analisis dimensional julio palacios

JULIO

PALACIOSDE HADBID

CATEDRTICO DE LA UMVEBSIDAD

'ANLISIS DIMENSIONALSEGUNDA CORREGIDA EDICIN

Y AUMENTADA

ESPASA.

CALPE,

S. A.

CATEDRTICO DE

LA UNIVERSIDAD DE MADRID

AN LISIS DIMENSIONALSEGUNDA CORREGIDA EDICIN

Y AUMENTADA

ESPASA-CALPE,MADRID 1 9 6 4

S. A.

ES

PROPIEDAD

Julio Palacios, Madrid, 1955 Printed in Spain

PRLOGOEste libro ha resultado desmesurado. Lo que hay en l de fundamentalmente nuevo cabra en un par de captulos. Pero la novedad es tal, y se halla tan en pugna con las ideas de cuantos autores se ocupan en cuestiones relacionadas con Anlisis dimensional y hasta con las doctrinas filosficas aceptadas por la mayora de los fsicos contemporneos, que he juzgado imprescindible justificar mis asertos hasta la saciedad, y demostrar que, en todos los captulos de la Fsica, el nuevo mtodo aventaja a los preconizados por los tratadistas. Tras ensayos y rectificaciones que han durado muchos aos, creo haber construido una teora clara y sencilla de las magnitudes fsicas. Mi confianza se basa en el beneplcito de mi colega el profesor Ricardo San Juan, que ha examinado minuciosamente mi manuscrito y me ha sugerido acertadas modificaciones. Le expreso por ello mi cordial gratitud. Lisboa, febrero 1955.

N.O Rgtr.v: 392-56Depsito legal: M. 6.546-1964

r

Talleres tipogrficos de la Editorial Espasa-Calpe, S. A. Ros Rosas, 26. Madrid

INTRODUCCINSe debe al barn Jean Batiste Fourier (1) el haber aplicado a las magnitudes fsicas el concepto geomtrico de dimensin y, por ello, merece ser considerado como el precursor del Anlisis dimensional. En su obra inmortal, Thorie analytique de la chaleur, establece el concepto de dimensin de modo tan claro y preciso que no podemos resistir la tentacin de reproducirlo textualmente: Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o COll3tante, tiene una dimensin que le es propia, y que los trminos de una ecuacin no podran ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones s En la teora analtica del calor, toda ecuacin representa una relacin entre las magnitudes coexistentes longitud, x; tiempo, t; temperatura, v; capacidad calorfioa por unidad de volumen, e; conductividad superficial, h, y conductividad trmica, K. Dicha relacin no depende de la eleccin de la unidad de longitud que, por su propia naturaleza, es contingente. Hace observar luego Fourier que las medidas de una misma cantidad estn en razn inversa de las unidades que se empleen para medirla. Un cambio en la unidad de longitud no afecta ni a los tiempos ni a las temperaturas, pero s influye sobre las medidas de h, e, y K. Basndose en la definicin de estos coeficientes, deduce el cambio que experimentan cuando se altera la unidad de longitud y, generalizando el concepto geomtrico, dice que la dimensin de e con relacin a la unidad de longitud vale - 3, la de K es - 1 Y la de h es - 2. Llama a estos nmeros exponentes dimensionales con relacin a la longitud, y hace anlogas consideraciones con respecto a las otras dos variables, tiempo y temperatura, obteniendo el siguiente cuadro:

x Longitud ......... Tiempo .......... Temperatura ..... 1 O O O 1 O

11

K

h -2 - 1 -1

e

O O 1

-1 - 1 - 1

-3 O - 1

Llama Fourier la atencin sobre la circunstancia de que el argumento de toda funcin que figure en una ley fisica, por ejemplo, una exponencial o una funcin trigonomtrica, ha de tener nulos todos sus exponentes dimensionales, pues slo as suceder que su valor numrico sea independiente de las unidades que se elijan para medir longitudes, tiempos y temperaturas. En esta afirmacin radica, segn veremos, todo el Anlisis dimensional. De la precedente exposicin resulta claramente que, para Fourier, la dimensin, en singular, es un atributo peculiar de cada magnitud y que los exponentes dimensionales, lo que ahora se llaman dimensiones, son manifestaciones de dicho atributo. Las ideas de Fourier fueron aplicadas con gran xito a fines del pasado siglo por Reynolds (2), Lodge (3), FitzGerald (4), Rcker (5), Jeans (6), y, muy especialmente, por lord Rayleigh (7). Las aplicaciones consstieron, primero, en la comprobacin de la homogeneidad de las eouaciones con el fin de descubrir errores de clculo y, despus, por iniciativa principalmente de lord Rayleigh, se aplic el Anlisis dimensional a la resolucin de problemas cuyo tratamiento directo presenta dificultades matemticas insuperables. Lord Rayleigh emple por primera vez las magnitudes con exponentes dimensonales nulos en la Mecnica de fluidos y, por ello, merece ser considerado, despus de Fourier, como el fundador del Anlisis dimensional. Contribuyeron eficazmente a este desarrollo inicial los trabajos de Riabouchinsky en Rusia (8) y los de Planck (9) y Enstein (10) en Alemania. El ao 1914apareci en Norteamrica un trabajo de Buckingham (11) en el que se da una regla para averiguar el nmero de monomios de exponentes dimensionales nulos que pueden formarse con todas las magnitudes que intervienen en el fenmeno que se estudia. Tales monomios se denominan nmeros 7t y, por eso, dio Bridgman a la citada regla el nombre de teorema de pi. En realidad, Fourier haba ya previsto, segn hemos visto, que toda ecuacin fsica deba consistir en un monomio de dimensiones nulas igualado a una funcin cuyos argumentos tuviesen tambin dimensiones nulas, y el llamado teorema de pi era ya empleado tcitamente, pero con todo rigor, por los Fscos ingleses antes mencionados, especialmente por Jeans. Adems, segn hizo notar Mtral (12), el teorema en cuestin

haba sido ya enunciado por Vaschy (13) el ao 1892, aunque sin referirse expresamente a los monomios de dimensin nula. De todos modos, el trabajo de Buckingham tuvo la fortuna de atraer la atencin de fsicos, matemticos e ingenieros del mundo entero, que lo han sometido a crtica minuciosa. Consta el teorema de pi de dos partes. En la primera se trata de demostrar que toda ecuacin fsica completa, esto es, que subsista cuando se cambian arbitrariamente las unidades fundamentales, puede tomar la forma:

en la que las 7ti son todos los monomios de dimensin nula, independientes entre s, que pueden formarse con las magnitudes que intervienen en el problema. La segunda parte afirma que el nmero de tales monomios es igual a la diferencia, i = n - q, entre el nmero total de magnitudes y el de las fundamentales. La primera parte del teorema es la que ms ha llamado la atencin de los matemticos. Primero, Levi-Civita (14) hizo notar que las ecuaciones homogneas que se estudian en los cursos de Anlisis no son las que se manejan en Fsica, sino en Geometra, y utiliz en su tratado de Mecnica funciones que son homogneas, por separado, con relacin a los diversos grupos de variables, las que representan longitudes, tiempos y masas. Este mtodo podra ser generalizado introduciendo nuevos grupos de homogeneidad, pero es preferible utilizar la teora de las funciones homogneas generalizadas desarrollada por Ehrenfest-Affanassjewa (15). Esta teora presenta grandes dificultades, y quiz sea sta la razn de que los fsicos no le hayan prestado la debida atencin. Por fortuna, gracias al profesor Ricardo San Juan (16), poseemos una exposicin clara y sencilla de las funciones homogneas generalizadas, completada con algunos teoremas. La principal contribucin de R. San Juan consiste en haber demostrado que los sistemas de dimensiones usados en cada captulo de la Fsica forman grupos abelianos con base finita, anlogos a los sistemas hipercomplejos, lo cual permite sistematizar las teoras fsicas como hizo KIein con las geometras en su famoso programa de Erlangen, y resultan as elegantemente clasificados los sistemas de unidades y sus transformaciones, tanto cuando se conserva la base, segn se haca hasta ahora, como cuando se cambia sta. Con su ya vieja historia, con su utilidad manifiesta, que se revela, no slo en el campo de la Fsica terica, sino en problemas tcnicos, en los ensayos con modelos reducidos de aviones, buques, y construccionesJ

F12ANLISIS DIMENSIONAL INTRODUCCIN

13

hidrulicas y, sobre todo, con la intervencin de los fsicos ms eminentes, sera de esperar que el Anlisis dimensional estuviese ya asentado sobre bases slidas, y que hubiese unanimidad acerca de la manera de emplearlo. Lejos de ser as, los fsicos se hallan divididos en. grupos cuyas opiniones discrepan en lo ms esencial; en el concepto mismo de dimensin. Dirase que a los fsicos les ha ocurrido lo que al herrero del cuento, a quien a fuerza de martillear se le olvid el oficio. Quiz el olvido comenz cuando Maxwell atribuy a cada magnitud, Y, una frmula dimensional:

en la que MI, M2, son los smbolos de las magnitudes que forman la base, y O(l> O(m son los exponentes dimensionales de Y. Cay en el olvido la definicin que Fourier haba dado de tales exponentes y surgieron las ms variadas opiniones acerca de lo que significan los smbolos provistos de parntesis rectos (*). Una opinin muy extendida, que se remonta a Clerk Maxwell, y de la que hemos participado muchos fsicos de mi generacin, es que dichos smbolos y, por tanto, las frmulas dimensionales se refieren a las unidades, y as se escribe, por ejemplo:1 erg = 1 cm2 X 1g 1 S2,

sin caer en la cuenta de que nos veramos en un aprieto si un alumno inquisitivo nos preguntase cmo se hace para multiplicar un centmetro cuadrado por un gramo y dividir el producto por un segundo elevado al cuadrado.(*) Por rara excepcin, en el viejo tratado de Fsica del profesor Chwol~0.n de la Universidad de San Petersburgo (18), obra que goz de gran prestigio a principios de siglo, y que no se cita ya en parte alguna, se encuentra ~na definicin de las dimensiones que est de acuerdo con las ideas de Fourier, Dice as: Si la unidad derivada A vara proporcionalmente a la potencia p ~e la undad de longitud, a la potencia q de la unidad de masa y a la potencia r ~e la unidad de tiempo, se dice que la unidad A tiene la dimensin p con relacin a la unidad de longitud, la dimensin q con relacin a la unidad de masa y la dimensin r con relacin a la unidad de t.iempo. . Completando esta definicin con el concepto de unidades coherentes,. sm el cual no tiene sentido hablar de relaciones de proporcionalidad entre unidades, se llega exactamente a la interpretacin de las dimensiones que d~remo~ en el captulo V. Conviene hacer notar que, puesto que las frmulas dimenslO~ales son aplicables a las unidades de una pareja de sistemas coherentes ,cualesqUlera, no es propio atribuir la dimensin a las unidades, sino a las magmtudes.

Algunos autores, empezando por Tolman (17), atribuyen a los smbolos que figuran en la frmulas dimensionales cierto sentido esotrico y afirman que la verdadera esencia de las magnitudes, desde el punto de vista fsico, est representada por su respectiva frmula dimensional. Esta opinin es insostenible, porque, segn hemos hecho ver en otro trabajo (19), conducira a desatinos tales como el creer que el momento de un par de fuerzas es la misma cosa que un trabajo o que el calor, y que un ngulo y la esbeltez de una columna son magnitudes de igual ndole. En modo alguno pueden tomarse las ecuaciones dimensionales como sustitutivos de las definiciones, pues con ello ignoraramos la diferencia entre la energa interna, que es una funcin de estado, y el calor o el trabajo, que no lo son. Y otro tanto cabe decir de las funciones termodinmicas: energa libre, entalpa y entalpa libre que, a pesar de tener la misma frmula dimensional, son cosas diferentes. Los autores modernos, salvo raras excepciones, o han olvidado el concepto clsico de dimensin, o prescinden deliberadamente del mi~mo, y como cada uno entiende por dimensin cosa diferente, surg~n dISCUsiones apasionadas, sin posibilidad de acuerdo entre los contrmcantes. He aqu algunos botones de muestra. Segn Planck, tan falto de sentido es hablar de la dimensin real de una magnitud como del nombre real de un objeto. Reichenbach (20) dice: Cada magnitud fsica se supone dotada de una dimensin que caracteriza su oualidad. Tras este conato de definicin y de decir que la velocidad y la aceleracin y el campo elctrico deben tener dimensiones dferents, dice que hay arbitrariedad en la manera de reducir la dimensin de una magnitud dada a las dimensiones elementales: longitud, masa y tiempo y que, por eso, se supone arbitrariamente que carecen de dimensin, no slo ciertos factores numricos, sino hasta funciones de estado (por ejemplo, la temperatura). Segn el profesor Diesselshorst (21), los smbolos de las frmulas dimensionales no son unidades especiales, sino tan slo representantes ( Repriisentanten) de cada tipo de magnitud ... y estos representantes s.e denominan dimensin de la magnitud respectiva, No acertamos a adivinar lo que ha de entenderse por representante, yeso que, en lugar de emplear el vocablo alemn, recurre Diesselshorst a un vocablo romance, quiz con la conviccin de ser as mejor comprendido por sus compatriotas. Ciertamente, hablar de la esencia de las magnitudes y vincularla con las dimensiones es cosa que, por su carcter metafsico, haba de ser repudiada por los fsicos adscritos a la Filosofia operacional o Lgica

14

ANLISIS

DIMENSIONAL

INTRODUCCIN

15

positivista del crculo de Viena. La reaccin fue iniciada por Bridgman (22), quien afirma que ). e sentido absoluto de las magni-

dI.

Si las afirmaciones de Brid man f . nal perInitira hacer prevs g ue~en ciertas, el Anlisis dimensiofundamentales nos son d:~~~:::~:sa~l~s>} ~obre ~enmenos cuyas leyes y de la teora y su estudio deber . s aria encima de la experiencia .' eria corresponder a 1 M taf' . opmin, aun cuando no ten . . . a e ISICa. uestra N sicos, es justamente la contrgaa:nospreJUICIOSontra los mtodos metaffcnao

ANLISIS

DIMENSIONAL, -

2

PARTE PRIMERA

FUNDAMENTOS DEL ANLISIS DIMENSIONAL

CAPTULO 1RESUMEN DE LA TEORA DE LA HOMOGENEIDAD DE FUNCIONES Y DE ECUACIONES (*)

1.

Las funciones homogneas generalizadas.

Se dice que una funcin real, y - y(xI, , xn) de n variables reales es homognea cuando, al multiplicar las variables por sendos factores reales, ~l' . , ~n, independientes o ligados, la funcin queda multiplicada por una funcin de stos, independiente de las variables Xl ... Xn, que se llama factor de homogeneidad, o sea cuando:Y(~IXl> , ~nXn)

=

CP(~I' ... ,

~n)

y

(Xl'"

Xn)

[1,1]

para todos los sistemas de valores reales, ~l' , ~n, independientes o ligados por ciertas relaciones que se llaman ecuaciones de condicin. La funcin se llama incondicional o condicionalmente homognea segn que los factores ~l> , ~n sean o no independientes. Es evidente que todo monomio, xr', ... , x~", es funcin incondicionalmente homognea y que su factor de homogeneidad es ~n. El recproco es tambin cierto si la funcin se supone continua. Teorema 1.0 Toda funcin continua incondicionalmente homognea es un monomio.

~r',... ,

~*) Daremos en este captulo lo estrictamente necesario para nuestro propsito, tomndolo del libro de Ricardo San Juan (16), donde encontrar el lector el desarrollo completo de la teora y las demostraciones que omitimos. Los lectores a quienes slo interese el aspecto fsico del Anlisis dimensional, pueden prescindir de los teoremas. Les bbua con las definiciones de funciones y ecuaciones homogneas.

22

ANLISIS

DIMENSIONAL

1.

RESUMEN

DE LA TEORA DE LA HOMOGENEIDAD

23

La homogeneidad incondicional determina completamente la forma de toda funcin continua, salvo los exponentes que figuran en el monomio. No ocurre lo mismo cuando la homogeneidad es condicional, pero, si las ecuaciones de condicin son monomios, se cumple el siguiente teorema. Teorema 2. Si una funcin continua es condicionalmente homognea y las ecuaciones de condicin son expresiones monomias:

habr de ser:Xcr

xrs

'Y

Xr+l ( Xcx ll1

cxrl Xr

' ...XCX1t

xn-l)

1

X

cx rt r

; (t = s -

1).

(m

+ s = n),

Las funciones homogneas generalizadas son las nicas Teorema 4 . la i ld d la suma de sus inir magnitudes de manera que vqua a y aptas para def . d endiente del sistema d e un~dad es. cantidades sea ~n ep id . do y demostrado por R. San Juan (16), ma ha SI o enuncie . . Este t eore .. h d umplir las definiciones cuantitativas e im one el reqmslto que an e e . p sea aplicable el anlisis dmensionelpara que

que dejan m [actores independientes, habr de ser:E

Y

=Xl-

1

Recprocamente, cualquiera que sea la funcin 'Y, esta expresron define una funcin homognea con las ecuaciones de homogeneidad precedentes.

2. Ecuaciones homogneas.Se dice que una ecuacin, H(Xl' ... , xn) = O, entre n variables reales, es homognea cuando subsiste al multiplicar las variables por sendos factores, es decir, cuando:

La ecuacin se llama condicional o incondicionalmente homognea segn que los factores ;1> ... , ;n sean todos arbitrarios o estn ligados. . Teorema 3. ~i una ecuacin, Xn = f(xl, ... , Xn-l), que define una variable C01nofuncin continua de las restantes, es condicionalmente homognea, y las ecuaeiones de condicin son monomios:

(s

= n-r)

CAPTULO IILOS ENTES DE LA FSICA

1.

Observables.

Se opera en Fsica con entes que se caracterizan por algn efecto observable. La descripcin de tal efecto constituye la definicin cualitativa o epistmica del ente en cuestin, pues es anterior e independiente de toda ley fsica. Esta definicin no debe omitirse a no ser que se trate de cosas tomadas del lenguaje corriente y cuyo sentido sea perfectamente claro, como sucede con las distancias, las duraciones y las temperaturas. Las definiciones epistmicas sirven para saber de qu se habla y para reconocer cada observable siempre que topemos con l. Por haber prescindido Maxwell de la definicin epistmica de los vectores del campo electromagntico surgieron confusiones de las que no estamos todava enteramente libres. 2. Los entes comparables.

De dos observables (A) y (B) se dice que son comparables entre s cuando existe una definicin operacional y universal de la razn:(A) -=n (B)

,

donde n es un nmero que indica que (A) es n veces mayor que (B), esto es:(A) = n(B).

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ANLISIS DIMENSIONAL

n.

LOS ENTES DE LA FSICA

27

El adjetivo operacionalsignifica que se han de describir los aparatos utilizados en la comparacin, as como las operaciones a realizar. El requisito de universalidadi exige que la razn hallada sea independiente de la naturaleza de los cuerpos utilizados en la construccin de los aparatos. De los dolores puede decirse que unos son mayores que otros, pero no son comparables porque todava no se ha inventado un aparato que permita averiguar cuntas veces un dolor es mayor que otro dolor. Lo mismo ocurre, por ahora, con la dureza, con los grados de miedo, de belleza, de bienestar, etc. La exigencia de que la razn entre observables sea definida operaeionalmente est de acuerdo con los principios de la Lgica positivista. El requisito de universalidad es nuevo y extrao a dicha lgica (*). Una vez definida la razn entre observables queda definida la igualdad y la suma, pues de

nte la definicin de la razn entre dos observables Rec proca me , . . 'tm'da por la definicin de la Igualdad y de la suma SI se puede ser sust 1 1 ostulado de divisibilidad. En efecto; sean (A) y (Ao) dos entes 1 -cumpe e p . L ectos caractersticos sean de 19ua mdo1e, est o es, de tales que suS efi .' igual definicin epistInica. Las definiCl~nesd~ la l~ualdad y de la suma iti elegir un nuevo ente (A) de Igual mdole que los dados, nos perm1 iran '. . de tal modo que, al reproducirlo y sumarlo reIteradamente consigo mismo, las ecuaciones:(A) = (A') (Ao) = (A')

+ (A') + + (A') +

= =

n

X (A')

no X (A')

.sean satisfechas con toda la precisin que se desee. Entonces de(A) = n(A');

ae deduce: se deduce: si nIy

(A) n ---=--, (Ao) no

= 1,donde n y no son nmeros enteros.

(~) Al imp~:merla condicin de que la razn entre las cantidades sea independ~e~te del mstrumer;tto particular utilizado, pierden toda importancia las definiciones meran:ente ms~rumentales. Desde nuestro realismo ingenuo, la razn entre. dos can~ldades existe antes e independientemente de que se comparen. Por ello t.iene sentido ~ecir que la Giralda es cierto nmero de veces ms alta que el m~tro, aunque nadie haya hecho la comparacin, y, cuando sta se realiza, habra que contrastar previamente los instrumentos de medida a fin de estar seguros de que .no influyen sus particularidades de consbr-uccin. Ningn fsico se dar por satisfecho con sus aparatos sin haberlos contrastado hasta convencerse de que conducen a resultados que estn de acuerdo con la definicin universal de la razn ~ntre. las cantidades que trata de medir. Para: los o~eracIOnahstas, entre los que merece citarse a Beppo Levi (33), las me~ldas ffsicas no son ms que nmeros obtenidos efectuando determinadas operaeiones. Para ellos no e~ necesario establecer los criterios de igualdad y de ~uma t .Es sumamente curiosa, a este respecto, la discusin entablada en el Philosophicai M!1'gazi~e, en~re.Dingle (34) y Dalzell (35). Este ltimo es realista, y cree en ~a existencia O?Jetl:,a de las, magnitudes y de las unidades. Dingle, que es furlb~do operacionalista, replica despectivamente que eso es imagin,arse la cantidad ft~lCa corno un bodrio (8tufIJ del que se puede tomar arbitrarlamen,te, una porcin y llamarla unidad. La discusin adquiere caracteres humorst.icos, y Dalzell propone que se llame Archibald a cierta unidad de carga elctrica pr,op~esta por ~ingle, a lo que ste accede con tal de que se tome en cuenta el siguiente consejo: no es forzoso que para efectuar una medida fsica haya que ponerse cabeza abajo~>.En fin, Dalzell logra el golpe final con este argum~nto: Un p~tor, para revisar su rebao, cuenta las cabezas, mientras que su amigo el carnicero J;>refiere contar las patas. Sera intil tratar de ponerle de acuerdo con el pastor, SI adems de carnicero, fuese discpulo del profesor Dingle.

:3. Magnitudes Y cantidades.De un conjunto de observables (A o) (Al) ... , comparables entre s dos a dos, diremos que son cantidades de una misma magnitud (*). . La altura de un edificio la distancia entre dos puntos y la amplitud de las oscilaciones de un os~i1adorlineal, son cantidades de la magnitud llamada longitud. El da y la duracin de las oscilaciones de un pnd~o 'Son cantidades de tiempo. El peso de un cuerpo y el esfuerzo necesarIO para doblar una barra son cantidades de fuerza. Expuestas las cosas de este modo, las magnitudes son concep~~s abstractos a los que se llega a partir de las cantidades. Esta ordenaclOn 'Correspondeal proceso natural en que se parte de lo concreto, que son Ias cantidades, para llegar a lo abstracto, que son las magnitudes. La distincin entre magnitudes y cantidades es necesaria cuando .se trata de precisar las ideas. Pero es corriente en Fsica tomar lo(*) En todos magnitud slo se -que en espaol e pues cantidad se los idiomas, con excepcin del sspafiol y del ingls, el vocablo emplea con su significado ,astronmlC. de notar, adems, Es ingls, los trminos magr.''d y cantidad ostn trastrocados, traduce por magnitude y magnitud por quant~ty.

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ANLISIS

DIMENSIONAL

n.

LOS ENTES

DE LA FSICA

29

general por lo particular y, por eso, suele hablarse de magnitudes y rara vez de cantidades, aun en los casos en que el vocablo oportuno es. este ltimo. 4. El criterio de igualdad.

El criterio de igualdad va involucrado en el concepto o definicin epistmica de cada magnitud, pues es obvio admitir que una magnitud se manifiesta con igual cuanta en dos casos distintos cuando sus efectos. son iguales. Se dir, por ejemplo, que dos cuerpos tienen igual temperatura cuando un termmetro cualquiera marca lo mismo al ser puesto en contacto, primero con uno y despus con otro. Evidentemente, el criterio de igualdad es intrnseco, esto es, se esta-o blece sin necesidad de recurrir a la medida de otras magnitudes. As, para decidir si dos vehculos marchan con igual velocidad, bastar. observar si se conserva constante su distancia, y no ser preciso medir ni espacios ni tiempos. (' , ~~ o, >-

~ 5. La definicin de suma.

Para los matemticos (*), la suma es una operacin cualquiera mediante la cual con cada dos objetos se construye un tercero, y que cumple los requisitos de uniformidad, asociabilidad, existencia del mdulo y conmutabilidad en algunos casos. En otro lugar (25) hicimos ver que este. ltimo requisito no se cumple siempre en la suma fsica, pues en relatividad ocurre que la suma de velocidades no es conmutativa. En cambio, todos los fsicos estarn conformes en que, para establecer la suma, ha de haber un criterio de equivalencia, segn el cual, los sumandos, para el'. efecto caracterstico de la magnitud en cuestin, han de poder ser sustituidos por la suma. Examinemos ahora las circunstancias que han de concurrir en la. que podemos llamar suma por equivalencia. Ante todo, puesto que la. suma se ha de caracterizar por determinado efecto observable en algn cuerpo, ser preciso que los sumandos puedan reunirse en el mismo o existan ya en l. Cabe, pues, distinguir dos clases de suma: a) Suma por acumulacin, Es aplicable a las magnitudes aditivas, as llamadas porque la suma puede definirse por simple reunin de los.(*) Encontrar el lector una exposicin y crtica de las teoras matern .. ticas de la medida en el trabajo de Pi y Calleja (36).

cuerpos que sirven de soporte a los sumandos. La suma de las masas de varios cuerpos se obtiene sin ms que reunidos en el platillo de una balanza. Criterio anlogo, sustituyendo la balanza por artificios adecuados, puede seguirse para las diferentes formas de energa (salvo la potencial) , para las cargas elctricas y para los polos magnticos. Por sencilla que parezca esta que hemos llamado suma por acumulacin, para dada por buena es preciso comprobar en cada caso que se cumplen los requisitos formales de la suma. Ello requiere que exista la correspondiente ley de conservacin, que nos asegure que la suma no cambia cualquiera que sea la manera de juntar los cuerpos en que se hallen las cantidades que se trata de sumar. Gracias a dicha ley quedan cumplidas las condiciones de conmutabilidad, uniformidad, asociabilidad y existencia del cero. La longitud, el rea y el volumen son tambin magnitudes aditivas, y para definir la suma en cada una de ellas hay que postular la existencia de cuerpos rgidos. b) Suma vectorial. Es aplicable a las magnitudes dirigidas aplicadas en un mismo punto. Tal es el caso de las fuerzas y de las magnitudes que cabe considerar en cada punto de un campo electromagntico. La auma en este caso se basa en el postulado de que las magnitudes en cuestin se comportan como vectores, esto es, les es aplicable la regla del polgono y ocurre que, para todos los efectos considerados, la resultante es equivalente al conjunto de las componentes. e) La temperatura. Se puede prescindir de la definicin epistmica de la temperatura porque este vocablo existe en todos los idiomas, y ello basta para saber de qu se trata. Sin embargo, tiene la temperatura un carcter especial, pues no ocurre que de la reunin de dos cuerpos resulte una temperatura que pueda tomarse como la suma de las que tena cada uno por separado, ni se concibe la existencia de dos temperaturas en un mismo punto. De aqu que no sirva ninguno de los criterios a) y b), pero no por eso deja de ser la temperatura una magnitud fsica, pues el segundo principio permite definir la razn entre dos temperaturas por va operatoria y universal. '6. Unidades y medidas. Adptese para cada magnitud una cantidad determinada, (Ao) y dsele el nombre de unidad. Formando las razonesr (

=U

A,

.r.~21

_

---

A .

UA

2'

30

ANLISIS DIMENSIONA.L

rr.

LOS ENTES

DE LA FSICA.

31

se puede hacer corresponder a cada cantidad (A), de la magnitud en. cuestin, un nmero, A, que se llama medida de la cantidad (A) con la. unidad UA. Al cambiar la unidad UA por otra, U' A, resultar otra medida de (A): (A) U'A y se tiene, evidentemente, A A'=

A',

-

U'A UA

para nada de unidades ni de medidas. Tal ocurre con todas las magnitudes mencionadas en el apartado anterior. Hay otras magnitudes, que llamaremos secundarias (*) o compuestas, en las que no existe la suma por equivalencia ni se puede definir la razn entre sus cantidades sin recurrir a la medida de otras magnitudes. Ejemplos de magnitudes secundarias son la velocidad, la aceleracin, la densidad, el mpetu, la impulsin, el trabajo, la frecuencia y todas las constantes caractersticas de los cuerpos. Estas magnitudes no requieren definicin epistmica, pues su concepto deriva de una prescripcin o frmula con que se especifican las operaciones que se han de realizar con las medidas de otras magnitudes para obtener la medida de la magnitud en cuestin. Expresiones tales como: W fs;p--

El cociente de las medidas de una misma cantidad es igual a la inversa. de la razn entre las unidades. Desde nuestro punto de vista, que es el del realismo ingenuo, las. cantidades constituyen el dato primario, pues existen con anterioridad a las unidades. Estas ltimas son cosas convencionales, mientras que las. cantidades son invariantes con relacin a los cambios de unidad y, en este sentido, puede decirse de ellas que tienen realidad objetiva.

mv

(entre medidas)

7. MagnitUdes primarias y secundarias.La definicin de la razn entre cantidades de una magnitud, o la de la suma, ha de establecerse en cada caso particular, y a este respecto cabe distinguir dos clases de magnitudes. En unas, que llamaremos primarias o simples (*), dicha definicin puede formularse sin hablar(*) o deben confundirse las magnitudes que hemos llamado primarias con las fundamentales, o sea con las que arbitrariamente se elijan para formar la base del sistema dimensional. El ser primaria o no es una cualidad inherente a cada magnitud, mientras que cualquier magnitud, aunque no sea primaria, puede tomarse como fundamental. La generalidad de los autores, por no decir todos, suponen tcitamente qu~ la ba~~ ~a de formarse precisamente con magnitudes primarias. Para los lgico-posibivistas slo seran primarias la longitud y el tiempo, pues todas las dems magrutudes han de medirse observando coincidencias. Esta es otra razn por la que el Anlisis dimensional, en sus manos, pierde toda su eficacia. N? se confunda tampoco nuestra clasificacin con la de Russell en extensivas (con l~ua.ldad y suma) e intensivas (con igualdad y desigualdad solamente). Estas ltimas, por no existir para ellas la definicin de la razn entre cantidades, no tienen cabida en las teoras fsicas. Tal ocurre, por ejemplo, con la dureza. Cuando se prescinde del requisito de universalidad en la definicin de la razn entr~ cantidades, no hay modo de distinguir entre magnitudes primarias y secundarias. Por eso, para Bridgman (22), la fuerza, la velocidad y la densidad pueden ser primarias o secundarias, segn como se definan.

han de considerarse como identidades en las que el primer miembro no es sino una expresin abreviada del segundo. Por eso resulta adecuado decir que estas magnitudes lo son por definicin, y conviene ponerlo de manifiesto en cada caso. En la frase la velocidad es, por definicin, el cociente de dividir la distancia recorrida por la duracin, la locucin subrayada indica que no se trata de un hecho comprobable experimentalmente, sino que se llama velocidad al resultado de efectuar la operacin indicada. En la frmula de definicin de las magnitudes secundarias est contenido el criterio de suma, que no se postula, sino que deriva de dicha frmula. Podra prescindirse de las magnitudes secundarias reemplazndolas por sus definiciones, pero conviene conservarlas porque simplifican considerablemente el lenguaje. De un modo general, si xl> x2, son las medidas de ciertas magnitudes coexistentes en un mismo cuerpo, tales como su volumen, su masa, su distancia a un origen, la fuerza a que est sometido, etc., se pueden tomar estas medidas como argumento de una funcin cualquiera y escribir: y= f(xv x2, )

(entre medidas).

(*) Por la misma razn que obliga a distinguir entre las magnitudes primarias y las fundamentales, no se deben confundir las secundarias o compuestas con las que todos los autores llaman magnitudes derivadas, esto es, con las que no figuran en la base del sistema dimensional. El carcter de secundaria es inherente a la magnitud, mientras que lo de ser derivada es cosa convencional.

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ANLISIS DIMENSIONAL

ll.

LOS ENTES DE LA FSICA

33

Al variar las medidas Xl' X2, variar tambin el valor numrico, y, de f. Esto nos autoriza a considerar y como la medida de la cuanta (y), con que cierta magnitud existe en el cuerpo en cuestin. Nada limita a priori la posibilidad de definir magnitudes compuestas mediante funciones cualesquiera de otras previamente definidas. Tan slo rige la razn de utilidad, que suele expresarse diciendo que la magnitud en cuestin ha de tener sentido fsico, o, lo que es lo mismo, han de ser susceptibles de una representacin mental. Por ejemplo, con el sentido de la vista para juzgar del tamao, y con el muscular para apreciar el peso, tenemos elementos bastantes para elaborar el concepto cualitativo de densidad, que lleva involucradas las relaciones de igual y de mayor o menor. Pero la definicin cuantitativa no puede lograrse porque falta el criterio de equivalencia para la suma y, por eso, se requiere la ecuacin de definicin. Veremos ms adelante que, para poder atribuir una dimensin a cada magnitud compuesta, es preciso que estn definidas mediante funciones condicionalmente homogneas. Pero hay magnitudes, como son la constante qumica y el pH, cuya utilidad es manifiesta a pesar de que su definicin no cumple la condicin de homogeneidad condicional. Sera conveniente conservar el signo de identidad en las frmulas de definicin de las magnitudes secundarias, pero en todos los libros se sustituye por el de igualdad, con lo que se confunden con las ecuaciones que sirven para expresar las leyes fsicas. Conviene, sin embargo, distinguir claramente entre leyes y definiciones. Las primeras son susceptibles de comprobacin experimental; en las segundas no tiene sentido tal comprobacin, pues se trata de identidades. Por eso no es correcto, aunque sea frecuente, considerar la ley de Newton como una definicin y decir que la fuerza es el producto de la masa por la aceleracin. 8.

Las mediciones directas se realizan rarsimas veces, y en su lugar se recurre a las indirectas, que se basan en alguna ley fsica, y de aqu que haya muchas maneras de medir cantidades de una misma magnitud. Las masas, por ejemplo, se miden con balanzas, con bsculas de diversos tipos, con romanas, con resortes, etctera, lo que prueba que toda magnitud es usceptible de variadsimas definiciones instrumentales, con lo que stas pierden toda su importancia, la cual recae sobre el requisito de universalidad, esto es, sobre la condicin de que el resultado de las mediciones sea independiente, no slo de los cuerpos utilizados en la construccin de los aparatos, sino tambin del mtodo indirecto utilizado. La concordancia entre los resultados obtenidos al emplear los diversos mtodos E'S una comprobacin de la validez de las leyes fsicas en que se fundan, y sera muy difcil de explicar si las cantidades no tuvieran una existencia real, independiente de su definicin instrumental y del operador que las mide.

Medidas directas e indirectas.

Si no se conocieran las leyes fsicas, la medicin de toda magnitud primaria habra de efectuarse, precisamente, a partir de los postulados en que se basa el criterio de igualdad y de suma. Y la medicin de las magnitudes secundarias habra de efectuarse, precisamente, a partir de su respectiva frmula de definicin, esto es, midiendo las magnitudes primarias que en ella figuran. Para medir en gramos, por ejemplo, la masa inercial de un cuerpo, tendramos que reunir tantos gramos y fracciones de gramo como fuesen necesarios para formar un cuerpo que, sometido a una fuerza cualquiera, adquiriese el mismo movimiento que el cuerpo en cuestin bajo la accin de la misma fuerza. Esta medida de la masa, en que no se recurre a ninguna ley fsica (salvo los postulados de existencia de la masa como magnitud fsica) sera una medida directa.A.~LIstS OUIE:KSIONAL. S

CAPTULO

nI

PRIMER POSTULADO

1.

La naturaleza de las leyes fundamentales de la Fsica.

Toda teora fsica se basa en cierto nmero de leyes fundamentales de las que, por los mtodos de la Lgica matemtica, se deducen las leyes derivadas. Es de notar que la distincin entre una y otra especie de leyes es, hasta cierto punto, convencional, pues hay cierta libertad en la eleccin de las leyes, independientes entre s, sobre las que se funda una teora determinada. Tratemos de averiguar el sentido de la ley fundamental de la Mecnica:

Una opinin muy extendida es que esta ecuacin sirve para precisar el concepto de fuerza, definindola como el producto de la masa del cuerpo en que acta por la aceleracin que le imprime (*). Esta opinin es inadmisible porque degrada el concepto de fuerza convirtindola en magnitud secundaria, y porque la ley de la inercia quedara sin contenido por no afirmar nada que pueda ser cierto o falso.(*) Opina Bullook (37) que la segunda ley de Newton sirve para definir la masa: De ser as, la medioin de masas habra de efeotuarse comparando la aceleracin que adquiere el ouerpo en ouestin por la accin de una fuerza, con la que esta misma fuerza comunicara al kilogramo patrn, cosa que sera, oiertamente, una novedad. Muy aoertadamente objeta Keenan (38), que antes de Newton era oonooida la fuerza por quienes resolvan problemas de Esttioa, que la masa se meda en los meroados desde los tiempos ms remotos, y que de la aceleracin tena ya oonooimiento Galileo. Resume Keenan sus oomentarios dioiendo que la segunda ley de Newton, lo mismo que el primer prinoipio de Termodinmioa, es algo ms que una denicin.

36

ANLISIS DIMENSIONAL

lll.

PRIMER POSTULADO

37

A nuestro modo de ver, la manera correcta de enunciar la ley de Newton consiste en comenzar por definir cuantitativamente la masa, la fuerza y la aceleracin, como magnitudes primarias las dos primeras y como magnitud secundaria la tercera, y luego afirmar que la aceleracin de un mvil es directamente proporcional a la fuerza que sobre l acta y est en razn inversa de su masa. Simblicamente:(f) '" (m) (a)

2. Las ecuaciones de la Fsica.En los libros de Fsica que proceden metdicamente, el enunciado verbal de cada ley fsica va seguido de una ecuacin algbrica que se considera con la expresin cabal y completa de dicha ley. Aun cuando no se diga expresamente, la sustitucin del signo de proporcionalidad por el de igualdad indica que se han sustituido las cantidades por sus medidas. Admitiremos, pues, que las ecuaciones fsicas relacionan las medidas de las cantidades que en ellas intervienen (*). Sea, por ejemplo, la primera ley de Newton; la fuerza es directamente proporcional a la masa y a la aceleracin. En este enunciado no puede sustituirse, sin ms ni ms, la relacin de proporcionalidad por la de igualdad entre cantidades, pues no tiene sentido inmediato el decir, por ejemplo, que el peso de un cuerpo en un lugar determinado sea la misma cosa que el producto de la cantidad de masa por la cantidad de aceleracin que adquirira si cayese libremente. Slo en el caso en que la ley relacione cantidades de una misma magnitud cabe sustituir la proporcionalidad por la igualdad. As ocurre con el principio de la igualdad de la accin y de la reaccin (**).

(entre cantidades),

donde el signo '" significa proporcional a. Esta manera de considerar las leyes fsicas pone de manifiesto su carcter universal, esto es, el hecho de que puedan ser enunciadas sin hacer referencia a ningn sistema particular de unidades, pues basta la definicin de la razn entre cantidades. Nuestro primer postulado se basa en un hecho que cualquiera puede comprobar, pues afirma que pueden escogerse las leyes fundamentales de modo que consistan en relaciones de proporcionalidad entre potencias determinadas de las cantidades que intervienen en el fenmeno considerado. De un modo general, cualquier ley fsica fundamental puede formularse de la siguiente manera: (entre cantidades), [1,1]

3. Constantes caractersticas y constantes universales.Al pasar de la relacin de proporcionalidad entre cantidades a la ecuacin entre medidas, ser preciso, en general, introducir un factor de proporcionalidad, C, con cuyo auxilio se podr sustituir la expresin (entre cantidades)(*) Se puede, con definiciones adecuadas, dar sentido a las ecuaciones e~tre magnitu~~s. Esto es lo que ha hecho R. San Juan (16, pg. 120), mediante la de~mCln d~ magnitudes coexistentes, y as ha logrado crear su teora de las magnitudes fsicas. Como este mtodo requiere especulaciones excesivamen~e abstractas, nos ha parecido conveniente no dar a las ecuaciones otro sentido que el de relaciones entre medidas, esto es, nmeros. Por otra parte, demos~raremos. en el captulo IV, 7, que el considerar que las ecuaciones de la Ffsica relacionan cantidades no directamente comparables conduce a un absurdo. ' .(**) El e.nunciado ver!:>alde la ecuacin f = ma, sera: en todo punto material, la n:edtda de la cantidad de fuerza que sobre l acta es igual a la medida de la ca,,:,ttdad de masa del punto multiplicada por la medida de la cantidad de acel~raClc~m. a mac~acon.a repeticin de la frase subrayada convertira el lenL guaJe fSICOen cantileIl:a insoportable y pedantesca, por lo que se suprime muy acert~damente, entendindose que un mismo nombre sirve para designar la magrutud como ente abstracto y las medidas de sus cantidades en cada caso particular.

donde los exponentes (Xl> , (Xn son nmeros fijos, independientes de la naturaleza de los cuerpos que intervienen en el fenmeno. Conviene hacer notar que nuestra afirmacin es un postulado basado en hechos, y no la consecuencia de algn principio metafsico. Nada se opone, lgicamente, a que las cosas ocurriesen de otra manera, y buena prueba de ello es lo que sucede con la moderna Reologa (39) cuyas ecuaciones fundamentales, segn parece, son relaciones entre monomios con exponentes que, en lugar de ser nmeros constantes, varan segn sea el cuerpo que se considere. Si este fuere el caso en los dems captulos de la Fsica, nuestro 'postulado sera falso, y el Anlisis dimensional caera por su base. Desde luego, no es aplicable a los problemas de Reologa, cuando menos en su forma actual. Las leyes derivadas no siempre adoptan la forma [1,1]. Por ejemplo, el perodo de oscilacin del pndulo simple est dado por la ecuacin: (entre medidas), donde 1(0) es una funcin no monomia del argumento

e.

38

ANLISIS

DIMENSIONAL

TIl.

PRIMER

POSTULADO

39

por la ecuacin (entre medidas). El valor numrico de C se obtendr mediante la frmulaC = -------"y'-----[3,1]

un cuerpo particular, pero ser C =1= cuando se aplique la ecuacin a 1 otro cuerpo cualquiera. b) Puede suceder que el valor del factor de proporcionalidad sea independiente de la naturaleza del cuerpo. A toda ecuaci6n fundamental que se conserva invariable cuando cambia la naturaleza del cuerpo con que se opera corresponde una constante universal. Ejemplos:

[3,2]l.o

que exige conocer los exponentes ell' , eln y medir en un caso particular las cuantas de y, Xl , Xn. El valor obtenido depender, en general, de las unidades que se utilicen. La ecuacin [3,2] puede considerarse como la frmula de definicin de C, que adquiere con ello la cualidad de magnitud secundaria. Al medir C pueden presentarse dos casos: a) La medida de C depende de la naturaleza del cuerpo. Se dice entonces que C es una constante caracterstica, o especfica. Ejemplos: La ley de Hooke aplicada a un alambre de longitud l y seccin a, sometido a una fuerza t. se expresa as: (f) '"(a) (al) (l)

Constante de la gravitaci6n.

Aun cuando no siempre se diga expresamente, las leyes de la gravitacin son dos, a saber: Los cuerpos se atraen en razn directa de sus masas gravitatorias y en razn inversa del cuadrado de su distancia: (f) '" (mg) (m' g) . (d)2

La masa inercial es proporcional a la masa gravitatoria:

(entre cantidades)

y, al pasar a la ecuacin entre medidas resulta: f

Al pasar de estas expresiones a las respectivas ecuaciones entre medidas resultan sendas constantes universales, que pueden tomar valores cualesquiera segn sean las unidades que se adopten para la distancia, la fuerza y para ambas especies de masa. Pero, eligiendo convenientemente las unidades, por ejemplo utilizando el sistema cegesimal, ocurre que la primera vale 1, Y la segunda es f= de las que se deduce: mgm'g d2

va:

= E aall '

donde E es el mdul? de Young, magnitud secundaria definida por la identidad E=L - aal' y su medida resulta depender de la naturaleza del alambre y de las unidades que se adopten para medir la longitud, el rea y la fuerza. Por su propia naturaleza, las constantes especficas son ineludibles, porque la ecuacin [3,1] no tiene validez general sin la presencia del factor C. Se pueden elegir las unidades de modo que resulte e = 1 para

La constante G se denomina constante de la gravitacin. 2.0 Equivalente mecnico del calor.

Entre el calor, Q, absorbido por un sistema en una transformacin cclica, y el trabajo producido, W, existe la ecuacin: W=JQ,

40

ANLISIS

DIMENSIONAL

rn.

PRIMER

POSTULADO

41

donde J es el equivalente mecnico del calor, cuyo valor slo depende de las unidades con que se midan W y Q.3.0

hablado. Las otras dos Son la permeabilidad elctrica, eo, y la permeabilidad magntica, [Lo, cuyas ecuaciones de definicin son: D= eoE;

Constante de Avogadro.

En todo cuerpo, el nmero de moles, n, es proporcional al nmero, N de molculas:

donde NA es la constante de Avogadro, cuyo valor slo depende de la unidad que se adopte para medir masas.4.0

Ambas permeabilidades son, desde luego, constantes caractersticas de cada sustancia, pero los valores, e:o Y [Lo, que toman en el vaco se suelen incluir entre las constantes universales. 8. Constante dinmica.

Constante de Boltzmann.

La primera ley de Newton admite un factor de proporcionalidad: C=_Ima' que no ha recibido nombre ni smbolo. Su valor depende, exclusivamente, de las unidades que se elijan para medir la fuerza, la masa y la aceleracin.9.

En todo sistema formado por gran nmero de elementos, la energa, E, que, por trmino medio, corresponde a cada grado de libertad, es proporcional a la temperatura absoluta 6. E

= ~ k6.2

donde k es la constante de Boltzmann, que slo depende de las unidades con que se midan la energa y la temperatura.5.

Constante electromagntica.

Constante de Planck.

En todo proceso peridico de frecuencia v, la energa slo puede experimentar cambios que sean mltiplos enteros del1e = kv,

En virtud de la ley de Laplace, todo elemento de corriente est sometido a una fuerza que es proporcional a la intensidad, 1, a la longitud, dl, ya la proyeccin del vector magntico B sobre el plano normal a dl. Con la notacin del clculo vectorial: df

= yldl/\ B,

donde k es la constante de Planck. 6. Velocidad de la luz.

donde y es la constante electromagntica, que depende tan slo de las unidades que se elijan arbitrariamente para medir las magnitudes que figuran en esta ecuacin. Otras constantes universales. Cualquier monomio formado con constantes universales ser una nueva constante universal. Algunas tienen nombre, como las de Wien, Stefan, la constante de los gases, R = kNA, yel faraday, que es el producto de la constante de Avogadro por la carga del electrn.

A todo aumento de energa corresponde un aumento de masa (iner cial) dado por:

donde e es una constante universal que, con un sistema conveniente de unidades, el cegesimal por ejemplo, coincide con la velocidad de la luz en el vaco. 7. Constantes del vaco.

Algunas constantes especficas conservan un valor finito cuando se miden en el vaco. Una de ellas es la velocidad de la luz, de que ya hemos

CAPTULO IV SEG UNDO POSTULADO

1.

Opiniones acerca de las constantes universales.

Las constantes universales tienen un carcter desconcertante. Apareoen en las leyes sin haber sido definidas previamente, ni cualitativa ni cuantitativamente. No son atributos de cada cuerpo, variables de unos .a otros, lo cual hace que no sean magnitudes, pues se presentan siempre -eon igual cuanta, y decir que en otros universos pudieran tener otro valor es convertir la Fsica en una mala Metafsica. Como no existe eino un ejemplar de cada una, habran de ser, si fuesen magnitudes, unida-des de s mismas, y su valor sera siempre el nmero 1. No son nmeros fijos, porque su valor depende de las unidades que se adopten para medir las cantidades que concurren con ellas en las respectivas ecuaciones. Finalmente, su existencia es, en cierto modo, precaria, pues la que hemos Ilamado constante dinmica no se encuentra en ningn libro de Fsica; -el equivalente mecnico del calor, que ocupaba extensos captulos en los llbros de comienzo de siglo, ha desaparecido totalmente en los libros -modernos; las constantes del vaco, EO Y fl1, que no se encuentran en los 'tratados clsicos, empiezan a aparecer en los contemporneos; con la .adopoin del sistema de Giorgi fenece la constante electromagntica, -que por intervenir con varios exponentes en las frmulas del electromag'netismo, las converta en verdaderos rompecabezas. Ya hemos hablado en la introduccin de la tendencia a reducir el nmero de constantes universales. Lo ms sencillo sera hacer tabla 'rasa con todas ellas, pero como no se dispone de suficientes unidades .arbtrarias, cada autor suprime las que menos le agradan y aparecen

44

ANLISIS

DIMENSIONAL

IV.

SEGUNDO POSTULADO

45X 10-27

a diario trabajos en los que, con talo cual poda de constantes, se pretendedar cierto sentido esotrico a determinadas leyes fsicas. No faltan eclcticos que opinan que se pueden utilizar las constantes. universales a modo de comodines para atribuir a alguna magnitud la. dimensin que ms convenga. Fr. Russo (24), por ejemplo, afirma quetan slo est determinada la dimensin del producto Re, por lo que la. temperatura, e, podr tener una dimensin cualquiera con tal de atribuir a la constante universal R la dimensin adecuada. Nada importara esta discrepancia de criterios a no ser porque el planteo de cualquier problema de Anlisis dimensional requiere decidirpreviamente qu constantes universales han de conservarse y cules pueden suprimirse. El mismo teorema de pi resulta enteramente intil sin tal decisin. Es forzoso, por tanto, sentar normas que permitan averiguarqu constantes universales son imprescindibles y cules son superfluas. En la pesquisa de estas normas andamos desde hace muchos aos (19) y, en diversos trabajos, hemos dado las que parecen conducir al resultado, apetecido, y, que en su forma definitiva, aparecen condensadas en el postulado que enunciaremos ms adelante.

11 .. , X.n han sido obtenidas mediante un sistema de unidades coherentes co~ dichas ecuaciones. Si se hubiesen elegido unidades no coherentes, hubiesen aparecido coeficientes parsitos, le, ... , len, en las ecuaciones exentas de factor de proporcionalidad, y hubiese resultado:E: X/l

XJn

E:

=

le1 [5,2]

siendo le = 1 en las ecuaciones provistas de constante ineludible. Tratemos ahora de formar un nuevo sistema de unidades, U' 1 ... , U' n que sea coherente con [5,1]. Las nuevas medidas estarn relacionadas con las antiguas mediante las frmulas: ~=~=~, x' U ... ,~= x'n U'n Un =~n [5,3]

La posibilidad de formar sistemas coherentes queda supeditada a la compatibilidad de las ecuaciones [5,6] en las que las Eij y las k son datos y las ~ son las incgnitas. La incompatibilidad, si la hubiere, se remediara introduciendo nuevas constantes universales. Si alguna de estas constantes no fuere la razn entre cantidades de magnitudes inseparables, quedara invalidado nuestro postulado. Si h es la caracterstica de la matriz formada con los coeficientes Ej, habr m = n - h factores ~ arbitrarios, lo que significa que pueden elegirse a capricho las unidades de otras tantas magnitudes, segn resulta de [5,3]. Cada conjunto de magnitudes cuyas unidades se eligen arbitrariamente forman una base y su nmero, m = n - h, es la multiplicidad de la misma. Cuando se pasa de un sistema coherente a otro tambin coherente, todos los coeficientes parsitos se hacen iguales a uno, y las condiciones [5,5], que ligan las nuevas unidades con las primitivas, sern:~E:ll ~E:tn

n

= 1

[5,7]

y las ecuaciones (5,2) se convertirn en:

(~x' )E:ll

(~nx'

n)E:1n

= le

....................... .............,(~x' )E:V

.

[5,4]

(~nx' n)E:vn lev =

Para que el nuevo sistema sea coherente, es preciso que desaparezcan los coeficientes parsitos, por lo que habr de ser:

[5,5]

En resumen: para formar un sistema de unidades, coherente con un sistema de ecuaciones, pueden elegirse arbitrariamente tantas unidades como indica la diferencia, m = n - h, entre el nmero de magnitudes y la caracterstica de la matriz [ormada con los exponentes con que dichas magnitudes figuran en las ecuaciones dadas . Falta considerar ahora las ecuaciones de definicin de las magnitudes secundarias. Segn hemos hecho notar, tales frmulas pueden ser cualesquiera, pues obedecen tan slo a razones de utilidad. No cabe, pues, sentar ningn postulado, pero s se puede indagar las condiciones que han de cumplir las frmulas de definicin para que permanezcan invariables en los cambios de sistemas coherentes. Sea una frmula de definicin: y - f(xv... ,

xn).

[5,8]

52

ANLISIS

DIMENSIONAL

IV.

SEGUNDO

POSTULADO

53

Desde luego, esta ecuacin prescribe por s misma la unidad Uy, en que ha de medirse la magnitud y, cuando se han fijado las unidades "n UXl' , U~. Otro sistema de unidades, U'1> , U' n, que sea coheronte con las ecuaciones fundamentales y con [5,8], habr de proporcionar medidas que satisfagan la ecuacin: y' = f(x' y como [5,8] se convierte en: ;yy' habr de suceder que:f(~lX'1> , 1> ,

6.

Medidas absolutas y relativas.

x' n)

[5,9]

= f(;lX'

1>

,

;nx' n),

~nx' n) = ;yf(x'

l'

,

X' n},

[5,10]

debiendo ser el factor ;y = U' y : Uy independiente de las medidas x' 1> , x' n. Recordando la definicin de las funciones condicionalmente homogneas resulta que: . Las nicas frmulas de definicin que admiten sistemas de unidades coherentes son las condicionalmente homogneas, y las condiciones a que han de satisfacer los factores ;1> ... , estn impuestas por las ecua-

;n

ciones [5,7]. No hay precepto lgico ni ley natural que obligue a utilizar exclusivamente las funciones condicionalmente homogneas, y buena prueba es que el pH cumple su cometido a satisfaccin de todos los qumicos y bilogos. Pero el Anlisis dimensional, segn veremos, slo puede operar con magnitudes primarias o con magnitudes definidas por frmulas que sean invariantes con relacin a los cambios entre sistemas de unidades coherentes. Los ortodoxos en materia dimensional pueden anatematizar a quienes utilicen el pH o la constante qumica, pero stos podrn contestar con un encogimiento de hombros, y negarse a modificar todos sus libros, tablas y aparatos de medida para complacer a los dimensionalistas. Ntese que las ecuaciones fundamentales fijan la multiplicidad de la base, pero no determinan las magnitudes que la forman. Pueden ser primarias o secundarias, indistintamente, y hasta se pueden incluir en ellas las constantes especficas y las universales. Por eso resulta inadecuado llamar fundamentales a las magnitudes escogidas para formar la base y derivadas a las dems. El uso, sin embargo, ha consagrado esta denominacin.

En toda medicin se compara una cantidad con otra de su misma ndole que se adopta como unidad. Cuando esta unidad es arbitraria, la medida se llama relativa, al paso que, cuando forma parte de un sistema coherente, la medida se llama absoluta. Si, por ejemplo, se miden corrientes elctricas con un galvanmetro de espejo y, hechas las oportunas correcciones, se expresan los resultados en milmetros de la escala, las medidas sern relativas. Para que una medida sea absoluta es preciso aforar el aparato de manera que se pueda pasar de los milmetros ledos en la escala al valor de la intensidad expresada en unidades coherentes, por ejemplo, en amperios. Para realizar mediciones absolutas hay que construir o realizar un patrn cuyo valor sea conocido en funcin de la unidad respectiva. En el ejemplo propuesto, habr que mandar al galvanmetro una corriente cuyo valor en amperios sea conocido. Para quienes opinan que basta una base formada con tres magnitudes mecnicas, y que stas han de ser precisamente la longitud, la masa y el tiempo, el contraste de los patrones habr de consistir en mediciones de longitudes: de masas y de tiempos. As, para construir un patrn de capacidades, se podr recurrir a un condensador plano, pues midiendo el rea de sus armaduras y la distancia entre las mismas hay datos bastantes para calcular su capacidad, a condicin de que el dielctrico sea el vaco. Como, en este caso, todo se reduce a mediciones de longitudes, los fsicos que, adems de operar con la base mutilada creen que la dimensin deriva del proceso de medida, afirman que la capacidad, elctrica es homognea con la longitud y debe expresarse en centmetros. Al utilizar la base completa, cambia el concepto que se tena de las medidas absolutas, pues para contrastar los patrones no hay necesidad de atenerse a mediciones de longitudes, masas y tiempos, precisamente. Se puede, por ejemplo, elegir arbitrariamente una unidad elctrica representada por un condensador patrn cualquiera, y entonces la comparacin de capacidades con dicho patrn dar medidas absolutas. El problema que plantea la adopcin del sistema de Giorgi consiste, precisamente, en construir un patrn de alguna de las unidades electromagnticas de tal modo que la permeabilidad del vaco valga, exactamente, (.Lo = 47t .10-7 J X s2fC2m.

7.

Los smbolos de las ecuaciones fsicas.

Nadie niega que los smbolos que figuran en las ecuaciones de la Fsica representan los nmeros (medidas) obtenidos con un sistema de unidades coherentes con dichas ecuaciones, pero muchos fsicos opinan que tales smbolos pueden representar tambin cantidades y sta es la razn por la que la Unin Internacional de Fsica no haya podido hasta ahora resolver el problema suscitado por la racionalizacin de las unidades del electromagnetismo. Vamos a demostrar que los smbolos no pueden interpretarse como cantidades.

54

ANLISIS DIMENSIONAL

Consideremos la ecuacin:A = Bf>OY ...

entre medidas

[7,1]

y supongamos que la ecuacin: entre cantidades

[7,2]

es tambin vlida. Si introducimos un factor numrico arbitrario, k, en estas ecuaciones, resulta: [7,3] Ar = lcBf>CY .(A)r

=

k(B)f>(C)Y

.

[7,4] [7,5] [7,6] CAPTULO V EL CONCEPTO DE DIMENSIN

o sea:Ar = leA (A)r = lc(A).

Las unidades de (A) y de (A)r mente, con [7,1] y [7,3]. Por tanto: (A)=

deben ser coherentes, respectiva1.B~CY leB~CY= 1 =

Frmulas dimensionales.

UA

si si

(A)r = UAr

1

y, en consecuencia:

[7,7]lo que significa que la introduccin del factor le obliga a cambiar la unidad de (A). Por otra parte, aplicando la ecuacin cantidad = medida X unidad, se tiene: [7,8] (A) = AUA(A)r = ArUAr

Sea una teora fsica cuyas ecuaciones fundamentales cumplan nuestro primer postulado. Empleando un sistema de unidades coherente con dichas ecuaciones, no habr coeficientes parsitos, y, si para simplificar la cuestin, se atribuye el valor uno a todas las constantes superfluas, dichas ecuaciones podrn escribir as:

[1,1]

[7,9] Entre las x figuran las constantes ineludibles, que quedan definidas sin ambigedad con nuestro segundo postulado. En consecuencia, todos los exponentes Etj sern nmeros conocidos. Hagamos el paso a otro sistema de unidades tambin coherente y, para atenernos a la notacin en uso, que fue introducida por Maxwell, emplearemos los smbolos [Xl], ... , [xn] para designar la razn entre l.as nuevas unidades y las primitivas: [1,2]

y sustituyendo en [7,9] Ar y UAr por sus valores tomados de [7,5] y [7,7] resulta: [7,10] (A)r = AUA = (A), que est en contradiccin con [7,6]. Esto significa que: Los smbolos que figuran en las ecuaciones de la Fsica no pueden representar cantidades. Adems, la ecuacin [7,10] muestra que: Las cantidades fsicas son invariantes con relacin a los factores numricos que, arbitrariamente, se introduzcan en las ecuaciones.

56

ANLISIS

DIMENSIONAL

V.

EL CONCEPTO DE DlliENSI6N

57

Con esta notacin, las condiciones que han de cumplir los nmeros [Xi] sern, segn resulta de [5,7], captulo IV:[xS:n ... [xn]"'Jn

=

1

[1,3]

Sean Xl' , Xm las magnitudes escogidas para formar la base. En el paso de un sistema coherente a otro tambin coherente sern datos los valores de [xJ, ... , [xm], y las ecuaciones [1,3] permitirn despejar los valores de los nmero [x,] correspondientes a las restantes magnitudes, resultando expresiones monomias tales como:[] r X

=

[ Xl ]()( TI...

LXm

r~

r-

,

[1,4]

que es la frmula dimensional de la magnitud Xr con relacin a la base , Xm El conjunto de los exponentes CXlr, , CXmr, constituye la dimensin de Xr con relacin a dicha base. Los smbolos que figuran entre los parntesis rectos de las frmulas dimensionales son las razones entre las unidades de dos sistemas coherentes cualesquiera. Las frmulas dimensionales de las magnitudes secundarias se obtienen fcilmente a partir de su frmula de definicin con tal de que cumplan el requisito de ser homogneas con las condiciones [1,4J, lo que exige, en virtud del teorema 2.0 del captulo primero, que tengan la forma:Xl'

que se haya adoptado para su representacin. La existencia de tales entes est subordinada a la condicin de que las relaciones que ligan entre s las cantidades sean relaciones de proporcionalidad entre potencias con exponentes fijos, independientes de la naturaleza de los cuerpos, y de que exista un criterio para discernir las constantes superfluas de las ineludibles. Para los consecuentes con la lgica positivista, la frmula dimensional de toda magnitud ha de deducirse de su definicin operatoria, exclusivamente, sin recurrir a las leyes fsicas. El profesor Dingle (34), por ejemplo, lleva el operacionalismo hasta su ltimo extremo y opina que la carga elctrica es homognea con la fuerza, porque para medir cargas elctricas basta medir las fuerzas que ejercen sobre otra que sirve de unidad y se coloca a distancia determinada. Como el criterio de Dingle es aplicable a las masas, resultara que la fuerza, la carga elctrica y la masa son magnitudes homogneas. Y an cabra ir ms lejos, porque podra tomarse como aparato para medir cargas elctricas un electroscopio de tipo determinado, y la medida se reducida a distancias o ngulos, con lo que la carga elctrica, podra, a nuestra voluntad, o tener la dimensin de la longitud, o tener dimensin nula. El punto flaco de este modo de razonar es que las frmulas dimensionales con l obtenidas son enteramente intiles para los fines del Anlisis dimensional. Segn nuestra teora, tan slo las magnitudes secundarias obtienen su dimensin mediante su definicin operatoria. Las dimensiones de todas las magnitudes primarias estn subordinadas a las leyes fundamentales de la teora fsica en que se utilicen. Con nuestro mtodo desaparece el carcter misterioso de las dimensiones. Nada tienen que ver ni con las cantidades ni con las medidas. A pesar de su notacin inslita son relaciones entre nmeros. Trataremos, por va de ejemplo, de hallar las frmulas dimensional es de las magnitudes que intervienen en la dinmica newtoniana del punto material. Hay en esta teora tres ecuaciones fundamentales, a saber: d28 f - m'--' \ dt2'

f

= G m2i.82 '

[1,5]

y

-

=

X"'l 1

(s = n-m),

donde

El'

, Em

son los exponentes dimensionales de y, y los monoInios:Xm+l

, .. *'

Xn

que relacionan cinco magnitudes primarias: 8, mi. t, l. mg. y la constante de la gravitacin, G. Las dems magnitudes que se manejan en la teora (velocidad, aceleracin, momento, trabajo, mpetu, impulso ... ) son magnitudes secundarias cuya frmula dimensional se deducir de la respectiva frmula de definicin en cuanto se conozcan las dimensiones de las magnitudes que figuran en ella. Como todas las frmulas de definicin son monomias, queda cumplida la condicin de existencia de las dimensiones. Por comparacin con las ecuaciones [5,1] del captulo IV se ve que la matriz formada con los exponentes "'ij es:8

tienen dimensin nula por razn de [1,4].-

mi

I2 100

G

1

Tras largo rodeo hemos llegado al mismo concepto de dimensin que, con pasmosa intuicin. estableci Fourier en su teora analtica del calor. Podemos imaginar la dimensin como un ente abstracto, atributo de cada magnitud, que se deja representar por el conjunto ordenado de m nmeros adscritos a la base

2 O

1 -2 - 1-

OO

1O -

11/2

O1

y como su caracterstica es h = 3, habr m = 6 - 3 = 3 magnitudes fundamentales. Podrn escogerse para formar la base tres magnitudes cualesquiera

58

ANLISIS

DIMENSIONAL

v. bastar sustituir

EL CONCEPTO DE DIMENSIN

59

con tal de que sean independientes, esto es, con tal de que no sea nulo el determinante formado por las columnas correspondientes a las magnitudes restantes. Los nicos determinantes de tercer orden nulos son: s-1

en [2,1] para obtener:[x] = [M'S"l

... [M'mt'm valdrn:

[2,3]

t2 OO 1 1

mi

G 2 O O O -1 - 1/2

2 O

O

- 1 -2 - 1

y los nuevos exponentes

dimensionales

por lo que cualquier combinacin ternaria formada con las magnitudes dadas puede servir para formar la base, con excepcin de las dos siguientes: (mi, G, mg) y (s, mg). Cabe, todava, tomar en consideracin las frmulas de definicin de las magnitudes secundarias. Con ello aumenta el nmero de incgnitas y el de ecuaciones, pero la multiplicidad de la base no se altera porque cada vez que se agrega una magnitud secundaria se aade la respectiva frmula de definicin que, evidentemente, no es consecuencia de las escritas anteriormente. Se ha convenido en adoptar en Mecnica la base (s, mi, t) y en sustituir los smbolos [s], [mi], [tJ por las letras L, M, T. Con estos convenios, las ecuacones [1,5] conducen a: L-1 M-1 T2[f] = 1

[2,4]

t.

:3. Factores de conversin. Gracias a la interpretacin de las frmulas dimensionales dada e,p el apartado anterior, resulta muy sencillo averiguar en qu se convierte la unidad de cualquier magnitud cuando se alteran de cualquier manera las unidades fundamentales o el valor atribuido a una constante universal. Sea, por ejemplo, una magnitud, x, con la siguiente frmula dimensional:

L2 M-2[f] [0]-1 = 1 [M]-1 [0]-1/2 [mg] de donde: [f] = LMT-2 [O] = L3M-1T-2[mg] = L3/2MIf2T-1. = ]

Si Ui, Um, Ut y U'i, U' m, U' son, respectivamente, las unidades mentales en el sistema primitivo y en el nuevo, ser:

funda-

[3,1] 2. Cambios de base. Sea: [2,1] la frmula dimensional de la magnitud x con relacin a la base (MI> ... , Mm). Se trata de averiguar su frmula dimensional con relacin a otra base (M' l' ... , M' m), en la que pueden figurar magnitudes cualesquiera, primarias o secundarias. Si las frmulas dimensionales de las antiguas magnitudes bsicas con relacin a las nuevas son: con lo que queda resuelto el problema. Por su peculiar manera de ser, las constantes universales carecen de unidad propia, por lo que, en vez de la razn entre unidades, habr que poner la razn inversa de las medidas. As, de:

ee deduce:

( ~, ) = ([2,2]

~l

r (~:r (~:r

La ecuacin [3,1] justifica el llamado clculo con unidades, que :sirve para averiguar cmo se alteran las unidades derivadas cuando se

60

ANLISIS DIMENSIO 'AL

v.


61

cambian las unidades bsicas, pero es preciso tener en cuenta que dichoclculo slo puede utilizarse cuando ambos sistemas son coherentes con un mismo sistema de ecuaciones fundamentales.Los siguientes ejemplos servirn para aclarar lo que precede. Sabiendo que en el sistema cgs. la constante de la gravitacin vale(G) = 6,670 X 10-8 cm" g-l S-2, averiguar su valor en el sistema de Giorgi, (m; kg, s).a)

que se denominan componentes del vector, con la condicin de que, si se .aplica un cambio de ejes, las nuevas componentes estn ligadas con las primitivas por ecuaciones lineales: [4,1] "Basta generalizar esta definicin a un espacio de m dimensiones, y comparar [4,1] con [2,4] para ver que existe una analoga formal completa, ' isomorfismo, de tal modo que a los exponentes dimensionales, 1X1' , IXm, de la magnitud x con relacin a la base (M 1> , M m) corresponden las componentes de un vector en un espacio de m dimensiones. As como en Fsica existen los vectores con independencia. del sistema particular de ejes elegidos para su representacin, as tambin, de acuerdo con San Juan, podemos imaginar que a toda magnitud fsica corresponde una dimensin, que existe con independencia de la base que se adopte. Los exponentes dimensionales hacen las veces de componentes de la dimensin considerada como vector, y varan al cambiar la base. .5.

Solucin: [G] = L31lf-1T-2 G' _ 6,670 X 10-8 de donde: (G') = 6,670 10-11 m3 kg-lS-2.

(

1 cm 1m

)3 (

~ 1 kg

)-1

_ -

IQ-3

b ) Averiguar cul ha de ser la unidad de tiempo para que, conservando centmetro y el gramo, adquiera la constante de la gravitacin el valor 1. Solucin: 1 ( 1 6,670 10-8 = V't U' -_ 104

el!

S )_2

Bases superabundantes y bases estrictas.

segun d os.

V6,670

4.

Analogas entre dimensiones y vectores.

El concepto de dimensin como ente individual resulta muy clarogracias a que R. San Juan (16) ha puesto de manifiesto que entre la dimensin de una magnitud y sus exponentes dimensionales respecto a. una base determinada, existe la misma relacin formal que entre un vector y sus componentes respecto a un sistema de ejes coordenados, relacin formal que se denomina isomorfismo (*). Se definen los vectores en Fsica como magnitudes de tal naturaleza. que, previa la adopcin de un sistema de ejes coordenados y de sendas. escalas en los mismos, pueden representarse por tres nmeros, Xl' X2, X3,.(~) Ha demostrado R. San Juan que la dimensin es un ente abstracto. defimdy por una relacin de igualdad, y la frmula dimensional es la expresin vectorial e~ funcin de la base adoptada. Estos espacios vectoriales de dimenslO~es son isornorfos, o sea algbricamente equivalentes a los formados con los cOCle~tes de unidades, que por esto hemos adoptado en la definicin de la frmula dimensional, evitndonos consideraciones abstractas innecesarias en las aplicaciones.

Hemos visto que, cuando se toman en consideracin todas las magnitudes que intervienen en una teora, la multiplicidad de la base queda determinada por el sistema de ecuaciones fundamentales. Pero suele suceder que, en determinado orden de fenmenos, no entren todas las magnitudes de la teora, y la referida base puede ser excesiva. Sean varias magnitudes, Xl' , Xn, cuyas frmulas dimensionales con relacin a cierta base (MI' , Mm) son:r = 1, ... , n.

e trata de saber si dicha base es superabundante y, en caso afirmativo, de averiguar cmo ha de ser la base estricta. Traducido este problema al lenguaje vectorial se enuncia as: Dados varios vectores, cuyas componentes con relacin a determinada base m-dimensional son (IXn, , 1X1m), , (IXn1> .. , IXnm), averiguar si es posible utilizar para su representacin una base menor, y la manera deobtenerla.

Se trata de un conocido problema de lgebra, y la respuesta es: El nmero de vectores (o magnitudes) que se requieren para formar una base estricta es igual a la caracterstica, h, de la matriz formada con

62

ANLISIS DIl\1ENSIONAL

V.


63

las componentes (O con los exponentes dimensionales) en otra base cualquiera. Como vectores (o magnitudes) de la nueva base pueden tomarse h. cualesquiera entre los dados, con tal de que sean linealmente independientes, esto es, han de ser tales que la ecuacinElXl

pareja cualquiera, puede formarse una base estricta. ejemplo, las frmulas dimensionales son: [6] = [1]0 [aJo; [tl = [1] [a]-1;

Con la pareja 1, a, por

[k] = [1]-1 [aJ2.

En este ejemplo, la base (L, M, T) es superabundante.

+ ... +

E/lX/I

=

6.

Bases mutiladas.

slo admita la solucin trivial El = E2 = ... = E/I = 0, lo cual equivalea decir que la caracterstica de la matriz formada por sus componentes (o exponentes dimensionales) ha de valer h. De aqu se deduce la siguiente regla: Para formar una base estricta se forma la matriz de los exponentes dimensionales con relacin a otra base cualquiera:

La supresin de alguna de las constantes ineludibles en las ecuaciones fundamentales lleva consigo la reduccin en una unidad de la multiplicidad de la base, con lo que todo el sistema dimensional resulta alterado. Es como si en un espacio vectorial slo se considerase de cada vector su proyeccin sobre el subespacio que resulta de prescindir de una dimensin. Al mutilar la base, puede suceder que dos magnitudes que tenan distinta dimensin en la base completa, aparezcan como equidmensionales en la mutilada, pues bastar que los correspondientes vectores tengan igual proyeccin en el subespacio restante.Si, por ejemplo, se suprime la constante de la gravitacin, las ecuaciones fundamentales de la dinmica del punto material se convierten en:

y entre los menores no nulos se seleccionan los de mayor rango. A cada. uno de ellos corresponde una base extricta, formada por las magnitudes. cuyos exponentes dimensionales figuran en l.Ejemplo: En la rotacin de un slido rgido sometido a un par elstico y con amortiguamiento proporcional a la velocidad angular, las magnitudes que intervienen y sus frmulas dimensionales con relacin a la base (L, M, T) son: Amplitud angular Momento inercial. Perodo Coeficiente de rozamiento Par elstico . . . . . [6] [1] [t] [a] [k]= LOMoTo = L2MTo = LOMoT = L2MT-1 = L2MT-2

y basta una base bidimensional. Adoptando la base L, T, por ejemplo. resulta:

y la matriz de los exponentes dimensionales es:

Las mismas frmulas dimensional es se hubieran obtenido si, en lugar de hacer G = 1, se hubiera impuesto a dicha constante un valor numrico cualquiera. Se ve que las magnitudes mi Y mg, que tenan distinta dimensin en la base completa, resultan ser equidimensionales en la base mutilada. Quienes creen haber realizado valiosos hallazgos al formar sistemas dimensionales con bases mutiladas estn en el caso de quien opinase que viendo las sombras proyectadas sobre una pared, se adquiere ms informacin que viendo la escena en relieve. No hay inconveniente, aparte del de la intil complicacin, en utilizar bases superabundantes, ni tampoco puede esperarse ventaja ninguna. Pero con bases defectuosas se lograr, en general, menos informacin que con bases completas.

6

1 2 1 O 022 O 1 -

a1 1

k

L M T

O O O

7.1 2

Las magnitudes de dimensin nula.

En ella son nulos todos los menores de tercer orden, y no los de segundo, por lo que h = 2, Y las bases estrictas constarn de dos magnitudes. Las magnitudes 1, t, a, k, son dimensionales independientes dos a dos, por lo que, con una.

A diferencia de lo que sucede con los vectores nulos, las magnitudes de dimensin nula tienen gran importancia en Fsica. Desde luego, basta que una magnitud tenga dimensin nula en una base completa para que le suceda lo mismo en todas las dems, incluso

64

ANLISIS

DIMENSIONAL

v.


65

en las mutiladas. Pero puede ocurrir que lila magnitud que tenga dimensin no nula en las bases completas aparezca con dimensin nula en las bases mutiladas.Es tema de discusin el si se debe considerar el ngulo como magnitud de dimensin nula. Desde luego, se trata de una magnitud primaria, pues s~ pueden establecer los criterios de igualdad y de suma sin recurrir a la me~lda de otras magnitudes. Por tanto, la proporcionalidad du:ecta c~n el arco e mversa con el radio es una ley geomtrica entre las magnitudes msepara?les n~ulo y cociente arco-radio. Pero sucede que este cociente no es una magnitud pnmaria, sino secundaria, por lo que, de acuerdo con el segundo postulado, el factor de proporcionalidad es superfluo, y el ngulo tendr dimensin nula. En corroboracin de esta consecuencia, ocurre que el ngulo no figura en el enunciado de ninguna ley fundamental, por lo que puede prescindirse de dicho factor de proporcionalidad sin alterar las dimensiones de las dems magnitudes. Lo dicho del ngulo plano es aplicable al ngulo slido. Tambin se le puede atribuir dimensin nula sin que se resienta el Anlisis dimensional.

nitudes que en l intervienen, y que ningn papel desempean las que se refieren a cuerpos extraos, aunque sean tan destacados como el vaco. Afortunadamente, han desaparecido de los buenos libros la densidad relativa y el peso especfico relativo, que han torturado durante un siglo las mentes infantiles de los alumnos de enseanza media. Entre las magnitudes relativas figuran los mal llamados pesos atmicos y pesos moleculares. Su nombre es motivo de confusin. Hemos conocido qumicos eminentes, de los que ms han contribuido a la confeccin de las tables internacionales de pesos atmicos, que por creer que se trataba de pesos, midieron cuidadosamente la intensidad de la gravedad en su laboratorio con el fin de hacer la correccin correspondiente. Hasta algunos fsicos, que saben que se trata de masas y no de pesos, olvidan que, por ser magnitudes relativas, son nmeros fijos. De aqu que yerren al tomar el nmero de moles como una magnitud de dimensin nula. En tal error incurre, por ejemplo, Duncanson (43). Afortunadamente, ocurre que en ninguna ecuacin fsica intervienen las masas moleculares relativas, sino el nmero de moles, que tiene la misma dimensin que la masa y cuya unidad, por consiguiente, no queda prefijada.

9.

Las seudomagnitudes de la Reologa

8.

Magnitudes relativas.

No se manejan en Anlisis dimensional ms utensilios que las frmulas dimenaionales, por lo que cuanto afecte a la integridad de las mismas puede poner en peligro la eficacia de aqul. Siendo las frmulas dimensionales relacion~s entre las razones de unidades de dos sistemas coherentes, quedarn mutiladas {mando, de un modo u otro, se fija de antemano la unidad de alguna magnitud exigiendo que permanezca invariable al cambiar de unidades. Co.n ello. se aniquila la dimensin de la magnitud en cuestin, y se alteran las di~enslOnes d~ las restantes. Por esta razn conviene suprimir las llamadas maqnitudes relativas (*) tales como la densidad con relacin al agua o al aire, la relacin entre las velocidades de propagacin de la luz en dos medios diferentes, la constante dielctrica con relacin al aire (o al vaco), etc. Aparte de la razn aducida para eliminar las magnitudes relativas, es evidente que para estudiar un fenmeno basta considerar las cuantas de las mag-

Hemos basado el Anlisis dimensional sobre el postulado de ser las leyes fsicas relaciones de proporcionalidad entre potencias determinadas de las cantidades que intervienen en el fenmeno considerado. Por tanto, segn nuestro punto de vista, el Anlisis dimensional slo ser aplicable a fenmenos regidos por ecuaciones que cumplan dicho requisito. Se trata de un postulado y no de la consecuencia de algn principio metafsico, y la mejor prueba de ello es que en Reologa han encontrado Scott Blair (39) y sus colaboradores que para cuerpos que no son ni slidos de Hooke ni fluidos newtonianos se cumple una relacin que, en la forma original dada por Nuttig, es: [9,1] donde S es la tensin, cr la deformacin, t el tiempo y 'Y, 13,k, constantes caractersticas que varan de un cuerpo a otro. Nos encontramos en presencia de una ley que, si bien puede enunciarse como relacin de proporcionalidad entre cantidades, presenta la particularidad de que los exponentes no son nmeros fijos, sino nmeros que dependen del cuerpo que se observa. Con la base dimensional L, M, T, la frmula dimensional de 'f" es:

(*) Rey Pastor (41) llama magnitudes relativas al nivel y ~ la temperatura medida en escalas arbitrarias porque en ellas no se puede definir la suma. Pero en Fsica no se opera nunca con niveles, sino con diferencias de al.tura, para ~as cuales es obvia la definicin de la suma. Adems, en las teoras ffsicas es preciso operar siempre con la escala absoluta de temperatura. En ningn c~o, por tanto, es preciso introducir un cero arbitrario como elemento extranOl) a la Fsica. Loedel (42) propone llamar relativas a las que estn afectadas de s~gno, positivo o negativo, y da como ejemplos la altura de un punto con relacin a un plano horizontal, el tiempo, el potencial, etc. Pero es el caso que ha:y. magnitudes como el calor, el trabajo, la carga elctrica, etc., que son posltlva~ o negativas de modo absoluto, puesto que su signo no procede de la sleccin arbitraria de un origen.

y estara representada por un vector distinto para cada sustancia. Ante este estado de cosas, lo que procede desde nuestro punto de vista, es afirmar que el Anlisis dimensional no tiene razn de ser en Reologa, pues no sirve para ninguno de los fines que persigue: ni rige el criterio de homogeneidad, ni se puede hacer predicciones basadas en consideraciones dimensionales. Dingle, sin embargo, hace un largo razonamiento (44) tratando de demostrar que la ecuacin de Nuttig es una prueba de que el smbolo dimensional es unaANLISIS DIMENSIONAL. 6

66

ANLISIS DIMENSIONAL

representacin del proceso de medida. Deja aparte la frmula de Nuttig y considera el caso de la cada de los cuerpos, suponiendo que la relacin entre el camino 8 y el tiempo t fuese: [9,2] 8 = AtCL y que A y CL variasen de un cuerpo a otro. Deduc~ que CL ha de ser un nmero puro y que las dimensiones de A han de ser [antilog (log L log T)J, pero no dice qu partido podemos sacar de este resultado cuando nos encontremos ante un problema de Anlisis dimensional. . . . A continuacin, y tras largo rodeo, deduce Dingle que, S1la ecuac1n [9,2] ha de permanecer invariable al cambiar las unidades, las dimensiones de A han de ser, o [antilog (log L log T)], o bien LT-CL. Este ltimo resultado es el qu.e cualquiera escribira a la vista de [9,2], y no se comprende com~ en la PrImera expresin de las dimensiones no figure CL y s en la segunda, ru que una y otra sean representaciones de un proceso de medida. En fin, falta saber para qu sirve la primera expresin, que es la obtenida por va operacional.

CAPTULO

VI

EL TEOREMA DE PI

1.

Homogeneidad de las frmulas fsicas.

Ya Fourier indic que una de las ventajas de atribuir una dimensin a cada magnitud consista en poder descubrir fcilmente errores de clculo, pues suceda que todos los trminos de cualquier ecuacin que resultara de aplicar las ecuaciones fundamentales a un caso particular haban de tener la misma dimensin. Se ha convenido en decir que dos o ms magnitudes son homogneas entre s cuando tienen la misma dimensin y, por tanto, la proposicin de Fourier puede enunciarse as: Todos los trminos de una ecuacin tsica deben ser homogneos. Tan manifiesta lleg a ser la utilidad de esta regla, y de tal modo result confirmada en todos los desarrollos tericos, que, ms o menos tcitamente, se convirti en un principio metafsico, al que deban someterse todas las teoras fsicas. Por eso, se imponan condiciones a las frmulas de definicin para que estuviesen de acuerdo con el llamado principio de homogeneidad, y las ecuaciones empricas que lo vulneraban se consideraban comoe-.,resiones imperfectas de alguna ley mal conocida. Elevado a la categora de principio. el requisito de homogeneidad, proceda, si no su demostracin, por lo menos su justificacin, que consista en recurrir a argumentos vagamente intuitivos, tales como decir que no tena sentido la suma o la resta de cantidades heterogneas y que, justamente, la dimensin era lo que caracterizaba la homogeneidad. De la falacia de esta argumentacin, que confieso haber tenido por buena, es buena prueba el hecho de que la suma de cantidades dadas tiene o no sentido segn el propsito que se persiga.

68

ANLISIS DIMENSIONAL VI. EL TEOREMA DE PI

69

Por ejemplo, no se puede sumar yeguas con caballos para obtener yeguas o caballos solamente, pero tiene perfecto sentido afirmar que 2 yeguas

+

3 caballos = 5 quidos.

De la misma manera, no tiene sentido en Termodinmica sumar la energa interna, U, con el producto de la presin por el volumen con la pretensin de que el resultado sea energa interna. Pero s cabe afirmar que la disminucin de la magnitud H == U + p V da el calor desprendido en cualquier transformacin isobara,

. Utilizand~ .un sistema de unidades coherentes, no habr en [2,]J coefioientes pareitos, y al pasar a otro sistema tambin coherente deber permanecer invariable la ecuacin que nos ocupa. Sean X 1> , Xm 1 as magnitudes escogidas para formar la base y sean: s=n-m [2,2]

........................ ........................

Muchos autores intentan, de uno u otro modo, conservar el principio de homogeneidad como cosa independiente de las teoras fsicas y, en este sentido, quien ms ha profundizado en la cuestin es el profesor R. San Juan (16), quien ha logrado demostrar que las ecuaciones han de ser necesariamente homogneas si relacionan magnitudes definidas de tal modo que el criterio de suma sea independiente del sistema de unidades que se adopte. A nuestro modo de ver, el principio de homogeneidad no puede darse como cosa evidente, ni est subordinado solamente a la manera convencional de definir las magnitudes secundarias, sino que es consecuencia de nuestro primer postulado, segn vamos a demostrar. 2. Teorema de pi.

las frmulas dimensionales de las dems magnitudes. Al pasar a otro sistema coherente, las medidas Xv ... , Xn se convertirn en x' l' ... , X' n, cumplindose que:Xl

=

X

,1

U'l -U1

=

X

,l[Xl]; ... ;

Xn

=

X' n[Xn]

" [2,3]

y la ecuacin dada se transformar en: [2,4] Como la condicin de invariabilidad exige que sea:f(x'l, ... , X'n) = O

Sea una teora fsica cuyas ecuaciones fundamentales, por estar de acuerdo con nuestro primer postulado, esto es, por consistir en relaciones entre monomios, son incondicionalmente homogneas. Supngase que cumplen igual requisito todas las frmulas de definicin de las magnitudes secundarias que se utilicen en la teora. Resultar un sistema de ecuaciones invariantes con relacin a todos los cambios de unidades coherentes, y de igual propiedad gozar, por consiguiente, cualquier ecuacin: f(xv ... , xn) = O, [2,1] que se deduzca de aqullas por aplicacin de la teora a un caso particular en que se trate de averiguar cmo depende cierta magnitud, Xn, de otras, Xl' ... , Xn-l' que figuran como variables independientes en el fenmeno considerado. En la ecuacin [2,1] figurarn, a modo de parmetros, no slo las constantes especficas de los cuerpos que intervengan en el fenmeno, sino tambin las constantes universales peculiares de la teora,

[2,5]

queda demostrado que la funcin en cuestin es homognea con las condiciones [2,2]. Adems; aplicando el teorema 3. del captulo 1, resulta que la ecuacin ha de tener la forma:Xn x~m8

=0 )'

(s

=

n-m)

y como, en virtud 'de [2,2], los monomiosXn

tienen dimensin nula, quedan demostradas las siguientes proposiciones: 1.a. La forma ms general de toda ecuacin(Xv ... , Xn) = O,

70

ANLISIS DIl\'lENSIONAL

VI.

EL TEOREMA DE PI

71

que sea consecuencia de una teora cuyas leyes fundamentales sean relaciones de proporcionalidad entre potencias con exponentes fijos, es:

donde las TCi son los monomios independientes de dimensin nula o monomios pi, que pueden formarse con las magnitudes consideradas. 2.30 El nmero de estos monomios independientes es i = n - h, donde h es la caracterstica de la matriz formada co?/-los exponentes dimensionales con relacin a una base completa cualquiera.Las proposiciones anteriores son una variante del teorema de pi, que fue enunciado por Buckingham (11) del siguiente modo: 1. o La forma ms general de cualquier ecuacin fsica completa:

es:7I"n) =

0,

donde las 71" son los monom

analisis dimensional julio palacios

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