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Analisis I

Apuntes de clase

Preparado por JC Trujillo O.

Febrero 2014 - Junio 2014

Indice general

1 Estructuras fundamentales del Analisis 51 Topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Topologıa inducida por la metrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Metrica inducida por la norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Producto interior o escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Norma inducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Las desigualdades de Young, Holder y Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Abiertos y cerrados 251 Abiertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1 Ejemplo: las bolas abiertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2 Ejemplo: un conjunto no abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Ejemplo: bolas abiertas en el espacio discreto. . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Ejemplo: bolas abiertas en espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Ejemplo: bolas abiertas en C[a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Ejemplo: las bolas cerradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Ejemplo: las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Ejemplo: Los conjuntos finitos en un espacio metrico. . . . . . . . . . . 282.4 Ejemplo: conjuntos no cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Caracterizacion topologica de los abiertos y de los cerrados . . . . . . . . . . . 283.1 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Abiertos y cerrados en los espacios metricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Densidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Puntos de acumulacion 391 Punto de adherencia que no es de acumulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

4 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Caracterizacion de conjuntos cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 Caracterizacion de puntos de acumulacion por sucesiones. . . . . . . . . . . . 437 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Continuidad 471 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.1 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.3 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Continuidad uniforme 491 Ejemplo: La funcion distancia es continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Ejemplo: La funcion distancia entre un punto y un conjunto. . . . . . . . . . . 493 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Una funcion que no es continua uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Una funcion no lipschitziana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Subespacios metricos 531 Caracterizacion de los abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Caracterizacion de los cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Distancias equivalentes 551 Homeomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.1 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 Distancias equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Ejemplo: dos metricas equivalentes topologicamente. . . . . . . . . . . 572.2 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Ejemplo: metricas equivalentes uniformemente. . . . . . . . . . . . . . 592.4 Ejemplo: metricas no equivalentes uniformemente. . . . . . . . . . . . 612.5 Ejemplo: metricas equivalentes uniformemente, pero no metricamente. 622.6 Ejemplos de metricas equivalentes en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7 Metricas equivalentes sobre el espacio producto de un numero finito de espacios. 63

8 Espacios metricos completos 651 Sucesiones de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.1 Ejemplos de sucesiones de Cauchy no convergentes . . . . . . . . . . . 652 Espacios completos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 Teorema del punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Ejercicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 Aplicaciones del teorema del punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4

Capıtulo 1

Estructuras fundamentales delAnalisis

1 Topologıa

DEFINICION 1.1 (Espacio topologico). Sea E un conjunto. Una familia τ ⊆ P(E) es unatopologıa sobre E si:

1. ∅ ∈ τ y E ∈ τ.

2. A1 ∈ τ y A2 ∈ τ, entonces A1 ∩ A2 ∈ τ.

3. Si {Aλ}λ∈Λ tal que Aλ ∈ τ para todo λ ∈ Λ, entonces⋃

λ∈Λ

Aλ ∈ τ.

Ademas:

1. La pareja (E, τ) es denominada espacio topologico.

2. Se suele decir que el conjunto E esta provisto de la topologıa τ.

3. A los elementos de E se les denomina puntos. Y,

4. A los elementos de τ se les llama los abiertos de E.

5. Por induccion se demuestra facilmente que la interseccion de una familia finita deelementos de τ tambien es un elemento de τ.

1.1 Ejemplos

1. TOPOLOGIA GROSERA O ANTIDISCRETA. Sea E un conjunto cualquiera. La coleccion

τ = {∅, E}

es una topologıa sobre E denomina grosera o antidiscreta. En este espacio topologico, haydos abiertos unicamente: el conjunto vacıo y el conjunto E.

2. TOPOLOGIA DISCRETA. Sea E un conjunto cualquiera. La coleccion de todos los subcon-juntos de E, es decir τ = P(E), es una topologıa sobre E. Es denominada topologıadiscreta. Cualquier subconjunto de E es un abierto de E.

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3. TOPOLOGIA DE SIERPINSKI. Sea E = {a, b}. La coleccion

τ = {∅, E, {b}}

es una topologıa sobre E. Al espacio topologico (E, τ) se le conoce con el nombre deespacio de Sierpinski.

4. TOPOLOGIA DE LAS COLAS DERECHAS. La coleccion

τ = {(a,+∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R}

es una topologıa sobre el conjunto de los numeros reales R.

5. TOPOLOGIA DE LOS COMPLEMENTOS FINITOS. Sea E un conjunto infinito. Entonces, la colec-cion

τ = {A ⊂ E : E − A es finito} ∪ {∅}es una topologıa sobre E.

1.2 Ejercicios

1. Seaτ = {A ⊂ [−1, 1] : 0 6∈ A y (−1, 1) 6⊂ A} ∪ {[−1, 1]}.

Demuestre que τ es una topologıa sobre [−1, 1]. A esta topologıa se la denominada topologıa ni-ni.

2. Sean E un conjunto no vacıo y p ∈ E. Demuestre que la coleccion

τp = {A ⊂ E : p ∈ A} ∪ {∅}

es una topologıa sobre E. A esta se la llama topologıa puntual particular.

3. Seaτ = {(0, 1 − 1/n) : n ≥ 2 y n ∈ N} ∪ {∅, (0, 1)}.

Demuestre que τ es una topologıa sobre (0, 1); se la denomina topologıa de los intervalos encajados.

4. Sean E un conjunto cualquiera y {τλ}λ∈Λ una familia de topologıas sobre E. Demuestre queτ =

⋂

λ∈Λ τλ tambien es una topologıa sobre E.

2 Metrica

DEFINICION 1.2 (Espacio metrico). Sea E un conjunto. Una funcion d : E × E −→ R es unametrica o distancia sobre E si para x ∈ E, y ∈ E y z ∈ E:

1. Positiva: d(x, y) ≥ 0.

2. Positiva estrictamente: d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

3. Simetrica: d(x, y) = d(y, x).

4. Desigualdad triangular: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x).

Ademas:

1. A la pareja (E, d) se le llama espacio metrico.

2. Se suele decir que el conjunto E esta provisto de la metrica d.

3. A los elementos de E se les denomina puntos. Y,

4. Al numero d(x, y) se le llama la distancia entre los puntos x y y.

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2.1 Ejemplos

1. LA METRICA USUAL DE R. La funcion

d : R × R −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) = |x − y|,

donde |a|, el valor absoluto del numero real a, esta definido por:

|a| ={

a si a ≥ 0,

−a si a < 0,

es una metrica sobre R. A esta metrica se le conoce como la metrica usual de la recta real.

Si no se dice lo contrario, cuando se hable de R como un espacio metrico, se asu-mira que la metrica es la usual.

2. METRICAS SOBRE Rn. Para cada n ∈ N y para cada p ∈ [1,+∞), la funcion

dp : Rn × Rn −→ R

(x, y) 7−→ dp(x, y) =

(

n

∑j=1

|xj − yj|p) 1

p

,

donde x = (x1, x2, . . . , xn) y y = (y1, y2, . . . , yn), es una metrica sobre Rn.

(a) Si n = 1, la metrica dp coincide con la metrica usual para todo p ∈ [1,+∞).

(b) Si n = 2, la metrica d2 se denomina euclıdea:

d2(x, y) =√

|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2.

El espacio metrico (R2, d2) es conocido como el plano euclıdeo.

(c) Si n = 3, la metrica d2 tambien es denominada euclıdea:

d2(x, y) =√

|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + |x3 − y3|2.

El espacio metrico (R3, d2) es conocido como el espacio euclıdeo tridimensional.

3. LA METRICA p = ∞ DE Rn. La funcion

d∞ : Rn × R

n −→ R

(x, y) 7−→ d∞(x, y) = max{|xi − yi| : 1 ≤ i ≤ n},

donde x = (x1, x2, . . . , xn) y y = (y1, y2, . . . , yn), es una metrica sobre Rn.

4. EL ESPACIO UNITARIO Cn. La funcion

d : Cn × Cn −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) =

√

√

√

√

n

∑j=1

|xj − yj|2,

donde x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) y |z| es el modulo del numero complejoz, esta definido de la siguiente manera:

|z| = |a + bı| =√

a2 + b2.

Al espacio (Cn, d) se lo suele llamar espacio unitario complejo n-dimensional. En el cason = 1, el espacio (C, d) se denomina plano complejo.

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5. LA METRICA DISCRETA. Sea E un conjunto cualquiera no vacıo. La funcion

d : E × E −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) =

{

1 si x 6= y,

0 si x = y

es una metrica sobre E denominada metrica discreta. El espacio (E, d) se denomina espaciodiscreto.

6. EL ESPACIO DE SUCESIONES s. Sea S el conjunto de todas las sucesiones de elementos delcampo K; es decir:

S = KN = {x : N −→ K}.

La funciond : S × S −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) =∞

∑j=1

2−j|xj − yj|

1 + |xj − yj|,

donde x = (xj) y y = (yj), es una metrica sobre S. El espacio (S, d) se representa con laletra s.

7. EL ESPACIO DE SUCESIONES ℓp. Sean p ∈ [1,+∞) y

SP =

{

x : N −→ K : ∀j ∈ N, xj = x(j) y ∑j∈N

|xj|p < ∞

}

;

es decir, Sp es el espacio de todas las sucesiones de elementos de K tales que la serie

∑j∈N

|xj|p

converge. La funcion

dp : Sp × Sp −→ R

(x, y) 7−→ dp(x, y) =

(

∑j∈N

|xj − yj|p) 1

p

,

donde x = (xj) y y = (yj), es una metrica sobre Sp . El espacio metrico (Sp, dp) suele serrepresentado con ℓp.

8. EL ESPACIO DE SUCESIONES ACOTADAS ℓ∞. Sea SA el conjunto de todas las sucesiones deelementos de K que son acotadas; es decir:

SA = {(xn) ∈ S : ∃M > 0 tal que |xj| ≤ M para todo j ∈ N}.

La funciond∞ : SA × SA −→ R

(x, y) 7−→ d∞(x, y) = supj∈N

|xj − yj|,

donde x = (xj) y y = (yj), es una metrica sobre SA. El espacio metrico (SA, d∞) sueleser representado con ℓ∞.

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9. EL ESPACIO DE LA FUNCIONES CONTINUAS C[a, b]. Sean un intervalo cerrado [a, b] y el con-junto de todas las funciones definidas en [a, b] y que toman valores en K:

FC[a, b] = {x : [a, b] −→ K : x es continua en [a, b]}.

La funcion

d∞ : FC[a, b]× FC[a, b] −→ R

(x, y) 7−→ d∞(x, y) = maxt∈[a,b]

|x(t)− y(t)|

es una metrica sobre el conjunto FC. Al espacio metrico (FC, d∞) se le representa conC[a, b].

10. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Cp[a, b] CON p ∈ [1, ∞). Dado el intervalo [a, b],la funcion

dp : FC[a, b]× FC[a, b] −→ R

(x, y) 7−→ dp(x, y) =

(

∫ b

a|x(t)− y(t)|pdt

)1p

es una metrica sobre el conjunto FC[a, b]. Al espacio metrico (FC[a, b], dp) se le represen-ta con Cp[a, b].

2.2 Topologıa inducida por la metrica. Primero una definicion.

DEFINICION 1.3 (Bola abierta). Sean (E, d) un espacio metrico y r > 0. El conjunto

Br(x) = {y ∈ E : d(x, y) < r}

se denomina bola abierta de centro x y radio r.

Todo espacio metrico es un espacio topologico. De manera mas precisa, se tiene elsiguiente teorema.

TEOREMA 1.1 (Topologıa inducida por la metrica). Sea (E, d) un espacio metrico. Enton-ces, el conjunto

τd = {A ⊂ E : ∀x ∈ A, ∃rx > 0 tal que Brx(x) ⊂ A}

es una topologıa sobre E denominada la topologıa inducida por la metrica d; es decir, E es unespacio topologico provisto de la topologıa τd.

Una de las consecuencias de este teorema consiste en que todo lo que se pueda afirmarsobre un espacio topologico es aplicable a un espacio metrico.

Dado que τd es una topologıa sobre E, todos los elementos de τd son los abiertos de E.Esto justifica la siguiente definicion para un espacio metrico cualquiera.

DEFINICION 1.4 (Abierto). Sea (E, d) un espacio metrico. Un conjunto A de E es abierto siy solo para todo x ∈ A, existe rx > 0 tal que

Brx(x) ⊂ A.

Es consecuencia inmediata del teorema 1.1 que la interseccion finita de abiertos es unconjunto abierto y que la union arbitraria de abiertos tambien es un conjunto abierto. Demanera mas precisa, tenemos el siguiente teorema.

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TEOREMA 1.2 (Propiedades de los abiertos). Sea (E, d) un espacio metrico. Entonces:

1. ∅ y E son conjuntos abiertos.

2. Si {Aλ}λ∈L es una familia finita de abiertos; es decir, L es un conjunto finito y Aλ esun abierto para todo λ ∈ L, entonces

⋂

λ∈L

Aλ

es un conjunto abierto.

3. Si {Aλ}λ∈L es una familia arbitraria de conjuntos abiertos de E; es decir, para todoλ ∈ L, Aλ es un conjunto abierto de E, entonces

⋃

λ∈L

Aλ

es un abierto de E.

Ejemplo 1

La topologıa discreta es la topologıa inducida por la metrica discreta. En efecto, si (E, d) es un espaciometrico discreto, todo conjunto A de E es un abierto, pues si x ∈ A y r = 1

2 , entonces

Br(x) =

{

y ∈ E : d(x, y) <1

2

}

= {y ∈ E : d(x, y) = 0}= {y ∈ E : y = x} = {x},

lo que implica que B 12(x) ⊂ A. �

Por otro lado, no todo espacio topologico es un espacio metrico en el siguiente sentido.Sea (E, τ) un espacio topologico. Vamos a probar que no siempre existe una metrica dtal que la topologıa τd, la inducida por la metrica d, sea igual a la topologıa τ. Para ello,demostremos primero el siguiente teorema.

TEOREMA 1.3. Sean (E, d) un espacio metrico y x0 ∈ E. Entonces el conjunto E − {x0} esun conjunto abierto.

Demostracion. Sea u ∈ E − {x0}. Debemos hallar un r > 0 tal que

Br(u) ⊂ E − {x0}. (1.1)

Sea r tal que 0 < r < d(u, x0). Entonces se verifica la inclusion (1.1). En efecto, seax ∈ Br(u). Debemos demostrar que x ∈ E − {x0}; es decir, debemos probar que x 6= x0.Para ello, probemos que d(x, x0) 6= 0.

Por la desigualdad triangular, tenemos que:

d(u, x0) ≤ d(u, x) + d(x, x0).

Por lo tanto:d(x, x0) ≥ d(u, x0)− d(u, x).

Ahora, como x ∈ Br(u), se tiene que

d(u, x) < r,

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es decir, se verifica que:−d(u, x) > −r,

de donde obtenemos que

d(x, x0) ≥ d(u, x0)− d(u, x) > d(u, x0)− r > 0,

ya que r < d(u, x0). En resumen: d(x,x0) > 0; es decir, x 6= x0.

Ahora vamos a probar que existe al menos un espacio topologico cuya topologıa noproviene de una metrica.

TEOREMA 1.4. Sea τ la topologıa grosera sobre un conjunto E que tiene al menos doselementos. Ninguna metrica sobre E induce la topologıa τ.

Demostracion. Supongamos lo contrario: sea d una metrica sobre E tal que la topologıa τd,la inducida por d, fuera igual a τ; es decir, supongamos que la metrica d fuera tal que

τd = τ = {∅, E}.

Por otro lado, tenemos que

τd = {A ⊂ E : A es abierto en el espacio topologico (E, τ)}.

Por lo tanto, los dos unicos conjuntos abiertos del espacio metrico (E, d) son ∅ y E.Sin embargo, dado x0 ∈ E fijo, por el teorema 1.3, sabemos que E − {x0} es un abierto

del espacio metrico (E, d); por lo tanto:

E − {x0} ∈ τd.

Esto significa que E − {x0} debe ser igual o bien al conjunto vacıo, o bien, al conjuntoE. Pero es imposible cualquiera de estas dos opciones, pues como E tiene al menos doselementos, el conjunto E − {x0} tiene al menos un elemento, por lo que no es vacıo, ytampoco puede ser igual a E, ya que no tiene el elemento x0.

La contradiccion obtenida nos dice que no puede existir una metrica sobre E que induz-ca la topologıa grosera τ.

2.3 Ejercicios

1. Probar que la funcion

d : NN × NN −→ R

(n, m) 7−→ d(n, m) =

{

0 si nj = mj para todo j ∈ N,1k donde k es el primer ındice para el cual nj 6= mj,

donde n = (nj) ∈ NN y m = (mj) ∈ NN , es una metrica sobre NN, el conjunto de todas lassucesiones de numero naturales.

2. Sea E = {xj : j ∈ N y j ≥ 1} un conjunto numerable. Demuestre que la funcion

d : E × E −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) =

{

1 + 1i+j si i 6= j,

0 si i = j

es una metrica sobre E; a esta se la conoce como la metrica de Sierpinski.

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3. Sea (R2, d2) el plano euclıdeo. Demuestre que la funcion

d∗ : R2 × R2 −→ R

(p, q) 7−→ d∗(p, q) =

0 si p = q;

d2(p, q) si p 6= q y si la lınea que pasa por p y por q,

pasa tambien por el origen;

d2(p, 0) + d2(q, 0) en cualquier otro caso

es una metrica sobre R2; a esta metrica se la conoce como metrica radial.

4. Sea (E, d) un espacio metrico cualquiera. Demuestre que las funciones

δ =d

1 + dy ∆ = mın{d, 1}

son tambien metricas sobre el conjunto E.

5. Sean (Ei, di), con 1 ≤ i ≤ n, espacios metricos. Demuestre que la funcion

d = ∑1≤i≤n

di

es una metrica sobre el producto cartesiano E = ∏1≤i≤n

Ei.

6. Sean x ∈ RN y y ∈ RN definidas por

xn =1

n + 1y yn =

n

n + 1.

Pruebe que x ∈ ℓ∞ y que y ∈ ℓ∞. Calcule d∞(x, y).

3 Norma. Tanto la estructura topologica como metrica se definen sobre un conjunto cual-quiera. La norma, en cambio, para ser definida, requiere de un espacio vectorial.

En todo lo que sigue, si no se presta a confusion, las operaciones interna y externa detodos los espacios vectoriales que se utilicen se representaran con + y ·, respectivamente; yel cuerpo sobre el cual se define el espacio vectorial sera siempre o bien R o bien C. Cuandolas proposiciones que se afirmen sean validas tanto para R como para C, diremos que elespacio vectorial es sobre el cuerpo K.

DEFINICION 1.5 (Espacio normado). Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Unafuncion ‖·‖ : E −→ R es una norma sobre E si para x ∈ E, y ∈ E y λ ∈ K:

1. Positiva: ‖x‖ ≥ 0.

2. Definida positiva: ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

3. Homogeneidad: ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.

4. Desigualdad triangular: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Ademas:

1. A la pareja (E, ‖·‖) se le llama espacio normado.

2. Se suele decir que el espacio vectorial E esta provisto de la norma ‖·‖.

3. El numero ‖x‖ es referido como la norma del vector x o la longitud de x.

12

3.1 Ejemplos

1. LA NORMA USUAL DE R. La funcion valor absoluto

| · | : R −→ R

x 7−→ |x|

es una norma sobre R. A esta norma se le conoce como la norma usual de la recta real.

Si no se dice lo contrario, cuando se hable de R como un espacio normado, se asu-mira que la norma es la usual.

2. NORMAS SOBRE Rn. Para cada n ∈ N y para cada p ∈ [1,+∞), la funcion

‖·‖p : Rn −→ R

x 7−→ ‖x‖p =

(

n

∑j=1

|xj|p) 1

p

,

donde x = (x1, x2, . . . , xn), es una norma sobre Rn.

3. LA NORMA p = ∞ DE Rn. La funcion

‖·‖∞ : Rn −→ R

x 7−→ ‖x‖∞ = max{|xi| : 1 ≤ i ≤ n},

donde x = (x1, x2, . . . , xn), es una norma sobre Rn.

4. EL ESPACIO UNITARIO Cn. Sea p ∈ [1, ∞). La funcion

‖·‖p : Cn −→ R

x 7−→ ‖x‖p =

(

n

∑j=1

|xj|p) 1

p ,

donde x = (x1, x2, . . . , xn), es una norma sobre Cn.

5. EL ESPACIO DE SUCESIONES ℓp. Sea p ∈ [1,+∞). La funcion

‖·‖p : Sp −→ R

x 7−→ ‖x‖p =

(

∑j∈N

|xj|p) 1

p

,

donde x = (xj), es una norma sobre Sp. El espacio normado (Sp, ‖·‖p) suele ser repre-

sentado por ℓp.

6. EL ESPACIO DE SUCESIONES ACOTADAS ℓ∞. La funcion

‖·‖∞ : SA −→ R

x 7−→ ‖x‖∞ = supj∈N

|xj|,

donde x = (xj), es una norma sobre el conjunto SA. El espacio normado (SA, d∞) sueleser representado mediante ℓ∞.

13

7. EL ESPACIO DE LA FUNCIONES CONTINUAS C[a, b]. Sean un intervalo cerrado [a, b]. La fun-cion

‖·‖∞ : FC[a, b] −→ R

x 7−→ ‖x‖∞ = maxt∈[a,b]

|x(t)|

es una norma sobre el conjunto FC. Al espacio normado (FC, ‖·‖∞) se le representa conC[a, b].

8. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Cp[a, b] CON p ∈ [1, ∞). Dado el intervalo [a, b],la funcion

‖·‖p : FC[a, b] −→ R

x 7−→ ‖x‖p =

(

∫ b

a|x(t)|pdt

)1p

es una norma sobre el conjunto FC[a, b]. Al espacio normado (FC[a, b], ‖·‖p) se le repre-

senta con Cp[a, b].

9. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Y ACOTADAS. Sean (E, d) un espacio metrico yel conjunto

A (E, R) = {x : E −→ R : x es continua y es acotada}.

La funcion‖·‖∞ : A (E, R) −→ R

x 7−→ ‖x‖∞ = sup{|x(t)| : t ∈ E}es una norma sobre A (E, R). Al espacio normado (A (E, R), ‖·‖∞) se lo suele represen-tar con B(E, R).

10. EL ESPACIO Ck[a, b]. Sean k un entero positivo, [a, b] un intervalo cerrado y el conjunto

FDCk[a, b] = {x : [a, b] −→ R : x es k veces diferenciable y x(k) es continua en [a, b]},

de todas las funciones reales definidas en [a, b] que son k veces diferenciables y que laderivada de orden k es continua. La funcion

‖·‖ : FDCk[a, b] −→ R

x 7−→ ‖x‖ =k

∑j=0

maxt∈[a,b]

|x(j)(t)|

es una norma sobre FDCk[a, b]. El espacio normado (FDCk[a, b], ‖·‖) suele ser represen-tado por Ck[a, b].

3.2 Metrica inducida por la norma. Todo espacio normado es un espacio metrico. Demanera mas precisa, se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA 1.5 (Metrica inducida por la norma). Sea (E, ‖·‖) un espacio normado. Entoncesla funcion

d‖·‖ : E × E −→ R

(x, y) 7−→ d‖·‖(x, y) = ‖x − y‖es una metrica sobre E denominada metrica inducida por la norma ‖·‖; es decir, E es unespacio metrico provisto con la metrica d‖·‖.

Una de las consecuencias principales de este teorema consiste en que todo lo que sepueda decir de un espacio metrico es aplicable a un espacio normado. Ademas, dado quetoda metrica induce una topologıa (teorema 1.1), entonces todo espacio normado induceuna topologıa, vıa la metrica inducida por la norma. Por lo tanto, todo lo que se puedadecir de un espacio topologico es aplicable a un espacio normado.

14

Ejemplo 2

1. Las metricas dp de Rn son las inducidas por las normas ‖·‖p.

2. La metrica d∞ de Rn es la inducida por la norma ‖·‖∞.

3. Las metricas dp de ℓp son las inducidas por las normas ‖·‖p.

4. La metrica d∞ de ℓ∞ es la inducida por la norma ‖·‖∞.

5. Las metricas dp de C[a, b] son las inducidas por las normas ‖·‖p.

6. La metrica d∞ de C[a, b] es la inducida por la norma ‖·‖∞.�

Por otro lado, no todo espacio metrico es normado. De manera mas precisa, no paratoda metrica existe una norma que la induzca. Para probar este resultado, necesitamos delsiguiente teorema.

TEOREMA 1.6 (Traslacion invariante). Sea (E, d) un espacio metrico tal que d sea inducidapor una norma ‖·‖ sobre E. Entonces, para todo x ∈ E, y ∈ E, a ∈ E y λ ∈ K, se verificanlas siguientes igualdades:

1. d‖·‖(x + a, y + a) = d‖·‖(x, y).

2. d‖·‖(λx, λy) = |λ|d‖·‖(x, y).

Ahora vamos a probar que existe al menos un espacio metrico cuya metrica no es indu-cida por una norma.

TEOREMA 1.7. Sea (E, d) un espacio metrico discreto tal que E sea un espacio vectorialsobre K y tenga al menos dos elementos. Ninguna norma sobre E induce la metrica d.

Demostracion. Supongamos lo contrario: sea ‖·‖ una norma sobre E tal que la metrica d‖·‖,

la inducida por la norma, sea igual a d; es decir, la norma ‖·‖ es tal que

d‖·‖ = d.

Por lo tanto, d debe satisfacer las dos igualdades del teorema 1.6; en particular la segunda1.6.2:

d(λx, λy) = |λ|d(x, y) (1.2)

para todo x ∈ E, todo y ∈ E y todo λ ∈ K.Sin embargo, si tomamos x0 ∈ E y y0 ∈ E tales que x0 6= y0 —que existen, ya que E

tienen al menos dos elementos—, y λ ∈ K tal que |λ| 6= 0 y |λ| 6= 1, tenemos, por un lado,que

λx0 6= λy0 y d(λx0, λy0) = 1;

y, por otro lado, que

d(λx, λy) = |λ|d(x0, y0) = |λ| · 1 = |λ| 6= 1.

Por lo tanto, para x0, y0 y λ, se verifica

d(λx, λy) 6= |λ|d(x, y),

que contradice (1.2).Esta contradiccion nos dice que es imposible que pueda existir una norma que induzca

la metrica discreta.

15

3.3 Ejercicios

1. Sean M n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n y de numeros reales, y ‖·‖ cual-quier norma de Rn. Sea L ∈ M n; se define1

‖L‖ = sup{‖Lx‖ : ‖x‖ ≤ 1}.

(a) Demuestre que ‖L‖ define una norma sobre M n.

(b) Pruebe que ‖LM‖ ≤ ‖L‖ ‖[M]‖.

(c) Sea L una matriz de orden 2:

L =

(

a bb c

)

,

donde a > 0 y c > 0. Si se considera R2 con la norma euclıdea, demuestre que

‖L‖ =1

2

(

a + c +√

(a − c)2 + 4b2

)

.

2. Sean [a, b] un intervalo acotado de numeros reales y f : [a, b] −→ R. Se define la variacion total def al numero

V( f ; a; b) = sup

n

∑j=1

| f (ti)− f (ti−1)| : P = {tj : 0 ≤ j ≤ n} es una particion de [a, b]

.

Si V( f ; a; b) es finito, se dice que la funcion f es de variacion acotada en [a, b]. Demuestre que

‖ f ‖ = | f (a+)|+ V( f ; a; b),

dondef (a+) = lım

t→a+f (t),

define una norma sobre el conjunto de todas las funciones de variacion acotada sobre el intervalo[a, b].

3. Sea R [a, b] el conjunto de todas las funciones reales que son integrables segun Riemann en elintervalo [a, b]. Sea x ∈ R [a, b]; la funcion N, definida sobre R [a, b] a traves de la igualdad

N(x) =∫ b

a|x(t)|dt,

¿define una norma sobre R [a, b]?

4. En el conjunto FDC1[a, b], ¿las funciones N1 y N2 definen sendas normas, donde

N1(x) = maxt∈[a,b]

|x′(t)| y N2(x) =∫ b

a|x(t)|dt + N1(t)?

4 Producto interior o escalar. Mediante la estructura de metrica, provista a un conjunto,podemos medir la distancia entre dos elementos de dicho conjunto. Sin embargo, no essuficiente dicha estructura para hablar de la longitud de dichos elementos. Para ello, es ne-cesario considerar la estructura de espacio vectorial y de norma. Sin embargo, la estructurade norma no es suficiente para definir el concepto de ortogonalidad2; para ello, es necesariola estructura de producto escalar.

1Aquı Lx es considerado como el producto de la matriz L, de orden n y la matriz x, de orden n × 1, que nos da,a su vez, un vector, o una matriz de orden n × 1.

2En realidad, esto no es preciso. A traves del espacio dual, podemos hablar, en cierto sentido, de ortogonalidaden un espacio de Banach, como se vera mas adelante.

16

DEFINICION 1.6 (Espacio con producto escalar 3). Sea E un espacio vectorial sobre un cuer-po K. Un producto interior o escalar sobre E es una funcion 〈·, ·〉 : E × E −→ K que satisfacelas siguientes propiedades para x ∈ E, y ∈, z ∈ E y λ ∈ K:

1. Aditiva: 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉.

2. Homogenea: 〈λx, y〉 = λ 〈x, y〉.

3. Simetrica: 〈x, y〉 = 〈y, x〉.

4. Positiva: 〈x, x〉 ≥ 0 .

5. Definida positiva: 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0.

Ademas:

1. A la pareja (E, 〈·, ·〉) se le llama espacio con producto escalar.

2. Se acostumbra decir que el espacio vectorial E esta provisto del producto escalar 〈·, ·〉.

3. El escalar (elemento de K) 〈x, y〉 es referido como el producto escalar de x con y.

4.1 Ejemplos

1. EL ESPACIO EUCLIDEO Rn. La funcion

〈·, ·〉 : Rn × Rn −→ R

(x, y) 7−→ 〈x, y〉 =n

∑j=1

xjyj

es un producto escalar sobre Rn. El espacio con producto escalar (Rn, 〈·, ·〉) es conocidocomo el espacio euclıdeo Rn.

2. EL ESPACIO UNITARIO Cn. La funcion

〈·, ·〉 : Cn × Cn −→ C

(x, y) 7−→ 〈x, y〉 =n

∑j=1

xjyj

es un producto escalar sobre Cn. El espacio con producto escalar (Cn, 〈·, ·〉) es conocidocomo el espacio unitario Rn.

3. EL ESPACIO DE HILBERT ℓ2. La funcion

〈·, ·〉 : S2 × S2 −→ C

(x, y) 7−→ 〈x, y〉 =n

∑j∈N

xjyj,

donde x = (xj) y y = (yj), es un producto escalar sobre ℓ2. El espacio con producto

escalar (ℓ2, 〈·, ·〉) es conocido como el espacio de Hilbert ℓ2.

3He preferido utilizar “escalar” en lugar de “interior”, porque esta ultima palabra se suele utilizar para indicaruna operacion sobre un conjunto que asocia uno o mas elementos del conjunto a un elemento del mismo elementodel conjunto, que no es el caso del producto escalar.

17

4. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS SOBRE UN COMPACTO. Sea [a, b] un intervalocerrado y acotado de numeros reales. La funcion

〈·, ·〉 : FC[a, b]× FC[a, b] −→ C

(x, y) 7−→ 〈x, y〉 =∫ b

ax(t)y(t)dt

es un producto escalar. El espacio (FC[a, b], 〈·, ·〉) se representa por C2[a, b].

5. OTRO ESPACIO DE FUNCIONES CONTINUAS. Sea

F1 =

{

x : [0, ∞) −→ R : x es continua en [0, ∞) y∫ ∞

0|x(t)|2e−tdt < ∞

}

.

La funcion〈·, ·〉 : F1 × F1 −→ R

(x, y) 7−→ 〈x, y〉 =∫ b

ax(t)y(t)e−tdt

es un producto escalar.

4.2 Norma inducida. Todo espacio con producto escalar es un espacio normado. De ma-nera mas precisa, se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA 1.8 (Norma inducida por el producto escalar). Sea (E, 〈·, ·〉) un espacio con pro-ducto escalar. Entonces la funcion4

‖·‖〈·,·〉 : E −→ R

x 7−→ ‖x‖〈·,·〉 = 〈x, x〉12

es una norma sobre E denominada norma inducida por el producto escalar 〈·, ·〉; es decir, Ees un espacio normado provisto con la norma ‖·‖〈·,·〉.

Se concluye, entonces, que todo lo que se pueda decir de un espacio normado, metricoy topologico es aplicable a un espacio con producto escalar visto como espacio normado,metrico y topologico con la norma inducida, la metrica inducida por la norma inducida yla topologıa inducida por la metrica inducida, respectivamente.

Para demostrar el teorema 1.8, es necesario probar antes el siguiente teorema.

TEOREMA 1.9 (Desigualdad de Schwartz). Sea (E, 〈·, ·〉) un espacio con producto escalar.Se verifica la desigualdad

| 〈x, y〉 | ≤ 〈x, x〉12 〈y, y〉

12 (1.3)

para todo x ∈ E y todo y ∈ E. La igualdad ocurre si y solo si {x, y} es una conjuntolinealmente dependiente.

Con la ayuda de esta desigualdad, se prueba que la funcion definida por (1.3) satisfaceel cuarto axioma que define una norma —la desigualdad triangular—. De manera masprecisa, tenemos el siguiente teorema.

TEOREMA 1.10 (La desigualdad triangular). Sea (E, 〈·, ·〉) un espacio con producto escalar.Entonces, para todo x ∈ E y todo y ∈, se verifica la desigualdad

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , (1.4)

donde

‖x‖ = 〈x, x〉12 .

La igualdad se alcanza en (1.4) si y solo si x = 0 o y = λx, con λ ≥ 0.

4Esta funcion esta bien definida gracias al cuarto axioma de producto escalar.

18

Ejemplo 3

1. La norma de ℓ2 es la inducida por el producto escalar de ℓ2:

‖x‖2 = 〈x, x〉12 =

∑j∈N

xjxj

12

=

∑j∈N

|xj|2

12

.

2. La norma ‖·‖2 de Rn es la norma inducida por el producto escalar del espacio euclıdeo Rn:

‖x‖2 = 〈x, x〉12 =

n

∑j=1

xjxj

12

=

n

∑j=1

|xj|2

12

.

3. La norma ‖·‖2 de Cn es la norma inducida por el producto escalar del espacio unitario Cn:

‖x‖2 = 〈x, x〉 12 =

n

∑j=1

xjxj

12

=

n

∑j=1

|xj|2

12

.

4. La norma ‖·‖2 de C2[a, b] es la norma inducida por el producto escalar del espacio de las fun-ciones continuas sobre un compacto:

‖x‖2 = 〈x, x〉12 =

(

∫ b

ax(t)y(t)dt

)12

=

(

∫ b

a|x(t)|2dt

)12

.

�

Por otro lado, no toda norma proviene de un producto escalar; es decir, existe una nor-ma tal que ningun producto escalar induce a dicha norma. Para demostrar esta afirmacion,probemos antes una propiedad de una norma inducida por un producto escalar.

TEOREMA 1.11 (Igualdad del paralelogramo). Sean (E, 〈·, ·〉) un espacio con producto es-calar y ‖·‖ la norma inducida por el producto escalar. Entonces, para todo x ∈ E y todoy ∈ E, se verifica la siguiente igualdad:

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2). (1.5)

El resultado se obtiene por aplicaciones simples de los axiomas que definen el productoescalar y de las siguientes consecuencias elementales de estos axiomas.

TEOREMA 1.12. Sea (E, 〈·, ·〉) un espacio con producto escalar. Se verifican las siguientespropiedades:

1. Si K = R, entonces el producto escalar es simetrico: 〈x, y〉 = 〈y, x〉.

2. 〈λx + µy, z〉 = λ 〈x, z〉+ µ 〈y, z〉.

3. 〈x, λy〉 = λ 〈x, y〉.

4. 〈x, λy + µz〉 = λ 〈x, y〉+ µ 〈x, z〉.

Por supuesto, la demostracion de este teorema se obtiene, facilmente, de la aplicacionde los axiomas de producto escalar. Ahora probemos el teorema 1.11.

19

Demostracion. El resultado se obtiene por aplicaciones simples de los axiomas que definenel producto escalar. Por un lado tenemos que:

‖x + y‖2 = 〈x + y, x + y〉= 〈x, x + y〉+ 〈y, x + y〉= (〈x, x〉+ 〈x, y〉) + (〈y, x〉+ 〈y, y〉)=(

‖x‖2 + ‖y‖2)

+(

〈x, y〉+ 〈x, y〉)

=(

‖x‖2 + ‖y‖2)

+ 2ℜ(〈x, y〉).

Por otro lado, tenemos que:

‖x − y‖2 = ‖x + (−y)‖2

= 〈x + (−y), x + (−y)〉= 〈x, x + (−y)〉+ 〈(−y), x + (−y)〉= (〈x, x〉+ 〈x, −y〉) + (〈−y, x〉+ 〈−y, −y〉)=(

〈x, x〉+−1 〈x, y〉)

+(

− 〈y, x〉+ (−1)(−1) 〈y, y〉)

= (〈x, x〉 − 〈x, y〉) + (− 〈y, x〉+ 〈y, y〉)=(

‖x‖2 + ‖y‖2)

−(

〈x, y〉+ 〈x, y〉)

=(

‖x‖2 + ‖y‖2)

− 2ℜ(〈x, y〉).

Por lo tanto, obtenemos que:

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 =(

‖x‖2 + ‖y‖2)

+ 2ℜ(〈x, y〉) +(

‖x‖2 + ‖y‖2)

− 2ℜ(〈x, y〉)

= 2(

‖x‖2 + ‖y‖2)

.

El teorema que acabamos de demostrar nos permite mostrar que no todo espacio nor-mado es un espacio con producto escalar en el sentido de que la norma se la inducida porun producto escalar. De manera mas precisa, probemos el siguiente teorema.

TEOREMA 1.13 (El espacio C[a, b] no es uno con producto escalar). No existe un productoescalar que induzca la norma del espacio C[a, b].

Demostracion. Razonemos por contradiccion. Para ello, supongamos que existe un produc-to escalar 〈·, ·〉 tal que la norma de C[a, b] es inducida por este producto escalar; es decir, talque

‖x‖∞ = max{|x(t)| : t ∈ [a, b]} = 〈x, x〉12 .

Por lo tanto, por el teorema 1.11, para todo x ∈ C[a, b] y todo y ∈ C[a, b], se debe verificarla igualdad (1.5):

‖x + y‖2∞ + ‖x − y‖2

∞ = 2(‖x‖2∞ + ‖y‖2

∞). (1.5)

Sin embargo, si x0 y y0 son tales que

x0 : [a, b] −→ R

t 7−→ x0(t) = 1y

y0 : [a, b] −→ R

t 7−→ y0(t) =t − a

b − a,

no se verifica la igualdad (1.5).

20

En efecto, tenemos que

‖x0‖∞ = max{|x0(t)| : t ∈ [a, b]} = max{1 : t ∈ [a, b]} = 1.

Como y0 es una funcion estrictamente creciente, entonces

‖y0‖∞ = max{|y0(t)| : t ∈ [a, b]} = y0(b) =b − a

b − a= 1.

Por lo tanto:2(‖x0‖2

∞ + ‖y0‖2∞) = 2(12 + 12) = 4. (1.6)

Ahora, calculemos ‖x + y‖2∞ y ‖x − y‖2

∞. El primer lugar, tenemos que

(x0 + y0)(t) =t + b − 2a

b − ay (x0 − y0)(t) =

−t + b

b − a

para todo t ∈ [a, b]. Por lo tanto, x0 + y0 es estrictamente creciente y x0 − y0 es estrictamentedecreciente. Tenemos, entonces, que:

‖x0 + y0‖∞ = max{|x0(t) + y0(t)| : t ∈ [a, b]}= x0(b) + y0(b) = 2,

‖x0 − y0‖∞ = max{|x0(t)− y0(t)| : t ∈ [a, b]}= x0(a)− y0(a) = 1,

lo que muestra que

‖x0 + y0‖2∞ + ‖x0 − y0‖2

∞ = 22 + 12 = 5. (1.7)

Las igualdades (1.6) y (1.7) muestran que la igualdad del paralelogramo (1.5) no severifica para x0 y y0. En otras palabras, la norma del espacio C[a, b] no es inducida porningun producto escalar.

Dado un espacio con producto escalar, cuando hablemos de el como un espacio norma-do, si no se dice lo contrario, esa norma siempre sera la inducida por el producto escalar.

4.3 Ejercicios

1. Sea

F2 =

{

x : R −→ R : x es continua en R y∫ ∞

0|x(t)|2e−t2

dt < ∞

}

.

Probar que la funcion

〈·, ·〉 : F2 × F2 −→ R

(x, y) 7−→ 〈x, y〉 =∫ b

ax(t)y(t)e−t2

dt

es un producto escalar. Sea Ξ = (F2, 〈·, ·〉).(a) Si x : R −→ R tal que x(t) = 1 para todo t ∈ R y y : R −→ R tal que y(t) = t, ¿x ∈ Ξ?

¿y ∈ Ξ? En el caso de que la respuesta sea afirmativa, calcule 〈x, y〉 y las normas de x y de y,respectivamente.

(b) Sean x0 y y0 dos funciones definidas de la siguiente manera:

x0(t) =

{

1 si t ∈ [−1, 1],

0 si t ∈ R − [1, 1]y y0(t) =

{

t si t ∈ [−1, 1],

0 si t ∈ R − [1, 1].

¿x0 ∈ Ξ? ¿y0 ∈ Ξ? En el caso de que la respuesta sea afirmativa, calcule 〈x0, y0〉 y las normasde x0 y de y0, respectivamente.

21

2. Sean k ∈ N, l ∈ N y fk :[

0, π2

]

−→ R, gl :[

0, π2

]

−→ R tales que

fk(t) = cos kt y gl(t) = sen lt

para todo t ∈ [0, π/2]. Calcule las normas de x, de y y 〈x, y〉 en el espacio C2[0, π/2].

3. Sean n ∈ N, y las sucesiones xn, yn definidas por

xnj =

0 si 0 ≤ j ≤ 2n,1

2n+j si 1 ≤ j ≤ n,

0 si j > 2n + n

y ynj =

{

1n si 1 ≤ j ≤ n2,

0 si j > n2.

Pruebe que xn ∈ ℓ2, yn ∈ ℓ2 para todo n ∈ N. Ademas, halle las normas de xn y yn, respectiva-mente, y calcule el producto escalar de x con y y de y con x.

4. Demuestre la norma del espacio ℓp no es inducida por ningun producto escalar si p 6= 2.

5 Las desigualdades de Young, Holder y Minkowski. Para probar que las funciones dp,‖·‖p, con p > 1, son metricas o normas en los espacios Rn, ℓp y Cp[a, b], se utilizan las

siguientes desigualdades indicadas en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.14. Sean p y q dos numeros reales positivos conjugados; es decir, tales queq > 1, q > 1 y

1

p+

1

q= 1.

Entonces:

1. Desigualdad de Young: si x y y son dos numeros reales positivos, entonces:

xy ≤ xp

p+

yq

q.

2. Desigualdad de Holder para

(a) sumas finitas: si x ∈ Rn y y ∈ Rn, entonces:

n

∑j=1

|xjyj| ≤(

n

∑j=1

|xj|p) 1

p(

n

∑j=1

|yj|q) 1

q

,

donde x = (x1, x2, . . . , xn) y y = (y1, y2, . . . , yn);

(b) sumas infinitas: si x ∈ Sp y y ∈ Sq, entonces:

∑j∈N

|xjyj| ≤(

∑j∈N

|xj|p) 1

p(

∑j∈N

|yj|q) 1

q

,

donde x = (xj) y y = (yj);

(c) integrales: si x y y son funciones continuas en [a, b], entonces:

∫ b

a|x(t)y(t)|dt ≤

(

∫ b

a|x(t)|pdt

)1p(

∫ b

a|y(t)|qdt

)1q

;

cuando p = q = 2, estas desigualdades son conocidas por el nombre de desigualdadde Schwarz.

22

3. Desigualdad de Minkowski para:

(a) sumas finitas: si x ∈ Rn y y ∈ Rn, entonces:

(

n

∑j=1

|xj ± yj|p) 1

p

≤(

n

∑j=1

|xj|p) 1

p

+

(

n

∑j=1

|yj|p) 1

p

;

(b) sumas infinitas: si x ∈ Sp y y ∈ Sp, entonces:

(

∑j∈N

|xj ± yj|p) 1

p

≤(

∑j∈N

|xj|p) 1

p

+

(

∑j∈N

|yj|p) 1

p

;

(c) integrales: si x y y son funciones continuas en [a, b], entonces:

(

∫ b

a|x(t)± y(t)|pdt

)1p

≤(

∫ b

a|x(t)|pdt

)1p

+

(

∫ b

a|y(t)|pdt

)1p

.

La demostracion de estas desigualdades pueden ser encontradas en la mayorıa de loslibros de la bibliografıa. El siguiente teorema tambien es de mucha ayuda para los espaciosde funciones continuas.

TEOREMA 1.15. Sea x : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b] tal que x(t) ≥ 0 paratodo t ∈ [a, b] y

∫ b

ax(t)dt = 0. (1.8)

Entonces x(t) = 0 para todo t ∈ [a, b].

Demostracion. Supongamos lo contrario; es decir, supongamos que existe t0 ∈ [a, b] tal quex(t0) 6= 0. Supongamos, ademas, que t0 6∈ {a, b}; luego analizaremos estos dos casos.

Sea α = x(t0); entonces α > 0. Como x es una funcion continua en t0, existe δ > 0 talque

|x(t)− x(t0)| <α

2

para todo t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) ∩ [a, b]. Por lo tanto, de esta desigualdad, obtenemos que

−α

2< x(t)− α <

α

2;

es decir, obtenemos que

x(t) >α

2> 0

para todo t ∈ (c, d) = (t0 − δ, t0 + δ) ∩ [a, b]. Por lo tanto, tenemos que

∫ d

cx(t)dt >

∫ d

c

α

2dt =

α(d − c)

2. (1.9)

Concluimos, entonces, de la desigualdad (1.9) que:

∫ b

ax(t)dt ≥

∫ d

cx(t)dt >

α(d − c)

2> 0,

pues c 6= d, lo que contradice con la hipotesis (1.8) sobre x. Esto significa que x = 0.En el caso de que t0 = a, entonces c = a; si t0 = b, d = b.

23

Capıtulo 2

Abiertos y cerrados

En este capıtulo, vamos a estudiar los conceptos de conjuntos abiertos y cerrados, frontera,interior, clausura y exterior. Empezaremos con la nocion de abierto en un espacio topologi-co. En el capıtulo siguiente, trabajaremos las sucesiones, para en capıtulo subsiguiente,caracterizar los conceptos de este capıtulo mediante las sucesiones.

1 Abiertos. La topologıa inducida por la metrica esta constituida por todos los conjuntosdel espacio metrico para los cuales todo elemento es el centro de una bola abierta contenidaen el conjunto. Por eso, en un espacio metrico, aceptamos como definicion de conjuntoabierto la siguiente.

DEFINICION 2.1 (Conjunto abierto). Sea (E, d) un espacio metrico. Un conjunto A de E esabierto si y solo si para todo x ∈ E, existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ A.

En particular, se tiene el siguiente teorema para espacios metricos. Puede verse esteresultado como un caso particular de la definicion de topologıa, o puede demostrarse apartir de la definicion anterior.

TEOREMA 2.1 (Propiedades de los abiertos). Sea (E, d) un espacio metrico. Entonces:

1. E y ∅ son conjuntos abiertos.

2. La union arbitraria de abiertos es un conjunto abierto. De manera mas precisa: si{Ai}i∈I es una familia de conjuntos abiertos de I; es decir, si para todo i ∈ I, Ai es unconjunto abierto. Entonces

⋃

i∈I

Ai


3. La interseccion de un numero finito de abiertos es un conjunto abierto. De maneramas precisa: si {Ai}i∈I es una familia de conjuntos abiertos de I, con I un conjuntofinito, entonces

⋂

i∈I

Ai


4. La interseccion arbitraria de abiertos no es un conjunto abierto. En efecto, si I = N y

Ai =

(

−1

i,

1

i

)

25

para todo i ∈ I con i 6= 0, entonces todos los Ai son conjunto abiertos su intersecciones

⋂

i∈I

Ai = {0},

que no es un conjunto abierto.

1.1 Ejemplo: las bolas abiertas. Sea (E, d) un espacio metrico. Dado a ∈ E y r > 0, recordemosque la bola de centro a y radio r es el conjunto

Br(a) = {x ∈ E : d(a, x) < r}.

Para cada a ∈ E y cada r > 0, la bola abierta Br(a) es un conjunto abierto.En particular, en R, con la metrica usual, todos los intervalos simetricos

(−a, a),

donde a > 0, son conjuntos abiertos, pues son las bolas abiertas Br(a) con r = a.Tambien, con la metrica usual en R, tenemos que todo intervalo finito (longitud finita) de nume-

ros reales es un conjunto abierto. En efecto, sea (a, b), con a < b un intervalo abierto:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

Entonces(a, b) = Br(c)

con c = (a + b)/2 y r = b − c = c − a, de donde se deduce que es un conjunto abierto.Se puede dar una demostracion de que este conjunto es abierto utilizando la definicion 2.1. En

efecto: sea x ∈ (a, b). Entonces, sir = mın{x − a, b − x},

se tiene que r > 0 y queBr(x) = (x − r, x + r) ⊆ (a, b).

En R2, con la metrica euclıdea, tenemos que los conjuntos de la forma

{(x1, x2) ∈ R2 : x2

1 + x22 < r2} = Br(O)

con r > 0 y O = (0, 0), son conjuntos abiertos.

De manera similar, se puede demostrar que los siguientes intervalos son conjuntos abiertos en R

con la metrica usual: (−∞, a), (a,+∞).

1.2 Ejemplo: un conjunto no abierto. En R, todo conjunto unitario {a} no es abierto. En efecto,para todo r > 0, el intervalo (a − r, a + r) no esta contenido en {a}; por lo tanto, ninguna bola abiertacentrada en a, el unico elemento del conjunto unitario {a} esta contenida en este conjunto.

En R, con la metrica usual, los conjuntos (a, b], [a, b), (−∞, a] y [a,+∞) no son conjunto abiertos.

1.3 Ejemplo: bolas abiertas en el espacio discreto. Sea (E, d) un espacio metrico discreto.Todo conjunto de E es un conjunto abierto.

Para probar esta afirmacion, caractericemos, en primer lugar, las bolas en un espacio metricodiscreto. Es facil comprobar que si a ∈ E y r > 0, entonces

Br(a) =

{

{a} si r ≤ 1,

E si r > 1.

Ahora, sea A ⊆ E (no vacıo). Sea a ∈ A; entonces

B 12(a) = {a} ⊆ A;

por lo tanto, A es abierto.

26

1.4 Ejemplo: bolas abiertas en espacios normados. En un espacio normado, la bola abiertaBr(a) puede ser expresada de la siguiente manera:

Br(a) = {x ∈ E : ‖a − x‖ < r}.

1.5 Ejemplo: bolas abiertas en C[a, b]. En el espacio C[a, b], el conjunto

{x ∈ C[a, b] : |x(t)| < 1 para todo t ∈ [a, b]},

es un conjunto abierto, pues

{x ∈ C[a, b] : |x(t)| < 1 para todo t ∈ [a, b]} = {x ∈ C[a, b] : maxt∈[a,b]

|x(t)| < 1}

= {x ∈ C[a, b] : ‖x‖∞ < 1},

que es la bola abierta de centro 0 y radio 1 en C[a, b].

2 Cerrados

DEFINICION 2.2 (Conjunto cerrado). Sea (E, τ) un espacio topologico. Un conjunto A ⊂ Ees cerrado si y solo si su complemento E − A es abierto; es decir, si E − A ∈ τ.

De la definicion de conjunto cerrado y del teorema 2.1 y de las propiedades de los com-plementos de uniones e intersecciones, se deduce el siguiente teorema.

TEOREMA 2.2 (Propiedades de los cerrados). Sea E un espacio topologico. Entonces:

1. los conjuntos ∅ y E son conjuntos cerrados;

2. la union de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado; es decir, si{Aj}j∈J, donde J es un conjunto finito, es una familia de conjuntos cerrados, entonces

⋃

j∈J

Aj

es un conjunto cerrado.

3. la interseccion de cualquier familia de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado;es decir, si {Aj}j∈J, donde J es un cualquier conjunto, es una familia de conjuntoscerrados, entonces

⋂

j∈J

Aj

es un conjunto cerrado.

2.1 Ejemplo: las bolas cerradas. Sea (E, d) un espacio metrico. Dado a ∈ E y r > 0, la bolacerrada de centro a y radio r es definida como el conjunto

Br[a] = {x ∈ E : d(a, x) ≤ r}.

Para cada a ∈ E y cada r > 0, la bola cerrada Br [a] es un conjunto cerrado.

2.2 Ejemplo: las esferas. Sea (E, d) un espacio metrico. Dado a ∈ E y r > 0, la esfera de centro a yradio r es el conjunto

Sr(a) = {x ∈ E : d(a, x) = r}.

Para cada a ∈ E y cada r > 0, esfera Sr(a) es un conjunto cerrado.

27

2.3 Ejemplo: Los conjuntos finitos en un espacio metrico. Sea (E, d) un espacio metrico.Todo conjunto unitario es un conjunto cerrado, pues, por el teorema 1.3, el complemento del conjuntounitario siempre es un conjunto abierto.

Ahora, mediante induccion matematica y el teorema 2.2, se prueba facilmente que todo conjuntoA, finito y no vacıo, es cerrado, pues:

A = {ai : i ∈ I} =⋃

i∈I

{ai}

y el conjunto I es finito.

2.4 Ejemplo: conjuntos no cerrados. En R, con la metrica usual, los conjuntos (a, b], [a, b),

(a,+∞) y (−∞, a) no son conjuntos cerrados.

Terminemos esta seccion con un par de propiedades faciles de probar sobre las bolasabiertas y cerradas.

TEOREMA 2.3. Sea (E, d) un espacio metrico. Si a ∈ E, 0 < r < s, entonces

Br(a) ⊆ Bs(a).

Ademas, se tiene queBr(a) ⊆ Br[a].

3 Caracterizacion topologica de los abiertos y de los cerrados

DEFINICION 2.3 (Vecindad). Sean (E, τ) un espacio topologico y a ∈ E. Una parte V de Ees una vecindad de a si y solo si existe un abierto U en E tal que a ∈ U ⊂ V.

Que un elemento a de un espacio topologico este en una vecindad quiere decir, en-tonces, que siempre existe un conjunto abierto U que tiene a a como elemento. Es claro,entonces, que todo conjunto abierto es una vecindad de cada uno de sus puntos, y en losespacios metricos, todas las bolas abiertas y cerradas son vecindades de cada uno de suspuntos.

A traves de la nocion de vecindad podemos caracterizar a los conjuntos abiertos. Demanera mas precisa, se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA 2.4. Sea (E, τ) un espacio topologico. Una condicion necesaria y suficiente paraun conjunto A ⊂ E sea abierto es que para todo x ∈ A, exista una vecindad Vx de x tal queVx ⊂ A.

Demostracion. La demostracion de que la condicion es necesaria es trivial. Veamos que la condicion essuficiente. Para ello, supongamos que para todo x ∈ A, existe una vecindad Vx de x tal que Vx ⊂ A.Demostremos que A es un conjunto abierto.

Sean x ∈ A y Vx ⊂ A la vecindad que tiene a x como elemento. Existe, entonces, un conjuntoabierto Ax tal que

x ∈ Ax ⊂ Vx ⊂ A.

Por lo tanto:{x} ⊂ Ax ⊂ A.

Si tomamos las uniones generalizadas “haciendo” recorrer x en A, tenemos que:

⋃

x∈A

{x} ⊂⋃

x∈A

Ax ⊂⋃

x∈A

A. (2.1)

PeroA =

⋃

x∈A

{x} y⋃

x∈A

A = A.

28

Entonces, de (2.1), concluimos que

A ⊂⋃

x∈A

Ax ⊂ A;

es decir, tenemos que

A =⋃

x∈A

Ax,

donde Ax es un abierto para todo x ∈ A. Por lo tanto, A es un conjunto abierto, pues es la union deconjuntos abiertos.

Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E. Es facil probar que existen el conjunto abier-to mas grande que esta contenido en A y el conjunto cerrado mas pequeno que contiene alconjunto A. El primero se obtiene tomando la union de todos los abiertos que estan con-tenidos en A; el segundo, tomando la interseccion de todos los cerrados que contienen aA.

De manera mas precisa, para el caso del abierto mas grande, se tiene el siguiente teore-ma.

TEOREMA 2.5 (Interior de un conjunto). Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E. En-tonces, el conjunto

int A =⋃

{B : B ∈ τ y B ⊂ A}satisface las siguientes propiedades:

1. es abierto; es decir, int A ∈ τ;

2. es el abierto mas grande que esta contenido en A; es decir, si X ⊂ A y X es abierto,entonces X ⊂ int A.

Para el caso del cerrado mas pequeno, se tiene, en cambio, el siguiente teorema.

TEOREMA 2.6 (Clausura de un conjunto). Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E.Entonces, el conjunto

A =⋂

{B : E − B ∈ τ y A ⊂ B}satisface las siguientes propiedades:

1. es cerrado; es decir, E − A ∈ τ;

2. es el cerrado mas grande que contiene al conjunto A; es decir, si A ⊂ X y X es cerrado,entonces A ⊂ X.

A traves del interior y la adherencia de un conjunto, podemos caracterizar los concep-tos de abierto y cerrado, respectivamente. De manera mas precisa, tenemos el siguienteteorema, cuya demostracion se obtiene facilmente por aplicacion de los teoremas 2.5 y 2.6.

TEOREMA 2.7 (Caracterizacion de abierto y cerrado). Sean (E, τ) un espacio topologico yA ⊂ E. Entonces:

1. A es abierto si y solo si int A = A.

2. A es cerrado si y solo si A = A.

El interior y el exterior preservan la relacion de subconjuntos:

TEOREMA 2.8. Sea (E, τ) un espacio topologico. Entonces:

1. Si A ⊆ B, entonces int A ⊆ int B.

2. Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B.

29

Demostracion. Como int A ⊆ A, entonces se tiene que int A ⊆ B. Por lo tanto, int A es un abierto queesta contenido en B, de donde, por la definicion de interior de B, se tiene que

int A ⊆ int B.

Por otro lado, como B ⊆ B, se tiene que A ⊆ B; por lo tanto, B es un cerrado que contiene a A, dedonde, por la definicion de adherencia de A, se tiene que

A ⊆ B,

como se querıa demostrar.

La definicion de interior puede ser caracterizada tambien de la siguiente manera.

TEOREMA 2.9. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E. Entonces

x ∈ int A ⇔ ∃Vx, una vecindad de x, tal que Vx ⊂ A.

Ahora dediquemos tiempo a una caracterizacion de la clausura.

TEOREMA 2.10. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E. Entonces

x ∈ A ⇔ ∀ Vx , una vecindad de x, Vx ∩ A 6= ∅.

Demostracion. En primer lugar, supongamos que x ∈ A. Debemos probar que toda vecindad de x seinterseca con A. Supongamos lo contrario; es decir, supongamos que existe una vecindad V de x talque

V ∩ A = ∅.

Sea U el abierto tal quex ∈ U ⊆ V. (2.2)

Como V ∩ A = ∅, tambien se tiene que U ∩ A = ∅. De esta igualdad se deduce que

A ⊆ (E − U), (2.3)

ya que si z ∈ A, entonces z 6∈ U.Ahora bien, dado que E − U es un conjunto cerrado, pues U es abierto, tenemos, por definicion

de adherencia y por (2.3), queA ⊆ (E − U),

de donde, como x ∈ A, se verificarıa que x ∈ (E −U), proposicion que contradice a (2.2). Se demues-tra ası que la condicion es necesaria.

Recıprocamente, supongamos toda vecindad de x tiene interseccion no vacıa con A; probemosque x ∈ A. Para ello, sea F un conjunto cerrado tal que

A ⊆ F.

Debemos probar que x ∈ F.Supongamos lo contrario; es decir, supongamos que x 6∈ F. Entonces x ∈ U = E − F. Como U es

abierto, U serıa una vecindad de x, de donde, por hipotesis, se verificarıa que

U ∪ A 6= ∅.

Por lo tanto, existirıa z ∈ U tal que z ∈ A. Luego, por la definicion de U, z 6∈ F, lo que es imposible,ya que, como A ⊆ F, entonces z ∈ A. Concluimos, entonces, que x ∈ F.

TEOREMA 2.11 (Exterior). Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E. Entonces el conjunto

ext A =⋃

{B : B ∈ τ y A ∩ B = ∅},

al que se lo denomina exterior del conjunto A, cumple las siguientes propiedades.

30

1. ext A es abierto.

2. ext A ∩ A = ∅

La demostracion es bastante sencilla.

DEFINICION 2.4 (Frontera). Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊂ E. El conjunto

∂A = A − int A

es conocido con el nombre de frontera del conjunto A.

La frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado, pues es la interseccion dedos conjuntos cerrados:

∂A = A ∩ (E − int A).

Dado un conjunto A en un espacio topologico E, el interior, exterior y frontera de Aconstituyen una particion del conjunto E. De manera mas precisa, se tiene el siguienteteorema.

TEOREMA 2.12 (Particion de un espacio topologico). Sean (E, τ) un espacio topologico yA ⊂ E. Entonces la clase

{int A, ∂A, ext A}es una particion de E; es decir:

1. E = int A ∪ ∂A ∪ ext A; y

2. los conjuntos int A, ∂A y ext A son disjuntos dos a dos.

Demostracion. En primer lugar, probemos que E es la union de los tres conjuntos. Dado que cadauno de ellos son subconjuntos de E, la union de los tres es un subconjunto de E. Resta, por lo tanto,probar

E ⊆ int A ∪ ∂A ∪ ext A.

Sea x ∈ E. Vamos a demostrar que x debe estar en uno de esos tres conjuntos. Para ello, vamos aconsiderar tres casos.

1. Si x 6∈ ∂A y x 6∈ int A, probemos que x ∈ ext A.

Para ello, debemos demostrar que existe un conjunto abierto B que satisface las siguientescondiciones:

A ∩ B = ∅ y x ∈ B. (2.4)

Por un lado, de x 6∈ ∂A, obtenemos que

x 6∈ A − int A;

es decir, tenemos quex 6∈ A o x 6∈ E − int A. (2.5)

Sin embargo, por hipotesis tenemos que x 6∈ int A; es decir, x ∈ E− int A, por lo que la proposicionde la derecha en (2.5) es falsa. Esto implica que la proposicion a la izquierda de la disyuncionen (2.5) es verdadera:

x 6∈ A.

Esta ultima proposicion, por la caracterizacion de la clausura mediante vecindades (teorema 2.10en la pagina 30), podemos asegurar la existencia de una vecindad V de x tal que

V ∩ A = ∅. (2.6)

Sea B el abierto tal quex ∈ B ⊆ V,

31

de donde, por (2.6), podemos concluir que

B ∩ A = ∅

con lo que se ha encontrado el abierto B que satisface las dos condiciones en (2.4). Esto quieredecir que x ∈ ext A como se querıa demostrar.

2. Si x 6∈ ∂A y x 6∈ ext A, probemos que x ∈ int A.

De la hipotesis x 6∈ ∂A, tenemos la disyuncion (2.5), que es equivalente a

x 6∈ A o x ∈ int A. (2.7)

De manera que, para probar que x ∈ int A, vamos a descartar la proposicion izquierda de ladisyuncion en (2.7). Supongamos, entonces, que

x 6∈ A. (2.8)

Ahora bien, de la hipotesis x 6∈ ext A, sabemos que cualquiera que sea el abierto B tal quex ∈ B, necesariamente debe ocurrir que

A ∩ B 6= ∅. (2.9)

Si tomamos B = E − A, entonces B es abierto —por el teorema 2.6— y x ∈ B, por (2.8). Entonces,de (2.9), sabemos que

A ∩ (E − A) 6= ∅.

Existe, entonces z ∈ E − A y z ∈ A; es decir, existe z 6∈ A y z ∈ A, lo que es imposible, puesA ⊆ A. Por lo tanto, la proposicion izquierda de la disyuncion en (2.7) es falsa, lo que implica quela proposicion en esa misma disyuncion es verdadera, que es lo que se querıa demostrar.

3. Si x 6∈ int A y x 6∈ ext A, probemos que x ∈ ∂A.

Para ello, debemos probarx ∈ A y x 6∈ int A. (2.10)

La proposicion de la derecha se verifica por hipotesis. Para demostrar x ∈ A, tomemos unconjunto cerrado F tal que A ⊆ F y demostremos que x ∈ F. Si no fuera ası; es decir, si x 6∈ F,entonces

x ∈ U = E − F,

donde U es un conjunto abierto. Ademas, como A ⊆ F, tenemos que

U ∩ A = ∅.

En resumen, existe un abierto U tal que x ∈ U y U ∩ A = ∅; es decir, x ∈ ext A, lo quecontradice con la hipotesis de que x 6∈ ext A. En otras palabras, x ∈ F, lo que prueba que x ∈ A.

En resumen, hemos probado que todo elemento de E debe ser elemento o bien de int A, o bien de ∂A,o bien de ext A.

A continuacion probaremos:

int A ∩ ∂A = ∅, (2.11a)

int A ∩ ext A = ∅, (2.11b)

∂A ∩ ext A = ∅. (2.11c)

De la definicion de ∂A, se tiene que

int A ∩ ∂A = int A ∩(

A ∩ (E − int A))

= A ∩ (int A ∩ (E − int A))

= A ∩ ∅ = ∅,

lo que prueba (2.11a).

32

Por otro lado, dado queint A ⊆ A y A ∩ ext A = ∅,

tenemos que int A ∩ ext A = ∅, lo que prueba (2.11b).Finalmente, (2.11c) se obtiene facilmente de la definicion de frontera:

∂A ∩ ext A =(

A ∩ (E − int A))

∩ ext A

= (A ∩ ext A) ∩ (E − int A)

= ∅ ∩ (E − int A) = ∅.

En el siguiente teorema, reunimos diversas relaciones entre el interior, el exterior y lafrontera de un conjunto y de su complemento.

TEOREMA 2.13. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊆ E. Entonces:

1. ext A = int (E − A). 2. ext (E − A) = int A. 3. ∂A = ∂ (E − A).

Demostracion.

1. Que u ∈ ext A es equivalente a que exista un abierto X tal que u ∈ X y X ∩ A = ∅; lo que, a suvez, es equivalente a que u ∈ X y X ⊆ E − A, pues si z ∈ X, z 6∈ A; es decir, existe un abiertoX tal que u ∈ X ⊆ E − A; pero esto equivale a que u ∈ int (E − A), ya que u ∈ E − A. Por lotanto, ext A = int (E − A).

2. ext (E − A) = int (E − (E − A)) = int A.

3. En primer lugar, al aplicar el teorema 2.12 al conjunto A, tenemos que

E = int A ∪ ∂A ∪ ext A. (2.12)

Por el mismo teorema, al aplicar al conjunto E − A, nos da que

E = int(E − A) ∪ ∂ (E − A) ∪ ext (E − A) ,

igualdad que se re-escribe de la siguiente manera, gracias a las dos primeras partes de esteteorema:

E = ext A ∪ ∂ (E − A) ∪ int A. (2.13)

Por lo tanto, de 2.12 y de 2.13, concluimos que

int A ∪ ∂A ∪ ext A = ext A ∪ ∂ (E − A) ∪ int A,

de donde, como los tres conjuntos involucrados en cada uno de los lados de esta ultima igual-dad son disjuntos dos a dos, respectivamente, podemos concluir que ∂A = ∂ (E − A).

El siguiente teorema nos muestras tres caracterizaciones de la adherencia de un conjun-to en terminos de su interior, de su frontera y de su exterior.

TEOREMA 2.14. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊆ E. Entonces:

1. A = int A ∪ ∂A. 2. A = A ∪ ∂A. 3. A = E − ext A.

Demostracion.

1. Demostracion de A = int A ∪ ∂A:

int A ∪ ∂A = int A ∪(

A ∩ (E − int A))

=(

int A ∪ A)

∩ (int A ∪ (E − int A))

= A ∩ E = A,

pues int A ⊆ A ⊆ A y A ⊆ E.

33

2. Demostracion de A = A ∪ ∂A. Sea u ∈ A ∪ ∂A. Si u ∈ A, entonces u ∈ A, pues A ⊆ A; por otrolado, si u ∈ ∂A, entonces u ∈ A por la definicion de frontera. En resumen, hemos demostrado queA ∪ ∂A ⊆ A.

Recıprocamente, supongamos que u ∈ A. Si u ∈ A, entonces u ∈ A ∪ ∂A. Si u 6∈ A, entoncesu 6∈ int A, pues int A ⊆ A. Por lo tanto, como u ∈ A y u 6∈ int A, por la definicion de frontera,u ∈ ∂A; ası que u ∈ A ∪ ∂A. En resumen, hemos demostrado que A ⊆ A ∪ ∂A.

3. Demostracion de A = E − ext A:

E − ext A = (int A ∪ ∂A ∪ ext A)− ext A

= int A ∪ ∂A = A,

pues los conjuntos int A, ext A y ∂A son disjuntos dos a dos.

TEOREMA 2.15. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊆ E. Entonces a ∈ ∂A si y solamen-te si toda vecindad V de a se interseca a la vez con A y con E − A.

Demostracion. Que a ∈ ∂A es equivalente a ∈ A y a 6∈ int A, lo que equivale a que para cualquiervecindad V de a, se tenga que V ∩ A 6= ∅ (por el teorema 2.10) y que V 6⊆ A (pues a 6∈ int A). Asu vez, esta ultima conjuncion equivale a que V ∩ A 6= ∅ y que exista z ∈ V tal que z 6∈ A; es decir,z ∈ V y z ∈ E − A; es decir, V interseca tanto A como E − A.

TEOREMA 2.16. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊆ E. Entonces

(E − A) = E − int A.

Demostracion. La prueba es sencilla como se muestra en la siguiente cadena de equivalencias:

u ∈ (E − A) ⇔ para toda vecindad V de u, V ∩ (E − A) 6= ∅

⇔ para toda vecindad V de u, existe z ∈ V, z 6∈ A

⇔ para toda vecindad V de u, V 6⊆ A

⇔ u 6∈ int A.

COROLARIO 2.1. Sean (E, τ) un espacio topologico y A ⊆ E. Entonces

∂A = A − (E − A).

3.1 Ejercicios. En todos los ejercicios, salvo que se diga lo contrario, (E, τ) representara un espaciotopologico, A, B y C, representaran subconjuntos de E.

1. Si A ⊆ B, ¿en que relacion estan ∂A y ∂B?

2. Si A ⊆ B, ¿en que relacion estan ext A y ext B?

3. Sea {Aj}j∈J una familia de conjuntos de un espacio topologico E. Demuestre que:

(a)⋃

j∈J

(

Aj

)

⊆

⋃

j∈J

Aj

. Ofrezca un ejemplo que muestre que la inclusion contraria no se veri-

fica necesariamente cuando J es un conjunto infinito.

(b)⋃

j∈J

(

Aj

)

=

⋃

j∈J

Aj

si J es un conjunto finito.

34

(c)

⋂

j∈J

Aj

⊆⋂

j∈J

(

Aj

)

. Ofrezca un ejemplo que muestre que la inclusion contraria no se veri-

fica necesariamente, incluso en el caso en el que J es un conjunto finito.

(d) A partir de las relaciones anteriores, establezca las correspondientes para los interiores.

4. Sean E un conjunto con la topologıa discreta y A ⊆ E. ¿A que son iguales int A, ext A, ∂A y A,respectivamente?

5. Sean (E, τ) un conjunto con la topologıa grosera y A ⊆ E. ¿A que son iguales int A, ext A, ∂A y A,respectivamente?

6. Sea E un conjunto provisto de la topologıa puntual particular. Encuentre condiciones necesarias ysuficientes (no necesariamente ambas) para los conjuntos cerrados y para el interior, el exterior yla frontera de un conjunto, respectivamente.

7. Demuestre que la topologıa de Sierpinski es un caso particular de la topologıa puntual particular.

8. Sea E un conjunto provisto de la topologıa de los complementos finitos.

(a) Caracterice a los conjuntos cerrados.

(b) Demuestre que si E es un conjunto finito, la topologıa de los complementos finitos es la topo-logıa discreta.

(c) Si E es un conjunto numerable, calcule A para cualquier A ⊆ E.

(d) Si E es infinito y A y B son abiertos, demuestre que A ∩ B 6= ∅.

4 Abiertos y cerrados en los espacios metricos. Sea (E, d) un espacio metrico. Comose recordara (ver la definicion 1.4 en la pagina 9), la topologıa inducida por la metricad consiste de todos los conjuntos A de E para los cuales si x ∈ A, existe r > 0 tal queBr(x) ⊆ A. Es facil probar que el interior de A se puede caracterizar de la siguiente manera.

TEOREMA 2.17. Sean (E, d) un espacio metrico y A ⊆ E. Entonces:

int A = {x ∈ A : ∃ r > 0, B(x; r) ⊆ A}.

Es claro que todas las propiedades que se verifican para los abiertos y los cerrados enun espacio topologico arbitrario son tambien satisfechas por los abiertos de un espaciometrico, ya que estos conjuntos son elementos de la topologıa inducida por la metrica.

En los espacios metricos, podemos utilizar las bolas abiertas en lugar de las vecindadesen general; ası, todos los teoremas y definiciones que involucren vecindades en un espa-cio topologico, siguen vigentes en un espacio metrico si se cambian vecindades por bolasabiertas.

Por ejemplo, el teorema 2.10 puede ser enunciado ası: x ∈ A si y solo si para todo ǫ > 0,la bola de centro B(x; ǫ)∩ A 6= ∅. De manera mas precisa, tenemos el siguiente teorema.

TEOREMA 2.18. Sean (E, d) un espacio metrico y A ⊆ E. Entonces x ∈ A si y solo si paratodo ǫ > 0, existe y ∈ A tal que d(x, y) < ǫ.

En otras palabras, para cualquier elemento x de la adherencia del conjunto A, siempreexiste un elemento y de A tan cerca de x como se quiera. Dicho de otro modo, si x ∈ A talque x 6∈ A, entonces x puede ser aproximado por un elemento de A con la precision que sequiera. Esta nocion puede hacerse mas precisa con el concepto de sucesion, tema a tratarseen un capıtulo posterior.

35

5 Densidad. Sean E un espacio metrico, A y B conjuntos de E. El conjunto A es densorespecto de B si B ⊆ A; es decir, si cada punto de B es un punto de adherencia de A.

A los conjuntos densos en el espacio E se les denomina densos en todas partes, o simple-mente, densos. Se tiene, entonces, que A es denso en E si y solo si A = E. Por lo tanto, siA es denso en E, todo elemento de E es el limite de una sucesion de elementos de A; o demanera equivalente, para cada x ∈ E, hay un elemento de A tan cerca de x como se quiera:para cada ǫ, existe y ∈ A tal que d(x, y) < ǫ.

5.1 Ejercicios

1. Demuestre que la topologıa inducida por la metrica de Sierpinski es la topologıa discreta.

2. Caracterice las bolas abiertas de la metrica radial sobre R2 y la clausura de cualquier conjunto.

3. Demuestre que la funcion

d : R∗+ × R

∗+ −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) =

∣

∣

∣

∣

1

x− 1

y

∣

∣

∣

∣

es una metrica sobre R∗+. Ademas, determine las bolas de centro 1 y radio r.

4. En R con la metrica usual, sea

A = (−∞,−1) ∪{

0,π

4,√

3}

∪{

3 − 1

n: n ∈ N

∗}

.

Determine el interior, la adherencia, la frontera y el exterior del conjunto A.

5. Sean (E, d) un espacio metrico y A ⊆ E un conjunto abierto. Demuestre que A es la union de bolasabiertas.

6. Sean (E, d) un espacio metrico y A ⊆ E. Demuestre:

(a) ∂A ⊆ ∂A y ∂ (int A) ⊆ ∂A.

(b) A es abierto si y solo si A ∩ ∂A = ∅.

(c) A es cerrado si y solo si ∂A ⊆ A.

Caracterice los conjuntos A tales que ∂A = ∅.

7. Sean (E, d) un espacio metrico, A ⊆ E, µ(A) = int A y ν(A) = int A. Demuestre que:

(a) Si A es abierto, entonces A ⊆ µ(A).

(b) Si A es cerrado, entonces ν(A) ⊆ A.

(c) µ y ν son invariantes respecto de la inclusion de conjuntos.

8. Sea (E, d) un espacio metrico. Al producto cartesiano E × E se le puede dotar de la siguientemetrica:

d∞((x1, x2), (y1, y2)) = max{d(x1, y1), d(x2, y2)}.

La diagonal de E × E es el conjunto

∆ = {(x, x) ∈ E × E : x ∈ E} .

Demuestre que ∆ es un conjunto cerrado en (E × E, d∞).

9. Sea {(Ei, di)}i∈I una familia de espacios metricos donde I es un conjunto finito. Demuestre que sip ∈ [1,+∞), las funciones

dp =

(

∑i∈I

dpi

)1p

y d∞ = maxi∈I

di

son, cada una, una metrica sobre el producto cartesiano ∏i∈I

Ei.

36

10. Sean d1 y d2 dos metricas sobre un mismo conjunto E. Suponga que existe una constante k > 0 talque

d1(x, y) ≤ kd2(x, y)

para todo x ∈ E y todo y ∈ E. Demuestre que toda bola abierta de (E, d1) contiene una bola abiertade (E, d2).

11. Demuestre que el conjunto de los numeros racionales es denso en R.

12. Demuestre que en un espacio metrico, la union de un conjunto abierto y su exterior es denso.

37

Capıtulo 3

Puntos de acumulacion

Sean (E, d) un espacio metrico y A ⊆ E. Los puntos de adherencia del conjunto A son lospuntos mas cercanos al conjunto A (incluidos estan, por supuesto, los mismos elementosde A). En este capıtulo, vamos a tratar los puntos de acumulacion. La caracterıstica de unpunto de acumulacion es que hay un numero infinito de elementos del conjunto tan cercade dicho punto (del de acumulacion).

DEFINICION 3.1 (Punto de acumulacion). Sean (E, d), A ⊆ E y a ∈ E. El punto a es unpunto de acumulacion del conjunto A si para todo ǫ > 0, se verifica que

(Bǫ(a)− {a}) ∩ A 6= 0;

en otras palabras, cualquier bola abierta centrada en a tiene al menos un punto de A distintode a.

Notaremos con A′ el conjunto de todos los puntos de acumulacion del conjunto A. Unpunto que no es de acumulacion es denominado punto aislado.

Es facil ver que todo punto de acumulacion de un conjunto A es un punto de adheren-cia; es decir, siempre se verifica que

A′ ⊆ A.

Por otro lado, la otra inclusion no se verifica siempre; es decir, un punto de adherencia noes un punto de acumulacion necesariamente.

1 Punto de adherencia que no es de acumulacion. Si a ∈ E y A = {a}, tenemos que a es unpunto de adherencia del conjunto A, mientras que a no es punto de acumulacion.

En efecto, a no puede ser un punto de acumulacion, porque para todo ǫ > 0, se tiene que

(Bǫ(a)− {a}) ∩ A = (Bǫ(a)− {a}) ∩ {a} = ∅.

2 Ejemplos. Con la topologıa usual, todos los puntos de un intervalo son puntos de acumulacion.Por ejemplo, si A = (a, b), probemos que x ∈ A es un punto de acumulacion.

Para ello, sea ǫ > 0. Siǫ > max{x − a, b − x},

entonces(a, b) ⊆ (x − ǫ, x + ǫ) = Bǫ(x),

por lo tanto(Bǫ − {x}) ∩ (a, b) = (a, b)− {x} 6= ∅;

es decir, x es un punto de acumulacion de (a, b).

39

En cambio, simın{x − a, b − x} < ǫ < max{x − a, b − x},

entonces se tiene que

(a, x + ǫ) = (x − ǫ, x + ǫ) ∩ (a, b) o (x − ǫ, b) = (x − ǫ, x + ǫ) ∩ (a, b),

de donde se tiene que(Bǫ − {x}) ∩ (a, b) = (a, b)− {x} 6= ∅;

es decir, x es un punto de acumulacion de (a, b).Finalmente, si

ǫ < mın{a − x, b − x},

tenemos que(x − ǫ, x + ǫ) ⊆ (a, b),

de donde(Bǫ − {x}) ∩ (a, b) = (a, b)− {x} 6= ∅;

es decir, x es un punto de acumulacion de (a, b).En el siguiente grafico se visualizan los tres casos:

b

xa b

x − ǫ x + ǫ

b

xa b

x − ǫ x + ǫ

b

xa b

x − ǫ x + ǫ

En este caso, ademas de que todo x ∈ (a, b) es un punto de acumulacion de (a, b), tenemos que ay b son puntos de acumulacion, que no estan en el conjunto.

En efecto, para el caso de a, por ejemplo, se tiene que para todo ǫ > 0:

((a − ǫ, a + ǫ)− {a}) ∩ (a, b) = (a, a + ǫ) 6= ∅

si ǫ < b − a, o((a − ǫ, a + ǫ)− {a}) ∩ (a, b) = (a, b) 6= ∅

si ǫ > b − a.Resulta de ayuda realizar los respectivos graficos en los casos anterior. De manera similar se

prueba para b.Finalmente, si x > b o x < a, entonces x no es un punto de acumulacion. En efecto, supongamos

que x > b. Vamos a probar que existe una bola que no interseca al intervalo (a, b). Basta tomarǫ = x − b. En ese caso, tenemos que

(x − ǫ, x + ǫ) = (b, 2x − b),

de donde((x − ǫ, x + ǫ)− {x}) ∩ ((a, b)− {x}) = ((b, 2x − b)− {x}) 6= ∅.

Es decir, x no es un punto de acumulacion.

40

3 Ejemplo. Sea

K =

{

1

n: n ∈ N, n 6= 0

}

.

Entonces K′ = {0}; es decir, el unico punto de acumulacion de K es el numero 0.En efecto, probemos, en primer lugar, que 0 es un punto de acumulacion. Para ello, sea ǫ > 0.

Debemos probar que(Bǫ(0)− {0}) ∩ K 6= ∅;

es decir, comoBǫ(0) = (−ǫ, ǫ),

vamos a probar que((−ǫ, ǫ)− {0}) ∩ K 6= ∅.

Como ǫ > 0, por la propiedad arquimediana, existe n0 ∈ N, n0 6= 0 tal que

1

ǫ< n0,

es decir, tal que

0 <1

n0< ǫ.

Esto significa que existe n0 tal que1

n0∈ (−ǫ, ǫ).

Y, como1

n0∈ K y

1

n06= 0,

tenemos que1

n0∈ ((−ǫ, ǫ)− {0}) ∩ K;

es decir:((−ǫ, ǫ)− {0}) ∩ K 6= ∅,

lo que quiere decir que 0 es un punto de acumulacion de K.Ahora probemos que ningun numero real diferente de 0 es un punto de acumulacion de K. Para

ello, sea x 6= 0. Vamos a considerar cuatro casos1: x ∈ (0, 1]− K, x ∈ K, x < 0 y x > 1.Supongamos que x ∈ (0, 1]− K. Vamos a encontrar un ǫ0 > 0 para el cual sucede

(x − ǫ0, x + ǫ0) ∩ K = ∅,

con lo que se probara que x no es un punto de acumulacion de K.Por la propiedad arquimediana, existe n ∈ N tal que

1

x< n. (3.1)

Por el principio del buen orden, sea n0 ∈ N, n0 6= 0 el mas pequeno tal que

1

x< n0.

Entonces1

n0< x.

Como n0 es el mas pequeno de todos los naturales que cumplen con (3.1), tenemos que

x <1

n0 − 1,

1Consideramos estos casos porque K ⊆ (0, 1].

41

pues, si ocurriera que

x >1

n0 − 1,

tendrıamos que1

x< n0 − 1,

y n0 ya no serıa el mas pequeno que cumple con (3.1).Tenemos, entonces que

1

n0< x <

1

n0 − 1. (3.2)

Luego, si elegimos

ǫ0 = mın

{

x − 1

n0,

1

n0 − 1− x

}

,

tenemos que

(x − ǫ0, x + ǫ0) ⊆(

1

n0,

1

n0 − 1

)

, (3.3)

de donde, tenemos que:((x − ǫ0, x + ǫ0)− {x}) ∩ K = ∅. (3.4)

En efecto, vamos a probar que para todo u ∈ K, se tiene que

u 6∈ (x − ǫ0, x + ǫ0),

lo que implica (3.4).Como u ∈ K, existe m0 ∈ N tal que

u =1

m0.

Como x 6∈ K, entonces m0 6= n0.Tenemos dos casos; si m0 > n0, entonces

u =1

m0<

1

n0,

de donde

u 6∈(

1

n0,

1

n0 − 1

)

,

y, por lo tanto, por (3.3), tenemos que

u 6∈ (x − ǫ0, x + ǫ0).

Por otro lado, si m0 < n0, entoncesm0 ≤ n0 − 1,

de donde1

n0 − 1≤ 1

m0= u,

de donde

u 6∈(

1

n0,

1

n0 − 1

)

,

y, por lo tanto:u 6∈ (x − ǫ0, x + ǫ0).

Con esto hemos probado que x ∈ (0, 1]− K no es un punto de acumulacion de K.Se deja como ejercicio demostrar que x no es un punto de acumulacion en los otros tres casos.

4 Ejemplo. El conjunto

A =

{

1

n: n ∈ N, n 6= 0

}

∪{

n

n + 1: n ∈ N

}

tiene exactamente dos puntos de acumulacion.

42

5 Caracterizacion de conjuntos cerrados. Vamos a probar que un conjunto es cerrado siy solo si posee todos sus puntos de acumulacion; para probarlo, vamos a mostrar que laadherencia de un conjunto esta conformada por los puntos del conjuntos y sus puntos deacumulacion.

TEOREMA 3.1. Sean (E, d) y A ⊆ E. Entonces

A = A ∪ A′.

Demostracion. En primer lugar, supongamos que x ∈ A y probemos que x ∈ A ∪ A′.Para ello, supongamos que x 6∈ A; demostremos, entonces, que A′. Con este proposito, sea ǫ > 0;

debemos probar que(Bǫ(x)− {x}) ∩ A 6= ∅. (3.5)

Como x ∈ A y ǫ > 0, entoncesBǫ(x) ∩ A 6= ∅.

Seay ∈ Bǫ(x) ∩ A.

Como x 6∈ A, entonces y 6= x. Luegoy ∈ Bǫ(x)− {x}.

Entoncesy ∈ (Bǫ(x)− {x}) ∩ A,

con lo que se ha probado (3.5), como se querıa.Ahora, como siempre ocurre que A′ ⊆ A y A ⊆ A, tenemos que

A ∪ A′ ⊆ A,

con lo que se demuestra que A = A ∪ A′, como se querıa.

TEOREMA 3.2. Sean (E, d) y A ⊆ E. Entonces A es cerrado si y solo si A′ ⊆ A.

Demostracion. Si A es cerrado, entonces A = A, de

A′ ⊆ A,

concluimos que A′ ⊆ A.Por otro lado, si

A′ ⊆ A,

tenemos queA = A ∪ A′ = A,

como se querıa.

6 Caracterizacion de puntos de acumulacion por sucesiones. Finalmente, establezcamosel hecho de que alrededor de un punto de acumulacion siempre hay infinitos puntos delconjunto.

TEOREMA 3.3. Sean (E, d), A ⊆ E y a ∈ A′. Entonces para todo ǫ > 0, se tiene que

Bǫ(a) ∩ A

es un conjunto infinito; es decir, la bola de centro a y radio ǫ tiene un numero infinito deelementos de A.

43

Demostracion. Supongamos lo contrario; es decir, supongamos que el conjunto

X = Bǫ(a) ∩ A

es finito. Supongamos, entonces, que

X = {x1, x2, . . . , xn}.

Para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}, definamos ri = d(xi, a) y

r = mıni∈{1,2,...,n}

ri.

Como r > 0 y a ∈ A′, entonces, necesariamente debe ocurrir que

(Br(a)− {a}) ∩ A 6= ∅;

en particular, debe ocurrir queBr(a) ∩ A 6= ∅.

Sin embargo, siu ∈ Br(a) ∩ A,

entoncesu ∈ A y d(u, a) < r,

es decir, para algun j0 ∈ {1, 2, . . . , n}, se tiene que

d(u, a) < rj0 . (3.6)

Ahora bien, cada x ∈ X, por la definicion de X, cumple con

x ∈ Bǫ(a) y x ∈ A;

es decir, cumple cond(x, a) < ǫ y x ∈ A.

Por lo tanto:rj0 = d(xj0 , a) < ǫ,

pues xj0 ∈ X. Tenemos, entonces querj0 < ǫ,

de donde, por (3.6), tenemos qued(u, a) < ǫ,

y, como u ∈ A, entoncesu ∈ X,

de donde, existe i0 ∈ {1, 2, . . . , n} tal queu = xi0

.

Por lo tanto:ri0

= d(u, a) < r ≤ ri0,

lo que es imposible. Por lo tanto, X no puede ser finito.

Al igual que los puntos de adherencia, un punto de acumulacion es el lımite de unasucesion de elementos del conjunto, con la particularidad de que ningun termino de lasucesion es igual al punto de acumulacion. Esta condicion tambien es suficiente. De hecho,tenemos las siguientes equivalencia.

TEOREMA 3.4. Sean (E, d), A ⊆ E y a ∈ E. Las siguientes tres proposiciones son equiva-lentes:

1. El punto a es punto de acumulacion de A; es decir, a ∈ A′.

2. El punto a es el lımite de una sucesion de elementos de a, todos ellos diferentes dea; es decir, existe (xn) tal que para todo n ∈ N, se verifica que xn ∈ A , xn 6= a, y,ademas, xn → a.

3. Toda bola abierta centrada en a tiene un numero infinito de elementos de a.

44

7 Ejercicios.

1. Sea

A = (−∞,−1) ∪{

0,π

4,√

3}

∪{

3 − 1

n: n ∈ N

∗}

.

Determinar los conjuntos int A, A, ∂A, A′, y el conjunto de puntos aislados de A.

2. Dada un sucesion (xn) en un espacio metrico E, un punto a ∈ E es un valor adherente de lasucesion (xn) si existe una subsucesion de (xn) que converge a a; es decir, si existe una funcionϕ : N −→ N, estrictamente creciente, tal que la sucesion (xϕn) converge a a.

Demuestre que una condicion necesaria y suficiente para que a ∈ E sea un valor adherente deuna sucesion (xn) es que, para cada vecindad V de a y cada m ∈ N, exista n ∈ N tal que n ≥ my xn ∈ V.

45

Capıtulo 4

Continuidad

1 Continuidad

DEFINICION 4.1 (Vecindad). Sean E un espacio topologico, V un subconjunto de E y a ∈ V.El conjunto V es una vecindad de a si existe un abierto U tal que

a ∈ U ⊆ V.

Es inmediato de la definicion que un conjunto abierto es vecindad de cada uno de suspuntos. En particular, en un espacio metrico, todas las bolas abiertas son vecindades decada uno de sus puntos

DEFINICION 4.2 (Continuidad en un espacio topologico). Sean E y F dos espacios topologi-cos y a ∈ E. Una funcion f : E −→ F es continua en a si y solo si para toda vecindad V def (a), f−1(V) es una vecindad de a. La funcion f es continua si es continua en todo a ∈ E.

1.1 Ejemplo. Sea E un espacio topologico; entonces, la funcion identidad I : E −→ E con I(x) = xpara todo x ∈ E es continua. En efecto, sean a ∈ E y V una vecindad de I(a). Como I(a) = a,entonces V es una vecindad de a; ademas

I−1(V) = {x ∈ E : I(x) ∈ V} = {x ∈ E : x ∈ V} = V.

Por lo tanto, I−1(V) es una vecindad de a.

1.2 Ejemplo. Sean E un conjunto provisto de la topologıa discreta y F un espacio topologico cual-

quiera; entonces, toda funcion f de E en F es continua, ya que todo conjunto de E es un abierto, por

lo que f−1(V) es un conjunto abierto para cualquier vecindad de f (a) para cualquier a ∈ E.

1.3 Ejemplo. Sean E un conjunto provisto de la topologıa grosera y F un espacio topologico cual-

quiera. Sean f una funcion de E en F, a ∈ E y V una vecindad de f (a); como f−1(V) 6= ∅, pues

a ∈ f−1(V), la unica posibilidad de que f−1(V) sea una vecindad de a es que f−1(V) = E. Entonces,

f es continua en a si y solo si f−1(V) = E para toda vecindad V de a. Esta claro que la funcion

identidad cumple con esta condicion.

1.4 Ejemplo. Sea E y F como en el numeral anterior y g una funcion de F en E; entonces, g es

continua. En efecto, sea a ∈ F y V una vecindad de g(a); por lo tanto, V = E, ya que la topologıa de E

solo tiene dos elementos: ∅ y E; y g−1(V) = F, pues g(x) ∈ E para todo x ∈ F. Por lo tanto, g−1(V)

es una vecindad de a; es decir, g es continua. En resumen, toda funcion de un espacio topologico en

el espacio con la topologıa grosera es continua.

En los espacios metricos, la definicion de continuidad se puede expresar en termino debolas abiertas:

47

TEOREMA 4.1. Sean (E, d1), (F, d2) dos espacios metricos y a ∈ E. Una funcion f : E −→ Aes continua en a si y solo si para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que

Bδ(a) ⊆ f−1 (Bǫ( f (a))) .

En otras palabras, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ E, se verifica la implicacion

d1(x, a) < δ ⇒ d2( f (x), f (a)) < ǫ.

48

Capıtulo 5

Continuidad uniforme

En este capıtulo, vamos a estudiar los conceptos de continuidad uniforme y de funcioneslipschitzianas, y su relacion con la continuidad.

DEFINICION 5.1 (Funcion continua). Sean E y F dos espacios metricos y f : E −→ F. Lafuncion f es continua si f es continua en todo a ∈ E.

1 Ejemplo: La funcion distancia es continua. Sea (E, d) un espacio metrico; entonces la fun-cion

ϕ : E × E −→ R

(x, y) 7−→ ϕ(x, y) = d(x, y)

es una funcion continua si consideramos la metrica usual en R y cualquiera de las siguientes metricasen E × E:

d∞((x1, x2), (y1, y2)) = max{d(x1, y1), d(x2, y2)}y

dp((x1, x2), (y1, y2)) = (dp(x1, y1) + dp(x2, y2))1p con p ≥ 1.

2 Ejemplo: La funcion distancia entre un punto y un conjunto. Sean (E, d) un espaciometrico, A ⊆ E y x ∈ E. Se define la distancia de x a A de la siguiente manera:

d(x, A) = ınfy∈A

d(x, y).

La funcionψ : E −→ R

x 7−→ ψ(x) = d(x, A)

es continua.

DEFINICION 5.2 (Funcion continua uniformemente). Sean (E, d1) y (F, d2) dos espaciosmetricos y f : E −→ F. La funcion f es continua uniformemente si para todo ǫ > 0, existeδ > 0 tal que para todo x ∈ E y todo y ∈ E, se verifica la implicacion

d1(x, y) < δ ⇒ d2( f (x), f (y)) < ǫ.

Las funciones ϕ y ψ definidas en las secciones 5.1 y 5.2, respectivamente, son funcionescontinuas uniformemente.

3 Ejemplo. La funcion

f : R+ −→ R+

x 7−→ √x

es una funcion continua uniformemente.

49

4 Una funcion que no es continua uniformemente. Es facil demostrar que toda funcioncontinua uniformemente es continua; la proposicion recıproca no es verdadera. En efecto,la funcion x 7−→ x2 de R+ en R+ es continua, pero no continua uniformemente.

En efecto, probemos que la funcion

f : R+ −→ R+

x 7−→ x2

no es continua uniformemente.Para ello, debemos encontrar un ǫ0 > 0 tal que para todo δ > 0, existan x0 ∈ R+ y y0 ∈ R+ tales

que|x0 − y0| < δ y | f (x0)− f (y0)| ≥ ǫ0;

es decir, tales que

|x0 − y0| < δ y∣

∣

∣x2

0 − y20

∣

∣

∣≥ ǫ0.

DEFINICION 5.3 (Funcion lipschitziana). Sean (E, d1) y (F, d2) dos espacios metricos yf : E −→ F. La funcion f es lipschitziana si existe L > 0 tal que para todo x ∈ E y todoy ∈ E, se verifica la desigualdad

d2( f (x), f (y)) ≤ Ld1(x, y).

Las funciones ϕ y ψ definidas en las secciones 5.1 y 5.2, respectivamente, son funcioneslipschitzianas.

5 Una funcion no lipschitziana. Es facil demostrar que toda funcion lipschitziana es continuauniformemente; pero la proposicion recıproca no es verdadera.

En efecto, la funciong : R+ −→ R+

x 7−→ √x

no es lipschitziana.Para probarlo, necesitamos del siguiente teorema.

TEOREMA 5.1. Sea f : I −→ R, con I un intervalo, una funcion diferenciable. Entonces f es lipschit-ziana si y solo si f ′ es acotada.

Antes de demostrar este teorema, lo vamos a aplicar para probar que la funcion g no es lipschit-ziana.

Para ello, nos bastara con demostrar que la derivada de g no esta acotada. En este caso, I =(0,+∞). Entonces

g′(x) =1

2√

x,

que no esta acotada en I, pues lımx→0+ g′(x) = +∞.

5.1 Ejercicios.

1. Demuestre mediante la definicion de continuidad uniforme que la funcion

t 7−→√

t

para todo t ≥ 0 es continua uniformemente.

2. Demuestre mediante la definicion de continuidad uniforme que la funcion

t 7−→ 1

t

para todo t > 0 no es continua uniformemente. Ademas, demuestre que la restriccion de estafuncion a [a,+∞), con a > 0 es lipschitziana.

50

3. Sean a ∈ R y f : R −→ R una funcion continua en R. Si las restricciones f a (−∞, a) y (a,+∞)son continuas uniformemente, respectivamente, demuestre que f es continua uniformemente.

4. Sean E y F dos espacios metricos y f : E −→ F. Demuestre que f es continua uniformementesi y solo si para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que para todo A ⊆ E, se verifica la implicacion

diam A < δ ⇒ diam f (A) < ǫ.

5. ¿Cuales de las siguientes funciones de R en R son lipschitzianas?

t 7−→ 1

t2 + 1, t 7−→ t

t2 + 1. t 7−→ arctan t.

6. Sean α > 1 y f : R+ −→ R+ definida por

f (t) = tα.

Demuestre que:

(a) f no es continua uniformemente.

(b) La restriccion de f al segmento [0, a] con a > 0 es lipschitziana (y, por lo tanto, es continuauniformemente en [0, a]).

7. Sean f : A ⊆ R −→ R y a ∈ A. Se dice que f es lipschitziana de orden β en a si y solo si existenL > 0 y δ > 0 tales que se cumple la implicacion

x ∈ Bδ(a) ⇒ | f (x)− f (a)| ≤ M|x − a|β.

(a) Sea f : R − (−1, 1) −→ R definida por

f (x) =√

x2 − 1.

Demuestre que f es lipschitziana de orden 1 en cualquier punto de [c, 2] con c > 1, y quees lipschitziana de orden 1

2 en cualquier punto de [1, 2].

8. Sea f : R −→ R una funcion derivable en a ∈ R. Demuestre que f es lipschitziana de orden 1en a.

9. Demuestre que una funcion lipschitziana de orden β en a es continua en a si β > 0 y es deriva-ble en a si β > 1. ¿Es lipschitziana de orden 1 en 0 la funcion g siguiente?

g : R −→ R

x 7−→ g(x) =

{

x sen 1x si x 6= 0,

0 si x = 0.

¿Es g derivable en 0? ¿Que puede concluir de la relacion entre derivabilidad y lipschitziana deorden 1?

10. Si E es un espacio vectorial normado y f : R+ −→ E una funcion continua uniformemente,demuestre que existe a > 0 y b ∈ R tales que para todo x > 0, se verifica la desigualdad

‖ f (x)‖ ≤ ax + b.

51

Capıtulo 6

Subespacios metricos

Dado un espacio metrico (E, d) y un subconjunto F de E, la restriccion de la funcion d aF × F es tambien una metrica; por lo tanto, se tiene que F es un espacio metrico con lametrica d′ = d|F×F. Al subespacio (F, d′) se le denomina subespacio de E. Se acostumbra autilizar la misma letra d para indicar la metrica d′, y, por supuesto, siempre que se hable deun subespacio, la metrica es la restriccion de la metrica del espacio.

1 Caracterizacion de los abiertos

TEOREMA 6.1. Sean E un espacio metrico, F un subespacio de E, a ∈ F y r > 0. Entonces:

1. La bola abierta de centro a y radio r en el subespacio F es igual a F ∩ Br(a); es decir:

{x ∈ F : d(x, a) < r} = F ∩ Br(a).

2. Un conjunto A ⊆ F es abierto en el subespacio F si y solo si existe un abierto B en Etal que A = B ∩ F.

3. Una condicion necesaria y suficiente para que un subconjunto A de F, que es abiertoen F, sea abierto en E es que F sea abierto en F.

Demostracion.

1. Puesto que F ⊆ E, se tiene que:

{x ∈ F : d(x, a) < r} = {x ∈ E : x ∈ F ∧ d(x, a) < r}= {x ∈ E : x ∈ F} ∩ {x ∈ E : d(x, a) < r}= F ∩ Br(a).

2. Suponga que A ⊆ F es un abierto en F; hay que probar que existe B ⊆ E tal que

A = B ∩ F.

El resultado es obvio si A es vacıo. Suponga que A 6= ∅. Sea x ∈ A. Como A es abiertoen F, existe rx > 0 tal que la bola de centro en a y radio rx en F, es decir, el conjunto F ∩ Brx(x),esta contenido en A:

F ∩ Brx (x) ⊆ A.

Por lo tanto, tenemos que⋃

x∈A

(F ∩ Brx (x)) ⊆ A;

53

y, como por la distributiva de la union respecto de la interseccion, se tiene que

⋃

x∈A

(F ∩ Brx (x)) =⋃

x∈A

F ∩⋃

x∈A

Brx (x) = F ∩⋃

x∈A

Brx (x),

se concluye que

F ∩⋃

x∈A

Brx (x) ⊆ A.

Elijamos, entonces, como el conjunto B la union de las bolas abiertas:

B =⋃

x∈A

Brx(x).

Este conjunto es abierto en E, pues es la union arbitraria de abiertos de E.Tenemos, entonces que

F ∩ B ⊆ A.

Finalmente, si u ∈ A, como A es abierto en F, existe ru > 0 tal que

u ∈ F y Bru(u) ⊆ A.

Y, comoBru(u) ⊆

⋃

x∈A

Brx (x) y u ∈ Bru(u),

tenemos que

u ∈ F y u ∈⋃

x∈A

Brx (x);

es decir, hemos probado queA ⊆ F ∩ B,

con lo que hemos probado que A = F ∩ B, con B abierto de E, como se querıa.

3. Se obtiene como corolario de la proposicion anterior.

2 Caracterizacion de los cerrados. Dado que un conjunto es cerrado si su complementoes abierto, del teorema 6.1, se obtiene el siguiente teorema.

TEOREMA 6.2. Sean E un espacio metrico, F un subespacio de E. Entonces:

1. Un conjunto A ⊆ F es cerrado en el subespacio F si y solo si existe un cerrado B en Etal que A = B ∩ F.

2. Una condicion necesaria y suficiente para que un subconjunto A de F, que es cerradoen F, sea cerrado en E es que F sea cerrado en F.

3 Ejercicios. Sea E un espacio metrico y F un subespacio.

1. Caracterizacion de vecindades. Si a ∈ F, demuestre que una condicion necesaria y suficientepara que V ⊆ F sea una vecindad de a en F es que exista una vecindad W de a en E tal queV = W ∩ F.

2. Caracterizacion de la adherencia. Sea A ⊆ F. La adherencia de A en F es igual a B ∩ F, dondeB es un conjunto en E.

3. Si F es denso en E, demuestre que para cada x ∈ F y cada vecindad V de x en F, la adherenciaV de V (en E) es una vecindad de x en E.

54

Capıtulo 7

Distancias equivalentes

1 Homeomorfismos.

DEFINICION 7.1 (Homeomorfismo). Sean E y F dos espacios metricos y f : E −→ F. Lafuncion f es un homeomorfismo si:

1. f es biyectiva,

2. f es continua, y

3. f−1 es continua.

Los espacios E y F se dicen homeomorfos.

1.1 Ejemplos. En R, tenemos que:

1. Los subespacios metricos [0, 1] y [a, b] de R son homeomorfos, pues la funcion

ϕ : [0, 1] −→ [a, b]t 7−→ a + (b − a)t

es una biyeccion, es continua y ϕ−1 es continua.

2. Los subespacios (0, 1) y (a, b) son homeomorfos.

3. El subespacio (−1, 1) es homeomorfo al espacio R, pues la funcion

ψ : R −→ (−1, 1)t 7−→ t

1−t2

es biyectiva, continua y su inversa es continua.

4. El espacio R es homeomorfo a todo intervalo abierto no vacıo.

TEOREMA 7.1. En la clase de todos los espacios metricos, la relacion ‘’E es homeomorfo aF” es una relacion de equivalencia; es decir:

1. Todo espacio E es homeomorfo consigo mismo.

2. Si un espacio E es homeomorfo a un espacio F, entonces F es homeomorfo a E.

3. Si E es homeomorfo a F, F lo es a G, entonces el espacio E es homeomorfo a G.

Si ϕ es un homeomorfismo de E en F, entonces se prueba facilmente que A ⊆ E esabierto en E si y solo si ϕ(A) es abierto en F. Esta propiedad tambien es suficiente, siemprey cuando la funcion ϕ sea una biyeccion. Lo expresamos en el siguiente teorema.

55

TEOREMA 7.2. Sea ϕ : E −→ E una biyeccion. Entonces f es un homeomorfismo si y solosi para todo A ⊆ E, se verifica la equivalencia

A es abierto de E si y solo si f (A) es abierto de F.

Los homeomorfismos son, entonces, aplicaciones que “transforman” las nociones to-pologicas de E en nociones topologicas F: abiertos, cerrados y vecindades de E se transfor-man bajo un homeomorfismo en abiertos, cerrados y vecindades de F, respectivamente.

2 Distancias equivalentes. Sobre un mismo conjunto E, se pueden definir metricas dife-rentes, lo que hace que los espacios metricos sean diferentes. Por ejemplo, sobre R podemosdefinir la metrica usual d1(x, y) = |x − y|, pero tambien podemos definir la metrica discreta

d2(x, y) =

{

1 si x 6= y,

0 si x = y.

Como espacios metricos, (R, d1) y (R, d2) son diferentes de modo general, pues, porejemplo

d1(0, 2) = |2 − 0| = 2 y d2(0, 2) = 1.

Sin embargo, hay otras diferencias importantes. Por ejemplo, el conjunto N no es aco-tado en (R, d1), pero sı lo es en (R, d2). Otra diferencia importante es que, para todo a ∈ R,el conjunto {a} no es abierto en (R, d1), pero sı lo es en (R, d2).

Volviendo al caso general, aunque dos metricas sobre un mismo conjunto haga de eseconjunto dos espacios metricos diferentes, en cuanto a la distancia entres sus puntos, “esen-cialmente” esos dos espacio metricos no van a ser diferentes en algunos sentidos. Por ejem-plo, puede darse el caso de que la topologıa inducida por (E, d1) sea igual que la topologıainducida por (E, d2). En ese sentido, como espacios topologicos, los dos son el mismo;en este sentido, las metricas d1 y d2 son equivalentes topologicamente. Hay dos tipos deequivalencia mas.

DEFINICION 7.2 (Metricas equivalentes topologicamente). Sean d1 y d2 dos metricas sobreun conjunto E. Las metricas son equivalentes topologicamente si inducen la misma topologıasobre E.

En otras palabras, dos metricas sobre un mismo conjunto son equivalentes topologica-mente si tienen el mismo conjunto de abiertos, y, por lo tanto, de cerrados.

La equivalencia topologica se puede caracterizar de la manera siguiente.

TEOREMA 7.3. Las metricas d1 y d2 sobre un conjunto E son equivalentes topologicamentesi y solo si la funcion identidad I : (E, d1) −→ (E, d2) es un homeomorfismo.

Demostracion. Gracias al teorema 7.2, sabemos que I es un homeomorfismo si y solo si es verdaderala proposicion “A ⊆ E es un abierto de (E, d1) si y solo si I(A) es un abierto de (E, d2)”.

Ahora bien, como I(A) = A, tenemos que I es un homeomorfismo si y solo si es verdaderala proposicion “A ⊆ E es un abierto de (E, d1) si y solo si A es un abierto de (E, d2) ”, la mismaque es equivalente a que “las topologıas de (E, d1)y (E, d2) son iguales”. Queda ası demostrado elteorema.

Decir que dos metricas son equivalentes topologicamente quiere decir, entonces, quelas funciones I : (E, d1) −→ (E, d2) y I : (E, d2) −→ (E, d1) son continuas.

Por otra parte, que los dos espacios tengan los mismos abiertos no quiere decir quetengan las mismas bolas abiertos. En general, la situacion es la siguiente.

56

Bajo el supuesto de que las metricas d1 y d2 son equivalentes topologicamente, de lacontinuidad de la funcion I : (E, d1) −→ (E, d2), si a ∈ E y r > 0, existe δ > 0 tal que

Bδ(a) ⊆ I−1(Br(I(a)));

es decir, como I−1(A) = A para cualquier conjunto, tenemos que la continuidad de Iimplica que para todo r > 0, existe δ > 0 tal que

Bδ(a) ⊆ Br(a).

En otras palabras, la continuidad de I : (E, d1) −→ (E, d2) implica que para toda abiertaen (E, d2), existe una bola abierta del mismo centro que la primera, contenida en esta. Demanera similar para la funcion I : (E, d2) −→ (E, d1). Por lo tanto, podemos caracterizar laequivalencia topologica de dos metricas mediante el siguiente teorema.

TEOREMA 7.4. Dos metricas sobre un mismo conjunto son equivalentes topologicamentesi y solo si toda bola de cada uno de los conjuntos contiene una bola del mismo centro delotro conjunto.

2.1 Ejemplo: dos metricas equivalentes topologicamente. Consideremos la metricas si-guientes sobre E = (0,+∞):

d1 : E2 −→ R

(x, y) 7−→ d1(x, y) = |x − y| yd2 : E2 −→ R

(x, y) 7−→ d2(x, y) = | ln x − ln y|.

Probemos, en primer lugar, que d1 y d2 son equivalente topologicamente. Para ello, nombremoscon E1 y E2 los espacios (E, d1) y (E, d2), respectivamente. Ahora procedamos a demostrar que lasfunciones identidad I1 : E1 −→ E2 y I2 : E2 −→ E1 son continuas.

Sea a ∈ E; para demostrar que I1 es continua en a, tomemos ǫ > 0; debemos encontrar δ > 0 talque si x ∈ E, se verifica la implicacion

d1(x, a) < δ ⇒ d2(x, a) < ǫ

(recuerdese que I1(x) = x). En otras, lo que hay que demostrar es que, dado ǫ > 0, existe δ > 0 talque si x ∈ E, se verifica la implicacion

|x − a| < δ ⇒ | ln x − ln a| < ǫ.

Pero esta proposicion no es mas que el enunciado de que la funcion ln de E en R (con la metricausual) es continua en a, con a > 0, la cual sabemos que es verdadera.

Ahora probemos que I2 es continua en a. Para ello, sea r > 0; hay que encontrar η > 0 tal quepara todo x ∈ E, es verdadera la implicacion (recuerde que I2(x) = x):

| ln x − ln a| < η ⇒ |x − a| < r.

Si u = ln x y v = ln a, esta ultima implicacion se reescribe de la siguiente manera:

|u − v| < η ⇒ |eu − ev| < r,

de donde se tiene que demostrar que I2 es continua es equivalente a demostrar que la funcion

f : R −→ Et 7−→ et

es continua, lo cual sabemos que es verdadero (con la metrica usual en R).

57

2.2 Ejemplo. Con respecto al ejemplo anterior, vamos a mostrar que una bola en el espacio E1 estambien una bola en el espacio E2, y viceversa.

Para este ejercicio, modifiquemos la notacion de las bolas abiertas. Para i ∈ {1, 2}, escribiremos

Bi(a; r)

para indicar la bola abierta de centro a y radio r en el espacio Ei.Antes que nada, observese que todo intervalo acotado puede ser escrito como una bola en E1 (un

intervalo simetrico); ası, si α y β son dos numero reales tales que α < β, tenemos que

(α, β) = {x ∈ R : α < x < β}

=

{

x ∈ R : α − α + β

2< x − α + β

2< β − α + β

2

}

=

{

x ∈ R : − β − α

2< x − α + β

2<

β − α

2

}

=

{

x ∈ R :

∣

∣

∣

∣

x − α + β

2

∣

∣

∣

∣

<β − α

2

}

= B1

(

α + β

2;

β − α

2

)

.

Por un lado, tenemos que si a > 0 y ǫ > 0:

B2(a; ǫ) = {x > 0 : d2(x, a) < ǫ}= {x > 0 : | ln x − ln a| < ǫ}= {x > 0 : ln a − ǫ < ln x < ln a + ǫ}= {x > 0 : eln a−ǫ

< x < eln a+ǫ}= {x > 0 : ae−ǫ

< x < aeǫ}=(

ae−ǫ, aeǫ)

= B1

(

ae−ǫ + eǫ

2; a

eǫ − e−ǫ

2

)

= B1 (a cosh ǫ; a senh ǫ) ;

es decir, la bola de centro a y radio ǫ en E2 es igual a la bola de centro a cosh ǫ y radio a senh ǫ en E1.Por otro lado, si a > 0 y δ > 0, con δ < a, tenemos que (recuerdese que la funcion logaritmo y su

inversa, la funcion exponencial, son funciones estrictamente crecientes):

B1(a; δ) = {x > 0 : a − δ < x < a + δ}= {x > 0 : ln(a − δ) < ln x < ln(a + δ)}

=

{

x > 0 : ln(a − δ) < ln x −(

ln(a − δ) + ln(a + δ)

2

)

+

(

ln(a − δ) + ln(a + δ)

2

)

< ln(a + δ)

}

=

{

x > 0 : − ln(a + δ)− ln(a − δ)

2< ln x −

(

ln(a − δ) + ln(a + δ)

2

)

<ln(a + δ)− ln(a − δ)

2

}

=

{

x > 0 : − 1

2ln

a + δ

a − δ< ln x − 1

2ln(a2 − δ2) < − 1

2ln

a + δ

a − δ

}

=

{

x > 0 : − ln

√

a + δ

a − δ< ln x − ln

√

a2 − δ2 < ln

√

a + δ

a − δ

}

=

{

x > 0 :∣

∣

∣ln x − ln

√

a2 − δ2∣

∣

∣< ln

√

a + δ

a − δ

}

=

{

x > 0 : d2

(

x,√

a2 − δ2)

< ln

√

a + δ

a − δ

}

58

= B2

(

√

a2 − δ2; ln

√

a + δ

a − δ

)

;

es decir, la bola de centro a y radio δ en E1 es igual a la bola de centro√

a2 − δ2 y radio ln√

a+δa−δ .

Que una bola de centro a en el espacio Ei es igual a una bola en otro espacio Ej (con j 6= i), implica

que los espacios E1 y E2 son homeomorfos, segun el teorema 7.4.

Sean E un conjunto cualquiera, no vacıo, y d1 y d2 dos metricas sobre E. Utilizaremos lasiguiente notacion en lo que resta de esta capıtulo:

1. E1 = (E, d1) y E2 = (E, d2).

2. I1 e I2 las funciones identidad sobre E: I1 : E1 −→ E2 e I2 : E2 −→ E1. Para i ∈ {1, 2},tenemos que Ii(x) = x para todo x ∈ E; ademas: I−1

i = Ij con j 6= i, y i, j ∈ {1, 2}.

3. Bi(a; r) en lugar de Br(a), para la bola de centro a y radio r en el espacio metrico Ei.

Las metricas d1 y d2 son equivalentes topologicamente, por definicion, si inducen la mis-ma topologıa sobre E. Hemos caracterizado esta relacion a traves de las funciones Ij: debenser funciones continuas. Pero podrıan no ser ni continuas uniformemente ni lipschitzianas.Para cada una de estas situaciones, tenemos un tipo de equivalencia entre metricas.

DEFINICION 7.3 (Metricas equivalentes uniformemente). Las metricas d1 y d2 son equiva-lentes uniformemente si y solo si las funciones I1 e I2 son continuas uniformemente.

2.3 Ejemplo: metricas equivalentes uniformemente. Sean E un conjunto y d1 una metricasobre E. La funcion

d2 =d1

1 + d2

es tambien una metrica sobre E (la demostracion queda como ejercicio). La notacion para los corres-pondientes espacios metricos indicada anteriormente aplica tambien para este ejemplo.

Mostremos que estas dos metricas son equivalentes uniformemente. Para ello, debemos demos-trar que I1 e I2 son funciones continuas uniformemente.

En primer lugar, probemos que I1 es continua uniformemente. Sea ǫ > 0; debemos encontrarδ > 0 tal que para todo x ∈ E y todo y ∈ E, se verifique la implicacion

d1(x, y) < δ ⇒ d2(x, y) < ǫ;

es decir, que se verifique la implicacion

d1(x, y) < δ ⇒ d1(x, y)

1 + d1(x, y)< ǫ. (7.1)

Sean x ∈ E y y ∈ E; puesto que

d1(x, y)

1 + d1(x, y)< ǫ ≡ (1 − ǫ)d1(x, y) < ǫ

≡ d1(x, y) <ǫ

1 − ǫ,

siempre que ǫ < 1, basta que se tome

δ =ǫ

1 − ǫ,

con lo que se probara, para 0 < ǫ < 1, que si d1(x, y) < δ, se cumple tambien que

d1(x, y)

1 + d1(x, y)< ǫ.

59

En cambio, si ǫ ≥ 1, cualquier δ > 0 hace verdadera la implicacion (7.1), pues, para todo x ∈ E ytodo y ∈ E, se tiene que

d1(x, y) < 1 + d1(x, y),

de donde, son verdaderas las desigualdades

d1(x, y)

1 + d1(x, y)< 1 ≤ ǫ

para todo (x, y) ∈ E2. Con esto se prueba que I1 es continua uniformemente.Ahora probemos que I2 tambien es continua uniformemente. Sea r > 0; vamos a encontrar η > 0

tal que para todo (u, v) ∈ E2, es verdadera la implicacion

d2(u, v) < η ⇒ d1(u, v) < r;

es decir:d1(u, v)

1 + d1(u, v)< η ⇒ d1(u, v) < r. (7.2)

Si 0 < η < 1, tenemos, para todo (u, v) ∈ E2, la equivalencia:

d1(u, v)

1 + d1(u, v)< η ≡ d1(u, v) <

η

1 − η;

por lo tanto, para obtener que d1(u, v) < r, bastarıa con tomar η tal que

r =η

1 + η,

de donde se tendrıa que

0 < η =r

1 + r< 1.

En resumen, si se toma

η =r

1 + r,

es verdadera la implicacion (7.2), lo que prueba que I2 es continua uniformemente.Notemos que pudimos habernos ahorrado la demostracion de que I1 es continua uniformemente,

pues, dado que para todo (x, y) ∈ E2 con x 6= y, se tienen las equivalencias:

1 + d1(x, y) > 1 ≡ 1

1 + d1(x, y)< 1

≡ d1(x, y)

1 + d1(x, y)< d1(x, y)

≡ d2(x, y) < d1(x, y),

pues d1(x, y) > 0. Y si x = y, tenemos que d2(x, y) = d1(x, y).En resumen, para todo (x, y) ∈ E2, se verifica que

d2(x, y) ≤ d1(x, y),

lo que implica que I1 es lipschitziana y, por tanto, continua uniformemente.

Una de las consecuencias de que dos metricas sean equivalentes uniformemente es quesi el un espacio es completo, el otro tambien lo es. En efecto, para probar ello, una suce-sion (xn) es de Cauchy en E1, lo es tambien tambien en el espacio E2 (la convergencia espreservada porque las metricas son equivalentes topologicamente).

Supongamos, entonces, que (xn) es de Cauchy en E1, y sea ǫ > 0; buscamos un n0 ∈ N

tal que, para todo n ≥ n0 y todo m ≥ n0, se verifica la desigualdad

d2(xn, xm) < ǫ. (7.3)

60

Ahora bien, como la identidad I1 es continua, para el ǫ dado, existe δ > 0 tal que, paratodo (u, v) ∈ E2, se verifica la implicacion

d1(u, v) < δ ⇒ d2(u, v) < ǫ. (7.4)

Por lo tanto, como (xn) es de Cauchy en E1, para δ, existe n0 ∈ N tal que, para todo p ≥ n0

y todo q ≥ n0, se cumple qued1(xp, xq) < δ. (7.5)

Tenemos, entonces, si n ≥ n0 y m ≥ n0, se verifican, simultaneamente, las desigualda-des (7.4) y (7.5) para xn y xm:

d1(xn, xm) < δ ⇒ d2(xn, xm) < ǫ y d1(xn, xm) < δ,

de donde se tiene que para todo n ≥ n0 y todo m ≥ n0, se cumple

d2(xn, xm) < ǫ;

es decir, (xn) es de Cauchy en E2.De manera similar, se prueba que las sucesiones de Cauchy en E2 tambien son de

Cauchy en E1.

2.4 Ejemplo: metricas no equivalentes uniformemente. Vamos a demostrar que las metricasd1(x, y) = |x − y| y d2(x, y) = | ln x − ln y| sobre (0,+∞) no son equivalentes uniformemente. Conesto se demuestra que dos metricas pueden ser equivalente topologicamente, pero no uniformemen-te, necesariamente.

Para ello, vamos a probar que (E, d1) no es completo, pero sı lo es (E, d2).En el primer caso, E1 no es completo, porque no es cerrado en R. Tambien podemos probarlo a

traves del siguiente ejemplo: la sucesion(

1

n

)

n≥1

no converge en E1, porque en R converge a 0 y 0 6∈ E1.Demostremos ahora que E2 sı es completo. Para ello, sea (xn) una sucesion de Cauchy en E2.

Vamos a demostrar que es convergente.Para ello, probemos que (ln xn) es de Cauchy en R con la metrica usual. Sea ǫ > 0; como es de

Cauchy en E2, existe η0 ∈ N tal que para todo p ≥ η0 y todo q ≥ η0, se verifica la desigualdad

d2(xp , xq) < ǫ,

es decir:| ln xp − ln xq| < ǫ. (7.6)

Esto significa que la sucesion de numeros reales (ln xn) es de Cauchy en R con la metrica usual; porlo tanto, es convergente, ya que R es completo. Sea L ∈ R el lımite de esta sucesion. Pero, como

| ln xn − L| = | ln xn − ln(

eL)

|

= d2(xn , eL),

tenemos que

lım d2(xn, eL) = 0,

pueslım | ln xn − L| = 0.

En resumen, (xn) converge a eL en E2.

DEFINICION 7.4 (Metricas equivalentes metricamente). Las metricas d1 y d2 son equivalen-tes metricamente si y solo si las funciones I1 e I2 son continuas lipschitzianas.

61

Si d1 y d2 son equivalentes metricamente, entonces, por un lado, tenemos que I1 eslipschitziana. Entonces, existe una constante L1 > 0 tal que para todo (x, y) ∈ E2, severifica la desigualdad

d2(x, y) ≤ L1d1(x, y). (7.7)

Por otro lado, tenemos tambien que I2 es lipschitziana; luego, existe una constante L2 >

0 tal que para todo (x, y) ∈ E2 , la desigualdad siguiente es verdadera:

d1(x, y) ≤ L2d2(x, y). (7.8)

Entonces, que d1 y d2 sean equivalentes metricamente implica que existen constantesα > 0 y β > 0 tales que para todo (x, y) ∈ E2, se verifican las desigualdades:

αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y)

(Basta con tomar α = L−12 y β = L1). El recıproco tambien es verdadero.

TEOREMA 7.5 (Metricas equivalentes metricamente). Dos metricas son equivalentes metri-camente si y solo si existen constantes α > 0 y β > 0 tales que para todo (x, y) ∈ E2, sonverdaderas las desigualdades:

αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y).

2.5 Ejemplo: metricas equivalentes uniformemente, pero no metricamente. Es inmediatoque dos metricas equivalentes uniformemente lo son tambien uniformemente. El recıproco no escierto.

En efecto, si d1 es la metrica usual sobre R y d2 = d1/(1+ d1) sobre R tambien, como hemos vistoantes, son equivalentes uniformemente, pero no lo son metricamente.

Para probar esta ultima afirmacion, haremos uso del hecho de que si dos metricas son equivalen-tes metricamente, entonces la propiedad de ser conjunto acotado es invariante. La demostracion deesta propiedad es sencilla y se deja como ejercicio.

Establecida, entonces, esta propiedad, vemos facilmente porque d1 y d2 no son equivalentes: R,

con la metrica d1, no es acotado, pues diam R = +∞, mientras que R con la metrica d2 sı es acotado,

pues diam R ≤ 1. Es mas, todo conjunto en (R, d2) es acotado.

2.6 Ejemplos de metricas equivalentes en Rn. Recordemos que para todo real p ≥ 1, lasfunciones de Rn × Rn, definidas por

dp(x, y) =

(

∑k≤n

|xk − yn|)

1p

,

son metricas sobre Rn. Para cada p ≤ 1, dp y d∞ son equivalentes.Para probarlo, utilicemos el teorema 7.5. En primer lugar, se tiene para todo i ∈ {1, 2, . . . , n} que

|xi − yi|p ≤ ∑k≤n

|xk − yk|p,

de donde, obtenemos que

|xi − yi| ≤(

∑k≤n

|xk − yk|p)

1p

= dp(x, y),

con lo que concluimos qued∞(x, y) = max

i≤n|xi − yi| ≤ dp(x, y). (7.9)

62

Por otro lado, como|xi − yi| ≤ max

i≤n|xi − yi| = d∞(x, y),

tenemos que|xi − yi|p ≤ d

p∞(x, y),

de donde

∑i≤n

|xi − yi|p ≤ ndp∞(x, y),

es decir:(

∑i≤n

|xi − yi|p)

1p

≤ nd∞(x, y),

con lo que obtenemos la desigualdad

dp(x, y) ≤ p√

nd∞(x, y),

que, junto con (7.9), concluimos que

d∞(x, y) ≤ dp(x, y) ≤ p√

nd∞(x, y).

2.7 Metricas equivalentes sobre el espacio producto de un numero finito de espacios.Recordemos que si {( Ek, dk)}k∈K es una familia finita (K es un conjunto finito) de espacios metricos,el producto cartesiano

E = ∏k∈K

puede ser provisto de las siguientes metricas:

d∞ = maxk∈K

dk y dp =

(

∑k∈K

dk

) 1p

.

Con un procedimiento similar al utilizado en el caso de las metricas en Rn, se puede probar que las

metricas d∞ y dp son equivalentes.

63

Capıtulo 8

Espacios metricos completos

1 Sucesiones de Cauchy.

DEFINICION 8.1 (Sucesion de Cauchy). Sea (xn) una sucesion en el espacio metrico (E, d).Se dice que la sucesion es de Cauchy si y solo si para todo ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que paratodo n ≥ n0 y todo m ≥ n0, se verifica la desigualdad

d(xn, xm) < ǫ.

TEOREMA 8.1. En todo espacio metrico se verifican las siguientes proposiciones:

1. Toda sucesion convergente es de Cauchy. El recıproco no es verdadero.

2. Toda sucesion de Cauchy es acotada. El recıproco no es verdadero.

1.1 Ejemplos de sucesiones de Cauchy no convergentes . Sea E el conjunto de todas lasfunciones continuas definidas en el intervalo [0, 1] y que toman valores en R. A este conjunto se lepuede dotar de la metrica

d(x, y) =∫ 1

0|x(t)− y(t)|dt.

La sucesion (xn) definida por

xn(t) =

0 si 0 ≤ t ≤ 1

2− 1

n,

n

2t − n − 2

4si

1

2− 1

n≤ t ≤ 1

2+

1

n,

1 si1

2+

1

n≤ t ≤ 1,

para cada n ≥ 3, es una sucesion de Cauchy que no es convergente.

2 Espacios completos. Un espacio metrico es completo si toda sucesion de Cauchy esconvergente. Los espacios Rn son completos, todo espacio metrico discreto es completo,los espacios ℓ∞, ℓp, c y c0 son completos.

El espacio de las funciones reales definidas en un segmento y que son continuas no escompleto con la metrica dada en el ejemplo anterior. Tambien el subespacio de las sucesio-nes con numero finito de terminos distintos de cero no es completo, porque no es cerrado.

TEOREMA 8.2 (Completacion). Todo espacio metrico posee una completacion, que es uni-ca, salvo una isometrıa.

Una demostracion clara se puede encontrar en el texto de Kreyszig.

65

2.1 Ejercicios.

1. Sea s el conjunto de todas las sucesiones reales. Demuestre que

ρ(x, y) = ∑j≥1

2j|xj − yj|

1 + |xj − yj|

es una metrica sobre s y que el espacio (s, ρ) es completo.

2. Demuestre que la funcion (x, y) 7−→ | arctan x− arctan y| es una metrica sobre R. Pruebe que elespacio resultante no es completo y demuestre que su completacion es isometrica al intervalo[

− π2 , π

2

]

.

3. Demuestre que la funcion (x, y) 7−→ |ex − ey| es una metrica sobre R. Pruebe que el espacioresultante no es completo y demuestre que su completacion es isometrica al intervalo [0,+∞).

4. Demuestre que la funcion (x, y) 7−→ |x3 − y3| es una metrica sobre R. Pruebe que el espacioresultante no es completo. Sobre la base de los dos problemas anteriores, encuentre la comple-tacion del espacio resultante. Ofrezca una generalizacion del problema.

3 Teorema del punto fijo.

TEOREMA 8.3. Sean E un espacio metrico y f : E −→ E. Si E es completo y existe 0 < L < 1tal que para todo (x, y) ∈ E2, se verifica la desigualdad

d( f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y),

entonces f posee un unico punto fijo; es decir, existe un unico a ∈ E tal que f (a) = a.

Una demostracion adecuada se encuentra en el texto de Komornik.

3.1 Ejercicio.

1. Sean E un espacio metrico y f : E −→ E. Se define f 0 = f y f n = f ◦ f n−1 para todo n > 1.

(a) Si n > 1, demuestre que un punto fijo de f tambien sera un punto fijo de f n.

(b) Si E = R y f (x) = 2 − x2, determine los puntos fijos de f y de f 2.

(c) Si E es completo, f continua y existe n > 1 tal que f n es una contraccion, demuestre quef posee un unico punto fijo.

2. Aplique el teorema del punto fijo para demostrar que la ecuacion

xn − (5 − x)(x + 1) = 0

tiene una raız en el intervalo [0, 4] (cualquiera que sea n ∈ N).

3. Demuestre que existe una y solo una funcion continua y acotada y : [0,+∞) −→ R que satisfacela ecuacion

y(x) = sen x +∫ x

0e−t2

y(tex)dt

para todo x ≥ 0.

4 Aplicaciones del teorema del punto fijo.

66

4.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sean D ⊆ R2, un conjunto abierto y conexo,f : D −→ R una funcion continua. El problema de encontrar una funcion diferenciableϕ : I −→ R, con I un intervalo de R, tal que

(t, ϕ(t)) ∈ D (8.1)

para todo t ∈ I, y

ϕ′(t) =dϕ

dt(t) = f (t, ϕ(t)) (8.2)

para todo t ∈ I, es denominado ecuacion diferencial de primer orden y es denotado por

x′ = f (t, x). (8.3)

Si una funcion ϕ y un intervalo I de este tipo existen, la funcion ϕ es denominada solu-cion de la ecuacion diferencial (8.3) sobre I. Geometricamente, el problema (8.3) prescribela pendiente f (t, x) en cada punto de D, de modo que, una solucion ϕ sobre I de esteproblema es una funcion cuyo grafico tiene pendiente f (t, ϕ(t)) para cada t ∈ I.

Dado el punto (τ, ξ) ∈ D, el problema de encontrar un intervalo I que contenga a τ yuna solucion ϕ de (8.3) sobre I que satisfaga

ϕ(τ) = ξ (8.4)

es denominado problema de valor inicial. Este problema suele representarse por

x′ = f (t, x), x(τ) = ξ.

Bajo el supuesto de que ϕ sea unan solucion sobre I del problema de valor inicial, en-tonces, por el Teorema Fundamental del Calculo, obtenemos que para todo t ∈ I, se verificala igualdad

ϕ(t) = ξ +∫ t

τf (s, ϕ(s)) ds. (8.5)

Recıprocamente, tenemos que una funcion ϕ que satisface esta igualdad es, tambien,solucion del problema de valor inicial.

Gracias al teorema del punto fijo, podemos demostrar que la ecuacion (8.5) tiene solu-cion unica si f esta acotada en D y es lipschitziana respecto de sus segunda componente;es decir, si existe M > 0, un real tal que

| f (t, x)| ≤ M (8.6)

para todo (t, x) ∈ D, y existe un numero real L > 0 tal que

| f (t, x1)− f (t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. (8.7)

De manera mas precisa, demostremos que existe un numero real a > 0 y una funcioncontinua ϕ : [τ − a, τ + a] −→ R que satisface la ecuacion (8.5).

Para ello, como D es abierto y (τ, ξ) ∈ D, existen reales a > 0 y b > 0 tales que

[τ − a, τ + a]× [ξ − b, ξ + b] ⊆ D. (8.8)

Ahora, consideremos el conjunto

E = {ψ : [τ − a, τ + b] −→ R : |ψ(t)− ξ| ≤ 2Ma, para todo t ∈ [τ − a, τ + a]}.

Entonces, E es un subespacio del espacio de las funciones continuas y acotadas definidasen [τ − a, τ + a]; por lo tanto, E es completo.

67

A continuacion, vamos a definir la aplicacion

T : E −→ Eϕ 7−→ ψ,

definida por

ψ(t) = ξ +∫ t

τf (s, ϕ(s)) ds

para todo t ∈ [τ − a, τ + a].Veamos bajo que condiciones T es una contraccion. En primer lugar, aseguremos que la

imagen de T esta en E. Para ello, sea ϕ ∈ E; vamos a probar que Tϕ ∈ E; es decir, vamos ademostrar que

|(Tϕ)(t)− ξ| ≤ 2Ma

para todo t ∈ [τ − a, τ + a].Sea t ∈ [τ − a, τ + a], entonces

|(Tϕ)(t)− ξ| =∣

∣

∣

∣

(

ξ +∫ t

τf (s, ϕ(s)) ds

)

− ξ

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫ t

τf (s, ϕ(s)) ds

∣

∣

∣

∣

≤∫ t

τ| f (s, ϕ(s))| ds

≤∫ t

τM ds

≤∫ τ+a

τ−aM ds

= 2Ma.

(La eleccion de b debe ser tal que se cumpla b ≤ 2Ma para que se verifique tambien (8.8)).Por otro lado, sea t ∈ [τ − a, τ + a], y sean ϕ ∈ E, ψ ∈ E; entonces:

|(Tϕ)(t)− (Tψ)(t)| =∣

∣

∣

∣

(

ξ +∫ t

τf (s, ϕ(s)) ds

)

−(

ξ +∫ t

τf (s, ψ(s)) ds

)∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫ t

τ[ f (s, ϕ(s))− f (s, ψ(s))] ds

∣

∣

∣

∣

≤∫ t

τ| f (s, ϕ(s))− f (s, ψ(s))| ds

≤∫ t

τL |ϕ(s)− ψ(s)| ds

≤ L∫ τ+a

τ−a|ϕ(s)− ψ(s)| ds

≤ L∫ τ+a

τ−amax

u∈[τ−a,τ+a]{|ϕ(u)− ψ(u)|} ds

= 2La maxu∈[τ−a,τ+a]

|ϕ(u)− ψ(u)|

= 2La d∞(ϕ − ψ);

es decir:|(Tϕ)(t)− (Tψ)(t)| ≤ 2La d∞(ϕ − ψ)

68

para todo t ∈ [τ − a, τ + a]. Por lo tanto:

maxu∈[τ−a,τ+a]

|(Tϕ)(t)− (Tψ)(t)| ≤ 2La d∞(ϕ − ψ),

es decir:d∞(Tϕ − Tψ) ≤ 2La d∞(ϕ − ψ).

Esto quiere decir que, para que T sea una contraccion hay que elegir a de tal manera que,ademas de satisfacer (8.8), se cumpla tambien que

2La < 1.

Con las elecciones adecuadas de a y de b (que son posibles ya que D es un abierto),garantizamos que T es una contraccion, por lo tanto, por el teorema del punto fijo, existeuna unica ϕ ∈ E tal que

Tϕ = ϕ,

de donde, para todo t ∈ [τ − a, τ + a], se verifica la igualdad

ϕ(t) = ξ +∫ t

τf (s, ϕ(s)) ds.

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ana´lisis i apuntes de clase · capıtulo 1 estructuras fundamentales del ana´lisis 1 topologıa...

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