an¶alisis del problema de objetos no sustitutos en las

Analisis del problema de objetos no sustitutos en

las subastas de multiples objetos

Trabajo de TesisPresentado al

Departamento de Ingenierıa Industrial

por

Yoanna Kraus

Para optar al Tıtulo deIngeniero Industrial

Ingenierıa IndustrialUniversidad de los Andes

August 2003

Analisis del problema de objetos no sustitutos en

las subastas de multiples objetos

Aprobado por:

Fernando Beltran, Asesor

Fecha de Aprobacion

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RECONOCIMIENTOS

Quiero agradecer Fernando Beltran por sus valiosos aportes y a Natalia Santa-

marıa por su constante ayuda.

iii

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TABLA DE CONTENIDO

RECONOCIMIENTOS III

LISTA DE TABLAS VI

LISTA DE FIGURAS VIII

RESUMEN X

I. MARCO TEORICO 3

1.1. Diseno de Mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Regla de asignacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Regla de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Subastas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Subastas de un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Subastas de multiples objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Criterios para la evaluacion de subastas . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1. Racionalidad individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2. Compatibilidad con incentivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.4. Maximizacion de la ganancia de subastador . . . . . . . . . . 18

1.4.5. Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II. DEFINICION DE UN AMBIENTE 20

2.1. Conteo de las desigualdades necesarias para especificar las relacionesen un conjunto de objetos segun las definiciones . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Conjuntos de objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

iv

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2.1.2. Objetos iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3. Comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Analisis de las curvas de demanda en conjuntos de objetos igualessegun las definiciones estudiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III. SUBASTA PARA MULTIPLES OBJETOS IGUALES NO NECE-SARIAMENTE SUSTITUTOS 43

3.1. Modelo formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Ejemplo de ilustracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

IV. EVALUACION DE LA SUBASTA PROPUESTA 51

4.1. Racionalidad individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Compatibilidad con incentivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2. Comparacion practica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Maximizacion de la ganancia del subastador . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5. Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

V. CONCLUSIONES 57

Apendice A. — EJEMPLO PARTIENDO DE LOS COMPORTAMIEN-TOS 59

Apendice B. — LINGO 65

REFERENCIAS 70

v

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LISTA DE TABLAS

1. Definicion 1 - Objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Definicion 2 - Objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Definicion 2 - Objetos diferentes - Conjuntos Disyuntos . . . . . . . . 25

4. Definicion 6 - Objetos iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Resultados de las formulas de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6. Ejemplo de ilustracion - Demanda inversa . . . . . . . . . . . . . . . 46

7. Ejemplo de ilustracion - Precio total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8. Ejemplo de ilustracion - l = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46







15. Ejemplo de ilustracion - Final alterno - l = L− 1 . . . . . . . . . . . 50

16. Ejemplo de ilustracion - Final alterno - l = L . . . . . . . . . . . . . . 50

17. Ejemplo del apendice - Valoraciones marginales . . . . . . . . . . . . 59

18. Ejemplo del apendice - Demanda inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 60

19. Ejemplo del apendice - l = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60




vi

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vii

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LISTA DE FIGURAS

1. Ejemplo de Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Ejemplo de Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Ejemplo de Cuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Ejemplo de Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Precio total - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Precio total - Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7. Precio total - Cuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8. Precio total - Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9. Demanda inversa - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10. Demanda inversa - Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11. Demanda inversa - Cuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12. Demanda inversa - Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

13. Maximo - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

14. Maximo - Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

15. Maximo - Cuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

16. Mınimo - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

17. Mınimo - Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

18. Mınimo - Cuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

19. Ejemplo de demanda inversa convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

20. Modelo LINGO -Ejemplo de ilustracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

21. Resultados LINGO - Ejemplo de ilustracion . . . . . . . . . . . . . . 67

22. Modelo LINGO - Ejemplo del apendice A . . . . . . . . . . . . . . . . 68

viii

II-03(1)40

23. Resultados LINGO - Ejemplo del apendice A . . . . . . . . . . . . . . 69

ix

II-03(1)40

RESUMEN

La primera parte de este trabajo de tesis define un ambiente en el cual

pueden coexistir dentro de un conjunto de objetos iguales las relaciones de sustitu-

cion y complementariedad. Este trabajo se hizo con base en las definiciones dadas

por V. Krishna en su libro “Auction Theory” para objetos totalmente sustitutos

y totalmente complementarios. Ya definido el ambiente se analizaron los compor-

tamientos que pueden tener los participantes en una subasta en este ambiente de

multiples objetos iguales.

La segunda parte de este trabajo es el diseno de una subasta para el ambiente

encontrado y definido. Este diseno se hizo con base en la subasta Ausubel para

multiples objetos iguales y sustitutos ampliandola a un ambiente en el que los objetos

subastados no tienen que ser necesariamente sustitutos. La subasta se describe de

manera formal con ayuda del diseno de mecanismos y se dan ejemplos para ilustrar

su comportamiento.

Por ultimo, se analizan las caracterısticas de la subasta propuesta llegando a

que, al igual que la Ausubel, la subasta propuesta resulta eficiente. Esto ultimo

significa que le asigna los objetos a los que mas los valoran. Para ilustrar este ultimo

resultado se plantea el problema de asignacion eficiente dadas las valoraciones, como

un problema de optimizacion lineal, y se resuelve con ayuda del software LINGO.

Se muestra que efectivamente la asignacion de la subasta resuelve el problema de

x

II-03(1)40

asignacion eficiente.

xi

II-03(1)40

Introduccion

Las subastas, ademas de ser un mecanismo de formacion de precios en transac-

ciones donde no hay un mercado establecido, han demostrado tener un bajo costo.

Por esto no es de sorprenderse su expansion actual a nivel practico. Paralelamente

a esta expansion practica se ha desarrollado la teorıa de subastas cuyo objetivo es

servir de apoyo para el entendimiento y la utilizacion adecuada de las subastas.

En teorıa de subastas hay diferentes ambientes donde se pueden desarrollar las

subastas; igualmente existen diferentes tipos de subastas y diversos objetivos que

puede cumplir una subasta o diferentes criterios para su evaluacion.

Al igual que en la practica la teorıa de subastas contiene un tema que aun pre-

senta problemas: las subastas para multiples objetos cuando estos no son sustitutos

entre ellos, situacion que surge de la necesidad de vender varios objetos al tiempo.

El tema presenta problemas en la comprension y definicion de las relaciones entre

estos multiples objetos que pueden influir en la subasta y en el desarrollo practico

de las subastas.

El objetivo inicial de este trabajo es entender los conceptos de sustitucion y

complementariedad para crear y proponer la definicion de un ambiente donde es-

tas propiedades coexisten en un grupo de objetos y ası desarrollar un modelo que

permita entender las caracterısticas de una subasta cuando los objetos cumplen con

esas definiciones. Se logro ademas proponer una subasta especıfica para el ambiente

definido y evaluarla. La subasta propuesta en este documento es una subasta para

un ambiente de objetos iguales pero no necesariamente sustitutos. Se diseno con

base en la subasta Ausubel para multiples objetos iguales y sustitutos. Al igual que

esta subasta, y la subasta Vickrey, la subasta propuesta es eficiente, es decir, entrega

1

II-03(1)40

los objetos teoricamente a los que mas los valoran.

Aunque el trabajo es principalmente teorico y se ocupa de un ambiente muy

especıfico dentro de las subastas de multiples objetos, se espera que contribuya

de alguna manera a solucionar la dificultad existente en el tema de subastas para

objetos no necesariamente sustitutos dentro de la teorıa de subastas.

En el primer capıtulo de ese documento se presenta un marco teorico donde se

describen las subastas mas importantes incluida la subasta Ausubel ya mencionada.

Tambien se presenta allı uno de los pocos mecanismos disenados para funcionar en

ambientes en los que existen objetos no necesariamente sustitutos y se describen sus

problemas. En el segundo capıtulo se muestra el estudio que se hizo para definir un

ambiente en el cual puede funcionar una subasta. En el tercer capıtulo se expone la

subasta propuesta, la definicion formal y un ejemplo. En el cuarto capıtulo se evalua

el desempeno teorico de la subasta y se determinan sus caracterısticas y en el quinto

se dan las conclusiones.

2

II-03(1)40

Capıtulo I

MARCO TEORICO

1.1. Diseno de Mecanismos

Dentro de las muchas formas en que uno o varios objetos pueden ser vendidos a

compradores potenciales se encuentran las subastas. Estas, segun la teorıa economica

pueden entenderse como mecanismos. La subasta propuesta en este documento se

estudiara a traves del diseno de mecanismos, es decir la subasta se entendera como un

mecanismo y a continuacion se definira formalmente el concepto de un mecanismo.

Primero tenemos que describir un ambiente. Vamos a suponer que hay un solo

vendedor o subastador y un conjunto N = {1, 2, . . . , n} de n compradores. Por

simplicidad, en esta seccion, se supone que se vende un solo objeto indivisible,

pero los conceptos definidos aquı son aplicables a la venta de cualquier conjun-

to de k objetos indivisibles. El comprador i tiene una valoracion privada xi del

objeto. Las valoraciones estan distribuidas independientemente y la valoracion xi

tiene una funcion de densidad de probabilidad fi y una funcion de distribucion

de probabilidad asociada Fi. Ası, si x = (x1, x2, . . . , xn) es el vector de todas

las valoraciones de los jugadores entonces, la funcion de distribucion conjunta es

f(x) = f1(x1)× f2(x2)× · · · × fn(xn).

Un mecanismo (β, π, µ) es una tripleta con un vector de posibles mensajes β =

(β1, β2 . . . , βn) donde βi es el mensaje del comprador i, una regla de asignacion π y

una regla de pago µ1 .

1V. Krishna, “Auction Theory”, Capıtulo 5

3

II-03(1)40

1.1.1. Regla de asignacion

Si ∆ es el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre el conjunto N de

jugadores, una regla de asignacion π : β → ∆ es una funcion que va del conjunto de

mensajes al conjunto ∆. La regla de asignacion define ası cual es la probabilidad de

que cada comprador gane en la subasta dado su mensaje βi y los de los demas β−i2

.

1.1.2. Regla de pago

Un a regla de pago µ : β → Rn va del conjunto de mensajes β al conjunto Rn

de posibles precios. La regla de pago especifica cual es el precio que cada jugador i

debe pagar dado su mensaje βi y los de los demas β−i3 .

Para definir un mecanismo es suficiente y necesario determinar estas dos reglas.

El vector de mensajes lo dan los compradores.

1.2. Equilibrio

Todo mecanismo define un juego de informacion incompleta. Los jugadores son

los compradores y las acciones o estrategias son los mensajes. La ganancia de un

jugador es igual a su valoracion menos lo que tengan que pagar. El juego es de

informacion incompleta porque los compradores o jugadores no saben con exactitud

las funciones de ganancia de los otros jugadores. Para estudiar el desempeno de una

subasta se busca anticipar las acciones que los jugadores tomaran en el transcurso

de la subasta. Para esto es de gran ayuda el concepto de equilibrio en juegos.

Teniendo en cuenta la definicion de mecanismo, dada en la seccion anterior,

vemos que los jugadores pueden decidir unicamente sobre el vector β de mensajes.

Ası se puede decir que el mensaje βi es la estrategia del jugador i. Esta estrategia

depende de la valoracion xi que tiene el i-esimo jugador por el objeto. Podemos

entonces escribir βi(xi).

2V. Krishna, “Auction Theory”, Capıtulo 53V. Krishna, “Auction Theory”, Capıtulo 5

4

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Un conjunto de estrategias β es un equilibrio, si para cualquier valoracion xi

de un jugador i, βi(xi) maximiza la ganancia de i, dado que los demas jugadores

siguen las estrategias de β−i.

Un conjunto mas pequeno y mas simple de mecanismos es aquel en el que el vector

β de mensajes u ofertas es igual al conjunto de las valoraciones x = (x1, x2, . . . , xn).

Estos mecanismos se llaman mecanismos directos. Segun el principio de revelacion 4

dado un mecanismo y un equilibrio en este mecanismo existe un mecanismo directo

que tiene los mismos resultados (asignacion y pagos).

1.3. Subastas

En este documento nos interesa principalmente un tipo de mecanismo y un tipo

de juego de informacion incompleta: la subasta. En una subasta los bienes son ven-

didos a un precio determinado por la competencia entre jugadores segun unas reglas

determinadas por el subastador. A continuacion se daran ejemplos de subastas uti-

lizando la notacion de mecanismos.

Se recuerda que en todas estas subastas hay un subastador y un conjunto N =

{1, 2, . . . , n} de compradores. Se expondran varias subastas para recordar algunas

caracterısticas de las subastas mas comunes y ubicar la subasta propuesta dentro de

ellas.

1.3.1. Subastas de un objeto

Las subastas de un objeto son simplemente las subastas en las que se vende un

objeto a la vez. En este caso el objeto es indivisible, es decir se lo gana uno y solo uno

de los compradores. A continuacion vamos a exponer las subastas mas importantes

de este tipo.

1.3.1.1. Subastas estaticas

Las subastas estaticas son aquellas en las que todas las acciones a tomar por los

compradores deben ser realizadas en un mismo momento del tiempo, es decir las

4“Auction Theory”, V. Krishna, Capıtulo 5.

5

II-03(1)40

ofertas se realizan simultaneamente. Ası, ningun jugador tiene la oportunidad de

ver la decision de otro. Estas subastas se llaman tambien subastas cerradas.

Subasta de primer precio

En una subasta de primer precio el jugador i entrega un sobre con su oferta βi

por el objeto al subastador. La regla de asignacion esta definida para el jugador de

la siguiente manera:

πi =

{1 si βi > maxj 6=iβj

0 de lo contrario

si hay mas de un jugador con la misma oferta el objeto se asigna a cada uno de

esos jugadores con igual probabilidad o a traves de una loterıa, si no, simplemente

se le entrega el objeto al participante cuya oferta es la mayor.

La regla de pago es la siguiente:

µi =

{βi si βi > maxj 6=iβj

0 de lo contrario

En caso de que mas de un jugador haga la misma oferta, paga solo el comprador

a quien la loterıa asigne el objeto.

Subasta de segundo precio

En esta subasta, de nuevo, los compradores entregan su oferta βi por el objeto

en un sobre sellado al subastador. La regla de asignacion es la misma:

πi =

{1 si βi > maxj 6=iβj

0 de lo contrario

Y la regla de pago es:

µi =

{maxj 6=iβj si βi > maxj 6=iβj

0 de lo contrario

Se observa que el ganador paga la mayor oferta perdedora.

6

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1.3.1.2. Subastas dinamicas

Las subastas dinamicas son aquellas en las que los jugadores pueden tomar ac-

ciones en mas de un momento en el tiempo. Pueden ser de tiempo continuo o dis-

creto. Es decir los jugadores pueden tomar acciones en cualquier momento o en

instantes determinados dependiendo del diseno de la subasta. Las acciones de los

demas pueden ser observadas por los otros participantes o no.

Subasta Holandesa

En esta subasta el subastador empieza anunciando un precio muy alto. En este

sentido “alto” se entiende como un precio al que ningun comprador querrıa comprar

el objeto. A partir de ahı el subastador va bajando de acuerdo con algun criterio. Las

acciones de los jugadores pueden ser ofrecer o no ofrecer por el objeto el precio que

el subastador anuncia. Cuando un comprador decide comprar se acaba la subasta

y se le asigna el bien a ese jugador a ese precio. Esta subasta es equivalente a la

subasta de primer precio5 .

Subasta Inglesa

En esta subasta el subastador empieza en un precio base o de reserva, es decir

el precio mas bajo al cual estarıa dispuesto a vender el objeto, y lo va subiendo de

acuerdo con algun criterio. Las acciones que pueden tomar los jugadores son ofrecer

o no ofrecer por el objeto el precio que el subastador anuncia. Cuando se llega a

un precio en el que solo queda un jugador que quiere comprar el objeto se acaba

la subasta. El objeto se le asigna a este participante a este precio. Esta subasta es

equivalente a la subasta de segundo precio6 .

1.3.2. Subastas de multiples objetos

Existen tambien las subastas en las que se venden varios objetos al mismo tiempo,

las cuales se conocen como subastas de multiples objetos. Para que las subastas que

son expuestas a continuacion tengan sentido es necesario hacer un supuesto sobre

5“Auction Theory”, V.Krishna, Capıtulo 16“Auction Theory”, V.Krishna, Capıtulo 1

7

II-03(1)40

los objetos a subastar y las relaciones entre ellos. Ası, en esta seccion se supone

que se tienen k objetos iguales e indivisibles. Ademas los objetos son sustitutos, es

decir que si un comprador ya tiene uno, obtener uno adicional tiene un beneficio

menor que el que significo la obtencion del anterior. En otras palabras la funcion

de valoracion marginal es decreciente en el numero de objetos o la cantidad que se

esta dispuesto a pagar por una unidad adicional decrece con la cantidad de unidades

ya obtenida. Este concepto se explicara en mayor detalle en la siguiente seccion.

1.3.2.1. Subastas estaticas

De nuevo las subastas de multiples objetos igual que las de un objeto se clasifican

en estaticas y dinamicas. Las estaticas son las subastas en las que los participantes

hacen sus ofertas simultaneamente. Estas subastas tambien se conocen como subas-

tas cerradas.

En cada una de estas subastas el participante i debe dar su vector de ofertas βi =

[β1i , β

2i , . . . , β

ki ] que satisface β1

i > β2i > · · · > βk

i , para indicar cuanto esta dispuesto

a pagar por cada unidad adicional. Es decir βji es la cantidad que el participante

i esta dispuesto a pagar por su j-esima unidad. Tenemos entonces que la cantidad

que i esta dispuesto a pagar por j unidades es∑j

l=1 βli.

La regla de asignacion es igual para las tres subastas que se describiran a con-

tinuacion y es la siguiente:

πi =

{ki si exactamente ki ofertas βj

i estan en el conjunto de las k ofertas mas altas

0 de lo contrario

Esta regla de asignacion no presenta problema por la exigencia de que los objetos

sean sustitutos. Ası, si la oferta de un jugador i por su j-esimo objeto hace parte de

las k ofertas mas altas, tambien lo hace la oferta de i por su (j − 1)-esima unidad

ya que esta oferta es mayor.

Las subastas difieren entonces unicamente por su regla de pago, que sera descrita

individualmente a continuacion.

8

II-03(1)40

Subasta Discriminatoria

En la subasta discriminatoria cada jugador paga exactamente el valor ofrecido

por la cantidad de objetos que gane. Formalmente si ki ofertas de i estan entre las

k ofertas mas altas entonces:

µi =ki∑

j=1

βji

La subasta discriminatoria se puede ver como la ampliacion de la subasta de

primer precio a multiples objetos.

Subasta Uniforme

En la subasta de precio uniforme se quiere cobrar el precio al cual la oferta iguala

la demanda. Para esto se cobra por cada objeto asignado un precio igual a la oferta

perdedora mas alta. Recordando que ki es la cantidad de objetos que i gana se puede

definir la regla de pago formalmente como:

µi = (maxi

βiki+1)× ki

Esta subasta se puede ver como la extension de la subasta de segundo precio a

multiples objetos.

Subasta Vickrey

Esta subasta, por sus propiedades, es una mejor extension de la subasta de

segundo precio a multiples objetos7 . La regla de pago en esta subasta tiene una

mınima relacion con la oferta hecha por cada objeto asignado.

Para definir la regla de pago es necesario definir antes el vector c−i de las ofertas

competidoras para el comprador i. El vector c−i = [c1−i, c

2−i, . . . , c

n(k−1)−i ] es el vector

ordenado de mayor a menor de las ofertas sin contar las ofertas de i. Ası, el com-

prador i debe pagar en esta subasta, por el primer objeto que se le asigne un precio

igual a ck−i, por el segundo un precio ck−1

−i y ası hasta ki, si este es el numero de

objetos que se le asigna a i. La regla de pago es entonces:

7“Auction Theory”, V. Krishna, Capıtulo 12

9

II-03(1)40

µi =ki∑

j=1

ck−ki−j

Es importante notar que en esta subasta lo que paga i es la perdida en la que

incurren los otros por la participacion de i en la subasta. Si i no hubiera participado

los otros habrıan ganado ki objetos mas y habrıan pagado un precio de∑ki

j=1 ck−ki−j

por el total de ellos.

1.3.2.2. Subastas dinamicas

Al igual que en las subastas de un objeto cada una de las subastas estaticas

o cerradas descrita en la seccion anterior tienen una subasta correspondiente en

formato abierto o dinamico.

Subasta Holandesa

Esta subasta corresponde a la subasta discriminatoria y, como vimos anterior-

mente, tiene tambien una version para un solo objeto. En esta subasta el subastador

empieza en un precio alto y lo va bajando segun algun criterio, hasta que el primer

jugador este dispuesto a comprar una unidad a ese precio. Cuando esto ocurre se le

vende la unidad a este comprador a ese precio. Luego el precio sigue bajando hasta

que de nuevo un comprador este dispuesto a comprar otra unidad. La subasta se

acaba cuando las k unidades se vendan. Esta subasta es equivalente a la subasta

discriminatoria8 .

Subasta Inglesa

Al igual que para la subasta Holandesa, en la seccion pasada vimos una version

de esta subasta para un objeto. En esta subasta el subastador comienza con un

precio de reserva y lo va subiendo segun algun criterio. Los jugadores deben decir

cuantas unidades estan dispuestos a comprar a ese precio. Si di(p) es la cantidad de

unidades demandada por i a un precio p, la demanda total a ese precio es∑n

i=1 di(p).

La subasta se acaba cuando se llega a un precio en el que la demanda total es igual


10

II-03(1)40

a k, entonces se le asigna a cada comprador la cantidad de unidades demanda en

ese momento y tiene que pagar por cada una ese precio. Esta subasta corresponde

a la subasta de precio uniforme en formato cerrado y es equivalente a esta.9 .

Subasta Ausubel

Esta subasta corresponde y es equivalente a la subasta cerrada Vickrey descrita

en la pasada seccion10 . De nuevo para describir su funcionamiento es necesario

introducir un nuevo concepto: la oferta residual si(p) para un jugador i a un precio

p. La oferta residual se calcula de la siguiente manera:

si(p) = max{k −∑

l 6=i

dl(p), 0}

con di(p), la cantidad de objetos que demanda el participante i a un precio p.

En esta subasta el subastador empieza anunciando un precio bajo o de reserva.

El subastador va subiendo el precio segun algun criterio. Los jugadores deben decir

cuantos objetos quieren comprar a cada precio. Para cada precio p se calcula la

oferta residual si(p) de cada jugador i. Al principio la oferta residual debe ser 0 para

todos los jugadores. En el momento en el que a un precio p′ la oferta residual si(p′)

de algun jugador es mayor que 0 se le venden a ese jugador si(p′) objetos a precio p′.

El precio sigue subiendo hasta que para algun jugador la oferta residual vuelva a ser

mayor que cero y se repite el procedimiento hasta que se venden todos los objetos.

De los ejemplos dados, podemos notar aquı que hay otro tipo de clasificacion

de subastas: las subastas en las que el comprador debe proponer un precio que

esta dispuesto a pagar dado el(los) objeto(s) que puede comprar y las subastas en

las que el comprador debe proponer la cantidad que esta dispuesto a comprar dado

un precio.


11

II-03(1)40

1.3.2.3. Relaciones entre multiples objetos

En la seccion anterior se ve que las relaciones entre objetos para un participante

pueden afectar su funcion de valoracion y por consiguiente el desarrollo de la subasta;

por ello, para las subastas de multiples objetos es fundamental que se suponga que los

objetos sean iguales y sustitutos entre ellos. Pero esta no es una condicion necesaria

en cualquier conjunto de objetos. Utilizando las definiciones de V. Krishna11 se

presentan a continuacion los tipos mas usuales de relaciones entre objetos.

Es importante notar que para estas definiciones se supone que las valoraciones

xi(B) de un conjunto cualquiera B de objetos son siempre positivas. Es decir que

xi(B) ≥ 0 para todo B ⊂ K. Ademas se asume xi(φ) = 0.

Bienes sustitutos

Las siguientes dos definiciones son equivalentes12 .

Definicion 1: Sea K un conjunto de k objetos no necesariamente iguales. Sea

xi(B) la valoracion del individuo i por cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean S y T

subconjuntos tales que S ⊂ T ⊂ K. Entonces los objetos del conjunto K son todos

sustitutos para el individuo i, si para todo elemento a ∈ K tal que a 6∈ T se cumple:

xi(S ∪ {a})− xi(S) ≥ xi(T ∪ {a})− xi(T ) (1)

Esta definicion se puede interpretar como una valoracion marginal decreciente de la

siguiente forma: para el individuo i el valor de obtener un objeto (a) de mas, si ya

tiene un conjunto (S), es mayor que el valor de obtenerlo si ya tiene un conjunto

(T ) que contiene a S.


xi(B) la valoracion del individuo i de cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean Q y R

subconjuntos de K. Entonces los objetos del conjunto K son todos sustitutos si se

cumple:


12

II-03(1)40

xi(Q) + xi(R) ≥ xi(Q ∪R) + xi(Q ∩R) (2)

Tenemos entonces, en particular, si R ∩Q = φ:

xi(Q) + xi(R) ≥ xi(Q ∪R)

Esta ultima representacion de la relacion de sustitucion es la mas comun, sobre todo

cuando Q y R son conjuntos de un solo objeto.

Bienes complementarios

Las siguientes definiciones tambien son equivalentes13 .


xi(B) la valoracion del individuo i de cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean S y T

subconjuntos tales que S ⊂ T ⊂ K. Entonces los objetos del conjunto K son todos

complementarios para el individuo i, si para todo elemento a ∈ K tal que a 6∈ T se

cumple:

xi(S ∪ {a})− xi(S) ≤ xi(T ∪ {a})− xi(T ) (3)


xi(B) la valoracion del individuo i de cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean Q y R

subconjuntos de K. Entonces los objetos del conjunto K son todos complementarios

si se cumple:

xi(Q) + xi(R) ≤ xi(Q ∪R) + xi(Q ∩R) (4)

Si tenemos un conjunto de objetos iguales estas definiciones se pueden reescribir.

Es importante notar que en este caso un conjunto queda determinado simplemente

por el numero de objetos que tiene. Ası la valoracion de i de un conjunto de j objetos

se escribira como xi(j) y j puede ser cualquier natural.


13

II-03(1)40

Bienes iguales sustitutos

Definicion 5: Sean k objetos iguales. Sea xi(j) la valoracion del individuo i de

j objetos. Sean s y t naturales tales que s < t < k y ademas los s objetos estan

contados dentro de los t objetos e igualmente los t objetos estan contados dentro de

los k objetos. Entonces los k objetos son todos sustitutos para el individuo i, si se

cumple:

xi(s + 1)− xi(s) ≥ xi(t + 1)− xi(t) (5)

El objeto extra no debe estar contado en los t objetos y por lo tanto tampoco

esta contado en los s objetos.


j objetos. Sean q y r naturales tales que dentro de los r y los q objetos se cuentan de

m objetos en comun y tanto los r como los s objetos estan contados en k. Entonces

los k objetos son todos sustitutos si se cumple:

xi(q) + xi(r) ≥ xi(q + r −m) + xi(m) (6)

Bienes iguales complementarios


j objetos. Sean s y t naturales tales que s < t < k y ademas los s objetos estan

contados dentro de los t objetos e igualmente los t objetos estan contados dentro de

los k objetos. Entonces los k objetos son todos complementarios para el individuo

i, si se cumple:

xi(s + 1)− xi(s) ≤ xi(t + 1)− xi(t) (7)

El objeto extra no debe estar contado en los t objetos y por lo tanto tampoco

esta contado en los s objetos.


j objetos. Sean q y r naturales tales que dentro de los r y los q objetos se cuentan de

m objetos en comun y tanto los r como los s objetos estan contados en k. Entonces

los k objetos son todos complementarios si se cumple:

14

II-03(1)40

xi(q) + xi(r) ≤ xi(q + r −m) + xi(m) (8)

1.3.2.4. Subasta para objetos heterogeneos.

Las subastas descritas en las secciones anteriores funcionan unicamente en am-

bientes de conjuntos de objetos sustitutos. Existe un mecanismo, o mejor, una su-

basta llamada VCG14 que funciona tambien en ambientes de multiples objetos

heterogeneos y con relaciones de sustitucion o de complementariedad. Esta subasta

se describira a continuacion.

Mecanismo o subasta VCG

El mecanismo VCG es en este caso equivalente a una subasta cerrada para multi-

ples objetos heterogeneos. Sea K un conjunto de k objetos heterogeneos. Cada indi-

viduo i tiene una valoracion xi(B) para todo subconjunto B ⊂ K. Se les pide a los

compradores que entreguen sus ofertas βi(B), de todos los subconjuntos B posibles

en K, al subastador. La subasta asigna los objetos de tal manera que se maximiza:

∑Bj⊂K

βi(Bj)

Sujeto a:

⋃j

Bj = K

⋂j

Bj = φ

Cuando βi = xi, llamamos∑

Bj⊂K βi(Bi) bienestar social. Se puede ver que la

regla de asignacion maximiza en este caso el bienestar social.

Ahora llamemos S(β) = [S1(β), S2(β), . . . , Sn(β)] al resultado de la maximizacion

anterior sujeta a que β = [β1, β2, . . . , βn] son las ofertas de los compradores. Ası lo

que tiene que pagar el comprador i es:

14Vickrey-Clarke-Grooves

15

II-03(1)40

µi =∑

j 6=i

βj(Sj(β))−∑

j

βj(Sj(0, β−i))

Donde∑

j βj(Sj(0, β−i)) es el valor del resultado de la maximizacion anterior

sin sumarle las asignaciones de i y∑

j 6=i βj(Sj(β) es el resultado de una nueva

maximizacion sin tener en cuenta las ofertas de i. De nuevo como en la subasta

Vickrey lo que tiene que pagar i es lo que perdieron los demas jugadores por la

participacion de i en la subasta. Esta subasta es eficiente y optima15 , conceptos

que se desarrollaran en la siguiente seccion.

Problemas del mecanismo VCG

El mecanismo descrito anteriormente es uno de los pocos desarrollados para la

venta de multiples objetos que no cumplen con relaciones de sustitucion. Teorica-

mente es eficiente y maximiza el ingreso del subastador con respecto a las subastas

eficientes. Estos conceptos se explicaran en detalle en la siguiente seccion.

Sin embargo esta subasta tambien tiene grandes problemas, entre estos:

Complicacion computacional: Se requiere hacer dos maximizaciones compli-

cadas para calcular el pago de cada jugador.

Complicacion conceptual: La regla de pago es difıcil de entender y si los

compradores no la entienden, se pierden inmediatamente las propiedades teoricas de

la subasta.

Rebeldıa de los compradores: Los compradores pueden ser reacios a dar

un numero tan grande de valoraciones, tantas como el numero de subconjuntos

de K es decir 2k y ademas pueden sentirse incomodos dando exactamente el dato

de su valoracion. Es posible que el subastador aproveche esta informacion para su

beneficio.

1.4. Criterios para la evaluacion de subastas

En el diseno de mecanismos, ası como en la teorıa de subastas, se pueden tener en

cuenta diferentes objetivos. Puede ser importante, por ejemplo, que un jugador en

15“Auction Theory”, V.Krishna, Capıtulo 16

16

II-03(1)40

general este inclinado a decir la verdad, de ahı sale en concepto de compatibilidad de

incentivos. O, por ejemplo, una subasta deberıa atraer a los potenciales participantes,

es decir, la utilidad esperada de un comprador cuando participa debe ser mayor o

igual que la de no participar o simplemente nadie participarıa en la subasta.

Los diferentes objetivos no siempre son alcanzables paralelamente, por lo que

hay que escoger en muchos casos cual de ellos es prioritario. En especıfico existe

un conflicto entre el objetivo de maximizacion de ganancia del subastador y el de

eficiencia, entendida como maximizacion de bienestar social o de los participantes.

A continuacion se explican los mas importantes objetivos para una subasta que

ademas sirven como criterios para la evaluacion de las mismas.

1.4.1. Racionalidad individual

Una subasta donde los pagos son tan altos que a los compradores les va mejor

si no participan no atraera a los posibles compradores. Por eso es indispensable

que en una subasta para un jugador i la utilidad en cualquier caso cumpla con

Ui(xi) ≥ 0, es decir que el jugador puede al menos asegurar una ganancia de 0,

ya que 0 es la utilidad de no jugar. Si una subasta cumple con eso se dice que es

racional individualmente.

1.4.2. Compatibilidad con incentivos

Otro criterio importante para evaluar una subasta es la compatibilidad de in-

centivos. En general en una subasta los compradores deben decir cuanto estan dis-

puestos a pagar por el objeto a subastar. Este mensaje βi tiene como cota maxima

la valoracion xi, si no puede que al comprador le toque pagar mas que su valoracion.

Pero el mensaje no es necesariamente igual a su valoracion. Si una subasta tiene por

objeto ser eficiente, es de suma importancia conocer las valoraciones. Si para cada

jugador i, decir la verdad, es decir βi = xi, es un equilibrio, entonces se dice que la

subasta tiene compatibilidad de incentivos.

Para escribir este concepto formalmente, sea µi(βi(xi), x−i) la probabilidad de

que a i le asignen un objeto dado que los demas dicen la verdad y el dice βi(xi). Sea

πi(βi(xi), x−i) el pago requerido al comprador i dado que los demas dicen la verdad

17

II-03(1)40

y el dice βi(xi).

Entonces la ganancia de i, dado que los demas dicen la verdad, es:

Ui(βi) = µi(βi(xi), x−i)× xi − πi(βi(xi), x−i)

Un mecanismo o una subasta tiene entonces compatibilidad de incentivos si:

Ui(xi) = µi(xi, x−i)× xi− πi(xi, x−i) ≥ Ui(βi) = µi(βi(xi), x−i)× xi− πi(βi(xi), x−i)

para todo xi y todo βi(xi).

1.4.3. Eficiencia

Aunque el objetivo de maximizar la ganancia del subastador parece el mas natu-

ral e importante no es necesariamente ası. En muchos casos las subastas, sobre todo

si son de bienes publicos, tienen un objetivo muy diferente. Se trata de asignarle los

objetos a los compradores que mas los valoren, lo cual supone que los objetos iran

a quienes mejor uso haran de ellos. Si en un equilibrio una subasta cumple con este

objetivo se dice que es eficiente.

Ası, si se tiene que πi es lo que se le asigna al individuo i, el objetivo de este tipo de

subastas es maximizar∑n

i=1 πixi. La cantidad∑n

i=1 πixi es llamada beneficio social

y el objetivo de esta subasta es entonces maximizar el beneficio social. Este beneficio

de nuevo vemos que depende de las variables aleatorias llamadas valoraciones, por

lo que tenemos realmente como objetivo la maximizacion de un valor esperado sobre

todas las valoraciones posibles.

Este objetivo es muy difıcil de lograr sin saber la valoracion de cada comprador.

No es posible asignarle el bien al que mas lo valora si no se tiene esta informacion,

por eso resulta importante la caracterıstica de compatibilidad de incentivos.

1.4.4. Maximizacion de la ganancia de subastador

En muchos casos las subastas buscan simplemente vender el bien al mas alto

precio posible, es decir maximizar la ganancia del subastador. Esto ocurre general-

mente en subastas privadas, donde no es de importancia como queda asignado el

18

II-03(1)40

bien subastado.

Si lo que paga el comprador i es µi, entonces el objetivo de una subasta de

este estilo es maximizar el∑n

i=1 µi, es decir maximizar la ganancia del subastador.

Como el resultado de la subasta depende de las acciones de los compradores, que a

su vez dependen de sus valoraciones xi de los objetos que son variables aleatorias. El

problema es realmente entonces el de maximizacion del valor esperado de la ganancia

del subastador sobre todas las posibles valoraciones. Si la subasta tiene un equilibrio

en el que se maximiza esta funcion, entonces la subasta maximiza la ganancia del

subastador.

1.4.5. Optimalidad

Un mecanismo o subasta eficiente es optima si ademas de maximizar el bienestar

social tambien maximiza la ganancia del subastador sin perder la eficiencia 16 .

16“Auction Theory”, V.Krishna, Capıtulo 5

19

II-03(1)40

Capıtulo II

DEFINICION DE UN AMBIENTE

Como se puede ver en el capıtulo anterior, en las subastas de multiples obje-

tos juega un papel muy importante la relacion entre los objetos. Esta relacion es

determinada por las valoraciones o determina las valoraciones dependiendo de la

perspectiva que se quiera tomar.

A continuacion se profundiza en el estudio de las definiciones dadas para objetos

sustitutos y complementarios. El objeto de este estudio es definir un ambiente para

el diseno de una subasta de multiples objetos eliminando el supuesto de sustitucion

entre todos los objetos y los problemas del mecanismo VCG.

2.1. Conteo de las desigualdades necesarias para

especificar las relaciones en un conjunto de

objetos segun las definiciones

Para definir un ambiente en el que los objetos las relaciones entre los objetos

son homogeneas se utilizaron las definiciones 1,2,5 y 6 para conjuntos de objetos

totalmente sustitutos o complementarios. Lo primero que se hizo fue contar cuantas

desigualdades, segun cada definicion, eran necesarias para definir del todo las rela-

ciones dentro de un conjunto, si las relaciones entre los objetos no son homogeneas.

2.1.1. Conjuntos de objetos diferentes

Primero empezamos contando las desigualdades necesarias para determinar las

relaciones en un conjunto de objetos heterogeneos cuando las relaciones de sustitu-

cion y complementariendad coexisten entre ellos.

20

II-03(1)40

2.1.1.1. Conteo: Definicion 1 y 3

Utilizando las definiciones 1 y 3 de la seccion 1.3.2.3. las desigualdades necesarias

para describir en su totalidad las relaciones en un conjunto de k objetos heterogeneos

se determinan con la siguiente formula.

Formula General

k ×k−1∑i=2

(k − 1

i

)(2i − 2)

Derivacion de la Formula

k corresponde a la cantidad de objetos que se pueden incluir; en la definicion

son los posibles {a}.(

k − 1

i

)corresponde a la cantidad de subconjuntos de tamano i que hay

en el conjunto sin un objeto, es decir todos los T posibles en la definicion.

(2i− 2) corresponde a la cantidad de subconjuntos de un conjunto de tamano

i sin contar ni vacıo ni el total, es decir son todos los S posibles.

∑k−1i=2 es la suma sobre todos los tamanos de conjunto T posibles, empieza en

2 porque, si no, no hay S posibles y va hasta k−1 porque hay que dejar a {a}por fuera.

Ejemplo

|K| = k = 3 y K = {a, b, c} objetos diferentes.

k ×k−1∑i=2

(k − 1

i

)(2i − 2) = 3×

2∑i=2

(2

i

)(2i − 2)

= 3×(

2

2

)(22 − 2)

= 3× 1× 2

= 6.

21

II-03(1)40

{a} T Sa {b,c} {b,c}a {b,c} cb {a,c} ab {a,c} cc {a,b} ac {a,b} b

Tabla 1: Definicion 1 - Objetos diferentes

Esto corresponde a las siguientes desigualdades:

xi({b} ∪ {a})− xi({b}) ? xi({b, c} ∪ {a})− xi({b, c})xi({c} ∪ {a})− xi({c}) ? xi({b, c} ∪ {a})− xi({b, c})xi({a} ∪ {b})− xi({a}) ? xi({a, c} ∪ {b})− xi({a, c})xi({c} ∪ {b})− xi({c}) ? xi({a, c} ∪ {b})− xi({a, c})xi({a} ∪ {c})− xi({a}) ? xi({a, b} ∪ {c})− xi({a, b})xi({b} ∪ {c})− xi({b}) ? xi({a, b} ∪ {c})− xi({a, b})Como se puede observar son 6 y no importa si los bienes son sustitutos o com-

plementarios en el conteo por lo que se reemplaza la desigualdad por un ”?”.


Utilizando las definiciones 2 y 4 de la seccion 1.3.2.3., se determina el numero de

desigualdades necesarias para describir en su totalidad las relaciones en un conjunto

de k objetos heterogeneos.

Formula General(2k − 2)2 + (2k − 2)

2


(2k − 2) corresponde a la cantidad de subconjuntos que hay en K, es decir la

cantidad de Res y Qes sin contar K ni {φ}.

()2 da todas las combinaciones posibles de Res y de Qes.

÷2 es la division necesaria porque cada posible par de subconjuntos esta con-

tada dos veces, menos en las que Q = R.

22

II-03(1)40

+(2k− 2) es la cantidad de pares en los que Q = R y estos no estan repetidos,

por lo que es necesario sumarlos, para despues dividir.

Ejemplo


(2k − 2)2 + (2k − 2)

2=

(23 − 2)2 + (23 − 2)

2

=(8− 2)2 + (8− 2)

2

=(6)2 + (6)

2

=36 + (6)

2

=42

2= 21.


Q y R {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c}{a} {a}+{a} {b}+{a} {c}+{a} {a,b}+{a} {a,c}+{a} {b,c}+{a}{b} {b}+{b} {c}+{b} {a,b}+{b} {a,c}+{b} {b,c}+{b}{c} {c}+{c} {a,b}+{c} {a,c}+{c} {b,c}+{c}{a,b} {a,b}+{a,b} {a,c}+{a,b} {b,c}+{a,b}{a,c} {a,c}+{a,c} {b,c}+{a,c}{b,c} {b,c}+{b,c}

Tabla 2: Definicion 2 - Objetos diferentes

Como se puede ver en la diagonal se encuentran las (23 − 2) = 6 parejas de

subconjuntos iguales y en total son 21 desigualdades.

Se va a ilustrar con un ejemplo donde Q = {a, b} y R = {a, c}:

xi({a, b}) + xi({a, c})?xi({a, b} ∪ {a, c}) + xi({a, b} ∩ {a, c})

que es igual a:

xi({a, b}) + xi({a, c})?xi({a, b, c}) + xi({a})

23

II-03(1)40

En esta caso tambien se reemplaza el signo de desigualdad por una interrogacion

ya que puede ser cualquiera de los dos existentes.

2.1.1.3. Conteo: Definicion 2 o 4, para conjuntos disyuntos

Es interesante dentro de la Definicion 2 ver el caso en el que R y S son conjuntos

disyuntos, ya que podrıa ser que en algunos casos solo especificando este tipo de

relacion se logre definir el conjunto en su totalidad.

Se cuenta ahora la cantidad de desigualdades necesaria en la definicion de un

ambiente si solo se toman dos conjuntos R y Q disyuntos.

Formula General

∑ki=1

(k

i

)∑k−i

j=1

(k − i

j

)

2


∑ki=1

(k

i

)corresponde a la cantidad de subconjuntos que hay en K, es decir

la cantidad de Res.

∑k−ij=1

(k − i

j

)corresponde a la cantidad de subconjuntos disyuntos de R

que hay en K por cada R, es decir la Qes posibles.

÷2 es la division necesaria porque cada posible par de subconjuntos esta con-

tada dos veces.

24

II-03(1)40

Ejemplo


∑ki=1

(k

i

)∑k−i

j=1

(k − i

j

)

2=

∑3i=1

(3

i

)∑3−i

j=1

(3− i

j

)

2

=

(3

1

)×

((2

1

)+

(2

2

))+

(3

2

)×

(1

1

)

2

=(3× (2 + 1)) + (3)× (1))

2

=(3× (2 + 1)) + (3)× (1))

2= 6.


Q y R {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c}{a} {b}+{a} {c}+{a} {b,c}+{a}{b} {c}+{b} {a,c}+{b}{c} {a,b}+{c}{a,b}{a,c}{b,c}

Tabla 3: Definicion 2 - Objetos diferentes - Conjuntos Disyuntos

xi({b}) + xi({a})?xi({b, a})xi({a}) + xi({c})?xi({a, c})xi({c}) + xi({b})?xi({c, b})

xi({b, c}) + xi({a})?xi({b, c, a})xi({a, c}) + xi({b})?xi({a, c, b})xi({a, b}) + xi({c})?xi({a, b, c})

Como se puede ver son 6 y de nuevo no importa el sentido de la desigualdad por

lo que es reemplazada con un signo de interrogacion.

25

II-03(1)40

2.1.2. Objetos iguales

Se puede observar que si el numero de objetos k crece, la cantidad de desigual-

dades necesarias se hace rapidamente difıcil de manejar. Con la motivacion de hacer

este problema manejable se analiza ahora el caso en el que todos los objetos del

conjunto K son iguales limitando ası el ambiente a definir. Se puede hablar en este

caso simplemente de k objetos.

En muchos contextos el hecho de que los objetos sean iguales los hace inmedia-

tamente sustitutos. Es decir, si ya se almorzo se desea menos un siguiente almuerzo

y menos aun un tercero.

Pero esto no es necesariamente cierto en todos los conjuntos de objetos iguales.

Por ejemplo, en un conjunto de medias es claro que se prefieren 2 a 1, en una vajilla

el ideal es tener un numero dado de puestos, que en general va a ser mayor que uno

(4, 8 o 12), en un colegio se necesita cierto numero de sillas para llenar un salon de

clase y cierto numero de tableros para cubrir con las necesidades de la institucion,

y por ultimo el caso de un filatelista que quiere tener todas las estampillas de cierto

motivo, cuando se va acercando a completar su coleccion, cada una puede valer mas

que la anterior. Situaciones en las cuales se presentan complementariedades entre

bienes identicos, que dependen de la cantidad se analizan a continuacion.


Se empieza contando la cantidad de desigualdades segun las definiciones 5 y 6

de la seccion 1.3.2.3. necesarias para definir un ambiente.

Formula General

k−1∑i=1

i =k × (k − 1)

2


∑k−1i=1 i como solo hay un tipo de objeto para agregar y solo hay un subconjunto

de cada tamano, se suma sobre todos los naturales menores a k, es decir, todos

los t posibles, de todos los s posibles tales que s ≤ t.

26

II-03(1)40

Es interesante notar que para este caso es muy facil representar todas estas

desigualdades en forma de vector de la siguiente manera:

(xi(1)− xi(1), xi(2)− xi(1), ..., xi(k)− xi(k − 1)),

donde, una vez dados los elementos del vector, quedan especificadas todas las rela-

ciones necesarias para caracterizar el conjunto de objetos.

Ejemplo

k = 3

k−1∑i=1

i =3−1∑i=1

i

= 1 + 2

= 3.


xi(1)− xi(1) ? xi(2)− xi(1)

xi(2)− xi(1) ? xi(3)− xi(2)

xi(1)− xi(1) ? xi(3)− xi(2)

Como se puede observar son 3 y si se da el vector:

(xi(1)− xi(1), xi(2)− xi(1), xi(3)− xi(2))

quedan totalmente determinadas.


La cantidad de desigualdades necesaria segun la definicion 6 y 8 de la seccion

1.3.2.3. se determina a continuacion.

Formula General

∑ki=1

∑kj=1

∑mın(i,j)l=max(0,i+j−k) 1 +

∑kt=1

∑tl=max(0,2t−k) 1

2


∑ki=1 1 es la suma sobre todos q posibles.

27

II-03(1)40

∑kj=1 1 es la suma sobre todos r posibles.

∑mın(i,j)l=max(0,i+j−k) 1 corresponde a la cantidad de m o objetos en comun que

pueden tener los r y los s objetos, es decir, las diferente ms.

Se divide por 2 porque la suma se hace dos veces.

∑kt=1

∑tl=max(0,2t−k) 1 se incluye porque los unicos casos que no se suman dos

veces son los que r = q es decir Q = R.

Ejemplo

k = 3

∑ki=1

∑kj=1

∑mın(i,j)l=max(0,i+j−3) 1 +

∑kt=1

∑tl=max(0,2t−3) 1

2

=

∑3i=1

∑3j=1


∑3t=1

∑tl=max(0,2t−3) 1

2

=

∑3i=1

∑3j=1


∑3t=1

∑tl=max(0,2t−3) 1

2

=(18)

2= 9.

Esto corresponde a la siguientes desigualdad:

xi(q) + xi(r) ≥ xi(r + q −m) + xi(m)

Donde q, r y m son los que se muestran en la tabla 4 y solo existen los casos

donde aparece un si. La cantidad de desigualdades es 9.

m y (q, r) (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)0 si si1 si si si si2 si si3 si

Tabla 4: Definicion 6 - Objetos iguales

28

II-03(1)40

2.1.2.3. Conteo: Definicion 6 y 8, para conjuntos disyuntos

De nuevo es interesante ver el caso en el que los subconjuntos son disyuntos.

Se hace el ejercicio segun las definiciones 6 y 8 pero en el caso en el que los r y

los s objetos no tienen objetos en comun, es decir, m = 0.

Formula General

No se encontro una formula general sino que se parte en dos casos: k = par y

k = impar.

Cuando k es impar ∑k−1i=1

(∑k−ij=1 1

)+ k−1

2

2

Cuando k es par ∑k−1i=1

(∑k−ij=1 1

)+ k

2

2


∑k−1i=1

(∑k−ij=1 1

)es la suma sobre todos los q posibles menores que k.

Se divide por 2 porque cada pareja se suma dos veces.

k−12

o k2

corresponde a las desigualdades donde r = q. En la suma anterior

todas las combinaciones estan dos veces salvo en las que se suman la misma

cantidad de objetos. Para poder dividir en dos hay que sumarlas una vez mas.

Ejemplo

k = 3

∑k−1i=1

(∑k−ij=1 1

)+ k−1

2

2=

∑3−1i=1

(∑3−ij=1 1

)+ 3−1

2

2

=(1 + 1) + (1) + 1

2= 2.

29

II-03(1)40


x1(1)− xi(1) ? xi(2)

x1(1)− xi(2) ? xi(3)

Se puede notar que como son disyuntos el ultimo termino de la definicion de-

saparece, y el signo de interrogacion se puede reemplazar por cualquier signo de

desigualdad.

2.1.3. Comparacion

Ahora se veran algunos ejemplos de los resultados anteriores para diferentes

tamanos de conjuntos de objetos (k), para comparar la cantidad de desigualdades y

escoger un ambiente de estudio para la subasta.

k 3 5 10DEF 1 o 3 6 250 186600DEF 2 o 4 21 465 522753

DEF 2 o 4 (dis) 6 90 28501DEF 5 o 7 3 10 45DEF 6 o 8 9 28 150

DEF 6 o 8 (dis) 2 12 25

Tabla 5: Resultados de las formulas de conteo

La cantidad de desigualdades necesarias en cada definicion para especificar un

ambientes se encuentran tabuladas. Los casos de conjuntos disyuntos se descartan

porque no permiten la descripcion total de un ambiente. Por otro lado a medida que

k crece, en las Definiciones 5 y 7, que corresponden al caso en el que los objetos son

iguales, el numero de desigualdades necesario no crece tan rapido. Adicionalmente en

este caso las relaciones quedan definidas en su totalidad usando con las valoraciones

marginales. Por lo anterior se continuara el estudio para un ambiente de objetos

iguales y con las Definiciones 5 o 7.

30

II-03(1)40

2.2. Analisis de las curvas de demanda en con-

juntos de objetos iguales segun las defini-

ciones estudiadas

A continuacion se proponen posibles formas de demanda de un participante para

un conjunto de objetos iguales, pero que no necesariamente sean sustitutos entre sı.

Se tiene entonces un conjunto de k objetos iguales, tal que para cualquier natural

j ≤ k y cualquier l ≤ k, j objetos no se pueden diferenciar de l objetos si j = l. Sea

xi(j) la valoracion de el participante i por j objetos.

Entonces las relaciones entre los k objetos para el individuo i quedan totalmente

descritas con el siguiente vector:

(xi(1)− xi(0), xi(2)− xi(1), ..., xi(k)− xi(k − 1)),

el cual permite encontrar todas las desigualdades necesarias, definidas ası:

xi(s + 1)− xi(s) ≥ xi(t + 1)− xi(t),

para cualquier s ≤ t ∈ {1, 2, . . . , k}, que corresponde a la Definicion 5 o 7 de la

seccion 1.3.2.3.

Como cualquier tipo de relacion entre los objetos se puede describir con el vector

anterior, a continuacion se proponen cuatro formas posibles del mismo. Los casos se

encuentran ilustrados en las figuras 1, 2, 3 y 4, en donde en el eje x se encuentra q

y en el eje y se encuentra xi(q)− xi(q − 1) = vi(q), el cual corresponde al vector de

valoraciones marginales o el valor del q-esimo objeto.

1. Sustitutos En general se asume que este es el caso mas comun para bienes

iguales. Si ya se tiene uno, el siguiente tiene menor valor y ası sucesivamente. Por

ejemplo un cafe a la hora de las onces o un sofa para la sala de la casa.

2. Complementarios En este caso entre mas objetos se tengan mas vale el

siguiente. Por ejemplo, un coleccionista (de calcomanıas o de estampillas) cuando se

acerca a completar su coleccion.

3. Cuspide Este caso representa la situacion cuando el participante solo quiere

quiere un numero determinado de objetos. Por ejemplo, si un colegio quiere llenar un

31

II-03(1)40

Figura 1: Ejemplo de Sustitutos

salon con cierto numero de sillas o una ama de casa desea cierto numero de puestos

de una vajilla.

4. Valle Este es el caso donde el participante solo quiere pocos o muchos objetos,

pero no un numero medio. Es un caso difıcil de encontrar en la vida real.

Ahora se consideraran los dos tipos de subastas mencionados en el marco teorico.

El primero corresponde a subastas en las que el subastador va fijando el precio y los

compradores responden la cantidad que estarıan dispuestos a comprar a ese precio,

y el segundo a subastas en las que el subastador dice la cantidad y los compradores

responden el precio al que comprarıan dada cantidad, y se quiere contestar las pre-

guntas. Se quieren responder las preguntas: ¿A que precio se comprarıa cierta

cantidad de objetos? y ¿cuantas unidades se comprarıan a cada precio?,

para cada tipo de relacion encontrado (Sustitutos, Complementos, Cuspide y Valle)

entre los objetos, y entender el comportamiento de cada tipo de comprador en estos

dos tipos de subasta.

Si la curva de demanda individual (para i) es de la forma qi(p)la curva de de-

manda inversa es de la forma pi(q), donde q es la cantidad y p es el precio o valor

unitario. Estas dos curvas responden a las preguntas anteriores. Por otro lado, el

vector de valoraciones marginales es similar a la curva de demanda inversa, solo que

32

II-03(1)40

Figura 2: Ejemplo de Complementarios

en lugar de responder a la pregunta de cual es el precio unitario que i esta dispuesto

a pagar por q unidades, responde la pregunta de cual es el precio que i esta dispuesto

a pagar por la q-esima unidad.

Para determinar la demanda inversa pi(q) se calcula primero la demanda inversa

total PTi(q) del individuo i por q objetos, de la siguiente manera:

PTi(q) =

q∑j=1

vi(j) =

q∑j=1

xi(j)− xi(j − 1) = xi(q)

En donde

~vi = (vi(1), vi(2), . . . , vi(k)) es el vector de las valoraciones marginales para el indi-

viduo i, tal que vi(q) = xi(q) − xi(q − 1). Se puede observar que este es el vector

utilizado en las graficas anteriores.

Como es de esperar, el precio total que i pagarıa por q unidades coincide con

la valoracion de q unidades. Las graficas de PTi(q) = xi(q) para todos los casos se

observan en las figuras 5 a 8.

33

II-03(1)40

Figura 3: Ejemplo de Cuspide

Figura 4: Ejemplo de Valle

34

II-03(1)40

Figura 5: Precio total - Sustitutos

Figura 6: Precio total - Complementos

35

II-03(1)40

Figura 7: Precio total - Cuspide

Figura 8: Precio total - Valle

36

II-03(1)40

Entonces, conociendo la demanda inversa total o precio total, se puede calcular

la demanda inversa pi(q), es decir, el precio unitario al cual se compran q unidades,

ası:

pi(q) =

∑qj=1 vi(j)

q=

xi(q)

q

Esta cantidad se encuentra graficada en las figuras 9 a 12.

Figura 9: Demanda inversa - Sustitutos

Como ya se determino cual es el precio que se pagarıa por cierta cantidad, ahora

se quiere averiguar cuantas unidades estarıa dispuesto a comprar el individuo i a un

precio p. Esto, como se observa, corresponde a la curva de la demanda individual, que

es la funcion inversa de pi(q); pero, como se puede ver en las graficas, esta funcion

no es invertible en todos los casos. Lo que sı se puede contestar en la mayorıa de los

casos es cual es la cantidad maxima pi(p) y cual es la cantidad mınima pi(p) que un

individuo esta dispuesto a comprar a un precio p.

Contestando estas preguntas se hacen las graficas que se encuentran en las figuras

13 a 18. El unico caso en el que no hay una respuesta clara es el caso 4, “Valle”.

Adicionalmente este es un caso difıcil de encontrar en la practica.

37

II-03(1)40

Figura 10: Demanda inversa - Complementarios

Se puede observar que mientras los bienes son sustitutos el mınimo es uno y

mientras que son complementarios el maximo es k (que en este caso es 10). Tambien

se observa que el mınimo es menor o igual que el maximo, es decir qi(p) ≤ qi(p),

mientras que q no este por encima del maximo de unidades que demanda i, y si q es

mayor al maximo demandado por i tanto el mınimo como el maximo caen a 0. Por

ultimo, tambien se observa que el maximo es una funcion decreciente en el precio y

el mınimo es una funcion creciente.

38

II-03(1)40

Figura 11: Demanda inversa - Cuspide

Figura 12: Demanda inversa - Valle

39

II-03(1)40

Figura 13: Maximo - Sustitutos

Figura 14: Maximo - Complementarios

40

II-03(1)40

Figura 15: Maximo - Cuspide

Figura 16: Mınimo - Sustitutos

41

II-03(1)40

Figura 17: Mınimo - Complementarios

Figura 18: Mınimo - Cuspide

42

II-03(1)40

Capıtulo III

SUBASTA PARA MULTIPLES OBJETOS

IGUALES NO NECESARIAMENTE

SUSTITUTOS

Con base en los analisis anteriores se diseno una subasta para multiples objetos

en un ambiente de objetos iguales que no son necesariamente sustitutos. Esta subasta

esta basada en la subasta de Ausubel para multiples objetos sustitutos, pero funciona

en un ambiente en el que los objetos no son necesariamente sustitutos. La subasta

propuesta se describe formalmente a continuacion.

3.1. Modelo formal

Sean k objetos iguales a subastar y sea N = {1, 2, . . . , n}, el conjunto de los

jugadores. Se recuerda que las valoraciones son independientes y los objetos indivi-

sibles.

La subasta se modela como un juego en tiempo continuo. Es importante notar

que varios jugadores pueden hacer una jugada en el mismo instante t del tiempo.

El precio es una funcion creciente en el tiempo, definida por el subastador. La

subasta empieza en un precio de reserva po y puede ser por ejemplo p(t) = po+t. Los

jugadores deben decir, para cada precio, la cantidad mınima y maxima de objetos

que estarıan dispuestos a comprar a ese precio.

Una historia h esta dada entonces por un vector:

h = {(po, qo, qo), (p1, q1, q1), . . . , (pl, ql, q1), . . .}

43

II-03(1)40

Junto con el precio actual p(t). Aquı se tiene que para todo l ≥ 0, pl es el

precio en la l-esima ocasion que uno o mas jugadores hicieron un cambio en las

cantidades demandadas, ql es el vector de cantidades mınimas demandadas de todos

los jugadores para el precio pl y ql es el vector de cantidades maximas demandadas

por todos los jugadores para el precio pl.

Para mayor claridad:

ql = {ql

1, ql

2, . . . , ql

n}

ql = {ql1, q

l2, . . . , q

ln}

Donde para el jugador i, qlies la mınima cantidad que el demanda y ql

i es la maxima

cantidad que demanda a precio pl.

Notese que qli≤ ql

i para todo i y todo l, y ademas qli es una funcion decreciente

en el precio.

La subasta tiene el requerimiento de que cualquier cantidad entre qli

y qli debe

ser valorada por i a un precio mayor o igual que pl. Se puede ver que esto es algo

que cumplen los objetos tanto totalmente sustitutos como totalmente complemen-

tarios, ası como los que se comportan como cuspide. Sin embargo, en algunos casos,

aunque los objetos no se comportan de ninguna de estas maneras la subasta sigue

funcionando ya que el requerimiento se sigue cumpliendo.

Definimos la oferta residual sli para el individuo i en el momento l como:

sli = max{k −

∑

∀j 6=i

qlj, 0}

Ahora definimos wli, que es la cantidad de objetos que i asegura obtener en el

momento l, como:

wli =

qli −W l−1

i si sli ≥ ql

i

sli −W l−1

i si qli≤ sl

i ≤ qli

0 de lo contrario

Donde W li =

∑lf=1 wf

i

La subasta se acaba cuando:n∑

i=1

WLi ≥ k

44

II-03(1)40

yn∑

i=1

WL−1i < k

Entonces si la subasta se acaba en el momento L con historia terminal:

h = {(po, qo, qo), (p1, q1, q1), . . . , (pL, qL, qL)}

La subasta queda definida de la siguiente forma, para cada individuo i:

Regla de asignacion:

πi = WLi

Regla de pago:

µi =L∑

l=0

pl × wli

En el caso en el que∑n

i=1 WLi 6= k las ultimas k−∑n

i=1 WL−1i unidades se asignan

de la siguiente manera: sea δ = k −∑ni=1 WL−1

i ; primero se cubren los qLi

con las δ

unidades; si no se pueden cubrir todos se intenta cubrir la mayor parte o la mayor

cantidad de participantes; las unidades restantes se asignan aleatoriamente entre

los participantes que no han alcanzado su maximo. Se puede escoger algun criterio

para darle mayor probabilidad de ganar por ejemplo a los jugadores cuyo mınimo

ya habıa sido alcanzado y no recibieron nada en esta ronda. El precio a pagar por

estas unidades es pL.

3.2. Ejemplo de ilustracion

Se tienen k = 10 objetos iguales a subastar y un conjunto N = {1, 2, 3} de n = 3

participantes. El maximo de objetos que puede obtener cada jugador es 5. Esto con

el objetivo de no complicar demasiado el ejemplo. El precio unitario pi(q) que el

jugador i esta dispuesto a pagar por q objetos se encuentra tabulado en la tabla 6.

Tambien se muestra la matriz de precios totales o valoraciones en la tabla 7.

Estos valores se escogieron para una buena ilustracion de la subasta. El primer

jugador tiene un comportamiento o, lo que es equivalente, los objetos tienen para el

45

II-03(1)40

q 1 2 3 4 5p1(q) 5 15 20 30 30p2(q) 35 31 22 20 20p3(q) 10 15 20 18 18

Tabla 6: Ejemplo de ilustracion - Demanda inversa

q 1 2 3 4 5PT1(q) 5 30 60 120 150PT2(q) 35 62 66 80 100PT3(q) 10 30 60 72 90

Tabla 7: Ejemplo de ilustracion - Precio total

una relacion aproximadamente de complementariedad; para el segundo participante

los objetos son aproximadamente sustitutos; el tercero tiene un comportamiento

cercano al de cuspide. En el apendice A se encuentra un ejemplo en el que se parte

de las valoraciones marginales para describir el comportamiento de cada jugador en

las subasta y se muestra paso a paso la subasta. En este ejemplo simplemente se

supone que sus valoraciones estan dadas y el foco esta en ilustrar el funcionamiento

de la subasta.

Se les permite a los jugadores tener valoraciones marginales no decrecientes y

ademas estas pueden ser asimetricas. Se observa que mas alla de q = 5 no hay

informacion, ya que este es el lımite de adquisicion para cada jugador.

p0 = 1 l = 0i ql

iql

i sli wl

i W li

1 1 5 0 0 02 1 5 0 0 03 1 5 0 0 0

Agregados 3 15 0 0 0

Tabla 8: Ejemplo de ilustracion - l = 0

Ahora si se desarrolla la subasta paso a paso.

La subasta empieza en el precio de reserva po = 1, como se observa tanto el

46

II-03(1)40

p1 = 5 l = 1i ql

iql

i sli wl

i W li

1 2 5 0 0 02 1 5 0 0 03 1 5 0 0 0



p2 = 10 l = 2i ql

iql

i sli wl

i W li

1 2 5 0 0 02 1 5 0 0 03 2 5 0 0 0



mınimo como el maximo de todos es igual, el mınimo de todos es 1 y el maximo

es 5, cantidad maxima posible. Se asume que los jugadores dicen la verdad o

ofrecen segun sus valoraciones, como vemos en la tabla 8.

En un precio de 5 el jugador 1 sube su demanda mınima a 2 objetos. Las

demandas residuales son 0 y no ocurre ningun aseguramiento. Esto se puede

observar en la tabla 9.

Como vemos en la tabla 10 el siguiente precio donde hay un cambio es en 10,

donde el jugador 3 sube tambien su mınimo a 2 objetos.

Cuando el precio llega a 15 tanto el jugador 1 como el jugador 2 suben su

demanda mınima a 3 objetos. Las demanda residuales siguen siendo 0 ya que

el maximo no ha cambiado. Esto se puede observar en la tabla 11.

Como muestra la tabla 12, el proximo cambio ocurre en un precio de 18.

Aquı el jugador 3 baja su demanda maxima a 3 objetos. Este cambio afecta

las demandas residuales y se le asignan 2 unidades al jugador 2 ya que esta

cantidad se encuentra entre su maximo y su mınimo demandado.

47

II-03(1)40

p3 = 15 l = 3i ql

iql

i sli wl

i W li

1 3 5 0 0 02 1 5 0 0 03 3 5 0 0 0



p4 = 18 l = 4i ql

iql

i sli wl

i W li

1 3 5 2 0 02 1 5 2 2 23 3 3 0 0 0



Ahora el cambio ocurre en un precio de 20 donde la demanda maxima de

2 baja tambien a 3 objetos y ademas el mınimo del jugador 1 suba a 4. Al

jugador 1 se le asignan 4 objetos, pero al jugador 3 no se le asigna ninguno

ya que su Mınimo es menor que la demanda residual, lo cual se ilustra en la

tabla 13.

El ultimo cambio ocurre en un precio de 22, donde el maximo del jugador 2

baja a 2 y la demanda residual del jugador 3 ya es suficiente para quedar arriba

de sı mınimo. Ası se le asignan 3 objetos al jugador 3. Ademas al jugador 1 se

le asegura una unidad mas, como se puede ver en la tabla 14.

Ası, se tiene que la subasta acaba en p6 = 22 porque∑n

i=1 W 6i = 10, es decir, a

la cantidad de objetos disponibles.

Es importante notar que la demanda por parte de los compradores no se debe

reducir teniendo en cuenta los objetos asegurados.

La regla de asignacion es la siguiente:

π1 = W 61 = 5

π2 = W 62 = 2

48

II-03(1)40

p5 = 20 l = 5i ql

iql

i sli wl

i W li

1 4 5 4 4 42 1 3 2 0 23 3 3 2 0 0



p6 = 22 l = 6i ql

iql

i sli wl

i W li

1 4 5 5 1 52 1 2 2 0 23 3 3 3 3 3



π3 = W 63 = 3


µ1 =6∑

l=0

pl × wl1 = p5 × w5

1 + p6 × w61 = 20× 4 + 22× 1 = 102

µ2 =6∑

l=0

pl × wl2 = p4 × w4

2 = 18× 2 = 36

µ3 =6∑

l=0

pl × wl3 = p6 × w6

3 = 22× 3 = 66

Ahora se va a ilustrar el caso en el que al final no se logra el resultado∑n

i=1 WLi =

k. Se supondra que la cantidad de objetos a subastar es k = 5 y que n = 3 cada uno

con un maximo de cinco unidades obtenibles.

Se llega a la ronda L− 1 como se muestra en la tabla 15. En el siguiente cambio,

L ocurre lo que se muestra en la tabla 16.

Como se puede observar, aquı acaba la subasta porque∑n

i=1 WLi = 10, que es

mayor que 5. Por lo que lo primero que se hace es asignarle a cada quien su mınimo.

Al jugador 1 se le asignan 2 objetos y al jugador 1 ninguno, ya que su mınimo es 1.

49

II-03(1)40

pL−1 = 20 l = L− 1i ql

iql

i sli wl

i W li

1 2 5 1 0 02 1 5 1 1 13 4 4 0 0 0


Tabla 15: Ejemplo de ilustracion - Final alterno - l = L− 1

pL = 25 l = Li ql

iql

i sli wl

i W li

1 2 5 5 5 52 1 5 5 4 53 0 0 0 0 0


Tabla 16: Ejemplo de ilustracion - Final alterno - l = L

Ahora quedan 2 objetos por asignar. Se rifan entre los dos y se puede suponer que

se los gano 2.

Ası la regla de asignacion es:

π1 = qL

2

π2 = WL−12 + 2

π3 = 0

El jugador 3 no entra en la asignacion porque en la ronda L no recibio nada.


µ1 = 2× 25 = 50

µ2 = 1× 20 + 2× 25 = 70

µ3 = 0

50

II-03(1)40

Capıtulo IV

EVALUACION DE LA SUBASTA PROPUESTA

En esta seccion, a diferencia del ejemplo de ilustracion, se supone que los men-

sajes entregados por cada comprador no son iguales a los verdaderos maximos y

mınimos de cada jugador.

Ademas, este analisis se hara con base en la suposicion de que la funcion de

demanda inversa pi(q) de cada jugador es convexa. Es decir, que el comprador i

esta dispuesto a pagar p× qi para cualquier qi que cumpla con qi(p) ≤ qi ≤ qi(p) y

obtiene una ganancia positiva.

A continuacion se presenta una grafica de ejemplo de una funcion inversa de

demanda de este estilo.

Figura 19: Ejemplo de demanda inversa convexa

Esta restriccion la cumplen tanto los bienes sustitutos como los complementarios

y ademas los llamados en este documento bienes tipo cuspide. Sin embargo un bien

51

II-03(1)40

que no pertenece a ninguno de estos tipos tambien podrıa tener una funcion de

demanda inversa de este tipo.

A continuacion vamos a evaluar la subasta propuesta bajo los criterios mas im-

portantes para la evaluacion de subastas.

4.1. Racionalidad individual

Una subasta es individualmente racional cuando Ui(xi) ≥ 0∀i y xi. Para esta

subasta la utilidad de cada jugador i es la suma de las utilidades aseguradas en cada

momento l de la historia final. Ası, recordando que xi = [xi(1), xi(2), . . . , xi(k)], se

tiene:

Ui(xi) =∑

U li (xi)

,

para cada jugador i. Ası si U li ≥ 0 para todo l, se tiene que la subasta es

individualmente racional, ya que la suma tambien es mayor que 0.

Se sabe que

U li (xi) = xi(w

li)− pl(wl

i)× wli

pero

xi(wli) = pi(w

li)× wl

i

entonces

U li (xi) = (pi(w

li)− pl(wl

i))× wli

Por la forma de pi(q) se ve que un jugador i puede acotar la cantidad wli con el

maximo y el mınimo demandados, de tal forma que U li (xi) ≥ 0 para todo l y, por lo

tanto, Ui(xi) ≥ 0 para todo i y la subasta es individualmente racional.

4.2. Compatibilidad con incentivos

Para evaluar si la subasta es compatible con incentivos se tiene que definir βl

i(pl)

y βl

i(pl) como los mensajes de mınimo y maximo, respectivamente, entregados por

el jugador i al subastador en el momento l.

52

II-03(1)40

Se dice tambien que qli(pl) y ql

i(pl) son el maximo y el mınimo verdaderos. Ahora

se vera por que para un jugador i en cualquier momento l βl

i(pl) = ql

i(pl) y β

l

i(pl) =

qli(p

l) maximiza la utilidad esperada y, por tanto, es un equilibrio decir la verdad

haciendo la subasta compatible por incentivos.

Si en cualquier momento l es mejor, es decir, la utilidad esperada para el jugador

es mayor, si dice la verdad se puede afirmar que la subasta en su totalidad es

compatible por incentivos.

Entonces se va a analizar que puede pasar en un momento l si βl

i(pl) 6= ql

i(pl) o

βl

i(pl) 6= ql

i(pl).

Si βl

i(pl) 6= ql

i(pl) entonces hay dos casos:

Si βl

i(pl) ≤ ql

i(pl), entonces a i le podrıan ser asignados hasta ql

i(pl) − βl

i(pl)

objetos de mas a un precio que representa para el una utilidad negativa.

Si βl

i(pl) ≥ ql

i(pl), entonces a i le podrıan dejar de ser asignados hasta βl

i(pl)−

qli(pl) objetos a un precio que representa para el una utilidad positiva.

Esto ocurre por la forma de la funcion de demanda inversa de i. Ası se observa

que en cualquiera de los dos cambios posibles el desvıo representa una disminucion

de la utilidad esperada.

Ahora se va a analizar que pasa en el caso en el que βl

i(pl) 6= ql

i(pl), que tambien

se divide en dos subcasos muy similares a los anteriores:

Si βl

i(pl) ≤ ql

i(pl), entonces a i le pueden dejar de ser asignados hasta ql

i(pl)−

βl

i(pl) a un precio que para i representa una utilidad positiva.

Si βl

i(pl) ≥ ql

i(pl), entonces a i le pueden ser asignados hasta β

l

i(pl) − ql

i(pl)

objetos a un precio que para el representa una utilidad negativa.

Esto ocurre de nuevo por la forma requerida de la funcion de demanda inversa.

Vemos que en cualquiera de los dos desvıos posibles la utilidad esperada disminuye.

Ası, se concluye que en cualquier momento de la subasta es mejor decir la verdad,

por lo que la subasta tiene la propiedad de compatibilidad de incentivos.

53

II-03(1)40

4.3. Eficiencia

4.3.1. Analisis

A continuacion se analizara si la subasta propuesta maximiza el bienestar social,

es decir, asigna los objetos a los compradores que en conjunto mas los valoran.

Maximizar el bienestar social es igual a maximizar la expresion∑n

i=1 πi × xi donde

πi es la regla de asignacion y xi es la valoracion de cada jugador de los objetos que

se le asignen.

Como se vio en la seccion anterior, la subasta es compatible por incentivos, por

lo que los jugadores dicen su maximo y su mınimo verdaderos en cualquier momento

l. Ahora se quiere ver como asigna los objetos la subasta, para ver si efectivamente

se los entrega a los compradores que mas los valoran.

La subasta asegura o asigna uno o varios objetos cuando la oferta residual para

algun jugador es mayor que 0. La oferta residual esta basada en los maximos de los

otros compradores. Ademas, los maximos son decrecientes. Es claro que la subasta

propuesta asigna objetos cuando es imposible venderlos a un precio mayor. Esto

coincide con la imposibilidad de que alguien los valore mas que el que los obtuvo,

por lo que la subasta es compatible por incentivos. Por lo tanto se puede asegurar

que la subasta es eficiente.

Si se tienen las valoraciones, el problema de encontrar una asignacion eficiente

se puede resolver con optimizacion lineal. En la siguiente seccion se soluciona el

problema de esta forma, con el objetivo de comparar la asignacion eficiente hallada

con optimizacion lineal con el resultado de la subasta e ilustrar las conclusiones a

las que se llego en esta seccion.

4.3.2. Comparacion practica

En esta seccion se hace una comparacion practica entre el la asignacion a la

que se llega en la subasta propuesta y una asignacion eficiente para ilustrar que la

subasta propuesta efectivamente es eficiente.

Con este objeto primero se planteo el problema de encontrar una solucion efi-

ciente como un problema de optimizacion lineal, que despues se resolvio con un

54

II-03(1)40

software adecuado, en este caso LINGO.

A continuacion se escribira el modelo:

Variables

Aqi es 1 si exactamente la cantidad de objetos q se le asigna al comprador i y

0 de lo contrario.

Parametros

PT qi es el precio total que i esta dispuesto a pagar por q objetos o equivalen-

temente la valoracion que i tiene de q objetos.

r es la cantidad maxima de objetos que se le puede asignar a cada jugador.

k es la cantidad total de objetos a subastar.

n es la cantidad de jugadores o compradores.

Funcion objetivo

max =n∑

i=1

k∑q=1

PT qi × Aq

i

Restricciones

Maximo una cantidad de objetos por comprador,

k∑q=1

Aqi ≤ 1

Todos los objetos se deben asignar,

k∑q=1

n∑i=1

q × Aqi = k

55

II-03(1)40

En el apendice B se encuentra el codigo del problema en LINGO y los resultados

para los dos ejemplos presentados en este documento. Primero, para el ejemplo de

ilustracion y, segundo, para el ejemplo del apendice A. En ambos casos se puede

observar que la asignacion de la subasta es igual a la asignacion eficiente encontrada

por LINGO. Cuando la subasta no termina de una manera exacta coincide con que

el problema de optimizacion tiene mas de una solucion.

4.4. Maximizacion de la ganancia del subasta-

dor

La subasta propuesta posiblemente no maximiza la ganancia del subastador ya

que su prioridad, al tener un diseno similar a la subasta Vickrey o Ausubel, es la

eficiencia. Mas aun, si se toma cualquiera de las asignaciones a las que llega la su-

basta se puede observar que los compradores que reciben objetos en general estarıan

dispuestos a pagar mas por los objetos obtenidos que lo que les cobra la subasta.

Ası se podrıa afirmar que la subasta no maximiza la ganancia del subastador.

4.5. Optimalidad

Ya se vio que la subasta no maximiza el ingreso del subastador independien-

temente de los otros criterios. Pero si se quisiera que la subasta, sin perder su

caracterıstica de eficiencia, aumentara la ganancia del subastador, se tendrıa que

implementar un mecanismo capaz de cobrarle mas al que mas valora los objetos.

Para hacer esto se tendrıa que hacer depender la regla de pago para i del mensaje

que entrega. Si esto ocurre, los jugadores tendrıan un incentivo a no decir la ver-

dad por lo que la subasta dejarıa de ser compatible por incentivos. Al perder la

propiedad de compatibilidad de incentivos no se puede garantizar mas la eficiencia

de la subasta. Se puede entonces afirmar que dentro de las subastas eficientes esta

maximiza el ingreso del subastador, por lo que es optima.

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II-03(1)40

Capıtulo V

CONCLUSIONES

En el diseno de una subasta es muy importante el estudio y entendimiento del am-

biente en el que se va a desarrollar. La definicion de ambientes cuando hay multiples

objetos no necesariamente sustitutos entre sı ha demostrado ser de gran dificultad

y no se tiene una definicion que permita el analisis en ellos.

En este trabajo se encontro que limitando el ambiente a objetos iguales, pero

permitiendo en todo caso relaciones tanto de sustitucion como de complementariedad

entre ellos, se puede lograr la definicion y analisis de los mismos. Despues de ver la

validez tanto teorica como practica de estos ambientes, se utilizo la definicion para

disenar una subasta y evaluarla.

Se tomo como base para la subasta propuesta la subasta de Ausubel para multi-

ple objetos sustitutos y se amplio para el caso en el que los objetos no cumplen

necesariamente con esta condicion. Luego se evaluo la subasta bajo los criterios mas

importantes, mostrando esta caracterısticas de eficiencia y optimalidad cuando la

funcion de demanda inversa de cada participante es concava. Este es un compor-

tamiento natural entre los participantes. Ademas la subasta permite comportamien-

tos asimetricos entre los jugadores, situacion que se presenta cuando las relaciones

entre objetos no son intrınsecas a estos, sino que dependen de los jugadores.

Por su caracterıstica de eficiencia, gracias a la compatibilidad con incentivos, se

puede ver la subasta propuesta como una extension natural de las subastas Ausubel

y Vickrey.

Para la formulacion de la subasta se utilizo el diseno de mecanismos y para

el entendimiento de sus caracterısticas se utilizaron herramientas de optimizacion,

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ası como el software Lingo.

Este trabajo muestra la forma en la que se debe abordar un problema en teorıa

de subastas y es un primer paso en la solucion del problema en la definicion de un

ambiente de multiples objetos hetereogeneos.

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Apendice A

EJEMPLO PARTIENDO DE LOS

COMPORTAMIENTOS

Se tienen k = 10 objetos iguales a subastar y un conjunto N = {1, 2, 3, 4} de

n = 4 de participantes. El maximo numero de objetos que puede obtener cada

jugador es 5. La valoracion marginal del jugador i del q-esimo objeto es vi(q) (el

subastador no las sabe) y se encuentra a continuacion:

q 1 2 3 4 5v1(q) 30 26 4 0 0v2(q) 12 24 30 14 10v3(q) 15 15 36 54 30v4(q) 10 40 40 30 20

Tabla 17: Ejemplo del apendice - Valoraciones marginales

Estos vectores permiten, segun estudios anteriores, caracterizar las relaciones

entre los elementos para cada jugador para poder predecir su comportamiento.

Se observa que se les permite a los jugadores tener valoraciones marginales no

decrecientes y ademas estas pueden ser asimetricas.

Con base en esto se caracteriza a los jugadores de la siguiente manera, recordando

que pi(q) es el precio al que el jugador i comprarıa q objetos:

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q 1 2 3 4 5p1(q) 30 28 20 15 12p2(q) 12 18 22 20 18p3(q) 15 15 22 30 30p4(q) 10 25 30 30 28

Tabla 18: Ejemplo del apendice - Demanda inversa

Mas alla de q = 5 no hay demanda, ya que este es el lımite de adquisicion para

cada jugador. Y se ve tambien que los tres ultimos jugadores tienen comportamiento

de Cuspide mientras que el primero tiene comportamiento de Sustitutos.

A continuacion se desarrollara la subasta paso a paso:

La subasta empieza en el precio de reserva p0 = 5; como se observa, tanto el

mınimo como el maximo de todos es igual; el mınimo es 1 y el maximo es 5.

p0 = 5 l = 0i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 5 02 1 5 03 1 5 04 1 5 0


Tabla 19: Ejemplo del apendice - l = 0

El primer cambio ocurre cuando el precio llega a 10. La mınima cantidad de

objetos que exige el jugador 4 para pagar este precio es 2. Como la oferta residual

es cero en todos los casos, todavıa no hay asignacion.

El siguiente cambio ocurre cuando el precio es igual a 12 donde el mınimo que

requiere el jugador 2 tambien se vuelve 2, pero ademas el maximo que esta dispuesto

a comprar el jugador 1 a ese precio baja a 4. La oferta residual para todos los

jugadores sigue siendo 0. De nuevo todavıa no ocurren asignaciones.

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p1 = 10 l = 1i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 5 02 1 5 03 1 5 04 2 5 0



p2 = 12 l = 2i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 4 02 2 5 03 1 5 04 2 5 0



El siguiente cambio ocurre esta vez en 15 y lo que observamos es que la demanda

mınima del jugador 3 sube a 3 y la demanda maxima del jugador 1 baja a 3. Se

empieza a notar el comportamiento de sustitucion de jugador 1.

p3 = 15 l = 3i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 3 02 2 5 03 3 5 04 2 5 0



El siguiente cambio se da cuando el precio llega a 18 donde el jugador 2 sube su

demanda mınima a 3 objetos y el jugador 2 baja su demanda maxima a 4. Hasta

este momento no ha habido ninguna asignacion ya que la oferta residual continua

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II-03(1)40

igual a 0.

p4 = 18 l = 4i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 3 02 3 4 03 3 5 04 2 5 0



El siguiente cambio ocurre en un precio de 20, donde el jugador 2 reduce su

demanda maxima a 3 igualandola a su demanda mınima, por lo que el unico numero

de unidades que esta dispuesto a comprar a partir de este precio es 3. Ademas el

jugador 1 tambien reduce su demanda maxima a 2. No hay asignaciones todavıa.

p5 = 20 l = 5i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 2 02 3 3 03 3 5 04 2 5 0



Ahora el cambio es en 22. El jugador 2 sale de la subasta, a este precio ya no

esta dispuesto a comprar ningun numero de unidades. Ademas el jugador 3 sube

su demanda mınima a 4. Vemos que en este momento por primera vez la oferta

residual es diferente de 0 para los jugadores 3 y 4. En el caso del jugador cuatro

como la oferta residual ademas esta entre su mınimo y su maximo le son asegurados

3 = s46 objetos a un precio de p6 = 22. Es importante notar que un jugador al que ya

le han sido asignados objetos no debe tener en cuenta esta asignacion al continuar

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II-03(1)40

jugando. Es decir no debe reducir su demanda. Es jugador 3 en cambio aunque tiene

una oferta residual mayor que 0 no asegura ninguna unidad ya que su mınimo esta

por encima de su oferta residual, lo que quiere decir que el no esta dispuesto a pagar

22 solo por tres unidades, sino que mınimo necesita 4.

p6 = 22 l = 6i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 2 02 0 0 03 4 5 34 2 5 3 3 3



El siguiente cambio es en el precio 25, donde el jugador 4 aumenta su demanda

mınima a 3.

p7 = 25 l = 7i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 2 02 0 0 03 4 5 3 04 3 5 3 0 3



El ultimo cambio ocurre a un precio de 28, ya que podemos observar que∑n

i=1 Ci8 =

10. El maximo que 4 esta dispuesto a comprar a ese precio baja a 4 ası como el maxi-

mo que esta dispuesto 1 a comprar baja a 1. La demanda residual de 1 se convierte

en 1 y se le asegura este objeto. Ası como se le asigna uno mas al jugado 4 porque

su demanda residual esta entre su maximo y su mınimo pero ya se le aseguraron 3

y al jugador 3 se le asignan las 5 restantes.

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II-03(1)40

p7 = 25 l = 7i qi

lqi

l sil ci

l Cil

1 1 2 02 0 0 03 4 5 3 04 3 5 3 0 3



Vemos que el resultado de la subasta es: el jugador 1 lleva un objeto a precio 28,

el jugador 2 no se lleva ningun objeto y no paga nada, el jugador 3 se lleva 5 objetos

a precio 28 y el jugador 4 se lleva 4 objetos, 3 a precio 22 y 3 a precio 28.

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Apendice B

LINGO

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II-03(1)40

Codigo del programa en LINGO para dar la asignacion eficiente del modelo de

ilustracion.

Figura 20: Modelo LINGO -Ejemplo de ilustracion

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II-03(1)40

Resultados de maximizacion en LINGO del problema de asignacion eficiente en

el ejemplo de ilustracion.

Figura 21: Resultados LINGO - Ejemplo de ilustracion

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II-03(1)40

Codigo del programa en LINGO para dar la asignacion eficiente del modelo del

apendice.

Figura 22: Modelo LINGO - Ejemplo del apendice A

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II-03(1)40

Resultados de maximizacion en LINGO del problema de asignacion eficiente en

el ejemplo del apendice.

Figura 23: Resultados LINGO - Ejemplo del apendice A

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REFERENCIAS

Ausubel, Lawrence M., “An Efficient Ascending-Bid Auction for Multiple Ob-jects”, Department of Economics, University of Maryland, Working PaperNo.97-06, Junio 1997.

Ausubel, Lawrence M., “A Generalized Vickrey Auction”, Department of Eco-nomics, University of California, Septiembre 1999.

Ausubel, Lawrence M. and Cramton Peter, “Demand Reduction and Inefficien-cy in Multi-Unit Auctions”, Department of Economics, University of Mary-land, Marzo 1998.

Ausubel, Lawrence M. and Cramton Peter, “Vickrey Auctions with ReservePrincing”, Department of Economics, University of Maryland, Junio 1999.

Charles River Associates Incorporated and Market Design, “Report 1B: Pack-age Bidding for Spectrum Licenses”, Federal Communications Commission,Octubre 1997.

Charles River Associates Incorporated and Market Design, “Report 2: Simul-taneous Ascending Auctions with Package Bidding”, Federal CommunicationsCommission, Marzo 1998.

Grupo de Subastas de la Universidad de los Andes, CGSR, “Agenda de Inves-tigacion”, Departamento de Ingenierıa Industrial, Universidad de Los Andes,Julio 2002.

Krishna, Vijay, “Auction Theory”, Academic Press, 2002.

Krishna, Vijay, and Perry, Motty, “Efficient Mechanism Design”, PennsylvaniaState University, and The Hebrew University of Jerusalem, Abril 1998.

Milgrom, Paul, “Putting Auction Theory to Work: The Simultaneous Ascend-ing Auction”, Department of Economics, Stanford University, Mayo 1998.

Vries, Sven de, and Vohra, Rakesh V., “Combinatorial Auctions: A Survey”,Octubre 2001.

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an¶alisis del problema de objetos no sustitutos en las

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