Microsoft Word - ANALISIS ESTRUCTURAL PARTE V.doc

MTODOS DE ANLISIS

1. Mtodo de las fuerzas o flexibilidad: Es convenientes para el anlisis de estructuras pequeas con pocos elementos redundantes, las incgnitas son las redundantes o fuerzas. Este mtodo tambin se usa para deducir las relaciones fuerza- desplazamiento en elementos necesarios para aplicar el mtodo de los desplazamientos.

2. Mtodo de los desplazamientos o rigidez: Es sistemtico, por lo tanto fcil de programar. Se usa para estructuras grandes y con muchas redundantes.Ingenieria Antisismica

1. MTODO DE LAS FUERZAS, O DE LA FLEXIBILIDAD O DE LAS DEFORMACIONES COHERENTES.

Planteado por James C Maxwell en 1864. Consiste en eliminar suficientes restricciones en una estructura estticamente indeterminada, para volverla una estructura determinada, conocida como estructura primaria o base y debe ser estable. Las reacciones redundantes, se aplican como cargas desconocidas sobre la estructura estticamente determinada o primaria y se resuelve por medio de las ecuaciones de compatibilidad. En este mtodo las incgnitas son las fuerzas.

1.1 PROCEDIMIENTO PARA ESTRUCTURAS CON GRADO DE INDETERMINACIN ESTTICA GIE = 1

1. Determine el grado de indeterminacin esttica

2. Seleccione una de las reacciones como redundantes, la estructura primaria debe ser estable y estticamente determinada.

3. Aplique las cargas externas sobre la estructura primaria dibuje la deformada y muestre la deflexin en el punto de la redundante.

4. Aplique la redundante sobre la estructura primaria, con un valor unitario de la fuerza en el punto y direccin positiva del elemento redundante. Dibuje la deformada y asigne f como coeficiente de flexibilidad, el cual representa la deflexin o pendiente en el punto de aplicacin, la deflexin o pendiente es igual a la redundante por f (coeficiente flexibilidad).

5. Escriba la ecuacin de compatibilidad, igualando deformacin de la estructura primaria con cargas con la deformacin de la estructura primaria con incgnitas, la suma algebraica de la deflexin o rotacin se igualan a cero. Si hay movimiento en el apoyo se iguala al movimiento prescrito, por ejemplo un asentamiento diferencial.

6. Calcular las deflexiones por las cargas y por la carga unitaria en el punto de aplicacin de la redundante.

7. Reemplazar el valor anterior en la ecuacin de compatibilidad y halle la redundante.

8. Halle las otras reacciones usando las ecuaciones de equilibrio.

9. Realice los diagramas V(x), M(x) , N(x).Ingenieria AntisismicaI

Problema: Hallar las reacciones y diagramas V(x) y M(x). By: Redundante Esttican la

Estructura Primaria bajo las cargasBM : Deflexin en B debido al momento externo M

Viga estticamente indeterminada

Estructura primaria cargada co redundante By

BB : Coeficiente de flexibilidad. Representa la deflexin en B debida a un valor unitario de la redundante By aplicada en B.

Ingenieria Antisismica

La deflexin en B debida a la redundante es BRB =

BB By

Ecuacin de compatibilidad

+ = +=By0

BMoBRBBMoBB

Deflexin de las vigas primarias

Se pueden calcular usando las formulas de deflexiones o cualquier mtodo de las que se vieron anteriormente para calcular deflexiones.

El signo (-) indica deflexin abajo

= M o L BM2EI2

BB

= L33EI

?

Reemplazando en la ecuacin de compatibilidad

M 0 L2

2EI

+ L33EI

* By = 0

By = 3M2L

Reacciones

Fx = 0 Ax = 0

A = 0 M A 0MM

+ 3M 0 = 02

M= M 0A2Fy = 0Ay = 3M2L

2. MTODO DE NGULOS DE GIRO Y DEFLEXIN, O DE LOS DESPLAZAMIENTOS O RIGIDEZ.

Otto Mohr fue el precursor del mtodo aplicado en 1892, luego fue introducido por GeorgeA. Money, profesor de la Universidad de Minesota en 1915 los fundamentos proporcionan una introduccin al mtodo matricial de la rigidez.

Se considera como incgnitas las rotaciones y desplazamientos en los nudos, y con base en esto se plantean las ecuaciones de compatibilidad.

La esencia del mtodo radica en relacionar los cambios geomtricos producidos por las cargas (Rotaciones y desplazamientos en los nudos) con los momentos en los nudos. Se aplican las ecuaciones de equilibrio a cada nudo y se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene la solucin se considera y procede as:

Las conexiones son rgidas y se desprecian las deformaciones axiales.

Desplazamientos y rotaciones en nudo son incgnitas.

Los momentos en los extremos se expresan en funcin de las cargas aplicadas y giros y desplazamientos se suponen (+),contra horario.

Para que haya equilibrio, la suma de momentos en los extremos de los elementos debe ser cero, y aplicando sucesivamente esto a todos los nudos y cualquier otra condicin, proporciona condiciones necesarias para resolver giros y desplazamientos.

Despus de hallar los giros y desplazamientos, se reemplazan los valores en la ecuacin de ngulos de giro y deflexin para encontrar los momentos en los extremos de los elementos.

a) Elemento de prtico no deformada.

b) Elemento despus de deformarse por las cargas impuestas

: Translacin relativa entre los 2 extremos del elemento en direccion perpendicular al eje no deformado.

Mi , Mj : Momento definitivo en el nudo i , j

c) Efecto de las cargas sobre el elemento (Se empotra la estructura)

Mijf : Momento de empotramiento en el nudo i causados por cargas aplicadas en j. Anlisis de Estructuras I115

Mi E , MjiE: Se hallan con tablas, mtodo rea momento, viga conjugada etc.j

d) Efecto del giro en el nudo i () Se desprecian las deformaciones axiales) Mii` : Momento en el nudo i causado por un giro teta iMji` : Momento en el nudo j por la aplicacin de un momento Mii` en el nudo i.

Viga Conjugada Teta = Cortante Y = Momentoe) Efecto del giro en el nudo j

Mj ` : Momento en el nudo j causado por un giro teta jj

` : Momento en el nudo i por la aplicacin de un momento M ` en el nudo j.Mijjj

Viga Conjugada con giro positivo

f) Desplazamiento relativo normal al eje del elemento en posicin no deformada.

Mi ` : Momento en el nudo i causado por un desplazamiento relativo en los extremos del elemento j.j

Mji` : Momento en el nudo j causado por un desplazamiento relativo en los extremos del elemento i.

ij : Giro de la cuerda, puede ser positivo (contra horario) Aplicando el principio de SuperposicinMi = MiF + Mii` + Mi ``j

Mj = M Fj

+ Mji`

+ Mj ``

Para el caso d) :j

M B = 0

Condiciones en los apoyos

Reemplazando en las ecuaciones giro deflexin

M= 37.5 + EI 6.656 = 38.83KN.mAB5EI

M= 37.5 + 2EI 6.656 = 34.84KN.mBA5EIM= 36 + 2EI 6.656 + EI * 16.824 = 34.84KN.mBC3EI3EIComprobandoM BA + M BC = 0M= 36 + EI * 6.656 + 2 EI * 16.824 = 45

CB3

EI3EI

M CB + M CD = 0Se encuentran las reacciones

Tramo AB30

38.8 34.8

RAB =+210

= 15.4KN

RBA = 15.4 + 30 = 14.6KN M max = 15.4 * 5 = 38.2KN.m

Tramo BC12 * 6

45 34.8

RBC =26

= 34.3KN

RCB = 12 * 6 34.3 = 37.7KN2

M max

= 34.32 *12

34.8 = 14.2KN.m

Matriz de flexibilidad.-

La geometra (deformada) de un slido deformado puede caracterizarse por los movimientos (desplazamientos o giros) de un conjunto de puntos o secciones particulares. En una estructura plana el movimiento de un punto del slido ( seccin, si se trata de barras) tiene tres componentes: dos traslaciones y un giro. Las componentes del movimiento de un conjunto representativo de puntos de un slido (entre ellos, probablemente, los propios puntos de aplicacin de las cargas Pi) que caracterizan unvocamente el comportamiento deformacional del slido sometido a las cargas Pi, se denominan, a efectos de anlisis estructural, grados de libertad del slido.

As, por ejemplo:

La proporcionalidad entre la variacin de longitud y la carga aplicada expresada en la ley de Hooke, L = L/(EA) N, implica la caracterizacin del comportamiento deformacional de la barra mediante el movimiento del punto extremo en la direccin de aplicacin de la carga; este movimiento sera, pues, el grado de libertad elegido para el anlisis del problema La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra y la carga aplicada en el extremo de la mnsula expresada en f = L3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento deformacional de la mnsula mediante el desplazamiento del punto extremo en la direccin de aplicacin de la carga; este movimiento sera el grado de libertad elegido para el anlisis del problema; una alternativa podra ser utilizar como grado de libertad descriptivo del problema, el giro en el extremo de la mnsula.

Considrese un slido como el que se muestra en la figura 8.1 sometido a la accin de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando cada una de ellas en un punto i.

Por efecto de aplicacin de las cargas, un punto genrico i se desplazara hasta el punto i siendo el vector desplazamiento i del cual la componente en la direccin de aplicacin de la carga es i.

Definicin.- Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al desplazamiento del punto de aplicacin de la carga Pi, en la direccin de dicha carga, cuando acta una carga unidad en el punto j en la direccin y sentido de Pj.

P111122P21223333P3

Figura 8.1

Cuando actan varias cargas, el desplazamiento i del punto de aplicacin de una de ellas, justo en la direccin de la carga Pi, es suma de los desplazamientos producidos por cada una de las cargas actuantes.

1 = f11P1 + f12P2 + f13P32 = f21P1 + f22P2 + f23P33 = f31P1 + f32P2 + f33P3

El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial resultando

1f11f12f13P1

2 = f21f22f23P2

3f31f32f33P3

A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina matriz de flexibilidad del slido. Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales. Aplicando el teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dos estados de carga distintos que actan sobre un mismo slido, y que se muestran en la figura 8.2 (en el estado 1 slo actan la carga Pi y en el estado 2 solo la carga Pj), se obtiene:

Matriz de rigidez.- Es decir, kii representa la carga a aplicar en el punto i-simo para conseguir un desplazamiento unidad en este punto en la direccin de la carga aplicada en dicho punto permaneciendo el resto de los puntos sin movimiento. Algunas precisiones.- La carga a aplicar se entiende que tiene la misma direccin que Pi. El desplazamiento unidad debe entenderse que es la componente sobre la direccin de Pi. Que el resto de los puntos permanece sin movimiento se refiere a la ausencia de desplazamientos en las direcciones de las cargas aplicadas Pj (ji)

Si hubiera momentos los movimientos referidos son giros.

EJEMPLO.- Obtener la matriz de rigidez de la estructura y sistema de cargas que se muestran enlafigura 8.14.