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Transferencia de CalorIntroducción:La termodinámica estudia la relación entre el calor y otras formas de energía

Sistema

Medio

L>0

Q>0

L>0LQESistema

21

Donde:

UEEE cineticapotencial

Donde:

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Introducción:

Pero la Termodinámica no estudia:

-Con que velocidad ocurre la transferencia de calor.

-Como sucede la transferencia de calor.

Si hay un T transferencia de energía en forma de calor es esencial conocer la distribución de temperaturas para conocer el flujo de calor.

A este proceso se lo conoce como “Transferencia de Calor”.

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La Ciencia de TRANSFERENCIA DE CALOR estudia el transporte deenergía bajo la influencia de una no homogénea distribución deenergía bajo la influencia de una no homogénea distribución detemperatura.

Hay tres formas básicas Transferencia:Hay tres formas básicas Transferencia:

-Conducción

-Convección

Radiación-Radiación

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Conducción:

Transporte de calor a través de un continuo de masa.

Existen dos mecanismos:

-Interacción Molecular

-Electrones Libres

La velocidad de conducción se expresa a través de la relación empírica llamada ley de Fourier (1822):y ( )

dx

dTAK

dt

dQ

dQ/dt= Tasa de transferencia

dT/dx = Gradiente de Temp. en x.

A= Área normal al gradiente de T.

K= Cte = “Conductividad Térmica”, se determina experimentalmente, depende del material, de la temperatura y en materiales politrópicos de la dirección.

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Conductividad Térmica:

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Convección:

Involucra el intercambio de calor entre un fluido en movimiento y una superficie.

Existen dos clases de procesos convectivos:

-Convección Forzada

-Convección Natural o Libre

La relación empírica para la transferencia por convección se conoce como ley p p p yde Newton (1701):

fluidoerficie TTAhQ sup

Donde:- Q = Tasa de transferencia de calor. - A = Superficie de contacto.- Ts - Tf = diferencia de temperatura.- h = “Coeficiente pelicular”, depende de (fluido, régimen, temperatura, rugosidad).

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Coeficiente pelicular o de transferencia de calor:

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Radiación:

El mecanismo de transferencia de calor por radiación es la transferenciade energía por ondas electromagnéticas (Teoría de Maxwell).

La ley básica de radiación para cuerpos negros es la ley de Stefan-Boltzman:

Todas las sustancias emiten radiación como resultado de sutemperatura absoluta y son también capaces de absorber energía.

4TAQ

Donde:- Q = Tasa de transferencia de calor. A = Superficie de intercambio- A = Superficie de intercambio.

- T = Temperatura absoluta.- = Constante de Stefan-Boltzman (5.67*10-8 w/(m2 K4))

Su contribución es solo importante a altas temperaturas.

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El calor y la temperatura.MP4

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ConducciónSi llamamos “q” a la tasa de flujo de calor, es decir Calor por unidad de tiempo y por unidad de área, y un medio isotrópico, la ley de Fourier queda para tres dimensiones:

x

TKqx

y

TKqy

Tz

TKqz

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ConducciónEcuación diferencial de la conducción del calor:

La distribución de temperaturas en un medio puede determinarse a partird l l ió d l ED d t di i i d dde la solución de la ED cuando se somete a condiciones apropiadas defrontera:

Tasa neta de calor que entra por conducción

al x y z

Tasa de calor generado en el x y

z

Tasa de aumento de energía interna

de x y z+ =

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Llegamos a:

TCq

TK

TK

TK pi

Donde: T=T(x,y,z,t)

qi=qi(x y z t)

tq

zzyyxx pi

“Ecuación general de la conducción del calor”

qi qi(x,y,z,t)

Cp=Cp(x,y,z,t)

K=K(x,y,z,t)

Ecuación general de la conducción del calor .

se obtiene el campo de temperaturas en función de x, y ,z , y t.

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Casos Particulares:

a) Si “K” y “Cp” no varían con la posición y la temperatura:

t

T

K

q

z

T

y

T

x

T i

1

2

2

2

2

2

2

T1

t

T

K

qT i

12

Donde:

pC

K

“Difusividad Térmica”

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b) Si no hay fuentes de calor + a):

Casos Particulares:

t

TT

12

“Ecuación de Fourier”

c) Si el sistema esta en estado estacionario o estable + a):

02 K

qT i

“Ecuación de Poisson”

d) Si el sistema es estable + no hay fuentes de calor + a):d) Si el sistema es estable + no hay fuentes de calor + a):

02 T “Ecuación de Laplace”

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Ecuación diferencial de la conducción del calor en coordenadas cilíndricas:

t

T

K

q

z

TT

rr

T

rr

T i

111

2

2

2

2

22

2

Donde: T= T (r,,z,t)

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Condiciones de Frontera:

Existen tres tipos o clases de frontera:

1) Condición de frontera de primera clase o de “Dirichlet”.

2) Condición de frontera de segunda clase o de “Neumann”.

3) Condición de frontera de tercer clase.

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1) Condición de frontera de primera clase:

Condiciones de Frontera:

“Es cuando se especifica el valor o la distribución de la temperatura de una superficie límite”.

Ejemplo: (placa unidireccional, espesor L)

L

T0 TL

LLxtxxtx TTyTT ,00,

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2) Condición de frontera de segunda clase:

“Es cuando se especifica el flujo de calor” por Fourier se especifica la

Condiciones de Frontera:

Es cuando se especifica el flujo de calor por Fourier se especifica la derivada de la temperatura normal a la superficie límite

Ejemplo: (placa unidireccional, espesor L)

L

, qT

K tx

q0

00 qx

K x

Sí q0=0 “condición de frontera homogénea de segunda clase

Superficie aislada o condición de simetría.

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3) Condición de frontera de tercer clase:

“Es cuando se somete la superficie limite a una transferencia de calor por convección con un medio de temperatura conocida” en la superficie límite:

Condiciones de Frontera:

convección con un medio de temperatura conocida en la superficie límite:

Calor que entra a la frontera por convección

=Calor que sale de la frontera por conducción

Ejemplo: (placa con convección a medio de T)

T1 T2h2

h1T T

0xx

0011

xx xT

KTTh O LxLx TThxT

K

22

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Conducción de calor en estado estacionario, en una dimensión:

Placas:

K=cte, sin generación de calor, en una dimensión, estable:

02

2

dx

TdL

T0 TLx0

Condiciones de borde de 1er claseT(x)=T0 (en x=0)

T(x)=TL (en x=L)

00

)( TxL

TTT L

x

Lx TTL

AKQ 0)(

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Cilindro hueco:

Conducción de calor en estado estacionario, en una dimensión:

K=cte, sin generación de calor, en una dimensión, estable:

01

2

2

dr

dT

rdr

Tdr0

ri

r

T0Ti

Condiciones de borde de 1er claseT(r)=Ti (en r=ri)

T(r)=T0 (en r=r0)

r

ii

i

ir TTT

rrrr

T 00

)(

ln

ln 00

)(

ln

2TT

rrKL

Q i

i

r

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Analogía Eléctrica

Si se cumple TdC en una dimensión, estable, sin generación de calor, Kconstante y condición de frontera de 1er tipo La tasa de transferencia de calora través del sólido puede expresarse:

R

TQ x

)(

Donde “R” es la resistencia térmica del sólido.

a través del sólido puede expresarse:

Análogamente: R

VI

Ejemplo: “Placa Plana, frontera 1er tipo”

placa

LLx R

TTTT

L

AKQ

0

0)(KA

LRplaca Donde:

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Si tenemos dos placas con unión molecular perfecta entre ambas “Ta2=Tb1”

Ta1

Tb1Ta2T

(a) (b)

aaaa K

LqTT 21

Por continuidad del flujo de calor “qa = qb”

La LbTb2

aaaa K21

b

bbbb K

LqTT 21

Sumando m.a.m y despejando “q”:

A

Q

KL

KL

TTq

b

b

a

a

ba

21

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Generalizando a “n” placas:

n

L

RRRR

TTQ

....321

0

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Si en x=0 y en x=L tenemos frontera de 3er tipo:

Ta1

TT

(a) (b)T T

1L

La

Tb1

Lb

Ta2Tb2

hh

L1

Ah

R1

b

bb AK

LR

TT

a

aa AK

LR

Ah

R1

RRRR

TTQ

ba

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Ejemplo: “Cilindro hueco”

r0

ri T0Ti

T

ha

b

hLr

Ri2

1

LK

rr

Ra

ia 2

ln 1

hLr

R02

1

LK

r

r

Rb

o

b 2

ln1

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Transferencia de calor desde superficies extendidas “Aletas”

“Para conocer el flujo de calor a través de la aleta, se requiere conocer su distribución de temperatura”

E ió d Al t di ió t d t blEcuación de Aleta en una dimensión en estado estable:

x

TsT

qxqx+x

AxS

-Se supone Ts >T Q>0

-Se supone Ax y Tx es constante en x

Haciendo un balance de energía para x:

Tasa neta de calor ganado por conducción en dirección x por x

+Tasa neta de calor ganado por convección a través de la superficie de x

= 0

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Llegamos a:

xA

ddT

Kd 0 xx PTTh

dxdx

1) Si la sección transversal es constante S, P y A = ctes:

02

2

xTTKA

Ph

dx

Td

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2) Si la sección transversal es uniformemente variable:

2tL2t0

H

L

00000

L

xPPPTT

K

h

dx

dT

L

xAAA

dx

dLxL

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Distribución de temperatura y flujo de calor en aletas de sección transversal uniforme:

“Para obtener la distribución de temperaturas de la aleta debo resolver la E.D. aplicando apropiadas condiciones de frontera”

TTyKA

hPm xx2Si llamamos:

KA

022

2

xmdx

d La E.D. queda:

dx

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a) Aleta infinitamente larga: (ambas fronteras de 1er tipo)

Condiciones de bordeT(x)=T0 (en x=0)

T(x)=TL ≈ T (en x=L)

mxmxx eCeC 21

La solución recomendada es de la forma:

mxe 0 x e0Y la tasa de calor se puede calcular de dos formas:

dxhPdxd

AKQL

xx 0

0

PhKATTQ 0

Eligiendo la primer ecuación y reemplazando el gradiente de temperaturas:

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b) Aleta con flujo de calor despreciable en el extremo: (fronteras de 1er y 2do

tipo)

Condiciones de borde T(x)=T0 (en x=0)

Q(L)≈ 0 d/dx=0 (en x=L)

xLmsenhCxLmCx 21 cosh

Q(L) 0 d/dx 0 (en x L)

La solución recomendada es de la forma:

mL

xLmx cosh

cosh0

Y la tasa de calor:

mLPhKAQ tanh0

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c) Aleta con convección en el extremo: (fronteras de 1er y 3er tipo)

Condiciones de borde

T(x)=T0 (en x=0)

( L)0hd

K

La solución recomendada es de la forma:

(en x=L) 0 xehdx

K

xLmsenhCxLmCx 21 cosh

xLmsenhmKh

xLm e

cosh

mLsenh

mKh

mL ex

cosh

0

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Rendimiento de Aletas

realQaletaladetravesarealcalordeciaTransferen

ideala QTaestaSsialetaladetravesacalordeciaTransferen

0,

0hSQ aideal

id ll QQ

Sa= Área externa de la aleta

idealreal QQ

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Ejemplo: “Rendimiento de una aleta con Q→0 en x=L”.

H

2t

H

L

00 PLhhSQ aideal

mLPhKAQ real tanh0

mL

mLtanh

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aletareal

Q

QEficacia

Eficacia de Aletas

aletabaseQf

Calor disipado por una aleta real

ºsup NQQQaletareal

primariaerficietotal

TTShTTAhQ at 000

at SAhQ 00

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Ábacos para la determinación de “” en función de parámetros:

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38

Ábacos para la determinación de “” en función de parámetros:

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Aislación

Si se desea Q≈0 materiales con K

Propiedades a cumplir:

-Resistencia mecánica a la abrasión y vibraciones.

-Estabilidad dimensional.

-Resistencia al medio, penetración de vapor y humedad., p p y

-Fácil instalación.

Tipos:

-Fibras (Nylon, Polyester, Vinyl), T≈amb.

Celulares o granulados (Poliestireno y Poliuretano) T>amb-Celulares o granulados (Poliestireno y Poliuretano),T>amb.

-Laminares

-Cerámicos, T>>amb.

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Radio crítico del aislante

riTi ra T0

Ti

hre

KKa

Considerando frontera de 1er tipo en el interior y de 3er tipo con el aire circundante a T00

0

0

RRR

TTQ

aislcaño

i

TTH2 0

HhrHKrr

HKrr

TTQ

aa

e

a

i

e

i

21

2

ln

2

ln

0

0 Porque K>>Ka

hrKrr

TTHQ

aa

e

a

i

1ln

2 0

Q = f(ra)

q a

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1/h.ra cuando ra y (ln ra/re)/Ka cuando ra

“Hay dos mecanismos que compiten”

Existe un valor máximo de “Q” con el “ra”

0

1

ln

20

220

a

a

a

a

a

e

a

ia

a rh

K

r

rhK

rr

TTHK

dr

dQ

"" aislantedelcríticoradioh

Kr a

críticoa

El objetivo es lograr que “ra cri” este dentro de la cañería (ra cri < re), de esta manera garantizo que aumentando “ra” aumenta la aislación debo jugar con el “Ka”