análisis numérico de la adhesión fibra matriz con un...

Análisis numérico de la adhesión fibra matriz con

un modelo de interfaces cohesivas acoplado.

por

Claudia Alejandra Morel

U

Tesis propuesta de acuerdo a los requerimientos de la Universidad Nacional del Nordeste para la obtención del título de Magister en Ciencias de la Ingeniería. Carrera

aprobada por CONEAU mediante Resolución Nº 945/99

Director: Mag. Ing. Ricardo José Barrios D’Ambra Co-Director: Mag. Ing. Héctor Darío Cóceres

Resistencia, Octubre de 2010

Aprobada por

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Fecha ____________________________________________________________________________________

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional del Nordeste

Resumen

Análisis numérico de la adhesión fibra matriz con un modelo de interfaces cohesivas acoplado.

Por Claudia Alejandra Morel

Director: Mag. Ing. Ricardo José Barrios D’Ambra Co-Director: Mag. Ing. Héctor Darío Cóceres

El proceso de propagación de fisuras puede ser descripto por medio de modelos cohesivos. Entre sus aplicaciones más importantes, se encuentra el modelado del despegado de la interface fibra/matriz en un material compuesto (como por ejemplo hormigones reforzados con fibras). La resistencia al despegado puede medirse, utilizando un ensayo de extracción de fibra (en inglés pushout o pullout): consiste básicamente en extraer por compresión o por tracción una fibra de la matriz. Se pueden usar dispositivos de cualquier geometría, pero se ha observado experimentalmente que en el ensayo de pullout es preponderante el corte, dando una alta resistencia al despegado. En este trabajo se realiza la simulación numérica de un ensayo de extracción de fibra, mediante el método de los elementos discretos (MED), utilizando un modelo de interfaz cohesiva para la zona de contacto fibra/matriz. Se aplica el modelo numérico a un sistema en 3D de poliéster/epoxi, y el proceso de despegado fibra/matriz es capturado con la ayuda de elementos cohesivos agregados al MED. Posteriormente se aplica el modelo numérico para realizar un estudio de la influencia de la variación de diversos parámetros no geométricos, en el proceso de falla de la interfaz fibra/matriz.

Abstract

The crack propagation process can be described by means of cohesive models. One of the most important applications of the cohesive law, is the modeling of the interface fiber / matrix debonding in a composite material (for example, fiber reinforced concrete). The debond resistance can be measured using a fiber pushout or pullout test. This test consists basically in extracting a fiber from the matrix either by compression or traction. Any geometry can be used to measure debond resistance, but it has been observed experimentally that the fiber pullout is shear dominant, giving a high debond resistance. In this work a numerical simulation of a 3D fiber pullout test is presented, using the discrete element method (DEM) and a cohesive interface model for the fiber / matrix contact area. The numerical model is applied to a polyester / epoxy composite, and the fiber / matrix debonding is simulated with the addition of cohesive elements. This model is used to perform a study of the effect of different nongeometric parameters on the failure mechanism of the composite model.

Declaración: El presente trabajo no ha sido previamente aceptado en esencia para ninguna titulación y tampoco se ha propuesto en la candidatura de ninguna graduación. Manifiesto 1: Esta tesis es el resultado de mis propias investigaciones, excepto donde se declare explícitamente lo contrario. Otras fuentes son reconocidas en las referencias dadas. Manifiesto 2: Por este medio doy a la Editorial de la UNNE los derechos de reproducir y distribuir mi tesis, si es aceptada, a través del mundo.

En memoria de Ismael y Josefa.

Agradecimientos

Mi agradecimiento a mi orientadores, Mag. Ing. Ricardo Barrios D’Ambra y Mag.

Ing. Héctor Cóceres por su disposición y por la guía que me han dado en el transcurso

de la producción de esta Tesis.

Al Departamento de Mecánica Aplicada por la ayuda y el apoyo brindado.

A los profesores y autoridades de la Facultad de Ingeniería de la UNNE, por su

cooperación y por haber facilitado los medios para concretar el trabajo.

A la Secretaría General de Ciencia y Técnica de la UNNE, por su apoyo financiero.

Al Dr. Prof. Ing. Mario Natalini y al Instituto de Estabilidad, por su colaboración.

Al Dr. Prof. Ing. Ignacio Iturrioz, por las sugerencias brindadas para mejorar este

trabajo.

Al Mag. Ing. Gustavo Di Rado, por la ayuda en la confección de gráficos para esta

Tesis.

A mis amigos y colegas de la Facultad de Ingeniería de la UNNE, por su aliento y su

afecto.

A mi familia, por la fuerza que siempre me brindan con su cariño y paciencia.

Parte de esta Tesis fue publicada en los siguientes congresos: Morel Claudia A., Cóceres, Héctor D., Barrios D’ Ambra, Ricardo J. L. Ley cohesiva con esfuerzo normal y corte acoplados para un ensayo de extracción de fibra por compresión (test de Pushout). Reunión de Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2010, Cs. Exactas y Tecnológicas, UNNE, Corrientes, Argentina, http://www.unne.edu.ar/investigacion/com2010/exactas.php Morel Claudia A., Cóceres, Héctor D., Barrios D’ Ambra, Ricardo J. L. Ley cohesiva para modelar el proceso de fractura aplicando el método de los elementos discretos. XXXIV Jornadas Sudamericanas de Ingeniería Estructural, 2010, San Juan, Argentina. http://www.jornadas2010.unsj.edu.ar Morel Claudia A., Cóceres, Héctor D., Barrios D’ Ambra, Ricardo J. L. Aplicación del método de los elementos discretos al proceso de separación fibra-matriz con un modelo de interfaces cohesivas. Congreso MECOM-CILAMCE del Bicentenario, 2010, Buenos Aires, Argentina (en prensa). http://www.mecom2010.net/

http://www.unne.edu.ar/investigacion/com2010/exactas.php

http://www.jornadas2010.unsj.edu.ar/

http://www.mecom2010.net/

Índice General

Capítulo 1 .............................................................................................................................................. 18

Introducción y Antecedentes ............................................................................................................. 18

1.1 Introducción ............................................................................................................................... 18

Objetivo General ....................................................................................................................... 19

Objetivos particulares ............................................................................................................... 19

Organización del Trabajo ........................................................................................................... 20

1.2 Mecánica de Fractura ................................................................................................................. 21

1.3 De la fabricación y procedencia de los materiales compuestos ................................................ 25

1.4 Resistencia al Despegado (Debond Resistance) ......................................................................... 26

1.5 De los ensayos de Pullout y Pushout .......................................................................................... 30

Capítulo 2 .............................................................................................................................................. 36

Teoría .................................................................................................................................................... 36

2 .1 Leyes cohesivas .......................................................................................................................... 36

2.2 Clasificación de las leyes cohesivas. ........................................................................................... 39

2.3 Modelo Cohesivo para carga combinada. .................................................................................. 46

Capítulo 3 .............................................................................................................................................. 51

Implementación .................................................................................................................................... 51

3.1 Introducción ............................................................................................................................... 51

3.2 Método de los Elementos Discretos DEM ................................................................................... 51

3.2.1 Antecedentes...................................................................................................................... 51

3.2.2 Formulación del método ..................................................................................................... 52

3.2.3 Rigidez de las Barras ............................................................................................................. 53

3.2.4 Solución de la ecuación de equilibrio ................................................................................ 56

3.2.5 Relación constitutiva del elemento .................................................................................... 57

3.2.6 Integración por diferencias finitas ..................................................................................... 60

3.3 Modelado de la Ley Cohesiva .................................................................................................... 61

3.3.1 Ley Cohesiva Desacoplada ............................................................................................... 61

3.3.2 Ley Cohesiva Acoplada .................................................................................................... 62

Capítulo 4 .............................................................................................................................................. 66

Análisis y Verificación ............................................................................................................................ 66

4.1 Simulación numérica del ensayo Pullout .................................................................................... 66

4.1.1 Modelo de Ley Cohesiva con Carga Combinada Desacoplada ............................................. 68

4.1.2. Modelo de Ley Cohesiva con Carga Mixta Acoplada.......................................................... 71

4.1.3 Estudio paramétrico de los ensayos de Pullout. .................................................................. 73

4.1.3.1 Coeficiente de Fricción μ ............................................................................................. 73

4. 1.3.2 Resistencia interfacial ............................................................................................... 75

4.1.3.3 Relación de módulos de elasticidad ........................................................................... 76

4.2 Simulación numérica del ensayo Pushout .................................................................................. 78

4.2.1 Modelo de Ley Cohesiva con Carga Combinada Desacoplada ............................................. 78

4.2.2 Modelo de Ley Cohesiva con Carga Combinada Acoplada .................................................. 79

4.2.3 Estudio paramétrico de los ensayos de Pushout. ................................................................ 81

4.2.3.1 Coeficiente de Fricción μ ............................................................................................... 81

4.2.3.2 Resistencia interfacial ................................................................................................... 83

4.2.3.3 Relación de módulos de elasticidad .............................................................................. 85

Capítulo 5 .............................................................................................................................................. 90

Conclusiones ......................................................................................................................................... 90

Conclusiones y Trabajos Futuros ....................................................................................................... 90

Bibliografía ........................................................................................................................................ 94

Índice de Tablas y Figuras

Figura 1.1: El amplio campo de la Mecánica de Fractura (Broek, 1984). .............................................. 22

Figura 1.2: Los tres modos de fisuración (Broek, 1984). ........................................................................ 23

Figura 1.3: Ley cohesiva y tensión deformación, elementos clave en el análisis de

estructuras (Sørensen & Jacobsen, 2003). ........................................................................................ 24

Figura 1.4: Procesos inelásticos que acompañan el despegado (Zhigang Suo, 1993). ......................... 28

Figura 1.5: Esquema de ensayo de pushout en un material compuesto (Lin, Geubelle, &

Sottos, 2001). .................................................................................................................................... 28

Figura 1.6: Geometrías convenientes para medir la resistencia al despegado (Zhigang Suo,

1993) . ............................................................................................................................................... 29

Figura 1.7: Curva carga‐desplazamiento típica obtenida en ensayos de pushout (Lin,

Geubelle, & Sottos, 2001) ................................................................................................................. 31

Figura 2.1: Ley cohesiva a distintas escalas ( Risø National Laboratory, 2009) ..................................... 38

Figura 2.2: Ley cohesiva desacoplada utilizada por Thouless et al (2006) ............................................. 42

Figura 2.3: Ley cohesiva acoplada de Tvergaard y Hutchinson (1992) .................................................. 42

Figura 2.4: Cuatro grandes grupos de leyes cohesivas .......................................................................... 44

Figura 3.1 : a) Detalle del módulo cúbico básico. b) Prisma compuesto por varios módulos

cúbicos. ............................................................................................................................................. 53

Figura 3.2: Relación Constitutiva Elemental de las barras del reticulado ‐ a) Diagrama

constitutivo adoptado con sus parámetros de control; b) Esquema para la carga y

descarga. (Rocha, 1989). ................................................................................................................... 58

Figura 3.3: Ley cohesiva desacoplada. Fuerza de corte T versus separación por corte ΔT

para ΔN= 0. ........................................................................................................................................ 61

T

Figura 3.4: Fuerza Normal TN versus separación por apertura ΔN para ΔT= 0. ...................................... 61

Figura 3.5: Ley cohesiva. (a) Tracción Normal TN como función de la separación normal δN

para δT= 0; (b) Tracción de corte TT versus separación por corte δT para δN= 0. Las curvas

continuas y de puntos corresponden a falla por corte cohesivo para contacto friccional y

no friccional respectivamente. ......................................................................................................... 64

Figura 4.1: Esquema del modelo para ensayo pullout y pushout .......................................................... 67

Figura 4.2: Malla deformada .................................................................................................................. 68

Figura 4.3: Comparación de resultados para ley cohesiva desacoplada para ensayo de

pullout, carga vs. Desplazamiento con los ensayos obtenidos por Lin et al mediante MEF ............ 70

Figura 4.4: Comparación de resultados para ley cohesiva desacoplada para ensayo de

pullout, longitud despegada vs. Desplazamiento de la fibra, con los ensayos obtenidos

por Lin et al mediante MEF ............................................................................................................... 70

Figura 4.5: Diagrama carga‐desplazamiento para los modelos de ley Cohesiva 1 y 2

comparados con los resultados obtenidos por Lin et al para un ensayo de pullout. ....................... 72

Figura 4.6: Diagrama longitud despegada‐desplazamiento para los modelos de ley Cohesiva

1 y 2 comparados con los resultados obtenidos por Lin et al para un ensayo de pullout. ............... 72

Figura 4.7: Influencia de la variación del coeficiente de fricción μ sobre la curva carga

aplicada‐desplazamiento en un ensayo de pullout. ......................................................................... 74

Figura 4.8: Influencia de la variación del coeficiente de fricción μ sobre la evolución de la

longitud despegada en un ensayo de pullout. .................................................................................. 74

Figura 4.9: Efecto de la variación de la resistencia interfacial σ max (MPa) sobre la curva

carga‐desplazamiento para el ensayo de pullout. ............................................................................ 75

Figura 4.10: Efecto de la variación de la resistencia interfacial σ max (MPa) sobre la evolución

de la longitud despegada para el ensayo de pullout ........................................................................ 76

Figura 4.11: Efecto de la razón de módulos Ef/Em sobre la curva carga‐desplazamiento para

el ensayo de pullout .......................................................................................................................... 77

Figura 4.12: Efecto de la razón de módulos Ef/Em sobre la evolución de la longitud

despegada para el ensayo de pullout ............................................................................................... 77

Figura 4.13: Carga vs. desplazamiento para Modelo 3 comparado con datos experimentales

y ensayos obtenidos por Lin et al (pushout) ..................................................................................... 78

Figura 4.14: Comparación de la curva longitud despegada vs. desplazamiento entre Modelo

3, datos experimentales y resultados de Lin et al, para el ensayo de pushout ................................ 79

Figura 4.15: Diagrama carga‐desplazamiento para Modelos 1 y 2, resultados experimentales

y resultados obtenidos por Lin et al, para un ensayo de pushout. ................................................... 80

Figura 4.16: Diagrama longitud despegada‐desplazamiento de la fibra para Modelos 1 y 2,

resultados experimentales y resultados obtenidos por Lin et al para un ensayo de

pushout. ............................................................................................................................................ 81


aplicada‐desplazamiento en un ensayo de pushout. ........................................................................ 82


longitud despegada en un ensayo de pushout. ................................................................................ 83

Figura 4.19: Efecto de la variación de la resistencia interfacial σ max (MPa) sobre la curva

carga‐desplazamiento para el ensayo de pushout ........................................................................... 84

Figura 4.20: Efecto de la variación de la resistencia interfacial σ max (MPa) sobre la evolución

de la longitud despegada para el ensayo de pushout ...................................................................... 84

Figura 4.21: Efecto de la razón de módulos Ef/Em sobre la curva carga‐desplazamiento para

el ensayo de pushout ........................................................................................................................ 85


despegada para el ensayo de pushout ............................................................................................. 86

Figura 4.23. Secuencia de imágenes: Vista en perspectiva y en corte transversal de las

tensiones principales ........................................................................................................................ 87

Fig. 4.24. Vista en perspectiva y en corte transversal de las isosuperficies de tensiones

principales ......................................................................................................................................... 88

Fig. 4.25 Corte transversal de tensiones de corte en el plano XY .......................................................... 88

Figura. 5.1: Comparación de los ensayos de pushout y pullout: Carga versus desplazamiento

de la fibra .......................................................................................................................................... 92

Figura. 5.2: Comparación entre ensayo de pushout y pullout: Longitud despegada versus

desplazamiento de la fibra ................................................................................................................ 92

Lista de símbolos y abreviaturas

A tamaño de la fisura

Af área de la superficie fracturada

C matriz de amortiguamiento (diagonal)

CVFE elementos finitos cohesivo/volumétrico (cohesive/volumetric finite element)

CMOD abertura de la “boca” de la fisura (crack mouth opening displacement)

CTOD abertura de la punta de la fisura (crack tip opening displacement)

Cij constantes elásticas

D desplazamiento

Da Variable de daño

Df constante vinculada al coeficiente de amortiguamiento crítico ξn

E módulo de elasticidad o de Young

EA rigidez de las barras del modelo reticulado

E Ad rigidez de las barras diagonales

E An rigidez de las barras normales

EF elementos finitos

Ef módulo de elasticidad de la Fibra

Em módulo de elasticidad de la Matriz

F fue

vector de fuerzas internas

rza aplicada

G tasa de energía liberada de Griffith

Gf tasa de energía superficial G utilizada en el MED

GI tasa de energía liberada en modo I

GII tasa de energía liberada en modo II

H Altura de la Matriz

K factor de intensidad de tensiones

KI, KII, KIII factor de intensidad de tensiones para modos I, I y III

Lc longitud despegada

Le longitud del modulo elemental

LSB large scale bridging

M matriz de masa nodal (diagonal)

MED método de los elementos discretos (en inglés DEM)

MEF método de los elementos finitos (en inglés FEM)

MFLE mecánica de fractura lineal elástica (en inglés LEFM)

P carga aplicada sobre la fibra en el ensayo de pullout y pushout

Pcr fuerza máxima de tracción transmitida por la barra

vector de fuerzas externas

Qij constantes elásticas del sólido equivalente representado por la estructura reticulada

Qd11 propiedad unidireccional efectiva correspondiente a las barras diagonales

Qn11 propiedad unidireccional efectiva normal a las caras de un cubo

R radio de la fibra

Rfc factor de falla

T vector tracción tri-dimensional

T tracción

T (δ) ley cohesiva

Tmax tracción máxima, resistencia cohesiva

TN , TT dirección normal y tangencial de la tracción, respectivamente

TN,max, TT,max valor máximo en dirección normal y tangencial de la tracción, respectivamente

Vp velocidad de las ondas de compresión P

a semilongitud de la fisura en el plano o radio de la fisura en el espacio

fn frecuencia natural de vibración de modo n (Hz)

ft tensión de control crítica

kr ductilidad, parámetro que permite calcular εr

q parámetro de interacción o acoplamiento para la separación normal y tangencial

rf radio de la Fibra

rm radio de la Matriz

rs radio del soporte

ui components del vector desplazamiento

[u] vector del “salto” de desplazamientos en el elemento cohesivo (equivalente al vector separación)

x,

vector de desplazamientos nodales

y, z Coordenadas cartesianas

Δ separación interfacial

ΔCN separación interfacial crítica en la dirección normal

ΔΝ separación interfacial en la dirección normal

ΔΝmax separación interfacial máxima en la dirección normal

ΔΝp separación interfacial plástica en la dirección normal

ΔCT separación interfacial crítica en la dirección tangencial

ΔT separación interfacial en la dirección tangencial

ΔTmax separación interfacial máxima en la dirección tangencial

ΔTp separación interfacial plástica en la dirección tangencial

ΔT1, ΔT2 componentes de la separación interfacial en las dos direcciones tangenciales

Δt intervalo de tiempo

Δtcrítico intervalo de tiempo crítico

ΔP Desplazamiento de la fibra provocado por la Fuerza P

Γ resistencia al despegado

Γmax energía cohesiva total, energía de separación en la falla

G Fuerza de despegado

α parámetro de acoplamiento

β segundo parámetro de Dunders

χ parámetro que depende de la geometría del problema y de la longitud de la fisura

δ parámetro adimensional de la separación. Separación, deformación.

δc, δmax separación en la falla (separación crítica)

δ1, δ2 parámetros de forma para diversas leyes cohesivas

δ5 abertura de la punta de la fisura definida a una distancia de 5 mm de un lado a otro de la misma, sobre la superficie del espécimen

δN, δT parámetro normalizado de la dirección normal y tangencial de la separación, respectivamente

δNmax, δTmax dirección normal y tangencial de la separación crítica, respectivamente

δNp, δTp parámetro normalizado de la dirección normal y tangencial de la separación en región plástica, respectivamente

δp parámetro normalizado de la separación en la zona plástica

δt ,δ5 abertura de la punta de la fisura (crack tip opening displacement CTOD)

εp deformación plástica

εr deformación para la cual la barra no transmite más esfuerzos de tracción

ϕ función que dependerá del tipo de material a modelar (relación constitutiva)

λ módulo de corte

μ coeficiente de fricción

ν coeficiente de Poisson

νf coeficiente de Poisson de la Fibra

νm coeficiente de Poisson de la Matriz

π constante matemática aproximadamente igual a 3,14159265358979

θ modo de combinación (mode mixity)

σ tensión, parámetro normalizado de la tensión T

σ(δ) tensión cohesiva local

σc, σmax tensión de tracción normal máxima o crítica, resistencia cohesiva o interfacial

σij componentes del tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones

τ parámetro normalizado de la tensión T

τmax tensión de tracción tangencial máxima o crítica, resistencia cohesiva o interfacial

ξn coeficiente de amortiguamiento crítico

ψ parámetro de modalidad mixta

Glosario

Coeficiente de Poisson: valor absoluto de la relación entre la deformación unitaria normal transversal y la deformación unitaria axial

Crazing (Microfisuracion): líneas diminutas que aparecen cerca de la superficie de los materiales tales como el plástico, generalmente como resultado de una respuesta al ambiente. Las microfisuras constituyen una región tensionada asociada a fisuras, grietas, partículas de impureza y heterogeneidades moleculares. Normalmente esta región se propaga perpendicularmente al eje del esfuerzo de tracción. El espesor de una microfisura suele ser inferior a 5 micrones.

Ductilidad – Material Dúctil: capacidad de deformación plástica de un material antes de su rotura. Un material se considera dúctil cuando puede soportar alargamientos mayores al 5%.

Elastómeros: polímeros con una cantidad intermedia de enlaces cruzados.

Extrínseco: (ley o modelo cohesivo) depende solamente de la porción de la ley cohesiva correspondiente al modelado de la falla (decreciente). En otras palabras, en este modelo, la tracción cohesiva se establece igual a la resistencia del material. Este modelo particular es llamado extrínseco porque a diferencia del método intrínseco para el cual el criterio de inicio de la falla está inherentemente contenida en el modelo, este segundo enfoque requiere la introducción de un criterio separado para el comienzo del proceso de falla, (i.e., para la introducción de los elementos cohesivos en el esquema de los elementos finitos volumétrico‐ cohesivo).

Fenomenológico: (Ciencia) Se utiliza para describir un campo de conocimientos que relacionan observaciones empíricas de un fenómeno entre sí, de tal manera que sea consistente con una teoría fundamental, pero no es derivada directamente de ella.

Teoría fenomenológica: teoría que expresa matemáticamente los resultados observados de un fenómeno sin prestar atención detallada a su significado fundamental.

Ejemplos: Segunda ley de la Termodinámica, Modelo planetario de Rutherford.

Fluencia: inicio de la deformación plástica.

Fragilidad – Material Frágil: Propiedad del material se rompe sin mayor deformación plástica. Un material se considera frágil cuando se fractura con alargamientos menores al 5%.

Gap: Espacio entre objetos o puntos, apertura. Interrupción en la continuidad. Disparidad.

Homogeneidad material: calidad de invariabilidad de las propiedades de un material en cada uno de los puntos constituyentes.

Interface: superficie entre dos cuerpos. Los dos cuerpos comparten este límite inicialmente.

Interfase: es una combinación de fases. Por ejemplo en ( (Salomonsson, 2002 ), hay dos adherentes y la capa adhesiva.

Intrínseco: (ley o modelo cohesivo) caracteriza la respuesta del elemento cohesivo mediante una curva tracción‐separación, que comenzando desde el origen, posee una porción de endurecimiento (creciente) que denota una resistencia creciente de la superficie cohesiva de separación. Cuando se logra una separación suficiente, la tracción cohesiva alcanza un valor máximo correspondiente a la resistencia de falla �c, del material. La curva tracción‐separación sigue luego con una porción de debilitamiento (decreciente) asociada con el proceso de falla. Cuando la separación δ alcanza un valor crítico δc la tracción cohesiva τ, se supone que se desvanece, llevando a la creación de una superficie libre de tracción (i.e.: fisura) en el dominio discretizado (Needleman A. , 1987), (Kubair & Geubelle, 2003).

Isotropía – Material Isótropo: característica de un material según la cual sus propiedades son iguales en distintas direcciones.

Material compuesto, composite o composito: Los materiales compuestos están formados por la combinación de dos o más materiales para obtener propiedades (físicas, químicas, etc.) tales que sean superiores a aquellas de sus constituyentes. Los principales componentes de los materiales compuestos, o composites, son las fibras y la matriz (binder). Las fibras son, en general, ortotrópicas y proveen la mayoría de la rigidez y resistencia; la matriz mantiene unidas a las fibras permitiendo de este modo una transferencia de cargas entre las fibras, el composite y las cargas exteriores.

Monótona: Matemáticas. (De una función o de un conjunto particular de valores de una función) creciente o decreciente.

Ondas de Schallamach: En dinámica de los sólidos elásticos sometidos a fricción seca, existen resultados experimentales sobre el frotamiento de materiales de diferente dureza. Durante el deslizamiento se observa la formación de pliegues de despegado en el material más blando, que se denominan "onda de Schallamach". En 1971, (Schallamach, 1971) descubrió que la fricción en interfaces de elastómeros blandos esta usualmente dominada por la aparición y propagación de inestabilidades elásticas en la forma de ondas superficiales.

Ondas P: (onda primaria) componente longitudinal a la dirección de propagación de una onda elástica.

Ortotropía – Material Ortótropo: característica de un cuerpo según la cual sus propiedades físicas son diferentes en direcciones perpendiculares entre sí.

Polímeros: Compuestos plásticos de carbono y otros elementos químicos que forman moléculas en largas cadenas.

Pullout: ensayo en el cual se extrae mediante una fuerza de tracción una fibra de la matriz que lo contiene.

Pushout: ensayo en el cual se extrae mediante una fuerza de compresión una fibra de la matriz que lo contiene.

Softening: ablandamiento (por deformación)

Claudia Morel

Tesis de Maestría en Ciencias de la Ingeniería 17

Capítulo 1 Introducción y Antecedentes

Claudia Morel


Capítulo 1 Introducción y Antecedentes

1.1 Introducción

En la búsqueda de mejores desempeños de los materiales, han surgido en las últimas

décadas los materiales compuestos. Estos materiales tienen muchos usos en la industria

aeroespacial y automotriz dada sus mejoradas propiedades físicas y mecánicas. La

investigación de estos materiales busca evaluar varios aspectos, entre ellos, fabricación,

procesamiento, diseño y caracterización de su desempeño. Para este último aspecto se

utilizan modelos y simulaciones computacionales así como también ensayos experimentales.

Los ensayos mecánicos proveen a las simulaciones numéricas de las propiedades mecánicas

necesarias para efectuar el modelado computacional.

El modelado de la falla en los materiales compuestos, puede efectuarse mediante el

uso de los conceptos de la micromecánica o a través de leyes cohesivas. Las leyes cohesivas

pertenecen a un grupo de modelos, llamados fenomenológicos, que no dependen de un

mecanismo de falla específico. Emplean un modelo material, el cual es representado por una

ley de tracción‐separación que describe la pérdida de capacidad de carga del material en

función de la separación independientemente de los detalles físicos del daño que ocurra

realmente en el material (Schwalbe, Scheider, & Cornec, 2009).

Una de las ventajas de utilizar las leyes cohesivas como modelos de falla, es su

independencia del tamaño de la malla usada en el modelado. Además solo precisa de dos

parámetros para su aplicación (separación crítica o desplazamiento máximo y tracción

máxima o resistencia cohesiva. Esta y otras ventajas fueron el motivo de su elección para

este trabajo de Tesis.

Entra las variadas formas de falla de un material compuesto, se decidió analizar el

comportamiento del material compuesto al despegado de la interface fibra‐ matriz.

Claudia Morel


Objetivo General

Como objetivo general de la presente Tesis, se planteó obtener una herramienta

computacional alternativa para resolver problemas de materiales compuestos continuos

reforzados con fibra. Este estudio conlleva implícito una descripción adecuada del modelo

atriz‐fibra‐medio cohesivo. m

Objetivos particulares

1) Entre los objetivos particulares, se buscó desarrollar e implementar Modelos de

Material Compuesto Matriz‐Fibra con Ley Cohesiva incluyendo Corte, Fricción y Esfuerzo

Normal Acoplados:

a. Analizar e incorporar el algoritmo con distintas leyes para la zona cohesiva.

b. Implementar el modelo material al programa MED de elementos discretos.

Dicho programa en codificación FORTRAN fue desarrollado en la UFRGS y se

continúa actualizando en la UNNE. Para eso se pretende modificar el modelo

planteado hasta ahora y tras implementarlo computacionalmente en el programa,

verificar su buen funcionamiento.

c. Validar el modelo a través de ejemplos representativos.

d. Comparación de resultados de la simulación computacional, con otras

simulaciones obtenidas con implementación del modelo en otros programas,

incluyendo los efectuados con método de elementos finitos.

2) Otro objetivo particular fue la obtención de una herramienta alternativa al MEF para

la resolución del problema de la caracterización del comportamiento del proceso de

separación de la superficie de adherencia fibra matriz.

a. Utilizar el método de los elementos discretos para la resolución del problema.

Dicha elección se fundamenta en su fácil y rápida implementación computacional,

sin perder la precisión en los resultados. Además esta herramienta, al contrario del

MEF, no está limitada a medios continuos, pudiendo aplicarse con comodidad en el

caso de la fractura, donde existe separación o división de la materia.

b. El estudio del comportamiento mecánico de los materiales compuestos es

importante para poder establecer modelos que puedan prever su comportamiento

Claudia Morel


bajo carga. La mejora en el estado de este conocimiento se traduce en mejores

diseños de estos materiales, tan importantes en la industria humana.

c. Se pretende mejorar también el actual estado de conocimiento de la

influencia de la adhesión en la interface fibra‐matriz sobre el comportamiento de

falla de los materiales compuestos.

Organización del Trabajo

La presente Tesis está dividida en cinco capítulos principales. En el capítulo 1 se

expone una introducción al problema junto con los objetivos del trabajo, luego se presenta

una reseña bibliográfica de los temas más importantes vinculados a los antecedentes más

relevantes relacionados con el tema propuesto: Mecánica de Fractura, Materiales

Compuestos, Resistencia al Despegado y Ensayos de Extracción de Fibra (Pullout y Pushout).

En el Capítulo 2 se muestra una revisión bibliográfica de las Leyes Cohesivas,

mostrando las ecuaciones utilizadas para su modelado, así como también su clasificación y

los aspectos a tener en cuenta para carga combinada.

En el Capítulo 3 se efectúa una introducción a la metodología utilizada para efectuar

el modelado. Se hace una breve reseña del Método de los Elementos Discretos, incluyendo

antecedentes, formulación del método, rigidez de las barras, solución de la ecuación de

equilibrio, relación constitutiva e integración por diferencias finitas. Finalmente se exponen

las ecuaciones utilizadas para el modelado de la Ley Cohesiva Desacoplada y Acoplada.

En el capítulo 4 se efectúa el análisis y verificación de resultados. Se muestran los

resultados de las simulaciones numéricas de los ensayos de pushout y pullout utilizando

leyes cohesivas, para carga combinada, desacoplada y acoplada. Se analiza además la

influencia de la variación de tres parámetros adimensionales en un estudio paramétrico que

incluyen el coeficiente de fricción, la resistencia interfacial y la relación de módulos de

elasticidad.

Finalmente en el capítulo 5 se presentan las conclusiones obtenidas a través de la

investigación y se proponen algunas recomendaciones para trabajos futuros de investigación

vinculados al tema.

Claudia Morel


1.2 Mecánica de Fractura

La Mecánica de Fractura busca parámetros que caractericen la propensión a

extenderse de una fisura. Tal parámetro debería permitir relacionar los resultados de

laboratorio con el desempeño estructural, de tal manera que la respuesta de una estructura

con fisuración pueda ser predicha a partir de los datos de los ensayos de laboratorio. Si se

llama a tal parámetro la fuerza directriz de fisuración se debería poder determinar esa fuerza

como una función del comportamiento del material, tamaño de la fisura, geometría

estructural y condiciones de carga. Por otro lado, el valor crítico de este parámetro, el cual

se toma como una propiedad del material, debe ser determinado de los ensayos de

laboratorio. El valor crítico de dicha fuerza, conocida como tenacidad a la fractura (fracture

toughness), expresa la habilidad del material para resistir la fractura en presencia de fisuras.

Relacionando en una ecuación esta fuerza con la tenacidad a la fractura se obtiene una

relación entre carga aplicada, tamaño de la fisura y geometría estructural que brinda la

información necesaria para el diseño estructural.

Es entonces introducido en el diseño estructural un parámetro adicional del material,

la tenacidad a la fractura, mediante la metodología de la Mecánica de Fractura. Este

parámetro es usado para evaluar el potencial del material para resistir la fractura dentro del

marco de la Mecánica de Fractura, de la misma manera que la fluencia o la resistencia última

evalúa la resistencia del material a la fluencia o fractura en el criterio convencional de

diseño. En la selección de materiales para aplicaciones estructurales se debe elegir entre

materiales con una alta resistencia a la fluencia, pero comparativamente con baja tenacidad

a la fractura, por un lado, o con baja resistencia la fluencia pero con alta tenacidad a la

fractura por otro lado.

En la figura 1.1 se representan varias disciplinas (Broek, 1984), todas ellas están

involucradas en el desarrollo de los procedimientos de diseño de la Mecánica de Fractura. En

el extremo derecho de la escala se encuentra el análisis carga‐tensión ingenieril. La

mecánica aplicada provee los campos de tensión en el extremo de la fisura así como también

las deformaciones elásticas y plásticas (hasta cierto punto) del material en la vecindad de la

fisura. Las predicciones hechas sobre la resistencia a la fractura pueden ser verificadas

experimentalmente. La Ciencia de los Materiales se ocupa de los procesos de fractura en la

Claudia Morel


escala atómica. De la comprensión de estos procesos se podría obtener un criterio que

gobierne su crecimiento y fractura. Este criterio debe ser usado para predecir el

comportamiento de una fisura para un campo de tensión‐ deformación dado. Un

entendimiento de los procesos de fractura puede también proveer de parámetros

materiales de importancia para la resistencia a la fisuración; esto debe saberse si se van a

desarrollar materiales con mejor resistencia a la fisuración.

A fin de hacer un uso exitoso de la Mecánica de Fractura en aplicaciones ingenieriles

es esencial poseer algún conocimiento del campo total de la figura 1.1.

Figura 1.1: El amplio campo de la Mecánica de Fractura (Broek, 1984).

La fisura en un sólido puede ser tensionada en tres modos diferentes, como se ilustra

en la figura 1.2. Las tensiones normales dan origen al “modo de apertura” que se denota

como Modo I. Los desplazamientos de las superficies de la fisura son perpendiculares al

plano de la fisura. El corte en el plano resulta en un Modo II o “modo de cizallamiento”: el

desplazamiento de las superficies de la fisura se da en el plano de la fisura y perpendicular al

borde principal de la misma. El “modo de rasgado” o Modo III es causado por un corte fuera

del plano. Los desplazamientos de la superficie de la fisura se dan en el plano de la fisura y

paralelo al borde principal de la fisura. La superposición de los tres modos describe los casos

generales de fisuración.

Claudia Morel


Figura 1.2: Los tres modos de fisuración (Broek, 1984).

Resumiendo:

• Fractura Modo I – Modo de apertura (Se produce un esfuerzo tensional

perpendicular a la grieta)

• Fractura Modo II – Modo de cizallamiento (Esfuerzos tangenciales actúan paralelos a

las caras en la grieta pero en direcciones opuestas)

• Fractura Modo III – Modo de rasgado (Esfuerzos tangenciales que actúan paralelos

pero perpendiculares a la cara de la placa y opuestos entre sí)

Griffith (1921), (1924) con sus trabajos dio una sólida explicación del efecto del

tamaño de la fisura y forjó las fundaciones de la nueva teoría de fractura de los sólidos

(Gdoutos, 2005).

En este marco se puede notar que la predicción de la evolución de la falla es una

tarea difícil. Considerando el tamaño de la zona del proceso de falla, podemos establecer

una primera clasificación. Cuando esta es muy pequeña en comparación con todas las

medidas relevantes de un componente (incluyendo, el tamaño de la fisura), la zona del

proceso de falla es pequeña en comparación con el tamaño del campo de tensiones del

extremo cercano a la fisura (el conocido como zona K dominante). Luego la resistencia

puede ser predicha por la Mecánica de Fractura lineal elástica (MFLE en inglés LEFM). La

resistencia depende del tamaño de la falla crítica, y la fractura puede ser clasificada como

“frágil”. En contraposición, si el tamaño de la zona de proceso de falla es más grande que las

dimensiones relevantes del componente, la resistencia es dependiente solo débilmente del

Claudia Morel


tamaño de la falla y puede ser expresado en términos del criterio de tensión de falla. Este

comportamiento es llamado fractura “dúctil”. Para el caso intermedio donde la zona del

proceso de falla es comparable o más grande que algunas dimensiones de longitud (ej.

Tamaño de la fisura), la predicción de la resistencia requiere el modelado de la zona del

proceso de falla. Esto puede hacerse mediante la llamada ley cohesiva. La ley cohesiva es la

relación entre, σ, la tensión a lo largo de la zona de proceso de falla y su separación, δ,

durante un incremento monótono en δ. Es común suponer que la tensión cohesiva depende

solo de la apertura local, σ (δ), y que la apertura crítica, δc, existe más allá de donde la

tensión cohesiva se desvanece. El método de la ley cohesiva es particularmente atractivo

para modelar zonas de proceso de falla que son largas en una dimensión pero pequeñas en

la dirección perpendicular. Este tipo de zona es llamada a veces puenteado a gran escala

(large scale bridging, LSB).

Si bien el concepto de ley cohesiva se originó en los primeros años de la década del

60 del siglo pasado, el concepto ha ganado uso sólo en los últimos años. Ejemplos de

problemas que involucran zonas de proceso a gran escala que han sido analizados con los

modelos cohesivos son fisura por puenteado (crack bridging) en compuestos de matriz

cerámica y falla en estructuras de concreto. En conclusión para materiales que experimenten

zonas de proceso a gran escala, las leyes materiales tomadas como leyes constitutivas son

las leyes tensión‐deformación y las leyes cohesivas. Como se indica en la figura 1.3, estas

leyes materiales pueden ser obtenidas experimentalmente o por modelado micromecánico

(Sørensen & Jacobsen, 2003).

Figura 2.3: Ley cohesiva y tensión deformación, elementos clave

en el análisis de estructuras (Sørensen & Jacobsen, 2003).

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1.3 De la fabricación y procedencia de los materiales compuestos

Una de las aplicaciones más importantes de las leyes estudiadas dentro la Mecánica

de Fractura es en el área de los materiales compuestos: son aquellos que se componen de

dos materiales distintos, uno constituye la fase llamada matriz y el otro se halla en general

en forma de fibras dispersas dentro del otro material como refuerzo. Esta dualidad presenta

capacidades de aplicación avanzadas en la industria aeroespacial, automotriz, electrónica,

etc. En muchos casos el desempeño de los compuestos, materiales que surgen de la

incorporación de materiales más fuertes y más rígidos como refuerzo en matrices metálicas,

es superior en términos de mejoradas propiedades físicas, mecánicas y térmicas (módulo y

resistencia específica, estabilidad a alta temperatura, conductividad térmica).

Esta renovada calidad se hace evidente en la demanda dentro de la industria, que

requiere materiales que posean propiedades superiores a los de las aleaciones conocidas.

Ghosh (1993) menciona que específicamente los beneficios de los materiales

compuestos cuya matriz sea metálica incluyen:

• Incremento de la resistencia y rigidez por densidad unitaria, lo que

reduce el peso estructural y aumenta el desempeño.

• Una disminución en el coeficiente de expansión térmica lo que reduce

las deformaciones térmicas en estructuras sometidas a ciclos termales.

• Resistencia a la fluencia lenta aumentada, alta conductividad.

Para producir un material compuesto se pueden utilizar procesos en estado sólido o

procesos en estado líquido (Ghosh, 1993). Los procesos en estado sólido son los que

generalmente se utilizan pata obtener las más altas propiedades mecánicas, ya que los

efectos de segregación y la formación de productos de la reacción frágil son mínimos,

comparados con los procesos de estado líquido.

En este contexto se ha estudiado la reactividad interfacial. Hasta el momento no

existe un criterio establecido para optimizar la interface desde el punto de vista de las

propiedades del material compuesto, aunque ha habido gran progreso en la Mecánica de

Fractura de la interface y de la incidencia de las propiedades de la interface en las

propiedades del material compuesto.

Claudia Morel


La mejora en la interface de compuestos de matriz metálica ha sido en su mayoría

producto de diseños empíricos. La gran cantidad de variables y parámetros que deben ser

tenidos en cuenta explica las innumerables preguntas aún pendientes a resolver en esta

área.

Dos aspectos críticos en estudio son la identificación de los parámetros que vinculan

al desempeño del material compuesto con la interface estructural y energética y la

necesidad de entender el rango completo de estrategias disponibles para controlar estos

parámetros incluyendo el rol de la reacción química interfacial.

Un método para controlar las reacciones interfaciales (a veces costoso) es cubrir el

refuerzo con una barrera inerte para protegerlo durante el proceso de fabricación del

material compuesto.

Las deformaciones elásticas o tensiones que existen dentro de un material en estado

de equilibrio en la ausencia de cargas externas son llamadas tensiones residuales. Estas se

clasifican en tres grupos (Bourke, Goldstone, Stout, & Needleman, 1993). Tensiones Tipo I:

actúan en distancias milimétricas y son referidas como macroscópicas. Surgen de diferentes

tasas de enfriado dentro del espécimen que ha sido previamente soldado o fresado.

Aquellas que actúan en longitudes de la microestructura (típicamente 1 a 100 μm) son

llamadas tensiones residuales Tipo II. Interacciones intergranulares entre el refuerzo y la

matriz metálica típicamente resultan en tensiones Tipo II.

Aquellas tensiones que existen a escala atómica y varían sobre granos individuales

son descriptas como Tipo III.

Su control es importante ya que sus efectos asociados son disminución en la

resistencia a la fatiga, delaminado (ply delamination), distorsión de la forma y corrosión

acelerada. Propiedades mecánicas como la resistencia a la fluencia o la tenacidad a la

fractura pueden ser afectadas en la presencia de tensiones residuales.

1.4 Resistencia al Despegado (Debond Resistance)

Las variables energéticas que se utilizarán en este capítulo, son esencialmente las

mismas usadas por Irwin (1960) y Griffith (1921).

Las fisuras suelen producirse cuando una pieza ensayada está aún en estado elástico,

la deformación inelástica se localiza en capas finas debajo de las superficies de las fisuras.

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Teniendo en cuenta esto, se puede dividir la energía total suministrada por la carga aplicada

en (1) energía elástica guardada en la pieza y (2) el calor disipado por el flujo plástico y la

energía residual guardada en las capas que se forman debajo de la superficie de la fisura. De

(1) proviene la definición de la fuerza de despegado impulsora G, y de (2) proviene la

resistencia al despegado Γ. La idea esencial de Irwin y Griffith se muestra en la figura 1.4

(Zhigang Suo, 1993). Los procesos inelásticos tales como la separación atómica,

transformaciones de fase (phase transformations) y movimiento de dislocación (dislocation

motion), requieren altas tensiones para activarse, de esta manera son confinadas a una

región cerca de la punta de la fisura donde la tensión se intensifica.

A medida que el frente de la fisura se extiende, debajo de la superficie de la fisura se

desprenden finas capas en la estela en la cual los átomos han pasado movimientos

irreversibles. Los procesos cerca de la punta son complejos y su cuantificación requiere

conocimiento detallado de los mecanismos de deformación. Sin embargo, se logra un estado

de deformación uniforme a lo largo de la estela. Considere dos cilindros de sección

transversal unitaria normal a la interface, una lejos del frente de la fisura y otro más atrás

(B). Sea D el desplazamiento, F la fuerza aplicada y Γ la energía ocupada en transformar el

cilindro A al cilindro B. Esta energía depende de la historia de deformación que el cilindro B

ha pasado, incluyendo energía de superficie, disipación calórica y energía elástica (Zhigang

Suo, 1993).

La variación de energía total, tanto elástica como inelástica está dada por:

F.dD – G dA + Γ dA = 0 Ec. (1.1)

Cuando D se mantiene fijo no se aplica trabajo externo a la pieza ensayada y la

energía total permanece sin cambios de tal manera que

G = Γ Ec. (1.2)

La fuerza generadora G depende del tipo de ensayo y puede ser evaluada por un

análisis de tensión elástico. La resistencia a la fractura depende de los mecanismos

inelásticos. La ecuación 1.2 provee una conexión entre la condición de carga macroscópica

del ensayo y del proceso inelástico microscópico asociado con el despegado (debonding).

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Figura 1.4: Procesos inelásticos que acompañan el

despegado (Zhigang Suo, 1993).

La resistencia al despegado puede ser medida fenomenológicamente. Por ejemplo,

esto puede ser llevado a cabo usando el experimento de pushout (en español ensayo de

extracción de fibra por compresión) mostrado en la Figura 1.5. Este ensayo se describe con

más detalle en el capítulo 1.4.

La tensión requerida para llegar al despegado se mide, y se la puede utilizar para el

cálculo de la energía.

Figura 1.5: Esquema de ensayo de pushout en un material compuesto

(Lin, Geubelle, & Sottos, 2001).

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Esta metodología es puramente fenomenológica ‐ no se requiere conocimiento

detallado del proceso físico, ni tampoco se genera tal conocimiento. Sin embargo, la

cantidad clave, resistencia al despegado Γ, es medida y esto puede ser utilizado en el diseño

del dispositivo. La resistencia al despegado ha sido medida para una amplia gama de

materiales compuestos para aplicaciones a placas delgadas y compuestos fibra‐matriz

(Evans, Ruhle, Dalgleish, & Charalambides, 1990), (Cannon, Dalgleish, Dauskarft, & etal,

1992).

En principio, ensayos de cualquier geometría pueden ser usados para medir la

resistencia al despegado. Varias geometrías convenientes se esquematizan en la Figura 1.6.

Figura 1.6: Geometrías convenientes para medir la resistencia al

despegado (Zhigang Suo, 1993) .

Se ha observado experimentalmente que la resistencia al despegado depende de la

geometría del ensayo.

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Específicamente, la resistencia al despegado depende de la razón entre las cargas de

deslizamiento y normal parametrizadas por ψ:

Γ = Γ (ψ) Ec. (1.3)

La tendencia de la curva se muestra en la figura 1.6. La viga cantiléver doble es

predominantemente de modo en apertura (ψ ≈ 0º) y la resistencia al despegado medida es

baja. En el ensayo de pullout el corte es dominante (ψ ≈ 70º), dando una resistencia al

despegado alta. Los otros dos, la flexión en cuatro puntos y la microidentación, producen

cantidades casi iguales de apertura y corte (ψ ≈ 45º), son representativas de las condiciones

en la delaminación de placas delgadas y despegado fibra‐matriz.

La dependencia de Γ en la fase de carga puede ser entendida sobre la base de

mecanismos inelásticos. Por ejemplo, el ensayo de pullout es dominado por el corte y al

mismo tiempo la fricción se suma a la resistencia al despegado.

Este mecanismo ha sido examinado cuantitativamente por Hutchinson y Evans

(1989). En interfaces metal/cerámica, la carga corte dominante produce zonas plásticas más

owd, Stout, & Shih, 1992) . grandes que incrementan la resistencia al despegado (O’D

1.5 De los ensayos de Pullout y Pushout

Los ensayos de pushout y pullout (en español ensayos de extracción de fibra por

compresión y por tracción respectivamente) son los más frecuentemente utilizados para

obtener las propiedades interfaciales. El ensayo consiste en tirar o empujar una sola fibra

hacia fuera de la matriz que lo contiene. Se efectúa sobre una delgada porción de material

compuesto, midiendo la fuerza aplicada y el desplazamiento que se produce. La curva

tensión –desplazamiento obtenida durante el experimento se relaciona con la rigidez

interfacial modo II y el coeficiente de fricción entre la fibra y la matriz (suponiendo la fricción

de Coulomb) y ajustando los datos ya sea a una solución analítica o a una solución por otros

métodos de cálculo.

Cuando una fisura se propaga en un material compuesto en una dirección

perpendicular a la de las fibras de refuerzo, el proceso de falla es bastante complejo y

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típicamente implica fisuración de la matriz, despegado fibra‐matriz, extracción de la fibra y

rotura de la fibra. De estos cuatro mecanismos, el despegado fibra‐matriz y la extracción

friccional de la fibra son generalmente consideradas como las más importante fuente de

disipación de energía y por ello han sido el foco de la mayoría de los esfuerzos en las

investigaciones.

Para caracterizar mejor estos dos procesos de falla, varios investigadores han

conducido ensayos de pullout y pushout sobre un modelo de material compuesto (Fig. 1. 5)

utilizando un sistema de una sola fibra.

En estos ensayos la fibra se extrae o tira (pullout) o bien se empuja (pushout)

lentamente de la matriz circundante (Lin, Geubelle, & Sottos, 2001), (Bechel & Sottos,

1998b), midiéndose la carga aplicada y el desplazamiento de la fibra (Laughner, 1986),

(Netravali, 1989), (Brun & Singh, 1988), (Warren, 1992). Se mencionan los trabajos de otros

investigadores tales como Koss (1993), Eldridge (1995), Jero, Kerans (1990), Cordes (1995),

Mackin (1992) , Daniel (1993),Tsai y Kim (1991), (1996), Watson y Clyne (1992), Atkinson

(1982) que efectuaron ensayos mecánicos de pushout sobre materiales compuestos

utilizando distintas metodologías para medir estos parámetros.

Los parámetros de la interface, tales como la resistencia a la fractura y el coeficiente

de fricción, son extraídos de la evolución de la carga aplicada sobre la fibra (P) y el

desplazamiento resultante (Δp) y de las observaciones de la propagación del frente

despegado. Una curva fuerza‐desplazamiento típica obtenida de un ensayo de pushout se

muestra en la figura 1.7.

Figura 1.7: Curva carga‐desplazamiento típica obtenida

en ensayos de pushout (Lin, Geubelle, & Sottos, 2001)

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Esta curva también es conocida por otros nombres tales como curva carga‐

separación o carga‐desplazamiento.

En la etapa inicial (I) se mide una respuesta lineal correspondiente a una perfecta

adhesión fibra‐matriz. A medida que la carga se incrementa, surge una fisura desde la punta

del espécimen y empieza a propagarse al o largo de la interface, llevando a una relación no

lineal fuerza‐desplazamiento (II). El proceso de despegado es inicialmente estable, pero a

medida que la longitud de la fisura alcanza un valor crítico, el proceso de falla se vuelve

inestable y llega a un abrupto y completo despegado de la fibra de la matriz. Esta

inestabilidad es seguida por un deslizamiento friccional de la fibra fuera de la matriz

circundante (III).

La descripción mencionada es representativa de muchos experimentos, aún así debe

ser modificada en algunos casos para explicar las variaciones en el despegado y

deslizamiento. Por ejemplo, para un rango de sistemas materiales que poseen una gran

diferencia en sus rigideces, la fisura en vez de iniciarse desde la superficie superior del

espécimen, lo hace desde la parte inferior (Bechel V. , 1997), (Bechel & Sottos, 1998b),

(Bechel & Sottos, 1998c). Otro ejemplo concierne el tipo de despegado y el proceso de

deslizamiento, puede ser continuo a medida que se inicia la fisura desde un extremo de la

fibra y se expande progresivamente a lo largo de toda la longitud de la fibra (Bechel &

Sottos, 1998b), (Tsai, 1996) , o puede ser discontinua a medida que una zona de

deslizamiento en forma dislocada se propaga a lo largo de la interface fibra‐matriz de una

manera similar a las ondas de Schallamach (1971) observadas en materiales parecidos a la

goma que se deslizan sobre una superficie dura. Dependiendo de la rugosidad de la

superficie de la fibra y de la amplitud de las tensiones de compresión residuales que actúan

sobre la interface, el proceso de deslizamiento (III) puede ser continuo o supone un proceso

de punzamiento y deslizamiento.

Se han conducido varias investigaciones analíticas para interpretar estos

experimentos. Una de las propuestas más conocidas está basado en la teoría de “Shear Lag”

Shetty (1988), Hutchinson & Jensen, (1990). Esta proposición implica las siguientes

suposiciones: la carga axial actuante sobre la fibra es transmitida a la matriz únicamente a

través de tensiones de corte actuando sobre la interface, los efectos de superficie o de borde

son despreciados, la tensión radial de compresión (residual) se supone uniforme, y el frente

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del despegado se inicia desde la parte superior de la muestra, no desde la base. Aunque de

alguna manera restringido a estas suposiciones, el tratamiento analítico de los ensayo de

pullout y pushout tienen la ventaja de proveer una solución cerrada del problema,

permitiendo una rápida caracterización de los efectos de los muchos parámetros que entran

en el problema tales como la longitud de la fibra y radio, las tensiones residuales inherentes

al procesamiento, el coeficiente de fricción y la disparidad de módulos de la fibra y la matriz.

Sin embargo, como ha sido demostrado por Bechel & Sottos (1998b) y (1998), despreciando

estos efectos la teoría “shear‐lag” tiende a subestimar la longitud de despegado observada

en la segunda etapa del experimento y por lo tanto sobre‐predecir la resistencia a la fractura

de la interface. Aún así, esta teoría es en algunos casos fructuosa en extraer el coeficiente de

fricción de la parte inicial de la etapa III de la curva fuerza‐desplazamiento.

Otras técnicas analíticas han sido también utilizadas para verificar los experimentos

de pullout y pushout. Liang & Hutchinson (1993) utilizaron el método de los elementos

finitos para determinar el rango de validez del método Shear‐Lag. Kallas et al (1992) también

adoptaron el esquema de los elementos finitos para computar la distribución de tensiones

correspondiente al ensayo de pushout cuando la fibra y la matriz están completamente

adheridas. El mismo método numérico fue también usado por Beckert y Lauke (1995) y por

Chandra y Ananth (1995) para extraer propiedades de falla de la interface. Freund (1991)

resolvió la ecuación integral diferencial que gobierna la tensión axial en la fibra para estudiar

el deslizamiento de una fibra en un hoyo en un material elástico. En su simulación por

elementos finitos de una barra rígida extraída de una matriz elástica, Povirk y Needleman

(1993) usaron un modelo friccional dependiente de la tasa y estado para capturar el

deslizamiento friccional en forma dislocada de la fibra mencionado anteriormente. El efecto

de modelos de fricción más complejos es también el tópico de investigaciones analíticas

presentadas por Tsai y Kim (1996).

Mientras que la mayoría del trabajo analítico existente ha focalizado en el

deslizamiento friccional de la fibra despegada (etapa III), Lin et al (2001) procuran capturar la

falla progresiva de la interface fibra ‐matriz y el contacto friccional asociado de la nueva

superficie de fractura creada (etapa II). De manera distinta al método Shear –Lag, el método

usado en su trabajo captura las concentraciones de tensiones asociadas con efectos de

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borde y con el frente de fisura en avance. El método se puede aplicar tanto para problemas

de pullout como de pushout.

El método utilizado por Lin et al es una versión axisimétrica del sistema de elementos

finitos cohesivo/volumétrico (CVFE) que recientemente ha sido usado por varios

investigadores en el modelado de eventos de fractura cuasi‐estáticos y dinámicos que

impliquen la iniciación, propagación y/o detención de fisuras. Particularmente utilizan un

sistema CVFE que comprende un modelo cohesivo bilineal independiente de la tasa,

acoplado con el elemento de contacto friccional.

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Capítulo 2 Teoría

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Capítulo 2 Teoría

2 .1 Leyes cohesivas

Como se ha mencionado anteriormente, los materiales compuestos reforzados con

fibras han ganado protagonismo en estos últimos tiempos en el área de las aplicaciones

ingenieriles debido a que posee flexibilidad para obtener las propiedades mecánicas y

físicas deseadas en combinación con componentes livianos. Esta es la razón por la cual se

utilizan ampliamente en la industria aeroespacial y otras aplicaciones donde se requiera alta

resistencia y relaciones rigidez‐peso altas. En general estos materiales son usualmente

hechos de vidrio, grafito, boro, y otras fibras dentro de una matriz. La aplicación ingenieril de

estos materiales es importante porque son las aplicaciones las que determinan y dirigen en

general el foco de las investigaciones.

Modelar este tipo de materiales no es tarea fácil. Lo compuestos de fibra son

heterogéneos y poseen varios tipos de fallas inherentes. La falla de los compuestos de fibra

generalmente es precedida por una acumulación de diferentes tipos de daños internos. Los

mecanismos de falla a escala micromecánica incluyen quiebre de la fibra, fisuración de la

matriz, y despegado de la interface. Varían con el tipo de carga y están íntimamente

relacionadas con las propiedades de sus constituyentes, i.e. fibra, matriz e interface

(Gdoutos, 2005).

Los mecanismos básicos de fractura que influencian la respuesta constitutiva y la

Resistencia a la fractura de los compuestos fibra matriz pueden ser clasificados de manera

general en tres grupos (Needleman, Nutt, Suresh, & Tvergaard, 1993):

1. Falla por nucleación, crecimiento y fusión de vacios en la matriz,

2. Falla de la fibra

3. Despegado y fractura a lo largo de la interface entre la matriz y la fibra

El grado en el cual estos mecanismos de falla influencia individual y colectivamente la

resistencia general a la deformación y fractura es fuertemente dictaminada por factores tan

diversos como:

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1. El tamaño, forma, concentración y distribución espacial de la fibra.

2. La concentración de impurezas presentes en las fases constituyentes

de los compuestos.

3. La fabricación y los procedimientos de calor incluyendo tratamientos

de envejecimiento (aging treatments) a los cuales los compuestos están sujetos

anteriormente a la carga mecánica.

4. El ambiente térmico y químico en el cual las propiedades mecánicas

son evaluadas.

5. Los recubrimientos (coatings), si hubiera, aplicados al refuerzo con el

objetivo específico de modificar las características interfaciales.

La ley interfacial es la caracterización del comportamiento mecánico de la interface

fibra/matriz en la microescala en términos de algunas leyes mecánicas bien definidas. La

zona del proceso de falla en el extremo de la fisura interfacial se caracterizará en términos

de leyes cohesivas y el deslizamiento friccional se caracterizará en términos de leyes

friccionales, ver figura 2.1.

La ley interfacial representa la respuesta mecánica de la interface (química,

rugosidad de la superficie) conectando las superficies en la microescala. La ley compuesta se

usa en la macroescala para representar la interacción entre la fibra discreta, matriz y fisura

en un modelo continuo donde el compuesto es tratado como un continuo homogeneizado

anisótropo ( Risø National Laboratory, 2009).

Antes de que se forme la fisura física, las dos superficies están unidas por tracción

dentro de una zona cohesiva. La tracción varía en relación al desplazamiento relativo de las

superficies. Las leyes cohesivas describen las actividades en la zona cohesiva en términos de

la tracción y de la separación de las superficies que se forman bajo el proceso de fractura.

También se llama ley de tracción‐separación.

Barenblatt estableció el concepto de describir las actividades cohesivas antes de la

fractura en 1962.

Los modelos cohesivos más recientes son distintos al propuesto por Barenblatt en

que las tracciones son dependientes de la abertura y no de la distancia a la fisura (Brocks,

Cornec, & Scheider, 2003).

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Los primeros modelos fueron desarrollados para el modo I de fractura. Considera la

relación entre la tracción y la separación normales a la superficie de fractura y no se

considera la singularidad de tensiones en el extremo de la fisura.

Luego se extendieron para el modo II, en el cual se consideran la tracción tangencial y

la separación.

Las observaciones experimentales muestran características distintivas en

mecanismos de falla micromecánicos en despegado (peel) y corte, por ello se espera que el

comportamiento cohesivo sea dependiente del modo.

Needleman (1987) fue el primero en utilizar un modelo cohesivo por medio de los

Elementos finitos para el análisis de propagación de fisuras en materiales dúctiles. Hillerborg

(1976) aplicó el modelo de zona cohesiva a la fractura frágil usando el MEF por primera vez,

seguido por Petersson (1981) y Carpinteri (1986) entre otros.

Figura 2.1: Ley cohesiva a distintas escalas ( Risø National Laboratory, 2009)

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La separación del material y a su vez el daño de la estructura se describe mediante

elementos interfaciales, no se dañan elementos continuos en el modelo cohesivo. Usando

esta técnica el comportamiento del material se divide en dos partes, el continuo libre de

daños con una ley material arbitraria y las interfaces cohesivas entre los elementos

continuos, que especifican solo el daño del material.

Los elementos interfaciales se abren cuando ocurre el daño y pierden su rigidez en la

falla de tal manera que los elementos continuos se desconectan. Por esta razón la fisura se

puede propagar solo a lo largo de los bordes del elemento. Si la dirección de la propagación

de la fisura no se conoce de antemano la generación de la malla debe crear diferentes

caminos posibles para la fisura (Brocks, Cornec, & Scheider, 2003).

En aplicaciones numéricas, existen tres técnicas principales para modelar la capa

adhesiva (Högberg, 2006):

1. La capa adhesiva es modelada como una interface entre cuerpos conjuntos.

En este caso la ley cohesiva considera solo la energía de fractura intrínseca debido a la

separación. De esta forma el efecto debido al espesor de la capa es ignorado (Pantano &

Avrill, 2004).

2. La capa es modelada como un continuo elastoplástico con parámetros de

fractura. Esta técnica de modelado usa los parámetros materiales del adhesivo como un

material con volumen. La ley cohesiva está basada en las propiedades de fractura del

adhesivo voluminoso y el proceso de fractura se supone que inicia en una fisura introducida

en el adhesivo (Tvergaard & Hutchinson, 1996).

3. La capa es modelada como una interfase con un espesor. Se usa una ley

apa (Salomonsson, 2002 ). cohesiva que describe la respuesta macroscópica de la c

2.2 Clasificación de las leyes cohesivas.

La separación de las interfaces cohesivas se calcula a partir del “salto” en el

desplazamiento [u], i.e. la diferencia de los desplazamientos de los elementos continuos

adyacentes,

Δ = [u] = u+ ‐ u‐ Ec. 2.2

Claudia Morel


Esta es la expresión en coordenadas globales, pero se suele utilizar con mayor

frecuencia la expresión en coordenadas locales, distinguiendo la separación normal ΔΝ de la

separación tangencial ΔT. La separación depende de las tensiones normal y tangencial

respectivamente actuantes sobre la superficie de la interface. Cuando la componente

tangencial o normal de la separación alcanza un valor crítico, ΔCT o ΔC

N respectivamente el

elemento continuo inicialmente conectado por este elemento cohesivo se desconecta lo que

significa que el material en este punto ha fallado.

Para problemas tridimensionales, existen dos direcciones para la separación

tangencial, que se denotan como ΔT1 y ΔT2. Si se utilizan materiales isótropos esta distinción

no es necesaria. Se puede definir una separación tangencial por:

∆ ∆ ∆ ∆ Ec. 2.3

Además de la separación crítica ΔCT o ΔC

N, la tracción máxima (tensión en la superficie

del elemento continuo), Tmax, se usa como un parámetro de fractura, llamado resistencia

cohesiva. El valor de Tmax solo describe el valor máximo de la curva tracción‐separación T (δ)

en adelante denotada como ley cohesiva. Al igual que las separaciones, las tensiones T

pueden también actuar en una dirección normal y otra tangencial llevando a una fractura

normal o de corte respectivamente (Brocks, Cornec, & Scheider, 2003). La forma de la curva

T (δ) se supone que es una ley cohesiva independiente del material y es definida de diversas

formas por distintos autores. Común a todas ellas es:

• Contiene los dos parámetros materiales Tmax y δmax

• Para la falla total la tensión se hace cero T(δ>δmax) 0 tanto para la

separación normal como para la tangencial

La integración de la tracción a lo largo de la separación, ya sea en dirección normal o

tangencial, da la energía disipada por los elemento cohesivos, Γmax. Este tercer parámetro

puede ser determinado por:

Γ Ec. 2.4

Claudia Morel


Si los dos modos de separación, normal y tangencial, ocurren simultáneamente existe

una influencia de la separación normal sobre las tracciones tangenciales y viceversa. La

descripción de este caso, se lo denomina como “modo combinado” (mixed mode).

Para analizar procesos de fractura de modo combinado (i.e.: se tienen en cuenta

tanto esfuerzos tangenciales como normales a la superficie) se pueden utilizar dos

aproximaciones:

(a) mediante una ley cohesiva acoplada, o

(b) una ley cohesiva desacoplada.

La tracción normal de una ley cohesiva desacoplada es independiente de la

separación tangencial y la tracción tangencial es independiente de la separación normal.

En una ley acoplada, ambas tracciones dependen tanto del desplazamiento normal

como del tangencial.

Las leyes cohesivas desacopladas se utilizan cuando el proceso de despegado ocurre

bajo un modo‐normal (modo I) o tangencial (modo II) – o cuando uno de ellos es

predominante sobre el otro. Ejemplos de aplicación de leyes desacopladas son el modelado

de “crazing” en polímeros (Tijssens, Van der Giessen, & Sluys, 2000) y fractura de

compuestos de cemento (Tijssens, Sluys, & Van der Giessen, 2001).

Hanson et al. (2004) utilizaron una ley cohesiva lineal desacoplada para analizar el

despegado en modo I de una estructura adherida en forma de sándwich. Li et al. (2005),

usaron una ley rígido‐lineal para predecir la fractura de compuestos de matriz polimérica

bajo cargas de modo I. El modelado del daño por fatiga en interconexiones de soldadura fue

efectuado con una ley cohesiva desacoplada por Abdul‐Baqi et al. (2005).

Högberg (2006) menciona una posible configuración para esta aproximación. En la

figura 2.2 se muestran las leyes teóricas para el modo I (normal) y modo II (corte) en forma

desacoplada. Esta aproximación fue utilizada por Thouless (2006) para simular la carga mixta

sobre una capa de adhesivo. Las relaciones tensión‐separación en modo I (normal) y modo II

(corte) se suponen desacopladas bajo estados de carga mixta. Este modelo ha probado tener

una buena capacidad para capturar las propiedades esenciales de las juntas adhesivas.

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Figura 2.2: Ley cohesiva desacoplada utilizada por Thouless et al (2006)

Figura 2.3: Ley cohesiva acoplada de

Tvergaard y Hutchinson (1992)

La mayoría de las leyes cohesivas poseen un acoplamiento (parcial) entre las

direcciones normal y tangencial. Existen dos maneras de lograr este acoplamiento:

(1) haciendo uso de un desplazamiento efectivo y/o

(2) usando parámetros de acoplamiento, que se define a continuación.

Una ley cohesiva acoplada utilizada muy frecuentemente es la desarrollada por

Tvergaard y Hutchinson (1992). Esta ley utiliza un parámetro adimensional de separación

para acoplar ambos modos:

∆ /∆ ∆ /∆ Ec. 2.5

Las tracciones se incrementan hasta alcanzar una meseta y luego disminuyen

linealmente hasta la fractura como puede verse en la figura 2.3. Esta ley cohesiva modela el

proceso de fractura intrínseco dentro de un material o a lo largo de la interface de dos

sólidos.

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Dado que el modelo cohesivo es un modelo fenomenológico, no hay evidencia sobre

la forma que debe tomar la ley cohesiva T (δ). De esta manera la ley cohesiva debe

suponerse independiente de un material específico como modelo para el proceso de

separación. Muchos autores toman su propia formulación para la dependencia de la tracción

de la separación.

Como se ha dicho, las zonas cohesivas proyectan todos los mecanismos dentro y

alrededor del extremo de una fisura en la interface, llevando a una relación constitutiva, o

ley de la zona cohesiva, entre la tracción y el desplazamiento de la abertura. Existen una

gran variedad de leyes cohesivas. La mayoría de ellas pueden ser categorizadas en los

siguientes grupos (Bosch van den, Schreurs, & Geers, 2006):

a) Leyes cohesivas polinomiales (Tvergaard, 1990)

b) Leyes cohesivas lineales fragmentadas o trapezoidal (Tvergaard & Hutchinson,

1992))

c) Leyes cohesivas exponenciales (Needleman A. , 1987), (Needleman A. , 1997))

d) Leyes cohesivas rígido‐lineales, también llamada bilineal o lineal decreciente

(Geubelle & Baylor, 1998)

Estas leyes se dibujan esquemáticamente en la figura 2.4. En la línea superior la

tracción normal está dada como una función de la abertura normal y en la inferior la tracción

tangencial como una función de la abertura tangencial.

Se describe a continuación, algunas de las ecuaciones características

correspondientes a las leyes cohesivas de esta clasificación.

La relación de la ecuación 2.5 se introdujo en Tvergaard (1990) junto con la ley

cohesiva polinomial, figura 2.4 (a). Needleman (1987) utilizó una función polinomial de

tercer grado para materiales dúctiles, para modo normal puro, y fue ampliada por

Tvergaard, (1990) para carga mixta. Es una de las leyes cohesivas más utilizadas, ej.

Chaboche, Girard y Levasseaur (1997).

Las tracciones toman la forma general:

1 Ec. 2.6

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Otra función, basada en la función de energía de unión atómica universal propuesta

por Rose et al (1981) es la función exponencial, que se utilizó como ley cohesiva desde

Needleman (1990):

Ec. 2.7

Con e = exp (1) y z= 16e/9: la forma de de esta función se muestra en la figura 2.4 (c).

Una característica especial de estos modelos es que la tracción no se aproxima a cero en δ =

δmax. De hecho la tracción en este punto es todavía T (δ = δmax) = 0.105. El factor z se elige de

tal manera que la energía cohesiva Γmax en δ=δmax sea la misma que para el modelo

caracterizado por la ecuación 2.6.

El modelo exponencial es utilizado por varios autores tanto para materiales dúctiles

(Siegmund & Brocks, 1998) como para materiales frágiles (Xu & Needleman, 1993).

Otra ley cohesiva se ha establecido para materiales frágiles como el hormigón y las

rocas, de forma puramente decreciente o también llamada rígido‐lineal fue propuesta por

Hilleborg et al (1976):

Figura 2.4: Cuatro grandes grupos de leyes cohesivas

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1 Ec. 2.8

Contrariamente a las ecuaciones 2.6 y 2.7 esta función también utilizada por

Camacho y Ortiz (1996) que se muestra en la figura 2.4 (d), comienza con una rigidez infinita

hasta la tensión máxima Tmax.

Existen muchas leyes de separación similares con rigidez inicial infinita como la que

se muestra en la figura 2.4 (d), por ejemplo con un tensión constante al principio de la

separación, Guinea et al (1994), con una descripción bilineal; o con una ley de

ablandamiento (softening) no lineal, Bažant ( 1993). La tracción normal no es una función de

la separación tangencial y la tracción tangencial no es controlada por la separación normal.

Esto implica que la interface solo puede fallar debido a la separación en la dirección normal.

Una ley cohesiva más versátil es propuesta por Schieder (2000), la cual satisface los

siguientes requerimientos

1. La rigidez inicial del elemento cohesivo puede ser variado

2. se puede definir una región, donde la tracción en el elemento cohesivo

se mantiene constante

3. La curva debe ser diferenciable por razones numéricas

Esto se logró mediante el uso de dos parámetros adicionales δ1 y δ2 , ver figuras 2.3 y

2.4 (b), llevando a una formulación de la función T (δ):

2 1

2 3 1

Ec. 2.9

Usando δ1 = δ2 =0.33 δmax la curva es muy similar a la ecuación 2.6 y la rama de

ablandamiento es de hecho idéntica. Esta ley es similar a la ley cohesiva multilineal

propuesta por Tvergaard & Hutchinson (1992), quienes también introdujeron dos

parámetros adicionales, ver figuras 2.3 y 2.4 (b), con el requerimiento de que la curva sea

diferenciable. La función para las tracciones está dada por

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1

Ec. 2.10

Esta ley cohesiva también ha sido usada por ejemplo por Roy Chowdhury al (2000). et

Un caso especial de las ecuaciones 2.9 y 2.10 se obtiene para δ1 0, δ2 0, que da

una tensión constante desde el principio hasta el final de la falla del elemento, y es

usualmente llamada ley cohesiva rectangular, (Yuan & Cornec, 1991), (Lin, Kim, Cornec, &

Schwalbe, 1998).

Elices et al (2002), establecieron que la forma de la ley cohesiva depende de la clase

de materiales en consideración. Los autores afirman que la ley cohesiva no debería poseer

una rama de endurecimiento inicial ya que solo los elementos continuos y no los elementos

cohesivos se suponen afectados por el comportamiento global de la estructura.

En una etapa inicial todos los modelos están basados en un modo I puro bajo carga

monótona solamente. Se han hecho muchos progresos en el desarrollo para la aplicación a

carga combinada, dependencia en el tiempo, interacción de carga combinada normal y

tangencial.

2.3 Modelo Cohesivo para carga combinada.

Todos los modelos cohesivos pueden ser usados para separación normal, separación

tangencia y para cargas combinadas. Algunos modelos usan los tres parámetros (TN, max,

δNmax y un parámetro de interacción llamado α o q) otros usan dos pares de parámetros

independientes para la separación material tangencial y normal, TN, max, δNmax, TTmax, δTmax.

Al combinarse fractura normal y por corte el daño por corte reducirá la ductilidad en la

dirección normal y viceversa:

TN = fN (δN, δT), TT = fT (δN, δT) Ec. 2.11

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La interacción de la separación normal y de corte puede ser descripta por una

variable de daño Da, que se define como:

⁄ Ec. 2.12

Con un parámetro adicional ρ, véase (Scheider, 2000). Los corchetes de Macauley se

usan para indicar que el efecto de δN de desvanece bajo compresión. Para ρ = 2 y δNmax =

δTmax = δmax, la variable de daño en la ecuación 2.12 es igual al valor normalizado absoluto de

la separación, y ∞ define una interacción de desvanecimiento entre las

separaciones.

Introduciendo Da, las funciones en la ecuación 2.11 puede ser escrita como:

TN = fN (δN, Da), TT = fT (δT, Da) Ec. 2.13

La ley cohesiva polinomial, ecuación 2.6, puede ser extendida para la separación

combinada de corte y normal (Tvergaard, 1990). Cuatro parámetros independientes de la

separación material y ρ =2 dan:

/ //

/1 Ec. 2.14

Un enfoque similar se usa para la ley cohesiva propuesta por Tvergaard y Hutchinson

(1993) , que es una extensión de la ecuación 2.10 usando la definición de daño de la

ecuación 2.12 con ρ = 2 y tres parámetros TN, max, δNmax, y Tmax mas dos parámetros de

forma Da1 y Da2, describiendo la forma de la ley cohesiva. Las tracciones se calculan por:

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1

1 Ec. 2.15

Que puede descomponerse en una parte tangencial y otra normal:

, Ec. 2.16

La extensión de la ley cohesiva exponencial para separación combinada corte y

normal usa una formulación modificada en la cual δmax es la separación para la tracción

máxima normal TN (δmax) = Tmax:

TN T exp N N exp T 1 q 1 exp T N

TT 2T eq T 1 N exp N exp T

Ec. 2.17

Ver (Xu & Needleman, 1993) . La ley cohesiva exponencial tiene solo tres parámetros

TN, δN, y q (0 1 . Para q =1, las energías de separación para modo normal puro y

tangencial puro son iguales, q = 0.4289 da la misma tensión máxima para ambos modos de

fractura. La máxima tracción tangencial bajo corte puro (δN = 0), TTmax, se alcanza para

/√2 , independiente de q.

EL valor de TTmax en si mismo depende de q. Es TTmax = 2.33 Tmax.q

Otra separación acoplada normal y tangencial es presentada por Camacho & Ortiz

(1996) a través de valores efectivos de separación y tracción, en la cual se da distinto peso a

los componentes de separación mediante un factor β:

Ec. 2.18

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La tracción efectiva es definida de manera similar. Con estos valores efectivos y

, todas las leyes cohesivas presentadas en esta sección pueden ser aplicadas para cargas

mixtas llevando a una formulación con tres parámetros Tmax, δmax y β.

El modelo cohesivo puede ser visto como una herramienta flexible, versátil y robusta

para simulaciones computacionales de localización de daño, separación material hasta la

falla estructural. Dado su carácter fenomenológico, el modelo se ajusta a diferentes tipos de

materiales y fenómenos de falla. Puede ser aplicado al análisis de estructuras ingenieriles

macroscópicas así como a microestructuras heterogéneas (Brocks, Cornec, & Scheider,

2003).

Sus ventajas son:

• La relación cohesiva puede ser vista como una ley material, y los parámetros

respectivos caracterizan las propiedades materiales respecto al daño y fractura

independientemente de la geometría.

• En principio no existen problemas para transferir los parámetros de fractura de

especímenes pequeños a componentes mayores como sucede con el enfoque clásico de la

Mecánica de Fractura macroscópica.

• Al confiar la enucleación, propagación, ramificación y otros aspectos del

comportamiento de la fractura de los materiales a una ley cohesiva maestra, la cantidad de

fenomenología es considerablemente menor comparada con otras teorías de distribución de

daño.

• Se puede simular el proceso de separación, daño y fractura a diferentes escalas de

longitud.

• Los modelos cohesivos dotan a los materiales con una longitud característica, a

diferencia de las teorías de daño, la ley cohesiva presenta una energía de fractura definida,

lo cual elimina la dependencia del mallado utilizado, de tal manera que las soluciones por

elementos finitos alcanzan una convergencia apropiada en el límite del desvanecimiento del

tamaño de la malla.

Entre sus desventajas se puede mencionar:

• En una ley cohesiva tanto σmax como G es difícil de hacer dependiente del estado

triaxial de tensiones en la punta de la fisura.

• Otra desventaja es que el camino de la fisura debe ser predefinido.

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Capítulo 3 Implementación

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Capítulo 3 Implementación

3.1 Introducción

Para efectuar las simulaciones numéricas de los ensayos, se ha utilizado un programa

codificado en lenguaje FORTRAN, denominado “Pulloutr”. Modificado por Ricardo Barrios

D'Ambra y Hector Cóceres, su objeto es calcular tensiones, deformaciones y energía

disipada, de una pieza tridimensional consistente en una matriz prismática que contiene una

fibra del mismo u otro material, sometida a un ensayo de extracción de fibra por tracción o

compresión o en inglés pullout y pushout respectivamente.

Fue el objetivo de esta Tesis complementar este programa adicionando una ley

cohesiva de interface fibra /matriz.

La implementación de estos conceptos al programa se efectuó agregando a la

codificación una subrutina que calculara estas tensiones y las pusiera de manifiesto en el

output del programa. La subrutina se acopló a la rutina principal de cálculo de solicitaciones

en las barras que unen fibra con matriz.

En primera instancia se codificó una ley cohesiva desacoplada, i.e., esfuerzo de corte

desacoplado del esfuerzo normal. Luego se codificó una ley cohesiva acoplada para el cálculo

de estos dos esfuerzos, tomando como referencia las ecuaciones propuestas por Högberg

(2006) y Lin et al (2001).

Elementos Discretos DEM 3.2 Método de los

3.2.1 Antecedentes

El término método de los elementos discretos (sus siglas MED, en inglés discrete

element method, DEM ) es una familia de métodos numéricos para calcular el movimiento

de un gran número de partículas como moléculas o granos de arena. El método fue

originalmente utilizado por Peter Cundall en 1971, a problemas de mecánica de rocas. La

base teórica del método fue detallado por Williams, Hocking y Mustoe en 1985 quienes

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demostraron que el MED podía ser visto como un método de los elementos finitos

generalizado. Sus aplicaciones a problemas geomecánicos es descrita en el libro Numerical

Modeling in Rock Mechanics, de Pande, G., Beer, G. y Williams, J.R (1990) Las ramas de la

familia del MED son el distinct element method de Cundall en 1971, el Método generalizado

de los elementos discretos propuesto por Hocking, Williams y Mustoe en 1985, el análisis de

deformación discontinuo (DDA) propuesto por Shi en 1988 y el Método de los elementos

finitos‐discreto propuesto por Munjiza y Owen en 2004.

Las características de la formulación del Método de los Elementos Discretos (DEM)

utilizada en el presente trabajo fueron presentadas y propuestas originalmente por Nayfeh y

Hefzy (1978). En la misma se sustituía una estructura reticulada espacial por un continuo

equivalente, para reducir el número de grados de libertad y a su vez el esfuerzo

computacional.

El modelo de discretización a emplear fue desarrollado por Hayashi (1982) y

verificado también por Rocha (1989) e Iturrioz (1995). Como referencia de trabajos en Brasil

y Argentina se pueden citar los realizados por Riera (1980), (1984), impacto en hormigón

armado, procesos de fractura en hormigón y hormigón armado (Riera & Iturrioz, 1998),

simulación del comportamiento de suelos frente a cargas explosivas (Iturrioz & Riera, 2001),

problemas de impacto en materiales compuestos poliméricos y fenómenos de fractura por

impacto en polímeros (Barrios D'Ambra, Iturrioz, Fasce, Frontini, & P., 2002) (Barrios

D'Ambra, Iturrioz, Fasce, Frontini, & A.P., 2003), determinación de parámetros

fractomecánicos (Tech, Batista, Iturrioz, & Cisilino, 2003), aplicaciones en Mecánica de

Fractura estática y dinámica (Kosteski, Barrios D'Ambra, Iturrioz, Fasce, Frontini, & Cisilino,

2004), (Kosteski, Cóceres, Barrios D'Ambra, Iturrioz, & Cisilino, 2006) , (Barrios D'Ambra,

Iturrioz, Cóceres, & Kosteski, 2006).

3.2.2 Formulación del método

El MED consiste esencialmente en la discretización espacial del continuo por medio

de un reticulado espacial formado por la repetición del módulo regular. Las rigideces de las

barras que componen el reticulado son equivalentes al del continuo que se quiere

representar. Como se consideran barras de reticulado espacial, por cada nudo se tienen tres

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grados de libertad. La masa del modelo es discretizada y concentrada en los nodos de

reticulado espacial mencionado.

La figura 3.1 muestra el arreglo cúbico básico o módulo. Este módulo está compuesto

de ocho nodos en sus vértices más un nodo central.

Figura 3.1 : a) Detalle del módulo cúbico básico. b) Prisma

comp

3.2.3 Rigidez de las Barras

uesto por varios módulos cúbicos.

El arreglo cúbico es equivalente a un sólido elástico ortótropo dentro del campo de la

elasticidad lineal, según fue verificado por Hayashi (1982). Sólo se establece una restricción

al valor del módulo de Poisson, ν que debe ser igual a 0,25 para que la equivalencia entre

ambos sea la deseada, es decir que el material se comporte como isótropo. Para otros

valores de ν se producen pequeñas diferencias en los términos de corte, que pueden

despreciarse cuando se está estudiando la respuesta no lineal del modelo.

Las constantes elásticas de un sólido y las rigideces equivalentes de las barras para el

módulo cúbico básico presentado en la Figura 3.1 se basan en primera instancia en la

relación constitutiva de un cuerpo elástico arbitrario. Utilizando notación indicial:

σi =Cij. εj (i,j =1 … 6) Ec. 3.1

Un cuerpo anisótropo y elástico posee una matriz de constantes elásticas, Cij, definida

por 21 parámetros independientes. Si el material es isótropo, es posible expresar la matriz Cij

en función de dos constantes independientes, con lo cual quedaría expresada de la siguiente

manera:

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0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

Ec. 3.2

Donde C11, C12, C44 son funciones del módulo de elasticidad longitudinal E y del

coeficiente de Poisson ν.

Dado que se están analizando estructuras reticuladas a partir de elementos

unidireccionales, es de esperar que cada elemento contribuya a la rigidez global de la

estructura, y que la suma de las contribuciones medias de cada barra forme la matriz final.

Se define Q11 como una propiedad unidireccional efectiva, que es el valor medio

ponderado con relación al área de influencia de la barra en un determinado conjunto de

barras paralelas, siendo su valor función de la separación entre las mismas.

El elemento cúbico de la figura 3.1 posee dos valores para Q11, uno que corresponde

a las columnas que son normales a las caras del cubo, y otro correspondiente a las barras

diagonales. Estas propiedades serán diferenciadas respectivamente por Qn11 y Q

d11.

Para una estructura cúbica el valor del parámetro Qn11 puede ser fácilmente

determinado proyectando el área de las barras en una cara del cubo. Entonces en cada cara

del módulo cúbico de área Le2 se tiene una contribución de dos barras normales enteras. De

esta forma, cada elemento tiene un área efectiva de contribución igual a (Le2/2). Por eso, la

relación entre la rigidez de la barra EAn y el área efectiva de contribución de la misma

provee el valor medio de una propiedad unidireccional efectiva en la dirección de las barras

normales a las caras del módulo, Qn11:

Q11n =

E.An

Le2 2⁄ Ec. 3.3

En forma similar se procede para obtener el valor medio de la propiedad

unidireccional en la dirección de las barras diagonales en relación a las caras del módulo

cúbico, Qd11. Se debe también, determinar el área efectiva de contribución de cada diagonal.

Luego, Qd11 está dado por la expresión:

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Q11d = √

. . Ec. 3.4

Las constantes elásticas E, ν y λ pueden ser obtenidas para el modelo empleado en

este trabajo, a partir de los correspondientes Cij de la expresión anterior, de las que se

obtiene:

2.

Ec. 3.5

12

Como lo que interesa es obtener las rigideces de las barras (E An) y (E Ad) en función

de las propiedades elásticas del sólido que representa, E, ν, efectuando los reemplazos

convenientes obtenemos:

..

. . .. .

. Ec. 3.6

. . . .√

Estas expresiones son válidas si el módulo o arreglo básico de barras es cúbico. Para

una célula básica de forma diferente, se deben obtener nuevas relaciones. Bush et al. (1977)

y Noor y Mikulas (1988) citados por Hayashi (1982) e Iturrioz (1995) presentan estas

relaciones para tetraedros, en cuanto otros autores proponen realizar el cálculo de las

rigideces de las barras directamente por calibración numérica. Schlangen (1993) realizó una

revisión bibliográfica de varios tipos de arreglos utilizados en el modelado de estructuras de

hormigón.

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Ostoja_Starzenski (1995) también presenta el cálculo de propiedades equivalentes de

células tetraédricas. barras para el caso en que existe ortotropía utilizando

3.2.4 Solución de la ecuación de equilibrio

Como se vio en las secciones anteriores, el medio continuo fue representado por

medio de un sistema discreto tridimensional de n grados de libertad. El problema consiste

ahora en obtener la respuesta para un estado de cargas arbitrario. La ecuación del

movimiento del sistema está dada por la expresión:

. . 0 Ec. 3.7

Donde x representa el vector de desplazamientos nodales, M la matriz de masa nodal

(diagonal), C es una matriz de amortiguamiento, también considerada diagonal, y

representa la diferencia entre el vector de fuerzas internas y el vector de fuerzas

externa . Se considera que estas fuerzas actúan sobre los nudos del modelo.

Para cada nodo i del modelo se verifica que:

∑ Ec. 3.8

Siendo k el número de barras que concurren al nudo i. La fuerza interna en cada

barra, , es obtenida a partir de una ecuación constitutiva elemental, que se puede

expresar como sigue:

, Ec. 3.9

εb y ε’b representan la deformación y la velocidad de deformación de la barra b, y ,

será una función que dependerá del tipo de material a modelar (relación constitutiva).

Para a la matriz de amortiguamiento C, se adoptó la hipótesis simplificativa de

considerar el amortiguamiento proporcional a la masa M.

C = M . Df Ec. 3.10

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Siendo Df una constante vinculada al coeficiente de amortiguamiento crítico ξn.

Df = ξn.2.π.fn Ec. 3.11

Donde fn es la frecuencia natural de vibración de modo n (Hz). En general, el modo n

se adopta igual al modo fundamental de vibración de la estructura (Iturrioz, 1995).

Para la integración en el tiempo de la ecuación de equilibrio 3‐7, se utiliza un

esquema de integración explícita, en el que los desplazamientos y sus derivadas son

expresados en términos de los valores obtenidos en pasos anteriores. Se utiliza el método de

diferencias finitas centrales, con el objeto de obtener la respuesta más detallada posible, y

porque presenta la ventaja de no necesitar el ensamblado de la matriz de rigidez global,

además de la facilidad de su implementación computacional para problemas con no

linealidad física y geométrica.

3.2.5 Relación constitutiva del elemento De acuerdo con los principios de la MFLE, cuando el factor crítico de intensidad de

tensiones es alcanzado en el algún punto del material (en las proximidades de algún defecto

inherente a su constitución) ocurre la propagación inestable de una fisura, causando la

rotura del mismo. Durante el proceso de propagación, se consume una cierta cantidad de

energía, que es función del área de la fractura formada. Este consumo debe estar

representado por una relación constitutiva que describa el comportamiento del material en

la fase posterior a la fractura.

Si se tiene en cuenta que el material en estudio tiene comportamiento frágil, puede

aplicarse la mecánica lineal de fractura. El factor de intensidad de tensiones para el modo de

falla I (KI), puede ser escrito como:

KI = χ. ft . √ Ec. 3.12

donde χ es un parámetro que depende de la geometría del problema, y ft es una

tensión de control crítica.

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Considerando el comportamiento lineal hasta la rotura (ft = εp . E) y estado plano de

deformaciones, la deformación crítica estará dada por:

Ec. 3.13

donde:

Ec. 3.14

Rfc es un "factor de falla" definido como:

Ec. 3.15

La relación entre εp y Gf fue establecida como criterio de falla a tracción y su

deducción está basada en la Mecánica de Fractura lineal elástica (Rocha, 1989).

A partir de estos conceptos, la relación constitutiva que utiliza el Método de los

Elementos Discretos, es la implementada por Rocha (1989), quien propuso una ley

constitutiva bilineal para los elementos de barra del modelo, lo que permite describir el

comportamiento de los materiales hasta la rotura. Esta relación se representa en la figura

3.2.

Figura 3.2: Relación Constitutiva Elemental de las barras del reticulado ‐ a) Diagrama

constitutivo adoptado con sus parámetros de control; b) Esquema para la carga y descarga.

(Rocha, 1989).

En la figura 3.2, los símbolos utilizados significan lo siguiente:

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F: fuerza axial resultante de la barra, función de la deformación ε, y Pcr es el valor de

la carga crítica asociada a la εp.

• εp: deformación crítica de rotura. Es la deformación a partir de la cual

una microfisura se inestabiliza y se propaga.

• EA: rigidez axial de las barras normales y diagonales del modelo

reticulado, obtenidas a partir de las constantes del material.

• kr: ductilidad, parámetro que permite calcular la deformación para la

cual la barra deja de transmitir esfuerzos de tracción.

• Le: longitud de las barras normales.

• Af: área de influencia de la barra. Es decir, el área transversal formada

con su rotura. Se puede calcular como: Af=cte.Le2, donde cte es un coeficiente

propio del modelo cúbico.

• Gf: energía específica de fractura. Es la energía consumida por unidad

de área de fractura formada.

Es importante destacar que Pcr, εp, E, Gf, y Rf son propiedades exclusivas del material;

Af y Le son propiedades exclusivas del modelo; y EA y kr dependen tanto del modelo como del

material.

Además, el modelo presenta una limitación en la definición de Le, que es la siguiente:

Cuando un elemento rompe, toda la energía de deformación acumulada en él se

consume en el proceso de fractura. Esto no es lo que sucede en realidad, pues parte de la

energía de deformación se preserva bajo la forma de energía cinética (vibraciones inducidas)

y energía elástica, en las dos partes en las que el elemento se divide. Como no es posible

tener en cuenta esta subdivisión para un elemento aislado (porque las masas están

concentradas en los nudos, y no a lo largo de su longitud), esto resulta en una restricción al

valor máximo para la longitud Le.

Claudia Morel

3.2.6 Integración por diferencias finitas

La solución de la ecuación del movimiento (Ecuación 3.7), se realiza por medio de un

método explícito, con integración numérica por diferencia finitas centrales. Esto permite

realizar un balance energético durante todo el proceso, y constituye una información de

gran utilidad para comprender los fenómenos estudiados.

La integración explícita no requiere del montaje de la matriz de rigidez global del

sistema. Esto es especialmente conveniente para el análisis dinámico no lineal, en donde en

cada paso de integración en el tiempo la matriz de rigidez debe ser modificada (Riera, 1980).

Una característica inherente al esquema explícito de integración es la de permitir integrar

aun sistemas hipostáticos, ya que la rigidez solo entra en la construcción del vector de cargas

independiente en cada paso de tiempo. Esto facilita el estudio de estructuras que no estén

totalmente vinculadas, como por ejemplo, seguir la trayectoria de los fragmentos en que se

rompe una estructura.

Debido a la utilización de un método de integración explícita en la integración de las

ecuaciones de movimiento, el intervalo de tiempo Δt se ve restringido, por condiciones de

estabilidad numérica, a un valor crítico Δtcrítico. El método de las diferencias finitas centrales

presenta el menor intervalo crítico en comparación con los otros métodos explícitos. Para

este modelo se ha adoptado un Δtcrítico en función de la longitud de las barras (Le) y de la

velocidad de propagación de la onda de compresión Vp:

Δ í 0,6. Ec. 3.16

Donde Vp es la velocidad de las ondas principales o de compresión “P”.

El proceso de integración básicamente consiste en:

• Dada una configuración deformada en el instante j

• Se obtienen las fuerzas internas, en esta configuración, en el instante j.

• Conocidas las otras fuerzas actuantes en el instante j

• Se determina la configuración deformada en el instante j+1.


Claudia Morel

3.3 Modelado de la Ley Cohesiva 3.3.1 Ley Cohesiva Desacoplada

Para el modelado de la ley cohesiva desacoplada se han utilizado las siguientes

formas para la ley cohesiva, véase figuras 3.3 y 3.4.


Figura 3.3: Ley cohesiva desacoplada. Fuerza de

corte TT versus separación por corte ΔT para ΔN= 0.

Un diagrama multilineal entre carga vs. desplazamiento, establece las relaciones

entre las tracciones y deformaciones de la interface. Los esfuerzos y las separaciones no se

hallan normalizados respecto de los valores críticos. No se establece relación entre los

esfuerzos normal y tangencial. Estos trabajan de manera independiente entre sí.

Figura 3.4: Fuerza Normal TN versus

separación por apertura ΔN para ΔT= 0.

Claudia Morel


Las ecuaciones que establecen las relaciones entre fuerza y desplazamiento surgen

directamente de la forma de la gráfica de la ley cohesiva, a través de simples relaciones

trigonométricas.

3.3.2 Ley Cohesiva Acoplada

El modelo de zona cohesiva consiste en una relación constitutiva entre las tracciones

T actuantes en la interface y la correspondiente separación interfacial Δ (salto en el

desplazamiento entre las caras de la interface). Lin et al (2001) usaron un modelo de falla

cohesivo intrínseco en el cual a medida que la interface se separa, la magnitud de T se

incrementa, alcanza un valor máximo y luego decae progresivamente a cero mientras ocurre

la separación completa. Lin (2001) modificó en su estudio el modelo de falla cohesivo

bilineal de Geubelle y Baylor (1998) para tener en cuenta el contacto friccional entre las

superficies de fractura creadas. Se hace la suposición de que el deslizamiento friccional

obedece la ley friccional de Coulomb (con un coeficiente de fricción μ), produciendo una

relación entre las tracciones cohesivas o interfaciales normales (TN) y tangenciales (TT,

también llamada tracción de corte) y los saltos de desplazamientos o separaciones normal

(ΔN) y tangencial (ΔT):

Para δN > 0

11

Ec. 3.17

∆∆

11

∆∆

Ec. 3.18

Para δN = 0

∆∆

11

∆∆

∆ | | | |

Ec. 3.19

Claudia Morel


En el último caso, la tracción normal de un lado al otro de la interface es calculada

por un algoritmo de contacto para hacer cumplir la condición δN = 0.

En las ecuaciones 3.17 a 3.19, δN, δT y δ denotan los incrementos adimensionales

totales en el desplazamiento normal, tangencial y total respectivamente, definido por:

∆∆,

∆∆

, Ec. 3.20

Donde ΔC

N y ΔCT son las separaciones críticas normal y tangencial para las cuales se

supone la separación completa.

La variación de las componentes de tracción normal y tangencial respecto a ΔN y ΔT

que corresponden a abertura pura (ΔT = 0) y separación por corte puro (ΔN=0) se muestran

en las figuras 3.5 a y b. El máximo valor de TN es σmax y ocurre cuando ΔN = δmax. ΔCN. EL

máximo valor de |TT| es τmax dado por

∆ ∆⁄ Ec. 3.21

Y se logra a |∆T|= δmax. ΔCT.

El proceso de falla observado en el ensayo de pushout es casi exclusivamente de

corte e implica una contribución casi insignificante del modo de apertura (normal).

Como se puede ver de las ecuaciones 3.17 a 3.19 la respuesta en cada punto a lo

largo de la interface es caracterizada por cuatro parámetros: δmax, σmax, ΔCN y ΔC

T. El número

de parámetros puede ser reducido a tres ya que los resultados son prácticamente

insensibles a δmax mientras la rigidez de los elementos de la interface sea mayor que la de los

elementos rodean al volumen.

En resumen, la interface es discretizada en una serie de elementos interfaciales,

referidos como elementos cohesivos. Previamente al despegado interfacial, las ecuaciones

3.17 a 3.19 se usan para describir la evolución de las tracciones normal y tangencial

actuante a lo largo de los elementos de la interface par a los cuales ΔN > 0 y la evolución de

las componentes de tracción tangencial donde los elementos cohesivos superficiales están

en contacto (ΔN = 0).

Claudia Morel


Para prevenir la interpenetración de elementos pertenecientes a la matriz y los

correspondientes a la fibra, se utilizó una ley de contacto fibra‐matriz.

A efectos comparativos se usaron los lineamientos dados por Högberg (2006) como

modelo para el cálculo de las tensiones en la interface. Este modelo se tomó como base de

estudio para posteriores trabajos de investigación, en los cuales el ensayo de la medición de

la fuerza cohesiva entre dos materiales tenga una geometría que produzca

preponderantemente esfuerzos del tipo normal y en menor medida esfuerzos de corte. Tal

es el caso del modelo de ensayo descripto en la Norma ASTM D 3807‐98 (94) (2004), en el

cual se prescribe el método para ensayar las propiedades de resistencia de adhesivos bajo

cargas de tracción.

La deformación normal se normaliza con la separación crítica normal δN y la

deformación tangencial con la separación crítica tangencial δT, al igual que en la ecuación

3.20.

Las tracciones se normalizan con la resistencia en sus respectivos modos, del mismo

modo que en el modelo anterior:

, Ec. 3.22

Figura 3.5: Ley cohesiva. (a) Tracción Normal TN como función de la separación normal δN para δT=

0; (b) Tracción de corte TT versus separación por corte δT para δN= 0. Las curvas continuas y de puntos corresponden a falla por corte cohesivo para contacto friccional y no friccional

respectivamente.

Claudia Morel


Todas las deformaciones y tensiones adimensionales varían en el rango de 0 a 1. Se

define un parámetro llamado θ, combinación de modos (mode mixity) que es la razón de las

deformaciones adimensionales normal y tangencial:

tan Ec. 3.23

El modo I puro es equivalente a θ = π/2, y el modo II puro corresponde a θ = 0. Las

deformaciones en modo I y modo II se acoplan mediante una medida de deformación

adimensional δ, igual al ya definido en la ecuación 3.20. El comportamiento de

ablandamiento (softening) de la capa adhesiva comienza cuando δ = δp, el cual está dado

por:

Ec. 3.24

Donde ∆ ∆⁄ y ∆ ∆⁄ son las separaciones normalizadas de

ablandamiento en modo I y II, respectivamente.

Para cada combinación de modos, θ, en el rango de 0 a π/2, existe una tracción, S, en

relación a la medida de deformación, δ, definida por:

,

0

1

0 1

Ec. 3.25

Claudia Morel


Capítulo 4 Análisis y Verificación

4.1 Simulación numérica del ensayo Pullout

Este estudio comienza teniendo como plataforma la codificación del programa

“Pulloutr”, ya explicado en el capítulo anterior. Este programa se utiliza para obtener

información sobre desplazamientos y tensiones de una pieza tridimensional que contenga

una sola fibra del mismo u otro material que el de la matriz, sometida a un ensayo de pullout

o pushout. En la interface fibra matriz, se colocó un modelo de ley cohesiva o interfacial. Las

dimensiones características se muestran en la figura 4.1, donde

M = cantidad de nudos en la dirección X

L = cantidad de nudos en la dirección Z

N = cantidad de nudos en la dirección Y (Altura del prisma)

Mini, Mfin (nudo de inicio y fin de la fibra en dirección X)

Lini, Lfin (nudo de inicio y fin de la fibra en dirección Z)

Nini, Nfin (nudo de inicio y fin de la fibra en dirección Y) (long. de la fibra)

Nfin puede ser mayor que N para que la fibra sobresalga respecto de la matriz

Nini puede ser =1 en ese caso la fibra llega hasta el borde inferior de la matriz

RS= radio límite del apoyo de la matriz

Δp= desplazamiento prescripto aplicado a la fibra en un tiempo t

P= fuerza resultante de la aplicación de Δp

Em= Módulo de elasticidad de la matriz

Ef= Módulo de elasticidad de la fibra

Claudia Morel


Se han tomado como parámetro de comparación los ensayos efectuados por Lin et al

(2001) mediante MEF (método de elementos finitos) y se han adoptado dimensiones

similares a las adoptadas por el mencionado investigador, tratando que el perímetro de

ambas superficies de contacto lateral sean similares. El modelo utilizado por Lin es cilíndrico

y el análisis numérico es bidimensional, bajo condiciones de simetría radial. El modelo

utilizado en el presente trabajo es tridimensional y prismático. Dado que la comparación

entre los dos trabajos se realiza utilizando parámetros no geométricos esta diferencia puede

ser desconsiderada. Además, al ser la ley cohesiva un modelo fenomenológico que utiliza

como variable preponderante los desplazamientos, se pretende estudiar hasta que punto

ejerce su influencia esta diferencia.

Se adoptaron para la fibra y la matriz las siguientes propiedades: Ef =2500 N/mm2;

Em =4000 N/mm2, con un coeficiente de Poisson de 0,25 para ambos materiales y un

coeficiente de fricción de 0,52. La fibra está compuesta por material poliéster y la matriz por

un material epoxy, para más características de los materiales, ver la bibliografía citada,

(Bechel & Sottos, 1998b).

La simulación reproduce y analiza un prisma tridimensional. La fibra posee igual

longitud que la matriz que lo contiene (N), y se aplica sobre ella un desplazamiento

prescripto Δp. Este desplazamiento se aplica sobre el extremo superior de la misma en el

sentido positivo del eje “Y”, para obtener un ensayo de pullout. La malla está compuesta por

8372 nodos en total, para una malla cuya longitud de modulo cúbico es igual a 0,5 mm. La

superficie de contacto Fibra‐Matriz posee 192 nodos.

Matriz

Fibra

N

x

M

Mini-MfinP

y

RS

Δ P

LC

E m

Ef

x

z

L

M

Mini-Mfin

Lini-Lfin

RS

Matriz Fibra

E m

Ef

Figura 4.1: Esquema del modelo para ensayo pullout y pushout

Claudia Morel


En cuanto a los parámetros de resistencia para la ley cohesiva, se adoptó una

separación crítica y ΔCT = ΔC

N = 0,01 mm, tanto para la dirección normal como la tangencial.

La resistencia cohesiva se tomo igual a σmax= τmax = 11 MPa para esfuerzo de tracción en la

fibra. Al elegir valores idénticos para estas variables, se reduce el número de incógnitas del

problema, y como ya se ha mencionado antes, estos valores se adoptan con igual criterio

elegido por (Lin, Geubelle, & Sottos, 2001) a efectos comparativos.

Las dimensiones en los ejes “X”, “Y” y “Z”, se denominan M, N y L respectivamente.

Los nodos iniciales y finales de la fibra se denominan Mini y Mfin en el sentido “X” y Lini y

Lfin en el sentido “Z”. M = L = 9mm; N =5.5mm, RS =1.6 mm; Lado de la Fibra=2 mm.

En la figura 4.2, se muestra la malla deformada, esta gráfica se ha efectuado

utilizando el software ANSYS como post‐procesador.

4.1.1 Modelo de Ley Cohesiva con Carga Combinada Desacoplada

Como ya se ha mencionado en el capítulo 2, para analizar procesos de fractura de

modo combinado (i.e.: se tienen en cuenta tanto esfuerzos tangenciales como normales a la

superficie) se pueden utilizar dos aproximaciones:

1

X

Y

Z

time= 9.999999999997715E-004

SEP 11 200911:32:24

ELEMENTS

UF

Figura 4.2: Malla deformada

Claudia Morel


(a) mediante una ley cohesiva acoplada, o

(b) una ley cohesiva desacoplada.

La tracción normal de una ley cohesiva desacoplada es independiente de la

separación tangencial y la tracción tangencial es independiente de la separación normal. Las

leyes cohesivas desacopladas se utilizan cuando el proceso de despegado ocurre bajo un

modo‐normal (modo I) o tangencial (modo II) – o cuando uno de ellos es predominante

sobre el otro. En el ensayo de pullout, el esfuerzo de corte es predominante respecto del

esfuerzo normal.

En la figura 4.3 se puede observar la relación fuerza P sobre el cabezal de la fibra /

desplazamiento de la fibra.

Los resultados muestran, tal como lo describe la bibliografía citada (Bechel & Sottos,

1998b), (Lin, Geubelle, & Sottos, 2001), una primer parte lineal, un pico de tensión máxima,

al que le sigue una parte no lineal y finalmente un descenso brusco al que prosigue el

esfuerzo friccional. Se decidió denominar al modelo de ley cohesiva con carga combinada

desacoplada como Modelo 3, tanto para el ensayo de pullout como de pushout, para

diferenciarlo de los modelos de ley cohesiva acoplados, y de los resultados con los cuales se

compara.

En las figuras 4.3 y 4.4, se comparan los resultados utilizando el Modelo 3 con los

obtenidos por Lin et al mediante simulación por MEF.

La gráfica carga‐desplazamiento, figura 4.3, muestra que las cargas obtenidas con el

Modelo 3, son superiores a las obtenidas por Lin et al, excepto en la fase III de la curva. La

fase II de la curva (ver capitulo 1, de esta tesis) correspondiente al comportamiento no

lineal posee un desarrollo similar al de Lin et al, extendiéndose hasta una separación de

aproximadamente 0,6 mm. La fase III de la curva, correspondiente a la parte friccional,

posee una carga inferior a la obtenida por Lin et al.

La gráfica longitud despegada/desplazamiento, figura 4.4, muestra valores similares

entre el Modelo 3 y los resultados de Lin et al, para los 1,5 y 4 mm de longitud despegada. El

Modelo 3 inicia el despegado en un valor de desplazamiento superior al de Lin et al y

también levemente superior a partir de los 4 mm de longitud despegada.

Claudia Morel


Figura 4.3: Comparación de resultados para ley cohesiva desacoplada para ensayo de pullout,

carga vs. Desplazamiento con los ensayos obtenidos por Lin et al mediante MEF

Figura 4.4: Comparación de resultados para ley cohesiva desacoplada para ensayo de pullout, longitud despegada vs. Desplazamiento de la fibra, con los ensayos obtenidos por Lin et al

mediante MEF

Claudia Morel


4.1.2. Modelo de Ley Cohesiva con Carga Mixta Acoplada

En una primera instancia se tomó como modelo base para la codificación de la ley

cohesiva, las ecuaciones propuestas por Lin et al, al cual se denominará a partir de este

momento como Modelo 1. En este modelo se simplifican varias incógnitas del problema al

tomarse iguales los parámetros de tensión máxima para el esfuerzo normal y el esfuerzo de

corte y las separaciones máximas en la dirección normal y en la dirección tangencial.

Luego, se planteó la necesidad de contar con un modelo de ley cohesiva que

permitiera que los parámetros característicos del material pudieran ser distintos, para poder

aplicarlo a una variedad de ensayos de medición de la fuerza cohesiva. De esta manera, se

tomo como alternativa el modelo propuesto por Högberg, al cual se denominará como

Modelo 2.

Finalmente, habiendo adaptado ambos modelos a los requerimientos del MED, se

obtuvieron los siguientes resultados, que en las figuras 4.5 y 4.6 se comparan con los

obtenidos por Lin et al mediante simulación por MEF y con resultados experimentales

obtenidos por Bechel & Sottos (1998b).

Se observa en la gráfica carga‐desplazamiento, figura 4.5, que los resultados

obtenidos con el Modelo 2 arrojan valores mayores de tensión máxima que el Modelo 1 y

que los resultados obtenidos por Lin et al en su simulación por MEF. La fase II de la curva del

Modelo 2 es similar en extensión que la correspondiente a la curva obtenida por Lin et al. En

la curva correspondiente al Modelo 1, esta parte posee menor desarrollo llegando hasta un

valor de aproximadamente 0,5 mm. En cuanto a la parte friccional, o fase II de la curva, los

Modelos 1 y 2 poseen valores de carga casi idénticos pero menores a los obtenidos por Lin et

al.

En la figura 4.6, se puede observar que la curva correspondiente al Modelo 2 se

aproxima más a los valores de separación de despegado obtenidos por Lin et al, que el

Modelo 1. Los Modelos 1 y 2 tienen una longitud despegada crítica cercana a los 4 mm, un

poco superior a los 3.7 mm indicados por Lin et al.

Claudia Morel


Figura 4.5: Diagrama carga‐desplazamiento para los modelos de ley Cohesiva 1 y 2

comparados con los resultados obtenidos por Lin et al para un ensayo de pullout.

Figura 4.6: Diagrama longitud despegada‐desplazamiento para los modelos de ley Cohesiva 1

y 2 comparados con los resultados obtenidos por Lin et al para un ensayo de pullout.

Claudia Morel


4 .1.3 Estudio paramétrico de los ensayos de Pullout.

Habiendo comparado los resultados obtenidos, de los Modelos de Leyes Cohesivas 1

y 2, se decidió adoptar como modelo para efectuar un estudio paramétrico el Modelo 2.

Muchos parámetros son los que intervienen en el comportamiento de la separación

interface fibra‐matriz. El análisis dimensional identifica varios grupos adimensionales (Lin,

Geubelle, & Sottos, 2001). Entre ellos se optó por estudiar algunos parámetros no

geométricos, para facilitar la comparación entre los resultados.

En una primera fase se eligió el coeficiente de fricción (μ), luego la resistencia

interfacial (σmax) y por último la relación de módulos de elasticidad de fibra y matriz (Ef/Em).

A menos que se especifique de otra manera, los otros parámetros usados en los modelos

son los mismos.

4.1.3.1 Coeficiente de Fricción μ

Uno de los parámetros que afectan el comportamiento de la falla de la interface

fibra‐matriz es el coeficiente de fricción. En la figura 4.7 se muestra la curva carga‐

desplazamiento para tres valores distintos de coeficiente de fricción μ: 0,32; 0,52 y 0,72. En

los ensayos de pullout, la variación del coeficiente de fricción no ha mostrado poseer una

influencia importante, como se ve en la figura 4.7. Un incremento en el coeficiente de

fricción no retrasa el despegado de la interface. No existe una marcada diferencia en el

comienzo de la parte inestable.

La longitud despegada versus desplazamiento de la fibra se muestra en la figura 4.8.

Puede notarse que el aumento del coeficiente de fricción, tiene poca influencia tanto en el

inicio del proceso de falla, que comienza con un despegado inestable de aproximadamente

0,1 mm para todos los casos, como en la parte inestable de la falla, que comienza entre los

3,5 mm y los 4 mm.

Claudia Morel



aplicada‐desplazamiento en un ensayo de pullout.


longitud despegada en un ensayo de pullout.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)

Desplazamiento de la fibra (mm)

μ = 0,32

μ = 0,52

μ = 0,72

0

1

2

3

4

5

6

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

desp

egad

a (m

m)

Desplazamiento de la Fibra (mm)

μ = 0,32

μ = 0,52

μ = 0,72

Claudia Morel 4. 1.3.2 Resistencia interfacial

El aumento de la resistencia interfacial aumenta la carga máxima obtenida antes de

la propagación final inestable de la fisura, como puede verse en la figura 4.9. Se tomaron

como valores de prueba, los valores σmax = 9 ; σmax = 11 y σmax = 12 (MPa). Puede notarse un

leve retardo en el comienzo de la fase II (falla inestable) y un leve aumento en la capacidad

de carga. La carga correspondiente a la fase III de la curva, deslizamiento friccional, no se ve

afectado por el aumento en la resistencia interfacial y la pendiente de la curva carga versus

desplazamiento es la misma en los tres casos.

En la figura 4.10 se observa un retraso en la longitud despegada pero a su vez

manteniendo una misma pendiente entre el despegado inestable inicial y la falla inestable

final.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)


σ = 9

σ = 11

σ = 12

Figura 4.9: Efecto de la variación de la resistencia interfacial σ max (MPa) sobre la

curva carga‐desplazamiento para el ensayo de pullout.


Claudia Morel


Figura 4.10: Efecto de la variación de la resistencia interfacial σ max (MPa) sobre

la evolución de la longitud despegada para el ensayo de pullout

4.1.3.3 Relación de módulos de elasticidad

El efecto que tiene la variación de este parámetro puede observarse en las figuras

4.11 y 4.12. Se tomaron como valores de prueba, los valores Ef/Em = 0,625 ; Ef/Em = 2;

Ef/Em = 3 y Ef/Em = 6. Los resultados experimentales (Bechel & Sottos, 1998b), indican que

la relación de módulos de elasticidad (Ef/Em) tiene un efecto significativo sobre el

mecanismos de falla del compuesto, en especial con respecto a la forma del despegado. La

fibra puede despegarse comenzando desde su parte superior (top debonding) o desde su

parte inferior (bottom debonding), a lo que se llamará a partir de ahora como despegarse

desde arriba o despegarse desde abajo.

La fuerza aplicada P crece a medida que crece la razón Ef/Em, ver figura 4.11.

En la gráfica longitud despegada‐desplazamiento de la fibra, figura 4.12, se observa

que a medida que crece la razón Ef/Em crece también la velocidad con que se despegan los

distintos puntos de la fibra que se separan comenzando desde arriba en dirección hacia

abajo, a lo largo de la fibra. No se obtuvo para el ensayo de pullout, con los materiales

adoptados y las razones Ef/Em analizadas, un despegado que iniciara desde abajo.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

des

pega

da (

mm

)


σ = 9

σ = 11

σ = 12

Claudia Morel


Figura 4.11: Efecto de la razón de módulos Ef/Em sobre la curva carga‐desplazamiento para el

ensayo de pullout

Figura 4.12: Efecto de la razón de módulos Ef/Em sobre la evolución de la longitud despegada

para el ensayo de pullout

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)


EF/EM 0,625

EF/EM 2,000

EF/EM 3,000

EF/EM 6,000

0

1

2

3

4

5

6

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

desp

egad

a (m

m)


EF/EM 0,625

EF/EM 2,000

EF/EM 3,000

EF/EM 6,000

Claudia Morel

4.2 Simulación numérica del ensayo Pushout

En esta sección se muestran los resultados obtenidos utilizando los modelos de ley

cohesiva descriptos en capítulos anteriores para el ensayo de pushout. El esquema del

ensayo es el mismo que se representa en la figura 4.1, pero en este caso el desplazamiento

prescripto Δp, se aplica sobre el extremo superior de la fibra en el sentido negativo del eje

“Y”, para obtener un ensayo de pushout. Las dimensiones del modelo son las ya descriptas

en el capítulo 4.1, al igual que las propiedades del material. En cuanto a los parámetros de

resistencia para la ley cohesiva, se adoptó una separación crítica y ΔCT = ΔC

N = 0,01 mm,

tanto para la dirección normal como la tangencial. La resistencia cohesiva se tomo igual a

σmax=τmax = 16 MPa para esfuerzo de compresión sobre la fibra.

4.2.1 Modelo de Ley Cohesiva con Carga Combinada Desacoplada

En el ensayo de pushout la ley cohesiva desacoplada (Modelo 3) se aproxima a los

datos experimentales y a los resultados obtenidos por Lin et al mediante MEF, como puede

verse en las figuras 4.13 y 4.14.

Figura 4.13: Carga vs. desplazamiento para Modelo 3 comparado con


datos experimentales y ensayos obtenidos por Lin et al (pushout)

Claudia Morel


Figura 4.14: Comparación de la curva longitud despegada vs. desplazamiento

entre Modelo 3, datos experimentales y resultados de Lin et al, para el

ensayo de pushout

Estos resultados muestran al Modelo 3 como un modelo de ley cohesiva viable para

ser utilizado en aquellos ensayos donde se sepa de antemano que un esfuerzo es

preponderante del resto de otros esfuerzos, como sucede en los ensayos de pullout y

pushout, donde el esfuerzo de corte es preponderante respecto del esfuerzo normal.

Dado que se busca un modelo más general, que se pueda utilizar en otros

experimentos que sirvan para medir la fuerza cohesiva y que difiera de las características

mencionadas anteriormente, se limita el uso de esta ley cohesiva solo a este tipo de

ensayos.

4.2.2 Modelo de Ley Cohesiva con Carga Combinada Acoplada

Al igual que en el capítulo 4.1.2, se hace una comparación de resultados entre datos

experimentales, resultados obtenidos por Lin et al mediante MEF y resultados obtenidos con

los Modelos de Leyes Cohesivas 1 y 2, definidas anteriormente.

En la figura 4.15, se observa que nuevamente el Modelo 2 se ajusta mejor a los datos

experimentales. Modelos 1 y 2 presentan una fase friccional con una carga menor a la

Claudia Morel


obtenida por Lin et al mediante MEF. También se observa que si bien se muestra una caída

de tensión abrupta, es más suavizada que la correspondiente a los datos experimentales.

Existe una diferencia entre los valores de separación para los cuales inicia el

despegado en el Modelo 1 y en el Modelo 2, figura 4.16, pero ambos poseen valores

menores a los correspondientes a Lin et al, y este a su vez es menor que los resultados

dados por los datos experimentales. La semejanza que se da en todos los modelos, es en la

longitud de la fisura que precede a la falla inestable, que en todos los casos se halla

alrededor de los 3,8 mm.

Figura 4.15: Diagrama carga‐desplazamiento para Modelos 1 y 2, resultados

experimentales y resultados obtenidos por Lin et al, para un ensayo de pushout.

Claudia Morel


Figura 4.16: Diagrama longitud despegada‐desplazamiento de la fibra para

Modelos 1 y 2, resultados experimentales y resultados obtenidos por Lin et al

para un ensayo de pushout.

4.2.3 Estudio paramétrico de los ensayos de Pushout.

Al igual que en el capítulo 4.1.3, se efectúa un estudio paramétrico de las variables μ,

σmax y Ef/Em utilizando como ley cohesiva o interfacial al Modelo 2, pero en este caso sobre

un ensayo de pushout.

4.2.3.1 Coeficiente de Fricción μ

La variación del coeficiente de fricción influye de manera evidente y marcada en el

ensayo de pushout, aumentando la carga a aplicar sobre el modelo de material compuesto y

la capacidad de deformación del espécimen, retrasando el proceso de falla como puede

verse en la figura 4.17. En todos los casos se observa que el despegado comienza desde la

parte superior de la fibra, por lo que no se considera que tenga un efecto significativo sobre

la forma del despegado. Se tomaron como valores de prueba, los valores μ = 0,32; μ = 0,52 y

μ = 0,72.

Claudia Morel


La longitud despegada vs. desplazamiento de la fibra se muestra en la figura 4.18. Un

incremento en el coeficiente de fricción retrasa el despegado de la interface. El inicio del

despegado se asocia con una longitud de extracción de aproximadamente 1 mm (despegado

inestable) para todos los casos. Se observa que el coeficiente de fricción retarda la falla

inestable final aumentando la capacidad de carga del espécimen, pero no existe una

marcada diferencia en el comienzo de la parte inestable. Sin embargo no parece afectar el

valor de la longitud de fisura a la cual ocurre la falla inestable, que en todos los casos se da

para una longitud despegada de entre 3,5 y 4 mm.


aplicada‐desplazamiento en un ensayo de pushout.

0

100

200

300

400

500

600

700

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)


μ = 0,32

μ = 0,52

μ = 0,72

Claudia Morel


Figura 4.18: Influencia de la variación del coeficiente de fricción μ sobre la evolución

de la longitud despegada en un ensayo de pushout.

4.2.3.2 Resistencia interfacial

En las figuras 4.19 Y 4.20 puede observarse el efecto del aumento de la resistencia

interfacial en el proceso de falla para un ensayo de pushout. Se tomaron como valores de

prueba, los valores σmax = 12 ; σmax = 16 y σmax = 24 (MPa). Puede notarse un leve retardo en

el comienzo de la fase II (falla inestable) y un aumento en la capacidad de carga, ver figura

4.19. La carga correspondiente a la fase III de la curva, deslizamiento friccional, no se ve

afectado por el aumento en la resistencia interfacial y la pendiente de la curva carga versus

desplazamiento es la misma en los tres casos.

En la figura 4.20 se observa un retraso en la longitud despegada pero a su vez

manteniendo una misma pendiente entre el despegado inestable inicial y la falla inestable

final. La longitud para la cual inicia la falla inestable final en los tres casos es cercana a los 4

mm.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

Des

pega

da (

mm

)


μ = 0,32

μ = 0,52

μ = 0,72

Claudia Morel



curva carga‐desplazamiento para el ensayo de pushout


evolución de la longitud despegada para el ensayo de pushout

0

100

200

300

400

500

600

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)


σ = 12σ = 16σ = 24

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

desp

egad

a (m

m)


σ = 12σ = 16σ = 24

Claudia Morel 4.2.3.3 Relación de módulos de elasticidad

El efecto que tiene la variación de este parámetro puede observarse en las figuras

4.21 y 4.22. Se tomaron como valores de prueba, los valores Ef/Em = 0,625; Ef/Em = 2; Ef/Em

= 3 y Ef/Em = 6. De la misma manera que en los ensayos de pullout, la fuerza aplicada P

crece a medida que crece la razón Ef/Em, figura 4.21.

La evolución de la longitud despegada, figura 4.22, muestra que a medida que crece

la razón Ef/Em crece también la velocidad con que se despegan los distintos puntos de la

fibra. El proceso de generación de la fisura hasta una relación de Ef/Em = 3, comienza desde

arriba en dirección hacia abajo, a lo largo de la fibra.

Entre las razones de 3 y 6, hay una transición en el modo de despegado: se registran

fisuras que se generan comenzando desde la parte superior de la fibra, como iniciando

desde la parte inferior de la fibra.

Para relaciones Ef/Em mayores a 6 el despegado comienza indefectiblemente desde

la parte inferior de la fibra, extendiéndose en dirección hacia arriba, hasta la falla completa.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)


EF/EM = 0,625EF/EM = 2EF/EM = 3EF/EM = 6

Figura 4.21: Efecto de la razón de módulos Ef/Em sobre la curva carga‐desplazamiento

para el ensayo de pushout


Claudia Morel



despegada para el ensayo de pushout

Finalmente se muestran a continuación diversas gráficas de los resultados de las

tensiones obtenidas en el ensayo de pushout, utilizando el sofware ANSYS como post‐

procesador.

En la figura 4.23 puede verse una secuencia de imágenes de la simulación de un

ensayo de pushout para μ = 0,52, σmax = 16 y Ef/Em = 0,625. Puede observarse como el

despegado se inicia desde la parte superior de la fibra continuando hacia abajo.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

desp

egad

a (m

m)


EF/EM = 0,625EF/EM = 2EF/EM = 3EF/EM = 6

Claudia Morel


Figura 4.23. Secuencia de imágenes: Vista en perspectiva y en corte transversal de las tensiones principales

En la figura 4.24 se muestra para el mismo ejemplar de la figura 4.23, una vista

también en perspectiva de un corte transversal de la gráfica de las isosuperficies de las

tensiones principales.

En la figura 4.25 se puede apreciar en perspectiva y en corte transversal, el estado de

tensiones de corte en el plano “XY”.

Claudia Morel


Fig. 4.24. Vista en perspectiva y en corte transversal de las isosuperficies de tensiones principales

Fig. 4.25 Corte transversal de tensiones de corte en el plano XY

Claudia Morel


Capítulo 5 Conclusiones

Claudia Morel


Capítulo 5 Conclusiones

Conclusiones y Trabajos Futuros

Como parte de los objetivos propuestos en el plan de trabajo de la presente Tesis, se

han utilizado dos modelos de leyes cohesivas o interfaciales para carga combinada, una

desacoplada y otra acoplada, para caracterizar el comportamiento de la superficie de unión

entre dos materiales mediante la aplicación del Método de los Elementos Discretos, MED.

Estos modelos se han aplicado a la simulación de ensayos de pushout y pullout sobre

un modelo de material compuesto (poliéster/epoxy) prismático con doble simetría de una

sola fibra.

Con el fin de establecer un ejemplo de comparación, se tomaron como referencia los

resultados obtenidos por Bechel y Sottos (Bechel & Sottos, 1998b) y Lin et al (2001).

Se eligió como modelo definitivo el Modelo 2, ley cohesiva acoplada de forma

multilineal, basada en las ecuaciones utilizadas por Högberg (2006), con la adición del

modelado del esfuerzo por rozamiento que obedece a la ley friccional de Coulomb, basado a

su vez en las ecuaciones del trabajo propuesto por Lin et al (2001). Su elección se debe a que

es el modelo que presenta el mejor ajuste a los resultados experimentales.

El modelo de ley cohesiva con carga combinada desacoplada ha mostrado resultados

muy aproximados a los datos experimentales. Sin embargo se limita su uso a los casos en los

que el ensayo para medir la fuerza interfacial, uno de los esfuerzos sea preponderante

respecto del otro (ej. modo II es más importante que el modo I). Tal es el caso de los ensayos

de pushout y pullout, donde el esfuerzo de corte es preponderante respecto del esfuerzo

normal. No se ha probado su eficacia en otro tipo de ensayos de medición de fuerza

cohesiva, por lo que se propone su evaluación para futuras investigaciones.

En cuanto a la ley cohesiva con carga combinada acoplada, los ensayos de pullout

arrojaron resultados similares a los obtenidos por Lin et al (2001) mediante el MEF. En

Claudia Morel


especial debe destacarse que las curvas carga‐desplazamiento poseen la forma característica

presentada en el capítulo I: con una primera fase lineal, a la que sigue una fase no lineal que

desciende de manera brusca para culminar con una tercera fase friccional que corresponde

al esfuerzo de fricción que se da entre los dos materiales unidos. Cabe señalar que la fase II

en los ensayos de pullout se presenta formando una meseta.

La variación del coeficiente de fricción no mostró influencia alguna en la carga a

aplicar sobre la fibra para su extracción. El aumento en la resistencia interfacial, aumenta la

carga máxima y retrasa el inicio de la fase II de la curva carga‐separación. Mientras que la

razón de módulos de Young, aumenta la carga máxima y acelera el inicio de la fase II de la

curva carga‐separación. En todos los casos, la forma de despegado de la fibra fue iniciando

desde arriba de manera continua hacia abajo, a lo largo de la misma.

Los ensayos de pushout presentan gráficas carga‐desplazamiento y de propagación

de fisura muy próximas a los resultados dados por datos experimentales y a los obtenidos

por Lin et al (2001) mediante el MEF. Dichas gráficas presentan las tres fases características

en la curva carga‐deformación, bien definidas.

La carga a aplicar a la fibra para su extracción aumenta notablemente respecto del

ensayo de pullout. El coeficiente de fricción es uno de los parámetros más importantes que

afectan la tenacidad a la fractura global del compuesto. Este parámetro aumenta la

capacidad de carga y retrasa la inestabilidad asociada con el despegado completo de la

interface fibra‐matriz. Sin embargo existe un límite para el valor máximo de las tensiones de

fricción, puesto que un valor excesivo puede conducir a la fractura prematura del material

componente de la fibra o de la matriz. El rol esencial del contacto friccional en la estabilidad

del proceso de falla puede verse en las figuras 5.1 a 5.2, donde se comparan los ensayos de

pushout y pullout, en función de la curva carga‐desplazamiento, figura 5.1, y de la curva

longitud despegada‐desplazamiento de la fibra, figura 5.2. Se puede notar la drástica

diferencia en las deformaciones y la falla. En el ensayo de pullout, la fibra, al no tener

contacto con nada que impida su avance, presenta una fase II de la curva carga‐

desplazamiento casi constante y una carga máxima cercana a un cuarto de la que se obtiene

en el ensayo de pushout.

Claudia Morel


Figura. 5.1: Comparación de los ensayos de pushout y pullout: Carga versus

desplazamiento de la fibra

Figura. 5.2: Comparación entre ensayo de pushout y pullout: Longitud

despegada versus desplazamiento de la fibra

En el estudio paramétrico, se observa que el aumento de la resistencia friccional

aumenta la capacidad de carga retrasando el inicio de la fase II y que el aumento de la razón

de módulos de Young tiene el efecto inverso. Ambos parámetros no afectan la parte

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Fuer

za (N

)


Pullout

Pushout

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Long

itud

desp

egad

a (m

m)


Pullout

Pushout

Claudia Morel


friccional de la curva carga‐desplazamiento. Se obtuvo para razones de módulos de Young

menores a 3, un despegado que inicia en la parte superior de la fibra y prosigue de manera

continua hacia la parte inferior de la fibra. Para razones entre 3 y 6, existe una transición en

la forma del despegado. Finalmente para razones mayores a 6, el despegado comienza

desde la parte inferior de la fibra y continua hacia la parte superior, de manera continua

hasta el despegado completo.

Los resultados obtenidos muestran que el MED puede ser una alternativa válida y

económica, en términos de simplicidad y tiempo, al MEF, para el modelado de la ley

cohesiva.

Debe aclararse en este sentido, las limitaciones propias del MED. Este método no

posibilita la utilización de módulos de Poisson superiores a 0,25. Posee poca flexibilidad en el

modelado de piezas curvas, dado que los elementos de discretización son cubos de lados

rectos. Sin embargo es una herramienta muy eficaz para modelar piezas prismáticas. Se

propone como trabajo de investigaciones futuras, la simulación numérica de estos ensayos

con piezas cilíndricas.

Existe una combinación óptima de los parámetros que maximiza la tenacidad a la

fractura global del material compuesto. La búsqueda de esta combinación puede ser el

objetivo de futuras investigaciones.

La caracterización del deslizamiento friccional de una fibra contenida dentro de una

matriz sigue siendo objeto de estudio, el modelo presentado en esta tesis reproduce los

ensayos de pushout y pullout con resultados que se aproximan a los resultados

experimentales.

Para que las leyes cohesivas posean una verdadera capacidad de predecir la falla

interfacial, se debe contar con experimentos mecánicos que provean con precisión los

valores de los parámetros característicos.

Claudia Morel


Bibliografía Risø National Laboratory. (2009). Interface design of composite materials. Denmark. National

Laboratory for Sustainable Energy. Abdul‐Baqi, A., Schreurs, P. J., & Geers, M. G. (2005). Fatigue damage modeling in solder

interconnects using a cohesive zone approach. Int J Solids Struct , 42, 927–42. ASTM International. (2004). Standard Test Methods for Strength Properties of Adhesives in Cleavage

Peel by Tension Loading. (D 3807‐98) . Atkinson, C. A. (1982). The rod pull out problem, theory and experiment. Journal of the Mechanics

and Physics of Solids , 30, 97‐120. Barenblatt, G. I. (1962). The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture. Adv Appl

Mech , 7, 55‐129. Barrios D'Ambra, R., Iturrioz, I., Cóceres, H., & Kosteski, L. (2006). Determinación del Factor de

Intensidad de Tensiones aplicando el Método de los Elementos Discretos. XXXII Jornadas Sudamericanas de Ingeniería Estructural .

Barrios D'Ambra, R., Iturrioz, I., Fasce, L. A., Frontini, P. M., & A.P., C. (2003). Simulación numérica del ensayo de impacto en probetas de polímeros utilizando el método de los elementos discretos. Cilamce.

Barrios D'Ambra, R., Iturrioz, I., Fasce, L. A., Frontini, P. M., & P., C. A. (2002). Utilización del método de los elementos discretos en la simulación numérica de ensayos de impacto para caracterización de materiales compuestos poliméricos. Mecánica Computacional , XXI, 1121‐1134.

Bažant, Z. P. ( 1993). Current status and advances in the theory of creep and interaction with fracture. Proc. 5th Int. RILEM Symposium on Creep and Shrinkage of Concrete , 291‐307.

Bechel, V. (1997). The application of debond length measurements to examine the accuracy of composite interface properties derived from fiber pusout testing. PhD Thesis . University of Illinois, Urbana, Champaign.

Bechel, V., & Sottos, N. (1998). A comparison of calculated and measured debond lengths from fiber pushout test. Comp. Sci. Technol. , 58, 1727‐1739.

Bechel, V., & Sottos, N. (1998b). Application of debond length measurements to examine the mechanics of fiber push out. J. Mech. Phys. Solids , 46 (9), 1675‐1697.

Bechel, V., & Sottos, N. (1998c). The effect of residual stresses and sample preparation on progressive debonding during the fiber pushout test. Comp. Sci. Technol. , 58, 1741‐1751.

Beckert, W., & Lauke, B. (1995). Fracture mechanics finite element analysis of debonding crack extension for a single fibre pull‐out specimen. J. Mater. Sci. Lett. , 14, 333‐336.

Bosch van den, M. J., Schreurs, P. J., & Geers, M. G. (2006). An improved description of the exponentail Xu and Needleman cohesive zone law for mixed‐mode decohesion. Engng. Frac. Mech. , 73, 1220‐1234.

Bourke, M. A., Goldstone, J. A., Stout, M. G., & Needleman, A. (1993). Characterization of Residual Stresses in Composites. In Fundamentals of Metal‐Matrix Composites. Butterworth‐Heinemann.

Brocks, W., Cornec, A., & Scheider, I. (2003). Computational Aspects of Nonlinear Fracture Mechanics. (I. In: Milne, R. Ritchie, & B. (. Karihaloo, Eds.) Comprehensive Structural Integrity ‐ Numerical and Computational Methods , 3, 127 ‐ 209.

Broek, D. (1984). Elementary engineering fracture mechanics. The Netherlands: Martinus Nijhoff Publishers.

Brun, M. K., & Singh, R. N. (1988). Effect of thermal expansión mismatch and fiber coating on the fiber/matrix interfacial shear stress in ceramic matrix composites. Adv. Cer. Mal. , 3, 506‐509.

Camacho, G. T., & Ortiz, M. (1996). Computational modeling of impact damage in brittle materials. Int. J. Solids Struct. , 33 (20‐22), 2899‐2938.

Cannon, R. M., Dalgleish, B. J., Dauskarft, R. H., & etal. (1992). In: Fatigue of Advanced Materials. Edgbaston, UK: (R. O. Ritchie, R. H. Dauskardt, and . N. Cox, eds) MCEP Publishing Ltd.

Carpinteri, A. (1986). Mechanical damage and crack growth in concrete. Martinus Nijhoff Kluwer .

Claudia Morel


Chaboche, J., Girard, R., & Levasseaur, P. (1997). On the interface debonding models. Int. J. Damage Mech. , 6, 220‐257.

Chandra, N. A. (1995). Analysis of interfacial behavior in MMCs and IMCs by the use of thin‐slice push‐out tests. Comp. Sci. Technol. , 54, 87‐100.

Cordes, R. D. (1995). Determination of interfacial properties from obser‐vations of progressive fiber debonding and pullout. Comp. Eng. , 5, 633‐648.

Cundall, P. (1971). A computer model for simulating progressive large scale movements in block rock systems. Nancy, France: Symp. Int. Soc. Of Rock Mech. .

Daniel, I. M. (1993). The behavior of ceramic matrix fiber composites under longitudinal loading. Comp. Sci. Tech. , 46, 105‐113.

Eldridge, J. I. (1995). Elevated temperature fiber push‐out testing. Mat. Res. Soc. Symp. Proc. , 365, 283‐290.

Elices, M., Guinea, G. V., Gòmez, J., & Planas, J. (2002). The cohesive zone model: advantages, limitations and challenges. Eng. Fract. Mech. , 69, 137‐163.

Evans, A. G., & Hutchinson, J. W. (1989). Acta Metall. Mater. 37, 909‐916. Evans, A. G., Ruhle, M., Dalgleish, B. J., & Charalambides, P. (1990). Mater. Sci. Eng. A. 12, 53‐64. Freund, L. B. (1991). The axial force needed to slide a circular fiber along a hole in an elastic material

and implications for fiber pull‐out. Eur. J. Mech. A/Solids , 11, 1‐19. Gdoutos, E. E. (2005). Fracture Mechanics, An Introduction. Springer (Second Edition). Geubelle, P., & Baylor, J. (1998). Impact‐induced delamination of laminated composites: a 2D

simulation. Composites B , 29, 589‐602. Ghosh, A. K. (1993). Solid‐State Processing. In Fundamentals of Metal Matrix Composites.

Butterworth‐Heinemann. Griffith, A. A. (1924). The theory of rupture. Proceedings of First International Congress of Applied

Mechanics, Delft , 55‐63. Griffith, A. (1921). The phenomena of rupture and flow in solids. Philosophical Transactions of the

Royal Society of London , 163‐198. Guinea, G. V., Planas, J., & Elices, M. (1994). A general bilinear fit for the softening curve of the

concrete. Mater. Struct. , 27, 99‐105. Hanson, J. H., & Bittencourt, T. N. (2004). Three‐dimensional influence coefficient method for

cohesive crack simulations. Engng Fract Mech , 71, 2109–24. Hayashi, Y. (1982). Sobre un modelo de discretizaçao de estruturas tridimensionais aplicado em

dinâmica não linear. Dissertação (Mestrado), Curso de Pós‐Graduação em Engenharia Civil . Porto Alegre: Universidade federal do Rio Grande do Sul.

Hillerborg, A., Modeer, M., & Petersson, P. E. (1976). Analysis of crack formation and crack growthin concrete by means of fracture mechanics and finite elements. Cement Concrete Res. , 6, 773‐782.

Hocking, G. M. (1985). CICE discrete element analysis code–theoretical manual. Lakewood, CO: Applied Mechanics Inc.

Hocking, G. W. (1985). Validation of the CICE discrete element code for ice ride‐up and ice‐ridge/cone interaction. San Francisco: ARTIC '85 ASCE.

Högberg, J. L. (2006). Mixed Mode Cohesive Law. Int J Fract , 141, 549–559. Hutchinson, J. W. (1990). Models of fiber debonding and pullout in brittle composites with friction .

Mech. Mat. , 9, 139‐163. Irwin, G. R. (1960). Structural Mechanics. (J. G. Hoff, Ed.) 557‐591. Iturrioz, I. (1995). Aplicação de Método dos Elementos Discretos ao estado de Estruturas Laminares

de Concreto Armado. Dissertação (Doutorado), Curso de Pós‐Graduação em Engenharia Civil . Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Iturrioz, I., & Riera, J. (2001). Estudio numérico del efecto de explosivos sobre una superficie plana. Mecánica Computacional , 20, 422‐429.

Jero, P. D. (1990). The contribution of interfacial roughness to sliding friction of ceramic fibers in a glass matrix. Scripta Metall. Mat. , 24, 2315‐2318.

Claudia Morel


Kallas, M. N. (1992). Interfacial stress state present in a 'thin slice' fiber push‐out test. J. Mater. Sci. , 27, 3821‐3826.

Koss, D. A. (1993). Fiber pushout and interfacial shear in metal‐matrix composites. JOM , 45, 34‐37. Kosteski, L. E. (2008). Aplicaciones del Método de Elementos iscretos en Mecánica de Fractura

Estática y Dinámica. Tesis de Maestría . Resistencia: UNNE‐facultad de Ingeniería. Kosteski, L., Barrios D'Ambra, R., Iturrioz, I., Fasce, L., Frontini, P., & Cisilino, A. (2004). Estudio

Paramétrico de ensayos mecánicos de un material polimérico utilizando el Método de los Elementos Discretos. XXXI Jornadas Sudamericanas de Ingeniería Estructural. Mendoza‐Argentina.

Kosteski, L., Cóceres, H., Barrios D'Ambra, R., Iturrioz, I., & Cisilino, A. (2006). Aplicación del Método de los Elementos Discretos para la determinación del factor de intensidad de tensiones estático y dinámico. XV Congreso sobre Métods Numéricos y sus Aplicaciones. ENIEF 2006. Mecánica Computacional , 25 (22), 2109‐2123.

Kubair, D. V., & Geubelle, P. H. (2003). Comparative analysis of extrinsic and intrinsic cohesive models of dynamic fracture. International Journal of Solids and Structures , 40, 3853–3868.

Laughner, J. W. (1986). Simple indentation method for measurement of interfacial shear strength in SiC/Si3N4 composites. Cer. Eng. and Sci.Proc. , 7, 932.

Li, S., Thouless, M. D., Waas, A. M., Schroeder, J. A., & Zavattieri, P. D. (2005). Use of a cohesive‐zone model to analyze the fracture of a fiber reinforced polymer–matrix composite. Compos Sci Technol , 65, 537–49.

Li, S., Thouless, M. D., Waas, A. M., Schroeder, J. A., & Zavattieri, P. D. (2005). Use of mode‐I cohesive‐zone models to describe the fracture of an adhesively‐bonded polymer–matrix composite. Compos Sci Technol , 65, 281–93.

Li, S., Thouless, M., Waas, A., Schroeder, J., & Zavattieri, P. (2006). Mixed‐mode cohesive‐zone models for fracture of an adhesively bonded polymer–matrix composite. Eng Fract Mech , 73, 64‐78.

Liang, C. H. (1993). Mechanics of the fiber pushout test. Mech. Mat. , 14, 207‐221. Lin, G., Geubelle, P. H., & Sottos, N. R. (2001). Simulation of fiber debonding with friction in a model

composite pushout test. Int. J. Solids and Struct. , 38 , 8547‐8562. Lin, G., Kim, Y. J., Cornec, A., & Schwalbe, K. (1998). Numerical analysis of ductile failure of

undermatched interleaf in tension. Int. J. Fract. , 91, 323‐347. Mackin, T. J. (1992). Influence of fiber roughness on the sliding behavior of sapphire fibers in TiAl and

glass matrices. J. Am. Ceram. Soc. , 75, 3358‐3362. Mellado Cruz, J. (2005). Aplicación del Método de los Elementos Discretos a problemas de desgaste.

Universitat Politécnica de Catalunya. Minor Thesis . Munjiza, A., Bangash, T., & John, N. W. (2004). The combined Finite‐Discrete Element Method for

Structures Failure and Collapse. Engng. Frac. Mech. , 71, 469‐483. Nayfeh, A. H., & Hefzy, M. S. (1978). Continuum Modelling of Three‐Dimensional Truss‐like Space

Structures. AIAA Journal , 16, 779‐787. Needleman, A. (1987). A continuum model for void nucleation by inclusion debonding. J Appl Mech ,

54, 525‐531. Needleman, A. (1990). An analysis of decohesion along an imperfect interface. Int. J. Fract. , 42, 21‐

40. Needleman, A. (1997). Numerical modelling of crack growthunder dynamic loading conditions. Comp.

Mech. , 19 (6), 463‐469. Needleman, A., Nutt, S. R., Suresh, S., & Tvergaard, V. (1993). Matrix, reinforcement, and Interfacial

Failure. In Fundamentals of Metal‐Matrix Composites. Netravali, A. N. (1989). Continuous microindenter push‐through technique for measuring interfacial

shear strength of fiber composites. Comp. Sci. Tech. , 34, 239‐303. O’Dowd, N. P., Stout, M. G., & Shih, C. F. (1992). Phil Mag 66A. 1037‐1064. Ostoja_Starzenski, M. (1995). Spring‐Networks in thermomechanics: Effective properties and fracture

phenomena. Applied Mechanics in the Americas , III, 179‐184.

Claudia Morel


Pande, G. B. (1990). Numerical Methods in Rock Mechanics. England: John Willey & Sons. Pantano, A., & Avrill, R. C. (2004). A mesh‐independent interface technology for simulation of mixed‐

mode delamination growth. Int J Solid Struct , 41, 3809–3831. Petersson, P. E. (1981). Crack growth and development of fracture zones in plain concrete and similar

materials. Report TVBM‐1006, Division of Building Materials, Lund Institute of Technology . Povirk, G. L. (1993). Finite element simulations of fiber pull‐out. J. Appl. Mech. , 115, 286‐291. Riera, J. D. (1980). A Critical Reappraisal of Nuclear Power Plant Safety Against Accidental Aircraft

Impact. Nuclear Engineering and Design , 57, 193‐206. Riera, J. D. (1984). Local Effects in Impact Problems on Concretes Structures. Proceedings, Conference

on Structural Analysis and Design of Nuclear Power Plants , III, 57‐79. Riera, J. D., & Iturrioz, I. (1998). Discrete element dynamic response of elastoplastic shells subjected

to impulsive loading. Nuclear Engineering and Design , 179, 135‐144. Rocha, M. M. (1989). Ruptura e efeito de escala em materiais não homogêneos de comportamento

frágil. Dissertação (Mestrado), Curso de Pós‐Graduação em ENgenharia Civil . Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Rose, J., Ferrante, J., & Smith, J. (1981). Universal binding energy curves for metals and bimetallic interfaces. Phys. Review Letters , 47, 675‐678.

Roy Chowdhury, S., & Narasimhan, R. (2000). A finite element analysis of quasistatic crack growth in a pressure sensitive constrained ductile layer. Eng. Fract. Mech. , 66, 551‐571.

Salomonsson, K. ( 2002 ). Interphase elements connection structural finite elements formulation, implementation and verification . Master thesis. Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden , (Available at www.his.se/MechMat).

Schallamach, A. (1971). How does rubber slide? Wear , 17 (4), 301‐312. Scheider, I. (2000). Bruchmechanische Bewertung von Laserschweißverbindungen durch numerische

Rissfortschrittsanalysen mit dem Kohäsivzonenmodell. PhD Thesis, Technical University Hamburg‐Harburg .

Schlangen, E. (1993). Experimental and Numerical analysis of fracture processes in concrete. Heron , 38 (3), 1‐118.

Shetty, D. K. (1988). Shear‐lag analysis of fiber push‐out (indentation) tests for estimating interfacial friction stress in ceramic‐matrix composites. J. Am. Ceram. Soc. , 71 (2), C107‐C109.

Shi, G. (1988). Discontinuous deformation analysis: a new method for computing stress, strain and sliding of block systems. PhD Thesis . Berkeley: Departament Civil Engineering, University of California.

Siegmund, T., & Brocks, W. (1998). Tensile decohesion by local failure criteriax. Technische Mechanik , 18, 261‐270.

Simulation of fracture of cementitious composites with explicit modeling of. (n.d.). Sørensen, B., & Jacobsen, T. (2003). Determination of cohesive laws by the J integral approach.

Engineering Fracture Mechanics , 70, 1841‐1858. Tech, T. W., Batista, R., Iturrioz, I., & Cisilino, A. (2003). Aplicação do Método dos Elementos

Discretos em Mecânica de Fratura Estática e Dinâmica. Cilamce. Tijssens, M. G., Sluys, L. J., & Van der Giessen, E. (2001). Simulation of fracture of cementitious

composites with explicit modeling ofmicrostructural features. Engng Fract Mech , 68, 1245–63. Tijssens, M. G., Van der Giessen, E., & Sluys, L. J. (2000). Modeling of crazing using a cohesive surface

methodology. Mech Mater , 32, 19‐35. Tsai, K.‐H. a. (1996). The micromechanics of fiber pull‐out. Journal of the Mechanics and Physics of

Solids , 44, 1147‐1177. Tsai, K.‐H. a. (1991). A study of stick slip behavior in interface friction using optical fiber pulí out

experiment. SPIE, Speckle Techniques, Birefringence Methods, and Applications to Salid Mechanics , 1554A, 529‐541.

Tvergaard, V. (1990). Effect of fibre debonding in a Whisker‐reinforced metal. Mater Sci Engng A , 125, 203‐13.

Claudia Morel


Tvergaard, V., & Hutchinson, J. (1992). The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic–plastic solids. J Mech Phys Solids , 40, 1377–1397.

Tvergaard, V., & Hutchinson, J. W. (1996). On the toughness of ductile adhesive joints. J Mech Phys Solid 44 , 44 (5), 789–800.

Tvergaard, V., & Hutchinson, J. W. (1993). The influence of plasticity on mixed mode interface toughness. J. Mech. Phys. Solids , 41, 1119‐1135.

Warren, P. D. (1992). Design, analysis, and application of an improved push‐through test for the measurement of interface properties in composites. Acta Metall. Mater. , 40, 1243‐1249.

Watson, M. C. (1992). The use of single fibre pushout testing to explore interfacial mechanics in SiC monofilament‐reinforced Ti—I. A photoelastic study of the test. Acta. Metall. Mater. , 40, 131‐139.

Williams, J., Hocking, G., & Mustoe, G. (1985). The theoretical basis of the discrete element method. Proceedings of the International Conference on Numerical Methods in Engineering: Theory and Applications , 897‐906. Swansea.

Xu, X.‐P., & Needleman, A. (1993). Void nucleation by inclusion debonding in a crystal matrix. Modelling Simul. Sci. Engng. , 1, 111‐132.

Yuan, H., & Cornec, A. (1991). Numerical simulations of ductile crack growth in thin specimens based on a cohesive zone model. GKSS report 91/E/23 .

Zhigang Suo, F. S. (1993). Models for Metal/Ceramic Interface Fracture. In Fundamentals of Metal‐Matrix Composites. Butterworth‐Heinemann.

análisis numérico de la adhesión fibra matriz con un...

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