analisis estructural ii introduccion

ANALISIS ESTRUCTURAL II

Ing Fredy Pilco Bejar

Introduccion

• Propiedades de los materiales Estructurales

• Concreto

• Acero

• Madera

Introduccion

• Tipos de Cargas – Normas

• Cargas Muertas

• Cargas Vivas

Introduccion

• Tipos de Cargas – Normas

• Cargas Vivas

Introduccion

• Calculo de Cargas o Metrado

ANALISIS DE ESTRUCTURAS

• Estructuras Estaticamente

Determinadas

• Idealización de Estructuras

• Soportes o conexiones


• Principio de

superposicion

• - Es desplazamiento total o las

cargas internas (esfuerzos) en un

punto de una estructura sometida

a varias cargas externas, puede

determinarse al sumar los

desplazamientos o cargas internas

(esfuerzos) casusadao por cada

una de las cargas externas que

actuan por separado.

• - El material debe comportarse de

manera elastico – lineal. Ley

Hooke.

• -No debe haber cambio de

geometria significativos

• Ecuaciones de

Equilibrio

• ∑Fx = 0

• ∑Fy = 0

• ∑Mz = 0


• Ejemplos

• - Calcule las reacciones de la viga

mostradas en la figura

- Calcule las Reacciones para la

armadura de la figura


• Ejercicios

• - Calcule las reacciones en cada

estructura


• ARMADURAS

• - Una armadura es un elemento

estructural formado por un arreglo

estable de barras esbeltas. Este

arreglo frecuentemente subdivide

a la armadura en areas

triangulares. Lads juntas son

barras de armaduras soldadads o

atornilladas a placas de conexión

y son rigidas.

• Se considera que las juntas no

transfieren momentos y los

elementos de las armaduras solo

transmiten fuerzas axiales.

ARMADURAS

• ANALISIS DE

ARMADURAS

• - Las barras son rectas y

transmiten unicamente carga

axial. Se desprecia el peso muerto

de la barra.

• Los elementos o miembros se

conectan a los nodos por medio de

pasadores sin friccion. No se

transfiere momento

• Las cargas se aplican unicamente

en los nudos.

Introduccion

• Los metodos matriciales consisten en reemplazar la estructura

continua real por un modelo matematico de elementos

estructurales, cuyas propiedades pueden expresarse en forma

matricial

• Metodo de Rigideces

• Es un metodo del analisis del desplazamiento de la estructura.

Puede usarse tanto para analizarse estructuras estaticamente

determinadas como indeterminadas. Se obtiene los

desplazamientos y las fuerzas en forma directa. Es mucho mas

sencilla de formular las matrices necesarias para realizar las

operaciones en computadora.

• Metodo de Flexibilidad

• Procedimiento diferente para cada caso

• Grados de Libertad en estructuras

Introduccion

• Definiciones y Conceptos Preliminares

• Identificacion del Elemento y El Nodo

• Especificar cada elemento y cada nodo de la estructura Cada

elelmento se especificara por un numero encerrado en un cuadrado

y para los nodos se usara un numero dentro de un circulo.

Tambiwen se identificara los extremos de cada elemento mediante

una flecha a lo largo del elemento.

• Coordenadas Global y del Elemento

• Dadas que las cargas y los desplazamientos son cantidades

vetoriales, es necesario establecer un sistema de coordenadas a fin

de precidar el sentido correcto de la direcccion

• Sistema de Coordenada Global o de la estructura X,Y

• Sistema de coordenada Local o del Elemento x´, y´

Introduccion

• Indeterminacion Cinematica

• Los grados de libertad no restringidos para una armadura

representan las incognitas primarias y por lo tanto estas deben

identificarse

Introduccion

Matriz de Rigidez

• Matriz de Rigidez - Miembros

• La matriz de Rigidez a nivel elemento para una barra cargada

axialmente relaciona las fuerzas axiales en los extremos del

miembro con los desplazamientos axiales en cada extremo

• Los elementos dev la matriz de rigidez a nivel elemento se

expesan inicialmente en terminos de uns sistema coordenado local

x’, y’

Matriz de Rigidez

• El eje x’ es colineal con el eje longitudinal del miembro.

• Aunque la orientacion del sistema globlal es arbitraria,

comunmente se localiza el origen en uno de los nudos externos de

la base de la estructura. Para una estructura plana se posicionan

los ejees X y Y en las direcciones horiozontal y vertical

Matriz de Rigidez• Construccion de la Matriz de Rigidez para una barra

individual de Armadura

• Se considera una barra n

• Longitud L

• Area A

• Modulo de Elasticidad E

• El eje x’ es colineal con el eje longitudinal del miembro.

• Los nodos se denotan con los numeros 1 y 2

• Los ejes de las coordenadas locales x’ y y y’ con origen en 1

Matriz de Rigidez• La direccion es positiva para las fuerzas y desplazamientos en

la direccion positiva del eje x’ (hacia la derecha)

• Primero se introduce un desplazamiento en el nudo 1, ∆1 y el

nudo 2 se considera restrigido por un apoyo temporal

articulado

• Expresando las fuerzas en terminos de ∆1, se tiene la siguiente

ecuacion

• Q11= AE/L * ∆1 y Q21= -AE/L * ∆1

• Los subindices denotan la ubicacion del nudo en el cual actua la

fuerza y el segundo indica la localizacion del desplazamiento

Matriz de Rigidez• En forma similar el nudo 1 se restringe mientras el nudo se

desplaza una distancia ∆2 en direccion positiva las fuerzas en

los extremos son

• Q12= -AE/L * ∆2 y Q22= AE/L * ∆2

• Para calcular las fuerzas resultantes Q1 y Q2 en cada extremo

del miembro en terminos de los desplazamientos de los

extremos ∆1 y ∆2, se suman los terminos correspondientes de

las ecuaciones:

• Q1= Q11 + Q12 = AE/L * (∆1- ∆2)

• Q2= Q21 + Q22 = AE/L * (- ∆1+ ∆2)

Matriz de Rigidez• Las ecuaciones anteriores se pueden expresar en forma

matricial como:

• Donde la matriz de rigidez del elemento

• en el sistema de coordenadas locales es:

•

Algebra Matricial

Metodo de Rigideces

• Matriz de Transformacion

de Fuerza y

Desplazamiento

• Es la trnasformacion del as fuerzas Q y

de los desplazamientoso d definidos en

coordenas locales

• Consideraciones:

• λx = Cos θx=(xf – xn)/L

• = 𝑥𝑓−𝑥𝑛

(𝑥𝑓−𝑥𝑛)2+(𝑦𝑓−𝑦𝑓)

2

• λy = Cos θy=(yf – yn)/L • = 𝑥𝑓−𝑥𝑛

(𝑥𝑓−𝑥𝑛)2+(𝑦𝑓−𝑦𝑓)

2

Metodo de Rigideces

• Matriz de Transformacion

del Desplazamiento

• Es la composicion del desplazamiento de

cada elemento en funcion de las

componentes en las coordenadas globales

• Los desplazamientos o deformaciones se

dan en punto Cercano (N) y en el punto

lejano (F)

• 𝑑𝑛 = 𝐷𝑛𝑥 cos θ𝑥 + 𝐷𝑛𝑦 cos θ𝒚

• 𝑑𝑓 = 𝐷𝑓𝑥 cos θ𝑥 + 𝐷𝑓𝑦 cos θ𝒚

• 𝑑𝑛 = 𝐷𝑛𝑥 λx + 𝐷𝑛𝑦 λy

• 𝑑𝑛 = 𝐷𝑓𝑥 λx + 𝐷𝑓𝑦 λy

Metodo de Rigideces

• En forma Matricial

𝑑𝑛𝑑𝑓

=λ𝑥 λ𝑦 00 0 λ𝑥

0λ𝑦

𝐷𝑛𝑥𝐷𝑛𝑦𝐷𝑓𝑥𝐷𝑓𝑦

• Tambien

• d= TD

• T =λ𝑥 λ𝑦 00 0 λ𝑥

0λ𝑦

• T transforma los cuatro desplazamientos D globales x, y, en los

dos desplazamientos locales x`

• T se conoce como la matriz de transformacion del desplazamiento

Metodo de Rigideces

• Matriz de Transformacion de

Fuerza

• Es la composicion de las fuerzas en los

elementos , de coordenadas locales a

coordenadas globales.

• Componentes de la fuerza global qn en N

• 𝑄𝑛𝑥 = 𝑞𝑛 cos θ𝑥 𝑦 𝑄𝑛𝑦 =

𝑞𝑛 cos θ𝒚• En el punto F

• 𝑄𝑓𝑥 = 𝑞𝑓 cos θ𝑥 𝑦 𝑄𝑓𝑦 =

𝑞𝑓 cos θ𝒚• 𝑄𝑛𝑥 = 𝑞𝑛 λx 𝑄𝑛𝑦 =

𝑞𝑛 λy

Metodo de Rigideces

• En forma Matricial

𝑄𝑛𝑥𝑄𝑛𝑦𝑄𝑓𝑥𝑄𝑓𝑦

=

λ𝑥 0λ𝑦 0

00

λ𝑥λ𝑦

𝑞𝑛𝑞𝑓

• Tambien Q= 𝑇𝑇q

• 𝑇𝑇 =

λ𝑥 0λ𝑦 0

00

λ𝑥λ𝑦

𝑇𝑇 transforma las dos fuerzas q locales (x`)

que actuan en los extremos del elemento en las cuatro componentes de la

fuerza Q global (x,y)

• 𝑇𝑇 matriz de la transformacion de la fuerza es la transpuesta de

la matriz de transformacion del desplazamiento

Metodo de Rigideces

• Matriz de Rigidez Global del Elemento

• Es la matriz que relaciona las componentes de la fuerza global Q

del elemento con sus desplazamientos globales D

• d= TD y q= k`d

• Sustituyendo

• q= k`TD

• Teniendo la ecuacion: Q= 𝑇𝑇q

• Q= 𝑇𝑇k`TD

• La matriz k de Rigidez en coordenadas globales del elemento

• k= 𝑇𝑇k`T

Metodo de Rigideces

• Realizando las operaciones matriciales se obtiene:

Metodo de Rigideces

• Matriz de Rigidez de la Armadura

• La matriz de rigidez de la estructura tendra un orden que sera

igual al numero mayor de grados de libertad de la estructura

• Cuando se ensamble las matrices k, cada elemento en k se pondra

entonces en su misma designacion de fila y columna en la matriz

de rigidez de la estructura K

• Los elemento asignados en una ubicacion comun deben sumarse

algebraicamente.

Metodo de Rigideces

• Ejemplos:

• 1.- Determine la matriz de rigidez de la

estructura para la armadura de dos elementos

que se muestra en la figura.

mt

mt

mt

mt

Metodo de Rigideces

• Ejemplos:

• 2.- Determine la matriz de rigidez de la

estructura para la armadura que se muestra en la

figura. AE es constante.

Aplicacion del Metodo de rigideces para

el Analisis de Armaduras

• Las fuerzas en el sistema global (x, y) Q, que actuan sobre la

armadura, pueden relacionarse con sus desplazamientos globales

D :

• Q= KD Ecuacion de rigidez de la estructura

𝑄𝑘𝑄𝑛

=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

𝐷𝑢𝐷𝑘

• Qk = Cargas externas conocidas

• Qn = Cargas externas NO conocidas

• Dk = Desplazamientos conocidos

• Du = Desplazamientos NO conocidos



𝑄𝑘𝑄𝑛

=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

𝐷𝑢𝐷𝑘

• Al expandir la ecuacion se obtiene:

• Qk = K11Du + K12 Dk

• Qu = K21Du + K22 Dk

• A menudo Dk = 0, debido a que los apoyos son restringidos y no

se desplazan

• Qk = K11Du , en la cual puedo calcular los desplazamientos NO

conocidos

• Qu = K21Du, teniendo los desplazamientos no conocidos, se

puede calcular las fuerzas NO conocidas



• Sabemos que las fuerzas en los elementos pueden determinarse

mediante la ecuacion:

• q= k`TD

• Al expandir la ecuacion se obtiene

•𝑑𝑛𝑑𝑓

=𝐴𝐸

𝐿

1 −1−1 1

λ𝑥 λ𝑦 00 0 λ𝑥

0λ𝑦

𝐷𝑛𝑥𝐷𝑛𝑦𝐷𝑓𝑥𝐷𝑓𝑦

• Se sabe que por equilibrio qn = -qf , por lo tanto, unicamente es

necesario determinar una de las fuerzas, qf



• qf= 𝐴𝐸

𝐿[−λ𝑥 − λy λ𝑥 λ𝑦]

𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦

• Cuando el resultado es negativo, el elemento se encuentra en

compresion



• Ejercicio

• Determine la fuerza en dada uno de los dos elementos que

componen la armadura que se muestra en la figura.



• Solucion

• Determinando Du

• Calculo de Q No conocidos

• Al expandir la ecuacion

• Las fuerzas en cada elemento



• Ejercicios

• Determinar las reacciones en los soportes y la

fuerza en el elemento 2 de la armadura que se

muestra en la figura. AE es constante. Cada lado

de la armadura es de 10 mt.

Aplicacion del Metodo de rigideces para el

Analisis de Armaduras

• Ejercicios

• Determinar las reacciones

en los soportes y la

fuerza en todos los

elementos de las

armaduras que se

muestran en la figura. AE

es constante.

Aplicacion del Metodo de Rigideces para

el Analisis de Vigas

• Identificacion del

Elemento y el Nodo

• Sub dividir la viga en elementos finitos

que la componen

• Cada elemento debe estar libre de

carga y tener una seccion prismatica

• Los nodos deben ubicarse en: un

soporte, conexion, aplicacion de fuerza

externa, punto donde se requiere el

desplazamiento vertical o de rotacion

•

• Coordenadas Globales y del

Elemento

• X, Y, Z, Se colocara en un nodo

de modo que las coordenadas en

los otros nodos sean positivas.

• Las coordenadas locales x´,y´y

z´ tienen su origen en el

extremo cercano de cada

elemento, y el eje x´ se dirige

hacia el extramo lejano



• Indeterminacion

Cinematica

• Determinar los grados de libertad para

la viga.

• Tomando en cuenta la flexion y la

fuerza cortante, entonces cada nodo en

un viga puede tener dos grados de

libertad:

• -Un deplazamiento vertical

• - una rotacion

• Coordenadas Globales y del

Elemento

• X, Y, Z, Se colocara en un nodo

de modo que las coordenadas en

los otros nodos sean positivas.

• Las coordenadas locales x´,y´y

z´ tienen su origen en el

extremo cercano de cada

elemento, y el eje x´ se dirige

hacia el extramo lejano



• Los numeros mas bajos se usaran para

identificar los desplazamientos NO

conocidos (grados de libertad no

restringidos).

• Los numeros mas altos se utilizara para

identificar los desplazamientos

conocidos (grados de libertad

restringidos). Para la particion de

matrices

•

Matriz de Rigidez de la Viga Elemento

• Las fuerzas cortantes son qNy´ y qFy´

• Y los momentos flectores qNz´ y qFz´

• , positivas en sentido antihorario

• Se cumple con la regla de la mano

derecha

• DESPLAZAMIENTO EN Y´

• Cuando se impone un desplazamiento

dNy´, mientras se evitan otros posibles

desplazamientos, se crean fuerzas

cortantes y momentos de flexion

• resultantes como se muestra en

la figura.

• De igual modo ocurre con dFy´

Matriz de Rigidez de la Viga Elemento• ROTACIONES EN Z´

• Si se impone una rotacion dNz´Cuando

se impone un desplazamiento dNy´,

mientras se evitan otros posibles.

• Las fuerzas cortantes y momentos

requeridos para la deformacion, se

muestran en la figura.

•

• Por superposicion, sumando los

resultados anteriores, las cuatro

relaciones de carga –

desplazamiento resultantes para

el elemento, pueden expresarse

en forma matricial como:

Matriz de Rigidez de la Viga Elemento• Ejercicios

• Determine las reacciones en los

soportes de la viga que se muestra en la

figura. EI son constantes.

•

• Solucion

• Los numeros mas bajos 1-4

identifican los grados de

libertad NO Restringidos:

• Desplazamientos y cargas

• La viga de la figura esta sometida a dos

momentos de par. Sie el soporte central

2 se asienta 1.5 mm, determine las

reacciones en los soportes. E= 200 Gpa,

I= 22 x 10-6 m4

• Determine el momento

desarrollado en el soporte A de la

viga que se muestra en la figura.

Considere E= 29 000 ksi y que I=

510 pulg4

Ejercicios

Ejercicios


el Analisis de Marcos o Porticos

• Se requerira de el uso de matrices de

transformacion , debido a que los

elementos de los marcos estan

orientados en diferentes direcciones

• Matriz de Rigidez del

Marco - Elemento

• Los elementos estan sometidos a las

• cargas axiales qnx´, qfx´

• Cargas cortantes qny´y qfy´

• Momentos flexionantes qnz´y qfz´

En sus extremos cercanos (N) y lejanos (F)

respectivamente

Estas cargas actuan en sus sentidos

coordenados positivos como en las vigas

•

• Las seis relaciones resultantes

expresadas en forma matricial

• q = k´d



• Matriz de

transformacion del

desplazamiento y de las

fuerzas

• Matriz de Transformacion del

Desplazamiento

•

El desplazmiento en coordenadas

globales Dnx, crea desplazamientos

en coordenadas locales. (Extremo

Cercano)

𝑑𝑛𝑥´ = 𝐷𝑛𝑥 cos θ𝑥

• 𝑑𝑛𝑦´ = −𝐷𝑛𝑦 cosθ𝒚

• Dny

• 𝑑𝑛𝑥´ = 𝐷𝑛𝑦 cos θ𝑦

• 𝑑𝑛𝑦´ = 𝐷𝑛𝑦 cos θ𝒙

• Para los ejes Z y z´ son

coincidentes

• 𝑑𝑛𝑧´ = 𝐷𝑛𝑧

• q = k´d



• De manera similar, para el extremo

lejano se impone un desplazamiento

Dfx en la direccion X, Dfy en la

direccion Y, y una rotacion Dfz, las

ecuaciones de transformacion

resultantes son:

•

𝑑𝑓𝑥´ = 𝐷𝑓𝑥 cosθ𝑥

• 𝑑𝑓𝑦´ = −𝐷𝑓𝑦 cos θ𝒚

• Dfy

• 𝑑𝑓𝑥´ = 𝐷𝑓𝑦 cos θ𝑦

• 𝑑𝑓𝑦´ = 𝐷𝑓𝑦 cos θ𝒙

• Para los ejes Z y z´ son

coincidentes

• 𝑑𝑓𝑧´ = 𝐷𝑓𝑧

• Si se considera como

• λx = Cos θx, λy = Cos θy

• Los cosenos directores del

elemento, la superposicion de

los desplazamientos en el

sistema matricial es:



• O d= TD

Matriz de Transformacion de la Fuerza

• Al aplicar qnx´, se tiene:

𝑄𝑛𝑥 = 𝑞𝑛𝑥 ´ cos θ𝑥

• 𝑄𝑛𝑦 = 𝑞𝑛𝑦´ cosθ𝒚

• Si se aplica qny´, sus componentes son

𝑄𝑛𝑥 = −𝑞𝑛𝑦 ´ cosθ𝒚

• 𝑄𝑛𝑦 = 𝑞𝑛𝑦´ cosθ𝒙

• Como qnz´ es colineal con Qnz ,

se tiene:

• 𝑄𝑛𝑧 = 𝑞𝑛𝑧 ´



• De manera similar , las cargas en los

extremos lejanos 𝑞𝑛𝑥 ´, 𝑞𝑛𝑦 ´, 𝑞𝑛𝑧 ´ ,

generan los siguientes componentes

𝑄𝑓𝑥 = 𝑞𝑓𝑥 ´ cos θ𝑥

• 𝑄𝑓𝑦 = 𝑞𝑓𝑦´ cos θ𝒚𝑄𝑓𝑥 = −𝑞𝑓𝑦 ´ cosθ𝒚

• 𝑄𝑓𝑦 = 𝑞𝑓𝑦´ cos θ𝒙

• 𝑄𝑓𝑧 = 𝑞𝑓𝑧 ´

• Al ensamblar estas ecuaciones en forma

matricial con

• λx = Cos θx, λy = Cos θy

• Se obtiene:

• O bien

• Q= 𝑇𝑇q

• Matriz de rigidez Global del

Marco - Elemento

• q = k´TD

• Sustituyendo

• Q = 𝑇𝑇k´TD



• Q = kD

• Donde: k = 𝑇𝑇k´T

• Aqui k representa la matriz global del

elemento. En forma matricial y

realizando las operaciones respectivas

se tiene:

Bibliografia

• Analisis Estructural. R.C. Hibbeler

• Analsis Matricial de Estructuras. Mohamamed

Mehdi Hadi M.

• Fundamentos de Analisis Estructural. Kenneth M.

Leet – Chia-Ming Uang

Ejercicios

analisis estructural ii introduccion

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