angulos en la circunferemcia

Pontificia Universidad Catolica de ChileCentro de Alumnos de Ingenierıa 2009Preuniversitario de Ingenierıa

GeometrıaGuıa No5

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. Definamos...

Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, sellama circunferencia de centro O y radio r al conjuntode todos los puntos del plano que estan a la distanciar del punto O.

O

r

C(O, r)

Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y unpunto de esta (OA).

Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia(DE).

Diametro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC).

Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)

Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto(TM). T punto de tangencia.

�

O

A

T

QP

D E

CB

Arco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntosdistintos de ella (CE).

Angulo del Centro: Es todo angulo interior cuyo verticees el centro de la circunferencia y sus lados son radios dela misma (^FOE).

Angulo Inscrito: Es todo angulo cuyo vertice es un puntode la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas deesta (^FDE)

O D

E

F

Angulo Externo: Es todo angulo formado por secantesfuera de la circunferencia (^ADB).

Angulo Interno: Es todo angulo formado por cuerdas alinterior de la circunferencia (^ACB).

O

CA

B

D

1


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2. Propiedades

Con respecto a los angulos que se forman al interior de una circunferen-cia, se cumple que

1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a lamedida del angulo del centro que subtiende dicho arco.

D

E

O

_DE= ^DOE = α

α

2. Todo angulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitaddel angulo del centro que subtiende el mismo arco.

A B

O

α

2= β

α

β

Ojo 1 Si β es un angulo inscrito que sub-

tiende el_AB y AB es diametro, entonces

β = 90.

A BO

�

β

2


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3. Todo angulo interno a una circunferencia tiene como medida la semi-suma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman.

AB

CD

γ

γ

_AB +

_CD

2= ^CED = γ

4. Todo angulo externo a una circunferencia tiene como medida la semi-diferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman.

δE

A

B

C

D

_AB −

_CD

2= ^CED = δ

Ojo 2 En todo cuadrilatero inscrito en una circunferencia, los angulos opues-

tos son suplementarios.

Ojo 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en

el punto de tangencia.

αβ

γ δ

α + γ = β + δ = 180o

O

TL�

OT ⊥ L

3


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3. Ejercicios

Sin calculadora. Marcar solo 1 alternativa.

1. ¿Cual de las siguientes opciones es falsa?

a) El diametro de una circunferencia es el doble de su radio.

b) La mayor cuerda de una circunferencia es el diametro.

c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes.

d) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia formanangulos del centro.

e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia.

2. En la circunferencia de centro O, AC es diametro. Si β = 20o, entoncesel valor de α es

a) 10o

b) 20o

c) 40o

d) 80o

e) 140

O

α

A

C

B

β

�

3. En la circunferencia de centro O y diametro BC de la figura, ¿cuantomide el ^BCA?

a) 22o

b) 34o

c) 36o

d) 44o

e) 68o

� O

68o

A B

C

4


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4. En la circunferencia de centro O de la figura, ^BOA = 70o y^COB = 40o. ¿Cuanto mide el angulo ABC?

a) 10o

b) 20o

c) 15o

d) 30o

e) 25o

� O

A B

C

5. En la circunferencia de centro O, se cumple que_BA∼=

_DC y

_AD +

_CB= 3

_BA.

Entonces la medida del ^α es

a) 45o

b) 60o

c) 72o

d) 84o

e) 90o

�

Oα

A

B

C

D

6. AC y BE son diametros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si^BOA = 2^COB, entonces el ^CDB mide

a) 30o

b) 35o

c) 45o

d) 600o

e) 120o

�

O

A B

C

D

E

5


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7. En la figura, ^TPQ = 140o y ^QRP = 15o. ¿Cuanto mide el ^PQT ?

a) 15o

b) 20o

c) 25o

d) 30o

e) 35o

P Q

RT

8. AC es diametro de la circunferencia de centro O. ¿Cuanto mide elangulo BCA?

a) 15o

b) 25o

c) 35o

d) 55o

e) 70o

�O

A C

B

55o

9. En la figura, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T .¿Cuanto mide el ^OPT ?

a) 10o

b) 20o

c) 30o

d) 40o

e) 50o

�

O

T

P40

o

6


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10. En la circunferencia de centro O de la figura, PA y PB son tangentesen A y B, respectivamente. ¿Cuanto mide el angulo BCA?

a) 25o

b) 50o

c) 65o

d) 100o

e) 130o

OC

B

A

P50o

11. En la figura, el cuadrilatero ABCD esta inscrito en la circunferencia.Si β = 145o y α = β − δ, entonces γ =

a) 35o

b) 45o

c) 55o

d) 60o

e) 70o

αA

β

B

γC

δ

D

12. AC y BD son diametros de la circunferencia de centro O. Si el anguloDOC mide 80o, ¿cuanto mide el angulo ABO?

a) 20o

b) 30o

c) 40o

d) 45o

e) 50o

O

A B

CD

7


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13. En la circunferencia de centro O y diametro DB de la figura, ¿cuantomide el angulo COA si ^DCO = 30o y ^DAO = 40o?

a) 70o

b) 100o

c) 125o

d) 140o

e) 160o

�

OD B

C

A

14. O y O′ son los centros de las circunferencias de la figura. Si ^DAC =40o, ¿cuanto mide el angulo ACD?

a) 10o

b) 20o

c) 25o

d) 40o

e) 50o

� �

O O′A

B

C

D

15. O es centro de la circunferencia de la figura, y QROP es cuadrado.¿Cuanto mide el angulo RSP ?

a) 22,5o

b) 30o

c) 45o

d) 60o

e) 50o

OP

R

S

Q

8


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16. En la circunferencia de centro O de la figura, ¿cuanto mide el anguloOPR?

a) 35o

b) 40o

c) 45o

d) 50o

e) 70o

�O

T Q

P

R

70o

�

17. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si ^ORQ = 36o y^ROP = 54o, ¿cuanto mide el ^RTP ?

a) 63o

b) 72o

c) 108o

d) 117o

e) 144o

�O

TQ

P

R

18. En la circunferencia de centro O de la figura, ^BAC + ^BDC = 80o.Entonces, el ^BOC mide

a) falta informacion.

b) 80o

c) 60o

d) 40o

e) 20o

�

ODA

CB

9


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19. En la figura, ^BCA = 40o y ^CDB = 30o. ¿Cuanto mide el ^ABC?

a) 60o

b) 90o

c) 100o

d) 120o

e) 110o

�O

D

A

C

B

20. En la figura, BD es diametro y ^CBD = 16o. ¿Cuanto mide el^CAB?

a) 74o

b) 64o

c) 45o

d) 32o

e) 16o

�

D

A

C B

21. En la figura, CB//DA. Si_CD= 80o, entonces ¿cual(es) de las siguien-

tes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?I) ^BCA = 40o

II) ^BEA = 80o

III)_DA= 100o

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

D A

C B

E

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22. O es centro de la circunferencia de la figura, ^QOP = ^ROQ =^SOR y ^RSO = 72o. ¿Cuanto mide el angulo PTQ?

a) 54o

b) 36o

c) 35o

d) 27o

e) 18o

P

Q R

S

T

O

23._BC es un cuarto de circunferencia con centro en A. Si BD = AB,entonces el ^CAD mide

a) 15o

b) 30o

c) 45o

d) 60o

e) 75o

D

C

A B24. En la figura, la circunferencia tiene centro en O. El valor del angulo x es

a) 12,25o

b) 12,5o

c) 25o

d) 37,50o

e) 50o

�O

C

D

B

Aax

50o

a

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25. En la circunferencia de centro O, ^ABO = 2^BOA. ¿Cuanto mide elangulo OAB?

a) 36o

b) 45o

c) 60o

d) 72o

e) 90o

�O

BA

O

26. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede conocer el valorde α si:

(1) ^BOA = 2α(2) ^ABO = α

a) (1) por sı sola.

b) (2) por sı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) o (2).

e) Se requiere informacion adicional.

�

O

A

Bα

27. En la circunferencia de centro O de la figura, AD y BC son diametros.Se puede conocer el valor de x si:

(1)_CA= 110o

(2) ^BCA + ^BDA = 70o






�

O

DC

BA

x

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28. AB es diametro de la circunferencia de centro O. La medida del ^CBA

se puede determinar si:

(1) AB = 2AC

(2) ^BOC = 2^COA






�O

B

A C

29. En la figura, el cuadrilatero ABCD esta inscrito en la circunferencia.Se puede saber la medida del ^CDA si:

(1) ^BCD = 180o

(2) ^DAB = 100o






�O

BD

C

A

30. En la circunferencia de centro O de la figura, A y B son puntos detangencia. Se puede determinar la medida del ^BOA si:

(1) ^PBO = ^OAP

(2) ^BOA = 3^APB






�O

B

A

P

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1 E 2 C 3 A 4 B 5 C

6 A 7 C 8 C 9 A 10 C

11 E 12 E 13 D 14 C 15 C

16 D 17 A 18 B 19 E 20 A

21 C 22 E 23 B 24 B 25 D

26 A 27 D 28 D 29 E 30 B

14

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