará trabajos de investigación sobre el origen el sistema métrico decimal, con el fin de
conocer brevemente el desarrollo histórico de este. Además, se indicaban actividades de
lectura y escritura con las diferentes unidades. Para el sistema inglés de pesas y medidas
se debían de realizar ejercicios y problemas utilizando tablas de equivalencia a la vista,
además de realizar ejercicios de conversión de unidades. Con respecto a las medidas
antiguas mexicanas sólo se daría a conocer su equivalencia entre sí y su relación con el
sistema métrico decimal. En la raíz cuadrada, el profesor presentaría a los alumnos ejemplos sencillos y
variados, además de ejercicios y problemas donde las raíces fueran exactas e inexactas.
Además, se señalaba el conocimiento y uso de tablas de raíces cuadradas perfectas
hasta la raíz cuadrada de . 400
Con respecto a razones y proporciones, sólo se planteaba la solución de ejercicios
y problemas, pero no se especifica de que tipo. Para el porcentaje se proponía calcular el
número que corresponde a un tanto por ciento, así como problemas relativos a este. 137
El programa de matemáticas de primer grado de 1974, establecía una serie de
actividades que debían conducir al alumno al logro de los objetivos propuestos, es decir al
aplicar éstas el alumno alcanzaría los objetivos específicos planteados en cada unidad; en
este caso, estas iban dirigidas a los alumnos, el profesor sólo sería el mediador de los
aprendizajes.
Las actividades sugeridas para el tratamiento de la aritmética, en este caso para el
estudio de los números naturales y sus operaciones, el alumno representaría
gráficamente dos conjuntos, establecería correspondencias e identificaría conjuntos, y
representaría con números naturales la cardinalidad de diversos conjuntos, para continuar
con la escritura ordenada de símbolos de los números naturales. Se presentaban
actividades de investigación, donde a partir de observaciones, análisis y discusiones
grupales, el alumno captaría algunas propiedades de los números naturales. Por ejemplo,
se proponía que los alumnos distinguieran los elementos de las operaciones, para
continuar con el cálculo de estas. No sólo se mencionaba el cálculo en papel, sino
también se sugería realizar cálculos mentales, así como también aplicar los algoritmos de
las operaciones a la resolución de problemas. Se pedía la resolución de ejercicios orales,
por ejemplo en los que dada la suma y sumando se desconozca el otro sumando. Para el
estudio de las propiedades de las operaciones se realizaba el análisis de cierto tipo de
situaciones, donde el alumno manejaría las diferentes propiedades en cada una de las
operaciones.
Se recomendaba el estudio de la multiplicación y división a través de la
representación de arreglos rectangulares, así como el cálculo mental de ejercicios
respectivos. También se le pedía al alumno investigar el significado de algunos términos
como raíz, índice, radicando, radical y su utilización.
Asimismo, en primer año para el estudio de los números enteros, las actividades
sugeridas iban encaminadas a que el alumno logrará manejar este conjunto de números.
El alumno explicaría como representaría numéricamente situaciones como: una
temperatura de 5 grados bajo cero ó una perdida de 10 pesos, a través del análisis de
este tipo de situaciones, el alumno utilizaría los signos más y menos, para representar
números positivos y negativos. Se recomendaba resolver problemas de adición,
sustracción, multiplicación, división con números enteros, donde el alumno observaría y
aplicaría algunas propiedades, además de efectuar operaciones.
Para el estudio de los números racionales positivos, las actividades también iban
encaminadas a que el alumno logrará un manejo de este conjunto de números. El alumno
138
interpretaría números racionales mediante “modelos objetivos” como: tomar una hoja de
papel, la dividirá en “a” partes iguales y tomará b de esas partes: por ejemplo la dividirá
en partes iguales y tomará de esas partes. Por medio de este tipo de actividades el
alumno representaría simbólicamente las magnitudes, descubriría y aplicaría las
propiedades correspondientes. Para la representación de diferentes racionales en su
expresión decimal, el alumno realizaría la división de para encontrar la expresión del
número racional, a través de esto el alumno observaría algunas características de las
expresiones decimales como que son finitas y periódicas, además el alumno identificaría
los nombres de los términos entero, décimo, centésimo, milésimo, diezmilésimo.
Realizaría ejercicios de lectura y escritura de decimales, así como la realización de
operaciones con números racionales y la aplicación de algunas propiedades de las
operaciones en el conjunto de números racionales, a través de la solución de problemas.
4 3
m : n
En lo que respecta a sistemas de numeración, el alumno investigaría acerca de los
medios que se utilizaron primitivamente para conservar registro numéricos, explicaría la
forma en que se llevan registros numéricos en algunas actividades deportivas como el
básquetbol o el voleibol. Formaría agrupamientos del mismo número de elementos, y
observaría que los agrupamientos facilitan el conteo.
A través de los diferentes sistemas de numeración como el egipcio o el romano, el
alumno identificaría los principios aditivos, sustractivo, multiplicativo y partitativo en los
sistemas de numeración. Se mencionaba, que los símbolos y la clasificación de los
sistemas no debían ser memorizados. Para el sistema binario daría lectura y convertiría
los numerales de base dos a base diez, además el alumno investigaría las aplicaciones
que tendría el sistema binario en los sistemas de cálculo electrónico. Para el estudio de los números primos, el alumno usaría los términos factor, divisor
y múltiplo, obtendría los múltiplos y divisores de diferentes números propuestos por el
profesor. Observaría en ejemplos, cuáles números son divisibles entre 2, 5,10, 3, 6, y 9,
donde establecería las condiciones que debe de tener un número para ser divisible por
otro. El alumno formaría la criba de Eratostenes, escribiendo los números naturales del 1
al 100 en diez renglones, con diez números en cada uno; el alumno tacharía los números
divisibles entre Observaría que el conjunto de números naturales
presenta tres partes: los números que tienen más de dos divisores, los números que sólo
tienen dos divisores, el número 1 que sólo tiene un divisor, clasificando los números
naturales en primos, compuestos y unitario. Obtendría el mínimo común múltiplo y el
2, 3, 5, 7,11,13,K47.
139
140
máximo común divisor. Además se mencionaba que el alumno resolvería problemas
aplicando los conceptos aprendidos. Para el estudio del tema razones y proporciones se sugerían actividades donde el
alumno establecería los conceptos, a partir de situaciones dadas aplicaría las propiedades
de las proporciones en la solución de problemas. Para el análisis de las actividades sugeridas en los programas de 1993, se revisó
el Libro para el maestro de secundaria de matemáticas, ya que es uno de los auxiliares
didácticos que sirven de apoyo al docente que imparte esa asignatura en cualquiera de
los tres grados. En éste se menciona que es responsabilidad del maestro elegir y
organizar las actividades de su curso, este podrá modificar el orden de los temas en la
forma en que considere más adecuada para el aprendizaje, sin embargo debe tener
presente que la revisión de cierta parte del programa se ve desfavorecida si se imparte en
un solo momento, ó si se deja en su totalidad para el final del curso. También, señala que
no conviene dar explicaciones exhaustivas o intentar agotar un tema desde el principio,
pues es mejor tratarlo varias veces en el transcurso del año, pues se considera que “la apropiación de las nociones y procedimientos matemáticos es un proceso gradual, la cual toma tiempo en completarse…”83 ; si es necesario revisar algún tema se
recomienda recordar brevemente las nociones principales.
También, se contempla la existencia de diferencias individuales, donde los alumnos
no tienen los mismos intereses, conocimientos o ritmos de aprendizaje, se sugiere que el
profesor podrá dedicar las primeras sesiones de su curso a explorar los conocimientos
adquiridos en cursos anteriores, donde no sólo es conveniente el utilizar exámenes
escritos, sino también el profesor podrá observar la participación de los alumnos en la
solución de problemas u otras actividades.
Se menciona, la existencia de diferentes tipos de ejercicios y problemas. “Los ejercicios, su objetivo es favorecer la apropiación de los conocimientos básicos, así como que se adquiera seguridad y destreza en la aplicación de técnicas y procedimientos. Los problemas de aplicación, los cuales sirven para mostrar la utilidad de los conocimientos en la vida cotidiana, en otras partes de las matemáticas mismas y en las diversas disciplinas. Problemas de exploración y búsqueda, necesarios para la formación de conceptos, el desarrollo de la capacidad
83 SEP, (1994). Op. Cit. p. 13
141
de trabajo personal del alumno y sus aptitudes para la investigación, la comunicación y la justificación de sus afirmaciones.”84
Como se había mencionado en el capítulo anterior, en los programas de
matemáticas de 1993, el medio por el cual el alumno va a aprender matemáticas es a
través de la resolución de problemas, por lo que es necesario no sólo resolver los
problemas planteados por el maestro, sino también que el alumno aprenda a plantearlos.
Los problemas deben de plantear situaciones que tengan sentido para los alumnos, es
conveniente darles la oportunidad no sólo de aplicar procedimientos previamente
aprendidos, sino además explorar y asimilar nuevos conocimientos que les permitan
aprender de manera significativa.
Por lo tanto, el maestro debe diseñar situaciones y problemas interesantes, donde
los alumnos puedan resolverlos a partir de conocimientos previamente adquiridos que
provoquen una actitud de búsqueda, orientada a proponer estrategias para solucionarlos.
Se menciona, que el profesor debe de tener en cuenta que la resolución de
problemas en el aula toma tiempo por tanto debe de prever la duración para cada
actividad. También, se considera la forma de organizar a los alumnos para resolver los
problemas, se menciona una organización grupal donde el fin es discutir colectivamente
conjeturas y soluciones, lo cual se considera favorecedor ya que pueden aparecer
distintas soluciones, las cuales pueden ser comparadas. Lo que se quiere es que haya
una participación de todo el grupo, para que cada actividad resulte benéfica para todos.
En el libro del maestro, además de la solución de problemas, se plantean
actividades de carácter permanente como, los procedimientos de cálculo y estimación
mental, el uso de la calculadora como auxiliar en la solución de problemas, uso de
diferentes medios de expresión matemáticas en la solución de problemas como son
tablas, gráficas e iniciarlo al razonamiento deductivo. La aritmética que se quiere enseñar en la secundaria, es la aritmética elemental, la
cual “trata de los significados y formas de operar con los enteros naturales, los decimales y las fracciones comunes, así como su aplicación a la solución de problemas.”85 Se considera fundamental tener un buen conocimiento de ésta, sin
embargo se menciona que existen dificultades en su aprendizaje, y muchas de las veces
los alumnos son incapaces de utilizar nociones básicas para resolver problemas de la vida
real y se les dificulta transferir los conocimientos aprendidos en la escuela a otros
84 SEP (1994) Op. Cit. p.44. 85 Ibídem. p. 52
contextos. Así, la enseñaza de la aritmética debe servir para que los alumnos conozcan
los significados de los números, se acostumbren a sus representaciones y exploren sus
relaciones, además de que los comprenda y adquiera significado cuando los apliquen a la
vida cotidiana y en la solución de problemas.
Como se había mencionado anteriormente, se le recomienda al profesor explorar
los conocimientos aritméticos adquiridos en grados anteriores, en el caso del primer grado
se señalan algunos ejercicios y problemas que pueden servir para revisar la lectura, la
escritura, el orden y la comprensión de números enteros naturales; como completar tablas
donde se presentan cifras y el alumno tiene que completar la forma en que se lee o
viceversa. Por ejemplo, ordenar según su longitud los ríos del continente americano y
posteriormente buscarlos en un libro de geografía para saber su ubicación.
Para que los alumnos logren comprender y acostumbrarse a los significados de las
operaciones, las actividades diseñadas por el profesor deben de ir orientadas a
enriquecer los significados de todas las operaciones, se hace énfasis en la multiplicación
y división. Por lo tanto, se sugiere al maestro plantear cuadrados mágicos para que los
alumnos los completen, así como diversos problemas como por ejemplo: Juanita se
compró blusas y faldas. Si las blusas le costaron y las faldas $50 y gasto en total
, ¿cuántas blusas y faldas compro?. Investigar cuántas marcas y presentaciones de
un mismo producto existe en el comercio. Calcular y presentar en tablas el precio unitario,
es decir, por kilogramo, por litro, etc.
$35
$205
Con respecto a los algoritmos y procedimientos de cálculo, se debe procurar que
se comprendan las nociones esenciales, y dejar para después o para la calculadora los
casos más complicados. Sin embargo, se señala que hay procedimientos que conviene
practicarlos dado que ayudan al cálculo mental y la estimación, por ejemplo estimar el
producto de 875 , problemas con números perdidos y operaciones donde algunos
números sean sustituidos por letras, se señala que este tipo de ejercicios ayudan al
alumno a reflexionar sobre los algoritmos de las operaciones, además de adquirir
seguridad y destreza en su ejecución.
× 3125
Para enriquecer el significado de las operaciones aritméticas se sugiere que los
alumnos exploren de manera informal algunas situaciones típicas de conteo, haciendo
uso de diagramas de árbol, arreglos rectangulares y otros tipos de representaciones.
Para el manejo de los números decimales, se considera importante que los
alumnos revisen sus usos y significados en distintos contextos. Deben acostumbrarse a
las formas de escribir un número decimal, ya sea como fracción decimal, como entero
142
natural más una fracción decimal, y como un número con punto decimal. Entre algunas
actividades que se plantean, esta completar tablas en la que se presentan a los decimales
en sus diferentes formas, encontrar en una lista de números los que son más grandes que
y más pequeños que y escribirlos de mayor a menor. Para la enseñanza de las
operaciones con decimales, se debe dejar ver que los procedimientos para sumar y restar
decimales son tan similares a los utilizados para realizar las mismas operaciones con
naturales. Para la multiplicación y división se menciona que convendría que los alumnos
exploren y comprendan las reglas para multiplicar y dividir un número decimal entre
así como por para que los alumnos se den cuenta como
se comportan estos números. Se sugiere utilizar el modelo de áreas para el producto de
dos decimales cualesquiera. Para la división, se indica apoyarse en los procedimientos
utilizados para dividir enteros naturales, así como el uso de la calculadora, también se
plantean algunas situaciones como: el papá de Juanita participa en una caja de ahorros
donde le pagan un interés de 1% mensual. Si se deposita mensuales en la caja,
¿cuánto habrá ahorrado al cabo de , meses ¿Cuánto tardará en juntar ?.
2.63 3.87
10,100,1000,K 0.1, 0.01, 0.001,K,
$50
1,2,3,K $1000
Respecto al estudio de las fracciones en los programas de 1993 se propone su
estudio durante toda la escuela secundaria. En primer grado se revisan las fracciones
comunes y sus significados, operaciones y algoritmos para realizarlas. Se menciona, que
los alumnos deben acostumbrarse a los distintos significados de las fracciones y operar
con estos para resolver ejercicios y problemas. Se plantean algunos ejemplos como: Tres
amigos entran a un restaurante y piden dos pizzas que reparten entre ello. ¿Cuánto le
toca a cada uno? Poco después llega otro amigo. ¿Cuánto debe convidarle cada uno para
que los cuatro tengan la misma cantidad de pizza?
También se menciona, que es importante que se comprendan que existen
diferentes formas de expresar una misma cantidad o un número, como son las fracciones
equivalentes, así como la expresión decimal de una fracción, y que depende de la
operación o del problema que se va a resolver puede utilizarse una representación o otra.
Se recomienda no exigir desde el principio que utilicen o dominen ciertos procedimientos,
estos podrán tratarse un poco después, cuando se haya comprendido las nociones
básicas. En el estudio de los números con signo se sugiere un acercamiento gradual, se
propone comenzar con ejemplos que ilustren el uso de los números con signo para indicar
perdidas y ganancias, medición de temperaturas sobre y bajo cero y otras situaciones
similares. Se les debe presentar actividades donde utilicen desde el principio los números
143
144
con signo para ubicarlos en la recta numérica y en los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano. Se considera conveniente operar con números enteros o decimales sencillos.
Con respecto a las operaciones con números con signo; en especial en la resta, se señala
que al alumno se le facilitará si se proponen ciertas actividades al momento de estudiar
las operaciones con naturales y decimales positivos. También el uso de la calculadora
ayudará al alumno a acostumbrarse a operar con números con signo, sin embargo
también se considera realizar las operaciones sin ella. Para el tema de sistemas de numeración, se menciona que se podrá estudiar al
momento de revisar la lectura y escritura de los números naturales, sin hacer de ellos un
tema o una unidad separada. El profesor platicará con sus alumnos sobre como el
desarrollo e invenciones de la matemática responde a la evolución de las necesidades. Se
señala que no se busca que los alumnos memoricen los símbolos que sirven para
representar los números en los diferentes sistemas de numeración, sólo se pretende que
los alumnos comprendan sus principios y puedan compararlos con los del sistema
decimal. También, se supone conveniente dar a conocer otros sistemas posiciónales con
bases distintas a diez, pero es recomendable solo considerar los primeros números
naturales. Se sugiere que los alumnos realicen una investigación sobre las civilizaciones
cuyos sistemas se estudien en clase, que observen el desarrollo que alcanzaron las
matemáticas y otras disciplinas y sus contribuciones al desarrollo humano.
Para que los alumnos se acostumbren a los símbolos y a los principios de los
sistemas se numeración se les podrán proponer ejercicios como: completar tablas donde
se presenten números escritos en diferentes sistemas de numeración. En cuanto a números primos se menciona que es necesario que los alumnos
exploren la estructura multiplicativa de los números y se den cuanta que estos se
comportan de diferente forma. Se considera que la búsqueda de múltiplos, divisores y la
descomposición de un número en primos son contenidos importantes, dado que preparan
a los alumnos para el estudio de las fracciones y el álgebra. En el primer grado de
secundaria sólo se explora el estudio de nociones de número primo, de mínimo común
múltiplo y máximo común divisor a través de problemas.
Para el estudio de las nociones de divisibilidad es conveniente que se les
propongan actividades y problemas que los llevan a explorar informalmente y comprender
sus nociones, muchos de estos problemas podrán proponerse desde que se comienza a
estudiar la multiplicación y división con naturales. Actividades como cuadrados mágicos
multiplicativos, completar tablas o problemas como: por lo general tu cumpleaños se
recorre un día de un año a otro, aunque hay veces que se recorre dos días. Por ejemplo,
si en 1993 cumpliste en martes, en 1994 los cumplirás en miércoles. ¿Por qué ocurre
esto? ¿Por qué a veces no ocurre? ¿En que día de la semana naciste? ¿En qué día
cumplirás 25 años?
Los criterios de divisibilidad, no sólo se deben de presentar como algo que se
estudia y practica para factorizar números y simplificar fracciones, sino además para
observar como se comporta el sistema de numeración decimal. A partir de ejemplos
como: indicar si un número es divisible entre se pueden estudiar los criterios
usuales de divisibilidad.
2,3,5,9,
Para la noción de número primo, se plantea la utilización de la Criba de
Eratostenes para encontrar los primos menores que 100.
Para la presentación de los algoritmos para calcular el mínimo común múltiplo y el
máximo común divisor de dos o más números, es recomendable no sólo utilizar la
descomposición en primos de un número, sino apoyarse en diversos métodos, dado que
el propósito no es que lo aprendan de memoria, sino que conozcan su existencia y
puedan comparar varios algoritmos. El programa de primer grado plantea la extracción de la raíz cuadrada por medio de
tablas y el uso de la calculadora, dejando para los grados posteriores su cálculo por
diferentes métodos. Con respecto al tema de razones y proporciones, en el programa de primer grado
sólo se estudian sus nociones, se menciona que se requiere proponerle al alumno
numerosos problemas y situaciones para que éste pueda desarrollar y comprender la
noción de razón, primero como relación parte-todo y después como una relación entre dos
cantidades. Es necesario que el maestro diseñe actividades donde los alumnos conozcan
sus usos y aplicaciones en la vida cotidiana, en la medición y en otras situaciones. La
noción de proporción se podrá introducirse a través de ejemplos donde se compare dos
listas de valores, para ver si es posible transformar los valores de una lista a otra.
145
Al estudiar los porcentajes se debe distinguir entre estos tres casos: cálculo de un
porcentaje, qué porcentaje representa una cantidad de otra y cuando se conoce el
porcentaje que representa una cantidad de otra. En el primer grado las actividades se
concentran en la solución de ejercicios y problemas que conduzcan a la aplicación de
porcentajes. Se propone el uso de la calculadora para obtener porcentajes, pero no se
debe limitar únicamente al uso la tecla , sino también deben aprender a aplicar un
porcentaje, por ejemplo del , que sería lo mismo que multiplicar por .
%
25% 0.25
En general, en los programas de 1993 se propone el cálculo mental, como una
forma donde los alumnos pueden seguir diferentes caminos para resolver operaciones.
Así como el uso de la calculadora, la cual debe de emplearse a lo largo de todos los
cursos como un auxiliar en la solución de problemas. Las primeras actividades servirán
para que el alumno se acostumbre a su uso, para realizar las cuatro operaciones
fundamentales y familiarizarse con la tecla de memoria. A continuación se realiza el análisis de las actividades propuestas en los
programas de segundo grado. En el programa de segundo grado de 1928 se estudiaba el sistema decimal de
pesas y medidas, donde se presentaban a los alumnos ejercicios de conversión de
unidades.
Para el estudio de los números positivos y negativos se realizaba a través de
problemas y ejercicios como, completar la escala de los números, escribiendo a partir de
cero los negativos y los positivos, el alumno observaría cuál es el mayor, cuál es el
menor, además llevaría un registro usando los signos + y −, y practicaría la adición y
sustracción con estos números. Para el tema de razones y proporciones, en especial para el estudio de la variación
directa e inversa, se mencionaba construir gráficas de ecuaciones donde los alumnos
adquirirían la habilidad de interpretar una gráfica, mediante las fórmulas formarían listas
en las que se señalaría cuáles son las variables que son directamente proporcionales. La
proporción se estudiaría como ecuación. En el programa de segundo de 1946, en aritmética se revisaban temas como
números positivos y negativos, raíz cuadrada y números primos.
Para el estudio de los números positivos y negativos se le proponía al profesor que
era prudente tratar los números este tema después de que el alumno se hubiera
familiarizado con el simbolismo algebraico, el uso de la ecuación, la fórmula y el cómputo
de expresiones algebraicas. Se le debía de presentar al alumno ejercicios muy variados y
numerosos, en los cuales se usaran números positivos y negativos en situaciones
concretas y claras, como comparar precios, estaturas, altas y bajas, localización de
puntos dadas sus coordenadas en el plano cartesiano.
Las operaciones con números positivos y negativos se debían de ilustrar
gráficamente y con las prácticas usuales en el comercio al hacer saldos. Practicaría la
146
147
adición, sustracción, multiplicación y división con dos o tres números de una o dos cifras,
así como también con monomios y polinomios. El estudio de la raíz cuadrada en los programas de 1946, era mediante el cálculo
del lado de un cuadrado cuya área esta determinada previamente, además de ejemplos
con cuadrados perfectos cuya área es un número cuadrado perfecto, así como el uso de
las aproximaciones sucesivas. Para el estudio del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, se enseñaba
mediante la descomposición de factores. En el programa de segundo de 1964, para el tema de razones y proporciones se
recomendaba al profesor la utilización de ejemplos numéricos y literales, además de
fórmulas que estuvieran en razón directa e inversa. Asimismo, se sugería la resolución de
ecuaciones de primer grado aplicando los propios procedimientos de la proporción.
También se mencionaba comprobar con variados ejercicios las propiedades de las
proporciones y generalizarlas con literales. Además, el profesor dirigiría al alumno en los
trazos correspondientes y en la comprobación por medio de mediciones. Al igual que en el programa de primer grado, el programa de segundo grado de
1974 las actividades estaban dirigidas a los alumnos para el estudio de los números
racionales, el alumno situaría en la recta numérica números racionales, simbolizados por
enteros, fracciones comunes y fracciones decimales; el alumno trazaría una recta y la
dividiría en segmentos iguales y localizaría varios conjuntos de números fraccionarios y
establecería la relación de equivalencia. Para las operaciones con fracciones se
realizarían adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números racionales
en notación decimal. Observaría si las propiedades del sistema aditivo y multiplicativo de
los enteros se cumplen en los racionales, aplicaría y resolvería ecuaciones aplicando las
propiedades correspondientes.
Como se mencionó, para el estudio de la aritmética en los programas de
matemáticas de 1993, se considera necesario que los alumnos conozcan y se
acostumbren gradualmente al significado y uso de los números, con el fin que los
comprendan y adquieran significado cuando lo apliquen a la vida cotidiana y a la
resolución de problemas, por lo que el profesor debe de diseñar actividades que
desarrollen y fomenten esto. Así para la enseñanza y aprendizaje de la aritmética en
segundo grado se considera plantearles a los alumnos ejercicios y problemas en los que
148
se presenten situaciones que hagan al alumno comprender, transferir y aplicar los
conocimientos adquiridos. Continúa presente la práctica del cálculo mental y la estimación
de resultados, donde los alumnos podrán sugerir diferentes caminos para la solución de
operaciones. Asimismo, sigue presente el uso de la calculadora para el estudio de las
potencias y la notación científica o exponencial. Además proponen problemas de conteo
para enriquecerle significado de las operaciones.
Para el estudio de las fracciones en el segundo grado continúa la revisión de fracciones
comunes, sus significados, operaciones y algoritmos, hay una revisión de la suma y resta
de fracciones vista en primer grado y se considera el estudio de la multiplicación y división
de fracciones; en la multiplicación de fracciones se le sugiere al maestro apoyar sus
explicaciones utilizando el modelo de áreas, el cual le ayudara al alumno a visualizar y
comprender las ideas relacionadas con la equivalencia, la comparación del producto de
fracciones, además introducir al alumno en los algoritmos.
En el programa de segundo de 1993 permanece el estudio de los números primos,
sólo que en este grado y en tercero se revisan los procedimientos de factorización en
primos de un número, así como el cálculo del mínimo común múltiplo y el máximo común
divisor, mediante problemas que permitan explorar la estructura de la descomposición de
un número. Para el análisis de las actividades propuestas en los programas de tercer grado,
sólo revisaron los programas de 1946, 1964 y 1993, ya que en los programas de 1928 y
1974 no se encuentran presentes contenidos de aritmética. En el programa de matemáticas de tercer grado de 1946, con respecto a la
aritmética se revisaba la proporción, donde se proponía la resolución de problemas en
que intervinieran cantidades directamente e inversamente proporcionales, así como la
aplicación de los conocimientos adquiridos sobre proporciones a la investigación de
relaciones entre magnitudes geométricas. En cuanto a números primos, se pedía calcular el mínimo común múltiplo y el
máximo común divisor, además de realizar investigaciones acerca de la divisibilidad de
los números. En el programa de tercer grado de 1964, en el estudio de la proporción, las
actividades planteaban la aplicación de la demostración de la media proporcional
aplicando la semejanza de triángulos y la proporcionalidad de lados.
149
En el programa de tercer grado de 1993, se le sugiere al profesor enseñar el
cálculo de la raíz cuadrada mediante diferentes métodos, como el babilónico, ya que se
menciona que existen muchos métodos considerados más eficientes y comprensibles
para el alumno que el “método tradicional de la casita”. La idea de utilizar otros métodos,
es que el alumno pueda comprender mejor el procedimiento de cálculo de la raíz
cuadrada, y evitar que memorice. En suma, se observa que las actividades sugeridas para el estudio de la aritmética
en los programas de 1928, principalmente se quería ampliar y profundizar los significados
de las operaciones orientando al alumno a realizar una reflexión, estaba presente la
solución de problemas en los que se aplicarían estas y se vincularan con la vida cotidiana
y otras ciencias. Además se proponían competencias y la estimación de resultados para
fortalecer hábitos mentales en cuanto a ejecución y rapidez.
Los programas de 1946, proponían dar un acercamiento formal presentando
información teórica, así como manipular objetos. Se proponía la solución de problemas
con aplicación a la vida, el hogar, la escuela y la comunidad, además de la solución de
ejercicios de adiestramiento en los que se encontraban nuevamente las competencias,
además de concursos y otras actividades que estimularían a cada alumno para desarrollar
habilidades. Un aspecto en el que se comienzo a hacer énfasis, era en los hábitos de
orden, limpieza y claridad para la ejecución de las operaciones o de cualquier otro
procedimiento matemático.
Este último aspecto siguió presente en los programas de 1964, donde se
presentaban actividades las cuales desarrollarían hábitos específicos en los alumnos
principalmente en la escritura, la cual debía de ser con orden, claridad, limpieza y
cuidando siempre la ortografía. Permanecen las exposiciones por parte del profesor para
presentar información teórica sobre ciertos temas, principalmente en el estudio de los
sistemas de numeración, así como trabajos de investigación para el alumno de aspectos
teóricos. Siguen presentes las competencias y los concursos. Se señalaba la resolución
de problemas principalmente donde se apliquen las operaciones y sus propiedades en la
utilización de datos estadísticos o de presupuestos, así como ejercicios de
mecanizaciones.
En los programas de 1974, las actividades debían de conducir al alumno al logro de
objetivos específicos, por lo que las actividades se encontraban planteadas de forma
específica y detallada. En general a partir de la observación y el análisis de ciertas
situaciones problemáticas, el alumno iba a destacar y seleccionar ciertos datos,
150
identificaría relaciones entre los elementos de tales situaciones, elaboraría modelos
matemáticos a partir de estas, aplicaría las generalizaciones obtenidas en ejercicios y
problemas concretos y arribaría a conclusiones. Estaba presente la realización de
cálculos tanto en papel como mentales, además de ejercicios orales y escritos. Se
proponían “modelos geométricos”; que eran una representación simbólica mediante la
cual descubriría y aplicaría ciertos contenidos. En los sistemas de numeración, continúa la
presencia de investigaciones teóricas por parte de los alumnos acerca del tema.
En los programas de 1993, es a través de la solución de problemas que se abordan
los contenidos, donde no sólo se aplicaran los procedimientos aprendidos; aspecto que en
se encuentra presente en casi todos los programas revisados, sino además el alumno
explorara y aplicara nuevos procedimientos, desarrollando en él una actitud de búsqueda,
así como la proposición de estrategias para solucionarlos. Diferencian los ejercicios, de
los problemas de aplicación y los problemas de exploración y búsqueda.
Permanentemente plantean actividades de cálculo y estimación mental, el uso de la
calculadora como un auxiliar y el uso de tablas y gráficas.
A continuación, se realiza el análisis de las actividades sugeridas para el estudio
del álgebra en los programas correspondientes a los tres grados de secundaria. En los programas de primer grado de 1928 para introducir a los alumnos al estudio
del álgebra, se sugería la utilización de “ejercicios sistemáticos de computo de fórmulas “,
donde la finalidad era ganar hábito de sustituir números por letras. En el programa de primer grado de 1946 se mencionaba que la base del trabajo
era solución de numerosos ejercicios de expresión mediante el simbolismo algebraico y la
resolución de problemas cuidadosamente escogidos. Se presentarían problemas sin
datos numéricos, con el fin que el alumno encontrará el procedimiento para resolverlos
mediante fórmulas.
Además, con el fin de habituar al alumno a atender fundamentalmente el
procedimiento y no las operaciones, se presentaba oralmente o por escrito el
procedimiento de resolución y lo expresaría en fórmula. Se propondrían ejercicios de
resolución de ecuaciones presentadas con un sólo término conteniendo la incógnita en
cualquiera de los dos miembros. En los programas de primer grado de 1964 y 1974, no se encontraron presentes
contenidos ni actividades para iniciar al alumno al estudio del álgebra.
En el programa de 1993 se considera que es conveniente que desde el primer
grado los alumnos se familiaricen con las expresiones literales, a las primeras reglas
sencillas de escritura algebraica y otros temas. Se menciona que las actividades deberán
enfatizar el uso de situaciones concretas y su representación por medio de tablas y
gráficas para que el alumno explore y aprenda a expresar simbólicamente.
En algunos casos, las expresiones con literales ya forman parte del conocimiento
que poseen los alumnos al ingresar a la secundaria, ya que han utilizado fórmulas
sencillas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. Estas se pueden aprovechar
para introducir las primeras reglas de escritura algebraica. Se sugiere diseñar ejercicios y
actividades, donde se solicite a los alumnos expresar de manera breve el perímetro o el
área de algunas figuras sencillas. Asimismo, por medio del cálculo de perímetros y áreas
se podrá introducirse el uso del exponente 2 para expresar un cuadrado.
Se proponen las ecuaciones de un paso, estas pueden resolverse invirtiendo las
operaciones indicadas, se señala que estas tienen un “carácter prealgebraico” dado que
no se tiene que recurrir a los procedimientos algebraicos. Se sugiere proponerles a los
alumnos ejercicios que no sólo involucren números naturales, sino también decimales
grandes, con el objeto de propiciar el uso de las operaciones inversas y evitar que los
alumnos las resuelvan recurriendo a conocimientos básicos ya aprendidos, es
recomendable el uso de la calculadora para la solución de este tipo de ecuaciones.
También se considera conveniente presentar problemas que lleven a plantear y resolver
este tipo de ecuaciones, por ejemplo la determinación del valor desconocido de una de las
cantidades que intervienen, en las fórmulas de física, geometría o obtenidas de otros
contextos.
Además, se sugiere la utilización de “la percepción de patrones y regularidades” ,
donde a partir de listas o secuencias de números y figuras que presentan algún patrón de
comportamiento, los alumnos encontrarían algunos de los términos que da continuidad a
la secuencia. Ejercicios como estos preparan para percibir patrones, regularidades y para
expresar su generalidad por medio del lenguaje numérico y diagramático. Se encontraron actividades para el abordaje del álgebra, en todos los programas
de matemáticas de segundo grado, excepto en el de 1939.
151
En el programa de segundo de 1928, para conducir gradualmente al alumno para
que entienda el significado de los tecnicismos algebraicos, en especial para el
conocimiento y uso de expresiones algebraicas sencillas, se proponían ejercicios como: Si
el metro de tela vale " p"pesos, cuánto cuestan metros, 10 metros, etc. Otro tipo de 5
ejercicios serían el decir como cree que puedan leerse expresiones algebraicas como
etc. ab, 2n, a2b,
Para comenzar a entender las literales como símbolos de magnitudes se
mencionaban ejercicios como: Tomando dos segmentos , construir los siguientes
segmentos: . Además, se señalaba la práctica en el uso de fórmulas, con el fin
de desarrollar la habilidad para encontrar el valor de una literal desconocida en una
fórmula o en una ecuación sencilla.
a y b
a + 2b + 3b
Se proponía ilustrar geométricamente y explicar algebraicamente el proceso de
multiplicación de un binomio por un monomio, por un polinomio y por un binomio, a través
de problemas como; El área de un rectángulo de lados se cálculo por la fórmula
¿Cuál es el valor del área?
a y b
s = ab
Para el tratamiento de las ecuaciones con literales sencillas, enteras y
fraccionarias, se pedía expresar con una ecuación o fórmula, una regla, relación o ley
dada verbalmente y derivar nuevas fórmulas que se aplicarán luego. Por ejemplo: El
número de vatios que consume un aparato de calefacción, es igual al producto del voltaje
de la línea , por el número de amperios ((v) I), indicados en el aparato como w = vI . ¿Cuál
será la fórmula para calcular v y I?
Se proponían ejercicios de práctica en la resolución de ecuaciones con literales
donde el alumno indicara solamente las operaciones que debían realizarse, ejecutar las
operaciones y comprobar el resultado, además se sugerían competencias en la resolución
de ecuaciones. También se proponían problemas sencillos cuya solución exigía eliminar
una variable común en dos fórmulas o ecuaciones. Por ejemplo: ¿Cuál será la longitud de
la circunferencia que limita un círculo de 78.5m2 de área? Usando las fórmula
a = π r2; C = 2π r . Además se quería formar la habilidad de sustituir en una fórmula un
valor obtenido en otra fórmula. Se mencionaba que los estudios de física que se hacían
en ese mismo año serían otra fuente de problemas.
También se sugería plantearles problemas sin número, donde se proponía discutir
la solución de los problemas.
En lo que respecta a sistemas de ecuaciones, se quería desarrollar la habilidad
para plantear problemas y para decidir que operaciones eran adecuadas para resolver un
sistema de ecuaciones, también se proponía realizar competencias.
Para el estudio de los exponentes el alumno escribiría una fórmula para encontrar
el exponente de , además de establecer asociaciones como exponente mayor que cero,
exponente igual a uno y exponente menor que cero.
a
152
153
Los programas segundo grado de 1946 señalaban algunas indicaciones para el
estudio del álgebra, ya que el objetivo era lograr que el alumno se acostumbrara al
simbolismo algebraico. Se mencionaba que el lenguaje algebraico se adquiría con mayor
facilidad y se usa con más precisión y seguridad si se iniciaba su estudio a través de la
fórmula y la ecuación, que comenzándolo con definiciones, seguidas inmediatamente de
reglas carentes de significado para los alumnos.
A través de fórmulas y ecuaciones, el alumno iba aprender lo que era una literal,
un coeficiente, etc. y entendería el significado de expresiones que usa en fórmulas y en
problemas que plantea y resuelve.
Los conocimientos que el alumno adquiriera debían de ser claros, precisos y
utilizables, y le debían de ayudarle en la vida. Se mencionaba que los ejercicios de
adiestramiento debían limitarse a los procedimientos fundamentales de aplicación
frecuente; el uso de los símbolos como quitar paréntesis se desarrollaría gradualmente.
Para que el alumno adquiriera habilidad en el uso de literales expresaría
verbalmente y luego algebraicamente relaciones numéricas muy elementales y traduciría
a lenguaje común expresiones algebraicas.
Para el desarrollo de los conceptos de monomio, binomio, polinomio, se sugería
hacer fórmulas relativas a cuestiones y problemas cuidadosamente elegidos y graduados
sobre perímetros, áreas, velocidades, compras, ventas, etc., además de ejercicios muy
sencillos de simplificación y de transformación de expresiones literales.
Como se mencionó, se quería que el alumno adquiriera la habilidad en el uso de
fórmulas y en el computo de expresiones literales, se usarían las fórmulas que el mismo
alumno haya escrito, u otras para resolver problemas sencillos. Además el profesor daría
una breve exposición y se discutiría en clase sobre la utilidad de la fórmula, su uso
universal y su significado como expresión de relaciones numéricas, además de los
esfuerzos de la humanidad para el desarrollo del simbolismo algebraico. Se realizarían
ejercicios como formar tablas numéricas correspondientes a una fórmula, donde se
compararían los números de la tabla y observaría como dependen unos de otros. Se
señalaba que las fórmulas se referirían a diversos asuntos como salarios, intereses,
conversión de unidades, etc.
Para la resolución de ecuaciones de primer grado, se mencionaba que la ecuación
debía ser motivada por problemas, pero no sólo se debían de resolver los problemas
numéricos usuales, los cuales se pueden resolver con procedimientos aritméticos, sino
obtener una solución general que expresara las relaciones existentes entre las cantidades
que intervienen en cada problema.
Por lo tanto se sugería proponer problemas de áreas, volúmenes, intereses, etc.
que dieran lugar al cálculo de una magnitud que interviene en una fórmula dada,
conociendo los valores de otras magnitudes, con el fin de adquirir la habilidad para
sustituir las literales en una fórmula por los valores numéricos correspondientes de
acuerdo con las unidades mencionadas en los datos.
Además, se proponía la resolución de problemas que dieran lugar a ecuaciones
numéricas de primer grado, los cuales tuvieran la incógnita en el primer miembro, además
se realizarían ejercicios sistemáticos para transformar una expresión en otra más sencilla,
es decir reducir términos semejantes.
Para el conocimiento de algunos productos notables se realizarían ejercicios sobre
productos en la forma: (a+ x)b; (a− x)b; (a+ x)(b+ x); (a + b)2; (a − b)2.
En los programas de matemáticas de 1964, era hasta el segundo grado cuando se
iniciaba al alumno al estudio del álgebra, se preparaba para el uso e interpretación de las
literales y la generalización de números.
Se proponía la resolución aritmética de problemas sencillos con número de una o
dos cifras, tales como: precio de venta = costo + ganancia (v = c + g); también se podrían
presentar problemas de perímetros de triángulos, cuadriláteros o polígonos regulares, así
como áreas y volúmenes de cuerpos usuales.
Para que los alumnos diferenciaran la escritura aritmética de la algebraica se
presentaban problemas con enteros y decimales de las cuatro operaciones, por ejemplo:
, después se presentaría expresiones algebraicas sencillas como $48+ $36 = $84 a + b = c ,
lo cual permitiría al alumno comparar y diferenciar entre la escritura aritmética y la
algebraica. Se le pedía al profesor hacer hincapié en que los alumnos observen y
después deduzcan. También se tomaba en cuenta los diferentes signos y operaciones
que se usan en álgebra, para indicar las operaciones fundamentales (adición, sustracción,
multiplicación y división) se emplea en general, los mismos signos que en aritmética. Para
la multiplicación se mencionaba como un caso especial, ya que en álgebra no se escribe
el signo de la operación, además se pedía plantear problemas o expresiones algebraicas
que condujeran al uso de paréntesis.
Para la escritura y lectura algebraica de expresiones enunciadas en “lenguaje
llano”, se sugerían las expresiones con una o dos literales, se creía conveniente dar un
154
gran número de ejercicios utilizando expresiones algebraicas, así como fórmulas de
geometría y física. Para el aprendizaje de conceptos fundamentales como: cociente, exponente y
potencia, el profesor explicaría el coeficiente como signo para abreviar la adición de
sumandos iguales y el exponente como signo para abreviar multiplicaciones de factores
iguales.
En el programa, se consideraba a la fórmula como una expresión de relación o
leyes generales, se utilizarían fórmulas de geometría y física que fueran de interés para el
alumno, así como la aplicación de problemas que requerían el uso de fórmulas conocidas,
haciendo variar los datos del problema. También se pedía el tabular expresiones
algebraicas asignando a la literal valores enteros de uno hasta cinco.
Se señalaba que era conveniente que la enseñanza de ecuaciones literales
sencillas fueran derivadas del planteamiento correcto de un problema para encontrar su
resolución. Se recomendaba ilustrar por medio de “la balanza”, las diferentes operaciones
que se hacen en una ecuación. Por ejemplo ecuaciones sencillas que se resuelvan por
adición o sustracción o multiplicación y división.
El tema de expresiones algebraicas como son: monomios, binomios, trinomios y
polinomios se debían de explicar con suficientes ejemplos distinguiendo las
características esenciales de cada una de ellas.
En operaciones con monomios se introduciría la noción de términos semejantes; se
distinguiría sus características, así como la reducción de términos semejantes.
Para la adición de monomios se proponían ejercicios de la siguiente forma:
(−3ab) + (+2ab) = , se recomendaba recordar la ley conmutativa y asociativa de la adición
con “números aritméticos”, antes de usar expresiones algebraicas, para después aplicarla
a la adición de monomios.
En la sustracción de monomios se recomendaba ilustrar primero con números
algebraicos usando la recta numérica, se le debían de dar suficientes ejercicios, así como
combinar ejercicios de adición y sustracción de monomios, donde se suprimieran
paréntesis precedidos de signos positivos y negativos.
Al igual que en la sustracción se recomendaba la enseñanza de la multiplicación de
números algebraicos como conocimiento previo a la multiplicación de monomios, a través
de la definición general: la multiplicación es una adición abreviada de mandos sumandos
iguales, ya sea en sentido aditivo o sustractivo, según el signo que los precede; se
deducirían las reglas de esta operación (el producto de dos números algebraicos de igual
155
156
signo es positivo, la multiplicación de dos números algebraicos de diferente signo , es
negativo). Se menciona que el profesor debía de evitar las notaciones de estas reglas.
Para el cálculo de dos monomios sencillos se explicaría el proceso para multiplicar.
Para revisar la noción de exponente se pedía aplicar la definición de exponente, así
como sus reglas.
Para la división de monomios, el profesor debía de explicar al alumno conceptos
como: definición de división, la división como operación inversa a la multiplicación y las
reglas generales de la división de números algebraicos. Se sugería proponer suficientes
ejercicios donde estuvieran presentes diferentes signos, coeficientes y literales.
Para el estudio de operaciones con polinomios se proponía la resolución de
ecuaciones sencillas en las que tuvieran que efectuar estas operaciones.
En lo que respecta al tema de fracciones algebraicas, el profesor debía de revisar
las propiedades y operaciones de fracciones comunes aritméticas y generalizarlas, para
posteriormente poder aplicarlo para resolver este tipo de operaciones.
El tema de productos notables, en lo que respecta al cuadrado de un binomio
(suma o diferencia), se recomendaba iniciar el tema con ejemplos y ejercicios numéricos,
para después realizarlo después algebraicamente, se pedía realizar la “justificación
gráfica”; quedaba a consideración del maestro que los alumnos la realizarán en una
cartulina.
Para el producto de binomios conjugados, el profesor explicaría el “teorema” y sus
características, además de hacerles notar las diferentes formas que estos pueden tener,
también se pedía mostrar su justificación gráfica.
En el estudio del producto de dos binomios que tienen un término común, así como
el cubo de un binomio, se propondrían suficientes y variados ejercicios, para el primero se
pedía su justificación gráfica. En el estudio de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, el profesor
debía de proponer suficientes ejemplos para que el alumno llegara a entender este tipo de
ecuaciones, además de problemas cuya solución fuera por medio de ecuaciones de
primer grado. El profesor debía de justificar la transposición de términos por medio de la
aplicación de las propiedades de la igualdad. Además el profesor debía de proponer
ecuaciones cuyos términos contengan paréntesis, uno o dos términos fraccionarios, así
como el proceso de despejar la incógnita. Se quería hacerle ver al alumno que el objeto
fundamental del álgebra era saber la operación que debe manejar, aplicarla la ecuación y
la fórmula con la finalidad de resolver problemas. Las fórmulas de física y química
157
adiestraría al alumno en la aplicación de ellas o bien en el despeje de cualquier literal
contenida en las mismas.
Para dar a conocer a los alumnos los métodos analíticos más usuales para la
resolución de sistemas de ecuaciones simultaneas lineales con dos incógnitas, se
propondrían suficientes y variados ejercicios en los que se practique los diferentes
métodos, además de problemas relacionados con las necesidades de la vida real del
alumno, cuya solución requiere la aplicación de este tipo de ecuaciones simultaneas.
Para el método gráfico, se sugería al alumno desarrollar este tema usando papel
cuadriculado o milimétrico. Además se recomendaba que este conocimiento fuera
impartido atendiendo los siguientes subtemas: sistema rectangular de coordenadas
cartesianas, determinación de un punto por sus coordenadas, determinar las coordenadas
de un punto situado en alguno de los cuadrantes, representación gráfica de la ecuación
lineal o de primer grado.
En los programas de 1974, el estudio del álgebra se iniciaba en el segundo grado.
En lo que respecta a expresiones algebraicas, el alumno primero debía de
identificar las variables y constantes en expresiones dadas, a través del análisis de
fórmulas sencillas de física, geometría, etc. Derivaría expresiones a partir de ejemplos
concretos y remplazaría las variables tomando valores de conjuntos determinados.
Resolvería problemas en los que se apliquen fórmulas. Además enunciaría expresiones
matemáticas en lenguaje común y las escribiría en lenguaje algebraico.
A través de la observación de varias expresiones algebraicas, identificaría que
estas están formadas por términos, el alumno escribiría expresiones con tres, dos o un
término y los llamaría según correspondiera: trinomio, binomios o monomios, además
identificaría coeficientes, potencias, bases y exponentes. Se debían de efectuar ejercicios
en los que se afirmarían los conceptos estudiados.
El alumno identificaría de varios términos propuestos aquellos que son
exactamente iguales o que solo difieren en el cociente y los llamaría términos semejantes.
Se resolverían varios casos de reducción de polinomios en los que se presentaban
términos semejantes. Se menciona proponer cálculos de perímetros de figuras rectilíneas
en las que se requiera reducir términos.
Para efectuar adiciones con monomios y polinomios, se planteaba primero una
suma de monomios, se observaría que esta representa un polinomio, se simplificarían
términos semejantes y se comprobaría si la adición de monomios cumple con las
propiedades de la adición de enteros.
Para la sustracción, multiplicación y división de monomios, se proponían
sustracciones y multiplicaciones en los que se desconozca un factor, el alumno debía de
encontrar el factor desconocido.
En la sustracción de polinomios, se debían de proponer sustracciones de dos
polinomios, se resolvería la sustracción sumando el inverso aditivo del segundo polinomio,
se realizaría la operación en columna para facilitar el resultado.
Para la multiplicación de un polinomio por monomio, se propondría una
multiplicación y resolvería la operación aplicando la propiedad distributiva. Para la
multiplicación de polinomios por polinomios, también se aplicaría la propiedad distributiva
y la multiplicación de monomios. Se mencionaba efectuar las multiplicaciones de forma
vertical.
En la división de polinomio entre monomio, se plantearía multiplicaciones de un
polinomio por un monomio en los que se desconozca un factor desconocido, se
expresaría esas mismas multiplicaciones en forma de división y el alumno encontraría el
factor desconocido.
Para la resolución de ecuaciones de primer grado se plantearía un ecuación como
por ejemplo 3x − 6 = 0, la presentaría como función y la representaría gráficamente en el
plano cartesiano, mediante esta representación el alumno llegaría a la conclusión que una
ecuación de primer grado del tipo: ax + b = 0, tiene como solución la abcisa del punto
donde la recta corta al eje de las x .
También se analizarían problemas que arribarán al planteamiento de ecuaciones,
como por ejemplo: la velocidad es igual a la distancia sobre el tiempo, se planteaba la
fórmula, pero si se quería saber cual era la distancia, se tenía que despejar de la
ecuación. Se pedía escribir enunciados como: la suma de un número más 15 es igual a
, estos enunciados se traducirían a ecuaciones de primer grado, las cuales los alumnos
las resolverían y comprobarían.
63
En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el alumno plantearía
problemas como “encontrar dos números cuya suma sea 9”, formularía la ecuación y se
propondrían pares ordenados de valores para resolver la ecuación. Completaría el
problema planteado anteriormente, imponiendo una nueva condición, por ejemplo:
“encontrar dos números cuya suma sea 9 y cuya diferencia sea ”. El alumno formularía
las dos ecuaciones respectivas, trazaría la gráfica del sistema para encontrar la solución.
7
Resolverían sistemas eliminando por reducción (sumando o restando ecuaciones)
una de las variables. Resolvería otros ejemplos en que se requiera cambiar coeficientes
158
de la variable que se desea eliminar. Se concluiría que en general, el método consiste en
remplazar una o las dos ecuaciones del sistema por otras equivalentes en las cuales una
de las variables tenga coeficientes de igual valor. Después se seguiría con los pasos
conocidos para hallar el valor de ambas variables.
En el método por sustitución se presentaría un sistema de ecuaciones, se
despejaría una de las variables en una de las ecuaciones y sustituiría la expresión
obtenida en la otra ecuación. Trazaría también la gráfica de esta ecuación y se
proseguiría con la resolución con los pasos conocidos.
Se señalaba que se debía de plantear suficientes y variados problemas donde se
aplicará algunos de los procedimientos anteriores.
En lo que respecta a las funciones, el alumno aplicaría el concepto de función en el
análisis de variaciones proporcionales, identificaría la variación directamente proporcional
como una función, mediante el análisis de problemas como por ejemplo: “¿Cuál es el
perímetro de un triángulo equilátero de lado ?”, el alumno debía de observar que la
solución del problema requiere la aplicación de la fórmula
a
P = 3a , escogería varios pares
ordenados de que hicieran verdadera la proposición abierta de a y P P = 3a , y concluiría
que varían tanto los valores de a como los de P , deben calcularse aplicando la “regla de
dependencia” donde a es la variable independiente y P es la variable dependiente.
Reconocería que la relación que existe entre el conjunto de valores de a y el conjunto de
P es una función, ya que a cada elemento del dominio le corresponde una imagen.
Además, el alumno interpretaría gráficas, tabularía la fórmula usada anteriormente,
asignaría valores, trazaría dos ejes en una cuadrícula y ubicaría los valores
correspondientes a cada eje y trazaría la recta que los une.
Asimismo, identificaría la variación inversamente proporcional como una función,
mediante el análisis de problemas, por ejemplo: “Se quiere comprar un terreno rectangular
de 240 metros cuadrados de superficie. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones?, se
planteaba el problema el cual quedaba A = la, se elaboraría la tabla con pares de valores
que hagan verdadera la proposición, dando valores arbitrarios a l y calculando los de a .
Se harían tabulaciones semejantes de fórmulas en las que intervengan magnitudes
inversamente proporcionales.
Para el estudio de las funciones lineales, se tabularía una función, por ejemplo
f (x) = 2x + 3, para los valores de x = −3,−1, 0,1, 3[ ]; se indicaba que convenía dar valores
racionales, se trazaría un plano cartesiano y se localizaría el punto que corresponde a
cada par ordenado, y se observaría que la gráfica es una recta que pasa por el origen, se
159
160
llamaría función lineal a toda función cuya gráfica sea una recta, además los alumnos
también observarían que todo polinomio de primer grado, de una variable , es una
función lineal. En los programas de matemáticas de 1993, se menciona que el álgebra ha sido
tradicionalmente uno de los temas centrales de la enseñanza de las matemáticas en la
secundaria. En el programa de primero se proponen algunos contenidos de preálgebra,
aproximándose menos abruptamente a ésta, con el propósito de aprovechar las
oportunidades que ofrece la aritmética y la geometría para que los estudiantes se inicien
gradualmente en el uso de las literales y otros temas que preparan el acceso al álgebra.
En el segundo grado, el estudio del álgebra se inicia con una revisión de las
principales reglas de escritura algebraica y con el tratamiento de las ecuaciones lineales.
Además se contemplan operaciones con monomios y polinomios, la introducción del plano
cartesiano y la iniciación al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y su solución.
Se resalta la importancia que tiene para el aprendizaje de las matemáticas que los
alumnos aprendan a resolver problemas utilizando el lenguaje y los procedimientos
algebraicos, con el fin que tengan la oportunidad de revisar y utilizar constantemente las
nociones y procedimientos básicos.
Las actividades deben enfatizar el uso de situaciones concretas y su
representación por medio de tablas y gráficas. Es importante que durante todo el
aprendizaje del álgebra los alumnos la utilicen para resolver problemas, estos problemas
no sólo deben verse como aplicaciones de contenidos vistos, sino que deberán estar
presentes en todas las fases del aprendizaje, para introducir y facilitar la comprensión de
nuevos conocimientos, así como para enriquecer los que hayan revisado con anterioridad.
Se menciona que al diseñar el curso, es conveniente que el profesor organice los
contenidos del álgebra en:
Nociones y procedimientos: forman base del conocimiento algebraico, con el tiempo son exigibles a todos los alumnos, ya que son necesarios para cualquier aprendizaje matemático posterior. (Planteo y solución de problemas que conducen a ecuaciones lineales, a sistemas de ecuaciones, a funciones, ejercicios de despeje y sustitución, operación con monomios y polinomios, productos notables, ecuaciones cuadráticas).
Técnicas de uso frecuente: se tratan de procedimientos que el alumno deberá saber emplear de manera correcta, sin caer en su utilización
irreflexiva.(Métodos para resolver sistemas de ecuaciones y factorizar polinomios)
Ejercicios y problemas: no solo son ejercicios para que se practiquen los procedimientos visto, sino deben de haber un número suficiente de ejemplos de aplicaciones y problemas de búsqueda e investigación. Las aplicaciones servirán para que los alumnos reconozcan la utilidad del álgebra, los problemas deberán favorecer una actitud de búsqueda y producción de conjeturas.
Experiencias necesarias: comprenden situaciones que el alumno debe vivir para que las nociones matemáticas tengan sentido para él.
Precisión de nociones: por un lado es recoger y darle forma a los conocimientos matemáticos adquiridos por los alumnos a través de las actividades en clase, y por otro lado, de proporcionarles los medios de expresión que les permitan resumir experiencias diversas.86
Se señala que en la enseñanza del álgebra en el segundo grado, se retoman los
temas de preálgebra revisados en el primer grado, además de introducir elementos de
lenguaje simbólico, necesarios para que los alumnos puedan enfrentar con éxito la
solución de ecuaciones. Es necesario que los símbolos y las operaciones algebraicas se
introduzcan a partir de situaciones familiares, lo que les permitirá adquirir destreza y
seguridad en el manejo de los procedimientos algebraicos y utilizarlos para resolver
problemas complejos.
Las ecuaciones y los métodos para resolverlas representan el primer contacto con
algunas nociones y procedimientos fundamentales del álgebra, por ellos se considera
importante presentar actividades y problemas para que comprendan estas nociones y se
percaten que las condiciones de un problema se traducen en una ecuación.
Para plantear ecuaciones lineales, sugieren problemas de longitudes, perímetros y
áreas, por ejemplo: “Se quiere encontrar el valor de x , en un pentágono que tiene un
perímetro de . Otro tipo de problemas que se sugieren son los de distribución de
objetos por ejemplo: “Se reparten 133 chocolates entre dos grupos de alumnos. El
segundo grupo recibe 19 chocolates más que el primero. ¿Cuántos chocolates recibe
cada grupo?”. Se menciona que una vez que los alumnos se hayan familiarizado con este
tipo de problemas, conviene incrementar el número de ocurrencias de la incógnita y el tipo
de operaciones involucradas. Este tipo de problemas dan lugar a ecuaciones que se
80cm
16186SEP, (1994). Op. Cit. pp. 148- 153.
reducen fácilmente a ecuaciones de un paso con la ayuda de los procedimientos
prealgebraicos desarrollados durante el primer grado, todas estas ecuaciones pueden
resolverse utilizando el procedimiento de invertir las operaciones indicadas.
Para la resolución de ecuaciones lineales, se sugiere utilizar modelos de
enseñanza para resolverlas, se menciona que se ha observado que mediante estos
modelos, el alumno aprende mejor. Uno de ellos es el “modelo de la balanza”, este se
basa en una analogía entre lo que podemos quitar o poner en ambos platillos de una
balanza sin que se pierda el equilibrio, y las operaciones que pueden realizarse en ambos
miembros de una ecuación conservando la igualdad. Por ejemplo la ecuación propuesta
es: 7x + 5 = 4x + 20, las acciones que se realizaran para resolverla consisten en quitar
pesos desconocidos e iguales a x de ambos platillos de la balanza, hasta obtener una
balanza con pesos desconocidos sólo en uno de los lados, esto permite reducir la
ecuación inicial a una ecuación del tipo ax + b = c , es decir con la incógnita de un sólo
lado. Luego se aplica el procedimiento de invertir operaciones para encontrar el valor de
x y resolver la ecuación. Una vez que el alumno haya adquirido la experiencia suficiente
en el uso del modelo, es conveniente comenzar a introducir las ideas de pasar sumando,
restando, multiplicando o dividiendo de un lado a otro de la ecuación.
Las reglas de trasposición (reducción de términos) representan una evolución del
“modelo de balanza”, donde ciertos pasos se abrevian porque se perciben sus efectos. Se
menciona que este modelo proporciona una base intuitiva a las reglas de trasposición de
términos y al mismo tiempo, permite que los alumnos desarrollen estrategias para
despejar la incógnita.
Para preparar a los alumnos en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales,
se considera conveniente que los alumnos practiquen y resuelvan algunos casos sencillos
de ecuaciones con paréntesis, situaciones geométricas que permitan construir con
facilidad problemas que conducen a ecuaciones.
La enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales deben empezar con
problemas sencillos, se considera conveniente que los alumnos se apropien gradualmente
de estos, por lo que en el segundo grado sólo se revisa la resolución del sistema por
sustitución. Es importante que los sistemas de ecuaciones se introduzcan mediante
problemas, ya que los alumnos podrán ver que en algunos problemas no sólo hay una,
sino varias incógnitas, además entiendan que estos problemas se traducen por lo general
en varias ecuaciones.
162
Como se mencionó, el programa considera las expresiones algebraicas y sus
operaciones, en el segundo grado el propósito es que los alumnos comprendan y
adquieran poco a poco seguridad y destreza en el manejo de monomios y polinomios,
además son importantes los procedimientos que implican la reducción de factores con
base común en un monomio, la simplificación de términos semejantes en un polinomio y
las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios. Es primordial que las
operaciones con polinomios no se presenten en forma vertical, conviene que haya
ejercicios en forma horizontal, con el fin que los alumnos practiquen las reglas de
eliminación de paréntesis en la suma, resta y utilicen la propiedad distributiva al multiplicar
polinomios.
Los problemas y las operaciones con números perdidos como los propuestos en
aritmética podrán adaptarse para que los alumnos reflexionen sobre las operaciones con
polinomios.
Otro contenido que se considera en el programa de segundo es el plano cartesiano
y las funciones, aunque en este grado sólo se localizaran regiones y subconjuntos que
satisfagan condiciones sencillas, posponiendo el estudio de las funciones al tercer grado. A continuación se realiza el análisis de las actividades para el estudio del álgebra
en el tercer grado de los programas de 1928, 1946, 1964, 1974 y 1993. En los programas de tercer grado de 1928, se mencionaba que no se sugerían
actividades, ya que estos no serían distintos de los anotados en los programas de los
cursos anteriores. Únicamente se insistía en que la revisión se realizara por medio del
estudio y resolución de problemas donde se requiera el uso del álgebra. Por ejemplo: “Un
hombre y un muchacho llevan una caja que pesa 120 , suspendida de un madero de
de largo. Si la caja está suspendida a un metro del hombre, ¿qué carga soporta
cada uno?, se plantearía primero aritméticamente y después algebraicamente.
kg
2.5m
La solución de problemas y el estudio de fenómenos conocidos e interesantes
motivarían el conocimiento y estudio de la ecuación de segundo grado, la geometría
proporcionaría suficiente material. En el programa de tercero de 1946, se estudiaban las ecuaciones de segundo
grado, a través de ejercicios y problemas que dieran lugar a ecuaciones, y al uso de
fórmulas sencillas donde intervinieran literales con el exponente , además problemas
que conduzcan a ecuaciones incompletas y completas de segundo grado. También se
2
163
practicaría el uso de las tablas de cuadrados, raíces cuadradas y la fórmula general, para
la cual se discutiría las soluciones que puede tener una ecuación de segundo grado. En el programa de tercer grado de 1964, se mencionaba que el álgebra debía de
ayudar al individuo en el desenvolvimiento, formación de hábitos y métodos que le dieran
elementos para organizar el pensamiento.
Lo que se pretendía era capacitar al alumno para emplear el simbolismo
algebraico, como instrumento de abstracción, generalización y como un medio de
expresión sintético y exacto, además de guiarlo en la resolución de los problemas reales
que la ciencia moderna presenta (en física, química, mecánica, estadística, contabilidad
etc. ).
Para el estudio de operaciones con potencias, se señalaba tratarlos con ejercicios
graduados de operaciones con potencias de igual base, y con exponente positivo y
negativo.
En operaciones con radicales, también se indicaba el uso de ejercicios variados
con radicales cuyos índices sean 2 . o 3
En las ecuaciones de segundo grado, se debían de presentar ejercicios donde el
alumno distinguiera las diferentes formas de ecuaciones de segundo grado.
Se sugería al profesor, que antes de tratar la obtención de la fórmula general
procurará proponer al alumno un gran número de casos concretos y variados de
resolución de ecuaciones, con dificultad ascendente. En el estudio de los logaritmos se creía conveniente que el alumno se diera cuenta
que estos son muy útiles y que tienen aplicación práctica. Por ejemplo podrían aplicarlos
para “calcular la fórmula de la resonancia la cual se aplica en radiotelevisión”. Era conveniente que el alumno, guiado por el maestro tuviera un conocimiento de
la noción de función, no era necesario dar a conocer una teoría de las funciones, pero si
que el alumno analizará numerosos ejemplos de cantidades que dependen unas de otras
comenzando con ejemplos sencillos, como por ejemplo: “el volumen de una esfera
depende de la magnitud de su radio, en el que se considera que el volumen de la esfera
es función de su radio”. En el programa de tercer grado de 1974, sólo se revisaba productos notables y
ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.
En cuanto al estudio de productos notables, se obtendría un trinomio cuadrado
perfecto al calcular el cuadrado de un binomio, a través de la obtención del área de un 164
cuadrado, expresaría sus medidas del cuadrado con literales y generalizaría la regla del
cuadrado de un binomio, el alumno observaría que el cuadrado de un binomio es un
trinomio y lo llamaría cuadrado perfecto.
La diferencia de cuadrados se obtendría al multiplicar binomios conjugados.
Plantearía el producto de una suma de dos términos por su diferencia, comprobaría su
resultado gráficamente, obtendría la regla del producto de binomios conjugados, la cual
menciona que el producto es igual a una diferencia de cuadrados.
También, obtendría un trinomio de la forma x 2 + bx = c al multiplicar binomios con
un término común.
Para las ecuaciones de segundo grado, se plantearía un problema que condujera al
establecimiento de una función cuadrática, se tabularía la función; el alumno observaría
que el exponente de la variable es dos, por lo que a está función se le llamaría función
cuadrática, representaría la función en el plano. El alumno llamaría ecuación de segundo
grado, a las igualdades que tengan por lo menos un término de segundo grado.
También clasificaría las ecuaciones de segundo grado en incompletas y completas.
El alumno resolvería problemas que dieran lugar a ecuaciones de segundo grado
donde se resuelva la ecuación aplicando la fórmula general y la representación gráfica de
una función cuadrática. En el programa de tercer grado de 1993 se profundiza y completa el estudio de los
temas anteriores y se introducen temas como: productos notables, factorización y
ecuaciones cuadráticas, poniendo énfasis en la factorización de polinomios de segundo
grado y la solución de ecuaciones cuadráticas por diversos métodos.
Como se mencionó anteriormente, es importante que el profesor diseñe situaciones
y problemas donde alumnos puedan adquirir destreza y seguridad en el manejo de los
procedimientos algebraicos y utilizarlos para resolver problemas complejos.
En el tercer grado, se profundiza en las operaciones con polinomios, se debe de
tener presente la comprensión de fracciones, para ello es necesario diseñar actividades
en las que los alumnos recuperen la agilidad perdida y se avance en su adquisición.
El estudio de las ecuaciones lineales se completa y enriquece en tercer grado,
donde se revisan procedimientos para eliminar los denominadores en las ecuaciones con
coeficientes fraccionarios, así como ejemplos de ecuaciones que se traducen a lineales.
En lo que respecta a sistemas de ecuaciones, en el tercer grado se seguía
practicando el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2× 2
Se introducen además otros métodos como el de igualación, el gráfico y el de, suma y
165
resta, así como algunos ejemplos de resolución de sistemas 2× 3, utilizando el método de
eliminaciones sucesivas, con el fin que los alumnos puedan comparar diversos métodos y
decidan cual es el más cómodo de emplear según sea el caso.
Se considera conveniente seguir resolviendo problemas para que los alumnos
afinen su comprensión de las relaciones entre los datos y las incógnitas de un problema.
La representación del método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones
lineales , debe estar precedida por actividades para que los alumnos se familiaricen
con la representación gráfica de la solución de ecuaciones de la forma
2× 2
ax + by = c , y sepan que se trata de rectas.
Se menciona que la factorización es uno de los procesos fundamentales del
álgebra, la estrategia para enseñar factorización es que los alumnos se acostumbren a los
productos notables y los apliquen para factorizar polinomios. Conviene introducir los
productos notables apoyándose en modelos que les den un “soporte visual intuitivo”. Los
alumnos necesitan ejercitarse en la utilización de los productos notables, ya sea para
desarrollar expresiones sencillas, o para agilizar los cálculos en expresiones más
complicadas.
Se considera que las aplicaciones de los productos notables al cálculo numérico
servirán al profesor para enriquecer y hacerlos más interesantes a los alumnos para
practicarlos y acostumbrarse a ellos.
El estudio del álgebra termina con el estudio de las ecuaciones de segundo grado o
cuadráticas y los métodos que sirven para resolverlas incluida la fórmula general, se
menciona que no vale la pena reducir la solución de ecuaciones cuadráticas a la pura
aplicación de fórmulas.
Es importante primero enseñar a los alumnos a resolver ejercicios y problemas con
la técnica de completar cuadrados, o por el método gráfico, para después deducir junto
con los alumnos la fórmula general, para así diseñar actividades y ejercicios donde la
practiquen.
Además, deberán tener numerosas oportunidades de plantear y resolver problemas
que los conduzcan a ecuaciones cuadráticas, no es necesario, ni recomendable, esperar
a que dominen los procedimientos algebraicos de resolución, estos se pueden proponer
desde antes, además de permitir que los resuelvan por medios numéricos y gráficos.
Se menciona que el estudio de las funciones es preferible tratarlas en tercer grado
o en el bachillerato, cuando se hayan visto ejemplos suficientes que les permitan
comprender las funciones como una relación entre dos cantidades. Las actividades en
166
clase deberán escogerse de manera que los alumnos puedan darse cuenta del poder y la
utilidad de las funciones para describir situaciones de física, geometría, economía y otros
contextos.
Se considera necesario proponer situaciones y problemas que conduzcan a los
alumnos a elaborar tablas y gráficas, a partir de la expresión algebraica de una función. El
estudio y comportamiento de una función se enriquece si al tabular se agregan columnas
adicionales para registrar como se incrementan los valores de las variables.
Ya que los alumnos se hayan acostumbrado a las funciones y sus gráficas se les
puede proponer ejercicios para que practiquen la construcción de gráficas de funciones
matemáticas abstractas como funciones lineales y cuadráticas y = ax + b, ax 2 + bx + c . En resumen, para iniciar al alumno al estudio del álgebra en los programas de
primero de 1928, 1946 y 1993 se propone principalmente la utilización de fórmulas. En
1928, se sugería la utilización de ejercicios con fórmulas donde el alumno sustituiría
números por letras. En 1946, se mencionaba la resolución de problemas sin datos
numéricos donde el alumno encontraría el procedimiento para resolverlo mediante
fórmulas. En el programa de 1993, se considera conveniente que los alumnos se
acostumbren de manera gradual a la utilización de expresiones con literales y a las
primeras reglas de escritura algebraica mediante la solución de ejercicios y problemas,
donde se exprese, plantee y resuelva ecuaciones de un paso, en las que intervengan
fórmulas de física, geometría o de otros contextos.
En el programa de segundo de 1928, permanece la utilización de fórmulas, no sólo
con la finalidad de desarrollar la habilidad para encontrar el valor de una literal
desconocida, sino también para expresar mediante estas reglas o leyes y derivar nuevas
fórmulas que se aplicarían para el tratamiento de las ecuaciones con literales. Esta
presente la resolución de problemas que permitían eliminar una variable en dos fórmulas
o ecuaciones, así como para el estudio de los sistemas de ecuaciones. En el programa de segundo de 1946, continúa el estudio del álgebra a través de las
fórmulas y las ecuaciones, en vez de iniciarlo con definiciones y reglas. Para el estudio de
las expresiones algebraicas se sugería la utilización de problemas donde estuvieran
presentes fórmulas de perímetros, áreas, velocidades. La solución de problemas también
estaba presente en el estudio de las ecuaciones de primer grado, donde se expresaría la
solución general.
167
168
En el caso de los programas de 1964 y 1974 el estudio del algebra se iniciaba en
segundo grado, en el programa de 1964 vinculaba la aritmética con el álgebra, donde el
alumno observaría y compararía las diferencias o semejanzas que hay entre estas dos.
También se continúa considerando a la fórmula como una expresión general de
relaciones y leyes, las cuales se aplicarían junto con los problemas para el estudio de
ecuaciones con literales. Además en el programa de segundo de 1964 se observó la
utilización de conceptos matemáticos para explicar ciertos contenidos. Si bien continúa
presente la solución de problemas para el estudio de las ecuaciones de primer grado, el
profesor debía de recurrir a la aplicación de ciertas propiedades, la utilización de fórmulas
y problemas sólo servían para adiestrar al alumno en la aplicación de ellas.
En el programa de segundo de 1974, se iniciaba con el estudio de monomios y
polinomios, donde mediante el análisis de fórmulas sencillas identificaría el lenguaje y las
expresiones utilizadas en el álgebra, para después aplicarlas a la solución de problemas.
Se encontraba presente la representación gráfica, mediante la cual el asimilaría también
ciertos conceptos como en el caso de las ecuaciones de primer grado. El estudio de las
funciones era un tema presente en el programa, el alumno aplicaría el concepto de
función en el análisis de variaciones proporcionales. En el programa de segundo de 1993, es mediante la resolución de problemas que
el alumno utiliza el lenguaje y los procedimientos algebraicos, estos no son sólo la
aplicación de contenidos estudiados, sino facilitan la introducción y comprensión de
nuevos conocimientos y enriquecen los ya revisados. Los programas de matemáticas de
1993, proponen una forma para que el profesor organice los contenidos de álgebra. Los
problemas que se sugieren, están ligados con la geometría, principalmente presentando
problemas de longitudes, áreas y volúmenes para el planteamiento de ecuaciones
lineales. Para la resolución de ecuaciones lineales se sugiere utilizar ciertos modelos de
enseñanza para resolverlos, planteando la utilización del “modelo de la balanza”, presente
también en el programa de segundo de 1964.
En este programa, también se encuentra el tema de funciones, sólo que en este
grado únicamente se trabaja con la localización de regiones y subconjuntos que
satisfacen condiciones sencillas. Para el estudio del álgebra en el tercer grado, en lo que respecta al programa de
1928 se insistía en continuar con su estudio mediante la resolución de problemas donde
169
se requería el uso del álgebra. Para el estudio de las ecuaciones de segundo grado se
menciona que la geometría proporcionaría suficiente material.
En los programas de 1946, era a través de ejercicios y problemas que dieran lugar
a ecuaciones y a fórmulas que condujeran al planteamiento de ecuaciones completas e
incompletas de segundo grado, además del uso de la fórmula general para su solución.
Si bien en el programa de matemáticas de tercero de 1964, se mencionaba que se
debía de guiar al alumno en la resolución de problemas, donde los problemas eran vistos
como un instrumento de abstracción y generalización, se encontraba presente la solución
de ejercicios para el estudio de las operaciones con potencias, radicales y ecuaciones de
segundo grado. Para el estudio de las funciones, se mencionaba que no era necesario dar
a conocer una teoría de las funciones, sino únicamente el alumno
guiado por el profesor analizaría ejemplos de cantidades que dependen unas de otras
para tener un conocimiento de la noción de función.
En el programa de tercero de 1974, a través de la obtención de las áreas de
cuadrados, rectángulos en el que estuviera presente su representación, el alumno
obtendría los productos notables. Para las ecuaciones de segundo grado era a través del
planteamiento de problemas que dieran lugar a estas que se iban a estudiar.
En el programa de matemáticas de 1993, se continúa considerando conveniente
resolver problemas, no sólo para profundizar en conocimientos revisados con
anterioridad, sino también para el estudio de nuevos contenidos, como es el caso de las
ecuaciones de segundo grado. Para los productos notables se menciona que es
conveniente introducirlos mediante un modelo visual, para después ejercitar a los alumnos
en su utilización y cálculo. Con respecto a las funciones se menciona que es conveniente
tratarlas en tercero, utilizándolas para describir situaciones de física, geometría,
economía, además de proponer situaciones y problemas que condujeran a elaborar tablas
y gráficas a partir de la expresión algebraica de una función, para después proponerles
ejercicios donde las practiquen.
El enfoque didáctico en los programas de matemáticas
Dentro de este apartado, lo que se pretende es dar a conocer cuál era el enfoque
didáctico que presentan los programas, cuál es el papel del alumno, del maestro, y si hay
un sustento teórico en el que se basen.
En los programas de 1928, se mencionaba que para la organización y realización
de los programas, se tomó en cuenta los progresos de la psicología, no se señalaba
170
ninguna teoría en particular, sin embargo se deja ver un interés por conectar los
aprendizajes con la vida cotidiana del alumno; proponer aprendizajes que les sirvieran
para enfrentar los problemas y las exigencias que presentaba la vida. En el programa de
primer grado se quería que el alumno reflexionara y no sólo ejecutara los algoritmos,
aspecto que posteriormente en los programas de segundo y tercer grado no se observa.
El profesor sería el encargado de proporcionarle al alumno los elementos y las
condiciones necesarias para lograrlo, además debía conocer las dificultades individuales
o generales para atenderlas, así como los progresos de ciertas habilidades, en los otros
dos programas, en especial en el de segundo grado, si bien se le concedía cierta
importancia a cuestiones como la formación de hábitos o habilidades especiales, la
enseñanza era más dirigida y centrada en los contenidos. En el discurso que presenta los programas de matemáticas de 1939, se
mencionaba que la organización y enseñanza debía adecuarse a las condiciones del
alumno, a lo que éste pudiera aprender y de acuerdo a su desenvolvimiento mental, y no
con lo que el maestro pensaba que debían de saber o lo que el plan de estudios
planteaba. El profesor sería el encargado de llevar al alumno de un aprendizaje intuitivo y
concreto a una enseñanza de carácter científico, además sería el encargado de enseñar a
estudiar al alumno para que fuera capaz de adquirir conocimientos sin ayuda de él,
valiéndose de problemas familiares para llevar a los alumnos gradualmente a lo abstracto,
además proponían que el alumno aprenda actuando, se reconocía que aprender no debe
significar adquirir información, sino desenvolverse y quedar en aptitud de crear. Sin
embargo no se planteaba alguna teoría o argumento para fundamentar estas ideas, y no
se pudo realizar una comparación con las actividades, ya que estas no se encontraron
presentes.
La reforma de los planes y programas de 1946, se basan en tres corrientes: la
pedagogía genética, la funcional y la psicología estructural.
Dentro de la pedagogía genética se mencionaba que la enseñanza se apoyaba un
nuevo concepto de aprendizaje, donde este ya no se concebía como una actitud pasiva
del alumno; “frente a una situación problema, el alumno organiza sus reacciones para un fin consciente e intencionado, pues se aprende realmente cuando se produce en la conciencia del educando cierta habilidad que lo lleva actuar por si mismo en el momento favorable”87., el profesor no sólo transmitiría ideas y
87 SEP, (1946). Op. Cit. p. 11
171
conocimientos, sino dirigiría y orientaría el proceso de enseñanza , se veía reflejado cierto
interés por estimular la espontaneidad e iniciativa del alumno.
Por otra parte se mencionaba que la pedagogía funcional, tomaba en cuenta los
procesos mentales desde un punto más dinámico y utilitario, principalmente considerando
la relación entre el alumno y la sociedad; la educación debía de atender al presente y al
futuro de la vida del educando: “suministrarle los medios para que viva una vida que satisfaga sus intereses y necesidades actuales y prepararlo del mejor modo para las tareas subsecuentes de su desenvolvimiento”88, se quería despertar en el alumno
la conciencia de su responsabilidad en el progreso.
La psicología estructural, mencionaba que no hay desarrollo psicológico sino hay
imitación de una persona o autoridad que provea de una disciplina racional y un ejemplo
elevado, además se creía que la imitación que realiza el alumno no es inconsciente, este
considera que los conocimientos que tiene el maestro, favorecen en la formación de
hábitos y en el desarrollo de su personalidad, por lo cual se creía que era necesario la
utilización de un estudio dirigido.
En las actividades se observó la intencionalidad de la enseñanza, donde a partir
de situaciones problema, el alumno organizaría, tomaría consciencia y actuaría por el
mismo, siempre con un fin conciente e intencionado. Sin embargo la enseñanza era
dirigida y hacia énfasis en el desarrollo de ciertos hábitos de orden, limpieza, rapidez y
precisión, características de una enseñanza tradicional centrada más en los contenidos y
el profesor, aunque se comienza a tomar en cuenta al alumno desde una perspectiva
diferente, éste comienza a tener una mayor participación; el maestro era quien organizaba
el contenido y las actividades; este explica, pone ejemplos, hace ejercicios, y el alumno
repetía el discurso del profesor. Los programas matemáticas de 1964 sólo mencionaban que se consideraron tres
enfoques el psicológico, el sociológico y el lógico, pero no se señalaba explícitamente
ninguna teoría en particular. Sin embargo se indicaba que “la enseñanza se propone un fin utilitario o de trasmisión de conocimientos, la instrucción, y en segundo un fin pedagógico que consiste en la formación de buenas costumbres y habilidades, la educación que se obtienes mediante la repetición de buenos actos y la práctica de los conocimientos adquiridos”89.
88 SEP, (1946). Op. Cit. p. 11 89 Ibídem. p. 39.
172
En las actividades se observó una enseñanza dirigida con métodos verbales, el
profesor era el encargado de preparar la clase e impartirla, el alumno a través de
ejercicios y problemas aplicaría los conocimientos adquiridos. Había una preocupación
por aprender de forma ordenada y precisa. Las matemáticas iban a desarrollar en los
alumnos ciertos hábitos, dejando de lado el desarrollo del propio alumno. En los programas de 1974, se señalaba que como consecuencia a los avances
técnicos y científicos era necesario reformar y actualizar los procedimientos para la
dirección del aprendizaje de los alumnos, por lo que se requerían nuevos enfoques
didácticos que estimularan la participación activa del alumno en el desarrollo de los
procesos matemáticos que propiciaran la autoformación. Cabe recordar que lo que se
quería era conducir al alumno al desarrollo de un razonamiento matemático. En estos
programas había una presencia de bases teórica psicológica, matemática y pedagógica;
dichos sustentos eran: la teoría genética de Jean Piaget, la matemática moderna y el
diseño de estrategias para encauzar el aprendizaje.
Desde la teoría genética, se planteaba como marco de referencia para establecer
los objetivos educativos, además de ofrecer un sustento de naturaleza científica, ya que
proporcionaba una amplia y elaborada respuesta al problema de la construcción del
conocimiento científico. Proponía el desarrollo como objetivo, los alumnos debían
alcanzar en cada momento el mayor nivel de desarrollo, el alumno construiría su propio
conocimiento a través de la acción, la actividad del alumno era autodirigida, la
organización y planificación corren a cargo del propio alumno.
En estos programas también se observa la influencia de la matemática moderna, la
cual señalaba que si la materia se enseñaba lógicamente y que si se evidenciara el
razonamiento en que se apoya cada paso, los alumnos ya no tendrían la necesidad de
estudiar de memoria. Principalmente el programa de la matemática moderna hacía
énfasis en la estructura lógica, la cual se consideraba que unifica el cuerpo de las
matemáticas al mostrar que todos los teoremas proceden de un conjunto de axiomas que
se encuentran organizados en una sucesión lógica El origen de la matemática moderna
surge por el fracaso de la enseñanza tradicional de las matemáticas.
En el aspecto metodológico del proceso de enseñanza aprendizaje, el profesor más
que planear, debía de ofrecer situaciones propicias para el redescubrimiento de
conceptos matemáticos, seleccionando los procedimientos, los recursos y las técnicas
más adecuadas para los objetivos propuestos; ya que se consideraba que el único
aprendizaje que repercute en el alumno era el que descubre e incorpora a si mismo. El
173
aprendizaje por descubrimiento implicaba una tarea distinta para el alumno, en este caso
el contenido no se daba de forma acabada, sino debía ser descubierto por él, este
descubrimiento debía realizarse antes de poder asimilarlo. El alumno reordenaba el
material adaptándolo a su estructura cognitiva previa hasta descubrir las relaciones, leyes
o conceptos que posteriormente asimila.
Sin embargo, también se observaba la presencia de un modelo tecnológico, donde
se recurre a ejercicios prácticos específicos, lo cual se plasmaba en una secuencia de
actividades detalladas y dirigidas, si bien esta centrada en la actividad del alumno, este va
a reproducir conocimientos previamente determinados por el profesor. Este planteamiento
tecnológico pretendía programar de forma más detallada las actuaciones del docente, los
medios empleados, además de medir el aprendizaje de los alumnos en términos de
conductas observables, y otorgar cierta relevancia a lo conceptual, a las habilidades y
capacidades formales. No se tomaban en cuenta los intereses de los alumnos, su papel
consiste en la realización sistemática de las actividades programadas. El profesor exponía
y dirigía las actividades en clase.
Las influencias o tendencias de estos programas plasman la idea de cómo se
construye el conocimientos y como se debía de aprender matemáticas, se consideraba
que el alumno construye su conocimiento a través del descubrimiento, que es una visión
constructivista del aprendizaje centrada en el alumno, se debía de alcanzar un mayor
nivel de desarrollo, aunque metodológicamente las actividades estaban planteadas de
forma precisa y ordenada, se pudo observar una ruptura entre lo planteado en el discurso
y en las actividades, dado que se retoma más una didáctica basada en teorías
conductistas. En los programas de matemáticas de 1993, continúa presente la influencia
constructivista en la enseñanza y aprendizaje, la cual argumenta que los sujetos forman o
construyen gran parte de lo que aprenden. Basados en los planteamientos Ausbel y el
aprendizaje significativo, el cual tiene lugar cuando se intenta dar sentido o establecer
relaciones entre los nuevos conceptos o nueva información y los conceptos o
conocimientos ya existentes en el alumno, hay aprendizaje significativo cuando la nueva
información puede relacionarse, de esta manera el alumno no sólo construye su propio
conocimiento, sino esta interesado y decidido a aprender.
Es necesario presentarle al alumno material significativo que le permita establecer
una relación sustantiva con conocimientos e ideas ya existentes, que den lugar a la
construcción de significados, planteando el aprendizaje de las matemáticas vía resolución
174
de problemas. La forma de ver a los problemas cambia, ya que estos no se consideran
como un disfraz para los ejercicios algorítmicos rutinarios, sino los problemas son vistos
como una fuente de conocimiento, que permite un acercamiento a los diferentes temas de
estudio que presenta el programa; los alumnos aprendan matemáticas resolviendo
problemas.
La resolución de problemas se refiere a coordinar experiencias previas,
conocimientos y entendimiento para encontrar una solución que no se conoce, es un
medio para desarrollar el razonamiento matemático y una actitud positiva hacia las
matemáticas, al mismo tiempo que se consideran los conceptos que se quieren enseñar.
Al presentar problemas, el alumno formula el problema en sus propios términos, es
decir entiende el problema, desarrolla y lleva a cabo estrategias y evalúa la solución. Para
que se de este proceso, es necesario que los problemas sean lo suficientemente
interesantes, para que el alumno se apropie y desarrolle una actitud de búsqueda, de
formulación de preguntas o de elaboración de respuestas.
La etapa de evaluación de la solución es sumamente importante ya que le da la
oportunidad al alumno de explicitar la estrategia que lo condujo a tal solución, el maestro
ya no va ser el único que valida o inválida las soluciones.
El papel del maestro en el proceso de enseñanza aprendizaje cambia, este es un
elemento esencial para que la resolución de problemas se convierta en una actividad
interesante y productiva. El maestro debe crear y modelar ambientes de aprendizaje
propicios para la resolución de problemas, debe animar a los alumnos a explorar cualquier
idea o estrategia que los ayude a entender o resolver un problema, además de reconocer
y reforzar los diferentes tipos de habilidades en sus alumnos. El maestro debe asegurarse
de que el problema ha sido comprendido por los alumnos antes que estos inicien la
resolución, por lo tanto debe de observar el trabajo de los alumnos e interrogarlos para
identificar dificultades, animarlos para desarrollar una o varias estrategias, y ya que los
alumnos hayan obtenido una solución discutir con ellos las diferentes estrategias
utilizadas.
La evaluación en los programas de matemáticas
En lo que respecta a la evaluación en los programas de 1928, 1939, y 1946 no se
encuentra presente, ya que se puede considerar que el término es reciente en la
educación.
En los programas de 1964, entre las recomendaciones generales planteadas se
encontraba presente la aplicación de pruebas mensuales para las cuales se debía de
175
proporcionar al alumno guías de estudio antes de cada examen, las pruebas se
devolverían a los alumnos, dándoles a conocer los resultados correctos de las mismas
con el fin de que conocieran sus errores y no los volvieran a cometer en las pruebas
siguientes.
También se mencionaban las pruebas semestrales, se creía conveniente
formularlas con bastante anticipación, con la finalidad que los maestros tuvieran un
ejemplar de las mismas, para que pudieran repasar y dar una guía de estudio, cabe
señalar que estas no eran elaboradas por los maestros, sino por la Dirección General de
segunda enseñanza. En los programas de 1974, la evaluación era vista como un proceso que permitiría
comprobar si se lograron los objetivos, esta se debía de realizar de manera constante por
parte del profesor, ya que debía de conocer los resultados y comprobarlos. En este
programa se plantean cuatro tipos de evaluación: la inicial, la parcial, la continua y la final;
se realizaba un diagnostico de la preparación previa del alumno, el profesor visualizaba
los logros obtenidos al terminar una unidad o un tema, evaluaba el logro de cada objetivo
específico y de los objetivos particulares de las unidades. Se menciona que la calificación
final, era un dato numérico que representaba los resultados de todas ellas. Se debían de
elegir situaciones que permitirían verificar las conductas propuestas en los objetivos. En los programas de 1993, la evaluación es un proceso continúo que está presente
a lo largo de toda la enseñanza, su finalidad es recoger información que le sea útil al
maestro para mejorar el programa, ajustar las actividades y los instrumentos utilizados a
las necesidades de los alumnos, así como también dar seguimiento a las adquisiciones a
lo largo de año escolar. El maestro debe de observar constantemente el desarrollo de las
actividades y la participación dentro del aula. Se conservan los exámenes escritos
individuales únicamente con el objetivo de recoger información sobre determinadas
adquisiciones, en estas pruebas se recomienda no darle peso exagerado a las
definiciones y conceptos, es preferible que un mismo tema aparezca en varios exámenes,
así el maestro observaría como progresa su adquisición durante el año escolar, también
se menciona no abusar de las preguntas de opción múltiple ya que quizás oculten
información importante para el maestro.
También se menciona que para asignar calificación a un examen no sólo se trata
de contar el número de preguntas correctas, sino revisar cuidadosamente las respuestas
de los alumnos para enterarse de los diferentes tipos de respuestas así como los errores
que cometen.
176
Es importante que la calificación no sólo dependa del resultado de uno o varios
exámenes por escrito, sino se deber de tomar en cuenta las participaciones en clase.
En suma, en los programas anteriores a 1964, la evaluación no se encontraba
presente de forma explicita en ellos, los programas de 1964 utilizan al examen escrito
para evaluar a los alumnos, dándoles a conocer las respuestas correctas y haciéndoles
ver los errores que cometieron. En los programas de 1974, se encuentra presente una
propuesta de evaluación, donde se consideraba que ésta tenía varios momentos, pero su
principal finalidad era verificar el logro de las conductas presentes en los objetivos, como
un producto final.
En los programas de 1993, la evaluación es un proceso continuo que se encuentra
presente durante todo el ciclo escolar, si bien están presentes los exámenes escritos, en
estos no sólo se tomaran en consideración las respuestas correctas, sino la forma en que
llegaron a obtener un resultado, además de que la calificación que obtiene el alumno no
sólo depende del resultado de los exámenes, sino también de su participación en clase.
Cabe señalar que en los programas de 1974 no sólo se evaluaba al alumno,
también permitía verificar en qué medida se lograron los objetivos mediante las
actividades propuestas por los maestros, así como la eficacia de los procedimientos
utilizados. Asimismo, en 1993, no sólo se evalúa al alumno, sino también hay una auto
evaluación del maestro y de las herramientas utilizadas por este.
177
Conclusiones
A continuación se exponen las conclusiones de este trabajo de tesina, cabe señalar
que estas se organizaron en seis apartados: con respecto a la educación secundaria, a
los planes y programas de estudio de matemáticas, a los contenidos, a las actividades, al
enfoque didáctico y a la evaluación; con respecto a los contenidos sólo se presentan los
contenidos aritméticos y algebraicos, ya que fueron los únicos que se consideraron en el
análisis. Por último también se incluye algunas limitaciones y recomendaciones que se
tuvieron al realizar el trabajo. Con respecto a la educación secundaria:
• El campo curricular presenta pocos estudios en lo que respecta a la educación
secundaria, en comparación con los otros niveles educativos, los materiales que
hablan sobre ésta, en general se refieren a cuestiones históricas y a aspectos
cuantitativos.
• En cada período histórico la educación secundaria se encuentra vinculada con el
proyecto de nación, esto se establece en finalidades educativas, en reformas, planes y
programas de estudio, en los cuales influyen teorías pedagógicas, psicológicas, la
didáctica, el desarrollo científico, tecnológico y los intereses sociales.
• Los planteamientos teóricos que sustentan los cambios y adecuaciones realizados a
éste ciclo no son suficientes, incluso en los documentos no se dan a conocer los
posibles diagnósticos o evaluaciones previas, a excepción de la última reforma.
• La educación secundaria de considerarse una educación para la elite, la cual estaba
ligada a la Escuela Nacional Preparatoria, hoy en día es un ciclo que forma parte de la
educación básica obligatoria.
• Los objetivos de carácter propedéutico han sido constantes desde 1935 pero no han
tenido la misma importancia.
Los objetivos que se orientan a la formación del individuo se encontraron presentes en
todas las reformas, en general se refieren a proporcionar conocimientos
indispensables, al desenvolvimiento de la personalidad y desarrollo de aptitudes y a la
formación integral del alumno.
Los objetivos de preparación para el trabajo se presentan a partir de 1935, estos han
tenido diferente connotación, principalmente se refieren a favorecer la formación del
alumno, al desarrollo de habilidades y destrezas necesarias para insertarse en el
aparato productivo, y como una formación general de ingreso al trabajo.
178
Los objetivos con orientación social, se encuentran presentes pero dependen del
momento histórico, en los primeros programas se consideran objetivos esenciales los
cuales estaban orientados a la formación de mejores ciudadanos, sin embargo el
énfasis dado a este tipo de objetivos se redujo a partir de 1974.
Con respecto a los planes y programas de estudio de matemáticas:
• La organización curricular de los planes de estudio principalmente es por asignaturas,
donde el conocimiento se organiza con base a las disciplinas académicas, sólo en
1974 coexisten dos estructuras académicas: por asignaturas y por áreas de
conocimiento, esta última plantea la integración del conocimiento, donde se
articulaban las materias a fines y daban una idea de conjunto y relación.
• Los programas de estudio presentan diferente organización, el de 1928 se encuentra
organizado por partes, donde en cada una de ellas se integran contenidos que se
relacionan entre sí; los programas de 1939, 1946, 1964 y 1974 se encuentran
organizados por unidades de enseñanza, donde cada unidad aborda una temática
específica que la mayoría de las veces no se vuelve a retomar en el transcurso del
proceso de enseñanza-aprendizaje. Los programas de 1993 no fueron organizados
por unidades, sino por ejes temáticos, los cuales no son un sucesión de temas que
deben verse uno a continuación de otro, sino se pueden relacionar diferentes temas o
áreas del programa.
• Se observó vaguedad en la formulación de los programas de 1928, la materia es
escasa y son poco claros. Los programas de 1939 en general sólo enlista una serie de
contenidos, es poco claro dado que no se señala cual es la orientación de la
enseñanza de las matemáticas. A partir de 1946 los programas son más claros, se
encuentran formulados de manera más específica y detallada.
• Los objetivos propuestos en los programas de matemáticas de 1928, 1946, 1964 eran
principalmente objetivos informativos, se concretan a partir de los contenidos, estos
poseen características importantes para la formación del alumno y por lo tanto la tarea
de la enseñanza es seleccionarlos y organizarlos con el fin que los alumnos puedan
asimilarlos. A diferencia, en los programas de 1974 los objetivos planteados fueron
formulados considerando y analizando los aprendizajes que debe de realizar el alumno
como resultados de su participación en el proceso educativo, es decir en función de
los resultados esperados. Cabe señalar que los aprendizajes esperados se definen en
términos de habilidades o destrezas, donde se identifican los procesos cognitivos más
importantes en el aprendizaje, con el fin de preparar un conjunto de destrezas que
179
puedan generalizarse. Los objetivos de 1993 proponen que determinadas actividades;
en este caso la solución de problemas, posee un valor educativo característico
independientemente de su contenido y de los aprendizajes a que pueden dar lugar,
estos favorecen principalmente la participación de los alumnos en el proceso
educativo.
• Es necesario que los programas de estudio planteen propósitos alcanzables, ya que
muchas de las veces se proponen objetivos ambiciosos y se incurre en planteamientos
repetitivos expuestos anteriormente.
• En todos los programas se señala la utilidad de las matemáticas, en su mayoría
rescatando su aplicación en situaciones de la vida diaria.
• La visión de la matemática en cada programa ha sido distinta, en 1928 la matemática
es vista como una ciencia accesible que todo el mundo ocupa, en 1946 y 1964 como
una ciencia exacta, la cual cuenta con un sistema riguroso de métodos y validaciones,
en 1974 por medio de ésta ciencia el alumno iba a aprender a hacer matemáticas y a
razonar matemáticamente, y en 1993 se presenta a una matemática que continúa en
constante construcción.
• Hay poca presencia de sustentos teóricos en los primeros programas, incluso cuando
se señalan, se observa una ruptura entre el discurso y lo planteado en los programas.
A partir de 1974 se observa una propuesta curricular mas elaborada.
• En los programas no es explícita la presencia de las influencias de corrientes de la
educación matemática que se daban a nivel internacional, excepción de los programas
de 1974 y 1993. Con respecto a los contenidos de aritmética y álgebra
• La parte de aritmética es dominante en los programas de primar grado, salvo en los
últimos programas que se encuentra presente en segundo y tercer grado ; hay una
disminución de los contenidos, excepto en el programa de 1993 en el que hay
modificaciones en cuanto a enfoque y amplitud.
• Números y sus operaciones principalmente se estudia en primer grado, a excepción de
los programas de 1974 y 1993. En cuanto a sistemas de numeración se estudian
únicamente en primer grado, a partir de 1964 se incorpora el sistema egipcio y maya;
además desde 1974 se integran los sistemas posiciónales con base distinta a diez.
El sistema decimal de pesas y medidas principalmente es el que se estudia en primer
grado, aunque en el programa de segundo grado de 1928 continuó presente. El
estudio del sistema inglés sólo se presenta en los primeros programas, quedando
180
ausente a partir del programa de primer grado de 1974. El programa de 1964 plantea
la revisión de algunas medidas mexicanas.
Números primos, raíz cuadrada, razones y proporciones son temáticas presentes en
los programas de los tres grados; en casi todos los programas de estudio se abordan
los mismos temas, aunque difieren en ubicación.
En razones y proporciones, temas como tercera y cuarta proporcional se encuentran
presentes en los primeros programas de estudios revisados, quedando ausentes a
partir de 1974.
• Con respecto al álgebra es dominante en los programas de segundo y tercer grado,
aunque se presentan elementos de preálgebra en algunos de los programas de primer
grado donde principalmente se da un acercamiento a través del uso de fórmulas. En
los programas de 1974 el tratamiento del álgebra es formal. Existen conexiones con
cuestiones geométricas y gráficas.
• Los contenidos de álgebra en los programas de segundo y tercero son en su mayoría
los mismos temas; hay casos como en ecuaciones de primer grado, sistemas de
ecuaciones, productos notables, que en algunos programas sólo están presentes en
segundo grado y en otros continúan en tercer grado, como en los programas de 1993.
El estudio de las ecuaciones de segundo grado únicamente se presenta en los
programas de tercer grado
El estudio de las funciones es uno de los temas menos constante, se presenta en el
programa de segundo de 1974, quedando ausente en tercero; sin embargo los
programas de tercero de 1928 y 1993 consideran su estudio.
• A excepción del programa de 1974, el tratamiento del álgebra en los demás programas
no es teórico y formal, sino a través del uso de fórmulas, el alumno iría conociendo y
familiarizándose con los conceptos algebraicos.
• En general, se establece una relación entre el álgebra y la geometría, utilizando
modelos geométricos. Sólo se encontró presente en los programas de 1964 y 1993 la
utilización de otros recursos como el modelo de la balanza para la enseñanza de
ecuaciones de primer grado.
• La utilización de la representación gráfica se encontró principalmente en los
programas de 1974.
181
Con respecto a las actividades: • En los programas de 1928, 1946 y 1964, principalmente las actividades eran ejercicios
de mecanización, exposiciones por parte del profesor y competencias o concursos que
motivaran al alumno.
En los programas de 1974 se plantean situaciones que permitían al alumno arribar a
razonamientos en los que se apoyan las matemáticas y su aplicación en ejercicios y
problemas.
En los programas de 1993 se proponen situaciones de aprendizaje como generadoras
de experiencias que promueven la participación de los alumnos en su propio proceso
de conocimiento
• La resolución de problemas se menciona en todos los programas, sin embargo en los
programas de 1928 a 1974 estos eran utilizados como una aplicación de los
conocimientos aprendidos. En 1993, la perspectiva cambia, a través de la resolución
de problemas el alumno va a aprender matemáticas, estos son vistos como una fuente
de conocimiento, que permite acercarse y apropiarse de los contenidos matemáticos. Con respecto al enfoque didáctico:
• Con respecto al enfoque didáctico, los programas de 1928, 1939, 1946 y 1964,
estaban basados en una enseñanza tradicional, centrada en el profesor, el cual era el
encargado de explicar los temas y dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje, el
alumno sólo escucha y reproduce los contenidos aprendidos, se intenta tomar en
cuenta al alumno en los programas de 1928 y 1946.
A partir de 1974 la enseñanza estaba basada en un modelo didáctico tecnológico,
sigue una programación detallada. Se centra más en el alumno dado que se
consideraba que este era capaz de redescubrir el conocimiento, sin embargo el
alumno realiza sistemáticamente las actividades programadas por el profesor.
En 1993 la enseñanza cambia, el alumno tiene un papel activo dado que es
constructor de su propio conocimiento, el maestro es el coordinador y encargado de
diseñar las situaciones de aprendizaje.
• Los programas de 1974 y 1993 parten del constructivismo, auque cada uno presenta
sus diferencias, el primero ofrece situaciones a los alumnos propias para el
redescubrimiento del conocimiento matemático y el de 1993 indica que el alumno va a
construir su propio conocimiento a través de situaciones significativas que le permitan
establecer relación entre los conocimientos nuevos y los ya existentes.
182
• Los programas de estudio declaran no caer en enseñanzas y aprendizajes
memorísticos, sino por el contrario tomar en cuenta al alumno como sujeto activo , sin
embargo en general se observó una ruptura entre lo establecido en los objetivos, en el
discurso y en lo planteado en las actividades, a excepción de los programas de 1974 y
1993.
• En general, los programas de estudio declaran no caer en enseñanzas y aprendizajes
memorísticos que no responden a los intereses, experiencias y situaciones que viven
los alumnos, sino por el contrario tomar en cuenta al alumno como un sujeto activo en
la educación, sin embargo en general el análisis de los programas de estudio, a
excepción de los de 1974 y 1993, se observa una ruptura entre lo establecido en los
objetivos y en el discurso en general y en lo planteado en las actividades. Con respecto a la evaluación:
• La evaluación en los programas de 1928 a 1964, es concebida como una actividad
terminal del proceso de enseñanza y aprendizaje, consiste en aplicar exámenes y
asignar calificaciones al final de los curso, esta tiene papel auxiliar en la tarea
administrativa, es una acción formal que se debe de llevar a cabo.
En 1974 se propuso una forma diferente de evaluar, donde se intenta medir algunos
procesos, sin embargo siguió atendiendo al producto, centraba su atención en el logro
de los objetivos.
A diferencia, en los programas de 1993 se plantea una evaluación donde se toma en
cuenta todo el proceso de aprendizaje en su totalidad, considerando todos los factores
que intervienen en éste, es un proceso continuo que le sirve al maestro para recoger
información que le es útil para ver los avances de los alumnos, así como también para
mejorar su propia enseñanza.
• Los programas de 1928 a 1964, sólo se evalúa al alumno, a partir de 1974 la
evaluación es más global no sólo se toma en cuenta al alumno, sino al maestro, los
programas, las herramientas utilizadas etc.
Limitaciones y Recomendaciones
Al realizar este trabajo de investigación, se presentaron algunas limitantes,
considero que éste fue ambicioso en cuanto a su extensión, al pretender realizar un
análisis de los programas de matemáticas que han existido desde que la secundaria se
fundo como ciclo específico y formó parte de la SEP.; el análisis de un periodo más corto
hubiera permitido realizar un estudio más profundo y detallado. Algunos documentos dado
183
el periodo estudiado, no fueron encontrados, lo que no permitió realizar de manera
completa el estudio, incluso tal vez el haber considerado la revisión y análisis de una sola
temática, hubiera sido suficiente para realizar el estudio.
Considero que este trabajo de tesina, proporciona elementos de reflexión a
aquellos sujetos encargados directamente del proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, ya que da un panorama general de los planteamientos que han existido con
respecto a la enseñanza de esta disciplina, también proporciona elementos para realizar
una evaluación de la propia práctica docente, dado que los maestros son considerados
los mediadores entre lo propuesto en los programas de estudio y su aplicación en el aula.
El trabajo, también da pauta a realizar futuras investigaciones más detalladas sobre
la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la educación secundaria en nuestro
país, estudios de este tipo podrían ser considerados para la realización de los futuros
cambios o adecuaciones a los programas de estudios.
Además creo conveniente considerar la formación de equipos multidisciplinarios
para la realización de estudios de este tipo.
184
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• Stenhouse, Laurence. Investigación y desarrollo del currículo. Morata, Madrid. 1984.
• Solana, Fernando. Historia de la Educación Pública en México. Fondo de Cultura
Económica. México. 1981.
186
• Teódulo Guzmán, José. Alternativas para la educación en México. Ediciones Gernika.
México. 1979.
• Zarzar, Carlos. Habilidades básicas para la docencia en la escuela secundaria. Patria.
México, 1994.
• Dirección General de Tecnología de la información.(Sin fecha).Educación secundaria. Disponible en: http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_3480_educacion_secundaria. [2005, Febrero 12.].
187
A N E X O
188
OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
Año
Objetivos
1928
Preparar al individuo como futuro ciudadano; miembro cooperados de la sociedad, trabajador en la producción de riquezas. y disponerlo también para las actividades de desarrollo directo (cultivo de la personalidad independiente y libre).
1935 Escuela media, democrática, socializante, selectiva, práctica, formativa del carácter y de la ciudadanía, prevocacional, que combate el
intelectualismo burocrático, es la escuela de trabajo y reconstrucción social, que atiende a la educación íntegramente, es una escuela de cooperación y eminentemente social.
1946
Ser continuación y ampliación de la primera enseñanza Servir de antecedente necesario a los estudios vocacionales técnicos. Servir como antecedente necesario a los estudios preparatorios universitarios.
1964
Fomentar el desenvolvimiento de la personalidad del alumno, iniciado durante la educación primaria Estimular sus aptitudes a fin de que participe activamente en su propia formación, merced a la experiencia concreta del trabajo en las aulas, los
laboratorios y talleres escolares. Proporcionarle los conocimientos indispensables, así como el adiestramiento en las prácticas necesarias para ingresar en el ciclo preparatorio o en
la vocacional técnica. Despertar y conducir, en cada uno de los grados, la inclinación al trabajo, de modo que sí el alumno no puede continuar estudios superiores, quede
capacitado para realizar-aunque sea modestamente alguna actividad productiva Despertar su interés por el conveniente aprovechamiento d los recursos del país y por la ciencia y la técnica, a fin de orientar su esfuerzo hacia el
robustecimiento de la economía nacional. Encauzar su sentido de responsabilidad individual y su voluntad de colaboración social. Fomentar su civismo, su amor a la patria, su adhesión a la democracia y su respeto para los valores de la cultura humana.
1974
Propiciar que se cumplan las finalidades de la educación, de acuerdo con la filosofía social derivada de nuestra constitución y de la Ley federal de educación
Proseguir la labor de la educación primaria en relación con la formación del carácter el desenvolvimiento de la personalidad crítica y creadora y el fortalecimiento de actitudes de solidaridad y justicia.
189
CUADRO DE OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
AÑO
Objetivos
1974
Lograr una formación humanística, científica, técnica y artística, que permita al educando afrontar las situaciones de la vida con espontaneidaseguridad en sí mismo y economía del esfuerzo.
Ofrecer los fundamentos de una formación general de preingreso al trabajo y para el acceso al nivel inmediato superior. Profundizar en el conocimiento y el seguimiento del educando en cuanto a su desarrollo integral y a su adaptación al ambiente familiar, escolar
y social, para orientar sus capacidades, intereses e inclinaciones y ayudarlo a lograr su plena realización Desarrollar en el educando la capacidades de aprender a aprender, para que esté en posibilidad de participar mejor en su propia formación,
considerada esta como un proceso permanente a lo largo de su vida
1993
Que el alumno amplié las habilidades y profundice los conocimientos adquiridos en la educación primaria, que conozca las opciones educativas en las que puede continuar o reciba capacitación para su incorporación a la fuerza de trabajo
190
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS.
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1928
El dominio de las cuatro operaciones con los números usuales ejecutadas con un grado de rapidez y exactitud aceptables.
Un sentido claro de la validez y
significado de los resultados, adquirido juntamente con la apreciación justa de la influencia de pequeños errores en los datos, así como el acierto al calcular, usando el número de cifras significativas adecuado.
La confianza en el uso del cálculo
aritmético y algebraico y de construcciones geométricas para la resolución de problemas, adquirida juntamente con los medios apropiados de comprobar la resolución.
La posibilidad de usar y entender el
lenguaje del álgebra en conexión con la expresión de relaciones cuantitativas muy sencillas, tales como ocurren en fórmulas, ecuaciones y enunciados de leyes comúnmente conocidas y usadas.
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
191
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1928
La habilidad para entender e
interpretar representaciones, graficas de hechos cuantitativos, en la forma en que tales representaciones se usan más generalmente.
La familiaridad con las formas
geométricas comunes a la naturaleza, la industria, el arte y las propiedades geométricas y relaciones entre sus partes constitutivas.
La habilidad de entender y formular
conceptos generales a los que se refiere el pensamiento cuantitativo, así como la habilidad para servirse de ellos en los problemas que comúnmente presenta la vida.
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
1939
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
1946
Capacitar al alumno para entender y
resolver los problemas cuantitativos que constantemente se presentan en la vida diaria y que toda persona de mediana cultura necesita saber y no puede ignorar.
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
Capacitar al alumno para
entender y resolver los problemas cuantitativos que constantemente se presentan en la vida diaria y que toda persona de mediana cultura necesita saber y no puede ignorar.
192
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1946
Ponerlo en contacto con una de las grandes tradiciones de la actividad humana, como es la Ciencia Matemática, con el fin de explotar sus aptitudes y encauzarlas.
Desarrollar en el adolescente el
espíritu de observación, investigación y crítica.
Hacerle comprender que todos los
fenómenos físicos, biológicos, sociales, están sujetos en general a variaciones cuantitativas que obedecen leyes.
Capacitarlo para apreciar el grado de
precisión con que es preciso realizar el trabajo en sus diferentes aspectos.
Orientarlo en el proceso natural de
pasar de lo particular a lo general.
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
Darle los medios de investigar las leyes a que obedecen, en su aspecto cuantitativo, los fenómenos físicos, biológicos y sociales.
Capacitarlo para leer e
interpretar las gráficas comúnmente usadas en los problemas de interés social, y servirse también de representaciones gráficas como auxiliar en el estudio y resolución de sus problemas personales.
Capacitarlo para emplear el
simbolismo algebraico como un instrumento de abstracción y generalización y como un medio de expresión sintético y exacto.
Desarrollar una actitud
inquisitiva respecto al mundo que lo rodea
193
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1946
Capacitarlo para emplear el
simbolismo algebraico como instrumento de abstracción y generalización y como un medio de expresión sintético y exacto.
Fomentar su actitud inquisitiva
respecto a las relaciones entre elementos de las figuras geométricas y capacitarlo para investigarlas y utilizarlas.
Ponerlo en contacto con los más
valiosos tipos de razonamiento.
Crear la actitud crítica que conduce a un examen atento, reflexivo y completo como condición previa a la aceptación de conclusiones formuladas por uno mismo o por los demás.
No se encuentran presentes
No se encuentran presentes
1964
Instruir o impartir un caudal de
conocimientos generales que permitan al alumno vivir su vida presente y futura, adaptándose para realizar las actividades en forma útil y satisfactoria para él y sus semejantes
Instruir al alumno en el
manejo de los números y la ejecución de las operaciones fundamentales necesarias para la resolución de problemas.
Conocimiento y adaptación
del alumno, a la generalización de los números (simbolismo algebraico)
No se encuentran presentes.
194
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1964
Formar hábitos, habilidades, actitudes
y disposiciones útiles y provechosas en los educandos. Las matemáticas, debido a la naturaleza particular de su contenido, permiten a los adolescentes la creación de hábitos de rapidez mental aplicada tanto a la resolución de operaciones y problemas, como a las diversas necesidades de la vida real.
Determinan la exactitud en el cálculo.
Sugieren a los alumnos la comprobación en los resultados. Las sencillas demostraciones inducen a no aceptar como verdadera una afirmación hecha, hasta encontrarla justificada o demostrada. Los métodos de inducción, deducción y analogía despertarán una actitud favorable a la investigación y a la crítica. La observación y la reflexión de las diferentes propiedades y leyes de magnitudes y figuras geométricas, determinarán asumir en forma habitual una actitud más serena para poder apreciar las diferencias y semejanzas de hechos que acontezcan en la vida real.
Completar los conocimientos
que el alumno trae con relación a estas ciencias, de la escuela primaria, capacitándolo así para continuar con estudios superiores y para la vida práctica, iniciando de esta manera el estudio matemático.
Formar en los alumnos
buenos hábitos de limpieza, orden y claridad, así como exactitud en sus resultados, concisión en el lenguaje, rapidez en el cálculo y adecuada resolución de problemas. Uso correcto de los símbolos y notaciones de las diferentes unidades de medida, habilidades en el manejo de los útiles de geometría.
Despertar el espíritu de
investigación y de crítica sana con objeto de que el discípulo vaya, mejorándose constantemente.
Conocimiento de la fórmula
como expresión general de relación o ley de magnitudes. Su uso y aplicación.
La ecuación. Debe ser
motivada por problemas. Su carácter de igualdad. Expresar las magnitudes o valores numéricos de un problema, con relación a una igualdad. La característica fundamental de la solución de una ecuación: transformar unas expresiones algebraicas, difíciles, en otras fáciles.
El problema. El cálculo o
búsqueda de un dato desconocido, cuando se conocen las relaciones de éste con otros datos conocidos.
No se encuentran presentes.
195
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1964
Las matemáticas son uno de los
medios más valiosos que permiten a los maestros, padres de familia, distinguir la verdadera vocación de los alumnos. Se pueden apreciar las capacidades o aptitudes relacionadas con actividades propias de las matemáticas en sus diversas ramas: físicos, químicos, geólogos, astrónomos y, en general, toda carrera relacionadas con la materia. Por tanto está finalidad de orientar al alumno en su vocación profesional, o sea el despertare simpatía o inclinación por alguna carrera o actividad futuras, de acuerdo con sus capacidades, tendencias o inclinaciones.
Operaciones y ejercicios.
Habituar al alumno a reconocer que tanto las operaciones como los ejercicios de adiestramiento, tienen la finalidad de instruir para despejar fórmulas, transformar expresiones algebraicas (simplificaciones), resolver ecuaciones y en general resolver problemas.
No se encuentran presentes.
1974
Cultivará la capacidad y actitud de
pensar en forma matemática y lógica como elementos esenciales de su desenvolvimiento integral.
Aplicará la lógica para
formular juicios obtenidos en el análisis de problemas del medio que lo rodea.
Establecerá relaciones entre
elementos de conjuntos y aplicará este concepto al estudio de funciones.
Aplicará la lógica al formular
juicios en los que se utilice proporciones compuestas.
Relacionará algunos
conceptos de la teoría de conjuntos con las proposiciones lógicas estudiadas
Aplicará las leyes y
representaciones básicas de la lógica en la obtención de conclusiones.
Manejará el método deductivo
en modelos matemáticos.
196
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1974
Comprenderá el valor y la
significación de las matemáticas con las limitaciones propias de una ciencia exacta, como un sistema coordinador de procesos y principios aplicables al estudio de propiedades, relaciones y estructuras abstractas.
Utilizará la matemática como un
lenguaje técnico que permite la comunicación universal.
Descubrirá la utilidad de la
matemática como un recurso de interpretación, de dominio y superación del ambiente físico, social y cultural.
Obtendrá los antecedentes
educativos que le permitan el acceso a tipos superiores de estudios científicos o técnicos, en los que la formación matemática es imprescindible
Obtendrá los conocimientos
matemáticos básicos que le permitan incorporarse, en su oportunidad a la vida económicamente activa.
Aplicará el conocimiento
acerca de los números naturales en la solución de problemas de la vida diaria.
Resolverá problemas aplicando el concepto de divisibilidad.
Comprenderá el valor de los sistemas de numeración como instrumento para representar números.
Manejará el sistema de los números enteros y el de los racionales.
Afinará sus coordinaciones motoras en el trazo geométrico, a través del uso de los instrumentos correspondientes.
Interpretará los resultados de investigaciones realizadas mediante el análisis de ellos.
Utilizará los símbolos necesarios para el estudio de cada uno de los aspectos que se traten.
Manejara relaciones de
equivalencia y de orden analizando sus propiedades.
Resolverá problemas de ecuaciones lineales
Aplicará el sistema multiplicativo de potencia de una misma base en la solución de problemas.
Manejará representaciones vectoriales de polinomiales en la solución de operaciones.
Interpretará gráficas formuladas a partir de investigaciones de todo tipo.
Cultivará sus aptitudes estéticas y psicomotoras a través de la aplicación de construcciones geométricas a diseños decorativos.
Utilizará las propiedades de las
relaciones de igualdad y orden en la resolución de problemas.
Aplicará las leyes de los exponentes en el cálculo logarítmico.
Resolverá problemas que impliquen el análisis de la ecuación cuadrática.
Manejará sistemas de transformaciones geométricas mediante el análisis de sus propiedades formales.
Cultivará sus aptitudes estéticas y psicomotoras a través de la practica del discurso geométrico,
Utilizará los sistemas de transformaciones en la resolución de problemas geométricos
Aplicará las funciones trigonométricas en el cálculo de magnitudes geométricas.
197
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1974
Solucionará problemas de
sistemas de ecuaciones con dos o tres incógnitas
Aplicará la construcción de figuras homotéticas a la solución de problemas.
Aplicará la relación de proporcionalidad a la solución de problemas de variación directa e inversa
Aplicará fórmulas elementales
en el cálculo de probabilidades Obtendrá conclusiones
probables a partir de análisis estadísticos.
1993
El alumno aprenda a utilizarlas para
resolver problemas, no solamente los que resuelven con los procedimiento y técnicas aprendidas en la escuela, sino también aquellos cuyo descubrimiento y solución requieren de la curiosidad y la imaginación creativa.
Desarrollo de las habilidades
operatorias, comunicativas y de descubrimiento de los alumnos.
Transmitir a los alumnos una parte
importante del acervo cultural de la humanidad
Enriquecer el significado de
los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados.
Utilizar la calculadora como auxiliar en la solución de problemas
Practicar los algoritmos de las operaciones, así como el calculo y la estimación mental de resultados
Iniciarse gradualmente en el razonamiento proporcional y sus aplicaciones.
Enriquecer el significado de
los números y sus operaciones a través de la solución de problemas muy variados.
Practicar los procedimientos de cálculo, estimación mental de resultados y el uso inteligente de la calculadora.
Familiarizarse con los diversos medio de expresión matemática: la escritura simbólica, las tablas y las gráficas y utilizarlos en la solución de problemas.
Avanzar hacia la adquisición
permanente de los procedimientos de cálculo numérico.
Conocer la idea de aproximación a través del cálculo de la raíz cuadrada y la estimación de errores en algunos casos sencillos.
Utilizar constantemente los diversos medios de expresión matemática: lenguaje algebraico, tablas y graficas en el planteo y la solución de problemas muy diversos, y en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de uno a otros.
198
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1993
Propiciar el desarrollo de nociones y
conceptos que les sea útiles para comprender su entrono y resolver problemas de la vida real, al mismo tiempo que les proporciona los conocimientos y las habilidades de pensamiento y razonamiento necesarios para avanzar en el estudio de las matemáticas, así como acceder al conocimiento de otras disciplinas.
Familiarizarse a través de
ejemplos con el uso de literales, de paréntesis y con otros temas que preparan el acceso al álgebra.
Practicar los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición, explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría; resolver problemas que conduzcan al cálculo de perímetros y áreas de las figuras usuales.
Desarrollar la imaginación espacial a partir de la construcción y manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de cubos, paralelepípedos y cuerpos formados por su combinación
Conocer el uso de porcentajes, tablas y otras formas usuales de organizar y presentar la información.
Plantear problemas
sencillos que conduzcan a ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos utilizando procedimientos de dibujo y medida.
Seguir practicando el dibujo y los trazos geométricos y avanzar hacia la adquisición permanente del uso de los instrumentos de dibujo y medida. Resolver problemas que conduzcan a calcular el área de las figuras comunes y de otras formadas por su combinación.
Desarrollar la imaginación espacial por medio de la representación plana de algunos sólidos, la observación de las secciones que se forman al cortar un sólido por un plano (casos sencillos) y el cálculo de volúmenes.
Practicar el razonamiento
deductivo en situaciones extraídas de la geometría y otras partes de las matemáticas.
Utilizar las formas para el cálculo de perímetros, áreas y volumen así como los teoremas de semejanza de Pitágoras y la trigonometría, para resolver numerosos problemas de cálculo geométrico.
Desarrollar su imaginación espacial a través de la representación plan de sólidos, el cálculo de volúmenes y capacidades y aplicaciones sencillas de los teoremas de semejanza y de Pitágoras en la solución de problemas en el espacio.
199
CUADRO DE OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
AÑO
Propósitos Generales de las Matemáticas
Propósitos u objetivos del Programa de 1º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 2º grado
Propósitos u objetivos del Programa de 3º grado
1993
Familiarizarse con la noción
de azar y algunas de las situaciones ideales de la probabilidad por medio del registro y la enumeración a priori de los resultados de experimentos aleatorios.
Iniciarse gradualmente en el
razonamiento deductivo, en situaciones escogidas por el profesor.
Conocer y acostumbrarse al
uso de cantidades absolutas y relativas, tablas y gráficas y otras formas comunes de organizar y presentar la información.
Explorar las nociones
frecuencial y clásica de la probabilidad a través de actividades muy diversas así como utilizar diagramas de árbol para enumerar y describir los posibles resultados de una experiencia aleatoria
Familiarizarse y utilizar las
formas usuales de organizar, presentar y resumir la información contenida en una lista de datos y, a través de ejemplos, con las nociones de censo y encuesta de población y muestra.
Conocer las nociones
frecuencial y clásica de la probabilidad así como la idea de simulación, para resolver problemas. Asimismo, utilizar las reglas de la suma y el producto para realizar cálculos sencillos con probabilidades.
200
CUADRO DE CONTENIDOS DE ARITMÉTICA DE PRIMER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Números y sus operaciones
Operaciones fundamentales con enteros, fracciones comunes y decimales, mixtos y denominados. Comprobación de operaciones. Fracciones: conversión de fracciones comunes a decimales
Operaciones con enteros, fraccionarios y denominados (yarda, pie, pulgada; tiempo y ángulos) , sus propiedades, comprobación y simplificación Escritura y lectura de números y cantidades. Partes alícuotas de cualquier unidad..
Operaciones básicas con naturales, enteros, decimales, fracciones comunes y denominados (ángulo y tiempo) sus propiedades y comprobación. Números naturales cardinales, ordinales y dígitos. Numeración hablada y escrita. Fracciones: conversión de comunes a decimales y a tanto por ciento.
Operaciones básicas con enteros, decimales y denominados, sus propiedades, y comprobación. Números cardinales, ordinales, mixtos, racionales e irracionales Potencias Fracciones comunes y sus operaciones; potencia de fracciones
Operaciones con naturales, enteros y racionales positivos sus propiedades y comprobación. Número cardinal
Operaciones con naturales y decimales y sus verificaciones. Lectura y escritura de números naturales Fracciones: suma y resta de dos fracciones reducibles e irreducibles Conversión de fracciones a decimales Números truncados o redondeados para aproximar o estimar un resultado
Sistemas de numeración
Lectura y escritura de númeroromanos (numeración de capítulos y fechas)
s Romano
Signos numéricos egipcios, babilónicos y mayas Notación romana
Romano Egipcio Sistema posicional binario Sistema posicional base cinco Principios
Evolución de los sistemas de numeración: Romano Egipcio Maya. Sus principios Sistemas posiciónales con base distinta a 10
201
CUADRO DE CONTENIDOS DE ARITMÉTICA DE PRIMER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Números primos
Divisibilidad Máximo común divisor Mínimo común múltiplo
Divisibilidad Criba de Eratostenes Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Conceptos: numero primo y numero compuesto
Divisibilidad y sus propiedades Numero primo en la factorización Clasificación de números naturales en primos, compuestos y unitario Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Criba de Eratostenes
Múltiplos y divisores de un numero Criterios de divisibilidad
Sistemas de pesas y medidas
Sistema decimal de pesas y medidas Pesas y medidas inglesas de longitud: yarda, pulgada y pie
Sistema métrico decimal Conversión de unidades
Sistema métrico decimal: unidades de longitud, capacidad y peso Pesas y medidas inglesas de longitud: yarda, pie, pulgada Conversión de unidades
Sistema métrico decimal: longitud, superficie, volumen, capacidad, peso Pesas y medidas inglesas: longitud, velocidad marina, agraria, peso, capacidad. Conversión del sistema ingles al métrico decimal Medidas mexicanas antiguas: de longitud, agrarias, capacidad, peso.
Manejo de unidades de longitud del sistema métrico decimal y sus equivalencias
202
CUADRO DE CONTENIDOS DE ARITMÉTICA DE PRIMER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Raíz cuadrada
Noción de raíz cuadrada
Extracción de la raíz cuadrada ( tablas)
Notación y concepto de raíz cuadrada
Raíz cuadrada de números decimales y de fracciones comunes Raíces inexactas Raíz cuadrada perfecta
Raíz cuadrada de un numero (tablas y calculadora)
Razones y Proporciones
Porcentaje
Razones y proporciones Porcentajes
Razón o cociente. Números fraccionarios como razón Proporción : porcentaje
Razón como cociente de dos magnitudes Razón de un numero a otro y su reciproca Proporción: cálculo de un término desconocido en una proporción Cuarta proporcional Porcentajes
Concepto de razón como cociente de dos magnitudes de la misma especie Concepto de proporción. Proporción: Magnitud directa e inversa proporcional Cuarte media proporcional Tercera proporcional Porcentajes
Concepto de razón Proporción: Magnitudes proporcionales Magnitudes directamente proporcionales y sus propiedades Variación proporcional
Noción de razón entre dos cantidades Proporción: variación proporcional Porcentajes
203
CUADRO DE CONTENIDOS DE ARITMÉTICA DE SEGUNDO GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Números y sus operaciones
Números positivos y negativos
Números positivos y negativos
Números positivos y negativos
Números positivos y negativos.
Números racionales, propiedades aditiva y multiplicativa Conversión de fracciones comunes a decimales
Operaciones con naturales y decimales Cálculo mental y estimación de resultados Potencias Notación científica (uso de la calculadora) Conteo Fracciones: suma, resta, multiplicación y división de fracciones Equivalencia Números con signo, sus operaciones, reglas de los signos.
Números primos
Factores primos Descomposición en factores Menor múltiplo común. Máximo divisor común
Primos y compuestos Factorización de primos y sus aplicaciones Múltiplo común Máximo común divisor
204
CUADRO DE CONTENIDOS DE ARITMÉTICA DE SEGUNDO GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Sistemas de pesas y medidas
Raíz cuadrada
Raíz cuadrada su procedimiento general
Raíz cuadrada de un número. Procedimiento general
Raíz cuadrada. Procedimientos general para su extracción con números de 4 o 5 cifras, enteros y fraccionarios
Razones y Proporciones
Variación directa e inversa Propiedades de la proporción.
Variación directa e inversa Propiedades de la proporción
Conceptos de razón y proporción. Proporción : cuarta proporcional y media proporcional
205
CUADRO DE CONTENIDOS DE ARITMÉTICA DE TERCER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Números Primos
Máximo común divisor Divisibilidad
Raíz cuadrada
Raíz cuadrada
Cálculo de la raíz cuadrada por diversos métodos
Razones y Proporciones
Cantidades directamente proporcionales Propiedades de la proporción
Media proporcional Noción de cantidades directamente proporcionales e inversamente proporcionales Teoremas relativos a propiedades de la proporción
Media proporcional Cuarta proporcional
Errores
Errores de aproximación y acotación de errores
206
CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE PRIMER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Lenguaje algebraico
Uso de la notación algebraica, uso de paréntesis
.
Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis en la aritmética. Reglas de escritura algebraica.
Empleo de fórmulas y
literales
Introducción de contenidos a través de la resolución de problemas.
Expresiones literales a través de fórmulas.
Resolución de ecuaciones que den lugar al empleo de fórmulas Ecuaciones numéricas de primer grado Resolución de ecuaciones literales sencillas.
Uso de literales a través de fórmulas de geometría. Problemas que conducen a la escritura de expresiones algebraicas sencillas. Construcción de tablas de valores a partir de fórmulas o expresiones algebraicas. Operaciones asociadas: suma y resta, multiplicación y división. Ecuaciones numéricas.
207
CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE SEGUNDO GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Lenguaje algebraico
Uso del signo y la letra x en problemas Uso de paréntesis y línea de quebrados. literal, coeficiente, exponente, potencias
Simbolismo algebraico, (fórmulas y ecuaciones de condición) manejo de símbolos
Literales y los signos de operaciones, termino, coeficiente, términos semejantes, expresiones literales
Uso e interpretación de literales, generalización de los números, operaciones y signos que se utilizan Coeficiente, exponente y potencia. Números algebraicos.
Coeficiente, potencia, base y exponente
Uso de la incógnita en la traducción al lenguaje algebraico Reglas para simplificar la escritura y operar con expresiones algebraicas Introducción y uso de paréntesis
Expresiones algebraicas
Uso y computo de expresiones algebraicas sencillas(fórmulas)
Transformaciones de expresiones
Monomios, polinomios y binomios Operaciones con monomios y polinomios
Monomios, binomios trinomios y polinomios Operaciones con monomios y polinomios Tabulación de expresiones algebraicas Reducción de términos
Expresiones algebraicas: monomios, binomios y polinomios y sus operaciones Reducción de términos semejantes Valor numérico de expresiones con variables.
Operaciones con momonios y polinomios Reducción de los factores con una base común en un monomio Simplificación de términos semejantes en un polinomio
208
CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE SEGUNDO GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones literales sencillas con enteros y fraccionarios Resolución de ecuaciones de primer grado Ecuaciones fraccionarias Solución de ecuaciones simultaneas de primer grado
Resolución de ecuaciones numéricas de primer gado (raíces positivas únicamente) Ecuaciones con coeficiente fraccionario Ecuaciones literales
Resolución de ecuaciones de primer grado y sus aplicaciones a la resolución de problemas Ecuaciones con coeficientes numéricos enteros y fraccionarios
Resolución de ecuaciones literales Resolución de ecuación con reducción de términos semejantes Ecuaciones de primer grado: numéricas y literales
Ecuaciones de primer grado Ecuaciones con dos variables
Ecuaciones lineales o de primer grado
Sistema de ecuaciones
Por sustitución y por adición y sustracción
Sistemas de dos ecuaciones lineales o simultáneas con dos incógnitas. Método por reducción y gráfico
Sistema de ecuaciones por reducción y sustitución
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de sustitución
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones incompletas
209
CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE SEGUNDO GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Productos notables
Cuadrado de un binomio
Productos notables
Cuadrado de un binomio, producto de dos binomios conjugados, producto de dos binomios que tienen un término común, cubo de un binomio, trinomio cuadrado perfecto, raíz de un trinomio cuadrado perfecto. Factorización.
Función
Noción de función
Concepto de función
Exponentes
Exponente negativo
Noción de exponente
Leyes de los exponentes
210
CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE TERCER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Expresiones algebraicas
Raíz cuadrada de monomios
Operaciones con monomios y polinomios Fracciones algebraicas y sus operaciones
Ecuaciones de primer grado
Revisión de ecuaciones de primer grado Gráficas
Ecuaciones con paréntesis Ecuaciones con coeficiente fraccionarios Ecuaciones que se reducen a lineales
Sistema de ecuaciones
Métodos de solución : sustitución, igualación, suma y resta Método gráfico Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y su solución por el método de eliminaciones sucesivas
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CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE TERCER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Ecuaciones de segundo grado
Resolución de ecuaciones de segundo grado Gráficas
Resolución de ecuaciones incompletas Obtención de la fórmula general Resolución de ecuaciones completas
Resolución de ecuaciones de segundo grado por factorización y por fórmula general
Ecuaciones de segundo grado como función cuadrática, su clasificación: completas e incompletas y sus gráficas Ecuaciones cuadráticas y sus graficas Fórmula general
Solución de ecuaciones incompletas, completas por factorización y completando cuadrados Formula general
Productos notables
Cuadrado de un binomio Raíz de un trinomio cuadrado
Productos notables sus propiedades y factorización
Productos notables, sus aplicaciones al cálculo numérico y a la factorización de polinomios de segundo grado
Función
Gráfica de algunas funciones importantes
Noción de función Graficación de funciones
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CUADRO DE CONTENIDOS DE ÁLGEBRA DE TERCER GRADO
Temas 1928 1939 1946 1964 1974 1993
Logaritmos Conocimiento y uso de tablas Operaciones sencillas.
Logaritmos
Su historia, notación, manejo de tablas Antilogaritmo y su notación Operaciones con logaritmos Uso del cologaritmo
Exponentes y
Radicales
Exponentes: en el producto, en el cociente, en la potencia, en la raíz, exponente 0, fraccionario y negativo Radicales: operaciones con radicales
Exponentes Radicales: operaciones con radicales aritméticos
Exponentes: enteros, fraccionarios y negativos, exponente 0 Leyes de los exponentes Radicales. Operaciones con radicales, transformación de radicales.
Operaciones con potencias: base y exponente Exponente 0 Exponente negativo Exponente fraccionario Operaciones con radicales
Exponentes: Leyes de los exponentes y su verificación