anexo 1 -...

Anexo 1

Reglas y valores establecidas en una clase

☺ Mantener el orden y la disciplina durante las lecciones.

☺ No hacer ruido, hacer silencio cuando el profesor y los compañeros están

hablando o explicando.

☺ Que el profesor tengan disponibilidad.

☺ Participación por parte de todos los integrantes del grupo.

☺ Compañerismo.

☺ Puntualidad estar en el aula antes que suene el timbre.

☺ Respeto hacia el profesor y los demás compañeros.

☺ Responsabilidad en las tareas y actividades de clase.

☺ No golpear a los compañeros ni al profesor.

☺ No comer ni mascar chicle.

☺ No decir apodos.

☺ Obedecer al profesor.

☺ No salir del aula sin permiso y no atender estudiantes en la puerta.

☺ Paciencia.

☺ No decir palabras vulgares.

☺ Llamar al profesor como profesor.

☺ Celulares apagados.

Universidad de Costa Rica Sede Rodrigo Facio. Trabajo Comunal Universitario Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero. III Ciclo 2010

Números y casillas

Instrucciones:

Situar los números del 1 al 9 en las casillas del dibujo, de tal forma que cada número de la casilla superior sea la suma de los dos números de las casillas inferiores en las que se apoya.

Solución:

Universidad de Costa Rica Sede Rodrigo Facio. Trabajo Comunal Universitario Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero. III Ciclo 2010

Estrella con diagonales:

Acomode los números del 1 al 7, uno por círculo, de modo que cada uno de los

triángulos grandes y cada diagonal sumen lo mismo

Universidad de Costa Rica

Sede Rodrigo Facio.

Trabajo Comunal Universitario

Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria

Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero.

III Ciclo 2010

COLOCANDO NÚMEROS

Coloque los números del 1al 9, un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Las sumas en la rueda

Instrucciones:

Ponga las cifras del 1 al 8 en

las casillas de la rueda de modo que:

Los números vecinos del 4 sumen 9.



Los números vecinos del 7 sumen


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Las sumas en la rueda

Instrucciones:

Ponga las cifras del 1 al 8 en

las casillas de la rueda de modo que:





Anexo 2

Trabajo Comunal Universitario Nombre del Proyecto: Mejoramiento del rendimiento en la secundaria Estudiante: Roiner Gerardo Segura Cubero Nivel: 7 año. Nombre del estudiante:

_____________________________________________

Prueba de diagnóstico

Objetivo: Evaluar los conocimientos previos de los estudiantes, necesarios

para el adecuado desarrollo de los temas a estudiar.

Indicaciones: A continuación se presenta una serie de ejercicios que debe

contestar en forma individual. Su fin es medir cuales son sus conocimientos

previos del estudiante.

Selección Única:

Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes ítems. Marque con una equis

(x) dentro del paréntesis ( ) que indica la respuesta correcta a cada ítem.

1) El número entero antecesor de corresponde a

2) El resultado de corresponde a

3) Al realizar la multiplicación – se obtiene como resultado

4) Cuando realizamos | | obtenemos como resultado

5) Al efectuar obtenemos:

6) El resultado de (

)

es:

( )

( )

( ) -1

( )

7) Al efectuar 5

6

3

1

obtenemos:

( )

( )

( )

( )

8) El resultado de 2

5

1

es:

( )

( )

( )

( )

9) El gráfico adjunto representa la fracción siguiente:

( )

( )

( )

( )

10) El resultado de la división 3424 16 corresponde a:

( ) 214 ( ) 415 ( ) 570 ( ) 107

11) Según la figura adjunta. El valor de “x” es:

( ) 50° ( ) 70° ( ) 90° ( ) 45°

12) De las siguientes parejas de ángulos, la única que posee dos ángulos

complementarios es:

( ) 73° y 17° ( ) 20° y 30° ( ) 40° y 60° ( ) 90° y 1°

X 135°

13) La recta determinada por los puntos A y D se representa por:

( ) ⃡

( )

( ) ⃡ ( ) ̅̅ ̅̅

14) El perímetro de la figura es:

( ) 12 cm. ( ) 22 cm. ( ) 24 cm. ( ) 30 cm

15) En la figura L // M. Hay tres ángulos congruentes con el ángulo 2. ¿Cuáles son esos ángulos? ( ) 4, 5 y 8 ( ) 3, 4 y 6 ( ) 3, 6 y 7 ( ) 3, 5 y 8

16) En un triángulo, al segmento que biseca al ángulo y tiene como punto terminal un punto del lado opuesto se denomina ( ) Mediana ( ) Altura ( ) Bisectriz ( ) Baricentro

Fin

L

M

Anexo 3


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Adivino el número a todos

Descripción de la actividad:

Se le pide a todos los estudiantes que realicen los siguientes pasos

1. Se piensen un número de tres dígitos tal que todos los dígitos no sean

iguales y sus extremos tampoco pueden ser iguales.

2. Luego que cambien los dígitos extremos del número pensado,

obteniendo otro número, por ejemplo si alguien se pensó el número

al cambiar los extremos obtendría el número .

3. Al número mayor entre los dos le quita el menor.

4. Luego se suman los dígitos del resultado.

5. El profesor le dice a todos el número que obtuvo cada uno, el cual es el

mismo para todos.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

“El número 30”

¿Cómo podrías expresar el número 30 con tres cifras iguales y con las operaciones + , ─ , • ¿


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

“El número 30”

¿Cómo podrías expresar el número 30 con tres cifras iguales y con las operaciones + , ─ , • ¿


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

El problema del Restaurante

José Manuel, Miguel Ángel, Rogelio y José Antonio fueron, con sus respectivas esposas, a comer a un buen restaurante. En el restaurante, se sentaron en una mesa de forma redonda, de manera que: Ninguna esposa se sentaba al lado de su marido Enfrente de Miguel Ángel se sentaba José Antonio A la derecha de la esposa de Miguel Ángel se sentaba Rogelio. No había dos esposas juntas ¿Quién se sentaba entre Miguel y José Manuel?


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

El problema del Restaurante

José Manuel, Miguel Ángel, Rogelio y José Antonio fueron, con sus respectivas esposas, a

comer a un buen restaurante.

En el restaurante, se sentaron en una mesa de forma redonda, de manera que:

Ninguna esposa se sentaba al lado de su marido

Enfrente de Miguel Ángel se sentaba José Antonio

A la derecha de la esposa de Miguel Ángel se sentaba Rogelio.

No había dos esposas juntas

¿Quién se sentaba entre Miguel y José Manuel?


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Iba un día Pepito caminando por la calle y pensó que tenía que llegar a estudiar

matemáticas, cuando llegó a su casa y tomó sus apuntes lo primero que encontró un

problema de sistemas de ecuaciones el cual decía:

“Si al doble de un número le sumo el triple de otro obtengo 10, pero si a ese número

le resto el otro obtengo 4 ¿Cuál es el valor de cada uno de eso dos números? ”

Pepito pensó y pensó pero aún no lo ha logrado resolver.

Te propongo un trato. ¿Qué tal si le ayudas a Pepito a solucionar el problema

anterior?

Uy! Se me había olvidado

que tengo que estudiar matemáticas.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

COLOCA LOS DÍGITOS

Problema: Colocar en forma correcta los dígitos del 1 al 8 en la siguiente figura, si el 1

no puede estar junto al 2, el 5 no puede estar junto al 4, el 3 y el 6 deben estar

separados al igual que el 7 y el 8.


Sede Rodrigo Facio.


Nombre del Proyecto: Mejoramiento del rendimiento en la secundaria


III Ciclo 2010

Cuadro Mágico

Problema: Colocar los números del 1 al 9 en los cuadrados, de tal forma que al

sumarlos ya sea en forma vertical, horizontal o en diagonal, el resultado sea igual.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Cuadro Mágico

Problema: Colocar los números del 1 al 9 en los cuadrados, de tal forma que al

sumarlos ya sea en forma vertical, horizontal o en diagonal, el resultado sea igual.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

LA DIFERENCIA

Problema: Coloque los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada

número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a

sus lados.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

LA DIFERENCIA

Problema: Coloque los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada

número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a

sus lados.

Anexo 4


Sede Rodrigo Facio.


Nombre del Proyecto: Mejoramiento del rendimiento académico en la secundaria


III Ciclo 2010

LOS TRIÁNGULOS PEQUEÑOS

Problema: Coloque las cifras del 1 al 8 en los círculos de los dos cuadrados de

forma que los tres vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Problema:

Tres hombres reciben, como pago de un servicio hecho, una partida de refresco

compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 medio llenos y 7 vacíos. Quieren

ahora dividir los 21 vasos de manera que cada uno reciba el mismo número de vasos

y la misma cantidad de refresco. ¿Cómo hacer el reparto?


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Problema:

Tres hombres reciben, como pago de un servicio hecho, una partida de refresco

compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 medio llenos y 7 vacíos. Quieren

ahora dividir los 21 vasos de manera que cada uno reciba el mismo número de vasos

y la misma cantidad de refresco. ¿Cómo hacer el reparto?


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Pares e impares en una suma

Instrucciones:

Con los números del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los

números pares en los cuadrados y los impares en los círculos, de tal forma que al realizar

la suma el resultado sea correcto.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Motivación

Determine el número de cuadrados que hay en la siguiente figura.

Solución: __________.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Las cifras del 1 al 9 hay

que distribuirlas en

la rueda de la figura: una cifra debe ocupar el centro del círculo y las demás, los extremos

de cada diámetro de manera que las tres cifras de cada fila sumen siempre 15.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Se trata de dividir esta esfera de reloj en seis partes, de la forma que usted desee,

pero con la condición de que en cada parte, la suma de los números sea la misma.

12

3

6

9

1

2

4

5 7

8

10

11

Anexo 5

Ficha 1

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez

simplificada, el mayor exponente de la incógnita es dos. Un una variable con

coeficientes reales es una ecuación que puede escribirse como:

donde son constante reales, con .

Ejemplos:

A. Determine el valor de las constantes de las siguientes ecuaciones

cuadráticas

1.

2.

3.

4.

5.

Discriminante: Al número en la ecuación cuadrática se denomina

discriminante y se representa con el símbolo . Puede utilizarse para determinar

la naturaleza de las raíces de la ecuación como se explica a continuación:

I. Si la ecuación tiene dos soluciones reales distintas

II. Si la ecuación tiene una solucione real.

III. Si la ecuación no tiene soluciones reales

Ejemplos:

B. Determine el discriminante y cuantas soluciones reales posee las

siguientes ecuaciones cuadráticas.

1.

2.

3.

4.

Ecuación cuadrática con una incógnita por fórmula general

Fórmula cuadrática: Si entonces las raíces de la ecuación

están dadas por:

√

Ejemplo:

C. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general y

determine el conjunto de solución:

1.

2.

3.

4.

5.

Ecuación cuadrática con una incógnita por calculadora

D. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por calculadora y

determine el conjunto de solución.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Ecuación cuadrática con una incógnita de la forma

Las ecuaciones que se pueden expresar se la forma con

constantes reales, se resuelve simplemente con la siguiente fórmula:

√

En este caso

E. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de

solución.

1.

2.

3.

4.

Ecuación cuadrática con una incógnita de la forma

Las que se expresan de la forma con constantes reales, se

resuelven simplemente con la siguiente fórmula:

En este caso

F. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto

solución.

1.

2.

3.

4.

G. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto

solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

H. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de

solución.

1.

2.

3.


Sede Rodrigo Facio.




III Ciclo 2010

Tarea 1

A. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de solución

1.

2. = 0

3.

4. 5. 6.

B. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de solución y restricción.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Bibliografía:

Meneses, R (2004). Matemática 10 enseñanza- aprendizaje; 2a ed. San José, C R. Editorial Norma. Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.

Ficha 2

A. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales y determine el siguiente

conjunto de solución:

1. √

2. √ √

3. √ √

4. √

Suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática

B. Francios Viete estudió ecuaciones en las cuadráticas encontró

que entre los coeficientes y las raíces , se cumple que

,

Ejemplos:

1. Encuentre las suma y el producto de las raíces de la ecuación

.

2. Encuentre la suma y el producto de las raíces de la ecuación

3. Halle la ecuación cuadrática cuya suma de las raíces sea y cuyo

producto sea

4. Halle una ecuación cuadrática cuya suma de las raíces sea y cuyo

producto sea .

5. Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean -2 y 7.

6. Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean

y

.

Valor de k de una ecuación cuadrática

C. Determine el valor de k de las siguientes ecuaciones cuadráticas de tal manera

que las ecuaciones solo tenga una solución real

1.

2.

3.

D. Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas.

1. Si el perímetro de un rectángulo es . Y su área entonces hallar

la medida del largo del rectángulo.

2. La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es

. Determine los números.

3. Hallar dos números pares consecutivos y positivos cuyos productos es 360.

4. Un número excede a otro en 4. Si el producto de ambos es 285. ¿Cuáles

son los números?

5. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos y positivos es

113. Hallar los números.

6. Un número es el triple del otro y la diferencia de su cuadrados es

200.Hallar los números sabiendo que son positivos.

Tarea 2

a) Hallar el valor de k de manera que las raíces de la ecuación sean iguales

1. 2. 3.

Sugerencia: para esto se debe resolver la ecuación

b) Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales y determine el conjunto

de solución

1. √

2. √

3. √ √

4. √ √ √

c) Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas

1. El largo de un rectángulo excede en 6cm al ancho. Si su área es

. Cuáles son sus dimensiones.

2. Hallar dos enteros consecutivos cuyo producto sea 156.

3. Un cateto de un triángulo mide 7m más q el otro. Y dos menos que la

hipotenusa. Hallar las longitudes de los lados.

4. Un rectángulo tiene de largo 5cm más que de ancho. Si su área es

. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Bibliografía:

Meneses, R (2004). Matemática 10 enseñanza- aprendizaje; 2a ed. San José, C R. Editorial Norma. Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.

Anexo 7

Ficha 3

Factorización:

Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de dos o más

polinomios de igual o menor grado que él.

Un polinomio es irreducible o cónico si no es posible factorizarlo.

Factorización por factor común:

Para factorizar un polinomio por factor común, primero obtengo el

factor común, luego divido el polinomio entre el factor común y

expreso el producto del factor común por el cociente encontrado.

Ejemplo: Factorizar la expresión

1. Obtengo el factor común.

2. Divido el polinomio entre el factor común.

3. Expreso el producto

Factorización por agrupamiento:

Cuando no puedo factorizar por factor común en ocaciones debo

agrupar los sumandos, factorizar cada uno por factor común y volver a

factorizar por factor común.

Ejemplo: Factorizar la expresión

1. Asocio )

2. Factorizo por factor común )

3. Factorizo nuevamente )

Factorización por tercera fórmula:

Para factorizar la diferencia de los cuadrados, se extrae la raíz

cuadrada a cada término y se expresa la suma por su diferencia.

Ejemplo 1: Factorizar la expresión

1. Extraigo la raíz cuadrada

2. Indico la suma por la diferencia

Ejemplo 2: Factorizar la expresión


2. Indico la suma por la diferencia

3. Elimino paréntesis y sumo

Factorización por primera fórmula:

Ejemplo: Se extrae la raíz cuadrada de cada cuadrado y se expresa

la suma al cuadrado si el otro término es positivo.

Factorizar la expresión


2. Factorizo por primera fórmula

Factorización por inspección: Se usa fundamentalmente para

factorizar polinomios de la fórma .


1. Busco los factores para y -3

2x -5

2. Expreso el producto

Factorización por suma y diferencia de cuadrados: Para este tipo

de factorización se utilizan las fórmulas:

Ejemplo:

1. Factorizar la expresión

Extraigo la raíz cúbica

Sustituyo en la fórmula y obtengo

Factorización por varios métodos: Algunas veces, al factorizar por

un método, observo que uno de los factores o ambos se pueden volver

a factorizar.


1. Factorizo por factor común

2. Factorizo por Fórmula notable

Ejercicios:

1. La factorización completa de corresponde

a________________.

2. Al factorizar uno de los factores

es__________.

3. Un factor de es ____________________.

4. La expresión es equivalente a

_________________.

5. Un factor del polinomio es

_________________.

6. Al factorizar un factor es ________________.

7. Un factor del polinomio corresponde a

____________.

8. La factorización de es _____________________.

9. La expresión es equivalente a ______________.

10. Al factorizar uno de los factores es

___________.

11. Al factorizar en forma completa la expresión uno

de los factores es _____________________________.

12. La factorización completa de

corresponde a _____________________.

13. Al factorizar uno de los factores es

_______________.


____________.


__________.

Fracciones algebraicas racionales

Simplificación:

Para simplificar fracciones algebraicas cuyos términos son monomios,

procedo como en la división de monomios.

Ejemplo Simplifique

Operaciones Básicas

Para factorizar operaciones con fracciones algebraicas racionales, recuerdo

como se efectúan estás operaciones con números racionales.

Ejemplo 1:

Realice la operación y simplifique:

1. Factorizo los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

2. Efectúo el producto de fracciones

3. Aplico la propiedad de la cancelación

Ejemplo 2:

Realice la simplificación y simplifique:

1. Factorizo los numeradores y denominadores de ambas fracciones y

se cambia la división por la multiplicación invirtiendo el divisor.

2. Aplico la propiedad de la cancelación

Ejemplo 3:

Efectúe la operación y simplifique

1) Factorizo los denominadores

2) Obtengo el mínimo denominador común

3) Efectúo la suma de fracciones como es usual, dividiendo el mínimo

denominador común para cada denominador y multiplico por el

numerador correspondiente.

4) Sumamos y simplificamos

Ejercicios:

Simplifique las siguientes expresiones algebraicas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

La ecuación de una recta, no importa en cual de sus Formas se exprese,

Corresponde a una ecuación con dos incógnitas. Por eso, la intersección de

dos rectas corresponde a la solución de un sistema de dos ecuaciones

lineales con dos incógnitas.

Ejercicios:

1. El valor de x en la solución es

2. El conjunto de solución del sistema es



Bibliografía:

Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de

ejercicios. 6 Ed.- San José, CR.

Anexo 8

Ficha 4

Función lineal

Una función lineal es un función tal que , donde y son

constantes reales y su representación gráfica es una recta. Es importante señalar que a la

constante se le denomina pendiente de la recta, es decir; el grado de inclinación de

dicha recta con respecto al eje x y b es el punto donde corta al eje y.

La pendiente de la recta nos indica cuanta inclinación tiene una recta; incluso

señalaremos que conforme aumenta el valor de la pendiente; la recta es más inclinada.

Estudio de la pendiente de la recta

Sea una función de la forma con

1. Si entonces la función es estrictamente creciente.

2. Si entonces la función es estrictamente decreciente.

3. Si entonces la función es constante.

Intersección con los ejes de las coordenadas

Sea una función de la forma con

1. La intersección del eje y es el punto

2. La intersección del eje x es el punto (

).

Ejemplos:

De acuerdo con las siguientes ecuaciones de la recta; complete el espacio en

blanco

Ecuación de la

recta

“m” “b” Intersección

con el eje x

Intersección

con el eje y

(

). (

Gráfica de una recta

Ejemplos

1. Graficar una recta definida por la ecuación

2. Graficar una recta definida por la ecuación

Ecuación de la recta:

La ecuación de la recta es de la forma o donde y

son constantes reales.

I CASO: Ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto que

pertenece a la recta.

Ejemplos:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene

pendiente .

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene

pendiente .

II CASO: Ecuación de una recta a partir de los puntos y que

pertenece a la recta. A se le conoce como pendiente de la recta y la podemos

calcular con la siguiente fórmula:

Ejemplos:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos y .

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos y .

3. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos

y

4. Con los datos de la figura determine la ecuación lineal de la recta.

Problemas de la función lineal

1. La función dada por

se utiliza para aproximar la

temperatura de aire en grados Celsius a metro de altura sobre la

superficie de la tierra. ¿A qué altitud se tiene una temperatura del aire de

15°C.

2. El costo en colones por alquiler semanas una casa de verano está dado

por Si se alquila esa casa por 2 semanas. ¿Cuál

es el costo del alquiler?

3. Si bajo ciertas condiciones la distancia a la que se encuentra un objeto

por encima del suelo está dada por donde está dada en

segundos y en metros, entonces en que instante en segundos se

encuentra el objeto a 30metros del suelo?

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si , donde es la pendiente de la

recta y es pendiente de .

Dos rectas son paralelas si , donde es la pendiente de la recta y

es pendiente de . (es decir si ambas rectas tienen igual pendiente)

Ejercicios:

1. Determine una recta que sea paralela y otra que sea perpendicular a la

recta .

2. Determine una recta que sea paralela y otra que sea perpendicular a la

recta

.

3. Determine la ecuación de la recta que es paralela a y

pasa por el punto (1,-2).

4. Determine la ecuación de la recta que es paralela a y pasa

por el punto

5. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a

y pasa por el punto .

6. Halle la ecuación de la recta que contenga el punto y que sea

perpendicular a la recta que pasa por los puntos y .

Bibliografía:

Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.

Anexo 9

Ficha 5

La función cuadrática

Se llama función cuadrática a una función polinómica real de variable real que

tiene grado . Se representa por con números reales y . Su gráfica es una parábola cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas. Ejemplos:

Concavidad. Una manera sencilla de referirnos a la concavidad es hacia donde “abre” la parábola.

Hacia arriba si

Hacia abajo si

Ejercicios: Determine la concavidad de las siguientes funciones cuadráticas

1. ______________________________

2. ______________________________

3.

______________________________

4.

__________________________

Discriminante: Se llama discriminante a la expresión .

Si la parábola interseca al eje en un solo punto.

Si la parábola toca al eje “x” en dos puntos.

Si la parábola no toca al eje “x”.

Ejercicios: Determine el discriminante de las siguientes funciones cuadráticas.

Además indique cuantas veces toca la parábola el eje “x”.

1.

2.

3.

Intersección con el eje y: La intersección de la parábola con el eje y está dada

por el par ordenado .

Ejercicios: Las gráficas de las siguientes funciones intersecan el eje “y” en el

punto

1. +3x _______________

2. _______________

3.

_______________

Eje de simetría: El eje de simetría es la recta dada por

.

Ejercicios: determine el eje de simetría para las siguientes funciones cuadráticas.

1. +x ____________________

2. _______________

3.

_______________

Intervalos de crecimiento, decrecimiento y ámbito de la función cuadrática:

Ámbito

Crecimiento

Decrecimiento

Si

[

[

]

[

]

[

Si

]

]

]

[

]

[

Ejercicios:

1. Determine el intervalo de crecimiento, decrecimiento y ámbito del

la función cuadrática siguiente:

2. Determine el intervalo de crecimiento, decrecimiento y ámbito de

las siguientes funciones cuadráticas.

1)

2)

3)

4)

Vértice: El vértice es el punto dado por (

)

Si entonces v es un mínimo

Si entonces es un máximo.

Ejercicios:

Determine el vértice de las siguientes funciones cuadráticas

1)

2)

3)

4)

Bibliografía:

Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.-

San José, CR.

Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.

Anexo 10

Ficha 6

Problemas que involucran relaciones que se modelan mediante la función

cuadrática.

1. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de

gasolina, a una velocidad en , está dada por

. Indique

la velocidad más económica para un viaje.

2. Al lanzar un objeto con velocidad inicial , su altura s sobre el

suelo después de segundos está dada por la función .

Entonces el tiempo en segundos en el cual el objeto alcanza la altura

máxima es aproximadamente.

3. El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su

densidad varía según la estaciones del año y la latitud. En Edmonton,

Canada, la densidad del ozono para altitudes h entre

y se determino a nivel experimental. Para

(0toño), calcule la altitud a la que la densidad del ozono es

máxima.

Función inversa

Si una función es biyectiva entonces tiene una función inversa. El procedimiento

para determinar la función inversa de una función dada , es plantear la ecuación

y despejar en ella a en términos de y.

A. Función inversa de la función lineal:

Ejemplos:

Determinar la función inversa de las siguientes funciones lineales.

1)

2)

3)

4)

B. Función inversa de la función √ = y, donde

.

Ejemplos:

Determine la función inversa de las siguientes funciones:

1) √

2) √

3) √

4) √

C. Función inversa de las función cuadrática de la forma

donde .

1.

2.

3.

4.

Ejercicios:

A. Calcule la función inversa de las siguientes funciones

1.

2.

3.

+

4. √

5. √

6. √

7.

8.

B. Resuelva los siguientes ejercicios

1. Determine para la función dada por

2. Si halle la preimagen de 4 en .

3. Determine la imagen de 5 en para la función

4. Si halle (3)

5. Halle la imagen de -1 en el criterio √

6. Si

y es la inversa de halle

Bibliografía:

Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.- San José, CR. Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.

Anexo 11

Ficha 7

Función exponencial

Es una función definida por la ecuación , y , donde es una

constante llamada base, y el exponente es la variable. Además, .

I caso: sí

Características:

No interseca al eje

Interseca al eje en .

Es estrictamente creciente.

Es asintótica al eje por la izquierda.

Dominio

Ámbito ] ].

Es biyectiva.

II caso: sí

Características:

No interseca al eje x.

Interseca al eje y en (0,1).

Es estrictamente decreciente.

Es asintótica eje por la derecha.

Dominio .

Ámbito ] ].

Es biyectiva.

Ejemplos 1: Si la gráfica corresponde a una función exponencial

entonces debe ser un número ____________________.

Ejemplo 2: Un par ordenado que pertenece al gráfico de la función (

)

es _____________. (0,1), (1,1/2), (1,1/4),…

Ejemplo 3: La gráfica de la función dada por (

)

interseca al eje y en

___________.

Ejemplo 4:

Para que la función sea una función creciente de debe tener que

_________.

Ejemplo 5: Una función exponencial decreciente corresponde a

(

)

(

)

Ejemplo 6: El dominio máximo de la función exponencial definida por (

)

es _________.

Ejemplo7:

El ámbito de la función (

)

con dominio es ] ].

Ejemplo 8:

El ámbito de la función (

)

con dominio ] ] es ] [.

Ejemplo 9:

Para la función dada por la imagen de

es ________________.

Ejercicios:

1. La imagen de

por la función dada por (

)

es

__________________.

2. La gráfica de la función dada por interseca al eje y en

_____________.

3. Un criterio de una función estrictamente creciente es ________________.

4. De las siguientes funciones cuales son exponenciales:

6.

Ecuación exponencial

Para resolver ecuaciones exponenciales, se factoriza las bases; si las bases son

iguales, entonces eliminamos las bases, iguala exponentes y resuelve la ecuación

resultante.

Ejemplo 1: Resuelva la ecuación

1. Factorizamos las bases

2. Igualamos los exponentes

Ejemplo 2: Resuelva la ecuación

1. Factorizamos las bases

2. Aplicamos leyes de potencia

3. Igualamos exponentes

4. Resolvemos

Ejemplo 3: La solución de

Ejemplo 4: La solución de

(

)

Ejemplo 4: La solución de √

Tarea:

1. La solución de

2. La solución de

3. La solución de

4. La solución de

5. La solución de (

)


)

corresponde a


)

(

)

corresponde a


)

(

)

corresponde a


)

(

)

corresponde a

10. La solución de

es

Bibliografía:

Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.- San José, CR.

Anexo 12

Ficha 8

La función logarítmica

Si ; tal que es una función exponencial entonces la función

inversa

tal que se conoce como la función logarítmica

Además se puede ver que se cumple que:

I caso: Base mayor que 1

Características:

1. No interseca al eje y

2. Interseca al eje x en (1,0)

3. Es estrictamente creciente

4. Es asintótica al eje y por abajo

5. Dominio

6. Ámbito

7. Es biyectiva

8. II caso: Base entre 0 y 1

Características:

1. No interseca al eje y

2. Interseca al eje x en (1,0)

3. Es estrictamente decreciente

4. Es asintótica al eje y por arriba

5. Dominio

6. Ámbito

7. Es biyectiva

__________________________________________________________________

Ejemplos 1:

De acuerdo a la gráfica siguiente de la función se puede afirmar que

debe cumplir

Ejemplos 2:

De acuerdo a la gráfica siguiente de la función se puede afirmar que

debe cumplir .

Ejemplos 3:

La gráfica de la función

interseca al eje en ____________.

La gráfica de la función interseca al eje en ____________.

Ejemplos 4:

Un par ordenado de la función dada por corresponde a:

Ejemplos 5:

Una función creciente corresponde a:

Ejemplo 6:

El ámbito de la función

es

Ejemplo 7:

La función dada por es positiva en el intervalo

Ejemplo 8:

Si el ámbito de la función dada por

es ] [ entonces el dominio

de es:

Ejemplo 9:

Para la función *

* con el ámbito es

__________________________________________________________________

_______

Definición: Sea un número real positivo diferente de . EL logaritmo de con

base se define como . Para todo y todo número

real .

Ejemplo: Determine el valor de si

1. Cambiando de base

2. Se saca raíz a ambos lados √


1. Cambiando a notación exponencial .

2. Resolvemos la potencia .


1. Cambiando a notación exponencial 27

2. Resolvemos la potencia

Ejercicios:

Determine el valor de x en las siguientes expresiones

1. = - 3

2.

= 5

3.

4.

5.

Ejemplos: Utilizando las propiedades de los logarítmos anteriores obtenga las

expresiones equivalentes de

1.

2.

3.

4.

Ecuaciones logarítmicas

Ejemplo 1: Resolver la ecuación .

Ejemplo 2: Resolver la ecuación






Ejercicios:

Bibliografía:

Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.- San José, CR.

Anexo 13

Universidad de Costa Rica Tiempo Probable: 150 minutos Sede Rodrigo Facio Puntuación Total: 46 pts. Liceo de Escazú Porcentaje Total: 0 %. Departamento de Matemática Puntuación obtenida: _______. Profesor: Roiner Gerardo Segura Cubero. Calificación obtenida _______. Prueba diagnóstico final Porcentaje obtenido ________. Proyecto TCU: Mejoramiento del rendimiento académico en secundaría.

Nombre: _____________________________________ Sección: ________. Firma del padre o encargado__________________________ Fecha: ________. Instrucciones Generales:

La prueba consta de cuatro partes: Selección única, respuesta corta y desarrollo.

Lea detenidamente toda la prueba y cada instrucción que se le ofrece.

Resuelva en forma clara y ordenada cada ítem que en ella aparece, para ello utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra, en caso de que las respuestas aparezcan con lápiz o usa corrector no se aceptaran reclamos.

Se permite el uso de la calculadora. No se permite el uso de celular, hojas adicionales, ni préstamo de

materiales durante la ejecución de la prueba.

I Parte. Selección única Instrucciones: A continuación se le presentan 18 ítems de selección única, con cuatro opciones de respuesta de las cuales sólo una es correcta. Marque con un

punto ( ) dentro del paréntesis que antecede a la respuesta correcta. En caso de error marque con asterisco y selecciones de nuevo. (1 punto cada acierto)

1. Los valores de las constantes respectivamente en la ecuación

cuadrática

corresponden a

( )

y

( )

y

( ) y

( )

y 2

2. Al determinar el discriminante de la ecuación cuadrática

se puede afirmar

( ) y la ecuación tiene solo una raíz real

( ) y la ecuación tiene dos raíces reales

( ) y la ecuación no tiene raíces reales

( ) No se puede decir nada sobre las soluciones de la ecuación

3. El conjunto de solución de la ecuación cuadrática está dado

por

( ) , √

-

( )

( ) , √

-

( ) , √

-

4. El conjunto de solución de la ecuación cuadrática

está dado por

( ) {√ }

( )

( ) {√ √ }

( ) {√ √ }

5. Una solución de la ecuación √ está dada por

( )

( )

( )

( )

6. Un valor de k de la ecuación cuadrática de tal manera que

la ecuaciones solo tenga una solución real está dado por

( )

( )

( ) √

( ) √

7. Un factor de la expresión corresponde a

( )

( )

( )

( )

8. Al simplificar al máximo la expresión

se obtiene como

resultado

( )

( )

( )

( )

9. El criterio de la función lineal a cuyo gráfico pertenece los puntos y

es

( )

( )

( )

( )

10. Una ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por

está

dada por

( )

( )

( )

( )

11. La pendiente de cualquier recta paralela a la recta

corresponde a

( )

( )

( )

( )

12. El eje de simetría de la función corresponde a

( )

( )

( )

( )

13. El ámbito de la función dada por con

corresponde a

( ) +

+

( ) *

*

( ) +

+

( ) *

*

14. El vértice de la gráfica de la función dada por

( )

( )

( ) (

)

( ) (

)

15. La imagen de

por la función dada por (

)

( )

( )

( ) √

( ) √

16. Sea una función dada por , con . Entre las

características de están

( ) es creciente e interseca al eje y

( ) es creciente e interseca al eje x

( ) decreciente e interseca al eje y

( ) decreciente e interseca al eje x

17.

18. El conjunto de solución de es

( ) { }

( ) { }

( ) { }

( ) , -

19. El conjunto de solución corresponde a

( ) { }

( ) { }

( ) { }

( ) , -

20. La gráfica de la función dada por

interseca al eje

en

( )

( )

( ) (

)

( ) ( )

II Parte. Respuesta corta Instrucciones: Resuelva cada ejercicio que se le presenta a continuación. Su respuesta debe ser clara y legible de lo contrario NO se calificará. Deben aparecer los procedimientos que realice. Debe aparecer la respuesta en el espacio en blanco.

1) Escriba el conjunto de solución de la ecuación

2) Escriba la suma y el producto de las raíces de la ecuación . .

3) Escriba una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean

y

.

4) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 156. .

5) Determine la función inversa de la siguiente función

√

6) Determine el conjunto de solución del sistema (

7) Determine (3) Si

8) Determine la función inversa de la función

9) Determine la solución de

IV Parte. Desarrollo Instrucciones: Esta parte consta de tres preguntas. En la primera debe simplificar una expresión. En la segunda debe resolver una ecuación exponencial y en la tercera resolver una ecuación logarítmica .Trabaje en forma ordenada, además deben aparecer todos los procedimientos necesarios para llegar a la respuesta final.

1. Simplifique la siguiente expresión al máximo.

2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial (

)

(

)

.

3. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica.

anexo 1 -...

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