anamat 1 semana 10-diferencial
DESCRIPTION
PRUEBA DE MATEMATICA DE ANALISIS DE EVALUCION DE DERIVADASTRANSCRIPT
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Anlisis
Matemtico I
Semana 10
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Anlisis Matemtico I
Diferencial de una funcin y
aplicaciones
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Diferencial de una funcin
Sea una funcin derivable y el diferencial dx una
variable independiente. El diferencial dy se define como:
Ejemplo:
dxxfdy )(
)(xfy
Sea la funcin: 674)( 235 xxxxfy
dxxxxxfdy )14125()( 24
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Calcular los diferenciales de las siguientes funciones:
5432)(a) 23 xxxxf
xxg
11)(b)
22
24)(c)
2
3
xx
xxxh
Diferencial de una funcin
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x0 x1
f (x0)
f (x1) f
f(x)
M N
Del grfico, se puede apreciar que: f MN
Aproximacin por incrementos
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Como f(x) = MN /x, entonces: MN = f(x)x
Luego, podemos afirmar que:
Ejemplo
Determine la variacin aproximada de: f(x) = x3,
cuando x vara de 2,1 a 2,2
V aproximada: f(2.1)(2.2-2.1)
Si x 0: f dy
Variacin Variacin Real Aproximada
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Como f(x) = MN /x, entonces: MN = f(x)x
Luego, podemos decir que: f f(x)x
Ejemplo:
Estime el cambio de f(x) = x3, cuando x vara de
2 a 2,1.
Aproximacin por incrementos
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Ejemplo:
Aplicando diferenciales, calcular en cunto se
incrementa el rea de un cuadrado de 5 metros de lado
cuando la longitud de su lado tiene un incremento de
0.02 m.
x x + dx
A A + dA
Aproximacin por incrementos
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Solucin:
Tenemos la funcin A que representa el rea de un cuadrado
de lado x:
2)( xxfA
Diferenciando:
xdxdA 2
Sustituyendo para x = 5 , dx = 0.02:
2.0)02.0)(5(2 dA
Luego, el rea del cuadrado se incrementar en 0.2 m2.
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2) En la superficie del mar hay una mancha de aceite de
forma circular, con un radio de 80 metros, que
comienza a extenderse, conservando su forma circular.
Si en una hora, el radio del crculo aumenta 2 metros,
cul es el aumento aproximado de su rea?
1) Al calentar una placa cuadrada metlica de 15 cm de
longitud, su lado aumenta 0.04 cm. Cunto aument
aproximadamente su rea?.
3) Se define la funcin ingreso de la siguiente manera:
donde I est dado en miles de dlares y la cantidad x en
cientos de unidades. Usando diferenciales estime la
variacin del ingreso cuando la produccin pase de 5 000
a 4 800 unidades.
(x)lne(x)I 0,1x