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Análisis Numérico para Ingeniería
Clase Nro. 1
Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 2
Integrantes de la Cátedra
Francisco A. Lizarralde - Profesor Adjunto
Carla Mana - J.T.P.
Francisco Alvarez - J.T.P.
Ezequiel Ayarzábal - Ayte. Graduado
Lucas Sánchez Fellay - Ayte. Graduado
Belén Posadas - Ayte. Alumno
Ignacio Jozami - Ayte. Alumno
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Evaluación y Régimen de Promoción
Se tomarán 2 (dos) exámenes parciales.
Los exámenes parciales serán teórico-prácticos.
En la parte práctica se evaluará la habilidad para
resolver problemas concretos en computadora.
Se deberá presentar un Trabajo Final Integrador por
grupo de 3 integrantes.
El trabajo final, al igual que los parciales, sólo serán
válidos durante la correspondiente cursada.
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Por qué utilizar Software Libre ?
Nuestra cátedra se encuentra fuertemente comprometida con el proceso de utilización, difusión y distribución de Software Libre, sobre todo en lo referente a las herramientas necesarias para la resolución de problemas en sus clases prácticas.
Entre otras razones, porque tanto la copia como la distribución de Software Libre es totalmente legal.
Los productos del Software Libre, no pertenecen a una empresa en particular, sino a toda una comunidad de desarrolladores y usuarios, en la que todos podemos participar.
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Qué significa Software Libre ?
NOT FREE
AS IN
Un Software es Libre,si respeta las 4 Libertades
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Sistemas Operativos LibresExiste una amplia variedad de Sistemas Operativos Libres
GNU/Linux. (Se denominan Distribuciones)
Si desean una instalación completa y sencilla, Ubuntu es una
excelente opción,
Si su computadora no es muy potente pueden optar por una
distribución más liviana como Ubuntu MATE.
Una vez instalado, le pueden cargar los programas que
usamos en la asignatura, Geany, GFortran, GnuPlot, etc.
Si tienen una computadora del programa Conectar Igualdad
también pueden instalar los programas necesarios.
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Software para la asignatura
GEANY * Entorno Integrado de Desarrollo
GFORTRAN * Lenguaje FORTRAN (95/08)
BLAS * y LAPACK * Librerías Especializadas
GNUPLOT * Gráficos y Visualización de Datos
(*) Software Libre.
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GEANY Integrated Development Environment
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GFORTRAN Compilador y Bibliotecas
BLASBasic Linear Algebra Subprograms
LAPACKLinear Algebra Package
GFORTRAN
GNU FORTRAN
Compilador FORTRAN
Bibliotecas de Funciones Especializadas
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GNUPLOT Visualización de Resultados
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Otras fuentes de informaciónEn la página de la asignatura http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis
encontrarán enlaces con información sobre algunos temas,
bibliografía y novedades sobre fechas y horarios de consultas,
exámenes, etc.
Existe una lista de correo electrónico a la que pueden
suscribirse en http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/lista/lista.htm
Todas las consultas sobre temas de la asignatura se realizarán
en esta lista, por lo que no se responderán por otro medio.
Existe una página de FAQs. (Preguntas muy frecuentes)
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Temas a tratar
Introducción al Análisis Numérico.
Errores Numéricos.
Representación de Números en Punto Flotante.
Errores en las Operaciones.
Introducción a FORTRAN.
Estructuras de Decisión y Repetición.
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Cuál es el objetivo del Análisis Numérico ?
El principal objeto de estudio del Análisis Numérico, consiste en analizar el funcionamiento interno de los métodos numéricos, con el objetivo de saber elegir el más adecuado para resolver cada problema en particular, y así lograr una solución con la exactitud requerida.
Los métodos numéricos nos permiten abordar aquellos problemas que son extremadamente complejos, cuando no imposibles de resolver en forma analítica.
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Que se estudia en Análisis Numérico ?
En el Análisis Numérico es muy importante el estudio de los errores, ya sean estos, de modelado, de representación, ó inherentes a los métodos aplicados.
La elección del algoritmo y del modelo matemático tienen gran influencia en el proceso de cálculo y el modo en que debemos interpretar los resultados obtenidos.
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Qué es un Error de Modelado ?
Modelado de Elementos Finitos de los tanques de flotación
Plataforma petrolífera Sleipner A
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Qué es un Error de Modelado ?
El 23 de agosto de 1991, la plataforma petrolífera Sleipner A propiedad de la empresa noruega Statoil, que se encontraba situada en el mar del Norte a 82 metros de profundidad, se hundió.
La causa del error fue un modelado numérico de elementos finitos incorrecto de la plataforma. Esto produjo una fuga de agua en una de las paredes de uno de los 24 tanques de aire de 12 metros de diámetro que permitía la flotación de la plataforma de 57000 toneladas de peso, que además, soportaba a más de 200 personas y el equipamiento de extracción con un peso adicional de unas 40000 toneladas. Las bombas de extracción de agua no fueron capaces de evacuar toda el agua. La falla representó un costo total de 700 millones de euros.
Para el modelado de los tanques de la plataforma se utilizó el programa de elementos finitos NASTRAN y una aproximación mediante un modelo elástico lineal. Esta aproximación no era correcta, lo que produjo una subestimación de un 47% de los esfuerzos que debían soportar las paredes de los tanques. Por esta razón, ciertas paredes fueron diseñadas con un grosor insuficiente.
Un análisis posterior al accidente, utilizando un modelado numérico correcto, demostró que el diseño de la plataforma provocaría fugas en algunos de los tanques cuando ésta estuviese sobre agua, a 62 metros de profundidad.
La fuga real se produjo cuando la plataforma estaba sobre agua, a 65 metros de profundidad, lo cual explica perfectamente la causa de la falla.
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Aplicación del Modelado NuméricoEl 12 de junio de 2000 se cerró el paso de personas por el famoso Millenium Bridge) en Londres, sólo dos días después de su inauguración. El Millenium Bridge es un puente de acero de 325 m. construido para permitir el paso de peatones sobre el río Támesis. La causa de la clausura: Una vibración lateral mucho mayor que la esperada debido a un fenómeno denominado excitación lateral síncrona.
Luego de realizar un modelado numérico y experimentar con diversos escenarios, se ensayaron diferentes soluciones hasta determinar la más adecuada para corregir el problema.
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Diferencia entre Precisión y Exactitud
PrecisiónUn valor es preciso cuando su dispersión con respecto a otros valores similares que representan dicho valor es baja.
ExactitudUn valor es exacto cuando su diferencia con el valor real es prácticamente nula.
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Diferencia entre Precisión y Exactitud
Preciso y Exacto Preciso pero no Exacto
Exacto pero no Preciso Ni Preciso ni Exacto
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Tipos de Error
Error de representación numérica.
Error de redondeo o truncamiento.
Error de formulación del Modelo Matemático.
Error inherente al algoritmo.
Error de las operaciones.
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Error Absoluto
Dado un número exacto x y un número aproximado X, el cual difiere ligeramente de x, llamamos error absoluto Δ(X) a:
X =∣x−X∣≤ X
Cota de Error AbsolutoCota de Error Absoluto
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Error Relativo
El error relativo de un número aproximado X, es la relación entre el error absoluto Δ(X) del número y el valor absoluto del número “exacto” x , para x ≠ 0.El error relativo permite independizar el error, de la magnitud de los valores.
δ(X )=∣x−X∣
∣x∣≤δX
Cota de Error RelativoCota de Error Relativo
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Truncamiento
Truncar un número decimal x en el dígito correspondiente a 10(-d) de su representación decimal consiste en reemplazar todos los dígitos a la derecha de ese dígito, por ceros.
π=3,14159265358979323846...
T7=3,1415926
Valor truncado en el 7mo. decimal
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Redondeo
Redondear un número x>0 en el dígito 10(-d) consiste en truncar el valor ( x + 0.5 10(-d) ).
Si x<0 al redondear quedará como -|x| redondeado.
=3,14159265358979323846...
R7=3,1415927
Valor redondeado en el 7mo. decimal
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Cifras Significativas
El dígito más significativo de un número real x no nulo, es el dígito no nulo más a la izquierda de su expansión decimal.
Todos los dígitos, incluyendo los ceros a la derecha del dígito más significativo, son significativos y el último desplegado se llama dígito menos significativo.
Los ceros a la izquierda del dígito más significativo, no son significativos.
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Ejemplo de Cifras Significativas
0,00724100
Cifras no significativas Cifras significativas
Dígito más significativo
Dígito menos significativo
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Dígitos Exactos y Valor Absoluto
Definición: Si X es un valor aproximado de un valor exacto x, se dice que X aproxima a x hasta el k-ésimo dígito significativo, si:
Por lo tanto, se dice que X posee k dígitos significativos exactos.
Δ(X )=∣X−x∣ ≤ 0.5⋅10−k=ΔX
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Dígitos Exactos y Valor Relativo
Se puede demostrar que la exactitud de los dígitos significativos puede ser expresada en función de su error relativo como:
Δ(x) ≤ 5⋅10−k⋅∣x∣
O escrito de otra forma:
δ(X )=∣X−x∣
∣x∣≤ 5⋅10−k
=δX
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Dígitos Significativos Exactos
Ejemplo: ¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el nro. aproximado 2.7183 con respecto al valor exacto 2.71828182845904 ?
δ(x) = 6,7536⋅10−6 < 5⋅10−5
Por lo tanto, podemos ver que :
δ(x)=∣2,71828182845904−2,7183∣
2,71828182845904=6,7536⋅10−6
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Error de Representación
No siempre es posible almacenar en una computadora los valores exactos.
La representación aproximada de los valores exactos se suele denominar números de máquina.
La diferencia entre el valor exacto y su representación se denomina error inherente a la representación, ó simplemente error de representación.
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Error de Representación
Representación de los Números Reales
0 +∞∞
0
Máximo Positivo
MáximoNegativo
MínimoPositivo
MínimoNegativo
Representación Numérica en Computadora
ValoresRepresentados
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Error de Representación
Una variable de tipo REAL de 4 bytes (32 bits), posee los siguientes rangos:
Máximo Positivo: 3.4028235E+38Máximo Negativo: -3.4028235E+38
Mínimo Positivo: 1.1754944E-38Mínimo Negativo: -1.1754944E-38
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Representación Numérica
Los números reales se almacenan en la computadora en forma binaria, como números de punto flotante. ( Signo, Mantisa y Exponente )
Actualmente la mayoría de las computadoras representa los valores numéricos de acuerdo a la definición del IEEE-754 Floating Point Numbers Standard.
Un número real de simple precisión ocupa 32 bits, mientras que uno de doble precisión ocupa 64 bits de memoria.
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Números en Punto Flotante
Un número de máquina consta de 3 partes:
SIGNO
EXPONENTE
MANTISA
SIGNO EXPONENTE MANTISA
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Conversión de Decimal a Binario
Conversión de un número decimal con |x| > 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 23
23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1
(10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 =
= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = (23)10
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Conversión de Decimal a Binario
Conversión de un número decimal con |x| < 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 0.125
(0.001)2 = 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =
= 0 + 0 + 0.125 = (0.125)10
0.125 x 20.25 x 20.5 x 21.0
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(0.1)10
= (0.000110011001100......)2
Número Binario Periódico
Conversión de Decimal a Binario
No siempre un nro. decimal exacto puede convertirse en un nro. binario exacto. Ejemplo: x = 0.1
0.1 x 20.2 x 20.4 x 20.8 X 21.6
0.6 x 21.2
0.2 x 20.4 x 20.8 x 21.6
Continúo con laparte fraccionaria
Continúo con laparte fraccionaria
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Error de Representación NuméricaEl 25 de febrero de 1991, durante la guerra del Golfo, una batería de misiles Patriot norteamericanos en Dharan (Arabia Saudita) no logró interceptar un misil Scud iraquí. Como consecuencia murieron 28 soldados norteamericanos. La causa: La acumulación de errores numéricos relacionados con la representación numérica del tiempo transcurrido.
Como la batería llevaba más de 100 horas en actividad, este error acumulado produjo una diferencia de 0.34seg, en la determinación del tiempo, lo que a la velocidad de 6000 km/h que viaja el misil representa una diferencia de medio kilómetro con respecto a la posición del objetivo.
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Representación Normalizada IEEE-754
Representación del valor 0.15625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard
SIGNO EXPONENTE MANTISA
(−1)SIGNO
∗(1.MANTISA)2∗2(EXPONENTE−127)
−10∗1.012∗2124−127
1∗1.2510∗2−3=
1.258
=0.15625
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SIGNO EXPONENTE MANTISA
−1SIGNO
∗1.MANTISA 2∗2EXPONENTE−127
−11∗1.110110101 2∗2133−127
−1∗1.85351562510∗26=1.853515625∗64=−118,625
Representación del valor -118.625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard
Representación Normalizada IEEE-754
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Representación de ±∞ y NaN
Un valor ±∞ se representa con el máximo exponente y todos los bits de la mantisa iguales a cero.
Un valor NaN (Not a Number) se representa con el máximo exponente y al menos un bit de la mantisa distinto de cero.
Ciertas operaciones pueden producirresultados particulares:
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NaN - Not a Number
Operaciones en las que al menos un operando es un NaN.
Indeterminaciones
Operaciones con números reales que dan como resultado un valor complejo.
Existen tres casos de operaciones que generan NaN:
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NaN - Indeterminaciones
Las divisiones 0/0 y ±∞/±∞Las multiplicaciones 0×±∞ y ±∞×0Las sumas ∞ + (−∞), (−∞) + ∞ y las restas equivalentes.El standard, posee además funciones alternativas para el cálculo de potencias:La función pow standard y el exponente entero pown definen 00, 1∞, and ∞0 as 1.La función powr define a las tres formas indeterminadas anteriores como operaciones inválidas y por lo tanto retorna NaN.
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NaN - Operaciones con Reales
La raíz cuadrada de un número negativo.
El logaritmo de un número negativo.
La inversa del seno ó coseno de un número que es menor que −1 ó mayor que +1.
Operaciones con Reales que dan como resultado un valor complejo:
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Errores en Adiciones y Sustracciones
Para sumar (o restar) números en punto flotante, se igualan los exponentes, se suman (o restan) las mantisas, y finalmente, se normaliza el resultado (se representa nuevamente como número en punto flotante).
Si se suman dos números en punto flotante, cuyas magnitudes son muy diferentes, el menor de ellos, prácticamente no es tenido en cuenta.
Si se restan dos números en punto flotante, cuyas magnitudes son muy similares, la representación del resultado es prácticamente cero.
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Error en la Adición
Ejemplo:Sumar los números 17396 y 0,473 y expresar el resultado en el mismo formato. Para simplificar, utilizaremos un formato decimal, en punto flotante normalizado con mantisa de 5 dígitos.
fl(x+ y) = fl(x)+fl ( y)=
= 0.17396x105+ 0,00000473 x105=
= 0.17396x105
Adición Insignificante
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Error en la Sustracción
Ejemplo:Restar los números 32,17197 y 32,17110 y expresar el resultado en el mismo formato. Para simplificar, utilizaremos un formato decimal, en punto flotante normalizado con mantisa de 5 dígitos.
fl(x− y) = fl (x)−fl( y)=
= 0.32171x102− 0.32171x102= = 0.00000x102
= 0
Sustracción Catastrófica
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Errores en la Multiplicación y el Cociente
Para multiplicar (o dividir) números en punto flotante, se multiplican (o dividen) las mantisas, se suman (o restan )los exponentes, y finalmente, se normaliza el resultado (se representa nuevamente como número en punto flotante).
La multiplicación de un número por otro de gran magnitud produce una amplificación del error existente en el primero.
El cociente de un número por otro muy pequeño también produce una amplificación del error. En ambos casos el error de representación aumenta considerablemente.
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Consideraciones sobre las OperacionesCuando se realizan operaciones con números en punto flotante, es importante siempre tener en cuenta que:
fl (x) ≠ x fl (x+ y) ≠ x+ y fl(x− y) ≠ x− y fl (x∗y) ≠ x∗y fl(x / y) ≠ x / y
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Error producido al calcular una Función
Se dice que el cálculo del valor de una función f(x) está bien condicionado (o es numéricamente estable), si la exactitud hallada en el valor calculado f(x) es aproximadamente igual a la de x.
En caso contrario, se dice que el cálculo del valor de una función está mal condicionado, o bien que f(x) está mal condicionada.
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Nro. de Condición de una Función
∣δ f (X )∣≈C∗∣δ X∣
C=∣X∗f ' X ∣
∣f X ∣
Siendo el Número de Condición C:
El error relativo de una función es proporcional al error relativo de la variable:
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Condicionamiento de una Función
¿Qué variación porcentual en f(x) = ex resultará de un cambio del 1% en x ?
Para x = 0,1; x = 10 y x = -10
0,01x %
0,1 1,1051709 0,001 1,1062766 0,0010005 0,10%
10 22026,466 0,1 24343,009 0,1051709 10,52%
-10 4,54E-005 -0,1 4,11E-005 0,0951626 9,52%
x ex ex+0,01x δ(eX)
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Nro. de Condición de una Función
∣δ f (X )∣≈C⋅∣δ X∣=10⋅∣0.01∣=0.1≈10 %de X
C=∣X⋅f ' (X )∣
∣f (X )∣=
∣10⋅eX∣
∣eX∣
=10
Número de condición de ex (para x = 10):
Por lo tanto:
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Lenguaje FORTRAN
FORTRAN es un lenguaje de programación de alto nivel de propósito general, procedural e imperativo, que está especialmente adaptado para el cálculo numérico y la computación científica. Su nombre hace referencia al Mathematical Formula Translating System, desarrollado originalmente por IBM en 1957 para el equipo IBM 704. Siendo ampliamente utilizado desde entonces, en aplicaciones científicas y de Ingeniería.
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John Backus
John Backus (Filadelfia, 3 de diciembre de 1924 - Oregón, 17 de marzo de 2007) dirigió el proyecto de IBM que dió origen al Lenguaje FORTRAN.
En 1977 ganó el Turing Award por sus trabajos en sistemas de programación de alto nivel, en especial por su trabajo con FORTRAN.
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Por qué usar FORTRAN ?
A diferencia de una aplicación como MATLAB™, MATHCAD™, MATHEMATICA™, etc., un lenguaje de programación como FORTRAN no depende de un solo fabricante, sino que existen muchas versiones disponibles.
Posee una sintaxis muy similar a otros lenguajes conocidos como PASCAL o C, pero está especialmente diseñado para realizar cálculos numéricos intensivos con gran precisión.
Existe una amplia variedad de bibliotecas de funciones que resuelven diversas problemáticas de Ingeniería.
Está disponible en diversas plataformas (Sistemas Operativos), y se puede usar tanto en computadoras de escritorio como en Mainframes con procesamiento paralelo.
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Tipos de Datos en FORTRAN
INTEGER
REAL
COMPLEX
LOGICAL
CHARACTER
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INTEGER
El tipo de datos INTEGER se utiliza para almacenar valores enteros.
Su rango de valores posibles está determinado por la cantidad de bytes establecida.
Un INTEGER de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de:
–2147483648 a 2147483647
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REAL
El tipo de datos REAL se utiliza para almacenar valores reales.
Un REAL de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de:
1.1754944E–38 a 3.4028235E+38
-3.4028235E+38 a -1.1754944E–38
y de
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LOGICAL
El tipo de datos LOGICAL se utiliza para
almacenar valores lógicos.
Sólo pueden almacenarse dos posibles
valores, .TRUE. y .FALSE.
FORTRAN está preparado para realizar
operaciones lógicas con este tipo de datos,
utilizando operadores lógicos, .AND. , .OR. ,
.NOT., etc.
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COMPLEX
El tipo de datos COMPLEX se utiliza para
almacenar números complejos.
El mismo consiste en un par ordenado de
números reales.
FORTRAN está preparado para realizar
operaciones complejas con este tipo de
datos en forma totalmente transparente
para el programador.
Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 63
CHARACTER
El tipo de datos CHARACTER se utiliza por lo
general para almacenar letras ó palabras.
Si no se especifica el tamaño asume que se
trata de un sólo caracter.
Para almacenar palabras ó frases es necesario
especificar la cantidad de caracteres, para
reservar el espacio de memoria necesario.
Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 64
Los operadores intrínsecos se utilizan para operar sobre los tipos de datos intrínsecos.
ARITMETICOS:
RELACIONALES:
Operadores Intrínsecos
.EQ. .NE. .GT. .GE. .LT. .LE. == /= > >= < <=
SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN POTENCIA + - * / **
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Estructura de un programa FORTRAN
[ PROGRAM nombre del programa ]
[ sección de especificación]
[ sección ejecutable]
[ sección de sub-programas internos]
END [ PROGRAM [ nombre de programa ] ]
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IF
IF (a < b ) THEN aux = a a = b b = auxEND IF
Ejemplo:
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IF ELSE
Ejemplo:
IF (leftCornerX < 0) THEN leftCornerX = 0ELSE aux = leftCornerX leftCornerX = rightCornerX rightCornerX = auxEND IF
Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 68
IF ELSE IF
IF (kWatts < 50) THEN costo = 30ELSE IF (kWatts < 100) THEN costo = 20+ 0.5*kWattsELSE IF (kWatts < 150) THEN costo = 15+ 0.3*kWattsELSE IF (kWatts < 200) THEN costo = 5+ 0.2*kWattsELSE costo = 0.15*kWattsEND IF
Ejemplo:
Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 69
SELECT CASE
Ejemplo:SELECT CASE (kWatts) CASE (:49) costo = 30 CASE (50:99) costo = 20 + 0.5*kWatts CASE (100:149) costo = 15 + 0.3*kWatts CASE (150:199) costo = 5 + 0.2*kWatts ELSE costo = 0.15*kWattsEND SELECT
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DO
Ejemplo:DO fila=1, maxFilas, 2 DO col=1, maxCols, 3 matriz(fila, col) = fila+2*col END DOEND DO
Ejemplo:
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DO WHILE
Ejemplo:
DO WHILE (sigue /= 'n') WRITE (*, 'Desea continuar ?') READ(*,''), sigueEND DO
Ejemplo:
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