INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

El Punto:

Se representa mediante un “.” Se denota a través de una letra mayúscula

Ej:. A punto A

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Según el gráfico responde las siguientes preguntas.1) ¿Cuántas representaciones del punto tenemos en el mapa pirata?2) En el pergamino, ¿Cuántos puntos están denotados correctamente?3) Menciona 3 objetos que sugieren la idea de punto.

La Recta:

Una partícula pequeña de tiza nos

puede dar la idea matemática de

Punto.

Un pequeño alambre nos da la

idea de línea Recta

Se representa a través de una flecha de doble sentido. Se denota con dos puntos o una letra.

Ej:

M NL

PROPOSICIONES PARA LA RECTA

a) La recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.b) Dos puntos determinan una recta.c) Por dos puntos pasan infinidad de rectas.d) Dos rectas se cortan en un solo punto.

EJERCICIO DE APLICACIÓN L4

R Q

P

O L2

M N L3 L1

Según el gráfico, indica los puntos que pertenecen a cada recta mediante el siguiente cuadro

L1 L2 L3 L4

MNOPQR

TIPOS DE RECTAS

Rectas Paralelas

L1

L2

__________________________________________

Rectas Secantes

__________________________________________

Rectas perpendicularesL1

L2

__________________________________________

EL PLANO

Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

Se representa a través de “ ”

Se denota: Plano Z Z

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Una hoja de papel nos da

la idea de Plano

- Observa la figura y responde “V” ó “FG H

. Z

C D L

E F

A B

El plano CDGH contiene al punto C ( ) La recta “L” CDAB ( ) En la figura hay 8 planos diferentes ( ) El punto “Z” AEFB ( ) El punto “Z” determina a CGHD ( )

- Ahora responde las siguientes preguntas:a) Menciona 5 planos diferentes.

..................................................................................................................................................................

b) Menciona 6 segmentos diferentes...................................................................................................................................................................

c) Menciona dos planos que tengan como vértice al punto “E”..................................................................................................................................................................

d) Menciona dos planos que contengan como arista a ..................................................................................................................................................................

- Teniendo en cuenta la realidad, menciona 3 objetos que sugieren la idea de planoa) ..........................................................................

b) ..........................................................................

c) ..........................................................................

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Coloca “V” ó “F”- Un punto se representa con una letra

minúscula ( )- Dos rectas secantes se cortan en un punto

( )- Tres puntos no colineales determinan un

plano ( )- Un plano tiene infinidad de puntos

( )

2. Dibuja tres rectas secantes que se cortan de dos en dos

3. Grafica y responde:

a) ¿Cuántas rectas pasan por un punto?

b) Tres puntos no colineales determinan un plano

4. Observa la figura y responde:

E

D

C

A

B

a) nombra tres puntosb) nombra tres rectasc) nombra un planod) nombra dos segmentos con extremo “B”e) nombra dos rectas que pasan por “B”

5. Según la figura mostrada, ¿en cuántos puntos puede cortar la recta L1 el plano “P”?

L1

P

Rpta: ....................................................

6. Determina la posición de cada una de las rectas respecto al plano

D A B

E

C

F Q

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Grafica y responde:

a) ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos?

Rpta: .................................................

b) ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos colineales?

Rpta: .................................................

c) ¿Si una recta contiene dos puntos de un plano, entonces la recta está contenida en el plano?

Rpta: .................................................

2. Dibuja dos rectas paralelas y una secante a éstas, luego menciona cuántos ángulos forman.

Rpta: .................................................3. Marca “V” ó “F”

a) Dos rectas secantes tienen un punto en común ( )

b) Dos rectas paralelas determinan un plano( )

c) Dos planos que se cortan determinan una recta ( )

4. Observa la figura y determina cuántos planos puedes ubicar y nómbralos.

B

A D C

E

F

H G

Rpta: .................................................

5. Según la figura:

B

K

. M Z

A C

N

a) Menciona dos pares de rectas secantes

b) Menciona dos rectas perpendiculares

c) Menciona dos planos

d) Menciona un punto contenido en el plano 6. Con la ayuda de una regla dibuja un

segmento de 10 cm y por su punto medio traza una recta perpendicular.

ÁNGULOS

Gráficamente: A

Vértice Notación:

O AOB ó AOB

B

Lados: OB y OA

CLASIFICACIÓN:

a) Según su medida

Ángulo Agudo

B

A

0° < < 90°

Ángulo Recto

B

A = 90°

Ángulo Obtuso

B

A90° < < 180°

Ángulo Llano

B O A

AOB = 180°

b) Según la posición de sus lados

Ángulos Consecutivos

C B

A y son consecutivos

Ángulo Adyacente

B

C A

y son adyacentes porque están sobre una misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice

Sabías que la figura geométrica formada por la

unión de dos rayos que tienen el mismo origen se

denomina ÁNGULO.

m

n

c) Según la suma de sus medidas.

Ángulos Complementarios

y son complementarios + = 90°

Ángulos Suplementarios

y son suplementarios + = 180°

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

ALGUNAS PROPIEDADESa) b)

L1

L2

L1 // L2

L1

z

L2

+ = + + zL1 // L2

c)

Alternos internos Conjugados 3 y 5 internos 4 y 6 3 y 6

4 y 5

Alternos externos Conjugados 1 y 7 externos 2 y 8 1 y 8

2 y 7

Correspondientes 1 y 5 2 y 6 3 y 7 4 y 8

¡Tienen igual medida! ¡Son suplementarios!

“m” y “n” opuestos m = n“” y “” opuestos =

=

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si OM: Bisectriz. Hallar el valor de x

A

x +10°O 2x M

B

Solución:

Como OM Bisectriz m BOM = m MOA

2x = x + 102x – x = 10

x = 102. Hallar el valor de ”x”

3x + 10 2x + 40

Como son ángulos opuestos por el vértice 3x + 10 = 2x + 40

3x – 2x = 40 – 10 x = 30

EJERCICIOS PARA LA CLASE

I. Hallar el valor de “x” en cada caso

1) 68° 82°

x

2)

x 81°

45°

3)

x – 20 x°

x – 30

4)A

x + 10°

O 2x M

B

5) A

x°

O 20 M

OM: Bisectriz Bdel AOB

6)

B M

50 x A C OM: Bisectrizdel BOC

7)

x° x+10°

x –40

8)

60

4x

9)

x L1

120°

L2

10)

B

M 130° x A O C

OM: Bisectriz del BOC

11)

x120°

12) x

150°

13)

x 30°

2x

14)

330° L2

L1

L1 // L2

15) L2

x

45°

L1 // L2

L1

EJERCICIOS – ÁNGULOS

1. En la figura. Calcular AOB

47°

2. De la figura, calcular “x”

5x

x

3. Si AOB = BOC = COD. Calcular AOC

C B

A O B

4. Calcular el valor de “x” para que sea bisectriz del AOC

B C

5x 40°

A D

5. El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho ángulo. Hallar la medida del ángulo en mención.

6. Si:S = SuplementoC = Complemento

Calcular: T = SSCSSCS100

7. Hallar la medida de un ángulo sabiendo que la diferencia entre su suplemento y su complemento es seis veces la medida de dicho ángulo.

8. Calcular el complemento del suplemento de 120° y luego adiciónale el suplemento del complemento de 60°

9. Indique el triple de la mitad del complemento de 40°

10. ¿En cuánto excede el doble del complemento de 63° al triple del complemento de 84?

11. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD si BOC = 100°, sabiendo que AOB, BOC y COD son consecutivos a un lado de la recta.

12. Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus complementos es igual a 9°.

13. Hallar “” si AOB = 84°. Las rectas L1 y L2 se cortan en el punto “O”

A

L1

O

B

L2

14. En la figura hallar “” si la medida del ángulo AOC y la medida del ángulo AOB suman 86°.

A B

P

C

15. Hallar “x” si m COD = 90°

3x – 21

x – 20 2x

16. Hallar ( – ) si L1 es perpendicular a L2

17. Si L1 paralelo a L2. Calcular la medida del ángulo “”

L1

70°

80° 50°

L2

18. En la figura L1 // L2. Hallar el valor de “x”

2n n 126

x° L1

a L2

a

19. Calcular x si L1 es paralelo a L2 y L3 // L4

L3

143° L2

L4

x L2

20. De la figura. Calcular “” sabiendo que L1 // L2

260° 220°

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si BOD = 130°. Calcular BOC

C

B

A D

2. En la figura, hallar m COM, si m BOC – m AOC = 24 OM : Bisectriz del AOB

MB

C

AO

3. De la figura, calcular “x

x + 10 2x – 40

4. Calcular XOY. Si BOZ = 160°

Y Z

A

B

WX

5. De la figura. Hallar “x” si L1 // L2

L1

x3x

126

5xL2

6. Si m BOD = 120°. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD

B CD

A

O

7. Si L1 // L2, Hallar “x”

3xL1

100°

L2

x

8. Si L1 // L2, hallar “x”

L1

150°

x 120

L2

9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es igual a 18°. Calcular la medida del ángulo formado por el rayo OB y la bisectriz del ángulo AOC.

10. ¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo para que sea el suplemento del mismo ángulo?

11.- Si el ángulo mide 80°. Calcular el suplemento del complemento de dicho ángulo.

12.- Calcular el suplemento del complemento de un ángulo que mide 50°.

13.- ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia de su suplemento y su complemento es el triple del ángulo?

14.- ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es nueve veces el ángulo?

15.- La suma del complemento y del suplemento de cierto ángulo es igual a 120°. Hallar dicho ángulo.

16.- El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo.

130°

17.- Hallar la medida de un ángulo sabiendo que su complemento es igual a 1/3 de su suplemento. 18.- Los ángulos “A” y “B” son complementarios.

La medida de “A” es a la de “B” como 5 es a 4. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?

TRIÁNGULOS

Bb°

° Notación: ABC

a° ° ° c° A C

ELEMENTOS:

1) Vértices: A, B, C2) Lados: , , 3) Ángulos: Internos: °, °, °

Externos: a°, b°, c°4) Perímetro: 2p =

5) Semiperímetro: p =

CLASIFICACIÓN

Según sus lados

Triángulo Escaleno B

A C

Sus tres lados son desiguales

Triángulo Isósceles B

A C

Dos de sus lados son iguales

Triángulo EquiláteroB

60°

60° 60°

A C

Sus tres lados son iguales

Según sus ángulos

Triángulo Acutángulo

, y son agudos

Triángulo Rectángulo

Hipotenusa

Catetos = 90°

Triángulo Obtusángulo

90° < ° < 180°

PROPIEDADES BÁSICAS

Sabías que al trazar tres rectas secantes que se

intersectan dos a dos se determina un TRIÁNGULO

1. En todo triángulo la suma de los ángulos internos es igual a 180°

+ + = 180°

2. En todo triángulo un ángulo externo será igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a éste.

+ =

3. En todo triángulo la suma de los ángulos externos es igual a 360°

+ + = 360°

4. En todo triángulo se opone mayor ángulo y viceversa.

BSi n > p > m

A° > B° > C° m n

A C p

5. Dado un triángulo isósceles: a lados iguales se oponen ángulos iguales.

BSi =

A C

6. Para que exista un triángulo se debe cumplir que un lado sea menor que la suma de los otros dos lados, pero mayor que su diferencia.

BSi: a > b > c b – c < a < b + c

a b

A c C

PROPIEDADES ADICIONALES

a) b) c) c

a

b

d x

x = + + a + b = c + d + = 90°

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Calcular “x”

A

P

x C B Q

a) 15,5° b) 20,5° c) 22,5d) 10,5° e) 12,5°

2. Calcular “x” B

80°

A C 10° x

D

a) 30° b) 40° c) 60° d) 45°

3. Hallar “x”

x

93° 3 3

a) 80° b) 100° c) 120°d) 140° e) N.A.

4. En la figura, calcular “x”

B

48°

Q

2x C A P

5. Si AB = BC y PQ = PR, hallar la relación entre “x” e “y”

B

P Q

x

A C R

6. Hallar “” Si AD = BC

B

3

A C

7. Calcular “x”, si AD = BD = BE, mC = 30°, m BAE = 30°

B

Ex

D 30°

A C

a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

8. Determinar “x”

B

x

F

2x

A E D

a) 10° b) 15° c) 30° d) 45° e) 60°

9. Determinar x, si AB = BC, BP = BQ

B

x

30°A P C

a) 30° b) 40° c) 45° d) 60° e) 75°

10. Calcular “x”

148°

x

a b a b

a) 36° b) 42° c) 54° d) 63° e) 74°