Análisis Funcional yProcesamiento de Imágenes

Arturo Cruz Maya

Mario Arioli y Daniel Loghin

El procesamiento de imágenes está en todas partes en la vida moderna

•Cámaras Digitales•Celulares•Cámaras CCTV•Satélites•Telescopios•Diagnóstico médico

Problema que atrae a los matemáticos(Post-procesamiento de imágenes)•Imágenes Escala de Grises son

representadas como matrices de escalares.

• Imágenes a Color son representadas como Vectores.

•Estas matrices son vistas como valores de una distribución u0(x) definida sobre un dominio Ω 2D abierto y acotado.

T. Chan y J. Shen

• 'Image Processing and Analysis', SIAM, 2005

•Varios ejemplos de modelos matemáticos de ruido , describen imágenes como distribuciones.

•El proceso de eliminación de ruido puede ser modelado por problemas variacionales.

Notación

•Imagen: u(x, y) con u : ΩR

•(x, y) Є Ω denota la localización del pixel en el dominio de la imagen

•

•Generalmente Ω=[0,1]x[0,1]

Herramientas matemáticasIntegral

Suma de los valores de la función en un dominio

J. F. Garamendi, E. Schiavi ROF: Modelado e implementación

Herramientas matemáticasDerivada

Es una medida de la velocidad de variación de una función a lo largo del dominio. Es una medida LOCAL.

Es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo

Herramientas matemáticasGradiente

Modelo de Rudin, Osher y Fatimi•Buscamos una distribución u(x) en el

espacio de distribuciones de variación acotada (BV)

•Solución para el problema minimización no lineal:

Modelo de Mario Arioli y Daniel Loghin•Uso de espacios de Sóbolev fraccionales H , 0 < α <1

• Una presentación exhaustiva de éstos espacios: 1er libro de Lions y Magenes (Problèmes aux limites non homogènes et applications, Dunod, 1968)

•Buscamos una distribución u(x) Є H• Solución para el problema de minimización

cuadrática

α

α

Ilustración de los Métodos

Ruido blanco aleatorio

Método Popular vs Método Propuesto

Ambos métodos fueron considerados con el mismo parámetro de regularización λ=1/50.

Conclusiones

•Las matemáticas van encontrando su aplicación con el paso del tiempo.

•Avanzar en Tecnología.

•Mientras más amplio sea nuestro conocimiento teórico mayor será nuestra tecnología.

Referencias

• Mario Arioli, Daniel Loghin, Functional Analysis and Image Processing

• J. F. Garamendi, E. Schiavi, ROF: Modelado e implementación

• T. Chan and J. Shen, 'Image Processing and Analysis', SIAM, 2005

• J. L. Lions and E. Magenes, 'Problèmes aux limites non homogènes et applications', Dunod, 1968