Estudio de Caso

Dominio y Recorrido

I. Introducción

El siguiente informe es el desglose de un caso realista, con el cual podríamos encontrarnos en el aula, desempeñando nuestra labor como futuros profesores.

El caso presenta las siguientes características y antecedentes previos, descritos para poder comprender el contexto en el que se desarrolla. Algo muy importante que siempre debemos considerar en la labor pedagógica.

Resulta que Patricia es una profesora que lleva ya 20 años trabajando en el colegio, un establecimiento educacional particular. Para ella lo más importante es la enseñanza que la matemática, y además si bien está abierta a las nuevas propuestas curriculares suele tomar solo lo que a ella le parece mejor.

En este caso se menciona que Patricia ha intentado con muchos métodos a lo largo de sus años para enseñar el tema de las funciones, un tema que para ella siempre le ha parecido complicado.

Patricia ha diseñado una unidad de funciones para el Tercero Medio con mucha dedicación, y ha comenzado de manera muy positiva, al trabajar con los alumnos, algo que sin duda la ha motivado mucho, muestra del amor que siente esta profesora por la enseñanza de la matemática.

A modo general, es importante también conocer que Fernando es un alumno que se ha caracterizado por ser un alumno muy ordenado y destacado en el trabajo algebraico.

Y Arturo por su parte, es un alumno que se caracteriza por ser creativo y por ahora muy motivado con la unidad que están trabajando.

II. Resumen del caso

En una clase, ya avanzada la unidad de funciones, y con resultados muy positivos, la profesora Patricia desea profundizar los conceptos de dominio y recorrido y aprovechar la ocasión para desarrollar habilidades algebraicas con el tercero medio, para lo cuál les pide encontrar el dominio y recorrido de la siguiente función: f (x)=2+√❑, y resulta que los dos alumnos Arturo y Fernando discrepan en cuanto al resultado del recorrido, Fernando lo ha obtenido mediante un proceso algebraico y Arturo mediante un proceso gráfico (geométrico), sin embargo el resultado es único, por lo que uno de los dos o ambos estan

cometiendo un error, sin embargo no se aclara cual es error en la clase y los alumnos se van pensando para continuar una discusión la proxima clase.

III. Objetivos del caso

Reconocer las diferentes representaciones matemáticas para el trabajo con las funciones.

Analizar el cómo piensan y el cómo construyen conocimiento los alumnos involucrados en el caso.

Discutir los errores que se pueden generar en el aula, en la resolución de problemas y como este tipo de situaciones.

IV. Conflictos del caso

Por un lado la mecanización a la que acostumbra Fernando, provocada por un trabajo algebraico recurrente, y por otro lado la representación gráfica de Arturo, que le permite analizar el problema desde un punto de vista geométrico. Ambas perspectivas se contraponen, ya que ambos alumnos llegan a resultados diferentes en el problema que se les ha planteado.

V. Aspectos matemáticos

Los alumnos involucrados en este caso muestran un dominio avanzado de las funciones, en cuanto a su manipulación, es decir existe un trabajo previo que ha provocado aprendizajes, sin embargo en la descripción del caso no se muestra ninguna definición formal del concepto de función, algo muy relevante en cuanto a la comprensión profunda de las características que debe poseer una función, y para que pueda existir su inversa (existencia y unicidad).

En cuanto al lenguaje y símbolos en el trabajo realizado que se muestra en el caso, se puede observar que existe una formalidad en su enseñanza para escribir correctamente la matemática. Sin embargo se puede apreciar claramente que no hay un dominio en la utilización y aplicación de restricciones a la hora de un desarrollo algebraico. Error que se puede detectar en el trabajo realizado por Fernando, aunque esto podría ocurrir porque a los alumnos les cuesta mucho comprender la real relevancia de estas, o porque la profesora simplemente no lo ha enseñado.

Aspectos Matemáticos Didácticos

Patricia se ha esforzado por que los alumnos logren visualizar la matemática y enseñar técnicas que les ayuden a los alumnos a llegar a los resultados obtenidos, como por ejemplo: reflejar una función dada respecto a la función F(x)=x doblando la hoja sobre está y calcando la función dada, de modo de obtener otra función que resulta ser la función inversa, todo esto para obtener el dominio de esta última que resulta ser el recorrido de la anteriormente dada, sin embargo cabe mencionar que no ha profundizado en conceptos como inyectividad y sobreyectividad, además de hacer comprender a los alumnos que así también ocurre lo mismo al reflejar la función inversa, es decir el dominio de ésta también

debe ser el recorrido de la otra por lo tanto la resultante también debe ser una función, y si no lo es se debe restringir.

Patricia evalúa los trabajos realizados por los alumnos mediante trabajo en equipo y exposiciones, algo que le ha dado muy buenos resultados y se entiende que sea muy productivo ya que de este modo se puede conocer el cómo estan penando los alumnos.

Cabe mencionar, que Patricia no deja ver quién ni en qué estan equivocados, algo que todos los profesores deberían hacer, ya que a los alumnos no se les debe frustar en cuanto al conocimiento y análisis realizado por ellos, por el contrario de los errores es posible construir también aprendizajes significativos, como así lo corroboran por ejemplo Bourdieu y Posseron (1970), cuando mencionan que los profesores al bromear acerca de los disparates, se olvidan de que estos fallos del sistema encierran la verdad.

Por último es importante recalcar que el objetivo que persigue la profesora, principalmente, con el problema que les ha planteado a sus alumnos es desarrollar habilidades algebraicas, no dejando muy claro, ni dándole mucha relevancia al trabajo gráfico que los alumnos deberían realizar siempre para poder visualizar mejor los resultados que se desean obtener al trabajar con la unidad de funciones. Es tal vez por lo que los alumnos optan por el trabajo algebraico, y en el caso de Arturo, que es más creativo, utiliza el método gráfico para realizar el análisis pero no logra relacionarlo con el desarrollo algebraico que realiza posteriormente. Esto sin duda, por efecto de la falta de dominio y comprensión de las restricciones como mencionaba más arriba.

Lo anterior queda corroborado en las palabras de Omar Jayyam: “Quienquiera que piense que el álgebra es un sistema de trucos para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente. No se debe prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la geometría son en apariencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos que están demostrados.”

Como así también Joseph-Louis Lagrange dice: “Mientras el álgebra y la geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y sus aplicaciones limitadas; pero cuando estas dos ciencias se han unido, han intercambiado sus fuerzas y han avanzado juntas hacia la perfección.”

Al finalizar la clase, se esperaría conocer la correcta solución, sin embargo la profesora no da una respuesta o una evaluación para llegar a lo que realmente es correcto, y los alumnos se quedan con la duda hasta la clase siguiente, aquí el objetivo es claro, ya que lo típico es que los alumnos no estudien en sus casas, sin embargo si esto es realmente importante para ellos, lo demostraran llevando algún otro análisis en la próxima clases.

Propuesta

1º Para enseñar funciones se debe explicar bien el concepto de función y su definición formal.

2º Se debe también reforzar el tema de las restricciones, logrando realmente un aprendizaje significativo. Como así también hacer a los alumnos asimilar la utilidad de los contraejemplos como herramientas de comprobación.

3º El trabajo con tablas de valores, un tema que no había mencionado, es primordial para una buena relación algebraica y geométrica de las funciones. Es por lo que su enseñanza debe quedar clara, y posteriormente ser utilizadas siempre para resolver problemas relacionados.

4º Como menciono en el punto 3, las tablas de valores son representaciones fundamentales de las funciones pero estas deben ir de la mano de un buen proceso algebraico desarrollo, teniendo en cuenta todas las restricciones pertinentes y pudiendo corroborar la información mediante contraejemplos como se mencionan en el punto 2 y así también siempre pedir que los alumnos realicen los gráficos respectivos.

VI. Conclusión

Gracias a la difusión de una de las obras de Viete en siglo XVI, algunos matemáticos empezaban a comprobar que los métodos algebraicos eran una herramienta muy útil para resolver problemas geométricos. Sin embargo, con una de las obras de Descartes, ya en el siglo XVII, se llevó a cabo el proceso de algebrización de las matemáticas: un periodo en el que de una manera de pensar matemática casi exclusivamente geométrica se pasó a un pensamiento matemático más algebraico.

Y la pregunta que resulta de esta información es ¿Hemos superado realmente en la educación chilena esta situación?

Talvez para algunos sectores de la educación sí y para otros no, lo importante es que deben ser utilizadas las diferentes formas de representación para enseñar, y no solo en el ámbito de las funciones, sino que en todo lo que pueda ser representado de diferentes maneras, ya que los alumnos y las personas en general representamos en nuestra mente de manera diferente los conceptos aprehendidos y así también comprendemos de manera diferente las diferentes representaciones externas de la matemática (como en el caso de las funciones: gráficos, algebrización, tablas de valores), pero si todas se fusionan en pro de un objetivo se puede lograr mucho mejores resultados.

Patricia Faúndez Retamal

Pedagogía en Matemática y Computación

Talca 21/08/2014