angulos en lineas paralelas
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1
PROBLEMA 1
PROBLEMA 5
PROBLEMA 2
PROBLEMA 6
PROBLEMA 3
PROBLEMA 7A
PROBLEMA 4
PROBLEMA 7B
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL
LÍNEAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
Estándar 7
PROBLEMA 8A PROBLEMA 8B
PROBLEMA 9A PROBLEMA 9BTERMINA
PANTALLA
COMPLETA
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2
ESTÁNDAR 7:
Los estudiantes prueban y usan
teoremas involucrando las propiedades
de líneas paralelas cortadas por una
transversal, las propiedades de
cuadriláteros, y las propiedades de
círculos.
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3
Estándar 7
m
l
k
Línea k es una TRANSVERSAL cortando líneas m y l.
LÍN EAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
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4
Estándar 7
EXTERIOR
m
l
k
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5
Estándar 7
m
l
k
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
1 and 5
3 and 7
2 and 6
4 and 8
12
3
4
5 6
7 8
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL
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6
Estándar 7
m
l
k
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS:
4 and 5
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL
3 and 6
12
3
4
5 6
7 8
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7
Estándar 7
m
l
k
1 and 8
7 and 2
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL
12
3
4
5 6
7 8
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS:
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8
Estándar 7
m
l
k
3 and 5
4 and 6
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL
12
3
4
5 6
7 8
ÁNGULOS INTERIORES CONSECUTIVOS:
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9
Estándar 7
k
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS:
1 and 8
4 and 5
7 and 2
ÁNGULOS FORMADOS POR UNA
TRANSVERSAL
3 and 6
m
l
12
3
4
5 6
7 8ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS:
3 and 5
4 and 6
ÁNGULOS INTERIORES CONSECUTIVOS:
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
1 and 5
3 and 7
2 and 6
4 and 8
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10
Estándar 7Si ambas líneas m y l son PARALELAS se cumple lo siguiente:
1 2
3 4
5 6
7 8
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES SON :
4 8
2 6
1 5
3 7
k
m
l
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11
Estándar 7
1 2
3 4
5 6
7 8
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS SON :
4 5
3 6
k
m
l
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Si ambas líneas m y l son PARALELAS se cumple lo siguiente:
12
Estándar 7
1 2
3 4
5 6
7 8ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS SON :
1 8
7 2
k
m
l
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Si ambas líneas m y l son PARALELAS se cumple lo siguiente:
13
Estándar 7
1 2
3 4
5 6
7 8
ÁNGULOS INTERIORES CONSECUTIVOS
SON SUPLEMENTARIOS:
4m 6m+ =180°
3m 5m+ =180°
k
m
l
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Si ambas líneas m y l son PARALELAS se cumple lo siguiente:
14
Estándar 7
k
m
l
1 2
3 4
5 6
7 8
1 5
3 7
2 6
4 8
3 6
4 5
1 8
7 2
3m 5m+ =180°
4m 6m+ =180°PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
Si ambas líneas m y l son PARALELAS se cumple lo siguiente:
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES SON :
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS SON :
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS SON :
ÁNGULOS INTERIORES CONSECUTIVOS
SON SUPLEMENTARIOS:
15
Estándar 7Encontrar todos los ángulos en la figura:
60°1
2 3
4
6 7
5
¿Cuál es la medida del ?1
60° + = 180°1m porque es un PAR LINEAL
-60 -60
1m = 120°
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16
Estándar 7
60° + = 180°1m
-60 -60
1m = 120°
60°1
2 3
4
6 7
5
Ahora es vertical con el ángulo de 60°:2
2m = 60°
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Encontrar todos los ángulos en la figura:
¿Cuál es la medida del ?1
porque es un PAR LINEAL
17
Estándar 7
y son verticales:1 3
60°1
2 3
4
6 7
5
3 =m 1m
3 =m 120° PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
Encontrar todos los ángulos en la figura:
60° + = 180°1m
-60 -60
1m = 120°
Ahora es vertical con el ángulo de 60°:2
2m = 60°
¿Cuál es la medida del ?1
porque es un PAR LINEAL
18
Estándar 7
Ahora todos los siguientes
ángulos son
correspondientes y :
1 4
2 6
3 7
60°1
2 3
4
6 7
54m = 120°
6m = 60°
7m = 120°
y finalmente:
5m = 60°
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Encontrar todos los ángulos en la figura:
y son verticales:1 3
3 =m 1m
3 =m 120°
60° + = 180°1m
-60 -60
1m = 120°
Ahora es vertical con el ángulo de 60°:2
2m = 60°
¿Cuál es la medida del ?1
19
Estándar 7
Ahora todos los siguientes
ángulos son
correspondientes y :
1 4
2 6
3 7
60°1
2 3
4
6 7
5 4m = 120°
6m = 60°
7m = 120°
y finalmente:
5m = 60°
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Encontrar todos los ángulos en la figura:
y son verticales:1 3
3 =m 1m
3 =m 120°
60° + = 180°1m
-60 -60
1m = 120°
Ahora es vertical con el ángulo de 60°:2
2m = 60°
¿Cuál es la medida del ?1
20
7X + 30 = 15X -18
- 30 -30
7X = 15X - 48
-15X -15X
-8X= - 48
-8 -8
X = 6
Estándar 7Encotrar el valor de X:
Ambos ángulos son ALTERNOS EXTERNOS y las líneas paralelas por lo
tanto son :
7X + 30
15X - 18
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21
14X + 6 = 8X + 54
- 6 -6
14X = 8X + 48
-8X -8X
6X = 48
6 6
X = 8
Encontrar el valor de X:
Ambos ángulos son ALTERNOS INTERNOS y las líneas paralelas por lo tanto
son :
8X + 54
14X + 6
Estándar 7
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22
16X + 9 = 9X + 58
- 9 -9
16X = 9X + 49
-9X -9X
7X = 49
7 7
X = 7
Encontrar el valor de X:
Ambos ángulos son CORRESPONDIENTES y las líneas paralelas, por lo tanto
son :
9X + 58
16X + 9
Estándar 7
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23
Encontrar el valor de X:
3X + 17
17X + 23
Ambos ángulos son INTERIORES CONSECUTIVOS, y las
líneas paralelas; por lo tanto son SUPLEMENTARIOS:
(3X + 17) + (17X + 23) = 180
3X + 17X + 17 + 23 = 180
20X + 40 = 180
-40 -40
20X = 140
20 20
X = 7
Estándar 7
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24
Ambos ángulos son ALTERNOS EXTERNOS :
8X + 26 = 12X -14
- 26 -26
8X = 12X - 40
-12X -12X
-4X= - 40
-4 -4
X = 10
=12( ) -1410= 120 - 14
= 106°
Los ángulos forman un PAR LINEAL:
Z + 106° = 180°
-106 -106
Z = 74
8X + 26
12X – 14
Z
Encontrar el valor de X y Z: Estándar 7
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25
Ambos ángulos son ALTERNOS INTERNOS :
5Z + 13 = 93 – 3Z
- 13 -13
5Z = -3Z + 80
+ 3Z + 3Z
8Z = 80
8 8
Z = 10
= 93 – 3( )10= 93 - 30= 63°
Y + 63° = 90°
-63 -63
Y = 27°
Estos son COMPLEMENTARIOS:5Z + 13
93 – 3Z
Y
Encontrar el valor de Y y Z para la figura de abajo: Estándar 7
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26
Ambos ángulos son ALTERNOS INTERNOS:
6Y + 15 = 75 – 14Y
- 15 -15
6Y = -14Y +60
+ 14Y + 14Y
20Y = 60
20 20
Y = 3
= 6( ) + 153= 18 + 15= 33° X + 33° = 90°
-33 -33
X = 57°
Ángulos son COMPLEMENTARIOS:6Y + 15
75 – 14Y
X
Encontrar el valor de Y y X en la figura de abajo: Estándar 7
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27
35° 58°
87°
+ +
C
Cm
B
Bm
A
Am =180°
35° + 87° + 58° = 180°
La suma de los ángulos interiores siempre es 180°.
TEOREMA DE SUMA DE ÁNGULOS
INTERIORES DE UN TRIANGULO:
Standards 4 and 5
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28
103°
77°77°
65°
1. Ángulos verticales
2. Par lineal
180°-103° = 77°
180°-65°= 115°
115°115°
3. Ángulos correspondientes65°
65°
115° 115°
4. Ángulos verticales
5. Par lineal
180°-65°= 115°
6. Suma de ángulos interiores
de triángulo es 180°:
180°-77°-65° = 38°
38°
7. Ángulos verticales
38°
8. Ángulos correspondientes
38°
38°
9. Par lineal
180°-38°= 142°
142°
142°142°
142°103°
65°
Encontrar todos los ángulos desconocidos en la
figura de abajo:
Estándar 7
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29
110°
70°70°
85°
1. Ángulos verticales
2. Par lineal
180°-110° = 70°
180°-85°= 95°
95°95°
3. Ángulos correspondientes85°
85°
95° 95°
4. Ángulos verticales
5. Par lineal:
180°-85°= 95°
6. Suma de ángulos interiores
del triángulo es 180°:
180°-70°-85° = 25°
25°
7. Ángulos verticales
25°
8. Ángulos correspondientes
25°
25°
9. Par lineal
180°-25°= 155°
155°
155°155°
155°110°
85°
Estándar 7
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Encontrar todos los ángulos desconocidos en la
figura de abajo:
30
2X + 5
5Y + 5
Z
145°
Encontrar el valor de X, Y y Z en la figura: Estándar 7
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31
Ángulos alternos externos:
Z = 145°
2X + 5
5Y + 5
Z
145°
Encontrar el valor de X, Y y Z en la figura: Estándar 7
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32
Ángulos alternos externos:
Z = 145°
Par lineal y suplementarios:
145° + (5Y + 5)° = 180°
150 + 5Y = 180
-150 -150
5Y = 30
5 5
Y = 6
2X + 5
5Y + 5
Z
145°
Encontrar el valor de X, Y y Z en la figura: Estándar 7
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33
Ángulos alternos externos:
Z = 145°
Par lineal y suplementarios:
145° + (5Y + 5)° = 180°
150 + 5Y = 180
-150 -150
5Y = 30
5 5
Y = 6Ángulos correspondientes:
2X + 5 = 145°
-5 -5
2X = 140
2 2
X = 70
2X + 5
5Y + 5
Z
145°
Encontrar el valor de X, Y y Z en la figura: Estándar 7
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34
Ángulos alternos externos:
Z = 145°
Par lineal y suplementarios:
145° + (5Y + 5)° = 180°
150 + 5Y = 180
-150 -150
5Y = 30
5 5
Y = 6Ángulos correspondientes:
2X + 5 = 145°
-5 -5
2X = 140
2 2
X = 70
2X + 5
5Y + 5
Z
145°
Encontrar el valor de X, Y y Z en la figura: Estándar 7
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35
2R – 15
4S – 20
T
140°
Encontrar el valor de R, S y T en la figura: Estándar 7
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36
Ángulos alternos externos:
T = 140°
2R – 15
4S – 20
T
140°
Encontrar el valor de R, S y T en la figura: Estándar 7
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37
Ángulos alternos externos:
T = 140°
Par lineal y suplementarios:
140° + (4S – 20 )° = 180°
120 + 4S = 180
-120 -120
4S = 60
4 4
S = 15
2R – 15
4S – 20
T
140°
Encontrar el valor de R, S y T en la figura: Estándar 7
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38
Ángulos alternos externos:
Z = 140°
Par lineal y suplementarios:
140° + (4S – 20 )° = 180°
120 + 4S = 180
-120 -120
4S = 60
4 4
S = 15Ángulos correspondientes:
2R – 15 = 140°
+15 +15
2R = 155
2 2
R = 77.5
2R – 15
4S – 20
T
140°
Encontrar el valor de R, S y T en la figura: Estándar 7
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39
Ángulos alternos externos:
Z = 140°
Par lineal y suplementarios:
140° + (4S – 20 )° = 180°
120 + 4S = 180
-120 -120
4S = 60
4 4
S = 15Ángulos correspondientes:
2R – 15 = 140°
+15 +15
2R = 155
2 2
R = 77.5
2R – 15
4S – 20
T
140°
Encontrar el valor de R, S y T en la figura: Estándar 7
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